Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007) Valores de verdad de los Operadores Lógicos. Lógicos. Artículo no publicado. (p.1-6). UNEFA. Caracas.
Dada la importancia de los conectivos señalados en la lectura anterior, es pertinente establecer los valores de verdad (v ó f) de cada proposición compuesta (molecular o resultante) para cada cada conectivo. A tal efecto, se utiliza la Tabla de Verdad, la cual se construye partiendo de la valoración de cada una de las proposiciones componentes (atómicas).
Negación Es útil para estas lecturas, tener en cuenta que el signo utilizado para negar una proposición es variable según el autor. Presentamos a continuación algunos signos utilizados para negar una proposición.
No
Distintas notaciones de la negación p ' ~p ¬p p
p
p
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por p (se lee "no p") que le asigna el valor de verdad contrario al de p . Por ejemplo: p :
Luis habla inglés
p :
No es cierto que Luis habla inglés
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p
p
Observamos que
V
F
F
V
Si p es V (verdadera entonces, la negación le corresponde el valor de F Si p es F entonces, la negación le corresponde el valor de V
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. Ejemplo: La negación de p : todos los peces viven en el océano es p :
no es cierto que todos los peces viven en el océano, o
p :
no todos los peces viven en el océano, o
p :
Los peces no todos viven en el océano.
Conjunción Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p q (se lee " p y q "), que establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. Cuando una de ellas no se cumple, es decir, es falsa, la proposición resultante es falsa. A continuación presentamos la tabla de verdad de la conjunción Si las dos son verdaderas Si por lo menos una de ellas es falsa
p
q
p
V
V
V
V F F
F V F
F F F
p
q
La conjunción es verdadera La conjunción es falsa
Ejemplo: Sea la proposición molecular:
8 es múltiplo de 2 y 9 es un número impar
p
p : 8 es múltiplo de 2;
q
q : 9 es un número impar
Por ser ambas verdaderas, la conjunción entre ellas, es verdadera. Ejemplo: Sea la proposición molecular: La fresa es una fruta y 3 es un número par. Esta conjunción es falsa, pues:
q
p :
La fresa es una fruta, es verdadera, mientras que
q:
3 es un número par, es falsa.
Por tanto, esta proposición p q es falsa, ya que proposiciones no pueden ser simultáneamente verdaderas.
ambas
Disyunción Inclusiva: Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición p q (se lee " p o q "), que establece que la disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsas, la proposición resultante es falsa. A continuación presentamos la tabla de verdad inclusiva p q :
Si por lo menos una es verdadera Si las dos son falsas
p
q
V V F F
V F V F
p
de la disyunción
q
V V V F
La disyunción es verdadera Es falsa
Ejemplo: Sea la proposición molecular: El cielo es azul o el Centro Banaven lo llaman El Cubo Negro. Esta disyunción es verdadera, pues: p
: El cielo es azul, es verdadera y
q
: Centro Banaven lo llaman El Cubo Negro es verdadera,
por tanto, esta proposición p q es verdadera, ya que ambas proposiciones son simultáneamente verdaderas. Ejemplo: Sea la proposición molecular: El número uno, es el elemento neutro de la suma o el número 44 es par. Esta disyunción es verdadera, pues: p :
El número uno es el elemento neutro de la suma, es falsa y
q:
el número 44 es par es verdadera, por tanto,
la proposición verdadera
p
q es
verdadera, pues por lo menos una de ellas es
Ejemplo: Sea la proposición molecular: Los Carnavales se celebran en el mes de Diciembre o La navidad es en el mes de Agosto. Esta disyunción es falsa, pues: p :
Los Carnavales se celebran en el mes de Diciembre, es falsa
q:
La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa,
por lo tanto, la proposición proposiciones son falsas.
p
q
es falsa, ya que las dos
La disyunción exclusiva Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción exclusiva de q (se lee " o p o q "), la estas proposiciones a la proposición p misma establece que la disyunción exclusiva es verdadera si sólo una de las dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas, la proposición resultante es falsa. A continuación presentamos la tabla de verdad q: exclusiva p p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
de la disyunción
q
p
Ejemplo: Sea la proposición molecular: O el número uno es el elemento neutro de la multiplicación o el número 44 es par.
Esta disyunción exclusiva es falsa, pues: p :
El número uno, es el elemento neutro de la multiplicación, es verdadera y q:
el número 44 es par es verdadera,
por tanto, la proposición que ambas p q es falsa, ya proposiciones son verdaderas y por definición, sólo una debe ser verdad. Ejemplo: Sea la proposición molecular: Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año o La navidad es en el mes de Agosto. Esta disyunción exclusiva es verdadera, pues: p :
Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año, es verdadera y q:
La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa,
q es verdadera, pues una y sólo una de por tanto, la proposición p las dos proposiciones es verdadera.
El Condicional El condicional de las proposiciones " p y q " es la proposición p entonces q ) cuya tabla de verdad es: p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p
p
q (si
q
La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente del condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Ejemplo: Supongamos la implicación
entreno, entonces me inscribo en la competenci a R: Si p
q
El condicional R está compuesto de las proposiciones p
: entreno y
q:
me inscribo en la competencia
Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la proposición condicional R, en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones y q . El enunciado puede pensarse como un compromiso, p condicionado por p , y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir, si no entreno, quedo liberado del compromiso y me inscriba o no en la competencia, el condicional es verdadero. Si p es verdadera, es decir si entreno, y no me inscribo en la competencia, el compromiso no se cumple y la proposición R es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición R es verdadera pues el compromiso se cumple. Ejemplo:
1² = ( –1)²
1 = –1 (F)
La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente verdadero, 1² = ( –1)² y el consecuente (1 = –1) falso.
El Bicondicional El si y sólo si de las proposiciones p y q es la proposición lee " p si y sólo si q") cuya tabla de verdad es:
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p
q
p
q (se
Si y sólo si o el bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. El bicondicional puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse p ) , como vemos: mediante la tabla de ( p q ) (q
p
Ejemplo:
q
p
q
q
p
( p
q)
(q
V V
V
V
V
V F
F
V
F
F V
V
F
F
F F
V
V
V
Sea
p)
R: a = b si y sólo si a 2 = b2
El enunciado está compuesto por las proposiciones: p :
Este bicondicional Si p es F, es decir a casos es V.
a = b;
a=b b, y
q es
q:
a2 = b2
a2 = b2 es falso. V, es decir a 2 = b2. En los demás
Hacer la tabla de verdad para este bicondicional p
q
a=b
a2= b2
V
V
V
F
F
V
F
F
p
q
En las próximas lecturas trabajaremos con fórmulas proposicionales, para ello es indispensable el uso de las prioridades de los conectivos y los signos de agrupación, que listaremos a continuación:
Prioridad 1) Signos agrupación
de
()
[ ]
2) La Negación
~p
3) La conjunción, la disyunción inclusiva y exclusiva 4) Condicional Bicondicional
,
y
,
,
Esta tabla nos indica que: 1) Primero resolvemos las fórmulas parciales que se encuentran entre paréntesis, de adentro hacia fuera. 2) Luego resolvemos las negaciones 3) Después los conectivos, conjunción y disyunción inclusiva o exclusiva 4) Por último el condicional y/o bicondicional. Para la siguiente fórmula: ( p ~ (q
r ))
s
Se resuelve primero el paréntesis más interno (q ( Prioridad 1) Luego negamos el resultado de (q
r ) (Prioridad
Después usamos el conectivo anterior (Proridad 3)
con
p
r )
2)
y el resultado
Finalmente el resultado obtenido se resuelve con el condicional
TABLAS DE VERDAD Para la construcción de la tabla, la dividimos en dos partes. La parte izquierda la llamaremos margen y a la derecha la llamaremos cuerpo. En el margen colocaremos los valores de verdad de las variables proposicionales que intervienen. El número de dichas componentes determina la cantidad de posibles combinaciones de valores de verdad que aparecerán en la tabla. Este número total de combinaciones se calcula con la operación 2 , donde la base indica los únicos dos valores que puede asumir una variable proposicional (V o F), y el exponente el número de variables proposicionales que intervienen, ejemplo: n
En la proposición (~ p q) ~ q , intervienen dos variables proposiciones ( p y q), el número de combinaciones para construir la tabla n 2 2 2 4 , por lo tanto el sería margen queda como lo muestra la figura a la derecha
Posibilidades
p
q
V
V
1ra
V
F
2da
F
V
3ra
F
F
4ta
margen
El cuerpo se va formando con las proposiciones parciales hasta llegar a la proposición compuesta final, es decir, se agregan tantas columnas como proposiciones atómicas se encuentren agrupadas (en paréntesis), leyendo la fórmula de izquierda a derecha para iniciar el cuerpo de la tabla, y respetando las prioridades de los conectivos y signos de agrupación. Siguiendo el ejemplo anterior tenemos:
Primero agregamos al cuerpo de la tabla la proposición ~ p p
q
V V F F
V F V F
~p F F V V
Luego agregamos al cuerpo de la tabla , (~ p p
q
V V F F
V F V F
~p F F V V
(~ p
q)
q)
V F V V
Agregamos ~ q p
q
V V F F
V F V F
~p F F V V
(~ p
V F V V
Y por último, agregamos la fórmula conectivo p
q
V V F F
V F V F
margen
~p F F V V
(~ p
V F V V
q)
q)
(~ p
~q F V F V
~q F V F V q)
(~ p
cuerpo
~ q y valoramos el q)
F F F V
~q
Ejemplo 1: Construir la tabla de verdad correspondiente la proposición compuesta r
~ ( p
q)
Solución: Observe que la proposición posee 3 componentes ( p, q y r ), por lo que tiene 8 combinaciones , 2 3 ,y se sigue el mismo procedimiento del ejemplo anterior para construir el margen y el cuerpo.
p
q
p
r
q
~ ( p
q)
r
~ ( p
V V V
V
F
F
V V F
V
F
F
V F V
F
V
V
V F F
F
V
F
F V V
V
F
F
F V F
V
F
F
F F V
V
F
F
F F F
V
F
F
margen
q)
cuerpo
Ejercicios. Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones compuestas: 1. ~ [ p
(q
r )]
;
2. [~ p
~ q]
[~ p
(~ q
~ p )]
