COMPENDIO 2012 razonamiento matemático

Razonamiento Matemático

Primer grado

Primer grado de secundaria

SUCESIONES

Eso es entonces una sucesión

En el capítulo de hoy entraremos al fascinante mundo de las SUCESIONES, es un capítulo muy sencillo te vas a pasear.

 

Podrías tú de terminar que elemento

2, 4, 6, 8, …

,

,

,

,…



A, B, C, D, E,



lunes, martes, miércoles, …



Mercurio, Venus, Tierra, Marte, …



+,x,-,…

CLASIFICACIÓN

A. SUCESIÓN NUMÉRICA Ejemplo : 1, 4, 7, 10, …………………………………………..

…

CONCEPTO Se llama sucesión ...................................... ...................................... ........................................... .................................................................. ........................... ........................................... .................................................................. ........................... Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

Podemos observar que los números van de en a este valor se le llama

1. SUCESIÓN ARITMÉTICA Cuando la razón es un

Página 1

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Tercer Grado

Ejemplo : 9, 11, 13, ……………………… 4, 8, 12, ………………………..

15,

¡No te olvides!

16,

2. SUCESIÓN GEOMÉTRICA Cuando la razón es un

También pueden ser iniciales de Ejemplo : ¿Cuál sigue en la siguiente sucesión?

1, 2, 4, 8, …………………… 1, 3, 9, 27, …………………

3. SUCESIÓN COMBINADA

U, D, T, C, C, ………………………………

Cuando la razón es un

o un

Hallar el siguiente valor en: 1, 2, ………………….

5,

C. SUCESIONES GRÁFICAS 10,

13,

Ejemplos : ¿Qué figuras crees que sigue en los siguientes?

B. SUCESIONES LITERALES Es una secuencia de siguiendo el orden del ya sea en orden directo o .



, ……….

,



, ………………

,

,

,

,

Ejemplo : A, C, E, G, I, …………………… Debemos tener en cuenta lo siguiente : ABCEDARIO : A I P X

B J Q Y

C K R Z

D L S

E M T

Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

F N U

G H Ñ O V W





,

,

,

, …………………

,

2


Tercer Grado

Ejemplo : 9, 11, 13, ……………………… 4, 8, 12, ………………………..

15,

¡No te olvides!

16,

2. SUCESIÓN GEOMÉTRICA Cuando la razón es un

También pueden ser iniciales de Ejemplo : ¿Cuál sigue en la siguiente sucesión?

1, 2, 4, 8, …………………… 1, 3, 9, 27, …………………

3. SUCESIÓN COMBINADA

U, D, T, C, C, ………………………………

Cuando la razón es un

o un

Hallar el siguiente valor en: 1, 2, ………………….

5,

C. SUCESIONES GRÁFICAS 10,

13,

Ejemplos : ¿Qué figuras crees que sigue en los siguientes?

B. SUCESIONES LITERALES Es una secuencia de siguiendo el orden del ya sea en orden directo o .



, ……….

,



, ………………

,

,

,

,

Ejemplo : A, C, E, G, I, …………………… Debemos tener en cuenta lo siguiente : ABCEDARIO : A I P X

B J Q Y

C K R Z

D L S

E M T


F N U

G H Ñ O V W





,

,

,

, …………………

,

2


Las sucesiones gráficas son aquellos cuyos elementos son y el siguiente gráfico o figura se determina a partir de los anteriores.

Tercer Grado

6. ¿Cuál número sigue? 2, 5, 10, 25, 42, 93, x a) 142 d) 145

b) 143 e) 146

c) 144

7. Hallar el valor de “x” e “y” en : EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Una sucesión es un ____________________ de __________________ (número, letras, figuras) tales que cada uno ocupa en lugar establecido de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente. 2. Las sucesiones numéricas pueden ser : _________________________________ 3. Hallar el término que sigue en cada sucesión numérica :

2, 3, 4, 6, 8, 11, 16, 18, x, y a) 32 y 30 27 d) 18 y 27

b) 30 y 28

c) 32 y

e) 32 y 26

8. Hallar la letra que sigue en cada sucesión : - C, E, H, J, M, ………………………….. - C, E, I, Ñ, a) N y V d) N y U

…………………………..

b) Ñ y V e) Ñ y U

c) Ñ y W

9. Hallar el par de elementos que sigue en:

 4, 7, 10, 13 , ……………………

(1,a) ; (1,c) ; (2,e) ; (6,h) ; …………

 5, 9, 13, 17, ……………………  1, 2, 6, 24, ……………………  3, 6, 18, 36, ……………………

4. Hallar el término que sigue en cada sucesión literal.    

B, D, F, H, …………………… C, F, I, L, …………………… E, G, J, N, …………………… …………………… F,H,K,M,O …………………..

5. Hallar el número que sigue en cada sucesión. 

2, 5, 9, 15, 24, ……………



6, 11, 17, 25, 36, …………..


a) (18,h) d) c y e)

b) (24,n) e) (24, l)

c) (24,ñ)

10. Señalar la figura que sigue en cada caso. a)

R

S

T

U

v

3


Tercer Grado

TAREA DOMICILIARIA

b)

1. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda : 1

2

4

3

5

5

- Los elementos de una sucesión se

c)

1

2

3

4

5

denomina Términos de la Sucesión. ( ) - Las sucesiones gráficas pueden ser figuras o letras. ( ) - Las sucesiones numéricas son de 2 tipos : aritméticas y geométricas. ( ) - Cuando la razón es un factor la sucesión es aritmética. ( )

5

11. Señalar la figura que sigue en cada caso.

2. Relacione correctamente : a. Sucesión gráfica ( ) b. Sucesión aritmética ( )

a)

c. Sucesión geométrica ( ) d. Sucesión combinada ( ) e. Sucesión literal ( ) b)

factor factor y sumando letras figuras sumando

3. Hallar el término que sigue en cada sucesión numérica.   1

2

3

4

5

5

 

2, 5, 8, 11 , 3, 8, 13, 18, 1, 3, 9, 27, 2, 6, 12, 36,

………………… ………………… ………………… …………………

c) 4. Hallar el término que sigue en cada sucesión literal.

1

2

3


4

5

5

- C, E, G, I, - B, E, H, K, - D, F, I, M, - U, D, T, C,

……………………… ……………………… ……………………… ………………………

4


Tercer Grado

5. Hallar el número que sigue en cada sucesión.  

4, 6, 9, 14, 22, 1, 4, 8, 14, 23,

11. Hallar el par de letras que sigue BC, EE, JI, PÑ, ……………………

……………………… ………………………..

a) 33 y 36 b) 34 y 35 c) 34 y 36 d) 34 y 37 e) 35 y 36

a) XW d) XV

b) YW e) YV

c) ZV

12. Hallar el par de elementos que sigue en : (1,a) ; (4,d) ; (12,h) ; (24,k)

6. Hallar el número que sigue en cada sucesión. 2, 6, 12, 36, 72, 9, 3, 6, 2, 4,

a) (18,h) d) (24,ñ)

b) (24,h) e) (18,l)

c) (24,l)

………………… …………………

13. Señalar la figura que sigue en cada caso: a)

7. ¿Qué número sigue? 1, 3, 8, 18, 31, 57, ………………… a) 84 d) 87

b) 85 e) 88

c) 86

P

R S Q T 14. Señalar la figura que sigue en cada caso:

8. Hallar el valor de “x” e “y” en : 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27, 14, x, y, ……

a)

a) 81 y 18 b) 54 y 22 c) 81 y 22 d) 54 y 20 e) 81 y 20 9. Hallar la letra que sigue en cada sucesión. - L, M, M, J , - U, T, C, S , a) O y Ñ d) S Y M

……………… ………………

b) S y N e) S Y Ñ

c) O y N

P

R

Q

S

T

b)

10. ¿Qué letra sigue? Z, V, S, O, M, ………………………

a) J d) K

b) I


c) L E) H

1

2

3

4

5

5

5


Tercer Grado

CONTEO DE FIGURAS I

Ejemplo: Nuestra capacidad de observación es siempre importante en el curso de R.M. Hoy seguiremos haciendo uso de ella CONTANDO FIGURAS ya verás que te vas a divertir.



Hallar el total de segmentos en:

Ejemplo: 

Tan solo usa la fórmula ya dada.

Hallar el total de triángulos que se pueden contar en la figura mostrada. No la respuesta es 6 ni 7 observa bien

Solución .-

Solución.Ejemplo: 

Hallar el total de segmentos en:

Ya lo has podido encontrar Muy fácil verdad CONTEO DE ÁNGULOS


¡RECUERDA! Un ángulo es la intersección de 2 rayos con un punto inicial llamado VERTICE.

nn

6

3 2

1


Tercer Grado

Solución.-

Total de ángulos = Ejemplo : 

Hallar el total de ángulos en:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Colocar V o F según corresponda:

Tan solo usa la fórmula a dada



Número de segmentos



Número de ángulos



Total de segmentos

( )

2 n(n  1)

( )

2

n2 (n  1) 2

( )

2. Se tiene : R

Solución.-

n(n  1)

T

C

E

A

Responder:  



¿Cuántos puntos hay? ¿Cuántos segmentos se pueden contar? ¿El número de segmentos será 10?

3. Halla el número total de segmentos en: Ejemplo: 

Hallar el total de ángulos agudos en:

¡RECUERDA! Que ángulo agudo es aquel mayor a 0º pero menor a 90º


a) 10 b) 15 C E c) 20 T R I d) 25 e) 30 4. Hallar el número total de ángulos en: T

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

R I L C E 7


Tercer Grado

5. Hallar el número total de triángulos en: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

11. Hallar el número total de ángulo agudos en: a) 10 b) 20 c) 30 d) 31 e) 32

6. Hallar el número de cuadriláteros en:

TAREA DOMICILIARIA Nº4

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

1. Hallar el número total de segmentos en:

7. Hallar la cantidad total de segmentos que se cuentan en: a) 200 b) 10 c) 110 d) 202 e) 100

E

S

T

U

D

A

I

R

2. Hallar el total de ángulos en: P

8. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada? a) 22 b) 23 c) 24 d) 28 e) 32

R A

a) 9 b) 8 c) 45 d) 36 e) 90

C T I C R

A

3. Hallar el total de triángulos que se puede contar en:

9. ¿Cuántos segmentos se pueden contar? a) 40 b) 43 c) 50 d) 60 e) 90

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 4. Hallar el total de cuadriláteros que se pueden contar en:

10. Hallar el número total de ángulos agudos que se pueden contar. B a) 8 b) 21 c) 23 d) 28 e) 30

a) 7 b) 8 c) 28 d) 36 e) 40

A


a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

C 8


Tercer Grado

5. Hallar la cantidad total de segmentos que se observan en: a) 12 b) 35 c) 178 d) 70 e) 108

d) 56 e) 112 11. Hallar el total de triángulos en:

6. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?.

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 12. Hallar el total de cuadriláteros en:

a) 8 b) 6 c) 48 d) 24 e) 12

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

7. ¿Cuántos segmentos se pueden contar?. B

a) 165 b) 105 c) 60 d) 30 e) 90

A

C

8. Hallar la cantidad de ángulos que se observan en el vértice “A”. B a) 12 b) 15 c) 17 d) 21

A

C

9. ¿Cuántos ángulos agudos se pueden contar?. C

a) 15 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

D

B

A

E

10. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? a) 21 b) 42 c) 133 Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

9


Tercer Grado

OPERADORES MATEMÁTICOS


10


Tercer Grado

Nosotros podemos definir nuevos

OPERACIÓN MATEMÁTICA .................................................................. .................................................................. .................................................................. OPERADOR MATEMÁTICO .................................................................. .................................................................. .................................................................. OPERACIÓN

OPERADOR

Suma Resta Multiplicación División

+ x 

1. MEDIANTE FÓRMULA Ejemplo : a



b

= 2a + 3b

Luego : Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

11


Tercer Grado

1 2= 35= Ejemplo :

x = 2x + 3

Luego : 2 = 3 =

2. MEDIANTE TABLA Es el conjunto A = {a, b, c, d} podemos definir la siguiente tabla. 

a b c d

a b c d a

b c d a b

Entonces : a  b = a d =

c d a b c

d a b c d bc= cd=

Se puede usar cualquier símbolo para mi “nueva operación matemática” Ejemplo : , #, ∆, , , , , …. ,etc.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS. 1. CLAUSURA O CERRADURA Si a y b pertenecen a un conjunto “C” por ejemplo, la operación definida también pertenece a dicho conjunto.

Ejemplo : En ℕ la suma es cerrada : 3+4=7 3 ∈ ℕ, 4 ∈ ℕ entonces 7 ∈ ℕ - En ℕ la multiplicación es cerrada : 8 x 5 = 40 8 ∈ ℕ, 5 ∈ ℕ entonces 40 ∈ ℕ

Aplicación : Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

12


Tercer Grado

- En ℕ se define : a  b = 3a + 4b ¿Es cerrada?

Solución :

- En A = {a, b, c} se define la tabla: 

a b c

c a b c

b b c a

a c a b

¿Es cerrada? Solución .-

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA 

∈C

ab =b

Ejemplos : En ℕ la suma es conmutativa. 8+3=3+4 2+7=7+2 - En ℤ la multiplicación es conmutativa. *8x3=3x8 *7x2=2x7 Aplicación : - En ℕ se define a  = a + b + 3 ¿Será conmutativa?. Solución :

- En C = {m, n, p} se define la tabla. ¿Es conmutativa? m n m n p n p m p m n 3. ELEMENTO NEUTRO 


p m n p 13


Tercer Grado

Es aquel que operando con cualquier número se obtiene el mismo número. Ejemplos : - El elemento neutro de la suma es el 0 3 + 0 = 3 , 11 + 0 = 11 - El elemento neutro de la multiplicación es el 1. 4 x 1 = 4 , 19 x 1 = 19 etc.

Aplicación : - En ℕ se define : a ∆ b = a – b + 2 ¿Cuál será el elemento neutro? Solución :

- En B = {x, y, z} se define la tabla. ∆

z x y

x x y z

y y z x

z z x y

¿Cuál será el elemento neutro?

4. ELEMENTO INVERSO Es aquel que operando con un número se obtiene el elemento neutro. El inverso de un número es único para ese número. Ejemplo :

En la suma el inverso de 4 es -4 Por que 4 + (-4) = 0 Aplicación : * Del ejemplo anterior para la operación ∆ hallar el inverso de 3 y el inverso de 5. Inverso de 3 (3-1) = Inverso de 5 (5-1) = * Del ejemplo anterior de la tabla, hallar : inverso de x (x-1) = inverso de y (y-1) = inverso de z (z-1) =


14


Tercer Grado

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

La operación matemática en un proceso que consiste en la ______________________ de una o más ____________ en otra cantidad llamada ____________________.

2.

La operación matemática es representada por un símbolo llamado ______________________.

3.

Si : a  b = 2a + b Hallar : 3  4 a) 9 d) 12

4.

b) 10 e) 13

c) 11

Se define en : A = {a, b, c, d} la siguiente tabla: 

a b c d

a b c d a

b c d a b

c d a b c

d a b c d

Hallar : (b  d)  (a  c) a) a d) d 5.

b) b e) b y d

Se define : x Hallar : a) 66 d) 69

6.

= x2 + 3x 4 +

5 b) 67 e) 70

c) 68

Si : m # n = 2m + 3n Hallar : (2 # 3) # (4 # 2) a) 76 d) 79

7.

c) c

b) 77 e) 80

c) 78

Se define : 2a – b ; a > b a∆b = a+b;a < b Calcular : P = (2 ∆ 1) ∆ (1 ∆ 2)


15


a) 5 d) 8 8.

Tercer Grado

b) 6 e) 9

c) 7

b

Si :

= a2 - bc a

c 2

3

Hallar :

–

4

3

2

a) 1 d) 4

1

b) 2 e) 5

c) 3

9.

Se define en : A = {2, 3, 4}  2 3 4 2 4 3 2 3 2 4 3 4 3 2 4 Calcular : S =

(3  4)  (2  4) (2  3)  (3  4)

a) 1 d) 0,2

b) 2 e) 3

c) 0,5

10. Dada la siguiente tabla : * a b c d

a c d a b

Calcular : M = a) b d) 1

b d a b c

c a b c d

d b c d a

(a  c)  (b  d) (a  b)  (c  d)

b) a e) d

c) a/b

11. Se tiene la siguiente tabla : 

m n p q r

m p q m n r

n q p n r m

p m n p q r

q n r q p n

r r m r m p

Hallar el elemento Neutro. Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

16


a) m d) q

Tercer Grado

b) n e) r

c) p

12. Del ejercicio anterior : Hallar : (n-1  p-1)  (q-1  r-1) a) m d) q

b) n e) r

13. Si :

c) p

x

= 2(x – 1)

x

= 3(x – 1)

Hallar x en : x a) 4/7 d) 13/6

=

2

b) 7/3 e) 13/3

c) 13/7

14. En el conjunto : A = {0, 1, 2, 3, 4} 

0 1 2 3

0 2 2 0 3

1 3 3 1 2

2 0 0 1 1

3 1 1 1 0

1 1 2 1 1



1 2 3 4

2 1 4 1 2

3 1 1 4 2

4 1 2 2 4

Hallar “x” en :

(x  x)  (3  1) = (4  3)  (4  1) a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

15. Se define en : C = {a, b, c, d, e} 

a b c d e

a c d e a b

b d e a b c

c e a b c d

d a b c d e

e b c d e a

¿Cuál de las siguientes proporciones es verdadera?. I. [a  (x  c)]  d = c , si x = e II. Se cumple la propiedad conmutativa III. Se cumple la propiedad de clausura IV. El elemento neutro es “a” a) I y III d) I y IV

b) III y IV e) Todas


c) II y III 17


Tercer Grado

TAREA DOMICILIARIA Nº 5

1. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ( ) - Toda operación matemática presenta una regla de definición. - El elemento Neutro es aquél que operado con otro elemento se obtiene el elemento inverso. ( ) - La operación matemática es representada por el operador. ( ( - Toda operación matemática presenta elemento neutro.

) )

2. El resultado de operar un elemento con su inverso es el _____________________. 3. Si : a  b = a – 2b Hallar : 5  2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

4. Se define en : A = {a, b, c, d} La siguiente tabla : a c d a b



a b c d

b d a b c

c a b c d

d b c d a

Hallar : (c  a)  (d  b) a) a d) d

b) b e) a ó c

c) c

5. Se define : x

=

2x + 3

x

=

4x – 5

Hallar : 5 + a) 19 d) 22

3 b) 20 e) 23

c) 21

6. Si : m % n = 2m – n y : m ∆ n = n – 3m Hallar : a) 2

(4 % 3) (20  5)

b) 1


c) 0 18


d) -1

Tercer Grado

e) -2

7. Se define : a

b =

a – 2b ; a > b

Calcular : M = (5 2) a) -2 d) 1

(4 3)

b) -1 e) 2

c) 0

a

8. Si :

= bc - a2

b

c

Hallar :

2

3

-

5

2

2

7

9. Se define en A = {5, 6, 7} # 5 6 7

5 7 5 6

6 6 7 5

7 5 6 7

Calcular : E = 6  7  (5  7)

(5  6)  (6  7)

a) 1 d) 0,2

b) 2 e) 3

c) 0,7

10. Dada la siguiente tabla : % a b c d

d c d a b

c d a b c

d a b c d

a b c d a

Calcular : N =

(d % b) % (c % a)

a) a d) 1

b) b e) c

(d % c) % (b % a)

c) b/a

11. Se tiene la siguiente tabla : 

z v

v x y

w y z


x z v

y z v w w x 19


w x y

z v w

v w x

Tercer Grado

w x y

x y z

y z v

Hallar el elemento neutro. a) v d) y

b) w e) z

c) x

12. Del ejercicio anterior, hallar : [(w-1  z-1)]  (y-1  v-1)]  x-1 13. Si :

x=x+4 x =5 -x x

Hallar “x” en :

a) 9 d 12

=

3

b) 10 e) 13

c) 11

14. En el conjunto : B = {0, 1, 2, 3, 4} ∆1 2 3 4



4 3 2 1

0 1 2 3

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

1 2 3 4

3 3 2 1 0

2 2 1 0 3

1 1 0 3 2

0 0 3 2 1

Hallar “x” en : (3∆x)  (4∆1) = (32) ∆ (10)

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

15. Se define en : c = {m, n, p, q, r} n p q r  m ¿Cuál de las r p q r m n siguientes q q r m n p proposicion p r m n p q es es n m n p q r m r p q r m I. Es conmutativa II. Es cerrada III. No tiene elemento neutro a) I d) I y II

b) II y III e) Todas


c) III

20



Tercer Grado

21



Tercer Grado

22

Razonamiento Matemático

Primer grado MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN

OBSERVACIÓN

A continuación el día de hoy veremos un método muy práctico par hallar 2 cantidades desconocidas.

“Es suponer, asegurar algo como verdadero”

Los datos totales deben tener relación con el dato unitario.



El procedimiento de solución consiste en :  Falsa Suposición Error Total  Error Unitario  Número de Errores 

Ejemplo EL PROBLEMA DE LA JAULA

¿Cómo es que se aplica esto suponer algo como verdadero?.



Primero para aplicar este método hay que tener en cuenta los siguientes 4

En una jaula donde hay gallinas y conejos, pueden contarse 30 cabezas y 90 patas. ¿Cuántas gallinas hay?

Solución:

datos: 

2 datos totales



2 datos unitario


Dato total 1 = 30 cabezas Dato total 2 = 90 patas Dato unitario 1 = # de patas de gallina = 2 Dato unitario 2 = # de patas de conejo = 4

Página 23


Tercer Grado

Tomando el “dato unitario mayor” supongamos que todos los animales son “conejos” entonces habrá x = Patas de conejo

¿Si esta bien, pero no habrá un método más práctico

Se observa que el # de patas es mayor al DATO TOTAL 2, entonces hay un ERROR.

Error tot

-

Y como se usa un rombo en la falsa

=

Se verá a continuación: El error anterior representa la cantidad de patas demás, para el número de conejos este valor representa “LA CANTIDAD DE PATAS QUE NO SON DE CONEJO ”. ¿Cuál será la cantidad de patas de error por animal? Error unitario =

-

Dato unitario mayor Se multiplican

x

(-)

= Dato total 1

(-)

Se restan

=

Error Total Error Unitario

Luego el # de

=


Dato total 2

Este “dato total” tiene las mismas unidades que los DATOS UNITARIOS

Representa la cantidad de animales que no son conejos o sea: #

Al producto se le resta…

Dato unitario menor

El valor pedido está dado por el dato unitario “inferior” 24


Tercer Grado

Finalmente se dividen los resultados de ambas operaciones. Para el ejemplo: 4 x 30

4. En verano concurrían a la academia algunos con sus bicicletas y otros con sus triciclos. El vigilante para saber que no le faltaba ninguno, contaba siempre 255 ruedas y 200 pedales. Dar como respuesta el número de bicicletas.

(-) (-)

90

a) 65 d) 50

# gallinas = = 15

2

a) 12 d) 15

b) 10 e) 16

c) 8

2. En un zoológico hay 40 animales, entre aves y felinos. Si se cuenta el número total de patas tenemos que es 100. El número de aves es: a) 10 d) 15

b) 20 e) 40

c) 30

3. En una granja hay 60 animales entre chanchitos y patitos. Si se cuentan 150 patas. Entonces ¿Cuántos chanchitos hay en la granja? a) 45 d) 15

b) 30 e) 60

c) 20

c) 45

5. En una competencia ciclística habían triciclos y bicicletas. Si se contaron 55 timones y 135 llantas ¿Cuántos eran las bicicletas que habían en dicha competencia? a) 40 d) 20

1. Se Tienen 28 animales entre vacas y gallinas si en total se cuentan 80 patas. ¿Cuántas vacas hay?

b) 55 e) 100

b) 30 e) 35

c) 25

6. Raúl tiene S/. 3500 en billetes de S/. 50 y S/. 100 ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay en total 45 billetes? a) 20 d) 15

b) 25

c) 30 e) 45

7. Lucho para pagar una deuda de S/. 100 emplea billetes de 10 y 5 ¿Cuántos billetes de los 15, con que pagó dicha deuda son de 10? a) 20 b) 10 c) 5 d) 8 e) 13 8. Si se desea envasar 100 litros de gaseosa en botellas de 3 Lts. y 4Lts. Si el total de botellas es 30. ¿Cuántas son de 3 Lts.? a) 10 d) 20

b) 15 e) 30

c) 25

9. A una fiesta entraron un total de 350 personas entre niños y niñas; se recaudo Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

25


Tercer Grado

1550 soles debido a que cada niño pagó 5 soles y cada niña un sol menos. ¿Cuál es la diferencia entre el número de niñas y el número de niños? a) 100 d) 60

b) 150 e) 50

c) 75

10. En una prueba de examen un alumno gana 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente? a) 42 d) 24

b) 36 e) 32

c) 38

11. Un padre propone 12 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibió S/. 10 y por cada problema que no resuelva perderá S/. 6. Después de trabajar en los 12 problemas el muchacho recibe S/. 72 ¿Cuántos problemas resolvió? a) 3 d) 9

b) 6

c) 8 e) 7

12. Una persona cada día que trabaja ahorra 4 soles, en cambio el día que no labora gasta 2 soles. Si durante 10 días ha ahorrado 22 soles. ¿Cuántos días trabajó? a) 5 d) 8

b) 6

c) 7 e) más de 8

1. En un establo hay vacas y gallinas. Si el número total de animales es 50 y el número total de patas es 160. El número total de vacas es: Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

a) 20 d) 10

b) 40 e) 25

c) 30

2. En un corral hay 180 patas y 54 cabezas; si lo único que hay son gallinas y conejos ¿Cuál es el número de alas? a) 36 d) 54

b) 18 e) 60

c) 48

3. En una colección de mosquitos y arañas se cuentan 50 cabezas y 340 patas ¿Cuántas arañas habían? a) 18 b) 20 c) 30 d) 32 e) 24 4. En una playa de estacionamiento hay sólo autos y motos en total 60 vehículos cada uno con una llanta de repuestos. ¿Cuántos autos hay, si en total se cuentan 264 llantas? a) 40 d) 46

b) 42 e) 48

c) 44

5. Revendieron entre adultos y niños un total de 211 boletos para una función de circo. Si un boleto de adulto costó S/. 5 y un boleto de niño S/. 3 ¿Cuántos boletos de adulto se vendieron si la recaudación total fue de S/. 753? Como respuesta dar la suma de cifras: a) 6 11 d) 15

b) 5

c)

e) 18

6. Para cancelar una deuda de 1390 soles se usó billetes de 20 soles y 50 soles, en total 35 billetes. ¿Cuántos de estos billetes fueron de 50 soles? a) 19 d) 22

b) 20 e) 23

c) 21 26


Tercer Grado

7. José cada día que trabaja gana 40 soles y el día que no trabaja debe pagar 5 soles de multa. Después de 30 días recibe S/. 840 soles ¿Cuántos días no trabajó? a) 8 10 d) 11

b) 9 e) más de 11

b) 50 e) 40

c) 30

9. En un examen de 20 preguntas cada respuesta correcta recibe 6 puntos y cada respuesta equivocada - 4 puntos, si un estudiante saca cero ¿Cuántas preguntas buenas tuvo? a) 18 d) 10

b) 12 e) 9

c) 8

10. Un litro de leche pesa 1032 gr y un litro de agua de mar pesa 1055 gr. En una mezcla de 10 litros han intervenido ambos componentes y pesa 10366 gr. ¿Qué cantidad de agua de mar hay en la mezcla? a) 1 litro d) 2,5

b) 1,5 e) 8

c) 2

11. Cada vez que Manolo sale con Vanesa gasta S/. 15 y cada vez que sale con Raquel gasta S/. 25. Si ha salido 30 veces (con Vanesa o Raquel) y gastó en total S/. Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

a) 8 18 d) 24

b) 12

c)

e) 30

c)

8. En un concurso de admisión, la prueba tiene 100 preguntas, por respuesta correcta se asigna un punto y por incorrecta tiene puntaje en contra de 1/4 de punto “Vale ha obtenido en dicha prueba 50 puntos habiendo respondido la totalidad de preguntas planteas. ¿Cuántas erró? a) 10 d) 25

670 ¿Cuántas veces Manolo salió con Vanesa?

12. Un cazador dispara 5 veces para matar una paloma y 2 veces para matar un conejo, si hoy hizo 135 disparos llegando a matar 35 animales. ¿Cuánto es la diferencia entre el número de conejos y el número de palomas. a) 20 d) 10

b) 15 e) 35

c) 25

13. En un taller fueron reparados durante un mes 100 vehículos entre automóviles y motos. El número de ruedas de los vehículos reparados fue de 228. ¿Cuántas motos se repararon? a) 14 d) 12

b) 86 e) 43

c) 90

14. Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas; unas tienen 8 onzas y las otras 15 onzas. Si el contenido total es de 861 onzas ¿Cuántas latas de 8 onzas se compraron? a) 39 d) 40

b) 42 e) 52

c) 35

15. Se forma la longitud de 1 metro, colocando 37 monedas de 50 y 100 pesos en contacto y a continuación unas de las otras. Los diámetros de las monedas eran de 25 y 30 mm ¿Cuántas monedas son de 50 pesos? a) 18 d) 25

b) 20 e) 26

c) 22

27


Tercer Grado

OPERACIONES SUCESIVAS



Así nomás aplicamos la operación inversa y hallamos el número

(Operaciones sucesivas) Hola amiguitos en el capítulo hoy veremos el método de las operaciones sucesivas o mejor dicho de las

Solución del ejemplo: EJEMPLO:

Un número se aumenta en 1, le resultado se multiplica por 3, al resultado se le resta 5 y por último se divide entre 7 y se obtiene 7 de cociente. El número es:

Operaciones sucesivas

Operaciones inversas

Y ahora como hallo el número parece complicado.

¡Bastará solamente aplicar las operaciones inversas de las operaciones realizadas!

¿Operaciones inversas, cómo es eso? Operación

Operación inversa

Suma Resta Multiplicación División Radicación Potenciación : :

Resta Suma División Multiplicación Potenciación Radicación : :


Uy que fácil retrocedemos como el “CANGREJO”

28


Tercer Grado

Se aplica a aquellos problemas donde hay una

______________________

desconocida

que

después

de

una

______________________ resulta una cantidad final (DATO).

En el año 2000 a.C. los babilonios utilizaban métodos algebraicos para la resolución de problemas. Sin embargo no utilizaban símbolos matemáticos.

EJEMPLO 2:

Un tanque de agua se vacea en 3 días. En cada día se vacea la mitad más 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del tanque?

Solución:


¡Papayita! Hago como el cangrejo

29


Tercer Grado

El origen del signo más (+) posiblemente fue utilizado por los comerciantes, quienes lo ponían como una marca indicativa de exceso de peso de sus

EJEMPLO 3:

Carito y Miriam están jugando, con la condición que aquella que pierda duplicará el dinero a la otra. Si cada uno ha perdido una partida en el orden que han sido nombradas, quedándose luego de haber perdido la última, con 8 soles cada una. ¿Cuántos soles más tenía una que otra?

a) 36 soles d) 34

Carito

Miriam

Total

1

16

2

16 8

8

16

Los árabes indicaban la división por medio de una rayita que separaban al dividendo del divisor, pero Leibnitz uso (:) por último Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

b) 38 e) 32

c) 40

2. Pienso en un número lo divido entre 7 lo elevo al cuadrado le agrego 41, se le extrae la raíz cuadrada y finalmente le resto 6 dándose como resultado 15. ¿Qué número pensé inicialmente? a) 150 d) 133

Solución:

Jugada

1. Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 5, lo divido luego por 15, al cociente lo multiplico por 4 y añado 32, entonces tendré 80 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente?

b) 98 e) 140

c) 105

3. A un número se le multiplica por 5, se le resta 18, se multiplica por 4, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 40 y se le extrae raíz cúbica, obteniéndose 6. Hallar dicho número. a) 9 d) 11

b) 10 e) 12

c) 8

4. A la cantidad de soles que tengo le añado 10; al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 9; al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado le suma 12, para finalmente dividirlo entre 3 y obtener 7 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) 10 soles d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

30


Tercer Grado

5. Un número se triplica, el resultado se aumenta en 4, al resultado se le extrae, la raíz cuadrada y por último se le disminuye 10, quedando 0. ¿Cuál es el número inicial? a) 36 d) 500

b) 32 e) 48

c) 10

6. Un número se divide entre 2, el resultado se eleva al cuadrado, al resultado se el aumenta 25 y al resultado se le extrae la raíz cúbica obteniéndose 5. ¿Cuál es el número inicial? a) 18 d) 20

b) 100 e) 25

c) 125

7. El profesor de razonamiento matemático divide entre 4 el número de alumnos, al resultado le suma 2, luego se extrae la raíz cuadrada, al número así obtenido le suma 2 y finalmente lo eleva al cubo obteniendo 125. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? a) 56 d) 14

b) 72 e) 25

b) 20 e) 23

c) 11

9. Con un cierto número se realizó las siguientes operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le agrego 9 y le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido lo divido entre 3 para luego restarle 1 y por último al resultado lo elevo al cuadrado Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

10. Alejandro gasta su dinero, el primer día gasta un tercio de lo que tenía; más 4 soles. El segundo día gasta 2/5 del resto; más de 5 soles. El tercer día 3/7 del nuevo resto; más 2 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente si al final se quedó con 2 soles? a) 20 d) 36

b) 24 e) 48

c) 30

11. De una combi: En cada paradero bajan la tercera parte de los pasajeros. Si después de tres paraderos la combi se quedó sin pasajeros. ¿Cuántos pasajeros habían inicialmente? a) 53 d) 56

b) 54 e) 57

c) 55

c) 28

8. Jackie dice: “Si a mi edad lo multiplicó por 3, al producto le resto 2 y a la diferencia le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido le agrego 1, para finalmente extraerle la raíz cuadrada obtengo así 3.” ¿Cuál es la edad de Jackie? a) 21 d) 22

obteniendo como resultado final 16. Hallar el número inicial.

1. Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 3 y luego lo divides por 12, el cociente lo multiplicas por 9, luego añades 43 finalmente obtendrás 160. ¿Cuál era tal cantidad inicial? a) 56 d) 52

b) 54 e) 48

c) 50

2. A un número se le multiplica por 2, se le divide por 18, se eleva al cubo, se le suma 5 obteniéndose 13. Hallar dicho número. a) 14 d) 20

b) 16 e) 12

c) 18

31


Tercer Grado

3. A un número se le aumenta en 5, el resultado se cuadruplica, el resultado se divide entre 5 y el cociente obtenido se eleva al cuadrado resultando 256. ¿Cuál es el número inicial? a) 18 d) 15

b) 24

c) 60

a) 3 d) 6

e) 25

49 4. A un número se multiplica por 6, al resultado se le aumenta 24 y al nuevo resultado se le extrae la raíz cuadrada obteniéndose 6. ¿Cuál es el número? a) 6/3 d) 25/5

b) 8/4 e) 12/2

b) 140 e) 160

6. Multiplicamos un número por 4, producto al que luego restamos 12, dividiendo enseguida el resultado entre 3, para volver a multiplicar por 6 añadiendo luego 3 al resultado, dividiendo finalmente entre 3 resulta 89. ¿Cuál es el número inicial? a) 48 d) 58

b) 40 e) 36

7. A un número se le multiplica por 3; se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 obteniéndose 729. a) 12 36 d) 18


b) 24 e) 20

c)

b) 60 e) 52

c) 58

b) 20 e) 40

c) 120

11. Cada vez que Vanessa invierte en cierto negocio, logra triplicar su dinero, pero de inmediato gasta $ 500. Si luego de hacer sucesivamente 3 veces está operación se queda con $ 20 500. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) $ 2 000 5 000 d) 4 500

c) 60

c) 4

10. Cuando Ángel se encuentra con Daniel, este último le duplica el dinero a Ángel y este en agradecimiento le da 10 soles. Si se encuentran 2 veces seguidas luego de las cuales Ángel tiene S/. 130. ¿Cuánto tenía inicialmente cada uno? a) S/. 50 d) 70

c) 80

b) 1/3 e) 9

9. Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180. ¿Cuál es el número inicial? a) 40 d) 45

c) 13/2

5. Si al número de páginas de un libro lo multiplico por 5, al resultado le quitó 70, a todo esto lo divido entre 5, al cociente le sumo 18, al resultado le extraigo la raíz cuadrada y obtengo 12. ¿Cuántas páginas tiene el libro? a) 70 d) 120

8. A un cierto número se eleva al cuadrado a este resultado se le resta 5, a este nuevo resultado se multiplica por 7, luego le agregamos 8, finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniéndose como resultado final 6. Hallar dicho número.

b) 1 000

c)

e) 2500

12. Cada vez que Juan va al cajero automático, retira dinero de tal manera que duplica su dinero y de inmediato gasta 10 soles, si cierto día fue al cajero 3 veces seguidas, luego de los cuales tiene 170. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) S/. 60 d) 30

b) 40 e) 50

c) 45 32


Tercer Grado

13. Una piscina ha estado desocupado durante 2 días, hasta que solamente ha quedado 10 galones de agua. En cada día se extraía la mitad más 2 galones de lo que había el día anterior. ¿Cuál es el volumen total de la piscina? a) 7 d) 13

b) 9

c) 11 e) 52

14. En una iglesia existe un santo que tiene la facultad de duplicar el dinero que le lleven, pero por cada “milagro” que realiza le deben dejar $ 200 como limosna. Una señora ingresó a esta iglesia y luego de recibir 3 milagros y dejar su última limosna, se marchó con $ 1800. ¿Cuánto dinero llevaba la señora? a) $ 360 d) 200

b) 400 e) 320

c) 480

15. Un niño consumió una caja de chocolates en 4 días. En cada día consumía la mitad de los que tenía más chocolates. ¿Cuántos consumió en total? a) 80 d) 70

b) 90 e) 60


c) 150

33


I.

Tercer Grado

MÉTODO DE DIFERENCIAS 48n Observamos el siguiente ejemplo y ayúdame a completar y resolverlo.

Soluciones



= 36n + 12n = 180 n = 15

2do. MÉTODO (Por diferencias)

Completemos el siguiente gráfico: Una vendedora ofrece un lote de blusas a 48 soles c/u para ganar 120 soles respecto a su inversión, pero si decide venderlo a 36 soles cada blusa pierde 60 polos. ¿Cuántas blusas tiene el lote?

pierde

gana

Daremos la solución por 2 métodos.

1ER. MÉTODO (CLÁSICO)

Sea „n‟ el número de blusas Pv = + G La incógnita principal es “n”

48n = Pc + Pc = 48n -

Pv =

…………… (1)

-P

36n = Pc – 60 Pc = 36n +

…………… (2)


34


Tercer Grado

Rpta.: ________

Leamos atentamente problema.

el

siguiente

1. Sabiendo que 6 varas de tela cuesta lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 300 soles. ¿Cuánto costará 4 varas? Formemos equivalencias

las

= 5 metros = S/. 300 S/. x = 6.2.x = 5 . 300 . 4 x=

5 . 300 . 4 6. 2

Observas ¡Qué fácil es resolver problemas!

PROBLEMAS 1. Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto número de boletos. Si se vende cada boleto a S/. 0.70 se pierde 40 soles. Si se vende cada boleta a S/. 0.80 se gana 50 soles. Hallar el precio de un reloj. Lic. Melvi Isabel Condori Juarez

2. Un capataz contrata un obrero ofreciéndole un suelo anual de S/. 3000 y una sortija. Al cabo de 7 meses, el obrero es despedido y recibe S/. 1500 y la sortija. ¿Cuál era el valor de la sortija? Rpta.: ________ 3. Un comerciante ofrece a un empleado un sueldo anual de S/. 60 000, un televisor y un juego de comedor. A los diez meses, el empleado es despedido o recibe S/. 44 000 más las 2 cosas que le prometieron. Si se hubiera retirado a los 7 meses; hubiera obtenido S/. 36 000 y el juego de comedor. ¿Cuál es el precio del comedor? Rpta.: ________ 4. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a c/u le faltarían 3 soles y dándoles 4 soles le sobraría 7 soles ¿dar la suma del número de ayudantes y el total de soles? Rpta.: ________ 5. Una familia posee una cantidad de dinero para ir al cine con sus hijos si compra entradas de 16 soles les faltaría 24 soles, y si adquiere entradas de 10 soles le sobraría S/. 30. ¿Cuántos hijos tiene la familia? Rpta.: ________ 6. Se quiere rifar un TV con cierto número de boletos si se vende cada boleto a 10 soles se pierde 1000, y si se vende a 15 soles se gana 1500. determinar el número de boletos y el precio de TV. Rpta.: ________ 7. Jonathan compro cierto número de chocolates por S/. 180. Si cada chocolate le hubiera costado S/. 1 menos, habrá podido comprar con la misma suma de 35


dinero, 2 chocolates más. ¿Cuánto costó cada chocolate? Rpta.: ________ 8. Tengo determinada cantidad de caramelos que vaya repartirlos entre más hermanos. Si les doy 10 a cada uno, me sobran 6. Pero si les doy 12 a cada uno, al último solo podría darle 8 caramelos. ¿Cuántos hermanos somos? Rpta.: ________ 9. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos. Si les daba 5 soles a cada uno, le faltaría 30 soles, si les daba 3 soles a c/u le sobraría 10 soles. ¿Con qué cantidad de dinero contaba esa persona? Rpta.: ________

10. En un granja por 6 patos dan 4 pollos por 8 pollos dan 6 gallinas; por 24 gallinas dan 16 monos, 10 monos cuestan $ 300. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos? Rpta.: ________ 11. 2 rombos puedes cambiarse por 5 círculos, 3 círculos por 4 cuadrados, ¿Cuántas cuadrados pueden cambiarse por 9 rombos? Rpta.: ________ 12. En una tienda de ropa 8 pantalones equivalen el precio de 10 camisas, 8 chompas cuestan tanto como 12 camisas, ¿Cuántas chompas pueden comprarse con el precio de 24 pantalones? Rpta.: ________


Tercer Grado

13. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldría el trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas? el de una mujer a 2 niñas. Y el de 3 mujeres al de un hombre. Rpta.: ________

1. Si a los alumnos qué tengo los hago sentar de 3 en 3 en los bancos que poseo, me sobrarían 2 de ellos, pero si los hago sentar de 2 en 2, se quedarían de pie 6 de ellos. ¿Cuál es el número de alumnos qué tengo? a) 30 d) 15

b) 16 e) 14

c) 18

2. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/. 8 le faltaría S/. 12 y si adquiere entradas de S/. 5 le sobraría S/. 15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio? a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

3. Sara al comprar 20 manzanas, le sobran 4,8 soles; pero al adquirir 24 manzanas, le faltarían 1,2 soles. ¿Cuánto cuesta cada manzana? a) 1,2 soles 1,4 d) 1,6

b) 1,5

c)

e) 1,8

4. Si pago 15 dólares a cada uno de mis empleados me faltarían 400 dólares, si les pago 8 dólares a cada uno, me sobrarían 160 dólares. ¿Cuántos empleados tengo? 36


a) 80 d) 70

Tercer Grado

b) 60 e) 65

c) 50

5. Si Carlos vende a S/. 12 cada camisa ganará S/. 20; pero si vende a S/. 11 cada una ganaría solo S/. 14. Hallar el número de camisas. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

6. Los hijos de mamá desean hacerle un regalo; si cada una da 20 soles sobrarían 28 soles y si cada uno da 15 soles sobrarían 13 soles. ¿Cuántos hijos tiene mamá? a) 2 d) 5

b) 3 e) más de 5

c) 4

b) 220 e) 435

a) 2 d) 1

b) 3

c) 4 e) 5

11. Sobre un estante se pueden colocar 15 libros de ciencias y 5 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente entran al estante? a) 10 d) 4

b) 5 e) 16

c) 20

12. En una feria venden 8 plátanos al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10 nísperos; una docena de nísperos al mismo precio que 2 piñas. Si 10 piñas cuestan S/. 64 ¿Cuánto cuesta cada plátano?

7. Una persona quiere rifar una calculadora. Se vende a S/. 2 cada boleto perderá S/. 30 y vendiendo en S/. 3 cada boleto ganará S/. 70. ¿Cuánto vale la calculadora? a) S/. 210 d) 240

10. Si 2 veces “A” equivale a 3 veces “B”; 6 veces “B” equivale a 4 veces “C” y 5 veces “C” equivale a 15 veces “D”. ¿Cuántas veces “D” equivale a “A”?

a) S/. 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

c) 230

8. Para ganar 200 soles en la rifa de una grabadora; se imprimieron 640 boletos sin embargo, sólo se vendieron 210 boletos, originándose una pérdida de S/. 15. Hallar el valor de la grabadora. a) 180 soles 120 d) 80

b) 150

c)

e) 435

9. Por cada 2 años que tiene “A”, “B” tiene 3 años y por cada 4 años que tiene B; C tiene 5 años. Si C nació 14 años antes que “A”. Hallar la edad de “B”. a) 18 años d) 30

b) 20 e) 32


c) 24

37

COMPENDIO 2012 razonamiento matemático

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