BAB 3 SEGITIGA KONGRUEN
Contoh soal 3-1:
Buktikan bahwa jika sisi yang berhadapan pada suatu segiempat adalah sama kemudian dibuat suatu diagonalnya, akan terbentuk sudut-sudut yang sama diantara diagonal dan sisi tersebut. Penyelesaian :
Jika sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat miring kongruen kemudian dibuat suatu diagonalny, akan terbentuk sudut-sudut yang sama diantara diagonal dan sisi-sisi tersebut. Diketahui : Segiempat ABCD
suatu diagonal Untuk membuktikan : Rencana : Buktikan Bukti : Pernyataan
, 2. 3. 4. 1.
Alasan 1. Diketahui
2. Sifat reflektif (pencerminan) 3. ss.ss.ss.
4. bagian-bagian yang bersesuaian dari
Contoh soal 3.2 :
Buktikan bahwa garis-bagi sudut dari titik sudut t ertinggi ertinggi pada segitiga sama kak i adalah median yang menuju ke dasar. Penyelesaian :
Garis-garis sudut dari titik sudut tertinggi pada segitiga sama kaki adalah median yang D
menuju kedasar
membagi-dua sama kaki ( adalah median yang menuju ke Untuk pembuktian : Rencana : Buktikan untuk mendapatkan
1 2
Diketahui :
I A
II B
C
Bukti : Pernyataan
Alasan
garis bagi 2. 3.
1. Diketahui
1.
2. Diketahui 3. Membagi-dua adalah membagi menjadi dua bagian yang kongruen
5. 6.
4. Sifat refleksi (pencerminan)
4.
5. ss.sd.ss
ss.sd.ss
6. bagian-bagian yang bersesuaian
adalah
dari
7. BD adalah median yang menuju ke
7. garis dari titik sudut suatu
yang
membagi dua sisi dihadapannya adalah median.
BAB 4 GARIS SEJAJAR, JARAK, DAN JUMLAH SUDUT Contoh soal 4-1
a. Buktikan bahwa jika ukuran satu sudut duatu segitiga sama dengan ukuran jumlah ukuran dua sudut yang lainnya, maka segitiga tersebut ada lah segitiga siku-siku. b. Buktikan bahwa jika sudut-sudut yang berhadapan dari suatu segiempat adalah kongruen, maka sisi-sisinya yang berhadapan ada lah sejajar.
Penyelesaian
Untuk pembuktian : adalah segitiga siku-siku Rencana : Buktikan
a. Diketahui :
BUKTI ALJABAR
A a
a+b
b
C
B
Maka Karena , adalah siku-siku
Misalkan
B
b. Diketahui : Segiempat ABCD,
b
a
A D Untuk pembuktian : Rencana : Buktikan pada sisi yang sama dengan transversal adalah suplementer. a
BUKTI ALJABAR
Karena dan adalah suplementer, maka Karena dan adalah suplementer, maka
Misalkan
b
C
BAB 5 TRAPESIUM DAN JAJARAN GENJANG
Contoh soal 5-1.
Buktikan bahwa diagonal belah be lah ketupat membagi dua setiap sudut pada setiap titik sudut yang dilaluinya.
Penyelesaian
adalah suatu diagonal membagi-dua Untuk pembuktian : Rencana : Buktikan 1. 2. Diketahui : Belah ketupat ABCD.
Bukti : Pernyataan 1. ABCD adalah belah ketupat
3. 2.
Alasan 1. Diketahui
2. Belah ketupat adalah segiempat
3. Dalam suatu , sudut-sudut dihadapan sisi-sisi yang kongruen adalah kongruen.
4. 5.
,
4. Sisi berhadapan pada 5.
adalah
dalam berseberangan pada garis gar is-garis -garis adalah kongruen
6.
,
6. Bilangan-bilangan yang kongruen dengan bilangan yang sama adalah kongruen satu sama lain
7.
membagi-dua
7. Membagi menjadi dua bagian yang kongruen disebut membagi-dua
BAB 6 LINGKARAN Contoh Soal 6-1
Buktikan bahwa tali busur yang sejajar pada ujung-ujung diameter panjangnya sama. Penyelesaian
adalah diameter
C
Diketahui : Lingkaran 0
Untuk pembuktian : AC + BD
A 0
Rencana : Buktikan
B
D
Bukti : Pernyataan
adalah diameter 2. 1.
Alasan 1. Diketahui
2. Diameter memotong lingkaran menjadi dua buah setengah lingkaran yang sama
4. 3.
3. Diketahui
pada
4. Garis-garis sejajar memotong busur-busur lingkaran
5.
5. Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan de ngan sesuatu yang sama, selisihnya akan sama. Defini De finisi-definisi si-definisi busur
6. AC = BD
6. Pada lingkaran, busur-busur yang sama mempunyai tali busur yang sama panjangnya.
BAB 7 KESERUPAAN
Contoh soal 7-1 Tentukan x pada setiap bagian gambar 7-2 Penyelesaian
; sehingga dan x = 6 sehingga 20 x ± 20 = 14 x + 7.
a. Kita mempunyai EC = 4 dan b.
; sehingga
Maka 6 x = 27 dan x = 4
Contoh soal 7-2
Buktikan bahwa dua segitiga samakaki adalah serupa, jika sudut dasar pada salah satu segitiganya kongruen dengan sudut-sudut pada segitiga lainnya.
A
Penyelesaian Diketahui :
A
sama kaki (AB = AC)
sama kaki (A¶B¶ = A¶ C¶) B Untuk pembuktian : Rencana : Buktikan dan gunakan prinsip 3
C
B
C
Bukti Pernyataan 1.
2. 3.
,
Alasan 1. Diketahui
2. Sudut-dasar segitiga sama kaki adalah kongruen 3. Sesuatu yang
dengan sesuatu yang adalah satu
sama lain 4.
4. Dua segitiga adalah serupa jika dua sudut disalah satu segitiga kongruen dengan dua sudut di segitiga lainnya.
Contoh soal 7-3
a. Jika panjang sisi miring pada segitiga 30 - 60 - 90 adalah 12, tentukan panjang sisisisinya (Ganbar 7-8(a)). b. Setiap kaki sisi datar bagioan atasnya adalah 10, tentukan panjang garis-tinggi dan sisi bawahnya (Gambar 7-8(b)).
B
B
C
0
60 a
12
18
0
0
b
0
60
30
C
h
A
A
a
60
E
D
F b
Gambar 7-8
Penyelesaian
; Berdasarkan prinsip 2, h = ½ (18) = 9 . Berdasarkan Prinsip 1
a. Berdasarkan prinsip 1, a = ½ (12) = 6. Berdasakan Prinsip 2, b = ½ ( 12) = 6 b.
sehingga b = 9 + 10 + 9 = 28
BAB 8 LUAS Contoh soal 8-1.
Buktikan bahwa jika M adalah titik tengah diagonal dibuat
dalam segiempat ABCD, dan
dan , maka luas segiempat ABMD sama dengan luas segiempat CBMD. C
B
Penyelesaian
Diketahui : Segiempat ABCD. M adalah t itik tengah
M A
D
Untuk pembuktian : Luas segiempat ABMD sama dengan luas segiempat CBMD. Rencana : Gunakan prinsip 3 untuk memperoleh dua pasang segitiga yang sama luasnya. Lalu gunakanlah postulat penjumlahan
Bukti : Pernyataan
adalah median adalah median Luas () = Luas () Luas () = Luas ()
Alasan
1. M adalah titik tengah
1. Diketahui
2.
2. Garis dari titik sudut segitiga yang menuju titik t itik
3.
tengah pada sisi di hadapannya adalah median. 3. Median membagi suatu segitiga menjadi dua segitiga yang luasnya sama
4. Luas segiempat ABMD sama 4. Jika bilangan-bilangan yang sama dijumlahkan dengan luas segiempat CBMD
dengan bilangan-bilangan yang sama, hasilnya adalah sama.
BAB 9 POLIGON BERATURAN DAN LINGKARAN
Contoh soal 9-1 Tentukan luas yang diarsir pada setiap bagian Gambar 9-9 pada (a), Lingkaran A,B dan C
bersinggungan diluar satu sama lain dan masing-masing berjari-jari 3. Pada (b), masingmasing busur merupakan bagian dari lingkaran berjari-jari 9
Penyelesaian
= s (6) = 9 Luas sektor I = Luas yang diarsir =
(a) Luas
2
2
2
(b) Luas bujursangkar = 18 = 324
Luas yang diarsir = 324 -
Luas sektor I =
BAB 10 KONSTRUKSI
Contoh soal 10-1
Diketahui ruas garis dengan panjang a dan b (gambar 10) 2). Konstruksikanlah suatu ruas garis dengan panjang (a) a _ 2b; (b) 2(a + b); dan (c) b ± a
Gambar 10-2
Penyelesaian : Gunakan konstruksi 1 :
(a) Pada garis kerja w, konstruksikanlah ruas garis
dengan panjang a. dari B,
konstruksikanlah ruas garis dengan panjang sama dengan b, menuju titik C; dan dari
adalah ruas
C konstruksikanlah ruas garis dengan panjang b, menuju D. maka garis yang diinginkan (b) Serupa dengan (a), AD = a + b + (a + b)
dengan panjang b, kemudian
(c) Serupa dengan (a) mula-mula konstruksikanlah dengan panjang a. AC = b ± a
Konstruksi 2 : Mengkonstruksikan suatu sudut yang kongruen dengan sudut yang diketahui Diketahui :
(Gambar 10-3)
Untuk mengkonstruksikan : Suatu sudut yang kongruen dengan
Konstruksi : Dengan A sebagai titik pusat dan suatu jari-jari yang mencukupi, konstruksikanlah busur (1) yang memotong sisi
di B dan C. dengan A¶ , suatu titik pada
garis w, segbagai titik pusat dari jari-jari yang sama, konstruksikanlah busur (2) yang memotong w di B¶. dengan B¶ sebagai titik pusat dan jari-jari yang sama dengan
,
. Maka adalah
konstruksikanlah busur (3) yang memotong busur (2) di C¶. Buatlah sudut yang diinginkan. (
berdasarkan ss.ss.ss. ss.ss.ss. ; dengan demikian C
C (1)
A
(3) (2)
B
w
Gambar 10-3
A
B
Contoh soal 10-2.
Diketahui
pada gambar 10-4. Konstruksikanlah sudut yang berukuran sama dengan
(a) 2A; (b) A + B + C; dan (c) B ± A A B
A A
C
B
C
B
w
w a
A A c
b Gambar 10-4
Penyelesaian : Gunakan Konstruksi 2
(a) Dengan menggunakan garis kerja w pada satu sisi, duplikasikanlah duplikan
. Konstruksilah
yang lain disebelah , seperti dapat dilihat pada gambar. Sisi-sisi luar
dari sudut-sudut yang diduplikasi ini membentuk sudut yang diinginkan. (b) Dengan
menggunakan
Konstruksikanlah
garis
kerja
disebelah
.
. konstruksikanlah disebelah .
w pada
Kemudian
satu
sisi,
duplikasikanlah
Sisi-sisi luar dari sudut-sudut A dan C yang diduplikasi ini membentuk sudut yang diinginkan. Perhatikan bahwa sudut tersebut merupakan sudut lurus. (c) Dengan menggunakan garis kerja w pada satu sisi, duplikasikanlah duplikasikanlah
dari satu sisi
.
Kemudian
yang baru, seperti dapat dilihat pada gambar.
Selisihnya merupakan sudut yang diinginkan.
Contoh soal 10-3
tidak sama sisi (Gambar 10-9 (a)), konstruksikanlah (a) garis-berat pada . Pada (Gambar 10-9 (b)), D dengan sudut tumpul ; dan (b) median menuju dan (d) garis-bagi pada . konstruksikanlah (c) garis-tinggi menuju
Pada
P
E
C
G A
B
D
H
M Q
(b)
(a) Gambar 10-9
F
Penyelesaian :
. Garis berat pada . Buatlah , median menuju (b) Titik M adalah titik tengah (diperpanjang) (c) Gunakan konstruksi 6 untuk memperoleh , garis-garis menuju (d) Gunakan konstruksi 3 untuk membagi-dua adalah garis bagi yang (a) Gunakan konstruksi 5 untuk memperoleh
diinginkan
Contoh soal 10-4 (a) Konstruksikanlah sudut-sudut berukuran 90 , 45 , dan 135 . (b) Sudut yang diketahui berukuran A (Gambar 10-10). Konstruksikanlah sudut yang berukuran 90
D G
E A
B
A
A
C
H
(a)
J
(b)
Gambar 10-10
Penyelesaian :
, m , maka m (b) Pada Gambar 10-10(b), m (a) Pada Gambar 10-10(a), m
Contoh soal 10-5 . Konstruksikanlah segitiga sama kaki, dengan mengetahui pa njang
dasarnya dan panjang satu lengannya (Gambar 10-18) a b a
a
b Gambar 10-18
Penyelesaian : Gunakan konstruksi 7, karena ketiga ket iga sisi segitiga telah diketahui.
Contoh soal 10-6. Konstruksikanlah sudut yang berukuran (a) 120 ; (b) 30 ; (c) 150 ; (d)
105 ; dan 75
0
150 0
120
0
0
60
(a)
150
0
30
(b) Gambar 10-19
0
75
(c)
Penyelesaian :
(a) Gunakan konstruksi 8 (Gambar 10-19(a)) untuk mengkonstruksikan 1200 sebagai 0
0
180 ± 160
0
0
(b) Gunakan konstruksi 8 dan 3 untuk mengkonstruksikan 30 sebagai ½ (60 ) (Gambar 10-19 (b))
(c) Gunakan (b) untuk mengkonstruksikan 150 sebagai 180 - 30 (gambar 10-19 (b))
(d) Gunakan konstruksi 3,4 dan 8 untuk mengkonstruksikan 105 sebagai 60 + ½ (90 ) (Gambar 10-19 (c))
(e) Gunakan (d) untuk mengkonstruksikan 75 sebgai 180 - 105 (Gambar 10-19 (c))
Contoh soal 10-7. Konstruksikanlah jajar genjang dengan mengetahui pa njang sisi-sisi
yang berdampingan a dan b dan panjang diagonalnya d (Gambar 10-21) a b d
a
B b A
C
d a
D
Gambar 10-21
Penyelesaian :
berdasarkan konstruksi 7. Titik sudut ke-empat, C, dapat diperoleh dengan mengkonstruksikan berdasarkan konstruksi 7. Titik sudut C dapat juga diperoleh menggunakan diagonal dan . dengan mengkonstruksikan Ketiga titik sudut jajar genjang diperoleh dengan mengkonstruksikan
Contoh soal 10-8. Garis potong dari suatu titik P di luar lingkaran O pada gambar 10-27
bertemu lingkaran tersebut di B dan A. konstruksikanlah C A
B P
O D Gambar 10-27
Segitiga luar disekeliling lingkaran tersebut sehingga dua dari sisi-sisinya bertemu di P dan sisi ketiganya merupakan garis singgung lingkaran di A.
Penyelesaian :
Gunakan konstruksi 14 dan 15: di A, konstruksikanlah garis singgung lingkaran O. dari P, konstruksikan garis singgung lingkaran O yang memotong garis singgung pertama di C dan D. segitiga yang diinginkan adalah
Contoh soal 10-9. Konstruksikanlah lingkaran luar dan lingkaran dalam pada segitiga sama E
kaki DEF pada gambar 10-28
C I G
D
F
Gambar 10-28
Penyelesaian :
Gunakan konstruksi 16 dan 18. Untuk melakukan konstruksi, perhatikan bahwa garis-bagi
juga merupakan garis-berat (atau garis bagi tegak-lurus) . Maka titik pusat setiap lingkaran terletak pada . I, titik pusat lingkaran-dalam, diperoleh dengan mengkonstruksikan garis-bagi pada atau . C titik pusat lingkaran luar, diperoleh atau dengan mengkonstruksikan garis-berat pada Contoh soal 10-10. Konstruksikanlah segitiga yang serupa dengan segitiga ABC pada
gambar 10-34, dengan alas dua kali panjang alas segitiga yang diketahui. B
B C
A
A
C Gambar 10-34
Penyelesaian :
Konstruksikanlah
dengan panjang dua kali panjang
,
dan kemudian gunakan
konstruksi 23. Metode alternatif (Gambar 10-35): perpanjanglah dua sisi panjangnya menjadi dua kalinya dan hubungkan titik-titik ujungnya. B B
A(A)
C Gambar 10-35
C
sampai
