CÁTEDRA
: ANÁLISIS MATEMÁTICO III
CATEDRÁTICO
: Mag. Mat. CÉSAR CASTAÑEDA CAMPOS
SEMESTRE
: III
SECCION
: “B”
ALUMNOS
:
Olarte Romero, Joel Merino Laura, Luis Alberto Mendoza Comun, Yecid Ricra Dueñas, Franzua Patrick Perez Muñoz, Gaymo Luis Ureta Poma, Waldir Alex
A todos los docentes que se esfuerzan para brindar su apoyo a los alumnos.
CONCAVIDAD DEFINICIÓN Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. Concavidad es un concepto geométrico relacionado con el doblez de la gráfica de una función. La concavidad se toma positiva si el doblez es hacia arriba y negativa si el doblez es hacia abajo.
CRITERIO DE CONCAVIDAD Sea una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto .
Si
, la grafica de es cóncava hacia arriba en .
Demostración si
Si
la grafica de
la grafica de es cóncava hacia abajo en . es cóncava hacia abajo en
Una línea recta no tiene concavidad
Demostración de la hipótesis:
() , y como () () , se obtiene que (), es decreciente sobre [ ], por lo que según la definición dada sobre concavidad la grafica de la función f, es cóncava hacia abajo sobre [ ]
Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada y calculamos sus raíces. 2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene la derivada segunda Si Si 4.
es cóncava. es convexa.
Escribimos los intervalos.
Matemáticamente 1)
es cóncava hacia arriba si es positiva en (). por lo tanto, f es cóncava hacia arriba en () si en ().
Similarmente 2)
es cóncava hacia abajo si es negativa en (). en conclusión, es concava hacia abajo en () si en ().
EJERCICIOS Problema
() Solución:
() () () , ahora hacemos ()
Para determinar los puntos de inflexión
De donde
Para
, () ()
Para
,
es cóncava hacia arriba en
() ()
es cóncava hacia abajo en
Para
,
()
()
es cóncavo hacia arriba
Problema
) () ( ) ) ( )
〈 〉
〈〉
0
)
〈〉 〈〉 〈〉 )
F(X)= () √
HACIENDO LA PRIMERA DERIVADA F(x)=
()√
()√ F(x)= () √ ()
F(x)=
() F(x)= ()
Puntos críticos:
x=2
, x=4
|haciendo la segunda derivada F(x)=
() ()
Posibles puntos de inflexión: x=4
x=8
puntos críticos: x=2 x=4
x=8
HALLANDO LA CONCAVIDAD:
X () (2,4) (4,8) (8,+)
Primera derivada <0 >0 >0 >0
Segunda derivada >0 >0 <0 >0
concavidad Hacia arriba Hacia abajo Hacia abajo Hacia arriba
F(x) = - 3x² 1).- Calculamos su puntos críticos derivando la función. F'(x) = 3x² - 6x ; F'(x)=0 F'(x) =3x (x -2) P.C = [0 ;2 ] 2).- Hallamos los máximos y mínimos. F'(x) = 3x² - 6x F''(x) = 6x – 6 ; P.C = [0 ;2 ]
maximo . ; F''(0)>0 ; minimo.
F''(0) = 6(0) - 6 = -6 ; F''(0) <0 ; F''(2) = 6(2) – 6 = 6
3).- Hallamos la imagen de la función. Si : P.C = [0 ;2 ]
F(0) = - 3x² = 0 ; (0,0) F(2) = - 3x² = -4 ; (2,-4)
4).- Hallamos el punto de inflexión y concavidades. Si : F''(x) = 6x – 6 ; F''(x) = 0 -
6x – 6 = 0
-
X=1
<- ∞,1> -∞
[1,+ ∞> 1
+∞
<- ∞,1> ; x =0 ; F''(0) = 6(0) - 6 = -6 ; F''(0) <0 ; F es cóncava hacia abajo.
[1,+ ∞> ; x=2 ; F''(2) = 6(2) – 6 = 6
; F''(0)>0 ; F es cóncava hacia arriba. Si : F''(0)>0 ; F''(0) <0 ; un punto de inflexión x = 1 ; un punto F(1) = - 3x² =-2
Entonces el punto de inflexión es (1 , -2 )
F(x) = - 3x + 2
1).- Calculamos su puntos críticos derivando la función. F'(x) = 3x² - 3 ; F'(x)=0 F'(x) = 3(x² - 1) P.C = [+1 ; -1 ] 2).- Hallamos los máximos y mínimos. F'(x) = 3x² - 3 F''(x) = 6x ;
P.C = [+1 ; -1 ]
F''(1) = 6(1) = 6 ; F''(0)>0 ; minimo.
F''(-1) = 6(-1) = -6 ; F''(0) <0 ;
maximo .
3).- Hallamos la imagen de la función. Si : P.C = [+1; -1 ]
F(1) = ()- 3(1) + 2 = 0 ; (1 ,0) F(-1) = ()- 3(-1) + 2 = 4 ; (-1 ,4)
4).- Hallamos el punto de inflexión y concavidades. Si : F''(x) = 6x ; F''(x) = 0 -
6x = 0
-
X=0
<- ∞,0> -∞
[0,+ ∞> 0
+∞
<- ∞,0> ; x = -1 ; F''(-1) = 6(-1) = -6 ; F''(-1) <0 ; F es cóncava hacia abajo.
[0,+ ∞> ; x= 1 ; F''(1) = 6(1) = 6 ; F''(1)>0 ; F es cóncava hacia arriba.
Si : F''(1)>0 ; F''(-1) <0 ; un punto de inflexión x = 0 ; un punto F(0) = - 3x + 2 =2
Entonces el punto de inflexión es (0 , 2)
() √ ()
( )
()
( )
;
()
Para determinar los puntos de inflexión ( )
0 √
De donde:
√
√
Para
para
para
√
√
, () , √
√
,
()
()
es cóncava hacia abajo es cóncava hacia abajo es cóncava hacia abajo
