1
UNIDAD DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Distancia entre dos puntos 1. El triángulo triángulo de vértices vértices A ( 5;
1), B (2; 3) y C (3; 2) es :
Solución: Basta con encontr encontrar ar la distancia entre los vértices vértices del triángulo triángulo y luego comparar comparar los resultados. resultados. Recordemos Recordemos que la distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son A (x1 ; y1 ) y B (x2 ; y2 ) está dada por la fórmula
q
d (A; B ) =
(x1
2
x ) 2
+ (y1
y )
Luego d (A; B ) =
q q q ( 5
d (B; C ) = d (A; C ) =
2
2) + ( 1
3)
3)2 + (3
(2
( 5
2
2
3)
= 2
q q q 2
2
( 7) + ( 4) =
(2)) = + (1 (2)) =
( 1)2 + (5)2 =
2
2
2
2
p 49 + 16 = p 65 = 8:0623 p p 1 + 25 =
2
( 8) + (1) =
26 = 5:099
p 64 + 1 = p 65 = 8:0623
de donde claramente se ve que d (A; B ) = d (A; C ) y así podemos decir que dicho triángulo es isósceles.
2. El triángulo triángulo de vértices vértices A (2; 3), B ( 4;
3) y C (6; 1) es :
Solución: Encontremos
q q q p
d (A; B ) = d (B; C ) =
(2
pero
2
d (B; C ) =
( 4)) + (3 2
( 4
d (A; C ) =
2
2
(3))
6) + ( 3
(2
6)2 + (3
=
2
=
(1))
2
104
2
(1))
q p q p q p p p 2
=
2
(6) + (6) = 2
2
( 10) + ( 2) = ( 4)2 + (4)2 = 2
= 104 = 72 + 32 =
por tanto, el triángulo es rectángulo.
3. Los vértices vértices de un cuadrado son ( 1; 3), (3 ;
36 + 36 =
72
32
72 = 8:4853
100 + 4 =
16 + 16 =
2
+
p
p
104 = 10:198
p
32 = 5:6569
2 2 = d (A; B ) + d (A; C ) :
1), ( 1; 1) y (3 ; 3). La longitud de sus diagonales es:
Solución: Nótese que los puntos con coordenadas A( 1; 3) y B (3; igual que C que C ( 1;
1) son vértices no consecutivos del cuadrilátero, al
1), D (3; 3). Por lo cual, el problema problema se resume resume a encontrar encontrar la distancia entre entre cualesquiera cualesquiera de
2
las parejas de vértices no consecutivos, no importando con cual trabajar ya que las diagonales de un cuadrado son congruentes. Luego d (A; B ) =
q ( 1
2
3) + (3
2
(1))
q
=
2
2
( 4) + (4) =
p
p
q
2(4)2 = 4 2
En consecuencia la longitud de las diagonales del cuadrado es 4 2
4. Dos vértices vértices opuestos opuestos de un cuadrado cuadrado son (5 ; 1) y ( 1; 3). El área del cuadrado es :
Solución: Encontremos la longitud de la diagonal que se forma a partir de dichos puntos, es decir, la distancia entre los vértices opuestos A (5; 1) y B ( 1; 3). Así
d (A; B ) =
q (5
2
( 1)) + (1
2
3)
q
=
2
2
(6) + ( 2) =
p 36 + 4 = p 40 = 2p 10:
Recordemos que una de las fórmulas que podemos emplear para calcular el área de un cuadrado es A = En nuestro caso tenemos
p
2 10 A = 2
2
=
D2
2
.
4(10) = 2(10) = 20: 2
Por lo tanto, el área de dicho cuadrado es 20 unidades cuadradas.
5. Uno de los extremos de un segmento segmento de longitud 5 es el punto (3 ; ordenada es :
2). Si la abscis abscisa a del otro otro extremo extremo es 6 , su
Solución:
q
Emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos d (A; B ) =
(x1
2
x ) 2
2
+ (y1
y ) . 2
Sustituye Sustituyendo ndo
los valores correspondientes a las abscisas y ordenadas de los extremos del segmento de longitud 5 , denotando y la ordenada en búsqueda obtenemos
5=
q (3
2
6) + ( 2
2
y)
=
q
2
( 3) + ( 2
2
y)
=
q
9+( 2
2
y)
al elevar al cuadrado ambos lados de la expresión anterior resulta
25 = 9 + ( 2
2
y)
desarrollando el cuadrado de la diferencia del segundo sumando del lado derecho y simplicando tenemos
25 = 13 + 4 y + y 2 lo que implica que y 2 + 4y
12 = 0
factorizando se sigue
(y + 6) 6) (y
2) = 0
3
de donde y =
6 _
y = 2:
Ambas soluciones satisfacen las condiciones del problema, pero y = en las respuestas y por lo tanto y = 2 es el valor de la ordenada.
6 no aparece como opción a seleccionar
División de un segmento en una razón dada 6. Dados los puntos A (3; 2) y B (5; 4) halla un punto C , alineado con A y B , de manera que se obtenga
CA 3 = . CB 2
Solución: El problema pide encontrar las coordenadas del punto C . Utilizando la ecuación de la abscisa y ordenada de un x1 + rx 2 y1 + ry 2 punto que divide a un segmento en una razón dada x = y y = y sustituyendo los valores 1 + r 1 + r correspondientes tenemos
3 15 21 3 + (5) 3+ 2 2 = 2 = 21 x = = 3 5 5 5 1+ 2 2 2 3 2 + (4) 2+6 8 16 2 y = = = = 3 5 5 5 1+ 2 2 2
En consecuencia las coordenadas del punto C son
7. Dado el segmento de extremos P 1 (3; la razón
2.
21 16 ; 5 5
2) y P (4; 1), encuentre las coordenadas del punto 2
P que lo divide en
Solución: Consideremos los puntos P 1 (3; razón r =
2) y P (4; 1) extremos del segmento que es dividido por un punto P en una 2
2. Al sustituir los valores correspondientes en las fórmulas x = x 1 ++ rx r 1
que las coordenadas de P son
2
y y =
y1 + ry 2 resulta 1 + r
3 + ( 2) ( 4) 3+8 = = 1 + ( 2) 1
11 2 + (2) (1) = 2 2 = 4 y = 1 1 + ( 2)
x =
Por lo tanto, P tiene por ( 11; 4)
8. En las medianas de un triángulo el baricentro B (x; y ) es tal que las distancias de este punto al vértice M (2; 4) MB y al punto medio N (1; 1) del lado opuesto están en la relación = 2 . Las coordenadas de B son : M N
Solución :
4
Recordemos la mediana es el segmento de recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las medianas se llama Baricentro. x1 + rx 2 y1 + ry 2 y y = y considerando al vértice M (2; 4) y al punto medio 1 + r 1 + r 1) del lado opuesto como extremos de la mediana M N resulta que las coordenadas del baricentro B son
Utilizando las fórmulas x = N (1;
2 + (2) (1) 2+2 4 = = . 1+2 3 3
x = y =
Es decir, B
4 + (2) ( 1) 4 2 2 = = . 1+2 3 3
4 2 ; 3 3
8) en la razón 13 son :
9. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A ( 1; 4) y B ( 5;
Solución: Usando las fórmulas x =
x1 + rx 2 y1 + ry 2 y y = y sustituyendo los valores correspondientes tenemos 1 + r 1 + r 1
1 + (5) = 1 + x = 1+ 4 + (8) 4+ y = = = 1+ 3
1
2
3
3
1 3
1 3
5 3
=
2 3 2
= 1.
3
8
20
3
2
3 2
3
3
=
20 = 10 . 2
Es decir, las coordenadas del punto son (1 ; 10)
10. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A (3; 2) y B ( 1;
1) en la razon
1 son: 2
Solución: Similarmente al ejercicio anterior, al hacer uso de las fórmulas x = resulta
3+ x =
1 2
( 1)
3
12
x1 + rx 2 y1 + ry 2 y y = y sustituir valores 1 + r 1 + r
5 5 = 2 = 3 3 2
= 1 3 1+ 2 2 1 1 3 2+ ( 1) 2 2 2 = 2 =1 y = = 1 3 3 1+ 2 2 2
Es decir, las coordenadas del punto son
5 ;1 3
5
Coordenadas del punto medio 11. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A (5; 4); B ( 3; 8)
Solución: Las coordenadas del punto medio de un segmento están dadas por las fórmulas x =
x1 + x2
De este modo al sustituir valores tenemos
2
y y =
y1 + y2
2
.
5 + ( 3) 5 3 2 = = =1 2 2 2
x =
y =
4+8 12 = =6 2 2
En consecuencia, las coordenadas del punto medio son (1 ; 6)
12. El punto medio de un segmento es (2 ; 2). Si uno de sus extremos es ( 2; 3), el otro es :
Solución: Consideremos el punto con coordenadas (2 ; 2) como el punto medio del segmento con extremos ( 2; 3) y ( a; b) :
El problema pide encontrar los valores de las coordenadas del extremo desconocido. Usando las fórmulas de las coordenadas del punto medio tenemos
2=
2 + a ) 4 = 2 + a ) a = 4 + 2 = 6 : 2
2=
3 + b 2
) 4 = 3 + b ) b = 4 3 = 1:
Por lo tanto, las coordenadas del otro extremo son (6 ; 1)
13. Encuentre dos puntos equidistantes de (2 ; 1), los tres sobre la misma línea, si la abscisa de uno de ellos es x = 6 y la ordenada del otro es y =
1.
Solución: Como los puntos son colineales y equidistantes del punto con coordenadas (2; 1) esto quiere decir que dicho punto es el punto medio del segmento cuyos extremos son (6 ; y1 ) y ( x2 ; de ellos es 6 y la ordenada del otro es y1 + y2 y y = tenemos
2
1. Usando las fórmulas de las coordenadas del punto medio x = x +2 x 1
6 + x2 2 y1 + ( 1) 1= 2 2=
1) dado que sabemos la abscisa de uno
) 4 = 6 + x ) x = 4 6 = 2: 2
2
) 2 = y + (1) ) y = 2 + 1 = 3 : 1
1
Por tanto, los puntos que equidistan de (2 ; 1) son (6 ; 3) y ( 2;
1)
2
6
14. Dados los vértices de un triángulo A (2; 0), B (1; a B es:
3) y C (2; 5), el otro extremo de la mediana correspondiente
Solución: Basta encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2; 0) y C (2; fórmulas para las coordenadas del punto medio tenemos x =
2+2 4 = =2 2 2
y =
0 + ( 5) = 2
5).
Haciendo uso de las
52
Es decir, el otro extremo de la mediana correspondiente al vértice B es
2;
5 2
15. La mediatriz del segmento determinado por los puntos A ( 2; 3) y B (4; 1) pasa por el punto
Solución : Recordemos que mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Entonces el ejercicio se reduce a encontrar el punto medio del segmento determinado por A ( 2; 3) y B (4; 1): Usando las fórmulas para encontrar las coordenadas del punto medio tenemos x =
2 + 4 = 2 = 1 2
y =
2
3+1 4 = =2 2 2
Por lo tanto, la mediatriz de dicho segmento pasa por el punto (1 ; 2)
Pendiente de una recta 16. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4;
1) y (5 ; 2).
Solución: La ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos es m =
y2 x2
y y
1 2
Usando esta ecuación y sustituyendo los valoresde las coordenadas de los puntos tenemos m =
Es decir, la pendiente de la recta es
1 3
2 5
(1) = 2 + 1 = 3 = 1 (4) 5 + 4 9 3
7
17. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 3) y (4 ;
4)
Solución: Usando la ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos y sustituyendo los valores correspondientes tenemos m = Es decir, la pendiente de la recta es
4 3 = 7 = 7 = 1: 4 (3) 4+3 7
1
18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 5; 2) y ( 5;
4)
Solución: Por la forma de las coordenadas de los dos puntos puede notarse que dicha recta es paralela al eje y y por lo tanto no existe la pendiente. Además se puede comprobar al usar la ecuación de la pendiente.
19. La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( x;
3) y ( 2; 6) es 3 , entonces el valor de x es :
Solución: Al sustituir valores en la ecuación de la pendiente de una recta tenemos
3=
6
(3) = 6 + 3 = 9 2 x 2 x 2 x
de lo cual se sigue
3( 2
x) = 9
luego por distributividad resulta
6 3x = 9 es decir,
3x = 9 + 6 = 15 obteniendo así que x = Por tanto, el valor de x es
153 = 5:
5
20. La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 4) y (1 ; y) es cero, entonces el valor de la ordenada es:
Solución: Como la pendiente de la recta es cero, entonces estamos hablando de una recta horizontal y por tanto y = 4. Valor que se puede obtener también sustituyendo los datos dados en la ecuación de la pendiente.
8
Ecuaciones de la Recta 21. Una recta de pendiente
2 pasa por el punto A (1; 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica.
Solución: Usando la ecuación punto pendiente y
y = m (x x ) y sustituyendo valores y 4 = 2(x (1)) y 4 = 2x 2 0
0
2x + y x +
= 2
y
= 1
2
22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es
2x + y
8 = 0 y 3 x 2y + 9 = 0.
4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas
Solución: Encontremos el punto de intersección de las rectas 2x + y resolver el sistema
(
2x + y 3x
8 = 0 y 3 x 2y + 9 = 0 lo cual es equivalente a
8= 0
2y + 9 = 0
cuya solución es x = 1, y y = 6. Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es (1 ; 6). Luego, usando la ecuación punto pendiente
6 y6 4x + y 10 y
= =
4(x 1) 4x + 4
= 0:
23. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son P 1 ( 3; 2) y P 2 (1; 6).
Solución: Encontrando la pendiente de la recta que contiene al segmento resulta m1 =
6
2 =1 1 (3)
La mediatriz del segmento tendrá por pendiente m2 = ( 1) (1) =
1
Determinemos las coordenadas del punto medio x
=
y
=
3 + 1 = 1 2 2+6 =4 2
9
Por lo cual la recta que pasa por el punto ( 1; 4) con pendiente m =
y
4
=
1(x (1)) x 1
= x + y
3
1, tiene por ecuación
= 0
24. Una recta pasa por el punto A (7; 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C ( 2; 2) y D (3;
su ecuación.
4). Hallar
Solución: Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente. Determinemos la pendiente de la recta que pasa p or los puntos C ( 2; 2) y D (3;
4) como sigue m =
4 2 = 6 3 (2) 5
Usando la ecuación punto pendiente resulta
8 5y 40 6x + 5y 82
65 (x 7) 6x + 42
=
y
=
= 0
25. Hallar el valor de k para que la recta k 2 x + (k + 1) y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3 x
2y 11 = 0.
Solución: Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares debe veri…carse que el producto de sus pendientes
1. La pendiente de la recta 3 x 2y 11 = 0 es
sea
m =
32 = 32
lo cual implica que la pendiente de la otra es m0 =
23
es decir, k2
k + 1 3k2 3k 2
2k 2
cuyas raices son k =
1
=
23
= 2k + 2 = 0
p 7 2
10
Angulos entre dos rectas 26. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos ( 2; 1) ; (3; 4) y (5;
2).
Solución: Recordemos que el ángulo entre dos rectas está dado por la fórmula
tan =
m 2 m1 1 + m1 m2
donde m 1 y m2 representan las pendientes de las rectas involucradas respectivamente. Encontremos la pendiente de las rectas que pasa por los puntos: ( 2; 1) y (3; 4)
m1 =
4
1 = 3 3 (2) 5
m2 =
2 4 = 3 53
(3; 4) y (5; 2)
( 2; 1) y (5; 2)
m3 =
2 1 = 3 5 (2) 7
son respectivamente la pendiente de las rectas l 1 , l2 y l3 . De esta manera el ángulo entre l 1 y l 2 es
tan
=
3 5
3
1+
3 5
( 3)
=
9 2
=
18 13
9 2 0 = 77 28 1600
=
tan1
Por otro lado el ángulo entre l 1 y l 3 es
tan = =
3 5
3 7
1+ 3 7
tan1
3 5
18 13
= 54 90 4400 Del mismo modo el ángulo entre l 2 y l 3 es
tan =
3 7
(3) = 9 8 1 + (3) 3 7
9 8 0 = 48 21 5900
=
tan1
11
27. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por los puntos ( 2; 1) y (9; 7) y la
recta …nal pasa por los puntos (3 ; 9) y A cuya abscisa es
2. Hallar la ordenada de A.
Solución: Al despejar m 2 de la fórmula
tan45 = se tiene
m2 m1 1 + m1 m2
tan45 + m1 m2 = 1 (tan 45 ) m1
pero según los datos del problema m1 = y m2 =
7
1 = 6 9 (2) 11
9 = y9 = 9y 2 3 5 5 y
de donde, y y
= 9 =
5m tan45 + m 95 1 (tan 45 ) m
= 9 = 9 =
2
1+ 1
5
17 8
1
6 11 6 11
1
Usando el hecho que tan45 = 1
28. Una recta l1 pasa por los puntos (3; 2) y ( 4; cuya ordenada es
6)
y la otra recta pasa por el punto ( 7; 1) y el punto A
6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l
1
es perpendicular a l 2 .
Solución: Recordemos que como l 1 es perpendicular a l 2 entonces el producto de sus pendientes es pendientes de l1 y l2 como sigue m1 =
6 2 = 8 4 3 7
por lo cual m2 =
78
78
=
De modo que
7 (x + 7) 7x x
= =
7
x + 7
56 7
= 1
1. Encontremos las
12
29. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos
(1; 2) y (3; 8).
Solución : La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1 ;
2) y (3; 8) es 8 (2) m = =5 31 1
pero dicha pendiente es la misma para ambas rectas ya que son paralelas, es decir, m2 = 5. Así el ángulo de inclinación buscado ; 0 < < 90 . Ahora bien
tan
= 5
=
tan1 (5)
= 78 410 2400
30. Hallar los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son A (2; 5), B (8; Solución : Consideremos l1 la recta que pasa por ( 2; 1) y (8; l2 la recta que pasa por l3 la recta que pasa por
(2; 1) (8; 1)
y (2; 5) y (2; 5)
por lo tanto sus pendientes son respectivamente m1
=
m2
=
m1
=
1 1 = 1 8 (2) 5 51 =1 2 (2) 5 (1) = 1 28
Luego
tan A =
1 5 1 5
1 1+1
=
3 2
3 2 0 A = 56 18 3500 A =
tan C =
tan1
1 5
(1) = 2 3 1 + (1) 1
5
2 3 0 A = 33 41 2400 A =
tan1
1)
1)
y C ( 2; 1).
13
Cónicas 31. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por ( 3; 4) es :
Solución : Dado que ( 3; 4) es un punto de la circunferencia entonces satisface la relación
x2 + y 2 2
( 3) + 42
= r2 = r2
25 = r 2
Por lo tanto, la ecuación pedida es x2 + y 2 = 25 32. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 1 es Solución : Para encontrar que puntos pertenecen a la circunferencia unitaria basta sustituir las coordenadas de estos en la ecuación x 2 + y 2 = 1 . Veamos
p p ! 2
2
+ ( 1)2
2
3 2
12
+
2
(1) + (1)
= 2+1 = 3 =1
6
2
=
2
3 1 + = 1 4 4
= 1+1 = 2 =1
6 61 (1) + (1) = 1 + 1 = 2 = (2) + (1) = 4 + 1 = 5 = 61 p 3 1 Por lo tanto el único punto perteneciente a la circunferencia es ; 2 2 2
2
2
2
!
33. Si los extremos de un diámetro es una circunferencia con centro en el origen son ecuación de dicha circunferencia es
p p 5; 2
Solución : Determinemos la longitud del diámetro entre los puntos
r p p 5
5
2
+( 2
2
2)
p p r p 5; 2
5; 2 como sigue
y
2
= =
2 5
p
= 6
36
+ ( 4)2
y
5; 2 , la
14
pero D = 2r, es decir, r = 3 Por lo cual, la ecuación buscada es x2 + y 2 = 9 34. Si (2 ; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x 2 + y 2 = 16 , la ecuación de dicha cuerda es : Solución : Como (2 ; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x 2 + y 2 = 16, entonces el radio pasa por los puntos (2; 2) y (0; 0). Pero la ecuación del radio es de la forma y = mx, relación que cumplen los puntos anteriores, es decir,
2m = 2 = 1
m
La cuerda es perpendicular al radio, ya que si una cuerda pasa por el centro de una circunferencia y biseca a otra cuerda, que no sea el diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda, de modo que tiene por pendiente m0 =
1
Usando la ecuación punto - pendiente tenemos que la ecuación de dicha cuerda es
2 y2 x + y 4 y
= =
1 (x 2) x + 2
= 0
35. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto de intersección de las rectas
3x + 3y = 15 y 2x + 2y = 22 es : Solución : Encontremos el punto de intersección de dichas rectas, lo que es equivalente a resolver
(
3x + 3y = 15 2x + 2y = 22
cuyas solución es el par (2 ; 3). Ahora bien
22 + 32
= r2
4+9 =
r2
13 = r 2 Por lo tanto, la ecuación es x2 + y 2 = 13
15
36. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola x =
14 y
2
es :
Solución : La parábola x = de donde
14 y
2
puede ser vista también de la forma y 2 =
4 p
=
p
=
4x
y tiene eje focal sobre el eje de las x,
4 1
Por lo tanto, las coordenadas del foco son ( 1; 0) y la ecuación de la recta directriz es x = 1
37. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco
p 2; 0
es :
Solución :
p
2; 0 , entonces p =
Dado que el foco tiene por coordenadas
4
p
2 x =
4p 2x
38. El foco y la directriz de la parábola 2 y
2
x
p 2
y la ecuación solicitada es y 2 =
= 0 son :
Solución : La parabóla que tiene por ecuación 2y
2
= 0 es una parábola cuyo eje focal esta sobre el eje y. Vista de 1 otra forma la ecuación anterior es x 2 = 2 y, de donde 4 p = 2, es decir, p = . Por lo tanto, las coordenadas 2 1 1 del foco son la directriz es la recta y = 0; 2 2
x
39. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4 ; 0) y directriz
x =
4 es :
Solución : Como el foco de la parábola es (4; 0) y directriz x = 2
es y = 4(4) x = 16x
4, entonces p = 4. Por lo tanto, la ecuación buscada
40. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje y, vértice en el origen y que pasa por ( 2;
2)
es :
Solución : Como la parábola tiene eje de simetría al eje y y pasa por el punto ( 2; una parábola vertical y por ende dichos puntos cumplen la relación x2 = 4 py
2), entonces estamos tratando con
16
en particular tenemos 2
( 2)
= 4 p ( 2)
4 =
8 p 12
=
p En consecuencia, la ecuación de la parábola es x 2 =
2y
41. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8 , entonces la ecuación de la elipse con eje focal en el eje y es : Solución : Sabemos que la longitud del eje mayor de una elipse está dado por 2 a y la distancia focal por 2 c, con los datos del problema obtenemos
2a = 16 = 8
a
2c = 8 = 4
c Pero a 2 = b 2 + c2 , es decir, b2
= 82
2
4 64 16
=
= 48 Por lo tanto, la ecuación de la elipse es x2
48 42. Si la excentricidad es
+
y 2
64
=1
4 y la distancia focal es 16 , la ecuación de la elipse con eje focal en el eje x es : 5
Solución : Como la distancia focal es 16 , entonces
2c = 16 c
= 8
pero al sustituir los valores de e y c en e =
c a
17
tenemos
4 8 = 5 a 4a = 40 = 10
a Ahora encontremos b2
= 100
64
= 36 Finalmente, la ecuación de la elipse es x2
100
+
y2
=1
36
43. La excentricidad de la elipse 2 x2 + 4y 2 = 8 es : Solución : La ecuación de la elipse 2x2 + 4y2 = 8 en su forma canónica es x2
4
+
y 2
=1
2
De manera que c
p 4 2 p
= =
2
Por lo tanto, la excentricidad es e =
p 2 2
44. El único punto que pertenece a la elipse con eje mayor 20 y eje menor 10 es : Solución : Similarmente al ejercicio 42 tenemos
2a = 20 a
= 10
2b = 10 b
= 5
Por lo cual, la ecuación de la elipse es x2
100
+
y2
25
=1
18
Veamos
p !
2
( 5) + 100
2
5 3 2
75 25 = + 4 100 25 1 3 = + 4 4 = 1
25
p !
2
(5)2 + 100
5 3 2
75 25 + 4 100 25 1 3 = + 4 4 = 1
=
25
p !
2
2
(5) + 100
2 3 2
=
25
= =
2
(5) + 100
p
5
25 3 + 100 25 1 3 + 4 25 37 =1 100
6
2
3
75 25 = + 4 100 25 1 3 = + 4 4 = 1.
2
25
De lo cual se ve que tres de los puntos dados satisfacen la ecuación, es decir, son puntos de la circunferencia.
45. La ecuación de la elipse que pasa por
p
3; 2 3 , con vértice correspondiente al eje menor (0; 4) es :
Solución : Como uno de los vértice correspondiente al eje menor es (0 ; 4), entonces a = 4 y estamos tratando con una
p
elipse vertical. Así el punto 3; 2 3 debe cumplir la relación x2 y 2 + 2 =1 b2 a
es decir,
32
p
2 3 + b2 42
2
b2
= 1 = 36
Por lo tanto, la ecuación es x2
36
+
y 2
16
=1
19 46. Los focos de la hipérbola 4x2
9y
2
= 36 son :
Solución : La hipérbola 4x2
9y
2
= 36 puede ser vista como x2
9
2
y4
=1
de donde a 2 = 9 y b2 = 4 , y por lo tanto c2
= 9+4
p 13; 0
En consecuencia, las coordenadas de los focos son
47. Las asíntotas de la hipérbola 25y 2
2
16x
p 13
=
c
= 400, son :
Solución : Como la hipérbola tiene por ecuación 25 y 2 b =
2
16x
= 400, entonces a2 = 16 y b2 = 25, es decir, a =
5. Lo cual implica que las directrices son las rectas y =
48. La ecuación de la hipérbola con asíntotas y =
32 x,
4
y
45 x es :
Solución : Como las asíntotas son las rectas y = es
32 x entonces a = 2 x2
4
y b = 3. Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola
2
y9
=1
49. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son ( 1; 0) y sus focos ( 2; 0). Entonces su ecuación es :
Solución : Según los datos del problema a = 1 y c = 2, por lo cual b2
= 4
1
= 3 La ecuación de la hipérbola es x2
1
2
y3
=1
20 50. La excentricidad de la hipérbola y 2
2
4x
= 4 es :
Solución : De la ecuación de la hipérbola se tiene que a2 = 4 y b2 = 1 , así que c2 c
= 5
p
=
Por lo tanto, la excentricidad es e =
5
p 5 2
