CONTOH SOAL MINIMASI MENGGUNAKAN METODE M (Bag.2) Perusahaan Maju Terus merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000. uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap unit P memerlukan uang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10% sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100, namun memberikan rate of return per unit per tahunnya sebesar 4%. Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan bahwa target rate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 per tahunnya. Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahana ini tidak mau menanggung resiko yang terlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pemimpin khususnya untuk cabang usaha P ditargetkan paling sedikit jumlah investasinya adalah $3.0000. Bagaimana penyelesaian persoalan diatas apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukan investasi tetapi dengan menekan atau meminimasi resiko sekecil mungkin. Berapa unit masingmasing usaha dapat diinvestasikan ?(metode grafis dan metode simpleks) JAWABAN 1. Metode Grafis Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x ≥ 3.000 5x + 4y ≥ 60.000 Grafisnya : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x + 100y = 1.200.000
Jika x = 0 maka y = 12.000, jadi koordinatnya (0,12.000) Jika y = 0 maka x = 24.000, jadi koordinatnya (24.000,0) 50x ≥ 3.000 50x = 3.000 x = 60 5x + 4y ≥ 60.000 5x + 4y = 60.000 Jika x = 0 maka y = 15.000, jadi koordinatnya (0,15.000) Jika y = 0 maka x = 12.000, jadi koordinatnya (12.000,0)
Jadi Solusi yang ditawarkan : x
y
Z = 8x + 3y
12.000
0
96.000
24.000
0
192.000
4.000
10.000
62.000
Keterangan
* Minimum
1. Metode Simpleks Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x ≥ 3.000 5x + 4y ≥ 60.000 Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada kendala pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga diperoleh : Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2 50x + 100y + S1 = 1.200.000 50x - S2 + A1 = 3.000 5x + 4y – S3 + A2 = 60.000 Table Simpleks Awal Basis
X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
NK
Rasio
Z
55M-8
4M-3
0
-M
-M
0
0
63.000M
S1
50
100
1
0
0
0
0
1.200.000
1.200.000:50=24.000
A1
50
0
0
-1
0
1
0
3.000
3.000:50 = 60
A2
5
4
0
0
-1
0
1
60.000
60.000 : 5 = 12.000
Iterasi Pertama Basis
X1
X2
S2
S3
A1
Z
0
4M-3
0
S1
0,1M-0,16
0
-1,1M+0,16
0
A2
59.700M+480
NK
S1
0
100
1
1
0
-1
0
1.197.000
X1
1
0
0
-0,02
0
0,02
0
60
A2
0
4
0
0,1
-1
-0,1
1
5700
Rasio
11.970
1.425
Iterasi Kedua Basis
X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
NK
Z
0
0
0
-0,085
M-0,75
-M+0,085
-M+0,75
54.000M+4755
S1
0
0
1
-1,5
25
1,5
-25
1.054.500
X1
1
0
0
-0.02
0
0.02
0
60
X2
0
1
0
0,025
-0,25
-0,025
0,25
1425
Iterasi kedua adalah optimal karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755
CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS (TEKNIK M) 2. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut : Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2 Dengan pembatas : 7X1 + 3X2 ≥ 210 6X1 + 12X2 ≥ 180 4X2 ≥ 120 X1, X2 ≥ 0 Carilah harga X1 dan X2 ?
JAWABAN Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih dari sama dengan). Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1 6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2 4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3 Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable surplus.
Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi : Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3 Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis, seperti table berikut : Basis
X1
X2
S1
S2
S3
A1
A2
A3
NK
RASIO
Z
13M-6
19M-7,5
-M
-M
-M
0
0
0
510M
A1
7
3
-1
0
0
1
0
0
210
210 : 3 = 70
A2
6
12
0
-1
0
0
1
0
180
180 : 12 = 15
A3
0
4
0
0
-1
0
0
1
120
120 : 4 = 30
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x 2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil. Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama : ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2 ½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 1 11
/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2= 165
ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3 -2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60 Konversi bentuk standard iterasi Pertama : Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5 11
/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2 = 165
-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60 ½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15 Tabel Iterasi Pertama Basis Z
X1
X2
S1
- /2M-6
0
0
13
S2 7
15
/12 - /24
S3
A1
-M
0
A2
A3
NK
RASIO
/24 - M
0
225M – 112,5
*
1
A1 A3 X2
11
0
/2
0
-2
1
½
0
1
0
1
0
-1
0
/4
-1
/3
0
/12
1
-1/4
0
165
165 : 5,5 = 30
0
-1
/3
1
60
*
0
1
/12
0
15
15 : 0,5 = 30
Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu lakukan iterasi kedua. Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua: ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 1 pada baris 1 x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 0 Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 2 0.5 A2 = 0 ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 3 0,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120 Konversi bentuk standard iterasi kedua : Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180 x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30 0.5 A2 = 0 0,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120 Tabel Iterasi Kedua Basis Z
X1 0
X2 0
S1 0
x1
1
0
0
A3
0
0
X2
0
0
S2 -0,725 1
S3 0
A1 -M+0,4
A2
A3
NK
- /2M+0,725
1
M
-180
/11
1
- /22
0
30
2
/22
0
0
0
0
0
½
0
0
0
0,39
-1
0,36
0,21
1
120
Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan x1 = 30, x2 = 120 dan z=-180. 3. PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg. Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap
membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat ?
JAWABAN Pemodelan matematika : Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2 Pembatas : 2x1 + 5x2 = 200 6x1 + 3x2 = 360 Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1 6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2 Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi : Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2 Basis
x1
x2
A1
A2
NK
Rasio
Z
8M-3
8M+2
0
0
560M
A1
2
5
1
0
200
200:5=40
A2
6
3
0
1
360
360:3=120
Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x 2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil. Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama : ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 1 0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 2 4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240 Konversi bentuk standard iterasi pertama : Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80 0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40
4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240 Basis
x1
x2
A1
A2
NK
Z
4,8M-3,8
0
0,4-0,4M
0
240M+80
X2
0,4
1
0,2
0
40
A2
4,8
0
0,6
1
240
Rasio
Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif, dengan x1 = 40, x2 = 240 dan z=240M+80.
Contoh Soal: Contoh Gambar Grafik Persoalan Program Linier dengan Microsoft Excel: Memaksimumkan Z = 5000 X + 4000 Y Fungsi Kendala: a). 10 X + 15 Y <= 150 b). 20 X + 10 Y <= 160 c). 30 X + 10 Y >= 135 d). X – 3 Y <= 0 e). X + Y >= 6 dan X >= 0, Y >= 0 Berikut ini gambar grafiknya:
