Es una operación que permite efectuar diferentes maneras o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado. Nos permite resolver problemas prácticos. Por ejemplo, cuántas
placas
de
automóviles
podemos
formar
utilizando un conjunto dado de letras y dígitos. Nos sirve de base para la solución de problemas de probabilidades.
Es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive. Se le representa por n! (se lee “n factorial”) : n! = n (n -1) ( n- 2).... 3 x 2 x 1 = n ( n- 1)! Por definición : 0! = 1
Ejemplo: Sean: 1!=1 3! = 3 x 2 x 1 = 6 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Una permutación de n objetos diferentes tomados de r en r es una ordenación de r objetos entre los n dados. Es decir, la cantidad de maneras en que se pueden disponer en términos de orden:
FÓRMULA:
P r
n
n!
(n r )!
La Empresa Minera Golden S.A.C. acordó elegir dentro de su Directorio conformado por 10 miembros, los cargos de Presidente, Secretario y Tesorero. Determinar el número de diferentes arreglos de los 3 elegidos entre los 10 miembros del Directorio.
DESARROLLO:
n
P r P 3
10
n!
( n r )! 10! (10 3)!
P 3 720
10
Se llama combinación de n elementos tomados de r en r, a los grupos que se pueden formar con esos elementos, tales que, dos grupos se consideran distintos únicamente cuando tienen algún elemento diferente. Por lo tanto, el interés de las combinaciones siempre se relacionan con el número de diferentes subgrupos que pueden formarse con n objetos.
n
C r
n! r !( n r )!
Supongamos que 3 miembros de la Empresa Minera Golden S.A.C. de un total de 10 miembros van a ser escogidos para ocupar los cargos de Presidente, Secretario y Tesorero. Determinar el número de grupos diferentes de 3 personas que pueden ser escogidas sin tener en cuenta los diferentes cargos en la que cada grupo podría ser escogido.
n
C r
n! r !( n r )!
10!
10
C 3
10
C 3 120
3!(10 3)!
1.1. EXPERIMENTO Acción sobre la cual vamos a realizar una medición u observación. •
Determinístico (Cuando el resultado se puede determinar).
•
No determinístico (Cuando el resultado NO se puede determinar).
1.2. RESULTADO Toda posible consecuencia de realizar un experimento.
1.3. ESPACIO MUESTRAL - S Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
1.4. EVENTO Es un subconjunto del espacio muestral.
2. PROBABILIDADES: DEFINICIÓN Es la probabilidad de que realizado un experimento ocurran determinados resultados
3. ENFOQUES DE PROBABILIDAD 3.1. ENFOQUE CLÁSICO Todos los resultados posibles de realizar un experimento tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Hallar la probabilidad de obtener el numero 5 al lanzar un dado.
Desarrollo S
1,2,3,4,5,6
P A
a a
b 1
P x 5
P x 5
0,1667
1 5
a = Posibilidad Favorable b = Posibilidad Desfavorable
4. PROBABILIDAD DE EVENTOS 4.1. PROBABILIDAD DE UN EVENTO AISLADO No tiene vinculación con otro evento.
Determinar la probabilidad de que de una baraja de naipes bien mezclada se extraiga el as de espadas.
1 P( A) 0,0192 52
4.2. PROBABILIDAD DE DOS O MÁS EVENTOS. 4.2.1. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir simultáneamente. La probabilidad del evento A ó B es: U P ( A B) = P ( P( A U B)
=
) =0
P( A) + P( B )
¿Cuál es la probabilidad de extraer una dama o un rey de una baraja de naipes bien mezclada?. DESARROLLO S 52 cartas
Re y
P ( A)
Dama P ( B )
4 52 4
52 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B )
4
4
52 52 P ( A B ) 0,1538
4.2.2. EVENTOS NO EXCLUYENTES. Dos o más eventos no son excluyentes o conjuntos cuando es posible que ocurran ambos. P( A U B) = P( A) + P( B) - P( A y B )
Sea A el evento de obtener un As y B el evento de obtener un corazón en una sola oportunidad de sacar una carta de la baraja. Determinar la probabilidad de sacar un As o un corazón o ambas en una sola oportunidad.
As P ( A)
4 52
Corazón P ( B )
13 52
As y corazón P ( A y B )
1
52 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) P ( A B )
4
13
52 52 P ( A B ) 0,3077
1 52
4.2.3. EVENTOS INDEPENDIENTES. Dos o más eventos son considerados independientes si los eventos en ningún modo se afectan uno al otro.
P ( A y B)
P ( A) P ( B )
Una ánfora contiene 4 bolas rojas y 3 bolas azules. Se extrae una bola de la ánfora y después se la devuelve al ánfora. Otra bola es extraída después de la devolución. Determinar la probabilidad de que ambas extracciones sean bolas rojas.
1º extracción Roja P ( A)
4 7
2 º extracción 4 Roja P ( B ) 7 P ( AyB ) P ( A) xP ( B )
P ( AyB )
4
x
4
7 7 P ( AyB ) 0,3265
4.2.4. EVENTOS DEPENDIENTES Si A y B están relacionados de tal manera que la ocurrencia de B depende de la ocurrencia de A , entonces A y B son denominados eventos dependientes y la probabilidad del evento B es llamado probabilidad condicional.
Una ánfora contiene 4 bolas rojas y 3 bolas azules. Se extrae una bola de la caja y no es regresada a la caja antes
de
sacar
la
segunda
bola.
Determinar
probabilidad de que ambas bolas sean rojas.
la
DESARROLLO 1º Extracción Roja P ( A)
4 7
B 3 2º Extracción Roja P A 6
B P ( AyB ) P ( A) xP A 4 3 x 7 6 P ( AyB ) 0,2857 P ( AyB )
5. TEOREMA DE BAYES Si A1; A2;...; An son n eventos mutuamente excluyentes, de los cuales al menos uno de los A i (i = 1,2,... n) debe ocurrir, y sea B un evento cualesquiera del espacio muestral S , la Probabilidad condicional de la ocurrencia de A i cuando el evento B ha ocurrido es:
B A A1 P i B P A1 P B P A2 P B .... P An P B A1 A2 An P A1 P
B P Ai P A Ai i P n B B P A1 P Ai i 1
1. En un depósito hay 3000 cajas de plumas de las marcas A,B,C,D,E. De ellas hay 500 cajas de plumas deterioradas. Las cajas se distinguen de la manera siguiente: MARCA
TOTAL DE CAJAS
TOTAL DE CAJAS DEFECTUOSAS
A B C D E Total
200 300 1000 800 700 3000
50 40 300 80 30 500
Se elige en forma aleatoria una caja y se le encuentra defectuosa determinar la probabilidad de que la caja defectuosa sea de la marca A.
B P A1 P A A1 P 1 B P A1 P B P A2 P B P A3 P B P A4 P B P A5 P B A1 A2 A3 A4 A5 200
x
50
A1 3000 200 P B 200 x 50 300 x 40 1000 x 300 800 x 80 700 x 30 3000
200
3000 300
3000 1000
3000 800
50
A1 B
P
300 500 3000
A1 0,1 B
P
3000
700
•
En cuántas formas diferentes puede elegirse Presidente, Secretario y Tesorero para un Club Deportivo entre 8 candidatos
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En un examen para ocupar un cargo en el Departamento de Control de Calidad de una Organización Empresarial en Ingeniería se presentaron 4 candidatos. ¿De cuántas diversas maneras pueden ser asignados los 4 cargos diferentes a los 4 candidatos?
•
Para integrar la Comisión de Promoción Bodas de Plata se inscribieron 8 personas. ¿Cuántas comisiones diferentes de 6 personas pueden formarse?
•
En cuántas formas diferentes puede elegirse 2 profesores asociados entre 6 candidatos y 3 profesores principales entre 5 candidatos para el Consejo de Facultad.
•
Para realizar una campaña en Drogadicción y Alcoholismo se debe escoger a 4 médicos y 9 psicólogos. Estos se deben elegir entre dos grupos: uno de 7 médicos y otro de 12 psicólogos ¿De cuántas maneras diferentes pueden formarse?
FIN
