Conceptos Básicos de Análisis Estructural
Una estructura es un conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir un determinado número de cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno. Para ello, la estructura se encuentra constituida por unas serie de barras enlazadas entre sí por medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rígidos según permitan o no el giro entre barras en el punto donde confluyen. Si los nudos son rígidos los ángulos entre barras tras la deformación se conservarán y la flecha será pequeña, mientras que si son articulados no transmitirán los momentos flectores dado que su giro será libre. Se refiere al uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales para encontrar los esfuerzos internos, deformaciones y tensiones que actúan sobre una estructura resistente, como edificaciones o esqueletos resistentes de maquinaria. Igualmente el análisis dinámico estudiaría el comportamiento dinámico de dichas estructuras y la aparición de posibles vibraciones perniciosas para la estructura. Método para la estructuración de ideas permite la descripción de un sistema con la ayuda de una matriz que relaciona todos sus elementos Permite tomar en consideración los factores cualitativos. Determinación de esfuerzos
El tipo de método empleado difiere según la complejidad y precisión requerida por los cálculos: Métodos clásicos, para estructuras muy sencillas entre los que se encuentran la teoría de vigas de Euler-Bernouilli es el método más simple, es aplicable sólo a barras esbeltas sometidas a flexión y esfuerzos axiales. 1
Naturalmente
no todas las estructuras se dejan analizar por este método.
Cuando existen elementos estructurales bidimensionales en general deben emplearse métodos basados en resolver ecuaciones diferenciales. Métodos programables: Así para determinar esfuerzos sobre marcos o pórticos se usa frecuentemente el método matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que modeliza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos predominantemente a flexión Cuando se trata de analizar elementos más pequeños o con forma irregular donde pueden producirse concentraciones de tensiones se usan métodos numéricos más complejos como el Método de los elementos finitos. TIPOS DE ESTRUCTURAS RETICULARES
Estructuras reticulares: Se componen por barras rectas o curvas unidos en sus extremos por pasadores o soldadura.
Figura N° 1 Análisis de un edificio en estructura reticular de pórticos utilizando un programa comercial de análisis. Estructura deformada. Los tipos más importantes de estructuras reticulares son: Cerchas o celosías
2
Están formadas por elementos articulados entre sí, y con cargas actuantes únicamente en los nudos. Los elementos trabajan a esfuerzo axial, y no hay flexión ni cortadura. Por su disposición espacial pueden ser planas o tridimensionales.
Figura N°2
Figura N°3
Puente a base celosías planas en sus caras construido para un antiguo ferrocarril (ahora convertido en puente peatonal). Vigas: Están formadas por elementos lineales unidos rígidamente entre sí,
y que pueden absorber esfuerzos de flexión y cortadura, sin torsión. También pueden absorber esfuerzo axial, pero éste está desacoplado de los esfuerzos de flexión y cortadura, en la hipótesis de pequeñas deformaciones. Es un elemento que tiene dos de sus dimensiones mucho menores que la otra y recibe cargas en el sentido perpendicular a la dimensión mayor. Estas características geométricas y de carga hacen que el elemento principalmente esté sometido a esfuerzos internos de flexión y de cortante.
= Inercia de la sección
= Cortante indirectamente del área
3
figura N°4 Pórticos planos :Son estructuras compuestas por elementos prismátic
os, unidos rígidamente entre sí, y dispuestos formando una retícula plana, con las fuerzas actuantes situadas en su plano. Estas estructuras se deforman dentro de su plano y sus elementos trabajan a flexión, cortadura y esfuerzo axial. Pórticos espaciales :
Son similares a los anteriores, pero situados
formando una retícula espacial. Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial, torsión y flexión en dos planos.
Figura N°5 Arcos: Son estructuras compuestas por una única pieza, cuya directriz
es habitualmente una curva plana. Absorben esfuerzos axiales, de flexión y de cortadura. Como caso general existen también los arcos espaciales, cuya directriz es una curva no plana. En muchas ocasiones los arcos se encuentran integrados en otras estructuras más complejas, del tipo pórtico plano o espacial.
Figura N°6
4
DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS RETICULARES
Las estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados. Debido a esto, si sólo existen cargas sobre los nudos, las barras se encontrarán sometidas únicamente a esfuerzos normales, o sea, sólo trabajarán a tracción o a compresión. Dado que mientras que con un nudo rígido todas las barras que confluyen en él sufrirán desplazamientos y giros iguales, con nudos articulados los giros serán libres, lo que implica que el momento flector en la misma sea nulo, y por tanto no se transmitirá. Para la resolución de una estructura reticulada todas las cargas deben estar aplicadas en los nudos, para de ese modo considerar que todas las barras se encuentran sometidas a tracción, siendo el signo el que indique si se trata de un esfuerzo de tracción (+) o de compresión (-). Así, cuando alguna barra se encuentre cargada, para resolver la estructura, se trasladará la carga a la correspondiente sobre los nudos, y cuando sea el momento de resolver el desplazamiento o el giro de la barra cargada se tendrán en cuenta los momentos flectores que aparecen sobre dicha barra por el hecho de encontrarse cargada. Además, recordar que cuando la barra está sometida a tracción, el nudo lo está a compresión, y viceversa. Cálculo de desplazamientos
En estructuras reticulares con cargas únicamente en los nudos resulta sencilla la aplicación del P.T.V. al sistema dado que el trabajo sólo será debido a los esfuerzos normales, de tal modo que: 1. Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema congruente de desplazamientos).
5
2.
Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la
misma estructura pero con una única carga de valor unitario y correspondiente al desplazamiento que se desea hallar (sistema de fuerzas de equilibrio). Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma dirección y sentido, y aplicada sobre la misma sección que el desplazamiento requerido, o a un momento de igual dirección y sentido, y punto de aplicación que el giro que se busca. 3.
Finalmente, por el principio de los trabajos virtuales, se tiene que
para sistemas de nudos articulados y cargas sobre los nudos, el desplazamiento correspondiente en el punto de aplicación de la carga unitaria viene dado por: =Ni 'Ni L S E donde: Ni son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en
el sistema de fuerzas real . Ni ' son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en
el sistema de fuerzas virtual . Deformaciones en estructuras reticulares son efectos producidos por fuerzas ejercidas sobre un conjunto reticular... como las estructuras reticulares generalmente son descritas como barras, estos esfuerzos son axiales. ACCIONES Y DESPLAZAMIENTO Cálculos de desplazamientos
Una vez encontrada la matriz de rigidez global y el vector de fuerzas nodales global se construye un sistema de ecuaciones como (1). Este 6
sistema tiene la propiedad de que puede descomponerse en dos subsistemas de ecuaciones: 1. El
primero
de
estos
sistemas
relaciona
únicamente
los
desplazamientos incógnita con algunas de las componentes del vector de fuerzas nodales global y constituye siempre un sistema compatible determinado 2.
El segundo subsistema contiene también las reacciones incógnitas y una vez resuelto el primer subsistema es de resolución trivial.
Resolviendo el primer subsistema compatible determinado, se conocen los desplazamientos incógnita de todos los nudos de la estructura. Insertando la solución del primer subsistema en el segundo resultan las reacciones. el cálculo de desplazamientos con un ejemplo. Por ejemplo si consideramos la flexión en el plano XY de la viga recta de la sección anterior considerando que se trata de una viga biarticulada unida en sus extremos a dos rótulas fijas tendríamos que el sistema general (1) tendría la forma para este caso particular:
Las filas
3
y
6
Anexo 1
contienen los giros (desplazamientos) incógnita de los
extremos de la viga y tomadas en conjunto conforman el primer subsistema para los desplazamientos. Ignorando los términos nulos y reescrito en forma 7
matricial el subsistema de ecuaciones para los desplazamientos es simplemente:
Anexo 2 Cuya solución nos da el valor del ángulo girado por el extremo derecho e izquierdo de la viga bajo esas cargas:
Anexo 3 Una vez conocidos estos valores e insertados en la matriz las filas 1, 2, 4
y
5
nos proporcionan en valor de las cuatro reacciones hiperestáticas
desconocidas previamente.
Figura N°7 EQUILIBRIO.
Un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o tiene un movimiento uniforme. Analíticamente se expresa cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula, se afirma así que el sistema de fuerzas no produce efecto alguno sobre el cuerpo y se dice que el sistema de fuerzas está en equilibrio. R =F = 0 8
Para evaluar la situación de equilibrio en un cuerpo determinado, se hace un gráfico del mismo llamado Diagrama de cuerpo libre. Este diagrama consiste en aislar completamente el cuerpo o parte del mismo y señalar todas las fuerzas ejercidas sobre él, ya sean por contacto con otro cuerpo o por su propio peso. Luego se aplican las condiciones de equilibrio, las cuales se pueden expresar en forma de ecuaciones que se denominan ecuaciones generales de equilibrio, también llamadas ecuaciones básicas de la estática: 1. La suma algebraica de fuerzas en el eje X que se denominan Fx, o fuerzas con dirección horizontal, es cero. Fx = 0 Fh = 0 2.
La suma algebraica de fuerzas en el eje Y denominadas Fy, o fuerzas con
dirección vertical, es cero. Fy = 0 Fv = 0 3.
La suma algebraica de momentos M, o tendencias de giro respecto a un
punto determinado en equilibrio, es cero. M = 0 Es importante recordar que la convención de signos adoptada, para la aplicación de las ecuaciones generales de equilibrio para fuerzas y momentos, en todos los casos y ejemplos, es la siguiente:
Figura N°8 9
COMPATIBILIDAD
Generalmente, las condiciones de compatibilidad o las relaciones tensodeformacionales de los materiales resultan difíciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente, siempre que sean equilibradas y que se satisfagan a posteriori las condiciones de ductilidad apropiadas. La compatibilidad de deformaciones te permite calcular las reacciones en un sistema hiperestático. Para aclarar lo anterior es necesario definir algunos conceptos. Se sabe que existen solo dos ecuaciones de equilibrio, las cuales son: Sumatoria de fuerzas =0 Sumatoria de momentos =0 la diferencia entre un sistema isostático e hiperestático es que el primero se puede resolver utilizando las ecuaciones de equilibrio y el segundo no, debido a que existen mas incógnitas que ecuaciones. Por ejemplo una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro es un sistema hiperestático de primer orden, es decir, se requiere de una ecuación adicional para resolver y encontrar las reacciones. Una viga doblemente empotrada es un sistema hiperestático de segundo orden, debido a que requiere
2
ecuaciones a parte de las de
equilibrio para resolver el problema.
10
Para conseguir esa o esas ecuaciones basta aplicar la compatibilidad de deformaciones y así encontrar las ecuaciones que faltan para resolver el sistema. ESTRUCTURAS MÓVILES
Serían todas aquellas que se pueden desplazar, que son articuladas. Como puede ser el esqueleto, un puente levadizo, una bisagra, una biela, una rueda, etc. Como ejemplo la estructura que sustenta un coche de caballos y un motor de combustión. Construcción cuya finalidad es soportar un esfuerzo. Están constituidas por: Perfiles: vigas y pilares. Tirantes: cables que mejoran la resistencia. Escuadras: con forma triangular y que refuerzan las estructuras. Planos inclinados: mejoran el desplazamiento de los cuerpos. Diagonales: son uniones entre vértices opuestos. Arco: elemento de forma circular que aumenta l resistencia de las estructuras. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
La respuesta de una estructura debida a un numero de cargas aplicadas simultáneamente es la suma de las respuestas de las cargas individuales, aplicando por separado cada una de ellas a la estructura; siempre y cuando para todas las cargas aplicadas y para la suma total de ellas los desplazamientos y esfuerzos sean proporcionales a ellas. 11
Esto implica que para aplicar el principio de superposición necesitamos trabajar con materiales elásticos, que cumplan la ley de Hooke. Si la estructura a analizar cumple con estos requisitos podemos usar la teoría elástica en su estudio. ¿Qué otras teorías existen para analizar estructuras que no cumplan con una relación lineal de esfuerzos desplazamientos?
Figura N°9 Gráfica fuerza vs deformación para un elemento constituido con un material perfectamente elástico Cuando se habla de respuesta se refiere a los desplazamientos y a las fuerzas internas. Por el principio de superposición podemos expresar los efectos totales como la suma de efectos de cargas parciales:
Figura N° 10 12
TIPOS DE APO YOS Y CONEXIONES
Parte del modelado van en la representación de los soportes o apoyos, estos nos proporcionan estabilidad impidiendo el movimiento. Los tipos de apoyo se clasifican por la cantidad de grados de libertad que restrinjan. Van desde los más simples que restringen un solo grado de libertad hasta los más complejos que restrinjan seis grados de libertad en el espacio. Los más simples son rodillos, superficies lisas, uniones con cables, apoyos basculantes, etc. Al segundo tipo, aquellos que restringen dos grados de libertad, pertenecen las articulaciones, las superficies rugosas, las rotulas, etc. Al tercer tipo y último en estructuras planas pertenecen los empotramientos.
Figura
N°
11
ECUACIONES DE ACC IÓN Y DESPLAZAMIENTO MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS O DE LA RIGIDEZ
En este método se trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres. Es una forma 13
completamente distinta de trabajar, pero que analizando más detenidamente es simplemente el método de los nudos. En una estructura simple como se plantean las ecuaciones en los nudos. Para esto representaremos cada elemento como un resorte susceptible de deformarse axialmente.
Figura N°12
Los pasos del método asi: 1. Identificar los grados de libertad libres en los nudos 2.
Plantear las ecuaciones de equilibrio de esos grados de libertad
3.
Plantear las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, esto es, expresar las deformaciones internas de los elementos (expresados en letras minúsculas) en función de los desplazamientos externos de la estructura.
4.
Plantear las ecuaciones de las leyes constitutivas del material, relaciones fuerza desplazamientos
5.
Reemplazar las ecuaciones del paso 3 en las del paso 4
6.
Remplazar en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones halladas en el paso 5
7.
Resolver para los desplazamientos
8.
Reemplazar los desplazamientos encontrados en las ecuaciones del paso 3 para hallar deformaciones internas
14
9.
Encontrar fuerzas de extremo de los elementos por medio de las ecuaciones del paso 4 y los valores del paso 8
10. Con las fuerzas de extremo de elemento resolver para cada elemento sus fuerzas internas y deformaciones. MATRICES DE FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ
MÉTODO DE LAS FUERZAS También denominado de la Flexibilidad, por los coeficientes que aparecen en el proceso de cálculo. En las estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las Condiciones de Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de Deformación. Estudiemos ahora las deformaciones del isostático para los distintos estados de cargas para después superponer efectos.
Figura N°13 i
= vector desplazamientos y giros de nudos.
)i, _i = vectores esfuerzos y deformación de barras. Fi = vector cargas externas. Ri = vector de ligaduras liberadas (internas y externas). < f 5(i) = (R i,F i) = (F i,valor conocido ) _ i, R i _ _i _ )i
15
Método de la Rigidez .
Hipótesis: Estructura lineal- Todos los
movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas- Pequeñas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada). Las barras son rectas y de sección constante.
Figura N°14 Para estudiar una estructura por el método de la rigidez, al igual que en cualquier otro problema elástico, disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse. y
Ecuaciones de compatibilidad
y
Ecuaciones constitutivas
y
Ecuaciones de equilibrio Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones de
barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas, relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales. Dichos esfuerzos de extremos de barras y desplazamientos dependerán del tipo de estructura que estamos resolviendo, para barras de: a) Reticulado Plano: tendremos dos desplazamientos por nudo b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo. En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales. c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo. (una rotación en el plano del pórtico y dos traslaciones), como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, un esfuerzo de corte y un momento flector. 16
d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y tres rotaciones. Como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos flectores y un momento torsor. e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento normal al plano de la grilla) y dos rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano mencionado). Los esfuerzos son un cortante y dos momentos (un torsor y un flector).
Método de Rigidez Un sistema estructural, constituido por un entramado de barras rectas de sección constante y que cumplen las hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede resolver por medio de la ecuación matricial que relaciona las cargas en los nudos ( L ) y sus desplazamientos ( D ) a través de la matriz de rigidez ( S ) de la estructura. La definición de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemática, de modo que el método se sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solución al sistema estructural. 1. Descripción de la estructura. 2.
Cálculo de la matriz de rigidez de cada barra y del vector de cargas
nodales equivalente. 3.
Cálculo de la matriz de rigidez global (ensamblaje) y del vector de cargas
global de la estructura. 4.
Introducción de las condiciones de contorno.
5.
Cálculo de desplazamientos y giros (solución del sistema de ecuaciones).
6.
Cálculo de solicitaciones en los extremos de las barras.
7.
Cálculo de reacciones.
17
CARGAS NODALES Y EQUIVALENTES
Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equi valentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas). Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnitas y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:
Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita.
Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema
2
permite
encontrar los valores de las reacciones incógnita. Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema
2
que es trivial de resolver.
Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.
18
En la ecuación matricial de equilibrio planteada según (1. 4) se hacía referencia a la matriz de rigidez, cuya determinación se ha llevado a cabo en el capítulo precedente, al vector de corrimientos nodales, que constituye las incógnitas del problema y al vector de fuerzas nodales equivalentes. Este último va a determinarse en este capítulo de forma general, de modo que pueda aplicarse a cualquier situación de carga. Determinación
del
ector
v
de
acciones
nodales
equi valentes .
Acciones en dirección paralela a la directriz de la barra
Dentro de la tipología de solicitación a lo largo de la directriz de una barra se identifican dos familias de acciones claramente diferenciadas: las que se producen en dirección de dicha directriz y las que lo hacen transversalmente en cualquier dirección. Para ambas familias puede distinguirse, a su vez, entre tres formas de solicitación: la carga puntual, el momento puntual y la acción distribuida. Carga puntual fuera de los nodos
Sea la barra de la figura 4.1.a.-, solicitada por una fuerza puntual P. Su aplicación genera las reacciones de empotramiento perfecto fx y fx. Para su determinación puede plantearse a ambos lados del punto de i j aplicación de la carga las ecuaciones de equilibrio que corresponda, según ( 2.1). Así, en el tramo izquierdo, 0-a, queda:
19
Anexo N° 4 PRIN CIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
El Principio de los Trabajos Virtuales: Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación. Válido cualquiera sea la ley del estado de tensiones y su relación con las deformaciones. Es conveniente, antes de pasar al análisis general del principio, considerar algunos términos de la definición: En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le provoca una deformación. Dicha deformación es arbitraria y posible, compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo. Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Ae. 20
Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ai. El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintéticamente como: A = A e
i
En el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexión sometido a un sistema de cargas mP en su plano, siendo C las correspondientes reacciones de vínculo exteriores. Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos QNM ,,, de tal manera que existe equilibrio entre la acción interna y la
externa. El sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas mP y C , sufrirán desplazamientos y (si existen m
c
corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por: +=cmmeCPA. Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, es decir el trabajo de los esfuerzos internos (QNM ,,) debido a la deformación virtual a que sometimos al sistema, consideramos un elemento de una barra dx de altura h.
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CONCLUSION
Una estructura es un conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir un determinado número de cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno. Estructuras reticulares: Se componen por barras rectas o curvas unidos en sus extremos por pasadores o soldadura. Las estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados. Cálculos de desplazamientos una vez encontrada la matriz de rigidez global y el vector de fuerzas nodales global se construye un sistema de ecuaciones. Un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o tiene un movimiento uniforme. Generalmente, las condiciones de compatibilidad o las relaciones tensodeformaciones de los materiales resultan difíciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden adoptarse soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente Las estructuras móviles, serían todas aquellas que se pueden desplazar, que son articuladas. Como puede ser el esqueleto, un puente levadizo, una bisagra.
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REFERENCIAS BIBLIOGR AFICAS
Buscador www.google.com
Libros Tensiones y deformaciones en materiales elásticos. José Antonio González Taboada. Enlaces Cálculo de estructuras. Enrique Nieto García. Normativa
Código técnico de la edificación (CTE). Paginas
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