CONTOH LEMBAR KERJA SISWA SMA / MA

TUGAS !!

TELAAH MATEMATIKA SM “LEMBAR KERJA SISWA (LKS) KELAS XII SEMESTER II SMA/MA”

OLEH : KELOMPOK I

1.

RISKA NOVIANTY

(AIA313046)

2.

NURHIDAYAH

(A1A313037)

3.

WAYAN NINIK R

(A1A313061)

4.

RHISKIKAH WAHYUNI

(A1A313044)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEMBILANBELAS NOVEMBER KOLAKA KOLAKA 2016

KATA PENGANTAR

Pertama-tama marilah kita panjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT, atas limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga tugas Telaah Matematika SM ini ( Lembar Kerja Siswa Kelas XII Semester II SMA/MA) dapat terselesaikan. Tugas ini disusun berdasarkan pengumpulan dari berbagai sumber, dan untuk memehuni tugas Telaah Matematika SM. Penulis ucapkan terimakasih juga kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penyelesaian tugas ini. Semoga tugas yang penulis buat dapat bermanfaat bagi penulis pribadi maupun pihak yang membaca. Penulis menyadari bahwa tugas ini sangat jauh dari sempurna, masih banyak kelemahan dan kekurangan. Setiap saran, kritik, dan komentar yang bersifat membangun dari pembaca sangat penulis harapkan untuk meningkatkan kualitas dan menyempurnakan tugas ini.

Kolaka,

Juni 2016

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL

.......................................

KATA PENGANTAR

....................................... i

DAFTAR ISI

....................................... ii

LEMBAR KERJA SISWA

A.

Menggunakan Konsep Barisan dan Deret dalam Pemecahan Masalah 1. Menentukan Suku Ke-n Barisan dan Jumlah n Suku Deret Aritmetika dan Geometri

.......................

2. Menggunakan Notasi Sigma dalam Deret dan Induksi Matematika dalam Pembuktian

........................

3. Merancang Model Matematika dari Masalah Yang Berkaitan dengan deret

........................

4. Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Deret dan Penafsirannya

B.

........................

Mengguanakan Aturan yang Berkaitan dengan Fungsi Eksponen dan Logaritma Dalam Pemecahan Masalah 1. Menggunakan Sifat-sifat Fungsi Eksponen dan Logaritma Dalam Pemecahan Masalah

DAFTAR PUSTAKA

........................

........................

32

LEMBAR KERJA SISWA ( L K S )

SATUAN PENDIDIKAN

: SMA

MATA PELAJARAN

: MATEMATIKA

KELAS

: XII

SEMESTER

: II

STANDAR KOMPETENSI

: MENGGUNAKAN BARISAN DAN DERET DALAM PEMECAHAN MASALAH

KOMPETENSI DASAR

: 1. MENENTUKAN SUKU KE-n DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI

INDIKATOR

: 1. MENJELASKAN ARTI BARISAN DAN DERET 2. MENENTUKAN RUMUS BARISAN DAN DERET ARITMETIKA 3. MENENTUKAN RUMUS BARISAN DAN DERET GEOMETRI 4. MENGHITUNG SUKU KE-n DAN JUMLAH n SUKU DERET ARITMETIKA DAN GEOMETR

TUJUAN

: 1. SISWA DAPAT MENENTUKAN SUKU KE-n DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI 2. SISWA DAPAT MENENTUKAN SUKU KE-n DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI 3. SISWA DAPAT MENENTUKAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI

RUMUS

4. SISWA DAPAT MENGHITUNG SUKU KE-n DAN JUMLAH n SUKU DERET ARITMETIKA DAN GEOMETR ALOKASI WAKTU

: 4 X 40’

A.

Menjelaskan Arti Barisan dan Deret 1. Barisan Contoh barisan a. 1, 4, 7, 10, 13, .... b. 2, 7, 12, 17, 22, .... c. 9, 8, 7, 6, 5, .... d. 1, 2, 3, 4, 5, .... Kesimpulan : Barisan adalah ... 2. Deret Bilangan Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U1 , U2 , U3 , ... , Un dan Sn adalah jumlah dari suku-suku barisan itu. Maka : Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un Sn disebut dengan deret bilangan Kesimpulan :Deret bilangan adalah ....

B.

Menemukan Rumus Barisan dan Deret Aritmetika 1. Rumus Barisan Aritmetika U1 , U2 , U3 , U4 , ... , Un a = U1

== > Maka a adalah suku ke- ....

b = U2 - U1 == > Maka rumus b adalah suku ke- .... di kurang dengan suku ke- .... 𝑈1 𝑈2 𝑈3 𝑈4 𝑈5 . . . 𝑈𝑛

=⋯ = …+ 𝑏 = … + 2𝑏 = … + 3𝑏 = … + 4𝑏

= 𝑎 + (… − 1) 𝑥 ….

Jadi, rumus suku ke- n adalah Keterangan : 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎

𝑈𝑛 = 𝑎 + (… − 1) 𝑥 …

2.

Deret Aritmetika 𝑈1 = ⋯ 𝑈2 𝑈3 𝑈4 𝑈5 . . . 𝑈𝑛

= = = =

𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 +

𝑏 𝑏 𝑏 𝑏

= (𝑎 + 𝑏 ) + ⋯ = (𝑎 + 2𝑏 ) + ⋯ = (𝑎 + 3𝑏 ) + ⋯

= ⋯+ 𝑏 = ⋯ + 2𝑏 = ⋯ + 3𝑏 = ⋯ + 4𝑏

= 𝑎 + (… − 1) 𝑏

Dengan demikian, diperoleh 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + ⋯ 𝑏) + ⋯ + (𝑎 + ( … − 1 )𝑏 ............ (1) Dapat pula dinyatakan bahwa nilai setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. 𝑈𝑛−1 = 𝑈𝑛 − 𝑏 𝑈𝑛−2 = 𝑈𝑛−1 − 𝑏 𝑈𝑛−3 = 𝑈…….. − 𝑏

= ⋯ − 2𝑏 = ⋯ − 3𝑏

Dengan demikian seterusnya sehingga 𝑆𝑛 dapat dituliskan : 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + ⋯ + (𝑈𝑛 − ⋯ 𝑏) + (𝑈𝑛 − 𝑏) + 𝑈𝑛 ................. (2) Dari persamaan (1) dan (2) jika kita jumlahkan, diperoleh : 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + ⋯ 𝑏) + ⋯ + (𝑎 + (… − 1 )𝑏) 𝑆𝑛 = 𝑈𝑛 + (𝑈𝑛 − 𝑏) + (𝑈𝑛 − ⋯ 𝑏) + ⋯ + 𝑎

+

2𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + (𝑎 + ⋯ ) + (𝑎 + 𝑈𝑛 ) + ⋯ + (𝑎 + ⋯ )

Dengan demikian : 2𝑆𝑛 = 𝑛(… + 𝑈𝑛 ) 1

𝑆𝑛 = 2 𝑛(… + 𝑈𝑛 ) 1

𝑆𝑛 = 2 𝑛(𝑎 + (… + ( … − 1)𝑏) 1 𝑆𝑛 = 𝑛(… 𝑎 + ( … − 1)𝑏) 2 Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah ... 1

1

𝑆𝑛 = 2 𝑛(… + 𝑈𝑛 ) atau 𝑆𝑛 = 2 𝑛(… 𝑎 + ( … − 1)𝑏)

Keterangan : 𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑏 = 𝑏𝑒𝑑𝑎 𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛

C.

Menentukan Rumus Barisan dan Deret Geometri 1. Rumus Barisan Geometri Contoh soal : a. 3, 6, 12, 24, ... Untuk mencari rasionya adalah

6 3

=

12 …

=

… 12

= ⋯ = 2. 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑦𝑎 =

2 b. 2, -4, 8, -16, ... Untuk mencari rasionya adalah

−4 2

=

8 …

=

… 8

=⋯=

−2. 𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑦𝑎 = 2 Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1 , U2 , U3 , ... , Un barisan geometri dengan Un adalah rumus ke-n dan r adalah rasio, berlaku : …. 𝑟= 𝑈𝑛−1

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut. 𝑈1 = 𝑎 𝑈2 𝑈3 𝑈4 . . . 𝑈𝑛

= 𝑈1 × 𝑟 = 𝑈2 × 𝑟 = 𝑈3 × 𝑟

= ⋯𝑟 = ⋯ 𝑟… = ⋯ 𝑟…

= 𝑈𝑛−1 × … = (𝑎𝑟 … × 𝑟 ) = 𝑎𝑟 …

Dengan demikian diperoleh barisan goemetri a, ar, ar2 , ..., arn-1. Jadi, rumus umum suku ke-n barisan geometri, yaitu : 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 …

Keterangan : 𝑈𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 𝑛 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢

2.

Rumus Deret Geometri

Jika U1 , U2 , U3 , ... , Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misal 𝑆𝑛 notasi dari jumlah n suku pertama. 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 = ∑ 𝑈𝑖 𝑖=1

𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 ......................... (1) Jika kedua ruas dikalikan dengan r, maka diperoleh : … 𝑆𝑛 = 𝑎 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 𝑛−⋯ + 𝑎𝑟 … ......................... (2) Dari selisih persamaan (1) dan (2), maka diperoleh : … 𝑆𝑛 = 𝑎 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 … + 𝑎𝑟 𝑛−⋯ + 𝑎𝑟 … 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1

_

… 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛 ↔ (𝑟 − ⋯ )𝑆𝑛 = … (…𝑛 − 1) ↔ 𝑆𝑛 =

… (…𝑛 − 1) (𝑟 − ⋯ )

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

↔ 𝑆𝑛 =

… (…𝑛 − 1) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1 (𝑟 − ⋯ )

↔ 𝑆𝑛 =

… (1 − …𝑛 ) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1 (𝑟 − ⋯ )

Keterangan : 𝑆𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑠𝑢𝑘𝑢

D.

Menghitung Suku Ke-n Suku Deret Aritmetika dan Jumlah Suku n Deret Geometri Contoh soal : 1.

Menghitung Suku Ke-n Deret Aritmetika a. Diketahui barisan 3, 5, 7, 9, .... Tentukan suku ke-10nya. Jawab : Dik : a = 3 dan b = 5- ... = 2 Dit : Suku ke-10 Peny :

Langkah 1 tentukan rumus ke-n 𝑈𝑛 𝑈𝑛 𝑈𝑛 𝑈𝑛 𝑈𝑛

= = = = =

𝑎 + (… − 1) 𝑏 3 + (… − 1) … 3 + (… − 1) …. 3 + ⋯𝑛 − 2 3 − ⋯+ ⋯𝑛

Langkah 2 cari suku ke-10 𝑈𝑛 = 3 − ⋯ + ⋯ 𝑛 𝑈10 = 3 − ⋯ + ⋯ × 10 𝑈10 = 3 − ⋯ + 20 𝑈10 = 21

b. Diketahui barisan 7, 11, 15, .... Tentukan suku ke-15nya. Jawab : Dik : a = 7 dan b = 11- ... = 4 Dit : Suku ke-15 Peny : Langkah 1 tentukan rumus ke-n 𝑈𝑛 𝑈𝑛 𝑈𝑛 𝑈𝑛 𝑈𝑛

= = = = =

𝑎 + (… − 1) 𝑏 7 + (… − 1) … 7 + (… − 1) …. 7 + ⋯𝑛 − 4 7 − ⋯+ ⋯𝑛

Langkah 2 cari suku ke-10 𝑈𝑛 = 7 − ⋯ + ⋯ 𝑛 𝑈15 = 7 − ⋯ + ⋯ × 15 𝑈15 = 7 − ⋯ + 60 𝑈15 = 63

2. Menghitung Jumlah Suku n Deret Geometri a. Diketahui barisan 1, 2, 4 .... Hitunglah jumlah 6 suku pertamanya. Jawab : 2

Dik : a = 1 dan 𝑟 = 1 = 2 Dit : Suku ke-6 Peny : … (… . .𝑛 − 1) 𝑆𝑛 = (𝑟 − ⋯ ) … (… . .6 − 1) 𝑆6 = (𝑟 − ⋯ ) … (64 − 1) 𝑆6 = (𝑟 − ⋯ ) 𝑆6 = 63

b. Diketahui barisan 8, 4, 2, .... Hitunglah jumlah 6 suku pertamanya. Jawab : 4

1

Dik : a = 8 dan 𝑟 = 8 = 2 Dit : Suku ke-6 Peny : … (… − … . .𝑛 ) (… . . −𝑟 ) … (… − … . .6 ) 𝑆𝑛 = 1 (… . . − 2 ) 1 … (… − 64 ) 𝑆𝑛 = 1 (… . . − 2 ) 1008 𝑆𝑛 = … 𝑆𝑛 =

𝑆𝑛 =

63 4

Lembar kerja siswa

Satuan pendidikan

: SMA

Mata pelajaran

: MATEMATIKA

Kelas

: XII

Semester

: II

Standar kompetensi

: menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Kompetensi dasar

: menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika

dalam pembuktian.

Indikator

: 1. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma

2. menggunakan induksi matematika dalam pembuktian

Tujuan pembelajaran : 1. siswa dapat menuliskan suatu deret dangan notasi sigma

2. siswa dapat menggunakan induksi matematikadalampembuktian

Alokasi waktu

: 2 X 45 menit

A. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma Notasi sigma yang dilambangkan dengan ”∑” adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Sigma digunakan untuk meringkas penjumlahan bentuk panjang sukusuku suatu deret. ∑𝑛𝑖=1 𝑥1 dimana i merupakan batas bawah, n merupakan batas bawah, dan 𝑥1 adalah rumus sigma. Jika diketahui tak terhingga 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , … , 𝒂𝒏 , maka jumlah n suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 Contoh soal 1. 1+5+8+...+29 Jika diselidiki deret tersebut adalah deret aritmetika dengan beda 4, maka dapat digunakan rumus Baris aritmetika yaitu 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = 1 + (𝑛 − 1)4 = 1 + 4𝑛 − 4 = 4𝑛 − 3 Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(4𝑛 − 3) Soal Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1. 11 + 18 + 25 + ... + 102 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = ⋯ + (. . . −1) … = 11 + ⋯ − 8 = 8𝑛 + ⋯ Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ ) 2. 22+ 29 + 34 + ... + 104 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 =. … + (. … − 1) …. = ⋯+ ⋯− ⋯ = ⋯𝑛 +⋯ Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ )

3. 1+3+5+7+9 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 =. … + (. … − 1) …. = ⋯+ ⋯− ⋯ = ⋯𝑛 +⋯ = .... Jadi,notasi sigmanya adalah ∑𝑛𝑖=1(⋯ − ⋯ ) 4. 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ + 𝑛2 𝑛

∑ 𝑘 2 = 𝑛( … +. . . )(… +. . . ) 𝑘=1

B. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 merupakan jumlah n bilangan ganjil pertama. Untuk membuktikan kedua ruas bernilai sama dapat menggunakan induksi matematika yang telah kalian pelajari di Kelas X. Langkah- langkah pembuktian tersebut adalah sebagai berikut: 1. Basis Induksi : Untuk n = 1 benar 2. Langkah Induksi : Untuk n = k benar Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 1. Basis Induksi : Untuk n = 1 benar yaitu 1 = 12 1=1 2. Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘 2 Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2 juga benar Bukti : 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2 𝑘2 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2 (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)2

Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar Soal: 1

a) Buktikan 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 2 𝑛(𝑛 + 1) Penyelesaian:  Basis Induksi : Untuk 𝑛 = 1 benar yaitu 1

1 = 2 … (… + ⋯ ) 1

1 = 2 1(2) 1=⋯  Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu 1

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = 2 ⋯ (⋯ + ⋯ ) Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu 1

1 + 2 + 3 + ⋯ + (𝑘 + 1) = 2 (⋯ + 1)(𝑘 + ⋯ ) Bukti: 1

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (⋯ + 1) = 2 (𝑘 + ⋯ )(⋯ + 2) 1 2

1

𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) = 2 (⋯ + ⋯ )(𝑘 + ⋯ ) 1 2

𝑘(𝑘 + 1) + 1 2

2(⋯+1) 2

1

= 2 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 1

(𝑘 + 1)(⋯ + 2) = (⋯ + 1)(𝑘 + ⋯ ) 2

Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar 1

b) Buktikan 12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑛2 = 6 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) Penyelesaian  Basis Induksi Untuk 𝑛 = 1 benar yaitu 1

1 = 6 1(… +. . . )(2 𝑥 … +. . . ) 1

1 = 6 …𝑥… 1=1

 Langkah Induksi : Untuk 𝑛 = 𝑘 benar yaitu 12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑘 2 =

1 𝑘(… + 1)(… 𝑘 + 1) 6

Akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 yaitu 1

12 + 22 + 32 + ⋯ 𝑘 2 + (𝑘 + 1)2 = 6 𝑘(𝑘 + ⋯ )(… 𝑘 + ⋯ ) + (𝐾 + ⋯ )2 1

𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) 2

= (k+...)(

….𝑘 2 6

+

….𝑘 …..

+ 1)

= (k + ...)(… 𝑘 2 + ⋯ 𝑘 + 6) = (k + ...)(k + ...)(...k+ ...) Jadi, untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar

Lembar kerja siswa

Satuan pendidikan

: SMA

Mata pelajaran

: MATEMATIKA

Kelas

: XII

Semester

: II

Standar kompetensi

: menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Kompetensi dasar

: merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

deret

indikator

:1. mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret

2. merumuskan model matematika dari masalah deret

Tujuan pembelajaran :1. siswa dapat mengidentifasi masalah yang berkaitan dengan deret

2. siswa dapat merumuskan matematika dari masalah deret

Alokasi waktu

:2 X 45 menit

A. Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret Barisan dan deret banyak digunakan dalam bidang ekonomi seperti perbankan, perdagangan, dan lain sebagainya. Lebih jelasnya, 1. Rina menanam modal sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bunga majemuk 5%. Berapa besar modal setelah 2 tahun? Penyelesaian 1.

Misalkan M adalah modal awal, b adalah bunga setiap tahun, n adalah periode, dan Mn adalah modal setelah ditambah bunga majemuk. 

M = 20.000.000,00



n=2



b = 5% = ..................



𝑀𝑛 = 𝑀(1 + 𝑏)𝑛 =. . . … … … … … … … . . . (1 + ⋯ )2 = 20.000.000 (1,05)2 =..............................................

2. Wagiman membeli sebuah komputer seharga Rp 3.000.000,00. Setiap satu bulan kerja terjadi penyusutan sebesar 10% dari harga beli. Berapakah harga jual komputer tersebut pada akhir 9 bulan kerja? Penyelesaian Misalkan M adalah harga beli, p adalah penyusutan, n adalah periode, dan Mn adalah modal setelah ditambah harga majemuk. 

M = Rp 3.000.000,00



p = ...........



n=9 𝑝

Harga komputer pada akhir periode n adalah 𝑀 = 𝑀(1 − 100)𝑛 Maka harga jual komputer pada akhir 9 bulan kerja adalah 10

3.000.000(1 − 100)9 = 3.000.000(1 − ⋯ )9 = ................(0,9)9 = 3.000.000 x 0,387 = ..............................

B. merumuskan model matematika dari masalah deret Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang bisa diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika. Dalam menyelesaikan suatu masalah yang ada dalam keseharian kita, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengubah masalah nyata tersebut ke dalam model matematika, setelah itu dicari solusinya. Solusi yang didapat diinterpretasikan kembali ke masalah nyata yang tadi dimodelkan, sehingga diperoleh penyelesaian secara nyata. Soal 1. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 3.000 unit barang. Pada tahuntahun berikutnya, usahanya meningkat sehingga produksinya naik secara tetap sebesar 100 unit per tahun. Pada tahun ke berapakah perusahaan tersebut memproduksi 5.600 unit barang?

Jawab: Dengan cara memodelkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa matematika, diperoleh suku pertama 3.000 dan bedanya 100, serta Un = 5600. Dengan demikian, yang dicari adalah n. Gunakan rumus suku ke–n, yaitu Un = a + (n – 1) b 5600 = ...... + (n – 1)....... 5600 = ....... + 100 n –............. 5600 = ......... + 100 n 100 n = ......... – 2900 100 n = ....... n=

2700 100

= 27 Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 5600 unit barang pada tahun ke 27 2. Suatu keluarga memiliki 5 orang anak. Saat ini, usia kelima anak tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 12 tahun dan usia anak ke-5 adalah 7 tahun, tentukan jumlah usia kelima anak tersebut.

Jawab: Dengan memodelkan permasalahan tersebut, diperoleh n=5 U3 = 12 = ...... + 2b

...(1)

U5 = 7 = a + ......b _ ...(2) 5 = –2b b = –2,5 Dengan menyubstitusikan b = –2,5 ke persamaan (1), diperoleh a + 2b = 12 a + .......(–2,5) = ....... a – ...... = 12 a = ....... + 5 = 17 Dengan demikian, 5

S5 = 2 (… … 𝑎(… . . −1)𝑏) 5

= 2 (… … 𝑥 17 + ⋯ (−2,5)) 5

= 2 (34 − ⋯ ) = 60 Jadi, jumlah usia kelima anak tersebut adalah 60 tahun.

Lembar Kerja Siswa (LKS) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas / Semester Standar kompetensi masalah Kompetensi dasar Indikator Tujuan Alokasi Waktu

: : : :

SMA/MA Matematika XII/2(Genap) Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan

: Meyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya : Menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret : Agar siswa dapat menyelesaikan model-model matematika yang berkaitan dengan deret : 2 x 45 menit

 Seringkali kita menjumpai barisan bilangan dan kita ingin mengetahui jumlah bilangan-bilangan tersebut. Sebagai contoh, berikut ini adalah barisan bilngan yang menyatakan banyaknya kaset yang terjual tiap hari selama lima hari berturut-turut di suatu took kaset. Kita ingin mengetahui jumlah penjualan kaset selama lima hari tersebut. 25, 30, 35, 40, 45 Pada hari pertama kase yang terjual adalah 25. Setelah 2 hari, kaset yang terjual adalah 25 + 30 = 55. Setelah 3 hari, kaset yang terjual adalah 25 + 30 + 35 = 90, demikian seterusnya sehingga jumlah keseluruhan kaset yang terjual selama 5 hari adalah 25 + 30 + 35 + 40 + 45 = 175. Penjumlahan suku-suku dari barisan bilngan tersebut selanjutnya disebut sebagai deret bilangan. Secara umum dapat dituliskan berikut ini. Jika 𝑢1 , 𝑢2, 𝑢3,…. 𝑢𝑛 adalah suku-suku suatu barisan, maka deret yang bersesuaian dengan barisan tersebut adalah 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 … 𝑢𝑛 1. Hitung nilai dari : 3 + 5 + 7 + …+ 155. Jawab: Barisan aritmetika yang bersesuaian dengan deret 3 + 5 + 7 + …+ 155 mempunyai suku pertama a = 3, beda b = 5 – 3 = 2, dan suku ke-n adalah 𝑢𝑛 = 155. Banyaknya suku dari barisan tersebut dicari sebagai berikut.

𝑢𝑛 = 155 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏 = 155 … + (n - 1) 2…= 155 …𝑛 = 155 …𝑛 = 155 n = 155/… n = 77 sehingga 𝑛 𝑆𝑛 = 2 (a + 𝑈𝑛 ) 𝑆77 =

77 2

(…+ 155)

𝑆77 = (77)(…) 𝑆77 = 6083 Jadi, 3 + 5 + 7 + … + 155 = 6083 2. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika 3, 7, 11, 15,… Jawab: Dari barisan tersebut diperoleh a = 3 dan b = 7 – 3 =4. 𝒏 Rumus jumlah n suku pertama adalah 𝒔𝒏 = 𝟐 (𝟐𝒂 + (n - 1) b) 𝑠𝑛 = 𝑠𝑛 =

𝑛 2 𝑛 2

(2(… )+ (n - 1) b) (…+ (n - 1) 4)

𝑛

= 2 (… + …n - 4) 𝑛

= 2 (…n + 2) Sn = 2n² + n 3. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmetika 3,7,11,15,… Jawab: Jumlah 20 suku pertama adalah Sn = 2n² + n S20 = … . 20² + 20 = … + 20 = 820 4. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika 2, 6, 10, 14,… Jawab: Dari barisan tersebut diperoleh a = 2 dan b = 6 – 2 =4.

𝒏

Rumus jumlah n suku pertama adalah 𝒔𝒏 = 𝑠𝑛 = 𝑠𝑛 =

𝑛 2 𝑛 2

𝟐

(𝟐𝒂 + (n - 1) b)

(2(4)+ (n - 1) 4) (…+ (n - 1) 4)

𝑛

= 2 (… + 4n - …) 𝑛

= 2 (4n + …) Sn = 2n² + n 5. Tentukan jumlah 40 suku pertama dari barisan aritmetika 2,6,10,14,… Jawab: Jumlah 40 suku pertama adalah Sn = 2n² + n S40 = 2 . …² + … = 3200 + … = 3240 6. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan suku ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah… Jawab: Un= a + (n-1) b 𝑈3 = a + 2𝑏 = 36 … (i) 𝑈5 + 𝑈7 = 144 (a + 4𝑏 ) + (a + 6𝑏 ) = 144 2𝑎 a

+ 10𝑏 +

= 144

…𝑏 = 72

...

dari (i) dan (ii) diperoleh : a

+

…𝑏

(36 - 2𝑏 ) + 5𝑏

= 72 = 72

36 + (… .𝑏 − …𝑏 ) = 72 …𝑏 b

= 36 =

36 …

= 12

1

(dikalikan 2) (ii)

kemudian subtitusi nilai b ke salah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga diperoleh : a = 36 - 2𝑏 36 – 2(12) = 12 Nilai a dan b kita dapat kemudian kita mencari nila dari 𝑠10 : 𝒏

𝒔𝒏 =

𝟐

𝑠10 =

(𝟐𝒂 + (n - 1) b)

… 2

(… (12) + (10 - 1) …)

= … (24 + (9) …) = …(24 + ….) = …(132) = 660 7. Dari suatu barisan aritmetika, suku kelima adalah 50, jumlah suku ketujuh dan suku kesembilan adalah 222. Jumlah empatbelas suku pertama deret tersebut adalah… Jawab: Un= a + (n-1) b 𝑈5 = a + 2𝑏 = 50 … (i) 𝑈7 + 𝑈9 = 222 (a + 6𝑏 ) + (a + 8𝑏 ) = 222 2𝑎 a

+ 14𝑏 +

= 222

7𝑏 = 111

...

dari (i) dan (ii) diperoleh : 7𝑏

= 111

(50 - 2𝑏 ) + 7𝑏

= 111

a

+

50 + (7𝑏 − 2𝑏 ) = 111 5𝑏 b

= 50 =

50 5

= 10

1

(dikalikan 2) (ii)

kemudian subtitusi nilai b ke salah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga diperoleh : a = 50 - 2𝑏 … – 2(…) =30 Nilai a dan b kita dapat kemudian kita mencari nila dari 𝑠10 : 𝒔𝒏 = 𝑠14 =

𝒏 𝟐

(𝟐𝒂 + (n - 1) b)

14 2

(2(… ) + (… - 1) …)

= 7 (…+ (…) …) = 5 (… + …) = 5 (…) = 1330 8. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika, semakin muda usia anak maka semakin banyak permen yang dieroleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah. Jawab: 𝑈2 = a + b = 11 … (i) 𝑈4 = a + 3𝑏 = 19 … (ii) Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh : a + 3𝑏 = 19 3𝑏 – b = 19 -… 2𝑏 = 8 8

b=2=4 kemudian subtitusi nilai b tersebut kesalah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga menjadi : a = 11 – b =…–… =7

Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut kerumusnya : 𝒏

𝑺𝒏 =

(𝟐𝒂 – (𝒏 − 𝟏) 𝒃)

𝟐

𝑆5 =

5 2

5 = 2

(2(… ) – (… . −1) …) (… + ⋯ )

5

= 2 (… ) = 75 9. Seorang anak menabung disuatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000, 00, bulan kedua Rp. 55.000,00, bulan ketiga Rp. 60.000,00 dan seterusnya besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah … Jawab: 𝑈1 = a = Rp. 50.000,00 𝑈2 = Rp. 55.000,00 𝑈3 = Rp. 60.000,00 b = 𝑈2 - 𝑈1 = Rp.55.000 – Rp.50.000 = Rp.5.000,00 2 tahun = 24 bulan, jadi n = 24 𝒏

𝑺𝒏 =

𝟐

𝑆24 =

(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏) 𝒃)

24 2

(2(… ) – (… − 1) ….)

= 12 (…. + 23 (…)) = 12 (…. + 115.000) = …(215.000) = 2.580.000

10. Dari suatu deret aritmetika diketahui 𝑈3 = 13 dan 𝑈7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah … Jawab: 𝑈3 = a + 2𝑏 = 13 … (i) 𝑈7 = a + 6𝑏 = 29 …(ii) Subtitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi : (13 - 2𝑏 ) + 6𝑏 = 29 …𝑏 - 2𝑏 = 29 – … …𝑏 = 16 b=

16

=4

4

kemudian nilai b disubtitusi kesalah satu persamaan (missal persamaan i), sehingga diperoleh : a = 13 - 2𝑏 = 13 – 2(…) = … 𝑺𝒏 =

𝒏 𝟐

(𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏) 𝒃)

𝑆25 = 𝑆25 = 𝑆25 = 𝑆25 =

25 2 25 2 25 2

25 2

(2(… ) + (… − 1) 4)

(10 + (… ) 4) (… + ⋯ ) (… ) = 1325

Lembar Kerja Siswa (LKS) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas / Semester Standar kompetensi dan

: : : :

Kompetensi dasar

:

Indikator

:

Tujuan

:

Alokasi Waktu

:

SMA/MA Matematika XII/2(Genap) Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen logaritma dalam pemecahan masalah Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam Pemecahan masalah a.menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma b.menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma c.menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma Agar siswa dapat menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalh 2 x 45 menit

 Menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma Pangkat merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan tersebut disebut dengan fungsi eksponen. Fungsi eksponen dan penerapannya 1. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 1 Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 1 dengan a>0 dan a≠0, maka f(x) = 0. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. 35𝑥−10 = 1 2

b. 22𝑥 +3𝑥−5 = 1 Jawab : a. 35𝑥−10 = 1 3…𝑥−⋯ = 30 …x - … = 0 …x = 10 X =2 b. 22𝑥

2 +3𝑥−5

2𝑥 2 +3𝑥−5

=1

2 = …0 2x²+3x-5 = 0 (…x + …) (x - 1) = 0 …x + …= 0 x – 1 = 0

5

𝑥=1

X=2

2. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝 Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝 dengan a>0 dan a≠0, maka f(x) = p. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. 52𝑥−1 = 625 1

b. 22𝑥−7 = 32 Jawab : a. 52𝑥−1 = 625 …2𝑥−1 = 5… 2x – 1 = … …x =4 X =2 1

b. 22𝑥−7 = 32 2…𝑥−⋯ = …−5 …x – 7 = -5 …x = 2 X =1 𝑓(𝑥) 3. Bentuk 𝑎 = 𝑎 𝑔(𝑥) Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) dengan a>0 dan a≠0, maka 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) Tentukan himpunan penyelesaian dari : 2

2

a. 9𝑥 +𝑥 = 27𝑥 −1 b. 25𝑥+2 = (0,2)1−𝑥 Jawab : a. 9𝑥

2 +𝑥 2

= 27𝑥

2 −1 2

…2(𝑥 +𝑥) = …3𝑥 −1 2(x² + x) = 3(…² - 1) …x² + …x = 3…² - 3 x² - …x – 3 = 0 (x - …) (x + …) = 0 X = … x = -… Jadi HP = {-1,3} b. 25𝑥+2 = (0,2)1−𝑥 …2(𝑥+2) = …−1(1−𝑥) …x + … = -… + x …x – x = -1 – … X = -… Jadi HP = {-5} 4. Bentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) = 0. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 6𝑥−3 = 9𝑥−3 2

2 −5𝑥+6

2

2

b. 7𝑥 −5𝑥+6 = 8𝑥 Jawab : a. 6𝑥−3 = 9𝑥−3 X–…=0 …=… Jadi HP = {3}

b. 7𝑥 −5𝑥+6 = 8𝑥 −5𝑥+6 …² - …x + … = 0 (x - ..) (x + …) = 0 X = … x = -… Jadi HP = {-1,6} 5. Bentuk 𝐴(𝑎 𝑓(𝑥) )² = B(𝑏 𝑓(𝑥) ) + 𝑐 = 0 Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = p, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap² + Bp + c = 0. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. 22𝑥 − 22𝑥+3 + 16 = 0 b. 9𝑥 − 2.3𝑥+1 + = 27 Jawab : a. 22𝑥 − 22𝑥+3 + 16 = 0 22𝑥 − …𝑥 . …3 + 16 = 0 Dengan memisahkan 2𝑥 = p, maka persamaan menjadi : p² - 8p + 16 = 0 (p - …) (p - …) = 0 P=4 Untuk p = 4 => 2𝑥 = … 2 𝑥 = …2 X=2 Jadi HP = {2} b. 9𝑥 − 2.3𝑥+1 + = 27 (… ²)𝑥 − 2. …𝑥 . …1 = 27 (… ²)𝑥 − …. 3𝑥 . 3 − 27 = 0 (… ²)𝑥 − 6. …𝑥 − 27 = 0 (3𝑥 − ⋯ ) (3𝑥 + ⋯ ) = 0 3𝑥 = ⋯ 𝑎𝑡𝑎𝑢 3𝑥 = -… Dari 3𝑥 = ⋯ , 𝑚𝑎𝑘𝑎 3𝑥 = ..²  x = 2 Dari 3𝑥 = −3 tidak diperoleh nilai pengganti x sebab 3𝑥 harus positif. Jadi HP = {2}  Menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritmaType equation here. 1. Sifat-sifat eksponen

Misalnya a dan b bilangan real (a≠0,b≠0) serta x dan y bilangan rasional,maka berlaku hubungan berikut. 1

a. 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑎

b. (𝑏)

𝑥

e. 𝑎−𝑥 = 𝑎𝑥

𝑎𝑥

f. (𝑎 𝑥 )y = 𝑎 𝑥𝑦

= 𝑏𝑥

𝑦

c. 𝑎𝑦𝑥 = √𝑎 𝑥 d. (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦

g. 𝑎0 = 1

Sederhanakan tiap bentuk berikut ! a.

3𝑛+2 −3𝑛 3𝑛 −3𝑛−1

Jawab: 3𝑛+2 −3𝑛 3𝑛 −3𝑛−1

…𝑛 …²−3𝑛

= 3𝑛 −…𝑛 …−1 3𝑛 (..²−1)

= 3𝑛 (1−…−1 =

)

8 2 3

= 12 2. Sifat-sifat logaritma Untuk bilangan pokok positif tetapi tidak sama dengan satu dan numerous positif, berlaku sifat-sifat logaritma berikut. 𝑎 a. log a = 1; 𝑎 log 1 = 0; 𝑎 log 𝑎𝑛 =n; 𝑎 b. log xy = 𝑎 log x + 𝑎 log y 𝑥

c.

𝑎

log 𝑦 =

d.

𝑎

log 𝑥 𝑦 = 𝑦

e.

𝑎

f.

𝑎

𝑎

𝑎

log y ;

𝑎

𝑥

log 𝑦 = -

𝑎

𝑦

log 𝑥

log x

𝑎 log x

log x = log x.

𝑎

log x -

𝑎 log a

𝑎

log y =

𝑎

log y

Sederhanakanlah bentuk log x + 2log x² + 3log 𝑥 3 ! Jawab : log x + 2log x² + 3log 𝑥 3 = log x + log …4 + log …9 = log (x …4 …9) = log … .14 = 14 log x  Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma 1. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 2𝑥 . Tentukan hasil kali pemetaan untuk x = {3,2,1,0,-1,-2,-3}. Jawab: f(x) = 2𝑥 untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = 2… = 8 untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = 2… = 4 untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = 2… = 2

untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = 2… = 1 1

untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = 2− ⋯ = 2 1

untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = 2− ⋯ = 4 1

untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = 2− ⋯ = 8 2. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 4𝑥 . Tentukan hasil kali pemetaan untuk x = {4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4}. Jawab: f(x) = 4𝑥 untuk x = 4 akan dipetakan ke f(4) = 44 = … untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = 43 = …. untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = 42 = … untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = 41 = …. untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = 40 = … untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = 4−1 = …. untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = 4−2 = …. untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = 4−3 = … untuk x = -4 akan dipetakan ke f(-4) = 4−4 = … 3. Diketahui fungsi eksponen yang dirumuskan sebagai f(x) = 21−𝑥 . Tentukan hasil kali pemetaan untuk x = {4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4}. Jawab: f(x) = 21−𝑥 1

untuk x = 4 akan dipetakan ke f(4) = … = 8 1

untuk x = 3 akan dipetakan ke f(3) = … = 4 1

untuk x = 2 akan dipetakan ke f(2) = … = 2 untuk x = 1 akan dipetakan ke f(1) = … = 1 untuk x = 0 akan dipetakan ke f(0) = … = 2 untuk x = -1 akan dipetakan ke f(-1) = … = 4 untuk x = -2 akan dipetakan ke f(-2) = … = 16 untuk x = -3 akan dipetakan ke f(-3) = … = 32 untuk x = -4 akan dipetakan ke f(-4) = … = 64

DAFTAR PUSTAKA

Anwar, cecep, H.F.S dan Pesta E. S. 2008. Matematika Aplikasi Jilid III untuk SMA/MA Kelas XII Program Study Ilmu Alam. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional Tim Edukatif HTS. 2009. Modul Matematika. Surakarta : CV Hayati Tumbuh Subur

Tim Metode Ilham. 2010. Ilmu Hitung Matematika dengan Otak Kanan