Lech Grossman

UNI ERSIDAD ALAS PERUANA FACUL AD DE DE INGEN INGENIER IER AS Y ARQUI ARQUI ECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

MÉTODO DE LERCHS-GR SSMAN Alumno: Lumba Huamá Lenin O.

Planeamiento Planeamiento de minado INTRODUCCIÓN Un algoritmo preciso para determinar la ubicación del límite final óptimo del pit, utilizando un procedimiento de programación dinámica de dos dimensiones, fue desarrollado por Lerchs y Grossman en en el año 1965. 1965. Esta es una técnica precisa para definir el límite del pit en una sección transversal transversal de dos dimensiones, por medio de la cual es posible lograr el mayor beneficio posible. Se puede aplicar fácilmente en una planilla de cálculo, según se se explicará a continuación por por el método de Lerchs y Grossman. Grossman.

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Investigado por: Lumba Huamán Huamán Lenin Omar

Planeamiento Planeamiento de minado MÉTODO DE LERCHS-GROSSMAN LERCHS-GROSSMAN 1. EL MÉTODO MÉTODO BIDIMENSIO BIDIMENSIONAL NAL DE LERCHS-GROSSM LERCHS-GROSSMAN AN Este método permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la máxima utilidad neta. neta. El método resulta atractivo atractivo por cuanto cuanto elimina los procesos procesos de prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional. Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el rajo en secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de plantas del rajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aún cuando el pit es óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso de suavizamiento no lo sea. El primer paso es dividir la sección transversal del pit en bloques. Se selecciona el tamaño del bloque para obtener una altura equivalente a la del banco, y se selecciona un grosor del bloque de tal forma como para que la línea diagonal resultante a través de los bloques, genere el ángulo de la pendiente total deseada, como se i ndica en la Figura 2.7.

Figura 2.7- Sección transversal de un yacimiento, con altura de bloques equivalentes a altura de banco y diagonal del bloque que define la pendiente (53°). El siguiente paso es asignar valores a los bloques, basándose en la ley del mineral y las condiciones económicas de la propiedad minera. Los bloques de estéril, son asignados por números negativos, los cuales equivalen equivalen al costo costo en extraer estos bloques de de material. Los bloques de mineral, son asignados por números positivos, los cuales equivalen al beneficio generado al extraer estos bloques sin incluir el costo de extracción de material estéril. El beneficio se determina restando todos los costos de 2


Planeamiento Planeamiento de minado producción al precio de venta de los minerales producidos. Esto incluye extracción, tratamiento en Planta, transporte, comercialización comercialización y costos administrativos en general. La Figura 2.8, 2.8, es un modelo de bloque bloque similar a Figura Figura 2.7, pero en este caso, caso, los bloques son celdas de una planilla de cálculo con valores de bloques asignados. La técnica de Lerchs Grossman, se basa en la siguiente relación:

P ij = M ij + máx. (Pi (Pi + k,j-1) k,j-1) ...... ...... (1) donde, donde, K = -1, 0, 1 , M ij, i j, representa el beneficio obtenido para extraer una sola columna de bloques con el bloque ij en su base. Pij, es el beneficio máximo que pueden generar columnas 1 hasta j dentro de un pit que contiene el el bloque ij en en su límite. Este método se puede ilustrar ilustrar mejor por medio medio de un un ejemplo. En la Figura 2.8, los valores económicos del bloque ( Vij), han sido asignados a una sección transversal.

Fig.2.8- Se asignan valores de bloques bloques (Vij). El próximo paso, es calcular los valores acumulativos de la columna, Mij, tal como se muestra en Figura 2.9.

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Planeamiento Planeamiento de minado

Fig. 2.9- Los valores acumulativos de la columna (Mij), se calculan a partir de los valores de los bloques. Estos valores corresponden simplemente al valor acumulativo de los valores económicos de todos los bloques situados exactamente arriba de la misma columna, tal como se muestra en Figura 2.10.

Fig. 2.10-ejemplo de cómo calcular los valores acumulativos de la columna Mij, añadiendo los valores de bloques Vij dentro de la columna.

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Planeamiento Planeamiento de minado Por lo tanto, Mij para el bloque en donde i = 4 y j = 12 (M4,12), es la suma de los valores de bloque para los bloques j = 12 y i = 1,2,3,4. En la Figura 2.8, M4,12 = 2 + 3+ 4+ 4 = 13.

El último paso, como se muestra en la Figura 2.11, es calcular los valores de la matriz de beneficio de Pij. Estos valores, corresponden al beneficio neto o pérdida generados al caer uno de los bloques del modelo sobre el límite del pit con todos los bloques de la izquierda que se han extraídos para crear una pendiente con el ángulo total deseado.

Fig.2.11- ingreso máximo (Pij) para un un pit con el bloque ij en su límite límite derecho. Para determinar el valor de la matriz de beneficio de cualquier bloque en particular, el valor acumulativo de la columna para para ese bloque (Mij), es sumado al valor de beneficio beneficio (Pij) para un bloque en la columna más próxima a la izquierda. Para cualquier bloque en particular, se darán tres alternativas: el bloque ubicado diagonalmente arriba a la izquierda, el bloque ubicado transversalmente a la izquierda, y el bloque ubicado diagonalmente abajo a la izquierda. De estas tres alternativas, se selecciona el bloque con valor máximo positivo. Se agregan las mejores alternativas para todos aquellos bloques que son extraídos, para obtener el valor de beneficio para el bloque que se está evaluando. La Figura 2.12 incluye valores de Pij para las columnas desde 1 hasta 10, y se utilizarán a modo de ejemplo en la generación de valores para la columna 11. Por conveniencia, los valores de la columna acumulativa Mij para la columna 11, que se requieren para calcular los valores de Pij utilizando la Ecuación 1, también se incluyen en Figura 2.12.

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Planeamiento Planeamiento de minado

Fig., 2.12- ejemplos de cómo calcular los valores de Pij para la columna columna 11, utilizando los valores de Mij a partir de la columna 11.

Ejemplo 1: Determinació Determinación n de Pij para para el bloque 1,11. Los valores de Pij se determinan según lo definido en Ecuación 1. El proceso comienza en Columna 1, y continúa hasta hasta arriba en Columna 2, después de haber haber evaluado todos los bloques en Columna 1. El valor acumulativo de la columna es 1. Las tres opciones de diseño, si este bloque cae sobre el límite final, son sólo extraer el bloque (1,11), extraer el bloque (1,10) o incluir los bloques (1,10) ó (2,10) en el límite final. El costo de estas tres opciones opciones son: 0, -2, y -3. Estas tres opciones opciones generan generan valores de beneficio beneficio de:

M1,11 + P1,10 = 1 + 0 = 1 M1,11 + P1,10 = 1 + (-2) = -1 M j,11 + P 2,10 = 1 + (-3) = -2 La alternativ alternativaa más rentable rentable es es extraer extraer sólo el bloque bloque (1,11), (1,11), donde donde Pij tiene el valor valor 1.

Ejemplo 2: Determinació Determinación n de Pij para para el bloque 5,11. El valor acumulativo de la columna es 13. Si este bloque cae sobre el límite final del pit, existen tresopciones en la columna 10 para la ubi cación del límite final, bloques bl oques (4,10); (5,10) y (6,10). Las tres alternativas generan valores de beneficio de:

P 5,11 M 5,11 + P 4,10 = 13 + (-4) = 9 M 5,11 + P 5,10 = 13 + (-3) = 10 M 5,11 + P 6,10 = 13 + (-5) = 6 6


Planeamiento Planeamiento de minado La mejor alternativa es (5,10), dejando dejando al valor de P (5,11) de 10. La Figura 2.13, representa la matriz de beneficio total (Pij) para el ejemplo.

Fig. 2.13- los valores de Pij, indican donde termina el pit en la superficie superficie y la línea del límite del pit a lo largo del modelo del bloque bloque Los valores de Pij en cada bloque, bloque, representan el beneficio beneficio a generar si ese bloque se encuentra sobre el límite final del pit a la derecha, y todos los bloques situados situados arriba y a la izquierda son extraídos de manera óptima. Dado que ningún bloque sobre el límite lí mite puede tener otro precisamente por sobre él mismo por razones de diseño de pendientes, observamos a lo largo del límite superior para el bloque indicando el mayor beneficio. En este ejemplo, podemos ver que el bloque 1,18 indica el mayor ingreso, con 93 unidades. Desde esta posición, operamos en la matriz de beneficio ubicada a la izquierda. Desde la posición actual, existen tres alternativas para expandir el pit a la izquierda. Estas son: 1) arriba, 2) transversalmente y 3) abajo. En este caso, el subir no es una alternativa disponible, ya que nos encontramos en la superficie superior. La posición transversal, indica un beneficio de 88 unidades, y el bajar, indica un ingreso de 92 unidades. Por lo tanto, el pit se expande hacia abajo, y se repite el proceso de evaluación hasta concluir el diseño del pit al lado izquierdo del modelo. Los valores de la matriz de beneficio, actúan como indicadores de la alternativa correcta de expansión del pit en todos los puntos. Si se encuentra una situación en que las dos opciones de expansión indican el mismo beneficio, entonces ambas rutas alcanzan el mismo valor. Bajo esta situación, al seleccionar la alternativa que extrae el material adicional, aumentará la recuperación total del recurso natural sin tener ningún efe cto en 7


Planeamiento de min a do el flujo de caja, y la polí tica de la compañía determinará la alternativ en este caso. La Figura 2.14, es similar a Figura 2.13, con el área del pit achurada en u interior. La Figura 2.15 ilustra lo s valores de Vij para todos los bloques inclui dos dentro del pit final. Se muestra el valo r total de cada columna, como también la su a de todos los bloques en el pit, que es 93. Este valor, representa el beneficio total según lo determinado en Figura 2 .13. Además, será imposible encontrar otro d iseño de pit que pueda generar un mayor beneficio.

Fig. 2.15- El valor total Vij 1 del limite del pit = 93, el cual es el que se indic en figs. 2.11 y 2.12. Para una mayor demostr ación sobre el uso de la matriz de beneficio, refiérase a Figura 2.14. Observe que en el sexto banco, el pit tiene el ancho de un solo loque. Suponga que éste es demasiado b ajo como para ser extraído, por lo tanto, surg la necesidad de averiguar si dejar Bloqu e 6,11 o extraer Bloque 6,12. El análisis de l matriz, indica que si el pit se expande de m anera transversal y no hacia abajo desde el B loque 5,12, se reducirá el beneficio en 5 unidades (10 vs. 15).

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Investigado por: Lu ba Huamán Lenin Omar

Planeamiento Planeamiento de minado Observe en la Figura 2.8 que el Bloque 6,11 tiene un valor neto de 5, por lo tanto, resulta obvia la pérdida de 5 unidades. Por otra parte, si el pit se expande hacia hacia abajo y no de manera transversal desde el Bloque 5.13, habrá una reducción de 2 unidades de ingreso (31 vs. 33). Esta opción de expandir el área inferior del pit es mejor, ya que implica una pérdida de 2 unidades versus una pérdida de 5. La técnica de Lerchs Grossman es un procedimiento matemáticamente correcto y posee ventajas evidentes respecto de los primeros métodos de aproximación utilizados por la industria antes del advenimiento computacional en la planificación y diseño de minas. En particular, se observa el valor de todos los bloques dentro del modelo, no sólo a lo largo del límite. Sin duda, el método descrito anteriormente, tiene las desventajas como de cualquier sistema de dos dimensiones, sin embargo, y por lo general, es posible implementar el sistema de Lerchs Grossman de manera tridimensional, según lo que se discutirá a continuación.

2. MÉTODOS TRIDIMENSIONALES TRIDIMENSIONALES DE DE LERCHS GROSSMAN GROSSMAN La teoría fundamental resguardada resguardada tras las técnicas tanto de Lerchs Grossman Grossman como del Cono Flotante, se refiere a que cada tonelada tonelada de mineral mineral extraído, deberá deberá pagar su propia extracción. El método de Lerchs Grossman, es un procedimiento de cálculo formal, en tanto que el sistema del Cono Flotante, confía más en la fuerza bruta. Ambos métodos utilizan una aproximación del modelo de bloques de la forma del pit, y esto induce a cierta imprecisión en ambas técnicas. El cono flotante tiene ventajas para la creación de un sistema de planificación minera como también el análisis del límite final del pit. Por esta razón, he optado por el uso del método del Cono Flotante como herramienta básica en el desarrollo de un sistema de planificación minera para enseñanza e investigación en la Universidad de Queen's a principios de los años '80. Cuando los sistemas de cono flotante en tres dimensiones se aplican correctamente, generan fundamentalmente fundamentalmente los mismos resultados que en método de Lerchs Grossman

2.1. La Técnica de Lerchs Lerchs Grossman Grossman Este concepto puede expresarse matemáticamente bajo un formato tridimensional, utilizando la teoría gráfica (Ref.1). 11 Al optimizar un diseño de pit en tres dimensiones, trabajamos con un modelo de bloque del yacimiento, 9


Planeamiento de min a do tal como el que se ilustra en la Figura 2.22.

Fig. 2.22- Modelo de bloque del yacimiento Se asignan valor s a los bloques bloques de de mineral mineral y de estéril, estéril, co co mo se ha discutido anteriormente. Pa ra implementar el método en tres dimensio es, comenzamos a partir de la superficie superior y extraemos todos los bloques ubicados en el primer nivel, qu

sean rentables. Esto, simplemente inclui á la extracción de

todos los bloques de mineral, dejando intactos todos los bloq ues de estéril. Esto es posible, ya qu no es necesaria la extracción de estéril par alcanzar el ángulo de la pendiente to tal durante la extracción del del primer banco. Sin embargo, cuando se debe extraer

l segundo banco, será necesario extraer

lgunos bloques de

estéril. Entonces, se deberá evaluar si es que un bloque de m ineral en particular en el segundo niv el puede pagar la extracción de todos los blo ues de estéril en el primer nivel que sean necesarios de extraer. Una vez que lle guemos al cuarto o quinto nivel, se v uelve bastante difícil evaluar la posibilidad e que la extracción de cada bloque s erá rentable. Tal como se ha señalado, esto se puede expresar matemáticamente, utilizando la teoría gráfica. Sin embargo, se ha desarrollado otro método apr ximado para esta aplicación Sin embargo, se ha desarrollado otro método apr ximado para esta aplicación, denominado c omo la técnica del “cono flotante”. Esta técn ica,

tiene ventajas al desarrollar un sistema para la

planificación minera como también para el análisis del lími te final del pit. El método de Lerch s Grossman es matemáticamente preciso, y cuando se aplica correctamente, l s sistemas de cono flotante en tres di ensiones, generan principalmente los mismos resultados 10


Planeamiento de min ado 2.2. 2.2. Método Método del Cono Cono Flotante El procedimiento de búsqueda es de acuerdo a lo descrito an teriormente para el caso de dos dime siones, con excepción en que el modelo d

bloques y el cono

son tridimensionales. El incremento de extracción consiste en todos los bloques de material que se deben extraer pa ra excavar un bloque en particular hast

la base. Por las

limitaciones del ángulo máximo de la pared y debido al he ho de que todo el material sobre un bloque en particular, debe ser excavado an tes que ese bloque pueda ser excavad o, el incremento de extracción toma la l a form de un cono de tres dimensiones. El i cremento de extracción se puede aproximar utilizando bloques a partir de una ma triz de bloques en tres dimensiones, como s puede observar en Figuras 2.23 y 2.2 4.

Fig. 2.23- vista ridimensional de ¼ de un incremento de extracción cónica, aproximando por bloques. Se emplea un blo que como base del cono. La determinación del límite del pit, utilizando la técni a del cono flotante, constituye una optimiza ión de la matriz de beneficio.

Fuente: Diseno-y-O

eraciones-de-Minas-a-Cielo-Abierto-www-i genieroenminas

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