Capítulo 4 MAXIMIZACIÓN DE LA MAXIMIZACIÓN UTILIDAD Y ELECCIÓN
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Críticas a los Métodos Económicos • Se dice a veces que ningún individuo real
hace el tipo de cálculos requeridos para una maximización de la utilidad • El modelo de maximización de la utilidad predice muchos aspectos del comportamiento • Por lo tanto, los economistas asumimos que la gente se comporta cómo sí en realidad hicieran tales cálculos 2
Críticas a los Métodos Económicos • Se dice a veces que ningún individuo real
hace el tipo de cálculos requeridos para una maximización de la utilidad • El modelo de maximización de la utilidad predice muchos aspectos del comportamiento • Por lo tanto, los economistas asumimos que la gente se comporta cómo sí en realidad hicieran tales cálculos 2
Críticas a los Métodos Económicos • El modelo económico de elección es
extremadamente egoísta debido a que nadie tiene metas tan autorreferentes. • Nada impide, en el modelo de maximización de la utilidad, que los individuos obtengan satisfacción del “hacer el bien” 3
Principio de Optimización • Para maximizar la utilidad, fado un monto
fijo de ingreso para gastar, un individuo comprará los bienes y servicios: – que agoten su ingreso – por los cuales la tasa física de intercambio
entre bienes (la TMS) es igual a la tasa a la que los bienes pueden ser intercambiados unos por otros en el mercado 4
Ejemplo Numérico • Asuma que la TMS del individuo es 1 – está dispuesto a cambiar una unidad de x por una unidad de y • Suponga que el precio de x = $2 y que el precio de y = $1 • El individuo puede estar mejor – cambia 1 unidad de x por 2 unidades de y en el mercado 5
Restricción Presupuestaria • Asuma que el individuo tiene I dólares para distribuir entre los bienes x y y p x x + py y I Cantidad de y I
py
Si todo su ingreso se gasta en y , este es el monto máximo de y que puede ser comprado
Al individuo solo le alcanza para escoger las combinaciones de x y y que se encuentran en el triángulo gris
Si todo su ingreso se gasta en x , este es el monto máximo de x que puede ser comprado
I
Cantidad de x 6
Condiciones de Primer Orden (CPO) para un Máximo Podemos agregar el mapa de utilidad del individuo para mostrar el proceso de maximización Cantidad de y
El individuo puede estar mejor que en El punto A moviendo su presupuesto A
El individuo no puede acceder al
C
punto C pues no le alcanza
B
U3 U2
U1
El punto B es el punto en donde se maximiza la utilidad Cantidad de x 7
Condiciones de Primer Orden (CPO) para un Máximo La utilidad se maximiza en donde la curva de indiferencia es tangente a la restricción presupuestaria Cantidad de y
pendiente de la restricció n
B
p x p y
pendiente de la curva de indiferenc ia
U2
p x p y
-
dy dx U constante
dy dx U constante
TMS
Cantidad de x 8
Condiciones de Segundo Orden (CSO) para un Máximo • La regla de tangencia solo es necesaria
pero no suficiente a menos que asumamos una TMS decreciente – si la TMS es decreciente, entonces las curvas
de indiferencia son estrictamente convexas • Si la TMS no es decreciente, debemos
checar las condiciones de segundo orden para asegurarnos que efectivamente nos encontramos en un máximo.
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Condiciones de Segundo Orden (CSO) para un Máximo • La regla de tangencia solo es una condición
necesaria – Necesitamos que la TMS sea decreciente Cantidad de y
Hay tangencia en el punto A, pero el individuo puede alcanzar un nivel más alto de utilidad en el punto B B
A
U2 U1
Cantidad de x
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Soluciones de Esquina • En algunas situaciones, las preferencias de los
individuos pueden ser tales que solo pueden maximizar su utilidad decidiendo consumir solo uno de los bienes Cantidad de y
U1 U2
En el punto A, la curva de indiferencia no es tangente a la restricción presupuestaria
U3
La utilidad se maximiza en el punto A
A
Cantidad de x 11
n -Bienes • El objetivo del individuo es maximizar
utilidad = U ( x 1, x 2,…, x n)
sujeto a la restricción presupuestaria I = p1 x 1
+ p2 x 2 +…+ pn x n
• Escribiendo el Lagrangeano: L = U ( x 1, x 2,…, x n) + (I - p1 x 1 - p2 x 2 -…- pn x n) 12
n -Bienes • Las CPO para un máximo interior: L/ x 1
= U / x 1 - p1 = 0
L/ x 2
= U / x 2 - p2 = 0 • • •
L/ x n = U / x n - pn L/
=0
= I - p1 x 1 - p2 x 2 - … - pn x n = 0 13
Implicaciones de las Condiciones de Primer Orden • Para dos bienes cualquiera, U / x i pi U / x j p j • Esto implica que en el punto de
distribución óptima del ingreso: T MS ( xi por x j )
pi p j 14
Interpretación del Multiplicador Lagrangeano
U / x 1 p1
MU x
1
p1
U / x 2 p2
MU x
2
p2
...
U / x n
...
MU x n
pn
pn
• es la utilidad marginal del gasto de
un dólar extra en consumo – es la utilidad marginar del ingreso 15
Interpretación del Multiplicador Lagrangeano • En el margen, el precio de un bien
representa la evaluación que el consumidor hace de la utilidad que le reporta la última unidad consumida – cuanto está dispuesto a pagar por la última
unidad pi
UM xi 16
Soluciones de Esquina • Cuando existen soluciones de esquina, las
CPO deben ser modificadas: L/ x i = U / x i - pi 0 (i = 1,…,n)
• Si L/ x i = U / x i - pi < 0, entonces x i = 0 • Esto implica que
U / x i MU x pi
i
– cualquier bien cuyo precio exceda el valor
marginal que el consumidor le asigna no será comprado
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Funciones de Demanda CobbDouglas • Función de utilidad Cobb-Douglas: U ( x,y ) = x y • Escribiendo el Lagrangeano: L = x y + (I - p x x - py y ) • Condiciones de Primer Orden: L/ x = x -1y - p x = 0 L/y = x y -1 - py = 0 x - py y = 0 L/ = I - p x
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Funciones de Demanda CobbDouglas • CPO implica que: y / x = p x / py
• Dado que + = 1: py y = (/) p x x = [(1- )/] p x x
• Sustituyendo en la restricción presupuestal: I = p x x +
[(1- )/] p x x = (1/) p x x
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Funciones de Demanda CobbDouglas • Resolviendo para x tenemos x *
I p x
• Resolviendo para y : I y * py
• El individuo distribuirá un porcentaje de su ingreso a la compra del bien x y un porcentaje de su ingreso al bien y
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Funciones de Demanda CobbDouglas • La función de utilidad Cobb-Douglas es
limitada en cuanto a su habilidad para explicar comportamientos de consumo reales – Muchas veces, el porcentaje del ingreso
destinado a un bien particular cambia en respuesta a las condiciones económicas • Una forma funcional más general puede ser
útil para explicar más decisiones de consumo 21
Demanda CES • Asuma que = 0.5 U ( x,y ) = x 0.5 + y 0.5 • Escribiendo el Lagrangeano: L = x 0.5 + y 0.5 + (I - p x x - py y ) • CPO: L/ x = 0.5 x -0.5 - p x = L/y = L/
0
0.5y -0.5 - py = 0
= I - p x x - py y = 0 22
Demanda CES • Esto significa qué
(y / x )0.5 = p x / py • Sustituyendo en la restricción
presupuestal, podemos encontrar las demandas: x *
I
p x p x [1 ] py
y *
I
py [1
py p x
]
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Demanda CES • En estas funciones de demanda, el
porcentaje del ingreso gastado ya sea en x ó en y no es constante – depende del cociente de precios
• Entre más alto sea el precio relativo de x (o de y ), menor será el porcentaje de ingreso gastado en x (o en y ) 24
Demanda CES • Si = -1, U ( x,y ) = - x -1 - y -1 • Las CPO implican qué: y / x = ( p x / py )0.5
• Las funciones de demanda son: x *
I
py p x 1 p x
0.5
y *
I
p 0.5 py 1 x py
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Demanda CES • Si = -, U ( x,y ) = Min( x ,4y )
• La persona escogerá solamente combinaciones para las cuales x = 4y • Esto significa qué: x I = p x
+ py y = p x x + py ( x /4)
I =
( p x + 0.25 py ) x 26
Demanda CES • Por lo tanto, las funciones de demanda
son: x *
I
p x 0.25 py
y *
I
4 p x py 27
Función de Utilidad Indirecta • Muchas veces es posible manipular las
CPO para resolver los valores óptimos de x 1 ,x 2,…, x n • Estos valores óptimos dependerán de los precios de todos los bienes, y el ingreso: x* 1 = x 1( p1, p2,…, pn,I ) x* 2 = x 2( p1, p2,…, pn,I ) • • • x* n = x n( p1, p2,…, pn,I )
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Función de Utilidad Indirecta • Podemos usar los valores óptimos de las x´ s
para encontrar la función de utilidad indirecta Utilidad máxima = U ( x* 1, x* 2,…, x* n) • Sustituyendo cada x* i , tenemos Utilidad máxima = V ( p1, p2,…, pn,I ) • El nivel óptimo de utilidad dependerá
indirectamente de los precios y del ingreso – si variasen ya sea los precios o el ingreso, el
monto de máxima utilidad posible también cambiará 29
Principio de Suma Fija • Los impuestos sobre el poder de
compra de un individuo son superiores a los impuestos sobre un bien específico – Un impuesto al ingreso permite al individuo
decidir libremente cómo distribuir el ingreso que le queda – Un impuesto sobre un bien específico reducirá el poder de compra del individuo y además distorsionará sus decisiones
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Principio de Suma Fija • Un impuesto en el bien x cambiaría la
decisión que maximiza la utilidad desde el punto A hacia el punto B Cantidad de y
B
A
U1 U2
Cantidad de x 31
Principio de Suma Fija • Un impuesto al ingreso que recaude el
mismo monto cambiará la restricción presupuestaria hasta I ’ Cantidad de y
La utilidad se maximiza ahora en el punto C sobre U3
I
’
A B
C
U3 U1 U2
Cantidad de x 32
Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija • Si la función de utilidad es Cobb-Douglas con = = 0.5, sabemos qué: x *
I
2 p x
y *
I
2 py
• Así que la función de utilidad indirecta es: V ( p x , py , I ) (x*) (y*) 0.5
0.5
I
2 p x 0.5 py 0.5 33
Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija • Si se pone un impuesto de $1 sobre el bien x – El individuo comprará x *=2 – La utilidad indirecta caerá de 2 a 1.41 • Un impuesto que recaude lo mismo
reducirá el ingreso a $6 – La utilidad indirecta caerá de 2 a 1.5 34
Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija • Si la función de utilidad es de proporciones fijas con U = Min( x ,4y ), sabemos qué: x *
I
p x 0.25 py
y *
I
4 p x py
• Así que la función de utilidad indirecta es: I V ( p x , py , I ) Min( x *,4y *) x* p x 0.25 py
4y *
4 4 p x py
I
p x 0.25 py
35
Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija • Si se pone un impuesto de $1 sobre el bien x – La utilidad indirecta caerá de 4 a 8/3 • Un impuesto que recaude lo mismo
reducirá el ingreso a $16/3 – La utilidad indirecta caerá de 4 a 8/3
• Dado que las preferencias son rígidas, el impuesto sobre x no distorsiona las
elecciones
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Minimización del Gasto • Problema dual de minimización para la
maximización de utilidad – distribuir el ingreso de manera tal que se
logre un nivel dado de utilidad con el gasto más chico posible – esto significa que la meta y la restricción se han revertido
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Minimización del Gasto • El punto A es la solución del problema dual
Cantidad de y
El nivel de gasto E2 provee lo justo para alcanzar U 1 El nivel de gasto E 3 permitirá al individuo alcanzar U1 pero no es el menor gasto requerido para ello A
El nivel de gasto E 1 es muy pequeño para conseguir U1 U1
Cantidad de x 38
Minimización del Gasto • El problema del individuo es escoger x 1, x 2,…, x n para minimizar
Gasto total = E = p1 x 1 + p2 x 2 +…+ pn x n
sujeto a la restricción utilidad = U 1 = U ( x 1, x 2,…, x n) • Las cantidades óptimas de x 1 ,x 2,…, x n
dependerán de los precios de los bienes y del nivel de utilidad requerido 39
Minimización del Gasto • La función de gasto muestra el gasto
mínimo necesario para lograr un nivel dado de utilidad para un conjunto de precios dado Gasto mínimo = E ( p1, p2,…, pn,U ) • La función de gasto y la función de
utilidad indirecta están inversamente relacionadas – ambas dependen de los precios de mercado
pero involucran restricciones distintas
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Dos Funciones de Gasto • La función de utilidad indirecta para el
caso de la función Cobb-Douglas con dos bienes es: I V ( p x , py , I )
2 p x 0.5 py 0.5
• Si intercambiamos el papel de la utilidad y
del ingreso (gasto), tendremos la función de gasto E ( p x ,py ,U ) = 2 p x 0.5 py 0.5U 41
Dos Funciones de Gasto • Para el caso de proporciones fijas, la
función de utilidad indirecta es: V ( p x , py , I )
I
p x 0.25 py
• Si de nuevo cambiamos el papel de la
utilidad por el gasto, tendremos la función de gasto: E ( p x , py ,U ) = ( p x + 0.25 py )U 42
Propiedades de las Funciones de Gasto • Homogeneidad – doblar todos los precios doblará exactamente el valor del gasto requerido • La función de gasto es homogénea de grado 1
• No decreciente en precios – E / pi 0 para todos los bienes, i • Cóncava en precios 43
Concavidad de la Función de Gasto En p*1, la persona gasta E ( p*1,…)
E ( p1,…)
E pseudo
Si continua comprando los mismos bienes a medida que p*1 cambia, su función de gasto será E pseudo
E ( p1,…)
Dado que sus patrones de consumo cambiarán, los gastos reales serán menos que E pseudo, por ejemplo E ( p1,…)
E (p * 1,…)
p * 1
p1
44
Puntos Importantes • Para alcanzar un máximo restringido, el
individuo deberá: – gastar todo su ingreso disponible – escoger un conjunto de bienes tales que la TMS entre dos bienes cualquiera sea
igual al cociente de precios de mercado de dichos bienes • El individuo igualará los cocientes de la
utilidad marginal al precio de cada bien que sea consumido 45
Puntos Importantes • Las condiciones de tangencia son solo
condiciones de primer orden – El mapa de indiferencia del individuo debe mostrar una TMS decreciente – La función de utilidad debe ser
estrictamente cuasi cóncava
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Puntos Importantes • Las condiciones de tangencia también
deben modificarse para permitir soluciones de esquina – El cociente de utilidad marginal a precio
estará por debajo del cociente entre beneficio marginal y costo marginal para bienes que han sido comprados
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Puntos Importantes • Las decisiones óptimas del individuo
dependen implícitamente de los parámetros de su restricción presupuestaria – Las selecciones observadas serán
funciones implícitas de los precios y el ingreso – La utilidad también será una función indirecta de los precios y del ingreso 48
