Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla by Roberto Cárdenas D.

Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla

Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile

Roberto Cárdenas Dobson Ingeniero Civil Electricista, Msc. Ph.D

1 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile

Dr. Roberto Cárdenas Dobson


Este apunte ha sido desarrollado para estudiantes de ingeniería eléctrica familiarizados con los conceptos básicos de la máquina de inducción jaula de ardilla y exacto

con el circuito equivalente “

” y aproximado de las máquinas de inducción. Si usted no tiene estos conocimientos, probablemente no debería cursar esta asignatura.

Parte importante del contenido de este apunte ha sido basado en el material entregado por el Professor Greg Asher, actual vicedecano de la facultad de Ingeniería, Universidad de Nottingham, a los alumnos de postgrado del área de electrónica de potencia y accionamientos. Este ex-alumno del PEMC group agradece al Professor Asher su consentimiento a que parte de su material gráfico sea utilizado. Otra parte no menor de este apunte ha sido basada en artículos de divulgación científica, principalmente publicados en revistas de la IEEE y escritos por académicos de la comunidad internacional de “power electronics and drives”. El objetivo de este material es apoyar los contenidos entregados en clases. En ningún caso se ha escrito con el objetivo de que este material que por sí solo sea autosuficiente para entender todos los conceptos requeridos en esta área. Se recomienda imprimir este apunte utilizando una impresora láser en colores. De esta forma se entenderán en mejor forma algunas de las figuras y gráficos.




INDICE

I.

INTRODUCCION

5

1.1.

Datos Generales.

6

1.2.

Modelo en estado estacionario de la máquina jaula de ardilla.

7

1.3.

Necesidad de control vectorial en máquinas de jaula de ardilla.

9

II. ECUACIONES DINAMICAS DE LA MAQUINA JAULA DE ARDILLA

13

2.1.

Introducción.

14

2.2.

Flujos giratorios.

14

2.3.

Transformación -.

16

2.4.

Relación entre los flujos de la máquina de inducción jaula de ardilla.

18

2.5.

Ecuaciones de la máquina jaula de ardilla en coordenadas -.

20

2.6.

Variables en eje rotatorios d-q.

24

2.7.

Algunos problemas simples.

29

III. CONTROL VECTORIAL DE LA MAQUINA JAULA DE ARDILLA 3.1.

Transformando la dinámica de la máquina de inducción desde coordenadas - a d-q.

3.2.

33 34

Uso de la transformada de Laplace desplazada en frecuencia para transformar Ecuaciones diferenciales desde coordenadas - a d-q y viceversa.

37

3.3.

Orientación en el flujo de rotor.

39

3.4.

Calculo del torque en la máquina jaula de ardilla.

42

3.5.

Esquema de control vectorial directo.

44

3.6.

Esquema de control vectorial indirecto.

49

3.7.

Problemas.

52

IV. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 4.1.

56

Aspectos generales.

57 3

Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



4.2.

Uso de términos de desacoplamiento.

57

4.3.

Diseño de sistemas de control utilizando altas frecuencias de muestreo.

59

4.4.

Influencia de los términos de desacoplamiento en el desempeño del sistema.

64

4.5.

Implementación digital.

67

4.6.

Implementación del sistema de control con menor frecuencia de muestreo.

71

V. MODELACION Y SIMULACION DE LA MAQUINA JAULA DE ARDILLA EN COORDENADAS - 5.1.

Ecuaciones de estado.

5.2.

Expresiones matemáticas relacionadas con el modelamiento de la máquina de

73 74

Inducción jaula de ardilla.

79

5.3.

Ejemplo de implementación de un modelo en Matlab y Simulink.

81

5.4.

“Partida” de la máquina.

85

5.5.

Dinámica de los lazos de corriente de estator.

87

5.6.

Pérdida de orientación del sistema de control vectorial.

90

5.7.

Apéndice. Rutinas Matlab utilizadas.

95

VI. CONTROL A FLUJO DEBILITADO

98

6.1.

Introducción

6.2.

Control a flujo debilitado utilizando la ecuación simplificada.

100

6.3.

Control a flujo debilitado óptimo.

101

6.4.

Consideraciones al operar a flujo debilitado.

105

VII. REFERENCIAS

99

110




Capítulo I INTRODUCCION




I.

Introducción

1.1 Datos Generales La máquina de inducción jaula de ardilla es una de las construcciones más ingeniosas existentes. Esta máquina es robusta, tiene una eficiencia que es considerada razonable y además requiere poco mantenimiento. Una alta fracción de toda la energía generada a nivel mundial es consumida por máquinas de inducción jaula de ardilla. Comparada con su símil, la máquina de inducción de rotor bobinado, la tipo jaula de ardilla tiene la ventaja de no requerir de devanados ni escobillas en el rotor. Algunas cifras relacionadas con las aplicaciones de la máquina tipo jaula, se presentan en la Fig. 1.1 (ver [1]) . ALGUNAS CIFRAS DE LA MÁQUIN A DE INDUCCI ÓN TRIFÁSICA •

60% de la energía eléctrica generada a nivel mundial se utiliza en máquinas rotatorias.

•

>90% de esto  Máquinas de inducción.

•

La máquina de inducción es la pieza de equipamiento eléctrico que mas energía consume a nivel mundial.

Rangos de Potencia •

100-500W ventiladores pequeños.

•

1-50kW ventiladores, bombas, ascensores, correas transportadoras.

•

500kW bombas de agua, minería del carbon.

•

1MW Trenes de alta velocidad.

•

10MW motores de barcos y naves militares.

Fig. 1.1 Características principales de la máquina jaula de ardilla.

Los aspectos constructivos de la máquina jaula de ardilla se muestran en Fig. 1.2. El rotor está compuesto fundamentalmente por fierro laminado, en cuya superficie se encuentran barras de aluminio cortocircuitadas por anillos. En el estator se encuentran devanados trifásicos los cuales están desfasados por 120. Sólo el estator se alimenta en una máquina tipo jaula, debido a que no existen devanados en el rotor. 6 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



B’

A

A

A C’

VA

Fierro

Barras Aluminio C

B A’ A’

A’

Rotor (vista horizontal)

Ani llos del extremo 

El estator tiene 3 devanados AA’, BB’, CC’ bobinados con 120 de desfase espacial.



Los devanados de estator son conectados al red 3 .



El rotor no tiene devanados.





Estator alimentado por corrientes 3 desfasadas120 en el tiempo para crear un campo magnético rotatorio. Utiliza una jaula de barras de aluminio. Corrientes se inducen en esta jaula.

Fig. 1.2 Características constructivas de la máquina jaula de ardilla.

1.2 Modelo en Estado Estacionario de la Máquina Jaula de Ardilla. Antes del desarrollo de interruptores de alta velocidad, la máquina de inducción se alimentaba directamente de la red, a frecuencia y voltaje constantes. Por este motivo en la mayor de los cursos de ingeniería eléctrica se enseñaba (o se enseña) solo el modelo en estado estacionario de esta máquina. En este caso se entiende por estado estacionario cuando las corrientes y voltajes en el estator son sinusoidales de frecuencia, magnitud y fase constantes. El modelo convencional de la máquina tipo jaula es mostrado en la Fig. 1.3. La impedancia serie del estator y rotor dependen del flujo de dispersión y de la resistencia de los devanados. La corriente del rotor normalmente se refiere al lado del estator. El deslizamiento “ s” ( no confundir

con el operador de Laplace) se define como:



Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla IS

RS

lS

VS

IR

RR s

lR

RR s

RR

Pérdidas

LM

RR ( 1 s ) s Potencia Mecánica

Im 

 

Vs , IS Voltaje y corriente efectiva por fase IR Corriente efectiva de rotor por fase Im Componente de la corriente de estator que magnetiza la máquina.



L0



lr ls

Inductancia magnetizante Inductancias de dispersión de rotor y estator



Lr

Inductancia de rotor,



Ls

 

Lr Inductancia de estator, Ls

 Lo  lr  Lo  ls

Resistencia de estator, Rr Resistencia de rotor. Coeficientes de dispersión de estator y rotor l l 1  r  r  s  s  1   Lo 1   r (1   s ) r s Lo Rs

Fig. 1.3. Modelo en estado estacionario de la máquina de inducción.

 

(1.1)

Donde e es la frecuencia del estator y r es la velocidad rotacional. El torque producido por la máquina tipo jaula es proporcional al deslizamiento (en el rango de operación). Una expresión aproximada para el torque es:

    Donde “p”

(1.2)

es el número de polos. En la Fig. 1.4 se muestra el torque en función del

deslizamiento en la zona lineal con respecto a “s”.

En general la curva de deslizamiento en todo

el rango de operación corresponde a lo mostrado en la parte superior de la Fig. 1.4. Sin embargo en la zona de operación de la máquina en estado estacionario, es decir con un deslizamiento típico de un 2% a un 5%, el torque es prácticamente lineal con respecto a “s”. 8 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



T

In Tstart

s=1

s=0.5

T

s=0

r

Bajo valor de Rr

Alto valor de Rr

Pendiente= 3

P 2

Vs

2

ω e Rr

Operación a I n

(La corriente de estator aumenta con el deslizamiento)

r s =1

s = 0.5

s =0

Fig. 1.4. Curva de torque vs. Deslizamiento “s”, típica de una máquina tipo jaula de ardilla.

1.3 Necesidad de Control Vectorial en Maquinas de Inducción Jaula de Ardilla A pesar de las ventajas de la maquina jaula de ardilla en términos de costo, eficiencia y mantenimiento, la operación dinámica del motor de inducción se consideraba inadecuada y por lo tanto no podía competir con la máquina de corriente continua en operación a velocidad variable[1]. Más aun, la máquina jaula de ardilla es prácticamente de velocidad constante cuando se le alimenta directamente de la red. El valor típico de deslizamiento entre 2% a 5% mostrado en la Fig. 1.4 no es apropiado para considerar a la máquina tipo jaula de jaula como

un

motor/generador de velocidad variable. 9 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



Por lo tanto, durante mucho tiempo la máquina de continua, con todos sus problemas de mantenimiento, escobillas que deben ser reemplazadas periódicamente, colector frágil y alto costo, era el candidato natural para las aplicaciones donde regulación precisa de la velocidad en un amplio rango de operación, sumado a alta dinámica de respuesta, son necesarios. Como se muestra en la Fig. 1.5, en una máquina CC., solo dos corrientes, de campo y de armadura son reguladas [2]. Por añadidura la regulación se hace en forma desacoplada, es decir el control de la corriente de armadura es independiente de la regulación de la corriente de campo y viceversa. Adicionalmente, el diseño de los sistemas de control es simple y fácil de realizar con herramientas básicas de control lineal como por ejemplo lugar geométrico de la raíz [3]. Nótese que siguiendo la convención utilizada en control vectorial, el denominado “vector” de corriente (una ficción matemática con la que los físicos posiblemente no estarían de acuerdo) se encuentra perpendicular a la espira(s) en que fluye esta corriente (ver Fig. 1.5b). Como se muestra en la Fig. 1.5b, el control de torque en una máquina cc es muy simple y proporcional a la corriente de armadura. En el caso de la máquina de inducción, la planta entregada por el modelo de la Fig. 1.3 no considera algunos de los efectos dinámicos más importantes. Más aun, el modelo es válido solo cuando la frecuencia y el voltaje aplicado al estator cambian muy lentamente. Adicionalmente, en el caso de la máquina tipo jaula, la magnetización y la corriente de torque son controlados por una sola entrada, en este caso la tensión de estator. Por lo tanto para poder realizar control desacoplado (flujo y torque) de la máquina de inducción es necesario controlar la magnitud y fase del voltaje aplicado, lo cual requiere de modelos matemáticos complejos. La máquina de inducción o tipo jaula de ardilla, comenzó a utilizarse en aplicaciones de velocidad variable cuando los primeros inversores o “variadores de frecuencia” comenzaron a aparecer en forma comercial. Estos estaban basados en dispositivos de conmutación forzada del tipo BJT, o similares. Con los inversores comerciales era posible regular la velocidad de la máquina de inducción cambiando la frecuencia y voltaje de las señales aplicadas al estator. Sin embargo el control utilizado en las primeras aplicaciones, esquemas conocidos como escalares o V/F, no podían alcanzar la misma dinámica de respuesta que una máquina de corriente continua con 10 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



If

ia ia

B or If

B

a) •

f = Lf If por lo tanto el flujo y la corriente de campo están en la misma dirección

•

En términos de vectores el torque s e define como : T

ia

km i a

if

T  k mia i f •

B o vector If o vector f

k ia

sin 

Ψf

 k m ia i f

El ángulo entre la corriente ia e if se mantiene en 90 debido a la acción del conmutador.

b) Fig. 1.5 Operación de la máquina de corriente continua a) Acción de las escobillas sobre el colector. b) Ecuación utilizada para el cálculo de torque en la máquina CC.

excitación independiente y con control de corriente de armadura. Esto se debía a que el esquema de control V/F regula sólo la magnitud del voltaje aplicado al estator, no la fase de este. Por lo tanto al no existir control de fase no es posible desacoplar el control del torque y del flujo cuando el esquema V/F es utilizado. No fue hasta los años 80s, con la introducción de los primeros microprocesadores que podían ser utilizados ventajosamente en sistemas de control digital, por ejemplo el INTEL 8080, INTEL 11 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



8085 y el ZILOG Z80, que comenzaron a aparecer los primeros esquemas de control vectorial, propuestos inicialmente por investigadores alemanes [4][5][6]. Por ejemplo bajo la dirección de Leonhard de la Universidad de Braunschweig, se desarrolló y publicó uno de los primeros artículos en que se demostraba una implementación efectiva de un sistema de control vectorial para una máquina jaula de ardilla [4]. Antes o simultáneamente con Leonhard, Blaschke y otros desarrollaron la teoría [7][8] , pero sus publicaciones en Alemán no tuvieron la misma amplia difusión que la lograda en idioma Inglés en [4] . Además de lo anterior, en los 70s la tecnología de microprocesadores no estaba lo suficientemente avanzada como para posibilitar la implementación física de estos sistemas de control. El resto es historia. La aparición de procesadores digitales de bajo costo, de punto flotante, programables en lenguaje de alto nivel, han masificado las aplicaciones de control digital y ha simplificado la implementación de sistemas de control complejos para máquinas eléctricas y sistemas basados en electrónica de potencia. Los dispositivos semiconductores de alta velocidad de respuesta también han contribuido a la fabricación de inversores comerciales de bajo costo y que son capaces de alimentar con baja distorsión armónica a las máquinas eléctricas. Este apunte se divide de la siguiente forma: En la próxima sección se discuten las ecuaciones dinámicas de la máquina jaula de ardilla. En la sección III se presenta el control vectorial de la máquina. En la sección IV se analiza el diseño e implementación analógica y digital de los lazos de control utilizados en control vectorial. En la sección V se presenta el modelo de la máquina jaula de ardilla en coordenadas d-q y simulación de un sistema de control vectorial indirecto operando a flujo constante. Finalmente en la sección VI se discuten los sistemas de control a flujo debilitado. Este apunte así como las rutinas en MATLAB y SIMULINK utilizadas en la elaboración de este material docente, se encuentran a disposición de los interesados en: https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2011/1/EM722/1/material_docente/ o en: https://sites.google.com/a/usach.cl/rcd/https-sites-google-com-a-usach-cl-rcd.




Capítulo II ECUACIONES DINÁMICAS DE LA MÁQUINA JAULA DE ARDILLA




II Ecuaciones Dinámicas de la Máquina Jaula de Ardilla.

2.1 Introducción Como se señala en el capítulo anterior, el modelo "exacto" de la máquina de inducción jaula de ardilla (mostrado en la Fig. 1.3), frecuentemente enseñado en los cursos iniciales de máquinas eléctricas, es solo apropiado para analizar la máquina en estado estacionario. Por lo tanto no es utilizado para estudiar la respuesta de la máquina en estado transiente, particularmente en sistemas de control vectorial donde se tiene como objetivo obtener altas velocidades de respuesta en las corrientes, torque y velocidad de la máquina de inducción jaula de ardilla. Para este curso se desarrollará un modelo más detallado de la máquina de inducción jaula de ardilla que considera los efectos dinámicos importantes. Por simplicidad existen dos efectos que no serán considerados: 

Pérdidas en el fierro. La mayor parte de los de modelos ignoran estas pérdidas aunque existen publicaciones que estudian su influencia en los esquemas de control vectorial [9][10].



Saturación. Considerar los efectos de saturación magnética no es importante a menos que se estudie la operación de la máquina en flujo debilitado [2], [11], [12]. Esto se discute en las últimas secciones de este apunte.

2.2 Flujos giratorios. Al alimentar los devanados de estator con corrientes trifásicas balanceadas, se producen tres componentes de flujo denominadas

   

. desfasadas 120 grados (equivalentes a 2 /3

radianes) mecánicos entre ellos. El diagrama de la Fig. 2.1 muestra esta situación. Utilizando coordenadas polares, el flujo total es:

   

(2.1) 14




         Donde

es un vector con componentes reales e imaginarias. Asumiendo operación

balanceada se tiene:

(2.2)

Al utilizar (2.2) en (2.1) se tiene:

     

(2.3)

b

b a

a

c c Fig. 2.1. Flujos balanceados desfasados 120 grados

Ecuación (2.3) es relativamente simple de solucionar. Con algo de pirotecnia matemática se obtiene:

   

(2.4)

El ángulo  se incluye en (2.4) para mantener generalidad. De esta forma se consideran los casos en que para t=0, el vector de flujo



tiene una componente compleja distinta de cero.


15 Dr. Roberto Cárdenas Dobson


En este caso se puede ignorar este ángulo sin cometer ningún error. La información importante que entrega (2.4) es que la suma de tres vectores desfasados entre si 120 grados espaciales y a su vez desfasados en 120 grados en el tiempo (ver (2.2)) produce un vector giratorio de módulo constante, cuyo ángulo con respecto al vector de referencia es proporcional a la frecuencia de operación.

2.3 Transformación -. La ecuación 2.4 indica que en coordenadas polares, el vector flujo



puede ser

representado por una parte real y otra imaginaria. Convencionalmente el eje real se denomina como  y al eje imaginario se le denomina  (existen otras convenciones, particularmente entre autores alemanes). Por lo tanto el flujo se puede expresar como:

  

(2.5)

La transformada -

es una transformación de tres señales a dos, comúnmente

denominada de a-b-c a - . En algunas publicaciones se denomina al sistema a-b-c como “coordenadas naturales”

[13] . En general la transformación a-b-c/- se puede representar

esquemáticamente como se muestra en la Fig. 2.2a. Utilizando trigonometría y las Figs. 2.1 y 2.2, el cambio de coordenadas se puede expresar matemáticamente como:

      √ √ 

(2.6)

La transformación desde - a coordenadas a-b-c se puede escribir como:

 √         √

(2.7)




b

Coordenadas a-b-c

Coordenadas -





b a

(3/2) m

 a





c

a)

c

Suponga que en un tiempo dado ia = 3A, ib = 1A, ic = 3A

B

Utilizando estosvalores en (2.6) se obtiene el vector de corriente i.

ib = 1 ic = 3

i = 1

Resultante puede escribirse como i= i +ji donde i = 1; i = -1.73

ia = 3 A

i  = -1.73

C

i

i

t= 0

t= t1

ia

b) Fig. 2.2. Transformación a-b-c /-. a) Esquema general de transformación de 3 a 2 ejes. b) Ejemplo de aplicación. Nótese que las corrientes - se encuentran desfasadas por 90 eléctricos.

Al analizar la Fig. 2.2b se concluye:

  

- Las señales - en estado estacionario se encuentran desfasadas por 90 eléctricos. - La señal  se encuentra en fase con la señal de la fase a. Eso se debe a que

⁄ ⁄ 




2.4. Relación entre los Flujos de la Máquina de Inducción Jaula de Ardilla La máquina de inducción jaula de ardilla tiene ecuaciones similares a las existentes en un transformador. En general una máquina de inducción se puede considerar como un transformador giratorio. Los flujos de la máquina, en un equivalente monofásico, se muestran en la Fig. 2.3. Fig. 2.3a muestra la analogía con un transformador. Fig. 2.3b muestra los flujos de entrehierro y dispersión en las ranuras de rotor y estator que sucede en las ranuras del estator y rotor. Se debe tomar en cuenta que las ranuras de rotor no existen en una máquina tipo jaula (al menos no en la forma mostrada en la figura) y Fig, 2.3b es solo una aproximación. is

ls

lr

ir

o

a) Ranuras de Estator Flujo de entrehierro

ls lr

Ranuras de rotor

b) Fig. 2.3 Flujos de la máquina jaula de ardilla. A) Analogía entre un transformador y la máquina jaula de ardilla. b) Flujos definidos considerando las ranuras existentes entre el devanado del estator y el “devanado” de rotor.




Existen tres flujos en Fig. 2.3. El flujo de dispersión del rotor, el flujo de dispersión del estator y el flujo del entrehierro o. La relación vectorial entre los flujos es:

       ̅ ̅ ̅ ̅ 

(2.8) (2.9)

La relación entre el flujo de entrehierro y la inductancia mutua de la máquina se establece como: (2.10)

Donde Lo es la inductancia mutua existente entre rotor y estator. Los flujos de estator y rotor se establecen como:

 ̅  ̅ ̅ ̅̅ ̅  ̅  ̅ ̅

(2.11) (2.12)

Donde Lls y Llr son las inductancias de dispersión de la máquina. Existen muchos estudiantes que confunden los términos Ls y Lr con las inductancias de dispersión de la máquina jaula de ardilla. Recuerde que representan fenómenos distintos [14]. Otra consideración que se debe tomar en cuenta es que en (2.11) la corriente de rotor i r‟ es la corriente del rotor referida al estator. Eso significa que se debe tomar en cuenta un cambio de frecuencia (recuerde que en esta máquina la frecuencia del rotor y estator no son idénticas a menos que la velocidad rotacional sea cero). Además de lo anterior, para referir la corriente de estator a rotor y viceversa, se debe considerar la relación de vueltas existente entre los devanados. Por simplicidad en este apunte se considera Ns/Nr=1. Esta es una simplificación que no necesariamente se cumple en las máquinas de inducción de rotor bobinado. En las máquinas tipo jaula no existen devanados en el rotor y el término “número de vueltas en el devanado de rotor”,

tiene solo significado matemático, no físico.

̅

En (2.12) se debe considerar la corriente de estator referida al rotor ( ). 19 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla S N

O

S

R

O R

(b)

(a) S

e

e

(a) No existe dispersión: las magnitudes son iguales S = O = R Todos están en la misma dirección y rotan con la misma fase y velocidad.

(b) Existe dispersión: Todas rotan a la misma velocidad pero con magnitud y fase ligeramente distintas. La situación mostrada corresponde a operación como motor.

Fig. 2.4. Relación existente entre el flujo de estator, rotor y entrehierro. a) Caso ideal, no dispersión en la máquina. b) Operación como motor considerando que existe flujo de dispersión.

La relación existente entre el flujo de estator, el flujo de entrehierro y el flujo de rotor se muestra en la Fig. 2.4. Nótese que para el caso de operar la máquina como motor la relación entre las magnitudes es s>o>r [1].

2.5 Ecuaciones de la Maquina Jaula de Ardilla en Coordenadas - Utilizando la Fig. 2.3 y el análisis anterior se pueden escribir las ecuaciones de estator y rotor de la máquina. Para el estator:

              

(2.13) (2.14) (2.15)

Para el caso del rotor:


(2.16) 20 Dr. Roberto Cárdenas Dobson

     


(2.17) (2.18)

Multiplicando ambos lados de las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.15) por ej0 , ej2/3 y e-j2/3 respectivamente y sumándolas se obtiene:

        (2.19)

La ecuación (2.19) es similar a (2.1) y (2.4) utilizada para transformar desde coordenadas a-b-c a coordenadas -. Por lo tanto (2.19) se puede expresar vectorialmente como:

 ̅  

(2.20)

De idéntica forma, (2.16), (2.17) y (2.18) se pueden escribir como:

̅  

(2.21)

Las ecuaciones (2.20) y (2.21) son las cuatro ecuaciones típicas de una maquina de inducción jaula de ardilla. (dos ecuaciones reales o en el eje alfa y dos ecuaciones complejas o en el eje beta). Una quinta ecuación es la de la puerta mecánica, por ejemplo:

    

(2.22)

Donde J es el momento de inercia carga + máquina de inducción, B es el coeficiente de fricción viscosa, r es la velocidad rotacional y T L es el torque de carga. Debido a las diferencias entre las constantes de tiempo de la puerta eléctrica y de la puerta mecánica, (2.22), la dinámica de la velocidad rotacional generalmente no es considerada en el análisis de la dinámica "eléctrica" de la máquina. El asumir una velocidad rotacional constante al estudiar el comportamiento de las corrientes de la máquina, es considerado razonable y entrega resultados apropiados.




Un punto importante para entender la dinámica de máquinas de inducción jaula de ardilla, es que la ecuaciones (2.20) y (2.21) están en coordenadas - distintas. Para un observador ubicado en el estator, las coordenadas - de estator son estacionarias, mientras que las coordenadas - de rotor están rotando a velocidad r. Esto se muestra en la Fig. 2.5.

r

s r

ir

ir

Coordenadas de Rotor

r

r Coordenadas de Estator

s

Fig. 2.5. Sistemas de coordenadas - de rotor y estator

Recuerde además que las señales ir, ir e is, is son sinusoidales. En el estator estas señales tienen una frecuencia e y en el rotor la frecuencia es SL=e-r (ambas velocidades en radianes eléctricos). Las ecuaciones (2.20) y ((2.21) no son apropiadas debido a que utilizan variables que no son linealmente independientes. Solo dos variables de estado complejas son requeridas en la máquina de inducción jaula de ardilla para describir la dinámica “eléctrica”. Si se considera la dinámica en el eje, un sistema de quinto orden (incluyendo (2.22)) es habitualmente suficiente. En el control vectorial "convencional" de máquinas jaula de ardilla, se utiliza el flujo del rotor en - y la corriente de estator en - como variables de estado. Todas las otras variables se pueden expresar en función de éstas. Utilizando (2.11) y (2.12) se tiene: 22 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


̅  ̅


(2.23)

y

 ̅   ̅

(2.24)

Se define el coeficiente de dispersión  como:

  

(2.25)

Este coeficiente es una medida del flujo de dispersión total considerando la máquina en su conjunto, es decir estator y rotor (ver Fig. 1.3), Utilizando (2.25) en (2.24) se tiene:

 ̅   

(2.26)

Reemplazando (2.26) en (2.20) se puede escribir:

 ̅ 

 ̅

(2.27)

Utilizando (2.27) la ecuación (2.20) se puede expresar como:

 ̅  ̅     ̅ 

(2.28)

De la misma forma la ecuación del rotor se puede escribir como:

 ̅       

(2.29) (2.30)

Finalmente, las ecuaciones - de la máquina, considerando el flujo de rotor y la corriente de estator como variables principales, son:




 ̅  ̅       ̅  

(2.31) (2.32)

Donde r es la constante de tiempo del rotor. r=Lr/Rr.

Vs

 Rs is  Ls

0

r r



L0 is' r

dis dt





L0 d r' Lr

dt

d r dt

Fig. 2.6. Ecuaciones complejas en - de la máquina de inducción tipo jaula de ardilla. Las variables de estado son el flujo de rotor y la corriente de estator.

2.6 Variables en ejes rotatorios d-q El objetivo de un sistema de control vectorial, es “transformar” matemáticamente una

máquina jaula de ardilla en una máquina de continua (ver Fig. 1.5). De esta forma se puede controlar el flujo y el torque en forma desacoplada. El flujo se controla con un equivalente de la corriente de campo y el torque con un equivalente de la corriente de armadura. Las ecuaciones en -, (2.31) y (2.32) no son apropiadas para control vectorial, porque las señales r e is son sinusoidales y de distintas frecuencias. El modelo mostrado en (2.31) y (2.32) se utiliza generalmente en simulación o en sistemas de control resonante. Control resonante no está considerado en los tópicos a estudiar en este curso. Para transformar (2.31) y (2.32) a ecuaciones con señales en corriente continua (en estado estacionario), es necesario referir las ecuaciones de la máquina a un eje rotatorio girando a la velocidad sincrónica e. Los vectores de la máquina, en estado estacionario se pueden expresar como:




       

(2.33)

Donde 1 y 2 son ángulos de fase arbitrarios, utilizados para conservar la generalidad de la expresión (2.33). Considerando (2.33), se observa que los vectores están rotando a la velocidad sincrónica en estado estacionario. Por lo tanto desde el punto de vista de un observador localizado sobre el eje “d” de la Fig. 2.7, los vectores de corriente y flujo están detenidos, o sea el equivalente a

corriente continua. En general se puede establecer las siguientes reglas [1], [2]: 

Desde el punto de vista de un observador localizado sobre el eje - de estator, todos los vectores de máquina y sus combinaciones lineales están girando a la velocidad sincrónica e en estado estacionario. Tome en cuenta que las fases entre vectores dependen del punto de operación de la máquina y no necesariamente son cero.



Desde el punto de vista de un observador localizado sobre el eje - de rotor todos los vectores de máquina y sus combinaciones lineales están girando a la velocidad de deslizamiento SL en estado estacionario. Las fases entre vectores dependen del punto de operación.



Finalmente y como se mencionó anteriormente, desde el punto de vista de un observador localizado sobre el sistema de ejes sincrónicos d-q mostrado en la Fig. 2.7, todos los vectores de máquina y sus combinaciones lineales están detenidos al considerar la máquina operando en estado estacionario.




e

s

d

e

q

r

e e

is

is

e s is

Fig. 2.7. Ejes rotatorios sincrónicos.

Los ejes rotarios sincrónicos se denominan habitualmente d-q pero recuerde que en la literatura técnica, especialmente aquella de srcen alemán, se pueden encontrar nomenclaturas distintas. Fig. 2.7 muestra los ejes d-q y los ejes estacionarios - de estator. Los ejes - de rotor se han omitido por simplicidad. Para transferir las corrientes de estator a coordenadas d-q se pueden utilizar ecuaciones trigonométricas. Por ejemplo (ver Fig. 2.7):

     

(2.34)

En estado estacionario las corriente isd e isq son continuas. Para efectuar la transformación desde - a d-q y viceversa existen dos enfoques. 

El enfoque utilizado por la mayor parte de las universidades de habla inglesa (mayoritariamente en EEUU), que es el matricial [15]. En este caso:

     

(2.35)

Utilizando (2.6) se puede transferir directamente de a-b-c/d-q como: 26 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



            √ √ 

(2.36)

Un resumen de la transformada a-b-c/-/d-q se muestra en la Fig. 2.8. El significado del símbolo e-je se discute en las próximas páginas. Resumen de la Transformación a-b-c /-/d-q i s  (t ) 

i s ( t ) i



3 i sa (t ) 2 3 3 i sb (t )  i sc (t ) 2 2

 i  ji   ia e j 0  ib e

j

2 3

 ic e

is

isa 3/2

j

4 3

isb

is

isc Símbolo abc/ Símbolo /dq

isd (t )  is (t ) sin  e

 is (t ) cos e

isd

i sd (t )  i s (t ) cos  e

 is (t ) sin  e

isq

e  j e

is is

e Fig. 2.8 Resumen de transformadas a-b-c/ -/d-q.

De la misma forma es posible encontrar expresiones para transferir las variables desde coordenadas d-q a -.

  

(2.37)

Utilizando (2.7) en (2.37) se transforma desde d-q/a-b-c como:

   √     √ 

(2.38)




Resumen de la Transformación d-q /-/ a-b-c is (t )  isd (t ) cos  e  isq (t ) sin  e

isd

is (t )  isd (t ) sin  e

isq

 isq (t ) cos  e

e

2 3 1 i sb (t )   i s (t )  1 i s (t ) 3 3

 i s  (t )

1 i sc (t )   i s (t )  1 i s (t ) 3 3



is

e

i sa (t )

is

j e

Símbolo dq /

is

isa isb isc

2/3

is Símbolo  /abc

Fig. 2.9 Resumen de transformadas d-q /-/ a-b-c .

Un resumen de la transformada d-q / -/ a-b-c se muestra en la Fig. 2.9. 

El segundo enfoque utilizado habitualmente para transformar de -/d-q y viceversa, es el enfoque alemán o europeo [1], [2]. Este enfoque utiliza propiedades de variables complejas, en particular el teorema de Euler, para efectuar las transformaciones. Por ejemplo para transferir las corrientes desde el eje estacionario a d-q se utiliza:

̅  ̅      

(2.39)

Ecuación (2.39) es idéntica a (2.34). En efecto, aplicando el teorema de Euler se tiene: (2.40)

Separando las partes reales e imaginaria es relativamente simple demostrar que (2.40) es idéntica a (2.34). Para transferir de d-q a -, se tiene:

̅  ̅ 




En este apunte, se utilizará principalmente el enfoque alemán. Fig. 2.10 efectúa un resumen de las transformaciones entre distintos ejes considerando operación del sistema 3  en secuencia positiva, es decir rotación de todos los vectores en sentido contrario a los punteros del reloj.

Asumiendo:

e

  e dt  r   r dt

Transformación de un vector X en coordenadas de estator a coordenadas d-q y viceversa:

X dq

 X s e  je

X s

 X dq e je

Transformación de un vector X en coordenadas de rotor a coordenadas d-q y viceversa:

X dq

 X r e  j (e  r )

X r

 X dq e j ( e  r )

Transformación de un vector X en coordenadas de rotor a coordenadas de estator y viceversa:

X s

 X r e j r

X r

 X s e  j r

Fig. 2.10. Resumen de transformaciones utilizando el operador ej.

2.7 Algunos Problemas Simples 1)

Demostrar que la frecuencia de estator de una máquina jaula de ardilla se puede estimar como:

   Solución.

(2.42)

Al implementar control vectorial en un procesador DSP (DSP Digital Signal

Processor), no es simple determinar la frecuencia de las señales aplicada en el estator. Una de las alternativas es tomar cualquier vector, en este caso el flujo de estator, y proceder a calcular el ángulo eléctrico como:

    Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



Luego implementar una derivada digital. Por ejemplo calcular e /Ts, donde Ts es el tiempo entre dos muestras consecutivas del ángulo eléctrico. Sin embargo implementar la derivada de esta forma no es recomendable (aunque a veces se realiza) en una aplicación de tiempo real. Es muy sencillo demostrar que una derivada de la forma e /Ts amplifica el ruido de alta frecuencia. Una alternativa es implementar la derivada en forma distinta. Por ejemplo:

            

(2.44)

Expandiendo (2.44) se tiene:

   

      

(2.45)

(2.46)

Utilizando (2.20) para obtener el flujo de estator se tiene :

 ∫   ∫ 

(2.47)

Finalmente reemplazando (2.47) en (2.46) se logra obtener la estimación de frecuencia de acuerdo a (2.42). 2)

Demostrar que el flujo de rotor, referido a coordenadas - de estator, se puede obtener a partir de dos modelos. El modelo de voltaje: 30 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



   ∫ ̅  ̅         ̅

(2.48)

Y el modelo de corriente:

Solución.

(2.49)

Obtener (2.48) es trivial, considerando (2.26) y (2.47) se obtiene (2.48).

Para resolver (2.49) se debe utilizar la ecuación de rotor de la máquina la que se repite a continuación:

   ̅  

(2.50)

La ecuación (2.50) se encuentra en coordenadas de rotor. Por lo tanto refiriendo esta ecuación desde rotor a estator se tiene:

  ̅              

(2.51)

Utilizando la propiedad:

(2.51)

se obtiene:

    

(2.52)

Al utilizar (2.52) en (2.51) se llega a la expresión buscada. Las ecuaciones (2.49) a (2.50) son la base de uno de los métodos de control sensorless (sin utilizar sensor de velocidad y posición) mas exitosos comercialmente [11], [16-19] . El método está basado en un sistema MRAS (Model Reference Adaptive System), explicado a nivel de detalle por Schauder en [16], donde se asume que el modelo de voltaje no tiene error en el cálculo del flujo de rotor. (es el “Model Reference”) Por lo tanto se ajusta la velocidad en la ecuación (2.49) (o r en (2.51)) hasta que el flujo de rotor 31 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



calculado por el modelo de corriente (que es el “Adaptive System”) y el de voltaje son iguales o al menos tienen la misma fase. Una típica implementación de un sistema MRAS se muestra en la Fig. 2.11. La parte superior corresponde al modelo de voltaje y en la parte inferior se encuentra el modelo de corriente. Un análisis dinámico de pequeña señal de un estimador MRAS utilizado en un lazo de control de velocidad se presenta en [18][19]. En la Fig. 2.11 el error se calcula a través del producto cruz entre las salidas del los modelos. Como el producto cruz es proporcional al seno del ángulo entre los vectores, se llega al valor de cero error en estado estacionario solo cuando ambos flujos están en fase. En el modelo de voltaje se utiliza un filtro pasa bajo (o pasabanda) como “integrador modificado” para la implementación de (2.47) . El motivo por el cual se debe utilizar este integrador modificado, se explica en las siguientes secciones de este apunte. is

Rs

σLs

-

-

Vs +

+

ψ r

Lr/L0

ˆ r r  rˆ r Producto

PI

cruz

is

e  J

r

L0 1  s r

e J r

ˆ r

^

ψr

ˆr

∫

Fig. 2.11. Estimación de la velocidad y posición del flujo de rotor considerando un estimador MRAS. El símbolo “^” se utiliza para indicar estimación de una variable. El flujo obtenido a partir del modelo de voltaje se asume correcto.




Capítulo III

CONTROL VECTORIAL DE LA MÁQUINA JAULA DE ARDILLA




III. Control Vectorial de la Máquina Jaula de Ardilla

3.1 Transformando la dinámica de la máquina de inducción desde coordenadas  a d-q. Antes de aplicar control vectorial es necesario transferir la dinámica de la máquina jaula

d-q de ardilla a las coordenadas sincrónicas

. Utilizando (2.39) en (2.31) se tiene:

[] ̅  ̅   

(3.1)

Donde e es el ángulo del eje d, con respecto al eje α de estator. Arbitrariamente se define como:

 ∫

(3.2)

La ecuación (3.1) se puede expresar como:

 ̅   ̅     

(3.3) -je

Como lo indica (3.2), el ángulo e es dependiente del tiempo. Por lo tanto el termino e no se puede incluir en la derivada de la corriente y del flujo. Utilizando las propiedades matemáticas relacionadas con la derivada de la multiplicación de dos variables se tiene:

          (3.4)

De (3.4) se puede obtener:

      ̅   ̅  ̅       

(3.5)

La ecuación (3.5) se puede utilizar en (3.3), para obtener:


(3.6)


34


Recordando que los vectores son variables complejas, por ejemplo

 

     y

. La ecuación (3.6) puede descomponerse en dos partes. La parte real corresponde al

eje d y la parte imaginaria al eje q. De esta forma se obtienen dos ecuaciones:

                   

(3.7) (3.8)

Nótese que no es necesario utilizar rd, en (3.7) y (3.8). Esto se debe a que en los ejes d-q ya no existen señales sinusoidales, es decir no existe diferencia de frecuencia entre rotor y estator desde el punto de vista de un observador en el eje sincrónico. Además de lo anterior estamos considerando Ns/Nr=1. Para convertir la dinámica del rotor, se debe considerar que el eje - del rotor se encuentra girando con velocidad r. Esto se muestra en la Fig. 3.1

d

e

r

s ir

ir

q

SL

r r 

s Fig. 3.1. Eje rotatorio sincrónico y eje - del rotor.

El ángulo SL corresponde al slip o deslizamiento y se puede calcular como:

 ∫ ∫

(3.9) 35




Para referir la dinámica del rotor al eje sincrónico, se aplica el operador e -jSL a (2.30). De esta forma se obtiene:

*  ̅  +

(3.10)

Utilizando el mismo desarrollo aplicado en el caso del estator, se llega a:

    ̅                    

(3.11)

Separando la ecuaciones en su parte real e imaginaria: (3.12) (3.13)

Por lo tanto las ecuaciones de la máquina considerando estator y rotor en coordenadas d-q son:

                    

(3.14)

Estas ecuaciones son representativas de la máquina en coordenadas d-q. Hasta ahora no se ha aplicado control orientado a la máquina jaula de ardilla.




3.2 Uso de la transformada de Laplace desplazada en frecuencia para transformar ecuaciones diferenciales desde coordenadas - a d-q y viceversa. El método utilizado previamente en (3.4)-(3.6) para transformar las derivadas del flujo del rotor desde - a d-q y viceversa es poco elegante y difícil de aplicar para transformar ecuaciones diferenciales de alto orden entre distintos sistemas de coordenadas. Un método que sorprendentemente es muy poco utilizado en la literatura, es aplicar la transformada de Laplace desplazada en frecuencia para obtener la ecuación diferencial en otras coordenadas [20][21]. Matemáticamente esto se puede escribir como:

   Donde el símbolo “

(3.15)

representa la transformada de Laplace y “s” es el operador de Laplace.

Por ejemplo a velocidad sincrónica constante, (3.3) se puede escribir como:

 ̅   ̅     

(3.16)

 ̅   ̅    

Aplicando la transformada de Laplace a (3.16) y considerando la identidad de (3.15) se llega a: (3.17) Es relativamente simple demostrar que (3.17) es idéntica a (3.6). La principal ventaja de la transformada de Laplace desplazada en frecuencia, es que puede ser aplicada a sistemas de enésimo orden. Además es una excelente herramienta para referir funciones de transferencia (por ejemplo controladores) entre distintos sistemas de coordenadas. Como regla general, se debe reemplazar s por (s+je) para referir una función de transferencia de - a d-q y reemplazar s por (s-je) ) para referir de d-q a -. Por ejemplo, al referir un controlador PI implementado en coordenadas d-q a coordenadas - se llega a:

*+  ⇒ *+ Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile

(3.18)



Después de un desarrollo simple se demuestra que (3.18) es igual a:

*+  ⇒ *+

(3.19)

Al controlador a la derecha de (3.19) se le conoce como controlador resonante [20], [22]. Analizando la respuesta de frecuencia utilizando Fourier (o sea considerando s=j), se obtiene que la ganancia del controlador resonante tiende a infinito cuando s= je. Por otra parte analizando el controlador PI de la izquierda, se concluye por simple inspección que la ganancia de este PI tiende a infinito en corriente continua (equivalente a s=j0). En general un PI puede ser considerado como un caso especial de un controlador resonante, pero que en este caso resuena en corriente continua. De acuerdo a lo desarrollado en estos dos últimos capítulos es fácil entender que señales en corriente continua en d-q son equivalentes a señales de frecuencia e (de secuencia positiva) en coordenadas de estator y viceversa. Lo que efectivamente realiza la transformada d-q es desplazar en frecuencia las señales dejando la fundamental en 0Hz. Si la tensión o corriente tuviera distorsión armónica, estos armónicos también se desplazarían en frecuencia pero ya no estarían reflejados como componentes de continua en el eje sincrónico d-q. 150

) 100 B d ( e d u ti 50 n g a M0 -50 10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

Frequency (rad/sec)

Fig. 3.2 Diagrama de Bode de un controlador resonante implementado en un procesador DSP .




Fig. 3.2 muestra la respuesta de frecuencia de un controlador resonante implementado en un DSP. A pesar de que en teoría su ganancia es infinito al operar a s=j e, en la práctica existen efectos numéricos y de resolución que limitan esta ganancia.

3.3 Orientación en el Flujo del Rotor. Las ecuaciones en (3.14) son representativas de la dinámica de la máquina referida a un eje sincrónico aleatorio. En control vectorial se orienta convenientemente el eje d, para que coincida con algún vector de la máquina. Convencionalmente para la máquina jaula de ardilla se utiliza el vector flujo de rotor como referencia del sistema de control vectorial. Por lo tanto este vector no tiene componente en cuadratura y se llega a:

  

(3.20)

Utilizando (3.20) en (3.14) se tiene:

                 

(3.21)

(3.22) (3.23) (3.24)

La figura 3.3 muestra la ecuaciones de estator y rotor asumiendo orientación en el flujo de rotor. Al inspeccionar la ecuación en el eje en cuadratura del estator, la que es mostrada en la Fig. 3.3a y (3.22) se concluye que el voltaje en estado estacionario, la tensión en cuadratura es

 ⁄ 

aproximadamente igual a rotor, existe un límite

. Esto significa que al operar con flujo nominal de

que se puede utilizar para no sobrepasar la tensión de estator

máxima. Si es necesario aumentar la frecuencia o velocidad rotacional es necesario operar con “flujo debilitado”, lo que implica reducir el flujo para que la frecuencia e pueda seguir 39 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



aumentando. Por lo tanto en la máquina tipo jaula existen al menos dos zonas de operación,

   

conocidas como operación a flujo de rotor constante utilizada con e entre 0operación a flujo debilitado que es habitualmente utilizada entre

y

, y la

, aunque se

puede operar la máquina de inducción jaula de ardilla en un rango mayor de velocidad. A la velocidad rotacional máxima que es posible alcanzar operando a flujo nominal se le denomina habitualmente “velocidad base”.

Mas información acerca de control debilitado, se presenta en el capítulo 6. Ecuaciones del Estator Considerando Orientación en el Flujo de Rotor (RFO) d Lo d vsd Rs isd σLs isd ωeσLs isq Ψrd dt Lr dt

vsq

Rsisq

σLs

d isq dt

ωe σLs isd

ωe

Lo Ψrd Lr

a) Las Ecuaciones de Rotor Considerando Orientación en el Flujo de Rotor (RFO)

0 0

Rr Ψrd Lr

Lo Rr isd Lr

Lo Rr isq Lr

d Ψrd dt

ω sl Ψrd

b) Fig. 3.3. Ecuaciones utilizadas en control vectorial orientado en el flujo de rotor. a) Ecuaciones de estator. b) Ecuaciones de rotor. Las ecuaciones (3.23) y (3.24) son las más importantes desde el punto de vista de control vectorial. Analizando (3.23) en Laplace se tiene:

  




En general se utiliza en la literatura el concepto de corriente magnetizante, que es ficticia y similar a la corriente de campo en una máquina de continua. La corriente im se define como:

       

(3.26)

este resultado es importante porque indica que en estado estacionario, el flujo de la máquina es

 

proporcional a la corriente en eje directo, es decir . En la literatura se considera a la corriente isd como la “corriente de campo” de la máquina jaula de ardilla. Sin embargo esto no es totalmente correcto como lo muestra (3.26). Es más apropiado indicar que isd es equivalente a una corriente que “fuerza ” el campo o flujo.. Al controlar la máquina, particularmente en flujo debilitado, se debe tener en cuenta que la constante de tiempo del rotor no es despreciable (del orden de décimas de segundo) y que el término

⁄ 

es un filtro pasabajo con una frecuencia de corte relativamente baja. Por lo

tanto un cambio tipo escalón en isd no se refleja rápidamente en el flujo de rotor. Si se utilizan controladores bien diseñados, las corrientes de estator isd e isq tienen tiempo de respuesta en el orden de los 10ms (inclusos tiempos cercanos a los 5ms son realizables). En cambio la corriente magnetizante tiene tiempos de respuesta del orden de 0.3s-0.6s. La ecuación (3.24) es también importante y entrega el valor de deslizamiento como una función de la corriente en cuadratura.

           

(3.27)

En estado estacionario, asumiendo operación a flujo constante se tiene: (3.28)

A las ecuaciones (3.26) y (3.28) se las denomina habitualmente como las “ecuaciones de cont rol vectorial”. Estas se resaltan

en la Fig. 3.4.




Las ecuaciones de control vectorial son: 0

Rr Lr

0

Loimrd

Lo

Lo Lr

Rr isd

Lo

d dt

imrd

Lr R i

sl

Li

o mrd

imrd

isd

Rr

ω

ω r sq

Lr d imrd Rr dt

sl

Lr imrd isq

Fig. 3.4. Las ecuaciones de “control vectorial” utilizadas en máquinas jaula de ardilla.

3.4 Cálculo del Torque en la Máquina Jaula de Ardilla. El torque en una máquina se obtiene del producto cruz entre el flujo y la corriente. En general en máquinas eléctricas se acostumbra a utilizar la expresión equivalente al producto cruz [1], [2], [15]:

  ̅

(3.29)

donde k es una constante que depende del número de polos de la máquina y de la transformada αβ siendo utilizada (existen varias transformadas propuestas en la literatura). Im significa componente imaginario de la expresión y el término “sr” en el subíndice de



significa “flujo

que enlaza el estator debido al rotor”. El superíndice “ *” indica complejo conjugado.

De acuerdo a (3.29), para el cálculo del torque producido por la corriente de estator, se debe considerar solo el flujo que enlaza al estator producido por la corriente de rotor. Esto se debe a que el flujo producido por la corriente de estator no puede producir torque consigo misma.

  ̅ ̅   ̅   ̅ ̅ Por lo tanto el término

Utilizando la definición de

se calcula como: (3.30)

de (2.23) en (3.30), se obtiene:




Finalmente reemplazando el complejo conjugado de (3.31) en (3.29) y calculando la parte imaginaria se llega a:

   

(3.32)

Como lo indica (3.32), al operar a flujo constante, el torque es proporcional a la componente en cuadratura de la corriente de estator. Utilizando (3.26) y (3.28) se ha logrado un equivalente de máquina de continua para la máquina de inducción jaula de ardilla. El flujo es controlado a través de la corriente directa de estator, la cual es similar a la corriente de campo, y el torque es controlado por la corriente en cuadratura, la cual es equivalente a la corriente de armadura de una máquina CC. Siendo estrictos conceptualmente, la corriente de Considerando la ecuación para la corriente Magnetizante máquina tipo jaula:

Lr d Rr dt

Vf

Para la Máquina CC:

Lf

d dt

Lf d

if

R f dt

Comparando términos se tiene: imrd  



isd

Lf

if

Rf i f

imrd

ia

Rf

Vf

imrd

En estado estacionario imrd

if

if

isd

Vf

if

Rf

Vf / Rf

isd

isd es realmente la corriente que fuerza el campo, pero comunmente se le denomina corriente de campo. Sin embargo, bajo flujo debilitado, recuerde que isd e im no son necesariamente iguales.

Fig. 3.5 Equivalencia entre la máquina de continua y la máquina jaula de ardilla.




campo sería el equivalente a la corriente magnetizante (im). Sin embargo, en estado estacionario, operando a una velocidad menor a la nominal, y con un adecuado sistema de control, la corriente magnetizante es prácticamente constante y equivalente a la corriente directa de estator. Una analogía entre la máquina de corriente continua y la máquina jaula de ardilla se muestra en la Fig. 3.5. La corriente de torque isq es equivalente a la corriente de armadura. Considerando la transformada α-β utilizada en este apunte, la expresión de torque es:

     

(3.33)

Donde p es el número de polos.

3.5 Esquema de Control Vectorial Directo. En el desarrollo anterior se asume que el sistema de control se encuentra orientado en el flujo de rotor. Para realizar la orientación experimentalmente, la posición del flujo de rotor debe medirse o estimarse. Los dos métodos más utilizados para alinear el sistema de control con el flujo de rotor, dan srcen a los sistemas de control vectorial directo y control vectorial indirecto [1]. El control vectorial directo estima el flujo de rotor (referido a estator) utilizando (2.26):

 ̅         ̅ 

(3.34)

La ventaja de este método es que el flujo de estator es simple de obtener como:

 ̅     ∫ ̅ 

(3.35)

Utilizando coordenadas α-β se llega a:

  ∫ ∫    Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



Finalmente el ángulo del flujo para ser utilizado en la transformada α-β a d-q, se obtiene como:

 

(3.37)

Adicionalmente el módulo del flujo de rotor puede obtenerse como:

  

(3.38)

Por lo tanto, utilizando la ecuación (3.36)-(3.38) es posible orientar el sistema de control en el flujo de rotor. Un diagrama en que se muestra la implementación del observador de flujo de rotor, basado en (3.36)-(3.38), se muestra en la Fig. 3.7. El sistema de control vectorial directo completo se muestra en la Fig. 3.8. r 

Lr Lo

L r  r Lo

 vs



 Rs is dt  Ls is 

is d

 vs  Rsis dt  Lsis 

is

q

r

r

e

Ls

Rs vs

+

Nota:



r -



+

Lr

r

Lo

tan

1

Ψrβ Ψrα

Se pueden efectuar dos diagramas, uno para la componente y el otro para la  componente  . Por simplicidad se muestran ambas componentes en un solo diagrama de bloques.

e ΨR

is

Calculador de Flujo &

vs

ángulo

e ΨR

1

Lo

imrd

Fig. 3.7. Observador de flujo de rotor utilizado en un sistema de control vectorial directo. 45 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla r*

isq*

PI

+ -

PI

PI

isd*

v*sabc

vsq* j vsd* e e

PI

e

isq

vs *

is e  j e

imd* +

imd

1

Lo

-

r 

isabc 3/2

isd

r

IM

PWM

2/3

vsabc

Calculador de flujo y ángulo de flujo

3/2

vs

r

Fig. 3.8. Sistema de control vectorial directo.

En la Fig. 3.8 el bloque denominado “calculador de flujo y ángulo de flujo” corresponde al que se encuentra en la parte inferior de la Fig. 3.7. El sistema de control de velocidad opera regulando la corriente de torque i *. Por ejemplo, cuando la velocidad es menor a la referencia, sq

isq se incrementa. El control de corriente magnetizante o de flujo, mantiene este constante mientras no sea necesario operar a

flujo debilitado para alcanzar mayores velocidades

rotacionales. Cuando se sobrepasa la llamada “velocidad base”, entonces se ajusta imrd* (también llamada por simplicidad im en este apunte) para operar a flujo debilitado. Si es que no es necesario operar a altas velocidades rotacionales, el flujo de rotor se mantiene en su valor nominal y por lo tanto isd se regula en un valor constante igual a la corriente magnetizante nominal im. El sistema de la figura 3.8, con los controladores diseñado de acuerdo a lo que se presenta en el próximo capítulo, es capaz de operar con una adecuada orientación cuando la tensión de estator de la máquina sobrepasa el 2%-5% de la tensión nominal. También se considera que los sistemas de control vectorial directo son una buena alternativa para operar a alta velocidad rotacional [23][24]. 46 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



Sin embargo el Control vectorial directo (DRFO, direct rotor flux orientation, por sus siglas en inglés) no es considerado un sistema de control de alto desempeño. Su principal problema se encuentra en que para estimar el flujo de rotor se debe integrar el voltaje de estator. En condiciones ideales este no es un problema, porque la integral de una sinusoidal es factible de realizar en tiempo real. Sin embargo, en todas la implementaciones existe algo de corriente continua la cual produce la saturación del integrador. Esto se muestra en la Fig. 3.9.

is

Ls

s  en forma ideal

Rs

vs

+



Señal sin Componente continua Señal con Componente continua

+

Lr

r

Lo

tan

1

Ψrβ

e

Ψrα

ΨR

Integral de una señal con Componente continua

Fig. 3.9. Efecto de integrar una señal sinusoidal con componentes de continua en el estimador de la Fig. 3.7 .

La solución a este problema es utilizar un integrador modificado. Esto significa implementar una función de transferencia que a bajas frecuencias opere de distinta forma. Por ejemplo:

   Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile

(3.39)



Utilizando Fourier con s=j , es demostrable que en altas frecuencias de operación, F(s) es aproximadamente un integrador ideal. En cambio a baja frecuencias de operación la ganancia tiende a 1/ωc atenuando los efectos de las componentes continuas en las señales medidas. Para un integrador ideal la ganancia en continua tiene a infinito. Una alternativa al uso de filtros pasabajos son los integradores basados en filtros pasabanda, que permiten eliminar casi totalmente la componente continua de una señal [14], [25]. El diagrama de Bode (magnitud y fase) de un integrador modificado (1/(s+ c)) y un integrador ideal se muestra en la Fig. 2.10. Nótese que a bajas velocidades, cuando la frecuencia de estator es pequeña, el sistema de control no está correctamente orientado debido a errores de fase. Integrador real

1Hz

10Hz

100Hz

• Se debe cambiar el término 1/s por 1/(s+ωc) • La frecuencia de corte es f c (=c

/2) aproximadamente 1Hz

• Errores de fase introducidos en

frecuencias cercanas o bajo

Integrador modificado

 1Hz.

• Flujo incorrectamente estimado a

baja frecuencia de opera ción. • Puede funcionar correctamente

sobre 2Hz de frecuencia de estator

0 -45 -90

Fig. 3.10. Diagramas de Bode de integrador real e ideal.

Existe otro inconveniente asociado al control vectorial directo. En general la frecuencia de la máquina y el voltaje apropiado son aproximadamente proporcionales. Por lo tanto cuando la velocidad rotacional se reduce, el voltaje aplicado al estator también se reduce. Si una máquina de inducción tipo jaula de ardilla opera con 220V a velocidades cercanas a 1500rpm, tendrá entre bornes un voltaje de aproximadamente 22V a 150rpm y probablemente se debera alimentar con voltajes menores a 10V con 15rpm. Por lo tanto a baja velocidad la caída de tensión en la 48 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



resistencia de estator de la máquina es, porcentualmente, muy importante. Si la resistencia varía con la temperatura, entonces el valor de flujo calculado desde (3.35), (3.39) será incorrecto y la máquina operará con la orientación incorrecta. Este problema se muestra gráficamente en la Fig. 3.11. Aunque existen algunos métodos publicados en la literatura para estimar en línea la resistencia de estator [18][26], los fabricantes de sistemas comerciales evitan operan con control vectorial directo a baja velocidad rotacional, especialmente cuando la máquina se encuentra operando con baja corriente de torque.

Alto

Bajo

e

e

is

Ls

Rs vs

+



-

+

Lr

r

Lo

tan

1

Ψrβ



Ψrα

ΨR •

El voltaje de estator es proporcional a la frecuencia

•

En altas frecuencias vs  >> is  Rs

•

Bajo 2Hz, vs   is  Rs

•

•

Debido a que R s varia con la tem peratura el valor is  Rs tiene variaciones no despreciables Por lo tanto bajo 2Hz la incertidumbre en el valor de R s afecta la estimación del flujo.

Fig. 3.11. Problemas ocasionados por variaciones o incorrecta estimación de la resistencia de estator.

La mayor parte de los sistemas comerciales utiliza control vectorial indirecto. Sin embargo, para sistemas de generación (que habitualmente no operan a baja velocidad) y para sistema de control “sensorless” (sin

considerar medidor de velocidad) [16][19], el sistema de

control vectorial directo es ampliamente utilizado.

3.6 Esquema de Control Vectorial Indirecto. El esquema de control vectorial indirecto se basa en la ecuación: 49 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



               

(3.40)

Cuando el sistema está orientado en el flujo de rotor, el deslizamiento se calcula de acuerdo a (3.28) que se encuentra a la derecha de (3.40) . Esta es una relaci ón “uno es uno”, por lo tanto la inversa también se cumple. Es decir si se fuerza al deslizamiento a tener un valor entonces el sistema está orientado. De esta forma el ángulo θe se calcula como:

⁄∫ ∫  

 

(3.41)

Nótese que al implementar orientación indirecta, es necesario medir la velocidad rotacional para utilizar (3.41) y obtener el ángulo de posición del flujo. En el esquema de control vectorial directo no se necesita medir la velocidad rotacional para orientar la máquina. Por lo tanto en sistemas de control donde no es necesario regular la velocidad rotacional (por ejemplo en control de torque de generadores), el control vectorial directo no necesita incluir un medidor de velocidad rotacional en el sistema. Al utilizar el esquema de control vectorial indirecto se necesita un tacómetro/encoder de calidad adecuada y relativamente alto costo para implementar (3.41) con bajos niveles de error y ruido. Aparte de lo anterior el control vectorial indirecto (Indirect Rotor Flux Orientation o IRFO) es simple de implementar cuando la constante de tiempo del rotor se encuentre bien estimada. La corriente magnetizante, si es requerida, se calcula como

 ⁄ 

. Como

se señaló anteriormente, bajo la velocidad base se considera apropiado asumir que im  isd .

Fig. 3.12 muestra un sistema de control vectorial indirecto en que se asume operación a flujo constante e im  isd . El sistema de control opera en forma similar al control vectorial directo. La velocidad se regula a través de la corriente de torque isq y el flujo de rotor se regula a través de la corriente directa isd. Nótese que la velocidad mecánica r se multiplica por (p//2) para obtener la velocidad rotacional en radianes eléctricos. La implementación de (3.28) y (3.40) se muestra también en la Fig. 3.12. El deslizamiento SL se utiliza para determinar la frecuencia de las señales que serán aplicadas al estator de la máquina jaula de ardilla. Asumiendo que los lazos de 50 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



control de corriente se encuentran bien diseñados, habitualmente se utilizan las corriente de referencia isd* e isq* para el cálculo del deslizamiento. Esto reduce el ruido producido en



.

El sistema de control vectorial indirecto puede operar a baja velocidad sin los problemas del control directo. Su mayor problema se produce por calentamiento de la resistencia de rotor. Cuando esto sucede, el deslizamiento SL es incorrectamente calculado y el sistema de control se desorienta. Por este motivo muchos métodos de estimación en línea de r han sido publicados en r*

PI

+ -

isq*

vsq*

PI

isd*



isq

2/3

PWM

IM

 je

3/2

isabc

sl

*

 r i sd

e

e e

isd isq

ej

vsd*

PI

*

+ +

re

P/2

r Fig. 3.12. Control vectorial indirecto sin considerar operación a flujo debilitado. Esta es la implementación más frecuente.

la literatura. Uno de los más exitosos fue desarrollado por Luis Garcés, Ingeniero Civil Electricista UTFSM, cuando efectuaba sus estudios de doctorado en Alemania. Este método, basado en la potencia reactiva consumida por la máquina de inducción jaula de ardilla, se encuentra publicado en [27]. Otros métodos más modernos, algunos de ellos basados en el trabajo pionero de Garcés se encuentran en [28][29][30]. Algunos métodos exitosos para estimar la constante de tiempo del rotor, se basan en la estimación espectral de los armónicos de corriente generados por los cambios de reluctancia magnética producidos por las barras de la jaula al rotar. Un método basado en la implementación 51 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



en línea de la FFT se encuentra en [31]. Un algoritmo basado en estimación espectral a través de un recursive máximum likelihood adaptive tracking filter se presenta en [11] Fig. 3.13 muestra el sistema de control vectorial indirecto considerando operación a flujo nominal y flujo debilitado.

r* +

isq*

PI -

vsq*

PI

PI

isd*



isq +

r

-

im*

im

1

isq *

j e

2/3

PWM

IM

e e

isd

1

sτ r

e

vsd*

PI

 j e

3/2

isabc

sl

τ r imrd

+ +

re

P/2

r Fig. 3.13. Control vectorial indirecto considerando operación a flujo debilitado.

3.7 Problemas 1) Se utiliza control vectorial indirecto de una máquina de inducción jaula de ardilla operando como motor con corriente nominal. La corriente magnetizante nominal es aproximadamente un 30% de la corriente nominal total. La contante de tiempo se encuentra mal estimada, con un valor de

  

. ¿Cuáles son las corriente reales en

el eje d y q? Justifique matemáticamente su respuesta. Al estar la máquina operando en control vectorial indirecto y el sistema de control utiliza una estimación incorrecta de la constante de tiempo de rotor, el sistema se desorienta es decir, el 52 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



sistema regula las corrientes directas en un eje d que no está alineado con el flujo de rotor. Esto se muestra en mayor detalle en la Fig. 3.14. El principal problema que se produce al desorientarse la máquina, es que ya no existe desacoplamiento entre la corriente de campo y la corriente de torque. Por lo tanto, cuando en el sistema de control se varía la corriente de torque, en la máquina cambian ambos el torque y el flujo. Posición real del flujo

is

d

q ˆ

isq

isd

ˆ

δ

q isq

d

ˆ

ˆ

Posición estimada del flujo

δ

isd

ˆ

e

ê



Fig. 3.14. Control vectorial indirecto considerando incorrecta estimación de la constante de tiempo de rotor.

Para encontrar las corrientes d-q reales se asume que existen dos modelos de la máquina. El que se encuentra en el sistema de control y la máquina real. Algunas relaciones que se pueden establecer son: -

La máquina real y la modelada en el sistema de control rotan a la misma velocidad, son alimentadas con la misma frecuencia de estator y por lo tanto tienen el mismo deslizamiento.

-

El modelo de la máquina implementado en el sistema de control utiliza un valor de constante de tiempo de rotor igual a

̂

. Obviamente, la máquina real opera con



.




-

Ambas máquinas utilizan la misma corriente total. Esto se debe a que los transductores del sistema de control miden correctamente la corriente real pero fallan en separar correctamente la componente d y q.

Por lo tanto se tiene: (3.42)

     ̂  ̂   ̂   ̂ Pero:

(3.43)

Donde el símbolo “^” se utiliza para describir las corriente s y voltajes estimados por el sistema de

control. Dado que el deslizamiento de la máquina y el utilizado en el modelo son iguales se puede escribir:

 ̂     ̂̂       ̂   

(3.44)

De (3.44) se puede obtener que: (3.45)

El sistema de control asume que está bien orientado por lo tanto intenta regular la corriente directa en el valor entregado como dato. Por lo tanto cuadratura estimada es ̂   ̂ 

̂   

. De (3.42) la corriente de

Utilizando (3.45) se tiene



(3.46)

 √    

Por lo tanto (3.46) se puede escribir como:



 


(3.47)

Utilizando (3.42) y (3.47) se llega a:

     

(3.48)

Finalmente se tiene que:

(3.49)

Lo que nos indica (3.49) es que la máquina está operando con una corriente magnetizante considerablemente mayor que la que debería tener. El sistema de control utiliza la referencia correcta, es decir

̂  

. Sin embargo debido a que el sistema de control no se encuentra

alineado con el vector flujo de rotor, la máquina tiene un corriente de flujo mayor que la de referencia. En una máquina esto se traduce habitualmente en saturación y mayores pérdidas en el fierro. Otra cosa que se debe tomar en cuenta, es que el ángulo de desorientación de la máquina depende de la carga. Con baja o cero carga, los efectos de estimar incorrectamente la constante de tiempo de rotor no son importantes ya que



es cercano a cero tanto para el modelo como para

la máquina. Por lo tanto la máquina se encuentra orientada al utilizar cero deslizamiento, aunque la constante de tiempo del rotor este incorrectamente estimada. Los efectos de operar un sistema de control vectorial desorientado, son más notorios a plena carga o bajo condiciones dinámicas que requieren una rápida respuesta de torque.




Capítulo IV DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL




IV Diseño de los Sistemas de Control

4.1 Aspectos Generales. Los sistemas de control presentados anteriormente, se basan en regular las corrientes isd e

isq de acuerdo a las referencias isd* e isq*. Para diseñar estos controladores se deben utilizar métodos algebraicos o preferentemente herramientas lineales de diseño como lugar de la raíz o Bode [3][32]. Para diseñar los lazos de control de las corrientes d-q, se utilizan las ecuaciones de estator. Estas son:

               

(4.1) (4.2)

Donde Vsd y Vsq son las tensiones aplicadas por el actuador, típicamente un conversor PWM fuente de voltaje, al estator de la máquina jaula de ardilla. El sistema de control opera asumiendo que existe una estructura SISO (Single input Single output) entre vsd e isd y entre vsq e isq. Sin embargo tal como se muestra en (4.1) y (4.2), el voltaje en el eje directo depende también de la corriente en cuadratura . Por otra parte el voltaje en el eje en cuadratura depende de la corriente de cuadratura y el flujo de rotor. Para efectuar el diseño de los controladores generalmente se utilizan términos de desacoplamiento, los cuales permiten cancelar los enlaces cruzados que existen entre los ejes directos y en cuadratura.

4.2 Uso de Términos de Desacoplamiento. Los términos de desacoplamiento son aquellos que se suman a la salida de controlador. De esta forma se logra una estructura SISO en el controlador, sin términos cruzados. Esto se muestra en la Fig. 4.1. Los términos de desacoplamiento necesarios para eliminar 57 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla Términos de desacoplamiento

^ ^     Salida del controlador

isq*

+ Vsq*

’

+

Vsq

PI

+

-

+

i sq ^ 

^ 





Al actuador

^



Fig. 4.1. Desacoplamiento del eje q respecto al d.

completamente los enlaces se muestra en la Fig. 4.2. Sin embargo en la mayor parte de las aplicaciones no todos los términos mostrados en la Fig. 4.2 son utilizados. Por ejemplo la derivada del flujo de rotor es cero o despreciable debido a que el flujo de rotor se mantiene en un valor constante para operación bajo la velocidad base. En Fig. 4.1, el superíndice “ ^ “ ,

significa

estimación de la variable ya sea ésta flujos, corrientes o incluso parámetros de la máquina. Esta estimación se efectúa en línea o fuera de línea. Es importante comprender que los términos de desacoplamiento que se muestran en la Figs. 4.1 y 4.2, son parte del sistema de control e incorporados en el software de control vectorial. Utilizando la salida del controlador y asumiendo que el conversor PWM fuente de voltaje tiene una función de transferencia unitaria (por la tanto la salida del controlador es idéntica al voltaje aplicado a la máquina), se tiene:

             

(4.3)

Donde V’sq es la salida del controlador en el eje q. Si la estimación de los parámetros y flujo de la máquina es suficientemente aproximada, se puede escribir: 58 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



usd

Rsisd

usq

Rsisq

d isd dt d σLs isq dt σLs

ωeσLsisd

•

-

ˆ ˆ eLs

imd

ωeσLsisq

sLô / Lˆ r 2

2

•

ˆ eLˆ s

PI

isd*

PI

vsq*+ vsd*

+ +

isq isd

Los términos dentro del cuadrado en rojo son agregados para compensar los cambios en el flujo y contrafuerza electromotriz de la máquina.

+

ˆ e Lô / Lˆr

isq*

Lo d Ψrd Lr dt Lo ωe Ψrd Lr

+

En control estos términos son denominados “prealimentación ” o “Feedforward terms.

e j e

e

 j e

2/3

PWM

IM

3/2

isabc

Fig. 4.2. Términos de desacoplamiento necesarios para eliminar completamente los enlaces cruzados.

      

(4.4)

Utilizando (4.4) el diseño del sistema de control se puede realizar utilizando herramientas de control lineal. El lazo de control obtenido al considerar los términos de desacoplamiento se muestra en la Fig. 4.3.

4.3 Diseño de Sistemas de Control Utilizando Alta Frecuencia de Muestreo Al utilizar altas frecuencias de muestreo en una implementación de control digital existen varios efectos digitales que no son importantes [33]. Uno de ellos es el producido por el filtro antialiasing el cual tiene sus polos de lazo cerrado muy alejado de los polos dominantes y por lo tanto no afecta la dinámica del lazo de control. El otro efecto, que no tiene mayor importancia al utilizar altas frecuencia de muestreo, es el retardo de transporte típico de los algoritmos de 59 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



k prop

kint s isq*(s)

G ( s) 

k i ( s  ai ) s ( sLs

 Rs )

k i ( s  ai ) s

1

sLs

Controlador PI

 Rs

isq(s)

planta

P

Desacoplamientos no mostrados por simplicidad

Fig. 4.3. Sistema de control de corriente, eje q.

modulación PWM. El lazo de control de la Fig. 4.3 se encuentra desacoplado, es decir al diseñar el lazo de corriente en cuadratura, no existen términos del lazo directo a considerar en la función de transferencia. Al efectuar el diseño de los controladores a través del lugar de la raíz, se recomienda utilizar las siguientes especificaciones [3]: 

Cero error en estado estacionario a entrada escalón de i qs*, ids*.



Frecuencia natural n (o ancho de banda) adecuada. En general frecuencias naturales entre 60Hz-250Hz son consideradas apropiadas.



Coeficiente de amortiguamiento  o margen de fase adecuado. Como norma general se considera que el coeficiente de amortiguamiento debería ser mayor a =0.5. Habitualmente se diseña el sistema de control para =0.707 u = 0.8.

Considerando estas especificaciones, el lugar de la raíz del diseño es similar al mostrado en la Fig. 4.4. 60 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



Fig. 4.4. Lugar de la raíz para el sistema de control de corriente en cuadratura.

El sistema de la Fig. 4.4 también puede resolverse algebraicamente. Para esto se debe ajustar las soluciones de la ecuación característica para obtener la frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento requeridos. El diseño del lazo de control para la corriente directa isd, es idéntico al de la corriente en cuadratura. El único cambio son los términos de desacoplamiento necesarios. Para el diseño del lazo de velocidad se utiliza la técnica de control por lazos anidados (ver Fig. 4.5). El control de la corriente de torque se encuentra en el lazo interno, y el control de velocidad en el lazo externo. La frecuencia natural del lazo de corriente es, idealmente, al menos 10 veces mayor a la frecuencia natural del lazo de velocidad. Con esta restricción, desde el punto de vista del lazo externo, el lazo de corriente es equivalente a una función de transferencia unitaria, es decir la corriente de referencia isq*, aparece instantáneamente en la salida como una corriente isq. Esto se muestra con mayor detalle en la Fig. 4.6.



Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla ˆ eˆLˆ s isd

limitador

r*

+

 ˆ e

Lˆ 0 Lˆ r

Actuador

+

Gc

Términos de desacoplamiento

-

1/(SLs+Rs)

isq

r

r

-

Gic

* isq

-

 rd

KT

1/(SJ+B)

+ Controlador de corriente

Planta Mecánica

Controlador de velocidad

Planta Eléctrica

Fig. 4.5. Diseño del sistema de control considerando lazos anidados. Lazo de corriente

* r



isq*

isq +

r

Gc

1

KT

r

1/(SJ+B)

-

Se considera

ωn

lazo de velocidad

 0.1 veces ωn

lazo de corriente

Fig. 4.6. Diseño del lazo de velocidad considerando el lazo de corriente como una función de transferencia unitaria.

En las Figs. 4.5 y 4.6, el valor de K T se define como:

     




Una definición alternativa de KT , cuando la máquina está operando bajo la velocidad base es:

     

(4.6)

El lugar de la raíz utilizado para diseñar el controlador de velocidad, es prácticamente idéntico al mostrado en la Fig. 4.4. La mayor diferencia se encuentra en que las frecuencias naturales son bastante menores. Sin embargo, al diseñar un sistema de control de velocidad rotacional, se debe tomar en cuenta que la planta mecánica, es decir B y J, pueden estar sujetos a cambios no despreciables en el rango de operación de la máquina jaula de ardilla. Esto también depende del proceso en que este sistema está siendo utilizado, (correas transportadoras, molinos, ventiladores, etc.). Un buen diseño debería ser capaz de funcionar satisfactoriamente en todo el rango de operación de la máquina jaula de ardilla y considerando las variaciones de J,B que se producen en el proceso en que se encuentra insertada la máquina. Gc ( s )  K p

( s  a) Polo de Lazo Cerrado

s 500

ω

400

n

300

B/J R/L

Cero del Controlador

200

si 100 x A ag 0 m I

xx

o

Polo del Controlador

-100

Planta con polo móvil

-200 -300 -400 -500 -1000

-800

-600 -400 Real Axis

-200

0

Fig. 4.7. Lugar de la raíz para el diseño del lazo de velocidad.




4.4 Influencia de los Términos de Desacoplamiento en el Desempeño del Sistema. En algunas implementaciones existe la tendencia de no añadir los términos de desacoplamiento a la salida del controlador (ver Figs. 4.1 y 4.2). Los efectos de no considerar estos acoplamientos se traducen en general en pérdida de parte de las características dinámicas del sistema de control. Si se considera la ecuación (3.17):

 ̅   ̅    

(4.7)

El vector de corriente de estator se puede obtener como:

  ̅    ⁄

(4.8)

En un sistema de control vectorial bien diseñado el flujo de rotor puede considerarse constante cuando la máquina opera bajo la velocidad base, por lo tanto no tiene mayor influencia en los polos de lazo cerrado del sistema.

En este caso se tienen las siguientes funciones de

transferencias: Controlador completamente desacoplado:

   ̅    ̅

(4.9)

Controlador acoplado:

(4.10)

El sistema de control es diseñado considerando que el sistema está desacoplado. Un ejemplo de diseño se realiza en este apunte, asumiendo que la máquina de inducción tiene los siguientes parámetros: Rs Lr

Rr  0.733   0.06022  0.57  0.1385H Ls  0.1385H L0  0.1353H




Utilizando el lugar de la raíz con el comando rltool de MATLAB, se diseña un controlador para una frecuencia natural de 80Hz y coeficiente de amortiguamiento de =0.8. En el plano s el controlador obtenido es:

 

(4.11)

El ancho de banda se analiza utilizando los diagramas de Bode. Para el caso del controlador acoplado se utiliza una frecuencia de estator de 50Hz. El ancho de banda se analiza a lazo cerrado utilizando la función de transferencia obtenida desde la Fig. 4.3 como:

 

(4.12)

Donde Gc(s) es el controlador de (4.11) y G p(s) es la planta. En el caso acoplado, la planta corresponde a (4.10). Para el caso desacoplado la planta corresponde a (4.9). Los resultados obtenidos se muestran en la Fig. 4.8. En este gráfico se consideran los siguientes casos: a) Controlador completamente desacoplado. b) Controlador acoplado y con una frecuencia de estator de 50Hz. c) Controlador acoplado y con una frecuencia de estator de 100Hz. Para analizar este gráfico se debe tomar en cuenta el efecto de desplazamiento de frecuencia que se produce al referir el sistema desde coordenadas estacionarias a un eje rotatorio sincrónico. Por lo tanto 0Hz en d-q corresponden a fe (Hz) en coordenadas -. Una forma simple de interpretar la Fig. 4.8, en término de la frecuencia de las señales aplicadas a la máquina, es sumar fe (Hz) a los valores que se encuentran en los ejes de las abscisas de la Fig. 4.8. Las ventajas de desacoplar completamente el controlador, se concluyen al inspeccionar la Fig. 4.8a. La principal característica de utilizar un controlador desacoplado, es que la respuesta de frecuencia es la misma para cualquier valor de respuesta de frecuencia para

e.

Otra característica es la simetría, la

e+10Hz, es idéntica a la obtenida en e-10Hz.

Cuando el controlador esta acoplado, la respuesta de frecuencia es dependiente de la frecuencia. Esto se muestra en la Figs. 4.8b y 4.8c. El margen de fase también se reduce en un 65 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



poco mas de 10 al comparar el controlador de la Fig. 4.8c (acoplado a 100Hz) con respecto al controlador de la Fig. 4.8b (acoplado a 50Hz). Estos resultados fueron obtenidos utilizando el software MATLAB y se muestran en la Figs. 4.9a y 4.9b. 1.5 1

a)

0.5 0

d1.5 u it 1 n g 0.5 a M

b)

0 2 1

0 -250 - 200 - 150 - 100

c) -50

0

50

100

150

200

250

Frecuencia (Hz) Fig. 4.8. Diagramas de Bode. a) Controlador completamente desacoplado b) Controlador acoplado operando a 50Hz como frecuencia de estator. c) Controlador acoplado operando a 100Hz como frecuencia de estator.

Para ayudar a interpretar la información entregada en la Figs. 4.8 y 4.9, se debe recordar que el margen de fase está relacionado con el coeficiente de amortiguamiento [33]. Lo mismo sucede con el sobrepaso máximo en el dominio de la frecuencia. Por lo tanto lo que indica Fig. 4.9b, es que el coeficiente de amortiguamiento se ha reducido al operar a alta frecuencia. Esto significa que la respuesta del sistema en el dominio del tiempo es más oscilatoria, con un mayor sobrepaso de las corrientes de estator. La misma información se puede obtener desde la Fig. 4.8. 66 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



El sobrepaso en el dominio de la frecuencia es notoriamente superior en la Fig. 4.8c con respecto al sobrepaso de la Fig. 4.8a. Pm = 66.7 deg (at 727 rad/sec)

) B100 d ( e d 50 u it n 0 g a M-50 ) -90 g e (d-120 e s a h P-150 0 10

1

2

10

) B 50 d ( e d u 0 it n g a M-50 -90 ) g e d (-135 e s a h-180 P 1 10

3

10

10

4

10

Pm = 56.4 deg (at 501 rad/sec)

2

3

10

10

4

10

Frequency (rad/sec) Fig. 4.9. Diagramas de Bode. a) Margen de fase para el controlador completamente desacoplado b) Margen de fase para el controlador acoplado operando a 100Hz de frecuencia de estator.

4.5. Implementación Digital. Para implementar digitalmente el sistema de control, se debe representar el controlador en el plano z. Para esto se puede diseñar directamente en z, por ejemplo utilizando lugar de la raíz digital. Una alternativa es convertir el controlador desde el plano “s” al “z” utilizando la transformación bilineal o de Tustin [32][33]. Se debe tomar en cuenta que la transformación de Tustin no es exacta y para conservar la dinámica del sistema, muchos autores recomiendan 67 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



utilizar una frecuencia de muestreo varias veces superior al ancho de banda o frecuencia natural del sistema. En control de máquinas eléctricas lo normal es utilizar la transformada bilineal cuando la frecuencia de muestreo es 15-30 veces superior a la frecuencia natural. Personalmente recomiendo al menos 20 veces. Se debe tener en cuenta que estas son „recetas‟ que

frecuentemente tienen excepciones. Por ejemplo, al utilizar la regla de s > 20n, para digitalizar un lazo de corriente típico diseñado para una frecuencia natural de 100Hz, lo recomendable sería implementar el sistema de control digital con una frecuencia de muestreo de al menos 2kHz. En general la implementación de un lazo de velocidad utilizando Tustin no presenta dificultades, dado que estos lazos normalmente tienen una frecuencia natural menor a 15Hz. Sin embargo, en algunos casos la digitalización de los lazos de corriente puede requerir el uso de altas frecuencias de muestreo. Si no se cuenta con el hardware apropiado para operar con una mayor frecuencia de muestreo, es recomendable utilizar técnicas de diseño más avanzadas que las discutidas en este apunte. La forma de utilizar la transformada de Tustin para convertir un controlador PI desde el

La transformación Bilineal es: s

2 ( z  1)

Ts ( z  1)

Al utilizarla en un PI analógico nos lleva a: Kp

( s  a)

s

PI Analógico



K p (aTs 2

 (aTs  2)   2)  z  ( aTs  2)  K z (z  az )  z 1 z 1

Transformación bilineal

PI Digital

Fig. 4.10. Aplicación de la transformada bilineal o de Tustin para convertir un PI analógico en un PI digital. 68 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



plano analógico al digital se muestra en la Fig. 4.10. El término Ts es el tiempo de muestreo. La frecuencia de muestreo se calcula como fs=1/Ts. Cuando los controladores digitales son implementados en un microprocesador, es frecuente considerar algún método de “antiwinding-up” [3], para detener el componente integral

(z  a )

Kz

PI Digital

z

( z  1)



K pz

 K iz

Parte proporcional

z z 1 Integrador Digital

Fig. 4.11. PI digital separado en sus componentes proporcionales e integrales.

Implementación Digital Valor anterior de la integral Constante Integral Nuevo valor de la integral

Salida al actuador

Constante proporcional

Fig. 4.12. Código fuente para la implementación de un PI digital 69 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



cuando el actuador se encuentra saturado. Para esto es necesario frecuentemente separar el componente proporcional del integral en el plano z. Esto se logra como se muestra en la Fig. 4.11, donde Kpz y Kiz se obtienen como:

   

(4.13)

Un sencillo código en leguaje C, utilizado frecuentemente en sistemas basados en DSP para implementar PI digitales con “antiwinding -up”, se muestra en la Fig. 4.12.

Este es el código que

utilizamos habitualmente en la implementación de los sistemas de control digital en el laboratorio de electrónica de potencia y accionamiento del DIE Universidad de Chile. La figura 4.13 muestra el sistema de control considerando distintas frecuencias de muestreo. En color rojo se encuentran los sistemas que deben ser re calculados en cada instante •

El muestreo está sincronizado a la frecuencia switching del PWM. Por ejemplo un PWM asimétrico de 5kHz requiere un tiempo de muestreo de 200s. Las demandas de voltage Vsd* y Vsq* son calculadas en cada período de muestreo. Por ejemplo cada 200s en un sistema operando a 5Khz. En la Fig. el sistema en color rojo es el que opera con alta velocidad de muestreo. El lazo de velocidad y de corriente magnetizante operan con 1/10 de la frecuencia de muestreo aproximadamente

• •

r* +

isq*

PI -

vsq*

PI

PI

isd*

e j e

vsd*

PI

r

-

sτr

imd*

e

isd

1 1

isq * τ r imrd

irmd

IM

PWM

θe

isq +

2/3



 j e

3/2

isabc

sl + +

re

P/2

r

d/dt

r

Fig. 4.13. Sistema de control vectorial indirecto mostrando en distintos colores las diferencias en frecuencias de muestreo. 70 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



de muestreo. En color negro se encuentran aquellos sistemas que operan con una frecuencia de muestreo menor.

4.6 Implementación del Sistema de Control con Menor Frecuencia de Muestreo Como se mencionaba al comienzo de esta sección, al implementar el sistema de control con menor frecuencia de muestreo existen algunos efectos que no es recomendable despreciar. Fig. 4.14 muestra un sistema de control con los elementos típicos de una implementación digital:

I= 100s

controlador

isq*

ki ( s  ai ) s

inversor

vsq*

1

s I

usq*

1

planta

Gp( s )

isq

1

s f

1

Filtro Antialiasing

f= 200s

•

El retardo de transporte es producido en el algoritmo de modulación del conversor PWM. Si la frecuencia de muestreo es 10kHz, entonces el retardo de transporte del inversor es aproximadamente100s (1 1/fs).

•

Filtro antialiasing. Elimina las frecuencias menores a f s/2. Para 10kHz la fecuencia de corte del filtro antialising es 5kHz y f  200 s.

Fig. 4.14. Lazo de control considerando filtro y antialiasing y retardo de transporte en el conversor PWM.

Cuando la frecuencia de muestreo es alta, el filtro antialiasing no es importante porque la frecuencia de corte se encuentra a más de 10 veces la posición de los polos dominantes del lazo de corriente. Por ejemplo si la frecuencia natural es 100Hz y la frecuencia de muestreo es 10kHz, entonces los polos del filtro antialiasing se encuentran cerca de 5kHz. Esto significa aproximadamente 25 veces a la izquierda de los polos de lazo cerrado del control de corriente. 71 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



El mismo análisis se puede realizar con el retardo de transporte del inversor. Generalmente estos polos se encuentran alejados lo suficiente como para no afectar demasiado el diseño del lazo de corriente. Sin embargo existen varios motivos por el cual puede ser requerido bajar la frecuencia de muestreo en la implementación. Por ejemplo cuando se desea diseñar un sistema de accionamientos de bajo costo. En este caso se debe reducir el costo de los componentes digitales como DSPs o microcontroladores. Otro caso en que es necesario reducir l a frecuencia de operación, es en sistemas de altas potencias. Al alimentar una máquina de inducción de potencias en el orden de los MWs, existen dificultades técnicas para operar el conversor PWM con frecuencias de switching en exceso de 1kHz.




Capítulo V MODELACIÓN Y SIMULACIÓN DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN JAULA DE ARDILLA EN COORDENADAS -




V. Modelación y Simulación de la Máquina de Inducción Jaula de Ardilla en Coordenadas -.

5. 1 Ecuaciones de Estado Para fines de simulación, el modelo de la máquina jaula de ardilla se implementa en coordenadas - de estator. Por simplicidad algunas de las ecuaciones de los capítulos anteriores se repiten a continuación:

 ̅   ̅   Donde el término



(5.1) (5.2)

se utiliza para transferir la dinámica del rotor a coordenadas de estator. La

ecuación (5.2) puede reescribirse como:

̅   

(5.3)

El flujo del rotor y estator en coordenadas - pueden obtenerse desde las corrientes de la máquina. De esta forma se obtiene:

 ̅ ̅  ̅ ̅

(5.4)

Las ecuaciones de estado de la máquina de inducción jaula de ardilla, se pueden obtener a partir de (5.1)-(5.4). En este curso la prioridad no es el desarrollo algebraico, por este motivo se utiliza software de procesamiento simbólico como MAPPLE o similar para encontrar las ecuaciones de estado. La resolución se realiza utilizando el conjunto de instrucciones MAPPLE que se encuentran en las Figs. 5.1 y 5.2, Donde el término “Diralfa” indica dir/dt. De la misma forma se definen (dis/dt), (dis/dt) y (dir/dt).




Fig. 5.1. Comandos utilizados en Mapple para encontrar las ecuaciones de estado de la máquina de inducción jaula de ardilla.

Fig. 5.2. Solución encontrada en MAPPLE 75 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



Del desarrollo mostrado anteriormente es simple encontrar las ecuaciones de estado de la máquina, que tienen la forma:

is   a11 ... ... a14  is   b11 b12  i   :    :  : is  : Vs  s    s     ir   : :  ir   : :  Vs         i r  a41 ... ... a44  i r  b41 b42 

(5.5)

Donde “s” es el operador de Laplace representando (d/dt) en el dominio del tiempo. Los valores

de las matrices A y B, para fines de simulación se obtienen a partir de las instrucciones de MAPPLE mostradas en la Fig. 5.2 y (5.5). Esta solución se puede calcular utilizando un archivo “m” de MATLAB como:

global Rs Rr L0 Ls Lr Sig wr, Ts; global Isa0 Isb0 Ira0 Irb0; % valores iniciales de estados global A B; % Matrices de la ecuación de estado. wr=2*pi*30; % r velocidad eléctrica Rs=1.7;Rr=2.2;Ls=0.4186; % Reemplazar estos parámetros Lr=0.4186;L0=0.4058;Sig=0.06022; %Por los propios % Sig se calcula como Sig=(Ls*Lr-L0^2)/(Ls*Lr) Isa0=0;Isb0=0; Ira0=0;Irb0=0; Ts=50e-6; %valor de muestreo necesario para simular la máquina. Ts no es necesariamente igual al período de switching % % Valores de la matriz de estado % A(1,1)=-Rs/(Sig*Ls); A(1,2)=wr*(L0*L0)/(Sig*Ls*Lr); A(1,3)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls); A(1,4)=L0*wr/(Sig*Ls); % Fila 2 A(2,1)=-(L0^2)*wr/(Sig*Lr*Ls); A(2,2)=-Rs/(Sig*Ls); A(2,3)=-wr*L0/(Sig*Ls); A(2,4)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls); %Fila 3 A(3,1)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls); 76 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



A(3,2)=-wr*L0/(Sig*Lr); A(3,3)=-Rr/(Sig*Lr); A(3,4)=-wr/Sig; % Fila 4 A(4,1)=wr*L0/(Sig*Lr); A(4,2)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls); A(4,3)=wr/Sig; A(4,4)=-Rr/(Sig*Lr); B(1,1)=1/(Sig*Ls); B(1,2)=0; B(2,1)=0; B(2,2)=B(1,1); B(3,1)=-L0/(Sig*Lr*Ls); B(3,2)=0; B(4,1)=0; B(4,2)=B(3,1); % Una vez obtenidos valores de las matrices de estado, la modelación de la máquina de inducción puede ser realizada en tiempo continuo o en tiempo discreto. Ambas posibilidades son permitidas por MATLAB. Personalmente y dado que los computadores actuales permiten velocidades de procesamientos bastante altas, prefiero utilizar simulación con modelos discretos. De todas formas, los modelos implementados en MATLAB serán simulados en forma discreta utilizando algún algoritmo como Runge-Kutta 4 o similar. Para implementar las ecuaciones de estado en forma discreta se utiliza:

is   is  is   i   i  i   s s   s   s      ir   ir  ir          i i  r    r  k 1 ir  k 

Ts

(5.6)




Donde el subíndice k+1 indica valores de las variables de estado como resultado de la iteración (k+1). Ts es el intervalo de tiempo entre iteración e iteración y que puede ser igual al período de switching del PWM (aunque esto no es estrictamente necesario). Se debe tener en cuenta que la aproximación de (5.6) no es muy exacta a menos que se utilice un tiempo de iteración relativamente pequeño. Por otra parte valores muy bajos de Ts pueden producir problemas debido a que la diferencia entre [X] k+1 y [X]k será afectada por la precisión utilizada en la representación de números reales. Si en el modelo que se presenta en este capítulo se utiliza un tiempo de muestreo de aproximadamente 10 a 15 s, el estudiante puede tener la impresión de que el sistema está desorientado y que, por ejemplo, en estado estacionario la corriente magnetizante no es idéntica a la corriente en eje directo. Eso es correcto, lo más probable es que el sistema este ligeramente desorientado debido que al muestrear la corriente a 15 s, el sistema digital mantiene constante todas las variable muestreadas durante ese tiempo en circunstancias que las corriente reales están variando. Por ese motivo se introduce un atraso que es propio de la implementación digital. En un accionamiento real existe una pequeña desorientación debido a la fase introducidas por los muestreadores, retentores de orden cero y algoritmos de modulación PWM. Obtener perfecta orientación del sistema de control es casi imposible en una implementación real. Más aun, en el modelo típico de la máquina jaula de ardilla se desprecian las pérdidas en el fierro y esto puede tener influencia en la orientación del sistema de control, particularmente en una máquina pequeña. Utilizando (5.6), las ecuaciones de estado discreta son obtenidas como:

is   1  i   s    0  0 ir     i r  k 1  0

0

0

1

0

0 1 0

0

 a11   0   Ts  :  : 0   1 a41 0

... ...

a14   is     :  is

    ir     a44   i r  k :

... ...

 b11 b12   :  : Vs     (5.7)  Ts   : :  Vs  k   b41 b42 

La principal ventaja de la modelación discreta de la máquina es que esta puede ser realizada en una función de MATLAB. Los valores que en forma previa fueron calculados como [X] k+1, se utilizan como [X]k en la iteración siguiente. El código necesario para simular en forma discreta la máquina de inducción jaula de ardilla es: 78 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



function [Im] = mija(Viz) %Mija= maquina de inducción jaula de ardilla global Isa0 Isb0 Ira0 Irb0; % valores de los estados en la iteracion anterior global Ts; %Tiempo entre iteraciones global A B ; %Matriz A,B. Va=Viz(1); Vb=Viz(2); wr=Viz(3); ID=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1] % Matriz identidad de 4x4. Se puede definir en Initial.m como variable global Vc=-(Va+Vb); Val=1.5*Va; %Valfa Vbet=0.8666*(Vb-Vc); %Vbeta Ik_1=(ID+A*Ts)*[Isa0 Isb0 Ira0 Irb0]'+B*Ts*[Val Vbet]'; % Valores de la iteración en k Isa0=Ik_1(1); % se almacenan los valores de k+1 para la proxima iteración Isb0=Ik_1(2); Ira0=Ik_1(3); Irb0=Ik_1(4); Im=Ik_1; % Retorna el vector de estado k+1. return

5.2 Expresiones Matemáticas Relacionadas con el Modelamiento de la Máquina de Inducción Jaula de Ardilla. Las expresiones de torque y corriente magnetizante desarrolladas en el Capítulo 3, asumen que la máquina se encuentra correctamente orientada, lo cual no es correcto del punto de vista de simulación, particularmente cuando se realizan estudios relacionados con los efectos derivados de una incorrecta identificación de la constante de tiempo de rotor. Por este motivo, como parte de este modelo, se utilizan rutinas en coordenadas α-β para calcular el torque,

corriente

magnetizante y otros.

  ̅

La expresión utilizada para calcular el torque de rotor en la sección 3.4 es: (5.8)

cuando se utiliza la transformación α-β de (2.6) k es definida como: 79 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


  


(5.9)

El torque es proporcional al producto cruz entre el vector de flujo de estator (producido desde

el rotor) y el vector de corriente de estator. Es muy sencillo demostrar matemáticamente que este producto cruz tiene idéntico valor cuando se calcula en coordenadas d-q o en coordenadas αβ,

a pesar de que en un caso se esté operando con señales continuas y en el otro caso con señales

sinusoidales. Utilizando (5.8) y (3.30), el torque se puede calcular como:

   [  ]

(5.10)

   [ ]

(5.11)

Finalmente el torque eléctrico se calcula como:

Al modelar la máquina jaula de ardilla, es correcto utilizar la corriente del rotor referida a estator para obtener (5.11). Sin embargo recuerde que la corriente de rotor no es medible en una máquina jaula de ardilla, por lo tanto no debe utilizar esta corriente, ni ninguna señal que no sea medida/estimada en una implementación real, en la simulación del sistema de control. En este caso en el modelo del sistema de control vectorial , como se ha derivado en el Capítulo 3, se utilizan solo la corriente de estator y flujo de rotor como variables de estado. La posición del flujo de rotor también se puede calcular en α-β a partir de (5.4) como:

 ̅ ̅      ( )

(5.12)

Y la corriente magnetizante se calcula como:

(5.13)

Ecuaciones (5.11)-(5.13) son simples de implementar en el código fuente de MIJA.m 80 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



5.3 Ejemplo de Implementación de un modelo en Matlab y Simulink. La figura 5.3 muestra un ejemplo de un modelo de control vectorial para una máquina de inducción Jaula de Ardilla, utilizando el software MATLAB/simulink. Las siguientes rutinas han sido utilizadas en esta modelación: -

MIJA.m. Rutina en que se encuentra el modelo discreto de la máquina jaula de ardilla en coordenadas -. Las entradas al modelo son las tensiones de fase y la velocidad rotacional en rads-1 eléctricos.

-

Initial.m. Rutina que inicializa todas las variables globales y locales requeridas.

-

AB2DQ.m. Rutina que convierte de coordenadas de estator a coordenadas d-q referidas al eje rotatorio sincrónico. Las entradas son las corrientes - de estator, y el ángulo del eje rotatorio sincrónico (e). Las salidas son las corrientes de estator en d-q.

-

DQ2ABC.m. Rutina que convierte tensiones en coordenadas d-q en tensiones de fase en coordenadas a-b-c. Las entradas son las tensiones d-q y el ángulo del eje rotatorio.

Las salidas del sistema de control son las tensiones de fase en coordenadas a-b-c que se aplican al estator de la máquina. En el modelo mostrado en la Fig. 5.3 se asume que el actuador tiene ganancia unitaria.



Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla 5 e c a p s rk o W o T

l a e r _ m I

1

1

]l a e r _ Im [

e t re c s i D

1 e c a p s k r o W o T

Id

8 n c F r fe s n ra T

1

1

l a re _ H T

4 n c e t F r re c e is fs D n ra T

1

1

]l a e r _ H T [

4 m o r F

8 e c a p s rk o W o T


ts E _ H T

1 1 n e t c F re c rf is e D s n ra T

1

t]s E _ H T [

5 m o r F

2 1 n c F r fe s n a r T

e t re c s i D

1

0 1 e c a p s rk o W o T

e T

1

6 m o r F

e t re c s i D

1


Iq

3 1 n c F r fe s n a r T

1

e p o c S

1

5 n c te F r re e c f is s D n ra T

7 m o r F

] e [T

1


a V


d V

1

1

1

1

te re c s i D


Id

Iq

a lf Ia

ta e Ib

e _ ta e h T a t e h T

1

n c F r fe s n ra T

1

a V

b V

c V

d V

q V

ta e h T

1

te re c is D

1 n c F r e fs n ra T

1

1

2 n c F r e fs n ra T

te re c is D

r o t o r l e d lo u g n A

3 to o G

n io tc n u F

r ro r E

e W

2 to o G

Iq

1 s

A e d a l u a J r to o M

to o G

] e [T

6 o t o G

r to a r g te In

] e w [

1 to o G

2 d d A

m ro F 1

d V

] ta e h T [

C B A 2 Q D

] ta e h T [

d I p U g n i d n i W it n A n o c I P

5 to o G

4 to o G

a lli rd B A L T A M


k c lo C

]l a e r _ H T [

te re c is D

e t re c is D

1

Q D 2 B A

l] a e r _ m [I

ta e B Is

fa l a s I

7 n c e t F re re c is fs D n ra T

a lil rd a e d la u ja a in u q à m a r a p

] Id [

1

]t s E _ H [T


q V

0 1 n c te F e r rc f is e D s n ra T

1

1

l ira to c e lv o tr n o c e d a m e ts is n ò ic a l u im S

1 e p o c S


e im t

1 d I p

q V

r o rr E

1

3 n c e t F r re e c is fs D n a r T

f) e r Id *r T (/ 1

U g in d in e W

d I

1 d d A

d d A

W it n A n o c I P

r w

3 m ro F

] d [I

] e [w

ip l S e d o l u c l a C

t n a ts n o C

2 m o r F

t c u d o r P

f e r Id

t1 n ta s n o C

] e w [

1 m o r F

f re q I

2 t n ta s n o C

p te S

Fig. 5.3. Modelo de simulación de la máquina jaula de ardilla, incluyendo controladores. 82 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



En la Fig. 5.3, los bloques principales son los siguientes: Rutina antiwinding up PI analógico 1

100000

Kp

Error Gain

1

s+100000 Add1

Transfer Fcn1

Add2

Vd

Saturation

Ki s

Product

Transfer FcnFcn f(u)

2 We Sig*Ls Product1 3

Gain1

Iq

Términos de desacoplamiento

Fig. 5.4. Bloque que representa el controlador PI, con antiwinding-up, para el controlador de corriente de eje directo. 1 Error

Kp Gain

100000

1

s+100000 Add1

Transfer Fcn1

Product

Saturation

Ki s

Vq

Add 2

Transfer Fcn Fcn f(u)

2 Id

1

Im L0*L0/Lr

Tr.s+1 Transfer Fcn2

Product1 Gain1

3 We

Sig*Ls Product2 Gain2

Términos de desacoplamiento PI eje en cuadratura Fig. 5.5. Bloque que representa el controlador PI, con antiwinding-up, para el controlador de corriente de eje en cuadratura. 83 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



Fig. 5.6. Bloque para transformar los voltajes d-q en voltajes a-b-c.

Fig. 5.7. Bloque para transformar las corrientes de estator - en corrientes d-q.

El bloque del controlador tiene una función de transferencia correspondiente a un filtro de primer orden. Esta función de transferencia es: G ( s) 

10000 s  10000

(5.14)

Este filtro no está presente en una implementación real. Se utiliza debido a que el diagrama de la Fig. 5.3, tiene un “algebraic loop”, que es una condición que puede producir inestabilidad en una simulación. Para romper este lazo algebraico se utiliza un filtro con una frecuencia de corte muy alta y que en la práctica no produce ningún cambio en el modelo, porque sus polos se encuentran muy a la izquierda en el plano s y alejados de los polos dominantes. 84 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla Es posible que su modelo no tenga ese lazo algebraico, y el filtro “ficticio” no sea

necesario. Los códigos fuentes de las rutinas utilizadas en Matlab se encuentran al final de este capítulo en un apéndice. Nótese que en la Fig. 5.5 se ha implementado un observador de la corriente magnetizante de acuerdo a (3.26). Esto se debe a que el modelo de la máquina jaula de ardilla se ha utilizado en este capítulo para estudiar la respuesta del sistema ante cambios tipo escalón en ids. En la mayor parte de las aplicaciones, con el sistema operando a flujo nominal, este observador no es necesario y se puede asumir que imisd. Debido a que la respuesta del sistema de control de velocidad es lenta, en este capítulo no se presentan resultados del sistema operando a velocidad variable. Sin embargo es relativamente simple diseñar e implementar un lazo de control de velocidad rotacional en la Fig. 5.3. Uno de los aspectos más molestos de las transformadas utilizadas convencionalmente, es que la corriente (o voltaje) en coordenadas α-β no representan la corriente real, que se encuentra

en el devanado, sino que un valor que es

√

veces mayor. Por este motivo, en los artículos

publicado en la literatura, normalmente se grafican los equivalentes rms de las corrientes d-q obtenidas utilizando (2.36). Como asumo que mis estudiantes ya se encuentran bastante confundidos, no quiero confundirlos aún más efectuando este cambio de unidades al graficar voltajes y corrientes en α-β o d-q. Pero se deber recordar que para obtener el valor real de las señales en algunos de los gráficos mostrados, por ejemplo en las Figs. 5.9 a 5.14, se debe multiplicar por 0.4715.

5.4 "Partida" de la Máquina. Cuando la máquina se encuentra sin flujo, es decir en condiciones similares a la partida (con la diferencia de que r≠0 en las simulaciones efectuadas en este capítulo), es posible observar la baja dinámica de respuesta del lazo de magnetización. Para esta simulación se utiliza r=900rpm, ids*=6A

(equivalente a 2.82A rms). La corriente de torque inicial se ajusta en i qs*=

8A (8A obtenidos utilizando la transformada a-b-c/d-q de (2.36) son equivalentes a 3.8A rms 85 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



reales) . En esta prueba se asume que la constante de tiempo del rotor se encuentra correctamente estimada. El diseño de los controladores de corriente se efectúa asumiendo una frecuencia natural de 100Hz y un coeficiente de amortiguamiento =0.8. El lugar de la raíz se muestra en la Fig. 5.8. El controlador utilizado para regular las corrientes de estator tanto en el eje directo como en el eje en cuadratura es: (5.15)

 

Los parámetros de la máquina utilizada en esta simulación son: Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 1000

800

600

400

200

s i x A g a Im

0

-200

-400

-600

-800

-1000 -1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

Real Axis

Fig. 5.8 Lugar de la raíz utilizado para el diseño de los controladores de corriente.

Rs Lr

 1.7 Rr  2.2   0.06022  0.4186H Ls  0.4186H L 0  0.4058H

(5.16)

Fig. 5.9 muestra los resultados obtenidos al magnetizar la máquina. En la Fig. 5.9a se muestra la corriente magnetizante obtenida desde (5.13) y la corriente del eje directo de estator. La diferencia es apreciable debido a que las corrientes de estator (ids, iqs) están reguladas con controladores de alta velocidad. La dinámica de la corriente magnetizante depende de la 86 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



constante de tiempo del rotor que en este caso es de 0.19s. Por este motivo la respuesta de la corriente magnetizante se estabiliza en aproximadamente 0.6s lo que equivale a 3r. Una mayor velocidad de respuesta se puede obtener si se incluye un lazo de corriente magnetizante en la Fig. 5.3. Este lazo se muestra en la Fig. 4.13. Una mayor discusión se encuentra en [12]. En la fig. 5.9b se muestra el ángulo del flujo de rotor control utilizando (3.41) y el ángulo del flujo de rotor





estimado por el sistema de

entregado por el modelo y calculado que

utilizando (5.12) (se asume que el ángulo entregado por el modelo es el valor “real”). Nótese

de acuerdo a los resultados mostrados en la Fig. 5.9b, el sistema de control se encuentra desorientado para t<0.5s, mientras la corriente magnetizante converge a ids. 8

ids

) 6 A ( e t n 4 e ir r o 2 C

im a)

0 20 0

s o-20 d a r -40 G

ê   e

b)

-60 -80 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

Fig. 5.9 "Partida de la máquina" a) Corriente magnetizante y corriente directa. b) Diferencia entre la posición estimada y la posición real del flujo de rotor.

5.5 Dinámica de los lazos de corriente de estator. En la Fig. 5.10 se muestra un transiente de torque, desde 8A a 16A ( 3.8A rms a 7.6A rms). El tiempo de establecimiento es de aproximadamente 10ms lo cual muestra la alta dinámica obtenida con un sistema de control vectorial correctamente orientado. Se observa que 87 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



durante el transiente los sistemas de control de corriente no se encuentran totalmente desacoplados, a pesar de que se incluyen los términos de desacoplamiento mostrados en las Figs. 5.4 y 5.5. El impacto en i qs produce una pequeña perturbación en la corriente i ds. El efecto de esta perturbación es despreciable y prácticamente no se refleja en la corriente magnetizante debido al filtro 1/(sr+1) existente en (3.26) (la frecuencia de corte de este filtro es 0.84Hz considerando los parámetros de la máquina modelada en este capítulo). 20

16

iqs a)

12

8

) A ( t n e r r u C

4 8

b)

7

ids 6

5

4 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Tiempo (s)

Fig. 5.10 Transiente de corriente de torque. a) corriente iqs b) Corriente ids

En la Fig. 5.11 se presenta un cambio tipo escalón en la corriente de eje directo, manteniéndose la corriente de cuadratura constante. Un escalón en la corriente directa es algo altamente improbable en un sistema real y se muestra solamente para analizar la dinámica del sistema de control estudiado en este apunte. 88 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



La Fig. 5.11a se muestra la respuesta del sistema de control cuando se produce el cambio en la corriente de eje directo. Nuevamente la dinámica de la respuesta es lenta, con un tiempo de establecimiento de aprox. 0.5-0.6 para la corriente magnetizante. La perturbación que se produce en la corriente de torque es prácticamente despreciable, tal como se muestra en la Fig. 5.11b. Es interesante observar que la respuesta del sistema de control de corriente de eje directo es muy rápida, tal como se muestra en la Fig. 5.11a Sin embargo la corriente i ds no tiene mayor significado en este caso. Lo verdaderamente importante es la corriente magnetizante de la cual depende el flujo. Si se requiere una mayor dinámica, se debe utilizar un lazo adicional para el control de flujo. Por ejemplo algo similar a lo que se muestra en la Fig. 4.13. 14 12

ids

10

im

8

a)

6 4 2 ) (A 0 e te n rir 10 o C 9

b)

iqs

8

7

6

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Fig. 5.11. Transiente de corriente de eje directo. a) corriente en eje directo y corriente magnetizante b) Corriente de torque.

Fig. 5.12 muestra la tensión de estator fase neutro aplicada a la máquina, para el test mostrado en la Fig. 5.11. Como se discute en la sección 3.3 (después de (3.24)), el flujo de la máquina es casi




directamente proporcional a la tensión de estator requerida. Por este motivo al doblar la corriente de eje directo aproximadamente se duplica la tensión de estator necesaria. 500

400

) (V je a tl o V

300

200

100

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Fig. 5.12 Voltaje de estator correspondiente al test anterior.

5.6 Pérdida de Orientación del Sistema de Control Vectorial. Para mostrar los efectos de desorientar el sistema de control vectorial, se utilizarán variaciones tipo escalón en la constante de tiempo de rotor estimada. Fig. 5.13 muestra las corrientes de la máquina cuando la constante de tiempo de rotor es sobreestimada

̂ 

lo que correspondería al caso típico de aumento de la resistencia de rotor

por calentamiento. En t=0.7s, se produce el cambio tipo escalón y el valor de

  

̂

varía desde

. El sistema de control se desorienta debido a que no se cumplen (3.40)-(3.41) (ya que

̂  

a

). Como resultado de la desorientación la corriente magnetizante aumenta, lo cual puede

producir saturación de la máquina e incremento en las pérdidas del fierro. Nótese que la regulación de la corriente de eje directo es todavía apropiada, pero en este caso i m  ids/(sr+1). La Fig. 5.13b muestra la corriente de torque real y estimada. La corriente de torque regulada por el sistema de control, no corresponde a la corriente real. Finalmente se observa el ángulo en que se encuentra desorientado el sistema que en este caso corresponde a 19.5 . En la Fig. 5.13b el torque calculado se reduce levemente después de desorientarse el sistema. En una 90 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla 10

^

5

ids

a)

im

0

) (A e t -5 0 n ie rr o 15 C

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

^

iqs

10

5

0

b) 0

0.2

0.4

0.6

iqs 0.8

1

1.2

1.4

1.6

50

c)

s o d rG a

e  e ˆ

0

-50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.2

1.4

1.6

8

d)

6

m4 N

Te

2 0 -2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo(s)

Fig. 5.13.Cambio tipo escalón en la constante de tiempo del rotor para t=0.7s. a) Corriente en eje directo estimada y corriente magnetizante. b) Corriente de torque real y estimada. c) Diferencia entre el ángulo estimado y real del flujo de rotor. c) Torque calculado utilizando (5.11) 91 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile


Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla 8 6

^

ids

4

im

2

) (A e t

a)

0 -2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n ie rr 15 o C

iqs

10

^

iqs

b) 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

50

c)

s o0 d ra G -50

ê 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

 e

1.4

1.6

1.4

1.6

8 6

d)

4

m N2

Te

0 -2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo(s)

Fig. 5.14.Cambio tipo escalón en la constante de tiempo del rotor para t=0.7s. a) Corriente en eje directo estimada y corriente magnetizante. b) Corriente de torque real y estimada. c) Diferencia entre el ángulo estimado y real del flujo de rotor. c) Torque calculado utilizando (5.11) 92 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



implementación real, la saturación produciría una caída mayor en el torque electromagnético desarrollado por la máquina de inducción jaula de ardilla. En la Fig. 5.14 se muestra el efecto de subestimar la constante de tiempo del rotor. En este

caso

̂  

lo cual corresponde a un caso algo más irreal ya que correspondería a un

aumento en la inductancia mutua, a una disminución en la resistencia de rotor o a un grosero error en la estimación inicial de la constante de tiempo de rotor. De acuerdo a la Fig. 5.14, la corriente magnetizante disminuye, lo que redunda en una reducción en el torque electromagnético producido en la máquina tal como se constata en la Fig. 5.14c. En el resto de las señales se produce un aumento en la corriente de torque real y el error en el ángulo del flujo de rotor cambia de signo. En general estas variaciones son de signo contrario a las producidas en la Fig. 5.13. 15

10

5

^

im ) A ( e t n e ir r o C

0

0

0.2

a)

ids 0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

20 15

^

iqs

10 5 0

b)

Te 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo (s) Fig. 5.15. Impacto de carga considerando desorientación. a) Corriente magnetizante y estimada del eje directo de estator. b) Corriente estimada de torque y torque electromagnético 93 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



En los resultados mostrados en la Fig. 5.15, el sistema de control se encuentra ya operando desorientado, con

̂ 

, cuando se aplica un impacto en la corriente de torque. La

Fig. 5.15a muestra un resultado importante. La corriente magnetizante esta acoplada con la corriente regulada en el eje de cuadratura (lo que el sistema de control "cree" que es el eje en cuadratura). Al aumentar la corriente

̂ 

, aumenta im y la maquina se saturaría aun mas. En

cuanto al torque , este tiene una respuesta lenta que está acoplada a las variaciones de la corriente im (el mismo eje de ordenadas se utiliza para indicar las unidades de la corriente de cuadratura y el torque electromagnético). Esto significa que parte de las ventajas del control vectorial se han perdido. A pesar de la desorientación del sistema de control, las corrientes

̂ ̂  e

se encuentran

bien reguladas con una alta dinámica de respuesta en los lazos de control. Sin embargo esto no es realmente importante. El objetivo de un sistema de control vectorial no es solo regular apropiadamente las corrientes de estator sino que proveer un control adecuado de torque y flujo. Esto en general no se cumple cuando el sistema se encuentra muy desorientado. En este sistema no se ha simulado el lazo de control de velocidad el cual es muy lento y requiere un tiempo de simulación bastante alto. En caso de tener variaciones de baja frecuencia en el torque, producidas por la desorientación del sistema de control, estas deberían ser compensadas por el lazo de velocidad. Frecuentemente esto se traduce en oscilaciones en la velocidad rotacional de la máquina debido a que el controlador de velocidad debe compensar los acoplamientos existentes entre la corriente magnetizante y la corriente de torque. Los códigos fuentes de los programas tipo m que se entregaron en este capítulo, tienen algunas simplificaciones. A continuación se entregan en un apéndice las versiones algo más complejas que fueron utilizadas para obtener las figuras discutidas en esta sección. Recuerde que los archivos de simulación utilizados en este capítulo pueden ser obtenidos desde: https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2011/1/EM722/1/material_docente/ https://sites.google.com/a/usach.cl/rcd/https-sites-google-com-a-usach-cl-rcd. 94 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



5.7 Apéndices: Rutinas MATLAB Utilizadas Programa Initial. Inicializa las variables globales y locales.

global Ts; global Rs Rr L0 Ls Lr Sig wr Tr; global Isa0 Isb0 Ira0 Irb0; global A B ID; Idref=6; Iqref=8 %2*1.4142*1.5 Vmax=1200; Ts=1e-6; %10e-6; % sampling time % % % wr=2*pi*30; Rs=1.7;Rr=2.2;Ls=0.4186; Lr=0.4186;L0=0.4058;Sig=0.06022; Tr=Lr/Rr; Isa0=0;Isb0=0; Ira0=0;Irb0=0; ID=eye(4); %Matriz Identidad Kp=23.63;Ki=421; % % Valores de la matriz de estado % A(1,1)=-Rs/(Sig*Ls); A(1,2)=wr*(L0*L0)/(Sig*Ls*Lr); A(1,3)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls); A(1,4)=L0*wr/(Sig*Ls); A(2,1)=-(L0^2)*wr/(Sig*Lr*Ls); A(2,2)=-Rs/(Sig*Ls); A(2,3)=-wr*L0/(Sig*Ls); A(2,4)=Rr*L0/(Sig*Lr*Ls); A(3,1)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls); A(3,2)=-wr*L0/(Sig*Lr); A(3,3)=-Rr/(Sig*Lr); A(3,4)=-wr/Sig; A(4,1)=wr*L0/(Sig*Lr); A(4,2)=Rs*L0/(Sig*Lr*Ls); A(4,3)=wr/Sig; A(4,4)=-Rr/(Sig*Lr);



Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla B(1,1)=1/(Sig*Ls); B(1,2)=0; B(2,1)=0; B(2,2)=B(1,1); B(3,1)=-L0/(Sig*Lr*Ls); B(3,2)=0; B(4,1)=0; B(4,2)=B(3,1);

Rutina de simulación máquina Jaula de ardilla function [Im] = mija(Viz) %Mija= maquina de inducción jaula de ardilla global Isa0 Isb0 Ira0 Irb0; % valores de los estados en la iteración anterior global Rs Rr L0 Ls Lr Sig; global Ts; %Tiempo entre iteraciones global A B ID ; %Matriz A,B. Va=Viz(1); Vb=Viz(2); Vc=Viz(3); wr=Viz(4); Val=1.5*Va; %Valfa Vbet=0.8666*(Vb-Vc); %Vbeta Ik_1=(ID+A*Ts)*[Isa0 Isb0 Ira0 Irb0]'+B*Ts*[Val Vbet]';% Valores de la iteración en k % ' es el simbolo que indica matriz o vector transpuesto Isa0=Ik_1(1); % Se almacenan los valores de k+1 para la proxima iteración Isb0=Ik_1(2); Ira0=Ik_1(3); Irb0=Ik_1(4); Iz=Ik_1; % Calculo de la corriente magnetizante Phr_alfa=Lr*Ira0+L0*Isa0; %Flujo de rotor en el eje Alfa Phr_beta=Lr*Irb0+L0*Isb0; %Flujo de rotor en el eje Beta Im_real=(sqrt(Phr_alfa*Phr_alfa+Phr_beta*Phr_beta))/L0; % Corriente Magnetizante % Calculo del angulo de flujo TH_real=atan2(Phr_beta,Phr_alfa); %Angulo de flujo estimado por el control vectorial % Calculo del Torque Te=(L0/3)*(Isb0*Ira0-Isa0*Irb0); %define salidas y finaliza funcion. Iz(3)=Im_real; Iz(4)=TH_real; Iz(5)=Te; Im=Iz;



Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla return

Transformada - a d-q. function [Idq] = AB2DQ(Iab) %Convierte alfa beta a d-q Ialfa=Iab(1); Ibeta=Iab(2); Theta=Iab(3); Id=Ialfa*cos(Theta)+Ibeta*sin(Theta); Iq=-Ialfa*sin(Theta)+Ibeta*cos(Theta); Idq=[Id Iq]; return

Transformada d-q a -.

function [Vabc] = DQ2ABC(Vdq) %Convierte d-q a a-b-c Vd=Vdq(1); Vq=Vdq(2); Theta=Vdq(3); Valfa=Vd*cos(Theta)-Vq*sin(Theta); Vbeta=Vd*sin(Theta)+Vq*cos(Theta); Va=(2/3)*Valfa; Vb=(-1/3)*Valfa+(1/sqrt(3))*Vbeta; Vc=(-1/3)*Valfa-(1/sqrt(3))*Vbeta; % Ojo. Estas tensiones tienen terceros armonicos todavia Vabc=[Va Vb Vc]'; return




Capítulo VI CONTROL A FLUJO DEBILITADO




VI Control a Flujo Debilitado

6.1 Introducción. Las máquinas de inducción jaula de ardilla tienen un máximo valor de voltaje que puede ser aplicado al estator. Este voltaje está limitado por el actuador, usualmente un inversor, y por la aislación de la máquina. Asumiendo orientación en el flujo del rotor, en estado estacionario (ver Fig. 3.3), la tensión directa y en cuadratura del estator pueden ser expresadas como:

        

(6.1) (6.2)

De (6.2) se concluye que la mayor parte del voltaje de estator esta aplicado en el eje en cuadratura. Esto se debe a que la impedancia serie de la máquina es pequeña y el voltaje es aproximadamente igual a la derivada del flujo :

 ⁄ ⁄⁄   

(

donde el término “j” indi ca el desfase de 90 grados entre flujo y voltaje.

Utilizando la expresión

y reemplazando el deslizamiento con (3.28) en

(6.2) se tiene:

        

(6.3)

Finalmente, (6.3) se puede escribir como:



(6.4)

       Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



De (6.4) se concluye que la tensión en cuadratura es aproximadamente proporcional al flujo y a la velocidad rotacional.

6.2 Control a Flujo Debilitado Utilizando la Ecuación Simplificada. Si se desprecian las impedancias series de la máquina, es decir las inductancias de dispersión y las resistencias de rotor y estator, se llega a:

||      || 

(6.5)

por lo tanto existe una máxima velocidad que se puede alcanzar con la máquina operando a flujo nominal y máximo voltaje aplicado al estator. Después de alcanzar este límite el flujo debe reducirse de acuerdo a:

   En (6.6)



(6.6)

corresponde al valor calculado en la ecuación (6.5). Es decir el máximo valor de

velocidad que se puede alcanzar con la máquina operando a flujo nominal. En la literatura este



término se conoce como velocidad base u . De (6.6) se concluye que, si por ejemplo, se desea operar la máquina a dos veces la velocidad nominal, entonces el flujo debe reducirse a la mitad. En algunas implementaciones se utiliza e en vez de r y se reescribe (6.5) utilizando un valor emax La principal desventaja de operar a flujo debilitado es que el torque es proporcional al flujo. Por lo tanto a flujo debilitado el torque se recalcula como:

       

(6.7)

valor de torque que es inversamente proporcional a la velocidad (sobre la velocidad base). La potencia de la máquina se obtiene como:




120

Zona de torque máximo constante

110

-ωbase

100

ωbase

Zona de potencia máxima constante

% r 90 o t ro e 80 d o j 70 lu F 60 50 40 -4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

Velocidad rotacional

Fig. 6.1. Zonas de operación a flujo nominal y debilitado

       

(6.8)

Al operar con la corriente de torque nominal isqn, en la zona de flujo debilitado la potencia máxima es aproximadamente constante. Por lo tanto la máquina de inducción jula de ardilla al igual que la máquina de continua (y la mayoría de las máquinas eléctricas), tiene al menos dos zonas de operación. A flujo nominal o de torque máximo constante y la segunda zona de operación a flujo debilitado con potencia máxima constante. Esto se muestra en mayor detalle en la Fig. 6.1.

6.3 Control a Flujo Debilitado Óptimo La variación del flujo realizado de acuerdo a (6.6) es inexacta aunque simple de implementar. A diferencia de la máquina de continua, en la máquina de inducción jaula de ardilla, la caída de tensión en las impedancias serie de la máquina es más importante a alta velocidad. Esto se debe al aumento de frecuencia y su correspondiente efecto de aumentar la caída de tensión en las inductancias de dispersión. Existen algunas publicaciones que proponen el 101 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



uso de algoritmos óptimos para operar la máquina de inducción jaula de ardilla a flujo debilitado [12], [23], [24] De acuerdo a estos artículos es posible obtener un aumento substancial de potencia con respecto al esquema convencional de (6.6), de hasta un 35%, dependiendo del punto de operación de la máquina. Esto es importante especialmente cuando la máquina se opera como generador de inducción a velocidad variable.

  y la definición de

En estado estacionario considerando ecuaciones (6.1) y (6.2) pueden escribirse como:

     

 dada por (2.25),

las

(6.9) (6.10)

Despreciando la resistencia de estator, las corrientes directa y en cuadratura pueden calcularse como:

            

(6.11)

Si los límites de voltaje y corriente son considerados, se obtienen las siguientes ecuaciones: (6.12) (6.13)

Donde vsmax e ismax, son el máximo voltaje disponible y la máxima corriente permitida en el estator respectivamente. La potencia generada/consumida por la máquina es el producto punto entre el vector voltaje de estator y el vector corriente de estator. Es decir:

      

(6.14)

representa producto punto y el término “k” depende de la transformada α-β

Donde el símbolo



utilizada. Reemplazando (6.11) en (6.14) se tiene:




    

(6.15)

Ecuaciones (6.12), (6.13) y (6.15) pueden ser utilizadas para describir el comportamiento de la máquina de inducción durante la operación a flujo debilitado. El límite de voltaje está dado por (6.12) representando un circulo en el plano (vds , vqs). La operación a corriente máxima está dada por la elipse representada por (6.13). Finalmente la potencia de la máquina está dada por (6.15) la cual representa una curva asintótica en el plano ( vds , vqs). Esto se muestra en la Fig. 6.2. Tres curvas asintóticas se muestran representando diferentes valores de potencia donde P a
S M 230 R jea 220 tl 210 o V 200

Pa

Pc

Límite de corriente Aumento de frecuencia

Límite de voltaje

s q

V 190 Lineas deconstante potencia

180 170 160 150

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

Vds Voltaje

Fig. 6.2 Límites de voltaje y corriente en el plano (vds , vqs).

Como se reporta en la literatura, operación a flujo debilitado de la máquina jaula de ardilla tiene dos zonas [24]. En la primera zona, la máxima potencia se obtiene cuando la máquina es operada a máximo voltaje y máxima corriente. La segunda zona se produje a altas frecuencias donde, debido a las inductancias de dispersión, altos voltajes son requeridos cuando se opera con valores de corriente cercanos al máximo. Por este motivo, en la segunda zona de operación a flujo debilitado, la máxima potencia se alcanza con valores de corriente bajo el máximo. Esto se discute con mayor detalle en [12], [23], [24]. 103 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



En la primera zona de operación a flujo debilitado. La estrategia de control para generar la máxima potencia es relativamente simple. La máquina se opera a máximo voltaje y se varían las corrientes ids e iqs hasta que la máxima corriente de estator se alcanza. De esta forma se tiene la seguridad de estar generando o consumiendo la máxima potencia. La ventaja de este enfoque es simplicidad porque no depende de los parámetros de la máquina. Sin embargo la respuesta dinámica es reducida porque se deja poco margen de voltaje para aumentar la corriente de torque a menos que se disminuya la corriente magnetizante la cual es de dinámica muy lenta. Por este motivo, en aplicaciones donde puede ser necesario alta dinámica de respuesta en los lazos de corriente, es recomendable operar en estado estacionario con un valor dado de margen de voltaje, aunque esto signifique un valor sub-óptimo de potencia de salida. Fig. 6.3 muestra la operación del sistema considerando un margen de voltaje adecuado. El 250 240

Límite de corriente

230



S M 220 R ej 210 at l o 200 V 190



1

2

Límite de voltaje Margen de Voltaje

q s

V 180

A B

170 160 150

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

Vds Voltaje RMS Fig. 6.3 Trayectorias de operación en el plano (vds , vqs).




sistema está operando con una frecuencia ω1 cuando bruscamente cambia el punto de operación. A voltaje máximo la trayectoria de cambio es la que se muestra con la letra A en la Fig. 6.3. Cuando se deja un margen de voltaje, la trayectoria es la que corresponde a B. En este caso se opera la máquina a una fracción del voltaje máximo (por ejemplo vs=0.9vsmax) la cual es usualmente determinada por simulación. De esta forma es posible cambiar con una adecuada dinámica de respuesta la corriente de torque isq. La relación entre flujo y frecuencia rotacional o eléctrica no es fácil de calcular en tiempo real como por ejemplo al utilizar (6.6). Por este motivo es común implementar flujo debilitado óptimo resolviendo las ecuaciones (6.12) y (6.13) fuera de línea y luego implementar una look-up

table relacionando la frecuencia eléctrica ωe (entrada) con la corriente magnetizante (salida de la tabla).

6.4 Consideraciones al operar a flujo debilitado. Cualquiera sea el método utilizado para operar a flujo debilitado, se debe tomar en cuenta que la reducción en el flujo de la máquina produce cambios en la inductancia mutua. La fig. 6.4 muestra una curva de magnetización obtenida experimentalmente en el laboratorio de investigación de la Universidad de Magallanes. Los resultados se encuentran publicados en [12]. Métodos para obtener la curva magnetizante de una máquina de inducción se reportan en [34] La variación de parámetros producida por saturación, es posiblemente la mayor dificultad al operar una máquina jaula de ardilla con control vectorial. Si se utiliza control vectorial directo, el flujo de rotor se calcula como se muestra en (3.36):

   ∫      ∫  

(6.16)

Para calcular correctamente (6.16) se debe estimar correctamente las inductancias de rotor, estator y magnetizante. Una de las soluciones es utilizar look-up tables, donde el valor



Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla 0.38 ) H ( 0 0.34 L et n a zi 0.3 te n g a M0.26 a ic n a ct u 0.22 d n I

0.18

12345678 Corriente Magnetizante im (RMS A)

Fig. 6.4 Variación de la inductancia mutua con la corriente magnetizante. e

r

*

iqmax ^

Lo

ids 2

i max

i

2

d

ids

Look-up Tables

Fig. 6.5 Implementación basada en look-up tables para operar a flujo debilitado.




de los parámetros con respecto a la frecuencia eléctrica de operación es almacenada. Un ejemplo de esto se muestra en la Fig. 6.5. Sin embargo, esta representación no es totalmente exacta, ya que la variación en la inductancia mutua depende de la corriente magnetizante im que no es medible. El sistema de look-up tables mostrado en la Fig. 6.5 se encuentra en función de la corriente directa ids la cual es igual a im pero solo en estado estacionario. Sin embargo considerando que la dinámica de la velocidad rotacional es lenta, particularmente al operar sistema con alto valor de J como volantes de inercia, entonces asumir que imids es apropiado. Sin embargo recuerde que en sistemas de baja inercia es incorrecto utilizar este supuesto. Un ejemplo de implementación basada en tablas se muestra en la Fig. 6.6. El Observador MRAS de la Fig. 2.11 es implementado para operar a flujo debilitado óptimo. Los parámetros de la máquina, tales Modelo de voltaje

is

r

  2   2

r

 Ls ˆ

ˆ

Rs

Lr / L0 ˆ

-

Vs

ˆ

r

-

+

e

e d/dt

tan 1      

+

r ˆ

r*

Modelo de corriente

is

e  J

L0 1  s r ˆ

r

 e J

iqmax

r

r

ˆ

ˆ

L0

id 2 i max  i d2

id

ˆ

r

Lr ˆ

:

+

Lr +

Rr

Look-up Tables

Fig. 6.6 Implementación basada en look-up tables para operar con un esquema MRAS a flujo debilitado. 107 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



como coeficiente de dispersión, inductancia de estator, inductancia de rotor, inductancia magnetizante, etc. Son obtenidos fuera de línea y almacenados en una look-up table en función de la frecuencia eléctrica. En cada ciclo de muestreo los parámetros son recalculados para estimar la velocidad rotacional y estimar la magnitud y posición del flujo de rotor en la máquina. Los resultados fueron obtenidos en el laboratorio de investigación de la Universidad de Magallanes y publicados en [12]. Este artículo fue premiado en una ceremonia realizada en Raleigh, Carolina del Norte USA, como el mejor paper publicado en todo el año 2004 en la revista IEEE Transactions on Industrial Electronics. En la Fig. 6.7 se muestra el sistema de control vectorial propuesto para operar con el esquema sensorless de flujo debilitado óptimo mostrado en la Fig. 6.6. El flujo de rotor, apropiado para una determinada frecuencia de operación es calculado desde la look-up table Limitador Variable

iq

iqmax

iq*

r*

*

Desde controlador de velocidad

v*d

id

2

ej

id*

r

v*s

v*q

iq

e

v* s is

e-j

e

d dt

e

r

is

3

Va,b,c

3 2

ia ib va

Modelo de Voltaje

vb

Modelo de Corriente

ˆ

Máquina de inducción

Fig. 6.7 Implementación basada en look-up tables para controlar el flujo de rotor. 108 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile



mostrada en la Fig. 6.5 y se utiliza como referencia al sistema de control que regula la corriente directa. El sistema de control propuesto en las Figs. 6.6 y 6.7, opera adecuadamente cuando la dinámica del lazo de velocidad es lenta comparada con la dinámica eléctrica. Existen otros métodos propuestos para operar a flujo debilitado. Por ejemplo operar el control vectorial con orientación en el flujo de estator [35][36][37] . Se debe considerar que la máquina jaula de ardilla no es la mejor opción para operar a muy altas velocidades rotacionales, principalmente porque su eficiencia es menor, por ejemplo a la máquina de imanes permanentes e incluso a la máquina de reluctancia conmutada, las cuales además tienen una relación tamaño potencia más ventajosa. Por lo tanto el número de aplicaciones donde se utiliza esta máquina como generador/motor de alta velocidad es reducido. Por ejemplo volantes de inercia.




REFERENCIAS




VI. Referencias [1]

G. Asher, “Vector control of Induction Machines.” University of Nottingham UK, 1992.

[2]

L. Werner, Control of Electrical Drives , 3rd ed. 2001.

[3]

R. Cardenas-Dobson, Diseño de Controladores Analógicos. Universidad de Magallanes, 2004.

[4]

R. Gabriel, W. Leonhard, and C. J. Nordby, “Field -Oriented Control of a Standard AC Motor Using Microprocessors,” Industry Applications, IEEE Transactions on, vol. 16, no.

2, pp. 186-192, 1980. [5]

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Control Vectorial de Máquinas de Inducción Jaula de Ardilla by Roberto Cárdenas D.

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