Compe Geometría Trilce.pdf

G

 D pto. Pedagógico TRILCE  D erechos de E dición A sociación E ducativa TRILCE Tercera E dición , 20 07 . Todos los D erechos Reservados. E sta pub licación no puede ser rep ro du cida, ni en tod o n i en p arte, ni reg istra d a e n , o tran sm itid a p o r, u n sistem a d e recuperación de inform ación , en ningun a form a y por ningún m edio, sea m ecánico, fotoquím ico, electrónico, m agn ético, electroóptico, po r fo tocopia, o cualquier otro, sin el perm iso previo de la editorial.

Geom etrí a

INTROD UCCI ÓN L as matem áticas, con sus grandi osas pano rám icas, su apreciaci ón de la b elleza y su precepción de n uevas realidades, posee una pr opi edad adictiva que es menos evidente y saludable, afin en cierto mo do a l os efectos de algunas drogas. El m ás nim io pr oblem a, aun siendo inm ediatamente reconocible com o tri vial o r eiterativo, puede ejerce r esta influ encia adictiva. Un a de las form as en que p odem os vernos arrastrados es com enzar a resolver los. Martí n Gardner

Las ciencias m atem áticas se han desarrollado a través de los m ilenios y tienen definitivam ente su origen en la necesi d ad de los seres hum anos de especificar cantidades y m edir figuras. E l hecho que las m atem áticas sean un m edio para describir (y tal vez para resolver) los problem as del m undo real, descansa en la interacción entre lo concreto y lo abstracto. E s así com o la enseñanza de las m atem áticas,la m anipulación de los núm eros est á dividida en lo concreto: A ritm ética o cálculos con núm eros,y lo abstracto: Á lgebra o cálculo de sím bolos. A hora en la enseñanza de la G eom etría se va m ás allá, involucrando sutilezas,com o el distinguir entre la figura concreta, im aginar o crear otras figuras que ayuden a com prender y resolver l as anteriores y a otras de form as m ás abstractas. Sólo se llegará a desarr o llar las destrezas geom étricas con una constante práctica que, a su vez, nos dará una m ayor visión y fascin ación sobre lo que estam os tratando. E ste es uno de los objetivos del texto. A lo largo del desarr o llo histórico de la G eom etría, se observa la atracción que ella desencadenó en grandes m atem áticos, aportando m uchos de ellos,teorem as valiosos que, ordenados bajo una secuencia lógica y constructiva, hacen de la G eom etría un curso razonado, el egante y fascin ante. E ste texto está dirigido a un nivel secundario y pre-universitario. Prim ero m ostram os un resum en de los contenidos teóricos (definiciones, teorem as, etc.). Luego, presentam os ejercicios y problem as propuestos que se encuentran estructurados en orden creciente al grado de dificultad. Para ello, hem os utilizado guías de clase, problem as de exám enes de adm isión de las diferentes universidades del país, term inand o con aportes de los profesores del curso y olim piadas m atem áticas. L os profesores responsables de la elaboración estam os seguros que este texto será una herram ienta valiosa para los objetivos del usuario; pero sobre todo deseam os despert ar y desarr o llar elgusto y la fascin ación por la G eom etría. La O rganización T R ILC E agradece por anticipado todos los aportes que se hagan llegar a esta prim era edición y agradece infinitam ente a todas las personas que hicieron posible cri stalizar est e proyecto tan esperado por la fam ilia T R ILC E .

7

Geom etría

8

TRILCE

C a pít ulo

ÁNGULOS

1

Definición : E s la figura geom étrica determ inada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el m ism o origen.

A

O

1. V értice :O

º

Elem entos 2. Lados : O A y O B B

N otación :

* Áng ulo AO B :

) AO B, A Oˆ B

* M edida del ángulo A O B : m ) A OB =

.

Regi ón I n t er i o r de u n án gu l o

Cl asificación de los Ángulos por

Regi ón Ex t er i o r d e u n án gu l o

su Medida :

* Áng ulo Agudo

* Ángulo Recto

* Áng ulo Obtu so

º

º

º

0º < º< 90º

90º < º< 180º

º = 90º

Bi sectr iz de un ángul o :

N A º º

O

bisectriz

º º

B

M

L bisectriz

9

Geom etría

Án gu l o s A dyac en t es :

Án gu l o sC o n secu t i vo s:

aº bº

º º

cº dº

:

Observaciones

º º º º º

º º

º º

º+   º+  º+ º= 180º

Áng ulos Com plementarios

º+   º+   º+ º+ º=3 60º

Áng ulos Suplementarios

º

bº aº

º

aº + bº = 90º

Ángulos Adyacentes

Suplementari

º + º = 180 º

os :

B

B

 A

O

C

Los ángulos A O B y B O C tam bién se les denom ina par l ineal.

10

A

  O

 C

L as bisect rices de todo par lineal son perpendiculares.

TRILCE Ángulo s O puesto s po r el vért ic e

º º

º º

Observaciones

:

E s necesario recordar los siguientes ángulos com prendidos entre rectas paralelas.

* A l t er n osI nt er n o s

* C o r r esp o nd i en t es

* C o n j u gado s

º º

º º

º

º = º

*

Si : L

1

// L

º

º = º

º + º = 18 0º

* Si : L

2

L

a



1

// L

1

2

aº

b

L

1

xº

 c



º+º +º +=aº+ bº+ cº

bº

L2

L2

xº =aº +bº

11

Geom etría

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01. Si: O M

es bisectriz del ángulo A O B , calcule "xº".

04. C alcule "xº" , si: L 1 //L 2 . L1

3xº

A

80º º -1 0 7 xº

O

M

5xº+ 40º

2xº

L2

B

05. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".

02 . C alcule "xº".

L1

4xº 4xº+ 20º

80 º

3xº+ 50º

3xº 60 º

L2

º

  03 . C alcule :   .  2

06. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".

60 º 3 º 2 º

120º 3 º

xº xº

12

L1

xº

L2

TRILCE 07 . E n el gráfico, las m edidas de los ángulos A O B y B O C


son suplem entario s y la m ) AO C = 80°. C alcule la m ) AOB. C

B

100º 3xº

xº

80 º A O

Pr act iquemos : 11 . Se tienen los ángulos AO B y B O C consecutivos y m iden 20° y 30° respectivam ente.C alcule la m edida delángulo que form an sus bisectrices.

08. Si : L 1 //L 2 , calcule :ºººº .

L1

º º

100º

º º

L2

12 . E l do ble del com plem ento d e la m edida d e un ángulo es 120°. ¿C uánto m ide el ángulo?

09. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".

xº 60º

L1

13 . Si un ángulo es el do ble de su suplem ento, ¿C uánto m ide el ángulo? 100º L

2

13

Geom etría

14 . La d iferencia d e la m edida d e dos ángulos consecutivos A O B y BO C es 80°. C alcule la m ) D O B , si : O D es bisectriz del ángulo A O C .

15. ¿C uánto m ide elángulo form ado por las bisectrices de dos ángulos ad yacentes y com plem entarios?

19 . Se tiene los ángulos consecutivos A O B ; B O C y C O D , tal que : m ) AO D = 148° y m ) BO C = 36°. C alcule la m edida delángulo form ado por las bisectrices de los ángulos A O B y C O D .

20. Se trazan lo s rayos coplanaresy consecutivos , , OA OB O C y O D , determ inándose los ángulos consecutivos AO B, BO C ,C O D y D O A que m iden 90°, 7  , 10  y 100°. C alcule el com plem ento de  .

16 . Si al com plem ento de un ángulo se le d ism inuye 10°, éste resulta ser elsuplem ento del triple d el ángulo. C alcule el com plem ento de la m itad del ángulo.

Pro blema s pro pues to s 21. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº". 17 . Se tienen los ángulos consecutivos A O B , B O C y C O D , tal que los ángulos AO C y A O B son com plem entarios; m ) A OD + m ) AO B = 120°. C alcule la m ) DOC.

L1

xº+ aº 40º 3xº 20+ aº 160º

L

a)18° d)10° 18 . E ldo ble de la m edida un ángulo es m ayor que o tro en 30 °. S i lo s áng u lo s so n co njug ad o s interno s com prendidos entre rectas paralelas, ¿En cuánto se diferencian las m edidas de esto s ángulos?

b)16° e)25°

22. Si : L 1 //L 2 , calcule

2

c)15°

 .

ºº º+ 100º

L 1

130º ºº

a)10° d)20°

14

b)15° e)30°

c)25°

L2

TRILCE 23 . Si la sexta parte delsuplem ento del com plem ento de un án gu lo es igua l a 1 /3 d e 9° m en o s qu e su com plem ento, calcule la m edida del ángulo. a)32° d)24°

b)16° e)30°

28. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº". º

3

xº 24 . U n ángulo m ide los 2/3 d e un ángu lo recto y otro án gu lo lo s 4/5 d e u n á ngu lo recto, calcule e l com plem ento de su d iferencia. a)30°

b)78°

d)48°

e)60°

L1

5º 4 º

º

c)48°

º

º

º 

º 2

º

L2

c)18° a)154° d)144°

25. C alcule : "xº",si: L 1 //L 2 .

c)130°

29. E n el gráfico, calcule "xº", siendo :

xº

L 1 //L 2 .

L1

2xº

b)115° e)120°

L1

4x º xº 2xº

a)80° d)20°

b)18° e)75°

L

º º

2

c)70°

3xº

a)35° d)45°

26. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".

º

º º

L

b)20° e)37°

30. C alcule "xº" , si: L 1 //L 2 .

L 1

2 º xº

2xº

L2

º

L1

º º

3xº

2 º

º

º a)90° d)40°

b)70° e)30°

2

c)30°

c)60°

a) 18° d)30°

27. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".

b) 9° e)20°

L

2

c) 27°

31. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".

6x º 120º

xº L1

xº L

L2

2

xº

a)10° d)30°

b)20° e)45°

c)25°

a)15° d)22°

b)10° e)22°30'

c)12,5°

15

Geom etría

32. Si : L 1 //L 2 , calcule :

37. Si : L 1 //L 2 , calcule el m áxim o valor entero de "xº" , siendo el ángulo C A B agudo.

a° + b° + c° + d° + e°.

A

dº

aº

L1

bº

L1

B

C

eº 2x

cº L 2

L2 a)180° d)360°

b)520° e)720°

3xº

a)18° d)15°

c)480°

b)17° e)12°

c)16°

38. D ados los rayos consecutivos : O A 1 , O A 2 , O A

3

, ....

O A n , contenid os en u n m ism o plan o, do nd e "n"

33. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".

án gu lo s con secutivo s y la sum a d e 2 á ng u lo s L1

34º

consecutivos es siem pre agudo. C alcule el m enor valor entero que puede tener "n"?

 xº

6a) d)9



48º

a)34°

b)48°

d)98°

e)49°

L2

c)82°

b)45° e)160º

8c) e) 10

39. Si : A B //D C ,

m ) B A Q m ) D C Q



3 2

B

A

Q

c)90° D

35 . E l do ble del com plem ento de un ángu lo aum entado en el triple del suplem ento del doble de dicho ángulo nos da 480°. C alcule el suplem ento de la m edida de dicho ángulo. a)30° d)150°

b)60° e)135°

c)120°

a)20° d)70°

C

b)60° e)80°

16

L1

 

xº

igual al du plo del com plem ento del sup lem ento del ángulo triple del segundo. C alcule la m edida de dichos ángulos. b) 30° y 90° e) 40° y 80°

c)50°

40. C alcule "xº", siendo : L 1 //L 2 .

36 . La diferencia d e las m edidas de dos ángulos es 40° y el triple del suplem ento del ángulo doble del prim ero es

a) 60°y 60° d) 70° y 50°

y

m ) A Q C = 100°, calcule el com plem ento del ángulo DCQ.

34 . E l do ble del com plem ento d e un ángulo sum ado con el suplem ento de otro ángulo es igual al suplem ento del prim er ángulo. C alcule la sum a de las m edidas de dichos ángulos. a)100° d)180°

7b)



L2



c)45°y 75° a)60° d)135°

b)75° e)140°

c)105°

TRILCE

45. E n el gráfico : ºº  78 y L 1 //L 2 , calcule "xº".

41. C alcule "xº", si : aº + bº = 50° y L 1 //L 2 .

xº

xº

120º

L1

º

80 º

L1 º

bº aº

L2 a)40°

b)50°

d)60°

e)65°

º

L2

º

c)70° a)76° d)90°

42. E n el gráfico, el rayo O P es bisecriz del ángulo A O D ,

b)78° e)82°

c)70°

46. E n el gráfico, calcule el m ínim o valor entero de "xº".

siendo : m ) PO C - m ) BO P = 20°. C alcule m ) AO B - m ) COD. B

A



P



xº C

a)22° d)10°



D

O



b)40° e)20°

c)25°

a)46° d)56°

43. E n el gráfico, calcule el m áxim o valor entero de "yº".

b)48° e)63°

47. Si : L 1 //L 2 , calcule "xº".



xº-2yº

a)50° d)40° 44. Si : L 1 //L 2





2

3yº+ xº xº

b)35° e)52°

c)41°



y n //m , calcule "xº".

a)143° d)135° n C

4x

c)54°



L1

3 



b)127° e)165°



L2

c)150°

48. Si: L 1 //L 2 , calcule "xº".Si :ºº  220  .

54º L1

º

L1

3  m

xº x

a)20° d)35°

b)30° e)40°

39º

L

2

 3

L2

º

c)33° a)10° d)40°

b)20° e)50°

c)30°

17

Geom etría

ºº  11 0 , calcule "xº".

49. Si : L 1 //L 2 y

a)23° d)36°

b)28° e)75°

c)63°

54. D el gráfico, calcule el m áxim o valor entero im par de º

L1

xº 

"xº", si" " es la m edida de un ángulo agudo. .

x

L2

º

a)35° d)30°

b)45° e)25°



xº

c)40°

50 . C alcule la razón aritm ética del m áxim o y m ínim o valor entero que puede tom ar "xº", si" " es la m edida de un ángulo agudo, en el gráfico L 1 //L 2 .

a)100° d)133°

b)120° d)145°

c)130°

55. D el gráfico, calcule el valor de "" cuand o "x" tom a su m ínim o valor entero par. Si :L 1 //L 2 .

L1

x-



xº

L1

xº  xº

83 º

L2 a)90°

b)85°

d)88°

e)86°

c)87°

51. D el gráfico, calcule el valor de la razón aritm ética entre x e y, cuando "xº" tom a su m ínim o valor entero.

L2 a)34° d)29°

b)32° e)30°

c)28°

56. Según el gráfico, cal cule "xº",si:L 1 //L 2 .

44º xº-yº 5xº

a) 8° d) 5°

b) 3° e) 6°

c) 4°

52 . S i un ángulo m ide 18 0° es dividido en "n" án gulos consecutivos y congruentes : 1 , 2 ,3 , .... n , calcule la m edida delángulo que form an las bisectrices de 5 y 8 , sabiendo que las bisectrices de 3 y n 2 son perpendiculares. a)44° d)52°

b)45° e)54°

a)66° d)70°

b)85° e)80°

c)77°

57. C alcule "xº", si : L 1 //L 2 //L 3

y a° - b° = 36°. L

 

aº

º

º

bº

b)72° e)52°

1

L2 L3

xº

a)54° d)63°

1

121º

c)48°

53 . Sea n : A O B , BO C , C O D , D O E y EO F án gulos consecutivos tales que :m ) AO F = 154° y m ) A OD = m ) BOE = m ) C O F. . C alcule la m ) B O C , si la m edida del ángulo form ado por la bisectriz del ángulo C O D y elrayoO E es igual a 54°.

18

L2

L x



2yº+ xº



c)36°

TRILCE 58 . S i el sup lem ento d el com plem ento d e la m itad d el m ayo r án gu lo qu e fo rm an la b isectriz del án gulo ad yacente a un ángulo "" y el lado no com ún es 140°, calcule "" . a)10° d)20°

b)12° e)30°



60. E n el gráfico, calcule ( ), cuando "x" sea m áxim o. . x Siendo : x

 (6 a  a 2 ) .

c)15° 

59 . E n el gráfico : L 1 // L 2 , L 3 // L 4 , L 5 // L 6 , calcule : xº+ yº.

a) 0° d)36°

b) 39° e)30°

x

c) 35°

L3 L1

x

L5 110º

L4

55º

L6 L2

y

a)170° d)235°

b)180° e)245°

c)210°

19

Geom etría

laves Claves

20

21.

d

41.

c

22.

e

42.

d

23.

d

43.

b

24.

b

44.

c

25.

b

45.

b

26.

c

46.

a

27.

d

47.

d

28.

d

48.

c

29.

b

49.

a

30.

c

50.

d

31.

e

51.

c

32. 33.

e d

52. 53.

e a

34.

d

54.

d

35.

a

55.

d

36.

e

56.

c

37.

c

57.

d

38.

d

58.

d

39.

c

59.

d

40.

d

60.

b

TRILCE

C ap ít ulo

2

TRIÁNGULOS

:

Definición

F B 1. V értices : A , B , C 2. L ados :A B , B C y A C Elem entos 3. Á ngulos E

Notación

C

A

Interio res : <) A , <) B,<) C Exteriores :<) EA B ,<) FB C ,<) B C H

H

:  A B C , T A B C , etc.

Ob servacion es :

* Se denom ina región triangular a la reunión de los puntos interiores con elconjunto de puntos de sus lados.

Pr op i edades B ásicas

2.

1.

Bº

Aº

eº2

Cº

Aº + Bº + C º = 180º

eº 1

eº3 eº1 + eº2 + eº3= 360º

21

Geom etría

5.

3. º + º º + º zº = º + º xº = yº



xº

º

yº =



4.

º

xº

º

zº



xº =

º+



º+



º



c

b

a b -c < a < b + c

Líneas N ot abl es en el Tri ángu lo

1.

Median a

B

B M :m ediana

A

2.

b

C

b

M

Bise ctriz

B B

B I : bisec triz interi or º º

 

L L : bisectr iz exterior

A

22

I

C

A

C

TRILCE 3.

Altura

B

A B H : altura

C

A

4.

A F : altura

F

H

C

B

Med iatriz

B L L : m ediatriz de A C

A

*

b

C

b

Ce via na

B

B

B E : es cevi ana exteri or

B F : ceviana interi or

C

A

A

C

F

E

Rela cio nes Angulares 1.

Bº x

xº

 

 90  

B 2

 

2.

Bº x







 90  

B 2



xº

23

Geom etría

3.

xº Bº x









B 2



4.

B

xº

A

x





H

I B H : altura B I : bisectr iz

24

C

    2

TRILCE

Tes t de a pr endi zaj e preli m in ar 01. E n el gráfico, el triángulo A B C es equilátero, calcule "xº".

04. E n elgráfico, calcule (ºº).

B

º

120º

80º

º 100º xº

A

C

02. E n el gráfico, calcule "xº".

05 . E n el gráfico,calcule "xº", si : A B = B Q = Q F = FC .

A

3x-10

Q 130º 4x

xº

B

F

C



100º

xº





150º

 

 

xº 



25

Geom etría

07 . E n elgráfico,A B = D C , calcule "º".

10 . C alcule la m ) BDC.

B B 60º

º 5 º



D 3 º

A

º



C A



 D

08. E n elgráfico m ostrado, ¿cuálde los segm entos es elde m eno r lon gitud ? C

Practi quemos : 11 . C alcule el án gulo q ue fo rm an las perpend iculares trazadas desde el vértice B de un triángulo A B C a las bisectrices interio res de los ángulos A y C , si :

D

59º 60º

B

C

61º

m ) B = 110 °. 6

3

º

60º 61º

61º 60º

F

A

E

12. Las m edidas de los ángulos interno s de un triángulo están en progresión aritm ética cuya razón es 10. C alcule la m edida de cada ángulo. 09 . C alcule "xº". xº

 

60 º





13 . E n un triángulo A B C (m ) B > 90°), se sabe que : B Ceros = 2que cm puede y A C adopt = 5 cm ent ar .ACBal . cule el valor o valores

26

TRILCE 14 . E n un triángulo acutángulo, dos de sus lados sum an 30u. C alcule el m ayor valor entero que puede tom ar la altura rel ativa al tercer lado.

15 . Los lados de un triángulo isósceles m iden 5 u y 13 u. C alcule su perím etro.

19 . E n un triángulo A B C , la sum a de las m edidas de los ángulos B y C es 105°.Sila m edida delángulo A excede a la m edida del ángulo B en 4°. C alcule la m edida del ángulo C .

20. En el gráfico, N M = N C y C B es bisectriz del ángulo A C N . C alcule la m ) BAC.

N B

40º

A

16 . E n un triángulo A B C , m ) A = 2(m ) C ), la bisectriz interio r B D prolongada intersect a en "E " a la bisectriz

C

M

exterior delángulo C . Si : D E = 8u. C alcule C E .

17 . E n un triángulo A B C , la m edida del ángulo form ado por la bisectriz interior del ángulo A , y la bisectriz exterio r delángulo C es siete veces al m edida delángulo 21. Las m edidas de los ángulos interno s de un triángulo B . C alcule la m edida del ángulo B . son proporcionales a los núm eros 3, 4 y 5. C alcule la m edida d e cada ángulo.

Pr oblemas pr opu es to s

a) 60°, 80° y 100° c) 30°, 40° y 50° e) 36°, 48° y 60°

18 . Los catetos de un triángulo rectángulo A B C , m iden : A B = 16 u, B C = 30 u, se traza la altura B H y las bisectrices B P , y B Q de los ángulos AB H y H B C respectivam ente. C alcule PQ .

b) 40°, 60° y 80° d) 45°, 60° y 75°

22. C alcule la m edida delángulo form ado por la altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo A B C . Sabiendo q ue : m ) A + 2(m ) C ) = 100°. a)20° d)50°

b)30° e)60°

c)40°

23 . L os catetos de un triángu lo rectángulo A B C m iden A B = 8 u; B C = 15 u . Se traza la altura B H y las bisectrices B P y B Q de los ángulos A B H y H B C respectivam ente. C alcule PQ . a) u2 d) 6u

b) u 4 e) 3u

c) u5

27

Geom etría

24. E n el gráfico, cal cule "xº",si:A D y B C son bisectrices de los ángulos A y C respectivam ente.


B

xº

130º

D 60 º

xº

 

20 º A

C

a)130° d)70°

b)100° e)110°

c)120°



a)15°

b)20°

d)30°

e)50°



c)25°

31. E n el gráfico, calcule "xº". 25 . C alcule la m edida de los ángulos de un triángulo A B C , si:3(m ) B ) = 2(m ) A ) y 3(m ) C ) = 7(m ) A ). a) 20°, 30°, 130° c) 48°, 32°, 100° e) 60°, 40°, 80°

 

b) 45°, 30°, 105° d) 51°, 34°, 195°

xº

xº 

26. D ado el triángulo A B C ; sipor el vértice C se trazaC H perpendicular a A B y tam bién la bisectriz exterio r del ángulo C y la diferencia de las m edidas de los ángulos A y B es 26°. C alcule la m edida delángulo que form a la bisectriz y la perpendicular. a)110° d)77°

b)123° e)96°

 a)12° d)36°

b)18° e)60°

c)24°

32 . E n un triángulo A B C , m ) A = 2m ) C ,AB = 4 u. C alcule el m áxim o y m ínim o valor entero q ue puede tom ar ellado B C .

c)103°

27 . E n el triángulo A B C , A D es la altura correspondiente a) 8 u y 7 u b)5 u y 4 u c)5 u y 2 u al lado B C y B E es la bisectriz del ángulo B , las cuales d)7u y 6 u e)5 u y 3 u se cortan en F.Si : m) A = 64° y m ) C = 42°. C alcule la m edida del ángulo A FB . 33. Si dos lados de un triángulo son 15 u y 18 u, el tercer lado puede ser : a)127° b)150° c)170° d)132° e)130° a) 1u b) 2u c) 12u d)35u e)3u 28 . C alcule "x°". 34 . E l ángulo C A D es igual a tres veces elángulo C A B y el B ángulo B C A es m ayor al ángulo C B A . E l m ayor lado del triángulo A B C es : 80 º C



A a)140° d)110°



xº

 

b)130° e)125°

C A a)

29 . So bre el lado B C de un triángulo A B C , se ubica el punto "D ", talque la m edida delángulo A D C es iguala la sem isum a de los ángulos interiores de A y B . C alcule B D , si adem ás : AC = 12 u y BC = 16 u.

b) c) d) e)

a) 14u d) 4u

28

b) 10u e) 6u

D

B

c)120°

c) 8u

BC AB AC Pue de ser A C o B C dep endiendo de la form a del triángulo. N o se pued e determ inar los datos.

TRILCE 39. E n el gráfico, calcule la sum a de las m edidas de los ángulos señalad os.

35 . C alcule "º " .



60º



50º









 

 

a)110°

b)110°

d)55°

e)60°



a)405° d)450°

c)90°

b)180° e)360°

c)390°

40. E n un triángulo A B C , se traza la ceviana B T , si : A B = AT, B C = A C . C alcule elm áxim o valor entero d e la m ) CBT..

36 . C alcule : ºº º .

70 º

a)36° d)45°

c)30°

41. E n el gráfico, el triángulo A B C es equilátero. C alcule "xº".

º

º

b)35° e)44°

B

º



xº



a)70° d)140°

b)100° e)130°

c)110°

A

37 . E n el triángulo A B C , m ) A = 80°, m ) B = 60°. Si :

AN y BM

70 º

son alturas, calcule : "xº".

C

a)10° d)72°

b)45° e)30°

c)36°

42 . E n el gráfico, A B = B C , B C  D E y el ángulo B E C m ide 35°. C alcule"º".

B

D C N

xº A

C

A

M

º B

a)40° d)50°

b)140° e)60°

b)120°

38. C alcule el núm ero de triángulos escalenos que tienen todos los lados enteros y de perím etro 22 cm . 5a) 7 c)

6b) e) 8

4c)

a)32°30' d) 20° 15'

b)30°30' e)20°5'

E

c)27°30'

43 . Sea el triángulo A B C en el cual se cum ple que : m ) A BC = 64°,m ) AC B = 72°y B M y C P b isectr ices de los ángu lo A B C y A C B respectivam ente; dichas bisectrices se in tersect an en el punto I (incentro). A dem ás, se traza la altura B H . C alcule la m edida de los ángulos BIC y M B H . a) 112° y 16° d) 110° y 12°

b) 120° y 12° e) 112° y 14°

c) 11° y 14°

29

Geom etría

44. E n el gráfico, B H es altura del triángulo A B C yB D es


bisectriz del ángulo A B C . C alcule "xº" . xº

B

xº º

3 º

A

3



H

D

º

3 º

xº

C

c)  /2

a) 2 

b) 

d) 2 /3

e)  /3

a)60° d)72°

45. E n el gráfico, calcule elm áxim o valor entero de  . Si : x° + y° + z° > 300°.

b)45° e)30°

c)36°

49. E n el gráfico, calcule "xº". Si : a  b      50  .

3 º





2 ºº xº xº

yº

a

zº 

6º a)22° d)25°

b)23° e)26°

b



 

c)24°

a)62° b)66° c)63° 46. E n el gráfico, las m edidas de los ángulos interiores del triángulo A B C están dadas en grad os sexagesim ales. d)64° e)65° C alcule el m en o r va lo r en tero (en g rad o s 50 . E n elgráfico : sexagesim ales) que puede tom ar "bº". x+ y+ z = 240 ° y a+ b+ c = 170 °. C alcule :  ºº º . B

2bº-aº º

x

c

A

aº+ bº

a)45° d)35°

a º-b º

b)46° e)36°

z

C

º

b y

c)40° a)60° d)140°


a

b)80° e)50°

º

c)100°

51 . L a b isectriz de uno de los ángulos de un trián gulo   4xº

xº

a)18° d)25° 30

b)20° e)30°





c)22°

escalent eno, ormcom a con oe dos son re fsí o 7 el es lado a 13.opuest C alcul el m ángul enoros deque los ángulos del triángulo asum iendo que la m edida que la m edida en grados de cada uno d e los tres ángulos es un núm ero entero m enor que 8 0º. a)24º d)27º

b)25º e)28º

c)26º

TRILCE 56 . E n el gráfico,calcule "xº", A B = B C , E F = FD .

52 . C alcule "xº", si; A M = N C . B

F

60º

C M

58 º xº A

D

C

N

a)40° d)90°

A

80º

20º

E

xº

b)60° e)70°

94 º

c)80°

B

53. E n el gráfico, calcule "x°".

a)20° d)18°

60 º

b)15° e)25°

c)30°

57 . En el gráfico : PA = 2 u y BR - R C = 3 u. C alcule PQ .

B  2

2  

R

 



2

A 3

xº

a)45° d)90°

b)60° e)75°

c)30° a) u6 d) 3u


º

xº

º º

40 º



Q

b) u 5 e) 7u

C

c) u4

58. E n un triángulo A B C , se traza la bisectriz interio rB M , si :  º,m ) C A B   ºº y la m edida d el m ) AC B = ángulo exterio r del ángulo A es "" , do nde : A B = 8u, M C = 3u. C alcule B C .

º

º º

P



º º

a)10u d)13u

b)11u e)14u

c)12u

59 . E n un triángulo A B C se traza la ceviana B P , si : AB = PC. m ) BAC = 10  º, m ) BCA = 2  º.

a)115° d)14°

b)125° e)140°

c)135°

55. D ado un triángulo A B C equilátero, se ubica elpunto D exterio r al triángulo, tal que el segm ento B D intersecta al lado A C . Si m ) A D C > 90°, A D = 8u y C D = 15u. C alcule el m enor perím etro entero del triángulo A B C . a) 52u d)46u

b)24u e)48u

m ) CBP = a) 5º d)10º

 º. C alcule " º".

b) 8º e)12º

c) 9º

60. E n un triángulo A B C , se traza la ceviana B T , si : BC = AT y m ) B A C = 60º - 2xº ; m ) C B T = xº,m ) BC A = 2xº. C alcule la m ) C B T. .

c) 22u a) 5º d)12º

b) 8º e)15º

c) 10º

31

Geom etría

Claves

32

21.

d

41.

a

22.

c

42.

a

23.

a

43.

e

24.

d

44.

b

25.

b

45.

c

26.

c

46.

b

27.

c

47.

b

28.

a

48.

d

29.

a

49.

e

30.

c

50.

e

31.

d

51.

b

32.

c

52.

c

33.

d

53.

b

34.

e

54.

b

35.

b

55.

a

36.

d

56.

d

37.

a

57.

b

38.

a

58.

b

39.

d

59.

d

40.

c

60.

c

TRILCE

C ap ítulo

Definición

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

:

Pro piedad de

la Bisectriz

D os segm entos, do s án gulo s o d o s figu ra s geom étricas en general , serán congruentes sitiene la m ism a form a y el m ism o tam año. Pa ra la con gruen cia d e d os triángulos, se postulan los siguientes casos :

Postulado (LAL

F



O

)

E



H 





Postulad o (A LA) Pro piedad de

EF



EH

OF



OH

la Mediatri

z









Postulado (LLL

P



) B

A b

b



PA = PB

Postulado (LLA

)

E l  A PB es isóscel es.

Teorema de l a Base Media

B  

c



M c

A

M N : base m edia

a

M N //A C N

MN  a

AC 2

C

33

Geom etría

Teor ema de la M Rec t ángu l o

enor

M edi ana en el T r iángul o

*

D e 45 °y 45 °

45º

B

b 2

b

AC

BM 

2

b

45º b

A

C

M

b

b

*

D e 37 °y 53 °

53º

En el Tri ángul o Isóscel es

5k

3k

*

37º

B 4k

Si : AB = B C AH = EF + E G

*

De

5 3 2

H F G A

n

C

E

53º/2

*

2n

B

3 7

*

De

2

Si:A B = B C CH = PQ - PS l

Q

37º/2

H

3l *

A

C

D e 15 °y 75 °

P S h

TR IÁNGULOS *

a 4

h

NOTABLES

75º

De 3 0 °y 6 0 °

15º a

a

60 º

2a

*

D e 30 °y 75 °

30º a 3

h

h

30º

75º b

34

b 2

TRILCE

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01 . E n el gráfico,calcule A B , si : B C = 15 u.

04 . E n elgráfico, calcule "xº". 2B P = PC .

B

B

P

 

37 º

45º A

x

A

C

02 . E n el gráfico, calcule "x".

05 . E n el gráfico,P M Si:PC = 8 m .

C

es m ediatriz de A C . C alcule A B .

B 2

10 u

P

37 º

A

45º

M

x



C

06 . E n un triángulo A B C , se ubican los puntos m edios M y N de A B y B C r espectivam ente.E lsegm ento que une los puntos m edios de M C y N A m ide 2 u. C alcule A C .

03 . E n el gráfico,E D = 12u . C alcule A C . B E

A

15º

30º C

D

35

Geom etría

07 . E n el gráfico,calcule Q N , si : AC = 10 u y M Q = 4u ,AM = M B, BN = NC .

10 . E n el gráfico,calcule PQ , si : AB = 6 u y AC = 8 u,BQ = Q C. B

B

P Q

N

M

 

A

C

Q A

C

Practi quemos :

08 . E n elgráfico,calcule PH , si : B H = 36 u. (AP = PM )y (BM = M C ). B

11 . E n el gráfico : A C = 16 m . C alcule A P.(A B = PC ). B

M

2

P A

P

C

H



5



A

C

09 . C alcule "xº". 12 . E n elgráfico : A B = B C , B M = 1 u, calcule A D .

xº 5u

B

5u C

6u A

36

45 º M

D

TRILCE 13 . E n el gráfico, calcule : "xº", silos triángulos AB R y P B C son equiláteros. B

16 . E n un triángulo A B C , la m edida d el ) A B C es igual a 128°. L as m ediatrices de A B y B C cortan a A C en los puntos R y S, respectivam ente. L uego, la sum a de las m edidas de los ángulos A B R y SB C es :

A

x

P

C

R

17 . E n el gráfico,B M = M C . C alcule "xº". A x

B

30º

15º

C

M

14 . E n el gráfico, calcule el perí m etro del triángulo.

12

m

18 . E n el gráfico,calcule "xº". B P = PC y A M = M P.

60º 10

B m

Q x  M



P 18 u

A

C

15 . E n el gráfico, calcule M N , si : AH = 5 u,BH = 12 u. B

19 . En elgráfico : A H = 2 u y H C = 8 u. C alcule AB . N

M

B



A



H

C

A

2

 H

C

37

Geom etría

20 . E n el gráfico, A M y C N

son bisect rices exteri o res del

23 . E n el gráfico, B C = 18 u , A C = 6 u y "M " es elpun to m edio de A B . C alcule M Q .

A y C, A B = 6 u, B C = 12 u, AC = 16 u. C alcule M N .

B

B

M

N

M A

Q

C

 

A a) 10u d)14u

C b) 12u e)15u

c) 13u

24 . E n el gráfico,calcule B C , si : H M = 6 u .

B H



Pro blemas pro pues to s

A a) 9u d)18u

21 . C alcule B D , si:C D = 8 u.



C

M b) 12u e)24u

c) 15u

B 25 . E n elgráfico,A B = B C . C alcule Q C , si : AQ = 8 u;PC = 2 u.

A



A

C



 

P

D a) 8 u d)2u

b) 4u e)12u

22 . E n elgráfico, A M = M C . C alcule

 

B

c) 16u

º

3

Q

C

a) u 4 d)6u

b) u 8 e)12u

c) u 3

. 26 . E n elgráfico, calcule la m ) ABM .Si:AM = M C .

B

B

A

a) 10° d)15°

2

45 º



M

b) 12° e)18°

C

A

c) 5° a) 37° d)60°

38

53º 2

37º 2 M

b)53° e)90°

c) 45°

C

TRILCE 27 . S ea A B C un triángulo escaleno. L a m ediatriz de B C

32 . E n elgráfico, calcule "xº", si : A D = D C .

corta a A C en "F" y se cum ple que: A B = A F = FC . C alcule la m a) 53° d)37°

B

 ) ACB.

b)15° e)60°

105º 30º

c) 30° A

xº

C

D

28 . E n elgráfico,calcule "xº", si : B C = M C . a) 10° d)20°

b)12° e)30°

c) 15°

B

33 . E n elgráfico,calcule "xº", si : A B = A D + D C . xº

B xº

M A

2

 



C

D a) 20° d)45°

b)25° e)37°

c) 30°

a) 10° d)18°

30 º

2

0

º

2xº

xº

A

29 . E n el gráfico, calcule "º".

b)12° e)36°

C

c) 15°

34 . E n un triángulo A B C se traza la ceviana B D , tal que :

A B  C D y D está en ellado A C . A dem ás : m ) AB D = 60°y m

70 º 10 º

a) 9° d)22,5°

º

b) 10° e)30°

a) 15° d)22°30'

 ) BAC

b)30° e)20°

b)40° e)15°

c) 25°

35 . E n elgráfico, calcule A E . Si:BC = 36 u y EC = 24 u.AB = AC .

c) 15°

 

A

C

a) 61u d)66u

B



2 

c) 30°

31 . E n el gráfico,calcule : "xº", si : A D = D C .

E

B

30 . S e ubica un punto P en elinterior de un triángulo A B C , talque : A P = A B = B C , si: m ) AC P = 30°,m ) C A P = 10°. C alcule la m ) B A P. . a) 20° d)10°

= 20°. C alcule la m ) BCA.

b) 62u e)60u

c) 64u

36 . En elgráfico, AT = 5 u, B C = 10 u.

xº

Si : A M = M C . C alcule TB . B

A

a) 15° d)30°

xº

45 º

C

D b)20° e)35°



c) 25°



L

T C A

M 39

Geom etría

a) 11u d)14u

b)12u e)15u

c) 13u

41 . E n el gráfico,calcule : "xº". S i : A B = B C . B

37 . E n el gráfico m ostrado, A B = C D . C alcule : "xº".

2xº A

90+ 2xº

xº

xº

A

2xº

B

b)20°30'

d) 18° 30'

e) 20° 18'

c)18°20'

C

D

a) 9° d)14°

C

a)22°30'

42. E n el gráfico m ostrado : D E = 18 u, FC = 24 u,

b)12° e)21°30'

G C = 16 u. C alcule M N , si : M y N puntos m edios de

c)18°30'

E F y D G , respectivam ente.

38 . E n el gráfico, calcule :"º " .AB = PQ y AQ = QC .

B

B

6 º

M

E

P

F

D 2 º

N

53º

A º

A

C

Q

a)10° d)30°

b)18° e)15°

c) 20°

39 . E n elgráfico, A B C es un triángulo isósceles (A B = B C ). PQ //A C ;PE = 3u; PF = 5u y N Q = 7 u. C alcule Q D .

C

G

a) 16u d)17u

b) 15u e)18u

c) 12u

43 . E el=gráf ico, Sin:AB BR = cal M Ccul y eAM"xº" = . M C. B

B R

D xº

E

F

M

Q

P

a) 5° d)15°

N A a) 12u d)15u

C b)13u e)16u

2xº

A

b) 10° e)18°

C

c) 12°

c) 14u 44 . E n el gráfico, calcule "xº", si : A D = D C .

40 . E n elgráfico m ostrado, A B = C D . C alcule "x". B B 90º-2x

2xº

x

A 2x

A a) 8° d)15° 40

D b) 10° e)18°

c) 12°

C

a) 30° d)18°

30º

xº D

b)10° e)20°

c) 15°

C

TRILCE 45 . E n el gráfico, calcule "xº" . Si:BP = AC y AD = D P.

49 . E n elgráfico m ostrado, A B = C D . C alcule " º ". B

B

2 D

90º- º

xº P



A

a) 90° d)120°

C

b)60° e)150°

4 º

A

º

C

D

c) 45° a) 10° d)20°


b)12° e)25°

c) 15°

50 . E n un triángulo A B C , se traza la ceviana B F , si : AB = FC, m ) BA C = 30°,m ) FBC = 45°.

º

C alcule m ) BCA. º

a) 12º d)30º

3º

2 º

b)15º e)22º30'

c) 20º

51 . E n el gráfico m ostrado, calcule "xº". º

a) 8° d)18°

b) 10° e)20°

100º

c) 15°


10 º

20 º

xº

10 º 5 º

3 º

a) 5° d)12°

b) 8° e)15°

c) 10°

52 . E n elgráfico, calcule "xº", si : A D = B C .

3 º

2 º

B

5 º 6xº

a) 9° d)15°

b) 12° e)18°

c) 10° A

48 . E n el gráfico, calcule "xº", si: A B = C D . a) 10° d)15°

B

3xº

2xº D

b)12° e)18°

C

c) 20°

53 . E n elgráfico, calcule "xº", si : A D = B C .

xº

B

30º

A

a) 9° d)15°

xº

D b) 10° e)18°

C

30

ºxº

c) 12° A a) 12° d)18°

30º+ x

30º D

b)15° e)20°

C

c) 10°

41

Geom etría

58 . C alcule "xº", en función d e :"" . Si:AM = M C .

54 . E n elgráfico :B C = A D , calcule "º " .

B

30º C

4

º

B



2

3 º

a)10° d)18°

+ º

x

2 º A

5

2 º

b)12° e)20°

2

A

D

c) 15°

C

M

a) 2 

b) 

c)   15 

c)   30 

e) 60   

59 . E n elgráfico, calcule "xº", si : A B = D C . 55 . E n el gráfico, calcule "x", si : A B = D C .

B xº

B

60º+ x

2x A

48º

18 º D

x

A

D

a)10° d)45°/2

C a) 10° d)18°

b)15° e)15°/2

b)12° e)20°

c) 15°

c) 20° 60 . E n el gráfico,calcule : "xº", si: A D = B C .

B

56 . E n elgráfico,calcule "xº". S i : A Q = Q C = B C . B

xº

A

Q

30 º

12 º D

2xº xº

A

a)10° d)30°

C

b)15° e)22°30'

c) 18°

BC , AB y AC respectivam ente. C alcule "xº", si adem ás :

57. Si : M , N y P pun tos m edios de BE = 2u y BD = 4u.

C

2 P

M xº

 E B a)30° d)36° 42

2



D b)35° e)37°

C

N c) 31°

A

a) 5° d)10°

b) 6° e)12°

c) 9°

C

TRILCE

laves Claves 21.

a

41.

a

22.

c

42.

d

23.

b

43.

b

24.

b

44.

c

25.

d

45.

b

26.

e

46.

c

27.

c

47.

c

28.

c

48.

e

29.

b

49.

d

30.

b

50.

e

31.

d

51.

c

32.

e

52.

d

33.

e

53.

b

34.

e

54.

c

35.

e

55.

d

36.

e

56.

d

37.

c

57.

c

38.

e

58.

c

39.

d

59.

b

40.

b

60.

b

43

Geom etría

44

TRILCE

C ap ítulo

4

POL GONOS

:

* *

Oc tógono E neágono

d istintos de un plan o con n  3. L os segm ento s P1 P 2 ,

*

De cágono

P 2 P3 , P 3 P4 , .... P n 1 P n , P n P1 ; son tales que ningún par

*

En d ecágono

 11

"

de segm entos con un extrem o com ún sean colineales y no

*

Dod ecágono

 12

"

exista un par de segm entos que se intersecten en pun tos

*

Pentadecágon o  15

distintos de sus extrem os. E ntonces, la reunión de los "n"

*

Icoságon o

Definición

Pn u na sucesió n de "n" puntos Sean P1 , P2 , P3 , ....

segm entos se deno m ina Pol ígo no .

P2

" "

o nonágono

2.

 10

"

 20

"

"

Por sus l ados y ángul os *

Polígon o C on vexo

*

Polígono n o C on vexo

*

Polígono E quilátero

*

Polígono Equi áng ulo

P4





 8  9

P3

P1

P5 Pn P6

Elementos : 1.

Vé r t i c es : P1 , P2 , P3 , ....

2.

Lados : P1 P 2 , P 2 P3 , .....

3.

Ángulos : * Internos * Externos

4.

Diagonal

: ) P1 , ) P 2 , .... :  ,  ...... : P 3 P5 , P 4 P 6 , .....

Lo s Pol ígono s se clasi fic an en : 1.

Por el nú mero de lados : * *

 3 lados C uadrilátero  4 "

*

Pentágon o

 5

"

*

E xágono

 6

"

*

H eptágono  7



Triángulo

(o h exágono )





 



"

45

Ge ometría

*

Polígono R egular

IV.

O

F

A

*

G

C

B

D

E n tod o p olígon o convexo, la sum a d e las m edidas de los ángulos extenos es de 360°.

H

I

O

E

J

Polígono Irregular Sex = 360º V.

E n el po lígono equ iángulo. eº iº

eº

iº

eº iº

PROPIEDADES I.

M áxim o n úm ero d e diagon ales trazadas desde 1 vértice.

iº

iº

eº

m ) E xteri or 

360  n

(n-3) diagonales m ) Interi o r

180 (n  2) n

V I. E n el polígono regular. II.

N úm ero total de d iagon ales.

iº eº

º

iº

ND 

n (n  3)

eº

O iº

iº

2

 : m edida del ángulo central. III.

E n los po lígonos convexos,la sum a d e las m edidas de los ángulos internos es de :

S e = S   360 

   e  i  180 

S i  180  (n  2)

46

360  n (n  2 ) n

eº

TRILCE

Tes t de a pr endi zaj e preli m in ar 04 . E n el polígono m ostrado :

01 . E n el octógono regular, calcule " º ".

AB = BC =

CD = DE =

a,

AC  CD , AD  D E .

C alcule el perím etro del po lígono m ostrado. E D

º

C

A

B

02 . C alcule la sum a d e las m edidas de los ángulos interiores en el gráfico.

05 . E l gráfico m uestra un po lígono regular. C alcule : xº - yº.

xº

yº 03 . A B C D E es un polígono regular. C alcule "xº". B

xº

A

C

E

D

06 . E n u n p olígono, la sum a d e las m edidas de sus ángulos internos es 540°,elnúm ero de lados de dicho polígono es :

47

Ge ometría

07 . E n un polígono, la diferencia de la sum a de los ángulos internos y la sum a d e ángulos externos es igual a 720°. C alcule el núm ero de diagonales de dicho polígono.

Pr act iquemos : 11 . C alcule elnúm ero d e lados de un po lígon o convexo, si desde cuatro vért ices consecutivos se puede trazar 45 d iagonales.

08 . E udas n p ode lígo eq ui o,ylaotrel nior e nes trecom laso m nedi unn o ángul o án intgu eril or ro aci extóer 5 a 1. C alcule el núm ero de diagonales del polígono.

09 . L a m edida del ángulo interior de un polígono regular es igual a la m edida de su ángulo central. E l polígono es un :

10 . E n el gráfico, se presenta parte de un polígono regular de "n" ados. l C alcule "n".

B A

164º

13. Se tiene un octógono equi ángulo A B C D E FG H en el cual : AB = 2 m ;BC = 2 m ;C D = 3m .C alcule AD .

14 . C ada lado de un p olígono regular m ide 6 cm y el perím etro equivale al núm ero que expresa el total de

D C

12. En un hexágono AB C D EF : BC = 4u,AB = 3u,C D = 6u,D E = 5u. C alcule el pe rím etro d el he xá go no eq u ián gu lo m encionad o.

d iago nales en cm . C alcule la m edid a de un án gulo

E

central.

F G

15 . D esde 7 vértices consecutivos de un polígono se han trazado 55 diagonales.C alcule elnúm ero de diagonales totales del polígono.

48

TRILCE 16. En un h exágono c onv exo AB C D EF : m ) B = 140º, m ) E = 150º, m ) C + m ) D = 330º. C alcule la m edida del ángulo que form an las rectas AB y FE al intersect arse.

Pro blema s pro pues to s 21 . C alcule la sum a de las m edidas de lo s ángulos interno s de un polígono, sabiendo que sise aum enta en tres el núm ero d e lados, el nú m ero d e diagonales aum enta en 27. a)1260° d )1460°

b)1360° e)1600°

c)1560°

22 . E n un po lígo n o regular la d iferencia d e u n án gulo 17 . E n un polígono equiángulo A B C D E F ... las bisectrices de los ángulos A B C y D E F son perpendiculares. C alcule el núm ero de diagonales de dicho polígono.

interno y un ángulo externo está com prendid a entre 30 ° y 4 0°. C alcule el nú m ero d e lad o s de dicho polígo no. 5a) d) 8

6b) e) 10

7c)

23 . S e tiene un octágon o regular A B C -D E FG H . C alcule la m edida d el ángulo form ado por las diagonales B E y

CH . 18 . S i a un polígono se le increm enta el núm ero de lados en 2, cada ángulo interno aum enta en 15°. E l polígono es :

a) 30° d)90°

núm ero de lados del polígono original.

c) 60°

24 . S i un polígono regular tiene "n" lad os y se sum an el valor de la sum a de sus ángulos internos, externo s y centrales se o btiene (200n )°. C alcule el núm ero d e diagonales que tiene d icho polígono.

a) 119 d) 135 19 . S i elnúm ero d e lados de un polígono regular aum enta en 10 , su ángulo interior aum enta en 3°. C alcule el

b)45° e)120°

b) 152 e) 170

c)104

25 . L os ángulos internos B , C y D de u n po lígon o convexo m id en 170°, 160° y 150° respectivam ente. C alcule la m edida del m enor ángulo form ado por los lados A B y DE. a) 50° d)80°

b)60° e)40°

c) 70°

26. A B C D E es un pent ágono r egular y BC PQ es un cuadrado interi o r alpentágono. Calcule la m ) D BP. . 20 . E n un p olígono regular, se cum ple que la sum a d e las m edidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un án gulo interior es 210°. C alcule el nú m ero total d e d iagonales.

a) 6° d)10°

b) 8° e)12°

c) 9°

27 . C alcular elnúm ero de lados de un p olígono equiángulo A B C D E F ......, silas m ediatrices de A B y E F form an un ángulo cuya m edida es 36°. a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

28 . C alcule el núm ero de lados del polígono regular cuyo ángulo interno es (p+ 15) veces elángulo exterio r, y adem ás se sabe que el núm ero de diagonales es 135p. a) 80 d)95

b) 85 e)100

c) 90

49

Ge ometría

29 . D adas las siguientes proposiciones : I. C ada ángulo interior de un hexágon o regular m ide 120°. II. E n el decágono, se pueden trazar 36 diagonales. III. E l polígono regular cuyos ángulos exterio res m iden 36° es un decágono. S on verdaderas : a)Só lo Iy III c)Só lo Iy II e) Sólo II y III

36 . S i a un po lígono se le aum enta 2 lados, el núm ero d e d iago na les aum en ta en 15 . C alcule la m itad d e la m edida del ángulo externo de dicho polígono. a) 45° d)120°

b)60° e)90°

c) 40°

37 . E n cierto sistem a de m edida, la sum a de las m edidas 3 de los ángulos internos de un triángulo K . C alcule 4 la sum a de las m edidas de lo s ángulos internos en un decágono con vexo.

b)Só lo II d)Só lo III

30 . C alcule el núm ero de diagonales que se puede trazar

a) K6 b) K5 c) K7 d)10K e)8K en un polígono regular de vértices A 1 , A 2 , A 3 , ..... A n , sabiendo que las m ediatrices de A 1 A 2 y A 3 A 4 38 . E n elgráfico A B C D E y AF E son regulares, G D = 10u. form an un án gulo q ue m ide 3 0°. C alcule la distancia de D a G C . a)189 d)275

b)230 e)252

c)170

C

31 . D os núm eros con secutivos, representan los núm eros de vért ices de dos polígonos convexos.S i la diferenci a de los núm eros de diagonales to tales es 3. E l polígono m ayor es : a) Icoságono c) Pentágono e) E nd ecágon o

"p" y elnúm ero que expresa su núm ero de diagonales es igual al perí m etro. A d em ás su án gulo interio r es "p" veces su án gu lo exterio r. C alcule la longitud del lado del polígono regular. b) 1/5 e) 1/2

c 1/4

a) Pentágono c) D odecágono e) O ctógo no

b) H exágono e) N onágon o

34 . S i la sum a de las m edidas de los ángulos interno s de dos polígonos convexos difieren en 720° y sus ángulos centrales difieren en 7,5°. Indicar si el cociente m ayor que la unidad de los lados

b) u 4 e) 5u

c) u 8

39 . S e inscribe un rectángulo en un cuadrado, tal que sus lad os sean paralelos a las diagonales del cuadrado. C alcule la relación entre los perí m etros del cuadrado y del rectángulo.

2a)

3b) 2

2

c) e) 4

40 . C alcule elnúm ero d e lados de un polígon o equiángulo A B C D E F .....; si las m ediatrices de A B y E F form an un ángulo d e 36°. a) 15 d)40

b) 10 e)10ó40

c) 20

41. E n u n po lígo no equ ián gulo d esd e (n-7) lad o s consecutivos se pueden trazar (n-1) diagonales m edias.

de los dos polígono s convexos es igual a :

C alcule la m edida de un ángulo interior.

a)1,53 d)1,43

a)130° d)135°

b)1,23 e)1,33

c)1,13

35 . S i a un po lígono se le aum enta un lado, su nú m ero de diagonales aum enta en 6. S i se le dism inuye un lado, el núm ero d e diagonales dism inuye en : 6a) d) 2

50

E

A a) u 3 d) 6u

d) 2 33 . E lpo lígono, en elque su núm ero d e lados es iguala su núm ero de diagonales es :

D

F

G

b) Non ágono d) Ep tágono

32 . S e tiene un polígono regular cuyo sem iperím etro es

a) 1/3 d) 1

B

3b) e) 4

b)132° e)140°

c)134°

42 . C alcule el núm ero d e polígon os equiángulos con vexos existen de m odo que la m edida de su ángulo interno en grad os sexagesim ales está representad o po r un núm ero entero.

5c) a) 24 d) 30

b) 22 e) 21

c) 18

TRILCE 43 . E n un polígon o convexo de "n" lados. C alcule la sum a de las m edidas de los ángulos form ados al prolongar los lados del polígono. a)180°n d) 180°(n-4)

b)360°n e) 360°(n-2)

c)90°(n-2) a) 12 d) 15

44 . E l m eno r ángulo d e un p o lígono m ide 1 39°, y las m ed ida s de los o tro s ángu lo s fo rm an , con la de l prim ero,una progresión aritm ética de razón 2°. C alcule el núm ero d e lados del polígono.

a) 10 d) 15

b) 9e) 20

50 . E n cierto polígono convexo, el m enor ángulo interno m id e 1 3 5° y los dem ás án gu los in terno s están en progresión aritm ética de razón 3°. C alcule el núm ero de lados.

c) 12

45 . C alcule el m ayor nú m ero d e lado s de un po lígon o d)

a b

b) 12 e) 15

c) 30

46 . E n u n p olígon o convexo de "n" lad os, desde (n-4) vértices consecutivo s se trazan (4 n+ 3) d iagonales. C alcule la sum a de las m edidas de los ángulos interi o res del polígono. a)1040° d )1340°

b)1140° e)1800°

c)1240°

b) ba

2 b 3

a 2

c)

e)

2

E F form an un á ngulo cuya m edida es 36°. a) 10 d) 14

c) 14

51 . E n el nonágono regular A B ... H I, las diagonales B D y C F m iden "a" y "b" unidades respectivam ente. C alcule la distancia del vértice E, a la diagonal B H .

a)

equilátero A B C D E F ...... ; si las m ediatrices de A B y

b) 13 e) 17

2

ab

52 . L as m edidas de los ángulos interiores de un trapezoide form an un a progresión aritm ética. S i la m edida d el cuarto ángulo es nueve veces la del segundo, calcule la m edida del tercer ángulo interi o r. a) 81° d)27°

b)54° e)108°

c) 71°

53 . A B C D es un cuadrilátero d on de el ángulo A es recto, m ) B = m ) C = 60° y 2AB - BC = 6

3 u. C alcule C D .

triángulo A B F y sobre FD se tom a el punto Q , tal que:

a) 6

3 u

u6 b)

AF = FQ y Q M  B F = {P}. C alcule PQ .

d) 3

2 u

e) 3u

47 . E n un hexágono regular A B C D E F, cuyo p erím etro es igual a 72u, se traza la b isectriz interior FM en el

a) 4 u d)12u

b) 8u e)16u

c) 10u

48 . C alcule "xº", si A B C D E es un pentágono regular. (ED = D P).

A

42 º

3 u

54 . A ldism inuir en 6 ° la m edida de cada ángulo interno de un polígono regular, resulta otro polígono regular cuyo nú m ero d e d iago nales es lo s 3/5 d el nú m ero d e diagonales del polígono original. C alcule el núm ero de lados del polígono original. a) 9 d) 15

B

2c)

b) 10 e) 20

c) 12

55. En un p entágono ABC D E :

C

P

m ) B =

m ) D =

9 0° y lo s áng ulo s restan tes

congruentes. C alcule la distancia del vértice A al lado

E D ,si:BC = 4 cm y CD = 10 cm ,AB = 4 xº D a) 42° d)54°

E b)45° e)60°

c) 48°

b) 2x4 e)x

b) 7cm e)5cm

c) 6cm

56. En un p entágono conv exo AB C D E : AB = BC y C D = D E (C D > BC );si:

49 . D e un o d e los vértices de un po lígo no conv exo, se puede trazar ( x - 3) diagonales,entonces a l sum a de las m ed id as de sus ángulos interiores equivale a ...... ángulos rectos. a) 2x d)2x+8

a) 3cm d)8cm

3 cm .

c) x+4

BD = K y m

) B = m ) D = 90°. C alcule la distancia d el punto m edio d e A E a B D . a) d) K

K

b) 2K

2 e)

c)

2K 3

K 3 51

Ge ometría

57 . D ad o el po lígo no equ ián gulo P Q R S T ... tal qu e las prolon gacion es d e PQ

y T S se cortan en A . S i el ángulo PA S es agud o, calcule el m áxim o n úm ero de lados del polígono. a) 12 d)10

b) 13 e) 11

c) 14

58 . L os lados de un polígon o regular de "n" lados, n > 4, se prolongan para fo rm ar una estrella. E l núm ero de grados en cada vértice de la estrella, es :

a)

c)

e)

52

360

b)

n (n  2)180 n 180 n

(n  4 )180 n

d) 180 

90 n

59 . E l núm ero d e diagon ales de u n p olígono convexo excede en 16 a la diferencia entre elnúm ero de ángulos rectos a que equivale la sum a d e sus ángulos interi o res y el núm ero de vértices del polígono. E l polígono es : a)Oc tógono. c) Pentágono. e) N . A .

b) De cágono. d) Ex ágono.

60 . S i la m edida de cada ángulo interior de un p olígono regular de "n" lados se dism inuye en 5°, su núm ero de diagonales dism inuye en (5n-3). C alcule "n". a) 18 d) 36

b) 24 e) 42

c) 30

TRILCE

Claves 21.

a

41.

d

22.

a

42.

e

23.

d

43.

d

24.

d

44.

c

25.

b

45.

a

26.

c

46.

e

27.

d

47.

d

28.

c

48.

e

29.

a

49.

b

30.

e

50.

d

31. 32.

c d

51. 52.

d a

33.

a

53.

a

34.

e

54.

d

35.

c

55.

c

36.

a

56.

a

37.

a

57.

e

38.

e

58.

b

39.

c

59.

a

40.

d

60.

b

53

Ge ometría

54

TRILCE

C ap ítulo

CUADRIL TEROS

5

Definición : S on aquellas figuras determ inadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares,que se intersectan dos a dos. L os segm entos que se d eterm inan son sus lados y los puntos de intersecció n son sus vértices. C

B

B

Cº

Bº

º D

Aº A

º

Dº D

C onvexo

º

xº

C

N o C onv exo

A

Aº+ Bº+ C º+ D º = 36 0º

xº = º + º +

º

Clasificación I.

Trapezoides B

C B Trapezoi de A sim étrico

A

C

A

Trapezoi de S im étrico

D D II.

Trapecios B

C

C

B B C // A D B ases

D

A

B

C

B



A

D

T. Escaleno C



A

D T. Isósceles

A

D T. R ectángulo 55

Ge ometría

III. Paralelogramos B

C

º

º A B //C D

º

A

B C // A D

º D

B

B

C A

=

A

C

90º D

D Ro m bo

R om boide

B

B

C

C

D

A

A

R ectángulo

D C uadrado

Pr op iedades I.

Básicas

En el Trapeci o *

*

a

b

M N :B ase m edia

P Q //B ases N

M

M N //B ases Q

P MN=

b

II.

P Q=

a+ b 2

a -b 2

a

En el Paralelogramo

*

B

*

C

C

B

a+ b = n+ m A O= OC B O= OD

O A

56

D

m A a

D n

b

TRILCE III. En to do Cuadri látero

C Q B

P

R

A S

D

PQ R S es un paralelogram o

57

Ge ometría

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01 . E n la prolongación d el lad o A D de un rectángulo A B C D , se ubica elpunto E , tal que : m ) ADB = m ) D C E, B D = 4 u y C E = 3 u. C alcule

04 . C alcule "º " en elgráfico,si: A B C D es un cuadrado y "M " y "N " son puntos m edios. C

B

AE.

N

º A

D

M

02 . E n el gráfico, calcule la m ) B E A , si : A B C D es un cuadrado y B F = 3(A F). B

E

C 05. En un cua drado A B C D , se prolonga L uego se traza la perpendicular A Q

AD

hasta "P".

hacia P C

D

A

06. Las diagonales de un rom bo m iden 20 dm C alcule el perím etro del rom bo.

y 48 dm .

03 . E n el gráfico, calcule "xº", si A B C D es un cuadrado.

C

B

07 . D el gráfico, calcule "xº" .

B

xº

xº





C xº

A

D xº

A

58

que

corta a C D en M . C alcule la m ) DPM.

F

2x



D

TRILCE 08 . E n el gráfico, si : A B C D es un rom bo ide, calcule B F, sabiendo que : B C = 7 u y C D = 5 u.

B  

C

Pr act iquemos : 11 . E n los lado s B C y C D del cuadrado A B C D , se ubican los puntos M y P,respectivam ente, tal que : C P = PD y m ) A PM = 90°.C alcule la m ) AMB.

F

A

D

12 . E n el gráfico, si : A B C D es un paralelogram o, PQ = 12u, E F = 17 u. C alcule :E L.

09 . E n el gráfico,si : A B C D es un rom bo ide, A D = 8 u; A B = 5u. C alcule D N .

M

B

C Q

E

C A

A

P

L

B

F

 

D

  D

N

13 . E n el gráfico A B C D un trapecio (B C //A D ) . C alcule la m ) ADC. B

4u

C

10 . E n elgráfico,se m uestran los cuadrados A,B y C . C alcule:

A

A

B

6u

8u

Perím etro d e A + Perím etro d e B Perím etro de C

14u

D

C

14 . Las diagonales de un trapecio m iden 1 2 cm y 18 cm . C alcule el m áxim o valor entero qu e pued e tom ar la longitud de la m ediana d e dicho trapecio.

59

Ge ometría

15 . E n un trapecio rectángulo A B C D . m ) A = m ) B = 90°, m ) D = 75° ;A D = 2(A B ). C alcule la m edida del ángulo B C A .

20 . L a sum a d e las longitud es d e las diago na les d e un trapezoide es 20. C alcule el perí m etro del cuadrilátero que resulta al unir consecutivam ente los puntos m edios de los lados del trapezoide.

16. Los lados A B , B C y C D de un trapecio A B C D son de igual longitud. S i A D

es paralela a B C y tiene el

doble de la longitud de B C , la diagonal A C m ide :

Pr oblemas pr opu es to s 21 . E n el gráfico se m uestra un trapecio A B C D , de bases

A B y C D , se trazan las bisectrices de los ángulos A y D que se cortan en R , y las bisect rices de los ángulos B 17 . E n el gráfico, si : B C // A D y A B C D , es un trapecio isósceles. C alcule : A D , E C = 5 m .

y C que se cortan en S . C alcule R S, si : A B = 4 u, C D = 12 u, A D = 7 u y BC = 9 u.

B

C A

B

E 30º 30º A

D

D a) 0 d)13/2 u

C b) 8u e)3/2 u

c) 19/2u

22. E n un cuadr ilátero con vexo A B C D , el ángu lo m ) A = 9° y m ) B = 4°.C alcule la m edida delángulo form ado por las bisectrices de los ángulos C y D . 18 . E n u n trapecio, la sum a entre la m ediana y elsegm ento que une los puntos m edios de las diagonales es 32 cm . C alcule la longitud de la base m ayor.

a)6°30' d)9°00'

b)7°20' e)12°00'

c)7°55'

23 . E n el gráfico, los lados A B y C D son paralelos. Si :A B = 5 u y A C = 12 u, calcule : C D .

C

19 . L as diagonales de un trapecio son perpend iculares y m iden 6u y 8u. C alcule la longitud de la m ediana.

A



2

B

a) 15u d)17u

60

b)16u e)10u

c) 18u

D

TRILCE 24 . E n elgráfico :B C = PA y A D = B P. C alcule "xº".

B

C

a) 1m d) 3m

b) 1,5m e) 4m

c) 2m

28 . E n un trapecio A B C D , la base m enor A B es igual a la altura A H ; si : m ) A = 135° y el ) B = 150°. C alcule elperím etro del trapecio, si : A B = A H = 20 cm .

P

a) 195,920 cm c) 182,920 cm e) 170,500 cm

xº D

A a) 53° d)45°

b)30° e)37°

c) 60°

25 . E n elgráfico,calcule "º".Si:PL = LM = N M .

b)200 cm d) 162,920 cm

29 . E n el gráfico, se m uestra u n rom bo id e A B C D . S i las distancias de B , A y D a la recta son 2,4m ; 3,6m ; 7,9m , respectivam ente, calcule la distancia de C a la recta L.

B

L

L

º P A

C

45º-º

N

M D

a) 20° d)30°

b)10° e)15°

c) 12°

a) 1m d)2m

26 . E n el gráfico, calcule "º " , siA B C D es un rom bo.. M H = 1 u, y D dista de B C 3 u. B

b)1,5m e)2,5m

c) 1,9m

30 . D ado un cuadrad o, al unir los puntos m edios de sus lad o s se o b tiene o tro cuad rad o. Si se efectúa este procedim iento cuatro vecesm ás se tend rá un cuadrado. C alcule la razón entre las longitudes de los lados del cuadrado inicial y el últim o que se obtuvo.

º

H

a) A

M

º

O

C

d) 5

b)15° e)10°

2

b) 4

2

e) 3

2

c) 2

2

31 . E n elgráfico A B C D , es un paralelogram o y D X = B Y. S ielperí m etro deltriángulo B C E es :a+ 2b, elperí m etro del triángulo C D X es :b-2a, y el perí m etro del triángulo C FY es p.

D a)26°30' d)30°

2

c)18°

2

C alcule : p  6 ab . X

27 . E n gráfico m ostrado, M N O P es un trapecio, si : S punto m edio de O U y R S //Q U .S iendo :Q U = 12 m ,calcule

D

F

C

TR .

O

N 

A

  

T

Q

E

Y

S

R

M

B

P

U

a) a 2  b 2

b) 3a 2  2 b 2

c) 2a 2  3 b 2

d) a 2  9 b 2

e) 9 a 2  b 2

61

Ge ometría

32 . E l gráfico 1 es un cuadrado de lado 4m , tom and o los puntos m edios de los lados A B y B C se construye el

35 . E n el gráfico, PQ = 12

3 u y Q R  8 3 u, calcule :

PS + RS. S

gráfico 2 . E n el segund o pa so, tom an do los pun tos m edios de los segm entos A P 1 , P1Q 1 , Q 1R 1 y R 1C se construye el gráfico 3. S i se efectúa este procedim iento 10 veces, calcule la longitud d e la "escalera" que se

R

obtiene. A

P1

A

B

120º Q D

R1

1

D

C

C

fig. 1

fig. 2

P a) 60u d)65u

Q b)63u e)66u

c) 64u

A 36 . E n elgráfico,A B C D es un trapecio B M //C D ;AF = 18 cm y FC = 12 cm . C alcule EF. D

fi g. 3

C

C

B F

a) 4 2 m

b) 10 2 m

d) 4 10 m

me) 8

E

c) 40 2 m

A

33 . E n el gráfico m ostrado, se tiene un rectángulo A B C D , an en ) B P O . Si :M N y PQ se intersect

m ) OMA=m

a) 6cm d)8cm

D

M

en elcual: A D = 2(C D ), y do nd e : b) 4cm e)5cm

c) 10cm

O, de m od o q ue :PO = 2 cm ,Q O = 4 cm y M O = 5 cm , calcule N O .

37 . E n un trapecio A B C D ,la base m ayor es A D . A l trazarse las bisectrices del án gulo B y el án gulo exterior C ,

P

B

C

intersectan a la base A D y a su p rolongación en P y Q respectivam ente.

M

Si:AB + BC = 24 m y CD + AD = 30 m ,

O

N

calcule la longitud del segm ento que une los puntos m edios de PC y B Q .

A

D

Q

a)8cm d)9cm

b)10cm e)6cm

a) m1 d) 4m

b) m 2 e) 5m

c) m3

c) 7cm 38. S e tiene un paralelogram o A B C D . Se construyen exteriorm ente los triángulos equiláteros A B M y B C N .

34 . E n elgráfico : A B C D es un cuadrado, y  = 20°.C alcule :"º " . B

C

Por M se traza la perpendicular M H a N D , calcule la m edida d el ángulo H M B , si el ángulo N D C m ide 4 6°. a) 16° d)11°

b)14° e)20°

c) 18°



º

39. En un trapecio A B C D (A B //C D ) . S i : AB =



8m ; BC = 6m ; AD = 10 m y CD = 18m ; las

bisectrices de los ángulos A y D se intersectan en el A

D

pun to M y las bisectrices de los ángulos B y C se intersectan en el punto N . C alcule M N .

a)120° d)100°

62

b)105° e)110°

c)115°

a) m4 d)4,5 m

b) m 5

c) m6 e)5,5 m

TRILCE 40 . D e las siguientes proposiciones, las verdad eras (V ) o falsas (F) so n : I.

S i el trapecio tiene sus diagonales congruentes; entonces,es necesari am ente inscriptible a una circunferencia. II. E n un trapecio escaleno, una diagonal puede ser tam bién altura. III. S i un polígono equiángulo está escrito en una circunferencia es necesari am ente un po lígono regular.

45 . E n un cuadrado A B C D , sob re la recta A D , se ubican los puntos P y Q , tal que : P, A , D y Q están en ese ord en. C alcule la m edida del ángulo form ad o entre

P C y B Q ,siendo elpunto m edio de A D pun to m edio de PQ y m ) PC Q = 90°. a)75° d)52,5°

b)60° e)67,5°

c)63,5°

46 . En un cuadrilátero A B C D : m ) B = m ) D = 90 ° , m

a) VFFF VF d)

b) FV e) V VFV

c) V FV

41 . E n un rom boide AB C D , con A B < B C , se trazan las bisectrices interiores de sus cuatro án gulos. D ichas bisectrices al intersect arse, form an un : a) b) c) d) e)

c) 30m

respectivam ente, calcule la razón entre PQ y la distancia del centro del cuadrado a dicha recta.

C D y la diagonal B D co rta a A M en punt o R . Si : R M = 5u y m ) D R M = 53°, calcule B D . b)35u e)40u

a) 1

b) 1/2

d) 2

e)

c) 3

2

48 . E n un trapecio isósceles A B C D ( B C //A D y BC < AD ); se construyen exteriorm ente los triángulos equiláteros

c) 30u

C ED y AD F;adem ás:

43 . E n el rectángulo A B C D de la figura,la longitud de los segm entos A B y FC s on respectivam ente 2 m y 4 m . S i los segm entos A E y E M son iguales, calcule el perím etro del rectángulo.



b) 24m e)50m

interseca en N a A B . S i la proyecció n ortogonal de A y C sob re d icha recta son lo s pu n to s P y Q

42. En un rom bo AB C D , M es punto m edio de

D

a) 16m d)40m

47 . E s un cuadrado A B C D , por D se traza una recta que

Ro m bo. C uadrado. R ectángulo. Trapecio. O tros cuadriláteros.

a) 18u d)36u

) B C D = 45°, luego s e

trazan A P  B D , C Q  B D . C alcule B D , si: AP = 4 m ,CQ = 20 m .



A E y B F se intersectan en O . C alcue B O ,si: A O = 3u; O E = 4u y O F = 5u. a) 1u d)3,5u

b) 2,5u e)4u

c) 2u

C 49 . E n el gráfico, los puntos M , N y R son puntos m edios de los lado s A B , B C y C A .

F

S i : M M '+ R R '+ N N '= 25 u, calcule : B B '.

B M

 A

E



N

M

B

R' a) 48 d) 24

b) 30 e) 28

c) 36

M' A a) 20u d)24u

N' C

R

44 . E n un trapecio rectángulo A B C D , recto en A y D ; la base m enor A B m ide 4 y la m ediana M E d el t rapecio m ide 6 (M en A D ) se ubica sobre A D el punto P, tal

B'

b) 22u e)25u

c) 23u

que : PB = PC y m a) 1 d)2,5

) B PC = 90°. C alcule M P.. b) 1,5 e) 3

c) 2

63

Ge ometría

50 . E n un paralelogram o A B C D , se tiene que (A B < B C ) y B D = 6u . S e construye exteriorm ente al trián gu lo equilátero AM D ; en cuyo interi o r se ubica el punto F,

57 . E n el gráfico, A B C D es un rectángulo. (O : intersecció n de las diagonales). O C FE : es un cuad rado. S i : M B = a. C alcule E L .

talque eltriángulo A FB es equilátero. C alcule la longitud d el segm ento q ue u ne los pun tos m edios de

FB

M

B

y

C

MD . O a) 3u d)

b)3

3 u

6 u

c) 3 u

L

A

F

D

e) 2 6 u

E 51. D ado un cu adrado A B C D ;se ubica M punto m edio de C D y se traza C N B M (N  A D ). C alcule :B N /Q M ; si: Q es la intersecci ón de N C con B M . 1a) d) 5

2b) e) 4

3c)

d)

52. En un trapecio M N O P (M N //O P );N O = 4u,O P = 6u, m ) M = 30° y m ) O = 120°. C alcule M N . a) 10u d) 7u

aa)

a

b) 2a

e)

3

c)

2

3

58 . E n el gráfico, A B C D y E FC R son un p aralelogram o y un cuad rado,B O  2 u, D E = 1u. (O : intersecció n de las diagonales del paralelogram o). C alcule la m ) FCD.

b)12u e) 9u

c) 14u

C

B F 45º

=

m ) O =

90°. S e trazan

NR

y PL

O R

A

D

perpendiculares a M O . Si PL - N R = 3(M O ).

E

C alcule la m ) M PO.. a)10° d)22,5°

b)12° e)30°

54. En el lado C D

c)18,5°

m ) BA P = 75°. C alcule la m ) B Q C , siendo Q punto m edio d e A P . b)45° e)90°

55. En un trapecio A BC D

a)53°/2 d)30°

b)60° e)37°/2

c)37°

59 . S e tiene un paralelogram o A B C D , po r C se traza la

de un cuadr ado A B C D , se ubica el

punto P, tal que :

a)53° d)60°

2

4a

53. En un trapezoide M N O P : m ) M

3a

c) 75°

perpen d icular a C D , la cual in tersecta en E a la prolongación de A D . S i: AD = 8 u y m

a) 16u

b) 8u

d) 4 2 u

(B C //A D ) ; se sabe que :

AD - B C = 2(A B) y m ) ABC = C alcule la m ) BCD.

4m ) ADC.

) CBD = 2(m ) C E D ), calcule E D .

2 2 u

c) e) 32u

60 . D el gráfico m ostrado, A B C D es un cuadrado. Si :BH = 2 u, N D = 3 u y N P = 11u. C alcule "xº". C

a)160° d)150°

b)127° e)135°

c)143°

56 . E n un paralelogram o A B C D , se ubica el pun to "F" en

B

A D ,de m odo que : m ) ABF = m ) B C F; FC = 2D C . C alcule la longitud

D N

delsegm ento que tiene por extrem os los puntos m edios de B F y FC , si: B F = 12u. a) u 4 d)12u

64

b) u 8 e)6u

P

xº

H A

c) u 9 a)16° d)26°30'

b)30° e)15°

c)37°/2

TRILCE

Claves 21.

c

41.

c

22.

a

42.

d

23.

d

43.

d

24.

d

44.

c

25.

c

45.

c

26.

d

46.

a

27.

a

47.

d

28.

d

48.

c

29.

c

49.

e

30.

b

50.

b

31. 32.

d e

51. 52.

d c

33.

c

53.

c

34.

e

54.

d

35.

a

55.

d

36.

d

56.

d

37.

c

57.

a

38.

a

58.

a

39.

b

59.

a

40.

c

60.

c

65

Ge ometría

66

TRILCE

C ap ítulo

6 Definición

CIRCUNFERENCIA

:

Posiciones relativas de dos Circunferencias Coplanares

E s ellugar geom étrico de todos los puntos del plano qu e equ idistan d e otro p un to d e su plan o d eno m inado centro. L a distancia m encionada recibe el nom bre de radio. Elementos de

*

Cir cunfe rencias

Exteri ores

la Cir cunferencia P

d

F E

Q

C

d> R + r A

O L1

B

*

Ci rcunferenci

as Tange ntes Exteri

r

L2

T

R *

Ce ntro :O

*

Ra dio : O B

*

Diám etro : B C

*

Cu erda : E F

*

A rco : E B

*

Flecha o sagita : PQ

*

Secante : L 1

*

Tangente : L 2

*

Punto de T angencia : T

*

Perím etro : L = Longitud de la circunferencia.



radio

 

phi

d

d= R + r

*

Cir cunfe rencias Secantes

r

R d

R - r< d < R + r

L=2

r

ores





r

L 2r

*

Cir cunfe rencias Ort

ogonale s

R

r d

= 3,1415926 ....... d 2  R 2  r2

67

Ge ometría

*

Ci rcunferencias T

ange ntes Interi

ores

Prop iedades F undamentales 1.

r

d

O

r

R

* P *

*

Cir cunfe rencias Inte

L

P

d < R -r

ri ores



OP 

p unto de tangencia 

 L

OP



r

2.

r

A

d



B



R

O d < R -r

*

C

Ci rc unferen ci as Co ncént r ic as

AB = AC

r

3.

Si : O C



AB

AM  M B R

O AC A

d = cero



CB

B

M C

4.

r

E sta regi ó n se deno m ina coron a o anillo circular.

E

F B

A

R

O bservación : "d"  distancia entre los centros.

Si :

E F //A B A E  FB

68

TRILCE 5.

Teorema de S tei ner B

C Si : A B  D C AB  CD

B C A

D

A

D AB -C D = AD -BC

6.

A

Observaciones

B S

*

Q

T

P

Q yF  pu ntos de tangencia p  sem i-perím etro del triángulo A B C . p

F



abc 2

E AQ  AF  p



A B  EF

y

ST  P Q

Q B

Teorem a de Poncel et

B

A p

C

F

r C

A r : inradio AB + BC =

AC + 2r

Teorema de Pit ot C B

r A D AB + CD =

BC + AD

* E ste teorem a es válido para todo polígono circunscri to cuyo núm ero de lados es un núm ero par.

69

Ge ometría

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01 . E n el gráfico, calcule PA , si : A y B son pu ntos de tangencia.

04. C alcule "xº", si"T " es punto de tangencia. AO = OB = BP = 1 u.

A T

x2+ x P

B

A

2x+ 6

02. En elgráfico :A B = 7 cm ,C D = 7,5 cm y C alcule BC .

A D = 4 cm .

O

xº

B

P

05. C alcule el perím etro del triángulo A B C .

C

10u B

B r A

A

4u

C 1u

D

03 . E n eltrapecio isósceles : A D = B C = 8 cm . C alcule la longitud de la m ediana del trapecio. (A B //D C ).

06. C alcule "xº", si"O " es centro. (T : punto de tangencia).

T A

B A

4xº

xº O

D

70

C

B

C

TRILCE 07. La d istancia entre los centros de dos circunferencias coplanares es 5 cm . Si sus radios m iden 2,5 cm y 1,5 cm , las circunferencias son :

Pr act iquemos : 11. U na circunferenci a está inscrita en un trapecio isóscel es ABCD ( B C //A D ). Si : A B = 12 cm . C alcule la longitud de la m ediana de dicho trapecio.

08 . Si :A O = E C .C alcule : "º " . D E º

A

º

O

B

C

R

09. D ado e l rom boide AB C D donde: m ) A = 64 °, los centros de las circunferencias inscritas a los triángulos AB D y BC D son O y O 1 respectivam ente. Calcule la m
1

12. ¿En qué relación están las longitudes de los radios de las circunferencias inscri ta y circunscri ta a un triángulo equilátero?

13. E n una circunferencia de centro "O", se ubica la cuerda B C d e 80 u de longitud. Si elradio de la circunferencia m ide 41 u, calcule la distancia de "O" hacia la cuerda.

.

10. Siendo : P, Q y T puntos de tangencia. C alcule "xº".

14. E n el gráfico, calcule : x°. (B y T son puntos de tangencia).

B

Q

O

xº

O1

R

R xº P

A

T

O

C

T

71

Ge ometría

15 . E n un triángulo A B C , se sabe que : A B = 8 u, B C = 10 u y A C = 12 u, la circunferencia inscrita determ ina sobre A C el punto "M ". C alcule A M .

16. E l punto de tangencia de la circunferencia inscrita en un trapecio rect ángulo divide al m ayor de los lados no paralelos en segm entos que m iden 1 u y 9 u. C alcule la longitud de la m ediana del trapecio.

17 . E n un trián gulo A B C acután gulo, la circunferen cia inscrita es tangente a A B en N y la circunferenci a exinscri ta rel ativa a A C es tangente a la prolongación de

19. M arcar verdadero (V ) o falso (F), en las siguientes proposiciones : I.

La recta que contiene los centros de dos circunferencias secantes es perpendicular a la recta que contiene los puntos com unes a las dos circunferencias. II. E l ángulo central de una circunferencia m ide 0° (cero grados). III. La m ediatriz de toda cuerda contiene al centro del círculo. IV. Á ngulo inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia.

20. Las longitudes de dos circunferencias coplanares están en relación d e 7 a 3 y su sum a es igual a 20 . Si la distancia entre sus centros es dos veces la diferencia de las longitudes de sus radios, podem os decir que las circunferencias son :

BA e n M . C acule AC .Si : A N = 3,5 u y A M = 4,5 u.

Pro blema s pro pues to s 18 . Se tiene un o ctógon o A B C D E FG H circunscrito a u na circunferenci a, donde : AB = 1 u,BC = 1 u,C D = 1,5 u;D E = 0,5 u;EF = 2u, FG = 2,7 u; H A = 0,8 u. C alcule G H .

21 . L os diám etros de d os circunferencias situadas en el m ism o plano m iden 14 m y 6 m . Si la distancia entre sus centros es 10m . Las circunferencias son : a) Exteriores. c) Tangentes. e) C oncéntricas.

b) Interiores. d) Secantes.

22 . La p rolongación de C A d e un triángulo A B C intersecta a la circunferencia exinscri ta relativa a A B en el punto P.Siendo : C P = 20 u, calcule el perím etro de la regió n triangular ABC. a)20u d)60u

72

b)40u e)50u

c)30u

TRILCE 23. C alcule la longitud del lad o del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia d e 8 cm de diám etro. a) 4 3cm

8 3 cm

b)

d) 8 2 c m

28. C aclule B C . Si los inradios de los triángulos rectángulos ABC y ACD miden r1 y r2.

c) 2 3 cm

C

B

e)8cm

24. Sielradio de la circunferencia se aum enta en 1 u, calcule la razón de la longitud de la nueva circunferencia al diám etro es : a) d)

b)





2  1

c)

2  1

2

2

A

e) 2   1

a)

25. C alcule la m edida del arco ST, si :  º º 

257  , si: S, P y T son puntos de tangencia.

r12  r22

r1 .r2

d)

b) r1 + r2

e)

r1  r2 2

r1 .r2 c) r  r 1 2

O

º

D

2

29 . E n elgráfico : P, Q , M y N son puntos de tangencia. BP + BQ = 13 u,M N = 6 u. C alcule el inradio del triángulo A B C .

P º

S

T B

a)77° d)75°

b)80° e)90°

c)103° P

Q

26 . E n el gráfico : A , B y C son puntos de tangencia. C alcule : "xº".

A

a)2,5u d)1,5 u 9º

B

a) m1 d) 4m

x C

b)27°

d)54°

e)60°

c)36°

27. En elgráfico m ostrado :A B = 12 dm , B C = 8 dm

C

N

b)3,5u e)5,5 u

c)4,5u

30. E l perím etro d e un triángulo rectángulo es 24 m y su hip o ten usa m id e 1 0 m . C alcule e l rad io d e la circunferencia inscri ta.

A

a)20°

M

b) m 2 e) 5m

c) m3

31. E n el gráfico, eltriángulo equilátero PQ T, inscrito en una circunferencia. C alcule SN , en función del radio R . Si :PS = ST. y

Q

EB A C = 10 dm . C alcule : ( ). FC

E B

P

S

T

N A

C

F

a) R /2 d) R 2

a) 4/3 d)2/3

b)5/3 e)4/7

b)R /3

c) R /4

e) R 3

c) 3/5

73

Ge ometría

32 . E n elgráfico,A B C D es un trapecio rectángulo. B C = 10 m , O C = 8 m . C alcule la altura del trapecio. B

A

a)44cm d)12 cm

O

C

D

a)4,8m d)8m

b)9,6m e)10m

c)4m

b)14cm e)15 cm

c)16cm

34. Los diám etros de dos circunferencias coplanares y las distancias entre sus centros, están en la relación 13 : 10: 1. E stos circunferencias son : a) b) c) d) e)

b)22cm e)13 cm

c)11cm

38. Sean O y O 'los centros de dos circunferencias tangentes exteriorm ente cuyos diám etros son 2 u y 6 u respectivam ente. C alcul e ros el ángul agudoe form aerenci que une los cent y la otangent com ado ún apor las lacirrect cunf as.

33. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo m ide 15 cm y la distancia del baricentro al ortocentro es 25/ 3 cm . La altura relativa a la hipotenusa en cm m ide : a)13cm d)12 cm

37 . E l rad io de la circunferencia y el perím etro de un triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia m iden 3 cm y 50 cm respectivam ente.E ntonces,elradio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo m ide :

a)60° d)15°

b)45° e)75°

c)30°

39. E n un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa m ide 48 cm , se inscribe una circunferencia de longitud 24 cm . ¿C uál es elperím etro de dicho triángulo? a)120 cm d)72 cm

b)144 cm e)60 cm

c)96 cm

40. D el gráfico, calcule "R ".

Secantes. Tangentes interiores. Interiores. E xteriores. C oncéntricos.

6u

R

35. En elgráfico : A B = 3 u y BC = 13 u. C alcule A D .

5u 37º 15u

a) u3 d) 6u

O

b) u 4 e) 8u

c) u5

D C

41 . C alcule "R ", si: A B = 9 u y B C = 12 u. (P,Q y T : puntos de tangencia).

B A

a)16u d)21u

b)18u e)22u

c) 19u

a)

4 (R

b) R



c) (R

74

d







R

R

A Q

B

r

C

T

r d

 r)/2 

d) d 2 e) R

 r) 

O

P

36 . E n d os circunferencias ortogona les de rad ios R y r respectivam ente, se cum ple que la distancia d entre sus centros es :

R2 

d

d

2 r



(R



r)/2

a)15u d)20u

b)16u e)22u

c)18u

TRILCE 42 . E n la gráfico,calcule : R + r,si: A B = 15 u y B C = 8 u.

46 . C alcule PT. P y T : puntos de tangencia.

B B P

r C

A

O

6u C a)15u

b)11,5u e)14 u

c)10,5u

A

H b)17u

d)21u

c)19u

e)22u

47. E n un cuarto de circunferencia de centro "O " y radios O A , O B ; se tom a el punto "E " y luego :A H  O E ; B P  O E (H y P sob re O E ).

43 . E n elgráfico : R = 3 u y r = 1 u. C alcule B E .

C alcule EP,si: A H = 15 u y B P = 8 u.

E

B

T

13 u

R

a)23u d)13,5 u

M

C

a) u1 d) 4u

r

b) u 2 e) 5u

c) u3

48 . C alcule B R , siendo : r = 4u.

R A

P

D

A a) u3 d) 6u

b) u 4 e) 7u

B

c) u5

r

44 . E n el gráfico,calcule A B , si : C D = 6 cm .

E

R

D

a) u8

C

b) u4

d) 8 2 u

B

4 2u

c) e) 2 2 u

49. En la figura :AO = O B = JF = FC .

A a) 6cm d)12 cm

b)8cm e)9cm

C alcule "xº",si :A B es diám etro. . c)10cm

J

45 . C alcule "r", si: A B = 5 u y B C = 12 u. (T, P y Q son puntos de tangencia).

x A

O

F

B

C

T

B O

r

P

Q

a) u2 d)5u

b) u 3 e)10u

C

A

c) u4

a)15°

b)30°

d)60°

e)12°

c)45°

50 . L os diám etros de do s circunferencias situadas en el m ism o plano están en la relación de 10 a 6 y la distancia entre sus centros es com o 5. Tales circunferencias son: a) b) c) d) e)

Tangentes interiorm ente E xteriores Interiores Tangentes exteriorm ente Secantes

75

Ge ometría

51. E n el gráfico, calcule "xº" , si: BC = 6 u,CD = 1 u y EA = 3 u. ("O " centro).

55 . E n la figura : B C //A D , m AB C = m AD ; B C = a y A D = b. C alcule la distancia entre los puntos m edios de las flechas de A B y C D . B

C

B

C D

A xº

O

E

a)45° d)60°

b)53° e)63°30'

D

A

c)55°

a)

a  3b

b)

4 3a  2b

2a  3 b

c)

4

2a  b 4

a b

d) e) 52. E n un triángulo rectángulo, calcule la longitud de la 4 2 hipotenusa,siel radio de la circunferencia inscrita m ide 5 cm y el radio de la circunferencia exinscrita rel ativa a 56. E n una línea recta, se ubican los puntos consecutivos la hipo tenusa m ide 14 cm . A ,B y C (A B > B C );a un m ism o lado de dicha recta se trazan las sem icircunferencias de diám etros A B y B C a) 5cm b) 7cm c) 6cm d)8cm e)9cm respectivam ente y por C se traza la tangente C T a una de ellas. C alcular la m edida d el ángulo form ado po r 53. E n el gráfico, calcule A D . . B T y la bisectriz del ángulo B C T.

B

C

a)45° d)15°

a

M

b)30° e)37°

57 . E n elgráfico : A M = 4u; M N = 11u y N B = 5u. C alcule "xº".

c b

E

e)

F

D

A a)a+b -c c)a.b.c

c)60°

xº

b)b+c -a d)a+b +c

a  2b  c 3

A

54 . E n elgráfico : p : sem iperím etro del triángulo A B C . C alcule : R



M

O

a)60°

b)113°/2

d)70°

e)67°

N

B

c)90°

(p  a)(p  b) 58 . A B C D es un cuadrado y "T" es pun to d e tangencia. C alcule "x°" .

2 .A E .B F

B

A

B

F

xº T

C

A E a) 2 d)2/3

76

b) 1 e)4/3

C

D

1/2 c)

a) 6° d)16°

b) 8° e)18°

c) 12°

TRILCE 59. Se tiene un triángulo rectángulo A B C circuncrito a una circunferencia de centro I; dicha circunferencia es tan gente a lo s cateto s A B y B C en P y Q respectivam ente. Las prolongaciones de P I y Q I corta a A C en R y L . Las circunferencias inscritas en los triángulos PA R y LQ C son tangentes en M y N a A C

60 . E n el gráfico : P y Q son puntos de tangencia. C alcule : m + n.

P Q

respectivam en te. C alcule M N , si lo s radios d e las circunferencias m enores m iden 2 u y 3 u. a) 1u d) 5u

b) 2,5u e) 6u

n

c) 4u

m 10º

a)90° d)120°

b)100° e)130°

c)110°

77

Ge ometría

Claves

78

21.

d

41.

c

22.

b

42.

b

23.

b

43.

c

24.

a

44.

d

25.

a

45.

b

26.

c

46.

c

27.

c

47.

b

28.

b

48.

c

29.

b

49.

c

30.

b

50.

e

31.

a

51.

e

32.

b

52.

e

33.

d

53.

d

34.

c

54.

c

35.

c

55.

a

36.

d

56.

a

37.

c

57.

b

38.

c

58.

b

39.

a

59.

d

40.

b

60.

b

TRILCE

C ap ítulo

7 *

Án gu l o C en t ra l

NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA *

Án gu l o I n t er i o r

C

A A O



º

º= m AB

D

B B

*

º = mAB+mCD 2

Án gu l o I n scr i t o

B

* A

º = m B C 2



Án gu l o Ex t er i o r

C

x

A

D

C

*

Án gu lo Semi n scri to

B

E



F xº = m AB - m CD 2

º = m EF H 2

H

x

A *

Án gu l o E x i n scri to

B

C



A

C

B xº = m AB - m AC 2

º = mABC 2

79

Ge ometría



Segunda condi ción : B

º

C

º

Si : º =  º

º

AB C D es un cuadrilátero inscrip tible

D

A

º + º = 180º :

Observaciones Polígono In scri to

R

*

S i un cuadr ilátero cum ple con u na d e las do s condiciones, entonces se cum plirán las dos a la vez.

*

Si un cuadrilátero es inscriptible, entonces la m edida de un ángulo interio r es igual a la m edida del ángulo exterio r opuesto.

C



B

C ircunferencia : circunscri ta R adio : circunradio



Polígono Ci rcu nscr it o

A

 

D

A B C D inscriptible

*

r

D ángul altrazar do sinscr alturas, see.observa que seado detun erm tri ina un ocuadri látero iptibl

B C ircunferencia : inscri ta R adio : inradio

F

E CUAD RILÁT ERO INSCRIPTIBLE E s aquel cuadrilátero que acepta que se le describa una circunferencia por sus cuatro vértices. Para que esto suceda es necesari o y suficiente que el cuadrilátero cum pla con una de las dos condiciones siguientes :

A

C A E FC : inscriptible

Prim era condición :

Q B

Si : º+ º = 180º

º

A

P

C

B

º D

A BC D es un cuadrilátero inscri p tible

C

A A PQ C : inscriptible

80

TRILCE

Tes t de a pr endi za j e preli m in ar 01 . E n el gráfico, TP = 4 u y AB = 6 u, calcule : m T L , siendo "T" punto de tangencia.

04 . D elgráfico,calcule "xº" . Si : P,Q , R , F,S y T, son puntos de tangencia.

P B T

L 40 º Q

P

A

xº

R

B

O

T

A

F

C

S

02 . E n el gráfico, A B C es un triángulo equilátero. C alcule "º ".

B º

05 . E n e l gráfico : O 1 y O 2

D

son cen tro s de las

circunferenci as.Q y T son puntos de tangencia. C alcule

m PQ .

100º

A

C

O1

44 º

O2

T 44 º

P Q

03 . E n el gráfico,O es centro y C H = 4 u . C alcule C D . C

D 06 . Se tienen 2 circunferencias de m anera que la distancia en tre sus centro s y lo s rad ios de cad a un a d e las circun ferencias están en la relació n d e 3 , 4 y 1

H A

O

B

respectivam ente. Por tanto, las ci rcunferencias serían :

81

Ge ometría

07 . E n el gráfico A B C D un rom boide. C alcule "x°", B y D son puntos de tangencia.

10 . E n elgráfico, calcule "º".Si :M F = M E.

B

º

B

F

C M

º A A

xº

15 º

C

E

H

D

Pr act iquemos :

08 . E n el gráfico, calcule : "x°".

11 . E n la circunferencia de centro "O ", calcule " º " . 100º xº

B

50º

A 20º

C

O



09 . E n elgráfico : A C = B C , m ) AC B = 60°, calcule "xº".

N

M

xº

12 . D el gráfico, calcule "º " . B

N

5 xº A

M

3º R

C

82

A

2º O

B

TRILCE 13 . D el gráfico, calcule "xº" . (P es punto de tangencia).

16 . Se tiene un trapecio A B C D inscrito en una circunferencia (B C //A D ). C alcule la m ) B D A , si :

m BC + m AD = 100º .

P xº

17 . Se tiene un triángulo A B C y se traza la bisectriz interio r a que pasa por el B D , luego se traza una circunferenci vértice B y es tangente a A C en el pun to D , adem ás corta a los lados A B y B C en los puntos E y F,calcule la m edida del ángulo C , si: m B E = 68°. 14 . Si : A , B y C son puntos de tangencia. C alcule "xº".

68 º A

B

xº C 18 . E n el gráfico,P y Q puntos de tangencia, la m ) AB C = 10°y m P R =

32°.

C alcule la m Q S .

B

R

15 . E n el gráfico, "T" es punto de tangencia A C //M N y la

P

m ) C A B = 20°. C alcule la m ) TFA. A.

N S

T

Q

C

A

C

F

M

A

O

B

83

Ge ometría

19 . E n elgráfico,calcule "º ", si"N " es punto de tangencia.

Pro blema s pro pues to s

A 21 . E n el gráfico, calcule la m TP , si : 2(B O ) = 3(A B ).



M M

T

N

P O

B A a) 37° d)60°

C

O

B b)53° e)36°

c) 30°

22 . D el gráfico m ostrado, calcule "xº".

xº 20 . E n un triángulo isósceles A B C :

M

(AB = BC )m ) B FE = 32°, siendo E y F los puntos de tangencia sobre los lados A B y A C determ ina do s por la circunferencia inscri ta. C alcule la m ) B .



4xº xº



a) 20° d)22,5°

b)30° e)18°

c) 37°

23 . E n el gráfico,calcule A D , si : B D = 4u y A C = 12u . B

D

E

 

A a) u 6 d)10u

C

b) u 7 e)5u

c) u 8

24 . E n el gráfico se m uestra d os circunferencias tangentes exteriorm ente en T, y tangentes a dos de los lados del trián gu lo rectán gu lo A B C , sien d o lo s pu nto s d e tangencia P, R , S, Q y T. C alcule la m edida del ángulo REN.

B E P

M T

Q

N

A

C R

a) 30° d)53°

84

b)37° e)60°

S c) 45°

TRILCE 25 . E n el gráfico, m ABC =

220º , calcule la m ) QPS.

B

29 . E n el gráfico : A , B , C y D son puntos de tangencia, 2

ET N B es un rom boide y m C D =

(m ) A L B ).C alcule

3

la m ) BNC.

P

T D

E A

A

Q

S

C

C K B

a) 30° d)35°

b)40° e)80°

N

L

c) 50° a)

26 . E n el gráfico, cal cule "xº",si:m AB + m BC =8 0º . D on de : A y C son pun tos de tangencia.

45 

b)45°

2

d)37°

c)135°

e)53°

30 . D esde un punto "P" exterio r a la circunferenci a, se trazan

C A

las tangentes P A y P B ; en P A que:

B

O E = E P; la tangent e

xº

está el punto "E ", tal

E F de term in a el arco F B

(m FB = 32º) . C alcule la m ) E O P y "O " : centro d e la circunferencia. a) 50° d)35°

b)40° e)30°

c) 5°

a) 16° d)48°

27 . E n el gráfico, el punto "H " es elcentro de los dos arcos de circunferencia m ostrados.T y P puntos de tangencia

b)24° e)64°

c) 32°

31 . E n el gráfico, calcule "xº", siend o F punto m edio de tangencia, m ) AFB = 30°.

y la m ) H B C = 50°, calcule m ) BTP..

B

D

P E

70 º

P M

T

xº

A

F

A

C

H

a) 60° d)50°

b)20° e)30°

c) 40°

a) 50° d)40°

28 . E n el gráfico,E F = FC . C alcule la m A C . (F y E son puntos de tangencia). A

B

b)45° e)35°

c) 30°

32 . E n el gráfico : m A B = 100°. C alcule la m ) APQ.

C

C E P F

D

D

O a)15° d)26°30'

b)18°30' e)30°

E

B c)22°30'

A a) 50° d)45°

 

b)60° e)55°

Q B c) 30°

85

Ge ometría

33 . Se tiene un triángulo A B C inscrito en una circunferencia; sobre A B y B C se ubican los puntos P y Q , tal que : m P B = m B Q . C alcule : m ) BA C + m

38 . E n el gráfico, calcule la m edida d el ángulo B FC , silos arcos A B y D EG m iden 80° y 100°, respectivam ente.

) B E Q ,siend o:

a)90° d)180°

B

A

{E} = B C  PQ . b)100° e)160°

c)120°

D G E

34 . E n elgráfico,calcule la m ) E PF,si:ºº = 140°,E y F

F son puntos de tangencia. A dem ás : E F //A B .

E

º

C

F

º

P

a) 20°

b)15°

d)10°

e)25°

39 . E n el gráfico, A B

c) 30°

y

son tan ge n tes a la

AC

circunferencia.

A

Si : m ) B A C = 72º y los arcos B D , D E y E C son

B

a)120° d)150°

b)140° e)125°

congruentes, calcule la m edida del ángulo D B E .

c)130°

B D

35 . E n un triángulo isósceles A B C (A B = B C ) se trazan las

A

cevianas A D y B F , que se form an en un punto "E ", tal qu e la m ) D A C = 60 °. C alcule la m ) A B E , si el

E

cuadrilátero C D E F es inscriptible. a)20° d)30°

b)60° e)5°

c)80°

a) 28° d)42°

C

b)36° e)48°

c) 40°

36 . E n elgráfico se m uestra un arco de circunferencia A D C B , donde A B es eldiám etro del arco de circunferencia se cum ple que :m ) C A B = 20°,adem ás : D P es paralelo a A C y D P e s tangente al arco. C alcule la m ) PDB.

40 . E n el gráfico, la recta P T es tangente com ún a las dos circunferencias secantes. Si el ángulo A B C m ide 38°. C alcule la m edida del ángulo M Q N .

P

B 38º

D C

Q

P M

T

B

A a)45° d)65°

b)55° e)35°

A

c)25°

37 . E n el gráfico : º  62  , º  68  ,  º  50  . E n la circun ferencia in scrita, d eterm in ad o s pu n to s d e tangencia son E ,F,G . C alcule las m edidas de los ángulos

N

C a)148° d)152°

b)142° e)128°

c)138°

G E F, E FG y FG E respectivam ente. 41 . D el gráfico, calcule m O B .

B

º E

B

F

M

O A

º

a) 65°, 59°, 56° c) 50°, 62°, 68° e) 62°, 68°, 60° 86

º G

C

15º

b) 60°, 60°, 60° d) 68°, 60°, 62° a) 20° d)30°

b)35° e)50°

c) 40°

TRILCE

42 . E n el gráfico la m B C = 40°.C alcule la m ) PQR.

46 . E n elgráfico : m A B =  º y mBC= E ncuentre la relación correcta :

C

B

A

Q

B

 º. C

R

P D

a) º 2º c) º2º  90 

A a)120° d)160°

b)150° e)135°

c)140°

b) 2 2º º d) º2º  18 0

e) 2º3º  27 0 47 . E n elgráfico :

43 . E n elgráfico : m AP - m BP = 28º . C alcule lam ) A M B , do nd e : A , P y B , son p untos de tangencia.

mM N=m

NP

; m A M = m NB = 4 0

M

°.C alcule "xº".

P R

P

M

N

A B

a) 28°

b)21°

d)7°

e)30°

a) 20° d)35°

c) 14°

B c) 30°

b)25° e)40°

48 . E n elgráfico,calcule " º" m AB= 50º ;A y B son puntos de tangencia.

44 . E n elgráfico : m A B = 100°. C alcule "xº" . (T es punto de tangencia).

º

A

A

xº

xº

R

A

B

B

T

O a)85° d)100°

a)25° d)50°

b)40° e)80°

c)45°

b)110° e)90°

c)80°

49 . E n el gráfico, A B = 12 m circunferenci a. C alcule O H .

y "O " es centro d e la

45 . E n elgráfico, si: B H = 4 u y H E = 6 u. C alcule B C . C

F C

H

B

A

D O

A

D

H

F

B E a) u 2 d) 5u

b) u 3 e) 6u

c) u 4

a) u 4 d) 6u

b) u 5 e) 1u

c) u 3

87

Ge ometría

50 . E n el gráfico, calcule "xº", si: A , B , C , D , E ; son puntos de tangencia.

53 . E n el gráfico : A , B , C y D son puntos de tangencia. m AB = 120 º y m AE = 110º . C alcule "xº".

C

A

A B

E

xº D

a)30° d)20°

xº

xº B

D C

E

O

b)15° e)25°

c)22°30' a) 50° d)25°

b)40° e)20°

c) 30°

51 . E n el gráfico, calcule la m ) A B C , si : P, Q , R y T son puntos de tangencia y adem ás : m ) PM T = m

54 . E n elgráfico, m AB = 100 º . C alcule "xº".

) ABC. P B

xº

Q M

B

C Q A

a)30° d)60°

R

P

A T

b)45° e)80°

C

a) 50° d)70°

b)40° e)80°

c) 60°

c)50° 55 . E n el gráfico, calcule la m ) M SL . Si : m AP = 100º , m AB = 20º ; (P,S y T son puntos de

52 . E n elgráfico : M P //C D y m AMC +

tangencia) y L 1 //L 2 .

m NB = 1 60º . C alcule "xº". M

A

C

L

1

P

S

B

N A

P

a)80° d)65°

b)100° e)70°

L

B

xº

L

D

M

c)50° a) 60° d)85°

88

T

2

b)70° e)90°

c) 80°

TRILCE 59 . E n el gráfico,T y M son puntos de tangencia. C alcule "xº". x

56 . D el gráfico, calcule "xº" .



T

100º

xº

 





10º M

a) 30° d)53°

b)45° e)90°

c) 60°

57 . E n el gráfico, calcule "xº", siend o C y D puntos de tangencia.

a) 20° d)40°

b)10° e)35°

c) 15°

60 . E n elgráfico, calcule "xº". A , B , C , D y E son puntos de tangencia.

E D

B

A C

E

A a) 50° d)65°

x

xº F xº O

B b)70° e)55°

C c) 60°

D

58 . E n elgráfico :B , C y D son puntos de tangencia.C alcule

a) 30° d)90°

b)45° e)50°

c) 60°

la m A B .

A

B

º º

C

D

a)

3 º

d) 90º

c) º

b) 2 º

2 º 2

e) 90 

º 2

89

Ge ometría

Claves

90

21.

b

4 1.

c

22.

b

4 2.

c

23.

c

4 3.

a

24.

c

4 4.

d

25.

b

4 5.

a

26.

a

4 6.

d

27.

c

4 7.

c

28.

d

4 8.

b

29.

c

4 9.

d

30.

a

5 0.

c

31.

e

5 1.

d

32.

a

5 2.

a

33.

d

5 3.

a

34.

b

5 4.

a

35.

b

5 5.

c

36.

b

5 6.

c

37.

a

5 7.

c

38.

d

5 8.

b

39.

d

5 9.

a

40.

b

6 0.

b

TRILCE

C ap ít ulo

8

PUNTOS NOTABLES

S on los puntos de concurrencia de las líneas notables de un triángulo.

I.

B A RI C EN TR O : E s el punto de intersecció n de las 3 m edianas de un triángulo. : E l baricentro determ ina en cada m ediana d os segm entos que están en la relación d e 2 es a 1.

Propiedad

B a c

G

II.

BG= 2GN

a

G

c

A

B aricentro del A B C

M

Q

N

b

BG

C b



2

BN

;G N

3



1

BN

3

I N C EN TRO : E s elpunto de intersecci ón de las 3 bisectrices in teri o res de un triángulo. B  

r

A Propiedades Primera

 

I

"I"

r

r

 

Incentro del A B C

C

:

: E l incentro es el centro de la circunferencia inscrita.

Segunda : E l incentro equidista de los lados del triángulo. (una distancia r)  inradio. . II I.

OR TOCE NT RO : E s elpunto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. 1. E n un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra en la regi ó n triangular. 2. E n un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo. 3. E n un triángulo rectángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto.

91

Ge ometría

2.

1.

A

B ortocentro B

A

C

C ortocentro

 A cu t ángu lo

 O bt usángu lo

3. B

A

ortocentro

C

H

 Rec tángu l o

IV.

CIR CUN CE NT RO : E s elpunto de intersecció n de las m ediatrices,de los lados de un triángulo.

"O "

C ircuncentro del A B C

B

B

a

c A

92

A

b

O

b

b R

R C

a

R

c

R

R

a

c

a

c

b O

R

C

TRILCE

B a

c R

a

c A R

Propiedades

C

O

R

:

1 r a . : E l circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita. 2da. : E l circuncentro equidista de los vértices del triángulo. (U na distancia R ). R  ci rcunradio. . V.

ón de dos bisectrices exteri o res y una bisectriz interi o r. EXC EN TRO : E s elpunto de intersecci N ota : Todo triángulo tiene tres excentros.

E

E xcentro relativo al lado B C

B

Ra

 

E

Ra

Ra A

Propiedades

  

C



:

1ra. Propi eda d : E l excentro es el centro de la circunferencia exinscrita. 2da. Propi eda d : E l excentro equidista de un lado y de las prolongaciones de los otros dos lados,(una distanciaR a )

R a  E xradio relativo a B C .

93

Ge ometría

TRIÁNGULO S PART ICU LARES 1.

TRIÁ NG UL O ME DIA NO : E s eltriángulo que se determ ina al unir los puntos m edios de los lados de un triángulo.

M N Q

 m ediano o com plem entario del A B C

B a

Propiedad :

c

N

M

A

2.

B aricentro del A B C

G

a

G

c

B aricentro del M N Q

Q

b

C

b

TRIÁ NG UL O EX-INC ENT RAL : E s eltriángulo que se determ ina al unir lo s tres excentros.

B    

E



E FH



O

 A

F









 ex-incentral del A B C

Propiedad :

C



O rtocentro del EFH O

Incentro del A B C

H

3.

: E s eltriángulo que se determ ina al unir los pies de las 3 alturas de un triángulo.

TRIÁ NG UL O Ó RTICO O PE DAL B

H

E FH es el órtico del A B C F

O

A

C E

Propiedades

:

1ra. Propi eda d : O rtocentro del A B C O Incentro del E FH

2da. Propi eda d : ˆ y Hˆ los ángulos internos de EF G . S iendo : Eˆ , F

m Hˆ  180  2 (m Aˆ ) m Eˆ  180  2 (m Bˆ ) m Fˆ  180  2 (m Cˆ ) 94

TRILCE

3ra. Propi eda d : A , B y C son excentros delEF H . PROPIE DAD ES AD ICIONALES 1. B Siendo :





H O

O rtocentro C ircuncentro

=  O

H

A

2.

C

L a distancia delortocentro a un vértice es eldoble de la distancia delcircuncentro allado opuesto delvértice considerado.

B H O

O rtocentro C ircuncentro HB = 2 OM

H

O

A

3.

M

C

E l ortocentro, baricentro y circuncentro se encuentran en una m ism a rect a; llam ada laRecta de Eul er .

H H G O

B

G H

O rtocentro B aricentro C ircuncentro

O

A

R ecta de E uler C

*  Ac ut ángu lo

B

A

G

R ecta de Euler

*  O bt usángu lo

95

Ge ometría

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01 . E n el gráfico : A D y B M son m edianas del triángulo rectángulo A B C , y A C = 30 u.

05 . E n un cuadrilátero A B C D ;m ) B = 120°;m ) D = 110°, m ) AB D = 60° y m ) AD B = 40°. C alcule la m ed id a d el án gulo qu e form an sus

C alcule "x"e "y"en m etros.

d iagonales. A

y

M

x

B

D

C

02 . U n triángulo A B C se trazan las alturas A E y B F que se intersectan en "D ". S i el ángulo A D C m ide 125°.

06 . L a d istan cia en tre el cen tro d e la circun ferencia circunscrita a un triángulo rectángulo y el punto d e intersecci ón de sus tres alturas es i gual a :

07 . E n un triángulo A B C acutángulo la m ) BAC = 72°. C alcule la m ) O B C , siendo "O " su circuncentro. .

C alcule la m ) ABE.

08 . E n un triángulo A B C se traza la ceviana interior B R , 03 . E n un triángulo A B C , de baricentro G ,m ) BG C = 90°, m ) G BC = 30°;G C = 2m .C alcule AG .

04 . E n el arco A C de una sem icircunferencia d e diám etro

A C , se ubica el punto"B ", tal que "E" es elexcentro del triángulo A B C relativo a B C , A E interseca al arco B C en "D "; tal que B D = 2u. C alcule C E .

96

tom ando

com

o

diám etro

AR

se tra za

la

sem icircunferencia que intersecta a B R en "O ". C alcule la m ) B C A , si"O " es elcircuncentro deltriángulo A B C .

09 . E n u n triángulo A B C de circuncentro "K" y excentro rel ativo a B C "E ". C alcule la m ) B K C , siendo la m ) BEC = 60°.

TRILCE 10. S e tiene un trián gulo A B C de ortocen tro "O " y

14 . E n un triángulo A B C de incentro "I" y excentro "E "

circuncentro "K ", m ) A B C = 60° en el cual se traza la altura B H .

relativo allado B C , la diferencia entre elexradio rel ativo a B C y el inradio es dos veces la distancia del vértice C

C alcule la m ) K O H , si : m ) AO H = 40°.

a E I, y adem ás la m ) AB C = 30°. C alcule la m ) ACB.

Practi quemos :

15 . E n el gráfico,calcule "xº", si : M y N son puntos m edios de C H y A H respectivam ente.

11 . E n elgráfico, cal cule x°, si"E " es elexcentro deltriángulo ABC.

B 40º 25º

C

E

R

xº

x

60º

A

A

M

N

H

B

C

16 . C alcule "xº" , si: I,I1 , I2 son incentros de los triángulos A B C , A H B y B H C respectivam ente. 12 . E n un triángulo acutángulo A B C , se cum ple qu e : m ) AHC =

2m ) A K C ,dond e "H " es elortocentro y "K "

B

el es ci rcuncentro del triángulo A B C . C alcule la m ) B .

I x I2

I1 A

H

C

13 . E n un triángulo acutángulo A B C , se ubica elortocentro "H " y se traza el cuadrado B H G L , G pertenece a B C . C alcule la m ) H G A , si: m ) ABC = 54°.

97

Ge ometría

17 . E n el gráfico : PQ //B O , "H " y "O " son ortocentro y circun centro d el trián gulo A B C , respectivam en te.

19 . S e considera el triángulo A B C de ortocentro H . C alcule "º ".

C alcule "xº".

B



B

Q

H

H xº

2

A

O

C

C

A

P

18 . E n el gráfico, "G " es elbaricentro de la región triangular A B C , calcule B P, si: A G = 12 u y PC = 16 u . ("G " es punto de tangencia).

20 . E n el gráfico, "O " es elcircuncentro del triángulo A B C . C alcule "xº". B

B

xº O G

H

P A T

98

C

A

C

TRILCE 26 . E n el gráfico : "H " es elortocentro del triángulo A B C ,

Pro blemas pr opu es to s

"O " es elcircuncentro y

21 . E n elgráfico m ostrado, "I" es incentro deltriángulo A B C , AM = AN y AI = 3u. C alcule : PQ .

HB OB



6 5

.

C alcule la sum a d e las m edidas de los ángulos H C O y OBC. B

B O H A

P

M

a) 30° d)53°

A 4 N

C

a) 3 3 u

u b) 8

d) 6 2u

b)37° e)60°

c) 45°

27 . E n un triángulo A B C acutángulo d e ortocentro "O ", la recta de E uler cort a en el punto "F" al lado A C . C alcule la m ) FD C . S i A F = 2F C = 2O B . ("D " es circuncentro

uc) 6

e) 2 3

C

Q



I

del triángulo A B C ).

u

22 . S e tiene un triángulo rectángulo A B C , recto en B , de incentro I, se trazaIH  A C . C alcule H C sisu exradio rel ativo a B C m ide 4 m .

a)53°/2 d)30°

b)37°/2 e)60°

c)45°

28 . E n un triángulo A B C , se ubican los puntos interiores "H " (ortocentro) y "O" (circuncentro), m ) ABC = 60°.

m a) 3

b) m4

d) 2m

c)2

e)

4

C alcule la m edida d el ángulo que form an las rectas

m

BC y H O .

4 3 m

a) 30° d)90°

23 . E n la prolon gación de lad o A B d e un cuadrilátero A B C D se m arca elpunto E , tal que : m ) EBC = 48°, m ) C BD = 78°, m ) B D C = 30°, m ) AD B = 54°. C alcule la m ) BAC. a) 9° d)30°

b) 18° e)54°

c) 60°

29 . E n un triángulo acutángulo A B C de ortocentro "H ", la recta de E uler in terseca a los lados A B

y B C en los

puntos P y Q respectivam ente,talque :PB = B Q .C alcule la distancia de P a B C .

c) 36°

24 . S e tiene u n trián gu lo isósceles A B C d e ba se

b)45° e)40°

Si:AH + H C = 18 u.

AC ,

a) 9u d)4,5u

b) 10u e)3u

c) 6u

ortocentro "H " y circuncentro "O ". m ) OA H= m

) O B C . C alcule la m ) ABO..

30 . E n un triángulo A B C , se tiene que : BH = BO, m

a)15° d) 22°30'

b)18° e) 26°30'

c)18°30'

25 . S e tiene un triángulo acutángulo A B C , de ortocentro "H " y circuncentro "O ". C alcule la m ) H B O , si : m ) BA C - m ) AC B = 40°. a) 20° d)50°

b)30° e)60°

c) 40°

) AB H = 2m ) H B O .C alcule la m ) H A O ,

siendo "H " el ortocentro y "O " su circuncentro. a) 9° d) 8°

b) 5° e) 6°

c) 10°

31 . Para d eterm inar en un plano la po sición de un punto equidistante de 3 puntos A, B y C (que no pertenecen a una línea recta),se busca l a intersecció n de : a) L as bisectrices de los ángulos AB C y B C A . b ) L as m ediatrices de A B y A C . c) L a bisectriz de A B C y la m ediatriz de A C . d) La m ediatriz de A B y la bisectriz del ángulo A B C . e) L a altura y la m ediatriz de A B y B C .

99

Ge ometría

32 . S ea un triángulo A B C inscrito en una circunferencia y sean los puntos C ', B ' y A ' los puntos m edios de los arcos A B ,B C y C A respectivam ente.¿Q ué punto notable es elincentro del triángulo A B C para elA 'B 'C '? a) O rtocentro. c) C ircuncentro. e) E xcentro.

37 . E n elgráfico : P, Q y T puntos de tangencia, ¿Q ué punto notable es "D " para el triángulo O B A ?

Q

b) Incentro. d) B aricentro.

B O D

33. E n un cuadrado A B C D en los lados B C y C D se ub ican los pu nto s m ed ios M y N , tal qu e A M  B N  {P } . ¿Q ué punto notable es elcentro del

C

cuadrado respecto al triángulo N PA ? a) O rtocentro. c) Baricentro. e) Circuncentro.

P

a) O rtocentro. c)Incentro. e) Jerabek.

b) Ex -centro. d) Incentro.

34 . L as pro lo ng acion es de las alturas en un trián gu lo a cutá n gu lo A B C in tersecta n a la circu n feren cia circunscrita en los puntos M , N y P.¿Q ué punto notable es elortocentro del triángulo A B C respecto al triángulo MNP? a) O rtocentro. c) Baricentro. e) Circuncentro.

b) Ex centro. d) Incentro.

"K " respecto del triángulo A B C ?

A

b) Baricentro. d) Circun centro.

38 . S ob re los lado s B C y A D de u n rectángulo A B C D se tom an los puntos M y P respectivam ente, tal que : PM C D es un cuad rado de centro O , si : {A O  M P }  {Q } ,AB = BQ . C alcule la m ) OAD. a)15° d)18°30'

35 . E n el gráfico, A P = PQ = Q C . ¿Q ué punto no table es

T

b)26°30' e)30°

c)22°30'

39 . ¿Q ué punto notable es el vértice de un ángulo o btuso d e u n trián gu lo o b tu sán gu lo p ara su respectivo triángulo pedal?

B a) cent b) OC rt irocent cuncentro. c)IBari ncent ro.ro. d) ro. e) Punto d e G ergonn e.

60 º P

40 . E n un triángulo A B C interiorm ente se ubica el punto

Q

"P" y sobre los lad os A C

A

C

a) Incentro. c) O rtocentro. e) E xcentro.

y B C los pun tos R y Q

respectivam ente, tal que los triángulos APR y B PQ son

K

equiláteros, adem ás m ) R PQ = 90°. D ecir qué punto notable es "P" del triángulo A B C . a) O rtocentro. b) Incentro. c) Baricentro. d) C ircuncentro. e) C ualquier punto.

b) C ircuncentro. d) Baricentro.

36 . E n elgráfico m ostrado, ¿qué punto no table es "O ", para el triángulo A B C ? (A , B , puntos de tangencia).

41 . E n un triángulo isósceles AB C , la : m ) B = 120°. C alcule la m ) IE K , siendo : I : incentro y E : excentro relativo al ladoB C y K = circuncentro.

A

a) 15º d)25º O

O'

C

b)20º e)35º

c) 30º

42 . E n un triángulo A B C , se sabe que :

9 6 dm . m ) A = m ) C = 30°y AC = C alcule la d istancia del circuncentro al excentro del triángulo rel ativo a B C .

B

a) Incentro. c) O rtocentro. e) E xcentro. 10 0

b) Baricentro. d) C ircuncentro.

a)9dm d)21 dm

b)12dm e)27m

c)18dm

TRILCE 43 . E n u n triángulo acutángulo A B C por A y C se trazan perpendiculares a A C q ue intersecta a la rect a de E uler

49 . E n el gráfico, calcule x°, siend o "I" el incentro d el triángulo A B C y adem ás :m P Q + m R S =

60°.

en M y N respectivam ente. C alcule la longitud d el circunradio.

B

Si :AM = 2 u, C N = 4 u y BH = B O ;donde "H " es el

xº

ortocentro y "O " es elcircuncentro del triángulo A B C . a) u 2 d) 5u

b) u 3 e) 6u

I

c) u 4

A

44. Los lados A B , B C y A C d e un triángulo A B C m iden 7 cm ; 8 cm y 10 cm respectivam ente. Por elincentro, se trazan paralelas a los lad os. C alcule la sum a de los perím etros de 2 triángulos entre el tercero form ado por dichas paralelas que tienen en com ún el incentro. a)17cm d)17/7 cm

b)2cm e)3/2 cm

R

P

a)60° d)90°

C

S

Q

b)40° e)80°

c)100°

50 . D elgráfico A B es tangente, tal que :A C y D C son diám etros. C alcule "xº" .

c)5/3cm

45 . E n un triángulo acutángulo A B C por A y C se trazan las B

perpendiculares a A C q ue intersecta a la rect a de E uler en M y N respectivam ente. C alcule B O . Si : A M = a, C N = b y BH = B O , donde : "H " es el

a)

ab

b)

2

d)a+b

ab

c)

3

ab

xº

 

A

ortocentro y "O" es elcircuncentro del triángulo A B C .

C D

a) 30° d)37°

b)60° e)45°

c) 15°

2

e)2(a+b )

51 . D el gráfico, calcule : x°.

46 . S e tiene un triángulo A B C : B C = 48 u y la distancia del incentro al excentro relativo a B C es 50u. C alcule la m ) BAC. a) 16° d)74°

b)32° e)106°

20º

c) 64°

20º 10 º

47 . E n un triángulo A B C , de excentro "E " relativo a A B . C alcule la m edida delángulo form ado por las bisectrices de los ángulos E A B y EC B .

a) 10° d)5°

S i : m ) AB C = 36°. a) 9° d)36°

b) 18° e)5°

c) 27°

48 . E n un triángulo actuán gulo A B C :

xº

20º b)15° e)30°

c) 20°

52 . D el gráfico, calcule "x°", siendo : H : ortocentro, K : circuncentro y     36  .

B

m ) A =  . C alcule una de las m edidas de los ángulos internos de su triángulo pedal.

x a) 90   

b) 90   2 

c) 18 0   

d) 18 0   2 

e) 90  

K

H







2

A

a) 18° d)72°

C

b) 24° e)36°

c) 5°

10 1

Ge ometría

53 . E n un triángulo isósceles A B C :

57 . E n el gráfi co, "I" es incentro. C alcule IP, si:

la m ) ABC = 120°y AC = 2 3 u. C alcule la distancia del circuncentro al excentro relativo a B C .

AC =

10 3 u y m ) AB C = 60°. B

a) u2

b) u3

c)

d) 3 2u

2 2 u

1,5 2 u e) I O

54 . E n un triángulo A B C , la m ) B A C = 24°, m ) BCA = 30°; se traza la ceviana B F ,talque A B = FC . C alcule la m ) FBC. A

a)60° d)84°

b)75° e)96°

C

c) 72° P

55 . E n un triángulo acutángulo A B C , elortocentro es "H " y el circuncentro es "O". S i la distancia de "O " aA C es 4

a) 5u

b) 10u

d)15u

c) 20u

e)

10 3 u

cm y H O //A C . C alcule la longitud de la altura rel ativa 58 . S e tiene una región triangular A B C de baricentro G ,

a A C d el triángulo A B C .

con centro en A y rad io A G a)10cm d)14 cm

b)8cm e)12 cm

c) 6cm

56 . E n el gráfico, calcule "xº" , si:  = 80° y M , N y P son pun tos de tangencia.

arco es 4u.

a) 8u

B

4 7u

b)

d) 6 5 u

º

se traza un arco qu e

intersecaa A B y A C en M y N ,respectivam ente,de tal form a q ue B N  C M  G . C alcule B C , si el radio del

c) 7 u 2

e)10u

N 59 . S e tiene eltriángulo A B C inscrito en una circunferencia, sobre el arco B C se tom a el punto P,tal que :

M I

BP = 4

C

xº

2 u.

C alcule la d istan cia en tre lo s orto cen tro s de lo s triángulos A B C y A PC .

P

A

a)10° d)40°

a) u 2 d) 2 b)20° e)50°

b) u 4

2 u

c) u 6 e) 4

2 u

c) 30° 60 . S ila circunferenci a inscrita deltriángulo A B C es tangente a los lados B C , C A y A B en P,Q y R , respectivam ente, las líneas AP, B Q , C R , son concurrente. E l punto de concurrencia es lam ado. a)Incentro. b) O rtocentro. c) Baricentro. d) C ircuncentro. e) Punto d e G eorgonn e.

10 2

TRILCE

Claves 2 1.

c

41.

c

2 2.

b

42.

c

2 3.

b

43.

e

2 4.

d

44.

e

2 5.

c

45.

d

2 6.

b

46.

b

2 7.

a

47.

c

2 8.

c

48.

d

2 9.

a

49.

e

3 0.

e

50.

e

3 1. 3 2.

b a

51. 52.

c e

3 3.

d

53.

c

3 4.

d

54.

e

3 5.

b

55.

e

3 6.

d

56.

c

3 7.

a

57.

b

3 8.

c

58.

b

3 9.

c

59.

e

4 0.

a

60.

e

10 3

Ge ometría

10 4

TRILCE

C ap ítulo

PROPORCIONALIDAD Y SEM EJ A N ZA

9 TE OREMA DE THA

LES

S i tres o m ás rectas paral elas,son intersecadas por dos rectas secantes a las paralelas; entonces,se determ inan entre las rectas paralelas, segm entos proporci o nales.

L1

a

Si :

*

c L2

b

*

m y n secantes

d a

L3

m Propiedad

L 1 // L 2 // L 3

b

c



d

n

:

B

L

x

Si : L // A C

z

x

M

y



z w

Teorem a de T hales en un triángulo.

N w

y

C

A

Prop iedad de la Bisectriz E n un triángulo, los lados que form an el vértice de donde se traza la bisectriz son proporcionales a los segm entos determ inados por dicha bisectriz en el lado opuesto o su prolongación.

* Bisectriz

* Bisectriz

Interior

B

c a

 



Exter ior

m

c

B

n



a



m n



a

a A

C

D m

n

A

E C

n m

10 5

Ge ometría

TE OREMA D EL INCENTRO E l incentro determ ina en cada bisectriz dos segm entos que son proporcionales a la sum a de los lados que form an el vértice de donde parte la bisectriz y al tecer l ado.

B "I"

 

in centro BI

a

ID



ca b

I

 A







C

D b

TE OREMA D E MENELAO S i se traza una recta transversala los lados de un triángulo, se determ inan sobre dichos lados 6 segmentos,donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es i gual al producto de los otros 3 rest antes.

B L

secante

L

x

n

m .n .q = x.y.z

E D

m

y

A

C

F q

z

TEOREMA D E CEV A S i en un triángulo se trazan 3 cevianas interiores concurrentes,se determ inan sobre los lados 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es i gual al producto de los otros 3 rest antes.

B n

x F

D m .n .q = x.y.z

O

m A

* A D , B E y C F cevianas * "O " cevacentro

z

y E

q

C

SEMEJANZA Definción

: D os figuras son sem ejantes se tienen la m ism a form a, y tam años distintos.

E jm .:

*

*

4u

3u

l

l l

10 6

2l

2l

2l

TRILCE SEMEJANZA DE TRIÁ NGULO S D o s trián gulos son sem ejan tes si tien en sus án gu los respectivam en te co n gruentes y sus lad os ho m ólogo s respectivam ente proporcionales. : S e denom ina así a aquellos lados que se oponen a ángulos congruentes en triángulos sem ejantes

Lados H omólogos

Prim er Cas o : D os triángulos serán semejantes si tienen 2 ángulos internos respectivam ente de igual m edida.  

  Seg undo Caso : D os triángulos serán sem ejantes sitienen dos lados respectivam ente proporcionales y elángulo com prendido entre dichos lad os congruentes.

ak

a





bk

b

res l ados son respectivam ente proporcionales. Tercer Caso : D os triángulos serán sem ejantes, si sus t

ck

ak

c

a

bk

b

: E n d os triángulos sem ejantes, sus lad os hom ólogos, así com o sus elem entos hom ólogos : (alturas, Observaciones bisectrices,m edianas, inrad ios, circunradios, etc.), son respectivam ente proporcionales.

E B





d a

h

c

H

f

r1 r

A







C



D

b

F e

Se cum ple :

a d



b e



c f



r r1



h H

 ...... k

10 7

Ge ometría

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01 . "O " es centro de la sem icircunferencia.

04 . E n elgráfico,B C = 15 u. C alcule D C ,si:G es baricentro

C P = 8 u; D P = 2 u; AB = 8u.C alcule PB .

del triángulo A B C y L es paralela a A B .

B

B

D D P G C

A O

A

C L

02 . C alcule ellado del cuadrado, m ostrado en la figura, en funció n d e la b ase "b " del triángulo sob re el cual descansa y de la altura "h" e rlati va a dicha base.

05 . D el gráfico, calcule M Q , si: BC = 25 u y TC = 4A T. M y T : puntos de tangencia. B

h

M b

A

C

T

Q

03 . S egún elgráfico : B C //O D y O D = 2AB. C alcule B C . S i: A D = 4u.

D

06 . E n el gráfico, calcule elradio de la cicunferencia m ayor do nde :O C = 5 m ,BC = 4 m .

A A B

C

C O

O

10 8

B

TRILCE 07 . E n el gráfico, se tiene un rectángulo A B C D en el cual :

10 . P, Q y T son p untos de tangencia, a y b son los radios de

AD = 2CD ,y don de :

las sem icircunferencias. D eterm inar la distancia de T a

an en ) B PO . S i : M N y PQ se intersect O, de m od o que : PO = 2 cm ,Q O = 4 cm y M O = 5 cm .

la rect a PQ .

m ) OMA = m C alcule N O .

P P

B

Q

C

M

a O N

A

T

O'

D

Q

08 . C alcule la m edida de la hipo tenusa del triángulo A B C . S i : x 2  y 2  20 u 2 ; l 

b O

Pr act iquemos :

8 u. 11 . E n un triángulo A B C , se ubica el incentro "I" sobre la

B

bisectr iz B M , de tal m anera que : 3IB = 2B M . C alcule AC , si: A B + B C = 24 u.

l A

x

y

l

C

12 . E n un triángulo A B C , se trazan las cevianas interiores

A M , B N y C L con currentes en P,de tal m anera que: PB 5A L = 2A B y 9B M = 5B C .C alcule : ( ). PN 09. RS = 10 u,ES = 5 u,VE = 3 u. C alcule ST. R



S

 

13 . E n un triángulo A B C , se traza la bisect riz interiorB F , E

 V

luego por F se traza FQ // A B (Q en B C ), la bisectri z T

del ángulo FQ C intersecta a A C en R. Si : FR = a y R C = b. C alcule A F.

10 9

Ge ometría

14 . D elpun to m edio P delcateto A B d e un triángulo A B C , recto en B , se traza la perpendicularP H a la hipotenusa

A C .D e talm anera que :A H = 6 u y H C = 9 u.

19 . E n un triángulo A B C , se trazan las alturas A M y C N , de m odo que : A B = 5 u, N B = 3 u y B C = 6 u. C alcule BM .

C alcule P B .

20. Se tiene un triángulo A B C ,A B = c,B C = a y AC = b; 15 . C alcule la longitud de la altura de un trapecio rectángulo, cuyas diagonales son perpend iculares entre sí y las bases m iden 6 y 12 unidades.

dond e la m edida delángulo "A " es dos vecesla m edida a del ángulo "B ". S i : b = 4 y c = 5. C alcule : . b

16. Los lados A B y A C d e un triángulo A B C m iden 8 m y 10 m . S i la distancia del incentro al excentro relativo a B C es "x" y la distancia del incentro al vértice A es


5 m . C alcule "xº" . 21 . E n un triángulo A B C , se trazan las alturas B H y C N ; de tal m anera que : AN = 12 u ,BN = 4 u y AH = 9 u. C alcule H C . a)15u

b)13,

d)13,2 u 17 . E n un triángulo rectángulo A B C , recto en B , se inscribe un cuadrado P LM N ,de m od o que ellado P N d escansa sobre la hipotenusa A C . C alcule A C ,si: LM = 12 u y A P - N C = 10 u.



8u



c) 14u

e)12, 3 u

22 . L as longitud es de los lados de un triángulo son 4, 7 y 10 cm . S i otro triángulo sem ejante al prim ero,tiene un perím etro de 147 cm . C alcule la longitud d e su lado m enor. a)28cm d)20 cm

b)24cm e)48 cm

c)32cm

23 . Lo s lado s de un triángulo A B C m iden : B C = 6 u, C A = 8 u, A B = 4u, respectivam ente. Por un punto M de A B se traza la paralela M N al lado

B C . C alcule la lo ngitud de A M , d e m od o qu e el 18 . S e tiene un triángulo A B C , sobre lo s lados A B y B C se construyen exteriorm ente los cuad rad os A B P Q y B C M N . C alcule la m edida del m enor ángulo q ue determ inan A N y M Q .

perím etro del triángulo M A N sea igual al perím etro del trapecio B M N C . a)3,5u d)2,5 u

b)2,0u e)3,0 u

c)1,5u

24 . E n un rom bo A B C D ,de 12 m de lado, se tom a elpunto m edio M de B C . A M co rta a B D en G y D M a A C en H . C alcule G H . a) m4 d) 3 2 m 11 0

b) m6

c) e) m

2 2 m

TRILCE 25 . E n un triángulo rectángulo, la bisect riz del ángulo recto d ivid e a la hip o ten usa en d o s segm en to s cuy as

3 2 u.

30 . En la figura, A B C D es un cuadrado y E D = C alcule N C .

longitudes son

3 y 1, respectivam ente. E l m enor de sus ángulos m ide : a) 30º d)60º

b)45º e)15º

B

C 45º

c) 18º

N

26 . E n un triángulo A B C , se cum ple que : m ) BAC =

2m ) BC A; AB = 6 u y AC = 8 u .

M

C alcule B C . a) 3 21 u

b)

21 u

d) 2 14 u

e) 3 14 u

A

c) 2 21 u a)

27 . E n la figura m ostrada, el punto "O " es elortocentro del triángulo A B C ; B N = 2u, M B = 3u.

D

E

2 u

u2b)

d) 3u

e)

c)

2 2 u

3 2 u

31 . E n un triángulo rectángulo A B recto en B , se trazan las

C alcule O C .A B + BC = 10u.

bisectr ices interio res A M

C

1 AN

N



1 CM

y C N , de tal m anera que :

 5 . C alcule la longitud d el rad io d e la

circunferencia inscria en el triángulo A B C .

O

a)

A

B M

d)

5 u

u1b)

3 u

e)

c) 1 5

2 u

u

32 . E n la figura, A y B son puntos de tangencia. a) d)

3 3 8

27 2 3

u u

b) e)

8 3 3 3 3 2

u

c)

8 3 3

Si :M N .PQ =

u N

28 . S i los radios de dos circunferencias m iden 3 y 1 m . L a m ínim a distancia entre los centros es 10 m , entonces l a distancia entre el punto de intersecció n de las tangentes interio res y el punto d e intersecci ón de las tangentes exteri o res com unes a las dos circunferenci as es : a) 14m d)1,2 m

b)7,5m e)6,5 m

c) 7m

29 . Por el baricentro G , de un triángulo A B C se traza una recta que corta a A B en E y a B C en F. C alcule FC . Si :A E = a,EB = b y BF = c.

a) d)

b(a  c) a c(b  a ) b

b) e)

4 2 u 2 . C alcule : A M . B P. .

u

c(a  b) a (b  a)

c)

Q P

M A

a) 4 2 u 2

b) 8 u 2

d) 8 2 u 2

e) 6 2 u 2

B

c) 4 u 2

33 . E n la figu ra m o strad a, calcule la relació n d e lo s pe rím etro s de

lo s trián gu lo s B A M

y

BCM

respectivam ente. B

c(b  a) b

b

A

C M

a) 1 d)1/3

b) 2

1/2 c)

e)3/4 11 1

Ge ometría

34. En un triángulo A B C , A B = 3u, B C = 12u.

39 . E n un triángulo A B C , se trazan 3 cevianas concurrentes

C alcule la longitud de la bisect riz interi o r BM , si :

A M , B N y C P ; la prolongación de P M

m ) B = 120 °.

la prolongación de A C e n Q .

a) 2u d) 5u

b) 2,4u e) 6u

intersecta a

Si :A N = a y N C = b. C alcule C Q .

c) 4u

35 . S e tiene un triángulo rectángulo A B C recto en B . S i en

A B se ubican los puntos P y Q , tal que : m ) ACP = m ) PCQ= m ) Q C B; AP = a y PQ = b.

a)

d)

a(a  b)

b)

a b a(a  b)

e)

2a  b

b(a  b)

b(a  b)

c)

ab

a  2b

b(a  b) 2

C alcule Q B . 40 . E n la figura : P, Q , T son puntos de tangencia. a)

d)

a(a  b) 2b b a

2 a(a  b)

b)

e)

(2a  b)

c)

b

b a

(a  b )

S i: R S = a. C alcule A C . B

b(a  b)

S

Q

2a P R

36 . E n elgráfico : E F = 3u, FG = 2u. C alcule G H , si : "T " es punto de tangencia.

C

T A

aa)

T

d)

2a b) 3a

a 2

c) e)0,75. a

41 . D el gráfico, calcule "xº", en función de " º".

E a) u 1 d)4u

b) u 2

F

G

H

c) u 3

e)2,5u

º

37 . Se tiene un triángulo A B C acutángulo con A C = 12 m . E n su interio r, d esde u n p un to "F ", se trazan las perpen d iculares FD y FE a los lad os A B y B C respectivam ente. S i : D E = 4 y B F = 6. C alcule el circunradio del triángulo A B C . a) 10m d)15m

b) 9m

c) 12m

e)20m

xº a

2a

a)  º d) 90º - º

2b)  º e)90º-2  º

a

3c)  º

42 . S i : P, T y R son puntos de tangencia en la figura. C alcule "xº".

B

38 . Sea A B C un triángulo, do nde : A B + B C = 18 d m y elsegm ento qu e une el incentro con el baricentro es paralelo al lado A C . C alcule A C . a) 6dm d)12 dm

b) 8dm e)16 dm

c) 9dm

T P

A a) 20° d)50°

11 2

xº 40º

C

R b)30° e)60°

c) 40°

TRILCE 43 . E n un paralelogram o, en la prolon gación de A B se ubica elpunto E , E D intersecaa B C y a A C e n M y

48 . E n un triángulo A B C ; se traza la m ediana A M y sobre ella se ub ica el pu n to P, d el cu a l se tra zan la s

N respectivam ente.

p erpen d icu la res

C alcule ED , si: M N = 9 u y N D = 15 u.

respectivam ente.

PQ

y

a

PR

y

AB

AC

C alcule PR , si: a) 20u d)25u

c) 16u e)31u

d) 40u

PQ = 3u,AB = 9 u y AC = 12 u.

44 . E n la figura m ostrada, el triángulo A B C es isósceles, "O " es el centro d e la sem icircunferencia M N

a)9u d)9/5u

b)9/2u e)3u

c)9/4u

es

tangente a la circunferencia.

49 . D ado un cuadrilatéro A B C D inscriptible, se prolongan

Si :A M = a y N C = b. C alcule AC . B

los lados D C y A B , (se cortan en E ) y A D y B C (se cortan en F). L as bisectrices, los ángulos D FC y B E C se cortan en "O " y M y N son los puntos m edios de A C y

B D respectivam ente. C alcule la m ) MON.

N

a)165° d)150°

M A a)

b) 2 ab

ab 2

c) a  b e)

2

d)

c)135°

50 . E n un triángulo A B C , se trazan las cevianas B D y B F , tal que :

C

O

b)160° e)180°

m ) AB D = m

ab

Si :AD = 3 u, D F = 2 u y FC = 10 u.

3 ab

) DBF =

m ) FB C

2 ab

3

.

C alcule la m ) D BF. .

ab

45 . E n un triángulo A B C , se traza la bisectriz A E qu e intersecaallado B C en "D ". L uego, desde los vért ices B , C se trazan las perpendicularesB H , C E a d icha bisectriz. Si: H D = 1 u y D E = 2u. C alcule A H .

a) 45º

b)15º

d)45º/2

c) 22º

e)37º/2

51 . E n un trapecio rectángulo A B C D , se tiene que : m ) A = 60°,m ) C = m ) D = 90°y BC = C D .En

a) u 5 d) 2u

b) u 4 e) 1u

AC

se ubica el punto F y se traza FM  A D y FN  A B .

c) u 3

C alcule : FN , si : FM = 4u.

46 . E n un triángulo A B C , se ubican los puntos D , E y F en A B , B C y E C respectivam ente, tal que : D E = E F, A E  D F ; E D  A B , por B se traza una recta

a) 2u

b)

d) 4 3 u

2 3 u

c) u4

e) u8

que intersecta perpendicularm ente a la prolongación de A E en H y a la prolongación de A C en G . S i : E H  2 u y AB = BC = 2 10 u. C alcule B E . a)

7 u

b) 2 2 u

d)

10 u

e) 4u

52 . E n la figura m ostrada, calcule M N , si : M , N y P son puntos de tangencia. BH = 2 u y AC = 18 u.

B

c) u3

M N

47 . E n un paralelogram o A B C D , por el vértice A se traza la recta secante a la diagonalB D en M , al lado B C

H A

en N y a la prolongación d e D C en Q .Si :A M = a y

P

C

M N = b, calcule N Q .

a)

a 2  b2 b 2

d)

a b a

b)

2

a2  b2 a 2

e)

b a

c)

a 2  b2

a) u 4 d) 8u

b) u 5 e) 9u

c) u 6

b

2

b 11 3

Ge ometría

53 . L a circunferenci a inscrita del triángulo A B C es tangente al lado A C en "Q ", una rect a secante al triángulo es tangente a la circunferencia en P,e interseca a los lados

57. En un trapecio A B C D (B C //A D y B C  A D ), por B se traza una paralela a C D , que intersect a a AC e n M y

A B y B C en M y N respectivam ente.

por C se traza una paralela a A B q ue interseca a B D en N .

(M C  PQ )  {F } ,M P = 4 u,Q C = 8 u y FC = 10 u.

C alcule la longitud del segm ento M N , sabiendo que:

C alcule M F.

BC = 3u,AM = 6u y CM = 4 u.

a) u 3 d) 6u

b) u 4 e) 8u

a)1,40 u d)1,25 u

c) u 5

54 . E n un triángulo A B C (recto en B ); la m ) BAC = 53°, sea P un punto de la región interi o r de dicho triángulo, tal que :

b)1,50 u e)1,35 u

c)1,20 u

58 . S i "I" es elincentro del triángulo A B C , y : 3(A H ) = 4(R Q ) = 6(C T) = 6(TR ) = 12 u. C alcule H C . N

PA = 15 u,PB = 12u y PC = 20 u. C alcule A C .

M

J

a)

B

4 b) 5 5

11 u

u

I A

c)

25  6 3 5

u

d)

25  6 3 5

H

C T R

Q

u a) u 1 d)4u

b) u 2 e)4/7u

c) u 3

e) 5 25  12 3 u 59 . E n elgráfico m ostrado : 55. En el gráfico : AB = 7u, B C = 9 u y A C = 8 u. C alcule :

EI ET

AE = 4 dm ,EF = 2 dm ,AM = 5 dm y NC = 12 dm . C alcule la d iferencia entre F B y M N .

.

B

B F H E

T I A

C M

A

a) 3/5 d)2/3

C

N

E

b)3/4 e)5/6

a)1dm

b)2dm

d)3dm

e)4dm

N

c)2,5dm

c) 2/5 60 . E n elgráfico, "I" es elincentro del triángulo A B C yB M

56 . D e la figura, calcule : PQ . R M , si: es una m ediana.S i:

ST . LK = 27 u 2 .

ID IB



2 3

,EB = 6 dm y FM = 4 d m .

C alcular EF. B P S L

R

E I F Q

T

K

M

C

A

a) 25 u2

b) 25/2 u2

d) 27/2 u2

e) 9 u2

11 4

D

c) 27 u2 a)1dm d)2,5 dm

b)1,5dm e)3 dm

M

c)2dm

TRILCE

Claves 21.

e

41.

a

22.

a

42.

c

23.

e

43.

d

24.

a

44.

b

25.

a

45.

c

26.

d

46.

d

27.

c

47.

c

28.

b

48.

c

29.

c

49.

e

30.

d

50.

d

31.

e

51.

b

32.

a

52.

c

33.

a

53.

c

34.

b

54.

e

35.

e

55.

a

36.

d

56.

c

37.

b

57.

c

38.

c

58.

a

39.

b

59.

d

40.

c

60.

c

11 5

Ge ometría

11 6

TRILCE

C ap ít ulo

REL A CIONE S M ÉTRI CAS E N UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

10 *

PROYE CCIONES

ORTOGONALES

SOBRE UNA RE CT A

B B A

B

A

L

A'

A'

B'

A'

A'

B'

B' A

P roy. de A A 'B 'proyecci ó n de A B sobre L

sobre L

**

B

m : proyección de A B sobre A C a

c

n : proyección d e B C sobre A C

h AHB

A

 ABC

C

H

m

 BHC

n b

I.

U n cateto es m edia proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre dicha hipotenusa. c



b

a b

II.

m



c



a

2

 b .m

c



n

2

 b .n

a

L a altura relativa a la hipotenusa es m edia proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. h m

III.



n



h

2

 m .n

h

L a sum a de los cuadrad os de los catetos es igual al cuadrad o de la hipo tenusa. 2 2 2 c a  b

I V.

E l producto d e los catetos es igual al producto de la hipotenusa con la altura relativa a la hipotenusa. c .a = b . h

11 7

Ge ometría

V.

L a sum a de los cuadrad os de las inversas de los catetos es igual al cuadrad o de la inversa d e la altura relativa a la hipo ten usa. 1 2 c



1 a

2



1 h

2

PROPIEDADES 1.

A

B

r

R

A B  2 R .r

2.

B "r", "R " y "x" inradios de los triángulos A H B , B H C y A B C respectivam ente.

x

r A

11 8

H

x

R C

2

2 2  r R

TRILCE

Tes t de a pr endi za j e preli m in ar 04 . L os radios de los sem icírculos m iden 2,5 dm y 2 dm .

01 . C alcule "h".

C alcule B H . (T : pu nto de tangencia). B

20

15

h

T A

C H

02 . E n el gráfico, B es punto de tangencia. AF = 6 dm y AC = 18 cm . 05 . C alcule "r", si: M T = 9 cm : TN = 2 cm .

C alcule "r".

m ) A O B = 90 °.("T" es punto de tangen cia).

B r

A

r

O

F

A

C

B N

M T

03 . L a altura d e un triángulo rectángulo d eterm ina, en la hipo ten u sa, segm en to s d e 1 8u y 3 2u . C alcule lo s catetos.

06. C alcule PD ,si:B Q = 4,5 cm y Q C = 8 cm .

B

Q

C P

A

D

11 9

Ge ometría

10 . C alcule "A N ", si : M N = M P.

07 . P y T son p untos de tangencia. r = 5 u y A T = 9 u. C alcule "x".

N x

M B

r

P

A

A

b

T

08 . E n u n triángu lo ob tusángulo A B C ob tuso en "B ", po r elpu nto m edio "M " de A C se traza M P perpend icular a B C . C alcule M P,si: A B = 6 u; B P = 3 u y P C = 7 u.

H

P a

Practi quemos : 12 . L os lado s de un triangulo m iden 8, 15 y 16 cm .¿C uánto se debe quitar a cada lad o para que resulte un triángulo rectán gulo ?

09. En el gráfico : A B = 6 cm y BC = 8 cm .

13 . L a sum a d e los cuadrad os de los lad os de u n triángu lo rectángulo es 200 cm 2 . C alcule la longitud de la hipotenusa.

C alcule la distancia de "O " a A C . A B

O

C

14 . C alcule la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si los catetos del triángulo rectángulo m iden 6 y 8 cm .

12 0

TRILCE 15 . E n un triángulo rectángulo, los catetos m iden 24 u y 18 u. C alcule la longitud de la altura de dicho triángulo.

19 . L os lad os de un triángu lo m iden 4 u, 5 u y 6 u. ¿C uán to ha y q ue d ism inu ir a cad a lad o pa ra q u e el n uevo triángulo sea triángulo rectángulo?

16. C alcule BD ,si:A D = 8 cm y D C = 10 cm .

B

20 . E l rad io d e la circunferencia inscrita en un trap ecio isósceles de bases "a" y "b" es :



A

D



C

E

Pr oblema s pro pues to s 17 . C alcule la longitud del inrad io de un triángulo isóscel es; 21 . E n un triángulo P Q R (m ) Q = 90 °), los catetos PQ y  sisu perím etro es igual a 9 8 cm y su base es igual a 40 Q R m id en 3 0 m y 20 m respectivam ente. C alcule la cm . distancia d el vértice Q a la m ediana R M . a) m 8 d)11m

18 . E n la figura, A B C D es un cuadrado de lado que m ide 16 ,siend o "M " pu nto m edio de A D . C alcule la longitud del radio de la circunferencia.

c) 10 m

22 . E n un a circunferencia d e 5 m d e rad io, se traza un a cuerda A B y sob re ésta se ubica un pu nto M , de m odo que : A M = 3m y M B = 5 m . C alcule a qué distancia está M del centro.

a) C

B

b) 9 m e)12m

10 m

d) 1 5m

b)

c) 13 m

11 m

e)3m

23 . C alcule "x", si : R = 16 u y r = 4 u .

x A

M

D

R

a)16/9u d)3/2 u

b)15/8 u e)8/3 u

r

c)2u

12 1

Ge ometría

24. E l lado de u n cuad rado A B C D , inscrito en u na circunferencia, m ide 4 u. "M " es un punto del arcoA B , de m odo que : M D = 5 u. C alcule M B . a) 6 u

b) 5 u

7 u

d)

c) 2 2

30 . U na circunferencia es tangente a d os lad os ad yacentes d e un cuad rad o y d ivide a cada uno de los otros lad os en d os segm entos cuyas lon gitud es son 2 cm y 23 cm . C alcule la longitud del rad io de la circunferencia.

u

e) u3

25. D ado un rectángulo AB C D , AD = 30 cm y AB = 25 cm , calcule el radio de la circunferencia tangente aB C y que con tiene a A y D . a)16cm d)20 cm

b)17cm e)21 cm

c)18cm

a)15cm d )14 cm

26 . E n un triángulo rectángulo de la figura, la sum a de las longitud es BM y M A es igual a la sum a d e las longitud es B C y C A .Si :B M = x,B C = h y C A = d. C alcule "x".

b)16cm e)19 cm

c)17cm

31 . L as m ediana s de u n triángu lo rectángu lo A B C trazad as a partir d e los vértices de los ángulos agudos tienen longitud es d e 5 m y

M

40 m . C alcule la longitud de la

hipo ten usa.

x

a) 1 5,0 m d )10,1 m

B h

b)13,58 m e)7,21 m

c)12,60 m

32 . E n un triángulo rectángulo A B C , recto en B , se traza la

C

A

d

a) h d

altura B H ;de talm anera que : A H = 5 u y H C = 7 u. C alcule las longitudes de los catetos.

hd

b)

2h

d

a) 2 13 u y 2 15 u

b) 2 15 u y 2 21 u

c) 3 7 u y 3 5 u

d) 2 5 u y 2 7 u

d c) 2 e) h  d

d) 

h2 

d2  h

e) 7 2 u y 5 2 u

2d

27. Se tiene un c uadr ado A B C D cuyo lado tiene una longitud igual a "L ". S e traza una circunferencia que, pasando po r lo s vértices B y C , es tan gente al lad o

32 . E n un triángulo rectángulo, las proyecciones d e los dos catetos están en relación de 4 a 5. C alcule la relación de d ichos catetos.

A D . C alcule la longitud d el radio de la circunferencia. a)4L /7 d)2L /3

b)5L /8 e)8L /10

c)3L /5

28 . E n un pentágono A B C D E , los lados A E y D E m iden 16 u y 8 u respectivam ente y : m ) A + m ) B + m ) C + m ) D = 48 0°. C alcule la distancia del vértice E a la diagonalA D .

a) 4 3u d)12u

e)

b) u 8 3 3 u

c) 10 u

29 . S ea A B C un triángu lo rectángu lo cuyos catetos m iden : A B = 40 u y A C = 30 u. S e traza la altura A D relativa a la hiptenusa.C alcule la diferencia entre los perím etros

a)

d)

2

2

b)

5

5

e)

c)

5

3 5

4 5

33. En un r om boide AB C D , si : BC = 8 u ,CD = 5 u y AC = 10 u . C alcule la proyección d e B D sob re A C . a)1,9u d )4,9 u

b)2,9u e)5,9 u

c)3,9u

34 . S ea A B C un triáng ulo rectángu lo recto en B , cuyas m edianas B M y C N son perpen d iculares entre sí. C alcule el valor d e A B , si : B C = 6.

de los triángu los A B D y A C D . a) 3 2 dm a) 24u d)20u

12 2

b)30u e)26u

c) 48u

d ) 6 3 dm

b)

2 3 dm

e)8dm

c) 6 2 dm

TRILCE 40 . E n el gráfico, calcule B C . Si :AB = 5 u, AD = 13 u,AQ = Q D . (C : punto de tangencia).

35. En un trapecio A B C D , B C //A D ,A B=5 u, BC = 6 u ,CD = 7 u y AD = 10 u . C alcule : A C 2



BD 2 .

C

B

a) 192 2u d) 195

b) 193 u 2 e) 19 6 u 2

u2

c) 19 4 u 2 F

36 . C alcule la lo ngitu d d e la h ip o ten u sa A B de un

A

trián gulo rectángulo A B C , sabiend o qu e : A D = 2

Q

D

O

dm ,CD = 7 dm . m ) DB C = m

y que D pertenece a A C .

 )BAD

a)4,5d m d)10 d m

b)6,5dm e)12 dm

a) 4 2 u

b) 52

d) 7 2 u

e) 8 2 u

c) 6 2 u

u

4 3 dm

c)

41 . C alcule "R " en el gráfico m ostrad o. (M : pu nto de tangencia).

37 . C alcule A D , si : CH = 2 dm y H A = 6 dm . R

C

B

9 M 15

H a) 15u d)18u

A a) 2 3 dm d)10 d m

D b) 4 3 dm e)12 dm

c) 8 3 dm

38 . E n el gráfico, A E = 80 u y FN = 18 u . C alcule A P.

E

b) 16u e)20u

c) 17u

42 . E l segm ento perpend icular a u n diám etro desde un punto de la circunferencia m ide 12 p ulgadas. S i uno de los segm entos que se determ ina, en el d iám etro, m ide 4 pu lgadas. C alcule la longitud d el rad io de la circunferencia. a)5 pulg d) 15 pulg

b)20 pulg e) 25 pulg

c)10 pulg

P 43 . D ado el cuadrado de lado que m ide "a", ¿C uál deb e

N F

ser el valo r d e D E , para qu e el trián gu lo A E F sea equilátero?

A a)100u d) 15 33 u

B

O

b)

18 26 u

A

B

F

c)92u

e)82u

39 . A B y C D son d o s cuerd as pa ralelas qu e se en cuentran en una circunferencia d e radio "r"; d e m odo que, la d istancia entre dichas cuerdas, es igual a 27 u .

D

a) a (2 3 ) u

b) a ( 3

C alcule "r", si : A B = 48 u y C D = 30 u. a) 36u d)25u

b)34u e)28u

c) 32u

c) a ( 2

 1) u

C

E

d)

1 3

 1)u

au

e) a (2  3 )u

12 3

Ge ometría

44 . S e tiene un triángu lo A B C do nd e la m edia del ángu lo A es d os veces la m edia d el ángulo B . S i: A C = 4 u y A B = 5 u. C alcule :

a)

d)

2

5

b)

3 3

AC

c)

6

altura B H ; de tal m anera que: H A = 3 u y H C = AB .C alcule BC .

.

a) 5u

6 5

b)

6 (4

3 + 1u

d)



5 ) u c)6 u

e) 3 2  5 u

6

e)

2

BC

48 . E n un triángulo rectángulo A B C , recto en B , se traza la

49 . S e tiene el trapecio rectángu lo A B C D ,

2

m ) A = m ) B = 90°,AB = 60 u, BC = 62 u y 45 . D os circunferencias de centros A y B se intersectan en los punto s C y D . L a tangente a la circunferencia de centro A trazada por elpun to C pasa por elpu nto B y la tangente trazada por el punto C a la circunferencia d e

A D = 73 u. C alcule C D . a) 61u d )68u

b) 63u e)75u

c) 65u

centro B pasa por el pu nto A . S i los diám etros de las 50 . Las diagonales A C y B D de un trapecio A B C D m iden circunferencias tien en las lo ngitud es d e 6 5 cm y 5 u y 7u, respectivam ente. C alcular la longitud d e la 12 5 cm . m ediana, si: A C  B D . C alcule C D . a)11cm d)14 cm

b)12cm e)15 cm

c)13cm

a) 3u

46. En el gráfico : EM = 8 u, M C = 25 u y A B = 18 u.

74

b) 45

d)

2

E P //A D . C alcule P D .

2

u

u

c) u 4

e) 5u

51 . E n el gráfico, calcule A T. (T punto de tangencia). M

B

C C

P

E

3u T

A

D

O

A

a) 2 21 u d)11u

b) 12 u b)

c)

B

2 29 u

3 15 u a) 6

47 . C alcule "x" en el gráfico :

d)

2 u

5 17 3

b)

u

12 21

e)6,5

7

u

c) 9

2 u

2 u

x 52

52 . Sea A B C D un cuadrado de 16 dm de lado. C on centros

cm

en A y D d escriba circun feren cias congruentes y de rad io A D . L uego, elradio de la circunferencia tangente

48 cm a)52cm d)46 cm

12 4

b)48cm e)45 cm

exterio rm ente a éstas y al lad o B C m ide : c)47cm

a) 1dm d )4dm

b) 2dm e)5dm

c) 3dm

TRILCE 53 . A B C D es un rectángulo. B H = 2 u, H C = 8 u. C alcule "x".

B

57 . E n el gráfico m ostrad o, A B C D es un cuad rad o. C alcule A O , si : D T = 3 m . (P y T pu nto d e tangen cia).

C

D

H

C

xº

P T O D

A

A

a)30° d)53°

b)53°/2 e)36°

B

c)37°/2

a) m3

b) m4

c) m5

d) 5 2 m

54 . E n el gráfico, calcule P T. (T, Q y R son puntos de tangencia).

e) 3 2 m

58 . C alcule B D ,si : O A = O B y elprod ucto d e radios es 32

m

2

.

R

P

C D T

Q

R r

3u

5u

A

7u

a) m6 d) 8m a) 8u d)

b)

65 u

6 2 u e) 10u

c) u9

79 u

b) 12 u e)

c) m9

P

B

C

A

uno de los lad os no paralelos.

d)10u

b) m4 e) 7m

59 . E n el gráfico, A B C D es un rom boide, PB = 10 u y PC = 8u . C alcular la longitud d e la d iagonal B D .

55 . S e tiene un trapecio isósceles, un a de sus diagonales m ide 2 79 u nid ad es y el producto d e las longitud es 2 de sus bases esigual a 216 u . C alcule la longitud de

a)

B O

D

6 2 u

c)

4 5u

a)12u

56 . E n el gráfico : A B = 8 u. C alcule PM . (A M = M D ) B

8 2u

b)

d) 4 6 u

e) 67

c) 15u

u

C

60 . E n el gráfico m ostrad o, calcule :

a2 n2



b2 m

2

P b

a

A

D

n

M

a) 1u d) 3 5 u

b)

6 5 u e) 12 5 u

c)

12 5

5 u

m

1a) d) 4

2b) e) 5

3c)

12 5

Ge ometría

Claves

12 6

21.

e

41.

c

22.

a

42.

b

23.

a

43.

e

24.

d

44.

d

25.

b

45.

b

26.

b

46.

c

27.

b

47.

e

28.

b

48.

e

29.

a

49.

a

30.

c

50.

b

31.

e

51.

c

32.

b

52.

a

33.

b

53.

b

34.

c

54.

d

35.

c

55.

d

36.

a

56.

c

37.

e

57.

e

38.

e

58.

d

39.

d

59.

e

40.

c

60.

d

TRILCE

C ap ítulo

R ELA CIO NE S M TR ICAS EN CUALQUIER TRIÁNGULO

1 I.

TEOR EMA DE EUC L I DE S

II .

TEOR EM A DE S TEWAR T

(  90 )

Prim er Cas o

b a

b

c

x m

n a



m x 2 .a  b 2 .n  c2 .m  m na

c a 2  b 2  c 2  2 cm

II I.

TEOR EM A DE LA ME

DIANA

(  90 )

Segundo Caso

b

m

a

b

c

a



m

a

c

a 2  b 2  c2  2 cm

Observaciones :

2m

IV.

D e aquí, se deduce la im po rtante relación denom inada "L ey de C osenos", que es válida para todo triángulo.

a

2 a 

2



2

CÁ LCUL O DE LA BIS

b

2

2 c

EC TRI Z

* Int erior

 

a

b 

a

x

b

c m

n

a 2  b 2  c 2  2 cb .C os

x

2



a .b  m .n

12 7

Ge ometría

* Ex te rio r

* En el r ectángulo

 

a

b

m

cualquier pu nto

y

b

n

a

e t

a2  b2  m

y2

V.

t.e  a .b



VI.

n2

TEOR EMA DE LE ONARD E ULE R

C b

B

c

ha



* V álido para todo cuadrilátero.

CÁ LC UL O DE LA AL TUR A (Teorema de H erón)

b

2

c a P

a

A

Q d

D

S em iperím etro : p p

ha



2



PQ

abc

. p (p

 a)(p  b)(p  c)

a

Observaciones * En todo

triáng ulo

m

c m

a

a

m

b

c

a

2 2 2 a m b m c  2 2 2 a b c

m

12 8

: segm ento qu e un e los pu ntos m ed ios d e las

d iagonales.

2

3 4

TRILCE

Tes t de a pr endi zaj e preli m in ar 01. C alcule H C .

04. C alcule H A, si:A B = 17 u, B C = 25 u y A C = 12 u. B

B

16 u

12 u

A

H

C

H

C

A

20 u

05 . C alcule la m ediana B M . Si:AB = 8 u, BC = 12 u y AC = 6 u.

02. C alcule H B.

B

A

20 u A

15 u H

C

10 u

B

C

M

03. C alcule AH ,si:A B = 37 u, B C = 15 u y A C = 44 u.

06. Si :B M = M C ,calcule AM .

B B 6u

A

H

C

A

M

8u

12 u

C

12 9

Ge ometría

07. C alcule BH .

10. C alcule BE , si:A B = 4 u, B C = 3 u y A C = 2 u. B B

º º

15 u

13 u

A

C

H

A

E

C

14 u

08. C alcule B M .

Practi quemos : B 11 . E n el gráfico, calcule B M .  

12 u

8u

B  

A M

6u

5u

C

10 u

A

C

M 7u

09. C alcule BD ,si:AB = 4 u, BC = 6 u y AC = 5 u. 12 . E n elgráfico, calcule B E . B B  

 

7u 6u A D

13 0

C

A

5u

E C

TRILCE 13 . E n el gráfico, calcule B F,si: AB = 5 u ,BC = 7 u ,AF = 4 u y FC = 2 u .

17 . ¿Para qué valores enteros de "x", el triángulo m ostrado es obtusángulo?

B 4 3

x

A

C

F

14 . C alcule el lado d e un rom bo, sabiend o que el punto m ed io d e un lad o, d ista d e los extrem o s d el lado opuesto 9 cm y 13 cm .

18 . C alcule elperím etro d e un rom bo A B C D , si: M C = 9u, M D = 13 u y M es punto m edio de A B .

19. En un triángulo A B C .A B = c,BC = a y AC = b. 15 . E n un triángulo A B C de lados :A B = 13 u, B C = 15 u y A C = 14 u, se traza la bisect riz interi o r del ángulo C . C alcule A H , siend o B H

a 2  b 2  c2  3 bc C alcule la m ) BAC.

la perpend icular trazada a

dicha bisectriz.

20. Los lados A B , A C y B C m iden 13 u, 14 u y 15 u 16 . C alcule "x".

respectivam ente. C alcule la distancia d el punto m edio de B C a l lado A C .

3 2

7

x

13 1

Ge ometría

Pro blemas pro pues to s

26 . C alcule B M , si : O M //B P . AM = 4 u,M P = 5 u y M N = 3 u. A

21 . E n un triángulo de lados 9 u, 10 u y 13 u. C alcule el valor entero de una de las m edianas. a) 8u d)10u

b)9,0u e)7,0u

M

P N

O

c) 12u B

22. Los lados A B , B C y A C de u n triángulo m iden 8 u, 10 u y 1 2 u respectivam en te. Po r "B " se traza una ceviana B E q ue divide allado A C en d os segm entos,

a)

29 u

d) 6u

b) 5,8u e)

4 3u

c)

34 u

A E = 9 u y EC = 3 u. C alcule B E. a) u 4 d) 7u

b) u 5 e) 8u

27 . C alcule la longitud del segm ento que une los puntos m edios de las bases de un trapecio, sabiendo que los lad os laterales m id en 5 cm y 7 cm y las bases se diferencian en 6 cm .

c) u 6

23 . L os lado s de u n triángulo rectángulo m iden A B = 36 m ,A C = 48 cm y B C = 60 m ,se traza la altura A H y la bisectr iz B P q ue corta a la altura en "Q ". C alcule A Q . a) 14m d)20m

b) 16m e)22m

a) 2 5 cm

b) 2 7 cm

d) 3 7 cm

e) 2 11 cm

c) 18m

24 . E n elgráfico : A O 1  7 u y el radio de la circunferencia pequeña m ide 3 u. C alcule elradio d elcuadrante A O B .

28 . E n un triángulo A B C , se trazan la bisectriz interior BD y la m ediana B M , tal que : B D = D M . C alcule A C , si: AB .BC = 144 cm 2 . a)18cm d)28 cm

A

O

B

a) 8u

M

d) 6 2 u b) 2 5 u

d) 6u

e)

b)20cm e)30 cm

c)24cm

29 . C alcule la altura d e un trap ecio A B C D d e bases B C = 5u y A D = 26 u y cuyos lado s no p aralelos m iden 13 u y 20 u.

O1

a) 2 3 u

c) 3 5 cm

b) 10u

c) 12u

e) 6 3 u

c) u 5

3 5 u

25. C alcule AB ,si:A M = a y M C = b.(AB = BC ).

30 . S e ubica un punto "P" de la circunferencia inscrita en un cuadrado A B C D de 4 c m de lado. C alcule : P A 2  P B 2  P C 2  P D 2 . a) 40 cm 2 d) 60 cm 2

B

b) 36 cm 2 e) 70 cm 2

c) 48 cm 2

31 . E n elgráfico, calcule "r", si: R = 4 u,r1  2 u.

45º

A

r

R

C

M

r1 a)

a2

b

2

bc) -a e)

d)

a

2



b

2

a)1u d)2u

b) 2 ab

 ab

a

2



2

b

c)3/2u

32 . E n u n rectángu lo A B C D , se ub ica un pu nto exterior relativo al lado B C , "P", si: PA = 7 u, PB = 5 u, PD = 6 u. C alcule PC . a) 3 2 u d) 2 5 u

13 2

b)2/3u e)1/2 u

2

u3 b) e) 2 3 u

c)

3 3 u

TRILCE 33 . E n un triángulo A B C , exteriorm ente relativo a B C , se m ) APB = 90° y m

38. Sobre el lado B C de un rom bo A B C D

se ubica el

pun to m edio M , de tal m anera que :

ubica "P", tal que : BAP = m

 )

 ) PA C , si:

B C = 5 u. C alcule : A B - A C , siendo :

PB 2

 PC

a)

7 u

b)

15 u

d)

30 u

e)

2 u

2



20 u 2 c)

2 2 (A M )  (M D )  40 u 2 . C alcule el perí m etro de la regi ó n rom bal.

a) 40u d)20u

b) 32u e)16u

c) 28u

10 u 39 . E n u n triángulo A B C , se traza una paralela por B a

A C . L a bisectriz interior del ángulo A corta a dicha paralela en E . C alcule A E , si: A B = 5 u, B C = 4 2 u y

34 . E n elgráfico, calcule E P.

AC = 7 u. a) 4 5 u

b) 3

5 u

d) 5

e) 2

5 u

5 u

c)

5 u

O

8u

E

40 . S i se sabe q ue las lo n gitud es d e lo s lad os d e un triángulo A B C , satisfacen la siguiente rel ación :

P

AC . AB =

BC2



A C 2 . C alcule la m ) B A C , si la

m ) ABC = 36°. a) 6u

2 2 u

b)

d) 4 2 u

c) u5

a) 36° d)49°

e) 4u

35 . S e tiene el triángulo A B C : m ) A = 2m

 )

B ,A B = 12 u y AC = 8 u. C alcule BC .

a)10u

b)

8 2u

d)13u

e)

4 10 u

b)72° e)38°

c) 58°

41. En el gráfico,A B = 12 dm y BC = 5 dm . C alcule PQ .

c) 4 15 u

P B

36 . E n el gráfico, cal cule "r".

A

r a)

5u 3u a) 2u

d)

120

b) 33 15

u

49 e)

u

c)

5 u

d)

5

C

13 dm

3 15

b)

26 dm

13

e)

2

29 dm

3 20

u2

a) 77 d) 88 u2



15 16

26 dm

42 . E n elgráfico,se tiene eltriángulo equilátero A B C , A B = 12 u y B P = 5 u. C alcule M N , siendo N punto m edio de B P .

6 u

B N

que :BM = M N = N C .Si: AB = 7 u ,AC = 8 u y BC = 9u. C alcule : A M

c)

11 dm

13

37 . E n un triángulo A B C , sob re B C se m arcan M y N , tal

2

Q

P

2

AN . b) 66 u2 e) 55 u2

c) 44 u2 A M a)

87 u

d)20u

b) e)

263 2

u

C

c) 2 38 u

2 10 u 13 3

Ge ometría

43 . E n un triángulo A B C , ob tuso en "C " : AB = c,BC = a y AC = b.

48 . E n el gráfico, calcule la longitud del segm ento C D , si :

A B es el diám etro de la sem icircunferencia.

C alcule la m ) A C B , sabiend o que : a4



b4

c

4



2 c 2 (a 2



AP = 3 u,PB = 8 u,PQ = 4 u y PM = 6 u . b2)

P O

A a)120° d)105°

b)150° e)135°

44 . E n un triángulo, do s lados m iden la s

m ed ian as

relativa s a

7 dm

d ich o s

y

3 dm ,

Q

M

la d o s son

perpen d iculares en tre sí. C alcule la d istan cia d el

B





c)115°

D

baricentro al vértice com ún de dichos lados. a) d)

2 dm 4

b) dm 2

2 dm

3

c)

e)

5 dm

C

6 dm a)

876 u

1

b)

2

45 . E n el gráfico,A B = 8 d m , calcule "x". (M , N y Q son puntos de tangencia).

d)

1

1022 u

2

e)

1009 u

c)

935 u

984 u

49 . Sea A B C D un cuadrilátero d onde Cˆ es recto, A B = 13 N

cm ,BC = 20 cm ,C D = 10 cm ,AD = 17 cm . C alcule la longitud de la proyecció n de A D x

A

a)

d)

3 2 4

M

dm

b)

3 dm

3

B

O

a)

2 dm

c)

3 dm

e)2dm

46. Sea AB C D un rom boide donde : B C = 3(A B ) y M es punto m edio de

BC . C alcule CD ,si:A M = 9 dm y D M = 6 dm .

a) 2 3 dm

b) 3 2 dm

d) 4 3 dm

e) 6 2 dm

sobre la

recta que contiene al segm ento A B .

Q

c) 4 2 dm

d)

20 17 21 13

cm

b

cm

e)

10 13 20 13

cm

c)

15

cm

17 cm

50 . E n un trián gulo A B C , los lad os están representad os por tres núm eros enteros consecutivo s y el án gulo m ayor es dob le del m enor. C alcule los lados del triángulo. a)2u,3u y 4u c)6u,7u y 8u e) 4u, 5u y 6u

b)7u,8u y 9u d)5u,6u y 7u

51 . E n el tirángulo rectángulo A B C , recto en A , los puntos

47 . C alcule la longitud de la hipotenu sa A P , sabiend o

P1 , P2 , P3 y P4 , dividen a la hipotenusa en cinco partes i guales. 2

que :

A P1

PB = 11 u,C B = 7 u,BA = 8 u.



2

26 5 u 2 y A P 4



16 0 u 2 . ¿C uá nto m id e la

hipo tenusa?

P

a) 12u d)21u

b) 15u e)25u

c) 18u

52. Sea un triángulo A B C de lados A B = AC y BC =

2 u.

S i la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D y

C

a)16u d) 13 4

B b)17,8u

29 5 u

e)19,5 u

c)

A

B D = 1 u ; enton ces, los ángulos A y B m iden :

29 7 u

a)60°,60° c)100°,40° e) 150°, 15°

b)90°,45° d) 120°,30°

TRILCE 58 . E n el gráfico, calcule el lado del cuadrado A B C D . S i : AM = a y BL = b. (M y T son puntos de tangencia).

53 . E n un triaángulo A B C , se cum ple que : m ) BAC = 2m C alcule BC .

 ) BC

A; AB = 6 u y AC = 8 u .

a) 3 21 u

b)

d) 2 14 u

e) 3 14 u

B

c) 2 21 u

21 u

C L T

54 . E n un trapecio, las bases m iden 6 u y 16 u, los otros d os lad os m iden 7 u y 9 u . C alcule la longitud del segm ento que une los puntos m edios de las bases.

a) 6u

b)

2 10 u

d) 3 5 u

11

e)

2

A

c) 7u

u

a a)

b2

55 . C alcule "x", sila longitud del lado del cuadrado es 18 m.

2

a

a

b)

2

a

2



b

d)

2

2

2a 2

a2 c)

D

M

b

2

a 2b (a  b )(a  b)

ab

x e)

a2



b2

60 . Si A B C D es un cuadrado de lado que m ide 40u. C alcule PQ . a) m1 d) 4m

b) m 2 e) 6m

c) m3

(P y Q : puntos de tangencia). P

B 56 . C alcule la longitud delcircunradio de un triángulo cuyos lados m iden 26 dm , 28 dm y 30 dm . a)16,125 dm c)16,89dm e) 20 dm

C

Q

b)16,25 dm d)18 dm A

57 . E n el gráfico, cal cule "xº" , si: (A B )2



(A D )(B C )

B

D

a) 2 61 u

b) 2 63 u

d) 2 69 u

e) 2 77 u

c) 2 65 u

26 º

D xº A

C H

a) 34° d)26°

b)17° e)38°

c) 23°

13 5

Ge ometría

Claves

13 6

21.

d

41.

d

22.

c

42.

b

23.

c

43.

e

24.

b

44.

a

25.

d

45.

c

26.

e

46.

b

27.

b

47.

c

28.

c

48.

b

29.

c

49.

d

30.

e

50.

e

31.

b

51.

e

32.

e

52.

d

33.

b

53.

c

34.

d

54.

b

35.

e

55.

d

36.

b

56.

b

37.

a

57.

e

38.

e

58.

e

39.

a

59.

c

40.

b

60.

c

TRILCE

C ap ítulo

R ELACIO NE S M TR ICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

12 I.

TEOR EM A DE C U E RDA S

a

n

II I.

TE OR E MA DE L A T ANG ENT E

x

m A

b

B C

a.b = m .m x

II .

2

 A C .A B

TEOR EMA DE LA S S ECAN TES IV . B

C

CUAD RILÁ TERO INS CR IT O

A

E

b

a

c y

F

x

A C .A B = A F.A E

d

xy = ac + bd x y



ab  cd ad  bc

P tolom eo

V iette

13 7

Geom etría

Tes t de a pr endizaje pr 01.

Si:AQ = Q B; EQ = 4 u y Q F = 9 u. C alcule : A B .

elim in ar 04 .

E n la figura, calcule A C . Si :M C = 4 u,AR = 16 u y PR = 10 u .

B

C F

E

M

Q

A

A P R

02 .

Si:AQ = Q B; EQ = 12 u y Q F = 27 u. C alcule : A B .

05.

D elgráfico : A M = M C .C alcular B Q . Siendo : A P = 4 u, PB = 5 u y Q C = 3 u.

B

B

F E

Q

Q P

A A

C

M

03 .

E n la figura,calcule A C , si : M C = 2 u,AR = 8 u y PR = 5 u.

06.

Si:AB = 3 u;BC = EF ;AD = 2 u;D E = 10 u. C alcule : FG .

C

C M

B A

A

E D

P R

13 8

G

F

TRILCE 07 .

S i : A B , B C y A Q son valores enteros con secutivos. C alcule A Q .

10 .

S iendo P y B pun tos de tangencia. C alcule C D , si : AB = 4 u y BC = 3 u.

Q  pu nto de tangencia. P

Q A

A

08.

C

B

Si :A B = B C = C D .C alcule AD ,si: R = 9 u y r = 7 u.

Pr act iquemos 11.

A

B

C

:

Si:C D = D E = 3 u.C alcule AC .

D E

r

D

R

R

r

A

09 .

D

C

B

E n la figura,calcule B D , si : AH = 8 u,CH = 6 u y H B = 3 u.

12 .

C

B

Si Q es punto de tangencia. M N = 9 u;M F = 16 u y 4EP = EF. C alcule : PQ .

C

A

B H

N

F

M

Q E

D

P

13 9

Geom etría

13 .

Por un punto interior a una circunferencia de rad io 1 0u , se trazan las cuerd as cum plién d ose qu e el producto d e los 4 segm entos determ inados es 625. C alcule la distancia entre el punto m encionado hacia el centro de la circunferencia.

16.

En el gráfico,PM = 9 u, M Q = 4 u. C alcule A M .

P M Q A

14 .

S e tiene una circunferencia de d iáem tro A B = 6 m , se traza una cuerda C D

q ue corta al diám etro en E y

form a un ángulo de 30° con éste. S i la distancia de E 17 .

alcentro es de 2 m . ¿C uánto m ide C D ? D

E n una circunferencia se trazan A B y E F d os cuerdas secantes en Q ,de m od o qu e E F b iseca a A B . S i E Q y E Q m iden 8 u y 18 u en ese orden .C alcular elvalor de A B .

A

E

B

C

15.

18 .

S obre el arco A B de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero AB C , se ubica un punto P, tal que : A P = 3 u y PB = 5 u. C alcule :A B + PC .

19 .

E n un triángulo acutángulo A B C se trazan las alturas

C alcule PC, si:C D = 3 u y AB = 12 u. "P" es punto de tangencia. P

D

A

14 0

C

B

A H y C E , tal que : B E = 2 u, C H = 3 u y B H = 5 u. C alcule A E.

TRILCE 20 .

(B C //A D ) isósceles, tal

Se tiene el trapecio A B C D

23.

que : A C 2  C D 2  4 5 u 2 . C alcule el producto de las bases.

En un triángulo AB C m ) A B C = 60°, cuyo incentro es "I" y AB + B C = 12 u. C alcule O B . (O circuncentro del triángulo A IC ). a) 6 3 u

b) 6 u

d) 4u 24 .

c) 12 u

e)

4 3u

E n la figura, calcule A B , si : PB = 3 u y BQ = 12 u. (O es centro y C punto de tangencia).

Q

Pro blema s pro pues to s 21 .

E y F son puntos de tangencia. M arcar al relación correcta :

C

O

B

F

P

A a) 2 u d)6u

B

a)

22 .

25.

E

A

AB3



A E3

BF

3

b)

AB2



AE2

BF

2

c)

AB2



A E .B F

d)

AB



e)

AB



c) 5 u

En elgráfico : A P = 8 u, PB = 1u y m

C = 90°.

B T

P

A

C

 BF

2 A E .B F

a) 4 2 u

b) 3u

AE

d) 2 2 u

e) 2u

 BF

E n la figura, A es pun to de tangencia. AF = BM = MB. C alcule A M ,si:FL = 1 u, LG = 8 u.

26 .

c) 3,5u

Ind icar elvalor de verdad de las siguientes relaciones, (O  Q ).

R

A

c

O Q

a

F

M G

I. B

II. b) 3u e)6u

b

d

L

a) 2 u d)5u

 ) AB

C alcule B T.

A E .B F AE

b) 4u e)8u

a c



a2

c) 4 u



b d

b2

2 2 c d

R2



4

III. 2 R  a  c a) FFF d)FV V

b)V V F e)FFV

c) VVV

14 1

Geom etría

27 .

31.

En el gráfico :

2 uy

M C = 12 u y Q C = 8



M

D

= 45º.C alcule D M .

S e da u n cuadr ilátero A B C D inscrito en un a circunferencia (com o en el gráfico), con diagonales que se intersectan en P. C alcule el valor de :

C

A P .P C P D .P B D



A

a) 6 u d)5u 28 .

C

B

Q b) 3u e)4,5u

c) 4 u

B A

E n el gráfico, P es punto d e tangencia, AB = 1 u ,BC = 6 u y C D = 5 u. 2

C alcule : (P B )

 (PC

a) 1/4 d)1/3

2

) .

b) 1 e)3

c) 1/2

D P

A

32 .

C

Según el gráfico : A B = 15 cm ,C D = 8 cm .C alcule BC .

B

A

C

B a) 40 u2 d) 46 u2

b) 36 u2 e) 30 u2

c) 42 u2

D 29 .

En el gráfico M2 N es diám etro, O P = 2 u y PQ .PS= 60 u . C alcular la longitud d el radio de la circunferencia. a)11cm d)17 cm

M

R

b)13cm e)19 cm

c)15cm

Q

S

P

33.

O

En el gráfico,A B = 5 cm ,BC = 4 cm . C alcule C D .

T D B

C

A

N a) 7 u d)8u 30 .

b) 6u e)5u

r

c) 4 u

E n el gráfico, D es pun to d e tangencia, D E = 4 u y B F = 2 u. C alcule FG . B

a) 3cm d)6cm

D F

G A E

a) 3 u d)6u

14 2

b) 4u e)8u

c) 5 u

b) 4cm e)7cm

c) 5cm

TRILCE 34 .

E n la figura B y C son pun tos de tangencia. S i :

38 .

A E = 8 u, EC = 4 u. C alcule C D .

G raficar a una sem icircunferencia d e diám etro A B . Trazar las cuerdas A F y B E q ue se intersectan en "Q ". C alcule el valor de FB , sabiend o que :

B

AQ = 8 dm ,Q F = 4 dm ,Q E = 6 dm .

a) 60º

A

E

C

d)

2 3 4 3

6

b)

10

e)

4

11

3

c)

4

7

3

16 3

D

a) 1 u d)4u

b) 2u e)5u

c) 3 u

39 .

L os centros de la circunferenci a inscrita y circunscrita a un triángulo son I y O en ese orden. L a prolongación de IO co rta a la inscrita en P y a la circunscrita en M ,

35 .

E n el gráfico, calcule Q N .

al pro lo n gar O I co rta a la in scrita en Q y a la

("T " punto d e tangencia), PT = 9 u, E N = 3 u.

circunscrita en N . C alcule el valor del inradio, si : PM = a y QN = b.

P

T

a)

a b

E N

a) 3u d)4,5 u

a2

c)

Q

M

40.

b)3,5u e)5 u

b)

3 

2

b2

2 ab

a2

e)

c)

ab 

ab

b2

2

C alcule :O Q .Si :AP = PS = PQ .

c) 4u

B S

36 .

E n elgráfico, B es punto de tangencia. A B = 6u y A P = 4u. C alcule PQ . Q

B Q

P

A A 

O1

O

a) a) 4 u d)8u

b) 5u e)9u

En

la

R

siguiente

figura

se

m uestra

u na

sem icircunferencia d e centro O y radio R . S iendo M B el lado de un polígono inscrito de 18 lados. A N = M P = R .O P = 5u . C alcule M N en función de

41 .

5

b)

5

c) 6 u d)

37.

O R



R 2

( 2

 1)

e)

R

3

c) R ( 2  1)

3 R 2

( 2

 1)

C alcule :A T,si: m ) A BH = m

 )

ACB y

B = 8. (T es punto d e tangencia).

R.

B N M A

R

P O

B

H

A a)

d)

25  R 2

25 b)

R 25

 2R

R

2

e)

25

R

R2 R

2

c)

C T

25  2 R R a) 4 u d)12 u

b) 6u e)16u

c) 8 u

2R 14 3

Geom etría

42 .

E n el gráfico : P y Q son pun tos de tangencia.

46.

Si : A B = 6 u, B Q = 2 u, B C = 3 u, calcule EB .

D elgráfico:AO = O B; C D = 3 u;G D = 4 u y FD = 1u. C alcule D E .

A

P

E

G

C

Q B

A

F

E

C B a)0,5u d)2u 43 .

b)1u e)1,2u

c)1,5u

a)2u d)3,5 u

E n elgráfico, calcule A B , si :

47 .

AL = 5 u y LC = 4 u.

c)2,5u

E n un a circunferencia d e 16 cm de diám etro se traza una cuerda T D de 1 2 cm y po r T una tangente T P a

(A y D son puntos de tangencia).

la circunferencia, siendo P D un a secante que p asa por el centro de la circunferencia. L a distancia de P a

B

la circunferencia será en cm . a)52cm d)58 cm

A

48 .

C

L

O b)2,4u e)3 u

b)54cm e) 50 cm

c)56cm

E n elgráfico : L 1 //L 2 ,AP = 10 u y PC = 8 u. C alcule C Q .

O

L1

D

L2 C

a)18u d)30u 44.

b)20u e)35 u

Q

c)25u

P

E n un a circunferencia se trazan los d iám etros perpendiculares A B y C D que se cortan en O , luego se trazan las cuerdas BE y B F,las cuales se n i tersectan

A

B

con C O y O D en M y N respectivam ente. S i elradio a)10u d)16u

de la circunferenci a m ide 1 u. C alcule :

(B M )(B E

 (B F )(B N

) 49 .

a) u 1

b) u 2

d) 4u

45 .

e)2

c)

N

M

a) 4u d)10/3 u

14 4

b) 5u e)14/3 u

 )

BC D = 120°,BC = 6 u y C D = 4 u.

C alcule BD .

P

O

G rafique al cuadrilátero inscriptible A B C D , de m od o AB = BD ,m

. A B es diám etro.

A

c)11u

que :

2 u

2 u

Si:AP = 8 u,AM = 6 u y C alcule M N .

b)12u e)18u

H

c) 7/3u

B

a) 2 11 u

b) 213

u

d) 2 17 u

e) 2 19 u

c) 2 15 u

TRILCE 50 .

E n el gráfico, P y T son puntos de tangencia.

54 .

P

A y B son puntos de tangencia. Si :E P = 6 u y EF = 4 u. C alcule FG .

S i : A B = a y B D = b, calcule elvalor de B C .

D G

A

C B

F E

T

A

P

a)

d)

51 .

ab

ab

e)

ab

c)

2b  a

B

2 ab a)12u d)20 u

ab

b)16u e)22u

c)18u

2

( a 

b)

55 .

ab

E n un trián gulo inscrito en un a circunferencia, las sagitas corr espondientes a cada lado m ide 1 u, 2 u y 3 u. C alcule la m edida del m enor lado del triángulo. a) 5 u d)8u

52 .

b)

2a  b

ab

b) 6u e)9u

E n elgráfico : N P = 10 u,N O = 15 u,AM = M B = 7 u. C alcule M T, siT es un punto de tangencia.

B

M

A

c) 7 u

T

E n u n triángulo rectángulo A B C recto en B , se traza la P

ceviana B D = 6u. S i los inradios de los triángulos

N

E

F

O

A B D y C B D son iguales, calcular el producto de los exradios relativos a los catet os. a) 15 u

2

b) 18 u

2

e) 36 u

d) 30 u 53 .

2

c) 24 u

a) 5u d)15 u

2

b) 10u e)16u

c) 12u

2

56.

S egún el gráfico, calculr "r" en función de "x" e "y". S i : "x" e "y" tienen valores m áxim os.

D e la figura,AO = O B; O P = 1u;PQ = 3u. (M , N y T, puntos de tangencia). C alcule : B Q . Q C .

C

A y x

T

r

A

M

B

O

Q P

x y a) 2 xy

b)

d) 2 2xy

e)

2

B

O

c) 2 xy

N

x y 3

a) ( 2

 1)u

c) 4 (2 2 e) 5 ( 2

2

b) 2( 3

2  1)u

 1) u

 1)u 2

d) ( 2 2  3 ) u 2

2

14 5

Geom etría

57.

U na c uerda que m ide 2m pertene ce a una circunferencia de centro O . D icha cuerda es dividida en m edia y extrem a razón por un punto M . C alcule el radio de la circunferenci a, sabiendo que el punto M dista 1 m del centro O .

59.

C alcule M D ,si:M E = 6 u y 2(A M ) = 3(C M ).

C

D

4

4

M

5

( 5  1) m a) 2

b)

c) ( 5  1) m

d) 2 ( 5  1)m

m

73 5

A

a) 1 u e)

60 . 58.

b) 2u

d)6u

11  7 5 m 73 5

c) 3 u

e)4u

E n elgráfico: A y B son pun tos de tangencia. Si :D A = a y EB = b.

En el gráfico : AH = 12 u ,H B = 4 u y BN = 6 u. C alcule O N .

P

F

E

E

D N

A

d) 4 3 u

b)

5 3 u

H

c) 6 3 u

e) 5 2 u

a2

2

b)

a2

 ab  b

c) a 2  2ab  2 b 2 d)

a2

 ab  b 2

a)

e)

14 6

B

A B

O

a) 5u

B

E

O

a

2

 ab  b

ab

2

2

TRILCE

Claves 2 1.

b

41.

c

2 2.

c

42.

b

2 3.

e

43.

d

2 4.

d

44.

b

2 5.

b

45.

e

2 6.

d

46.

c

2 7.

c

47.

c

2 8.

d

48.

b

2 9.

d

49.

e

3 0.

d

50.

a

3 1.

b

51.

b

3 2.

d

52.

e

3 3.

d

53.

d

3 4.

b

54.

d

3 5.

d

55.

d

3 6.

b

56.

c

3 7.

d

57.

e

3 8.

c

58.

e

3 9.

c

59.

e

4 0.

c

60.

b

14 7

Geom etría

14 8

TRILCE

C a pítulo

POL GON OS RE GULA RES

13 PO LÍGO NO S R EGULA RES A

II I.

Hexágo no Re gula r

º H

l

n

B

R º

l

n

R

º

O

l

E

En el AO B: 6

A

R

º= 60°

O

=

m AB = 60 ° l6 

60°

R

R

B

D

C C

IV.

*

Polígono regular A B C ......, de n lado s

*

Ce ntro :O

*

Circunradio : R

* * * *

A rcoo

 )

Oc tó gon o R egu la r

A

C entral:

º 

En el A O B :

R

36 0 º n

45°

O

Lado del polígono inscrito : l n A potema : O H Elem ento representativo : A O B

l

l8

8

l8

R

2 2



R2



2R 2

 2 RCos

45 

2 2

2R 2

R 2 2

°=

I.



B l8 

CÁLCULO D EL LADO DE POLÍ GON OS REGULARES MÁS USUALES

2

R

CÁLCULO DEL APO

m AB = 45°

TE MA (Ap)

Triáng ulo Eq uil áte ro C º=

=

120° l3

l3 

l3

O

R

O

Ap2 l

l n

R 3

n

Ap

2





R2

R

Ap2

B





4R 2

l n2

-l

4 n2

4

2

60° 60°

30°

A

m AB = 12 0°

En el A O B :

A R A potem a

En AO B:

1 2

4R 2

l

n2

B

R 3 2

II.

DI VISIÓ N D E UN SEGMENTO MA RAZÓ N

C u ad r ado

EN MED IA Y EXT RE-

Por defi nición : D

=

90°

l

l



O

4

R A

C

4

= m A B = 90° l4 

R l

x2

En el AO B :

B

R 2

entonces,la solución es :

l

A

x

C

(AC> CB)

 l (l  x)

B x

l(

5 1) 2

4

º

*

ó n áurea de A B . A C (o sea "x")es la secci

*

( 5 1) 2

se le deno m ina núm ero áu reo. .

14 9

Geom etría

POLÍ G O N O S REGULARES

A rco o <) central

Triángulo

120°

l3 

R

3

C uadrado

90 °

l4 

R

2

H exágono

60 °

l6 

R

Pentágono

72 °

l

 R 2

10  2 5

45 °

l8 

D ecágono

36 °

l 10 

R( 5

D odecágono R egular

30 °

l 12 

R

x

R

2

2  1)/2

2 3

Si x es la secci ó n áurea de A B . x

B R : circunradio

15 0

5

O ctógono

l

A

L ado



l ( 5  1)/2

TRILCE

Tes t de apr endi zaj e pr el iminar 01 .

S i: "O ": centro, "T ": punto de tangencia. Calcular: "x".

04 .

S i:

AB A

x l

 l3

; AD

 l6

;BC

 l4

B

T

C

6

O R

D

C

A

E nton ces, C D es:

02 .

05.

D el gráfico, calcular :"x". l

6

Si: A B

 l3

;CD

 l10

. E ntonces,x° m ide:

A C

x

x°

O

P

l

D

3

R

B

03 .

C alcular "x".

06 . l

l

8

Si:R = 6, A B

 l3

, enton ces, O M m ide :

A

M

5

B O R x

15 1

Geom etría

07 .

C alcular: x°, si : A B

 l4

; AD

.

 l3

10.

D el gráfico, l 4



4 , calcula r el ra d io d e la

circunferencia. B A

C

x

l

A

B 4

O R

D

08.

A B //C D , m ) A E C  14  y A B es el lad o d el pentágo no regular inscri to en la circunferencia. H allarm ) A E D . E n la figura m ostrada se cum ple:

Practi quemos : A

B

C

D

11 .

¿C uál es elpo lígono regular cuyo lado es el do ble de su apo tem a?

12 .

C alcular la relación entre el inradio y circunradio de un triángulo equilátero.

13 .

E n un pentágono regular A B C D E ,se traza B E y A C

E

09. H allar : m ) A B C . l

A

O

3

B

l

4

R C

15 2

que se in tersect an en "F". S i:E F del pentágono.

7

, calcular el lado

TRILCE 14 .

E n u na circunferencia d e radio R , se tiene una cuerda

19 .

C alcular la lon gitud de una d e las diagonales de un pentágono regular cuyo lado m ide 2.

20.

Si el lado de un pent ágono regular m ide ( 5  1) m etros, hallar la sum a de las longitud es de tod as sus diagonales.

A B que m ide R

3 . ¿D e qué polígono regular el segm ento A B es un lado?

15 .

U n trián gu lo eq uilátero está in scrito en un a circunferencia de radio 6. H allar ellado delhexágono regular inscri to en el triángulo.

16 .

D iga cuánto m ide el lado de un hexágono r egular circunscrito a una circunferencia de radio iguala 4 3 .

Pr oblemas pr opu es to s 21 .

E n u n triángulo A B C inscrito en una circunferencia, se tiene que : A B = l3; A C = l4. C alcular la m edida dellado B C ,si la m edida del radio de la circunferenci a es 2. a)

3

2



d) 2  3 17 .

U n cuadrado y un hexágono regular se inscriben en una m ism a circunferencia; la razón de sus apotem as es:

22.

18 .

E n una m ism a ci rcunf a, elicoci entre e del mm et del hexágono regul arerenci ci rcunscr to ent el perí perí etro ro del hexágono regular inscrito, es de:



c) 6

2

b) 18 e)48



3

c) 20

D ado un d od ecágono regular inscrito en una circunferenci a de radio 4 cm . H allar elperím etro del polígono que se obtiene al unir los puntos m edios de sus lados. a)12cm d)30 cm

24 .

6

e) 2 3

S e tiene u n o ctóg on o regular inscrito e n u na circun ferencia d e rad io igu al a 3 2 . H allar el perím etro d e aquel polígono que se obtiene al unir consecutivam ente los puntos m edios de sus lados. a) 12 d)24

23.

b)

b)18cm e)36 cm

c)24cm

D ado un cuadrado de lado "L ",a partir de cada vértice y sobre cad a lad o se tom a un segm ento "x", de tal m anera que al retirarlos y unir los extrem os libres se form e un octágono regular. H allar "x". a)

L 2

(2  2 )

b)

L 2

(2  1)

d)

L 2

( 2

e)

L 2

( 2

 1)



c)

L 2

(2  1)

2) 15 3

Geom etría 25.

En un hex ágono regular A BC D EF de lado as 13 , l prolongaciones de la diagonal A C y el lado E F se cortan en "P". Hallar PD . a) 10 d)13

26 .

b) 11 e)6,5

7(m ) BAC ) = m ) ABD , AC =

32 .

2 5 . C alcular el

radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono.

27 .

a) 10  2 5

b)

d)

e) 10  2 5

1

c) 5

2 3

b)

d) 9 3 m

6 3 m

c) m9

e) 8 3 m



d)

b) m2

L 2n



2R 2

R

4R



e)

L 2n



2R 2

R

3R

2 Ln

L2n

U na ventana cuadrada d e lado 60 cm tiene la form a d el d iseño da d o. L as curvas son arcos d e circunferencia. E ntonces, la longitud de fierro usado en la construcció n de la ventana, es:

a) 12 0(1  2



c) 240 (1  2

 ) m

2 ) m

e) 120 (2  2



b) 120 (2  2 d) 240 (2  2 2

 ) m  ) m

2 ) m

2 m

c) e) 22

E n la figura,eltriángulo A B C es equilátero, M es punto m edio dellado B C y D es punto m edio delarco A C . S i x e y representan las lo ngitudes de los segm entos D M y M E respectivam ente, hallar x/y. .

3m

m

A

H allar el lado de un po lígono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm , sise sabe que su apotem a es la diferenci a del lado del polígono con el radio de la circunferencia circunscri ta. a) 7cm d)6cm

15 4

33 .

2 2  3 m . H allar la longitud FB .

a) m1

31 .

d)

E n un triángulo rectángulo A B C recto en B , se traza la

AC

30 .

2R 2  R 4 R 2  L2n

1

ceviana B F, tal que : A B = FB , m ) FB C = 60°; y

29 .



U n trián gu lo eq uilátero está in scrito en un a circunferenci a de radio 2m . C alcular la sum a de las alturas del triángulo. a) 6m

28 .

L 2n

c) 12

E n un p olígono regular A B C D EF... se cum ple que

5

c)

b)8cm e)5cm

c) 9cm B

Se tiene un cuadrado de lado 8 2 . S i a partir de cada vértice se dism inuye una cierta longitud "x" se form arán en cad a esquin a trián gu lo s rectán gu lo isóscel es. E lim inándolos qu edará un polígono d e 8 lados. H allar "x" para que el polígono resultante sea regular. a) 8 (2  2 )

b) 8 ( 2

d) 8 ( 2

e) 8 (2 2

 1)

L 2n



2R 2

R

b)

L 2n



4R 2



L 2n

34.

 4R

2

c) 4

Los lados A B y BC de un triángulo A B C m iden 2m y ( 5

 1)m

a)20° d)30°

2 Ln

b) 2 e)7/3

, respectivam ente. C alcular la m ) A , si :

m ) C = 18°.

 1)

4R 2

C

M E

a) 5/3 d)8/3

c) 8 (2  2 )

 1)

U n po lígono regular de n lado s, cuyo lado m ide L n está inscrito en una circunferenci a cuyo radio m ide R . C alcular la longitud del lado del polígono regular de doble núm ero d e lados que el anterior (L2n ), nsc i rito en la m ism a circunferenci a. a)

D

35 .

b)45° e)72°

c)15°

Si el lado del dod ecágono regular A B C D E FG H IJKL m ide a) m 1 d)4m

6  3 3 m , hallar la longitud A E . b) 2 m e)5m

c) m 3

TRILCE 36 .

S ielperím etro d elrectángulo N E LY es 180 cm ,ind icar el perím etro d e la región som breada. E

42.

A B C D es un cuadrado de lado 2 dm , A , B y D son centros. C alcular elvalor de P Q .

L

B

C P

N

37 .

Q

Y

a) 35  cm

b) 36  cm

d) 38  cm

e) 37  cm

c) 39  cm A

H allar la lon gitud del lado d e un d od ecágono regular sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita en élm ide 1cm .

a) (2  3 )c

b)

c)

d) 2 2  3 dm

2 dm

2

1

2

c) ( 2  3 ) cm

) dm

d) 2(2  3 ) cm 43 .

e) (2  3 ) cm 38 .

2  3 dm

a) 2 2  3 dm

e) ( 5

( 2  3 ) cm b)

m

D

E l cateto m eno r d e un triángulo rectángu lo m id e : ud de la bisectriz interna 2  2 , y es igual a la longit

E n la figura "P", divide al diám etro A B en m edia y

relativa a la h ipo tenusa. H allar la lo ngitud d e la

extrem a razón. C alcular PT, si: R

hipo tenusa.



2 5 .

T

a) m 1 d)4m 44.

R A

a) 0,5

b) 1

d) 2

e)

c) m 3

A B C D es un cuadrado cuyo lado m ide

4 2 3 .

C alcular l a distancia de "F" al punto m edio "E " delFD .

B

P

b) 2 m e)6m

B

C F

c) 1,5

5 E

39 .

E n un polígono regular A B C D E FG ,si:

1 AD



1 AC



1. 7 A

C alcular A B .

6a) d)9 40.

7 b) e)10

En un eneágono reg ular ABC DEFGHI secumple qu e: 45. AB + BD = 14m. Calcular BG. a)3m d)14m

41.

8c)

b)7m e)21m

d)

b2

ab a b

b)  ab

e)

a2

 ab

b)

2 2

d) 4

e)

4 3

c) 6

En un triángulo AB C , donde : m

 )

A =

45° y

m ) C = 15°, se trazan las alturasA H y C Q . H allar: Q H , si: A C = 20 m .

c)11m

a)10m

En unpolígo no regular de13 lad osABCDEFGHIJKM. AD = a, AE = b. Calcular JD. a)a+ b

D

a) 2

d) 5m 46 .

c) a 2

b

2

b) e)

5 2 m

c) 2( 5 ) 1 m

10 2  2 m

D ado un triángulo A B C obtuso en "A ",de talm anera: A B  2 , B C  5  1 y la m ) C  18  .D eterm inar la m ) B . a) 18° d)54°

b) 9° e)36°

c) 27°

15 5

Geom etría 47 .

C alcular el lad o d el po lígono regular d e 1 6 lad os circu n scrito

a

un a circun ferencia

51 .

d e rad io

C alcular la flecha correspond iente a una cuerda que subtiende un arco de 144° en una circunferencia de 8 unidades de diám etro.

2 2 2 .

a) 2( 2 a) 4 2  2  2

b)

c) 2 2  2  2

d) 2 2  2  2

e) 48 .

d)

2 2 2 52.

2 2 2

m anera que: PD y PF m iden "m " y n 2 . H allar:

49 .

53 .

c)2m -n

2



2

2

a

aR b) 2 2R e) a

2

c) R a

La sección áurea del segm ento A B es B C , la sección de A C es A M , la secci ó n áurea de A M es A F. . S i : B C = 4, calcular AF.

e) 2n - m

E n la figura,calcular AB , si : B C=

e)

d) R  a 2

"PH ". b)m + n

c) 2 

b) 5  5

S e tiene u n po lígo no regu lar inscrito en un a circunferencia d e rad io R , cuyo apotem a m id e "a" un id ad es. C alcular el ap o tem a d e o tro po lígo no regular del doble núm ero de lados que el anterio r, si

a) R 2

circunferencia en el arco B C , se ubica el punto "P" de

mn d) m  n

 1)

1

cuyos perím etros son iguales.

En u n octógono regular A B C D E FG H inscrito en una

a)2n+ m

5

a) 2 ( 5

5  5 . (B , punto de tangencia).

d) 54.

B

5

 1)

1

b) 2( 5

 1)

e) 3( 5

 1)

c) 4 ( 5



2)

En un dode cágono regular A B C D EFG H IJKL , A E y C F se intersectan en P.C alcular PE , si: B C = 2 2 .

18º A

a)

5 1 2

c) 3 ( 5 e) 50 .

C

 1)

2 ( 5 2

b)

5

d)

5( 5

a) 1 d)

1

55.

 1)

b) e)

3

5

En un rom boide AB C D , se cum ple que BC = AC , hallar:B D , si: m ) C AD = 30° y A D

5 2 3m .



 1)

E n la figura,A B C D E es un pen tágon o regular.C alcular E P, si:M N = 2. 56 .

M

B

a)

2m

d)

13 m

b) 2 3 m

E n u n triángulo rectángulo A B C , el ángulo "C " m ide es i gual a 2 4  2 2 m .

H allar la m enor altura del triángulo.

N

D

a) m1

b) m2

d) 2 2 m 57.

A

c) 3 2 m

e) 2 6 m

11°15' y la hipotenusa A C

C

15 6

c) 3 2

2

P

E

a) 2( 5



2)

b) 2 ( 5

 1)

c) 4 ( 5

 1)

d) 8 ( 5



e) 4 ( 5

 1)

c) e)

2m

2 2 m

Si A B C D es un cuadrado cuyo lado m ide 180 cm , hallar elperím etro de la región som breada. B

C

A

D

2)

TRILCE

58 .

a) 53  cm

b) 55  cm

d) 57  cm

e) 58  cm

c) 56  cm

60.

En la figura, O P



2 2 2 .

C alcular B C .

Se tiene un octógono regular A B C D E FG H inscrito en una circunferencia de radio R . H allar la distancia de A al punto m edio d e E D .

B A

11°15' P

a)

R 2

10



3 2

c) 2 R 2  2

O

b) 2 R 2  2 d)

R

8



C

3 2

2

e) 2 R 2 59 .

E n u n triángulo A B C , se trazan las cevianas C F y A E cum pliéndo se qu e: , m ) A FC  m ) A E C  13 5  y, m ) B  12 0  . C alcular EF,si: A C = 2 2 .

a)

2 2 2

c) 2  2

b) 4 2  2 d) 2 2  2  2

e) 2 2 a)

3

2

c) 2  3

b) 2 2  3 d)

2 3

e) 2 2  3

15 7

Geom etría

Claves

15 8

21.

b

4 1.

e

22.

d

4 2.

d

23.

c

4 3.

b

24.

a

4 4.

d

25.

d

4 5.

a

26.

a

4 6.

c

27.

c

4 7.

c

28.

a

4 8.

e

29.

b

4 9.

e

30.

b

5 0.

a

31.

c

5 1.

b

32.

b

5 2.

d

33.

e

5 3.

c

34.

d

5 4.

b

35.

c

5 5.

d

36.

e

5 6.

a

37.

d

5 7.

a

38.

d

5 8.

a

39.

b

5 9.

e

40.

d

6 0.

d

TRILCE

REAS DE LAS REGIONES POLIGONALES Y RELACIONES DE REAS

Capítulo

14 ÁRE A D E LA REGIÓ N TRIANGUL *

AR

ÁR EA EN FUNCIÓ N D E LOS RAD IOS *

Fo r m a Básic a

C o n el I n r adi o V álido para todo polígono circunscrito.

h A = p .r

b

r p : sem iperím etro *

h

C o n el C i r cu n r adi o

A

*



b

a

b

R

b .h 2

A

a .b .c 4R

c

Form a Trig on ométric a *

b

A



C o n l o s Ex r adi o s

a.b .Sen  2 B

ra

rb



a *



b

a c

A

Fór m u l a de He r ón

rc

C

p : Sem iperím etro a

b

c A 

p(p  a)(p  b)(p  c)

A

 (p  a)r a

A

 (p  b)r b

A

 (p  c)r c

A



r.ra .rb .rc

1  1  1  1 r ra rb rc

r : Inradio del triángulo A B C .

15 9

Geom etría CASO S PARTICULARES *

*

Tr ap ec i o

Triáng ulo E qu iláte ro

b A

h l

l

A



l



(B  b) .h 2

2 3 4

B l

* *

Cu alq ui er cu adril áte ro

Triáng ulo R ectáng ulo A =

a .b 2

b

b

a

b y d longitudes de las diagonales



d

A



A = m .n

b.d 2

.Sen 

RE LA CIO NES DE ÁR EAS Pri mera Relac ión

n

m

B A ABF = A F A FB C FC

ÁREA D E LA REGIÓN CUA DRAN GULA R *

P ar al el o gr am o A

C

F

Co nse cuencias :

h

*

*

3n

b

3A S

5n

2S

5A

A = b .h

b

*

Cu adri láte ro I n scri to

*

*

b a

2b

S b

c

S S

S

S S

b

Ob se rvaciones : d

p : Sem iperí m etro A

A



(p  a)(p  b )(p  c)(p  d ) A A

16 0

A

S S

TRILCE Seg unda Relación

Observaciones : E n el trapecio, se cum ple que:

a

m

A2

A1 

n

b

Si :

ó



Tercera

A1

    180 º  A



2

*

Q

*



P Q

A ABC A PQ R



C

CM D

=

A ABCD 2

M

h2

h1 

C

B

A

~

Si :  A B C ~

= a.c

a .b m .n

Relación

A

A

a c

B



*





P

R

A

D

R



AC 2 PR 2



h1

2

h2

2

* 

k2 x= y y

x

V álido para tod o p ar de po lígono s sem ejantes.

Cuart a Relación En to do cuadr il átero convexo

*

y

A .B = x.y B

A

P

Q

P = Q

x

En t odo cuadri látero B C x=

x

A

A ABCD 2

D

16 1

Geom etría

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01.

E n la figura, eltriángulo A B C es equilátero y M N //A C . H allar elárea de la regi ó n triangular AB N , si: A C = 12 y AM = 10.

04 .

A B C D es un trapecio cuya área de su región es igual 3(7  3 ) 2 m . 2 H allar la abscisa del vértice C.

a

B

Y N

M

B (2;3)

A

02.

A 0 1

C

H allar elárea de la región triangular A C N , si : R = 20 y PD = 24.

05.

C

C

60° D

X

E n la figura,elárea de la región deltriangular O A D es igual a los 5/16 del área del trapecio isóscel es OA B C . Las coordenadas del punto m edio del segm ento A B son: Y

R A

N

O

D 10

B A

B

P D 0

03 .

E n la figura se tienen un cuadrado cuyo lado m ide 2, si M y N son puntos m edios. H allar elárea de la regió n som breada. (T : punto de tangencia).

06.

2

8

X

C

H allar el área de la región del triángulo A B C , si : A D = 13, A B = 5 y el triángulo B C D es equilátero.

C B

N

C

B

T M

A A

16 2

D

D

TRILCE 07 .

La siguiente figura está form ada por do s cuadrados 10  m 2 . de lado "a".Si el área del triángulo A B C = 7 C alcular elárea de la regió n som breada.

10.

E n la figura, siel triángulo tiene base "b" y al tura "h", entonces,el área de la región del rectángulo inscrito es:

a/2

h

C x A

08.

B

a

a

2

2

b

E n la siguiente figura,M ,N ,P,Q ;son los puntos m edios de lo s lad os d el cuad rad o A B C D . S i el lad o d el cuadrado A B C D es 25 m , calcular elárea de la región som breada. M

A

B

11.

C alcular elárea de la región de un triángulo equilátero, sabiendo que elradio de la circunferencia inscrita m ide 2.

12.

Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de igual longitud m iden b cm . Para obtener un triángulo con la m ayor área posible, el tercer lado debe tener una longitud de:

13 .

E l trián gu lo, qu e pu ed e ser in scrito e n un a

N

Q

D

09 .

Pr act iquemos :

C

P

H allar elárea de la región triangular PQ C , siA B C D es un cuadrado y (PQ )(A B )= 20. Q

B



C

sem icircunferencia de radio "r", tiene una regió n cuya área es m áxim a y su valo r es:



P

A

D

16 3

Geom etría 14 .

E n un trián gulo rectán gulo d e hipo tenu sa 50 u y, 19 . donde el cateto es eldoble del otro, calcular el área de la región del triángulo.

E n un triángulo A B C ,isósceles con A B  B C , la altura que parte de B m ide 8 m y elperím etro 32 m . E lárea de la región triangular es:

15.

H allar la razón entregi re las eas de unasi regi óas n tri angul ar equi látera y una ó n ár cuadrada, est regi ones son isoperim étricas.

Si en un triángu lo las alturas m iden 12cm ,2 15cm y 20cm , entonces,el área de su región en cm es:

16 .

E l área de la región d e un cuadrado es 100 m 2 ; está inscrito en una circunferencia. ¿C uál es el área de la región delcuadrado que se puede inscribir en la m itad de la m ism a circunferenci a?

20 .

Pro blema s pro pues to s 21.

Los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo m iden 4 y 8. H allar elárea de la región del triángulo. a) 100 d)80

22. 17.

Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriorm ente dos a dos.H allar elárea de la región del triángulo que se form a al unir sus centros,sise sabe que elproducto de susradios es8 3my la sum a d e sus radios es 6m .

18.

C alcular elárea de la regió n de un triángulo equilátero que tiene por altura el radio de la circunferencia circunscrita a otro triángulo equilátero de 18 m2 de área de su región.

24.

c) 32

E n un triángulo, sus exradios valen 2u, 3u y 6u. H allar el área de la región triangular. 2 a) 12 u 2 d) 16 u

23 .

b) 12 e)16

2 b) 2 u 2 e) 8 u

2 c) 6 u

Tres lados de un cuadrilátero convexo valen 3u, 4u y 3u. ¿C uál de los siguientes valores puede ser el área de la región cuadrangular? 2 a) 13 u

2 b) 14 u

2 d) 18 u

2 e) 26 u

2 c) 15 u

E n un sem icírculo, se encuentra inscrito un cuadrado "S" de 120 cm 2 d e área.D eterm inar elárea de la regió n del cuadrado inscrito en todo el círculo.

S

16 4

a) 240 cm 2

b) 300 cm 2

d) 220 cm 2

e) 150 cm 2

c) 600 cm 2

TRILCE 25 .

E n un triángulo A B C se traza la circunferencia exinscri ta rel ativo al lado B C , tangente en M y P las prolo n ga cio n es de lo s lad o s A B y A C respe ctiva m en te, sien d o "O " cen tro d e d icha circunferencia. Si : A B = 10, B C = 17 y A C = 21. H allar elárea de la región triangular O M P. a)47,6 d)77,6

26.

b)57,6 e)71,2

33 .

c)67,6

En un triángulo A B C , se sabe que A B = 8, B C = 9. 34 . ¿Para qué valor de A C el área de la región triangular A B C será m áxim a? a) 16 d)

b) 17

c)

145

E n u n hexágono regular de lado L, se unen los puntos m edios de cuatro lados opuestos dos a dos. Luego, se unen los puntos m edios de los lados delrectángulo que se fo rm ó, obteniéndose un cuadrilátero. H allar el área de la región lim itada por este cuadrilátero. 2 a) ( 3 /8 )L

b) (3 3 /4 )L 2

d) ( 3 /4 )L 2

e) ( 3 /2)L 2

D esde el vértice de uno de los ángulos agudos de un rom bo se trazan perpendiculares de 2 cm de longitud hacia las prolongaciones de los lados opuestos. Si la distancia entre los pies de dichas perpendiculares es 3cm . H allar elárea de la región lim itada por elrom bo.

e) 11 5

135

32

27.

b) 75 e)150

30 .

31 .

32 .

36.

c) 12 cm 2

2 . S i las L a b ase d e un trián gulo isósceles es m ed ianas trazadas hacia los lad os congruentes se cortan perpendicularm ente, entonces, el área de la región triangular es : b) 3 e)3,5

b) 4 2 m 2

d) 4 3 m 2

e) 8 3 m 2

37.

c) 2 3 m 2 38 .

Las alturas de un triángulo m iden 6u, 8u y 12u. H allar el área de la región triangular.

d) 455 u

b)

2 . A dem ás, El área de la región triangularesde 150m

32 5

e) 64 5

5

u2

15 u

2

2 c) 16 5 u

3

a)60 m y 5 m

b)25 m y 12 m

c)15 e) 50mm yy206 mm

d)30 m y 10 m

A B C D es un cuadrado. E está en A D y F está en la prolongación de D C , de m odo que E B  FB . Si el área de la región A B C D es 256 y el área de la regió n triangular EB F es 200, determ inar CF.

d)12

c) 1,5

a) 2 2 m 2

2

39

e) 2 6

a) 25 3 /3

E n un triángulo A B C ,se conoce que la altura B H y la m ediana B M trisecan al ángulo A B C . C alcular elárea de la región triangular A B C , si: H M = 1m .

2 a) 24 5 u

35

c) 2 7

12 c)

b) 9 cm 2 e) 10 cm 2

a) 2 d)2,5

30 7

se sabe qu e el segm ento q ue u ne el pu nto de in tersecció n d e las m ed ian as con el pu nto d e intersecció n de las bisectrices es paralelo a uno de los catetos. C alcular lo s catetos.

20 .

La longitud del lado de un c uadrado A B C D es 6 cm . S e construye exteriorm ente el triángulo equilátero C E D y se traza A E . C alcular el área de la región triangular A E D .

d) 8 cm 2

36

d) 5 6 35 .

b) 9 e)18

2 a) 6 cm

b)

c) 90

Lo s lado s de un triángulo m iden 26 , 18 y C alcular el área de esta región triangular. 6a) d)15

29 .

a) 3 7

E n un triángulo isósceles,la base m ide 15 y la altura relativa a uno de los lados iguales m ide 12. C alcular el área de la región triangular. a) 50 d)100

28 .

c) (3 3 /8 )L 2

b) 9

c)

20 3 /3

e) 17 2 /3

D e tod o s lo s rectángu los de p erím etro 2 4 y dim ensiones enteras, las dim ensiones del rectángulo de área m áxim a: a) b) c)

So n 5 y 7. So n 8 y 4. So n 9 y 3.

d) e)

N yo6. puede n determ inarse. 6

Sobre los catetos de un triángulo rectángulo A B C , de longitudes 5 y 7 respectivam ente, construim os dos triángulos rectángulos isósceles AD B y B E C , tom ando A B y B C por hipotenusas. C alcular el área de la región del polígono resultante. a) 30 d)36

b) 26 e)45

c) 28

16 5

Geom etría 39.

40 .

E n un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen una longitud de 50 m y 120 m , se inscribe un rectángulo que tiene dos de sus aldos contenidos por los catetos y uno de sus vér tices est á en la hipotenusa.D eterm inar el área m áxim a de dicha región rectangular. a) 120 0 m 2

b) 150 0 m 2

d) 200 0 m 2

e) 2500 m 2

A

a)L/3,L/2 d)L/5,L

D

45 .

R x C

x S

b)L/2,L/4 e)L/2,0

3 R2

4

d) 2 R 2

2 d) a 7 8

2 e) a 21 4

b) 2

3R2

e) 6

2R2

3

5

2R2

5

46.

a)256 d)144

b)135 e)121

47 .

C

Q

c)128

Sobre cada uno de los lados de un triángulo equilátero se co nstruy en exterio rm en te cua d rad o s, cuy o s perím etros son iguales a 16 unidades. C alcular elárea de la región triangular cuyos vértices son los centros de los cuadrados. a) 16 d) 8 (2 3

b) 

2(2 3 ) 3

3) e) 4 ( 3



2)

a) a2/2

b) a 2/4

d) a2

2 e) a 3

c) 4 (2 3



3)

30°

B

c)

a2 3 4

2

S ea A B C un triángu lo rectán gulo isósceles (m  ) B  90 ). E xterio rm ente, construya el cuadrado AC D E. B E y B D cortan a A C en los puntos "M " y "N " en ese orden. Si el área de la regió n triangular M B N es de "S" cm 2 . C alcular el área de la región cuadrada A C D E. a) 6.S cm 2 d) 12.S cm 2

O

D

M 75°

C

E n elgráfico,hallar elárea de la región som breada, si: PO = 16. (Q ,R ,O  pu nto de tangencia).

A

3

T

c) 4

R

2 c) a 14

S egú n el gráfico, calcular el área d e la regió n som breada; si TB = a. ("T " es punto de tangencia). A

P

16 6

2 b) a 14 2

H allar el área de la región de un po lígono regular inscrito en una circunferencia de radio R , sabiendo que eldoble de su perím etro es igual al perím etro del polígono regular del m ism o núm ero de lados, pero

a) 3

C

2 a) a 7 4

c)0,L/2

circunscrito a la circunferencia dada.

43 .

B

So bre los lado s de un cuadrado A B C D , de lado igual a "L" se l o calizan, a igual distancia de los vértices, los pu ntos P, Q , R y S , que al unirse d eterm ina n el

D

42.

Siendo A B C D un cuadrado de lado "a"; hallar elárea de la región som breada, si A y C son centros de los arcos B D .

c) 1750 m 2

cuadrilátero PQ R S tal com o se m uestra en la figura. E ntonces, los valores de x que hacen que la región P Q R S tenga ár ea m ínim a y m áxim a, son respectivam ente. Q x A B x P L

41 .

44 .

b) 8.S cm 2 e) 24.S cm 2

c) 10.S cm 2

E n una circunferencia, de centro "O " y diám etro A B , se ubica el punto "P", tal que: A P = PB ; se trazan las cuerdas PS y PR y que intersecan a A B en los puntos M y N , se traza R H perpendicular a A B , si : AM = 4;N H = 2 y H B = 1.Ade m ás: m ) SO R = 90º. C alcular elárea de la regió n triangular M N R .

a) d)

5 11 2

u2

17 1 2 u 2

b) 6 13 u 2 e)

2 17 u2 3

c)

3 11 2

u2

TRILCE 48.

Se tiene un cuadrado A B C D , sobre B C y C D se ubican los puntos M y N respectivam ente. Si : B M = 3u; N D = 2u, calcular el área de la región triangular M C N , sila m ) M A N  45  . a) 24 u2 d) 15 u2

49 .

50 .

b) 12 u2 e) 25 u2

a)

2 /3

b) 3 2 /2

d)

2 /4

e) 3 2 /4

c) 2 2 /3

a)50 d)56,9 54 .

U n triángu lo A B C , se encuen tra inscrito en u na circunferencia de radio R ; se traza la altura A H y luego las perpendiculares H P y H Q y h acia los lados A B y A C (en ese orden). Si: PQ = a, calcular elárea de la región triangular A B C . a) aR

b) ( a

d) a 2 R

e) (a+ R )2

a) 2 7 u 2

55 .

B

56 . I

52 .

C

b) 8 6 e) 24

14 u

b)

2

13 u 2

e) 3 21 u

c) 7 2 u 2 2

c) aR

T

d) 12 3

c)53,6

área de la región triangular AB C si el área de los region es triangulares APB , B Q C y A LC son 1 , 2 y 3 u 2, respectivam ente.

En la figura,A B = 7 y BC = 6 y AC = 11. C alcular el área de la región som breada, si "I" es incentro del triángulo A B C . (T, P y R , puntos de tangencia).

A

b)51,12 e)56,4

E xteriorm ente a lo s lad os del triángu lo A B C se construyen los triángulo rectángulo A PB , B Q C y A LC , tal que :P C  A B , B C  A Q y A C  B L . H allar el

d)

R )4



a) 6 10

Si los radios de los círculos son 3 y 4, hallar elárea de la región som breada.

c) 6 u2

Las áreas de las regiones del octágono regular y del d o d ecágo no regu lar inscrito s en un a m ism a circunferencia están en la relación de :

2

51.

53.

P

E l área de la región triangular A B C es 5m 2; se tiene una recta exterio r altriángulo a la cual se trazara las perpendiculares A P , B Q y C R . H allar elárea de la región triangular que se form a al unir los puntos m edios de : A P , B Q y C R.

a) 10 m 2

b) 3 m 2

d) 2 m 2

2 e) 2,5 m

c) 3,5 m 2

S i la altura de un trapecio rectán gulo es 6 y sus diagonales son perpendiculares,hallar elárea m ínim a de la región lim itada por eltrapecio. a) 12 d)24

b) 72 e) 8

c) 36

c) 10 5 57.

E n la figura m ostrada, calcular el área de la región som breada, siendo: A B  2 2 m y AB = BC.

D elgráfico,siI1 e I2 son los incentros de los triángulos A B H y H B C , respectivam ente, hallar el área de la región "Sx" en función de S1 y S 2.

B

B

E S1 Sx

A

S12

A C

H

a) S 1+ S 2 d)

S2 I 2

I 1



b) S 22

S1 S 2 2

c) S1 S 2

a) 6 2 m 2 d) (6 3  1) m 2

15°

b) ( 3

C  1)

m2

c) 2 2 m 2 e) 2 3 m 2

S 1S 2

e) S  S 1 2

16 7

Geom etría 58.

En la figura, si A B C D es un cuadrado, C M = M D , calcular elárea de la regi ó n som breada, siendo: A B = 4m . (T : punto d e tangencia).

C

B

M

T Q

D

A

a) 2 m 2 d) 6 m 2 59 .

b) 4 m 2 e) 7 m 2

c) 5 m 2

D el gráfico m ostrad o, hallar el área de la región som breada, si : B E = a, E C = b, a 2 + b 2 + ab = 5. A B C D : cuadrado. E

a) 5 d)25

16 8

B

C

A

D

b) 5/2 e)35

c) 5/3

60 .

E n un triángulo A B C inscrito en una circunferencia de centro "O ", se trazan los diám etros A D , C F y B E , las áreas de las regiones triangulares BD C , A FB y A E C m iden 5, 3 y 4m 2 respect ivam ente. C alcular el área de la regió n triangular AB C . a) 10 m 2 d) 18 m 2

b) 12 m 2 e) 15 m 2

c) 14 m 2

TRILCE

laves Claves 21.

c

41.

a

22.

c

42.

c

23.

a

43.

b

24.

b

44.

d

25.

b

45.

a

26.

c

46.

d

27.

b

47.

a

28.

b

48.

c

29.

b

49.

b

30.

c

50.

c

31. 32.

c b

51. 52.

a d

33.

c

53.

e

34.

a

54.

d

35.

c

55.

e

36.

d

56.

c

37.

a

57.

b

38.

d

58.

c

39.

b

59.

b

40.

e

60.

b

16 9

Geom etría

RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES 01 .

Si elárea del triángulo A B C es de 90 d m 2, calcular el área de la región som breada.

04 .

S i el área del paralelogram o A B C D es de 24cm 2 , calcular elárea de la regi ó n som breada.

B

B

C

Q A A

02 .

n

C

2n

E lárea de la región som breada es de 12d m 2 . C alcular el área de la regió n triangular AB C .

05 .

D

M

E l área de la región cuadrangular A B C D es de 48 dm 2. C alcular elárea de la regió n som breada. C

B B

C

A

03 .

¿Q ué fracción delárea de la región deltriangular A B C , representa el área de la región som breada?

A

06 .

D

2

Si el área de la región del triángulo A B C es 36 u , calcular elárea de la regi ó n som breada.

B

B

2b a

3a A

17 0

C

A

b 2c

P

c

C

TRILCE 07.

C alcular el área de la región del trapecio m ostrado. B

10 .

E n la figura, A B C D es un p aralelogram o. C alcular S x .

C 4

B

C S2

S1

16

P

A

08 .

D

Sx

A

2 E l área de la región triangular A B C es 24 m . C alcular elárea de la regió n som breada.

D

Pr act iquemos :

B

c

c A

09 .

b

P

11 .

E n un trapecio cuyas bases m iden 3m y 1m , se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras equivalentes. ¿C uál es la longitud de dicha paralela?

12 .

E n un cuadrilátero convexo A B C D , se tom a el punto m edio M de la diagonal A C . C alcular el área de la región triangular M B D , sabiendo que las áreas de la región de los triángulos A B D y B D C m iden 40 y 60 m 2, respectivam ente.

13 .

Sea un cuadrilátero A B C D ; los puntos m edios de sus lados determ inan el paralelogram o PQ R S; los puntos m ed io s de lo s lad o s de é ste d eterm in an o tro paralelogram o M N LT. Si los puntos m edios de este últim o d eterm inan un rom bo que lim ita una región de 72m 2, entonces,elárea de la región delcuadrilátero A B C D ,es :

a

a b

C

b

Q

Si el área de la región del triángulo A B C es 40 u 2 , calcular elárea de la regi ó n som breada. B a c 3a c A

b

b

C

17 1

Geom etría 14 .

E n un triángulo A B C , se traza elsegm ento B D c on D

18.

H allar el área de las región de un triángulo isósceles A B C , sabiendo que : A B = B C = 30 cm , y que la perpendicular a B C en su punto m edio M , corta a A B en E y que : AE  1 EB 5

19 .

Las diagonales de un trapecio dividen a éste en cuatro triángulos. H allar el área del trapecio, si las áreas de los triángulos adyacentes a las bases son iguales a 2 1,69 cm 2 y 1,21 cm .

20 .

Se tiene un cuadrilátero A B C D , siendo "O " pun to d e

sobre el lad o A C . Tam bién trazam os el segm ento C E con E sobre el lad o A B . S i sab em o s qu e: A B  13 y C D  12 , hallar :Á rea (B D C ) . AC 36 AE 5 Á rea (A E C )

15 .

D ado un triángulo equilátero cuya área de su región es 9 3 u 2 . Se traza dos rectas paralelas a la base,que dividen al triángulo en tres regiones equivalentes. ¿C uál es la longitud de la paralela m ás cercana a la base?

16 .

D ado un triángulo A B C ,cuya área de su región es 18 m 2 , se traza la alturaB H . Si la m ediatriz de A C interseca a B C en N , calcular el área de la región cuadrangular A B N H .

la intersecció n de sus diagonales. Sabiendo que : O A = x,O B = 2x,O C = 8x,O D = 5x,y que elárea de 2 la región triangular BO C es igual a 48 m ; el área de 2 la región del cuadrilátero, enm , será :

17 .

17 2

E n un triángulo A B C , se trazan las alturas A H y C P . C alcular la razón entre el área de la región triangular PB H y el área de la región cuadrangular A PH C , si adem ás : m ) ABC = 53º.

TRILCE

Pro blema s pro pues to s 21.

a) (18 c) (

horizontales son paralelas. Sea : x = área de la región triangular A B H y sea: z = área del cuadrilátero FG C E . Luego, x es: z

A

d) (

) cm 2

 e) (28 4 3 ) cm 2

4

25 .

B

G

20  5 3 4

12  7 3 ) cm 2 8

En la figura, 2AB = A C = C D = D E y las rectas

H

b) (24  7 3 ) cm 2 8

3 )cm 2

4

E l área de la región del triángulo A B C es "S". Si : A M = M B y A E = E F = FC , hallar elárea de la región som breada.

C B D

F

E M

a)1/16 d)1/32 22 .

b)5/72 e)3/32

c)1/14

A

La figura A B C D es un cuadrado de lado "a". E lvértice A se une con los puntos m edios de los lados B C y C D ; luego se traza el segm ento que une los puntos m edios de A B y A D . H allar el área de la región triangular A R Q .

S

A

B

Q M

R

26.

E

a)

S 20

b)

3 S 20

d)

S 8

e)

7S 20

C

F c)

S 10

D ado un c uadrado AB C D sobre los lados B C y C D se tom an los puntos M y N respectivam ente tal que: m ) M A N  45  ; B D intersecaa A M y A N en los

N

puntos P y Q respectivam ente.

D

23.

T

a) a2/9

b) 3a 2/8

d) a2/6

e) a 2/12

C c) a 2/24

S e tiene u n triángu lo A B C inscrito en un a circunferencia. La tangente en A , a la circunferencia, 27. corta en P a la prolongación d e C B ; si: 3A C .C P = A B .A P y el área d e la región triangular A PC es "k" unidades cuadradas. H allar elárea de la región triangular A PB .

Si :{P N }  {M Q }  F ; sila prolongación de A F corta a M N en "k", tal que: A F= 10 y FK = 2. H allar el área de la región triangular M C N . a) 12 d)40

b) 24 e)42

c) 20

D elgráfico : ,A N = N Q .C alcular el m ) T PQ  60  , mTM=mAM área de la región som breada en función de R .

T a) K u 2 3

d)

K 5

24 .

u2

2K

b) 5 e)

3

u2

M

K

c) 7 u 2

O

P

A

B

K u2

N

4

D os circunferencias se encuentran sepa rad as y la distancia entre sus centros, A y B es 8 cm , siendo sus diám etros de 4 y 10 cm , respectivam ente. D e A , se traza una secan te q ue co rta e n R y S a la o tra circunferencia, donde R S = 6 cm . SiP es la proyecció n de R sobre A B , calcular el área de la región triangular RPB.

R

Q

a) 7

3 R2

b)

d) 7

5 R2

e) 18 7 R 2

8 3

2 3R

c) 5 R 2

5

17 3

Geom etría 28.

32 . E n un triángulo A B C , se trazan BP y BQ perpendiculares a la s bisectrices exteriores de los ángulos A y C respectivam ente. Luego, se traza IM perpendicular a A C (I: incentro del triángulo A B C ). C alcular el área de la región triangular A B C , siel área de la región PIQ M 64 u 2. a) 64 u2 d) 128 u 2

29 .

b) 32 u2 e) 24 u2

B

c) 16 u2

C A

G raficar elcuadrilátero A B C D y ubicar M y N pun tos m edios de B D y A C respectivam ente. E n M N , ub icar el pun to P. S i las área s de las reg io n es triangul ares DAP , APB,CPDy CPB on s1 ,S S 2,S 3 y S 4 respectivam ente, hallar la rela ción que cum plen S1 , S 2 ,S 3 y S 4 . a) S 1 .S 3



S 2 .S 4

b) S 1  S 2

c) S 2 .S 3



S 3 .S 4

d) S 2

e)

E n la figura, A , B y C representan las áreas de las regiones som breadas. D eterm inar la relación correcta entre dichas regiones.



S3

 S3 

a) B



b)C =A +B

AC

d)B = 4ABC 33 .

c)

B

C

A B

S1  S 4

C

La figura m uestra al cuadr ado A B C D dond e P C  D Q . Indicar la relación correcta entre las áreas de las regiones som breadas.

D

C

a)A +B =C b)B + C=A c)B +C=2 A d)A + C = B e)A + C = 2B 34 .

A3 P

c) A 3



e) (A 3 )2 31 .

A2

2

1  A1

d) A



S3 S4

A 2 A 1 2

A

A 2 A 1 3  2

 (A 2 )(A 1 )

E n la figura: 5B T = 3A T.C alcular la razón de las áreas de las regiones triangulares BC F y A D E . (T, E y F  puntos de tangencia).

35 .

a) S 1 + S 2 = S 3 + S 4

b) S 1 + S 4 = S 2 + S 3

c)S 1 + S 3 = S 2 + S 4 e) S 1 . S 3 = S 2 . S 4

d) S 1 . S 2 = S 3 . S 4

Si "G " es el baricentro del triángulo A B C y ad em ás (PQ )2+ (PR) 2+ (Q R)2 = 3, hallar la sum a de las áreas de las regiones de los cuadrados m ostrados. Q

B S

C

T G

F A

D

M

B T

P

E

A

C R

D

N

a)3/5 d)9/25 17 4

b)1/3 e)5/8

C

S2

S1

Q

D b) A 3

P

B

A1

a) A 3 = A 2-A 1 2

Si A B C D es rom bo ide, hallar la relación de las áreas :

S1, S 2,S 3 y S 4; si M: P //A B .

A2 A

AB

 S4

S1 S  3 S2 S4

B



Si A B C D es un cuadrado, encontrar la relación entre A ,B y C .

A

30.

C

e) A = 2C- B

c)1/2

1a) d) 4

2b) e) 5

3c)

TRILCE 36 .

E xteriorm ente a una recta, se m arca elpunto "O " y se traza lo s rayos O A , O B , O C y O D (A , B , C , D están sobre la recta y form an una cuaterna arm ónica) sobre . O A y O C se tom an los puntos E y F. Si: {E F }  {O B }  M y E F //O D . H allar:

41 .

2 a) 32 cm 2 d) 30 cm

Á rea del triángulo E O M Á rea del triángulo FO M

a) 1 d)1/4 37.

b) 1/2 e)1/5

42 .

c) 1/3

Si T, P y Q son puntos de tangencia, hallar la relación entre S1, S 2 y S 3.

P S2 T

43 .

S1

Q

a) 9  6 3 c) 36

c) 2S2 = 3S 1-S 2

d) 3S 1 = S 2+ S 3

e) 45  30 3 44 .

Si: (A M ).(N D )= (B M ).(C N ); hallar "X " en función de A y B.

A

B

a)A + 2B d)A +B

b)2A + B e)3(A +B) /2

D

45 .

c)2(A + B )

E n un triángulo A B C , elsegm ento que une el incentro y el baricentro es paralelo a la baseA C y el inradio m ide 2. C alcular elárea de la regió n triangular AB C , 46 . si:A C = 8.

a) 21 d) 16

b) 24 e) 12

c) 18

L os lado s de un triángulo m iden 15 u, 20u y 25 u. C alcular elárea de la regió n triangular form ada por el 47 . incentro, baricentro y circuncentro del triángulo. a) 5 d)10/3

b) 2,5 e)25/12

c)650

 24

b) 18  2 3 d) 27  18 3

3

E n u n triángulo A B C ,los lado s A B , B C y A C ,m iden 13u, 14u y 15u, respectivam ente. Se trazan las alturas A D y C E , hallar el área de la región cuadrangular E B D O , siendo "O " el circuncentro del triángulo A B C .

a)

37 5 4

b)

d)

37 5 32

e) 21

X M

A

2

S e tiene un hexágon o regular de 4m de lado , se construyen circunferencias de 2m de radio, tangentes exteriores a cada lado en su punto m edio. ¿C uál es el área de la región del hexágono obtenido al unir los centros de la circunferencia?

b) 3S3 = 2(S 1+ S 2)

N

40 .

b)720 e)540

a) S 2 = S 1+ S 3

B

c) 48 cm

H allar el área d e la regió n d el hexágo no regular circunscrito a una circunferencia, sabiendo que el área de la región delhexágono regular inscrito en la m ism a

a)840 d)600

C

39 .

2 b) 16 cm 2 e) 34 cm

circunferencia es 540.

S3

e) 2S 1 = S 2+ S 3 38 .

C alcular el área d e la región trian gu lar correspondiente a un triángulo isósceles, en el cual la base m ide 16 cm y el circunradio 10 cm , siend o el triángulo obtusángulo.

37 5 8

c)

37 5 16

Las diagonales de un rom bo son propo rcionales a 2 y 3, respectivam ente. C alcular la diagonal m enor, siel área de la región rom bo idal es 48 m 2 . a) 12m d)6m

b) 8m e)9m

c) 10m

C alcular elárea de la región que encierra un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

a) 18 3 cm d) 24 3 cm

2

b) 24 2 cm 2

2

e) 16 7 cm

c) 20 cm 2

2 2

Se tiene un rectángulo d e 60 cm de área. Si los lados son núm eros enteros en (cm ), el perím etro m ínim o posible en cm , es :

c) 5/3 a)38cm d)32 cm

b)30cm e)36 cm

c)34cm

17 5

Geom etría 48 .

E n un cuadrado A B C D , se traza interiorm ente la sem icircunferencia de diám etro A D , luego, se traza la tangente C P a dicha sem icircunferenci a (P es punto de tangencia). H allar elárea de la región cuadrangular AC B P. Si :A D = 10. a) 50 d)40

49.

b) 45 e)30

52 .

triángulos AO D y B O C , de áreas 49 m 2 y 25 m

2

(K

m

b)

(K

m

c)

(K

m

d)

K (

m

e)

2

C

c) 35

O

En un rom bo A B C D , las proyec ciones de las

a)

, respectivam ente. Hallar elárea del trapecio. .

B

a) 135 m 2 d) 148 m 2 53.

) Km

D

A

d iag o n ales B D y A C sob re A D , tien e co m o longitudes "m " y "K", respectivam ente. H allar el área de la región lim itada por el rom bo.

50 .

E n el trapecio A B C D , las diagonales determ inan los

b) 140 m 2 e) 180 m 2

c) 144 m 2

H allar elárea de la región som breada, si elradio de la circunferencia es 6, el segm ento B F = 2 y A B C D es un rectángulo.

) Km

2

3

D

C

) Km

) (K m ) 2 (K+ m )(Km )

A

F

B

O

E n u n cuadrado A B C D po r elvértice B se traza la recta a) 12,1 m 2 d) 16,4 m 2

L 1 , no secante alcuadrado y por elvértice D , se traza la rect a L 2 que interseca allado A B e n Q ,de m odo

que : , L 1 y L 2 se intersecan perpendicularm ente en P, PB = b y la distancia delvértice A a la rectaL 2 es "a".

54.

H allar el área de la región cuadrada A B C D . a) 2 b 2



2 b) 2 a

2ab  a 2



2ab  b 2

c) 15,6 m 2

E n una circunferencia de radio "r", se desea inscribir un rectángulo, ta l que este rect ángulo circunscriba a otra circunferencia. H allar el área de la región del rectángulo. a) 2 r2

b) r2

2

2

c) 3 r2

e) r 2

d) 3 r 2

d) (a  2 b)2

c) (2 a  b)2

b) 12,3 m 2 e) 14,3 m 2

2

e) (a  b) 51 .

55.

D ado un triángulo equilátero d e 3m de lado,se dividen en tres segmentos iguales a lo s lados del triángulo y se u ne n lo s pun to s de d ivisión form án do se u na estrella, com o se m uestra en la figura. C alcular elárea de la estrella.

H allar elárea de la regió n triangular O B 'C ', si: 1 AB = 4 = BC, M 1O  AB ,AC = 6. 4 M 1 y M 2 s on pu ntos m edios de A C y B C , respectivam ente. A C //O C ' y B C //B 'C '; A O



O C '.

C' C

M 1





O

A

5 a) 4 d)

17 6

3m 3 m2

2

b) (1  e)

7 4

3 )m

3 m2

2

c) ( 3

 1) m

2

B

a) (29 /3 ) 7

b) (29 /6 ) 7

c) (29 /7 ) 7

d) (29 /2) 7

e) (29 /24 ) 7

B'

M 2

TRILCE 56 .

57.

Sob re una recta se tom an tres pun tos :A , B , C (en ese orden), tales que : A B = a, B C = b. C on do s pun tos D y E exteriores a la recta y a un m ism o lad o, con respecto a ella se construyen do s triángulos A B D y B C E . H allar el área cuadrangular A D E C .

a)

3 2 (a 2



b2

 ab )

b)

3 2 (a 4



b2

 ab )

c)

3 2 (a 4



b )

d)

3 2 (a 3



b2

e)

3 2 (a 2



59 .

2

b2

 ab )

 ab)

E l ancho de una finca rectangular es 1/4 del largo. Si se prol o ngase ést a 5 m y aquélla 3 m , la finca tendría un aum ento de 185 m 2. ¿Q ué dim ensiones tiene dicha finca? a)10 m y 40 m . c)15 m y 60 m . e) 10 m y 80 m .

b)20 m y 80 m . d)10 m y 45 m .

60 .

S ea A el área de un triángulo  , A el área del 1 triángulo 1 o btenido un iend o los puntos m ed ios de los lados del triángulo  ; análogam ente sea A el 2 área del triángulo  , obtenido uniendo los puntos 2 m ed io s d e lo s lad o s de l trián gu lo  ; y así 1 sucesivam ente. E ntonces,la sum a de las áreas : A  A 1  A 2  ..... ,es:

a)

3 A 4

b)

4 A 3

d)

3 A 2

e) 2A

c) A

Se tiene un círculo de centro "O " y un punto "A " externo a él (ver figura). Sean :PQ = R S = 16 m ;elárea de la región triangular 2 15 7 m . O PQ = 48 m y OA = C alcular elárea de la regi ó n del triángulo A O R .

Q

P O

A R

58.

S

Sean dos circunferencias tangentes exteriorm ente de radios dmelyárea 30 dmdel . triángulo isóscel D eterm 10 inar es ci rcunscrito a las dos circunferencias. a) 1800 3 dm

2

c) 90 0 3 dm 2

a) 48 m d) 9 m

2 2

2 b) 36 m

e) 12 m

2 c) 24 m

2

b) 1200 3 dm 2 d) 180 3 dm 2

e) 2700 3 dm 2

17 7

Geom etría

Claves

17 8

21.

d

4 1.

a

22.

c

4 2.

b

23.

a

4 3.

c

24.

b

4 4.

c

25.

b

4 5.

b

26.

b

4 6.

d

27.

a

4 7.

d

28.

d

4 8.

d

29.

d

4 9.

b

30.

d

5 0.

b

31. 32.

d b

5 1. 5 2.

d c

33.

d

5 3.

e

34.

c

5 4.

a

35.

a

5 5.

e

36.

a

5 6.

b

37.

a

5 7.

a

38.

d

5 8.

e

39.

b

5 9.

b

40.

e

6 0.

d

TRILCE

Capítulo

REAS DE REGIONES CURVAS

15 I.

SEC TO R C I RC U L A R

IV.

CO RON AOANI L L OCI RCU LA R

S R

º

O

As

R

R 2

r

360 º

R

S  R 2   r2 II.

S   (R 2  r2 )

SEG ME NT O C I RCU L AR

A

O

S

V.

TR AP ECI O CI RC UL AR

S = r R

x=

B x

I II .

FAJ A O Z ON A C IR CU LA R PROPIEDA

E

D D E LAS FIGURAS S

EMEJANTES

F

A

B Fig. 2

O Fig. 1

A2

A1

S i : E F //A B

A3 Fig. 3

S i : fig. 1 ~ fig. 2 ~ fig. 3 A

3

 A1  A 2

17 9

Geom etría Caso P artic ular :

Ob se rvaciones : *

En l a c o r o n a c i r c u l ar

y

x

H

A

r O r

B R

z

OH B :

z= x + y

TE OREMA DE L AS LÚNULAS D





R 2  r2   A B   2 

2

2 R 2  r2  A B 4

E H IPÓ CRATE S

 Á rea   (A B )2 4

Q *

P

En e l triá ng ul o re ct áng ul o

B

X

x X=P+Q

A

C

y

A A B C= y-x

18 0

TRILCE

Tes t de a pr endi zaj e preli m in ar 01 .

C alcular el área d e la región som breada, si : A B = 20 cm . A dem ás, A B C D es un cuadrado. D

04 .

S i el área d el círculo es 9  cm 2 , ¿cuáles la sum a de las áreas de las regiones cuadradas I y II?

C

3cm

I

II A

02 .

B

E n la figura,calcular el área de la región som breada, si : A B = 2m , siendo A B C D un cuadrado.

A

B

D

C

05.

Si : C 1 , C 2 y C 3 son sem icírculos de radio s iguales, entonces,el área de la figura som breada en función de lado L delcuadrado, es:

C1

03 .

C3

H allar el área d e la región som breada, si : m ) AO B = 60º y O A = O B = 12.

06 .

C2

E n la figura, el área de la región som breada es: (A B C D : cuadrado ). B

C

A

R A

O

D

B

18 1

Geom etría 07 .

En la figura, M N //A C ; B N  BM = 12 , C N = 32 y O , O

2 3

(A M ) ;

1

10 .

son cen tro s de las

E n elgráfico: A E = E B = 6 d m , calcular elárea de la región som breada, si adem ás: B C = A C = 12 dm .

respecti vas sem icircunferencias.

B

H allar el área de la región som breada. B

E O

M

A

N

C

O1 C

A

Practi quemos : 08 .

H allar elárea de la región som breada, siend o A C el diám etro. A B = 15 y BC = 20.

11 .

U n sector circular tiene un ángulo de 6 0° y 15 m de rad io. H allar el área del círculo inscrito en el sector cir cular.

12 .

S i el área de un círculo se dup lica al aum entar su radio en ( 2  1) ; hallar el ardio original.

13 .

U n triángulo equilátero cuyo lado m ide 4m ; su región tiene igual área que un círculo cuyo radio m ide R .

B

A

C H

09 .

E n el círculo m ayor, el diám etro es 4m . M , N , P y Q son p u nto s m ed io s. H allar el área d e la regió n som breada.

B N A

P

M O Q D

18 2

C

¿C uál es elvalor de R ?

TRILCE 14 .

H allar el área lim itad a p o r d o s circun feren cias 19 . tan gentes interio rm ente sabiend o que la distancia entre sus cent ros es de 10u y la sum a d e sus l o ngitud es es de 10 0u.

15 .

L as 7ár eas lim ,i26 tan mdos circunf erenci as cas 2 2 son 8, 5 mque y 28 respect ivam ent e;concént se trazariuna cuerda a la circunferenci a m ayor que es tangente a la m en o r, en to nce s la lo ng itud d e esa cu erd a es: (considerar que   3 ,14 ).

20 .

L os vértices de un hexágono regular son los centros de 6 circunferenci as congruentes y tangentes, (según m u estra la figura). C alcular el área d e la regió n som breada en función de lado "a" del hexágono.

H allar el área de faja circular cuyas bases son el lado d el h exágo n o regu lar y d el trián gu lo eq u ilátero

16 .

17 .

U n sector circular tiene un área igual a 25  cm 2 y representa el 4% d el área del círculo. E l 5% d e la lo ngitud d e la circunferencia co rrespo nd ien te en m etros es:

D ado un triángulo equilátero A B C , de 4 cm de lado, hallar el área d e la regió n com prend id a entre la circunferencia circunscri ta y la circunferencia inscri ta a dicho triángulo.

inscritos, respectivam ente, adem ás elradio delcírculo es R 

Pr oblemas pr opu es to s 21.

D ado los círculos C 1 y C 2 , co n áreas a 1 y a 2 , respectivam ente, sila longitud de la circunferencia C2 es igual al diám etro de C1 , el área a2 será:

a) d) 18 .

Sean las regiones A1 y A 2 lim itad as po r la s

circunferencias iguales tal que el área deA  A es 1 onces, 2 el 100m 2 y el área de A 1  A 2 es 400 m 2 . E nt radio de las circunferencias iguales es:

6 .

22 .

a1



a2 1

u2

b) 

a1

e)

2

c)

a2 1 2

a1



E n la figura, A C es diám etro. H allar el área de la región som breada. S i : B H = 6. B

A

a) 6  d) 18 

H

b) 9  e) 20 

C

c) 12 

18 3

Geom etría 23 .

H allar la d iferen cia d e las áreas d e las regio ne s som breadas,si el lado d el cuadrado A B C D m ide 4. B

27 .

C alcular elárea d e la región som breada.

C

a

A

D

a) 3   8

b) 2(3   8 )

d) 6

e) 2 (6   1)

8

c) 6   8

a)

 24 .

a

a

b)

3

c) ( 

E n la figura, hallar el área de la región som breada, com prendida entre el triángulo A B C , recto en B , y la sem icircunferencia, sabiend o qu e el arco B T es de 120°. (T : punto de tangencia).

3

3 2 )a 2

a2 3

 3 a2

d) (2   3 )a 2 3

2

e) (2   3 )a 2 3

28 .

C

a2

S i: C , D y E son puntos de tangencia, hallar elárea d e la región som breada.

T O C

60°

A

B

L

a) (3 3   )L 2 b) (2 3   )L 2 6

25 .

O

6

d) (  3 )L 2

e) ( 1 )L 2

6

4

4

29.

B Q

2 a) R /18

b) R 2 /9

d) R 2 /16

e) R 2 /8

a) 2 3

b) 12

d) 4 3

e) 18

a) 2 3 d) 4  2 3

O

30 c) e) 50 18 4

A

B

D

C

c) 24

H allar el área de la región som breada com prendida entre d os circunferencias de centro "O " y un cuadrado con un vértice en "O " y lado 10 m .

a) 50 (1 

c) R 2 /12

En el rectángulo A B C D , A D y B C son d iám etros. H allar elárea de la región som breada, si:A B  4 3 y AD= 8.

C

A

26 .

R

c) ( 3   )L 2

E n la figura, hallar elárea de la región som breada, si: A P = 3 y Q C = 4. P y Q : puntos de tangencia.

P

D E

 b) (45  25 4 )

 )m 2

4

d)

(50  )

b) 4 3 e) 8 3

c) 8

TRILCE 30 .

E n la figura m ostrad a, si: m AB= 72° y m B C = 54° , hallar elárea de la regió n som breada. Si :R 

34 .

5 .

H allar el área d e la región som bread a, si: A B es diám etro,O A = O B . FH = 2. (O : punto de tangencia).

B F

A

C A

a)  d) 4 

b) 2  e)  /3

a) 2   1 d) 2   8

c) 3  35 .

31 .

H allar el área m áxim a d elcírculo, si : AO = OB = 10.

H

O

R b) 4   1 e) 4   8

B

c) 4   4

H allar el área de la región som breada, si: AO = OB = R.( A B : diám etro).

B

T A

a) 

2 a) R (6 3  )

e) 3 

2 b) R (8 3  3 )

8

32 .

B

O

c) 3 

b) 2  2

d)

A

O

H allar el área de la región som breada, si el triángulo A B C es equilátero y B E  3 . (A , E , P son puntos

c)

colineales).

e) R 2 (5 3  )

B

36 . A

E

R2 48

24

2 d) R (18 3  5 )

(12 3  )

36

¿C uál deb e ser la relación de R 1 , R 2 y R 3 pa ra que las áreas del círculo A1 (interio r) y los dos anillos 2Ay A 3 , respectivam ente, sean iguales entre sí?

P R2

C

a)  

3 2

b)  

3 4

d)  

3 4

e)  

3 6

3

6

33 .

3

3

R1

c)   6

3 2

S i : B T = 24 y B F = 36, hallar la diferencias de las áreas som breadas. (T :punto de tangencia). B

A1 R3

R

A2 A3

R

a) R 1  2  3 2 3

b)

R2  R3 c) R 1 

d)

2

T R

R

3

R1 3



R2 2

 R3

R1 R R  2  3 2 4 5

R

e) 31  52  73

F

a) 169  d)69

b) 85 e)69 

c) 85

 18 5

Geom etría 37 .

E n la figura P, Q y O son centros de los sem icírculos, si 40 . elrectángulo A B C D tiene perím etro 24 cm , el área de la región som breada será d e:

B

Q

P

C alcular elárea de la región som breada, si:N O  y E H = 3. (T, P y N : puntos de tangencia).

3

C

T

H

P A

D

O

a) (32  6 )cm 2 c) (9   23 )

r E

b) (26  6 ) d) (12   32 )

e) (32  9 )

a) (  3

38 .

L a figura m uestra un cuarto de círculo y un sem icírculo A M=M

som breada.

3 ) 4

41 .

A

b) ( 

3 ) 4

e) ( 

2 ) 2

3

d) (34  2 )

2 3 . C alcular el área de la regió n

O=

O

N

4

c) (3   4

2 ) 2

U n jardín circular de 12 m de d iám etro está sem brado d e pa sto ; p ero e s atravesad o p o r un cam ino pavim entado recto d e 3m de ancho, de m od o qu e uno de sus bordes pasa por elcentro.E n consecuencia, el área sem brada, en m etros cuadrados, es :

N

M

B

O

a) 35   9 3

b) 30   9 3

c) 35   9 3

d) 30   9 3

e) 30   6 3 a) 5   3 3 d) 5  39 .

b) 4   2 3 e) 5   5 3

c) 5   6 3

42 .

En el gráfi co: e s diámetro. Si: 1S , S 2 y S 3 representan

L os vértices de u n rom bo, de lado igual a un a de sus diagonales son los centros de cuatro circunferencias congruentes y tangentes.C alcular elárea de la regi ón som breada en función d e radio R .

las áreas de las regiones som breadas. ¿Q ué relación existe entre S1 , S 2 y S 3? R A

S1

R

S2

T

R

R

R R

S3

R

R

B

a) 2S 3 = S 2 + S 1 c)S 1 .S 2 = S 3

b) S 3 - S 2 = S 1 d) S 2 + S 3 = 2S 1

b) R 2 ( 3  )

c) 2 R 2 3   3 R 2

d) R 2 (2 3  )

2 e) R2 ( 3

e) 2S 1 + S 2 = S 3 43 .

18 6

a) 2 R 2 ( 3  )

 )

H allar el área de la región som breada ind icada en la figura, sise sabe que la m edida del ángulo A O B y la del ángulo A 'O 'B ' es 60°, los segm entos O 'A , O 'B son tangentes a la circunferencia con centro O y radio R , y los segm entos O " A ', O "B ' son tangentes a la circunferencia de centro O '.

TRILCE 46 .

E n el gráfico, se tienen sem icírculos. S i : S 1 = 9m 2 y S 2 = 4m 2 , hallar : S3 .

O A

B

S3

O'

S1 A'

B' O"

2 b) R (10   12 3 )

a) R 2 (10   12 3 ) c)

R2 9

S2

(10   12 3 )

d)

9 R2

27

b) 9

d)12

c) 10

e)14

(10   12 3 ) 47 .

2 e) R (10   12 3 ) 27

44 .

a) 7 m 2

H allar el área de la región som breada si A B C D es un cuadrado de lado "a" y P Q es tangente alarco A C (de centro D ), en su punto m edio.

L a siguiente figura es un cuadrado de lado "a". L as curvas son arcos de circunferenci as de radio a/2 con centro en los puntos A,B y en elcentro C delcuadrado. ¿C uál es elárea d e la región som breada?

P

A

B

B Q

a

C D

A

C

a) [8 2  8   ]a 2

b) [8 2  8   ]a 2

4 2 a) a

2 b) 2 a

2 d) 3 a 4

2 e) a 2

4

45 .

2 c) a

3

4

3

D

A

48 .

B L

lim itado por C 2 y C 3 . a) 10  d) 16 

C

a) l (LSen   )

b) l (l LSen   L )

c) l (LSen   l )

d) l (LSen   )

A B C es un triángulo ob tusángulo con A B  2 2 , B C  2 10 , A C = 8. C 1 es u n a circun ferencia concéntricas con C 1 , siendo A B tangente a C2 y A C tangente a C 3. D eterminar el área del anillo circular

O' l

3

3

circunscrita a A B C ; C2 y C 3 son do s circunferencias



e) 1 l LSen 

d) [8 2  8 ]a 2

e) [8 2  8   ]a 2 4

H allar elárea som breada de la figura, don de " " está expresad o en rad ianes, C O 'D y A O B so n sectores circulares y OA O 'C es un paralelogram o.

O

4

c) [8 2  6   ]a 2

49 .

b) 13  e) 20 

D adas tres circunferencias de radio

c) 14 

2 ,tangente entre

sí dos a dos. C al cular elárea com prendida entre las t res circunf erenci as. a)

2

d) 2 3  

b) 3 2  

c) 3 2  

e) 2 3  

18 7

Geom etría 50 .

54 . Tom and o com o d iám etro la altura de un triángulo equilátero de lado "4a", se traza una circunferencia. C alcular el área com ún que encierran am bas figuras. a) (a )(3 3  )

2 2

2 b) (a )(  3 )

c) a 2 (2   3 3 )

d) (a )(3 3  2 )

S e m uestra la circunferencia de centro "O " inscrita en el cua d rad o A B C . C alcular el área d e la regió n som breada. C

2

2

B

2

5

D

O O

e) a 2 ( 3  ) O'

A

51 .

E figura dada, enn l faunci ón de R . hallar elárea de la región som breada a) 4  

b) 4  

d) (4  )

e) (4   )

5

2

R

55 .

52 .

2 a) R /7

2 b) R /6

d) R 2 /9

e) R 2 /10

c) 3  

3

2

2

C alcular elárea de la región som breada. S i : r1 = 3m , r2 = 4m ,r 3 = 5m .

2 c) R /8

r2

r1 r3

Si :A + B = k,calcular :x + y.

A

a) 27  d) 32 

x

b) 28  e) 36 

c) 30 

y

56 .

B

a) K d)K /2 53.

b) 2K e)K /3

c) 3K

E n elgráfico : m EO = 120° , R = 6. C alcular el área de la regió n som breada , si G , F y E so n p u nto s d e tangencia.

F

H allar A + B , si: A O B es un cuadrante y N A = 2K y M B = K . S i "Q " es punto de tangencia.

G

E

A Q

N A

O

B

O

B

M

a)   3

18 8

a)

18 5  36

d)

37  36 0

k k

2

2

R

b)

18 5  14 4

e)

 k2

12

k

2

c)

28 5  36

k

2

d) 4  

5 3 3 2

b) 2   3

3 4

e) 2   6 4

c)   3

TRILCE 57.

D elgráfico : AM = M N = N B, AB = 2R. C alcular elárea de la regió n som breada.

59 .

En e lgráfico,O M = M B y O A = O B = R. C alcular elárea de la región som breada.

O A

58 .

M

a) 9  R 2

b) 81 R 2

24 d) 6  R 2 1301

36 e) 74  R 2 25

A

B

N

c)

B

49 R 2

a) R 2 (8   3 3 ) 24

576

c)

C alcular el área d e la región som breada, si: AC = 2 0 m ; AB = 1 6m , A B , B C y A C , son diám etros de las circunferencias.

e)

60 .

B

A

M

O

b) R 2 (8   5 3 ) 12

R 2 (7   3 3 ) 16 R2 6

d) R 2 (3 3   1)

(8   5 3 )

D el gráfico, calcular el área de la región som breada, si:M L = 9 y LO = 3. A dem ás:"O 1" y "O " son centros. C

C

A

a) (50   96 )m 2

b) (48   76 )

c) (96   50 )

d) (50   48 )

e) (48   69 )

M

O1 L O

a) 20  u 2

b) 2 5 

d) 28 

e) 24

B

c) 1 8 



18 9

Geom etría

Claves

19 0

21.

d

41.

d

22.

b

42.

d

23.

b

43.

d

24.

a

44.

e

25.

b

45.

d

26.

e

46.

c

27.

c

47.

e

28.

a

48.

c

29.

b

49.

e

30.

a

50.

d

31. 32.

a b

51. 52.

c a

33.

e

53.

b

34.

c

54.

d

35.

c

55.

d

36.

c

56.

b

37.

e

57.

c

38.

c

58.

a

39.

b

59.

a

40.

b

60.

c

TRILCE

C a pít ulo

16 GEOM ETRÍA D EL ESP ACI O - DI EDRO S

IV.

PLANO : .................................................................................................... ....................................................................................................

POSICIO NES RE LATIV AS D E DO S FIGURAS EN EL ESPACIO

P

I.

I.a.

Q

AXIOMA

DO S P LANOS

:

A y B secantes I. b.

DETER MIN ACI ÓN DEL PLAN

O :

I. B

A

C

II.

A y C paralelos I.c.

III.

Q y A B C son coincidentes

19 1

Geom etría II.

UN PLAN O Y UNA RECT A

TE OREMA D E TH ALES ..................................................................................................... .....................................................................................................

a) a

S i : A // B // C .

P

E

M

Q y a son secantes

b)

F

Q

N

R

L

m

G

m y R son paralelos

c)

EF FG



PQ QR



MN NL

k

a

ÁNGULO ENTRE RE

CT AS ALA BEADA S a

a está contenida en Q

III.

b

D OS RECT AS a) 1

l

2

..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................

RECT A PERPE ND ICULA R A UN PLANO l 1 y 2 son rectas secantes

l

b)

a

b

D efinición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... a

a y b son r ectas paral elas

c) n

m

m 19 2

y n son rectas alabeadas

C ond ición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................

TRILCE ÁNGULO DIEDRO l

D efinición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................

S i:

a

y b

TE OREMA DE LA S TR ES PE RPE ND ICUL ARES

A

..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... B

1

B

Si : l1  Q

a

E

F

y

EF  a 

BF  a 

C aras : P y R A rista : A B N otación : D iedro A B ó P -AB -R

DI STANC IA ENTRE RECT AS ALA BEADA S a

E

b

* Se denom ina áng ulo plano o ángulo rectilíneo de ángulo diedro, al ángulo form ado por dos rayos perpendiculares a la arista en uno de sus puntos y situados uno en cada cara del diedro.

F

a y b alabeados M

E F : es la m enor distancia entre a y b

O N

ÁNGULO ENTR E RECT A Y PLANO ..................................................................................................... ..................................................................................................... <) M O N : ángulo rectilíneo ..................................................................................................... * C om ún m ente, a la m edida del ángulo M O N se le denom ina ángulo diedro o ángulo entre plano y plano.

PLANO S PE RPE ND ICULARES D efinición : ..................................................................................................... ..................................................................................................... .....................................................................................................

19 3

Geom etría ÁNGULO POLIEDRO NO

CONVEX O

A y B son perpendiculares

ÁNGULO TRIEDRO O a° b° c°

° °

°

A

B

D

C

D y E son ob licuos

ELEMENTO S :

ÁNGULO POLIEDRO E s aquella figura geom étrica determ inada al trazar desde un

I.

V értice : O

m ism o punto tres o m ás rayos no alineados ni coplanares. II. A ristas : O A , O B , O C D icho punto vendrá a serel vértice,los rayos sus ari stas y los III. C aras: ) B O C , ) A O C y ) A O B ángulos planos que d eterm inan sus caras. IV. D iedros :  ,  y  S e d en o m ina án gulo tried ro, án gu lo tetraed ro, án gu lo (M edid as) pentaedro, etc. S egún el núm ero de cara sea: 3, 4, 5, etc.; respectivam ente. PROPIE DA DES : ÁNGULO POLIEDRO CONVEX O I. Su ma de Me did as de la s C ara s V érti ce

O

0°< a°+ b°+ c°< 360°

A rista

E s válido para cualquier ángulo poliedro.

C ara O

D iedro



II.

Des igu alda d e ntre la s Cara s

C

b° - c°< a°< b°+ c° aº - cº< b°< a°+ c° aº - bº< c°< a°+ b°

A B

III.

Suma de las Medida s de los Á ngu los Diedros. 180°< °+ °+ °< 540º

19 4

TRILCE CLASIFIC ACI ÓN :

I.

V.

Tried ro Bire ctáng ulo

VI.

Triedro T rirectá ng ulo

Triedro Escaleno a  b  c ;      c

II .

Trie dr o Is ósce le s a  b  c ;      

III.

Triedro Is oedro o E quilátero a  b  c ;      

IV .

Triedro

Unirec táng ulo

19 5

Geom etría

Tes t de apr endi za j e p rel iminar 01.

E n el gráfico, PB es pe rpen d icular al plan o R , A H = 2u, H C = 8u, PB = 3u. C alcular elárea de la región A PC .

04.

P

E n el gráfico, B F es perpend icular al plan o d el cuadrado AB C D . Si:A B = B F = B C = a y "M "es punto m edio de C D , hallar elárea de la región som breada.

F C

B C

B H R

M

A

A

02 .

E n el gráfico; m ) R H S  30  ; O H = 5, P H  5 3 . C alcular elárea de la regi ó n PS R .

05 .

D

E n el gráfico, A B C es un trián gulo eq uilátero d e o rto cen tro M , M D p erpe nd icular al plan o d el triángulo. C alcular la m edida d el diedro form ado po r 27 ,A C = 6). ABC y ABD .(M D =

P

D B

H

R

O

A

S

M C

03.

E n el gráfico, P H es p erpen d icular al plan o Q , PH = 12, A P = B P = 13 y AB = 8. C alcular H L. P

06 .

E n la figu ra, h ay u n tried ro cuy as caras so n m utuam ente ortogonales y la longitud de sus aristas es:PA = PB = PC = 6m . H allar elárea de la regi ó n triangular AB C . B

C B

H

P

L Q

A

A

19 6

C

TRILCE 07.

En la figura A B C D es un c uadrado y A B E es un trián gu lo eq u ilátero, situa d o s en p la n o s perpend iculares. S i : A B = 2cm , A M = M E y "O " es centro delcuadrado. H allar elárea deltriángulo M O D .

10.

2 es R , adem ás : C D //A B , m CD = 90º . (P punto 2 m áxim o del sem icírculo).

E B

C alcular la m edida del diedro form ado po r los sem icírculos de radio "R ". S i el área de la región PC D

C

M

P

O

B

A

R

D

O

C

A

D

08 .

H allar la m enor distancia entre E C y A B en la figura m ostrad a.

F E

4cm

C

B A

09 .

L a figura representa una caja; en el punto H sob re la cara A B FE se encuentra una ho rm iga, y en el punto I sobre l a cara EFG K se encuentra su com ida. H allar la m ínim a distancia recorrida por la horm iga para legar a I.

B

H F

I

12 .

L a distancia d e un p unto P a un a recta contenida en un plano es de 13 cm . L a distancia de la rect a alpie de la perpend icular que va de P al plano es de 12cm . ¿C uál es la distancia del punto al plano?

13 .

U n segm ento de recta de 26 cm , une el punto A del plano "x" con el punto B delplano y,x e y son planos paralelos la proyección de A B sobre x o y m ide 24m . L a distancia entre x e y es:

D G

8 6

Las proyecciones de un segm ento d e recta A B sob re un plano y sobre una recta perpendicular al plano m iden, respectivam ente 12cm , 5cm . ¿C uánto m ide elsegm ento A B ?

C

A

E

11 .

D

3cm

7

Pr act iquemos :

K

19 7

Geom etría 14 .

Se ha n det erm inado c om o m áx im o 45 pl anos utilizando "n" rectas secantes. Calcular "n".

15 .

Tres plan os pa ralelos d eterm ina n sob re un a recta secante L 1, los segm entos A E y E B y sobre otra L2, secante, los segm entos C F y FD . Si : A B = 8m , C D = 12m y FD -EB = 1m .C alcular C F.

19 .

D ado un triángulo rectángulo A O B , siendo : O A = O B = 2a; en O , se levanta una perpend icular al plano A O B , sob re la que se tom a M , O M  a 6 y luego se une M con los puntos A y B . C alcular la m edida d el diedro A B .

20 .

G raficar altriángulo A B C y levante B Q perpendicular al plano A B C . S i : BQ = 4,8 dm ,AB = 6 dm ,BC = 8 dm y AC = 10 dm . C alcular elvalor del ángulo diedro A C .

16 .

E lradio de la circunferenci a circunscrita a un triángulo regular A B C m ide 2 3 dm . Por "B " se levanta B F perpendicular alplano deltriángulo. S iB F m ide 2dm , calcular el área de la regi ó n triangular AFC .

Pr oblemas pr opu es to s 21 . 17 .

D ado un triángulo rectángulo A O B isósceles, siendo

AO  O B 

6 m , en el vértice O se elev a u n a

D os puntos A y B , situado s a uno y otro lado de un plan o X , distan d e dicho plan o, 6cm y 9 cm , respectivam ente. S i la proyección del segm ento A B sobre el plano es 30 cm . H allar la distancia entre los puntos A y B .

perpendicular al plano A O B y se tom a un punto M sobre esta perpendicular, uniendo M con los vért ices

a) 15 5 cm

b )1 5

A y B . C alcular elvalor de O M

d) 12 5

e) 12

p ara que el diedro

c) 12 3

A B m ida 6 0°.

22 .

S ean L y L d os rectas alabeadas que form an un 1 2 ángulo de m edida igual a 60°.E n L se m arcan los 1 puntos "A " y "B ", en L se m arcan los puntos "P " y 2 "Q " de m od o que: A P sea la m ínim a d istancia entre ellas y A B = PQ = 2(PA ). C alcular la relación d e Q B y A P.

18 .

E n un triángulo A B C , recto en B , los lado s m iden

a)

2

b)

3

d)

5

e)

6

c) 4

A B = 6 y B C = 8. Por el vértice B , se traza B F perpendicular al plano A B C tal que B F = 4,8. H allar la m edida del ángulo diedro que form an los planos ABC y AFC.

23 .

L os plano s que contienen a los rectángulos A B C D y B C E F form an un ángulo diedro recto, tal que : B C = 8 y B F = 6, entonces, la lon gitud delsegm ento que une los puntos m edios de FD y A B es: a) 4 d)5,5

19 8

b) 4,5 e)6

c) 5

TRILCE 24 .

S ea A B C un triángu lo equilátero se levanta C F perpend icular al plano d el triángulo A B C de m odo que C F  B A . C alcular l a m edida del ángulo diedro que form an los planos A B C y A FB .

30° a)

b)

c) A rcSen 7

A rcSen

S i un plano es paralelo a una recta: a) b) c)

2 7 7

d)

d) A rcSen 3 7

7

7

e)

6

e) A rcSen

3

25 .

31 .

32 .

U no d e los catetos de u n trián gulo isósceles está contenida en el plano "P" y el otro form a con dicho plano un ángulo de 45°. C alcular elángulo que form a su hipo tenusa con el plano "P".

S i una recta es perpendicular a tres rectas dadas : a) b) c)

a)45°

b)30°

1 d) A rcSen

26 .

c)60° d)

e) A rcC os 2

5

4

e)

L a recta I d e intersecció n de d os plan os x e y, perpendiculares entre sí, es paralela a una rect a R del 33 . plano "x" y a una rect a S del plano y si la distancia entre I y R es de 16 cm , y la distancia entre I y S es de 12 cm . ¿C uál es la d istancia entre R y S ?

b)25

a)

c)

d) 10 3 27 .

d) e)

b)112° e)141°

c)139°

34.

C alcular el m áxim o valor de una cara d e un triedro equilátero. a)100° d)119°

b)110° e)141°

lares al otro. N o siem pre se cortan. Tod o p lan o p erpen d icular a su interacción es perpendicular a am bo s.

S e tienen los segm entos alabeado s A B y C D ortogonales:A B = 4 y C D = 6. H allar la longitud del segm ento qu e une los puntos m edios de AC y B D .

3a)

c)130°

d) 35 .

29.

Tod o p lano perpend icular a uno d e ellos lo es tam bién al otro. Tod a recta p erpend icular a la intersección d e am bo s debe estar contenida en uno d e ellos. Tod as las rectas de uno de ellos son perpendicu-

e) 20

C alcular el m áxim o valor entero d e las caras de un triedro si las otras dos m iden 100° y 120°. a)100° d)140°

28 .

4 28

c)

L as tres rectas dadas tienen que ser paralelas. L as tres rectas dadas tienen que estar en un m ism o plano que contenga la perpend icular. Por las tres rectas pueden pasar tres planos paralelos entre sí. Por las tres rectas dadas no pueden pasar plano s paralelos entre sí . N ingu na d e las afirm aciones anteriores es correcta.

C uand o d os planos son p erpend iculares :

b) a) 14cm

Toda perpend icular a la recta será paralela al plano. Toda recta paralela al plano será paralela a la recta dada. Tod o plano perpen dicular al plano da do será paralelo a la recta dada. Toda recta que es perpend icular al plano tendrá que ser perpendicular a l a rect a. N ingu na d e las afirm aciones anteriores es correcta.

A -B C D es un triedro trirectángulo d e m od o q ue A B  A C  A D  6 m . S i O es la proyección de A sobre el plano B C D , entonces la d istancia que hay entre O y la arista A B es:

4b)

11

13

c) e)

15

D ado un triángulo rectángulo isósceles A O B , siendo O A = O B = 7a, en O se levanta una p erpend icular al plano: A O B , sobre lo que se tom a: O M 

7a 6 6

y, se

une elpunto M con los vértices A y B . S e pide calcular el valor o m edida del diedro A B .

a) 8m d) 2 2 30 .

b)

c)

4 3 e) 2 3

6 2

C alcular elm áxim o nú m ero d e planos que determ inan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio. a)48 d)96

b) 72 e)106

c) 84

a)15° d)40° 36 .

b)18° e)45°

c)30°

E l área de la proyección de un cuad rado sob re un plano que al pasar po r su diagonal form a un ángulo de 60° con el plano del cuadrado, es 18,2 centiáreas. E l área del cuadrado, en centiáreas es: a)36,4 d)9,1

b)21,3 e)31,6

c)18,2

19 9

Geom etría 37 .

E lpun to A está 8 cm encim a de un plano ho rizon taly el punto B está 4cm encim a d el m ism o p lano . L a proyecció n de A B sobre elplano m ide 9 cm .C alcular la lon gitud en cm delm enor cam ino de A a B pasand o por un punto del plano. a) 15 d)21

b) 17 e)13

43 .

S ea " C" un círculo de centro "O " y un cuadrado A B C D q ue se encu en tran con ten id o s en p lan o s perpendiculares (sea A B un a cuerda de "C"). Se m arca "M " en D C , de m odo q ue :3D M = 5M C , AB = 8dm y O A = 5dm . C alcular l a distancia de "M " a O B .

c) 14

a)41/5 dm 38 .

U n triángulo se encuentra en un plano que form a un ángulo de 45° con otro plano P. S i la proyecció n d el d e área, triángulo sobre el plano P tiene 220cm encontrar en cm 2 el área del triángulo del espacio. a) 20 2 d)24

39 .

b) 18 2 e)30

d)40/7 44 .

a)37° d)53°/2 45.

72°. H allar la d istancia m ínim a que existe entre la arista d el diedro y el segm ento que une el centro de sus caras. b) 3

c) 4

d) ( 5  1)m 40 .

e) 10  2 5

a) 5 cm

b) 10

d) 10 2

d) a

2

c)

46 .

2

b) 3 e) 2

c) 1,5

3 13

a

13 12

c) a

13

2

3

e) a 13

b)45° e)120°

c)135°

AE , perpendicular al plano del triángulo. S i : A E = B C , y AC .

e) 5 3

b)

D ad o u n triángu lo A B C , equ ilátero se traza

calcular la m edida del ángulo con que se cruzan E B

5 2

D ado un triedro S -A B C , si SC form a con la bisect riz de la cara opuesta un ángulo igual a la m itad de dicha cara, calcular eldiedro C , si: diedro A + diedro B = 120°. a)90° d)60°

20 0

c)60°

U n trián gulo eq uilátero A B C está en un plano perpendicular a un cuadrado A B D E . E l segm ento d e recta que une el punto m edio de lad o A C con el punto m edio del lado B D del cuadrado m ide 1m . ¿C uál es la longitud d el lad o d el trián gulo o d el cuad rado ?

a) d) 1

47. U n triángulo isósceles A B C , do nd e : A B = A C = a,está inscrito en un círculo de radio a. E n A , se levanta u na perpend icular A D a l plan o d el triángulo y se une el punto D con los vértices,B y C . C alcular la longitud del segm ento D B para qu e el diedro D -B C -A m ida 30 °.

a) a 13

42 .

b)45° e)90º

E n una circunferencia de diám etro A B = 10 cm , se escoge un punto P sob re d icha circunferen cia; si hacem os girar  la circunferencia sobre su diám etro la nueva ubicación de P es P'. H allar A P para que el perím etro del triángulo PM P' sea m áxim o, siendo M la proyecció n d e P sobre A B .

41 .

Por el circuncentro "O " del triángulo equilátero A B C ,

m edida d el ángulo entre A P y H C . (AC = AD ).

U na ho ja d e papel de form a rectangular A B C D , tiene

a) cm 2

c) 42/5

se traza O P perpend icular al plano d el triángulo. . M arque "H " ortocentro del triángulo A PB y calcular l a

c) 24 2

com o dim ension es: A B  8 ( 5  1)m ,BC = 3m .Por los puntos m edios de A B y C D , se dobla la hoja de papelde m anera que elángulo diedro form ado es de

b) 4 3 e)40/3

48 .

a)75°

b)90°

d)150°

e) A rcC os(

c)120° 2 ) 4

D ado un triángulo AB C .AB = 15;BC = 8 y AC = 17. Por elincentro "I" se eleva ID , perpendicular al plano A B C , siend o: ID  24 7 . C alcular la m ed id a d el ángulo D A B . a)37° d)45°

b)53° e)75°

c)60°

S ob re una circunferencia d e centro "O " y radio cuya longitud es 10m , se ubican los puntos "A " y "B", tal que: m AB= 127°. Po r "B " se lev a n ta B P , perpendicular alplano del círculo, siendo: B P= 24m . C alcular elárea de la región triangular AO P.

a) 32 10

b) 45 10

d) 40 10

e) 42 10

c) 38 10

TRILCE 49 .

D ado s do s planos no p aralelos se tom a un segm ento A D perteneciente a uno de los planos. S iB C es la proyección d e A D sobre el otro plano, h allar la distancia A B , sabiendo que:

BC  D C  AB y elárea 6 3 2

a) a< b d) a  55.

b) 2

c) a> b

e) b 

2a

Los v ectores O G , O C perpen d icula res

del cuadrilátero A B C D es de 60m 2. ma) 1 d) 4

b) a= b 2b

y

y O H son m utuam ente

son

de

igu al

lo n gitu d

(|O G |= |O C| = |O H |= a). S ea P el baricentro d el

C G H . H allar la sum a d e las distancias trazadas

3 c)

d esde P a lo s tres plano s form ad os po r lo s tres

e) 5

tom ado s do s a do s. 50 .

51 .

S e tiene un triángulo rectángulo A B C ,recto en B , cuyo cateto A B = 3m . S e traza la m ediana B M ; luego, por B se levanta un segm ento B H perpendicular alplano deltriángulo A B C . S ielárea de B H M es 5 5 m 2 y el área d e su proyección sobre elplano d eterm inado por B H C esde 10m 2,hallar la m edida de la hipotenusa AC . a) 3 3 m

b) 4 3

d) 2 5

e) 3 5

56 .

c) 5 5

2 /2

a)

3 /2

b)

d)

6 /4

e) 1/2

b) 3a

d) a

e)

5 cm 2

d) 3 5 2

57 .

c) 3 /3

2a 3

c) 3a 2

Se tiene un cuadrado A B C D de lado igual a 2 cm . U n sem icírculo d e diám etro O C es perpend icular al plano del cuadrado y se t raza la tangente A P . H allar el área del trián gulo A P B sien d o "O " centro d el cuadrado. a)

D ado s los plano s secantes P y Q , en P está contenido el triángulo A B C y en Q su proyecció n, el triángulo A 1B 1 C 1. S i :B C  B 1C 1 ,m ) A C B  90  , m ) B A C  30  y m ) A 1B 1C 1  45  , calcular el coseno d el ángulo d iedro form ad o por los planos secantes P y Q .

a) 2a

b) 2 5 e)

c)

5 2

5 3

Por el vértice "A " de un triángulo A B C , se levanta la perpendicular A M al plano del triángulo. Se trazan las p erpen d icu la res A P y A Q a M B y M C respectivam ente. S i : M Q = 5cm ; PB = 6cm ; M P = 4cm y m ) B M C  30  , hallar el área d e la región triangular B M C .

52 .

L as caras de un ángulo d iedro son cortad as en los

a) 10 cm 2 d)20

puntos M y N po r una recta; siendo A la proyecció n ortogonal de estos puntos sobre la arista, la m itad del án gulo d ied ro es igual a la sem id iferencia d e los

58 .

ángulos A N M , A M N ; y si estos últim os est án en la relación de 3 a 1. ¿C uál es elvalor delángulo diedro? a)30° d)60° 53 .

b)40° e)70°

A m ide 60°.S e tiene un punto S fuera d elplano P. S i

59 .

las distancias,de S alpunto A es iguala 25cm , de S al lado A C igual a 2 0cm , y de S al lado A B igual a 7cm . H allar la distancia de S al plano P.

d) 6 54.

37 cm

b) e)

c) 18

U n triángulo se encuentra en un plano que form a un ángulo de 45° con otro plano "P". S i la proyecció n del triángulo sobre "P" tiene 20cm 2 d e área, hallar el área del triángulo.

c)50°

E n el plano P,se tiene el triángulo A B C , cuyo ángulo

a)

b) 15 e)30

39

c) 38

31

E n u na m esa, se coloca perpendicularm ente una lám ina rectangular apoyada sobre su base.S i la altura y la b ase d e la lám ina m ide n "a" cm y "b" cm , respectivam ente, ¿qué rel ación debe existir entre estas longitud es de tal m anera que si la lám ina em pieza a girar sobre su base, la proyección sobre la m esa en algún m om ento sea un cuadrado?

a) 10 cm 2

b) 10 2

d) 20 2

e) 30 2

Por elvértice "B " de un cuadrado A B C D , se traza un a perpend icular B P al plan o d el cuad rad o, "M " es punto m edio d e A D ; si la distancia de "P" a la rect a que contien e al vértice "C " y "M " es 4 6 u y la distancia de "P" al plano delcuadrado es 4u, entonces el lado del cuadrado es: 8 a) d)12

60 .

c) 20

b) 9 e)15

10 c)

S e tiene un triángulo rectángulo A B C , recto en "B ", A B = 15u y B C = 20u , po r un p unto "P" exterior al plano A B C , se construyen diedros con gruen tes A B , B C y A C . S i la d istancia d e "P" al plano m ide 12u, hallar l a distancia de "P" al lado A C . a) 13u d)16

b) 15 e)18

c) 14

20 1

Geom etría

Claves

20 2

21.

a

4 1.

b

22.

d

4 2.

d

23.

c

4 3.

a

24.

b

4 4.

e

25.

b

4 5.

d

26.

e

4 6.

e

27.

c

4 7.

b

28.

d

4 8.

d

29.

e

4 9.

d

30.

d

5 0.

e

31. 32.

e c

5 1. 5 2.

c d

33.

e

5 3.

a

34.

c

5 4.

d

35.

c

5 5.

c

36.

a

5 6.

e

37.

a

5 7.

b

38.

a

5 8.

d

39.

c

5 9.

a

40.

c

6 0.

a

TRILCE

Capítulo

17

POLIEDROS POLIEDROS REGULARES

POLIEDROS

vértice A rista

vértice

cara

C onvexo

N o C onv exo

TE OREMA D E EULER

C = 5 V = 5 A = 8

C = 7 V = 10 A = 15

C+V=A +2

2+ 8= 5+ 5

2+15 =10 +7

TEOREMA

* S ean : n 1, n 2, n 3, n 4, ....... L os núm eros de lados de las caras del sólido.

A ristas = S ic =

n1



n2



n3



n4



...

2

sum a de los ángulos internos de todas las caras.

S ic = 360º (A - C ) = 360º(V - 2)

A : nú m ero de aristas V : núm ero d e vértices C : núm ero de lado s

20 3

Geom etría POLI EDROS RE GULA RES

Sólo existen cinco poliedros regulares.

TetraedroR .

D odecaedro R

H exaedroR .

O ctaedroR

IcosaedroR

Form a

C

V

A

Tetraedro

4

4

6

H exaedro

6

8

12

Poliedro Regular

O ctaedro

20 4

C ara

8

6

12

D odecaedro

12

20

30

Icosaedro

20

12

30

TRILCE

Tes t de a pr endi za j e preli m in ar 01 .

02 .

E n todo po liedro con vexo, el núm ero d e aristas es igual a :

06 .

E n u n h exaedro regular, el ángulo qu e form an las diagonales de una cara es:

07 .

U n octaedro regular se llam a así, po rque tiene:

08 .

¿C uál es el área de la proyección de una cara de u n

L a sum a de los ángulos interno s de tod as las caras de un poliedro convexo de "V " vértices;"C " caras y A" " aristas es i gual a :

tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, is la arista del tetraedro m ide 2 3 m ? 03 .

04 .

05 .

¿C uántos po liedros regulares existen?

09 .

E n este orden : núm ero de caras, núm ero de vértices, núm ero de aristas y núm ero d e lados de cada cara, se enum eran los datos correspondientes a un tetraedro. ¿C uál es la enum eración correcta?

10.

¿C uál de las siguientes enu m eracio nes correspondientes a un hexaedro regular esla correcta? E l prim er núm ero corresponde alnúm ero d e caras,el segundo al núm ero de vértices,y eltercero al núm ero de aristas y el últim o, al núm ero de lad os de cada cara.

E n tod o poliedro convexo elnúm ero d e caras es igual a:

¿C uál de las siguientes expresiones es verdadera? L as caras del dodecaedro regular, son :

20 5

Geom etría

Pr act iquemos 11 .

12 .

13 .

:

E n u n cubo d e un m etro de a rista, la d istancia d el centro de una cara a cualquiera de los vért ices de la cara opuesta m ide :

17 .

E el o d ede vér tices,car elnúm o delnúm arister aso yd eelcaras, núm er o núm de ler ados cada a d eer un octaedro regular, son respectivam ente :

18 .

S i se corta un o ctaed ro regular en d os po lied ros, m ediante un p lano paralelo a una d e sus caras, se obtiene com o secci ó n, un polígono regular de :

19 .

Si partiendo d e un cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras vecinas, ¿cuánto m edirá el ángulo que asíse form a?

20 .

C alcular elárea totalde un hexaedro regular, sabiend o que la distancia de uno de los vért ices alcentro de una cara opuesta es de 2 m .

L a superficie total de un cubo es igual al cuadrado de la d iagonal m ayor m ultiplicado por :

Se dan 6 segm entos de recta de 10 cm de longitud cada uno. ¿C uál es el m ayor núm ero de triángulos equiláteros de 10 cm de lado que pueden form arse a la vez con los segm entos de recta dadas?

L a sum a d e las caras delángulo po liedro q ue se form a en cada vértices en un icosaedro regular es giual a :

14 .

E l ángulo form ad o por do s diagona les cualesquiera de un octaedro regular vale :

15 .

E ncontrar elárea de la sección hecha en un tetraedro regular de 10 cm de arista, por un plano de sim etría que pasa por una de las ari stas.

20 6

16 .

TRILCE 28 .


E n un tetraedro regular, si el segm ento qu e une los pun tos m edios de dos aristas opuestas es M N . E l lado del tetraedro, será:

21.

22 .

¿C uán tos p oliedros c uyas car as so n trián gulos equiláteros existen?

a) M N

3

b) M N

2a) d) 5

d) M N

3 2

e) 2 M N 3

3b) e) 6

4c)

S i la a rista d e u n icosaed ro regular m id e

4

29 . 3 m ,

calcular elárea de su superficie. a) 15 m

2

b) 9

d) 6 23 .

e)

b)0,60 e)1,20

c)0,75

d) 36 25.

3

b) 6 3 e) 24

c) 24

a2 8

3 cm

2

2 d) 3 a 8

31.

2 b) a 4

e) 3 a 4

c)

a 2 8

2

En un cubo, las caras opuestas son A B C D y EFG H , siendo las ari stas que las conectan A E , B F , C G y D H . E l ángulo q ue form a B E con A H m ide : a)30º d)75º

sum a d e las longitud es de sus aristas 36 cm . 2

C on siderand o com o vértices los puntos do nd e se cortan las dos diagonales de cada cara de un hexaedro

a)

H allar elárea total de un tetraedro regular, siendo la

a) 36 cm

2

6 3

30.

24 .

c) M N

r egul se obt iene un oct am bi regul ar. del Si lasar,ari stas del hexaedr oaedro, m ide t"a" cmén , las caras octaedro m edirán :

c) 13

Las aristas de un cubo m iden 15 cm cada una. Si una m osca puede desplazarse sólo sobre las ari stas y parte de uno de los vértices, elm áxim o recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la m ism a arista es: a)1,80m d)0,90

2 2

b)45º e)90º

c)60º

D ado el hexa edro regular A B C D -E FG H de aristas laterales A E , B F , C G y D H .L os puntos M y N son puntos m edios de las aristas E H y H G . H allar la m edida del ángulo diedro entre el plano M N B y el

3

plano E FG H .

Se tiene un p oliedro conve xo form ado po r 10 regiones cuadrangulares.C alcular elnúm ero de aristas de dicho poliedro. a) 12 d)18

26 .

c) 16

C alcular elnúm ero de aristas de aquel po liedro, cuyo núm ero de caras y elnúm ero de aristas están en la relación de 2 a 3. A dem ás, la sum a d e las m edidas de los ángulos internos de tod as sus caras es igual a 3600º. a) 20 d)30

27 .

b) 14 e)20

b) 24 e)32

c) 28

¿C uá ntas d iago na les tiene aqu el po liedro convexo

a) A rcTan ( 2 ) 3

b) A rcTan (2 2 ) 3

c) A rcTan (3 2 ) 2

d) A rcC os(

e) A rcC os ( 2 ) 17

32 .

E n un octaedro regular, la d istancia d e un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice m ide L unid ad es(u). C alcular el área de la superficie total del octaedro.

que está lim itado por 6 regiones cuadrangulares y 8 regiones triangulares.

a) 3 L2 3 u 2

b) 4 L 2 3

a) 38 d)32

c) 2 L 2

d)

b) 36 e)30

c) 34

3 ) 15

e)

3

4L2 3 3

5L2 3 2

20 7

Geom etría 33 .

34 .

D ad o un tetraedro regular d e arista "a", calcular el área d e la sección d eterm ina d a p or un plan o d e sim etría que pasa por una de las aristas.

a)

a2 2 2

b)

a2 2 3

d)

a2 2 5

e)

a2 2 6

c)

39 .

S e tiene un cub o d e a rista "a", ha llar el área del triángulo PQ R ,siP es centro,Q y R son puntos m edios.

a2 2 4

Q

P R

En un tetraedro O A B C , se cum ple que los ángulos C O B = 60º, A O B = 45º, A O C = 45º. Entonces, el valor del ángulo d iedro correspondiente a la arista

a)

a2 3 4

b)

a2 3 8

d)

a2 3 6

e)

a2 3 3

O A vale: a)45º d)90º 35 .

b)60º e)120º

c)75º

U n poliedro que tiene 12 vértices y 2 1 aristas está form ado por "2p" triángulos, "c" cuad riláteros y "p" pentágono s, todos convexos.E ntonces, "p" y "c" son, respectivam ente : a)1y8 d)3y4

b)3y2 e)4 y1

40 .

41 . 36 .

a2 3 2

E n u n triedro trirectángulo O -A B C se sabe q ue : O A = 1 cm ;O B = 2 cm y O C = 3 cm . H allar l a distancia de "O " a la secci ó n plana A B C . a) 5/7 d)4/7

c)2y5

c)

b) 6/7 e)5/8

c) 1

Se tiene un tetraedro regular de arista "a". H allar el

U n paralelepípedo rectángulo cuyas dim ension es son

volum en del tetraedro regular que se fo rm a al unir los

a, b, c (siendo "c" la altura). S ea : a = c = 4 cm .

baricentros de las caras.

Suponiendo que elárea to tales igual a 4 veces elárea d e uno d e los rectán gulos diagonales "verticales",

a

2

37.

a) 76 d)82

a3 2 d) 21 6

b) 78 e)84

c) 80

E n un tetraedr o P Q R S, el ángul o d iedro correspondiente a la arista PQ es recto, y los ángulos Q PR y Q PS m iden 4 5º.E nton ces,elángulo R PS,m ide: b)45º e)75º

42 .

a3 2

2

a)

a)30º d)72º 38 .

3

entonces,dicha área total, en cm , es :

b)

27

81

a3 2 e) 32 4

E n un tetraedro A B C D , se tiene que : A C = A D y B C = B D . H allar la m edida del ángulo que form an las aristas A B y C D .

c)60º a)45º d)30º

b)60º e)120º

c)90º

Se tiene un hexágono regular A B C D E F d e lado "a" en u n plan o "P ", C D L es un trián gu lo eq u ilátero

43 .

S e tiene un tried ro trirectán gulo O -A B C , se traza O H perpend icular a la sección plana A B C . H allar el área de la cara B O C , si las áreas de las caras AB C y

perpendicular a dicho plano. E l área deltriángulo A L F equivale al área total de un tetraedro regular de arista:

2

cm , respectivam ente.

BH C m iden 20 y 10 a)

a 2 15 2

b)

a 2 15 4

c)

a 2 15 6

d)

a2 5 12

e)

a 15 12

2

44 .

a) 10 2 cm 2

b) 5

d) 15

e) 10

2

c)

5 2

La longitud del segm ento q ue une los puntos m edios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es de 2 cm . ¿C uál es la longitud de la arista? a) cm 1 d) 2

20 8

a3 2 c) 16 2

b) 2

c) 3 e)

2 2

TRILCE 45.

Se tiene un cubo A B C D -EF G H y un punto interior

50.

"P".Si : (PA )2



(PC )2

aa) d) 46 .



(PB )2



3a 2

la ca ra C D H G , h allar la d istan cia d el pun to d e

a 2 , hallar PD .

b) 2a

intersecci ó n en tre O F y el plan o qu e contien e a M B N H ,a la cara EFG H .

a 2

c) e) 3a

E n el triedro isósceles : O -A B C :bº = cº = 60º, y aº = 90º. Sob re O A , O B y O C se ubican los puntos M , N y L, respectivam ente, tal que :

51 .

O N  O L  8 2 y m ) L M N = 90 º. C alcular la longitud de O M .

47 .

a) 8 2

b)8cm

d) 4 2

e) 4 cm

D ado el cubo A B C D -EF G H de arista "a", M y N son pun tos m edios de A E y C G . Siendo "O " elcentro de

a)

2a 5

b)

3a 5

d)

3a 8

e)

a 5

c)

a 4

E n el gráfico, se m uestra u n do de caedro regular, siendo: P, Q , M y N pu ntos m ed ios de las aristas respectivas.C alcular la m edida del ángulo entre PQ y MN .

c)16cm

Q

P

"O "es elcentro d e un hexae dro regular A B C D -EF G H ; M y N son lo s pun tos m edios de

CD y CG , respectivam ente.Sielárea de la región triangular O M N

es S, calcular el área total del hexaedro regular.

M

48 .

a) 8 S 3

b) 16 S 3

d) 12 S 2

e) 9 S 6

a)18º d)72º

b)36º e)45º

c)54º

E n el octaedro regular E -A B C D -F, M es punto m edio de E C . C alcular elángulo form ado por A M

5 a) A rcC os 5

10 b) A rcC os 5

5 10

d) A rcC os 10 10

c) A rcC os

y DF .

52.

D ar elvalor de verdad de las siguientes propo siciones:

E n un tetraedro regular A B C D , M y N son p untos m edios de A D y B C , respecti-vam ente. Sila distancia entre M N y A C es 3 2 u, calcular el área d e la superficie delpoliedro conjugado deltetraedro inscrito en él.

e) A rcC os 5 10 49 .

N

c) 24 S 3

53 .

a) 4 3 u 2

b) 2 3

d) 6 3

e) 5 3

c) 16

3

E n un o ctaedro regular P-A B C D -Q ,M y N ,son centros d e las caras PC D y A B Q , respectivam en te. S i la

* * * *

E n los vértices de todo po liedro regular se form an ángulos diedros. E l icosaedro regular tiene 100 diagonales. E n un dodec aedro hay 20 vértices. L as diagon ales de un o ctaedro regular son per-

distancia entre D N y M R ( R es pun to m edio d e P A ) 3 22 )u . es :( 11 C alcular elvolum en del octaedro.

pend iculares. a)FV FV d)V FV F

b)V V V V e)FFFF

c)FFFV

a) 9 2 u 3

b) 3 6

c) 7 19

d)

17

e) 5 6

20 9

Geom etría 54 .

E n la figura,se m uestra un icosaedro regular. C alcular

57.

la m edida del ángulo entre M N y B C . N

Se tiene el hexae dro regular A B C D -E FG H , cuyas aristas m ide 7 unidades. C alcular la m enor distancia entre las rectas A C y M G , siend o "M " punto m edio de la arista A D . a)

9

b)

3

e)

2

c) 3

B

7 d) 3 M

58 .

C alcular la m edida d el ángulo d iedro form ado po r dos caras adyacentes de un tetraedro regular.

C a) A rcTan ( a)90º d)72º

b)60º e)37º

c)53º

6 ) 2

b) 90º

60º c) 55 .

d)

E n un octaedro regular E -A B C D -F, se traza la sección plana d eterm inada por los puntos m edios de las aristas

2 2 A rcSen ( ) 3

e) A rcSen ( 3 ) 2

A F y E D y por el punto B . Si la arista d el octaedro es de 2 unidades,calcular la distancia de B a la recta de intersecci ó n de la secci ó n con la cara AD F.

59 .

E n un hex aedro A B C D -E FG H , "O " es elcentro de la cara AB C D , P d e A G ; de tal m anera que :

a)

d)

3

31 5 11 7

b)

11 1 33

m ) O PA = 90º y O F =

2 453 c) 13

C alcular : (PG )2 a)200 d)140

e) 1



2 5 .

2 (A P ) .

b)180 e)120

c)160 3

56 .

E n u n tetraedro P-A B C trirectángulo en P : 3 2 . C alcular la diagonal de cubo PA = PB = PC = inscrito en el tetraedro, d ond e uno de los ángulos

60 .

E lvolum en d e un octaedro regular es igual a 6 u . C alcular la distancia del centro del octaedro a una de sus caras.

sólidos del cubo es P. 3a) d) 2 3

21 0

b)6 6e)

a)

2

b)

3 3

d)

2 2

e)

6 6

4c)

c) 1

TRILCE

Claves 21.

b

41.

e

22.

a

42.

c

23.

e

43.

a

24.

d

44.

b

25.

e

45.

a

26.

d

46.

d

27.

e

47.

b

28.

c

48.

e

29.

a

49.

b

30.

c

50.

a

31.

b

51.

b

32.

c

52.

c

33.

c

53.

a

34.

d

54.

b

35.

c

55.

c

36.

c

56.

b

37.

c

57.

d

38.

e

58.

d

39.

b

59.

e

40.

b

60.

d

21 1

Geom etría

21 2

TRILCE

Capítulo

18

PRISM A - CILI N DR O - TRO NCO S

PRIS MA - C ILINDRO PRISMA

E l nom bre del prism a depend e del polígono de la base. L os gráficos m uestran a un prism a triangular y a otro hexagonal.

C ara lateral

A rista lateral

A ltura

vértice

base

Clasificación

I.

P r i sm a Rec t o su desarrollo lateral A ltura o arista lateral

II.

AL



AT



(2P BASE ).(A rista L ateral) AL

V



(A BASE ).altura



2 A BASE

P r i sm a Ob l i c u o

A secci ón recta

V V

L

 (2 P ).(A rista L ateral) S .R  (A S .R ).(A ri sta L ateral) 

(A BASE ).(A ltura )

21 3

Geom etría II I.

Para le le pípe do L as caras opuestas son paralelogram os congruentes y de planos paral elos.

* Paralelepípedo rectangular (R ectoedro y ortoedro)

h D

c

b

a V = (A

).Altura BASE

Área = 2(ab+ bc+ ac) Volum en = abc D 2 = a2 + b 2 + c2

CILINDRO

su desarrollo lateral

base generatriz o altura (g)

R

g

AL

R

A



(2 R )g

2 R

2 R (g  R ) S  (R 2 )g

T 

C ilindro oblicuo obtenido al cortar a un cilind ro recto m ediante dos planos paralelos entre sí ; pero inclinado s respecto d e la base.

R

h

G eneratriz (g) B ase elíptica

Sección recta

S ecció n recta

21 4

AL



(2 PS .R )(generatriz)

AT



AL



2 A BASE

V

 (A S .R ).(generat riz )

V

 (A BASE

)(A ltura)

TRILCE TR ONCO S DE PRIS MA Y CILINDRO TR ONC O D E PR ISMA TRIANGUL

AR RECT O

a

a

a

c

c

b

s

b= 0

b= 0

V



S 3

TR ONCO DE PRISMA TR

(a  b  c)

V

IANGULAR O



c= 0

s

s

S 3

(a  c)

V



a .S 3

BLICUO

F

E

G F

G E

sección recta

sección recta C A

A

B

C

B

V



E

(A s.R ) (A E 3

BF CG)

G h1 h2 C

A

h3

s

B

V 

(A s.R ) 3

(A E  C G )

V



s 3

(h1  h 2

 h3)

21 5

Geom etría TR ONCO DE CILIND

RO CIRCULAR RECT

O

elipse O1 g

M gm R

O

AL



(2 R ) eje

AT



AL

V

 



A BASES

R 2 .eje

elipse g

O1

M R

OO

1

: eje

TR ONCO D E CILINDRO OBLIC



gM



gm

gm = 0

A L :Á rea L ateral

2

UO

O 2

secció n recta

O

R

g Eje =

M

+ gm 2

AL



(2 R )eje

A



AL

V

T 



A BASES

O 2 secció n

(A s.R )(eje)

recta O 1

O 1 gm = 0

21 6

TRILCE

Tes t de a pr endizaje pr elim in ar 01 .

02.

03.

U n cilindro recto cuya altura es igual al diám etro de la base,tiene un área totalde 12 . C alcular su volum en.

06 .

L as tres dim ension es de u n rectoed ro están en progresión aritm ética y sum an 45 unidades.C alcular 2 el volum en, si su área total es igual a 1332u .

07 .

C alcular el volum en d e un p rism a cuadr angular regular, si la diagonal del desarrollo de la superficie lateralm ide 37 unidades y la arista lateralde dicho prism a m ide 35 un idades.

04 .

C alcular el área lateral d e un cilind ro recto; cuya generatriz m ide 12 un ida des y su área d e base es igual a 16  u 2 .

05 .

L a d iagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a 70 unidades. C alcular elvolum en, si dos de sus d im ension es de dicho pa ralelep íped o son 3 y 5 un ida d es.

C alcular elvolum en de un ortoed ro, cuyas diagonales de sus caras m iden

74 , 130 y

106 un idades.

D os cilind ros circulares rectos sem ejantes y de áreas total de 18  dm 2 y 50  dm 2. ¿En qué relación están sus volúm enes?

08 .

E n un paralelepíped o rectangular las diagonales de las caras m iden

34 , 58 y 74 cm . 3 E l volum en del paralelepípedo, en m , será :

09 .

E n un prism a triangular regular, se inscribe un cilind ro. ¿Q ué relación existe entre las áreas lateral es de estos dos cuerpo s?

21 7

Geom etría 10 .

U n cilind ro con tiene las tres cuartas partes de su volum en con agua. S i se inclina com o se m uestra en la figura, ¿cuánto debe m edir " " para que elagua no se derram e?

14 .

S ea A B C -P Q R un prism a triangular regular cuya arista básica m ide 6 dm . S e traza un plano secante que pasa por P B y co rta a R C e n E. Si :EC = 4 dm y ER = 6 dm , calcular el volum en del sólido A B C -P B E .

15 .

L as bases de u n p aralelepípedo recto son rom bos cuyas regiones tienen áreas i gual a S . L as áreas de 1 las seccio nes determ inadas por los planos diagonales S S son iguales a y 3 , respectivam ente. C alcular el 2 volum en de dicho paralelepípedo.

16.

C alcular el volum en d e un recto edro, cuyas dim ensiones son congruentes,a las aristas básicas de un prism a recto triangular de volum en "V ", cuya altura es igual al d uplo del diám etro de la circunferencia circunscrita a su base.

17 .

E lárea de una d e las caras de un prism a triangular es 2 de 24 u y la arista opuesta dista de dicha cara en 10 unidades. C alcular el volum en de dicho prism a.

18 .

C alcular el volum en de un cilind ro recto circunscrito a

R

2R



Pr act iquemos : 11 .

En una piscina de 40 m de largo,12 m de ancho y 3,5 m de alto, se i n troducen 720000 litros de H O . 2 ¿A qué distancia del borde llega elH O ? 2

12 .

13 .

21 8

C alcular el volum en d e un cilind ro generado por la rotación de un rectángulo alrededor de un lado, si el área del rectán gulo generado r es igual a 1 6 y la longitud de la circunferenci a que describe el punto de intersecció n de las diagonales es g iual a 2 .

C alcular la altura de un prism a pentagonal regular de 2 d e área total, siel área de la base es 50 m 2 y 440 m el apo tem a del pentágono m ide 5 m .

un prism a triangular regular, cuyas caras at leral es son cuadradas y el área d e la base dicho prism a es de 2 3 3 u .

TRILCE 19 .

20 .

C alcular el volum en d e un p rism a triangular regular circunscrito a una esfera de 6 unidades de d iám etro.

C alcular elárea total de un cilindro recto circunscrito a

23 .

24 .

una esfera d e 12 unidades de radio.

L a b ase de una pirám ide triangular regular de 24 un id ad es cúbicas d e volum en, d escansa sobre un a m esa, rent f e a la cualestá un espejo en posición vertical. S i las im ágenes de los vért ices de dicha base distan 7,7 y 13 unidades de la superficie del espejo, ¿cuál es la altura de la pirám ide? a) 5 3

b) 6

d) 2 3

e) 3 3

4 3

S e tiene un tron co d e prism a recto de b ases planas A B C D y D 'C 'B 'A '. L a prim era base es un cuadrado de 7 cm de lado y la segunda es un paralelogram o. H allar elvolum en del sólido, sabiendo que las aristas AA '= 4 cm ;BB '= 5 cm y CC '= 10 cm . 3 a) 228 cm

d)300 25 .


b)

c)286

H allar el volum en d el sólid o form ad o al un ir los puntos m edios de las ari stas de hexaedro regular, cuya arista m ide 8 cm . a) 512 cm 3 d) 116 0/3

L a base de un pa ralelepípedo recto es un rom bo,

b)268 e)343

b)1024/3 e) 15 36 /3

d ) 1280/3

cuya área es igual a S . L as áreas de las secciones diagonales son iguales a

26 .

elepípedo. . S 1 y S 2 . H allar elvolum en del paral

a)

c)

e)

22 .

S .S .S 1

2

b)

S .S .S 1

2

2

4

S .S 1 .S 2

S .S 1 .S 2

d)

3 S .S .S 1

S e tiene un tetraedro regular A B C D cuya arista m ida "a" y tal q ue sus vértices se encuen tran sobre la superficie de un cilindro recto que tiene por generatriz la arista A B . H allar elvolum en del cilindro.

a)

4 a 3 25

b)

3 a 3 16

d)

9 a 3 32

e)

7 a 3 40

5

c)

5 a 3 28

2

6

27 .

E n un cubo de arista L,a una distancia de "x" unidades de cada vértice sobre la arista, se efectúan cortes com o indica la figura (pirám ide triangular). S i la sum a de los volúm enes de estas pirám ides es igual a la quinta parte de lo que queda, la razón x/L , es :

L 28 .

x

S e tiene un tronco de cilind ro circular recto en el que su volum en es nu m éricam ente igual al valor d e su área lateral. S i la d iferencia entre las generatrices m áxim a y m ínim a deltronco de cilind ro es  , hallar la longitud de la elipse que constituye su base superi o r. a)  5

b)  7

d) 2  7

e) 4 

c) 2  5

U na chim enea de 3m de altura tiene form a prism ática hexagonal regular. H allar su espesor, si el volum en d e fábrica es igual al volum en interio r. E l lad o del hexágono interior

a)1/6 d)1/3

b)1/5 e)1/2

a)

3 (2  2

2 )m

c)

2 (2  2

2)

e)

3 (3  3 ) 2

c)1/4

2

2 .

b)

3 (3 2



2)

d)

3 (1  2

2)

21 9

Geom etría 29 .

C alcular el vo lum en d e un cilind ro o blicuo, si la

35 .

secci ó n recta es un círculo de 4 cm2 de área y form a con el plano de la base un diedro de 45º, adem ás la d istan cia d e pie d e la altura a la generatriz cuyo extrem o se traza la altura es 2

30 .

a) 16 2

b) 8 3

d) 16 3

e) 16 2

3 cm . c) 12 2 36 .

H allar el volum en d e un tron co de cilind ro recto de revolución en donde la generatriz m ayor es "a" y a l m enor es nula, las bases form an un diedro de 45º.

a) a 3 

d)

31 .

32 .

a

3



2

b)  2 a 3

e)

a

c) a 8

H allar el área lateral d e un cilind ro de revolución, sabiend o q ue un a secció n perpend icular a la base tiene área 2m 2 y d eterm inar, en ellas arcos,de m edida 90º? a) 2  cm 2

b)

d) 2  2

e) 2 

U na po blación tiene 500 h abitantes que consum en en p ro m ed io po r pe rso n a 12 litro s d e agu a diariam ente. D eterm inar elradio de un pozo cilíndrico que abastezca a a l población y que tenga capacidad para una reserva d e 25% del consum o diario y tal que la altura sea 4 veces eldiám etro.

3

3

a)

3

d)

1 2

3

E n un tronco de cilind ro circular recto, la diferencia de la generatriz m áxim a y la m ínim a es de  dm . S i el vo lum en es num éricam en te igu al al área lateral, calcular el perí m etro de la base elíptica. a)  5 dm

b) 10  5

d) 4  3

e) 2  2

c)  2



37 .

c) 2  5

C alcular el vol d eó nunrect tron co un cilcí ind roo oybl cuo, conoci endo queumlaen secci a es rcul fiorm a con la base m ayor un diedro de 45º;adem ás,elárea 2 de la base m ayor es de 60 u y las generatrices m áxim a y m ínim a m iden 10 dm y 4 dm en ese orden.

38 .

25 

3

25 

b)

3

e)

1 2

50

c) 3



3

75 

75 

S ea A B C -FE D un tron co de prism a triangular recto, donde la base recta es eltriángulo rectángulo isósceles A B C de hipotenusa AC = 3 2 . L a otra base FE D es un trián gulo eq uilátero y cuya cara lateral es un rectángulo cuya altura es una arista lateral y m ide 6 dm . C alcular el volum en de dicho tronco. a) 33,6 dm 3

b)41,5

d) 631,5

e)45,7

c)30,6

E n un tronco de cilindro circular recto, l a generatriz m ínim a es nula y las bases form an un d ied ro d e ángulo rectilíneo igual a 60º. C alcular elvolum en del

a) 24 0 6 dm 3

b) 160

c) 21 0 2

d) 19 0 3

sólido, sila sum a de las áreas de las bases es48 dm 2.

3

a) 695,32 dm

e) 220 2 33 .

34 .

c)895,32

H allar el volum en d e un tronco d e cilind ro recto circunscrito a una esfera de radio 2. E l diám etro de la base m ide 6 y la generatriz m ínim a d eltronco es nula. a) 60  d) 36 

b) 45  e) 40 

39 .

L a base de un prism a recto, cuya altura es iguala 1 m ; es un rom bo con lados iguales a 2 cm y ángulo agud o

a)

8 3 3

b)

3 3 2

d)

2 3 3

e)

3 3 3

c)

4 3 3

b) 96 5,23 d )348,23

e) 665 ,32

c) 12 

d e 30º. Po r un lad o d e la b ase se traza un plan o secante entre él y el plano d e la base, form an un ángulo igual a 60º. H allar elárea de la secci ó n.

22 0

3

A B C D -A E FD es un tronco de prism a recto, dond e la base recta A B C D es un trapecio isósceles cuyas bases B C y A D m iden 10 d m y 20 dm , en ese orden. Si A B m ide 1 3 d m y las bases form an u n d iedro d e 60º, calcular elárea de la base AE FD . a) 460 dm 2 d)480

40 .

b)260

c)360

e)370

E n un tronco de cilindro circular recto, se encuentra inscrita una esfera de radio iguala 6 dm . E l eje m ayor de la elipse form a un ángulo de 37º con la generatriz m áxim a. D eterm inar elvolum en de dicho tron co. a) 576  d) 46 8 

b) 49 6  e) 58 6 

c) 136 

TRILCE 41 .

U n tron co d e cilind ro oblicuo tiene com o sección recta a un círculo de 8 dm de perím etro. L as generatrices m áxim a y m ínim a m iden 14 dm y 4 dm ,en ese orden. C alcular la rel ación entre el volum en y la generatriz m ayor del tronco.

72 a) 7

 dm

47 d) 5



2

62 b) 5 73 e) 6



27 c) 8

46.

levantan las perpendiculares A E y C F la plano del cuadrado AB C D . Si :A E = 6 dm y C F = 9 dm ,calcular elvolum en del sólido de la base AB C D , aristas l ateral es A E y C F . (E F es un arista de la parte superi o r del sólido).



a) 5 dm 3 d) 8



47 . 42 .

G rafique al triángulo A B C , de m od o qu e : AB = 6 dm , BC = 8 d m , y AC = 10 dm . Perpendicularm ente a su plano se levanta A E , B F y C H que m iden 2 dm , 8 dm y 4 dm en ese orden. C alcular el volum en d el sólido A B C -E FH . a) 112 dm 3 d)224

43 .

b)168

c)336

e)102

b) 72 

d) 94 

e) 98 

b) 10 e) 9

48 .

c) 12

C alcular elárea total de un tronco de prism a regular, cuya base es un cuadrado de 3 dm de lado. L as bases fo rm an un án gulo d e 4 5 º y do s aristas laterales opuestas son congruentes y de longitud igual a 8 dm . a)117,69 d) 217 ,69

b)123,42 e) 17 1,69

c)107,82

S e tiene un prism a recto triangular A B C -D E F inscrito en un cilindro equilátero, de m odo que : AB = 6

E n un tronco de cilindro circular recto, las generatrices m áxim a y m ínim a m iden 10 dm y 4 dm en ese orden. S i el diám etro de la base ci rcular es congruente al eje del sólido, calcular elárea lateraldel sólido. a) 48  dm 3

2 dm ; se

El lado de un cuadrado AB C D , m ide

3 ;BC = 6 y AC = 12.

C alcular la longitud d e m en or recorrid o sobre la superficie lateral del cilindro para ir de B a un punto de la generatriz A D y luego hacia F.

c) 49 

a) 6 4  5  2 c) 3 12  5 

b) 12  d) 2 36  25  2

2

e) 15  44 .

L a figura m uestra a un tronco de cilind ro2 recto, do nd e elárea de la sección A B C D es de 18 d m y la distancia de "O " a D C es de 3,6 d m . C alcular el volum en del tronco de cilindro recto.

49 .

E n la base de un cilind ro de revolución se inscribe un hex ágo no regu lar A B C D E F, lue go se trazan las generatrices Al, B M , D N y E O . C alcular la razón de los

D

volúm enes del cilind ro y del sólido A B D E -L M N O . 

C

a)

b)





d)

A

B

O

a) 14  dm 3

b ) 24 

c) 18 

e) 21 

50 .

e)

3

2

c)

6 

5 

U n cilindro rect o contiene agua hasta cierto nivel. S e suelta un tetraedro regular m etálico y el nivel del agua

c) 9 

sube en 2

2 u nidades.C alcular la altura deltetraedro, , 2

siel área de la base del cilindro es de 9 u . 3

45 .

E n un tron co de prism a recto (cuya sección recta es un triángulo), se in scribe una pirám ide cuya base es la m ism a d el tronco y cuyo vértice es el pu nto d e intersecció n de las m edianas de la otra base.C alcular la relación de volúm enes de esto s sólidos.

a)

1 9

b)

1 3

d)

2 9

e)

2 3

c)

a) 2 3 

d)

43



3

b) 2 6 

e)

c) 12

6





2

1 2

22 1

Geom etría 51.

Lo s puntos A y B son los extrem os de una m ism a generatriz de un cilindro de revolución, cuyo radio de base m ide 3 unidades y su altura es de 5 unidades. C alcular la m ínim a longitud de la curva para ir de A a B , d ando una vuelta sobre la superficie lateral del cilind ro.

S e tiene un tronco de cilind ro recto, cuya generatriz m enor es nula y su área lateral es igual a "S". C alcular elvolum en de dicho tronco; sisu área de base ci rcular es "B ".

a)

S B 3

b)

S 2

d)

S B 2

e)

SB 2

B

c) SB



2

a) 6 

b)

50

 18 

c) 3 5  3 

d)

25

 36 

2

e) 9  52 .

56 .

57.

S e tiene un tron co d e cilind ro o blicuo, cuyas generatrices m enor y m ayor m iden "a" y "b" unidades,

C alcular elvolum en de un cilindro recto, sieldesarrollo 2 de su superficie lateral tiene un área de 180  u y la d istan cia entre los centros de las bases de d icho

respectivam ente. C alcular el área lateral d e d icho tronco, siel área de su secci ó n recta es "S ".

cilindro m ide 15 un idades. a) (a  b) S a) 540  u

3

d) 56 0  53 .

b) 48 0 

c) 44 0 

c)

d)

a e) S (a  b ) 2

e) 380 

S

(a  b )

S a

b

E l área total d e u n prism a trian gular regu lar es 58 . 16 3 2 3( )u 2 . C alcular elvolum en del prism a, 2

cuya arista lateral es el r tip le de la arista básica. a) 12 u

3

b) 6 3

d) 12 3 54 .

b)

Sb

c)

3 2

C alcular el volum en d e un tron co de p rism a recto trian gular, cuya b ase es un trián gu lo rectán gulo isósceles de perí m etro igual a 4 (1  2 )un idad es y las aristas lateral es de dicho tronco m iden 7, 9 y 11 un id ades respectivam ente.

6

e) 18 3

L as aristas bási cas de un prism a recto triangular m iden

a) 24 6 u 3

b) 36

d) 30 3

e) 32 2

c) 30

u

3

20 , 21 y 29 unidades, respectivam ente. C alcular el volum en delprism a, cuya arista laterales igual al triple

59 .

del inradio de la base de dicho prism a. 3

b) 12 00

2

e) 42 00

a) 210 0 u d) 1800

55 .

3

c) 37 80

S e tiene un tronco de prism a oblicuo triangular, cuya secci ó n recta es un triángulo rectángulo isóscel es de cateto igual a 6 unidades de longitud y la distancia en tre lo s baricen tro s de las bases es igu al a 1 6 unidades. C alcular elárea lateralde dicho tronco. a) 90 (2 

A E y B F so n las generatrices m en o r y m ay or, respectivam ente, de un tronco de cilindro recto, cuyo diám etro A B de la base m ide 4 5 u nidades.B E es perpendicular a E F , de m odo que : EB = 12. C alcular el volum en de dicho tronco.

2 )u 2

c) 90 ( 2 

6)

b) 22 4 d) 12 0 (1 

3)

e) 288 60 .

Por los vértices B y C de un triángulo equilátero A B C , se levantan las perpendiculares BE y C F al plano del triángulo, de tal m anera que :

22 2

a) 26 0  u 3

b) 10 0 6 

d) 120 3

e) 30 0 



c) 280 

BE = 11,C F = 4 y BC = 6. C alcular el volum en del sólido A B C -E FA . a) 60 u 3

b) 45 3

d) 30 6

e) 90

c) 72

TRILCE

Claves 2 1.

a

41.

a

2 2.

e

42.

b

2 3.

d

43.

b

2 4.

e

44.

b

2 5.

b

45.

b

2 6.

d

46.

b

2 7.

c

47.

c

2 8.

c

48.

d

2 9.

d

49.

d

3 0.

c

50.

a

3 1.

c

51.

d

3 2.

c

52.

a

3 3.

d

53.

c

3 4.

c

54.

c

3 5.

d

55.

a

3 6.

b

56.

b

3 7.

d

57.

b

3 8.

a

58.

b

3 9.

c

59.

e

4 0.

a

60.

b

22 3

Geom etría

22 4

TRILCE

Capítulo

PI RÁ M I DE - CO N O - TRO N COS

19

*

PIRÁMIDE

Volumen :

(V )

1

V = 3 . S BASE . h en cualquier pirám ide

Elementos :

*

Vé rtice : O

*

B ase : A B CD

*

Altura :H

*

A rista laterales : O A , O B , ......

Notación

CON O D E R EVOLUCIÓ N O

: g h

Pir ámi de : O - AB CD O

H

r

A H D

A B

* *

G eneratriz :g Radio de la base :r

*

D esarrol lo del Área La teral (A

C

L)

Pi rámi de Regul ar : O

O

g

g

°

A

h

A

Ap

B

C 2 r

H

ap

A *

M *

Ár ea L at er al ( A L )

D

*

Apotem a de la pirám ide : A P Apotem a de la base :ap

*

Sem iperím etro de la base : P

*

Área Lateral

AL = *

Área T ot al (A T )

*

Volumen

BASE

: (A L )

A L = P BASE . A P *

AT =



V =

1 3



rg

r (g+ r)

(V) 

r2 h

Área T ot al : (A T )

A T = P BASE (A P + aP )

22 5

Geom etría TR ONCO DE PIRÁ MID E Y CONO

TR ONCO DE PIRÁMIDE REG

Secci ón par alel a a la base de una pi rámi de y de un cono recto :

* * *

O

ULAR

A potem as de las bases: a'p, y ap. Apo tem a deltronco: Ap Sem iperím etro de las bases: p'y p.

S1

h R

O'

a'p

N

H

P

Ap

h

Q C

O

S2

A

ap

M

B

*

Área Latera l (A L )

AL

g' g

*

H

r'

AT *

Prop iedade s : A LO A LO

A 'L

 



AL VO VO

2.

PQ R ABC

A T'

A TO A TO

g'2



2

AT PQ R  ABC

V ' V g3

h3 H3



3



 

PQ R ABC

r'2



2

g



g '3

* *



r' r3

(p ' p ).A p


r

1.



h





h2 H2





O P2 OA2





AL



S1



S2

Vol umen (V)

V

PQ 2 AB 2



h (S 3 1

S 1 .S 2





S 2)

TR ONCO DE CO NO O DE REV OLUCIÓ N

h2 2

r

H

OQ3 OB3



* *

Q R3 BC 3

R adios de las bases: R y r G eneratriz del tronco: g

r

B

O'

3



h H3

g

h

V' = volum en delcono som breado. V = volum en d elcon o m ayor.

A

O

R

TR ONCO DE PIRÁ MID E

*

Área Lateral (A

L)

A L = (r +

S1 h

*

R)g =




r2 +

AT = AL +



S2

* *

22 6

Vol umen (V)

Vol umen (V)

V



h (S 3 1



S 1 .S 2



S2)

g(r+ R )



V



V



h 3

2

(r

h (r2 3







2

r R



2

R r R 2 )

2

R )

 

R2



TRILCE


En * * *

el cono recto, hallar: Área lateral Área total Vo lum en

04 .

C alcular la m edida del ángulo del desarrollo que se obtiene, al desarrollar la superficie lateral del cono m enor, si tiene una generatriz paralela a la generatriz m ayor, h  15 ;R = 1.

10

6

h R

02 .

H allar el volum en de un cono d e revolución de área lateraligual a "m ". La distancia del centro de la base a 05 . una de sus generatrices es 2n.

C alcular la longitud de la a ltura d e un a p irám ide cuadrangular regular, si el lado de la base m ide "a" y el área de dicha base es los 4 del área total. 9

06 .

Se tiene una pirám ide V-A B C D tal que AB C D es un paralelo gram o cuyas diago nales m iden A C = 10 y B D = 8. H allar el valor de: E

03 .



(V A )2



(V C )2



(V B )2



(V D )2

C alcular el volum en de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateralse m uestra.

R= 8

22 7

Geom etría 07.

E n la figura, calcular la distancia "P" a la base superior, sielcilindro recto m ostrado es equivalente a 18 conos de revo lució n com o el qu e se ind ica en su p arte interior, la altura de dicho cono m ide 8 cm .

Practi quemos : 11 .

U na pirám ide cuadrangular regular tiene com o arista básica 5dm y es cortado m ediante un plano paralelo a la base a 6dm de su vértice. Si la secció n que se determ ina es de 4d m 2 d e área, hallar elvolum en del tronco de pirám ide que se determ ina.

12 .

La altura de un cono recto se divide en tres segm entos congruentes por dos puntos, por dichos puntos se trazan plano s paralelo s a las bases. C alcular el volum en de la parte m ayor, si elvolum en delcono es de 27m 3.

13 .

E n una pirám ide cuya base es un triángulo equilátero, su altura es igual al radio del círculo circunscri to a la base.A una distancia igual a la m edida del inradio de la base,se traza un plano paralelo a ésta que determ ina un tronco de pirám ide cuyo volum en se pide calcular en función del circunradio R de la base.

P

08 .

C alcular el volum en d e un a pirám ide cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya base es un cuadrado d e lado "a".

09 .

Se tiene un cono recto de altura 40 y rad io 3 0, se inscribe una esfera en el cono, cuya línea de tangencia lo ha dividido en dos sólidos. C alcular el volum en del cono superio r.

10 .

E n u na pirám ide hexagonal regular, su altura m ide 18 y la arista d e la base m ide 12. C alcular a qué 14 . distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para que la secci ó n resultante tenga un área de 72 3 .

22 8

¿A qué distancia d el vértice de una p irám ide cuya altura m ide 8 cm , se debe trazar un plano paralelo a la base para que se determ ine dos sólidos equivalentes?

TRILCE 15 .

E lárea lateralde un cono d e revolución m ide "M " y la 20 . distancia delcentro de la base a una de sus generatrices m ide "N ". E ntonces elvolum en de dicho, cono es:

16 .

D ado es una"b". pirám regul hexagonal aristahal d learla la base Si ilde a ari staarlat eral m ide, la"3b", distancia del pie de la altura a una arista lateral.

Pr oblemas pr opu es to s 21.

17.

E n una pirám ide cuadrangular regular, la arista lateral form a 37° con el plano base. C alcular elvalor del ángulo diedro que form a la cara lateralcon la base.

Los volúm enes que genera un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de sus catetos son de 3dm 3 y 4d m 3. C alcular el volum en que genera el triángulo cuando gira alrededor de la hipotenusa.

22 .

D eterm inar el volum en de un tronco de cono de revolución, cuyas bases tienen com o áreas 16  dm 2 y 81 dm 2 . A dem ás, el área total del tronco es de 26 6 dm 2 . a) 352 dm 3

b) 432 

d) 532 

e) 84 2 

c) 502 

C alcular el volum en d e un tron co de cilind ro recto, conociendo que la secci ó n recta es un círculo y form a con u na b ase m ayor un d iedro de 4 5°; adem ás el área de la base m ayor es 60u y las generatricesm áxim a y m ínim a son 10 y 4u, respectivam ente. 3

18.

C alcular el área lateral de un cono de revolución de altura "h", si la porción de perpendicular trazada a una generatriz por un punto de la circunferenci a base e interceptada por la prolongación de la altura m ide "a".

23 .

a) 210 2 u

b) 18 0 2

d) 24 0 2

e) 19 0 2

E n un tron co de pirám ide cuadrangular las bases distan 2 3 u , la arista básica m enor m ide 2u y las caras laterales est án inclinadas con respecto a la base un ángulo diedro cuya m edida es 60°. C alcular elárea de la superficie total. a) 116 u 2 d)102

24 .

19 .

b)96 e)100

c)104

E l volum en de un tronco d e cono de revolución es 336  cm 3 la altura m ide 4cm y el radio de la base m ayor es eldoble del radio de la base m enor. H allar el radio de la base m ayor.

La generatriz de un cono m ide 12dm y la superficie

a) 12cm

lateraldesarrollada form a un sem icírculo. Calcular el volum en de d icho cono.

d) 5 25 .

c) 220 2

b) 6

c) 8

e)

4 2

U na cuerda delcírculo base de un cono circular recto de 8m de altura, m ide 16m . La distancia d e la cuerda al centro del círculo de la base es de 4m . C alcular el área lateral del cono. a) 12  m 2

b) 48 5

d) 96 5

e) 48 





c) 96 

22 9

Geom etría 26 .

Sea F-A B C D una pirám ide donde las aristas laterales son congruentes y m iden 5 2 dm . A B y B C m iden 8d m y 6d m en ese orden. C alcular el volum en d el sólido, sabiendo adem ás que la base es un rectángulo. a) 80/3 dm 3 d)90

27 .

28 .

b) 40 e)50/3

34 .

b) 64 

d) 54 

e) 60 

149

 c) 1060 19

1600  20

b) 2 26 e) 5 26

c) 3 23

b)506 e)600

b)2/3 e)3/5

b)53°

c)3/2



c)

A rcC tg 2

e) 30°

Por el incentro del triángulo A B C cuyos lados m iden 5m , 6m y 7m , se traza la perpend icular al plano de dicho triángulo. Si : IO = 2 2 , hallar la sum a de las áreas de las caras laterales de la pirám ide O -A B C . c) 12 6

b) 14 6

d) 6 6 38 .

c) 18

Se tiene una pirám ide cuadrangular regular en la cual una arista lateraly la altura form an un ángulo cuya m edida es 30°. C alcular la m edida del ángulo diedro qu e form a el plan o de la b ase y u n plan o perpendicular a una arista lateral.

a)144

c)512

c) 60

b) 12  e) 36 

d) A rcTg 5

Se da una pirám ide regular de base cuadrada S -A B C D con elvértice S, por los puntos A y B y elpunto m edio de la arista SC se ha trazado un plano. ¿E n qué relación el plano divide al volum en de la pirám ide? a)1/2 d)3/4

b) 90 e)75

H allar el volum en de u n cono recto d e altura 3m , sabien d o q ue el plan o q ue pasa p o r el vértice determ ina en la base una cuerda que subtiende un arco de 120° y que la secció n determ inada por dicho plano es un triángulo rectángulo.

a) 45°

37 .

c) 79 0 

e) 648 

a) 9  d) 24  36 .

C alcular elvolum en de una pirám ide cuya base es un trapecio rectángulo de diagonales perpendiculares y base m ayor igual a 16m . A dem ás, se sabe que el pie de la altura de la pirám ide coincide con el punto de intersección de las diagonales de la base y que los ángulos diedros cuyas ari stas son las bases m ayor y m enor d el trapecio rectán gulo; m iden 45 ° y 53°, respectivam ente. a) 482 m 3 d)525

31 .

e)

b) 810 

E n un cono recto de revolución d e vértice "O " y diám etro A B , en la base,se trazanA P y B Q cuerdas secantes, qu e form an un án gulo de 45 . H allar m ) PO Q , sila altura del cono es igual al radio de la base. a) 45 d)120

En una pirám ide S-A B C , la base AB C y la cara SB C son triángulos equiláteros. Si : A S = 4 y B C = 6, calcular el volum en de la pirám ide S-A B C .

a) 4 23 d) 26 30 .

c) 46 

Se inscribe una esfera en u n con o cuya base tiene 35 . un a longitud de 10 dm y u na altura d e 12 dm . C alcular elárea de la secci ó n que determ ina los puntos de tangencia de la esfera y la superficie lateral del cono.

d) 1200 

3

d) 84 0 

E n un cono recto d e revolución , el pun to m edio d e una generatriz dista de la base 6dm . Si el radio es de 4dm , calcular la capacidad de dicho cono. a) 32  dm 3

E n un cono de revolución, se inscribe d os esferas de radios 2dm y 6dm . C alcular el volum en del cono.

a) 190 dm

c) 80

 a) 1600  dm 2 b) 16 0 16 9 19

29 .

33 .

e) 18 6

La base de una pirám ide es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isóscel es rect ángulos. Si las ari stas laterales m iden 4 dm , calcular el área total de la pirám ide. a) 4 (6  2 3 )m 2

b) 2(2  3 3 )

c) 4 (3  3 3 )

d) 3(4



2 3)

e) 5 (6  2 3 ) 32 .

Se con struye un cono circular recto d e 10dm de altura y se le inscribe una esfera de 8dm de diám etro, ¿cuál 39 . es el volum en del cono? a) 40 0  dm 3

b) 800 

d) 700  3

10 0 e) 3

3

23 0

3

c) 500  3

H allar elvolum en de una pirám ide irregular O -A B C D , sabiendo que su base A B C D es un cuad rado de lado "a", su cara lateral A O B es un triángulo rectángulo (recto en "O ") y su cara l ateralC O D es un triángulo equilátero.

TRILCE a) a 3 3 /12

b) a 3 3 /4

c) 2 a 3 3 /3

d) a 3 2 /12

44 .

e) a 3 2 /4 40.

a)

D e una lám ina de lata circular de radio "R ", se extrae un sector circular de 120º, com o se m uestra en la figura, uniendo los extrem os O A y O B se construya un em budo. C alcular la capacidad d e dicho em budo.

3

120º

R

a)

2 81



2 R3

b)

4 9

c)

2 27



2R3

d)

2 87

e)

5 27



3R3



3 R3 46 .



2R3

área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las bases y elvértice com ún de los conos es: b)

c) h r2

e)

42 .

43 .



3

3 a) L 2

3 b) L 2

3 d) L 5 12

3 e) L 5 8

d) 2 2 r h

3 c) L 2

10

8

U n tron co de pirám ide equivalente a un hexaedro regular tiene com o altura a la arista del hexaedro regular. H allar el área total del hexaedro conociendo que eltronco de pirám ide tiene por bases 1m2 y 4m 2 . a) 13 m 2 d)15

b) 9 e)16

c) 14

H allar elvolum en d e un tronco de cono de revolución, cuyo desarrollo del área lateral es un trapecio circular de área 30  , si la altura y la generatriz del tronco m iden 3 y 5u respectivam ente. a) 30  d) 33 

r hr rh 3

h2

e) 19

19 3

12

Se tienen do s conos rectos congruentes tangentes po r sus generatrices y cuyos vértices coinciden, si sus 47 . alturas son "h" y el radio de bases es r"; " entonces el

2hr a)

3

C alcular el volum en d e una pirám ide d e bas e

B

41 .

c) 3 19

b) 3 19

triangular en la que dos de sus caras son triángulos equiláteros cuyo lad o m ide L y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles.

O

R

19 3 u 3

d) 19 45.

A

Las bases de un tronco de pirám ide regular hexagonal tienen 4u2 y 9u 2 d e áreas respectivam ente; y su altura es iguala la arista de un hexaedro regular equivalente. C alcular el volum en de dicho tronco.

48 .

h r3

b) 31  e) 36 

c) 32 

D os bases de un tron co d e con o circular son do s círculos de radios que m iden 3 y 6m . Si la generatriz m ide 6m , hallar la longitud del rad io de la esfera circunscri ta.

h 2  r2

La altura y el diám etro d e la base de un cono recto m iden 18 y 24 unidades respectivam ente. E n el cono, se inscribe u n cilind ro recto cuya área to tal es al cuya 26 0  u 2 . C alcular elvolum en del cono parci base es la base superio r del cilindro. 3 a) 500  u

b) 48 0 

d) 42 0 

e) 400 

b)30 3 e)39

49.

b) 4

5c) e) 8

C alcular el volum en de un tronco de cono de revolución, dond e los radios de las bases m iden a y 3a. A dem ás, el área lateral es igual a la sum a de las áreas de sus bases.

c) 440 

E n un tronco d e pirám ide regular cuadrangular, el plano que pasa por un lado de la base m ayor y el lad o o puesto d e la base m eno r form a con la base m ayor un ángulo d e 60°. C alcular elvolum en de dicho sólido silos lados de las bases m iden 3 y 3 3 . a) 26 3 d)70

ma) 3 d) 6

a) 5,5 a 3

b) 3,5 a 3

d) 6,5 a 3

e) 7 a 3

c) 4 ,5 a 3

c)60

23 1

Geom etría 50.

C alcular el volum en d e un tron co de p irám ide 56 . circunscrito a una esfera, cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases.A dem ás,la sum a y elproducto de las lo ngitudes de dos ari stas básicas diferentes es igual a "S" y a "P" respectivam ente.

C alcular la altura d e un tronco de pirám ide regular cuadrangular A B C D -E FG H , si el área de la sección plana BF H D es B 1 y e lárea de la secci ó n determ inada en el sólido por un plano equidistante a sus bases es B 2.

a) P (S 2



P)

b) 2 P (S 2

a)

c) S (P 2



S)

d) P (S 2

2

3

e) S (P 2 P 51.

52 .



S

12 P )



3 2

b)

6 2

d)

5 2

e) 2 3

58.

d) 82 h 3

e) 14 h 3

5

3

b)621 e)126

c)162

rad ios de sus bases m iden 5d m y 2dm . S i el área laterales de 35  dm 2 , calcular el ángulo central del desarrollo lateral.

d)

23 2



2

b) 4  3

e) 6  5

c) 2  3

B2 2 B1

B1  B 2

6 2

c) 3 6

E n un a pirám ide triangu lar regular O -A B C

2 u 3 6 d) 3

3 2 5 e) 2

59.

b)

a) 1,4  u 3

60 .

c)

6 2

C alcular el volum en de un tronco de cilindro circular recto, en el cual se inscribe una esfera, ad em ás la generatriz m ayor y m enor m iden 4u y 1u. b) 1,6  e) 2,4 

d) 2,2 

E n un tronco de cono circular de bases paralelas, los

5 a) 7 rad

b) 9 e)

a)

c) 33 6

E l lado de la base m ayor de un tronco d e pirám ide regular cuadrangular m ide 6 2 m y su altura 3m ; las aristas laterales form an ángulos de 45° con el plano de la base m ayor. C alcular su volum en.

c)

trirectángulo en "O ", el volum en es 3 u 3 , 2 calcular la distancia del centro de la base a la arista lateral?

c) 28 h

C alcular elvolum en d e un tronco de cono recto,cuyos radios de las bases m iden 3 d m y 9 dm . A dem ás, el área lateraldel sólido es de12 0  dm 2 .

e)

B2 1 B2

Las áreas de las bases elípticas de un tronco de cono oblicuo son de 32  dm 2 y 72  dm 2 . D eterm inar el valor de la altura de dicho tronco, sabiendo que su volum en es de 30 4  dm 3 . a) 12dm d) 6

4

E n un tronco de pirám ide cuadrangular regular, las aristas básicas m iden 4m y 2dm . Si la altura delsólido m ide h dm , calcular la capacidad del sólido. b) 28 h

b)

B 1B 2

c) 5

3

a) 27 h dm 3

B2 1 2B 2

d) B  B 1 2 57 .

a)

a) 216 m 3 d)136 55.

P)

2S )

a) 324  dm 3 b) 31 2 d) 36 0 e) 34 8  54 .



E n un tronco de pirám ide triangular regular, la arista lateralse encuentra inclinada 45° respecto de la base m ayor. C alcular la relación entre elapotem a deltronco y su altura.

4

53 .

3S

c) 1,8 

L as bases de un tron co d e cono circular son los círculos de radios 3u y 6u. Si la generatriz m ide 6u, ¿cuál es la longitud del radio de la esfera circunscrita? ua) 6 d) 9

b) 5

8c) e) 10

TRILCE

Claves 21.

d

4 1.

d

22.

a

4 2.

a

23.

c

4 3.

e

24.

b

4 4.

d

25.

b

4 5.

a

26.

c

4 6.

c

27.

b

4 7.

b

28.

a

4 8.

d

29.

a

4 9.

d

30.

c

5 0.

b

31. 32.

e b

5 1. 5 2.

d c

33.

e

5 3.

b

34.

c

5 4.

e

35.

c

5 5.

e

36.

e

5 6.

a

37.

c

5 7.

d

38.

a

5 8.

d

39.

a

5 9.

b

40.

a

6 0.

a

23 3

Geom etría

23 4

TRILCE

C ap ítulo

20

ESFERA I

Área = 2

SUPERFIC IE ESFÉRIC A

E s la superficie q ue gen era la rotación d e una sem icircunferencia alrededor de su diám etro.



RH

CA SQU ETE ESFÉ RIC O

E s la porción de superficie esférica que se encuentra a un lado de un plano secante a la esfera. R

H

O C ircunferencia m áxim a

R O

D iám etro = 2R 2 Á rea = 4 R Área = 2



RH

H USO ESFÉRIC O

E s la porción de superficie esférica lim itada por dos circunferencias que tienen el m ism o diám etro. B

R M

O bservaciones : E n la figura, exi sten dos casquetes esféricos. TE OREMA DE PAPPUS

360º

O



A B = diám etro

R N

S G  2 A B L A

L

M

R O



A

B

= Sector circular R N

Á rea =

R

2

90 º

E je

ZO NA ESFÉRIC A

O bservaciones :

E s la porción de una superficie esférica com prendida entre dos planos paralelos a la esfera.

R O

"A " = C entro de gravedad de la curva. "L" = Longitud de la curva.

H

h = altura entre los planos secantes. 23 5

Geom etría

Tes t de a pr endizaje pr

elim in ar

01 .

C alcular el volum en de una esfera, si el área de su círculo m ayor es igual a 36  u 2 .

02.

H allar elárea de la superficie esférica en la cual elárea de uno de sus círculos m áxim os es 100 m 2.

03 .

Se inscribe un cubo en una esfera de rad io

3m .

C alcular su arista.

06.

Si el área lateral de un cilindro recto es 9m2, hallar el área de la esfera inscrita.

07 .

H allar la relación entre las áreas de un hexa ed ro regular y d e la superficie esféri ca circunscrita al hexaedro.

08.

H allar el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3u y altura 4u.

09.

H allar la relación entre las áreas to tales entre un cilindro equilátero y la esfera circunscri ta al cilindro.

04 .

H allar el rad io d e la esfera inscrita en un co no equilátero de altura 9.

05.

H allar elárea de la esfera in scrita a un cubo, sielárea 10 . de la esfera ci rcunscrita es 180.

23 6

¿A qué d istancia d el centro d e una esfera es 17m de rad io de be pa sar un plan o secante p ara q ue la intersecció n tenga 8m de radio?

TRILCE 16.

Se tienen dos esferas m etálicas de radios "a" y "2a". D ichas esferas se funden y se construye un cilindro recto cuya altura es "3a". C alcular elradio de la base del ci lindro.

17.

H allar el área de la esfera inscrita en un tronco de cono de revolución d e volum en 810u3 y d e área total de 486 u 2.

18.

C alcular los radios de las esferas nscr i ita y circunscrita

Practi quemos : 11.

D eterm inar la superficie de una esfera inscrita a un cubo, que a su vez está inscrita a una esfera cuya superficie es 18u2 .

12 .

Se tienen 3 bolas idénticasde vo lum en 36m 3. C alcular la altura del cilindro m ás pequeño que contenga las bolas.

13 .

U na esfera tiene 3m de rad io. ¿A qué distancia d el centro debe trazarse un plano secante para que la sección o btenid a sea 1/3 d el área de u n círculo m áxim o?

14.

Se tiene un alam bre de 2 m 2 d e secci ó n transvers al, con elque se form a un ovillo esférico de 3m de radio. C alcular la longitud del alam bre.

15 .

E l área de un círculo m áxim o d e una esfera m ide , 16 dm 2 . Se traza un plano secante por el centro, determ inand o dos sem iesferas. C alcular el área de una de estas sem iesferas.

en un tetraedro regular cuya arista es 4 6 .

19 .

D eterm inar elárea delcasquete esférico que prod uce un plano secante a una esfera de 18u2, de área, trazada a una distancia delcentro iguala la m itad de la longitud del radio.

20 .

E lárea delhuso d e 20° es 50 m 2 . H allar la longitud del radio de la esfera.

23 7

Geom etría 28.


22 .

4b) e) 12

b) 3

b) 2 



d) 4  29 .

E lárea de una esfera es de 40 0 dm 2 . D icha esfera es tan gen te a to do s los lad os d e u n ro m bo . L a distancia delcentro de la esfera alplano del rom bo es de 4dm . C alcular elárea de dicho rom bo, sila longitud de su lado es de "L" dm .

2

d) 8 2 L

e) 1

b)120 e)160

c)180

30 .

C alcular elárea de la zona esférica de dos bases,cuyos radios de base m iden 6 y 8 unidades y se encuentran a uno y otro lado del centro de la esfera que contiene a d icha zona. A dem ás,se sabe que la altura es de 14

2

c) 8 L2

b) 2 21 L e) 4 21 L

D ado un tetraedro O -A B C , trirectángulo en "O ". Si : O A = 6u, O B = 12u y O C = 18u. C alcular la longitud del radio de la esfera inscrita al tetraedro. a) 2u d)2,8

31 .

c) 3 

e) 5 

a) 12 L2 dm

4c)

U na esfera, cuya superficie tiene una área de 36 u 2 , está inscrita en un prism a recto de base triangular rectangular. C alcular elvolum en delprism a m encionado sabiendo que la hipo tenusa en su base m ide 7u. a) 150 u 3 d)140

24.

6c)

a)

D eterm inar la altura de una zon a esférica de una base, en una esfera de radio 8 u d e m od o q ue el área de esta zona aum entada en el área de su base es igual a los 7/16 del área de la esfera. ua) 2 d) 5

23.

ángulo diedro A B d e60º.Si: B O  2 3 y elángulo A B O m ide 30º, calcular elárea de la esfera.

¿C uánto m ide la cuerda de un arco generado r de un casquete esférico cuya área es 36 ? 3a) d) 9

U na esfera de centro "O " se encuentra inscrita en un

b) 2,5 e)4

c) 3

E n una esfera de radio 10u, a qué d istancia delcentro hay que trazar un plano secante para que las áreas de los dos casquetes form ados estén en la relación de 2 a 3. a) 1u d) 2

b)1,5 e) 3

c) 2,5

unidades de longitud.

25.

a) 140 u 2

b) 12 0 2 

d) 100 3 

e) 28 0 

27 .

b)R /4 e)R /6

a) 24 u 3

b) 32 

d) 42 

e) 18 6

4

cuyo ángulo diedro determ inado po r sus caras laterales m ide "  ".C alcular " ". a)90° d)45°

b)60° e)30°

c)53°

c)R /3 33.

c) 36  

34 .

Tres esferas de radios 9u, 16u u 25u son tangentes exteriorm ente entre sí. U n plano tangente a las tres esferas determ ina 3 puntos de tangencia que son los vértices de un triángulo, cuyo perím etro se desea conocer. b)96 e)85

E n una esfera de radio "r", un casquete esférico de altura i gual a r , es equivalente a un huso esférico, ,

C alcular elvolum en de una cuña esférica;cuyo ángulo d ied ro es d e 4 5 ° y e l área d el hu so e sférico correspondiente es igual a 18 u 2 .

a) 83u d)86

23 8

32.

D adas tres esferas de radio R ; tangentes exteriorm ente dos a dos y apoyados a un plano. H allar elradio de la esfera tangente a las tres esferas y al plano. a)R /2 d)2R /5

26 .

c) 14 8 

c) 94

H allar elradio de la esfera circunscrita al octaedro regular de arista "l".

a)

l 2 2

b)

l 2 3

d)

l 2 5

e)

l 2 6

c)

l 2 4

H allar el área d el casquete generad o po r un arco cuyos extrem os son los de una cuerda de longitud "a". 2 a) a

2 b) 2 a

2 d) 3 a

e) 2 a 2

2

2

3

c) a 2

TRILCE 35 .

Se tiene una esfera en la que elárea delcírculo m áxim o es "S ". H allar el área total de dos sem iesferas que resultan al partir a la esfera. a) S 4 d)8S

36 .

b) 5 S e)9S

41.

E n un cono equilátero, se inscribe una esfera de radio "r". H allar elvolum en del cono parci al que determ ina el plano que contiene los puntos de tangencia de la esfera;con las generatrices del cono.

c) S 6 a)

D eterm inar la altura de u na zona de un base de u na esfera de 8u de radio, de m odo que la superficie de esta zona aum entada en la superficie de su base sea igual a los 7/16 de la superficie de la esfera.

d) 42 .

3

r

6 4  r3 9

b) e)

3

r

c)

3

3  r3 8

2  r3 3

D ado un o ctaedro regular de volum en 9 2 u 3 , hallar el área de la superficie esférica inscri ta al octaedro.

ua) 14 d) 37.

38 .

39 .

b) 2 e) 5

C alcular elárea de la superficie esférica de una esfera in scrita e n un con o eq u ilátero d e 648 u 3 de volum en. a) 184 u 2

b) 17 8 

d) 15 8 

e) 144 

a) 3  u 2 d) 6  43 .

c) 164 

Sob re un plano reposan cuatro esferas iguales de radio "R ". Tres de ellas hacen contacto entre sí de dos en dos y la cuarta tiene contacto con dos de estas tres. Sobre estas esferas se colocaron dos esferas g iuales 44 . de m eno r diám etro que hacen contacto una con la otra y con tres de las esf eras dadas inicialm ente. Hallar la relación entre los rad ios de las esferas grande y pequeña. a)

2u

b)

d)

5

e) 7

45.

7

9

d) 5

e)

46.

8

b) 5

5

c) 5

2 47.

L

N S

a) 40 u 2

b) 50 

d) 70 

e) 75 

a) 6  u 3

b) 9 

d) 6 3 

e) 12 

c) 3 6 

H allar la relación entre las áreas de un hexa edro regular y d e la superficie esféri ca circunscrita al hexaedro. a) 3/ d) 2/

b) 4/ e) 3/2 

c) 5/

H allar el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3u y altura 4u. a) 8  u 2

b) 9 

d) 7 

e) 6 

c) 60 

48.

c) 12 

H allar la rela ción entre las áreas de las superficies d eterm ina d as al trazar un plan o secan te qu e se encuentra a una distancia igual a la tercera parte del radio de la superficie esférica. b)2/3 e)1/4

c)3/4

D ada una superficie esférica de radio 3u circunscrita a un cono de revolución de altura 4u y elplano tangente a la esfera en un punto de la base del cono. H allar la distancia delvértice delcono al punto en que eleje de éste, encuentra al plano. a) 15u d) 9

R

P

c) 5 

U n sem icírculo d e diám etro A B , gira alrededor de su diám etro en un ángulo de 60°. C alcular el volum en del sólido generado si : A B = 6u.

a)1/3 d)1/2

E n elgráfico,calcular elárea de la superficie generada po r el rectángulo PQ R S al girar 360° en torno a L. Si :3PQ = 2PS = 3N S = 6u.

Q

b) 4  e) 9 

c) 6

3

E n un cono de revolución cuya generatriz m ide 5 u, se inscribe una esfera tal que el plano que contiene a la circunferencia tangencialdeterm ina un cono deficiente de 2u de generatriz. C alcular el área del casquete m enor form ado. a) 6  u 2

40.

3c)

b) 13 e) 12

c) 11

Se tiene un tetraedro regular de arista "l". C alcular el radio de la esfera que es tangente a todas las aristas.

a) d)

l l

2 2

b)

2 5

e)

l l

2 3

c)

2

l

4

2 6 23 9

Geom etría 49.

U na superficie esférica es dividida por dos planos en 55. dos casquetes y una zona. H allar la altura de la zona, siel área de la zona es lo s 3/5 de la sum a de las áreas de los casquetes y elradio de la superficie esférica es 8R . a) 4R d)5R

50 .

b) 6R e)2R

la línea de tangencia de am bas figuras?

51.

volum en. 2 a) 6 2 u

b) 2 6

d)

e) 6 

b)4/21 e)3/26

2 ;

3 y 2

unidades, respectivam ente. 9 b) 2 

15 d) 2 

e) 9 

57 .

E n un cilindro recto, se inscriben dos esferas tangentes exterio res ub icad o s un o sob re o tro. C alcular el

a) 12 3 u 3

b) 14 3

d) 24 

e) 10 6

a) 16 u 3

53.

c) 84 

b) 75  

e) 48 3

59 .



C alcular elárea de una esfera, sabiendo que las áreas de d os círculos m enores paralelos distan tes 3u y situados a un m ism o lado del centro, tienen áreas de u

2 y 16  u 2 .

a) 34  u 2 d)72 54.

c) 68

60.

es de 16 dm 2 . Si la generatriz m áxim a m ide 8 dm , calcular elvolum en del tronco.

R

d)36

24 0

b) 28 e)48

c) 18 



c) 30

b)

8 3  3

c) 18 

e) 15 

C alcular el vo lum en d e la e sfera inscrita en un hexaedro regular cuya diagonal m ide 12 unidades. a) 60  u 3

b) 32 3 

d) 48 

e) 36 2 

c) 30 6 

E n u na esfera d e rad io R , está inscrito u n co no equilátero.¿A qué distancia del centro de la esfera se debe trazar un plano paralelo a la base del cono de m odo que la diferencia d e las áreas que determ ina el plano en la esfera y elcono sea igual al área de la base del cono? b)R /4 e)3R /4

c)R /3





E l área de la esfera in scrita al tronco de cilindro recto

a) 25 dm 3

3  2

a)R /5 d)R /2

b) 48 e)48



C alcular el volum en de una esfera equivalente a un cono equilátero de 4 u 2 de área de base.

d)

d) 60 2



c)12 

C alcular elárea de la superficie esférica de una esfera, si la distancia en un punto de la proyección de la 58 . circun feren cia m áxim a sob re un plan o tan gen te paralelo al plano de dicha circunferenci a m áxim a, al centro de la esfera es giual a 6 unidades. a) 72  u 2



volum en delcilindro, sidichas esferas tiene volúm enes iguales a 4 3 u 3 .

C alcular la superficie de una esfera circunscrita a un

a) 6  u 3

6

c)3/22

o rtoe d ro, cuya s dim en sio ne s so n

52.

c) 3 3



c) 3R

E n un cono de revolución , está inscrita una esfera 56. cuya superficie es igual al área de la base del cono. ¿En qué relación se divide el área lateral delcono por

a)4/25 d)3/25

C alcular el área de la superficie esférica, de una esfera inscrita en un tetraed ro regular de 18 2 u 3 de

C alcular elvolum en de la esfera inscrita en un cilind ro equilátero de 54 u 3 de volum en. a) 45 u 3

b) 48 

d) 60 

e) 36 

c) 54 

TRILCE

Claves 21.

c

41.

c

22.

c

42.

d

23.

c

43.

a

24.

e

44.

d

25.

c

45.

b

26.

c

46.

d

27.

c

47.

e

28.

c

48.

c

29.

e

49.

b

30.

a

50.

b

31.

d

51.

e

32.

d

52.

a

33.

a

53.

c

34.

c

54.

d

35.

c

55.

e

36.

d

56.

a

37.

e

57.

b

38.

a

58.

b

39.

d

59.

e

40.

d

60.

e

24 1

Geom etría

24 2

TRILCE

C ap ítulo

21 ESFERA SÓ LID A

ESFERA II

SEGM ENTO ESFÉ RIC O

E s el sólido generado por un sem icírculo cuando gira una revolución com pleta alrededor de su diám etro.

E s elvolum en determ inado por la zona esférica y dos círculos paralelos en la esfera.

R1

A

R

H

h = 2R

V = B

4  R3 3

R2

CU ÑA ESFÉ RIC A V

E s una porción de la esfera sólida lim itado por 2 sem icírcu-



H

2

2

H ( 3

2 2  R 1  R 2)

los que tienen el m ism o diám etro.

SEGMENTO ESFÉ RICO DE U NA BASE Parte de la esfera l im itada por el casquete esféri co y su círculo m enor correspond iente.

A R O 

R O

B R1 H

360º 

4 3 R 3

C uña 4 3 R . Cuña  3 36 0º 



2 V  H (H  R 12 ) 2 3

3 V C uña  R  27 0 

24 3

Geom etría AN ILLO ESFÉRIC O

TE OREMA D E P APPUS GULDIN

E s elsólido generado por la rotación de un segm ento circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferenci a a que pertenece el segm ento circular.

G

l A x

B

B

CG

R

a A

h

O

R A

A nillo 

E je

área de la región plana. A = C G = centro d e gravedad del área "A ". distancia del centro de gravedad del área "A " al eje. x = V = 2 xA .

2 1  A B .h 6

SECTO R ESFÉ RIC O E s el sólid o generad o por un sector circular cuand o gira alrededor de un eje coplanar que pasa por su vértice.

A

R

O

h

B

2 V  2 R h 3

24 4

O

TRILCE


H allar el volum en de la esfera circunscrita a un cono

06 .

U n triángulo equilátero cuyo lado m id e "a" m etros, gira alrededor de uno de sus l ados.H allar elvolum en del sólido engendrad o.

07 .

U na esfera se encuentra inscrita en un cilind ro. S i el 2 área de la esfera más elárea totaldelcilindro es 90 u , hallar elvolum en de la esfera.

de revolución que tiene 6u de radio y 8u de altura.

02 .

H allar el volum en d e u na esfera circunscrita a un cilindro de revolución que tiene 96  u

3

de volum en

y adem ás la relación entre el rad io de la base y la altura es de 2 a 3.

03 .

S i elvolum en d e un cono de revolución equilátero es "V ", hallar el volum en de la esfera i n scrita.

08 .

04 .

H allar el volum en de un cono equilátero inscrito en una esfera d e volum en 96  u 3 .

09 .

05 .

H allar elvolum en de la esfera inscrita en un cilindro circular recto de 90  m 3 de volum en.

E l volum en d e una cuña esférica d e 45º es 32 u3 . 3 C alcular el área total de la cuña.

E n la figura m ostrada, calcular la razón de volúm enes d e los cilind ros de revolución, si el volum en de la esfera d e m ayo r rad io es igual a la sum a d e los volúm enes de las otras dos esferas de m enor radio.

R

24 5

Geom etría 10 .

C alcular el volum en de una cuña esférica, si el área del huso esférico de 30º es de 108  u 2 .

14 .

H allar elvolum en delsólido generado por elsegm ento circular, cuando gira 360º alrededor de la rect a "L" y R = 2u.

L B

A

R

x

O

Pr act iquemos : 11 .

C alcular elvolum en d elsólido form ado p or un círculo de rad io igual a 1u, cuand o gire alrededor de una recta tangente a dicho círculo.

12 .

D eterm inar la d istancia delcentro de gravedad de un cuarto de círculo A O B hacia O B , siendo : A O = OB = 6  u.

13 .

C alcular el volum en que genera el cuadrado de lado cuya longitud es 6 u al girar 360º alrededor del eje. D ato :  º = 15º.

H allar el volum en de una cuña esférica de 30º, si su área total es 12  .

16.

C alcular el volum en gener ad o po r la región som breada al girar 360º alrededor de "L ".

R

B

C º

A

D

24 6

15 .

3R

L

TRILCE 17 .

C alcular la relación de volúm enes que hay entre los sólidos generad os cuand o el trapecio (región) gira 360º alrededor de A C y C D .


A

4

3

E l volum en d e un tetraedro regular es 27 u . C alcular el vo lum en com prend id o entre la esfera

B

inscri ta y circunscri ta al tetraedro. a) 24 2

60º D

d)

39

2 

22 .



e) 39 3 

H allar el volum en d e una cuña esférica trazada para una esfera de 24 m 3 de volum en y con ángulo q ue m ide 30º. 5a) d) 2

23 .

18 .

c) 32 2



4

C

8

b) 28 2



A l rotar la región som breada un ángulo d e 360º

4b) e) 1

Se tiene una cuña esférica de 3 6  u 3 y 4 5º de ángulo diedro. H allar elradio de dicha cuña. a) 4 u d)8u

alrededor de la recta "L ", se obtiene un sólido cuyo

3c)

b) 9u e)3u

c) 6 u

volum en es : 24 .

5 5

3

a) 4  u 3 5 5  d) 13

L

25 .

19 .

H allar el volum en d e un segm ento esférico de u na base,sisu altura es 1 u y el área de su casquete m ide 2 u 2 . b) 2  3 2  e) 13

c) 6 13

E n la figura,elvolum en d elcon o es 18  cm 3 . C alcular el volum en de la sem iesfera.

U n h exágono regular de lado "a" gira 36 0º alreded or de uno de sus lados. E l volum en del sólido que se genera es : r a) 36  cm

3

d) 12 0  26 . 20 .



H allar elvolum en de una esfera inscrita en un octaedro regular cuya arista m ide "a".

b) 42 

r

c) 72 

e) 14 4 

C alcular el volum en d e una esfera cuya diferencia d e áreas entre la superficie esféri ca y el círculo m áxim o 2 es 9  u . a) 18  u 3 d) 6

3



b)4

3



c) 12 

e) 8 

24 7

Geom etría 27 .

31. E n un recipiente cónico (circular recto), lleno de agua se introd ucen un a esfera d e rad io 3 m y o tra d e diám etro 24 m , quedand o exactam ente la m itad d e ésta fuera del cono. L as esferas sontangentes entre sí y quedan ajustados a la superficie laterald el cono. C alcular el volum en d e agua q ue aú n q ued a en el reci p iente. a) 150  d) 34 8 

b) 33 0  e) 300 

En la figura :AB = PC = 6. E l volum en del sólido de revolución que se obtiene al rotar eltriángulo A B C alrededor de la rect a "L" es :

A

c) 312  B

28 .

E n un cesto, se ha n colocad o tres pelotas de igual

32 radio y elvolum en de una de ellas es( ) . H allar el 3 volum en del cesto.

P

a) 108  d) 27  32 .

C

b) 72  e) 24 

c) 60 

E n la figura, A B //O T , A B  R 3 , elvolum en de la esfera es 32 3  . C alcular el vo lum en d el cono equilátero.(T es punto de tangencia). B

A

a) 16  d) 30 

b) 22  e) 32 

Q

R

c) 48 

O T

29 .

D el gráfico, calcular la relación d e volúm enes que genera al rotar 360º el área de la regió n som breada sobre l o s ejes "y","x". y

33 .

R

30 .

a)



/2

b)



/3

d)



/6

e)



/8

c)



34 .

/4

b) 3

d) 12

e) 15 3 

3

b) 6  e) 15 

a) 564 

b) 67 2 

en un p lano, de m anera q ue están en contacto una con otra. U na quinta esfera d elm ism o radio se colo ca sobre ellas en el centro. H allar la distancia entre el 35 . punto superi o r de la quinta esfera y el plano.

d) 62 0 

e) 64 8 

2 )r

d) (1  2 )r

b) (2  2 )r e)

2r

c) (1 

2 )r

c) 9

3

c) 9 

L os lado s de un triángulo m iden 13, 14 y 15. C alcular el vo lum en d el sólid o generad o po r d icha región triangular al rotar 360º, sobre el lado interm edio.

C uatro esferas delm ism o radio d e longitud "r" están

a) (2 

c) 720 

H allar el volum en d e un segm ento esférico d e una sola b ase conociend o que el área d e su casquete esférico es cuatro veces elárea de la base y adem ás el radio de la esfera es 4 3 u . a) 23 0 3 u c) 225  3 e) 245  3

24 8

3

S e tiene un cono equilátero de altura 4 u, tom and o com o diám etro d icha altura se construye una esfera. C alcular el vo lum en d el segm ento esférico m ayo r determ inad o. a) 8  d) 12 

x

R

a) 18 3 

3

b) 14 0  3 d) 21 6 3

TRILCE 36 .

S e tiene un cubo, inscrito en una cuña, de tal form a que dos d e sus caras consecutivas están contenidas en lo s sem icírculos m áxim o q ue lim itan la cuñ a. C alcular la razón de las áreas de la superf icie esféri ca in scrita en d ich o cub o y e l h u so e sférico correspond iente a la cuña. a)3/2 d)6/5

b)5/3 e)7/3

41.

c)9/4 42 .

37 .

C alcular el volum en del anillo esférico lim itado po r la superficie lateral de un cilindro de revolución inscrito en una esfera y por la superficie de la esfera.S abiendo, adem ás que el cilindro y el anillo esféri co son sólidos equivalentes. E l área de la superficie esférica es 48 2 u . a) 11,50  3 u 3

b) 13 ,48  5

c) 11,52  5

d) 13 ,22  2

76 3  2u 3 64  2 c) 3 56  2 e) 3

49 3 61 d) 3

39 .

43 .



2



2

R 2

b)

R 3

c)

44 .

R 4

H allar elvolum en de la esfera inscrita en un octavo de esfera, cuyo radio m ide 2 ( 3  1)u .

46 .

R

47 . R

a) 16

b) 32 

32 d) 3

64 e) 3



c)

16 3

R 2

H allar la razón del volum en d e un a esfera al volum en del cono rect o circunscri to a esta esfera, sila superficie total del cono es "n" vec es la superficie de la esfera.

2 n 6 e) n 5 b)

c)

3 n 4

Se tiene un tetraedro A B C D ,en don de elvolum en es

inscrita relativa a la cara A B C .

e) R 6

d) 2R 5

e) 3 R

c) 

3 2 100 u ; el área total es 130u y el área de la cara 2 AB C es 15 u . H allar el volum en de la esfera ex-

E n un p lan o, se encuentran tres esferas iguales d e radio R ; cada una de las cuales hace contacto con otra 45 . de ellas. U na cuarta esfera hace contacto con cada una de las tres esf eras dadas y con el plano. H allar el radio de la cuarta esfera.

a)

40 .

b)

b) 2  R

R d) 3  2

1 n 4 n d) 3

C alcular elvolum en de una esfera tangente a las aristas de un tetraedro regular de arista 8u.

a)

a) R

a)

e) 12 ,28  3 38 .

H allar la lo ngitud d e luga r geom étrico d e lo s baricentros de las secci ones de una esfera por planos que pasan por una recta "L", la cual es tangente a la esfera de radio "R ".



a) 32  u 3

b) 25 

d) 36 

e) 64 

c)

28  3

U n sem icírculo d e diám etro 12u gira 12 0º alreded or del diám etro. Hallar elvolum en de la cuña esféri ca. a) 84  u 3

b) 96 

d) 78 

e) 80 

c) 10 4 

L a altura y diám etro d e un cono de revolución son 3 iguales al radio de una esfera de 4 u de volum en. C alcular el volum en del cono.

a)

1 3 u 3

b)

d)

1 5

e)

1 4

c)

2 5

2 3

S e tiene una región hexagonal regular de perím etro igual a 24. C alcular el m áxim o volum en generado al girar dicha región sob re u na recta co plan ar qu e contiene uno de sus vértices. a) 120 3 

b) 172 3 

d) 148 3 

e) 162 3 

c) 192 3 

C alcular el volum en de la sem iesfera inscrita en un tronco de cilindro recto, de m odo que la base ci rcular del tronco de cilindro coincide con el círculo m áxim o de la sem iesfera. A dem ás, se sabe que la generatriz m enor y el volum en d e dicho tron co es 4 unidades y 3 12 0  u , respectivam ente.



a) 32 6  u d) 72 

3

b) 64 

c) 24 3 

e) 36 3  24 9

Geom etría 48 .

D eterm inar la m edida d elángulo " " de m odo qu e el volum en generado al rotar la regi ó n cuadrada en torno del "L ", sea el m ayor posible.

54 .

C alcular el volum en de la esfera tangente a las aristas PA , PB y PC de un tetraedro regular P-A B C , en los vértices A, B y C , respectivam ente,siendo :3 3 u

2

el

área total del tetraedro.

E je "L" B

a)

6

u

d) 9 

3

c) 6 

b) 2 3  e) 3 2



A 55 . º

C

U na alam bre se enrolla de m od o que form a una esfera, sila secci ó n delalam bre es de  m m

2

y el radio de la

esfera form ad o es de 10 cm . H allar la longitud d el alam bre, siel porcentaje de vacíos de la esfera es del

D

a)15º d)60º

b)30º e)90º

10% . a) 1,2km d)1,6

c)45º 56 .

49 .

U na esfera d e radio igual1,5 u tiene elm ism o volum en que un cono circular recto, cuyo radio de la base es 0,75u. H allar l a altura del cono. a) 24u d)10

50 .

51 .

53 .

a)

3 6

b)

6 3

d)

6 2

e)

6 9

c)

3 9

57.

H allar la longitud del radio de la sem iesfera inscrita en el tetraedro regular cuya arista m ide 1 m . 3 a) 9

b)

3 3

S e tiene una pirám ide hexagonal regular por elcentro de la base de dicha pirám ide, se ha trazado un plano paralelo a una cara lateral . H allar la rel ación entre el área de la secci ó n determ inada y el área lateralde la pirám ide.

6 3

e)

3 2

a)

5 4

b)

5 6

d)

2 3

e)

5 24

b) 100 e)125

c) 150

H allar el vo lum en gene rad o, al rotar la siguien te

l

2 U na esfera de área 144 u es cortada por 2 planos que form an entre síun ángulo diedro de 60º,de m od o que la recta de intersecció n de los planos es tangente a la esfera y el plano bisectriz contiene un diám etro de la esfera. H allar elvolum en de la parte de la esfera com prendida en el ángulo diedro.

a) 288  u 3

b) 198 

d) 12 6 

e) 26 4 

a)

3 dm ,

C alcular el volum en del anillo esféri co que se obtiene al girar 360º, el segm ento circular BC , alrededor de un eje diam etral paralelo a B C . b) 27 

d) 32 

e) 72 

R

c) 243 

E n una circunferencia de diám etro igual a 4

a) 36  dm 3

10 7

Se funde una bol a de plom o d e radio 5 cm , para obtener bo las cuyo rad io sean de 1 cm cada u na. ¿C uántas bolas de plom o se obtendrán en elproceso? a) 50 d)175

58 .

c)

superficie alrededor del eje l .

6 c) 9

se traza la cuerda B C de m odo q ue :m BC = 120 º.

25 0

c) 1

c) 15

H allar la relación de los volúm enes entre las esferas inscrita y circunscrita en un m ism o hexaedro regular.

d)

52.

b) 18 e)12

b) 3 e)2,4

c) 12 

d)

2R 3

2

4 R 3 7

2 3 b) 3  R 2

e)

2 3 R 3

3 c) 3 R 5

TRILCE 59 .

H allar el vo lum en d el sólid o generad o al girar el triángulo equilátero A B C , alrededor de L .

L B

60 .

S egún el gráfico, siendo : 2 2 AB = 5 y (A P )  (PB )  12 . C alcular el volum en del sólido generado por la región som breada al girar 360º en torno a la recta A B .

360º A

a C

A

a)

a

3

3

2

3 d) a 6 3

P

C

b)

a

e) a

3

3

4 3

2

6

c)

a

3

B

3

3 a) 5  d) 9 

b) 12  e) 25 

c) 10 

25 1

Geom etría

Claves

25 2

21.

e

4 1.

a

22.

d

4 2.

a

23.

c

4 3.

b

24.

b

4 4.

b

25.

e

4 5.

b

26.

b

4 6.

c

27.

c

4 7.

a

28.

c

4 8.

c

29.

e

4 9.

a

30.

a

5 0.

c

31. 32.

b c

5 1. 5 2.

c b

33.

c

5 3.

a

34.

b

5 4.

a

35.

d

5 5.

a

36.

c

5 6.

a

37.

c

5 7.

e

38.

c

5 8.

b

39.

b

5 9.

b

40.

d

6 0.

c

TRILCE

ÍN D I C E C apí tulo 1

Ángulos

......................................................................................................................................................................

9

C apí tulo 2

Tri áng ul o s................................................................................................................................................................

21

C apí tulo 3

Co ngr uenc ia de Tri ángul os .....................................................................................................................................

33

C apí tulo 4

Pol ígo n os

...................................................................................................................................................................

45

C apí tulo 5

Cu adr iláter os

............................................................................................................................................................

55

C apí tulo 6

Circunferencia

...................................................................

.........................................................................................

67

C apí tulo 7

Angulos en la Circ

unfere ncia

........................................................

.............................................................

.............

79

C apí tulo 8

Puntos Notables

........................................................................................................................................................

91

C apí tulo 9

Proporcionalidad

y Semejanza

.........................................................................

.......................................................

105

C apí tu lo 1 0

Relaci on es M é tr ic as en un Triángu lo Rect ángu lo ................................................

................................................

117

C apí tu lo 1 1

Relacio nes M é t ric as en Cu alqu ier Triángul o ....................... ..........................................

...................................

....

127

C apí tu lo 1 2

Relacio nes Métr ic as en la Ci rcu nferenc ia ..........................................

..........................................

..........................

137

C apí tu lo 1 3

Pol ígon os Regu lar es

..................................................................................................................

...............................

14

9

C apí tu lo 1 4

Áreas de las Re gion es P oli gonal es y R elacio nes de Áreas

.......... ............. ......... ............. .......... .......... ............ ......

159

C apí tu lo 1 5

Áreas de Reg ion es Cur vas .....................................................

.......................................................

...........................

179

C apí tu lo 1 6

Geometr ía del Espacio Perpendicu

lar - D iedro - Triedro

.... ...... ....... ...... ....... ...... ....... ...... ....... ...... ....... ...... ....... .

191

25 3

Geom etría

Ca pí tu lo 1 7

Poliedros - Poliedr

os Reg ulares ...............................................................................................................................

203

Ca pí tu lo 1 8

Prisma - Cilindro -

Tronco

.................................

..........................................

...................................

...........................

213

Ca pí tu lo 1 9

Pir ámi de - Con o - T ron cos

......................................................................................................

...................................

22

5

Ca pí tu lo 2 0

Esfera I

.................. ................... ..................... ................... ..................... ................. ................... ..................... ............

235

Ca pí tu lo 2 1

Esfe ra I I ...................................................................................................

25 4

......................................................................

243

Compe Geometría Trilce.pdf

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