COMPLEMENTO PARA MATEMATICAS 2 LIBRO DEL PROFESOR_ respuestas (8).pdf

OMPLEMENTO para

ATEMÁTICAS

1

Complemento para

Pamela

Godínez

Matemáticas 2

Velázquez

SEGUNDA EDICIÓN Cuidado de la edición: Juan Carlos Osorio Paulino Corrección de estilo: Ezequiel Ortiz Hernández Diseño de portada: Yazmin Elizabeth Pablo García Olán Formación: Christopher Carlón JuárezTalavera / YazminCastillo/ Elizabeth Talavera Castillo Ilustración: Pablo García Olán Revisión Técnica: Juan Carlos Osorio Paulino/ María del Rocío Vanegas © Derechos reservados conforme a laley a favor del titular de los derechos, Ediciones Punto Fijo S.A de C.V., Av. Huitzilíhuitl mz. 24, lt. 27, Colonia Santa Isabel Tola, Del. Gustavo A. Madero, Código Postal 07010, en la Ciudad de México. Tel: 5781-8401 contacto@edicionespuntojo.com http://www.edicionespuntojo.com edcpuntojo @edcpuntojo ISBN 978-607-476-181-8 Las características de esta edición, así como su contenido, son propiedad exclusiva de Ediciones Punto Fijo, S. A. de C. V., no pudiendo la obra completa, o alguna de sus partes, ser reproducida mediante ningún sistema mecánico o electrónico de reproducción, incluyendo el fotocopiado, sin la autorización escrita del titular de los derechos de la obra. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3476

2

Presentación Complemento para Matemáticas 2 es una obra que sirve como recurso o complemento a la asignatura ocial de Matemáticas 2; en ella se plantean ejercicios y problemas acordes al Programa de estudio vigente para que el alumno emplee estrategias y asiente el dominio de técnicas que le ayudarán a ejercitar su mente. Este material le servirá para que recupere conocimientos previos al resolver problemas y así refuerce y arme sus aprendizajes. Asimismo, está pensado para que el docente unique el lenguaje de manera gradual con sus alumnos, de tal manera que al construir una idea, ambos partícipes se dirijan sobre una misma vertiente. Este libro está redactado en un lenguaje formal, pero sencillo y claro para que el alumno asimile la información que se describe en la obra. En ella se abordan todos los contenidos, incluso los cambios curriculares que se han venido presentando en el Programa de estudio de Matemáticas. En cuanto a la estructura, está compuesto por cinco bloques, en cada uno de éstos aparece un apartado denominado “Profundiza” en el que se plantea un reto para que el alumno refuerce sus conocimientos respecto a cada lección. Además, al término de cada bloque se presenta un conjunto de ejercicios en una sección llamada “Ejercicios de reforzamiento”, que busca la ejercitación de las técnicas que construye el alumno a lo largo de los contenidos revisados; pero también tiene como objetivo que el alumno aproveche, junto con su profesor, el tiempo al máximo en la clase, cumpla con las intenciones didácticas que se formulan para cada actividad y dé continuidad a los aprendizajes esperados que marca el Programa. Cabe destacar que la colección de ejercicios incluidos en esta obra fue diseñada con base en el cálculo de horas destinadas para el estudio de cada contenido matemático, pues se ajusta al plan de clase que elabora cada profesor y dado que es un compendio con el que el alumno completa sus estudios, ya que le da la posibilidad de estudiar no sólo en su entorno escolar, sino de mejorar sus estrategias, técnicas y habilidades en casa. Finalmente, este material cuenta con una evaluación que ayudará al profesor a observar y valorar en qué situación se encuentra el alumno respecto a los aprendizajes deseados que se plantearon al inicio de cada contenido y los aprendizajes esperados del Programa ocial de Matemáticas. Asimismo, el libro cuenta con una anexo en el que se describen fórmulas para ayudar a resolver determinados problemas y concretar el aprendizaje del alumno.

3

Bloque 1

ta una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

8

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 1: Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 2: Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Signicado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 3: Identicación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justicación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 4: Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 5: Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de guras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 7: Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

9

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido 8: Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.

13

18

Ejercicios de reforzamiento Evaluación

46 60

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos Contenido 2: Resolución de problemas

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje represen-

42

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos Contenido 1: Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios.

29

32

que impliquen adición y sustracción de polinomios.

4

40

Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido 9: Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

Bloque 2

24

36

62 63

65

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 3: Identicación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 4: Justicación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 5: Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Identicación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos. Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido 7: Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.

69

72

77

79

100

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 3: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

105

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 4: Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

108

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 5: Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equi-

111

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los signicados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

96

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 1: Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 2: Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios..

valencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.

82

86 94


Bloque 3

las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

115

Eje: Manejo de la información 97

5

Tema: Análisis y representación de datos Contenido 7: Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en grácas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso

118

y análisis de la información que proporcionan. Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido 8: Análisis de propiedades de la media y mediana. Ejercicios de reforzamiento Evaluación

Bloque 4

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 5: Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

124

129 138

140

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 1: Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las denen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 2: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coecientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 3: Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 4: Análisis de las características

141

Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido 6: Resolución de situaciones de medias ponderadas.

158


161 167

Bloque 5

169

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 1: Resolución de problemas que

144

155

170

impliquen el planteamiento y la de un sistema de ecuaciones 2 ×resolución 2 con coecientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución).

148

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 2: Representación gráca de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coecientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus grácas como la solución del sistema.

151

Eje: Forma, espacio y medida

de una gráca que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

Tema: Figuras y cuerpos de guras Contenido 3: Construcción simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en guras como: triángulos

6

177

180

isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 4: Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

184

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 5: Lectura y construcción de grácas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

188

Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráca correspondiente.

192

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido 7: Comparación de las grácas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio. Ejercicios de reforzamiento Evaluación

195

199 210

7

BLOQUE 1 Competencias que se favorecen:

• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas ecientemente

Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación cientíca. • Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. • Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos Recursivos. • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Fue un geómetra griego, conocido como el “Padre de la Geometría” y distinguido por escribir la obra los Elementos, la cual se divide en varios libros. En el primero se describe que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

Euclides Contenido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Evaluación

8

Tema Problemas multiplicativos Figuras y cuerpos Medida Proporcionalidad y funciones Nocionesdeprobabilidad Análisis y representación de datos

Tema: Problemas multiplicativos Contenido 1

1.1 Signos iguales y diferentes: multiplicación Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos. El signo del resultado queda determinado por la regla de los signos . Si los dos factores tienen signos iguales, el r esultado es positivo: Positivo por positivo el resultado es positivo. Negativo por negativo el resultado es positivo.

Esta se de comprende sabiendo de dos números con signo está representado geométricamente por elley área un rectángulo cuyaque baseel yproducto altura vienen dados por esos números. El área es positiva si sus lados tienen valores en el mismo sentido; por ejemplo: (+2) (+3) = +6 ( - 2) ( - 3) = +6 Si los dos factores tienensignos contrarios o diferentes, el resultado es negativo: Positivo por negativo el resultado es negativo. Negativo por positivo el resultado es negativo.

En este caso atribuimos al área un signo negativo por que los lados van en sentidos distintos; por ejemplo: ( - 2) (+3) = - 6

(+2)( - 3) = - 6

◊ Resuelve las operaciones matemáticas que se describen en cada tabla. a)

Operaciones matemáticas (21) (4) =

b)

Producto

c)

Operaciones

Producto

Operaciones matemáticas

Producto

84

matemáticas (5) (0.7) =

3.5

(3) (−9) =

− 27

(8) (− 9.5) =

− 76

2 1 ( ) (- ) = 7 4

(− 12) (− 4) =

48

(− 12.3) (− 1) =

12.3

3 2 (- 8 ) (- 2 ) =

6 16

(− 15) (7) =

− 105

(− 11) (− 7.2) =

79.2

(- 12 ) ( 4 ) =

7 - 48

(− 34) (− 7) =

238

(− 3.4) (2.1) =

− 7.14

(- 24 ) (- 3 ) =

1 2 ( 5 )( 7 ) =

◊ Coloca dentro del paréntesis el número entero que determina el resultado. a) ( - 7)( - 5 ) = 35

f) (7.2)(− 2.1 ) = - 15.12

b) ( - 11)(3) = - 33

g) ( 2 )( - 7.5) = - 15

c) ( - 40) ( - 7 ) = 280

h)

3

-

1

=-

` j ` j` jj ` ja k 5

2 1 4

d) (10.5)( - 2 ) = - 21

i) - 1 3

e) (- 2.5)(10) = - 25

j) - 7 - 3 2 4

9

3

10 1 =12 =

21 8

2 35 2 - 28

24 72

◊

Resuelve los siguientes problemas.

a) Piensa en un número que al multiplicarlo por- 5 el resultado sea - 45. ¿De qué número se trata?

9

b) Piensa en un número que al multiplicarlo por 8 el resultado sea- 48. ¿De qué número se trata?

-6

c) Piensa en un número que al multiplicarlo por 14 el resultado sea- 42. ¿De qué número se trata?

-3

d) Piensa en un número que al multiplicarlo por- 12 el resultado sea 60. ¿De qué número se trata?

-5

e) Piensa en un número que al multiplicarlo por 13 el resultado sea 26. ¿De qué número se trata?

2

f) Piensa en un número que al multiplicarlo por - 21 el resultado sea 84. ¿De qué número se trata?

-4

1.2 Signos iguales y diferentes: división Para dividir números enteros en otros de su misma clase, se dividen sus valores absolutos y el signo del resultado se determina mediante laregla de los signos . Si el dividendo y el divisor tienen signos iguales el resultado es positivo: Positivo entre positivo el resultado es positivo. Negativo entre negativo el resultado es positivo.

(+20) ÷ (+10) = 2

( - 20) ÷ ( - 10) = 2

Si el dividendo y el divisor tienensignos contrarios o diferentes el resultado es negativo: Positivo entre negativo el resultado es negativo. Negativo entre positivo el resultado es negativo.

( - 20) ÷ (+10) = - 2

(+20) ÷ ( - 10) = - 2

◊

Resuelve las operaciones matemáticas que se describen en cada tabla.

a)

b)

c)


Cociente


Cociente

(27) ÷ (3) =

9

(5) ÷ ( - 2.5) =

-2

(30) ÷ ( - 10) =

-3

(10) ÷ ( - 0.2) =

- 50

( - 84) ÷ ( - 4) =

21

( - 12.7) ÷ ( - 1) =

12.7

( - 28) ÷ (4) =

-7

( - 56) ÷ ( - 8) =

7

( - 7) ÷ (1.4) =

-5

`j` ` j` ` j` ` j` 3 4

10

- 14

'

- 86

- 18

'

'

1 2

j j

- 12

'

- 28

-2

5 ( - 35) ÷ ( - 7) =


'

7 2

j

- 12

Cociente =

- 12 4

=

- 16 6

j

24

2 8 4 - 56

=

` j` j 3

=

=

48 36

◊

Coloca dentro del paréntesis el número que determina el resultado.

a) ( - 10) ÷ ( - 5 ) = 2

f) (4.8) ÷ ( - 1.2) = - 4

b) ( - 68 ) ÷ ( - 4) = 17

g) ( 6 ) ÷ ( - 2) = - 3

c) ( - 40) ÷ (5

h)

) = -8

` ` `

7 2

ja k ja k ja k '

- 25

d) (12.5) ÷ ( - 5 ) = - 2.5

i)

e) ( - 3.6) ÷ (8)= - 0.45

j) - 10 8

◊

- 12 '

'

=-

1 6

- 14

14 2

==

12 5

40 8


a) Piensa en un número que al dividirlo entre- 4 el resultado sea 56. ¿De qué número se trata?

- 224

b) Piensa en un número que al dividirlo entre- 8 el resultado sea 8. ¿De qué número se trata?

- 64

c) Piensa en un número que al dividirlo entre- 20 el resultado sea 6. ¿De qué número se trata?

- 120

d) Piensa en un número que al dividirlo entre 7 el resultado sea- 16. ¿De qué número se trata?

- 112

e) Piensa en un número que al dividirlo entre- 14 el resultado sea 13. ¿De qué número se trata?

- 182

f) Piensa en un número que al dividirlo entre 25 el resultado sea 7. ¿De qué número se trata?

175

1.3 Problemas multiplicativos ◊

Determina el valor de las literales en cada uno de los casos.

a) Karen pensó en un número que al multiplicarlo por- 3 y sumarle 2 resultó 8, ¿qué número pensó Karen? La ecuación que representa al planteamiento es: x( - 3) + 2 = 8

Al realizar un acomodo queda: - 3x + 2 = 8

Se resuelve la ecuación. Y2= - 3x +2Y 2 -8

-

- 3x = 6 - 3x = -3

6

-3

x = - 63 x =-2

El número que pensó Karen es - 2

b) ¿Qué número multiplicado por 5 y sumado− 6 da como resultado el número 2? La ecuación que representa al planteamiento es: 5c + ( - 6) = 2

Al resolverla nos queda: 5c - 6 = 2 5c -6 6+ 2 = 6 + 5c = 8 5c 8 = 5 5

c=

11

8 5

c =

8 5

c representa el número buscado.

c) Cuatro veces un número menos 6 es igual a- 22, ¿de qué número se trata? La ecuación que representa al planteamiento es:

Al resolverla nos queda: 4r - 6 + 6 = - 22 + 6 4r = - 16 - 16 4r

4r - 6 = - 22

=

4

r = - 4 r representa el número buscado.

4

r = -416 r= - 4

1

d) Un número multiplicado por- 2 más 4 es igual a 12, ¿cuál es ese número? La ecuación que representa al planteamiento es: -

1 2

f + 4 = 12

Al resolverla nos queda: f = - 16

1

- 2 f + 4 = 12 1

-2f

+ 4 - 4 = 12 - 4

- 12 f = - 12 f -

=

1 2

f representa el número buscado.

8

8

- 12 - 16

f=

1

f = - 16

e) Un número multiplicado por 5 menos- 10 es igual a - 35, ¿cuál es ese número? La ecuación que representa Al resolverla nos queda: al planteamiento es: 5t - ( - 10) = - 35

5t + 10 = - 35 5t + 10 - 10= - 35 - 10 5 t = - 45 5t - 45 5

=

5

t = - 45 5 t=- 9

12

t = - 9 t representa el número buscado.

1.4 Profundiza ◊

Sustituye el valor correspondiente en cada una de las siguientes expresiones y averigua el resultado.

a) Cuando a = - 4 en la expresión 4a + 2 El resultado es - 14: 4 ( - 4) + 2 = - 16 + 2 = - 14 b b) Cuando b = 6 en la expresión - 2

+ 10

El resultado es 7: 6

-2

+= 10 + = -3 1 0

7

c) Cuando c = 5 en la expresión 2c +

- 15

c

+1

El resultado es 8: 2(5) +

- 15 5+ = 1 + 10 (+3 =-) 1

10 +=+ 31 =- 7 1

8

- 49 d) Cuando d = - 7 en la expresión d - d + 14

El resultado es 28: - 49 = 28 - 7 - (-7 ) +14 = 7+ 7+ 14

e) Cuando e = - 10 en la expresión - 8e + 10e +

- 10

e

El resultado es −19: - 8( - 10) +10( -10) +

- 10 = + - 10

80+=( -100) +1= 80 += 100 - 1-

20 1

19


2.1 Producto de potencias enteras positivas La potencia de la base indica cuántas veces se empleará éste en una multiplicación. 42 = 4 × 4 y 43 = 4 × 4 × 4 Por lo que 42 × 43 = (4 × 4) (4 × 4 × 4) = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 Entonces 42 × 43 = 42 + 3 = 45 De lo anterior se tiene: El producto de dos factores o bases iguales que están elevados a una potencia, es igual a ese factor cuya potencia será resultado de lasuma de sus exponentes. am × an = am+n

13

◊

Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla.

Expresión

5 × 55×2 ×55×4 52× 5 × 5

4

6 × 63 ××626 ×3 6 × 6

6 2

12 ×

1282 × 1283 128 128 × 128 × 128 × 128 × 10021 × 10023 1002 1002 × 1002 × 1002 × ◊

6

6 2

7

5

122 × 122

5 5

7 ×77 ××7 7× 7 × 7 × 7 × 7 2

Expresión reSuma de los Exponente del Exponente del presentada por exponentes de primer factor segundo factor medio de una ambas bases sola potencia

Desarrollo de la operación

2

5

5

7

2

2

4

3 1

5 3 4

124

128

5

10024

Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones. 68 = 611

1

3

2

6

g) 2 2 # 2 4

b) 82 × 86 × 81 = 89

e) 1232 × 1232 × 1232 = 1236

h) 9 4 # 9 8 # 9 4 =

c) 101 × 102 × 103 = 106

f) 12003 × 12008 × 120010 = 120021

i)

◊

63 ×

1

d) 154 ×156 × 157 = 1517

a)

7

= 28 1

1

10 2

#10

1 2

9

10 8

1

# 10

2 =

10

Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones. 1

1

3

1

a) r 5 × r 6 = r 11

d) s4 × s6 × s7 = s17

g) p 2 # p 2 # p 2

b) m2 × m5 × m1 = m8

e) t 5 × t 2 × t 3 = t10

h) w 3 # w 3 # w 3 = w 3

c) d 1 × d 9 × d 8 = d18

f) f 3 × f 8 × f 1 = f 12

i) g 4 # g 4 # g 4

1

1

1

1

1

El exponente de la base señala cuántas veces se empleará éste en una multiplicación. 74 = 7 × 7 × 7 × 7 Por lo que Entonces

7 77 #7 7 # # = = 7#7 72 7

4

7

2

= 7

4 -2

= 7

(7 # 7)( 7 #7) = = (7 # 7)

7#7 1

y

72 = 7 × 7

7#7

2

De lo anterior se tiene: El cociente de dos bases iguales que están elevados a una potencia, es igual a la base cuya potencia será resultado de laresta de sus exponentes. a m÷ a n= a m−n

Generalmente el exponente 1 no se escribe, por ejemplom1 = m Por conversión cualquier número o letra con exponente 0 es igual a 1, por ejemplo0 5= 1, m0 = 1

14

p2

1

2.1 Cociente de potencias enteras positivas

4

=

3

3

=

g4

3 2

◊

Completa la siguiente tabla.

Expresión

8

6

8

2

Resta de Exponente los expoExponente del nentes del divisor dividendo de ambas bases

Desarrollodelaoperación

88 #8#

#8# 8 #8

8

#

8

88 #8# =

#8

1

Expresión representada por medio de una sola potencia

6248

4

3216

1

3

6 #6 6# 6 = 6#6 1

62 6

◊ a)

7

5

7

4

77 7# #7 #7# 77 #7 7#

12

6

12

3

12 # 12 12# 12 12 # # # 12 # 12 #12

145

3

145

1

145

1034

5

1034

3

1034

#

145 145

# 1034 # # 1034 #

1034

=

#

12 # #

# 145

=

7 1 12

=

145

12 1

12

# 145

1

1034 #1034 1034

# 1034 #

=

1034

1034 1

5

4

1

71

6

3

3

123

3

1

2

1452

5

3

2

10342

Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones. 9

10

9

91

=

9

d)

11

11

11

=

4

117 g)

1

23 1

28

b)

16 16

5

2

=

163

e)

14

18

14

=

8

1410 h)

3

45 1

44

c)

3

15

3

◊

7

=

38

f)

27 27

9 9

=

270

5

= 2 24

7

= 4 20

1

i)

10 2 1

10 4

1

= 10 4

Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones.

a) r r

5 3

=

r2

10

b) m m c) d d

8

=

45 18

=

m2 d 27

d) l l

41 20

e) y y f) p p

=

l 21

50

40

=

y10

21

19

=

p2

g) h h

1 2

h) x x

5 4

i) h h

15

1 8

1 4

h

=

x4

4

1 1 4

3 8

=

=

h

3 4

2.3 Potencia de una potencia El exponente de la base señala cuántas veces se empleará ésta en una multiplicación. 53 = 5 × 5 × 5 Por lo que (53)2 = (5 × 5 × 5) (5 × 5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 65 Entonces (53)2 = 53 × 2 = 56 De lo anterior se tiene: La potencia de otra potencia es igual a la misma base cuyo exponente será el resultado de lamultiplicación de sus exponentes. m n

m×n

(a ) = a ◊

Completa los espacios vacíos de la siguiente tabla.

Expresión

Producto de los exponentes

Expresión representada por medio de una sola potencia

(82)2

(8 × 8) (8 × 8)

4

84

(7 )

(7 × 7 × 7) (7 × 7 × 7)

6

76

(32)5

(3 × 3) (3 × 3) (3 × 3) (3 × 3) (3 × 3)

10

310

(12 )

(12 × 12) (12 × 12) (12 × 12) (12 × 12) (12 × 12) (12 × 12)

12

1212

(91)5

(9) (9) (9) (9) (9)

5

95

14

1714

3 2

2 6

(17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17)

(172)7

◊



a) (162)5 = 1610

d) (312)1 = 312

b) (74)8 = 732

e) (94)10 = 940

c) (44)4 = 416

f) (102)7 = 1014

1 8

^ h h h) ^ i i) _ 1

g)

57

1

◊

17 9

24

1 2

= 5 1 2

1

= 17 18

1 3

= 24


a) r

5

r b) m m c) d d 3

=

d) l

r2

l

41 20

=

h h

l 21

g)

y10

h) x

8

=

45

18

=

m2 d 27

e) y

y f) p p

40

=

21 19

3 8

=

h

=

w 44

=

h

5

50

10

1 2 1 8

=

x i) h h

p2

16

4 1 4 1 1 4

1 56

3 4

1 6

2.4 Potencia de un número natural con exponente negativo La expresión Además,

6

4

6

6

es igual 64 − 6 = 6−2

64 66 #6 6 # = 66 #6 #6 #6 #6# 66

Por lo que

6

-2

=

#

(6 #6 #6 # 6) = (6 6 6 6) (6 6) # # # #

1

1

= 6#6 = 62

1 6

2

De lo anterior se tiene: La base cuyo exponente esté acompañado de un signo negativo es una fracción en la que el numeradorsiempre es uno y el denominador es la misma base, pero con signo positivo. ◊


Expresión


3−2

3

1 77 #7 #7# # #

9−5

1 99 #9 #9# 9#

10

3

# 10 #

247 #24 7 #7 # #24 #7 # # 24

1 24 7

7

7

−3

b) 57 = c) 31−4 =

1 13

5

1

−5

3

e) 32

4

f) 35 −16 =

57 1 31

d) 18 −4 = =

1 18

9

1 32

# 10

10

1 35

5

11

11 1

24 7 247 247

247

−10

=

i) 45 −5 =

16

1 89

6

1 15 1 45

5

Aplica la ley de los exponentes que corresponda para expresar como una sola potencia. 1

a) (m5)2 = m10

d) (s2)6 = s12

b) (y2)7 = y14

e) (n7)3 = n

c) (t10)2 = t20

f) (a8)11 =a88

1

g) (b 2 ) 2 = b 1

21

1

1 4

1

h) (k 4 ) 4 = k 16 2

2

4

i) (q 5 ) 5 = q 25

17

4

1

11

h) 15

5

5

1 10

g) 89−6 =

4

6

1

Representa por medio de una fracción las siguientes potencias.

a) 13 −5 =

2

1 7

1 11 # #11# # 11

−5

11

◊

3

1

10−4

◊

1

1 #

7−6

247−8

Expresión representada como fracción

10

8

2.5 Profundiza ◊

Convierte los exponentes negativos a positivos, y calcula el resultado de la operación.

a) (2− 2) − (6− 1) =

1 4

-

1 6-4 2 1 = = = 6 24 24 12

c) (4− 1) + (2− 3) =

b) (3− 2) − (4− 2) =

1 9

-

1 16 - 9 7 = = 16 144 144

d) (10− 1) + (3− 3) =

1 1 8+4 12 6 3 + = = = = 4 8 32 32 16 8 1 1 27 + 10 37 + = = 10 27 270 270

Tema: Forma, espacio y medida Contenido 3

3.1 Rectas paralelas cortadas por una transversal

90°

90°

90°

90°

Observa que 2 rectas sonparalelas cuando todos los puntos de una están a la misma distancia de los de la otra; en otras palabras, sonequidistantes.

Observa que 2 rectas son perpendiculares cuando al intersecarse forman ángulos rectos.

En los siguientes trazos se observa que si se intersecan 2 rectas paralelas con una transversal, se obtienen ocho ángulos: a, b, c, d, e, f, g y h. a b d c e f h g

Los pares de ángulos opuestos por el vértice se caracterizan porque los lados de uno son prolongación de los lados del otro y además conservan una misma medida. En los trazos los ángulos a y c son opuestos e iguales; tales como e y g, sólo por describir algunos. Los dos ángulos que se encuentran en lados opuestos de la recta transversal y en distinto lado y dentro de las rectas paralelas se llaman ángulos alternos internos. En la gura anterior los pares de ángulos c y e o d y f son internos. Además, son iguales. Por otra parte, los pares de ángulosa y g o b y h se denominan ángulos alternos externos porque se encuentran en lados opuestos de la recta trasversal y en distinto lado y fuera de las rectas paralelas, además tienen la misma medida.

18

Finalmente, los ángulos que están del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las paralelas reciben el nombre de ángulos correspondientes. Los ángulos correspondientes revisados en la gura anterior son a y e; b y f; c y g; d y h. ◊

Con base en los trazos que se te proporcionan, escribe dentro del paréntesis la letra que relaciona ambas columnas.

( d )

+r

= +v

( a )

+s

= +u

( a )

+w

= +z

r s

u t

( b )

+t

( d )

+u

= +z

( a )

+y

= +v

( b )

+u

= +w

a) Ángulos opuestos por el vértice

c) Ángulos alternos externos

( c )

+s

= +z

b) Ángulos alternos internos

d) Ángulos correspondientes

◊

= +v

v

w

z y

Con base en los trazos que se te proporcionan escribe dentro del paréntesis la letra que relaciona ambas columnas.

Medida del ángulo a: 129° a

51°

b

c

Medida del ángulo b: 51° Medida del ángulo c: 129° Medida del ángulo d: 51°

e

Medida del ángulo e: 129°

51°

d f

Medida del ángulo f: 129°

a) ¿Cuál es la suma de los ángulos a y b? Es igual a 180°

c) ¿Cuál es la suma de los ángulos d y e? Es igual a 180°

b) ¿Cuál es la suma de los ángulos b y c? Es igual a 180°

d) ¿Cuál es la suma de los ángulos d y f? Es igual a 180°

Los ángulos adyacentes son 2 ángulos que comparten el mismo vértice y un lado común entre ellos. Por otra parte, ángulos colaterales los ángulos que se forman del mismo lado de la recta trasversal, pero dentro de las paralelas son internos. Mientras que los ángulos colaterales externos se encuentran fuera de las paralelas.

19

Los pares de ángulos +h y +k como +i y +j son colaterales internos.

f

g

Los pares de ángulos +g y +l como +f y m son colaterales internos.

i

h j

k

Y 2 ángulos colaterales internos o externos son suplementarios; por ejemplo, +g + +l = 180 c.

m

l

3.2 ¿Cuánto vale la literal? ◊

Averigua el valor en grados que asume la o las literales con base en los datos que se te proporcionan.

a)

c) y

26° x + 27.5 o

55

x + 10°

o

El valor de x es igual a 16°. ya que x + 10° = 26° Luego, x = 26° - 10° = 16° Finalmente, el valor de y es 154°

El valor de x es igual a 27.5° ya que x + 27.5° = 55°. Luego, x = 55° - 27.5°

b)

d)

s r

3.4t + 20.6° 4x + 105°

41°

125°

El valor de r es 41°; el de t es 6° y s es igual a 139°. El ángulo r mide 41° por ser correspondiente con el ángulo que tiene asignada una medida. Luego, 3.4t + 20.6° = 41°. Al resolver la ecuación se obtiene quet es igual 6°. Finalmente el ángulo s es suplementario a r.

El valor de x es igual a 5°. ya que 4x + 105° = 125° Luego, 4x = 125° - 105° Por lo quex =

20 4

%

= 5

%

20

3.3 Ángulos interiores Los ángulos interiores de un triángulo se forman entre 2 lados contiguos dentro de un triángulo. En tanto que los ángulos externos son suplementarios a los anteriores.

Ángulo exterior Ángulo interior

Ángulo exterior Ángulo interior

Si se trazan 2 rectas paralelas y 2 rectas transversales que concurran en un mismo punto sobre una de las paralelas, se obtienen 14 ángulos, de los cuáles 3 son ángulos interiores del triángulo que se forma. 2 1 6

3 4 5

8

11 12

7 9

14 10

+12 = +3 +5 = +2 +7 = +1

Luego,

+3 + + 2

+ 1+ 1 = .

80 c

Entonces

13

por ser ángulos correspondientes. por ser ángulos opuestos por el vértice. por ser ángulos correspondientes. +3 + + 2+ +=+ 1

12 ++ +5 +

180+.12 + + 5 Por lo que

7.

+7+

=

c

De lo anterior se concluye que:la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. ◊

Halla el valor del o los ángulos interiores de cada triángulo.

a)

b) El valor de cada ángulob es 75°.

m

% b1+ Bb + B 30 = % 1 2b + B 30 = 180 B % 1 2b = B - 30 B 180

1

30°

32° 59° %

B32 B5 9 1

%

+ B

=180

m% + +1 m = B 180 % % 1 m = B180 - ]91 % Bm = 89

B91

%

%

%

1 2b = B 150 % 150 1 b= 2

El valor de m es igual a 89°.

b

21

b

Bb = 75

%

180 % %

%

c)

d) y + 49°

3x

y + 15°

y + 65° 1 4

2x + 20°

x + 55 %

El valor de cada ángulo interior es de 60°. %

%

1

(y +65 +1+ ) + +(= 1y15 )

1

3y + B129

%

1

3y = B180

%

=B 180

-B 129

%

( B

%

49y)

180

1

1 ( + 41 +x B 55=%)

(2x +201+ )%

%

%

(3 )x

180

%

%

1

21 4 x + B75 = B180 21 % 1 4 x = B180 - B75 21 % 1 4 x = B105 % 105 1 x= 21 4 % 420 % Bx = 21 = 20

%

3y = B51 % 51 % 1 y= 3 % By = 17 1

Por lo que los ángulos miden 82°, 32° y 66°.

%

La suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es igual a 360°. Para tener una idea de lo anterior, se descompone la gura de 4 lados en triángulos. 180°

180°

180°

◊

180°

180°

180°

Lleva a cabo las acciones que se describen en cada inciso.

a) Sin utilizar algún instrumento de medición, determina la medida de los ángulos interiores del paralelogramo que forman las rectas. 118° 1

4

2

B1 = 62

%

B2 = 118

3

%

B3 = 62

22

%

B4 = 118

%

b) Sin utilizar algún instrumento de medición, determina la medida de los ángulos interiores del paralelogramo que forman las rectas.

a d

37°

b c

B

= 143

%

B

a

= 37

%

B

b

= 143

%

c

B

= 37

%

d

c) Determina el valor de la literal x e y.

8y + 5°

24x + 15°

2y + 35°

135°

El valor de x es igual a 5°: 24x +15

%

=135

% 24x = 135 -15 % 24x = 120

x=

El valor de y es igual a 5°:

% %

120 % 24

2y +35

%

2y =45

%

2y = 10

%

y=

= 45

35

% %

10 % 2

y = 5%

x = 5%

d) Determina el valor de la literal k.

La suma de los ángulos interiores del paralelogramo es igual a 360°, por lo que 7 3

k+

7 3

k + kk+

= 360

7 3

k 7 3

k k

k

%

Al resolver la igualdad, se tiene: 7 7 3=k+++ 3 k =+k

k

360 = %

&

14 3 =k

20 % 2k &360 =& % 3 k %

% 360 &

20 & k =(360&)(% 3)

20 k 1080

% k = 1080 20

k

54

Si k = 54° entonces la medida de dos de los ángulos son 54° y los otros dos tienen una medida de 126° ya que 7 7 378 % % % 3 k = ( 3 )(54 ) = 3 = 126 .

23

3.4 Profundiza ◊

El área del círculo es igual a 78.5 cm2. ¿Cuál es el área de la parte sombreada del círculo?

1 2 1 2

r + 43 %

r + 56 % 1 2

r + 45 %

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. 1 1 3 Por lo que ( 1 r + 5+ 6 %) + ( +2 r+% 4=5 ) %( 2%r+ 4= 3 ) % 1%80 = -2% r% 144 =% 180 2 &

%

3r = (36 )( 2) = 3 r =72 & 3r = (36 )%(2) = 3 r =72 &

%

=& r

%

=& r

72 3

%

72 3

3 r 2&

1&80

144

3 2r

36

%

&

r

24

&

r

24 %

%

&

Entonces, los ángulosmiden 68°, 55° y 57° respectivamente. El círculo tiene un área de 78.5 cm2 y un ángulo de 360°. Por otra parte, el ángulo central que forma el área sombreada es de 57°. De lo anterior, se puede establecer una regla de tres para averiguar el área de la parte sombreada del círculo. 78.5 cm2 360° x 57° (78.5 cm ) #(57 %) 4474.5(cm )( )% 78.5 cm 2 % =( ) # (57 ) = 360 % 360 % 360 % 2

2

.

12.42 cm

2

Tema: Figuras y cuerpos Contenido 4

4.1 Construcción de triángulos Para construir un triángulo conociendo sus tres medidas se procede como se muestra a continuación. Téngase en cuenta que las medidas que formarán al triángulo son 10 cm, 6 cm y 8 cm. Primero: se traza un segmento empleando una delas medidas que se conocen, por ejemplo, 10 cm.

24

Segundo: se abre el compás utilizando cualquiera de las otras 2 medidas y apoyando el compás sobre uno de los extremos del segmento, se traza un arco.

Tercero: se apoya el compás sobre el otro extremo del segmento para trazar un nuevo arco con la tercera medida de tal manera que cruce con el anterior.

Cuarto: Se unen los extremos del segmento con el punto de intersección que hay entre los arcos para formar el triángulo con las medidas proporcionadas.

8 cm

6 cm

10 cm 10 cm ◊

Con las 3 medidas que se proporcionan en cada caso, trata de construir un triángulo y escribe si te fue o no posible construirlo.

a) Longitudes de los segmentos: 2.5 cm, 3.5 cm y 4.5 cm. Fue posible construirlo. 3.5 cm

2.5 cm 4.5 cm

25

b) Longitudes de los segmentos: 3.5 cm, 4.5cm y 6 cm. Fue posible construirlo.

3.5 cm

4.5 cm

6 cm

c) Longitud de los segmentos: 6.5 cm, 5.5 cm y 2.5 cm. Fue posible construirlo.

5.5 cm

2.5 cm

6.5 cm

d) Longitud de los segmentos: 8 cm, 5 cm y 2 cm. No fue posible construirlo.

5 cm 2 cm 8 cm

No siempre es posible construir un triángulo cuando se dan 3 medidas de los lados. Por ejemplo, 9 cm, 4 cm y 3 cm.

3 cm

4 cm 9 cm

26

◊

Con las 2 medidas que se te proporcionan en cada inciso construye un triángulo y escribe cuál sería la medida del tercer lado.

a) Longitudes de los segmentos: 4 cm y 3 cm. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados.

40°

b) Longitudes de los segmentos: 4.5 cm y 4 cm. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden No se puede obtener unpresentar. triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados.

50°

c) Longitudes de los segmentos: 6 cm y 5 cm. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados.

20°

d) Longitudes de los segmentos: 4 cm y 7 cm. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados. 60°

Dados solamente 2 segmentos no es posible obtener un único triángulo, debido a que la medida del tercer lado dependerá del ángulo que formen los 2 segmentos proporcionados. Por ejemplo, 5 cm y 7 cm.

5 cm 5 cm 30°

45° 7 cm

7 cm

27

◊

Propón en cada inciso 3 medidas que sean enteras con las cuales se pueda construir un triángulo.

a)

Para los 4 casos, las medidas que se propongan uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos lados.

b)

◊

c)

d)

Propón en cada inciso 3 medidas con las cuales no se pueda construir un triángulo.

a)

Para los 4 casos, las medidas que se propongan, uno de los lados debe ser mayor o igual que la suma de los otros dos lados.

b)

c)

d)

Un triángulo existe si la suma de 2 de los lados cualesquiera que lo forman es superior a un tercer lado. Por ejemplo, el triángulo de lados 4 cm, 10 cm y 8 cm si existe, porque: 4 + 10 > 8 4 + 8 > 10 10 + 8 > 4

4.2 Profundiza ◊

Relaciona las medidas de la columna de la derecha con las opciones que ofrece la columna de la izquierda y escribe entre los paréntesis la letra que corresponde.

( ( ( ( ( (

a a b b b a

) ) ) ) ) )

4 cm, 5 cm y 7 cm 8.4 cm, 6 cm y 3 cm 3.5 cm, 4 cm y 7.5 cm 10 cm, 14 cm y 25 cm 3 cm, 7 cm y 11 cm 12 cm, 8 cm y 7 cm

a) Existe triángulo b) No existe triángulo

28

Tema: Medida Contenido 5

5.1 Áreas de guras compuestas Una fgura compuesta es la que está conformada por otras guras planas conocidas. Para calcular su área se opta por descomponerla con el n de usar las fórmulas de la guras ya conocidas. La siguiente gura compuesta está conformada por otras 2 conocidas; un círculo y un cuadrado. En este caso el área total será el resultado de sumar tres cuartas partes del área del círculo y la del cuadrado. Considerando que r = 3.14 y que la expresión Ac = determinar el área total del círculo, se tiene:

^ ^ h h ^ ^h h ^ h^ h 3.14 =

= Ac Ac =

5 cm

2

=

4

19.625 cm

2

3

3.14 =

25 cm

2

78.5 cm

4

= 58.875 cm

4 2

que son

3 4

rr 4

2

ayuda a 5 cm

2

19.625 cm

2

partes del círculo

Luego, si el radio del círculo, que es también el lado del cuadrado; con la expresión l 2 se calcula el área del cuadrilátero. l 2 = (5 cm)2 = 25 cm2 La suma de las 2 medidas obtenidas representa el área de la gura compuesta: 58.875 cm2 + 25 cm2 = 83.875 cm2 ◊

Determina el área de las siguientes guras compuestas.

a)

De abajo para arriba se observa que la gura compuesta está formada por un semicírculo, un rectángulo y un triángulo. El área del semicírculo es

7m

= A sc

4m

(3.14)(4.5 m) 2 (3.14)(20.25m 2) = = = 2 2

63.585 m 2

2 2

31.7925m

El área del rectángulo es igual aAR = (9 m) (4 m) = 36 m2 El área del triángulo es igual a

AT

=

(9m)(7m) 2

2

=

63 m 2 2 2 = 31.5m

El área de la gura compuesta es igual a 31.7925 m2 + 36 m2 + 31.5 m2 = 99.2925 m2

9m

La gura compuesta está construida con 3 semicírculos de diámetro 5.2 mm. Éste es también es la medida del lado del cuadrado. Área de uno de los semicírculos:

b)

= A sc

(3.14)( 6 2 . mm) = = 2

2

76 6(3.14)( . = 2

mm) 21 2264 . mm 2

10.6132 mm

Área de los 3 semicírculos: (3) (10.6132 mm2) = 31.8396 mm2 5.2 mm Área del cuadrado: l 2 = (5.2 mm)2 = 27.04 mm2 5.2 mm

Área de la gura compuesta: 31.8396 mm2 + 27.04 mm2 = 58.8796 mm2

29

2

1.5 cm

c)

La gura compuesta está construida con un semicírculo, un pa ralelogramo y un rectángulo, estos dos últimos tienen la misma base y la misma altura. 2 cm A sc

2 cm

Área del semicírculo: (3.14)( 07 . 5 cm) 2 = 2=

cm )2 1 7662 .

(3.14)( 05625 . = = 2

cm 2 2

0.8831 cm 2

Área del paralelogramo: AP = (1.5 cm) (2 cm) = 3 cm2 Área del rectángulo: AR = (3 cm) (2 cm) = 3 cm2 Área compuesta: 2

2

1.5 cm

2

2

0.8831 cm + 3 cm + 3 cm = 6.8831 cm

d)

La gura compuesta está conformada por un triángulo y un paralelogramo.

2 cm

Área del paralelogramo: AP= (2 cm) (1 cm) = 2 cm2 2 cm Área del triángulo: AT

1 cm

=

(2cm)(2cm) 2

=

4 cm 2 = 2 cm 2 2

Área compuesta: 2 cm2 + 2 cm2 = 4 cm2

2 cm

5.2 Área laterales y totales Los lados de las caras del siguiente cubo tienen una longitud de 3.2 cm, si se desarma de tal manera que se pueda observar sus 4 caras y 2 bases en un plano, veremos lo siguiente. 3.2 cm

3.2 cm 3.2 cm

3.2 cm El área de una de las bases:A = l 2 = (3.2 cm)2 = 10.24 cm2 Área de las bases: 2A = 2 (10.24 cm2) = 20.48 cm2 Área lateral: bh = (12.8 cm) (3.2) = 40.96 cm2 Área total: AT = 20.48 cm2 + 40.96 cm2 = 61.44 cm2

3.2 cm

3.2 cm

3.2 cm

12.8 cm área total es la En general, el área lateral de un prisma es la suma de la áreas de las caras laterales. En cambio el suma del área lateral más la suma de las áreas de las bases.

30

◊ Determina el área lateral y compuesta de los siguientes prismas y pirámides. a) 2 cm Área de una de las caras laterales: (6 cm) (3 cm) = 18 cm2 Área lateral = (18 cm2) (4) = 72 cm2 Área de una base = (3 cm) (2 cm) = 6 cm2 Área de las bases = (6 cm2) (2) = 12 cm2

6 cm

Área total = 72 cm2 + 12 cm2 = 84 cm2 3 cm b) 5 cm

Área de una de las caras laterales: (10 cm) (30 cm) = 300 cm2 Área de todas la caras laterales: (300 cm2) (6) = 1800 cm 2 Área de una base =

30 cm

(10 cm)( 6)( 5cm) 300 cm 2 = = 150 cm 2 2 2

Área de las dos bases = (150 cm2) (2) = 300 cm2 Área total = 1800 cm2 + 300 cm2 = 2100 cm2 10 cm c) Área de una de las caras laterales: (4.5 cm)(7.1cm) 7 .1

2

2

=

31.95 cm 2 = 15.975cm

2

Área de todas la caras laterales: (15.975 cm2) (4) = 63.9 cm2

cm

Área de la base = (4.5 cm) (4.5 cm) = 20.25 cm2 Área total = 63.9 cm2 + 20.25 cm2 = 84.15 cm2 4.5 cm

4.5 cm d)

Área de una de las caras laterales: (1.2 cm)(54. cm) 6.48 cm 2 2 = = 3.24 cm 2 2

Área de todas la caras laterales: (3.24 cm2) (6) = 19.44 cm2 5

.4

c

m

Área de la base = (1.2 cm) (6)(0.4 cm) = 1.44 cm 2 2

0.4 cm

Área total = 19.44 cm + 1.44 cm2 = 20.88 cm2 2

1.2 cm

31

5.3 Profundiza ◊

José ha mandado a hacer varios calendarios de cartón tipo pirámide con el n de entregarlos a cada uno de sus clientes. ¿Cuál es el área que ocupa la base de la pirámide cuadrangular si se tiene conocimiento de que el área lateral es igual 168 cm2 y que la altura de uno de los triángulos mide 12 cm? Área de una de las caras laterales:

168 cm 4

2

= 42 cm

Longitud de la base del triángulo: (B)(1 2 cm) = 42c m 2 ( B)( 12cm ) =(42c m )(2 2) 2 &

2

( )( B12c m)

&

= 84cm

2

&

2

84cm B = 12cm = 7 cm

La longitud de la base del triángulo es la misma para la base de la pirámide, por lo que el área del cuadrilátero es igual al 2 = (7 cm)2 = 49 cm2

Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6

6.1 ¿Qué cantidad representa? En una tienda comercial el precio de un pantalón de vestir es de $350.00, ¿cuál será el costo a pagar si la prenda de vestir tiene un 15% de descuento? Primero se toma en cuenta que15% = 15 = 0.15 100

Para saber qué cantidad representa el descuento, se multiplica 350 × 0.15 = 52.50. El resultado se resta del precio srcinal del pantalón para obtener el precio con descuento: $350.00 − $52.50 = $297.50 ◊


a) Un teléfono celular tiene un precio de $2 485.00. Si tiene un descuento del 5%, ¿cuál es la cantidad a pagar? Primero se tiene en cuenta que5% =

5 = 0.05 100

Para saber qué cantidad representa el descuento, se multiplica 2485 × 0.05 = 124.25 El resultado se resta del precio srcinal del pantalón para obtener el precio con descuento: $2485.00 − $124.25 = $2360.75

b) En una tienda comercial el precio de un litro de leche es de $15.00 pero si un cliente decide llevarse 2 litros la tienda le ofrece un 10% de descuento, ¿cuál es la cantidad que pagaría el cliente por 2 litros de leche? Primero se tiene en cuenta que 10% =

10 = 0.10 100

Para saber qué cantidad representa el descuento, se multiplica 30 × 0.10 = 3 El resultado obtenido se resta del precio srcinal de los 2 litros de leche para obtener el precio con descuento: $30.00 − $3.00 = $27.00

32

c) Al entregar 8 pilas AA en las taquillas de un cine, éste otorga un descuento del 25% al adquirir dos boletos para cualquier función. ¿Cuál será el precio que pagará una persona si ha comprado 2 boletos, ha llevado las 8 baterías y el costo de cada boleto es de $57.00? Primero se tiene en cuenta que 25% =

25 = 0.25 100

Para saber qué cantidad representa el descuento, se multiplica 114 × 0.25 = 28.5 El resultado obtenido se resta del precio srcinal de los dos boletos para obtener el precio con descuento: $114.00 − $28.50 = $85.50

Si deseas calcular el precio de un artículo que vale $160.00, pero tiene un descuento de 16%; puedes restar la cantidad que ese porcentaje representa al valor bruto. Entonces el costo de dicho artículo equivaldría un 84%, por lo que una manera más para saber la cantidad a pagar sería multiplicar 160 × 0.084 = 134.40

6.2 ¿Qué porcentaje representa? Por aniversario, un restaurante ofrece un determinado descuento de la cuenta o consumo total que haga una familia. Si el total fue de $986.00 y con descuento fue de $739.50, ¿cuál fue el descuento que hizo el restaurante a la familia? Se establece una regla de tres y se resuelve. El resultado representa el porcentaje que corresponde a $739.50, por lo que la cantidad que se descontó repre986 739.50 x=

100% x

(100)(739.50) 100 =( )(7 39.50) = 75 986 986

senta el 25%.

◊


a) En un supermercado la bolsa que contiene un kilogramo de arroz tiene un determinado descuento, por lo que en lugar de pagar $18.00 se paga $15.84. ¿Qué porcentaje de descuento tiene la bolsa con arroz? Se establece una regla de tres y se resuelve. 18 15.84 x=

100% x

(100)( 15. 84) 100 = ( 18 ) 15 ( .84) 18

=88

El resultado representa el porcentaje que corresponde a $15.84, por lo que la cantidad que se descontó representa el 12%.

33

b) De un aula de clases 12 personas decidieron tomar clases de guitarra; 5 optaron por practicar karate, 8 eligieron jugar fútbol y 15 seleccionaron entrar al equipo de natación. ¿Qué porcentaje del total de las personas optó por practicar karate? En el aula hay un total de 40 alumnos de los cuales 5 optaron por practicar karate. Por lo que se establece la siguiente regla de tres. 40 5

100% x

x=

(100)(5) 100 = (40 ) (5) = 12. 5 40

El resultado representa el porcentaje que corresponde al número de alumnos que decidieron practicar karate.

c) Gabriel ha solicitado un préstamo a un banco por la cantidad de $5 000.00 bajo la condición de que cada mes haga un depósito de $150.00, que representa un porcentaje de la cantidad total. ¿Cuál es el porcentaje que Gabriel pagará cada mes? Se establece una regla de tres y se resuelve. 5000 150 x=

100% x (100)(150) 100 = ( 5000 )(150) = 3 5000

El resultado representa el porcentaje que Gabriel pagará cada mes.

6.3 Cantidad y porcentaje ◊


a) Dieciocho alumnos son zurdos y constituyen el 6% del total del alumnado que representa a todos los grupos de primer grado de secundaria. ¿Cuántos alumnos forman a todos los grupos de primer grado? Se establece una regla de tres y se resuelve. 18 x x=

6% 100% (18)(100) 18 = ( 6 )(1 00) = 300 6

El resultado representa el 100%; que es el total de alumnos que hay en la escuela.

34

b) Un equipo de baloncesto está integrado por 150 personas: hombres y mujeres. De los cuales el 32% son mujeres (incluyendo niñas y adultos) y el resto son hombres (niños y adultos). ¿Cuántos niños forman parte del equipo de baloncesto si éstos representan el 50% del equipo de hombres? Se establece una regla de tres y se resuelve. 150 x

100% 68%

x=

(150) ( 68) 150 = ( 100 ) (68) = 102 100

El resultado representa la cantidad del 68%; que es el total de hombres que forman parte del equipo de baloncesto. Luego, se multiplica × 0.50 para saber cuántos niños del total de integrantes forman parte del equipo de baloncesto; que son 102 51 niños. c) Una persona pagó por un refrigerador $5289.60 con todo y el Impuesto al Valor Agregado (IVA). ¿Cuánto costaba este aparato sin incluir el IVA, si éste fue del 16%? El precio anterior es x y el IVA es del 16% de x, por lo que el precio actual se puede hallar mediante el siguiente planteamiento: (x) (1.16) = 5289.60 x=

5289.60 1.16

x = 4560

6.4 Profundiza ◊


a) Para el mes de enero en una tienda comercial decidieron aumentar el precio de una estufa en un 5% y para el mes siguiente consideraron que la estufa debería venderse con un 5% menos. Si la estufa antes de aplicar el porcentaje tuvo un valor de $3600.00, ¿cuál fue el precio del aparato que se mantuvo durante febrero? Primero se tiene en cuenta que 5% =

5 = 0.05 100

Para saber qué cantidad representa el incremento, se multiplica 3600 × 0.05 = 180 El resultado obtenido se aumenta al precio de la estufa con el n de obtener el precio con descuento a pagar: $3600 + $180 = $3780 Luego, a la cantidad obtenida se le aplica un 5%: 3780 × 0.05 = 189 El resultado obtenido se resta del precio bruto para obtenerel precio con descuento : $3780.00 - $189.00 = $3591.00

35

b) Unos audífonos con descuento cuestan $603.20, ¿qué porcentaje se descontó del precio real: $754.00? Se establece una regla de tres y se resuelve. 754 603.20 x=

100% x

(100)(603.20) 100 = ( 754 )(6 03.20) = 80 754

El resultado representa el porcentaje que corresponde a $603.20, por lo el porcentaje que se descontó es el 20%.

c) Calcula En la siguiente se muestran loselprecios de 2 aparatos eléctricosvacío a loscorrespondiente. que se les aplicó el 16% de IVA. el costotabla de cada artículo sin IVA y colócalo en el espacio

Artículo

IVA 16%

CostoconIVA

CostosinIVA $1300.00

$1508.00

Procedimiento

^x h^ h 1.16

= 1508

x=

1508 1.16

Procedimiento

16%

$4590.00

$5324.40

^x h^ h 1.16

= 5324 . 40 5324.40

x

=

x

= 4590

1.16


7.1 Interés simple Jesús ha invertido $5000.00 (que es elcapital o valor presente) y al término de un año recibió $6000.00 (que es el monto o valor futuro) por su inversión, ¿cuáles son losintereses y la tasa de interés que obtuvo en ese plazo? Los intereses son la diferencia entreVF y VP. O sea VF − VP = I: $6 000.00 - $5 000.00 = $1 000.00

Valor presente (VP) = $5000.00 Valor futuro (VF) = $6000.00 1000

La tasa de interés (r) anual que obtuvo fue del 20%: 5000

#

100 = 0.2 # 100 = 20%

Por otra parte, si el plazo no fuera de un año, sino de tres, y el objetivo fuera buscar los intereses que produce el valor presente con una tasa de interés simpleanual; se calcularían conla expresión:I = VPrn. Donde I representa los intereses, VP el valor presente; r la tasa de interés (expresada en decimales) yn el número de años. I = (5000) (0.20) (3) I = (1000) (3) I = 3000 Por lo que los intereses que produce un valor presente con una tasa de interés simple anual del 20% durante los tres años es de $3000.00.

36

◊

Resuelve los siguientes planteamientos.

a) Un banco otorgó un préstamo a una persona de $3500.00 poniendo de maniesto que tenía como plazo un año para liquidarlo y que pagaría en total de $4200.00. • ¿Cuál fue el importe por concepto de interéses que cobró el banco a esta persona? • ¿Cuál fue la tasa de interés que cobró el banco a esta persona? • ¿Cuál será el interés simple anual que cobre el banco a esta persona si el plazo es de 4 años? El banco cobró a la persona $700.00:VF − VP = $4200 − 3500.00 = $700.00 700

La tasa de interés fue del 20%: 3500

#

100 = 0.2

#100

= 20%

Si el plazo es de 4 años, la persona pagaría un interés de $2800.00: (3500) (0.20) (4) = 2800

b) ¿Cuál es la cantidad o valor futuro que obtendrá una persona al nal del año, si invirtió $2000.00 y la tasa de interés simple anual es de 12%?

Se multiplica 2000 × 0.12 = 240. El resultado obtenido, que son los intereses, es sumado con el valor presente, por lo que la persona obtendría en total $2240.00

c) ¿Cuál es el valor futuro de la cantidad $1800.00 que devenga intereses con la tasa simple anual del 10% al nal de 4 periodos anuales? Se busca el importe que genera la tasa anual y se tiene: I = (1800) (0.10) (4) I = (180) (4) I = 720

Los intereses se suman al valor presente y se obtiene el valor futuro: $1800.00 + $720.00 = $2520.00

37

7.2 Interés compuesto Ana ha invertido $1500.00 con una tasa de interés anual del 12% o sea, obtuvo un interés de $180.00. Si Ana retirara su inversión e intereses al nal del periodo establecido estaría recibiendo $1680.00 a un interés sim ple. Si decidiera sólo retirar sus intereses al nal de su plazo también estaría ganando un interés simple, de $180.00. Caso distinto sucedería si Ana no hace retiro alguno al nal de su plazo, ya que los intereses se suma rían al capital o valor presente y a partir del siguiente periodo se ganarían intereses. Valor presente (VP) = $1500.00 Valor futuro (VF) = $1680.00 Intereses generados (I) = $180.00 Si Ana no hace retiro alguno en el tiempo establecido los intereses se suman al valor presente: $1500.00 + $180.00 = $1680.0 Y en el siguiente período se ganarán intereses a partir de $1680.00 y no de $1500.00, por lo que la inversión estará adquiriendo una retribución coninterés compuesto; que es la diferencia entre valor futuro y el capital srcinal. capitaliza anualmente; es decir, los intereses Si esta operación nanciera se sigue presentando por año el interés se ganados por un cierto capital, se suman después de cada periodo.

Plazo

◊

Inversióninicial

0-1

$1500.00

1-2 2-3 3-4

$2107.392

4-5

$2360.27904

Interesescapitalizablesal12%

Interés+capital

$1500.00×0.12=$180.00

$1680.00

$1680.00

$1680.00×0.12=$201.60

$1881.60

$1881.60

$1881.60×0.12=$225.792

$2107.392

$2107.392×0.12=$252.88704 $2360.27904 × 0.12 = $283.2334848

$2360.27904 $2643.512525


a) Un banco ha ofrecido a Blanca un préstamo de $25 000.00 con un 4% capitalizable anualmente durante 4 años. ¿Cuál será el valor futuro que pagará Blanca si decide adquirir el préstamo?

Plazo 0-1

Préstamoinicial $25000.00

Interesescapitalizablesal4% $25000.00×0.04=$1000.00

Interés+capital $26000.00

2-1

$26 000.00

$26 000.00 × 0.04 = $1040.00 $27 040.00

3-2

$27 040.00

$27 040.00 × 0.04 = $1081.60 $28 121.60

3-4

$28121.60

4-5

$29 246.464

$28121.60× 0.04 =$1124.864

El valor futuro será de $29 246.464

38

$29246.464

b) Rodrigo ha hecho una inversión de $15 000.00 depositados al 5% capitalizable anualmente durante 5 años. ¿Cuál es el valor futuro del capital srcinal?

Plazo

Inversióninicial

0-1

Interesescapitalizablesal5%

$15000.00

2-1

$15 750.00

3-2

$16 537.50

3-4

$17 364.375

4-5

$18 232.59375

5-6

$19 144.22344

Interés+capital

$15000.00×0.05=$750.00

$15750.00

$15 750 × 0.05 = $787.50

$16 537.50

$16 537.50 × 0.05 = $826.875 $17 364.375 $17 364.375 × 0.05 = $868.21875

$18 232.59375

$18 232.59375 × 0.05 = $911.6296875

$19 144.22344

El valor futuro será de $19 144.22344

La expresión algebraica que permite hallar el valor futuro cuando hay un interés compuesto es VF = VP × (1 + r)n donde VF representa al valor futuro; VP al valor presente; r el interés (como un decimal) yn el número de periodos.

c) Encuentra cuál fue el interés compuesto de $800.00 que fueron depositados al 3%, capitalizable anualmente durante 2 años. Empleando la expresión algebraica, se tiene: VF

= $800.00 # (1 + 0.03) 2

&

VF

= ($800.00)(1 .0609)VF

&

= $848.72

El interés compuesto fue de $48.72: $848.72 − $800.00 = $48.72

d) Halla el interés compuesto de $1200.00 capitalizable al 10% por 6 años. Empleando la expresión algebraica, se tiene: VF

= $1200.00 # (1 + 0.10) 6

&

VF

= ($1200.00)( 1.771561) VF

&

= $2125.8732

El interés compuesto fue de $925.8732: $2125.8732 − $1200.00 = $925.8732

e) Un banco informó a Oscar que le pagará por ahorrar su dinero con ellos una tasa de interés del 5% y los intereses ganados serán capitalizables anualmente. ¿Cuál será el valor futuro que obtendrá Oscar en 10 años si su ahorro es de $1400.00? Empleando la expresión algebraica, se tiene: VF

= $1400.0010# (1 + 0.05)

&

VF

10 = ($1400.00)(1.05)

39

&

VF

= $2280.452477

7.3 Profundiza ◊


a) Isabel desea tener un monto de $27 000.00 dentro de 10 años. iSla tasa de interés que le ha ofrecido un banco es de 28% y los intereses se capitalizan anualmente. ¿Qué capital debe invertir Isabel para obtener dicha cantidad? Al sustituir los valores a esta última expresión se tiene:

Se sabe que VF = VP × (1 + r)n efectuando un despeje a VP se tiene VF

(1 + r) n

=

VP.

$27000.00 = (1 +0. 28) 10 $27000.00 = (1.28)10

VP

VP

2286.988958 =

VP

b) Francisco desea tener un monto de $38 000.00 dentro de7 años. Si la tasa de interés que le ha ofrecido un banco es de 12% y los intereses se capitalizan anualmente. ¿Cuál debería ser el valor presente que debe invertir par a obtener dicho valor futuro? Al sustituir los valores a esta última Se sabe que VF = VP × (1 + r)n efectuando expresión, se tiene: un despeje a VP, se tiene VF

(1 + r) n

=

VP.

$38000.00 = (1 + 0.12)7

VP

$38000.00 = (1.12)7

VP

Tema: Nociones de probabilidad Contenido 8

8.1 Comparación de eventos ◊

Responde las preguntas para cada situación que se te plantea.

a) En 2 urnas se han depositado bolas negras (N) y blancas (B). •

¿Qué bola es más probable que obtenga una persona de la urna superior? Es más probable obtener una bola blanca.

•

¿Qué es más probable que obtenga una persona de la urna inferior? Es más probable obtener una bola blanca.

•

Explica en qué urna es más probable obtener una bola color negro. Ambas urnas tienen el mismo número de bolas blancas como negras, por lo que existe la misma probabilidad de que salga una bola negra de cualquiera de las urnas.

40

17189.27018 =

VP

b) Al hacer girar una pirinola es posible queal parar muestre una delas seis caras que tiene: Toma 1, Toma 2, Pon 1, Pon 2, Toma todo y Todos ponen. •

•

¿Qué cara es más probable que obtenga una persona al hacer girar la pirinola? Todas las caras tienen las misma probabilidad de aparecer. ¿Qué cara es más probable que obtenga una persona al hacer girar la pirinola, la que se reere a la acción de poner o a la acción de tomar? En 3 de las caras de la pirinola la acción que se describe es la de poner y en las otras 3 es la acción de tomar, por lo que existe la misma probabilidad.

c) En 2 urnas se han depositado chasverdes (V) y amarillas (A). •

¿En cuál de las 2 urnas es menos probable obtener una cha amarilla? En la urna inferior.

•

¿En cuál de las 2 urnas es menos probable obtener una cha verde? En la urna superior.

•

Si en cada urna se decide depositar una cha amarilla, en qué urna se presentaría la situación: “Tanto chas amarillas como verdes tienen la misma probabilidad de aparecer al ser una de ellas extraída por una persona”. En la urna inferior.

d) En una bolsa hay 100 bolitas de papel numeradas del 1 al 100. •

¿Qué es más probable obtener de la bolsa, una bolita etiquetada con un número primo o un número par? Una bolita etiquetada con un número par.

•

¿Qué es menos probable obtener de la bolsa, una bolita etiquetada con un número múltiplo de 3 o una con un múltiplo de 5? Una bolita etiquetada con un número múltiplo de 5.

c) En 2 urnas se han colocado canicasrojas (R) y azules (A). •

¿En qué urna es menos probable obtener una canica azul? Explica tu respuesta. Es igualmente probable obtener una canica azul que roja en ambas urnas 4 8 porque 10 = 20

•

¿En cuál de las 2 urnas hay menor probabilidad de obtener una canica color azul si en cada una se ha decidido colocar una canica azul más? En la urna inferior.

•

Si se decide quitar una canica azul de cada urna, ¿en cuál de las 2 urnas existe la menor probabilidad de obtener una canica azul? En la urna superior.

41

Tom a P on 2 1

8.2 Profundiza ◊

Responde las preguntas asociadas con la situación que se plantea.

a) Omar y Sandra se disponen a lanzar 2 dados, cada uno tiene una cifra diferente entre el 1 y el 6. • ¿Quién de los 2 tiene más probabilidades de ganar en su primer lanzamiento? Considérese que para que una persona gane, debe obtener uno de los números (que es resultado de haber sumado las cifras que aparecieron en ambas caras) que eligió. Omar escogió los números 2, 4, 6, 8, 10 y 12, mientras que Sandra seleccionó los números 3, 5, 7, 9 y 11. Ayúdate con la información contenida en la siguiente tabla y complétala.

Dado 1 123456

Dado 2

1

1,1

2,1

3,1

4,1

5,1

6,1

2

1,2

2,2

3,2

4,2

5,2

6,2

3

1,3

2,3

3,3

4,3

5,3

6,3

4

1,4

2,4

3,4

4,4

5,4

6,4

5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

6

1,6

2,6

3,6

4,6

5,6

6,6

Omar y Sandra tienen la misma probabilidad de ganar. • Suponiendo que a Omar y Sandra seles unen Antonio, Elizabeth, Enrique y Fabiola y la primera persona elige los números 1 y 2; la segunda 3 y 4; la tercera 5 y 6; la cuarta 7 y 8, la quinta 9 y 10; y la sexta 11 y 12. ¿Quién es más probable que gane en su primer lanzamiento con base en los números que eligieron? 11

Elizabeth es la persona que ganaría, porque la probabilidad es igual a

.

36

Tema: Análisis y representación de datos Contenido 9

9.1 Media aritmética La media aritmética es una medida de tendencia central que se dene como la suma de todos los valores entre el número total de valores que intervienen. Un grupo de alumnos de una secundaria recibirá recursos económicos del gobierno estatal para participar en un proyecto. Para ello, el promedio de las edades de los participantes deberá estar por debajo de la edad promedio de 10 años. Si los siguientes datos son las edades de las personas que aspiran a participar en el proyecto, ¿el grupo de alumnos está en posibilidades de recibir el apoyo económico? 10

8

7

8

7

7

8

12

10+ 8 + + 7 +8 +7+ 7+ 8 + 12+ 12+ 10 9

x=

11

12

10

9

98 = 11

.

8.9

El promedio de los valores reeja que los niños se encuentran por debajo del promedio establecido, por lo que están en condiciones de recibir el apoyo económico.

42

◊


a) Los siguientes valores son los puntos que tuvo una persona al jugar ajedrez desde una aplicación que descargó para su celular. 250 450 245 298 256 233 310 298 600 321 • ¿Cuántos puntos en promedio ha obtenido por partida? • Si el amigo de esta persona también jugó ajedrez empleando la misma aplicación y ha obtenido en 9 partidas los puntos: 245, 298, 410, 345, 365, 398, 180, 469 y 321, ¿quién de los 2 ha tenido mejor desempeño? En promedio, la persona ha obtenido 326.10 puntos por partida. x=

250 +++ 450 + + + 245 + + + 298

256

233 10

310

298

600

321

=

3261 10

= 326.10

El amigo de la persona ha obtenido en promedio336.7 puntos por partida. x=

245 +++ 298 + + +410 ++

345

365 9

398

180

469

321

=

3031 9

.

336.7

Por lo que el amigo de la persona ha obtenido mejor desempeño. b) Martha ha obtenido los siguientes puntos en 8 bimestres deun curso de inglés al que acude los nes de semana. 80

85

91

90

76

94

98

89

• ¿Qué puntuación en promedio ha obtenido Martha en cada bimestre? • Considerando que la hermana de Martha dispone de las puntuaciones de únicamente 7 bimestres: 90, 89, 88, 80, 91, 96 y 85. ¿Quién de las dos personas ha tenido un mejor desempeño? En promedio Martha haobtenido en cadanivel 87.875 puntos. 80 + +85 + + +91 + + 90

x=

76 8

94

98

89

703 8

=

= 87.875

La hermana de Martha ha obtenido en promedio 88.42 puntos. x=

90 + +89 + + +88 +

80 91 7

96

85

=

619 7

.

88.42

Por lo que la hermana de Martha ha obtenido un mejor desempeño. c) En la preparatoria de Hernán hay 3 equipos de futbol. Si Samuel quiere pertenecer a uno de los equipos que mejor desempeño lleva hasta el momento en el torneo, ¿a qué equipo debe inscribirse? Para ayudarte considera la información que aparece recabada en la siguiente tabla.

Puntos conseguidos Primer partido

Equipo Los Halcones

3

Segundo partido 1

Jokers

1

Atlético escolar

33311

Tercer partido 3

1

3 3

43

Cuarto partido

Quinto partido 1

3

Sexto partido 1

1

1

Equipo de Los Halcones Equipo Jokers

3+1+3+ 3+ 1+ 1

x=

1+1+3+ 3+ 1+ 1

x=

=

6

Equipo de Atlético Escolar

x=

12 = 2 6

=

6 10 6

1. 6

.

3+3+3+1 1 + 5

=

11 5

= 2.2

Samuel debe inscribirse al equipo Atlético Escolar

9.2 Mediana

La mediana es una medida de tendencia central que se obtiene ordenando todos los datos observados de menor a mayor a pesar de que éstos se encuentren repetidos. La mediana de esos datos será el valor que esté en medio o centro de la distribución; siempre y cuando el número de valores que intervengan represente a un número impar. Por ejemplo, si se organizan los valores de menor a mayor, la mediana de los datos observados que se trataron al inicio de esta lección sobre el caso del apoyo económico a los niños para realizar un proyecto es 8: 7

7

7

8

8

8

9

10

10

12

12

Me = 8

Si se tuvieran 12 datos en lugar de 11 la mediana tendría 2 valores centrales, por lo que ésta será la media aritmética de esos 2 datos ya que el número de valores que intervienen es par. 7 Me =

8+9

=

2

◊

17

7

7

8

8

8

9

9

10

10

12

12

= 8.5

2


a) En una sala de conferencias hay 10 integrantes que forman parte de una misma agrupación que canta y toca algún instrumento. Las edades de las personas son 27, 24, 32, 21, 28, 37, 25, 27, 28 y 32. Utiliza la mediana para calcular entre qué edades se encuentran todos los integrantes del grupo. 21

24

25

27

27

28

28

27 + 28 55 Me = = 2 2

32

= 27.5

32

37

Los integrantes se encuentran entre los 27.5 años

b) En una colonia Fausto aplicó una encuesta sobre el número de televisores que tiene cada familia en su casa y se recabaron los siguientes datos. 3

3

1

2

3

2

2

1

4

2

2

2

3

4

1

3

2

3

3

2

Calcula la mediana de los datos que se proporcionan para indicar de cuántos televisores dispone una familia. 1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2+2 4 = Me = 2 2

44

2

3

=2

3

3

3

3

3

3 4

4

c) En una boutique quedan sólo algunos modelos de camisetas deportivas del mismo color para mujeres en las siguientes tallas: 34, 38, 44, 34, 40, 34, 42, 38, 38, 46, 42, 36, 36, 42, 44, 36 y 40. Obtén la mediana para indicar qué valor representa a todo el conjunto de datos. 34 34 34 36 36 36 38 38 38 40 40 42 42 42 44 44 46 Me = 38

9.3 Profundiza ◊

En las siguientes grácas se observa el balance de los primeros 6 meses de 2 tiendas departamentales.

Tienda departamental 2

Tienda departamental 1 00025

00025

00020

00020

00015

00015 Entradas Gastos 00010

s o s e P

00010 5000 0

s o s e P

Entradas Gastos

5000 0

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

a) ¿Cuál fue el mes en que ambas tiendas departamentales obtuvieron las mejores ventas? El mes de mayo.

b) ¿Cuál fue el promedio aproximado de ventas que se registró en los primeros 6 meses del año en la tienda departamental 1?

x=

1500 ++ 0 + 1500 0

20+400 +

21500

2430 0

1980 0

6

=

116000 6

= 19 333.3

c) Considerando que la tienda departamental 2 no ha llevado a cabo el registro de ventas del mes de junio, ¿cuál de las 2 tiendas departamentales mostraría un mejor promedio aproximado en cuanto a sus ventas? Primera tienda:x =

1500 ++ 0 + 1500 0

Segunda tienda: x =

20+400 +

21500

2430 0

1980 0

6

1450 ++ 0

151 00 + + 1530 0 5

2330 0

La primera tienda muestra un mejor desempeño.

45

2490 0

=

=

93100 5

116000 6

= 19 333.3

= 18 620

Ejercicios de reforzamiento 1. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones. a) (21)(4)(2) =168

g) (-90) ÷ (4) = -22.5

b) (7)(4)(-2) = -56

h) (45) ÷ (-8) = -5.625

c) (12)(-3)(1) = -36

i) (-3) ÷ (-2) = -1.5

d) (-6)(4)(-3) = 72

j) (-9) ÷ (30) = 0.3

e) (-7)(-2)(-1) = -14

k) (

f) (-3)(3)(-7) = 63

l) (-8) ÷ (

= -1

81 ) ÷ (-9)

64 )

= -1

2. Coloca entre los paréntesis aquellos valores que permitan obtener el resultado de las siguientes operaciones. a) (3)(4)(-2 ) = -24

g) (-45) ÷ (3 ) = -15

b) (5)(-1 )(20) = -100

h) (105) ÷ (-5 )=-21

c) (8)(-3)(-4 ) = 96

i) (-82 ) ÷ (-2) = 41

d) (-7 )(-4)(-3) = -84

j) (-143 ) ÷ (13) = -11

e) (-1)(-1 )(2) = 2

k) (

f) (5 )(4)(7) = 140

l) (-27 ) ÷ (

46

100 ) ÷ (-5 )=-2 81 )

= -3

3. Abrevia el resultado de las siguientes operaciones mediante una sola potencia.

^ h

a) 122 122 126 = 12+2+6 = 1210 ×

ak ak ak ak

b) 2

3

#

4

2 4

2 4

5

#

4

= 24

1

35+4 +

1

ak

12 = 24

1 3

#

d) 2

2

2 =2

4 6

#

5 8

4 6

5 8

#

4 6

5 = 8

4 4 4 6+6+6

#

= 25

ak

= 58

×

2

2 #2

= 25

^2h^-2h

2 -2

r) 64

f) 132 134 132 = 132+4+2 = 138 ×

50 =17 5 10 =17

2 2

1

=2

ak ak ak ak

e) 58

40 4

aa k k a k a k

q) 25

13

1 1 1 3+3+3

1 3

#

#

^ h

p) 17 5

c) 15 2 # 15 4 # 15 2 = 15 2 + 4 + 2 = 15 2 1 3

8

o) 5 2 4 = 5 2 2 = 5 4

×

^ h

= 64

-4

= 64

aa k k a k 9

-3 -2

s) 5

^ h

t) 8 35

2 10

4

ak

^-3h^-2h = 95 = 95 3

= 85

#

2 10

6

= 8 50

g) 27 2 # 27 2 # 27 2 =27 2 + 2 + 2 = 27 3

7 = 7 = 75-4 = 71 u) 77 2 # 2 74 #7

2 8-4 6 h) 2 4 = 2 = 2

v)

1

1

1

1

2

2

^5 h

w) 4 2

22

3

54

#

5

^ h

4 2 1 i) 2 1 = 2 4 - 2 = 2 0

5

3

2 2

8

=

3

#

6

54 # 54 = 58 = 58-3 = 55 53 53

4 6 # 4 1 = 4 6 +6 1+ =134

21

15 12 = 2 42 - 21 = 2 0 j) 15

x) 6 6

7

#

4 3

2 4

#

12 +12 8+

=326

a k aa k kaa ak ak ak ak ak ak ak ak ak

y) 4

12 k) 12 11 = 12 711- =124 16 -8 --8 ^ 2h =- 16 l) 16 -2 = 16

2

^ h ^6 h ^6 h = 6 2

#

6 4 6

6

8 m) 77-4 = 7 8 -^4- h =127

-8 12 n) 34 4 = 34 -84- = 34 34

ñ) (432)3 = 43 2 3 = 43 6 #

47

2

#

4 6

4 6 4 6

22

4 6

22

#

4 6

2

4

#

2

4 6

4

=

4 = 64 6

10

2

= 46

102-

8 = 46

4. Completa la tabla teniendo en cuenta los siguientes trazos.

B C

E F

Ángulos AyC ByD EyG FyH AyB CyD EyH FyG

A D

H G

Nombre Opuestos por el vértice Opuestos por el vértice Opuestos por el vértice Opuestos por el vértice Suplementarios Suplementarios Suplementarios Suplementarios

Ángulos CyH DyE AyF ByG CyE DyH ByF AyG

48

Nombres Alternos internos Alternos internos Alternos externos Alternos externos Colaterales internos Colaterales internos Colaterales externos Colaterales externos

5. Determina la medida de los ángulos interiores del triángulo que se forma.

78.6 c 38.31c

63.09o

a

c b

Ángulos a

Medida 78.6o

b

38.31o

c

63.09o

49

6. Construye un triángulo respetando las medidas que se te proporcionan. a) 7 cm y 4 cm

4 cm

7 cm La gura es sólo un ejemplo de como podría quedar trazada, ya que se pueden construir varios triángulos con dichas medidas.

b) \75 c\y c 38 .

75c

67c

38c

El triángulo mostrado es sólo uno de los tantos que se pueden obtener.

50

c) Longitud AB = 5.2 cm, longitud BC = 13.33 cm y longitud CA = 15.52 cm CA = 15.52 cm

A

C

AB = 5.2 cm BC = 13.33 cm

B

d) Longitud AB = 2.5 cm, longitud BC = 4 cm y longitud CA = 7 cm C

No existe un triángulo cuyos lados midan2.5 cm, 4 cm y 7 cm

B

A

e) Longitud AB = 4.5 cm, longitud BC = 2.5 cm y longitud CA = 6.1 cm

A

AB = 4.5 cm

B

BC = 2.5 cm CA = 6.1 cm C

51

7. Determina el área sombreada o el área lateral de un cuerpo geométrico según sea el caso. a)

36 cm Área del semicírculo mayor. 2

r 18 cm

^

2

2

cm = 1 017 .36 cm h = ^3.14 h^324 h 2 2

2

= 508.68 cm

2

Área de los dos semicírculos no sombreados:

2:

^

r 9 cm 2 2

h = 2 ^3.14 h^81 cm h = ^3.14 h8^ 1 cm h =25434. 2

2

:

2

cm 2

Área sombreada = Área del semicírculo mayor, menos el área de los dos semicírculos. 2

2

508.68 cm -254 34 . cm = 254 34.

cm 2

b)

4 cm

2 cm

Área del círculo.

^ h^ h ^ h^ 12cm56h = 2

rr 2 = 314 . 2 cm =314 . 4

2

.

cm 2

Área del triángulo.

^4 cmh^2 cmh = ^8 cm h = 4 cm 2

2

2

2

Área sombreada = Área del círculo, menos área del triángulo. 1256 . cm 2 - 4 cm 2 8= 56 . cm 2

52

c) Área del semicírculo de diámetro 10 cm.

4 cm

^

r 5 cm 2

2 cm

2

h = ^3.14 h^25 cm h = 78.5 cm 2

2

2

2

= 39.25 cm

Área del triángulo de dimensiones 10 × 4 cm.

^10 cm h^4 cmh = 20 cm

10 cm

2

2

Área del rectángulo de dimensiones10 × 2 cm:

10 cm × 2 cm = 20 cm 2 Área sombreada = Suma de todas las áreas obtenidas.

39.25 cm2 + 20 cm2 + 20 cm2 = 79.25 cm2

d)

Área del cuadrado: ( 5 cm)(5 cm) = 25 cm2 Área de los cuatro triángulos: 4:

^5 cmh^12 cmh = 4 2

2

:

^ h^

h

60 cm 2 2 = 4 30 cm =120 cm 2

Área lateral:

25 cm2 + 20 cm2 = 45 cm2

53

2

8. Resuelve los siguientes planteamientos. a) El precio de un artículo para el hogar es de $156.00, ¿cuál es costo que pagará una persona si dicho artículo tuviera uno de los siguientes descuentos?

15%

•

El precio es (0.85) (156) = 132.60

20%

•

El precio es (0.80) (156) = 124.80

b) Considerando los siguientes porcentajes, ¿cuántos estudiantes de 2 o "F" acudirán a una obra de teatro si el grupo lo conforman 30 estudiantes?

80%

•

El número de estudiantes es igual a (0.80) (30) = 24 •

90%

El número de estudiantes es igual a (0.90) (30) = 27

c) Un camión de carga se encuentra a15% de su capacidad, ¿qué cantidad de cajas serán necesarias para llenar la cabina de un camión que tiene como capacidad máxima una de las siguientes opciones?

40 cajas

•

100% -40 cajas 75% - x

x=

^75h^40h = 3 000 = 30

x=

^75h^36h = 2 700 = 27

100

100

36 cajas

•

100% -36 cajas 75% - x

100

100

54

d) Si en una colonia de la ciudad de Puebla el precio del viaje de un taxi aumentara 12% cuando el precio actual es $25.00, ¿cuál sería el precio que tendría que pagar un usuario? (25) (1.12) = 28

•

Pagaría $28.00

Si en lugar de 12%, aumentara 20%, ¿cuánto pagaría el usuario?

(25) (1.20) = 30 Pagaría $30.00

•

Si en lugar de 12%, aumentara 24%, ¿cuánto pagaría el usuario?

(25) (1.24) = 31

Pagaría $31.00

e) Una persona pagó por un teléfono celular con descuento$2 842.00, ¿en qué precio se encontraba el dispositivo antes de ser comprado si presentará uno de los siguientes descuentos?

16%

•

^ h^ h =2 842

Costo delcelul ar sindescu ento x 1.16

75%

•

^ h^ h =2 842

Costo delcelul ar sindescu ento x 1.75

&

2 842 x = 1.16

&

x = 2 450

&

2 842 x = 1.75

&

x = 1624

La literal x representa el costo del celular sin descuento.

9. Si se sabe que una cantidad con interés compuesto se calcula mediante la expresión VP los siguientes ejercicios.

#

^1 + h = n

r V F

, resuelve

a) Calcula el interés compuesto que pagaría Joel si pidió al banco$1 500.00 capitalizable anualmente a 5% por 3 años. 1 500

#

^

1 0+= 05.

h

3

VF1& 500 =

105 #

^ . =h

3

VF 1 736 & 4375

. VF

b) Calcula el interés compuesto que pagaría Josefina si pidió al banco $12 000.00 capitalizable anualmente a 12% por 3 años. 12 000

#

h

^

3

1 0+=12.

VF12 & 000 =

112 #

^ . =h

3

VF 16 859 & 136

VF .

c) Determina el valor futuro de $1300.00 depositados a 4% capitalizable anualmente durante 2 años.

^

1300 # 1 +0= 04.

h

2

VF 1300 & =

^ h

2

& 08 VF 1# 04 . = VF 1406 .

55

d) Determina el valor futuro de $6 200.00 depositados a 3% capitalizable anualmente durante 2 años. 6 200

h

^

2

1 0+03 =.

#

VF6 & 200= 103#

^ .= h

2

VF6 577& 58

VF .

e) Determina el valor futuro de $7 450.00 depositados a 16% capitalizable anualmente durante 2 años. 7 450

h

^

2

1 0+= 16 .

#

VF7 & 450= 116 #

^ . =h

2

VF 10 024 & 72

VF .

10. Si se sabe que una cantidad con interés compuesto se calcula mediante la expresiónVP los siguientes ejercicios.

#

^1 + h = n

r V F

, resuelve

a) Pedro desea tener$2 500.00 en un plazo de 4 años. Si el banco le ofrece5% de interés compuesto anual, ¿cuánto (VP) debe depositar en el banco para obtener esa cantidad en el plazo descrito?

^VP h^1 +0 05. h 2=500 4

^VP105h^ . h =2 500 4

&

&

VP =

2 500

^1.05 h

4

&

VP . 2 056 .75

b) Lizbeth desea tener $3 600.00 en un plazo de 3 años. Si el banco le ofrece 7% de interés compuesto anual, ¿cuánto (VP) ha de depositar en el banco para obtener esa cantidad en el plazo descrito?

^VP^ h

#

h

1 +0=07 .

3

^ hh

3 600 VP &=

3

107=. 3 600VP

3 600 VP 3 1.07

^ h

&

.

&

2 938 .67

c) Sara desea tener $18 000.00 en un plazo de 6 años. Si el banco le ofrece 14% de interés compuesto anual, ¿cuánto (VP) tiene que depositar en el banco para obtener esa cantidad en el plazo descrito? 6

6

&

&

^^ h

. VP 1 +014

h ^^

18 = 000

VP114 .

h h

18000 & VP = 1.14 6 VP

^ h

= 18 000

.

8 200.55

d) Utiliza el valor presente que se obtuvo en el inciso a y determina el valor futuro que obtendrá Pedro en un plazo de 2 años capitalizable anualmente a 10%.

2 05675 .

^

1 . 0+ =10

#

h

2

. .VF2& 05675 = . 110 #

^ = hVF 2 4886675 2

&

VF

e) Utiliza el valor presente que se obtuvo en el inciso b y determina el valor futuro que obtendrá Lizbeth en un plazo de 2 años capitalizable anualmente a 10%.

2 93867 .

^

.1 0+ =10

#

h

2

. .VF2&93867 = . 110 #

^ = hVF 3 5557907 2

56

&

VF

10. Observa el número de pelotas para alberca que hay en cada recipiente de vidrio y escribe sobre la línea, considerando que una persona tuviera los ojos vendados, si le “es más probable”, “es menos probable” o “es igualmente probable” obtener una pelota de cierto color. Am: amarillo Az: azul Na: naranja Ro: rosa Bl: blanca Ve: verde

Am Ve

Bl Bl

Am

Az Ve

Na

Az Bl

Bl

Ro

Recipiente 1

Na Ro

Recipiente 2

a) En ambos recipientes a la persona le es igualmente probable b) En el primer recipiente a la persona le es igualmente probable

obtener una pelota color naranja. obtener una pelota verde que en la segunda.

c) Piensa en que hay un tercer recipiente con el mismo número de pelotas que los dos mostrados, pero de color azul, entonces se concluiría que en el segundo recipiente a la persona le es menos probable pelota azul que en el tercero.

d) Si el tercer recipiente tuviera sólo pelotas blancas, se concluiría que a la persona le obtener una pelota blanca en el tercer recipiente que en el primero.

obtener una

es más probable

11. Considera que en 3 bolsas no trasparentes hay cierto número de canicas como se observa a continuación y completa los espacios vacíos con las frases: “es más probable”, “es menos probable” o “es igualmente probable”, según corresponda. Ve

Az

Ro

Az

Am

Az

Ve

Ro

Ve

Ro

Am

Bl

Az

Ve

Na

Am

Am

Ro

Bolsa 1

a) En la primera bolsa es más probable

Ve Ro

Am Am

Bolsa 2

Ve

Az

Bolsa 3

obtener una canica color café que en la segunda y tercer bolsa.

b) En la primera bolsa es menos probable obtener una canica color amarillo que en la tercera. c) En la segunda bolsa es más probable

obtener una canica color amarilla que en la tercera.

d) En la segunda bolsa es igualmente probable obtener una canica color azul que en la primera. e) En la primera bolsa es igualmente probable obtener una canica color roja que en la segunda. f) En la tercera bolsa es menos probable

obtener una canica color blanco que en la segunda.

g) En la bolsa 1

es menos probable obtener una canica color amarilla que en la bolsa 3, pero en la primera bolsa es más probable obtener una canica verde que en la tercera.

57

12. Hasta el momento, Francisco y Jesús han obtenido las siguientes calificaciones en Artes. ¿Quién de los dos muestra un mejor desempeño? Francisco Bimestre Calificación 1 10 2927 3839 48 5 Promedio de Francisco= 10 +9 +8 8+ 4

Promedio de Jesús = 9 7+9+9+7+

Bimestre 1

4 5

Jesús Calificación 9

9 7

35 = 4 = 8.75 41 = 5 = 8.2

5

Obtuvo mejor desempeño Francisco.

13. Hasta el momento María Luisa y Ana Laura han obtenido los siguientes puntos en un juego. ¿Quién de las dos tiene un mejor desempeño? MaríaLuisa Nivel Puntuación 1 12 2 3 4 5 Promedio de María Luisa = Promedio de Ana Laura =

28 19 30 21

12 +28 +++ 19 30 21 5

30 + 28 +26 +29 4

AnaLaura Nivel Puntuación 1 30 2 3 4 5

=

110 5 = 22

113 = 54 = 28.25

Ana Laura obtuvo mejor desempeño.

58

28 26 29

14. Hasta el momento, Federico, Yolanda y Verónica han obtenido cierto número de puntos en un juego, éstos se observan en el siguiente plano. ¿Quién de las tres personas tiene un mejor desempeño? Utiliza la media y la mediana para averiguarlo.

Desempeños en el juego 16 14 12 10 Federico

8 6

Yolanda Verónica

4 2 0 Primera tirada Segunda tirada Tercera tirada

Promedio de Federico = 12 + 15 +14 +13

54 = 4 = 13.5

4

Promedio de Yolanda = 15 + 14 +15 = 44 3 3 Promedio de Verónica = 12 +14 +9 +10

=

4

.

14.6

45

= 11.25

4

Con base en el promedio obtenido, Yolanda tiene un mejor desempeño. Mediana (Federico) = 13 + 14 = 27 = 13.5 2 2 12 13 14 15 Mediana (Yolanda)= 15

14 15 15 Mediana (Verónica) = 10 + 12 = 22 = 11 2 2

9 10 12 14 Con base en la mediana obtenida, Yolanda tiene un mejor desempeño.

59

Cuarta tirada

Evaluación: bloque 1 Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊

Subraya en cada caso la respuesta correcta.

1. Resuelve la siguiente operación aritmética. (8) ÷ (−4) × (−2) =

5. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cualquier paralelogramo?

a) -1 b) 1

a) 360° b) 90°

c) d) −4 4

c) 60° d) 120°

2. Con base en las siguientes 3 operaciones, ¿cuál de las siguientes 4 armaciones es correcta?

6. ¿Con cuál de las siguientes medidas de 3 segmentos que se te proporcionan se puede construir un triángulo?

I) (3) × (−2) + 3 = II) (−6) + (−9) ÷ (−3) = III) (1) − (−12) ÷ (6) =

a) 8 cm, 2 cm y 4 cm b) 7 cm, 4 cm y 11 cm c) 5 cm, 7 cm y 8 cm d) 7 cm, 1 cm y 6 cm

a) El resultado de la primera y tercera operación es mayor que la segunda b) El resultado de la segunda y tercera operación es menor que la primera c) El resultado de la primera y segunda operación es menor que la tercera d) El resultado de la segunda y tercera operación es

7. ¿Con cuál de las siguientes medidas de 3 segmentos que se te proporcionan no se puede construir un triángulo? a) 6 cm, 3 cm y 2 cm

mayor que la primera

b) 8 cm, 9 cm y 12 cm c) 5 cm, 7 cm y 9 cm d) 9 cm, 10 cm, 12 cm

3. El resultado representado por medio de una sola potencia que ofrece la operación matemática es: 3

2

(2 )(2 ) 2

8. ¿Qué cantidad representa el 25% de $790.00?

4

a) 21 b) 22 c) 31 d) 210

a) $592.50 b) $197.50 c) $987.50 d) $135.50

4. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo?

9. Una cisterna tiene unacapacidad para almacenar 20 000 litros de agua, ¿qué porcentaje de agua tiene la cisterna si sólo contiene 800 litros de líquido?

a) 60° b) 360° c) 180° d) 80°

a) 4% b) 18% c) 12% d) 6%

60

10. ¿Cuál es el valor futuro próximo que obtendrá una 14. Por el consumo que hizo Sandra en un restaurante persona que ha invertido $1110.00 a una tasa de le cobraron $377.00 incluida el IVA del 16%, ¿cuál interés anual de 2% capitalizable anualmente por es la cantidad que representa el importe a pagar sin 5 años. el IVA? a) $2467.00 b) $1156.00 c) $1225.52 d) $1456.34

a) $285.00 b) $437.32 c) $325.00 d) $345.00

11. Javier lanza un dado de 6 caras etiquetado con los números del 1 al 6, ¿qué es más probable que obtenga?

15. En una urna hay dos chas de color amarillo y dos de color rojo. Mientras que en otra hay cuatro amarillas yprobable cuatro rojas, cuáldedecolor las rojo? dos urnas es más obtener¿en chas

a) Un número primo b) Un número múltiplo de 2 c) Un número múltiplo de 5 d) Un número mayor que 2 pero menor o igual a 6 12. Dalia ha obtenido las siguientes puntuaciones en las 5 etapas de un curso de música: 7, 9, 10, 9 y 8; mientras que su hermano Joel carece de su quinta puntuación debido a que su profesor todavía no se la proporciona. ¿Quién de las 2 personas muestra un mejor desempeño si se comparan todas sus puntuaciones? Considérese que Joel ha obtenido 10, 9, 8 y 8. a) Ambos hermanos muestran el mismo desempeño b) Dalia muestra un mejor desempeño c) Joel muestra un mejor desempeño

a) Es más probable obtener una cha roja en la primera urna b) Es más probable obtener una cha roja en la segunda urna c) Es igualmente probable obtener una cha roja en ambas urnas d) No se puede determinar en qué urna ya que en ambas existe un número diferente de chas 16. En la siguiente tabla están laspuntuaciones que han obtenido Gabriela y Laura en un juego que descargaron para su celular, ¿quién de las dos personas muestra un mejor desempeño? Gabriela Laura

d) La información con la que se cuenta es insuciente 13. El resultado representado por medio de una sola potencia que ofrece la operación matemática

^ h^ h 2

3 2

2

a) 210 b)

28

2

2

2 2

es:

a) Laura b) Gabriela c) Ambas d) La información es insuciente para determinar la respuesta 17. ¿Cuál es el valor futuro próximo que obtendrá una persona que ha invertido $800.00 a una tasa de interés anual de 5% capitalizable anualmente por 4 años?

c) 222 d) 218

96 80 94 100 45 89 90 86 70 80 90 95 74 60 90 100 92

a) $912.715 b) $972.405 c) $876.215 d) $1303.11

61



Filósofo, médico y matemático quién escribió

Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios.

una importante obra llamada Liber de ludo aleae que se traduce como el libro de los juegos de azar, en la que aparecen trabajos relacionados con el cálculo de probabilidades en los juegos de azar.

• Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida Manejo de la información

Gerolamo Cardano Contenido 1 2 3 4 5 6 7 Evaluación

62

Tema Problemasaditivos Problemas multiplicativos Medida Proporcionalidadyfunciones Nocionesdeprobabilidad

Tema: Problemas aditivos Contenido 1

1.1 Coeciente y parte literal Un monomio es una expresión algebraica que está formada por un solo término que contiene un número, también llamado coefciente, una variable o el producto del coeciente por una o más variables.

◊

Monomio

Coeficiente

Parteliteral

- 6n

- 6

n

x

1

x

8m 3 c2

8 3

m c2

4r2 s3

4

r 2 s3

Completa la siguiente tabla, de acuerdo a los ejemplos.

Monomio

Coeficiente

Parteliteral

x3 ac

5

x3 ac

- 4rs

-4

rs

10

m2 n 2

ab3 c2

1

ab3 c2

4b

4

b

3 4

b4

1

z

5

m 2 n2

10

3 4

b

4

- 12 z

-2

2.4r

2.4

r

0.8yz

0.8

yz

6t2

6

t2

1.2 Monomios semejantes Para efectuar una suma o resta de monomios primero se necesita identicar que éstos tengan las mismas literales con el mismo grado; en otras palabras se requiere que seanmonomios semejantes. El grado de un monomio se obtiene sumando los exponentes de las literales. 6xy2 es una expresión semejante a 4xy2

Ambas expresiones tienen a las literales xy El grado de la literal x es 1 El grado de la literal y es 2

63

◊

Identica qué monomios tienen las mismas literales con el mismo grado y colócalas en el espacio correspondiente.

Monomios cuya parte literal es x2

Monomios cuya parte literal es

Monomios cuya parte literal

Monomios cuya parte literal es

rs4t2

y2z3

pq

−6y2z3

5pq

5pq - 6y

2pq

6rs t

2.5x2

1 4 2 rs t 4

− 7x2

6rs4t2

0.8x2

rs4t2

5 2 3 y z 2

4 2

1

0.01y2z3

Monomios

- 3 pq

5 2 3 y z 2

2

2.5x

z

3

2

0.8x

2

1 4 2 rs t 4

2pq 1

- 7x 2

- 3 pq 2

0.01y z

3

4 2

rs t

Para sumar o restar 2 o más monomios semejantes se suman o restan únicamente sus coecientes. La parte -lite ral se mantiene, por lo que se obtiene un monomio semejante. 2tg3 − 3tg3 + 5tg3 = (2 − 3 + 5) (tg3 ) = (4) ( tg3 ) = 4tg3 ◊

Efectúa las siguientes operaciones matemáticas.

a) 5 t 2 - 4 t 2 + t 2 = 2t2 b) 7fd 2h + 4 fd 2h + 3 fd 2h = 14fd2h c) 4ap - 2ap - ap = ap d) 5a2b3c5 + a2b3c5 - 2 a 2b3c5 = 4a2b3c5 e) 4xyz 3 - 2xyz 3 - xyz 3 = xyz3 f) - 3ax + 6 ax + 3 ax = 6ax g) - 9ys 2 - 4 ys 2 + 5 ys 2 = - 8ys2 3 3 2 k = 4 k2 4 1 6 5 2 2u6wsd 2 - 3 u wsd = 3 u 6 wsd 2 1 20 asd asd - 3asd = 3 6

h) 5 k 4

i) j)

◊

2

+

1 4

k 2

Escribe sobre la línea correspondiente la expresión algebraica que representa el perímetro de cada gura. 8m

a) c) 2x

4x 9.4x

2m

20m

3.4x b)

2.5 rx 6

d) n4

9.8rx6 2xr 6

4n4

2xr 6 3.3rx 6

64

1.3 Profundiza ◊

Resuelve los planteamientos que se describen en cada inciso.

a) ¿Cuántas veces es más grande el cuadrado de la derecha que el de la izquierda?

1.9th

3.8th Dos veces más grande.

b) La supercie de un mantel se encuentra dividida en 2 partes. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al r3q5 y la corona que forman las círculo más pequeño si el área total del mantel está expresado por el monomio 32 supercies circulares se encuentra dada por la expresión 13 r3q5.

El área del círculo más pequeño se encuentra representado por el monomio: 19r3q5.

c) Traduce al lenguaje algebraico las siguientes 3 oraciones. 2n

•

Los número pares:

•

El producto del cuadrado de un número por otro número: x2 y

•

El séxtuplo del cubo de un número:

6 t3

Tema: Problemas aditivos Contenido 2

2.1 ¿Binomio o trinomio? Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por 2 o más términos separados por los signos de suma o resta. De acuerdo con el número de términos que tenga un polinomio reciben nombres especiales. Aquel polinomio trinomio. formado por 2 términos se llama binomio, el que tiene 3 términos es un 4rax + 3mn

Es un polinomio de 2 términos o bien un binomio.

6t 2 + 3s - ts Es un polinomio de 3 términos o bien un trinomio. Por otra parte, el grado absoluto de un polinomio es el grado mayor de los monomios que lo componen.

65

◊

Completa la siguiente tabla.

Polinomio

Númerodetérminos

2nmp2 + 3rt

2

Nombre

Gradoabsolutodelpolinomio

Binomio

4

5fe + 6f − 5e

3

Trinomio

2

4a3 b2 - 5a2 + 5

3

Trinomio

5

7th4 - 12vp

2

Binomio

5

3as6 b3 - 12as

2

Binomio

10

5mkr + 8s + 2z6

3

Trinomio

6

2

Binomio

11

2

8

6a + 12adrn

2.2 Términos semejantes Un polinomio puede estar formado por2 o más términos semejantes ysólo diferir en sus coecientes numéricos. 6e4 + y2 - 8e4 qda8 - 2da8 + 3

Los términos semejantes del polinomio son 6 e4 y - 8e4 Los términos semejantes del polinomio son qda8 y - 2da8

Para una mejor presentación y comodidad es conveniente simplicar un polinomio cuando en él intervienen términos semejantes, a esta tarea se le denominareducir términos semejantes; que implica sumar o restar monomios semejantes. 6e4 + y2 - 8e4 = 6e4 - 8e4 + y2 = (6e4 - 8e4) + (y)2 = ( - 2e4) + (y)2 = - 2e4 + y2 ◊

Reducir a términos semejantes los siguientes polinomios. 5

2

5

5

2

w +-47f v -- 38wv == 8wbv+−4f15v a) b) 48bv c) - 10hz - 5 + 3 = - 10hz - 2 d) 11acx - ( - 11abx) + 6acx = 17acx + 11abx e) - pqw - ( - px) - ( - pqw) = px f) 4a5 mv 9 + 12 a3 n - ( - 10 a5 mv 9) = 14a5mv9 + 12a3n

•

Si se requiere sumar 2 polinomios se suman los monomios semejantes. Primer sumando: 5was - 8tqa + 12

Segundo sumando: 7tqa + 8 - 3was + t

(5was - 8tqa + 12) + (7tqa + 8 - 3was + t) = t + 5was - 3was − 8tqa + 7tqa + 12 + 8 = t + 2was - tqa + 20 •

Si se requiere restar2 polinomios, se cambian los signos del segundo polinomio por su opuesto. Y se reducen los monomios semejantes. Minuendo: 5was - 8tqa + 12

Sustraendo: 7tqa + 8 - 3was + t

(5was - 8tqa + 12) - (+ 7tqa + 8 - 3was + t) = - t + 5was + 3was - 8tqa - 7tqa + 12 - 8 = - t + 8was - 15tqa + 4

66

◊

Resuelve las siguientes operaciones matemáticas de polinomios.

a) ( - 6qz + 2b2 - 3) + ( - 8 + 2b2 + 6qz) = 4b2 − 11 b) ( - 4sw − csz + 8csz) - (10csz + 5sw - csz) = - 9sw - 2csz c) ( - 12fda - 4v3 + 7) - ( - 12 + 4fda + 5v3) = - 9v3 - 16fda + 19 d) (3y5 - 2 + 3y3) + ( - 5 + 2y3 + 5y5) = 8y5 + 5y3 - 7 e) (6cv + 3xy - rmn9) - (7rmn9 + xy - 5cv) = - 8rmn9 + 2xy + 11cv f) (3ayz - 4ay + 2y) + ( - 2ay + 3ayz - 2y) = 6ayz - 6ay ◊

Representa algebraicamente el perímetro de las siguientes guras. 6m +

7s + 2 n

4.5s

4.75s + 2

n

3m +

n

n

18m + 4 n

16.25s + 4 n

5r + 3d 7wty

2.5r + 1.5 d

3r + 2d

- 2x

7.2

2wty

- x

2r + d

7r + 5d 4wty

19.5r + 12.5 d

- 2x

18.2wty -6 x

4h

6

-k

2

6xyz + yz

2

2xyz +

1 yz 2

2

2xyz +

3xyz

2

3xyz

1 yz 2

8h

6

-k

3h

2

2h

2

17h

16xyz + 2yz

67

6

6

- 4k

-k

6

-k

2.3 Profundiza ◊

Representa con un polinomio cada uno de los enunciados que se describen en cada caso.

a) El triple de un número más 2 veces ese número menos 3.3x + 2x - 3 b) El cuadrado de un número menos el cuádruplo de ese número.x2 - 4x c) La diferencia del cubo de un número menos el triple de otro número.m3 - 3n d) La suma de 3 números distintos.x + y + z ◊

Encuentra la solución a cada problema planteado.

a) Isabel, René y Selene compraron varios kilos de manzana en la misma tienda. La primera persona adquirió 2 kg, la segunda 6 kg y la última 4 kg. ¿Cuál fue el precio de cada kilogramo de manzana si en total se pagó $288.00? 2m +6

m4+ m288 = 12m = 288 12m 288 = 12 12

El precio de cada kilogramo fue de $24.00

m = 24

b) David ha comprado 4 pares de calcetines y una corbata de $98.00 pagando en caja un total de $270.00 ¿Cuál fue el costo de cada par de calcetines? 4c +98 =270 4c +98

-98

98 -

= 270

4c = 172

4c 172 = 4 4

Cada par de calcetines tuvo un costo de $43.00

c = 43

c) 3 veces un número más 2 veces ese mismo número más 4 da como resultado el número 40, ¿cuál es ese número?

3t +2

t 4+ 4

= 0

5t +4

44

0 =

4-

5t 36 = 5 5

El número es 7.2

t = 7.2

68


3.1 ¿Las expresiones son equivalentes? Serán equivalentes o representarán lo mismo 2 expresiones algebraicas si se cumple la igualdad entre ambas y si al sustituir sus variables con valores siempre dan el mismo resultado. Por ejemplo, y2(+ r) = 2y + 2r. Si al sustituir y = 3 y r = 2 en las expresiones, se tiene: 2(3 + 2) = (2) (3) + (2) (2) (2) (5) = (6) + (4) 10 = 10 La nalidad de obtener una expresión equivalente es que sea más sencilla y tratable, que te permita operar con más facilidad. A la operación de sustituir las literales por valores numéricos también se le llama "calcular el valor numérico de una expresión algebraica". ◊

Sustituye los valores para vericar si las siguientes expresionesson equivalentes.

a) m = 2 y n = 8 en las igualdad 3(m - n) = 3m - 3n 3( 2 - 8) = (3)( 2) -(3)( 8) (3)( - 6) =(6) -(24)

Las expresiones son equivalentes.

- 18 = -18 b) a = 1 y b = 6 en la igualdad (3a + b)7 = 21a + 7b 6(3)(1 ) + (6) @7 = (21)(1 ) +(7)(6 ) (3 + 6)7 = (21) +(42)


(9)(7 ) = 63 63 = 63

c) i = 2 en la igualdad (i + 3) (i + 4) = i 2 + 7i + 12 (2 + 3)( + 2 =4) +

2

(2) + (7)( 2) 12

(5)( 6) = (4) +(14) +12


30 = 30

d) a = 6; b = 8 y c = 1 en la igualdad 8(a + b + c) = 8a + 8b + 8c 8( 6 + + 8 =1)

(8)( + 6) +(8)( 8) (8)( 1)

8( 15) = (48) + (64) +(8) 120 = 120


69

3.2 Búsqueda de expresiones algebraicas Una forma de identicar y buscar expresiones equivalentes es empleando modelos geométricos. Por ejemplo, la representación algebraica que corresponde al área del rectángulo esy (+ 3) y. Pero también puede ser y2 + 3y, esto se observa claramente en el siguiente modelo geométrico.

y

y

y

y

3 (y + 3)y

◊

y

3

y2 + 3y

=

Escribe la expresión algebraica que también representaría el área de cada gura.

a) 3

3

a

1

3

a

1 3(a + 1)

3 + 3a

=

b)

3

b

3

b

2 3(b + 2)

3

1

3

1

3b + 3 + 3

=

c)

b

3

b

4

1 7b

=

70

b

1

b

1

1b + 1b + 1b + 4b

b

4

d)

5

a

5

c

5

a

5(a + c) e)

c

5a + 5c

=

1

1 4

x x

4 4 4(x + 1) ◊

4x + 4

=

Utiliza modelos geométricos para representar las siguientes expresiones algebraicas.

a) 2(c + d)

c) 2(x + y) 2 x

2 y c

+ b) 3(f

d

2)

2(

a + b + c)

d)

3

2

a f

2

71

b

c

3.3 Profundiza ◊

Encuentra 2 expresiones equivalentes para los siguientes polinomios.

a) 5(1 + y) + y = 5 + 6y = 1 (5 + 6 y) b) (2w + 4) ts = 2wst + 4ts = 2ts (w + 2) c) (m + n - s ) 4 = 4m + 4n - 4s) = 2 (2m + 2n - 2s) d) (p - q) (p + q) = (p - q) p + (p - q) q = p2 - pq + pq - q2 ◊

Justica mediante un modelo geométrico que 3(r + s) = 3r + s + s + s 1 s

3

3

1 s

r

s

r

1 s

3(r + s)

=

3r + 1s + 1s + 1s


4.1 Volumen de un prisma y cubo Para obtener el número de unidades cúbicas que componen a cada cuerpo geométrico es necesario relacionar su largo, ancho y altura.

Por ejemplo, la construcción geométrica de en medio está conformada por 15 cubos y se obtiene relacionando su largo que es 3 unidades, su ancho de una unidad y su altura es de 5 unidades. Esto a su vez representa el volumen del cuerpo geométrico.

72

◊

Determina el número de unidades cúbicas que tienen los siguientes cuerpos geométricos.

a)

b)

24 unidades cúbicas

c)

d)

8 unidades cúbicas



Para calcular el volumen de un cubo, se relacionan sus 3 lados, por lo que la expresión que vincula a estos 3 elementos es V = l × l × l o bien V = l3. Aunque también se obtiene multiplicando el área de la base por la altura.

V = (4 cm) (4 cm) (4 cm) = 64 cm3

4 cm

V = (16 cm2) (4 cm) = 64 cm3

4 cm

4 cm

V = l × a × h. Aunque tamNo obstante, para calcular el volumen de un prisma rectangular, se emplea la expresión bién se obtiene multiplicando el área de la baseB() por la altura (h): V = B × h.

V = (6 cm) (3 cm) (2 cm) = 36 cm3 V = (18 cm2) (2 cm) = 36 cm3

2 cm 3 cm 6 cm

73

◊


a) El área de la base de un cubo es de

49 2 cm 16

. ¿Cuál será su volumen si su altura mide 7 de cm? 4

Se puede emplear la expresiónV = l × l × l. 7 4

cm

49

7

343

V = ( 16 cm 2)( 4 cm) = 64 cm 3

El volumen del cubo es de

343 3 cm . 64

b) El siguiente prisma tiene una base pentagonal cuyo lado mide 4 mm y una apotema de 2 mm, ¿cuál será su volumen si su altura es de 8.5 mm? Primero se calcula el área de la base del prisma con la expresión Pa : A = 2

(4mm)(5)(2mm) A= 2

=

40mm 2

2

= 20mm 2

Empleando la medida del área encontrada y la altura del prisma se determina su volumen: V = (20 mm2 ) (8.5 mm) = 170 mm3

c) La siguiente imagen se reere a una caja de regalo que contiene chocolates, ¿cuál será su volumen si las bases tienen un área de 6 cm2 y su altura es de 10 cm?

El área de una de las bases se multiplica por la altura con para calcular el volumen de la caja: 6 cm2 × 10 cm = 60 cm3 10 cm

74

4.2 Volumen de una pirámide Una pirámide que tiene por base la misma forma, tamaño y altura que un prisma, representa una tercera parte del volumen de este último. cm 2 cm 2 cm 2

cm 5

cm 5+

cm 5

+

Por lo que el volumen de una pirámide está dado por la expresiónV = En donde B = Área de la base yh = altura ◊

=

cm 5

2 cm

B# h . 3

Resuelve cada uno de los siguientes problemas.

a) ¿Cuál será el volumen de la siguiente pirámide si su base tiene de lado 6 dm y su apotema mide3.2 dm y su altura es de 13.4 dm? Primero se calcula el área de la base de la pirámide con la expresión Pa A =

A=

2

:

2 (6dm) (6) (3.2dm) 115.2 dm 2 = = 57.6 dm 2 2

Empleando la medida del área encontrada y la altura del prisma, se determina su volumen: V=

(57.6dm 2) (13.4 dm) 771.84 dm 3 = = 257.28 dm 3 3 3

2 b) Una vela aromática tiene forma de una pirámide cuadrangular cuya base tiene un área de 16 cm y una altura de 9 cm. ¿Cuál es el volumen que ocupa la vela?

Empleando la expresión V=

V =

B# h 3

se tiene:

3 (16 m c ) (2 9 cm ) 144 cm = = 48 cm 3 3 3

3 Por lo que el volumen que ocupa la vela es de 48 cm .

75

4.3 Profundiza ◊


a) El siguiente dibujo es de una pecera en forma de prisma rectangular, ¿cuál será el volumen de la pecera si la escala a la que se encuentra el dibujo es 1:100 centímetros? Las medidas del dibujo hay que multiplicarlas por el factor de proporcionalidad 100 para conocer las medidas 1

reales y así obtener su volumen: 3 cm 3 cm #

100 300 cm = = 300 cm 1 1

2 cm # 100 = 200cm = 200cm 1 1

2 cm

6 cm 6 cm #

V=

^

200cm

h^

600cm

h^

300cm

h

100 600cm = = 600cm 1 1

= 3600 000 0cm

3

b) Un recipiente de cartón en forma de pirámide triangular contiene una bebida con sabor a jugo de naranja. ¿Cuán2 tos mililitros de jugo puede contener el recipiente si el área de su base es de 60 cm y su altura es de 8 cm? Considérese que 1000 cm3 equivalen a un litro. El volumen del recipiente es igual a 240 cm3: 2

8 cm

V=

(60 cm ) (8cm ) 48 0 cm = 3 3

3

= 160 cm

3

Si 1000 cm3 equivalen a un litro y éste tiene mil mililitros. Entonces 160 cm3 equivalen a 160 ml, que es el número de mililitros de jugo de naranja que puede contener el recipiente de cartón.

c) ¿Qué volumen ocupa el siguiente cuerpo geométrico? Téngase en cuenta que el cuerpo geométrico forma en medio un hexágono, cuya área es 15 de centímetro cuadrado. Además la distancia que hay entre los ápices de las pirámides es igual a 54 de centímetro.

El cuerpo geométrico está conformado por 2 pirámides hexagonales. Por lo que se puede calcular el volumen de una de ellas y después multiplicar la medida encontrada por 2. 5 1 4 cm 2 ) ( cm )( 2 V=( 5 = )( 2)= ( 3

76

1 cm 3 1 8 )( 2) ( 24 cm 3)(2) 3=

1 3 12 cm


5.1 ¿Cuánto vale el área de la base? ◊

Resuelve los siguiente problemas.

a) Verónica ha elaborado una maqueta referente a una pirámide para su clase de Historia. Sin embargo, necesita colocarla sobre un tablero que sea cuatro veces más grande que la base cuadrada de la pirámide. ¿De qué dimensiones debe ser la plataforma si el volumen de la pirámide completa es de 4 374 cm 3 y su altura es de 18 cm? Una alternativa para solucionar el planteamiento descrito es sustituyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor deB. 4374 cm 3 =

B # 18cm

3 (4374c m 3)( 3) = B #18c m 13122c m 3 = B #18c m 13122 cm 3 =B 18cm 729 cm 2 = B

El valor encontrado se multiplica por cuatro para saber el área del tablero: (729 cm2 ) (4) = 2916 cm2

b) En una caja de cartón se almacena pasta para hacer espagueti, ¿cuál será el área de una de sus bases? El volumen de la caja es de 144 cm 3 y su altura es de 18 cm. Una alternativa para solucionar el planteamiento descrito es sustiB. tuyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor de

e ti Espagu

3

144c m3 = B 144 cm =B 18cm 8 cm

2

#18c

m

=B

c) Un puricador de aire tiene forma de cubo y un volumen de 0.343 m 3. ¿Cuál será el área sobre la que descansa la base del dispositivo si uno de sus lados es igual a 0.7 metros? Una alternativa, un poco extensa, para solucionar el problemas es sustituyendo los valores que se conocen a la expresiónV = l × l × l. 0.343m 0.343 m 0.7 m

3

= 0.7m

#

3

=l

#

0.49m 2 = l

l 2

77

l #l

El área sobre la descansa el dispositivo es de 0.49 m2.

5.2 ¿Cuánto vale la altura? ◊


a) Lidia ha elaborado un alhajero de madera para regalarloo a su mamá. ¿Cuál es la altura del alhajero si éste tiene un volumen de 78.75 cm3 y las bases un área de 10.5 cm2?

Una alternativa para solucionar el planteamiento descrito es sustituyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor de h. 3

2

78.75cm = 10.5 cm 3 78.75 cm 2 =h 10.5 cm

#

h

7.5 cm = h

b) En cada uno de los consultorios de un hospital se encuentra una pirámide nutricional con el mismo tamaño y forma elaborada a base de cartón. ¿Cuál será la altura de una de ellas? Ten presente que las bases de estos cuerpos geométricos son cuadradas y tienen de lado igual a 9.3 cm con un volumen de 360.375 cm 3. Primero se averigua cuál es el área de una de las pirámides. l 2 = (9.3 cm)2 = 86.49 cm2

86.49 cm 2 # h 3 (360.375 cm 3) (3) = 86.49 cm 2 # h 3

360.375 cm =

Teniendo en cuenta lo anterior, se emplea la expresión V =

1081.125cm 3 = 86.49 cm 2 # h 3 1081.125 cm 86.49 cm 2 = h 12.5 = h

B# h 3

para calcular la altura.

c) La medida de la supercie que abarca la base de un buró de madera es de 0.21 m 2, si tiene un volumen de 0.1008 metros cúbicos, ¿cuál es su altura? Una alternativa para solucionar el planteamiento descrito es sustituyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor de h. 0.1008m

3

0.1008 m

3

0.21m

2

= 0.21m =h

0.48m = h

78

2

#

h

5.3 Profundiza ◊

Completa la tabla del lado izquierdo y derecho que tiene que ver con la variación del volumen respecto a la altura de un prisma y pirámide hexagonal, cuando su base es constante. Ambos cuerpos geométricos srcinalmente tienen un volumen de 12 cm3, base de 12 cm2 y una altura de 1 cm.

Prisma Base

Pirámide

Altura

Volumen

12 cm

1cm

12cm

12 cm2

2 cm

2

12 cm

Base

Altura

Volumen

12 cm

cm 1

24 cm3

12 cm2

2 cm

8 cm3

3 cm

36 cm

2

12 cm

3 cm

12 cm3

12 cm2

4 cm

48 cm3

12 cm2

4 cm

16 cm3

12 cm

5 cm

60 cm

12 cm

5 cm

20 cm3

12 cm

6 cm

72 cm

12 cm

6 cm

24 cm3

2

2 2

3

2

3

3

2

3

2

cm 4

3

a) ¿Cómo varía el volumen del prisma si el área de su base se mantiene constante y la altura se modica? El volumen del prisma varía de manera proporcional. b) ¿Cómo varía el volumen de la pirámide si el área de su base se mantiene constante y la altura se modica? El volumen de la pirámide varía de manera proporcional. c) ¿Qué condiciones son necesarias para que elvolumen de una pirámide tenga elmismo volumen que un prisma? Téngase en cuenta que ambos cuerpos geométricos tienen la misma base. La altura de la pirámide debe ser 3 veces mayor que la altura del prisma.


6.1 El producto de cada par de valores se mantiene constante Cuando 2 magnitudes soninversamente proporcionales el producto de ambas es igual a una constante K( ). En una excursión 12 niños consumieron 144 litros de agua durante 6 días. ¿En cuántos días 8 niños gastarán el mismo número de litros de agua?

Número de niños

12

9

8

6

4

2

Número de días

6

8

9

12

18

36

K; que es 72, por lo que El producto de las magnitudes (número de niños y número de días) siempre da la constante la situación es de proporcionalidad inversa, además porque a medida que disminuye una magnitud la otra aumenta, y viceversa.

12 × 6 = 72 9 × 8 = 72 8 × 9 = 72

6 × 12 = 72 4 × 18 = 72 2 × 36 = 72

79

◊


a) Si 4 albañiles tardan 6 horas en construir una barda, ¿cuántas horas se llevarán en construir una barda con las mismas características 6 albañiles?

Número de albañiles

4

6

Número de horas

6

¿?

Si 4 × 6 = 24 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 24. Por lo que el número de horas que tardan 6 albañiles en hacer una construcción semejante es 4: (6)( y) =24 y = 24 6 = 4horas

b) las Si 3mismas obreroscondiciones tardan 20 días queen losterminar otros? un trabajo, ¿cuánto tiempo tardarán 10 obreros en realizar un trabajo en

Número de obreros

3

10

Número de días

20

¿?

Si 3 × 20 = 60 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 60. Por lo que el número de horas que tardan 10 obreros en hacer el mismo trabajo es 6: (10)( y) =60 y = 60 = 6 días 10

c) En una establo se almacenan pacas de pastura sucientes para alimentar a 500 caballos durante 16 días. ¿Para cuántos días durará la misma cantidad depastura si se desea alimentar a250, 200, 100, 50 y 25 caballos?

Número caballosde

500

250

200

100

50

25

Número de días

16

32

40

80

160

320

Si 16 × 500 = 8000 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 8000. Por lo que se divide dicha constante entre el número de caballos (250, 200, 100, 50, 25) obteniendo así los datos de 32, 40, 80, 160 y 320. d) Cuatro personas colocaron 50 losetas en el área de la cocina de la señora Carmen en un tiempo de 9 horas, ¿cuánto tiempo se habrían tardado en hacer el mismo trabajo si a estas cuatro personas se hubieran unido otras dos? Si 4 × 9 = 36 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 36. Por lo que el número de horas que tardan 6 personas en hacer el mismo trabajo es 6: (6) (x) = 36 36

x=

80

6 = 6 horas

6.2 Regla de tres simple inversa Si 14 zapateros han arreglado en 6 días 72 pares de zapatos, ¿cuántos días tardarán 6 zapateros en arreglar el mismo número de pares de zapatos?

Número de zapateros

14

12

10

8

6

4

Número de días

6

7

8.4

10.5

14

21

Se trata de una situación de proporcionalidad inversa, ya que a menor número de zapateros, más días se emplean, y 6 viceversa, además de que existe una igualdad entre una razón y la inversa de la otra. Por ejemplo, si las razones 4 14 6 21 y 21 son inversamente proporcionales, entonces4 = 14 ; (6) (14) = (4) (21). Con base en lo podemos establecer la siguiente proporción y encontrar la respuesta: 14 zapateros x días = 6 zapateros 6 días

x 14 Al resolver la proporción 6 = 6 se tiene que x es igual a 14; que representa el número de días que tardarán 6 zapateros en arreglar el mismo número de pares de calzado. 14 x 6 = 6

(14)( = 6)

&

( )( & 6= )x &84 =

= 6x

&

84 6

x

14

x

El procedimiento descrito anteriormente recibe el nombre de regla de tres inversa. ◊


a) En un departamento cuando habitan 2 personas el consumo de agua por 7 días es de 1120 litros. ¿En cuántos días consumirán el mismo número de litros 5 personas? Se establece la siguiente proporción. 2 personas

=

5 personas

x días 7 días

2 x = 5 7

Al resolver la proporción se tiene que x es igual a 2.8; que representa el número de días que tardarán 5 personas en consumir el mismo número de litros de agua. 2 x 5 = 7

(2)( = 7)

&

(5)( =& )x =& 14

5 =x

&

14 5

x

2.8 días

x

b) Dos perros consumen 3 kilogramos de croquetas en 6 días, ¿en cuántos días 8 perros terminarían con la misma cantidad de alimento? Se establece la siguiente proporción. 2p erros x días = 8 perros 6 días 2 x Al resolver la proporción 8 = 6 se tiene que x es igual a 1.5; que representa el número de días que tardarán 8 perros en consumir la misma cantidad de alimento.

2 = x 8 6

(2)( = 6)

&

(8)( =& )x =& 12

8 =x

&

81

12 8

x

1.5 dí as

x

c) Rafael, el nieto de la señora Regina, pinta 80 metros cuadrados de cerca en 120 minutos, ¿cuánto tiempo tardarán en pintar la misma área si se unen a Rafael sus 2 hermanos? Se establece la siguiente proporción. 1 persona x minutos = 3 personas 120 minutos

x se tiene que x es igual a 40; que representa el número de minutos que tar Al resolver la proporción 13 = 120 darán 3 personas en pintar la cerca. 1 x 3 = 120

(1)(=120)

&

120 3

(3)( =& )x=&120 & 3 = x

x

40 minutos

x

d) 2Unpuntos: automóvil va avelocidad una velocidad 90 km/h tarda 18para minutos en recorrer la distancia distancia que hayminutos? entre A y Bque . ¿Qué debe de llevar el automóvil recorrer la misma en 30 Se establece la siguiente proporción. 30 minutos 90 km/h = x km/h 18 minutos

Al resolver la proporción 90 = 30 se tiene que x es igual a 54; que representa por la velocidad a la que iría el x 18 automóvil si tarda 30 minutos. 90

30

x = 18

&

(90)(1 = 8)

(30)( & = x)

1620 = & =30 x

&

1620 30

x

km 54 h

x

6.3 Profundiza ◊

Completa las tablas de proporcionalidad inversa.

Tabla 2

Tabla 1

Tabla 3

80

8

120

15

48

4

40

5

192

20

36

5

32

4

240

36

20

8

20

3

320

45

16

10

16

1

960

80

9

2


7.1 Aproximación a la probabilidad teórica Martín lanzó 50 veces una moneda y capturó sus resultados en una tabla como la que se muestra a continuación.

Frecuencia Águila

23

Sol

27

82

Al relacionar el número de veces que apareció la cara de la moneda águila o sol con el total de veces que se lanzó la moneda, se obtiene laprobabilidad frecuencial : 27

23

P (S) = 50 = 0.54

P (A) = 50 = 0.46

La probabilidad de que se presente águila o sol al lanzar una moneda es la misma porque cada resultado tiene la misma probabilidad de salir. Por lo que laprobabilidad teórica de que se presente el evento águila o sol es 1 respectivamente 2 : P (S) = 12 = 0.5

P (A) = 12 = 0.5

La probabilidad frecuencial de un evento tiene la tendencia de parecerse a la probabilidad teórica del mismo evento.

◊

Realiza cada en unocada de los experimentos aleatorios que se indican en cada caso y lleva a cabo las acciones que se describen caso.

a) Lanza 50 veces un dado común de 6 caras el cuál viene marcado por unos puntos que representan a los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Responde las preguntas y llena los espacios vacíos de la tabla. • ¿Qué cara es más posible obtener al lanzar el dado? Todas las caras tienen la misma posibilidad de salir. • ¿Cuál es la probabilidad teórica que le corresponde a cada evento? A cada evento le corresponde una probabilidad de

Evento

1 6

Lanzamientos

Frecuencia

1 2 3 4 5 6 • ¿Cuál es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento? La información que debe ir en la tabla como la respuesta a esta pregunta está en función de los resultados que obtenga el alumno al realizar el experimento. b) Junto con un compañero consigan una caja y en ella coloquen 8 chas de color negro y 10 de color rojo. Extraigan sin ver y de manera alternada una cha, después devuélvanla. Esta acción llévenla a cabo 50 veces cada uno. Respondan las preguntas y llenen los espacios vacíos de la tabla. • ¿Qué color de cha es menos posible conseguir al extraer una de la caja? La cha color negro • ¿Qué probabilidad teórica le corresponde a cada evento? 8 10 y 18 18

83

Mis resultados

Frecuencia Negras Rojas

Los resultados de mi compañero

Frecuencia

Negras Rojas

• Con base en tu resultado, ¿cuál es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento? La información que ir en tabla y la respuesta a esta pregunta dependen de los resultados que obtenga el alumno al realizar el debe experimento. • Si se suman tus resultados y los de tu compañero referentes a un mismo evento, ¿cómo es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento respecto a la probabilidad teórica? La probabilidad frecuencial de un evento tiene una tendencia a parecerse a la probabilidad teórica del mismo evento. c) Junto con un compañero construye o consigue algún objeto que se parezca a una urna y deposita en ella 5 canicas de color blanco y 7 de color negro. Posteriormente cada uno extraiga y devuelva 50 veces de la urna una canica, esta acción deberán hacerla de manera alternada. Responde las preguntas y llena los espacios vacíos de la tabla. • ¿Qué color de canica es menos posible conseguir al extraer una de ellas de la urna? La canica color blanco. • ¿Cuál es la probabilidad teórica que le corresponde a cada evento? 5 y 7 12 12

Mis resultados

Frecuencia Blancas Negras

Los resultados de mi compañero

Frecuencia

Blancas Negras • Con base en tu resultado, ¿cuál es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento? La información que debe ir en la tabla y la respuesta a esta pregunta dependen de los resultados que obtenga el alumno. • Si se suman tus resultados y los de tu compañero referentes a un mismo evento, ¿cómo es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento respecto a la probabilidad teórica? La probabilidad frecuencial de un evento tiene una tendencia a parecerse a la probabilidad teórica del mismo evento.

84

7.2 Profundiza ◊

Tania ha colocado en un pequeña caja las chas de un dominó.

•

¿Cuáles son los posibles resultados que obtendrá aTnia si decide extraer una cha de la caja? Los posibles resultados son 49 • ¿Cuál será la probabilidad de obtener una cha que al sumar sus puntos dé un total de 6? 7

La probabilidad es 49 . • Para ambos casos, ten en cuenta que un dominó cuenta con 28 chas rectangulares divididas en dos cuadra dos. Apóyate con la siguiente tabla y complétala. Primer cuadrado de la cha 0123456

Segundo cuadrado que forma a la ficha

0

00,

01,

02,

03,

05,0 4,

1

10,

11,

12,

13,

15,1 4,

22

0,

1, 2

3

3 0, 3 1,

4

4 0,

4 1,

5

50,

1, 5

6

6 0,

6 1,

2, 2

3, 2

6 3, 6 2,

3, 5

6, 35,

4 3, 4 4,

2, 5

85

1 6,

2 5, 2

33,3 4,

32, 4 2,

4, 2

0 6,

4 5, 4, 5 6 5, 6 4,

5, 5

36, 4 6, 6, 5 6 6,

Ejercicios de reforzamiento 1. Halla el resultado de las siguientes operaciones. a) 1 3 1 1 4 zx + 4 zx + 4 zx = 4 zx b) c)

g)

4 est - 9est 4 7 est11 -

4rm + 6rm + 6mr = 16rm

hmn ) - 34m

24mn 2 +12 mn 2 = 36mn 2

i) 5 2 2 2 7 2 4 c - 3 c = 12 c

d)

-15 m

n2-

= - 27est 4

n = - 51mn

j) d2 - 2.5+

2 2 2+1 8 d= 1 8d

2 -1 4d

2 2 1 55 r 2 8r - 8 9 r = -72

e)

2 2 - 82. f 2 -82 . f 2 + 10 f 2 = - 16.2 f

f)

1 - 10.2pq -101. pq - 10 pq = 0pq

k)

2.mhg 5 - 8mhg .7

l)

asd 5 2 + 2 asd 1

2. Resuelve las siguientes operaciones. a) 15mn 2 + 12mn 2 +m3

2

= 27mn 2 + 3m 2

b) 15ty - 144 ty+ 5ty + =2

8ty + 2

c) 3 51 1 1 2 xr - a - 9 2 4 xr - 3 + 12xr - 2 a = 4 d) 12ayx +3 ax 3- ax15 -=ayx 6 2 e) - 7 jk

f)

4

122 2 22 = jk 7+ kf + 10

^2x3 2+3 +h ^ +x = h 2

g) +

2

- 3ayx 6

12 23 - 7 kf 2 - 35 jk 2 + 36

4x 2 + 6

2x 2 + 3m + 2n x2

- 3n

3x 2 + 3m - n

h)

3zt - 4nz + 3 -

zt + 5nz

2zt - 9nz + 3

86

27 -

= - 6.2 mhg = - 15asd +25

i)

rsw +

+

4m + 3 2td - m - 2

rsw + 2 td +m3

j)

+1

df -i 3 - y2 + 4 - 2n 2 -4y 212 -df 2i +

- 2n+2 3+ y 216df 5i

3. Emplea un modelo geométrico para representar las expresiones que se enlistan a continuación. a)

^

^ f + 1 h4

h

b) g + m 8

4

1

f

c)

8

g

^ 5 + a + b h3

^

m

h

d) x + y x

x

3 x

5

a

b

y

87

e) 2k + 2k + 2c

2

k

^

f) n 2 +n m r+

k

c

h

n

n

m

r

4. Determina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos considerando que el lado de cada cubo que los forma es igual a 1 cm.

a)

b)

27 cm3

27 cm3

88

c)

d)

8 cm3

6 cm3

5. ¿Cuál sería el volumen de las pirámides si se considera que éstas tienen la misma base y altura que los siguientes prismas?

a)

b)

Pirámide a: V=

^ 12 h^ 7 h = 28

V=

^ 16 h^ 8 h

.

42.66 cm 3

V=

^ 20 h^ 8 h

.

53.33 cm 3

Pirámide b:

Pirámide c:

cm

2

cm

3

cm

2

cm

3

cm

2

cm

cm

c)

3

3

89

6. Analiza los siguientes casos y determina lo que se indica. a) El volumen de un prisma cuadrangular tiene una base de 30 cm2 y un volumen de 450 cm3. ¿Cuál es su altura?

^ 30 h^ h h =450 cm

2

3

cm

450 cm 3 h= 30 cm2 h = 15 cm

b) El volumen de una pirámide hexagonal tiene una base de 25.5 cm2 y un volumen de 119 cm3. ¿Cuál es su altura?

^ 25.5 h^ h h = 119 3 ^ 255. h^ h h =119^ 3 h^ h cm

2

cm

cm

2

3

cm

3

357 cm 3 h= 25.5 cm2 h = 14 cm

c) Calcula la longitud de la base de una pirámide cuadrangular, sabiendo que su altura es igual a 13 cm, mientras que su volumen es igual a 975 cm3.

^ b h^ 13 h = 975 3 ^ b h^ 13 h =975 3^ h cm

cm

cm

cm

3

3

2925 cm 3 b= 13 cm b = 225 cm 2

La longitud de la base es 225 cm 2 =15 cm

90

d) Calcula la longitud de la base de un prisma pentagonal, sabiendo que tiene un volumen de 117 cm3 y una altura de 12 cm. La apotema de la base es igual a 1.3 cm.

^ b h^ 12 h =117 cm

cm

3

117 cm3 12 cm b = 9.75 cm 2 b=

Por lo que la longitud de labase es igual a

^ l h^ 5 h^ 1.3 h = 975. cm

2

cm

2

65

&

^ . = h^ 9l75h ^=2. = h^ h cm

2

cm

&

l

19.5 cm 2 6.5 cm

3 cm

7. Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso. a) Completa la tabla y determina los días que emplearán

b) Completa la tabla y determina las horas que tardarán

15 personas para pintar una casa.

Número de personas 5

13 máquinas en barrer una misma área cuadrada en un edificio.

Número de

Días empleados

Número de horas

30

máquinas 2

13

6

25

4

6.5

10

15

13

2

15

10

20

1.3

El número de días que emplearán 15 personas para

Trece máquinas tardarán dos horas en barrer la

pintar una casa es 10.

misma área en un edicio.

91

c) Completa la tabla y determina cuántas personas se ne-

d) Completa la tabla y determinacuántas personas se re-

cesitan para terminar una construcción que requiere de 30 días.

Número de personas 5

quieren para hacer un mismo número de construcciones geométricas en 25 minutos.

Número de días

Número de personas

Minutos

72

4

50

6

60

8

25

12

30

20

10

36

10

100

2

El número de personas necesarias para terminar una

Son 25 minutos los que emplearán 8 personas

construcción de 30 días son 12.

para hacer un mismo número de construcciones geométricas.

8. Sandra al girar una misma pirinola 200 veces obtuvo los resultados que se observan en la siguiente tabla. Evento Toma 1

Frecuencia

37

Toma 2

35

Tomatodo

35

Pon 1

32

Pon 2

33

Todosponen

28

a) Determina la probabilidad teórica de cada evento.

^ h ^ h

Toma1: P T1 =

N

T1

N

N

^ h ^ h

Toma 2: P T2 =

T2

N

=

Número de casos favorables = Número de casos posibles

1

=


1 6

92

6

^ h ^ h ^ h N^N h ^ h ^ h

Toma todo : P Tt

=

=

Tt

N

P1

Pon1:P P1 =

Pon2:P P2

N

N

P2

N

=

=


=

Número de casos favorables = Número de casosposib les

^ h ^ h

Todos ponen: P Tp

=

N

Tp

N

1


=

6

1 6

1 6


1 6

b) Relaciona el número de veces que obtuvo Sandra “Toma 1”, “Toma 2”, “Toma todo”, “Pon 1”, “Pon 2” y “Todos ponen” con el número total de giros que hizo para averiguar cuál es la probabilidad frecuencial de cada evento. T1oma Frecuencia = Número total de giros

T2oma Frecuencia = Número total de giros

37 200

Totomdao Frecuencia = Número total de giros

1Pon Frecuencia = Número total de giros

35 200

P2on Frecuencia Número total de giros =

35 200

32 200

Todpoosnen 33

Frecuencia Número total de giros =

200

93

28 200



1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma de expresiones: 8m2 + 8m2?

5. Expresión equivalente a 3s + 6s2 a) 3 (s + 2s2) b) 9s3 c) s (62 + 3)

a) 32m b) 16m2 2 c) d) 32 8mm4

d) 3s + 12s

2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma de expresiones: 12r 4 + 12r + 12r 4 + 12r?

6. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite determinar el volumen de cualquier pirámide recta? a) V = b × h

a) 48r 8 b) 24r 8 + 24r 2 c) 24r 4 + 24r d) 12r 8 + 12r 2

b) V =

B# h 3

c) V = 3 × b × h d) V =

3. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la siguiente gura?

B# h 2

7. El área de la base de un prisma es igual 50 cm2. ¿Cuál será la altura de este mismo prisma si su volumen es de 900 cm3? a) 21 cm b) 18 cm c) 14 cm d) 23 cm

2f 2 + 18 3f + d 2f + 1

8. La altura de una pirámide es de 12 m, ¿cuál será el área de su base si ésta tiene un volumen de 104 m 3?

8f + 2d a) 17f + 3d 2 + 19 b) 15f 5 + 3d 2 + 19 c) 2f 2 + 13f + 3d + 19 d) 15f + 3d + 19

a) 22 m2 b) 24 m2 c) 26 m2 d) 23 m2

9. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de la base de un prisma cuadrangular que tiene unaltura de 12 cm y un volumen de 192 cm3?

4. Expresión equivalente a 8x2 + 4x: a) 2x(4x + 2) b) 8x + 8x + 2x2 c) 4(x2 + x2 + 1) d) 12x3

a) 6 cm b) 3 cm c) 16 cm d) 4 cm

94

10. ¿Cuál será el área de una de las caras de un cubo 13. Expresión algebraica que representa a la siguiente si éste tiene un volumen de 343 cm3 y una altura de suma. 7 cm? 2mnb2 - 4mn - 2 + 5mnb2 + 3mn a) 46 cm2 b) 14 cm2 a) 7m2 n2 b4 - m2 n2 - 2 c) 49 cm2 b) 14mnb2 - 2 d) 28 cm2 c) 7mnb2 - mn - 2 d) - 2mnb2 - 2 + 8mnb2 14. Expresión equivalente a 8h + 8 - 2n 11. Germán gastó en 8 días los 140 litros de agua que a) 8(h + 1 - n) estaban en el tinaco para bañarse, ¿en cuántos días gastarán la misma cantidad de agua 4 personas? a) 4 días b) 2 días c) 3 días d) 8 días

b) 2(4h + 4 - n) c) 4(2h + 2 - n) d)

1 2

(8h + 8 - 2n)

15. Una pirámide hexagonal mide 10 cm de altura y tiene un volumen de 45 cm3, ¿cuál es el área de su base? 12. Julián ha obtenido los siguientes resultados al lanzar 150 veces una dado distinguido por tener 3 caras 2 marcadas con los números 1, 2 y 3. ¿Cuál es la pro- a) 13.5 m 2 babilidad frecuencial y teórica de que se presente el b) 135 cm 2 evento “obtener la cara marcada con el número 1”? c) 13.5 cm d) 135 m2 16. De las provisiones que lleva Lucía y Julieta para acampar se puede decir que 12 chocolates les duran

Cara 1

56

2

49

3

45

1 a) 27 y 74 3 28 1 b) 75 y 3 29 1 c) 75 y 3 1 d) 30 74 y 3

6 días, ¿en cuántos comerán la misma cantidad de chocolates cuatrodías personas? a) 6 días b) 5 días c) 4 días d) 3 días

17. Nancy lanzó 120 veces una moneda de las cuales 57 veces cayó sol y 63 águila, ¿cuál es la probabilidad frecuencial y téorica de que se presente el evento “obtener la cara águila”? 1

21

1

19

1

7

1

9

a) 2 y 40 b) 2 y 40 c) 2 y 20 d) 2 y 20

95



Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas.

Fue un matemático que se interesó por aplicar las matemáticas al estudio de la evolución de la especies. Estableció la disciplina de la estadística matemática y se dice que empleó por primera vez el término histograma.

• Justica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas. • Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad. • Lee y comunica información mediante histogramas y grácas poligonales. Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Karl Pearson Contenido 1 2 3 4 5 6 7 8 Evaluación

96

Tema Problemas multiplicativos Figuras y cuerpos Medida Proporcionalidadyfunciones Análisis y representación de datos


1.1 Depende de los signos Cuando una expresión contiene más de una operación es conveniente determinar qué operaciones se efectuarán primero para evitar obtener varios resultados. Ante lo anterior, la comunidad matemática ha jado un convenio en cuanto al orden, de tal manera que cuando éstas se evalúen se consiga un único resultado. 1. Primero se evalúan potencias y raíces. 2. Después se evalúan multiplicaciones y divisiones. 3. Finalmente se evalúan sumas y restas. Ejemplos: 2

5 + 4

# 2 = 25 +

2

2 +2 7# 3 + 1

◊

2 2= 2 + #= 542

9

- =+ 4 2+ 7#3

' 4

- 1 =4 3 1 = +' 2+ 4

2

19

-

Resuelve las siguiente operaciones.

a) 2 × 4 − 3 ÷ 1 = 8 − 3 = 5 b) 15 ÷ 3 + 3×12 = 5 + 3 × 1 = 5 + 3 = 8 c) 18 +1 2 - 9 d)

13 +

64

=

30 − 3 = 27

- 4 2 # 2 = 13 + 8 − 16 × 2 = 13 + 8 − 32 = −11

e) 45 × 2 − 24 ÷ 8 = 90 − 3 = 87 2

f) 12 +6 -7 ◊

#25

=

12 + 36 − 7 × 5 = 12 + 36 − 35 = 48 − 35 = 13

Para los siguientes cálculos se empleó una calculadora cientíca. Describeen el espacio correspondiente qué procedimiento utilizó el dispositivo.

Cálculo 3 × 5 + 2 = 17

Descripción Primero se multiplicó el 3 por el 5, después se sumó al resultado obtenido al sumando 2.

7 × 3 − 2 = 19

Primero se multiplicó el 7 por el 3, seguido de ello se restó del resultado obtenido el valor 2.

3 + 4 × 3 + 3 = 18

Primero se multiplicó el 4 por el 3, despúes se sumó el resultado obtenido al primer y último sumando.

5×2−3×1=7

Primero se multiplicó el 5 por el 2; después se multiplicó el 3 por el 1; posteriormente se restó el segundo del primer resultado.

8 ÷ 2 + 5 × 2 = 14

Primero se realiza la división y la multiplicación, e inmediatamente se suman ambos cálculos.

9÷3×1=3

Primero se dividió 9 entre 3, y el resultado se multiplicó por 1.

97

1.2 Dos operadores son de la misma jerarquía Cuando 2 operaciones son de la misma jerarquía se resuelven en el mismo orden en el que aparecen, o sea, de izquierda a derecha. Ejemplos: 8÷4×3=2×3=6 9 × 10 ÷ 5 = 90 ÷ 5 = 18 ◊

Efectúa las siguientes operaciones.

a) 10 − 3 + 5 = 7 + 5 = 12 b) 10 − 5 + 8 = 5 + 8 = 13 c) 7 × 6 ÷ 42 = 42 ÷ 42 = 1 d) 6 ÷ 3 × 7 = 2 × 7 = 14 e) f) ◊

5

2

100

#

10

'5

#16

2

'

4 =

=

10 × 100 ÷ 4 = 1000 ÷ 4 = 250

25 ÷ 5 × 4 = 5 × 4 = 20

Para los siguientes cálculos se empleó una calculadora cientíca. Describeen el espacio correspondiente qué procedimiento utilizó el dispositivo.

Cálculo

Descripción

2×2÷2=2

Primero se multiplicó el 2 por el 2, y el resultado se dividió entre 2.

3÷2×2=3

Primero se dividió el 3 entre el 2, y el resultado se multiplico por 2.

10 ÷ 2 × 3 = 15

Primero se dividió el 10 entre el 2, luego se multiplicó el resultado por 3.

2 × 3 ÷ 10 = 0.6

Primero se multiplicó el 2 por el 3; y el resultado se dividió entre 10.

9 × 3 ÷ 2 = 13.5

Primero se multiplicó el 9 por el 3; y el resultado se dividió entre 2.

4 ÷ 2 × 5 = 10

Primero se dividió el 4 entre el 2; y el resultado se multiplicó por 5.

1.3 Uso de paréntesis, corchetes y llaves Si en las expresiones se empleansignos de agrupación como paréntesis, corchetes o llaves se procede de la siguiente manera: 1. Primero se resuelve todo lo que esté entre los paréntesis. 2. Después se resuelve todo lo que esté dentro de los corchetes. 3. Finalmente se resuelve todo lo que esté dentro de las llaves.

98

Ejemplos:

"6^ h ^ h@ ^ h , "6 "6^ ^ h ^h h ^ h@ 6 8+ 9+35

-10 -

6 #7

◊

# +2

2 #

17 +

+ =4 +

2

1- 5 +

-3

3+

, "

,

15 32 =@ 4 3 6

^

100

h , "6

@ +9= =# 42# +8

2

@ 617 43

2 15 =

, "

,

@ 731

Efectúa las siguientes operaciones.

"^ b) "6^ c) "6^ d) "6^ e) "6^ f) "^ h a) 6

2+ 1

, " -, h ^ - h - @, "6 - @, " h @ , "6 @ , " , h ^ - h@ - , "6 @ - , " - , h - ^ - h@, "6 h ^ h@ 6^ 6 ^h 6 @ ^ h, " h

2

8' 2

2

1

1 '

, "6

@-

6+2

5 +6 3 +

◊

2

=

#144

2

' 3

7

12 #2

'

3# 1 #

15 = 2

1

=

7 #2

3

10

10 +

@ 2-

9 +6

=

=

4 '1

10

20 #2 1

10 + = 4+ 10=

14 '2

=

13 =

10

= 40 1

+ 2 + 12 + 8 3 2 +

5= #

3 =-

7 = 10

24 ' 3

=

2

,

39 =

14

25 10 + 25 20

2

-

, " , "

@15 # 65 - 8@

=

#010

1 +4+ 12 8 + 3 2 + # 25=@ + + 1 + 4 10 = 25

,

0

= 8

,

Verica si el resultado de las siguientes operacioneses correcto.

a) (5 × 3) ÷ (2 − 1) = 15 Es correcto

" ^ h ^ h@ , @ ^ h ^ h, c) "6 @ ^ h ^ h, d) "6 @ 6 e) "6 ^ h ^ h^ h@ ^6^ h h f) "6^^ b) 6

2 #3

+ 3 1

12 +5 412 -8

4

2

5+

4 #1

3

-2

4

2

5+

+ 3

11 # 2

12 -2

'

'

3##

+ 13

=

-

2

20

Es correcto No es correcto

=

2

No es correcto

34 =

' 20

10

4

169 3 #

+1

h ^

- '196

2

@

,

14

=

Es correcto 20

h@,

=

No es correcto

1.4 Profundiza ◊

Determina el valor de la incógnita para las siguientes ecuaciones.

x = 3) a) 2(5 + 10

r + 3 + 3r) + (4r + 6 + 2r) = 8

(8 b)

1 1r +3 +6 r+6=

10x +6 =10

1 7r =8 9

10x = 4

x=

8

1 7r +9 =8

10x =10 6 4 10

17r = - 1

r = -171

99

4

" ^ ^h m h ^ mh^ @ "6 m@ 6 m@, " m m,

c) 6

45 ++ 4 + 3 +

9+ 7

9+ 7

+ 25+

+5

=

+25+

3

62

h

2

=

10 m

- m @

"^ "6 t

,

d) 6 3t +2

3 +2 +2t + +3

10

=

"t

m =10 8m =10 34 8m = - 24

34 +8

h@ , , , 15

4@= 15

5 +5 4 +

10

m=

h^

+ 2 +3t + 4 =

15 =

5t +9 = 15

5t =15 95t = 6

- 24

t=

8

6 5

m =-3


2.1 Representación del área de una gura: monomios n4 esto porque (n 2)(n 2) = n2 + 2 = n4. La expresión algebraica que representa el área de la gura de la izquierda es No obstante, la expresión algebraica que representa el área dela gura derecha es 12t4 ya que (2t2) (6t2) = (2 × 6)t2 + 2 = 12t4.

n2

2t 2

6t 2

n2

◊

Representa el área de las siguientes guras con expresiones algebraicas.

a) La expresión que representa el área de la gura es 84s2:

6s

(6s)(14s) = (6 × 14) s1 + 1 = 84s2 14s

b) La expresión que representa el área de la gura es 64e2 r2 w2 :

8erw

(8erw) (8erw) = (8 × 8) e1 + 1 r 1 + 1 w 1 + 1 = 64e2 r2 w2

8erw

100

c) La expresión que representa el área de la gura es 42g6:

^ gh

8 g3

8

3

3 6 (10.5 g) (83#310.5) g = 2 2

+

=

84g 6 2 = 42g

10.5g3

2.2 Representación del lado de una gura: monomios h esto porque La expresión algebraica que representa la base de la gura de la izquierda es

2

h 2 -1 = h =h h

Sin embargo, la expresión algebraica que representa la base dela gura derecha es 10f ya que 50f 2 2-1 =10 f 1 10 =. f 5f = (50 '5) f

h

◊

h2

50f 2

5f

Emplea expresiones algebraicaspara representar el lado correspondiente de cada gura.

a)

La medida de la base es 7c4: 21c 6 6 2 4 = (21 '3) c - =7 c 3c 2

21c6

3c2

b) La medida de la base es 12ab2: 12ab2

144a2b4

144a 2 b4 = (144 '12) 12ab2

101

21-42

a b

-

2 =12 ab

1

h=.

mdz2: Despejando La expresión que representa la altura de la gura es 10

c)

la altura en

^ ^

h=? m 3 d2 z 6

60

24 12mdz 24

12mdz

(12m 2 dz 4)( Altura) = 60m 3 d 2 z 6 se tiene: 2

h( Altura) 6= ^0 h( Altura) =1 20 623

mdz

623

h

(2)

mdz

120m 3 d 2 z 6 12m 2 dz 4 Altura = (120 ' 12) m 3 2-d2 1 6 z4 Altura =

12m 2 dz 4

-

2

= 10 mdz

2.3 Representación del área de una gura: polinomios La expresión algebraica que representa el área de la gura de la izquierda es 72 q3 + 18q2 porque (12q + 3) (6q2) = (12 q) (6 q2) + (3) (6 q2) = 72q3 + 18q2. Por otro lado, la expresión algebraica que representa el área de la gura de la derecha es 35r3 + 14r2 ya que (5r + 2) (7r2) = (5 r) (7 r2) + (2) (7 r2) = 35r3 + 14r2.

6q 2

5r + 2

7r 2

12q + 3 ◊

Representa el área de las siguientes guras empleando expresiones algebraicas.

a) El área de la gura es 3m3 + 6m2 (3m2) (m + 2) = (3m2) (m) + (3m2) (2) = 3m 3 + 6m 2

3m2

m+2

b)

El área de la gura es 128a3b3c3 + 16a2b2c4 8abc + c2 (8abc + c2) (16 a2b2c2) = (8abc) (16a2b2c2) + (c2) (16a 2b2c2) = 128 a3b3c3 + 16 a2b2c4 16a2b2c2

102

c) El área de la gura es 26x2y2z2 + 6xyz: (13xyz +3) (4 xyz ) (13xyz) (4 xyz) (+3) (4 = 2 2

4xyz

xyz )

=

52x

2

2

y z

= 26x 2 y 2 z 2 + 6xyz

13xyz + 3

2.4 Representación del lado de una gura: polinomios La expresión algebraica que representa la base de la gura de la izquierda esv3+ 4 esto porque 9v 2 + 12v 9v 2 12v = 3+v = 3v (9+'3) v 12 - 12= 3+ '1= + v1 3- 0 4 v 3 4. v v 3v Entre tanto, la expresión algebraica que representa la altura de lagura derecha es 2d + n ya que

h

^

2dn +

2

n

n

3v

=

2dn += n

2

n n

(2 ' 1) +

dn

1-

^ h

1= 1

2 1 + ' = n+ 2 0 1- d 1n2

n

dn

2dn + n2

9v2 + 12v

n

◊

Determina las expresiones algebraicasque representan la medida que falta en cada gura.

a) La medida de la altura es 2mk − 5: 4m2k2 - 10mk

22

4mk

mk - 10 2mk

22

=

4m k 2mk

^ h

= 42 '

11

2mk

-

10mk 2mk

21 -2-1

mk

00

= 2mk 5 -mk 2

103

^

h

11 -1 1

10-2 m k'

mk 5 =

2

2

-

+12

xyz

b) La expresión que representa la medida de uno de los lados de la gura es 2r + 1:

6ra + 3a

(Perímetro)( a) = 6ra + 3a se tiene lo 2

a

Despejando la apotema en siguiente: (Perímetro) (a) = (6ra + 3a) (2) (Perímetro) (a) = 12ra + 6a 12 Perímetro =

+ ra6a

12 =

a

Perímetro = (12 ÷ 1) ra

1−1

6 ra

+

a

a a

+ (6 ÷ 1) a1 − 1 = 12ra0 + 6a0 = 12r + 6

Luego, la expresión que representa al perímetro se divide entre 6 y se obtiene la expresión que corresponde a uno de los lados del hexágono:

12 + 6 12 6 = 6 r+ =6 + 2r r6

1

c) La expresión que representa la base de la gura es6y -

`

j

Despejando la base1en (Base) ( )x = 3xy - 1 y se tiene: 2 2 (Base)( x) = 3 xy -

x 3xy

-

^ h^ h Base

1 y 2

6xy

-y

x

^ h

Base = 1 6 '

x

=

6xy x

1- 1

y

x

:

y (2)

x =6 xy - y

Base =

b=?

2

y

-

y x

^ h

-6 6y ' x

=

0

x y

-

y

=

x

y

-

y x

2.5 Profundiza ◊

Determina la expresión algebraica que representa la suma de las bases del siguiente trapecio si está representado por un área de 2rm + m y una altura de m. b=?

m

La expresión que representa la suma de las bases del trapecio es 4r + 2:

2rm + m

Despejando la suma de las bases

^

Suma de las bases 2

B=?

h^ h m

= 2rm +

m

se tiene lo siguiente.

(Suma de las bases) (m) = (2rm + m) (2) (Suma de las bases) (m) = 4rm + 2m Suma de lasbases = Suma de lasbases =

4rm + 2 m m

4rm 2m + = m

104

m

^ h ' 41 +

11 -

rm

21=

^ h 11

+' 4m =+

0

-

0

2 4r m 2m

r


3.1 Diagonales y triángulos Un polígono se dice que esconvexo porque: a) sus ángulos interiores miden menos de 180° b) al trazarle sus diagonales los ángulos que resultan son interiores y no cortan algún lado del polígono.

Polígono convexo ◊

Polígono cóncavo

En los siguientes polígonos regulares traza todas la diagonales posibles desde un mismo vértice. Posteriormente llena los espacios vacíos decada tabla.

Nombre del polígono

Número de lados

Número d e diagonales

Número de triángulos

Heptágono

7

4

5

Octágono

8

5

6

Nonágono

9

6

7

Decágono

10

7

8

Nombre del polígono

Número de lados

Número de diagonales

Número de triángulos

Cuadrilátero

4

1

2

Pentágono Hexágono

5 6

2 3

3 4

Heptágono

7

4

5

105

Para saber el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono regular o irregular se resta del valor que representa el número de lados, el valortres. Por lo que se puede emplear laexpresiónd = (n − 3). Donde d representa el número de diagonales;n el número de lados del polígono regular o irregular, y el valor 3, la diferencia numérica entre el número de lados y diagonales. Sin embargo, para hallar el número total de triángulos que tendrá un polígono regular o irregular se resta del valor t = ( n − 2). En donde t que representa el número de lados, el valor dos. Por lo que se puede emplear la expresión representa el número de triángulos;n el número de lados del polígono regular o irregular, y el valor 2, la diferencia numérica entre el número de lados y número de triángulos. ◊

◊

◊

◊

En función del número de lados de un polígono, determina el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice.

Número de lados del polígono

Cálculos para determinar el número de diagonales

regular o irregular 11

que se forman en el polígono a partir de un vértice d = (11 − 3) = 8

14

d = (14 − 3) = 11

17

d = (17 − 3) = 14

20

d = (20 − 3) = 17

En función del número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono regular o irregular, determina su número de lados.

Número diagonales

Cálculos para determinar el número de lados que tiene el polígono convexo

12

12 = (n − 3) por lo que n = 12 + 3 = 15

13 14

13 = (n − 3) por lo que n = 13 + 3 = 16 14 = (n − 3) por lo que n = 14 + 3 = 17

18

18 = (n − 3) por lo que n = 18 + 3 = 21

En función del número de lados que se forman en el polígono, determina el número de triángulos que tendrá.

Número de lados del polígono regular e irregular

Cálculos para determinar el número de triángulos que se forman en el polígono

11 14

t = (11 − 2) = 9 t = (14 − 2) = 12

17

t = (17 − 2) = 15

20

t = (20 − 2) = 18

En función del número de triángulos que tiene un polígono regular o irregular, determina su número de lados.

Número triángulos

Cálculos para determinar el número de lados que tiene el polígono convexo

12

12 = (n − 2) por lo que n = 12 + 2 = 14

13

13 = (n − 2) por lo que n = 13 + 2 = 15

14

14 = (n − 2) por lo que n = 14 + 2 = 16 18 = (n − 2) por lo que n = 18 + 2 = 20

18

106

3.2 Suma de los ángulos interiores ◊


Triángulo

3

Número de triángulos que es posible trazar desde un mismo vértice 1

Cuadrado

4

2

360°

Pentágono

5

3

540°

Hexágono

6

4

720°

Heptágono

7

5

900°

Octágono

8

6

1080°

Nonágono

9

7

1260°

Polígono convexo

Número de lados

Suma de los ángulos interiores del polígono 180°

La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a la suma de todos los ángulos interiores de todos los triángulos que se puede trazar desde un mismo vértice en un polígono. Por lo que la expresión es S = (n − 2) 180°. ◊

Emplea la expresión algebraica para determinar cuánto suman los ángulos interiores de los siguientes polígonos convexos.

Número de lados del polígono regular o irregular

◊

Cálculos para determinar el número de lados que tiene el polígono

11

S = (11 − 2) 180° & S = (9) (180°) = 1620°

12

S = (12 − 2) 180° & S = (10) (180°) = 1800°

19 20

S = (19 − 2) 180° & S = (17) (180°) = 3060° S = (30 − 2) 180° & S = (28) (180°) = 5040°

Con base en la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo, determina el número de lados que lo componen.

Suma de los ángulos interiores del polígono convexo

^n h ^n h ^n h -2

1440°

Suma de los ángulos interiores del polígono convexo

Cálculos para determinar el número de lados del polígono %

180

-2 -2

= 1440 =

%

1440

180 = 8

%

2880°

n= 8 + 2

-2

2340°

180

-2

n

%

= 2340 =

^n h ^n h - 2 180

%

%

%

4140°

180

^n h ^n h -2

n

= 13 +2 =15

107

=

%

2880 180

%

%

= 16 + 2 = 18

- 2 180

2340 % %

=2 88 0

-2

n

n = 10

^n h ^n h

Cálculos para determinar el número de lados del polígono

%

= 414 0 =

%

4140 % % 180

= 23 + 2 =25

3.3 Profundiza ◊

Encuentra el valor de los ángulos faltantes en los siguientes casos.

a)

c)

x

y

x

= 60° = 60° B z = 60° B m = 120°

z

m

Bx

Bx =

By

B 2x = 128°

71°

64°

2x 97°

b)

d) 111.9°

103.6°

52.8°

123.7°

118.4°

x

105° 135°

2x

y Bx =

87°

B 2x = 174° By

= 68.6°


4.1 Teselado Un teselado es un conjunto de polígonos unidos que mantienen una regularidad y que cubren una supercie plana sin que éstos se encuentren sobrepuestos ni dejen huecos o espacios entre ellos.

120° 120°

Para que un plano sea cubierto con polígonos es necesario que la suma de los ángulos que concurren en un mismo vértice al momento de conformar el teselado sea igual a 360°.

120° 120° 120° 120°

120°

120°

120° 120°

120°

120°

120°

120° 120° 120°

120° 120°

108

◊

Explica en la columna correspondiente la razón por la que es o no posible construir un teselado con las siguientes guras y en la última columna construye el teselado correspondiente.

Figura

Explicación

Teselado

Si es posible porque la suma de lo ángulos consecutivos que se forman al armar el arreglo es igual a 360 °.

Si es posible porque la suma de lo ángulos consecutivos que se forman al armar el arreglo es igual a 360°.

360°

360°

No es posible porque la suma de los ángulos consecutivos que se forman al armar el arreglo no es igual a 360°.

Si es posible porque la suma de lo ángulos consecutivos que se forman al armar el arreglo es igual a 360°.

360°

No es posible porque la suma de los ángulos consecutivos que se forman al armar el arreglo no es igual a 360°.

Si un teselado está formado por polígonos regulares se dice que es un teselado regular. En cambio, si el embaldosado lo conforman dos o más polígonos regulares se llama teseladosemiregular.

Teselado regular

Teselado semiregular

109

◊

En el espacio que se te proporciona, extiende un poco más las siguientes regularidades o patrones geométricos.

a)

b)

c)

d)

4.2 Profundiza ◊ a)

A continuación se te muestran unas guras, con ellas elabora un teselado. b)

c)

110


5.1 Decímetro cúbico, litro y kilogramo El volumen y la capacidad son dos magnitudes que están estrechamente ligadas. El primero reere al espacio que 3 ocupa un objeto y su unidad principal es el metro cúbico (m ). Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, eldecímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). En cambio, la capacidad se reere al espacio vacío de algún objeto que puede contener otra cosa o bien es la que indica cuánto puede contener un recipiente, para ello se utilizan las unidades de capacidad, principalmente ellitro (l) y el mililitro (ml). Entre las unidades de volumen y las de capacidad hay una relación: 1 litro = 1 dm3

1 ml = 1 cm

3

Unidad de volumen Unidad principal

Múltiplos Unidad

Kilómetro cúbico

Hectómetro cúbico

Decámetro cúbico

Equivalencia

109 m3

106 m3

103 m3

Símbolo

km3

hm3

dam3

Metro cúbico

Submúltiplos Decímetro cúbico

Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

10−3 m3

10−6 m3

10−9 m3

dm3

cm3

mm3

m3

Observa que toda unidad de volumen aumenta o disminuye de 1000 en 1000. Por ejemplo, un hectómetro cúbico es 6 1000 veces mayor que la unidad decámetro cúbico 10 m3 > 103 m3 que es lo mismo que 1 000 000 m3 > 1000 m3. 6 Un hectómetro cúbico es 1000 veces menor que un kilómetro cúbico 10 m3 < 109 m3 que es lo mismo que 1 000 000 m3 < 1 000 000 000 m3.

◊

Efectúa las siguientes conversiones.

a) De 4 metros cúbicos a kilómetros cúbicos 4 m3 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 = 0.000000004 km3 o bien 4 m3 × 10−9 = 0.000000004 km3 b) De 12 000 kilómetros cúbicos a metros cúbicos 12000 km3 × 1000 × 1000 × 1000 = 12000000000000 m3 o bien 12000 km3 × 109 = 12000000000000 m3 c) De 100 kilómetros cúbicos a decámetros cúbicos 100 km3 × 1000 × 1000 = 100000000 dam3 o bien 100 km3 × 106 = 100 000 000 dam3 d) De 10 centímetros cúbicos a metros cúbicos 10 cm3 ÷ 1000 ÷ 1000 = 0.00001 m3 o bien 10 cm3 × 10−6 = 0.00001 m3

111

e) De 4 metros cúbicos a litros 4 m3 × 1000 = 4000 litros o bien 4 m3 × 103 = 4000 litros f) De 6 metros cúbicos a mililitros 3 6 m3 × 1000 × 1000 = 6 000 000 mililitros o bien 6 m × 106 = 6 000 000 mililitros

g) De 250 mililitros a decímetros cúbicos −3 250 ml ÷ 1000 = 0.25 decímetros cúbicos o bien 250 ml × 10 = 0.25 decímetros cúbicos

h) De 9 litros a mililitros 9 l × 1000 = 9000 mililitros o bien 9 l × 103 = 9000 mililitros

l 1

Si 1 ml es igual 1 cm3 entonces 1000 ml (que son un litro) representan a 1000 cm3. Luego, si un litro de agua tiene un masa de 1 kg entonces unkilogramo es la masa de un volumen cúbico de agua de 10 cm de lado.

10 cm

10 cm

◊

10 cm

Lleva a cabo las acciones que se describen en cada inciso.

a) Averigua cuántos decímetros cúbicos contienen a 1000 mililitros de agua. −3 1000 ml ÷ 1000 = 1 decímetro cúbico o bien 1000 ml × 10 = 1 decímetro cúbico.

b) Averigua cuál es la masa expresada en gramos de 500 mililitros de agua. 1 l = 1000 ml y luego 1000 ml tiene una masa de 1000 gramos por lo que 500 mililitros tienen una masa de 500 gramos. c) Averigua cuántos decímetros cúbicos pueden contener la masa de 250 gramos de agua. 3 1000 ml = 1 dm3 y luego 250 mililitros tienen una masa de 250 gramos que equivalen a 0.25 dm .

112

d) Averigua cuál es la masa expresada en gramos de un kilolitro de agua. 1 kilolitro es igual a 1000 litros. Por lo que el kilolitro tiene una masa de 1000 × 1 = 1000 kilogramos que convertidos a gramos son 1000 × 1000 = 1000 000

5.2 Algunas unidades del Sistema Internacional de Me didas ◊

Resuelve los siguientes problemas

a) Un barril tiene una equivalencia de 158.9 litros,¿en cuántos centímetros cúbicos estarán contenidos 8 barriles? 3 1000 cm3 = 1 litro; por lo que 158.9 litros están contenidos en 158 900 cm . Lo que signica que 8 barriles ocu-

pan un volumen de 1 271 200 cm3.

b) En un periódico se informó que hubo durante un trimestre un ascenso de 2 525 000 barriles de petróleo diarios. ¿Cuál fue el ascenso de producción de petróleo que se registró? Expresa tu resultado en litros. 1 barril equivale a 158.9 litros por lo que 2 525 000 barriles equivalen a 401 225 500 litros.

3 c) El contenedor de una pipa tiene un volumen de 100 000 cm . ¿Cuántos galones aproximadamente se pueden depositar en el contenedor si un galón es de aproximadamente 3.785 litros?

Un litro = 1000 cm3 por lo que 100 000 cm3 es igual a 100 litros. Para averiguar cuántos galones aproximadamente caben en el contenedor se divide 100 litros entre 3.785: 100 litros 3.785 litros

.

26.42 galones

d) Una barra de oro puro que no contiene parte alguna de una mezcla es de 24 quilat es, esto signica que todas las 24 partes en las que se divide la aleación son puras. Un quilate equivale a1 de la masa total de la aleación; 24 por lo que si una aleación o digamos, por ejemplo, un anillo es de oro de 14 quilates,14 partes son de oro puro 24 3 y el resto son de otra cosa. Suponiendo que 1 cm de una barra de oro es de 12.6 gramos, ¿cuántos gramos de oro puro tiene una barra dimensiones 10 cm × 2 cm× 4 cm y de 18 quilates? 2 Las dimensiones de la barra son 10 cm × 2 cm × 4 cm = 20 cm × 4 cm = 80 cm3 Resolviendo la siguiente regla de tres:

1 cm3 80 cm3 12.6 g 80 cm

x=

^

h^

1 cm

3

3

12.6 g x(g)

3

1008(g) (cm )

h

=

1 cm

3

= 1008 g 18

Los gramos de oro puro que tiene la barra resultan de la siguiente operación matemática:24

113

#

1008 g = 756 gramos

5.3 Profundiza ◊


a) Una alberca tiene las siguientes dimensiones 10 m × 5 m × 12 m. ¿Cuántos litros de agua puede contener la piscina? El volumen de la alberca es de 600 m3. Luego 1 dm3 es igual a 1 litro. Además 600 m3 son igual a 600 m3 × 1000 = 600 000 dm3 Por lo que 600 000 dm3 es igual a 600 000 litros, que es la capacidad de agua que puede almacenar la alberca.

b) En la siguiente ilustración se proporcionan las medidas de una pecera. ¿Cuál es la capacidad de litros de agua que puede contener la pecera? El volumen de la pecera es de 96 000 cm3. Luego 1 cm3 es igual a 1 ml. Por lo que la capacidad que tiene la pecera dealmacenar agua es de 96 000 mililitros que equivalen a 96 litros. 60 cm 20 cm 80 cm

− 4 kg. ¿Cuánc) Un kilate es una unidad empleada en el caso de laspiedras preciosas y las perlas y equivale a 2 × 10 tos gramos tendrá una piedrapreciosa de 3 quilates?

Un quilate es igual a 2 × 10−4 kilogramos o bien a 0.2 gramos por lo que la piedra preciosa es de 0.6 gramos.

114


6.1 Expresión algebraica ◊


a) Maricruz y Susana decidieron ir al cine. El precio que pagaron en taquilla por los 2 boletos para disfrutar de la función fue de $112.00: • ¿Cuál será el precio quese tendrá que pagar sia Maricruz y Susana se le suman otras 3 personas? Se tendrían que pagar $280.00 •Se¿Cuál seráque el precio se tendrá que pagar sia Maricruz y Susana se le suman otras 4 personas? tendrían pagar que $336.00 • Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla.

Número de boletos (x) Cantidad a pagar (y)

123456 $112.00

$56.00

$168.00

$224.00

$280.00

$336.00

• ¿De qué depende el importe a pagar? El importe a pagar depende del número de boletos que se adquieran. • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación presentada? El factor de proporcionalidad es 56. • ¿Cómo calcularías la cantidad total a pagar por los boletos? Se multiplicaría el factor de proporcionalidad por el número de boletos adquiridos. y = kx en donde y representaría la Esta situación que se acaba de describir se puede representar con la relación variable dependiente,k el factor de proporcionalidad; que es que relaciona a los dos valores y que sirve para obtener los valores faltantes, y x la variable independiente. Por lo anterior la expresión algebraica que alude a la situación descrita es y = 56x.

◊

Completa la tabla y responde las preguntas para cada uno de los casos.

a)

Longitud del diámetro en metros (x)

2

4

6

8

10

100

Longitud de la circunferencia en metros (y)

6.28

12.56

18.84

25.12

31.40

314

• ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación? El factor de proporcionalidad es 3.14 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación? La expresión algebraica esy = 3.14x

115

b)

Tiempo de llenado de un recipiente minutos ( x)

0

10

15

20

25

30

Litros de agua contenidos en el recipiente (y)

0

12.5

18.75

25

31.25

37.50

10

12

11.04

13.8

16.56

• ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación? El factor de proporcionalidad es 1.25 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación? La expresión algebraica esy = 1.25x c)

Gramos de goma de mascar ( x) Gramos de sodio ( y)

24 2.76

68 5.52

8.28


d)

Tiempo en minutos (x)

10

20

30

40

50

60

Distancia en kilómetros ( y)

1.3

2.6

3.9

5.2

6.5

7.8


6.2 Cantidades directamente proporcionales ◊


a) Gonzalo ocupa una desmalezadora todos los días para cortar hierbas en los parques o jardines de las instituciones. Asimismo el dispone siempre al mes de 6 galones de combustible para evitar algún contratiempo. • ¿Cuántos galones de gasolina delos que tiene Gonzalo seocuparán en 30 díassi cada 8 días la máquina en promedio gasta 3000 mililitros de combustible? Una máquina gasta por 8 días 3000 mililitros de combustible o sea 3 litros. Cada día gasta 375 mililitros. Entonces por los 30 días gasta 11250 mililitros que son igual a 11.25 litros que convertidos a galón se tiene que es aproximadamente 2.97 galones. Por lo que Gonzalo ocupa tres de los seis galones de que dispone al mes.

116

• Llena los espacios vacíos de la tabla.

Número de días ( x)

1

2

4

6

12

24

28

30

Mililitros de combustible que se gastan ( y)

375

750

1500

2250

4500

9000

10500

11250

• ¿Cuál es la expresión algebraica quete ayuda determinar losvalores faltantes de la tabla? La expresión algebraica es y = 375x b) Por 20 bolígrafos que adquirió Valentín se tienen un total de 6.6 mililitros de tinta. • ¿Cuántos mililitros detinta se tendrán en 32 bolígrafos? Primero se divide 6.6 entre 20 que es 0.33. El valor obtenido se multiplica por 32 y el resultado representa en número de mililitros de tinta contenido en los 32 bolígrafos.

• Completa la tabla.

Número de bolígrafos (x)

1

2

4

16

32

64

100

Mililitros de tinta que contienen los bolígrafos (y)

0.33

0.66

1.32

5.28

10.56

21.12

33

• ¿Cuál es la expresión algebraica querepresenta a la situación planteada? La expresión algebraica es y = 0.33x c) El perímetro de un hexágono regular aumenta a medida que la longitud de sus lados incrementan su valor. • ¿Cuál será el perímetro de un hexágonoregular si sus lados miden 56 centímetros? El perímetro de un hexágono regular cuyos lados son de 56 centímetros es igual a 336 centímetros.

• Llena los espacios vacíos de la tabla.

Longitud del lado en centímetros (x)

2

4

10

20

40

56

100

Perímetro en centímetros (y)

12

24

60

120

240

336

600

• Determina la expresiónalgebraica que relaciona losvalores que intervienen en la situación. La expresión algebraica esy = 6x

117

6.3 Profundiza ◊

Una cisterna al inicio del llenado estaba vacía y al minuto 50 se encontraba con una capacidad de 62.5 litros. Téngase en cuenta que el número de litros que proporcionaba la llave al depósito de agua lo hacia de manera constante. • ¿Cuántas horas transcurrieron para que la cisterna alcanzara unacapacidad de 187.5 litros? Trascurrieron 150 minutos (que convertido en horas es igual a 2.5 horas) para que la cisterna tuviera 187.5 litros de agua. • Completa la tabla.

Tiempo en minutos (x)

0

10

15

20

35

40

50

100

150

Capacidad de la cisterna en litros centímetros (y)

0

12.5

18.75

25

43.75

50

62.5

125

187.5

• ¿Qué expresión algebraica permite determinar el númerode litros de agua que tendrá la cisterna amedida que pasa el tiempo (en minutos)? La expresión algebraica que modela la situación es y = 1.25x


7.1 Elaboración de un histograma frecuencia de las clases de Un histograma es una representación construida con barras verticales que muestran la valores contiuna distribución de frecuencias y que comunican información sobre las variaciones de un proceso con nuos como el tiempo, el peso, temperatura, etcétera. En un histograma no hay espacios entre las barras adyacentes como en la gráca de barras. y s

Histograma

8

o n7 m6 lu a5 e d4 o r 3 e m2 ú N1

x

0 41

47

53

59

Gráca de barras

y

65

71

77

Peso en kilogramos

) g 15000 (k a r u 10000 s a b e 5000 d d a 0 itd n a C

s o rr a g i C

l e c i n U

o c it s lá P

l e p a P

ra e d a M

l ta e M

io r d i V

la e T

o h c u a C

s o tr O

x

Tipo de basura Es muy común observar en varias grácas una línea na con zigzag ( ), ésta indica que en ese espacio la escala es pequeña y el tamaño de las unidades de medición no es el mismo comparado con el espacio donde se encuentran los datos.

118

◊

En la siguiente tabla se encuentran ordenados demanera ascendente los valores continuos que se reeren a las edades de 50 personas que laboran en una misma empresa.

Edades de los 50 empleados de la empresa 20

20

21

21

22

22

23

23

24

24

27

27

27

27

28

28

29

29

30

30

30

31

32

33

34

34

34

34

34

34

34

35

36

36

36

36

36

36

36

36

37

38

40

42

42

45

45

45

46

47

a) Todos los datos deben estar organizados en unatabla de distribución de frecuencias que tendrás que completar para ayudarte posteriormente a elaborar un histograma.

Clase

Límitesdeclase

1 2

Fronteras de clase

Registro

20–25

19.5–25.5

31–26

31.5 25.5 –

3

32–37

4

38–43

5

44 49 –

28.5

37.5–43.5

Total

Frecuencia absoluta

22.5

37.5–31.5

43.5 49.5 –

Marcas de clase

46.5

10 12

34.5

19

40.5

4 5 50

Antes de gracar, se debe tener en cuenta el número de agrupaciones o clases así como la amplitud de intervalo. Normalmente en una distribución de frecuencias debería haber entre cinco y 12 clases lo que signica que en el histograma debería haber el mismo número de barras. Para la situación que se está analizando, se optó por tener únicamente 5 clases. La amplitud de un intervalo de clase se calcula dividiendo el rango entre el número de agrupamientos que se requieran. b) Si el rango es la diferencia entre los valores más altos y los más bajos de los datos, ¿cuál es el rango de los valores que se revisaron? El rango es 47 − 20 = 27. c) ¿Cuál es el valor de la amplitud de intervalo de los datos? Amplitud de intervalo

=

27 = 5 .4 5

d) La marca de clase de un grupo de datos se obtiene calculando el promedio del límite inferior y superior de la clase. ¿Cuál es la marca de clase de la cuarta clase? Es 40.5 La amplitud de intervalo deberedondearse para resumir la información, tener un mejor análisis y una mejor distribución de los datos, por lo que la amplitud de clase del grupo de datos con el que trataste es 5, y la primera clase se mantendría entre los valores 20 y 25; la segunda entre 26 y 31 y así sucesivamente.

119

Para elaborar la representación gráca, en el eje de lasx se colocarían los valores que representan lasfronteras de clase (son aquellas que ajustan los intervalos de clase para que exista continuidad de un intervalo a otro) y en el eje y las frecuencias absolutas. Edades de los empleados que laboran para una empresa

y

19

20 18 s a n o rs e p e d o r e m ú N

16 14

12

12

10

10 8

5

6

4

4 2 0

x 19.5

25.5

32.5

37.5

43.5

49.5

Edades

e) ¿Qué signican las alturas de cada barra en el histograma? Las alturas representan la frecuencia por cada clase o intervalo. f) ¿Por qué entre las barras no debe haber un espacio de separación? Porque estas deben abarcar a todo el intervalo correspondiente a la agrupación. g) ¿Qué indica la anchura de cada barra? La amplitud de cada intervalo.

◊

En la siguiente tabla se muestran organizados los datos que fueron obtenidos de un centro de salud y que reeren al peso de 50 recién nacidos.

Peso en gramos 3200

3750

3280

3700

3840

4250

3350

4200

3400

3780

3900

3650

4000

4100

3280

3740

3600

3650

3940

3750

3400

3240

3680

3450

3840

4100

3950

3840

3500

4200

4200 3600

4000 3450

3900 4200

4300 3400

4100 3650

3450 4280

3350 3690

3900 4300

4300 4250

4300 4300

120

a) Organiza la información en la siguiente tabla de distribución de frecuencias.

Peso

Fronteras de clase

Registro

3195 3425 –

3420 3200 –

9

3310

3425 – 36553540

3650 3430 – 3660 3880 –

Número de recién nacidos

Marcas de clase

3655 3885 –

9

3770

10

3890–4110

3885 – 4115

4000

10

4120–4340

4115 – 4345

4230

12

Total

50

b) ¿Cuál es el valor del rango? El rango es 4300 − 3200 = 1100. c) ¿Cuál es la valor de la amplitud del intervalo de clase? Amplitud de intervalo

=

1100 = 220 5

d) Elabora un histograma en el que estén contenidos todos los datos. Peso de los niños recién nacidos en un centro de salud y 14

12

12

s o d i c a 10 n n é i c 8 re e d 6 ro e m 4 ú N

10 9

10

9

2

x

0 3195

3425

3655

3885

Peso (gramos)

121

4115

4345

7.2 Elaboración de un polígono de frecuencias ◊

El siguiente polígono de frecuencias está basado en los datos que sirvieron para la elaboración de la gráca del apartado 7.1 de esta lección que se titula Edades de los empleados que laboran en una empresa. y

Edades de los empleados que laboran para una empresa

20 18 16 s a 14 n o s r 12 e p e 10 d o r e 8 m ú N 6

4 2 0

x 19.5

25.5

31.5

37.5

43.5

49.5

Edades a) ¿Qué representan los puntos (marcadores) en la gráca? La frecuencia por intervalo de clase. b) ¿Cuántas de las personas que laboran en la empresa tienen entre 44 y 49 años? Cinco personas. c) ¿Entre que edades se encuentra la mayoría de las personas que laboran en la empresa? Las personas están entre 32 y 37 años de edad. d) ¿Cuántos intervalos de edad hay? Cinco intervalos e) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo? Cinco f) Si colocaras el polígono de frecuencias sobre el histograma que también representa la misma información, ¿en qué parte de las barras quedarían los marcadores del polígono de frecuencia? Cada marcador quedaría en el punto medio de la parte superior de cada barra. Un polígono de frecuencias es una representación gráca que une a los puntos medios de cada barra del histograma por medio de una línea poligonal. Ese punto medio no es más que la marca de clase de cada intervalo.

122

y

◊

Con base en la información contenida en la tabla, elabora un polígono de frecuencias.

Urgencias

Fronteras de clase

Número de urgencias atendidas

Marca de clase

2–3

1.5–3.5

2.5

4–5

3.5–5.5

4.5

6–7

5.5–7.5

14

s a d i 12 d n e t 10 a s a i 8 c n e 6 g r u ro 4 e m ú 2 N

12 10

6.5

8

Total

0

1.5

30

3.5

5.5

7.5

x

7.3 Profundiza ◊

La siguiente gráca poligonal(de serie de tiempo) trata sobre la cantidad de litros de agua que ha consumido en promedio una familia que vive en un departamento, a lo largo de 10 años. Agua consumida por una familia de una unidad habitacional en un período de 10 años y s o d i m u s n o c s o tr li e d ro e m ú N

120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000

x

0 2004

2005

2006

2007

2008

2009

Años a) ¿En qué año consumieron más litros de agua? Se consumieron más litros de agua en el 2005. b) ¿En que año se consumieron menos litros de agua? Se consumieron menos litros en el 2012. c) ¿En qué años se consumieron el mismo número de litros? Se consumieron el mismo número de litros en 2007, 2008 y 2013

123

2010

2011

2012

2013

d) En promedio, ¿cuántos litros de agua se consumieron en los 10 años? x=

87000 ++++ 96500 + + + + +75000

x=

857000 = 85700 10

91250

92000

84000 10

78000

93000

69000

91250

e) ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los valores se tiene: 69000 75000 78000

84000

87000

91250

91250

92000

93000

96500

Obteniendo la media aritmética de los datos centrales se tiene: x=

87000 + 91250 178250 = = 89125 2 2


8.1 Propiedades de la media aritmética ◊

Responde las preguntas para cada uno de los siguientes planteamientos.

a) A la clase de natación sabatina de 9:00 am a 10:00 am acuden niños de las siguientes edades: 4, 6, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4 y 3. ¿Se puede armar que en promedio los niños que acuden a clase tienen 7 años? Explica tu respuesta. No, por que la edad promedio debe estar entre los valores extremos 3 y 6.

b) En una secundaria de los 25 alumnos que forman parte de un coro 3 tienen 12 años; 14 tienen 13 años; 4 tienen 14 años y 4 tienen 15 años. ¿Es correcto decir que en promedio los integrantes del coro tienen 11 años? Explica tu respuesta. No, ya que en promedio los integrantes del coro tienen 13.36 años lo que indica que el promedio se encuentra entre los extremos 12 y 15. El promedio de los datos se localiza entre los datos extremos , es decir, entre dato menor y mayor. Esta descripción es una de las propiedades de la media aritmética. ◊

Considérese el planteamiento del último inciso que se revisó de este tema y responde las preguntas.

Edad de los integrantes del coro 12

13

13

13

14

12

13

13

13

15

12

13

13

14

15

13 13

13 13

13 13

14 14

15 15

124

a) Calcula la diferencia entre cada uno de los 25 datos que aparecen en la tabla con respecto a la media aritmética del conjunto de datos. 13.36– 12=1.36

13.36 –13 =0.36

13.36– 13=0.36

13.36 – 15 = −1.64

13.36– 12=1.36

13.36 –13 =0.36

13.36– 13=0.36

13.36 – 15 = −1.64

13.36– 12=1.36

13.36 –13 =0.36

13.36– 13=0.36

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 14 = −0.64

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 14 = −0.64

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 14 = −0.64

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 13 = 0.36

13.36 – 14 = −0.64

13.36 – 15 = −1.64 13.36 – 15 = −1.64

b) Los valores que resultan de la resta se les llama desviación media. Suma todas las desviaciones medias obtenidas, ¿qué resultado obtuviste? El resultado que se obtuvo fue cero. Una propiedad de la media aritmética describe quela suma de las desviaciones medias de cada dato respecto a su media es igual a cero, esto incluye a las desviaciones medias positivas y negativas. ◊

En el transcurso de cuatro horas en una zapatería se vendieron 20 pares de tenis para caballero de distinta talla, los cuales se muestran ordenadamente en la siguiente tabla.

Pares de tenis de distinta talla 4444444444 4666666677 a) Obtén la media aritmética de los datos. x=

4+4+4+4+4+4+4+ 4+ 4+ 4+ 4+ 6+ 6+ 6+ 66 +6 +6 +7 +7 +

x=

100 = 5 20

20

b) Considérese que en ese mismo lapso en otra zapatería se vendió el mismo número de pares de tenis. ¿Cuál es la media aritmética de los valores?

Pares de tenis de distinta talla 2233344444 6667777777 x=

2+2+3+3+3+4+4+ 4+ 4+ 4+ 6+ 6+ 6+ 7+ 77 +7 +7 +7 +7 +

x=

100 = 5 20

20

no necesariamenCon base en la media aritmética que hallaste en los casos expuestos se puede armar que ésta te es igual a algunos de los datos promediados.

125

c) ¿Qué sucede con la media aritmética para cada conjunto de datos que fue revisado si le añade un valor? Por ejemplo al primer caso se añade el valor 4 y al segundo el valor 8? La media aritmética se ve modicada. La media aritmética de un conjunto de datos se modifca si al conjunto se le añade otro valor.

8.2 Propiedades de la mediana ◊

Responde las preguntas para cada uno de los siguientes planteamientos.

a) Para tener dinero extra Luisa de lunes a viernes hace collares y los vende durante el n de semana. Si la primera semana vendió 14 collares; la segunda 13 collares, la tercera 22 collares; la cuarta 11 collares; la quinta 12, la sexta 14puede collares; la séptima collares; la novena y la décima 10 collares. • ¿Se armar que la 11 mediana delalosoctava datos14 es collares; igual a 15? Explica12 tu collares respuesta. No, porque la mediana se localiza entre los valores extremos.

• ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 22. La mediana de los datos es igual a

Me =

12 + 13 = 12.5 2

b) En una caja caben 12 cajas pequeñas cada una de ellas contiene 120 lápices de colores. Si por cada caja de lápices se encontraron los siguientes colores defectuosos: 2, 4, 3, 4, 4, 3, 2, 2, 2, 3, 4 y 8. • ¿Se puede armar que la mediana de los datos es igual a 1? Explica tu respuesta. No, porque la mediana se localiza entre los valores extremos.

• ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 8. La mediana de los datos es igual a

Me =

3+3 = 3 2

126

Propiedades de la mediana: 1. La mediana se localiza entre los datos extremos; es decir entre el dato menor y mayor. 2. Si el número de datos es par, la mitad de ellos son iguales o menores quela mediana, y la otra mitad son iguales o mayores. ◊ Responde las preguntas para cada uno de los siguientes planteamientos.

Jugos

Costo por cada jugo $15.00 $26.00 $18.00 $22.00

Naranja Piña Zanahoriaconnaranja Alfalfa con naranja

Número de ventas 5 3 4 1

a) En la tabla anterior se hanafueras capturado datos que representan el número de jugos do en las mañanas a las de un gimnasio por el transcurso de una hora. que el señor Alberto ha vendi• ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 15, 15, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 18, 22, 26, 26, 26. La mediana de los datos es 18. • Si el precio del jugo dealfalfa con naranja fuera de$14.00, ¿qué tanto repercute alcalcular la mediana de los datos? La mediana de los datos no se vería afectada.

b) En la siguiente tabla se encuentra el número de minutos que consume Blanca al hacer varias llamadas durante 24 horas de un plan de renta que tiene contratado.

Minutos consumidos por Blanca 2

4

10

12

14

1

8

3

24

18

15

13

4

12

15

10

18

14

1

• ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 8, 10, 10, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 18, 18, 24. La mediana de los datos es 12. • Si en lugar de haber consumido 24 minutos enuna llamada se ocuparon 32minutos, ¿qué tanto repercute al calcular la mediana de los datos? La mediana de los datos no se vería afectada. Propiedades de la mediana: 3. Si el número de datos es impar,la mitad de ellos son iguales o menores que la mediana y la otra mitad son iguales o mayores. 4. La mediana no se ve afectada por valores muygrandes o pequeños.

127

8.3 Profundiza ◊

En la siguiente tabla aparece el número de llamadas que se realizaron desde un despacho durante siete días.

a) Con base en la información recabada en la tabla, Ricardo asegura que desde el despacho se realizaron 200 llamadas semanalmente, mientras que Jaime comenta que se llevaron a cabo 212 llamadas. ¿Qué medida utilizó cada uno de ellos para sustentar sus armaciones? Ricardo empleó la mediana mientras que Jaime utilizó la media aritmética.

Día 1 2 3 4 5 6

Númerodellamadas 185 220 190 200 197 228

7

264

b) Suponiendo que el séptimo día no se hicieron 264 llamadas si no 310. ¿Cuál de las dos medidas no se ve alterada? No se ve alterada la mediana. c) Considerando que se tiene un octavo dato con 0 llamadas, ¿qué medida se ve afectada? Se ve afectada la media aritmética o el promedio. d) Marcos arma que las dos medidas deben ser menores a 180 llamadas mientras que Jimena asegura que las dos medidas deben ser mayores a 280 llamadas, ¿quién de las dos personas está en lo correcto? Argumenta tu respuesta. Ninguno esta en lo correcto porque la media y la mediana se localiza entre los valores extremos del conjunto de datos.

128

Ejercicios de reforzamiento 1. Identifica, sin utilizar tu calculadora, en cuál de las siguientes operaciones matemáticas está o no expresado el resultado correcto, para ello escribe sobre el paréntesis la letra C si la solución es correcta y NC si no es. Para los casos en los que la respuesta sea incorrecta, efectúa las operaciones.

a) 2+3 × 5 = 30 (NC )

g) 63 ÷ 2 × 5 ÷ 1 = 6.3 ( NC )

b) 45 ÷ 5-10 ÷ 2 = 4 ( C )

h) 80 + 90 ÷ 2 × 2 = 170 ( C )

c) 27 ÷ 9 × 3+2 = 11 ( C )

i) 1

#

8

(C )

4 2 29 6 + 5 = 60

d) 35 - 12 × 2 + 3 = 27 ( NC ) j) 4.7 + 2.5 × 2 = 9.7 ( C )

e) 8 - 3 ÷ 2 × 4 = 2 ( C ) f) 75 × 2-5 × 4 - 2 = - 450 (NC )

a) 2+3 × 5 =17 d) 35-12 × 2+3 =14 f) 75 × 2-5 × 4-2 =128 g) 63 ÷ 2 × 5 ÷ 1 =157.5

2. Resuelve las siguientes operaciones. 3

#

1

1

1

a) 7.8 ÷ 2 + 1 × 4 = 7.9

g) 4

b) 2.5 × 10-5 × 2 ÷ 2 = 20

7 12 h) 12 + 7

c) 25 × 1.3 + 2 - 4 ÷ 2 = 32.5

1 1 19 i) 2.7 ' 2 # 4 - 10 = 0.2375 o 80

d) (12 ÷ 5)+(3 × 2.5) = 9.9

j)

^

e) 36 +5 4

h +`=58 '

15 40

j

2 - 3 = 24 '

` j` 1 1 7 + 4

#

4 5

1 9

#

'

139 2 4 = 84

j

2 11 18 = 28

37

f) (21 × 1.5) × (2.3 ÷ 1.2)+(4 ÷ 1) = 64.375

k) (15+2) × (3.4 ÷ 2)-(4 × 0.3) = 27.7 l) (23.4 - 5) - (5.7 + 2) = 10.7

129

3. Halla el resultado de las siguientes operaciones algebraicas. a) (2tm)(2tm) = 4t2m2

h) (9kl + 2)(9kl - 2) = 81k2l2 - 4

b) (10abc)(2ab + 2) = 20a2b2c + 20abc

i) (3yx - 2e)(6xy + 4e) = 18x2y2 - 8e2

c) 3wr(2wr + 5r - 2w)= 6w2r2 + 15wr2 - 6w2r

j) (2x + 4)(2x - 2) = 4x2 + 4x - 8

d) 4fg(8f2g2 + f - 3g - 5fg) =

k) (5y + 5)(5y - 6) = 25y2 - 5y - 30

32f 3g 3 + 4f 2g - 12g2f - 20f 2g2 2 2 e) 2rn + 4rn = n + 2n 2rn

f) 5tgr 6 - 2tr 4 + 2r 2 r

g)

= 5tgr5 - 2tr3 + 2r

3 4 2 5 10k l +12 k l 10k 2 l 3 12 kl 4 = + h hkl h

4. Sin trazar alguna línea, escribe el número de diagonales y triángulos que se forman en los polígonos, a partir de trazar varios segmentos cuyo punto de partida es un mismo vértice llamado A hacia los demás puntos.

a)

A

Número de diagonales: _________________________ n - 3 12 - 3 = 9 &

Número de triángulos: _________________________ n - 2 12 - 2 = 10 &

130

b) Número de diagonales: _________________________ n-3 8-3 = 5 &

A

Número de triángulos: _________________________ n-2 8-2 = 6 &

c) Número de diagonales: _________________________ n - 3 16 - 3 = 13 &

Número de triángulos: _________________________ n - 2 16 - 2 = 14 &

A

Utiliza la expresión algebraica (n - 2)180° para determinar la suma de los ángulos interiores de los siguientes 5. polígonos.

a) Polígono de 17 lados

a) (17 - 2)180° = (15)(180°) = 2 700°

b) Polígono de 21 lados

b) (21 - 2)180° = (19)(180°) = 3 420°

c) Polígono de 27 lados

c) (27 - 2)180° = (25)(180°) = 4 500°

131

6. Determina los lados que tendrá un polígono si la suma de sus ángulos interiores es igual a una de las siguientes medidas.

a) 7 380°

^n - 2h180 = 7 380 380 ^n - 2h= 7180 c

c

c

c

n = 41 + 2 = 43

b) 10 980° = 10 980 10 980 ^n -^2nh180 - 2 h = 180 c

c

c

c

n = 61 + 2 = 63

c) 3 960°

^n - 2h180 = 3 960 ^n - 2h= 3960 180 c

c c c

n = 22 + 2 = 24

7. Arma un teselado con las siguientes figuras. a)

b)

La anterior figura es un ejemplo de cómo podría quedar el teselado.


132

c)


8. Un recipiente tiene las dimensiones de 12 × 12 × 12 cm, ¿cuál es la capacidad, expresada en litros, que tiene el objeto para almacenar agua?

12 cm

El volumen del cubo es igual a (12 cm)(12 cm)(12 cm)=1 728 cm3 La capacidad del cubo es de1.728 litros.

12 cm 12 cm

9. Una productora vendió20 quintales de café a una tienda de gran prestigio por el precio de $57 800.00, ¿cuántos gramos de café adquirió la tienda si se sabe que un quintal es aproximadamente igual 46 a kg? 20 quintales -

x

1q uintal - 460 00g x=

^20qui ntanalesh^46000 gramosh = 920 000 gramos 1 quintal

La tienda adquirió 920 000 gramos de café.

133

10. Si se sabe que la productora de café, del planteamiento anterior, vendió 8 quintales de café a una tienda y que 460 gramos es igual a una libra, ¿cuántas libras de café se vendieron? (8 )(46 000) = 368 000 gramos se vendieron en total. 368 000 gramos - x 460gr amos - 1l ibra x=

^368 000 gramosh^1 librah = 800 libras

Se vendieron 800 libras de café.

460 gramos

11. En la siguiente tabla se relacionan los miligramos de aceite con los gramos de polvo de canela necesarios para elaborar una mezcla.

Miligramos de aceite

Gramos de polvo de canela

50

7

25

3.5

10

1.4

8

1.12

4

0.56

a) ¿Cuál de las siguientes expresiones te permite conocer los gramos necesarios de canela que debe tener una mezcla respecto a los miligramos de aceite?

•

y = 0.14x

•

50

y= 7 x

•

y = 7x

b) Utiliza la expresión correcta y determina los valores que faltan en la siguiente tabla. Miligramos de aceite

Gramos de polvo de canela

2

0.28

10

1.4

12

1.68

20

2.8

30

4.2

40

5.6

134

•

y = 50x

12. Considera la información que hay en la tabla y responde las preguntas. Número de cajas

Paquetes de galletas

28

196

32

224

35

245

52

364

80

560

a) ¿Cuál de las siguientes expresiones te permite conocer los paquetes de galletas que tiene un determinado número de cajas? •

y = 196x

•

y = 28x

•

196

y = 28 x

•

y = 0.14x

b) Utiliza la expresión correcta y determina los valores que faltan en la siguiente tabla. Número de cajas 2

Paquetes de galletas 14 70

10 12

84

20

140

30

210

40

280

13. Una motocicleta hace un recorrido de20 kilómetros en 40 minutos, si se asigna la literal y para indicar el número de kilómetros recorridos y la literal x para indicar el tiempo tardado.

a) ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el número de kilómetros recorridos por la motocicleta en un determinado tiempo? y = 0.5x

b) Utiliza la expresión que encontraste para completar la siguiente tabla. Tiempo 15

Kilómetros recorridos 7.5

30

15

45

22.5

60

30

75

37.5

100

50

135

14. En la siguiente tabla se encuentran capturados datos que refieren al número de personas que entraron a la casa del terror en diferentes horarios. Utiliza los datos y representa la información en una gráfica de polígono.

Horario

Númerodepersonas

4:00 pm – 5:00 pm

125

5:30 pm – 6:30 pm

95

7:00 pm – 8:00 pm

140

8:30 pm – 9:30 pm

121

Número de personas que entraron a la casa del terror 160 140 s a120 n o s r100 e p e 80 d ro 60 e m ú N 40

20 0 4:00 pm-5:00 pm 5:30 pm-6:30 pm 7:00 pm-8:00 pm 8:30 pm-9:30 pm Horarios

15. Con base en la información que compila el siguiente histograma completa la tabla. 14 12 10 8 6 4 2 0

136

1

1–10

Frecuencia absoluta 10

1

10

5.5

2

11–20

5

11

20

15.5

3

21–30

4

21

30

25.5

4

31–40

12

31

40

35.5

5

41–50

8

41

50

45.5

Clase

Intervalo de clase

Límite inferior

Límite superior

Marca de clase

16. Calcula para los siguientes valores la media aritmética y suma las desviaciones de cada término respecto a la media: 5, 6, 12, 13, 10, 10, 9, 12, 9, 12. x = 5+6+12+13+10+10+9+12+9+12 = 98 = 9.8

10

10

Desviaciones de cada término respecto a su media aritmética (9.8 - 5) = 4.8 (9.8 - 6) = 3.8 (9.8 - 12) = -2.2 (9.8 - 13) = -3.2 (9.8 - 10) = -0.2 (9.8 - 10) = -0.2 (9.8 - 9) = 0.8 (9.8 - 12) = -2.2 (9.8 - 9) = 0.8 (9.8 - 12) = -2.2

Sumatoria de las desviaciones 4.8 3.8 -2.2 -3.2 -0.2 -0.2 + 0.8 -2.2 0.8 -2.2 0

17. Calcula la mediana para los siguientes valores: 1.14; 1.16; 1.19; 1.14; 1.12; 1.16; 1.19; 1.16 Ordenando los datos nos queda:1.12, 1.14, 1.14, 1.16, 1.16, 1.16, 1.19, 1.19

Mediana =

1.16 + 1.16 2.32 = 2 = 1.16 2

a) Si resultará que también quiere ser evaluado el valor 1.25 junto con los demás valores, ¿la mediana se verá afectada? Explica tu respuesta. No, ya que la mediana no se ve afectada por valores muy grandes o pequeños.

b) ¿Entre qué valores extremos se encuentra la mediana de los valores, incluido el valor de 1.25? Entre 1.12 y 1.25

137



1. Resultado de la operación matemática 10 + 4 × 2 − 1 =:

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la altura del rectángulo?

a) 27 b) 14 c) d) 179

?

10 rs t - 10 r 4s t

2. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra el resultado correcto de la operación matemática 2 6 4 +7+ 2 5+# = (3) @

"^ h ^ h

,

5rst a) 2 - 2r b) 2r2s2 t2 c) 2rst + 2rst d) 2 - 2rst 3

a) 30 b) 74 c) 182 d) 4624

5. La suma de los ángulos de un polígono regular de 32 lados es: 3. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la siguiente gura? a) 2340° b) 2880° c) 3600° d) 5400° 5mn2

6. La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 2700°, ¿cuántos lados tiene el polígono?

12mn + 1 a) 60mn3 + 5mn2 b) 30m n + 52m n c) 60m2n3 +1 d) 17m2n3 + 1 2

3

2

a) 14 lados b) 16 lados c) 13 lados d) 17 lados 7. ¿Con cuál de las siguientes guras que se describen no se puede hacer un teselado? a) Un triángulo b) Un octágono c) Un hexágono d) Un cuadrado

138

8. Teniendo en cuenta que 1 cm3 de una barra de oro es de 12.6 gramos, ¿cuántos gramos de oro puro tiene una barra que tiene dimensiones 5 × 1 × 2 cm y que tiene 10 quilates? a) 128 gramos b) 58 gramos c) 52.5 gramos d) 126 gramos 9. Una cisterna tiene un volumen de 20 000 decímetros cúbicos, ¿qué porcentaje de agua tendrá la cisterna si se encuentran en ella contenidos 800 litros de agua? a) 4% b) 18% c) 12% d) 6% 10. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad y la expresión algebraica que representa a los datos contenidos de la siguiente tabla? 12345678

Horas (h) Kilómetros (k)

80

160

240

320

400

480

560

640

a) El factor de proporcionalidad es 8 y la expresión algebraica esy = 8x k = 80h b) El factor de proporcionalidad es 80 y la expresión algebraica es c) El factor de proporcionalidad es 1 y la expresión algebraica esh = 1k h = 80k d) El factor de proporcionalidad es 80 y la expresión algebraica es 11. En la siguiente gráca se muestra el número de kilowatt por hora que se consumieron de manera bimestral durante dos años en un tienda de abarrotes. ¿En qué bimestre se consumió menos luz? Consumo de energía que se utilizó en el período indicado

y a r o h r o p tt a w o il K

s o d i m u s n o c

300 250 200 150 100 50 0

x

Bimestres

3 1 0 2 B E F E N E

3 1 0 2 R B A R A M

3 1 0 2 N U J Y A M

3 1 0 2 O G A L U J

3 1 0 2 T C O T P E S

3 1 0 2 IC D V O N

4 1 0 2 B E F E N E

4 1 0 2 R B A R A M

4 1 0 2 N U J Y A M

4 1 0 2 O G A L U J

a) Marzo - Abril 2013 b) Septiembre - Octubre 2013 c) Noviembre - Diciembre 2014 d) Noviembre - Diciembre 2013 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones no describe alguna propiedad de la media aritmética? a) No necesariamente es igual a alguno de los valores que se consideraron b) Se encuentra entre los valores extremos c) No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños d) La suma de las desviaciones de cada valor es igual a cero

139

4 1 0 2 T C O T P E S

4 1 0 2 IC D V O N



Aprendizajes esperados: • Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. • Resuelve problemas que el uso de ecuaciones de laimpliquen forma: ax + b = cx + d, donde los coecientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

Matemático que abaci escri-, bió el libro Liber en el describe como solución de un problema la llamada sucesión de Fibonacci, por la que actualmente es recordado: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

• Identica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y grácas. • Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propieLeonardo de Pisa dades de la media y la mediana. Eje Contenido 1 Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma,espacioymedida Manejo de la información

3

2

Tema Patrones y ecuaciones Medida

4 5 6 Evaluación

140

Proporcionalidad y funciones Análisis y representación de datos

Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 1

1.1 Analizando sucesiones ◊

Completa las siguientes sucesiones colocando los términos faltantes en los espacios correspondientes y contesta las preguntas.

a) 12, 25, 38, 51,

64

b) 7, 15, 23, 31,

39 ,

c) −8, −9, −10, −11, d) −10, −16, −22, −28, •

,

77 47

−12 ,

, ,

−13

−34 ,

90 , 55

103 ,

,

63 ,

, −14

, −15

−40 , −46

116 , ... 71

, ...

, −16

, −52

, −58

, ... , ...

¿Cuál es el décimo término T ( 10) de la primera sucesión? El décimo término de las primera sucesión es 129.

•

¿Cuál es el término 16 (T16) de la segunda sucesión? El décimo sexto término de la segunda sucesión es 127.

•

¿Cuál es el término 25 (T25) de la tercera sucesión? El vigésimo quinto término de la tercera sucesión es −32 .

•

¿Cuál es el término 30 (T30) de la cuarta sucesión? El trigésimo término de la cuarta sucesión es −184.

En las sucesiones de números enteros, el primer término puede ser un número positivo o negativo. Por ejemplo, para la sucesión 12, 6, 0, - 6, - 12 se observa que el primer término es positivo y la diferencia que hay entre dos términos consecutivos es de− 6. El enésimo término (Tn) de esa sucesión queda modelado por la expresión algebraica - 6n + 18, que para calcular, digamosT35, se procede de las siguiente manera: - 6 (35) + 18 - 210 + 18 - 192

Por lo que el término 35 asume el valor de- 192. Para la sucesión - 6, - 4, - 2, 0, 2,... El primer término puede ser negativo y la diferencia que hay entre dos términos consecutivos es de 2. El enésimo término de la sucesión queda modelado con la expresión algebraican 2− 8, que para calcular, digamos T12 se procede de la siguiente manera: 2 (12) - 8 24 - 8 16 Por lo que el término 12 asume el valor de 16.

141

1.2 Sucesión de números enteros ◊ a)

Escribe para cada uno de los casos la regla general expresada en lenguaje común y la regla algebraica que dene a cada sucesión.

Término de la sucesión Posición que ocupa el término

• •

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

12

15

18

- 17

- 19

- 21

-8

- 10

- 12

123456789

Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es 2 y se resta 6. Regla algebraica: 2n - 6

b)


-6

-3

0

3

6

9

123456789

•

Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es 3 y se resta 9.

•

Regla algebraica: 3n - 9

c)


• •

-5

-7

-9

- 11

- 13

- 15

123456789

Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es - 2 y se resta 3. Regla algebraica: - 2n - 3

d)


• •

4

2

0

-2

-4

-6

123456789

Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es -2 y se suma 6. Regla algebraica:

- 2n + 6

142

1.3 Construcción de una sucesión ◊

En cada uno de los incisos se proporciona la regla algebraica que rige a cada sucesión.Utilízala y completa los espacios vacíos.

a) Regla general: - 3n + 2


-7

- 10

- 13

- 16

- 19

- 22

- 25

-8 123456789

- 11

- 14

- 17

- 20

- 23

- 26

- 29

3

-1

-3

-5

-7

-9

- 11

- 13

- 11

- 13

- 15

- 17

- 19

- 21

- 23

-1

-4

123456789

b) Regla general: - 3n - 2


-5

c) Regla general: - 2n + 5


1

123456789

d) Regla general: - 2n - 5


◊

-7

-9

123456789

Contestas las preguntas relacionadas con la expresión algebraica que se te da en cada inciso.

a) − 4n + 2 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 12? − 46 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 66? La posición 17. • Si T18 = 70, ¿pertenece a la sucesión? No b) − n − 5 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 14? − 19 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 20? La posición 15. • Si T23 = − 28, ¿pertenece a la sucesión? Sí c) − 2n − 1 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 18? − 37 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 21? La posición 10. • Si T25 = − 51, ¿pertenece a la sucesión? Sí d) − 6n + 5 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 21? − 121 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 97? La posición 17. • Si T16 = 91, ¿pertenece a la sucesión? No

143

1.4 Profundiza ◊

Llena los espacios vacíos de la tabla con la información correspondiente. Para el caso en el que se tengan que escribir los términos de la sucesión, sólo anota los primeros cinco términos.

Sucesiones numéricas

Reglaalgebraica

1 1 7 , 0, - , - 1, - ,... 2 2 2

- 12 n + 1

− 8, − 12, − 16, − 20, − 24,…

− 4n − 4

− 1, − 3, − 5, − 7, − 9,…

− 2n + 1

− 10, − 17, − 24, − 31, − 38,…

− 7n − 3

4, − 4, − 12, − 20, − 28,…

− 8n + 12

− 13, − 25, − 37, − 49, − 61,…

− 12n − 1


2.1 Ecuaciones de la forma ax + b = cx + d Resolver la ecuación 7x + 2 = 3x+ 4 7x +2 2- 3 = 4 x2+

Vericandosetiene:

-

7

7x = 3x + 2 7x3 -

`j

◊

+2 = 3

`j 2 4

+4

14 6 +2 = +4 4 4

x3=3 2 x - x +

14 + 8 6 + 16 = 4 4

4x = 2 4x 2 = 4 4

x

2 4

22 22 = 4 4

2 = 4

Determina el valor de la incógnita para cada uno de los casos y verica si se cumple la igualdad.

a) 5x + 2 = 2x − 2 Verificando se tiene: 5x + 2+ 2=

x22+ 2

5

5x + 4 = 2x 5x 5 - 4x +

= 5 2x

-

4 = 3

-

4 3

- 20 3

- x

+2 = 2 +2 =

- 20 + 6

4 = - 3x 4 -3 =

` j 3

- 3x -3

=

- 14 3

x

144

` j 4

-3 -2

-8 3

-2

-8 - 6 3

- 14 =

3

Verificando se tiene:

b) - 0.7r + 2 = - 4.2r - 1.5 - 0.7r

+4.2 + r= 2

+ -4.2

3.5r +2 3.5r +2 2 -

−0.7 (−1) + 2 = −4.2 (−1) − 1.5 0.7 + 2 = 4.2 − 1.5 2.7 = 2.7

r 4.2 r1.5 -

=1.5 = 1.5 - 2-

3.5r = -3.5 3.5r = 3.5

- 3.5 3.5

r =-1

c) 6m + 3 = 3m + 12 6m 3

m3+3

=3

3m +3

12 =

Verificando se tiene: 6 (3) + 3 = 3 (3) + 12 18 + 3 = 9 + 12 21 = 21

m 12 - m+

3m +3 3 -1 = 2 3

-

3m = 9 3m 9 = 3 3

m=3

d)

3 2

b+1 =

1 2

3 2

b+1 =

b-

1 2 2 2

b


b+2 1 2

b-

1 2

^h

3 1 +1 = +2 2 2

b+1 = 2

+ 11 -2 1=

-

3+2 = 1+4 2 2

b=1

◊

^h

3 1 1 +1 = 1 +2 2 2

b+2

5 5 = 2 2

Plantea una expresión algebraica para cada caso y determina su solución.

a) Un número multiplicado 3 veces más 4 es igual a 2 veces ese mismo número más 2. ¿Cuál es ese número? La ecuación que representa al problema es 3k + 4 = 2k + 2. Al resolverla, nos queda: 3k +4 2- 2 = 2 k2+ 3k +4 2- 2 = k 3k + 2 = 2k El número es - 2. 3k 3 2k +2 =3 k - k 2 = - 1k - 1k 2 -1 = -1 -2 = k

145

b) El costo de un reloj digital es de 4 veces el precio de un paquete de jugo más 6 pesos y esto es igual a 3 veces el costo de ese paquete de jugo más 121 pesos. ¿Cuál es el costo del reloj? La ecuación que representa al problema es 4d + 6 = 3d + 121 Al resolverla nos queda: 4d +6

d121 + 121 d 4d -4 d 115 3 = 4d - d - 115 = -1 d - 115 - 1d 4d

-121

= 3

-115

=3

-1

=

115 =

-1

El costo del reloj es igual a$466.00

d

c) Las siguientes guras representan el mismo perímetro, ¿cuál es el perímetro de cada una? x

2 x

x

2 8

x

x + x + x + 2 + 2 =x + x + 8 + 8 3x + 4 = 2x + 16 3x − 2x + 4 = 2x − 2x + 16

El valor de x es igual a 12.

x + 4 = 16 x + 4 − 4 = 16 − 4 x = 12

El perímetro que representa a ambas figuras es de 40 unidades: 12 + 12 + 12 + 2 + 2 = 12 + 12 + 8 + 8 40 = 40

d) El contenido en mililitros de agua de un recipiente ( R1) es igual a 3 veces lo que contiene otro recipiente R( 2) más 200 mililitros y éste es igual a 2 vecesR2 más 1000 mililitros. ¿Cuál es el contenido del recipiente R1? 3R2 + 200 = 2R2 + 1000 3R2 − 2R2 + 200 = 2 R2 − 2R2 + 1000 R2 + 200 = 1000 R2 + 200 − 200 = 1000 − 200 R2 = 800

El contenido del recipiente R1 es igual a 2600 mililitros:

146

3 (800) + 200 = 2 (800) + 1000 2400 + 200 = 1600 + 1000 2600 = 2600

2.2 Uso de paréntesis en ecuaciones de la forma ax + b = cx + d ◊

Determina el valor de la incógnita para cada uno de los casos y verica si se cumple la igualdad.

a) 40s = 5(s + 7) 40s =5 40ssss -5

s +35


5 - 35+

5 =

40 (1) = 5 (1 + 7) 40 = 5 + 8 40 = 40

35s = 35 35s 35 = 35 35

s=1

b) 2(−c + 3) = −4(−c − 12) - 2c +6


=4c + 48

- 2c -4 c6+ 4 = 4 c 48 c + - 6c +6

2 (− (−7) + 3) = −4 (−(−7) − 12) 2 (10) = −4 (−5) 20 = 20

4= 8

- 6c +6 6-4

-

= 86

- 6c = 42 - 6c 42 = -6 -6 c = -7

c) 4(z − 5) = −8(z + 6) 4z 4z +8

-20

z 20 - =

z48-

=8-


8+--8z4 8 z

7 12z 12z

-20

-20

=48

2 +0

= 48 - 2 +0

4

12z = 12

z=

d)

6 4

^y h

+ 2 =-

- 28 12

3 2

=

3

- 88

- 28

3

12

-

-3 -5 - 22 4

12z = -28

7

` ` jj `` j j

14 = 6

^y h

-

=-8

-3

+6

11 =-8 3 =

- 88 3

7 3

+ 10

6 4 6 4

y+

12 3 =4 2

y + +32 y = 3y3+ 3y3+3

-

3

+ y 2

3

30 2

y3 2

y - 15

= 15 15 = -3

^- h ^- h

6 + 2 =-

6 4

-

4 =-

- 24

3y = - 18 3y = 3

Verificando se tiene: 6 4

4

- 18

- 24

3

2

y =-6

= =

3 2

- 12 2

- 12 2

- 6 =-6

147

^^h

3 4 2

6 + 10

h

2.3 Profundiza ◊

B conserva una El automóvil A mantiene una velocidad constante de 120 kilómetros por hora. Mientras que el velocidad constante de 80 kilómetros por hora. Si el primero pretende alcanzar al segundo que lleva cuatro horas de ventaja, ¿en qué tiempo ambos autos A( y B) llevarán la misma distancia recorrida?

120t = 80 (t + 4) En la expresión t representa al tiempo.

Al resolver la ecuación se tiene lo siguiente: 120t = 80 t +320 120tttt -80 =80 80 320 + 40t = 320 40t 320 40

=

Ambos autos llevarán recorrida la misma distancia en 8 y 12 horas respectivamente.

40

t=8

◊

Tres cuartas partes de un número más la unidad es igual al número 7 multiplicado por la diferencia entre ese número y 2, lo anterior divido entre 6. ¿Cuál es ese número?

3 4

x-

-

7

^x - h 2

3 4

x+1 =

3 4

14 x + 1 = 7x 6

3 4

x+1 =

7 6

5 12

x+1 =

5 14 - 12 x + 1 - 1 =- 6 - 1

6

7 6 7 6

xx-

-

x-

-

14 6

5 12

El número buscado es 8.

x = - 10 3

5 - 12 x

14 6 7 6

5 12

=

- 10 3 5 - 12

x=8

x + 1 = - 14 6


3.1 Ángulos inscritos y centrales Un ángulo inscrito en un círculo se forma por 2 de suscuerdas (que son los lados del ángulo) que concurren en un punto llamado vértice y que se localiza en la circunferencia. Por otro lado, en un círculoun ángulo central está conformado por elcentro del círculo (que es el vértice del ángulo) y 2 radios de la circunferencia; que son los que unen el centro del círculo con un punto de la circunferencia.

A

A

C B B

C Ángulo inscrito

Ángulo central

148

◊

En cada caso, escribe si seencuentra trazadaen el círculo unacuerda, un radio, un ángulo central o un ángulo inscrito. Posteriormente contesta las preguntas.

a)

b)

Ángulo central

c)

Radio

e)

Cuerda

f)

Ángulo inscrito

d)

Ángulo inscrito

g)

Ángulo central

h)

Ángulo central

Ángulo inscrito

• ¿En qué guras se puede observar el trazado de la cuerda mayor denominada diámetro? En los incisos c, e y g. • ¿En cuál de las guras uno de los lados del ángulo es el diámetro? La gura del inciso e. • ¿Qué tipo de ángulos aparecen trazados en el penúltimo inciso y qué clase de cuerdas fueron utilizadas? Ángulo centrales construidos con 2 diámetros. • ¿Cuál sería la magnitud de un ángulo para que 2 de sus lados (diámetros) no generen ángulos opuestos por el vértice como el del penúltimo inciso? La medida del ángulo sería de 0° y los diámetros estarían sobrepuestos.

3.2 Relación entre los ángulos inscritos y centrales La relación que hay entre un ángulo inscrito y un ángulo central que comparten el mismo arco es que la medida del ángulo inscrito representa la mitad del ángulo central. BCOD = 49° C2 C1 BCBD = 24.5° C3 C BC 1 OD = 73° BC 1 BD =

B

D

36.5°

BC 2 OD = 97°

O

BC 2 BD =

48.5°

BC 3 OD =

124° 62°

BC 3 BD =

149

◊

Utiliza tu transportador para medir los ángulos y anota la medida en el lugar que corresponde. C

a)

b)

O

A

c)

E

C

B

O

= 70° BBAC = 35° BBOC

BEOD

D

BECD

= 51° = 25.5°

d)

C

E

O

O

= 82.5° BCBD = 41.5° BCOD

D

BEOF

D

B

BEDF

= 51° = 25.5°

F

3.3 Profundiza ◊

Valora cada uno de los siguientes planteamientos para solucionarlos.

FGH y GHF? a) La medida del ángulo interiorGFH de un triángulo es igual a 52°, ¿cuáles son las medidas del ángulo G

La medida del ángulo FGH es igual a 90° porque es un ángulo inscrito que comparte el mismo arco con el ángulo central FCH que es igual a 180°. Luego la suma de los ángulos del triángulo FGH es igual a 180° por lo que el ángulo GHF es 38°.

F C

H

b) Determina la medida del ánguloNPM si se tiene conocimiento de que elC es el centro del círculo pero a la vez es uno de los vértices del polígono regular. El ángulo interior de octágono regular es igual a 135°, por lo siguiente:

N

C

P

^n - h

2 180 c 8

&

^

h

8 -2 180 8

c &

(6)180 c 1080 c = = 135c 8 8

Por lo que el ángulo centralNCM mide 135° y el ángulo inscrito NPM mide 67.5° M

150

c) Halla el valor del ángulo RCS valorando que el ánguloRKS mide lo que representa el valor de la incógnita de la expresión 18x - 522 = 9x - 261. Resolviendo la ecuación se tiene: S

18x

+ 5 22

= 9

18x = 9

C

K

-522 18x

-9 x 9 =

x261 5 + 22 x +261 x 9- 261 x+

Por lo que el ángulo inscrito RKS es igual a 29° y el ángulo central es igual a 58° ya que ambos comparten el mismo arco.

9x = 261 9x 261 = 9 9

R

x = 29


4.1 Proporcionalidad ◊

Resuelve cada una de las situaciones que se presentan a continuación.

a) Germán paga dada bimestre $78.00 por el consumo de agua mientras que Javier por el mismo período paga $65.00. ¿Cuál es la cantidad que habrán pagado los primeros tres bimestres las dos personas? Llena los espacios vacíos de las siguientes tablas.

Germán

Javier

Bimestre (x) Costo (y)

Bimestre (x) Costo (y)

012345678 0

78

156

234

312

390

468

546

624

130

195

260

325

390

455

520

012345678 0

65

La cantidad que habrá pagado Germán es de $234.00 y la cantidad que habrá pagado Javier es de $195.00 •

¿Cuál es el factor de proporcionalidad k() de cada situación? Para el primer caso que alude a Germán el factor de proporcionalidad es 78. Para el segundo es 65.

•

¿Cuál es la expresión algebraica que representa a cada uno de los casos revisados? Para el primer caso la expresión esy = 78x, y para el segundo y = 65x.

151

•

Construye la gráca de variación proporcional para cada uno de los casos expuestos. y

y

624

520

546

455

468

390

390

325

312

260

234

195

156

130

78 0

65 0

x 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x 0

1

2

3

Germán

•

4

5

6

7

8

Javier

¿Qué tipo de grácas se trazaron en el plano cartesiano? Son rectas.

En ambos casos que se tratan se mantiene una relación entre el precio que se paga y el tiempo que pasa, esto y sucede entre cualquiera de los valores inmiscuidosx = k . Ese vínculo entre los valores se expresa grácamente utilizando pares de coordenadas ( x,y). Por ejemplo, los pares de coordenadas que representa a las primeras tres relaciones de la primera tabla serían: primer par de coordenadas (1, 78); segundo par (2, 156) y el tercero (3, 234). Los pares de coordenadas los forman los valores dex o sea los valores de la abscisa y los valores de y; es decir, los de la ordenada. ◊ •

Elisa tenía $100.00 en su alcancía. A partir del primero de enero ha ido depositando cada día la cantidad de $8.00. Por otra parte, Uriel no disponía de nada en su alcancía, pero también empezó a depositar la misma cantidad desde la fecha en que lo hizo Elisa. ¿Cuál de las dos situaciones que se describen en el planteamiento se reeren a una situación de proporciona lidad? Explica tu respuesta. La segunda situación, porque el incremento es constante y no se tiene que sumar o restar alguna cantidad.

•

La expresión que permite conocer la cantidad que lleva ahorrada Elisa es y = 8x + 100 y para el caso de Uriel es y = 8x. Utiliza las expresiones para llenar los espacios vacíos de las tabla.

Elisa

Expresión algebraica y = 8 x + 100

Semana (x)

Uriel

Expresión algebraica y = 8x

Semana (x)

Costo (y)

Costo (y)

0123456 100

108

116

124

132

140

148

16

24

32

40

48

0123456 0

8

152

•

y

¿Cuál es la cantidad que tiene ahorrado cada una de las personas cuando ambas no han aportado alguna cantidad a la alcancía?

152 144

Elisa tiene $100.00 y Uriel $0.00

136 128 120

• Construye en un mismo plano la gráca para cada uno de los casos expuestos.

112 104 96

• ¿Qué tipos de grácas se trazaron en el plano carte siano?

88 80

Dos rectas.

72

• ¿Qué características tienen las grácas que represen tan una situación de proporcionalidad?

64 56

Las rectas pasan por el srcen (intersección entre el eje de abscisas y las ordenadas).

48 40

• ¿Cómo son las rectas entre sí?

32

Son rectas paralelas.

24 16

• ¿Qué par de coordenadas se forma cuando x es igual a 12 para la segunda situación?

8

◊

0

1

2

4

5

6

Tabla 1

Tabla 2

Tiempo y distancia recorrida por una avestruz

Días que tardan en consumir una misma cantidad de alimento las avestruces

Tiempo (x)

0123456 0

60

120 180 240 300 360

Avestruces (x)

1

2

4

5

8

10

16

Días (y)

16

8

4

3.2

2

1.6

1

¿Qué distancia recorrerá una avestruz en 7 horas suponiendo que esta ave no se detiene? Recorrerá 420 kilómetros.

•

3

Con base en la información que aparece recabada responde las preguntas.

Distancia (y) •

x

0

Las coordenadas son (12, 96).

¿Cuál de las dos situaciones que se describen en el planteamiento se ree re a una situación de proporcionalidad? Explica tu respuesta. La primera situación, porque el incremento es constante. Y en la segunda la situación es de proporcionalidad inversa; mientras un valor aumenta el otro disminuye.

153

•

Construye en el plano correspondiente la gráca para cada caso. y

y

360

16 14

300

12 240

10

180

8 6

120

4 60 0

2 0

x 0

1

2

3

4

5

x 0

6

1

2

Tabla 1

3

4

5

6

7

8

9

10

Tabla 2

4.2 Profundiza ◊

Completa los espacios vacíosde las siguientes tablas con base en la información queproporcionan las grácas. y

y

30

24 21

25

18 20

15

15

12 9

10

6 5

3

x

0 0

1

2

3

4

5

0

6

x 0

1

Gráca 1

2

3 Gráca 2

Gráfica 1 Valores de x

0

1

2

3

4

5

6

Valores de y

0

5

10

15

20

253

0

Gráfica 2 Valores de x

0123

4

5

6

Valores de y

0369

12

15

18

154

4

5

6


5.1 Modelos matemáticos ◊

La compañía de teléfonos celulares MCR ofrece los siguientes planes de renta. •

•

•

Plan básico: $169.00 mensuales. El tiempo adicional (minuto) para llamar a cualquier teléfono de todas las compañías es de $3.25 Plan plus: $199.00 mensuales. El tiempo adicional (minuto) para llamar a cualquier teléfono de todas las com pañías es de $2.35 Plan horizonte: $250.00 mensuales. El tiempo adicional (minuto) para llamar a cualquier teléfono de todas las compañías es de $1.25

Si tres personas decidieran adquirir respectivamente el plan básico, plus y horizonte, y consumir tiempo adicional, las expresiones que modelarían a las situaciones sería: Plan básico: y = 3.25x + 169 Plan plus: y = 2.35x + 199 Plan horizonte: y = 1.25x + 250 •

Con base en la información proporcionada, llena los espacios vacíos de la siguiente tabla.

Plan básico y = 3.25 x + 169 0123456 169 172.25

Valores de x (min) Valores de y ($)

175.50

178.75

182.00

185.25

188.50

208.40

210.75

213.10

255

256.25

257.50

Plan plus y = 2.35 x + 199 0123456 199 201.35

Valores de x (min) Valores de y ($)

Plan horizonte 0123456

Valores de x (min) Valores de y ($) • y

203.70

250

251.25

206.05

y = 1.25 x + 250

252.50

253.75

Emplea los valores para construir las grácas que representan a cada situación. y

250

250

200

200

150

150

100

100

50

50

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

0 0

Plan básico y = 3.25x + 169

1

2

3

4

5

6

Plan plus y = 2.35x + 199

155

7

8 x

y

• ¿Qué clase de grácas son las que construiste?

250

Son de variación lineal. 200

• ¿Qué valor asume y cuando x pasa de 34 a 35 al emplear la expresión y = 3.25x + 169?

150

El valor que asume y es igual 282.75

100

• ¿Por qué cuando x es igual a cero para todas las expresiones y no es igual a cero?

50 0

x 0

1

2

3

4

5

6

7

No es igual a cero porque las expresiones que representan a las grácas no corresponden a una

8

situación de proporcionalidad.

Plan horizonte y = 1.25x + 250

◊

En la siguiente tabla se registraron los litros que contiene una cisterna al ser llenada por una llave que surte determinada cantidad de agua por minuto. 012345678

Minutos (x)

200

Litros (y)

209.5

219

228.5

238

247.5

257

266.5

276

• ¿Cuántos litros de agua caen de la llave por minuto una vez abierta? Caen 9.5 litros por minuto. • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación que se reseñó? La expresión algebraica esy = 9.5x + 200 • Utiliza la expresión algebraica y los datos de la tabla para construir una gráca de variación lineal. • ¿En qué minuto se llenaría la cisterna si ésta tiene una capacidad para almacenar 1150 litros de agua? Efectúa las operaciones pertinentes.

y 280 260

En el minuto 100 la cisterna estaría llena: 1150 = 9.5 x +200 1150 - 200 =9.5 x +200 200 950 = 9.5 x 950 9.5x

240 220 200 180 160

9.5

=

100 =

140 120

9.5

x

• Suponiendo que las cisterna estaba vacía y que la llave seguía surtiendo la misma cantidad de líquido, ¿cuál es la expresión algebraica que representaría a la situación?

100 80 60

y = 9.5x

40 20

x

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

• Representa en el mismo plano la gráca que repre senta a la situación anterior.

156

5.2 Profundiza ◊

Se ha colocado un suero de 500 ml a una persona. Cuando ella pone en funcionamiento el gotero deja salir 2.1 ml de ese líquido por minuto.

•

¿Cuántos mililitros de suero tendrá el recipiente que conserva el suero en el minuto 5? Tendrá 489.5 mililitros.

•

¿Cuántos mililitros desuero habrá en el recipiente que contiene al suero en el minuto 10? Habrá 479 mililitros de suero.

•

Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la información del planteamiento. 0123456

Minutos (x) Mililitros ( y) •

500

497.9

495.8

493.7

491.6

489.5

487.4

¿Qué expresión algebraica modela a la situación descrita anteriormente? y = - 2.1 x + 500

•

Construye la gráca que representa a los datos revisados. y 500 400 300 200 100

x

0 0

1

2

3

4

5

6

7

157

8

9

10

11

12

13


6.1 Ponderación en las calicaciones En muchas o pocas de las asignaturas, cursos de idiomas o taller que cursas, observas que muchos de tus profesores asignan una ponderación diferente a cada criterio que desean evaluar. Por ejemplo, al examen le dan un valor de 20%, las tareas un 10%, la participación un 40% y la entrega de trabajo nal un 15%. Supón que Diana obtuvo 8 en el examen, 9 en las tareas, 7 en participación y 10 en el trabajo nal. Si su profesor deseará obtener únicamente el promedio de las calicaciones, tendría:8 +9

+ 7 10 + 4

=

34 = 8.5 . 4

Pero si considerara obtener la

media ponderada; es decir, el desempeño académico de Diana según el porcentaje asignado a cada criterio, sería: 0.35 (8) + 0.10(9 ) +0.40(7 ) +0.15(1 8 20) = 0.35 + 0.10 +0.40 +0.1 5

◊

. + 0.90+ 82.8 +1.5 1

. = 1 = 8 .0


a) Enrique es un profesor que imparte el nivel 2 de inglés y quién ha decidido evaluar el desempeño de sus alumnos teniendo en cuenta los siguientes criterios: 40% participación, 25% tareas y 35% examen. Si Sandro, uno de sus alumnos, obtuvo 10 en tareas, 7 en participación y 8 en su examen. ¿Sandro pasa al siguiente nivel? Téngase en cuenta que para pasar al siguiente nivel se debe tener como mínimo un 8. 0.25(1 0) + 0.35(8 ) + 0.40(7 ) 2.5 + 2.8 +2.8 8.1 = = = 8.1 0.25 + 0.35 + 0.40 1 1

Sandro sí pasa al siguiente nivel.

b) Hugo obtuvo las siguientes calicaciones para cada uno de los criterios que el profesor propuso evaluar desde inicio de su curso de francés: 8 en participación, 10 en tareas, 8 en examen y 6 en el proyecto nal. Si para la participación se asignó un peso de 60%, un 5% para tareas, 15% para examen y 20% para el proyecto nal. ¿Cuál es el valor del desempeño académico de Hugo? 0.60( 8) + 0.05( 10) + 0.15( 8) +0.20( 6) 4.8 + 0.5 +1.2 +1.2 7.7 = = 1 = 7.7 0.60 + 0.05 + 0.15 +0.20 1

La media ponderada de los datos es 7.7

158

c) Olivia por el momento lleva 8.5 de promedio en la asignatura de Matemáticas con todas las evaluaciones que se le han hecho. Si sus calicaciones del primero al séptimo bimestre sin contar al octavo fueron respectivamente 8, 10, 10, 8, 9, 8 y 7. • ¿Cuál fue la calicación que obtuvo en el octavo bimestre? La calicación que obtuvo fue de 8: 8 +10 + 10+ 8+ 9 + +8 +7 x = 8.5 8 60 + x = 8.5 8 60 + x (8) = (8.5)(8 ) 8 60 + x =68

` j

60 -60 + x =68 60 x=8

d) Supón que las calicaciones que son iguales a 7 o están por debajo de esta cifra representan una ponderación del 5% y las que se encuentran por arriba de 7 o son menores o iguales a 10 tienen una ponderación del 10%. ¿Cuál será la media ponderada? 0.10( 8) + 0.10(+10) 0.10( + 10) + 0.10( + 8)+ 0.10( + 9) 0.10( 8) 0.05( 7) 0.10 + 0.10 + + + +0.10 + + 0.10 0.10 0.10 0.05 0.10 0.8 + 1+ +1 +0.8 + 0.9+ 0.8+ 0.35 0.8 0.10 + 0.10 + + + +0.10 + + 0.10 0.10 0.10 0.05

0.10

=

0.10( 8)

=

6.45 = 8.6 0.75

La media ponderada es 8.6

6.2 Ponderación en otros contextos ◊

Resuelve cada uno de los siguientes planteamientos.

a) Una tienda en Nuevo León que vende zapatos al mayoreo ha distribuido calzado del mismo tipo a varias sucursales del Distrito Federal como se observa en la siguiente tabla. Imagina que los zapatos en las diferentes delegaciones se venderán en el siguiente precio por calzado: $240.00, $275.00, $260.00, $250.00, $230.00 respectivamente. ¿Cuál es la venta promedio en las diferentes delegaciones? Considera que cada delegación no recibió cantidades iguales de zapatos.

Delegaciones

Número de zapatos recibidos

Coyoacán

250

Cuauhtémoc

165

GustavoA.Madero

480

MiguelHidalgo

242

VenustianoCarranza

195

250(24 0) + + 165(27 + + 5) 480(26 0) 242(25 0) 250 + 165 + + + 480 242 195 335525 1332

.

251.89

La venta aproximada es de $251.89

159

195(23 0)

=

b) En la siguiente tabla se observa el número de tomos del mismo autor que ha enviado una distribuidora de libros a varias librerías en los diferentes municipios del estado de Hidalgo. Si se considera vender cada libro a un precio de $135.00, $112.00, $110.00, $150.00, $130.00 respectivamente, ¿cuál será la venta promedio que se percibirá por cada libro que se venda?

Municipio

Número de libros recibidos

Atitalaquia

154

EmilianoZapata

85270 644

90

Metepec

80

PachucadeSoto

200

TuladeAllende

120

154(1 35) + 90( 112) + + 80( 110) + 200(1 50) 154 + 90+ 80 + + 200 120

.

120(1 30)

=

132.40

La venta promedio por cada libro es de $132.40

6.3 Profundiza ◊

En la siguiente tabla se observa el porcentaje de comensales que hay en un restaurante en un lunes y así como la capacidad máxima que tiene. ¿Cuál es la tasa promedio de clientes que faltó para tener la capacidad máxima en los establecimientos?

Porcentaje de comensales dentro Capacidad máxima de del establecimiento personas

Municipio cuchilla La

71%

600

Balaje

64%

500

Medo

70%

450

600(2 9) + 500(3 6) + 450(3 0) 48900 = 1550 600 + 500 +450

.

31.54%

La tasa promedio de clientes que faltaron fue aproximadamente de 31.54%

160

Ejercicios de reforzamiento 1. Para cada uno de los casos, escribe los primeros cinco términos que srcinan las reglas algebraicas que se te presentan. a) t n = -25n - 2

d) t n = 4n - 12

-27 -, -52, - 77 , - 102 , ,127 ...

b) t n = 5n + 5

, , ...

-8 -4 0 4 8

e) t n = -2n + 6

10,15, 20, 25 , 30 , ...

42, , 0 , 2-4, -, ...

f) t n = 14 n - 2

c) t n = -10n - 8 -18-, -28, -38 ,- 48 , ,58 ...

7 -4,

3 5 3 2, -,4 -, 1 , ... 4

2. Relaciona cada sucesión numérica con la expresión algebraica que la representa. a) -8-, 11 -, 14 -, -17 , -, 20 , ...23

( e ) t n = -n + 3

b) 4,5, 6, ,7, 8,...9

( c ) t n = 3n - 5

c) -2,1, 4, ,710, 13 , ...

( f ) t n = -n - 3

d) 2, -1, -4, - 7, - 10, - 13 , ...

( a ) t n = -3n - 5

e) 2, 1, ,0 -, 1 , 2 ,...3

( d ) t n = -3n + 5

f) -4,5-6, 7-8, 9 , , - , ...-

( b ) tn = n + 3

3. Halla el valor de x en las siguientes expresiones. a) -2x+ 5= 10+ x4 -2x 10+ x=5 1-0 +10 x

b) -7x -1 = 5 x10 4x

- 7x -5 x1- 5 = 5 x -10 x -

- 12x +5 4=

- 12x - 1 = -10

- 12x+ 5- 5=4 5

- 12x - 1+ 1 -= 10 + 1

- 12x = -1 -1 x= -12

- 12x = -9 -9 x= -12

x = 12 1

x= 9 2

161

c) - 38 x+ =6 +28 x

3 2 2 2 8x- 8x+6 = 8x- 8x+4 1 8x+6= 4 1 8x+6-6 = 4-6 1 8 x = -2 -2 x= 1 8 x = -16

^

h ^

d) 5 x +12 = 4 - +4 x

h

^

e) 3 x + 4 9 =3 x +

4

3x +12 = 9 x3+ 3x -9 +x= 12- + 9 9x 3 x - 6x +12 3= -6x+ 12 - 12 = -3 12 - 6x = -9 -9 x= -6 9 x= 6

a

h

k ^

f) 6 x + 12 = 35 5x + 5

5x + 60 = 4 x 16 +

h

6x +3 3= 3x +

5x + 4 0x + 6 =+4+ 4x16 x

6x -3 x+ 3 = 3 3 - x3+ x

9x + 60 = 16

3x + 3 = 3

9x +60 - = 60 - 16 60

3x +3-3=3- 3

9x = -44 -44 x= 9

3x = 0 0 x= 3

4. Relaciona cada una de los trazos que se encuentran representados en un círculo con los incisos descritos colocando la letra que corresponde en el paréntesis.

a) Ángulo central

)

(d

b) Ángulo inscrito

)

(

b )

c) Radio

(

)

162

d) Diámetro

(c

a

5. Determina las medidas de los ángulos que están representados comox1, x2, x3 en el siguiente círculo.

x1

x1= 65o x2= 45o

90o

x2

50

o

130o

x3= 25o

x 3

6. Analiza la siguiente gráfica y responde las preguntas. y

24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x

01

23

45

6 7 8 9 10

163

a) Completa la tabla considerando el comportamiento que tienen los valores en la gráfica. Valores en x Valores en y

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0

12

24

36

48

60

72

84

96

b) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la relación que existe entre los valores de la tabla?

y=

:

2 12 x

:

y = 0.16 x

:

y = 12x

:

y = 6x

7. A continuación están los valores de las coordenadas de determinados puntos. Utilízalos para construir una gráfica y responder las preguntas. y

Primer par de coordenadas

28 26 24 22 20 18 16 14 12

Abscisa ___________ Ordenada ________ 0 3 Segundo par de coordenadas Abscisa ___________ Ordenada ________ 3 9 Tercer par de coordenadas Abscisa ___________ Ordenada ________ 5 13 Cuarto par de coordenadas

10 8

8 19 Abscisa ___________ Ordenada ________

6 4

Quinto par de coordenadas

2

Abscisa ___________ Ordenada ________ 10 23

x

01

23

45

6 7 8 9 10

a) ¿Qué tipo de gráfica obtuviste? Una recta

•

Una parábola

Una hipérbola

•

•

b) ¿Por qué la gráfica que trazaste no representa una relación de proporcionalidad? • • •

•

Porque la gráfica tiende a ser una curva. Porque la gráfica no tiene como punto de inicio el valor 0. Porque la gráfica es una recta. Porque la gráfica se refiere a una relación inversa de proporcionalidad.

164

Una elipse

•

8. Un lobo de una determinada edad corre a una velocidad aproximada de 28 kilómetros por hora. Considerando que mantiene su velocidad, ¿cuántos metros habrá recorrido en 3 horas? Para responder la pregunta, completa la siguiente tabla. Tiempo (h)

Distancia recorrida (m)

2

56 000

4

112 000

6

168 000

8

224 000

10

280 000

12 20

336 000 560 000

a) Si el tiempo se representa con la letra h y la distancia (en metros) recorrida con la letra m, ¿cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite saber el número de metros recorridos en determinado tiempo? •

m = 28 000h

• m = 56 000h

•m = 28h

•m = 56h

b) Utiliza la expresión algebraica correcta y determina los metros que recorrerá el lobo en 5, 7 y 9 horas. m = 28 000(5) = 140 000

m = 28 000(7) = 196 000

m = 28 000(9) = 252 000

c) Encierra aquella representación gráfica que describe a la situación presentada. y

y

11 2000 10 5000 98 000 91 000 84 000 77 000 70 000 63 000 56 000 49 000 42 000

11 2000 10 5000 98 000 91 000 84 000 77 000 70 000 63 000 56 000 49 000 42 000

35 000

35 000

28 000 21 000

28 000 21 000

14 000

14 000

7 000

7 000 x

6543210

x

6543210

165

9. María ha obtenido las siguientes calificaciones en un curso bimestral de alemán: 10 en tareas, 7 en su examen y finalmente 8 en participación, ¿cuál será su promedio si el profesor que la evaluó estableció los siguientes porcentajes para cada uno de los rubros? Tareas 20% Examen 40%

^ h

^h

^ h = 8 =8

0. 20 10 + 0.40 7 +0 40 . 8 0.20 +0 40 . +0 40 .

Participación 40%

1

Su promedio es 8.

10. Carolina comentó a su profesor que revisará el promedio que obtuvo en su clase ya que considera injusto que no se hayan tomado en cuenta los criterios de evaluación que se establecieron desde al inicio del semestre. Si Carolina obtuvo 8 en participación,8 en trabajos extraclase y 6 en su examen y los criterios de evaluación fueron10% para participación, 15% para trabajos extraclase y 75% del examen; y su maestro dijo que obtuvo 6.5 de promedio, ¿consideras que Carolina tiene razón al apelar su calificación, pues ella dice que su calificación es de más de 7? Verifica tu respuesta.

^h

^h

00.1 80 + 15. 08 + 75 6. 0.01 0+ 15 . 0 +75.

^ h = 6.5 = 6.5 1

El promedio de Carolina es de6.5 por lo que no tiene razón para apelar su calicación.

166

Evaluación: bloque 4 Secundaria: ___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊


1. ¿Cuál es de las siguientes sucesiones es srcinada 6. ¿Cuál es la medida del ángulo centralAOC si la medipor la expresión algebraica - 5n + 2?: da del ángulo ABC es igual a 23.5°? a) - 3, - 8, - 13, - 18, - 23, … b) - 3, - 7, - 11, - 15, - 19, …

a) Aproximadamente a 35° b) 47°

c) 12, 17, 22, 27, … d) 7, - 7, - 12, - 17, - 22, - 27, …

c) a 42° d) Aproximadamente 48°

B O

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la sucesión 1, - 1, - 3, - 5, - 7, …? a) - 3n + 4 b) - 4n + 5 c) 2n - 1 d) - 2n + 3

A

C

7. ¿Qué gráca representa una situación de proporcionalidad? y Gráca 2

8

3. Valor de la incógnita en la ecuación 5x + 4 = 2x + 1:

7

a) x = 3 b) x = 0 c) x = - 1

6

d) x = - 3

3

Gráca 3 Gráca 1

5 4

2

4. ¿Cuál es la solución de la ecuación 3(x + 2) = 5x − 2 (3)?

Gráca 4

1

x

0

a) x = 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

b) x = - 6 a) Gráca 1 c) Gráca 3

c) x = - 2 5 d) x = 5

b) Gráca 2 d) Gráca 4

2

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a los datos de la siguiente tabla?

5. Nombre que recibe el ánguloABC: B

a) Central b) Inscrito c) Recto d) Llano

Valores para x Valores para y

D A

C

a) y = 3.2x b) y = 7.2x c) y = 3.6x d) y = 1.8x

167

2 7.2

4

6

8

14.4 21.6 28.8

10 36

12

14

43.2 50.4

9. ¿Qué valores asumirá la variable y en la tabla si la 12. Considerando lainformación delplanteamiento anterior expresión algebraica que modela a una situación de y que a cada valor se le asignó respectivamente variación lineal es y = - 4x + 2? un peso: 50%, 20%, 25% y 5%. ¿Cuál es la media ponderada de los datos? 2 5 7 10 13 15 Valores para x 0 a) 8.5 Valores para y b) 8.25 c) 8.75 a) 2, 10, 22, 30, 42, 54 y 62 d) 9.0 b) 2, 6, 15, 18, 22, 26 y 30 c) 2, - 2, - 10, - 14, - 18, - 22 y - 27 d) 2, - 6, - 18, - 26, - 38, - 50 y - 58 13. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la sucesión - 8, - 6, - 4, - 2,0,…? 10. ¿Cuál de las expresiones representa a lasiguientes gráca contenida en elalgebraicas siguiente plano? y

a) b) 2n 3-n 10 5 c) 1n - 9 d) - 5n - 3

14. ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito ABC si la medida del ángulo ADC es igual 110°?

7 6

a) 65° b) 75° c) 55° d) 45°

5 4 3 2 1

x

0 0

2

a) y = 6x + 6 b) y = - 6x - 6 c) y = 0.5x - 6 d) y = −0.5x + 6

4

6

8

10

12

15. ¿Cuál de las siguientes tablas contiene a los valores que son consecuencia de haber empleado la expresión y = 1.5x? a) Valores para x Valores para y

b) Valores para x 11. Antonio obtuvo las siguientes calicaciones en su segunda evaluación: 8, 10, 7 y 10. ¿Cuál es el pro- Valores para y medio de Antonio? c) a) 8.25 Valores para x b) 8.75 Valores para y c) 9.0

0 0

3 4.5

4 6

6 9

10 15

0 0

3 1.5

4 2

6 3

10 5

0 3 02456

4

6

10

0 0

4 6

6 4

10 3

d) 8.0 d) Valores para x Valores para y

168

3 10



Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Fue un lósofo y matemático que mediante un sistema de coordenadas rectangulares planteó de manera formal la idea de resolver problemas geométricos con ayuda del lenguaje algebraico. A este personaje debemos el honor del empleo del término cartesiano.

• Construye simétricas respecto de un eje eguras identica las propiedades de la gura srcinal que se conservan. • Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares. • Explica la relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabili- René Descartes dad teórica. Eje Contenido 1 Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida Manejo de la información

2 3 4 5 6 7 Evaluación

169

Tema Patrones y ecuaciones Figurasycuerpos Medida Proporcionalidad y funciones Nocionesdeprobabilidad


1.1 ¿Son equivalentes? Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman unsistema de ecuaciones de 2 × 2. Si estas dos ecuaciones tienen la misma solución, se dice que son equivalentes. Por ejemplo: La solución de ambas ecuaciones esx = 1, y = 2

(

= Primera 2x +4 y 10 Segunda - x + 5y = 9

Vericando para la ecuación 2: - (1) + 5 (2) = 9

Vericando para la ecuación 1: 2 (1) + 4 (2) = 10

- 1 + 10 9 ==99

210 + 8= =1010 ◊

En cada uno de los casos, verica si las ecuaciones son equivalentes según los valores proporcionados.

a) Cuando x = 1 e y = 1 en 5x + 3y = 8 y 6x + 2y = 8 Son equivalentes 5 (1) + 3 (1) = 8 5+3=8 8=8

6 (1) + 2 (1) = 8 6+2=8 8=8

b) Cuando x = 2 e y = 4 en 3x + 3y = 18 y 6x + y = 15 No son equivalentes 3 (2) + 3 (4) = 18 6 + 12 = 18 18 = 18

6 (2) + (4) = 15 12 + 4 = 15 16 ≠ 15

c) Cuando x = 2 e y = 4 en 7x + 5y = 34 y 3x + 8y = 38 Son equivalentes 7 (2) + 5 (4) = 34 14 + 20 = 34 34 = 34

3 (2) + 8 (4) = 38 6 + 32 = 38 38 = 38

170

1 d) Cuando x = 2 y

y

1 = 2 en 5x + 3y = 4 y 10x + 8y = 9

Son equivalentes 5

`j `j 1 2

1 2

+3

= 4

10

5 3 + = 4 2 2

`j `j 1 2

+8

1 2

=9

10 8 + = 9 2 2

8 = 4 2

18 = 9 2

4 = 4

9 = 9

solución del sistema Se de 2 ecuaciones la parejacomo de números que satisface a ambas ecuacionesdenomina del sistema. Para hallar esas soluciones, existenlineales varios amétodos el de eliminación, igualación y sustitución.

1.2 Por eliminación El método de solución de un sistema de 2 × 2 poreliminación (suma y resta) consiste en eliminar una incógnita por medio de la adición o la sustracción. Para ello, es necesario igualar los coecientes y lograr signos contrarios de una misma incógnita en las dos ecuaciones que intervienen, se multiplican los miembros de una ecuación o de ambas por un valor que genere ecuaciones equivalentes; es decir, que se ajusten a las condiciones ya descritas. 1.Ecuaciones

2.Semultiplicalasegundaecuaciónporelvalor2.

(

Primera 2x + 3y = 8 Segunda - 2x + 4y = 6

Primera 2x + 3y = 8 Segunda - x + 2y = 3

(

3. Se resta o se suman ambas ecuaciones.

4. Se sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones srcinales, pero ya despejadas con el n de obtener el valor de x:

2x + 3 y = 8 +

- 2x + 4y

Ecuación1

= 6

0 +7 y = 14 y =

14 7

y = 2

La solución del sistema esx = 1 y y = 2.

171

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

8 - 3y 2 8 - 3( 2) 2 8-6 2 2 2 1

Ecuación2 x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

3 - 2y -1 3 - 2( 2) -1 3-4 -1 -1 -1 1

◊

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)

(

4x + y = 5

Sustituyendo el valor dex en la primera ecuación despejada:

7x - y = 8

y = 5 - 4x 4x + y = 5 +

7x

-y

y = 5-4

= 8

x =

13 11

y= y=

b)

(

2x + 6y = 3

Se multiplicó la primera ecuación por - 3 y se sumaron las ecuaciones:

3

y 32 =

5x +2

y 26 =

x= x=

2x +8 y 32 =

- 20x -8

=72

x =

- 72 - 18

x = 4

(--

3 11

`j 1 3

-

1 2

y =

1 3

6 3

2 3

x =

-2 2

1 2

=

y

=

y

=

y

=

y

=

32 - 2x 8 32 - 2( 4) 8 32 - 8 8 24 8 3

x = 4

y = 3

7x + 8y = - 5 14x +3

y

=3- 6

Se multiplicó la primera ecuación por - 2 y se sumaron las ecuaciones: 14x +

y

y =104

- 18x +0

d)

y =


Multiplicando la segunda ecuación por - 4 y se sumaron las ecuaciones:

+

-6

2 3

0 -9y = 3 -3 y = -9 1 y= 3 2x +8

- 52 11

x=

6x +9y =6

(

13 11

3 11

x=

- 6x -1 8y = -9

c)

x =


6x + 9y = 6

+

55

13 11

52 11

y = 5-

11x +0 =13

` j

-16

- 14x +3

Sustituyendo el valor dey en la primera ecuación despejada: x

y =10 y =36 -

0 -13 y = 26 y =

- 26 - 13

y = 2

x x x x

- 5 - 8y -7 - 5 - 8 (2) = -7

x =3

= - 5-7 16

y =2

=

- 21 = -7 =3

172

1.3 Por igualación El método denominado deigualación también ayuda a determinar la solución de un sistema de ecuaciones de 2 × 2. 1.Ecuaciones

2.Sedespejalamismavariableenambasecuaciones.

(

Primera ecuación Segunda ecuación

3x + 4x

Ecuación1

y = 22

Ecuación2 4x -3y =1-

3x + y = 22

- 3y = - 1

3x = 22 x=

3. Se igualan las expresiones que resultaron de hacer el despeje para obtener el valor dey.

22

4x = - 1 + 3y - 1 + 3y x = 4

-y -y 3

4. Se sustituye el valor dey en la primera o segunda ecuación despejada para averiguar el valor dex.

22 - y - 1 + 3y = 3 4 4 (22 - y) =3 ( 1 3 +) y

x x

88 4 y =3 -9 + y

- 4y -9 y =3-88-

x

- 13y = -91 91 y= - 13

x

22 - y 3 22 - (7) = 3 15 = 3 =5 =

y=7

La solución del sistema esx = 5 y y = 7. ◊ a)


(

4x + 3y = 12 3x +5

y

20 =

Despejando x en ambas ecuaciones. Ecuación 1: x =

12

- 3y 4

Ecuación 2: x =

20

- 5y 3

Igualando las ecuaciones se tiene: 12 - 3y 20 - 5y = 4 3 3( 12 - 3 y) =4( 20 5 )y

x = 0

11y = 44 44 y = 11

y=4

173

12 - 3( 4) 4 12 -12 x= 4 x = 04 x=0

x=

36 -9 y =80 -20y - 9y +20 y =80 3-6

Sustituyendo el valor y en la primera ecuación que está despejada.

y = 4

b)

(

x

+ 4y = 12

x

+ 6y = 18

Despejando x en ambas ecuaciones.

Al igualar las ecuaciones, se tiene: 12 4 y = 18 6- y - 4y +6 y =18 1 -2 2y = 6 y=

Ecuación 1:

Ecuación 2:

x = 12 − 4y

x = 18 − 6y

Sustituyendo el valor y en la primera ecuación que está despejada. x = 0

x = 12 − 4 (3) x = 12 − 12 x=0

6 2

y = 3

y=3

c)

(

x

+ 4y = 12

2x + 5y = 23


Al igualar las ecuaciones, se tiene: 12 - 4y 23 - 5y = 1 2 2 12 -4y =1 23 5 -y

^

d)

(

h ^

24 8 y =23 5- y

Ecuación 1:

Ecuación 2:

x = 12 − 4y

x=

x = 12 - 4

h

x = 12 x=

1 = 3y 1 3 =y

x=

6x + 4y = 20


- 5y 2

Sustituyendo el valor dey en la primera ecuación que está despejada.

24 -23 = 5 y8+ y

2x + 3y = 10

23

36

`j 1 3

4 3

x =

103- y 20 - 4y = 2 6 60(1 -3 )2y =(4 20 -) y

y =

1 3

-4

32 3

Ecuación 2:

- 3y

x=

2

20

- 4y 6

Sustituyendo el valory en la primera ecuación que está despejada.

Al igualar las ecuaciones, se tiene:

32 3

3

Ecuación 1: 10

x =

10 -3 ( )2 2 x = 102- 6 4 x= 2

x = 2

x=

60 -18 y =4 08- y 60 - 40 = - 8y + 18y 20 = 10 y 20 10 = y 2=y

x=2

174

y = 2

1.4 Por sustitución El método por sustitución consiste en despejar una de las variables de cualquiera de las ecuaciones para después sustituir la expresión resultante en la ecuación no despejada. 1.Ecuaciones

2.Porejemplo,sedespejalavariable primera ecuación.

Primera ecuación Segunda ecuación

(

x + y = 60

y de la

Expresión resultante:

10x + 20y = 780

x + y = 60 y = 60

-x

4. Se sustituye el valor dex en la ecuación despejada. 3. en Se la sustituye expresión segundala ecuación . y = 60 x

y = 60 - x y = 60 - 42 y = 18

10x + 20y =780 10x + 20 (60 - x) =780 10x + 1200 -20 x =780 - 10x = 780 -1200 - 10x = -420 x = --420 10 x = 42

La solución del sistema de ecuaciones esx = 42 y y = 18. ◊


*

x

a) 1 2

+ y = 11 x

+y=7

Despejando y de la primera ecuación. Ecuación resultante: y = 11 - x

Sustituyendo y = 11 − x en la segunda ecuación.

Sustituyendo el valor de x en la ecuación despejada

1 x+y = 7 2

^

1 x + 11 2 1 x + 11 2

-x

-x

-

1 x = 7 2

-

1 x =-4 2

x =

h

-4 1

-2 x = 8

175

= 7

= 7

- 11

y = 11 − x y = 11 − 8 y=3 x = 8

y = 3

b)

(

x

Ecuación resultante: x = 5 - 2y

Despejando x de la primera ecuación.

+ 2y = 5

3x + y = - 10

Sustituyendo x = 5 - 2y en la segunda ecuación.

Sustituyendo el valorx en la ecuación despejada.

3 (5 -2 )y + y =10 15 -6

y

x =- 5

x = 5 − 2y x = 5 − 2 (5) x = 5 − 10 x = −5

3x + y = - 10

+ y =10 -

y = 5

15 - 5y = -10 - 5y = - 25 - 25 y = -5 y = 5

c)

(-

3x + x

Despejando y de la primera ecuación.

3y = 6

+ 12y = 11

Ecuación resultante: y =

Sustituyendo y = 2 - x en la segunda ecuación.

^

h

6

- 3x 3

=

6 3

-

-x

Sustituyendo el valorx en la ecuación despejada. y= 2

-x

- x + 24 -12 x =11

y = 2

-1

- 13x +24

y = 1

- x + 12 2 - x

3x = 2 3

11 =

=11

x = 1

y = 1

- 13x =11 -24 - 13x = -13 - 13 x = - 13

x=1

d)

*

1 y = 8 2 05 . x +05 . y1=5 . 7x +

Despejando x de la segunda ecuación.

Ecuación resultante: x=

Sustituyendo x = 3 − 1y en la primera ecuación. 1 7( 3 - 1y) + 2 y = 8 1 21 - 7y + y = 8 2 1 - 7y + 2 y = 8 - 21

1.5

- 0.5 y 0.5

=

1.5 0.5

-

0.5y 0.5

= 3

- 1y

Sustituyendo el valory en la primera ecuación que está despejada. 13 y= - 13

x = 3 − 1y x = 3 − 1 (2) x=3−2 x=1

2 - 26 y = - 13 y=2

- 14y + 1y = - 13 2 - 13y 2 = - 13

176

x = 1

y = 2

1.5 Profundiza ◊

Cada hilera o la que se forma en su grupo ocupará un método distinto para solucionar el siguiente problema según lo determine el profesor, y después vericarán la respuesta.

a) Valeria fue al supermercado y adquirió varios productos, entre ellos, varios paquetes de galletas y unos cuantos paquetes de malvaviscos, fueron en total 25 paquetes. Cada paquete de galletas cuesta $9.00, cada paquete de malvaviscos tiene un precio de $5.00 y Valeria pagó un total de $145.00, ¿Cuántos paquetes de galletas y de malvaviscos compró Valeria? Primera Segunda

(

x + y = 25

Despejando la variabley de la primera ecuación.

9x +5 y = 145

Se sustituye y = 25 − x xy + = y25= −25x

en la segunda ecuación. 9x +5

y

=145

9x +5 (25 - x ) =145 9x +125 5

x

= 145

Sustituyendo el valor de x en la ecuación despejada.

9x -5 x =145 1-25 4x = 20 20 x = 4 x = 5

Valeria compró 5 paquetes de galletas y 20 paquetes de malvaviscos.

y = 25 − x y = 25 − 5 y = 20


2.1 Punto de intersección El punto de intersección entre dos rectas que representan a un sistema de ecuaciones forma un par de coordenadas (x, y) que son la solución del sistema. Para obtener las grácas, se despejan las ecuaciones en términos de la variable y, para después asignar valores ax y construir las grácas. Primera ecuación Segunda ecuación Asignando valores a x en y = 25 - x

(

x + y = 25 2x + y = 30

Asignando valores a x en y = 30 - 2x

Despejando y de ambas ecuaciones. y = 25 - x y = 30 - 2x y

x

y

x

y

y = 30 - 2x 35

0

25

0

30

30

5

20

5

20

10

15

10

10

15

15

10

15

0

10

20

5

20

- 10

25

0

25

- 20

25 20

y = 25 - x x

5 0 -10 -5

0

177

5

10

15 20

25 30

El par de coordenadas que representa al punto de intersección de las rectas es (5, 20); que no son más que la solución del sistema: x=5 y = 20

◊

Determina el punto de coordenadas donde intersecan las rectas así como la solución del sistema.

a) Primera ecuación Segunda ecuación

(

6x +2 y 14 =

y

8x + 5y = 28

8

Asignando valores a x en la segunda ecuación despejada y = 28 - 8x

Asignando valores a x en la primera ecuación despejada y = 7 - 3x

6 4

5

2

x

0

x

y

x

y

0

7

0

5.6

-2

1 2

4 1

1 2

4 2.4

-4 -6

3

-2

3

0.8

-8

4

-5

4

- 0.8

5

-8

5

- 2.4

−1

0

3

2

1

4

5

6

7

Coordenadas del punto de intersección:(1, 4) Solución del sistema: x = 1 y y = 4

b) Primera ecuación Segunda ecuación

*

3x + y = 14 1 x+y = 4 2

y 16

Asignando valores a x en la primera ecuación despejada y = 14 - 3x

Asignando valores a x en la segunda ecuación despejada y = 4 - 1 x

14 12

2

10 x

y

x

y

0

14

0

4

1

11

1

3.5

2

8

2

3

3

5

3

2.5

4

2

4

2

0

5

-1

5

1.5

-2 0

8 6 4 2

x 1

2

3

4

5

6

7

Coordenadas del punto de intersección:(4, 2) Solución del sistema: x = 4 y y = 2

178

2.2 Problemas ◊

Resuelve los siguientes planteamientos y contesta las preguntas.

a) Un número menos 4 veces otro número es igual a 2, del mismo modo, 2 veces el primer número menos 8 veces el segundo número es igual a 6, ¿de qué números se trata?

y

Primera Segunda

(

2

4

x

- 4y

= 2

2x

- 8y

= 6

4 3

•

¿Cuál es el par de coordenadas que tiene el punto de intersección entre las rectas? No existe ningún punto en común entre las rectas.

2 1

x

0 −3

• Rectas ¿Qué clase de rectas son las que trazaste? paralelas. •

−2

−1

−1

0

1

3

5

6

−2

¿Qué signica que las rectas no tengan algún punto en común respecto al planteamiento presentado? Que no existen tales números que cumplan con la condición descrita.

−3 -4

No existen números que cumplan la condición. b) Un número más otro número diferente del primero suman 11, del mismo modo, 2 veces el primer número más 2 veces el segundo número dan 22, ¿de qué números se trata?

y

Primera Segunda

16

(

x + y = 11 2x + 2y = 22

14

•

¿Cuál es el par de coordenadas que tiene el punto de intersección entre las rectas? Las rectas tienen innidad de pares de coorde -

12 10

nadas en común.

8

•

¿Qué característicastienen las rectas que trazaste? Son rectas que están sobrepuestas.

•

¿Qué signica que las rectas tengan innidad de puntos en común en relación con la situación planteada? Que el problema tiene innidad de soluciones.

6 4 2 −2

0

0

2

4

6

8

10

12 14

16

18

x

−2

Hay innidad de números que cumplen con la condición. Al representar 2 ecuaciones lineales en función de y en un plano, se puede observar que las rectas resultantes que tienen la misma pendiente, pero diferente ordenada al srcen , son rectas paralelas. Caso distinto sucede cuando 2 ecuaciones lineales en función dey tienen la misma pendiente y la misma ordenada al srcen, las rectas resultantes están encimadas. Ecuación lineal en función dey en la que su pendiente es 2 y la ordenada al srcen es 4. y = 2x + 4

Pendiente

Ordenada al srcen

179

2.3 Profundiza ◊ • •

Abril y Débora rentaron 3 películas de acción y compraron unas palomitas por un costo total de $80.00. El costo de las palomitas representa una tercera parte del precio de una película. ¿Cuánto se pagó por la renta de cada película? ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las rectas si es que existe? Primera ecuación Segunda ecuación

*

3x + y = 80 y =

y

x 3

90

Despejando las ecuaciones se tiene:

80

Primera ecuación y = 80 − 3x

60

Segunda ecuación y =

x 3

Las coordenadas de los puntos de intersección son (24, 8), por lo que el precio de la renta de cada película es de 24 pesos. En tanto que el precio de las palomitas es de 8 pesos, que es el valor que asumey: y=

24 = 8 3

70

50 40 30 20 10

x

0 0

2

4

6

8

10

12 14

16

18 20

22

24

26


3.1 Triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos N

La simetría axial es una transformación geométrica, que respecto a una recta, asocia cada punto con su homólogo. Por ejemplo, en la gura, el punto B está asociado con su homólogo, que es B´, en relación con la recta N; que es eje de simetría.

A

A´

B

B´

Además, la distancia que hay de cualquier punto de la gura srcinal a los puntos homólogos, es la misma. También la distancia de un punto de la gura srcinal y su homólogo al eje de simetría es la misma.

180

C

C´

28

◊

Construye una gura simétrica en cada uno de los casos.

a) N A´

A

D´

D B´

B

C´

C

b) N D´

A´

D

C´

A

C

B´

B

c) N D

D´

A

A´

C

C´

B

B´

181

N

d) A

A´ B

B´

C

C´

e) N B´

B

C´

C

A´

A

Los segmentos que unen a los vértices de la gura srcinal con los vértices de la gura homóloga son perpendicula res con el eje de simetría formando un ángulo de 90°. Además, si mides los lados de las guras srcinales y los comparas respectivamente con las medidas de la gura resultante u homóloga, podrás cerciorarte de quetienen las mismas y que los ángulos mantienen la misma magnitud.

3.2 Otras guras ◊

Construye una gura simétrica para cada uno de los casos.

a)

N

A

A´

B

B´ D

D´

C

C´

182

b) N B

B´ A

A´

C

C´

D

D´

c) N A´

A

B´

B H´

C´

H C

G

G´ D´

D F´

F

E´

E

3.3 Profundiza ◊

Construye 3 cuadriláteros que se distingan por tener un único eje de simetría.

A manera de ejemplo, se sugieren las siguientes guras.

183


4.1 Medida de los arcos ◊

Determina la medida de los ángulos que a continuación se indican y responde las preguntas. Ten en cuenta que O es el centro de la circunferencia. C d

a = 50 %

c %

b

50 a =

A

f

b=

65°

c=

65°

d=

25°

f=

25°

g=

130°

B

O

a) ¿Cuál es la medida angular del arcoCB? La medida angular del arco es igual a 50°. b) ¿Cuál es la medida angular del arcoAC? La medida angular del arco es igual a 130°. c) ¿Cuál es la medida angular del arcoAB? La medida angular del arco es igual a 180°.

Considérese que la circunferencia con centro enO tiene un diámetro de 10 cm, que r = 3.14 y que se quiere saber la longitud del arco % CB . Para hacerlo, primero se determina la longitud de la circunferencia. r D = (3.14) (10 cm) = 31.4 cm

Finalmente se establece una regla de 3 para resolverla y hallar la longitud del arco. 31.4 cm x x=

360° 50°

(31.4 cm) (50 %) 360 %

.

4.36 cm

La longitud del arco es aproximadamente igual a 4.36 cm. Para determinar la longitud de un arco cualquiera en una circunferencia, se mide en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

184

◊

Resuelve los siguientes planteamientos. %

a) Determina la longitud del arco GH teniendo en cuenta que la distancia que hay deF a G representa el radio de la circunferencia que mide 3.5 cm, quer = 3.14 y que el ánguloBHIG mide 43°. H

Longitud de la circunferencia.

r D = (3.14) (7 cm) = 21.98 cm G

Estableciendo regla de tres y resolviendo. 21.98 cm 360° x 86°

F

x= I

Por lo que

(21.98 cm) (86 %) 360 %

% GH

.

5.25 cm

≈ 5.25 cm

b) Determina la medida del ánguloBBDC así como la longitud del arco que forma este ángulo. Ten en cuenta que el radio de la circunferencia es igual a 2 cm y quer = 3.14 La medida del ángulox, que es inscrito, es igual a 135° porque la medida del arco que forma a este ángulo es de 270°. C

D

Longitud de la circunferencia.

x a = 90 %

B

r D = (3.14) (4 cm) = 12.56 cm

Estableciendo regla de tres para averiguar la longitud del arco que forma el ánguloBBDC .

A

12.56 cm m m=

360° 270°

12 ( .56 c m) (270 ) 360 %

% .

9.42 cm

4.2 Sector circular Un sector circular es la parte de un círculo que se encuentra limitada por 2 radios y un arco. Para calcular, por ejem2 plo, el área de un sector circular que pertenece a un círculo cuya área es de 78 cm y que los radios que lo limitan forman un ángulo de 45°, se procede de la siguiente manera. Se establece una regla de tres para resolver y hallar el área del sector. 78 cm2 x

360° 45° %

2 ) = 9.75 cm 2 x = (78 cm )(45 %

45°

360

185

◊


r = 3.14 y el radio de la a) Determina el área del sector circular considerando que el arco que lo forma es de 66°, circunferencia es igual a 2.5 cm.

El área del círculo es igual a (3.14) (2.5 cm)2 = 19.625 cm2 Se establece una regla de tres para resolverla y hallar el área del sector. 66° 19.625 cm2 x

360° 66°

r = 2.5 cm x=

2 (1 9625 . cm ) 66 ( ) 360 %

% 2 .

3.59 cm

r = 3.14 y el b) Halla el área del sector circular considerando que el arco que lo forma tiene una medida de 90°, radio de la circunferencia es igual a 4 cm.

El área del círculo es igual a (3.14) (4 cm) 2 = 50.24 cm2

r = 4 cm

Se establece una regla de tres para resolverla y hallar el área del sector. 50.24 cm2 x

90°

360° 90°

(50.24 cm ) (90 %) 2

x=

%

= 12.56 cm 2

360

En general, para calcular el área del sector circular se emplea la expresiónA SC = al área del círculo y a, la amplitud del ángulo conocida.

rr

2

a

360

%

en la que r r 2 r epresenta

4.3 Corona circular Una corona circular es la porción del plano limitado por 2 circunferencias de diferentes radios que son concéntricas. R reprePara hallar el área de una corona circular, se resta el área del círculo pequeño al área del círculo grande, senta el radio del círculo mayor y r el radio del círculo pequeño. R

El área del círculo grande: r R 2 El área del círculo pequeño: r r 2

r

Área del sector circular: r R 2 − r r 2

186

◊


a) A varios comerciantes se les autorizó ocupar una parte de la zona circular (parte sombreada), como la que se r = 3.14. muestra a continuación. ¿Cuál es el área que los comerciantes pueden utilizar? Asume que

Área del sector circular: r R 2 - r r 2

R=5m

r=3m

Área del sector circular =(3.14) (5 m)2 - (3.14) (3 m)2 = (3.14) (25 m2) - (3.14) (9 m2) = 78.5 m2 - 28.26 m2 = 50.24 m2 2 Los comerciantes pueden usar un área de 50.24 m

2 b) El área del círculo sombreado, que es el más pequeño, tiene un área igual a 153.86 cm , si se sabe que el área total del círculo más grande es igual 314 cm2 y que r = 3.14, ¿cuál es la diferencia numérica entre la longitud de R y r?

Determinación del valor der. 153.86 cm 2 = (3.14)( r 2) 2

49 cm = r

r

&

153.86 cm 2 = r2 3.14

&

49cm 2 = r 2

7 cm = r

&

R

Determinación del valor deR. 314c m 2 = (3.14)( R 2) 2

100 cm = R

&

2

&

314 cm = R2 3.14

&

100cm 2 = R 2

10 cm = R

Diferencia numérica entre la longitud R y r. 10 cm − 7 cm = 3 cm

187

&

&

4.4 Profundiza ◊

Los puntos E, C y D forman un ángulo cuya amplitud es de 105° y un arco que tiene de longitud 5.495 cm. Considerando que π = 3.14:

a) ¿Cuál es perímetro del polígono regular que se forma? CD y CF? b) ¿Cuál es el área del sector circular que se encuentra limitado por los radios E

Resolviendo la regla de tres se halla la longitud de la circunferencia. 360° 105°

x 5.495 cm x= C

(5.495)(360 %) %

= 18.84 cm

105

D

Luego, el radio de la circunferencia es igual a 3 cm. (3.14)( D) = 18.84 18.84 D = 3.14 = 6 cm ` r = 3 cm

F

Lo que signica que el perímetro del polígono regular es igual a 18 cm. Por otra parte, la medida de los ángulos interiores de un hexágono es igual a 2 120° por lo que el área del sector circular en cuestión es igual a 9.42 cm . =

A SC

(3.14)(3 cm) 2 (120 %) = = 360 %

(3.14) (9 cm 2) (120 %) = 360 %

3391.20cm 360

2

9.42 cm 2


5.1 Lectura de grácas ◊

Contesta las preguntas con base en la información que proporciona cada gráca.

a) Importe por minuto

• ¿Qué precio pagará una persona por hablar en celular 1 minuto?

30

5 pesos.

25

• ¿Cuál es el importe que se pagará por hablar en celular por 6 minutos?

20 ) 15 $ ( e tr 10 o p Im

30 pesos. • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la gráca?

5

y = 5x

Minutos

0 0

1

2

3

4

5

6

188

b) Agua contenida en una cisterna conforme se llena.

• ¿Cuántos litros de agua contiene la cisterna antes de abrir la llave?

Litros

250 litros.

800

• ¿Cuántos litros de agua se distribuyen en un minuto al abrir la llave?

600

10 litros 400

• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la gráca? 200

y = 10x + 250

Minutos

0 0

◊

1

2

3

4

5

6

Asocia cada expresión algebraica con la gráca que le corresponde.

a) y = 5x + 5

b) y =

6 x 4

c)

y

c)

1 x+1 2

y =

d)

y = 3x +

13 5

y

d)

7

14

6

12

5

10

4

8

3

6

2

4 2

1

x

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

0 0

1

2

y

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

y

a)

b) 28

7

24

6

20

5

16

4

12

3

8

2

4

1

0 0

2

4

6

8

10 12

14 16

x

0 0

189

1

2

8

x

5.2 Construcción de grácas ◊

Lee cada planteamiento y contesta las preguntas.

a) Una persona que nada 100 metros cada 50 segundos partió desde los 30 metros. •

Representa grácamentela situación descritaen el plano.

Distancia 350

•

¿Cuántos segundos pasaron para posicionarse metros después de su punto de partida?

4

300 250

Tardó 2 segundos.

200

•

•

¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde con la gráca que obtuviste?

150

y = 2x + 30

100

¿Cuántos segundos tendrán que transcurrir para que el nadador se coloque en la posición de los 2 metros si se sabe que inició su trayectoria desde 0 metros y recorrió el mismo número de metros en igual tiempo?

50 0 0

50

100 150

200

250 300

Segundos

Un segundo. b) Construye una gráca en la que se observen los gastos generados por una empresa que anualmente dispuso para el área de papelería $28 800.00 y gastó cada mes $2400.00. •

¿Cuánto dinero resta de la cantidad destinada para el área de papelería al nal de los 3 meses?

Gasto ($) 33600

Restan $21 600.00

28800

•

•

¿Qué sucede con los valores de y cuando se asignan valores a x?

24000

Los valores de y decrecen.

19200

¿Cuál es el par de coordenadas que corresponden al corte de la gráca con el eje de las ordenadas? (0, 28800)

•

14400 9600 4800

¿Cuál es el par de coordenadas donde cortará la gráca con el eje de las abscisas?

0 0

1

3

4

5

6

7

Meses

(12, 0) •

2

¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación descrita? y = - 2400x + 28 800

190

•

¿Qué signica, en el problema planteado, el corte que hace la gráca con el eje de las abscisas? El número de meses que pasaron para queel dinero que destinó la empresa al área de papelería fueragastado.

•

¿Qué signica, en el problema planteado, el corte que hace la gráca con el eje de las ordenadas? El dinero que destinó la empresa para las compras de papelería.

En las expresiones del tipoy = mx + b con las cuales has venido tratando;m representa la pendiente de la recta y b es el punto de intersección con el eje de las y. ◊

Construye las grácas que reeren a las siguientes situaciones en el siguiente plano.

a) medida Una cisterna contiene 10 000selitros ya que pasa el tiempo llenadedeagua manera

Litros 18000

constante a 1000 litros por minuto.

16000

b) Una cisterna contiene 10 000 litros de agua y a medida que pasa el tiempo ésta se vacía de manera constante 1000 litros por minuto.

14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

minutos

5.3 Profundiza ◊

Las siguientes grácas representan el comportamiento de diferentes fenómenos. y Identica lo siguiente:

a) Si la recta es creciente o decreciente, b) El valor de b en la expresión algebraicay, c) El valor de la pendiente.

Recta 3 40 Recta 4

Recta 2

30

Recta 1

20

Las rectas 1 y 2 son crecientes. En cambio, las rectas 3 y 4 son decrecientes.

10

Por otra parte, en la recta 1 el valor de b es −10; en la recta 2 el valor es 0; en la recta 3 el valor es 20 y en la recta 4 el valor es 10. Finalmente, la pendiente de las rectas 1 y 2 es 5; lo que indica que ambas rectas son paralelas. La recta 3 tiene pendiente –10 y la recta 4 tiene pendiente −5.

191

−8

−6

−4

−2 −10 −20 −30 −40

2

4

6

8

x


6.1 La pendiente (m) es constante y la ordenada al srcen ( b) varía ◊

Llena los espacios vacíos de las siguientes tablas para, posteriormente, construirlas grácas que representan a dichos datos en un mismo plano. y= x

x

y

-6 -4

-6 -4

-2

-2

0 2 4 6

0 2 4 6

y= x+1

Par de coordenadas (x, y) ( - 6, - 6) ( - 4, - 4) ( - 2, - 2) (0, 0) (2, 2) (4, 4) (6, 6)

x

y

-6 -4

-5 -3

-2

-1

0 2 4 6

1 3 5 7

y= x+3

y= x+ 2

Par de coordenadas (x, y) ( - 6, - 5) ( - 4, - 3) ( - 2, - 1) (0, 1) (2, 3) (4, 5) (6, 7)

x

y

-6 -4

-4 -2

-2

0 2 4 6 8

0 2 4 6

Par de coordenadas (x, y) ( - 6, - 4) ( - 4, - 2) ( - 2, 0) (0, 2) (2, 4) (4, 6) (6, 8)

x

y

-6 -4

-3 -1

-2

1 3 5 7 9

0 2 4 6

Par de coordenadas (x, y) ( - 6, - 3) ( - 4, - 1) ( - 2, 1) (0, 3) (2, 5) (4, 7) (6, 9)

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −10 −9 −8 −7

−6 −5 −4

0 −3 −2 −1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

192

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

• ¿Qué características tienen las grácas que construiste? Son rectas paralelas y crecientes. • ¿Cómo es el valor de la pendiente para cada una de las grácas construidas? Es la misma. • ¿Cuáles son las coordenadas del punto en el que cruzan las rectas con el eje de las ordenadas? Recta 1: (0, 0); recta 2: (0, 1); recta 3: (0, 2); recta 4: (0, 3). • ¿Cómo serán las grácas al ser construidas si el valor de la pendiente de la recta fuera el mismo y el valor de la ordenada al srcen cambiara? Todas las grácas serán rectas paralelas. ◊

En el plano cartesiano están representadas las siguientes expresiones. y = -x

y = -x + 1

y = -x + 2

y = -x + 3

y = -x + 4

• ¿Qué características tienen las rectas que aparecen sobre el plano? 8

Las rectas son paralelas y decrecientes. 6

• ¿Qué parámetro varió en las expresiones algebraicas para obtener las grácas representadas en el plano?

4 2

El parámetro que varió fue la ordenada al srcen: b • ¿La pendiente de las rectas que aparecen en el plano son positivas o negativas?

−10

−8

−6

−4

−2

0

0

2

4

6

8

10

−2 −4

Son negativas.

−6

• ¿Cómo sería la representación gráca de la expresión y = − x − 4 respecto a las rectas que están en el plano?

−8

Sería una recta paralela y decreciente.

En un plano cartesiano, 2 rectas son paralelas cuando no se cruzan en un punto y se caracterizan por que ambas poseen la misma pendiente, pero diferente ordenada al srcen. Cuando la pendiente de la recta es positiva, se dice que es creciente, pero si es negativa, entonces es decreciente.

193

6.2 La pendiente (m) varía y la ordenada al srcen ( b) es constante ◊

En el plano cartesiano están representadas grácas que correspondencon las siguientesexpresionesalgebraicas. y =

1 x+2 2

y=x+2

y = 2x + 2

y = 3x + 2

y = 4x + 2 y

• ¿Cómo son las rectas que se observan en el plano cartesiano respecto a su pendiente, crecientes o decrecientes?

5 4

Todas las rectas son crecientes.

3

• ¿Las rectas tienen pendiente positiva o nega-

2

tiva? 1

Tienen pendiente positiva. • ¿Qué parámetro varió en las expresiones algebraicas para obtener las grácas representadas en el plano?

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

8

10

x

−1

La pendiente en todos los casos.

−2 −3

• ¿Qué valor asume el parámetrob en las expresiones y qué indica grácamente?

−4

El valor de b en todas las expresiones es 2. Grácamente indica el corte que hacen las rectas con el eje de lasy.

◊

0

−5

Las siguientes expresiones están representadas en el plano cartesiano. y =-

1 x+2 2

y = -x + 2

y = - 2x + 3

y = - 3x + 2 y

• ¿Cómo son las rectas que se observan en el plano cartesiano respecto a su pendiente, crecientes o decrecientes?

6

Todas las rectas son decrecientes.

4

• ¿Las rectas tienen pendiente positiva o negativa? Tienen pendiente negativa.

y = - 4x + 2

2

−10

−8

−6

−4

−2

0 −2

• Cómo serán las grácas al ser construidas si el valor de la pendiente de la recta fuera diferente y el valor de la ordenada al srcen se mantuviera constante? Todas las grácas pasarían por un mismo punto.

−4 −6

194

0

2

4

6

x

•

A medida que la pendiente asume un valor mayor, ¿qué sucede grácamente con la recta? Se inclina más, porque el ángulo respecto al eje de las abscisas aumenta su valor.

Las rectas cuya pendiente es diferente pero cuyo parámetro b es el mismo se distinguen por pasar por un mismo punto sobre el eje de las ordenadas.

6.3 Profundiza ◊

Relaciona las diferentes características que se describen con las rectas que aparecen construidas en el plano cartesiano. Para ello, coloca los números correspondientes en los paréntesis que aparecen junto a las rectas según sea el caso.

1) 2) Creciente Decreciente 3) Paralela con otra recta 4) El valor del término b es igual a cero 5) La pendiente es igual a cero 6) La pendiente es negativa 7) y = - 2x 8) y = 3x - 3 9) y = 4 10) y = 3x + 4 11) y = - 4x + 2

(2, 6, 11) 8

(1, 3, 10)

6 (5v, 9)

4 2

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0 0

2

4

6

8

10

12

−2 −4 −6

(1, 3, 8)

−8

(2, 4, 6, 7)


7.1 Gráca de distribución teórica En una urna hay 4 pelotas de diferente color: azul, naranja, verde y lila. Si se extrae una pelota, sin ver, ¿cuál es la representación gráca que corresponde con la probabilidad teórica de cada evento? Teóricamente se puede calcular la probabilidad de todos los resultados posibles representarse en teniendo una gráca comoy la de la derecha en cuenta que numéricamente cada evento tiene una probabilidad de 14 .

Probabilidad teórica al extraer una pelota de color diferente en una urna

1 3 4

2 4

Pelota azul Pelota naranja Pelota verde Pelota lila

1 4

0

195

◊

En equipos de 5 personas, coloquen en una urna 2 pelotas numeradas con 1 y 2. Cada uno debe extraer, y regresar, 10 veces una pelota, y registrar las veces que salió, y el porcentaje que le corresponde a cada evento. Por otra parte, deben sumar el total de veces que obtuvo la pelota 1 y la pelota 2.

Integrantes del equipo

Veces que se obtuvo la pelota 1

Porcentaje (%)

Veces que se obtuvo la pelota 2

Porcentaje (%)

Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5 Totales Los valores que llenan los espacios vacíos de la tabla dependen del resultado del experimento. • ¿Cuál es la probabilidad teórica que le corresponde a cada posible resultado 1

La probabilidad teórica de cada resultado posible es2 . • ¿Cuál es la probabilidad teórica expresada en porcentaje que le corresponde a cada posible resultado? Le corresponde un 50%. • Representa en una gráca circular la probabilidad teórica de cada posible resultado? Probabilidad teórica al extraer una pelota de la urna

50%

50%

Pelota 1 Pelota 2

196

7.2 Gráca de distribución frecuencial Considerando el planteamiento descrito al inicio de este contenido (apartado 7.1) y agregando que una persona- lle vó a cabo el experimento 40 veces obteniendo 13 veces la pelota color azul, 9 veces la pelota naranja, 11 la pelota verde y 7 veces la pelota lila. La gráca de distribución frecuencial que representaría a los resultados sería algo como lo que sigue. Probabilidad frecuencial al extraer una pelota de color diferente en una urna 1 Si contrastas el comportamiento de la gráca que reere a la probabilidad teórica con la que acabas de revisar, podrás darte cuenta de la tendencia que tiene la gráca de probabilidad frecuencial en relación con la probabilidad teórica.

3 4

2 4

13 40

1 4

9 40

11 40

Pelota azul Pelota naranja Pelota verde Pelota lila

7 40

0 ◊

Con base en los datos obtenidos que reeren al experimento dela pelota 1 y 2 tratados en el tema 7.1, elabora una gráca de probabilidad frecuencial en la que aparezca contenida la información recabada en la tabla. Probabilidad frecuencial al extraer una pelota de la urna

1 Pelota 1 Pelota 2

27 50

23 50

1 2

Los valores obtenidos dependen de los resultados del experimento

0 ◊

En equipos de 6 personas, cada uno de lo integrantes debe intentar 15 veces encestar un balón o pelota en el aro de un tablero y registrar sus resultados en la siguiente tabla.

Integrantes del equipo

Frecuencia con que se encestó

Fracción

Porcentaje (%)

Frecuencia con la que no se encestó

Fracción

Porcentaje (%)

Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5 Persona 6 Totales Los valores que llenan los espacios vacíos de la tabla dependen del resultado del experimento.

197

• Representa los resultados obtenidos en una gráca de probabilidad frecuencial. • Representa la probabilidad numérica de cada evento en una gráca de probabilidad teórica. Probabilidad frecuencial respecto al lanzamiento de balón o pelota

1 Acertados Fallidos

49 90

41 90

1 2

0 Los resultados que aparecen representados en la gráca son un ejemplo de cómo quedarían distribuidos los datos. Probabilidad teórica respecto al lanzamiento de balón o pelota

1 Acertados Fallidos

1 2

0

7.2 Profundiza ◊

En la siguiente gráca está representada la probabilidad frecuencial quele correspondió a cada posible resultado una vez lanzada una pirinola.

• ¿Cuántas veces fue lanzada la pirinola?

Probabilidad frecuencial al lanzar una pirinola

Fue lanzada 120 veces. • ¿Qué cara de la pirinola se obtuvo con mayor frecuencia al efectuar todos los lanzamientos? Se obtuvo la cara que tiene marcado el texto “Todos ponen”. • ¿Qué cara de las pirinola se obtuvo con menor frecuencia al efectuar todos los lanzamientos? Se obtuvo la cara que tiene marcado el texto “Pon 1”. • ¿Cuál es la probabilidad teórica que representa numéricamente a cada evento?

4 5

Pon 2 Toma todo Pon 1 Toma 2 Todos ponen Toma 1

2 3

1 2

1 3

1 6

18 120

La probabilidad que le 1 corresponde a cada evento es de6

198

21 120

16 120

19 120

24 120

22 120

Ejercicios de reforzamiento 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de suma y resta. a) 3x + 2y = 12

b) -8x - 3y = 27

x - 2y = 3

+

3x + 2y = 12 x - 2y = 3

4x

= 15 15 x= 4

-x + 3y = -3

` j

15 3 4 + 2y = 12 45 4 + 2y = 12 45 2y = 12 - 4 3 2y = 4 3 4 y= 2

+

- 8x - 3y = 27 - x + 3y = - 3 - 9x

` j 8

- 8 - 3 - 3y = 27

64 3 - 3y = 27 64 - 3y = 27 - 3 17 - 3y = 3

= 24 24 x = -9 x =-

8 3

y=

3

17

y= 8

y =- 9

2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de igualación. a) 4x + 2y = 16 3x - 5y = 7 4x +2 y = 16

3x + 5y = 7

4x =16 2 y 16 - 2y x= 4

3x = 7 - 5y 7 - 5y x= 3 16 - 2y 7 - 5y = 4 3

^

h ^

3 16 2 y 4=7 5 - y

17 3 -3

h

x=

48 -6 y =28 20 y -6+ y 20=y- 28 4 8

x=

14y = -20 -20 y= 14 10 y=7

x= x= x=

199

a

10 16 - 2 - 7 4 20 16 + 7 4 132 7 4 132 28 33 7

k

b) -10x - 4y = 16 -x - 5y = 18

- 10x - 4y = 16

- x - 5y = 18

- 4y = 16 + 10x 16 + 10x y= -4

- 5y = 18 + x 18 + x y= -5 16 + 10 x 18 + x = -5 -4

^- 80- 50=hx -72+4 18^4

-5 16+ 10 = -x

x x

h

a

4 18 + - 23 -5 4 18 - 23 y= -5 410 23 y= 5 410 y= 115 82 y=23 y=

- 50x+ 4 =x- +72 80 - 46x = 8 8 -46 4 x=23 x=

k

3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de sustitución. a) 2x +

b) x + y = 75

y=8 x + 10y = 51

6x + y = 145

2x + y = 8

x + y = 75

y = 8 - 2x

^

h

x + 10 8 -2 x = 51 x + 80 -2 0 x =51

- 19x = 51 80 - 29 x= - 19 29 x= 19

x = 75 - y

a k

^

29 19 58 y = 819 94 y= 19 y = 8-2

h

675 - y + y = 145 450 -6 y + y =145 -+ 6y =y 145 - 450 - 5y =-305 - 305 y = -5 y = 61

200

x = 75 - 61 x = 14

4. Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 3x + 2y = 1 x+ y=5 y 16 14 12 10 8 6 4 2 -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 -2

2

4

6

8

10 12 14 16

2

4

6

8

10 12 14 16

x

-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

b) 3x + 4y = -1 y

3x + 4y = 8

16 14 12 10 8 6 4 2 -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

201

x

c) 2x + 3y = 12 4x + 6y = 24 y 16 14 12 10 8 6 4 2 -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 -2 -4

2

4

6

8

10 12 14 16

2

4

6

8

10 12 14 16

x

-6 -8 -10 -12 -14 -16

d) x - y = 2 x + 2y = 4 y 16 14 12 10 8 6 4 2 -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

202

x

5. Traza el simétrico de cada una de las figuras que se te muestran considerando que la recta R es el eje de simetría. a)

b)

R

R

c)

d)

R

R

203

6. Determina el área de las coronas circulares.

a

b

7 cm

3 cm

c

d

e

4 cm 2 cm 4 cm

Verde Naranja Azul Amarilla

Área de la corona verde: 2 r a +-b = ra 2 314. -10 cm

^

h

^ ^ h ^h ^ h h 3.14 7cm 2

2

2

= 314 cm -153. 86cm Área de la corona naranja: 2 r a +b+c- +2 a=r b

^

h^

2

314 -. 14 cm

3.14 10cm

^h ^ h= 615^h ^.44h cm -h314cm

h^

2

Área de la corona amarilla: 2 r a +b+c+ + d e- +a+ + b rc=d

h^

2

^ h^ h ^ -3^14h. 16h cmh 2

2

= 803.84cm

^

2

=160 . cm 14

2

Área de la corona azul: 2 r a +b++ c d- ++ a br =c

^

2

2

2

2

3.14 14cm -615 . 44 cm

^^ h ^h^ -3h14. 20h cm h 2

2

=301 . cm 44

2

2

3.14 16cm

= 1 256 cm 2 -803. 84cm

204

2

= 188 . cm 4

2

=452 . cm 16

2

7. Determina la longitud del arco considerando la información que se describe en cada uno de los incisos. a)

b)

r = 6.5 cm

r = 3.14

r = 5.25 cm

r = 3.14

i = 45c

i = 51c

!

!

s=?

s=?

A

B s

s

B

i

a

O

r

r

A

^ h^ h =40. 82cm ^ 40.82 cm h^45 h s= = 5.1025 cm

^ h^ h = 32cm.97 ^ 32.97 cm h^102 h s= = 9.3415 cm

rD = 3.14 1 3cm

!

rD = 3.14 10 .cm 5

!

c

360c

c

360c

8. Determina el área del sector circular considerando la información que se describe en cada uno de los incisos. a)

b)

r = 10.5 cm

r = 3.14

r = 7.2 cm

r = 3.14

i = 44c

i = 36c

A SC = ?

A SC = ?

s

r

i

r

i s

^ ^ h^h^ h h

2

A SC = rr 2 = 3.14 10.cm 5 =346 . cm 185 346.185 cm 2 44 c A SC = = 42.3115 cm 2 360c

2

cm =162 7776 ^ ^ h^ h^ hh = 16.2776 cm

A SC = rr.2 = 3. cm 14 7 2 . 162.7776 cm 2 36 A SC = 360c

205

2

c

2

2

9. Identifica cuál de las siguientes expresiones algebraicas se encuentra representada gráficamente en el plano cartesiano colocando la letra dentro del paréntesis correspondiente. y

a) y = -3x-2

( a) ( d) 6

b) y = 3x+2

5

c) y = 3x-2

4

d) y = -3x+2

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1-0 -1

1

2

3

4

x

5

-2 -3 -4 -5 -6

( b)

( c)

10. Traza en el siguiente espacio rectas que representen a las siguientes expresiones algebraicas. y

a) y = 13 x + 2

y=

3

b) y = x - 2

1 x+2 3

2.5

c) y = -x + 2

2 1.5

d) y = -5x - 14

1

e) y = 0.25 x +0 30 .

0.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5-0 -0.5

y = 0.25x + 0.30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

-1 -1.5 -2

y = -x + 2

-2.5 -3

y=x-2

206

y = 5x -

1 4

11. Escribe tres expresiones algebraicas y represéntalas en el siguiente plano cartesiano bajo la consigna de que m sea igual para todos los casos y b sea diferente. y 6 5

y = 3x + 2

4 3

y = 3x - 1

2 1

y = 3x + 4 -7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 -1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2 -3 -4 -5 -6

12. Escribe tres expresiones algebraicas y represéntalas en el siguiente plano cartesiano teniendo en cuenta que m sea diferente y b sea igual para todos los casos. y

y = 4x + 2

6

4 y= 5x+2

4

5

3 2

y = 2x + 2

1 -7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

207

1

2

3

4

5

6

7

x

13. Una persona lanzó un dado de6 caras (marcadas con los dígitos1, 2, 3, 4, 5 y 6) 100 veces y registró parte de sus resultados en una tabla como la que se muestra a continuación. Ayúdalo a completarla y lleva a cabo las indicaciones que se describen. Cara marcada con el dígito

Veces que se obtuvo la cara

Porcentaje

1

18

18%

2

16

16%

3

15

15%

4 5

20 15

20% 15%

6

16

16%

a) Representa los valores de la tabla en una gráfica de barras en el siguiente espacio. Resultados al lanzar 100 veces un dado 25 1

20

2 15

3 4

10

5 5

6

0 1

23456

208

b) Representa la probabilidad frecuencial para cada uno de los eventos en una gráfica de barras.

Probabilidad frecuencial para cada uno de los eventos

1 5 6

1

4

2

6

3

3 6

4

2 6 1 6

5

18 100

16 100

1

23

15 100

20 100

15 100

16 100

6

0 4

5

6

c) Representa en una gráfica de barras la probabilidad teórica para cada uno de los eventos.

Probabilidad teórica para cada uno de los eventos

1 5 6

1 2

4 6

3

3 6

4

2 6

5 6

1 6 0 123456

209

Evaluación: bloque 5 Secundaria: ___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊


1. Par de ecuaciones que son equivalentes teniendo en a) Par de coordenadas: (0, 2) cuenta que x = 2 y y = - 2. b) Par de coordenadas: (2, 0) c) Par de coordenadas: (1, 1) a) Primera 2x + 4y = - 4 d) Par de coordenadas: (0, 2.5) Segunda x+y = 3

( b) Primera ( Segunda

6x + 4y = - 4

-x+y

c) Primera Segunda

(

d) Primera Segunda

(

4. Es una transformación geométrica, que con respecto a una recta, asocia cada punto con su homólogo.

= 3

a) Simetría central b) Simetría axial c) Simetría radial d) Simetría bilateral

3x + 4 y = - 2 5x + y = 8 5x + y = 8 4x + y = 10

2. ¿Cuáles son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

(

x + y = 24 2x +2 y 48 =

5. ¿Cuál es la longitud aproximada del arco que forma el ángulo AOC si la medida del ánguloABC es igual a 23.5°? Ten en cuenta que la longitud de la circunferencia es igual a 37.68 cm?

a) x = 12; y = 4 b) x = 1; y = 2 c) El sistema de ecuaciones tiene innidad de soluciones d) El sistema de ecuaciones no tiene solución

B O

3. En el plano cartesiano se encuentran 2 rectas que representan al sistema de ecuaciones

(

x+y = 2 2x + y = 3

,

A

C

¿qué par de coordenadas representan la solución del a) Aproximadamente 4.92 cm b) Aproximadamente 4.91 cm sistema? c) Aproximadamente 4.90 cm y d) Aproximadamente 4.93 cm 4

6. ¿Cuál es el área aproximada del sector circular que tiene como límites a los radiosDC y DA si se sabe que el área del círculo es igual 38.465 cm2 y el ángulo ABC es igual a 55°?

3 2

B

1

x

0 −5

−4

−3

−2

−1

0 −1 −2

1

2

3

4

5

a) 11.7 cm2 b) 12.0 cm2 c) 10.8 cm2 d) 13.2 cm2

D A

−3

210

C

7. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular 9. En la siguiente recta, ¿cuál es el par de coordenadas el área de la corona circular? que tiene la ordenada al srcen? y 10

R

8

r 6 4 2

a) A = r r2 - r R2 b) A = 2r - 22R 2 c) A = r (R - r ) d) A = 2 r R2 - 2 r r2

−8

−6

−4

0

−2

2

4

6

8

x

−2 −4

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa a la gráca construida en el siguiente plano cartesiano? y

−6

a) Par de coordenadas: (0, 2) b) Par de coordenadas: (2, 0) c) Par de coordenadas: (1, 1) d) Par de coordenadas: (0, 2.5)

10 8 6

10. ¿Qué características distinguen a la siguiente recta?

4

y

2 0 −8

−6

−4

−2

2

4

6

8

7

x

6

−2

5

−4

4

−6

3 2

a) y = - 6x + 4 b) y = 3x + 2 c) y = 6x + 4 d) y = - 3x + 2

1 0 0

x 2

4

6

8

10

12

a) La recta tiene pendiente positiva y es decreciente b) La recta tiene pendiente negativay es creciente c) La recta tiene como ordenada al srcen el par de coordenadas (0, 6) y es creciente d) La recta tiene pendiente negativa y las coordenadas de la ordenada al srcen son (0, 6)

211

11. ¿Qué sucede con las rectas a medida que el valor de la pendiente va aumentado? y

13. ¿Qué sistema de ecuaciones está representado en el siguiente plano cartesiano? y 14

10

13 8

12

6

11

4

10

2

9

−5

−4

−3

−2

−1

−2

8

x

0 0

1

2

3

4

5

7 6

−4

5

−6

4 3 2

a) Las rectas se van inclinando más hacia el eje de las abscisas b) Las rectas se van inclinando más hacia el eje de las ordenadas c) Las rectas se prolongan más d) Las rectas se van acortando 12. ¿Qué tipo de gráca se está representando en el siguiente plano? 30

1 −6

−5

−4

−3

( b) Primera ecuación ( Segunda ecuación c) Primera ecuación ( Segunda ecuación d) Primera ecuación ( Segunda ecuación a) Primera ecuación Segunda ecuación

Resultados al lanzar 120 veces una pirinola

0 −1 −1

−2

0 1

2x +2 y 20 = 4x +

y = 2

2x +2 y 20 = 4x + 4y = 2

25 20 15 10

Pon 2 Toma todo Pon 1 Toma 2 Todos ponen Toma 1

5 0

a) Gráca de frecuencias b) Gráca de probabilidad teórica c) Gráca de probabilidad frecuencial d) Histograma

212

3x +

y

= 10

2x + y

= 12

x+y = 5 x+y = 8

2

3

4

x

Formulario Forma

Elementos

Perímetro

Área

l : Lado

P=l+l+l+l

A=l2

b: Base h: Altura

P=l+l+l+l

A=b×h

Cuadrado

Rectángulo

Triángulo b: Base h: Altura P=b+m+n

b = Lado 1 m: Lado 2

A =

b

#

h

2

n: Lado 3

Pentágono

a: Apotema b: Base

P = 5b

A =

P

#

a

2

Hexágono

a: Apotema

P = 6b

P A =

b: Base

213

#

2

a

Forma

Elementos

Perímetro

Área

Círculo

r

= 3.1416

d: Diámetro r: Radio

P

=

d#r

A= r#r

2

Rombo l : Lado P=l+l+l+l

d: Diagonal menor D: Diagonal mayor

A =

D

#

d

2

Trapecio b = Lado 1 B = Lado 2 n: Lado 3 o: Lado 4

P=b+B+n+o

b: Base menor B: Base mayor h: Altura

214

A=

^ h

B+b h 2

COMPLEMENTO PARA MATEMATICAS 2 LIBRO DEL PROFESOR_ respuestas (8).pdf

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