´ Indice general 1. Sistema de coordenadas y gr´ aficas aficas
2
1.1. Plano Plano Carte Cartesian sianoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Segmento rectil´ rectil´ıneo dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Sistema Sistema coordenado coordenado lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. 1.1.3. Sistem Sistema a coordena coordenado do en el plano plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Distancia Distancia entre entre dos dos puntos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. 1.2.1. Divisi´ Divisi´ on de un segmento en una raz´on on on dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. 1.2.2. Divisi´ Divisi´ on de un segmento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 1.3. Pendien Pendiente te de una una recta recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Condiciones Condiciones de de paralelismo paralelismo y perpendic perpendicularid ularidad ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.4. Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Resume Resumen n de f´ ormulas ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. 1.6. Gr´ Grafica a´fica de una ecuaci´on on y lugares geom´etricos etrico s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Dos problemas fundamentales de la Geometr´ Geometr´ıa anal´ anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . 1.6. 1.6.2. 2. Gr´ Grafica a´fica de una ecuaci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. 1.6.3. Inter Intercepc cepci´ i´ on on con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. 1.6.4 . Simetr´ıa ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. 1.6.5. Extens Extensi´ i´ on on de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6. 1.6.6 . As´ As´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.7. 1.6.7. Constr Construcc ucci´ i´ on on de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.8. Ecuaciones Ecuaciones factorizabl factorizables es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.9. Intersec Intersecciones ciones de curv curvas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.10. Ecuaci´ Ecuaci´ on on de un lugar geom´etrico etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Problemas.. Problemas.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. 1.7.1. de repaso repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. 1.7.2. de aplicac aplicaci´ i´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La l´ ınea recta
2 2 2 2 2 4 4 5 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 12
2.1. Definic Definici´ i´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ecuaci Ecuaci´ o´n de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada . . . . . . . . on 2.2.1. 2.2.1. Ecuaci Ecuaci´ o´n de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen . . . . . . . on 2.2.2. 2.2.2. Ecuaci Ecuaci´ o´n de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 2.2.3. 2.2.3. Ecuaci Ecuaci´ on o´n sim´etrica etr ica o can´ c an´onica onica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Forma general general de de la ecuaci´ ecuaci´ on on de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Posicione Posicioness relativ relativas de dos rectas rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Forma normal normal de de la ecuaci´ ecuaci´ on de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Reducc Reducci´ i´ on de la forma general de la ecuaci´on on on de una recta a la forma normal . . . . . 2.6. Aplicacione Aplicacioness de la forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
12 12 12 12 12 14 14 14 14 16
´ INDICE GENERAL
´ 2.7. Area de un tri´angulo angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Ecuacione Ecuacioness de la Circunferenci Circunferencia a
3.1. Forma ordinaria ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Forma gener general al de la ecuaci´ ecuaci´ on on de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 17 18
18 18
Cap´ıtulo 1
Sistema de coordenadas y gr´ aficas 1.1.
Plano Cartesiano
1.1.1.
Segmento rectil´ıneo dirigido
1.1.2.
Sistema coordenado lineal
1.1.3.
Sistema coordenado en el plano
1.2.
Distancia entre dos puntos
Ejercicio:
1. En los ejercicios siguientes, encuentra la distancia entre los puntos citados.
√
√
a ) A(1, −3), B(2, 5)
d ) A( 2, 1), B(2 2, 3)
c ) A(1/2, 3/2), B(−5/2, 2)
e ) A( 3, − 2), B(−3 3,
b ) A(3, −2), B(3, −4)
√
√
√ √
2)
2. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son colineales. a ) A(2, 1), B(4, 3), C (−1, −2) b ) A(−2, 3), B(7, −2), C (2, 5) c ) A(1, −1), B(3, 3), C (0, −3)
3. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son los v´ertices de un tri´ angulo rect´ angulo. a ) A(0, 2), B(−2, 4), C (1, 3)
b ) A(9, 6), B(−5, 4), C (7, 10)
4. En los ejercicios siguientes, encuentra la cantidad desconocida.
√ 5 √
a ) A(1, 5), B(x, 2), AB = 5
c ) A(x, x), B(1, 4), AB =
b ) A(−3, y), B(9, 2), AB = 13
d ) A(x, 2x), B(2x, 1), AB =
2
5. Uno de los extremos de un segmento rectil´ıneo de longitud igual a 17 es el punto A(1, −11); si la ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa (dos soluciones). 2
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
3
6. Demuestra que los puntos A(−2, 2), B(3, 1) y C (−1, −6) son los v´ertices de un tri´angulo is´ osceles. 7. Demuestra que P (5, 2) est´ a en la mediatriz del segmento AB, en el que A(1, 3) y B(4, −2). 8. Demuestra que (−2, 4), (2, 0), (2, 8) y (6, 4) son los v´ertices de un cuadrado. 9. Demuestra que (1, 1), (4, 1), (3, −2) y (0, −2) son los v´ ertices de un paralelogramo. 10. Encuentra el centro y el radio del c´ırculo circunscrito al tri´ angulo cuyos v´ertices son (5, 1), (6, 0), y (−1, −7). 11. Encuentra el punto que se halla sobre el eje X y es equidistante de los puntos A(14, −2) y B(−4, 6). 12. Dos de los v´ertices de un tri´angulo equil´ atero son los puntos A(7, 2) y B(2, 2), halla las coordenadas del tercer v´ertice (dos soluciones). 13. Como se muestra en la figura 1.1, con frecuencia se emplean coordenadas para determinar las ubicaciones en los mapas. Sup´on que hay una red de calles que siguen las l´ıneas de la figura, y que hay una calle diagonal que representa la l´ınea inclinada. Si cada cuadrado de la red tiene 1 km por lado, calcula la distancia de X a Y . on. a ) Supongamos que, en la figura 1.1, se cierra la parte de la carretera de X a Z , por reparaci´ ¿Cu´ al es la distancia de X a Y siguiendo las carreteras alternas existentes? on. ¿Cu´ al es la b ) Supongamos que, en la figura 1.1, el camino de Y a Z se cierra por reparaci´ distancia m´ as corta de Y a Z usando los caminos disponibles?
Figura 1.1:
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
1.2.1.
Divisi´ on de un segmento en una raz´ on dada
1.2.2.
Divisi´ on de un segmento lineal
4
Ejercicio:
1. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido en la relaci´ on indicada. a ) A(5, −3), B(−1, 6) y
AP PB
b ) A(−1, −3), B(−8, 11) y
= 12 . AP PB
= 34 .
AP
c ) A(2, −1), B(4, 5) y
PB
d ) A(5, 8), B(2, −1) y
PB
AP
= 23 . = 51 .
2. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto medio P m , de los segmentos AB. a ) A(5, −2), B(−1, 4).
c ) A(4, −1), B(3, 3).
b ) A(−3, 3), B(1, 5).
d ) A(−1, 4), B(0, 2).
3. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido en la relaci´ on indicada. a ) A(3, 4), B(7, 0) y
AP AB
AP
b ) A(4, −2), B(−2, −5) y
AB
c ) A(5, −1), B(−4, −5) y
AB
4. Si A(3, 5), P (6, 2) y
AP AB
5. Si P (4, 7), B(2, −1) y
7. Si A(3, 3), P (5, 2) y
AP
AP AB
AP
= 23 .
e ) A(−4, 1), B(3, 8) y
AP
AP
= 15 .
f ) A(−6, 2), B(4, 4) y
AP
AB
AB
AB
= 25 . = 3. = 52 .
= 13 , encuentra B.
AB
6. Si P (2, −5), B(4, −3) y
d ) A(2, 4), B(−5, 2) y
= 14 .
= 25 , encuentra A.
AP AB
= 12 , encuentra A.
= 35 , encuentra B
8. Si P (4, 1) es el punto medio del segmento AB y A(2, 5), determina B. 9. Halla las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento A(3, −5) y B(6, 10); determina tambi´en su punto medio. 10. Los extremos del di´ ametro de una circunferencia son A(3, −2) y B(5, 6); halla las coordenadas del centro. 11. Encuentra el centro y el radio de un c´ırculo circunscrito al tri´ angulo rect´ angulo cuyos v´ertices est´an en (1, 1), (1, 4) y (7, 4). 12. Los puntos medios de los lados de un tri´angulo son (1, 1), (4, 2) y (2, 5); hallar las coordenadas de los tres v´ertices del tri´angulo. 13. Encuentra el punto de intersecci´ on de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´an en (5, 2), (0, 4) y (−1, −1). 14. Determina el punto de intersecci´ on de las diagonales del paralelogramo que tiene sus v´ ertices en (1, 1), (4, 1), (3, −2) y (0, −2).
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
5
15. Tres v´ ertices de un paralelogramo est´ a n en (2, 5), (−7, 1) y (4, −6); determina d´ onde est´a el cuarto v´ertice. [Sugerencia: El cuarto v´ertice puede estar opuesto a cualquiera de los v´ertices ya dados, por lo tanto son tres posibles soluciones] 16. Sup´ o n que, en la figura 1.1, dos veh´ıculos van en direcci´ on contraria a la misma velocidad partiendo de X y Y . ¿En qu´e cuadro de la ret´ıcula se van a encontrar? on que, el autom´ovil que parte de X viaja al doble de velocidad que el que parte de Y . a ) Sup´ ¿En qu´e punto se encontrar´an? on que, el autom´ ovil que parte de X viaja a 30 km por hora, y el que sale de Y a 40 b ) Sup´ km por hora. ¿En qu´ e punto se encontrar´ an? y ¿a qu´e hora?
1.3. 1.3.1.
Pendiente de una recta Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Ejercicio:
1. En los ejercicios siguientes, determina la pendiente, si la hay, y el ´angulo de inclinaci´ o n de la recta que pasa por los puntos dados. a ) (2, 3) y (5, 8) b ) (−1, 4) y (4, 2)
c ) (−2, −2) y (4, 2)
d ) (3, −5) y (1, −1)
e ) (−4, 2) y (−4, 5) f ) (2, 3) y (−4, 3) g ) (a, a) y (b, b)
2. En los ejercicios siguientes, determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos citados. A continuaci´on determina si las rectas son paralelas, coincidentes, perpendiculares, o no caen bajo ninguna de esas clasificaciones. a ) (1, −2) y (−2, 11); (2, 8) y (0, 2)
e ) (1, 1) y (4, −1); (−2, 3) y (7, −3)
b ) (1, 5) y (−2, −7); (7, −1) y (3, 0)
f ) (1, −4) y (6, 1); (2, 3) y (−1, 6)
d ) (1, 3) y (−1, −1); (0, 2) y (4, −2)
h ) (1, 5) y (1, 1); (−2, 2) y (−2, 4)
c ) (1, 5) y (−1, −1); (0, 3) y (2, 7)
g ) (1, 2) y (3, 2); (4, 1) y (4, −2)
3. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es paralela a un cuya pendiente es 3, determina x. 4. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es perpendicular a un cuya pendiente es 3, determina x. 5. Si la recta que pasa por (x, 1) y (0, y) es coincidente con la que pasa por (1, 4) y (2, −3), encuentra x y y. 6. Demuestra que los puntos A(−2, 1), B(2, 5) y C (8, −1) son los v´ertices de un tri´angulo rect´ angulo. 7. Demuestra que los puntos A(6, 5), B(9, 9), C (5, 6) y D(2, 2) son los v´ertices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 8. Demuestra que los puntos A(2, 4), B(7, 3), C (6, −2) y D(1, −1) son los v´ertices de un cuadrado, que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales. 9. Determina la pendiente del tejado que se muestra en la figura 1.2.
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
6
10. La direcci´ on, o rumbo, de un avi´on o una embarcaci´on, se expresa casi siempre de acuerdo con el modelo N 30o E, que quiere decir 30 o hacia el Este del Norte. Si un barco navega hacia un faro que est´a a 10 Km al Norte y 4 al Este, ¿cu´al es el rumbo del barco? 11. Sup´ on que, en el ejercicio anterior, el barco cambia de rumbo despu´es de haber navegado hasta la mitad del camino hacia el faro. Desde ese lugar se dirige hacia un buque de espera que est´ aa 4 Km al Este del faro. ¿Cu´ al es el rumbo en ese nuevo recorrido?
Figura 1.2:
1.4.
´ Angulo entre dos rectas
Ejercicio:
1. En los ejercicios siguientes, determina el ´angulo entre las rectas l1 y l2, cuyas pendientes respectivas son m1 y m2 . los puntos dados. a ) m1 = −2 y m2 = 3. b ) m1 = 1 y m2 = 4.
c ) m1 = −3 y m2 = 2.
d ) m1 = 5 y m2 = −1.
e ) m1 = 10 y m2 no existe. f ) m1 = 0 y m2 = −1. g ) m1 =
2 3
y m2 no existe.
2. En los ejercicios siguientes, determina el ´angulo entre las rectas l1 y l2 , donde l1 y l2 , contienen los puntos indicados. a ) l1 : (1, 4), (3, −1); l2 : (3, 2), (5, −1)
b ) l1 : (2, 5), (−3, 10); l2 : (−1, −3), (3, 3) c ) l1 : (4, 5), (1, 1); l2 : (3, −3), (0, 4)
d ) l1 : (1, 1), (0, 5); l2 : (4, 6), (−1, 2)
e ) l1 : (3, 4), (3, −1); l2 : (2, 5), (−1, 2) f ) l1 : (−1, 2), (−1, −1); l2 : (−3, 4), (1, 0) g ) l1 : (5, 1), (3, −3); l2 : (5, 1), (5, −3)
3. Encuentra la pendiente de la recta que bisecta al ´angulo entre l1 y l2 . Esas rectas tienen las pendientes respectivas m1 y m2 . a ) m1 = 3 y m2 = −2
e ) m1 = −3 y m2 = 5
b ) m1 = 1 y m2 = −7
f ) m1 = 2 y m2 = 0
d ) m1 = −1 y m2 = 2
g ) m1 =
c ) m1 = 2 y m2 = 3
3 4
y m2 no existe
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
7
4. Calcula los a´ngulos interiores del tri´ angulo cuyos v´ertices est´an en: a ) A(1, 5), B(3, −1) y C (−1, −1). b ) A(3, 2), B(4, 5) y C (−1, −1).
5. Encuentra la pendiente de la recta l1 , tal que el a´ngulo entre l1 y l2 es tan−1 a (2, 1) y (−4, −5).
3 4
, y l2 contiene
6. Determina la pendiente de la recta l1, si el ´angulo entre l1 y l2 es 45o , y la pendiente de l2 es −2. 7. Dos rectas se cortan formando un ´angulo de 45o . La recta inicial pasa por los puntos (−2, 1) y (9, 7), y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es (−2); hallar la ordenada de A. 8. Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, 3), C (8, 0) y D(4, −2) son los v´ ertices de un paralelogramo, y hallar su a´ngulo obtuso. 9. Hallar el a´rea del tri´ angulo cuyos v´ertices son A(1, −3), B(3, 3) y C (6, −1) empleando el seno del a´ngulo BAC . 10. Demuestra que A(−1, 0), B(4, 6) y C (10, 1) son lo v´ertices de un tri´ angulo is´ osceles. 11. Demuestra que los tres puntos A(2, 5), B(8, −1) y C (−2, 1) son los v´ ertices de un tri´ angulo rect´ angulo, y hallar sus ´angulos agudos. 12. Demuestra que los cuatro puntos A(2, 4), B(7, 3), C (6, −2) y D(1, −1) son los v´ ertices de un cuadrado, y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.
1.5.
Resumen de f´ ormulas
1.6.
Gr´ afica de una ecuaci´ on y lugares geom´ etricos
1.6.1.
Dos problemas fundamentales de la Geometr´ıa anal´ıtica
1.6.2.
Gr´ afica de una ecuaci´ on
1.6.3.
Intercepci´ on con los ejes
1.6.4.
Simetr´ıa
1.6.5.
Extensi´ on de una curva
1.6.6.
As´ıntotas
1.6.7.
Construcci´ on de curvas
Ejercicio:
1. En cada uno de los ejercicios siguientes, construir la curva correspondiente a la ecuaci´ on dada. a ) xy − 2y − 3 = 0.
e ) xy − 3y − y = 0.
b ) xy − 2y − 1 = 0.
f ) xy − 2y − 3 = 0.
d ) x3 + x − y = 0.
h ) x2 − 2xy + y 2 − 6x − 6y + 3 = 0.
c ) x4 + y 4 = 16.
g ) x4 − 4y 2 − y = 0.
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
i ) x3 − 3x2 − y 2 + 3x − 2y − 2 = 0.
j ) xy2 − 9x − y − 1 = 0. k ) x2 − xy + 5y = 0.
1.6.8.
Ecuaciones factorizables
1.6.9.
Intersecciones de curvas
8
l ) xy2 + 2xy − y 2 + x = 0.
m ) x2 y 2 − 4x2 − 4y 2 = 0. n ) y 3 + x2 y − x3 = 0.
Ejercicio:
1. En cada uno de los ejercicios siguientes, factorizar la ecuaci´ on correspondiente y trazar la gr´afica. a ) x2 − 4y 2 = 0.
d ) x3 − x2y − xy + y 3 = 0.
c ) 6x2 + xy − 2y 2 + 7x + 7y − 3 = 0.
e ) x2 y + x3 − xy2 + xy + 2x = 0.
b ) x3 − x2 y − 2xy2 = 0.
2. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar, anal´ıtica y gr´ aficamente, los puntos de intersecci´ on, cuando los hay, para las curvas dadas. a ) 2x − y − 1 = 0; 3x + y − 9 = 0
d ) x2 + y 2 = 8; y 2 = 2x.
c ) x2 − y = 0; y 2 − x = 0.
e ) x2 + y 2 = 13; xy = 6.
b ) 2x + y − 5 = 0; 3x + 3y + 7 = 0.
1.6.10.
Ecuaci´ on de un lugar geom´ etrico
es de obtener Ejercicio: En cada uno de los ejercicios siguiente se recomienda al lector que, despu´ la ecuaci´ on del lugar geom´etrico, construya la curva de acuerdo con los ejemplos vistos. 1. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que: a ) Se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje Y ;
a siempre a 4 unidades arriba del eje X ; b ) Est´ a siempre a igual distancia de los ejes X y Y . c ) Est´ 2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje X . Hallar la ecuaci´ on de su lugar geom´etrico y dar su interpretaci´ on geom´etrica. 3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 3) es siempre igual a 5. Hallar la ecuaci´ on de su lugar geom´etrico y dar su interpretaci´ on geom´etrica. 4. Una recta contiene los dos puntos A(−1, 5) y B(1, 3). Expresar, anal´ıticamente, el hecho de que un punto cualquiera P (x, y) est´ a sobre la recta. Deducir la ecuaci´on de la recta. 5. Una recta l, que pasa por el punto A(−5, 1), es perpendicular a otra cuya pendiente 12 . Expresar, anal´ıticamente, el hecho de que un punto cualquiera P (x, y) est´ a sobre la recta l, y deducir, de aqu´ı, su ecuaci´on. 6. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual a su distancia del punto A(0, 4). Hallar la ecuaci´ on de su lugar geom´etrico.
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
9
7. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A(2, −2) y B(4, 1) es siempre igual a 12. (Dos casos) 8. Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) y B(−3, 0) es siempre igual a 8. 9. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) y B(−3, 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuaci´on de su lugar geom´etrico. 10. Un c´ırculo de radio 4 tiene su centro en el punto C (1, −1). Hallar la ecuaci´ on del lugar geom´etrico de los puntos medios de todos sus radios.
1.7. 1.7.1.
Problemas... de repaso
1. Determina el punto de intersecci´ o n de 2x + y = 5 con x − 3y = 7. 2. Utiliza las distancias para determinar si los tres puntos (1, 5), (−2, −1) y (4, 10) son colineales. Comprueba tu resultado utilizando pendientes. 3. Determina las longitudes de las medianas del tri´ angulo cuyos v´ertices est´a n en (−3, 4), (5, 5) y (3, −2). 4. Determina a x de tal modo que (x, 1) est´e en la recta que une a (0, 4) y (4, −2). 5. Determina las pendientes de las alturas del tri´ angulo cuyos v´ertices son (−2, 4), (3, 3) y (−5, −2). 6. Determina los puntos de trisecci´ on del segmento que une a (2, −5) con (−3, 7). 7. Determina los puntos de intersecci´ on de x − 7y + 2 = 0 con x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0. Traza la gr´afica. 8. Determina el punto de intersecci´ on de las medianas del tri´angulo cuyos v´ertices est´ an en (4, −3), (−2, 1) y (0, 5). 9. Determina el centro del c´ırculo circunscrito al tri´angulo cuyos v´ertices est´a n en (−1, 1), (6, 2) y (7, −5). 10. Un cuadrado tiene todos sus v´ertices en el primer cuadrante, y uno de los lados une a (3, 1) con (6, 3). Determina el lugar de los otros dos v´ertices. 11. Deduce una ecuaci´ on del conjunto de puntos (x, y) tales que el a´ngulo entre el eje X y la recta que une al origen con (x, y) es igual a y. 1.7.2.
de aplicaci´ on
1. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular cuyas coordenadas de sus v´ertices son: A(−1, 2), B(7, 2), C (−1, −4) y D(7, −4) en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe c´ omo hacerlo. Su sobrino, le dice que una manera de lograrlo es uniendo los puntos medios de los lados opuestos y trazando a continuaci´ on las diagonales del rect´ angulo. angulo y comprueba que es correcto el consejo del sobrino. a ) Traza el rect´
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
10
b ) Calcula el per´ımetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo es el
punto P (3, −1). c ) ¿Cu´ a l es el ´area de cada una de las parcelas? d ) ¿Cu´ a l es el ´area total del campo? 2. Para fabricar un papalote dise˜ nado sobre un plano cartesiano que tiene, por coordenadas A(−1/2, 3), B(−5/2, −5), C (9/2, 1) y D(9, −11), se requiere saber: a ) La cantidad de carrizo necesaria para la estructura. b ) La longitud de hilo para los contornos sin considerar los amarres. c ) La cantidad de papel para la cara plana del papalote.
3. En un almac´en se deben colocar tubos de drenaje de 2 metros de di´ ametro; se apilan formando un tri´angulo equil´ atero, tal como se indica en la figura 1.3, cuyos v´ertices de la base son A(2, 2) y B(10, 2).
Figura 1.3: a ) ¿Qu´ e altura debe tener el almac´en? b ) ¿Cu´ ales son las coordenadas del punto C? c ) ¿Cu´ a l es el ´area del tri´angulo rect´ angulo de la figura? d ) ¿Cu´ antos tubos en total se apilan?
4. Un campo de football suele medir 100 yardas de largo y 60 de ancho. Sup´on que el sistema coordenado para los v´ ertices se asigna de la siguiente forma: A(0, 0), B(0, 60), C (100, 60) y D(100, 0) (Ver figura 1.4). a ) ¿Cu´ ales son las coordenadas del centro del campo? b ) ¿Cu´ a l es el ´area total del campo? c ) ¿Cu´ a l es el ´area del tri´angulo AP B?
5. Para el tendido de cable el´ectrico sobre un terreno monta˜ noso se requieren cinco postes, los cuales deben estar separados a distancias iguales. Si uno de los extremo del cable es el punto A(9, 5) y el otro extremo es B(−13, 1), averigua las coordenadas de los puntos donde deben colocarse los 5 postes desde B hasta A.
´ CAP ´ ITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS
Figura 1.4:
11
Cap´ıtulo 2
La l´ınea recta 2.1.
Definici´ on
2.2.
Ecuaci´ o n de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
2.2.1.
Ecuaci´ on de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen
2.2.2.
Ecuaci´ o n de la recta que pasa por dos puntos
2.2.3.
Ecuaci´ on sim´ etrica o can´ onica de la recta
Ejercicio:
1. Halla la ecuaci´ o n de la recta dados un punto por el que pasa y su pendiente o su ´angulo de inclinaci´on, y adem´ as traza la gr´afica. a ) (2, −4), m = −2 b ) (2, 2), m = 1 c ) (9, 0), m = 1 d ) (4, −2), m = 0
e ) (2, 5), sin pendiente
f ) (7, 4), θ = 60o g ) (5, −2), θ =
3π 4
2. Halla la ecuaci´ on de la recta dados su intersecci´on con el eje Y y su pendiente m.
−3, m = − 35 b ) 2, m = −5
a ) c)
6 5
d )
− 83 , m = 16
,m=4
3. Halla la ecuaci´ on de la recta dados dos puntos por los que pasa, y adem´as traza la gr´ afica. a ) (1, 4), (3, 5) b ) (3, 3), (1, 1) c ) (0, 0), (1, 5)
12
CAP ´ ITULO 2. LA L´ INEA RECTA
13
d ) (2, 3), (5, 3) e ) (5, 1), (5, 3)
4. Halla la ecuaci´ on de la recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y se indican respectivamente. a ) A(−5, 0), B(0, −2) b ) A(3, 0), B(0, 1) c ) A( 52 , 0), B(0,
11 4
)
d ) A(7, 0), B(0, −5)
5. Los v´ertices de un cuadril´ atero son A(0, 0), B(2, 4), C (6, 7) y D(8, 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. 6. Halla la ecuaci´ on de la recta que es perpendicular a la recta 5x − 3y − 15 = 0 y pasa por el punto A(−3, 2). 7. Hallar la ecuaci´ on de la mediatriz del segmento A(−3, 2), B(1, 6). 8. Halla la pendiente e intersecciones con los ejes coordenados para la recta 4x + 3y + 13 = 0. 9. Una recta pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (−2, 2) y D(3, −4). Hallar su ecuaci´ on. 10. Hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(−2, 4), e intercepta al eje X en
−9.
11. Demostrar que los puntos A(−5, 2), B(1, 4) y C (4, 5) son colineales hallando la ecuaci´ o n de la recta que pasa por dos de estos puntos. 12. Hallar la ecuaci´ on de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y − 15 = 0. 13. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya pendiente es las rectas 2x + y − 8 = 0 y 3x − 2y + 9 = 0.
−4, y que pasa por el punto de intersecci´on de
14. Halla la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto de intersecci´on de las rectas x + 5y − 4 = 0 y 2x − 3y = 0 15. Se sabe que el agua se congela a 0 o C o 32oF , y que hierve a 100 o C o 212o F . Tambi´en que la relaci´ on entre la temperatura expresada en grados Celsius (C ), y en grados Fahrenheit (F ), es lineal. Encuentra esa relaci´ on. 16. A la empresa Zapatos Finos le cuesta 9500 fabricar 100 pares de zapatos diarios y 150 pares 12250. Suponiendo que el costo es funci´ on lineal de la cantidad fabricada, determina el costo en funci´ on de la cantidad fabricada. Interpreta las constantes en tu resultado.
CAP ´ ITULO 2. LA L´ INEA RECTA
2.3. 2.3.1.
14
Forma general de la ecuaci´ o n de una recta Posiciones relativas de dos rectas
Ejercicio:
1. Hallar la ecuaci´ on de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (−2, 4) y tiene una pendiente igual a −3. 2. Hallar la ecuaci´ on de una recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y , es decir, sus intercepciones, son 3 y −5, respectivamente. 3. Hallar la ecuaci´ on de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x − 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (−1, −3). 4. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x − 9y + 2 = 0. 5. Hallar la pendiente, a´ngulo de inclinaci´ on y las intercepciones de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x − 7y + 2 = 0. 6. Demostrar que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 37 = 0, 2x − y − 16 = 0 y x − 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales. 7. Demostrar que las rectas 5x − y − 6 = 0, x + 5y − 22 = 0, 5x − y − 32 = 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado. 8. Hallar el ´angulo agudo formado por las rectas 4x − 9y + 11 = 0 y 3x + 2y − 7 = 0. 9. Demostrar que las tres rectas 3x − 5y +7 = 0, 2x + 3y − 8 = 0 y 6x − 7y +8 = 0 son concurrentes. 10. Los v´ ertices de un tri´ angulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar que el baricentro (punto de intersecci´ on de las medianas), el circuncentro (punto de intersecci´on de las mediatrices) y el ortocentro (punto de intersecci´on de las alturas) son colineales. 11. Determina el valor de k para la ecuaci´ on 2x + 3y + k = 0, que forma con los ejes coordenados un tri´angulo de a´rea igual a 27 unidades cuadradas. 12. Halla el valor de k para que la recta de ecuaci´on 3x + 4ky − 24 = 0 pase por el punto A(−8, 3). 13. Halla el valor de k de manera que: a ) 5kx + 3y + k − 4 = 0 pase por el punto P (−3, 6).
− 11 = 0 tenga de pendiente 83 . c ) kx − 3y = 6k − 12 tenga de abscisa en el origen 4. b ) 6x − ky
2.4.
Forma normal de la ecuaci´ o n de la recta
2.5.
Reducci´ on de la forma general de la ecuaci´ o n de una recta a la forma normal
Ejercicio:
1. Hallar la ecuaci´ on de una recta en la forma normal, siendo ω = 60o y p = 6.
CAP ´ ITULO 2. LA L´ INEA RECTA
15
2. Una √ recta es tangente a un c´ırculo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangencia es (2, − 5), halla la ecuaci´ on de la tangente en la forma normal. 3. La ecuaci´on de una recta en la forma normal es x cos ω + y sen ω − 5 = 0. Hallar el valor de ω para que la recta pase por el punto ( −4, 3). 4. Reducir la ecuaci´ on 12x − 5y − 52 = 0 a la forma normal, y hallar los valores de p y ω. 5. Hallar la distancia del origen a la recta 2x − 3y + 9 = 0. 6. Determinar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky − 7 = 0 sea 2. 7. Hallar la ecuaci´ on de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto (1 , 7). (Dos soluciones) 8. La pendiente de una recta es ciones)
−3. Hallar su ecuaci´on si su distancia del origen es 2. (Dos solu-
9. Hallar la forma normal de la ecuaci´ on de la recta que pasa por los dos puntos A(−1, 7) y B(4, 2). 10. Los v´ ertices de un tri´ angulo son A(−4, 2), B(−1, 5) y C (2, −1). Hallar las ecuaciones de las alturas en la forma normal.
CAP ´ ITULO 2. LA L´ INEA RECTA
2.6.
16
Aplicaciones de la forma normal
Ejercicio:
1. Determina la distancia absoluta de las siguientes rectas dadas al punto indicado a ) 4x − 5y − 13 = 0 al punto A(7, −1). b ) 2x + 5y + 10 = 0 al punto C (1, 3).
c ) 3x − 4y + 2 = 0 al punto P (5, −2).
2. Determina la distancia comprendida entre las siguientes rectas paralelas. a ) x − y − o = 0 y x − y + 3 = 0.
b ) 6x + 5y − 82 = 0 y 6x + 5y + 2 = 0.
c ) x − 5y + 7 = 0 y 2x − 10y − 12 = 0.
3. Los v´ ertices de un tri´ angulo son A(2, 3), (5, 7) y C (−3, 4). Determina la longitud de la altura del v´ertice A sobre el lado BC y el ´area del tri´angulo dado. 4. Determina la ecuaci´on de la paralela a la recta 2x − 3y + 9 = 0 y distante 3 unidades de ella (dos soluciones). 5. La distancia de la recta 2x + 5y − 10 = 0 al punto M es (−3), si la abscisa de M es 2, determina su ordenada (doble soluci´ on). 6. La distancia de la recta 4x − 3y + 1 = 0 al punto Q es 4, si la ordenada de Q es 3, determina su abscisa (doble soluci´ on). 7. Halla la ecuaci´ on de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas 5x+12y − 12 = 0 y 5x + 12 + 6 = 0. 8. Encuentra las longitudes de las alturas del tri´ angulo cuyos v´ertices est´an en A(1, 2), B(5, 5) y (−1, 7). 9. Calcula las longitudes de las alturas del tri´ angulo cuyos lados est´ an representados por x+y − 3 = 0, x − 2y + 4 = 0 y 2x + 3y − 5 = 0. 10. Determina las ecuaciones de las bisectrices de los a´ngulos formados por los siguientes pares de rectas dadas y demuestra que dichas bisectrices son perpendiculares entre s´ı. a ) 6x − 8y + 15 = 0 y 8x + 15y − 24 = 0. b ) 5x + 12y − 15 = 0 y 3x + 4y + 8 = 0. c ) 2x − y + 1 = 0 y x + 7y − 1 = 0.
11. Dados los v´ ertices de los siguientes tri´ angulos, determina las ecuaciones de las bisectrices el ´angulo interior ACB , para cada caso. a ) A(−4, 1),
C (3, −3).
B(−3, 3)
b ) A(−2, 1), B(4, 7) y C (6, −3). c ) A(1, −1), B(6, −2) y C (7, 3). y
12. Una tabla est´ a recargada contra una cerca, y forma un a´ngulo de 30o con la horizontal. Si la tabla tiene 4 m de longitud, ¿cu´ al es el di´ametro del tubo m´as grande que puede caber entre la tabla, el terreno y la cerca? (Ver figura 2.1)
CAP ´ ITULO 2. LA L´ INEA RECTA
17
Figura 2.1: 13. En la figura 2.2 vemos una peque˜ na parte de la carretera interestatal 197. La carretera FM 125 corre de Norte a Sur, y FM 238 corre de Este a Oeste. ¿A qu´e distancia est´ a arcadia de la 197?
Figura 2.2:
2.7.
´ Area de un tri´ angulo
Ejercicio:
1. Calcula el a´rea de los pol´ıgonos cuyos v´ertices se indican: a ) A(1, −2), B(1, 2) y C (−2, −2) b ) A(−1, 5), B(−5, 2) y C (6, −1)
c ) A(6, 5), B(3, −3), C (−5, −5) y D(4, −4)
d ) A(2, 7), B(5, 5), C (4, 2), D(6, −4), E (1, −7) y F (−5, −2)
2. Una recta pasa por el punto A(−6, 7) y forma con los ejes coordenados un tri´angulo de a´rea igual a 10 12 . Hallar su ecuaci´on. 3. La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10. Hallar la ecuaci´ on de la recta si forma con los ejes coordenados un tri´angulo de a´rea 12. 4. Hallar la ecuaci´ o n de la recta que pasa por la intersecci´o n de las dos rectas 3x 2x − 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados un tri´angulo de a´rea 8.
− 4y = 0,
Cap´ıtulo 3
Ecuaciones de la Circunferencia 3.1. 3.1.1.
Forma ordinaria Forma general de la ecuaci´ on de la circunferencia
Ejercicio:
1. Deduce una ecuaci´ on del c´ırculo que se describe en los problemas, en la forma normal y en la forma general. a ) Centro en (1, 3); Radio 5.
c ) Centro en (1/2, −3/2); Radio 2.
b ) Centro en (5, −2); Radio 2.
2. Los extremos del di´ametro de una circunferencia son los puntos que a continuaci´on se indican; determina la ecuaci´ on de la curva en su forma ordinaria y general; a ) A(−7, 0) y B(0, 4).
c ) A(5, −2) y B(7, 2).
b ) A(6, −2) y B(−4, 3).
d ) A(−2, −4) y B(1, 2).
3. Reduce las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuaci´ on de la circunferencia; si la ecuaci´ on dada representa una circunferencia, halla su centro y su radio. a ) x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0
d ) 5x2 + 5y 2 − 8x − 4y − 121 = 0
c ) 4x2 + 4y 2 − 4x − 12y + 1 = 0
f ) 36x2 + 36y 2 − 48x − 36y + 25 = 0
b ) x2 + y 2 + 6x − 16 = 0
e ) 9x2 + 9y 2 − 6x + 18y + 11 = 0
4. Deduce una ecuaci´ on del c´ırculo que tiene radio 3 y es tangente a ambos ejes coordenados; En la forma normal y en la forma general. 5. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia cuyo centro es C (3, −6) y que es tangente al eje Y . 6. La ecuaci´on de una circunferencia es (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16; demuestra que el punto A(4, −2) es interior a la circunferencia y que el punto B(7, −5) es exterior. 7. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia cuyo centro es C (−2, 5) y que es tangente a la recta x = 7. 8. Halla la ecuaci´ on de la circunferencia de radio 7 y cuyo centro en el punto de intersecci´on de las rectas 3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0. 18
CAP ´ ITULO 3. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
19
9. Determina la ecuaci´ on de la mediatriz de la cuerda x − 7y + 25 = 0 que pertenece a la circun2 2 ferencia x + y = 25; demuestra que pasa por el centro de la circunferencia. 10. Una cuerda de la circunferencia x2 + y 2 = 9 est´a sobre la recta cuya ecuaci´on es 4x +3y − 12 = 0; determina la longitud de la cuerda. 11. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia circunscrita e inscrita al tri´angulo cuyos v´ertices son: a ) A(5, 3), B(2, 0) y C (7, 1). b ) A(10, 2), B(3, 9) y C (−2, −1).
c ) A(4, −2), B(−5, 1) y C (2, 3).
12. Determina la ecuaci´ on de la circunferencia circunscrita e inscrita al tri´angulo cuyas ecuaciones de sus lados son: a ) x + 2y − 5 = 0, 2x + y − 7 = 0 y x − y + 1 = 0.
b ) x − y − 1 = 0, 9x + 2y + 13 = 0 y 3x + 8y − 47 = 0. c ) x − y − 9 = 0, 5x + y + 9 = 0 y x + 2y − 18 = 0.
13. Una mezquita tiene una entrada ”de cerradura”formada por un rect´angulo rematado por un c´ırculo, como vemos en la figura 3.1. Deduce una ecuaci´on del c´ırculo que tenga esa posici´on respecto a los ejes.
Figura 3.1: 14. Para el tornillo de la figura 3.2, deduce una ecuaci´on del arco circular con respecto a los ejes dados.
Figura 3.2: