SOAL-SOAL PERSAMAAN DIFFERENSIAL 1. (2xy + x²) dx + (x² + y²)= 0 Jawab Langkah 1 buktikan persamaan differensial eksak. M(x,y) = (2xy + x²) N(x,y) = (x² + y²)
M ( x, y ) = 2y dan y
N ( x, y ) = 2y x
Nilai di atas = 0, maka persamaan differensial diatas merupakan persamaan Langkah 2 Selesaian PD di atas adalah dapatdigunakankesamaan:
F ( x, y ) = N(x,y) dan y
F(x,y) =
C.
F ( x, y ) = M(x,y). x
F ( x, y ) = (x² + y²) y F(x,y) = ∫ = x²y +2y + F(x) F ( x, y ) = M(x,y). x x²y +2y + F(x)) = 2xy + x² ( x
2xy + F’(x) = 2xy + x² F’(x) = x² F(x) = Primitifpersamaanadalah F(x,y) =
+C C
Untukmendapatkan F(x,y) = C
2) 3x²y² dx + (2x³y + 4y³) dy = 0 Jawab Langkah 1 Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak 𝑀 M (x, y) = 3x²y² = 6 ² 𝑁 N (x, y) = 2x²y + 4y³ = 6 ² 𝑀 𝑁 Karena = , maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan eksak. Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y)) f (x,y) =[ M (x, y) dx ] + ∅( ) Langkah 3 𝑓 ∅ = [ M (x, y) dx ] + Langkah 4 (mencari ∅( )) 𝑓 = N (x,y) ∅( ) = 4y 3 dy = y4 + k
diferensial
= 3x 2 y 2 dx + ∅( ) = x3y2+ ∅( ).
∅ = [ 3x 2 y 2 dx ] +
2x3y + ∅( ) = 2x3y + 4y3
Langkah 5 (Solusi Umum)f (x,y) = x³y²+ ∅( ) = x³y²+ y⁴ = k Maka solusi umumnya adalah = x³y²+ y⁴ + C dengan nilai C = k
= 2x3y + ∅( )
∅( ) = 2x3y + 4y3 - 2x3y
3.
(
)
Jawab Langkah 1 Buktikan differensial eksaknya: M(x,y) = (
)
M ( x, y ) = 6y dan y )
N(x,y) = (
N ( x, y ) = 12x² x
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
M ( x, y ) N ( x, y ) y x
Langkah 2 mencari (x,y) sebagai faktor integrasi M ( x, y ) N ( x, y ) y x Karena = N ( x, y )
Maka (x,y) = e∫
=
= y²
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu: (
)
(
)
4. 2x²y dx + (x²-y²) dy Langkah 1 Buktikan differensial eksaknya: M(x,y) = (
N(x,y) = (
)
M ( x, y ) = 2x² dan y
)
N ( x, y ) = 2x x
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
M ( x, y ) N ( x, y ) y x
Langkah 2 mencari (x,y) sebagai faktor integrasi M ( x, y ) N ( x, y ) y x Karena = N ( x, y )
=
Maka (x,y) = e∫ Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu: (
)
(
)
5. (2y – x²) dx + x dy = 0 Jawab Langkah 1 Buktikan differensial eksaknya: M(x,y) = ( N(x,y) = x dx
)
M ( x, y ) = 2dan y
N ( x, y ) =1 x
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
M ( x, y ) N ( x, y ) y x
Langkah 2 mencari (x,y) sebagai faktor integrasi M ( x, y ) N ( x, y ) y x Karena = N ( x, y )
= = f(x)
Maka (x,y) = e∫ Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu: (
)
6. ( x + 2y ) dx + ( 4y + 2x ) dy = 0 Jawab. Langkah 1 buktikan persamaan differensial eksak. M(x,y) = (x + 2y)
M ( x, y ) = 2 dan y
N(x,y) = (4y + 2x)
N ( x, y ) =2 x
Nilai di atas = 0, maka persamaan differensial diatas merupakan persamaan Langkah 2 Selesaian PD di atas adalah dapatdigunakankesamaan:
F ( x, y ) = N(x,y) dan y
F(x,y) =
F ( x, y ) = M(x,y). x
F ( x, y ) = (4y + 2x) y F(x,y) = ∫ = y+2x F(x) F ( x, y ) = M(x,y). x y +2x + F(x)) = x + 2y ( x
x + F’(x) = x+2y F’(x) = 2y F(x) = y²+ C Primitifpersamaanadalah F(x,y) =
C
C.
Untukmendapatkan F(x,y) = C
7. (
)
(
)
𝑓
𝑓(
𝑓
)
)
∫(
( ) ( )
𝑓
( )
( ) ( )
𝑓(
∫
)
8. (
)
(
)
𝑓
𝑓(
𝑓
)
)
∫(
( ) ( )
𝑓
( )
( ) ( )
𝑓(
∫
)
9. (
)
(
)
𝑓
𝑓(
𝑓
)
)
∫(
( ) ( )
𝑓
( )
( ) ( )
𝑓(
∫
)
10. (
)
(
)
𝑀
𝑁
Sehingga persamaan diatas tidak eksak karena : 𝑀
11. ( 𝑀
𝑁
)
(
) 𝑁
Sehingga persamaan diatas tidak eksak karena : 𝑀
12. (
𝑁
)
(
𝑀
) 𝑁
Sehingga persamaan diatas tidak eksak karena : 𝑀
𝑁
