METODO DE LERCHS & GROSSMAN
Aspectos generales
En el año año 1965, 1965, los los investigad investigadores ores Lerchs Lerchs y Grossman Grossman propus propusieron ieron un algori algoritmo tmo matemá matemátic tico o que que permití permitía! a!di dise seña ñarr de co cont ntor orno no de una explotación a cielo abierto de tal forma que se maximize la diferencia
entre el valor total de la mineralización explotada y el costo total de la
tra"a#o $ue el comien%o comien%o de de las extracció extracción n del mineral mineral y estéril estéril . Este tra"a#o aplicaciones i n$ormáticas n$ormáticas a la optimi%aci&n de e'plotaciones a cielo a"ierto siendo,el artículo que mayor incidencia ha tenido en esta temática aplicada a la industria minera( )on todo, su uso no está todavía universalmente aceptado, pro"a"lemente por las siguientes ra%ones *+od y -nur, 199./ 1/ )omple#id #idad del m0todo en t0rminos de comprensi&n y programac programaci&n, i&n, aunque aunque la comple#ida comple#idad d se suele utili%ar utili%ar corno corno ra%&n para evitar su uso, este argumento no siempre es válido, pues los t0cnicos que llevan a ca"o el diseño de la e'plotaci&n no tienen, necesariamente, que conocer el desarrollo matemático involucrado en la de$inici&n del algoritmo( / 2iempo requerido, en t0rminos de ordenador, para la o"tenci&n del diseño3 este hecho ha generado la creaci&n de un gran n4mero de algoritmos alternativos *por e#emplo el algoritmo oro"ov oro"ov, 1978, que reducen el tiempo necesario para la optimi%aci&n del diseño( Este pro"lema aumenta si e'iste la necesidad de reali%ar un análisis de sensi"ilidad, que genera m4ltiples diseños en $unci&n de cam"ios en varia"les tales como costos, precios, leyes mínimas de e'plotaci&n, etc( o o"stante, la llegada en los 4ltimos años de potentes máquinas a "a#o costo ha minimi%ado nota"lemente esta pro"lemática( ./ +i$i +i$icculta ultad d para inco incorp rpo orar rar cam" cam"io ioss en las las pend endient iente es de la e'plotaci&n3 este pro"lema está a4n en vías de soluci&n(
8/ El criterio de optimi%aci&n se "asa en el "ene$icio total, mientras que de"ería hacerla en el valor actual neto3 esta di$icultad es com4n en la mayor parte de los algoritmos e'istentes y tiene una di$ícil soluci&n, pues, corno dice :hittle *19;9/3 cono m&vil, llegándose al $inal, a un diseño del pit o corta que cumple el condicionante anteriormente comentado( ?eguidamente se presenta un e#emplo en @+, pudi0ndose llevar a ca"o en .@+ considerando los valores de los "loques minerali%ados en secciones longitudinales y transversales, aunque el análisis en .@+ presenta una pro"lemática que, posteriormente,
se comentará( Ancluso
se
comerciali%a una versi&n en 8@+, en la que la cuarta dimensi&n viene de$inida por el análisis de sensi"ilidad y Bltimamente, está en $ase de e'perimentaci&n una versi&n "eta para análisis muAtielemental( Lerchs y Grossman en 2-D
El punto de partida para la operacionali%acion de este algoritmo, se da, una ve% o"tenida y conocida la matri% de "loques con las leyes de cada uno de los "loques, es una secci&n *cuadro( C/ en la que se representa, para cada "loque los beneficios que se obtienen con su explotación( El parámetro
seleccionado para la optimi%aci&n tam"i0n podría ser otro, como, por e#emplo el contenido en metal( En el caso de que la e'plotaci&n de un "loque genere p0rdidas, sólo se pone el costo asociado a su extracción. *en el e#emplo de la )uadro C, correspondería a los "loques con valor @ u(m(/( El paso es seme#ante a la aplicaci&n de una estricta ley mínima de corte con todos los "loques( Dor de"a#o de esa ley mínima serán enviados, como est0ril, a las
canchas de desmonte o escom"reras( @ @ @ @ @ @ @
@ @ @ 1 1 1 @
1 @ @ 1 1 1 @
1 1 @ . @ 1 @
6 ; 9 1 @ @
7 1. 11 @ 1 @
1 9 15 9 . @
1 18 ; 66 6 8 @
9 8. 9 . . @
1 18 1; 6 @ @
6 1 9 @ @ @
@ @ @ @ @ @ @
@ @ @ @ @ @ @
)uadro C3 Falores del "ene$icio neto para los di$erentes "loques
C continuaci&n se acumulan los valores por columnas y de arri"a hacia a"a#o tal como se muestra en el cuadro ( Estos son los denominados valores de Lerchs y Grossmann, cuya sím"olo
M
ij
denota el valor del "loque para una
$ila i y una columna #( Dosteriormente, se calcula, empe%ando por la i%quierda y arri"a, el valor
P
ij
para cada "loque, utili%ando la siguiente $&rmula(
P = M + max( P ij
ij
)
i + r j −1
Csignando a r el valor @1, - y H1( El segundo t0rmino de esta ecuaci&n de$ine el valor mas grande de
P
ij
en los tres "loques más cercanos en la columna
a la i%quierda del "loque que está siendo evaluado *de$inido por el valor, en ese momento de i y #( Ina ve% que se calcula ese valor, se le añade al correspondiente de
M
ij
de ese "loque(
E'iste una pequeña modi$icaci&n que es necesario Antroducir para el cálculo de los "loques de la primera columna de la i%quierda, pues dicha columna no posee, a su ve%, "loques a su i%quierda, por lo que no es posi"le aplicar la $&rmula esta"lecida( En este caso, se anali%an los "loques que son necesarios quitar para sacar a la super$icie el que se está estudiando( Csí, en la cuadro ), para el "loque *1,1/ no es necesario q uitar ninguno, por lo se el asigna el valor
-2. Para el bloque inmediatamente inferior (2,1) es necesario quitar un bloque (supuesto un ángulo de corta de 45, es decir 1!1) asignándole, pues, un valor de -4 " (-2)# -$ (cuadro. %). &l inmediatamente inferior requiere la e'traccin de bloques, por lo que se le asigna un valor de -$ " (-$) # -12, * as+ sucesivamente
con el resto de los bloques de la primera columna de la
iquierda.
@
@
1
1
7
1
1
6
@
@
@8
@8
@1
;
7
.
8
89
8
16
@8
@8
@6
@6
@.
16
8
61
18
9
8
5
@6
@6
@;
@5
@
.
5
51
76
17
1;8
68
7
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@;
@1
@8
@1
1
6
89
;5
176
18
7
5
@1
@1
@1
@.
9
8
5
;;
1;
17
6;
.
@1
@1
@18
@1
7
8;
;6
17;
15
66
1
@18
@18
)uadro ( Falores acumulados por columnas de los "ene$icios netos * M ij )
1
Col . 1 Mi j -2 -4
Col . 1Mi 2
2 2
j -2 -4 -6
Jig( 1( K0todo de calculo para la columna de la columna de al i%quierda
Los otros "loques de la secci&n se calculan como se coment& anteriormente utili%ando la $&rmula correspondiente( En la $igura , se muestra como se calcularían los valores de los "loques *8,7/ y *.,;/( En el primer caso, el valor más grande de los tres a anali%ar es 7., por lo que este valor se le añade al
valor de 76 ( M ij ), para o"tener el de$initivo valor de
P ) de 189( Dara
(
ij
el cálculo del "loque *.,;/, el valor más alto es 189 el cual se le añade a 18 para o"tener un
P
ij
de 5.( +e esta $orma se o"tiene la matri% $inal *cuadro
) /( En cada caso se di"u#a una $lecha del "loque que se esta evaluando al "loque que se toma corno valor más alto de los tres a considerar( En el cuadro )( se o"serva el resultado de di"u#ar todas las $lechas correspondientes a los "loques anali%ados ?iguiendo estas líneas se esta"lece una serie de cortas optimi%adas, cada una de ellas representando el diseño &ptimo de la corta a la i%quierda de la línea que se considere La e'plotaci&n que ma'imia la diferencia entre el valor total de la mineraliacin e'plotada y el coste tata de la e'traccin del mineral y estril, tal como se indic& al
principio del m0todo, es la que presenta el entorno que comien%a por el valor de
P
ij
mas alto de la primera fila ( en el e/emplo de la figura 0 seria el
bloque (1.1) con un valor de $$)
0igura o. 2 &/emplo del cálculo de valores de los bloques a la derec3a de la primera columna
@
@
1
5
1;
6;
18
17;
.1
85
575
6.6
@6
@6
@.
.
11
86
98
15;
.
888
577
6.;
68.
@1
@1
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@.
19
6
1.8
5.
8
561
68
687
681
@
@17
@18
@6
7.
189
.;
519
617
65.
685
6.9
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@1;
@1.
71
15;
..5
55.
66
651
68.
6.5
@8
@..
@15
@1.
11
7
159
..9
556
68
689
6.9
6.1
@56
@8.
@6
15
9
59
156
..7
558
6
685
6.5
65
)uadro )( Katri% $inal@ Las $lechas delimitan el pit $inal( C continuaci&n se o"serva el resultado de
di"u#ar todas las $lechas
correspondientes a los "loques anali%ados( Este delineamiento comien%a por el valor de
P
ij
mas alto de la primera fila( )uadro +
@
@
1
5
1;
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.1
85
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6
1.8
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68
687
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519
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685
6.9
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..5
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66
651
68.
6.5
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@15
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11
7
159
..9
556
68
689
6.9
6.1
@56
@8.
@6
15
9
59
156
..7
558
6
685
6.5
65
)uadro +( Katri% $inal@ Las $lechas delimitan el pit $inal
C continuaci&n se muestra el per$il del pit $inal del ta#o, con cálculos del algoritmo de Lerch and Grossman(
Der$il del pit $inal
The end
