Clase MF Int Vact Anualidades

Interés simple

Tasa de interés

10% Interes del periodo

P= 1000 1000 0 1 2 3 4 5

Estado de la cuenta 1000 1100 1200 1300 1400 1500

100 100 100 100 100

1000 1100 1200 1300 1400 1500

S=P(1+i)n

Interés compuesto

10%

Tasa de interés i

P=

Interes del periodo

1000

0 1 2 3 4 5 S =

100.00 110.00 121.00 133.10 146.41

Estado de la cuenta S x periodo 1000.00 1000.00 1100.00 1100.00 1210.00 1210.00 1331.00 1331.00 1464.10 1464.10 1610.51 1610.51

1610.51

Uso de la matemática del descuento

tasa de periodo 0

8% 1

-100 Valor actual Valor actual

2 -30

-209.22 -209.22261

3 -32

4 -31

-40 P=S/(1+i)n Desde el Futu

(usando fórmula MS Excel) 8%

0

1 -115

Valor actual

2 -28

-242.50117

3 -30

4 -40

(usando fórmula MS Excel)

El interes compuesto con capitalizaciones en periodos anuales

Interés nominal anual 8% capitalización trimestral

-60

interés nominal trimestral 2% P = 1000 000 medio año n = 0.5 m =4 S= 1040.4

1040.4

Depósito en el banco retira a los 365 días S/.

1,263

depósito original (P): S/.

890

Calcular TEA

TEA=Iefc

0.419101124 0.419101124 (en fracción fracción de de unidad) unidad) 41.91%

cuanto vale la tasa nominal anual si la capitalización es mensual

i/m = tasa nominal mensual i =

0.02959821

0.355178514 =35.518%

tasa nominal anual Calculo de TEA capitalización anual semestral trimestral bimensual mensual semanal diaria horaria minuto segundo

tasa nominal anual

0.24 =

m 1 2 4 6 12 52.14 365 8760 525600 31,536,000

24%

TEA 24.000% 25.440% 26.248% 26.532% 26.824% 27.055% 27.115% 27.124% 27.125% 27.125%

Calcular tasa nominal anual conociendo TEA TEA = 10% I = i/12 = 0.7974% tasa nominal mensual = tasa efectiva mensual i= 9.57% tasa nominal anual TEA= pagos mensuales n' = P =

5 100000

años US$

tasa mensual = n = A =

0.836% 60 2125.99

meses $

10.5%

VA

P =

100000.00

n= A = tasa

60 -2125.99 0.836%

P=

100,000.00

Devuelve el valor actual de una inversión. El Por ejemplo, cuando pide dinero prestado, l

interés nominal trimestral 2% P = 1000 000 medio año n = 0.5 m =4 S= 1040.4

1040.4

Depósito en el banco retira a los 365 días S/.

1,263

depósito original (P): S/.

890

Calcular TEA

TEA=Iefc

0.419101124 0.419101124 (en fracción fracción de de unidad) unidad) 41.91%

cuanto vale la tasa nominal anual si la capitalización es mensual

i/m = tasa nominal mensual i =

0.02959821

0.355178514 =35.518%

tasa nominal anual Calculo de TEA capitalización anual semestral trimestral bimensual mensual semanal diaria horaria minuto segundo

tasa nominal anual

0.24 =

m 1 2 4 6 12 52.14 365 8760 525600 31,536,000

24%

TEA 24.000% 25.440% 26.248% 26.532% 26.824% 27.055% 27.115% 27.124% 27.125% 27.125%

Calcular tasa nominal anual conociendo TEA TEA = 10% I = i/12 = 0.7974% tasa nominal mensual = tasa efectiva mensual i= 9.57% tasa nominal anual TEA= pagos mensuales n' = P =

5 100000

años US$

tasa mensual = n = A =

0.836% 60 2125.99

meses $

10.5%

VA

P =

100000.00

n= A = tasa

60 -2125.99 0.836%

P=

100,000.00

Devuelve el valor actual de una inversión. El Por ejemplo, cuando pide dinero prestado, l

Aadelantado = i mensual A nov

2108.38 0.02 1396.26 dic

ene

feb

mar

abril

0

1

2

3

4

5

-10,000

0

1396

0

1396

2793

f (A) =

0.0000

Constitucion de fondo futuro S A= 20 $ i = 1.000% por periodo n = 120 periodos Resultado con cuotas al final de cada periodo Resultado con cuotas al inici S = 4,600.77 $ 4646.78 $ S = 4,600.77 $ 4,646.78 $ Ahorro constituido al final de 40 años de trabajo si se depositara el valor v alor de 1 café Starbucks ($ TEA 10% i1 = 0.02612% diario n = 14,600 días A = 5.00 S = S =

847,587.19 $ 847,587.19 $

Construir tabla de amortización de capital de cuotas fijas (al final del periodo) Datos Préstamo 50,000 TEA 10% plaz plazo o 5 años años cuotas anuales

Cuota total A

13,189.87

Periodo

Saldo de capital

0 1 2 3 4 5 Periodo

50000.00 41810.13 32801.26 22891.52 11990.79 0.00

Saldo de capital 0 50000.00 1 41810.13 2 32801.26

interés Ij

5000.00 4181.01 3280.13 2289.15 1199.08 interés Ij -5000.00 -4181.01

Capital Pj

8189.87 9008.86 9909.75 10900.72 11990.79 Capital Pj -8189.87 -9008.86

Cuota

13189.87 13189.87 13189.87 13189.87 13189.87 Cuota -13189.87 -13189.87

3 4 5

22891.52 11990.79 0.00 Capital 2-4 = Capital 2-4 =

P = TEA = n= I = A = nxA = Int acum= tasa mensual = mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

-3280.13 -2289.15 -1199.08

-9909.75 -10900.72 -11990.79

-13189.87 -13189.87 -13189.87

-29819.33 -29819.33

45000 $ 6.0000% 36 meses 0.487% tasa efectiva mensual y tasa nominal mensual 1365.75 $ = 49166.95763 4166.96 0.487% Cj

-1,365.75

Ij

-1,146.71

-219.04

-1,152.29

-213.46

-1,157.90

-207.85

-1,163.54

-202.21

-1,169.20

-196.55

-1,174.89

-190.86

-1,180.61

-185.14

-1,186.36

-179.39

-1,192.13

-173.62

-1,197.93

-167.82

-1,203.76

-161.98

-1,209.62

-156.13

-1,215.51

-150.24

-1,221.43

-144.32

-1,227.37

-138.38

-1,233.35

-132.40

-1,239.35

-126.40

-1,245.38

-120.37

-1,251.45

-114.30

-1,257.54

-108.21

-1,263.66

-102.09

-1,269.81

-95.94

-1,275.99

-89.76

-1,282.20

-83.55

-1,288.44

-77.31

-1,294.71

-71.03

-1,301.02

-64.73

-1,307.35

-58.40

A (verificación)

-1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75

Cj ($) 1146.71 1152.29 1157.90 1163.54 1169.20 1174.89 1180.61 1186.36 1192.13 1197.93 1203.76 1209.62 1215.51 1221.43 1227.37 1233.35 1239.35 1245.38 1251.45 1257.54 1263.66 1269.81 1275.99 1282.20 1288.44 1294.71 1301.02 1307.35

Ij ($) 219.04 213.46 207.85 202.21 196.55 190.86 185.14 179.39 173.62 167.82 161.98 156.13 150.24 144.32 138.38 132.40 126.40 120.37 114.30 108.21 102.09 95.94 89.76 83.55 77.31 71.03 64.73 58.40

29 30 31 32 33 34 35 36

-1,313.71

-52.04

-1,320.11

-45.64

-1,326.53

-39.22

-1,332.99

-32.76

-1,339.48

-26.27

-1,346.00

-19.75

-1,352.55

-13.20

-1,359.13

-6.62

-1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75 -1,365.75

1313.71 1320.11 1326.53 1332.99 1339.48 1346.00 1352.55 1359.13

-4,166.96 cap 6 hasta cap 22

-20770.15414 20770.15414

Construir tabla de amortización de capital de cuotas fijas (al final del periodo) y un pago extraordinario del 40 % de la cuota para pagar menos o disminuir el plazo. Datos Préstamo 50000 TEA 10% plazo 5 años cuotas anuales

Cuota total A

13,189.87

Periodo

Saldo de capital

0 1 2 3 4 5

50000.00 41810.13 32801.26 17615.57 6187.25 0.00

interés Ij

5000.00 4181.01 3280.13 1761.56 618.73

Capital Pj

8189.87 9008.86 15185.70 11428.32 6187.25

Cuota

13189.87 13189.87 18465.82 13189.87 6805.97

52.04 45.64 39.22 32.76 26.27 19.75 13.20 6.62

Problema 1' Calcule la tasa efectiva anual equivalente a una TNA del 24%, capitalizableTrimestralme Tasa Nominal Anual 24%, numero Períodos al año 4 Tasa Nominal Anual Numero Periodos al año

Tasa Efectiva TE=

24% 4

26.25%

Problema 2' Cuál será la TNA con capitalización trimestral, equivalente a una tasa Tasa efectiva

24%

Numero Periodos al año

4

Tasa Nominal TN=

n

S=P(1+i)

Hacia el Futuro

o

.

S=P(1+i/m)n m

22.10%

[(1+i/m)m]-1

El banco del nuevo peru cobra una tasa de interes nominal anual de 18% por un prestamo en moneda na a) Si dicha tasa tiene una capitalizacion bimensual, ¿ cual es la tasa de interes efectiva mensual y anual, q

Iefc=[(1+i/m)n]-1 i= Veces en el año m= n=

0.18 18% 6 meses 0.5 medio año

misma unidad

Tasa efectiva mensual = 0.0149 Tasa efectiva anual = 0.1941 i= 0.18 18% Veces en el año m= 6 misma unidad de tiempo n= 6 b) si la capitalizacion de la tasa fuera anual,¿cambiaria su respuesta? Tasa efectiva anual = i/m= 0.18 18% Tasa efectiva mensual = 0.0139 i/m= 0.18 18% n= 1/12 0.08333333

P = A = n = tasa 30 = TEA =

100000 -2125.99 60

Nper es el número total de períodos de pago en una anua

Por ejemplo, si obtiene un préstamo a cuatro años para c 0.836% Devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. TASA se calcula por iteración y puede tener cero o más soluciones.

10.5%

valor actual es el valor que tiene actualmente la suma de una serie de pagos que se efectuarán en el futur cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista.

Aadelantado =

mayo

jun

jul

6

7

8

1396

1396

2793

de cada periodo

5)

-2108.3774 $

Devuelve el pago sobre el capital de una inversión durante un período determinado basándose en pagos periódicos y constantes, y en una tasa de interés constante. Devuelve el interés pagado en un período específico por una inversión basándose en pagos periódicos constantes y en una tasa de interés constante.

nte

fectiva anual del24%

ional. e el banco está cobrando por esta operación?

de tiempo

lidad mprar un automóvil y efectúa pagos mensuales, el préstamo tendrá 4*12 (ó 48) períodos. La fórmula t

.

endrá 48 como argumento nper.

CARRERA PROFESIONAL CURSO: INFORMÁTICA VI

APLICACIONES DE INTERÉS COMPUESTO CAPITAL P: TASA: PERIODO: MONTO S:

MONTO S: TASA: PERIODO: CAPITAL P:

10000.00 SOLES 20.00 % ANUAL 10 AÑOS

20000 SOLES 31.00 % ANUAL 8 AÑOS

TASA:

32.94 % ANUAL

n go1

PERIODO:

CAPITAL P: TASA: PERIODO: INTERÉS:

0.31

10000.00 SOLES 4000.00 SOLES 8.00 % ANUAL

Para hallar la tasa se utili siguiente formula:

i

0.33 %

23755.077

n

=(S/P) ^ (1/n) - 1

Para hallar el periodo se utiliza la siguiente formula:

0.08

11.905904 AÑOS

8800 SOLES 18.00 % ANUAL 6 AÑOS

Para hallar el capital se utiliza la siguiente formula: P = S/ (1 + i ) n

=S / ( 1 + i ) ^ n

2,306.00

1356.00 SOLES 1020.00 DOLARES 1 AÑOS

MONTO S: P S CAPITAL : og P TASA:

=P * ( 1 + i ) ^ n

61,917.36

MONTO S: S CAPITAL P: n P PERIODO:



0.20

Para hallar el monto se utiliza la siguiente formula: S = P (1 + i ) n

 S    P  n log 1  i log 

=Log (S/P) / log ( 1 + i )

0.18

Para hallar el Interés se utiliza la siguiente formula: I = P [(1 + i ) n - 1 ]

=P *(( 1 + i ) ^ n - 1)

CARRERA PROFESIONAL CURSO: INFORMÁTICA VI

za la

S 1 P





P= i= n=

1000 0.1 4

S=

1464.1

Matemática del descuento

AÑOS 0

1

2

3

4

5

6

7

8

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6 -3

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-3.6

-0.6

-0.6

-0.6

1 0.900900901 0.81162243 0.73119138 0.65873097 0.59345133 0.53464084 0.48165841

0.4339265

-60 -60

-60

-0.540541

-0.48697

-0.43871

-0.39524

-2.13642

-0.32078

-0.289

52.14 1349.1

365 1349.7

8760 1349.9

Valor actual equivalente con matemática del descuento -67.7784 Millones de US$ Valor equivalente actual=

-67.78

Capitalizaciones en periodos no anuales P = 1000 i = 0.2 tasa nominal anual n = 1.5 años m = S =

1 1314.5

2 1331.0

4 1340.1

12 1346.5

Devolucion de un prestamo cuotas iguales P = 4000 soles (contado TV Color) n= 24 TEA = 60% i= 3.9944% mensual A = 24xA intereses

262.20 6292.7333 2292.7333

MS Excel A = S/. -262.20

A =

262.20

-0.26036

9

10

11

12

13

14

15

-0.6

-0.6 -3

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6 -3

-0.6

-3.6

-0.6

-0.6

-0.6

-0.6

-3.6

0.39092477 0.35218448 0.31728331 0.28584082 0.25751426 0.23199482 0.20900435

-0.23455

-1.26786

-0.19037

-0.1715

-0.15451

-0.1392

-0.75242

Factores de actualización

¿En cuánto tiempo se duplica un capital, si la tasa es del 16% anual con capitalizaciónsemestral

S=P(1+i)n valor del capital al finalizar el periodo

S=

P=S/(1+i)n

i=(S/P)1/n-1

n=log(S)-lo

P= Capital inicial 2P i= 16% 0.16 n= ? n

2p= P(1+i) n

2= (1+i) log2= n*log(1+i) n= log2/log(1+i) log2= 0.30103 log(1+i)= LOG(1+(0.016/2)) log(1+i)= 0.03342376 n= 9.00646834 semestres n= 9 semestres

por tener el año dos semestres

Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de 5.000.000 ptas. invertidos durante un año y medio al 16%, apli a) Aplicando la formula de capitalización simple:I = P * i * t Luego,I = 5.000.000 * 0,16 * 1,5 Luego,I = 1.200.000 ptas. b) Aplicando la formula de capitalización compuesta:I = P * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego,I = 5.000.000 *(((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1) Luego,I = 5.000.000 * (1,249 - 1) Luego,I = 1.245.000 ptas. Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta. Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual: a) En base mensual:1 + i = (1 + i12) ^ 12(" i" es la tasa anual) Luego,1 + 0,16 = (1 + i 12) ^ 12 Luego,(1,16) ^ 1/12 = 1 + i 12 Luego,1,0124 = 1 + i 12 Luego,i12= 0,0124 b) En base cuatrimestral:1 + i = (1 + i3) ^ 3(" i" es la tasa anual) Luego,1 + 0,16 = (1 + i 3) ^ 3 Luego,(1,16) ^ 1/3 = 1 + i 3 Luego,1,0507 = 1 + i 3 Luego,i3= 0,0507

(P)/log(1+i)

cando capitalización simple y capitalización compuesta.

Ejemplo 2 Si un banco nos cobra por un préstamo una tasa de interés del 5% efectivo trimestral, que tasa efectiva anual nos cobra el banco? Anual: (1 ) (1 ) nn +=+ii 41 (1 ) (1 ) + = + i i 41 (1,05) (1 ) Datos Deposito= 100000 I= 0.2 Anual Interes i= 10% Semestral ?= Cual es el interes ganado al cabo de 6 meses I= I=

Deposito= I= Interes i= ?=

Cit 10,000.00 Datos 100,000 0.05 trimestral 20% trimestral Cual es el interes ganado al cabo de 6 meses

I= Cit I= 5,000.00 1er. Trimestre I= 5,250.00 2o. Trimestre It= 10,250.00 Periodo de Capitalizacion el interes puede ser convertido en Captal anual, semestral,trimestral y mensual a dicho periodo se le da el nombre de "periodo de capitalizacion" Al numero de veces que el interes se capitaliza durante un año se llama un año 12 meses  4 frecuencia de conversion un trimestre 3 meses Datos Deposito= 50,000 Capitalizable mensualmente I= 0.015 mensual 1.5 Interes i= 18% mensual ?= Cual sera el monto acumulado en 2 años M= C*(1+i)n n, se multiplica el lapso en años por la frecuencia de la conversion n= 24 M= C*(1+i)n = 71475.1406 Interes compuesto I= 21,475.14 Datos

Deposito= i= n=

100,000 Capitalizable mensualmente 4.80% anual i= 9 meses n=

30.00% anual 9 meses

?= Cual sera el monto acumulado a interes compuesto en un periodo de 9 meses ?= Suponiendo q' la caja de ahorros preste ese mismo dinero a una tasa de interes de 30% anual ca a) DEPOSITO n M= C*(1+i) Interes i= 4.8% Anual I= 0.048 Anual I= 0.004 Mensual M= 103,658.14 b) PRESTAMO n

Interes i= I= I= M= Diferencia=

M= C*(1+i) 30.0% Anual 0.3 Anual 0.025 Mensual 124,886.30 21,228.16 Datos

PRESTAMO i=

I= I= I= n= M=

1,500,000 Convertible trimestralmente 12.00% anual Cual es el monto que debera liquidarse? tasa de interes por periodo de conversion 12 0.12 0.03 4 número de periodos de capitalizacion 1 año x 4 M= C*(1+i)n 1,688,263.22 Datos

PRESTAMO Plazo Pago=

150,000 Convertible semestralmente 3 años i= 20 % anual 0.2 Cual es el monto que debera liquidarse, si se decide cancelarlo en forma anticipada a lo Periodo de pago= 15 meses iodo capitalizacion= 6 meses periodo de pago 15 meses 4 periodo capitalizacion 6 meses n= 2.5 semestres i= 0.1 semestral M= C*(1+i)n M= 190,358.81 Deposito=

Datos 50,000 Convertible mensualmente

i= n=

15% anual 12 meses

24 meses

36

?= al cabo de un año ?= Suponiendo q' la caja de ahorros preste ese mismo dinero a una tasa de interes de 30% anual ca a) DEPOSITO n M= C*(1+i) Interes i= 15% mensual 0.15 mensual 0.15 0.15 I= 0.0125 Mensual 0.0125 0.0125 M= 58,037.73 M= 67,367.55 78,197.19 Tabular M= C*(1+i)n AÑOS por ciento 1 5 10 15 20 10 1.1 1.61051 2.59374246 4.17724817 6.72749995 20 1.2 2.48832 6.19173642 15.4070216 38.3375999 30 1.3 3.71293 13.7858492 51.185893 190.049638 40 1.4 5.37824 28.9254655 155.568096 836.682554 50 1.5 7.59375 57.6650391 437.89389 3325.25673 60 1.6 10.48576 109.951163 1152.9215 12089.2582 70 1.7 14.19857 201.59939 2862.42305 40642.3141 80 1.8 18.89568 357.046723 6746.64062 127482.362 90 1.9 24.76099 613.106626 15181.127 375899.735 100 2 32 1024 32768 1048576

prestamo= i= i=

Problema 11.deposito= i= i= n=

Problema 13.N° Habitantes= i= i= n=

Datos 300,000 Convertible trimestralmente 0.24 anual 0.06 Trimestres M= C*(1+i)n 378,743.09 Datos 12,000 Convertible semestralmente 0.15 anual 0.075 semestralmente Tasa de interes por periodo de conversion 2.5 N° de periodos de capitalizacion M= C*(1+i)n 14,378.13 Datos 3,825,000 anual 3,825,000 3,825,000 2.8 % anual 2.8 2.8 0.028 anual 0.028 0.028 Tasa de intere 5 años 10 20 N° de periodos de M= C*(1+i)n M= C*(1+i)n M= C*(1+i)n 5,041,532.67 6,644,980.83 4,391,339.49

Anual Semestral trimestral bimestral mensual

italizable mensualmente. ¿Cuál sería el pago que se debe efectuar al cabo d e los mismos 9 meses?

s 15 meses?

60

italizable mensualmente. ¿Cuál sería el pago que se debe efectuar al cabo d e los mismos 9 meses?

0.15 0.0125 105,359.07

s por periodo de conversion capitalizacion

M= C*(1 + i )n Datos

C=M*(1 + i)-n Valor Futuro

Una persona invierte S/. 200,000 al 18% anual con capitalización semestral. Que suma tendrá al cabo de 10 M= C*(1 + i )n C= 200000 i= 18 anual i= 9 semestral 0.09 n= 20 semestres M= 1,120,882.15 S/.1,120,882.15 Con Excel Datos

Valor Actual

Cuánto se debe depositar hoy en una entidad financiera que paga el 32% anual capitalizable trimestralment C= ? i= 32 anual i= 8 trimestralmente i= 0.08 n= 20 trimestralmente M= 3200000 C=M/(1 + n) n C= 686,554.26 S/.686,554.26 Con Excel Datos

Valor Futuro

Un capital de S/. 500.000 fue invertido al 24% anual con capitalización mensual, cual fue su monto al cabo d C= 500000 i= i= n= M= 3.5.1 C= ? i= i= n= M= C= 3.5.2 C= ? i= i= n= M= C=

n

M= C*(1 + i ) 24 anual 2 mensual 0.02 68 mensual 1,922,125.25 S/.1,922,125.25 Con Excel Datos

Valor Actual

20 anual 10 semestral 0.1 6 semestres 50000 28,223.70 Datos Valor Actual

S/.28,223.70

Con Excel

6 anual 0.5 % mensual 0.005 18 meses 425000 388,507.87

S/.388,507.87

Con Excel

3.5.3 C= ? i= i=

Datos

25 anual 25 % anual 0.25 2 años 80000

n= M= C= 3.5.4

Valor Actual

51,200.00 Datos Valor Actual Inversion=

Ingresos

1er año = i= i= n= valor presente C=

Ingresos

2o año = i= i= n= valor presente C=

Ingresos

3er año = i= i= n= valor presente C= Suma Ingresos=

S/.51,200.00

Con Excel

350,000.00

100,000.00 C=M*(1 + i) 40 % anual 0.4 1 año 71,428.57

-n

200,000.00 C=M*(1 + i) 40 % anual 0.4 2 año 102,040.82

-n

300,000.00 C=M*(1 + i) 40 % anual 0.4 3 año 109,329.45

-n

282,798.83

Ingresos menor que la inversion NO es Rentable 3.5.5

Datos

Valor Actual

valor presente C= i= i=

2,000,000.00 15 % anual 0.15

M= C*(1 + i )n M=

2,300,000.00 Monto nominal de la deuda

a) Se calcula el valor actual i= i= n= 12

C=M*(1 + i)

2 % mensual 0.02 mensual

-n

valor presente C= b) Tasa de interes efectiva Valor de la maquinaria= Prestamo otorgado por el banco =

1,813,534.30

Interes pagado por la empresa=

186,465.70 0.093232848

i=

2,000,000.00 1,813,534.30

i= 3.5.6

Datos

9.32 %

Valor Actual

valor presente C= i= i= n= 3

500000 2 % mensual 0.02 meses

M= C*(1 + i )n

a) Monto original M=

530,604.00

b) Calculo del valor actual i= i= n= 0.25

22 % anual 0.22 años

=3/12

C=M*(1 + i)-n valor presente C=

504,871.16 M

1000000 3.5.7

Datos

Valor Actual

0

meses

2

1

valor presente C= 1,000,000.00 i= 12 % convertible mensual i= 0.01 mensual n= 36 meses M= 1,430,768.78 Calculo del valor actual del monto obtenido en funcion de la tasa de descuento dado i= 16 % convertible trimestralmente i= 0.04 trimestral n= 12 meses valor presente C= 893,653.96 hay perdida en la operacion: 106,346.04 3.5.8 Datos Valor Actual a) monto a pagar en los tres años valor presente C= 75,000.00 i= 12.5 % convertible semestral i= 0.125 semestral n= 6 semestres (2 semestres*3 años=6) M= 152,046.49

C

M

1000000 0

1

meses

10

34

C

b) a partir del monto obtenido se procede a descontar de acuerdo con la tasa fijada por el banco i= 28 % convertible trimestral i= 7 trimestral i= 0.07 n= 26 meses (36-10=26) n= 8.666666667 trimestres (26/3)

35

3

aca se presenta el periodos de interes fraccionario

C=M*(1 + i)-n C=

84,589.60

27.Datos Valor Actual ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $650 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses? M= 650,000.00 j j= 18 % convertible trimestral i Frecuencia de conversión m= 4 trimestres (1 año tiene 4 trimestres i



tasa nominal anual frecuencia de conversión

i= i= n= 18 n=

4.5 0.045 meses 6 trimestres (18*4/12)

C= Datos

499,132.23

C=M*(1 + i)-n Cantidad que recibe en presta

Valor Actual

Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se reembolsa al año capital e i y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente? C= 300,000 Prestado por el banco i= 0.24 24 % tasa nominal anual Plazo= 1 año Periodo Capitalización= Trimestre Frecuencia de conversión: n= 4 trimestres (1 año tiene 4 trimestres i



tasa nominal anual frecuencia de conversión

i= M= S/. Datos

0.06 378,743.09 dinero que le debe pagar el banco

Valor Actual

¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 a M= 250,000 Pago del banco (valor futuro) J= 9 % convertible mensualmente j 9 % Frecuencia de conversión m= 12 mesual  0 . 75 % i  m 12 i= 0.75 i= 0.0075 Plazo= 2 año Periodo Capitalización= mensual n= 24 meses C= 208,957.85 29.Datos Valor Actual Cual es el valor presente de S/. 1000 que se cobraran en un año si la tasa de interes es 15% convertibl M= 1,000 M= 1,000 J= 15 % convertible me J= 15 Frecuencia de conversión m= Frecuencia de conversión m= 12 mesual i= 1.25 i= 3.75

i= Plazo= Periodo Capitalización= n= C= M= J= Frecuencia de conversión m= i= i= Plazo= Periodo Capitalización= n= C= Datos

0.0125 1 año mensual 12

meses 861.51

i= Plazo= Periodo Capitalización= n= C=

1,000 15 2 7.5 0.075 1 año mensual 2

0.0375 1 año mensual 4 863.07

M= J= 15

% convertible semestral

semestres

Frecuencia de conversión m=

i= i= Plazo= Periodo Capitalización= semestres n= 865.33 C=

15 0.15 1 año mensual 1

Valor Actual

Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9 meses.

Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si la capitalización es trimestral. C= 100,000.00 Plazo= 3 años y 9 meses (3 años y 9 meses= 3.75 años= 3.75*4) M= 208,862.00 Periodo Capitalización= Trimestral n= 15 trimestres i= ? M i

i= i= Calculamos la tasa nominal j j= im m= J=



n

C



1,000

1

0.050325627 5.032562736 Trimestral i

j 

m

4 20.13 % anual convertible trimestralmente

869.57

ños.

para acumular dentro de 5 años $ 3.200.000.

5 años y 8 meses.

34

35

36

00



18 % 4

 4 .5 %

mo terés

ños, y la tasa de interés es de 9% convertible mensualmente

en: mensualmente, trimestralmente, semestralmente, anualmente % convertible trimestralmente 4 trimestres

trimestres

% convertible anualmente 1 año

año

Intervalo o periodo de pago: al tiempo que transcurre entre un tiempo y otro Plazo de una anualidad: al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del ultimo Renta: es el nombre que se da al pago periodico que se realiza a intervalos iguales

4.3.1

Datos Monto (anualidades) Valor Futuro

Que cantidad se acumulara en un semestre si se depositaran 100 000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 6% anual convertible mensualmente A= 500 n A ((1  i )  1) i= 6 % convertible mensualmente S  i= 0.06 i i= 0.005 n= 6 meses S= 3,037.75 4.3.2


Cual es el monto de 20000 semestrales depositados durante 4 años y medio en una cuenta bancaria que rinde 12% capitabilizable semestralmente A= 20,000 semestrales i= 12 % semestrales i= 0.12 i= 0.06 n= 4.5 años n= 9 semestres S= 229,826.32 4.3.3


A= 100 i= 9 % convertible mensualmente i= 0.09 i= 0.0075 en los primeros 6 años n= 6 años A ((1 S  n= 72 meses i= 1 % mensual i= 0.01 n= 18 N° depositos anuales n= 216 N° depositos mensuales calculo de cuanto acumulo en los primeros 6 años S= 9,500.70 recibio en los primeros 6 años nuevo n= 144 meses 39,813.79 (interes compuesto) 31,906.16 (anualidades) ST= 71,719.95 4.4.1 Datos Monto (anualidades) Valor Actual S= ? valor futuro o final del periodo A= 4,500.00 trimestres n i= 9 % trimestral A((1  (1  i ) ) S  i= 0.09 % i n= 7 trimestres



i) i

n



1)

4.4.2

S= 22,648.29 Datos Monto (anualidades) Valor Actual S= ?

A= i= i= i= n= n= 4.4.3

1,000.00 16 % 0.16 % 0.04 % 1 20 13,590.33

trimestral anual convertible trimestralmente

trimestres trimestres

S= Datos Monto (anualidades) Valor Actual

Pago contado=

260,000.00

S= ?

inicial= A= i= i= i= n= S= ST=

S ((1 

130,000.00 A  12,000.00 mensual 18 % convertible mensualmente 0.18 % 0.02 % 12 meses 130,890.06 260,890.06

(1  i )

n

)

i

ST > pago contado

4.4.4

Datos Monto (anualidades) Valor Actual

Enganche =

1,400.00

S= ?

cuotas= ncuotas= Pago final= i= i= i= n= S1=

4.4.5

160.00 7 pagos mensuales 230.00 27 % anual con capitalizacion mensual 0.27 0.02 8 meses 1,025.64

S2=

192.50

ST=

2,618.14

P

S 

(1  i )

n


Cual es el valor actual de un refrigerador adquirido mediante 52 abonos semanales "chiquitos", vencido Considere un interes anual de 15% convertible semanalmente. A= 240 i= 15 % anual, convertible semanalmente i= 0.15 i= 0.002885 n= 52 semanas 11,573.63 S= 4.4.6


= ejemplo anterior con enganche y con 51 abonos mensuales Enganche = 240.00 i= 15 % anual, convertible semanalmente i= 0.15 i= 0.002941 n= 51 semanas S= 11,350.76 ST= 11,590.76 Renta: es el nombre que se da al pago periodico que se realiza a intervalos iguales Valor actual (anualidades)

Monto

Una mina en explotacion tiene una produccion anual de 600,000 dolares y se calcula que se agotara en 5 años. Cual es el valor actual de la produccion si el rendimiento del dinero es de 11% anual Pagos a su vencimiento anual fechas fijas, CIERTA periodo de pago= Capitalizacion de Intereses= anual es anualidad SIMPLE Diferida, pago en 5 años A= 600,000 produccion anual n= 5 años i= 11 % i= 0.11 i= 0.110000 S= 2,217,538.21 Valor actual (anualidades)

una persona adquiere en setiembre un televisor a credito y acepta liquidar su precio mediante pagos e comensando en enero del año siguiente y con intereses de 20% anual efectivo es anualidad general periodo de pago= fechas fijas, CIERTA Capitalizacion de Intereses= Pagos anticipados Diferida, pago cada 12 bimestres Valor actual (anualidades)

se vende un camion en mensualidades que deben liquidarse cada primer dia del mes, apartir del proxim es anualidad general fechas fijas, CIERTA Pagos vencidos inmediata Monto (anualidades)

el sr. Lopez deposita 150,000 cada fin de año en una cuenta de ahorros que abona 4% de interes. Cuant A= 150,000.00 deposito periodico igual realizado al final de cada periodo i= 4 % anual n i= 0.04 A (( 1  i )  1) S  i= 0.040000 i n= 4 años S= 636,969.60 Valor futuro Monto (anualidades)

Monto

si se calculan los intereses a una tasa de 22% convertible trimestralmente. ¿Que pago unico de inmedia si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses

A= i= i= i=

800 deposito trimestral 22 % anual convertible trimestralmente n 0.22 A (( 1  i )  1) S  0.055000 interes trimestral i

el valor actual de una anualidad de 15 pagos trimestrales S= 8,030.06 Monto (anualidades) Q ue cantidad se deberia depositar el 31 de enero del año 1 para poder hacer 15 retiros mensuales de 5

año, si la cuenta en que se deposita paga 9% de interes convertible cada mes. A= 5000 mensuales i= 9 % convertible cada mes i= 0.09 i= 0.090000 n= 15 retiros mensuales S= 40,303.44 Monto (anualidades) Se depositan mensualmente $100 en un banco que paga 12% de interés anual capitalizado trimestralme

A= 100 deposito mensual i= 12 % anual capitalizado trimestralmente i= 0.12 Periodo de pago: anual Calculo de la tas efectiva anual Periodo de capitalizacion: trimestralmen i= 0.1255 % i

Calculando la tasa efectiva del período

ip=

0.0099 % n= 36 depositos al año Calculo del futuro de la anuaidad



(1  j (m))

m / p



1

1) El periodo de pago es mas largo que el de ca

0.01267169

S= 4,299.91 Monto (anualidades) Se ahorran $7000 en un banco que paga interés de 8% anual capitalizado trimestralmente. Se desean hacer 10 reti tres meses después de haber hecho el depósito inicial. ¿A cuánto ascienden cada uno de los diez retiros semestra

S=

i= ip= ip= i= i= n= A= 4.5.1

7000 8 % anual capitalizado trimestralmente 0.08 n

i  (1 i p )

1



0.020 trimestral 0.08243216 0.0404 semestral 10 retiros semestrales iguales 864.76 asiende cada uno de los 10 retiros

Renta (anualidades)

una persona adquiere hoy a credito una computadora cuyo precio es de 19 750 y coviene en pagarla co cada mes si se le cobran 1.8% mensual de interes S= 19750 i= 1.8 % mensuales i=

0.018 %

n= A=

4.5.2

5,161.67 Renta (anualidades) S= 100,000.00

i= i= i= n= S/A= A= 4.5.3

13.5 % convertible mensual 0.135 % 0.01125 % mensual 84 meses 138.602198 721.49

Valor Futuro S



A ((1

 i ) n  1) i

Un año  12 meses  Un trimestre 3 meses periodo de capitalizacion

4.00 =m

El interés puede ser convertido en capital anual, sem

Renta (anualidades) S= 3,000.00

i= i= i= n= S/A= A= 4.5.3

4 mensualidades

25.0 % convertible mensual 0.250 % 0.02083 % mensual 12 13.47511491 222.63 meses

Plazo (anualidades)

Enganche= S=

2550 5,950.00 607.96 24.0 % convertible mensual 0.240 % 0.02000 % mensual

A= i= i= i= n= ? 0.8043 (1.02)^-n (1.02)^n = 1.243374 n= 11.00 4.7.3

Interes (anualidades)

A que tasa nominal convertible semestralmente se acumulan 500 000 en el momento de realizar el ulti de 15 depositos semestrales de 10 000 S= 500,000.00 A= 10,000.00 n= 15 meses 15 500,000.00 10000 (1+i) -1 i (1+i)15 -1 50.00 = i i= 0.156036 49.99985494 por lo tanto se requiere una tasa de: 31.2072 nominal anual Monto (anualidades) vencidas

S= ?

A=

500.00

plazo= n= i= i=

4 48 0.500 % 0.005 27,048.92

S=

años meses mensual mensual

S



A ((1

 i ) n  1) i

Monto (anualidades) vencidas

A= ? S=

i= i= Plazo= n= S=

500 0.500 % 0.005 3 36 16,435.51

mensual mensual años meses

A



S (1 

(1  i )

n

)

i


Una empresa azucarera reserva 15 000 al final de cada mes durante 3 años en un fondo que gana 12% mensualmente¿Cuál sera el valor del fondo al final del tercer año. Y cuanto será el monto 2.5 años desp deposito n R ((1  i )  1) R= 15000 S  i= 12.000 % interes compuesto mensuali i= 0.01 mensual Plazo= 3 años n= 36 meses S= 646,153.18 C= n= M=

646,153.18 30 meses 870,916.86

M= C*(1+i)n


Hoy recibi un credito de 7 000 pagaderos por medio de cuatro pagos semestrales vencidos, auna tasa d a) ¿Cuánto pagara semestralmente b) ¿ cuanto ascenderan estos pagos si es que se acordase pagar mensualmente S= 7000 R= ? i= 1.500 % interes efectivo mensual N= 2 años m= 12 frecuencia de capitalizacion: mensual n= 24 el numero de periodos se obtiene multiplicando el tiempo en años por l averiguar el interes semestral i= 0.015 mensual

i  (1  i p ) i= n= R=

n

1



0.093443264 Semestral 4 pagos semestrales 2,177.03 Si R



(1  (1  i )

n

)

b) i= n= R=

0.015 mensual 24 meses 349.47


Valeria desea comprar un equipo de sonido que al contado cuesta 2 800. el vendedor le ofrece que no nada de cota inicial, sino que haga un solo pago de 3 500 al final de seis meses; sin embargo ella prefier mensuales iguales, acordando con el vendedor efectuarlos al final de cada periodo.¿ de cuanto debería calculamos primero el interes n i= ? M= C*(1+i) C= 2800 M= 3500 n= 6 meses i= 0.037890816 i= 3.789081556 mensual para calcular el pago periodico usamos la formula del v alor actual R= ? Si S= 2800 R  n n= 6 (1  (1  i ) ) R= 530.47 


Cuando Pía cumplio 14 años, su abuela decide depositarle al final de cada tr imestre la cantidad de 550 efectivo mensual. Si se tiene pensado hacer esto depositos durante 8 años consecutivos, calcular la ca si se sabe que la tasa de interes permanecio invariable hasta que cumplio 20 años, fecha en que la tasa R= 550 i= 3.5 efectivo mensual i= 0.035 0 n= 24 =6 años *4 trimestres= 24 trimestres encontramos el interes trimestral (1+0.035)3=((1+i)1 n R ((1  i )  1) i= 0.108717875 S  i= 10.8717875 % trimestral i S1= 55,164.66 Por lo tanto: i= i= n= S1=

i= i= n= S2=

Por lo tanto: n= S2=

M= C*(1+i)n 16 % 0.16 12 =3 años *4 trimestres= 12 trimestres 327,458.93

16 % 0.16 8 trimestres 7,832.05 M= C*(1+i)n 4 trimestres 14,181.02

S



R ((1  i ) i

n

 1)

entonces, Pía al cumplir 23 años tendra en su cuenta: 341,639.95 Monto (anualidades) vencidas

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de conta vencidasdurante2 años y 6 mesesy un último pago de $2.500 un mes después de pagada laúltima men Inicial= 20,000.00 Pago contado R= 1,000.00 mensualidades n= 30 meses i= 9 % capitalizacion mensual i= 0.09 n S (1  (1  i ) ) i= 0.0075 S1=

26,775.08

R=

2,500.00

S2=

1,983.09

A



i

entonces, el valor al contado es:

48,758.17


Lucia compro un departamento por el cual debe hacer un pago periodico mensual de 550 durante 10 a a) si al efectuar el trigesimo pago desea liquidar el saldo de su deuda con un pago unico cuanto debera b) cual sera el valor al contado del departamento? R= 550.00 mensualidades n= 90 meses i= 11.5 % ca capitalizacion anual i= 0.115 n 1 (1+i) =(1+TEA) n= 12 n i= 0.009112468 mensual S (1  (1  i ) ) A  i= 0.911246844 %mensual i A= 33,678.13 b) n= 120 A=

40,034.32


Luis desea comprar 2 camionetas para su chamba, el precio al contado de ambas camionetas es de 120 sin cuota inicial y cuotas mensuales iguales para pagar al final de cada m es por 6 712.59 712 .59 a una tasa efec A= 120000 R= 6,712.59 i= 3 % tasa efectiva mensual i= 0.03 mensual n= ? -n 0.53631 =1-(1+0.03) -n

n=

0.463694 =(1.03) -0.333768204 -0.333768204 =-n*log(1. =-n*log(1.03) 03) log( log(1. 1.03) 03)== 0.012 0.012837 837225 225 -26.0000 -26.00002816 2816 =-n 26 meses

s, de 240?.

tregados al principio de cada 12 bimestres, bimestral anual

o mes, con intereses de 12% anual efectivo

o habra ahorrado al hacer el cuarto deposito?

to es equivalente a 15 pagos trimestrales de 800

000 a partir del último día de febrero de ese

te. ¿Cuánto se habrá acumulado después de hacer 36 depósitos anuales?

te

italización

ros semestrales iguales, empezando a retirar les, para que con el último se extinga el fondo?

n 4 mensualidades vencidas. Cuánto tendrá que pagar

4 es el período de capitalización trimestral al número de veces queel interés capitaliza durante un año se le denomina

Frecuencia de conversion estral, trimestral, ymensual así comodiario, dicho período esdenominado período de capitalización

o

e interes compuesto ues de hacer el ultimo

el 1.5% efectivo mensual

frecuencia de capitalizacion

ague e hacer pagos ser cada pago periódico?

n una cuenta de ahorros en un banco que paga 3.5% tidad que tendra Pía en su cuenta al cumplir 23 años, efectiva trimestral subió al 16%. 23

20

6

8

9

años

o; $1.000 por mensualidades sualidad. Para elcálculo,utilizar el 9% con capitalización mensual.

os; pactandose una tasa efectiva anual del 11.5% pagar adicionalmente en esa fecha para liquidar su deuda?

000, pero le proponen un credto con las siguientes condiciones: dtiva del 3% mensual. Calcular en cuantos meses se pagaran las camionetas

Anualidades generales.

Se consideran anualidades generales aquellas en las que el periodo de capitalización no coincide con el periodo de pag Para resolver problemas de casos de anualidad general es necesario modificar o hacer que coincidan los pagos o los periodos de capitalización, ajustándolos de manera que se puedan usar las formulas ya conocidas de anualidades sencillas. Para poder convertir las anualidades generales sencillas podemos hacer lo siguiente: a) Convertir la tasa de interés dada a una tasa equivalente para que coincida el periodo de pago con el de capitalizacion b) Encontrar el pago o renta equivalente para que coincida con la fecha de capitalizacion. Analicemos dos casos: 1) El periodo de pago es mas largo que el de capitalización 2) El periodo de capitalización es mas largo que el pago. Para el caso en el que el periodo de pago es mas largo que el de capitalización, la tasa equivalente se calcula con: m / p

i  (1  j (m))

1

Para el caso en el que el periodo de capitalización es mas largo que el periodo de pago, la tasa equivalente se calcula con:

p / m

j(m)  (1  i)



1

6 3

Donde: P = periodo de pago m = periodo de capitalización.

Observación: El decir que el periodo de pagos es mas largo que el de capitalización, no significa lo mismo que decir que p>m, ya que, puede suceder que p< m y el periodo de pagos seguir siendo mas largo que el de capitalización. EJEMPLO: Obtener el monto de 100,000.00 en 6 pagos trimestrales, si el interés es de 40% convertible mensualmente. Lo podemos resolver de dos maneras: a) Haciendo la tasa de interés equivalente: b) Haciendo la renta equivalente

a) capital pagos trimestrales periodos por trimestre Interes anual Interes mensual Interes trimestral Periodo de pago trimestral

100,000 6 3 0.4 0.033333333

3.10111079

j (m)  (1  i )

p / m



1

1 Monto

i



(1  j (m))

b) renta mensual equivalente a la trimestral Monto Amortización

Podemos considerar que el termino amortizar es la extinción gradual de una deuda

m / p



1

mediante pagos “R” periódicos, es decir realizados en intervalos de tiempos iguales que

comprenden el interés y una parte del capital total. Anualidades

Eventuales Vitalicias

Ciertas Temporales

Temporales Vencidas

Perpetuas

Anticipadas

CALCULO DEL VALOR DE LA ANUALIDAD

Al final del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es el mo nto o valor futuro (S) Al comienzo del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es el monto o valor Actual (A) Un punto inetrmedio del plazo de la anualidad.

Anualidad Vencida Ordinaria Calculo del Monto o Valor Futuro

S



R ((1  i )

n

 1)

i

R= Pago periodico, iporte cobrado o pagado Calculo del Monto o Valor Actual

A



R((1  (1  i)

n

)

i

Calculo de una Anualidad en un punto intermedio se emplean las dos formulas anteriores y una vez calculadas estas se suman (S+A)

.

.

Para resolver un problema de anualidad general es necesario modificarlo de tal manera que los periodos de pago y los periodos de capitalización coincidan. Es decir, e

necesario modificar la anualidad general en una anualidad simple equivalente. Existen, básicamente, dos formas de convertir anualidades generales en anualidades simples 1. Se reemplazan los pagos originales por pagos equivalentes que coincidan con las fechas de capitalización de intereses. 2. Se cambia la tasa de interés dada por una tasa equivalente en la cual el nuevo perio de capitalización coincida con el periodo de pago. Ejemplo: ¿Qué renta semestral anticipada sustituye los pagos mensuales anticipados de $500 c intereses del 30% anual capitalizable mensualmente? Dado que la renta semestral anticipada ocurre de inmediato, los pagos mensuales de 6 meses deben ser iguales a un solo pago semestral anticipado (que ocurre de inmediato). El pago semestral anticipado es equivalente entonces al presente de los pagos mensuales anticipados. Entonces los datos son: R= $500 pago mensual anticipado i = 0.3 anual capitalizable al mes 0.025 n = 6 periodos mensuales (dado que 1 semestre = 6 meses)

C  R(1 

1  (1  i)

i

n 1

 

)

0.12 0.025

4.65

2,822.91

Se requieren pagos semestrales anticipados de $2,822.91 para sustituir los pagos mensuales anticipados de $500 bajo una tasa del 30% anual capitalizable mensualmente.

s

do

n

Clase MF Int Vact Anualidades

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