Concavidad y puntos de inflexión La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición de concavidad Se dice que la gráfica de una función f es es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es es cóncava hacia abao.
!ote que es la función derivada
la que debe ser creciente creciente o decreciente decreciente en en el intervalo A.
"n la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo cóncava hacia abao en el intervalo
Teorema 5 Si f es una función tal que cóncava hacia arriba sobre Demostración:
MATEMATICA II
cuando .
, entonces la gráfica de f es es
#
Si
# como
sobre
, entonces se tiene que
es creciente
por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función,
se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre
.
Teorema 6 Si f es una función tal que
cuando
cóncava hacia abao sobre
, entonces la gráfica de f es
.
Demostración: $e la hipótesis: decreciente sobre
, # como
, se obtiene que
es
por lo que seg%n la definición dada sobre concavidad, la
gráfica de la función f es cóncava hacia abao sobre
.
"emplifiquemos los dos teoremas anteriores utili&ando la función f con ecuación
Si
entonces
Luego,
si
'omo ellos negativa.
, #, #,
, entonces es positiva. Además
si
es creciente en los intervalos es decreciente en el intervalo
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo intervalo
.
La representación gráfica de la función
MATEMATICA II
.
es la siguiente:
, pues en pues en el
es
# cóncava hacia abao en el
(epresentación gráfica de la función
)bserve que
es creciente en
#
# decreciente en
(epresentación gráfica de la función f:
(epresentación gráfica de la función f
MATEMATICA II
.
!ote que f es cóncava hacia arriba en los intervalos intervalo
# cóncava hacia abao en el
.
$amos ahora la definición de punto de infle*ión
Definición Se dice que
es un punto de infle*ión de la gráfica de una funciónf , si
e*iste un intervalo
tal que
sobre
, # la gráfica de f es cóncava hacia arriba
, # cóncava hacia abao sobre
, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos: +.
MATEMATICA II
"l punto
es un punto de infle*ión de la curva con ecuación
pues
es positiva si
, # negativa si
arriba para
, # cóncava hacia abao para
, de donde f es cóncava hacia .
ráficamente se tiene:
-.
$eterminemos los puntos de infle*ión de la función f con ecuación
Se tiene que (esolvamos las desigualdades
MATEMATICA II
por lo que
,
'omo si arriba en esos intervalos.
entonces la gráfica de f es cóncava hacia
La gráfica de f es cóncava hacia abao en el intervalo
Luego los puntos # tanto son puntos de infle*ión.
pues en él
.
son puntos en los que cambia la concavidad # por
La gráfica de la función f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de infle*ión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abao. "n un punto de infle*ión, la tangente a la curva recibe el nombre detangente de infle*ión. ráficamente:
MATEMATICA II
)bserve que una parte de la curva queda sobre la tangente de infle*ión, # otra parte bao ella.
Teorema 7 Si
es un punto de infle*ión de la gráfica de f # si
e*iste,
entonces Demostración: Al final del captulo. "emplo:
'onsidere la función f con ecuación La segunda derivada de f es
!ote que
si
. .
, #,
Luego, f es cóncava hacia arriba para
Se tiene entonces que
"valuando la segunda derivada de f en e*presado en el teorema anterior.
si
, # cóncava hacia abao para
es un punto de infle*ión.
resulta que
con lo que se verifica lo
"n el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de infle*ión.
MATEMATICA II
Teorema 8 Si: i. f es una función continua sobre un intervalo /,
ii. es un punto interior de / tal que
,ó
e*iste, #
iii. Si e*iste un intervalo
+.
cuando
con
,
#
tal que:
cuando
, entonces
es un punto de infle*ión de la gráfica de f .
-.
cuando
#
cuando
, entonces
es un punto de infle*ión de la gráfica de f .
0.
cuando bien,
#
cuando
cuando #
,o
cuando
entonces
no es un punto de infle*ión de la gráfica de f . Demostración: "s similar a la dada para el 1eorema 2, sustitu#endo , f por
,#
por
.
"emplos:
+.
Sea f una función con ecuación con . !ote que f es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomio. La segunda derivada de f es
, que es igual a cero si # solo si
ó
.
As )bservemos la solución de las desigualdades siguiente tabla:
MATEMATICA II
,#
por medio de la
-. 'omo para # para un punto de infle*ión seg%n el punto l del 1eorema 3. $e acuerdo con el punto - de ese mismo teorema, como # 0.
para
, entonces
entonces
es
para
es un punto de infle*ión.
'onsideraremos ahora la función g con ecuación:
, con
'omo se tiene que
Además
nunca se hace cero # que
es ma#or que cero para
cóncava hacia arriba en su dominio, # por lo tanto
no e*iste.
, por lo que f siempre es no es punto de infle*ión.
La derivad a del cociente de do s funciones es ig ual a la de rivada del n umerador por e l denominad or menos la de rivada del de nominador por el numerad or, divididas por el cuadrado de l denomin ador.
MATEMATICA II
Derivada de una constante partida por una función
Ejemplos
MATEMATICA II
4A'1)(/AL"S 4(A''/)!A$)S -f5p Aun en los e*perimentos -f el n%mero de condiciones e*perimentales crece e*ponencialmente con el n%mero de factores f a estudiar. "l n6 de interacciones de 7r8 factores combinados es '9f,r, en la siguiente tabla se observa el n%mero de factores principales # las interacciones de primer, segundo, tercer,... orden # el total de tratamientos a estudiar.
MATEMATICA II