Solucionario Grossman

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN CAMPUS IFACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y PETROLERASINGENIERÍA QUÍMICATRABAJO: SOLUCIONARIOMATEMÁTICAS IALUMNA: BAUTISTA NOLASCO VIVIANA GUADALUPEFECHA: 08/11/15UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN CAMPUS IFACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y PETROLERASINGENIERÍA QUÍMICATRABAJO: SOLUCIONARIOMATEMÁTICAS IALUMNA: BAUTISTA NOLASCO VIVIANA GUADALUPEFECHA: 08/11/15
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
CAMPUS I
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y PETROLERAS
INGENIERÍA QUÍMICA
TRABAJO: SOLUCIONARIO
MATEMÁTICAS I
ALUMNA: BAUTISTA NOLASCO VIVIANA GUADALUPE
FECHA: 08/11/15


UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
CAMPUS I
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y PETROLERAS
INGENIERÍA QUÍMICA
TRABAJO: SOLUCIONARIO
MATEMÁTICAS I
ALUMNA: BAUTISTA NOLASCO VIVIANA GUADALUPE
FECHA: 08/11/15




Libro: Stanley Grossman
Ejercicios 3.1
En los problemas del 1 al12 encuentre la magnitud y dirección del vector dado.
1. V=4,4
θ = tan-1 ba θ tan-1 44 =45° y Direccion
V=i2+j2 V=42+42= 32

2. V=-4,4
θ = tan-1 ba θ tan-1 4-4 =-45°
V=i2+j2 V=-42+42= 32
R=180-45=135°

3. V=4,-4
θ = tan-1 ba θ tan-1-44 =-45°
V=i2+j2 V=42+-42= 32
R=360-45=315°

4. V=-4,-4
θ = tan-1 ba θ tan-1-4-4 =45°
V=i2+j2 V=-42+-42= 32
R=180+45=225°

5. V=3, 1
θ = tan-1 ba θ tan-113 =30°
V=i2+j2 V=3 2+12= 4=2
6. V=1 ,3
Ø= tan-1 ba θ= tan-131 =60°
V=i2+j2 V=12+3 2= 4=2

7. V=-1 ,3
θ = tan-1 ba θ tan-13-1 =-60°
V=i2+j2 V=-12+3 2= 4=2
R=180-60=120°

8. V=1 ,-3
θ = tan-1 ba θ tan-1-31 =-60°
V=i2+j2 V=12+-3 2= 4=2
R=360-60=300°

9. V=-1 ,-3
θ = tan-1 ba θ tan-1-3-1 =60°
V=i2+j2 V=-12+-3 2= 4=2
R=180+60=240°


10. V=1 ,2
θ = tan-1 ba θ tan-121 =63.43°
V=i2+j2 V=12+22= 5
11. V=-5 ,8
θ = tan-1 ba θ tan-18-5 =-58°
V=i2+j2 V-52+82= 89
R=180-58=122°
12. V=11 ,-14
θ = tan-1 ba θ tan-1-1411 =-51.84°
V=i2+j2 V112+-142= 317
R=360-51.84=308.16°
13. Sea u (2,3) y v (-5,4) Encuentre a) 3u; b) u+v; c)v-u; d) 2u-7v Bosqueje estos vectores.
3 u = 3(2i+3j) = 6i+9j
u+v=(2i+3j)+ (-5i+4j) = -3i+7j
v-u=(-5i+4j)-(2i+3j) = -7i+1j
2u – 7v= 22i+3j– 7-5i+4j = 4i+6j– -35i+ 28j
=39i -22j
a)







b)







c)








d)










14 . Sea u=2i-3j y V=-4i+6j. Encuentre:a) u+v;b) u-v;c)3u ;d)-7v;e) 8u-3v;f)4v-6u. Bosqueje estos vectores.
a) u+v=2i-3j+-4i+6j=-2i+3j
b) u-v= 2i-3j--4i+6j=6i-9j
c)3u=32i-3j=6i-9j
d)-7v=-7-4i+6j=28i-42j
e)8u-3v=82i-3j-3-4i+6j=16i-24j12i-18j=28i-42j
f) 4v-6u=4-4j+6j-62i-3j=-16i+24j-12i+18j= -28i+42j

a)









b)









c)










d)

















e)










f)















15. Muestre que los vectores i y j son vectores unitarios
V1 = (1,0)
V2= (0,1)
V=i2+j2
"V1"= 12+ 02= 1=1
"V2"= 02+ 12= 1=1

16. Demuestre que el vector 12i+12j es un vector unitario.
u=i2+j2
u=122+122 =1 = 1

17. Demuestre que si v=ai-bj 0, entonces u=(a/a2+ b2 )i – (b/a2+ b2)j es un vector unitaro que tiene la misma dirección que v.
v=ai-bj 0 u=(a/a2+ b2 )i , (-b/a2+ b2)j

u=aa2+ b2 2+ -ba2+ b2 2=a2+b2a2+b2 =1=1
Ø1= tan-1 -ba
Ø2= tan-1 -ba2+ b2 aa2+ b2 =-ba

Ø1= Ø2



En los problemas 18 al 21 encuentre un vector unitario que tengo la misma dirección que el vector dado.
18. 2i + 3j
v=i2+ j2 v=22+32= 13
u=iv+ jv u=213i- 313j


19. v=i-j
v=i2+ j2 v=12+ 12 = 2

u=iv+ jv u=12i- 12j

Ø= tan-1 ba
Ø1=tan-1-11= -45°
Ø2 = tan-1 -1/ 21/ 2= -45°
Ø1= Ø2

20. v= -3i +4 j
v=i2+ j2 v=(-3)2+ 42 = 25 = 5

u=iv+ jv u=-35i+ 45j

Ø= tan-1 ba
Ø1= tan-1 4-3= -53.13°
Ø2= tan-1 4/5-3/5= -53.13°
Ø1= Ø2


21. v=ai+aj :a 0
v=i2+ j2 v=a2+ a2 = 2a

u=iv+ jv u=a2ai+ a2aj
u=i2+ j2

22. Si v=ai+bj, demuestre que a/a2+b2 =CosØ y b/a2+b2 =SenØ, donde Ø es la dirección de v
v=i2+ j2 v=a2+ b2

u=iv+ jv u=aa2+ b2 + ba2+ b2
Cos =aa2+ b2
Sen =ba2+ b2
23. Si v=2i-3j encuentre sen y cos
v=i2+ j2 v=22+ (-3)2 = 13

u=iv+ jv u=213i- 313j
Cos = 213
Sen =- 313


24. Si v=-3i+8j encuentre sen y cos
v=i2+ j2 v=(-3)2+ 82 = 73

u=iv+ jv u= -373i+ 873j
Cos = -373
Sen = 873
Un vector v tiene dirección opuesta a la del vector u si dirección de v=dirección de u+π. En los problemas 25 al 28 encuentre un vector unitario v que tenga dirección opuesta a la dirección del vector dado u.
25. u=i+j
u=i2+ j2 u=12+ 12 = 2

u=iv+ jv u=12i+ 12j
v=-12i- 12j

26. u=2i-3j
u=i2+ j2 u=22+ (-3)2 = 13

u=iv+ jv u=213i- 313j

v=-213i+ 313j


27. u=-3i+4j
u=i2+ j2 u=(-3)2+ 42 = 25 =5

u=iv+ jv u=-35i+ 45j
v=35i- 45j
28. u=-2i+3j
u=i2+ j2 u=(-2)2+ 32 = 13

u=iv+ jv u=-213i+ 313j
v=213i- 313j

29. Sea u=2i – 3j y v= - i + 2j , encuentre un vector que tenga la misma dirección que:
a) u + v ; b) 2u – 3v ; c) 3u + 8v.

u= 2i – 3j v= -i + 2j
u + v = (2i – 3j) + ( -i + 2j) = i – j

2u – 3v = 2( i – 3j) -3 ( -i +2)
=2i – 6j + 3i -6j
= 5i -12j
3u + 8v = 3( 2i -3j) + 8(-i+2j)
= -6i -9j – 8i +16j
= -2i + 7j


a) v=i – j
v=i2+ j2 v=12 + ( -12) = 2
u=iv+ jv u=1 2 - 1 2

b) v= 5i -12j
v=i2+ j2 v=52 + -122 =169 =13
u=iv+ jv u=513 - 1213

c)v= -2i + 7j
v=i2+ j2 "v"=(-2)2 + 72 = 53

u=iv+ jv u=-2 53 + 7 53

30. Sea P=( c , d ) y Q=( c + a , d + b) muestra que la magnitud
PQ es = a2 + b2 .

P= ( c , d )
Q=( c +a , d+ b )
PQ =Q-P=c+a+d+b-c-d=a+b
v=i2+ j2 v=a2+ b2


31. Con respecto al ejercicio 30, demuestre que la dirección de pq es la misma que la dirección ( a,b) sugerencia si R= ( a,b). Demuestre que la recta que pasa por los puntos P y Q es paralela que pasa por los puntos 0 y R

v2 =tan-1(ba)
pq= tan-1(ba)
En los problemas del 32 al 35 encuentre un vector v que tenga la magnitud y dirección dadas.
32. "v" = 3 : π6
"v" cos (3)(cos30°)=2.58
"v" sen (3)(sen 30°)=1.5
V= 2.598 I + 1.5 j
33. "v"= 8 : π6
"v" cos =(8)(cos60°)=4
vsen =(8)(sen 60°)=6.92
V = 4 I + 6.92 j
34. "v"= 1 : =π/4
"v"cos =(1)(cos45°)=0.70
"v"sen =(1)(sen 45°)=0.70
V= 0.70 I + 0.70j


Problemas 3.2
En los problemas 1 al 8 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos.
1. u= i + j v= i – j
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v= 11+ 1-1== 1 – 1 = 0
u v=0
cosφ=u vuv= 012 + 12 12 + -12=02 2 = 02 = 0
cosφ=0 =Cos-1(0)=90º

2. u= 3 i v= -7 j
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v= 3 + -7= -4 u v=-4
cosφ=u vuv= -432(-7)2 = -4949=-4441 = -421
cosφ=-421 =Cos-1-421 =100.98°
3. u= -5 i v= 18j
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v= -5+ 18=13 u v=13
cosφ=u vuv= 13-52 182= 1325324= 138100= 1390
=Cos-11390 =81.69° cosφ=1390

4. u=αi v=βj :α,β reales
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v= +β
cosφ=u*vuv= +β 2β2= +β 2β2 cosφ= +β 2β2
=2 β=4
u v=2+4=6 u v=6

cosφ=2+4 2242=6 32 cosφ=6 32

5. u=2i+5j; v=5i+2j
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v=25+52=10+10=20
u v=20
Cosφ=u vuv =2022+5252+22=202929= 2029
Cosφ=2029 =cos-12029=46.40°
6. u=2i+5j; v=5i-2j
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v = 25+5(-2)= 10-10= 0
u v=0
Cosφ=u vuv =022+5252+-22=02929=029=0
Cosφ=0 =Cos-1(0)=90º
7. u=-3i+4j; v=-2i-7j
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v =-3-2+4-7=6-28=-22
u v=-22
Cosφ=u v"u""v" =-22(-3)2+(4)2(-2)2+(-7)2=-229+164+49=-222553=-22553=-2236.4
Cosφ=-2236.4 =Cos-1-2236.4=127.18°




8. u=4i+5j; v=5i-4j
u v = i1 i2 + j 1 j2
u v =45+5(-4)=20-20=0
u v=0
Cosφ=u v"u""v" =0(4)2+(5)2(5)2+(-4)2=016+2525+16=04141=041=0
Cosφ=0 =Cos-10=90°
9. Demuestre que para cualesquiera números reales α y β, los vectores u= αi+βj y v= βi-αj son ortogonales.
Cosφ=u v"u""v" =αβ+β(-α)(α)2+(β)2(β)2+(-α)2=αβ-αβα2+β2α2+β2=0α2+β2=0
=Cos-10=90° por lo tanto son ortogonales.
10. Sean u, v y w tres vectores arbitrarios. Explique por qué el producto u v w no está definido.
Porque al multiplicar dos vectores obtienes un escalar y no se puede obtener el producto de un escalar con un vector, no existe dicha operación.
En los problemas 11 al 16 determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Después bosqueje cada par.
11. u=3i+5j; v=-6i-10j
Cosφ=u v"u""v" =3-6+5(-10)(3)2+(5)2(-6)2+(-10)2=-18-509+2536+100=-6834136=-6868=-1
=Cos-1(-1)=180º Es paralelo

12. u=2i+3j; v=6i-4j
Cosφ=u v"u""v" =26+3(-4)(2)2+(3)2(6)2+(-4)2=12-124+936+16=01352=026=0
=Cos-1(0)=90º Es ortogonal

13. u=2i+3j; v=6i+4j
Cosφ=u v"u""v" =26+3(4)(2)2+(3)2(6)2+(4)2=12+124+936+16=241352=24026=0.9230
=Cos-10.9230=22.63° No es paralelo ni ortogonal.
14. u= 2i + 3j v= -6i + 4j
Cosφ=u vuv=2-6+3(4)(2)2+(3)2(-6)2+(4)2=-12+124+936+16=-12+121352=01352=026=0
=Cos-1(0)=90° Es ortogonal
15. u= 7i v= -23j
Cosφ=u vuv=70+0(-23)(7)2(-23)2=0+049529=07 23=0
=Cos-1(0)=90° Es ortogonal

16. u= 2i – 6j v= -i + 3j
Cosφ=u vuv=2-1+-6(3)(2)2+(-6)2(-1)2+(3)2=-2-184+361+9=-204010=-20400=-2020=-1
=Cos-1(-1)=180° Es paralelo

Bosquejos 11-16
11.


12.











13.












14.









15.

16.










17. Sean u= 3i + 4j v= i + αj Determinar α tal que:
a) u y v son ortogonales
Cosφ=u vuv
Cos(90°)=3+4 251+ 2
0=3+4 251+ 2
3+4 =0
4 =-3
=-34
b) u y v son paralelos
Cosφ=u vuv
Cos(0°)=3+4 251+ 2
1=3+4 251+ 2
1+ 2=35+4 5
1+ 22=35+4 52
1+ 2=16 225+24 25+925
16 225-25 225+24 25+925-2525=0
-9 225+24 25-1625=0
-9 2+24 -16=0
-b±b2-4ac2a
=-24±(24)2-4(-9)(-16)18
-24±576-57618
=-2418
=-43

c) El ángulo entre u y v es /4
/4 = 45°
Cosφ=u vuv
Cos(45°)=3+4 251+ 2
0.7071=3+4 51+ 2
1+ 2=3+4 (0.7071)5
1+ 2=33.5355+4 3.5355
1+ 22=0.8485+4 3.53552
1+ 2=16 212.4997+6.788 3.5355+0.7199
16 212.4997-12.4997 212.4997+6.788 3.5355+0.7199-1=0
3.5003 212.4997+6.788 3.5355-0.2801=0
-b±b2-4ac2a
=-1.9199+3.6862-4(0.28)(-0.2801)0.56
=-1.9199+3.6862+0.31370.56
=-1.9199+1.9990.56
=0.1412
d) El ángulo entre U y V es /3
3=60°
Cosφ=u vuv
Cos(60°)=3+4 251+ 2
0.5=3+4 51+ 2
1+ 2=3+4 (0.5)5
1+ 2=1.2+4 2.5
1+ 22=1.2+4 2.52
1+ 2=16 26.25+9.6 2.5+1.44
16 26.25-6.25 26.25+9.6 2.5+1.44-1=0
9.75 26.25+9.6 2.5+0.44=0
-b±b2-4ac2a
=-3.84+(3.84)2-4(1.56)(0.44)3.12
=-3.84+14.7456-2.74563.12
=-3.84+123.12
=-0.37583.12
=-0.1204

18. Sean u= -2i + 5j v= i – 2j
a) u y v son ortogonales
Cosφ=u vuv
Cos(90°)=-2 -10294+ 2
0=-2 -10294+ 2
0=-2 -10
2 =-10
=-102
=-5

b) u y v son paralelos
Cosφ=u vuv
Cos(0°)=-2 -10294+ 2
1=-2 -10294+ 2
4+ 2=-2 29-1029
4+ 22=-2 29-10292
4+ 2=4 229+40 29+10029
29 2-4 2-40 +116-100=0
-b±b2-4ac2a
=40+(-40)2-4(25)(16)-80
=40+1600-1600-80
=40-80
=-0.5
c) El ángulo entre u y v es 2/3
Cosφ=u vuv
Cos(120°)=-2 -10294+ 2
-0.5=-2 -10294+ 2
4+ 2=-2 29-10-0.5
4+ 2=0.5517 2+5.5172 +13.7931
0.4482 2-5.5172 -9.7931=0
2-12.3077 +37.8698=59.716
( -6.1538)2=59.716
-6.1538=7.7276
=13.8815

19. En el problema 17 demuestre que no existe un valor de para el que u y v tienen direcciones opuestas
0=3+4 251+ 2
3+4 =0
4 =-3
=-34
No tiene opuesto.
20. En el problema 18 demuestre que no existe valor de para el que u y v tienen la misma dirección.
1=-2 -10294+ 2
4+ 2=-2 29-1029
4+ 22=-2 29-10292
4+ 2=4 229+40 29+10029
29 2-4 2-40 +116-100=0
-b±b2-4ac2a
=40+(-40)2-4(25)(16)-80
=40+1600-1600-80
=40-80
=-0.5
En los problemas 21 al 30 calcule la proyección ProyvU
21. u= 3i v= -i + j
ProyvU=u vv2v=(3)(1)+(0)(1)(1)2+122i+j= 32i+j=32i+32j

22. u=– 5j v= i + j
ProyvU=u vv2v=(-5)(1)+(0)(1)(1)2+122i+j= -52i+j=-52i+-52j

23. u= 2i + j v= i - 2j
ProyvU=u vv2v=(2)(1)+(1)(-2)(1)2+-222i+j= 05i+j No tiene proyección

24. u= 2i + 3j v= 4i + j
ProyvU=u vv2v=(2)(4)+(3)(1)(4)2+1224i+j= 11174i+j= 4417i+1117j


25. u= i + j v= 2i – 3j
ProyvU=u vv2v=(1)(2)+(1)(-3)(2)2+-3222i-3j= -1132i+3j= -213i+313j


26. u= i + j v= 2i + 3j
ProyvU=u vv2v=(1)(2)+(1)(3)(2)2+3222i+3j= 5132i+3j= 1013i+1513j

27. u= αi + βj v= i + j α y β reales positivos
ProyvU=u vv2v=(α)(1)+(β)(1)(1)2+122i+j= α+β2i+j= α2i+β2j


28. u= i + j v= αi + βj
ProyvU=u vv2v=(1)(α)+(1)(β)(α)2+β22αi+βj= α+βα2+β2αi+βj=α2α2+β2i+ β2α2+β2j

29. u = αi - βj v= i + j α y β reales positivos α >β
ProyvU=u vv2v=(α)(1)+(-β)(1)(1)2+122i+j= α-β2i+j=α2i- β2j

30. u = αi - βj v= i + j α y β reales positivos α <β
ProyvU=u vv2v=(α)(1)+(-β)(1)(1)2+122i+j= α-β2i+j=α2i- β2j



33. Sean P= (2,3), Q= (5,7), R= (2,-3), S= (1,2). Calcule la ProyPQ RS y ProyRSPQ.
PQ=X2 -X1+ Y2 -Y1=5-2+7-3=PQ=3,5
RS=X2 -X1+ Y2 -Y1=1-2+2+3=RS=(-1,5)
ProyPQRS=PQ RSPQ2PQ=3)(-1+5)(532+5223,5=22343,5=11173,5=(3317 , 5517)
ProyPQRS=3317 i+ 5517j
ProyRSPQ=PQ RSRS2RS=3)(-1+5)(5-12+522-1,5=2226-1,5=1113-1,5=(-1113,5513)
ProyPQRS=-1113i+5513j


34. Sean P= (-1,3), Q= (2,4), R= (-6,-2), S= (3,0). Calcule la ProyPQ RS y ProyRSPQ.
PQ=X2 -X1+ Y2 -Y1=2+1+4-3=PQ=(3,1)
RS=X2 -X1+ Y2 -Y1=3+6+0+2=RS=(9,2)
ProyPQRS=PQ RSPQ2PQ=3)(9+1)(232+1223,1=29103,1=(8710 , 2910)
ProyPQRS=8710i+2910j

ProyRSPQ=PQ RSRS2RS=3)(9+1)(292+2229,2=29859,2=(26113,5813)
ProyPQRS=26113i+5813j


39. Un triángulo tiene vértices (1,3), (4,-2) y (-3,6). Encuentre el coseno de cada ángulo.
B1,3 C 4,-2y A(-3,6).
PQ=X2 -X1+ Y2 -Y1
AB=1--3+3-6=4i-3j
AC=4--3+-2-6=7i-8j
Cosφ=u vuv=28+2442+(-3)2(7)2+(-8)2=5225113
Cosφ(α)=5225113 α=Cos-15225113=11.94

CB=1-4+3--2=-3i+5j
CA=-3-4+6--2=-7i+8j
Cosφ=u vuv=21+4042+(-3)2(7)2+(-8)2=6134113
Cosφ(β)=6134113 β=Cos-16134113=10.22°

BA=-3-1+6-3=-4i+3j
BC=4-1+-2-3=3i-5j
Cosφ=u vuv=-12-15(-4)2+32(7)2+(-8)2=-2734113
Cosφ(β)=-272534 β=Cos-1-272534=157.83°


40. Un triángulo de vértices A(a1,b1), B(a2,b2), C(a3,b3). Encuentre la fórmula para el coseno de cada uno.
AB=a2-a1i+b2-b1j; AC=a3-a1i+b3-b1j
Cos A=a2-a1a3-a1+b2-b1b3-b1a2-a12+b2-b12a3-a12+b3-b12
BA=a1-a2i+b1-b2j ;BC=a3-a2i+b3-b2
Cos B=a1-a2a3-a2+b1-b2b3-b2[a1-a22+b1-b22][a3-a22+b3-b22]


CA=a1-a3+b1-b3 ;CB=a2-a3+b2-b3
Cos C=a1-a3a2-a3+b1-b3b2-b3[a1-a32+b1-b32][a2-a32+b2-b32]