Control semana 5 David González Coroseo Investigación de Operaciones Instituto IACC 11.02.2019
Desarrollo 1. Una editorial necesita satisfacer la demanda de un libro para los próximos 4 trimestres. Actualmente, dispone de 10.000 unidades en inventario. La proyección de la demanda es la siguiente:
La editorial tiene una capacidad de producir hasta 20.000 libros cada trimestre, a un costo de $4.000 por libro. Se pueden producir hasta 5.000 libros adicionales, pero es necesario emplear personal de sobretiempo, donde el costo unitario del libro aumenta a $4.400. Los libros producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese período o quedar almacenados para ser usados posteriormente. Cada libro almacenado tiene un costo adicional de $200 por trimestre. Se debe determinar el modelo final que permita satisfacer la demanda y a un costo mínimo. Para ello es necesario responder lo siguiente: a) Definir el problema (1 punto). Respuesta:
El problema es determinar la cantidad de libros para satisfacer la demanda, y minimizar los costos asociados a estos libros. Para resolver este problema lo expresaremos como un problema de programación lineal. b) Identificar variables, función objetivo y las restricciones (2,5 puntos).
Respuesta:
Para construir el modelo lo primero es definir las variables: xi: Cantidad de libros producidos en el trimestre i. (Donde; i= 1,2,3,4). yi: Cantidad de libros adicionales producidos en el trimestre i. (Donde; i=1,2,3,4). zi: Cantidad de libros almacenados en el trimestre i. (Donde; i=1,2,3,4).
costos Costos de producción: Costo para las primer8s libros producidos: Costos de producción= 4000 (x1 +x2 +x3 +x4) Costo para los libros adicionales producidos: Costos armado adicional= 4400(y1 +y2 +y3 +y4) Costo por libros almacenados: Costos por almacenamiento= 200 (z1 + z2 +z3 +z4)
La función objetivo quedaría: Minimizar costos =4000 (x1 +x2 +x3 +x4)+4400(y1 +y2 +y3 +y4)+200 (z1 + z2 +z3 +z4)
Restricciones semestrales Primer trimestre: 10000 + x1 + y1 - z1 = 14000 Segundo trimestre: z1 + x2 + y2 - z2 = 30000 Tercer trimestre: z2 + x3 + y3 - z3 = 20000 Cuarto trimestre: z3 + x4 + y4 – z4 = 16000 Restricciones de producción
X1<=20000 X2<=20000 X3<=20000 X4<=20000 Restricción de libros adicionales, DEBIDO A QUE SOLO SE P UEDEN PRODUCIR 5000 LIBROS ADICIONALES. (Z1+Z2+Z3+Z4) <=5000
Finalmente, la cantidad producida, adicional y almacenada debe ser mayor a cero Xi>=0 Yi>=0 Zi>=0
c) Expresar el modelo final (1 punto). Respuesta:
La función objetivo quedaría: Minimizar costos =4000 (x1 +x2 +x3 +x4)+4400(y1 +y2 +y3 +y4)+200 (z1 + z2 +z3 +z4) Sujeto a: 10000 + x1 + y1 - z1 = 14000 z1 + x2 + y2 - z2 = 30000 z2 + x3 + y3 - z3 = 20000 z3 + x4 + y4 – z4 = 16000 X1<=20000 X2<=20000
X3<=20000 X4<=20000 (Z1+Z2+Z3+Z4) <=5000 Xi>=0 Yi>=0 Zi>=0
2. Una empresa necesita satisfacer la demanda de sus clientes para el primer trimestre. La demanda esperada para enero, febrero y marzo es de 3.400, 10.000 y 8.000 unidades, respectivamente. La empresa tiene un inventario de 20 unidades. La planta tiene una capacidad de producción mensual de 8.000 unidades. Los costos asociados por unidades para el mes de enero son de $7, febrero $3 y para marzo $4. El costo de almacenamiento por cada unidad es de $ 2. La bodega posee una capacidad de 7.500 unidades para almacenamiento de inventario y, por contrato, los despachos se realizan el último día hábil de cada mes. Se debe determinar el modelo final que permita disminuir los costos en enero, febrero y marzo (primer trimestre). Para ello en necesario responder lo siguiente: a) Definir el problema (1 punto) Respuesta:
El problema es determinar la cantidad a producir que minimice los costos totales durante Enero, febrero y marzo, es por esto que ec4ribiremos el problema, como un modelo de programación lineal. Datos del problema
Enero
Febrero
Marzo
Unidades
3400
10000
8000
Costo de producción $
7
3
4
Costo de almacenamiento $
2
2
2
b) Identificar variables, función objetivo y las restricciones (2,5 puntos) Respuesta:
Para construir el modelo lo primero es definir las variables: xi: Unidades producidas en el mes (donde i = 1,2, 3; 1 = enero, 2 = febrero, 3 = marzo). Ii: Unidades del inventario final en el mes i (donde i = 1,2, 3; 1 = enero, 2 = febrero, 3 = marzo).
Calculo de costos Costos de producción: 7 * unidades producidas en enero + 3* unidades producidas en febrero + 4* unidades producidas en marzo Costos de producción: 7* x1 + 3* x2 + 4* x3 Costos de almacenamiento: 2 (20+inventario final enero + inventario final febrero + inventario final mazo). Costos de almacenamiento: 2 (20+I1 + I2+ I3+)
La función objetivo es: Minimizar Costos=7* x1 + 3* x2 + 4* x3 + 2 (I1 + I2+ I3)
Restricciones de capacidad productiva X1<=8000 X2<=8000 X3<=8000
Despachos de os clientes Enero x1 = 3400 + I1 -20 (Considerando el inventario inicial de 20 libros) febrero I1 + x2 = 10000 + I2 Marzo I2 + x3 = 8000 + I3
Capacidad de almacenamiento en la bodega Enero x1 ≤ 7500 – 20 (Considerando el inventario inicial de 20) Febrero I1 + x2 ≤ 11.000 Marzo I2 + x3 ≤ 11.000
La producción siempre será superior a cero. x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0
d) Expresar el modelo final (1 punto)
Respuesta:
La función objetivo es Minimizar Costos=7* x1 + 3* x2 + 4* x3 + 2 (I1 + I2+ I3) Sujeto a: X1<=8000 X2<=8000 X3<=8000 x1 = 3400 + I1-20 I1 + x2 = 10000 + I2 I2 + x3 = 8000 + I3 x1 ≤ 7500 – 20 I1 + x2 ≤ 11.000 I2 + x3 ≤ 11.000 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0
Bibliografía
Contenido de la semana 5
