1 k 1 ( 1 ) l n 1 , k N k k
ln 1
1
1
, k N şi k k
1 ln 1 , k N k 1 k 1
ln
k
1 k
1
, k N şi k
1 k
1
ln
k 1 k
, k N
ln( k 1) ln k
1 k
, k N şi
1 k 1
ln(k 1) ln k, k N .
Acum suntem pregătiţi să demonstrăm mărginirea şirului de numere reale
n
k 1
ln n . k nN 1
1
Fie n N, n
2.
Avem:
0 1 ln 3 ln 2 1 1 2 1 1 ln 2 ln1 ln 4 ln 3 2 0 3 n relaţii de inegalitate 1 ....... ........................ ln 3 ln 2 3 1 n relaţii de inegalitate ln n ln(n 1) ........................... n 1 1 1 ln(n 1) ln n 2 ln(n 1) ln n n 1 n 1 (prin adunare) n n ln ln 1 n n ln 2 ln1 1
ln( n 1) 0
k 1
1
(prin adunare)
k
n
1k 1 ln
n
ln( n 1)
k 1
1 k
k 1
. n
Deci
n N, n 2 : ln(n 1)
k 1
n
n N, n 2 : ln(n 1)
k 1
n N, n
n.
1 2 : ln 1 n
n
k 1
1 k
1 k
1 k
1 ln n . n
1 ln n n N, n 2 : ln(n 1) ln n
k 1
n
ln n 1 n N, n 2 : 0
k 1
1 k
1 k
ln n 1
ln n 1.
n
Deci
n N : 0
k 1
1 k
ln n
1 , ceea ce ne arată că şirul de numere reale
n
k 1
ln n k nN 1
este mărginit. n 1 ln n . Vom studia acum monotonia şirului k k 1 nN n1 1 n 1 n1 1 n 1 ln n 1 ln n n N : ln n 1 ln n k k k k k 1 k 1 k 1 k 1 n n n 1 1 1 1 1 n 1 1 ln ln 1 0 , ceea ce ne arată că ln n k n 1 k n n 1 n k k 1 k 1 k 1 nN
este un şir strict desc rescător.
2
n
k 1
ln n este un şir convergent deoarece este un şir monoton şi mărginit. k nN 1
Aplicaţie n
Calculaţi lim
n
k 1
1 n k
.
Rezolvare
2n 1 2n 1 n 1 n 1 lim lim lim ln(2n) ln n ln 2 n n nk k k n k k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 2n 1 n 1 lim ln(2n) lim ln n lim ln 2 C C ln 2 ln 2 . n n n k k k 1 k 1 n
