ALGORITMO LERCHS & GROSSMAN- LEY DE CORTE VARIABLE ( LANE)
ESTUDIANTE: LOZADA PALACIOS MARTIN ALEJANDRO
ALGORITMO LERCHS & GROSSMAN ¿A que se le denomina PIT FINAL?
La mayor envolvente que nos permite maximizar el Beneficio de la extracción de un yacimiento. Consiste en el diseño geométrico de la mina que muestra al yacimiento luego de su total explotación. IMPORTANCIA:
Obtener los límites máximos que podría alcanzar el yacimiento.(reservas y limites explotables) Permite definir la posible vida útil del yacimiento. Definir la ubicación más próxima al pit de botaderos o de otras áreas que requieran una posición definitiva para la ejecución del proyecto.
DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO LERCHS & GROSSMAN 2D El método de cálculo de Pit final de Lerchs & Grossman corresponde a un algoritmo de programación dinámica que permite determinar la configuración óptima de bloques, previamente valorizados en una sección transversal. El algoritmo trabaja con un modelo de bloques de un cuerpo mineralizado y de sus alrededores, y determina qué bloques deberían ser extraídos para obtener el máximo valor económico del rajo. De esta forma, este conjunto de bloques extraídos define el diseño óptimo del tajo final. Para la aplicación de este método de cálculo de pit final es necesario contar con información de entrada: 1. Modelo de bloques previamente valorizados. (Modelo económico). 2. Sección transversal-vertical del modelo.(matriz i x j). Cada cubo representa el valor neto de un bloque, si éste fuera explotado y procesado de forma independiente. 3. Conocer el ángulo de talud del pit.
EJEMPLO DE APLICACIÓN ALGORITMO 2D •
Supongamos la siguiente sección vertical de un depósito, con ángulo de talud de 45º.
I / J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
1
-$2
-$2
-$4
-$2
-$2
-$1
-$2
-$3
-$4
-$4
- $3
2
-$5
-$4
-$6
-$3
-$2
-$2
-$3
-$2
-$4
-$5
- $5
3
-$6
-$5
-$7
+ $6
+ $ 13
-$2
-$5
-$4
-$7
-$4
- $6
4
-$6
-$6
-$8
-$8
+ $ 17
+$8
+ $5
-$6
-$8
-$9
- $7
5
-$7
-$7
-$8
-$8
+$6
+ $ 21
+ $5
-$8
-$8
-$9
- $7
6
-$7
-$9
-$9
-$8
-$5
+ $ 22
-$8
-$8
-$8
-$9
- $8
7
-$8
-$9
-$9
-$9
-$8
+ $ 10
-$9
-$9
-$9
-$9
- $9
Paso nº0 Agregue una columna de ceros a la izquierda de la sección y una fila de ceros en la parte superior de la sección.
Paso nº1 Sume los valores de cada columna de bloques e ingrese estos números en los bloques correspondientes.
i
Mij =
m
kj
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
-2-2
-4
-2
-2
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-
0
-5
-4
-6
-3
-2
-2
-3
-2
-4
-5
-5
-
0
-6
-5
-7
6
13
-2
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-4
-7
-4
-6
-
-7
-13
0
-6
-6
-8
-8
17
8
5
-6
-8
-9
-7
-
0
-7
-7
-8
-8
6
21
5
-8
-8
-9
-7
-
0
-7
-9
-9
-8
-5
22
-8
-8
-8
-9
-8
-
0
-8
-9-41
-9
-9
-8
10
-9
-9
-9
-9
-9
-
J
1
2
3
4
5
6
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12
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-2
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-4
-2
-2
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2
0
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-3
-2
-4
-5
-5
-
3
0
-6
-5
-7
6
13
-2
-5
-4
-7
-4
-6
-
4
0
-6
-6
-8
-8
17
8
5
-6
-8
-9
-7
-
5
0
-7
-7
-8
-8
6
21
5
-8
-8
-9
-7
-
6
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-9
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-5
22
-8
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-8
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-8
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7
0
-8
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-9
-9
-8
10
-9
-9
-9
-9
-9
-
1
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3
4
5
6
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12
J I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-2
-2
-4
-2
-2
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-
2
0
-7
-6
-10
-5
-4
-3
-5
-5
-8
-9
-8
-
3
0
-13
-11
-17
1
9
-5
-10
-9
-15
-13
-14
-
4
0
-19
-17
-25
-7
26
3
-5
-15
-23
-22
-21
-
5
0
-26
-24
-33
-15
32
24
0
-23
-31
-31
-28
-
6
0
-33
-33
-42
-23
27
46
-8
-31
-39
-40
-36
-
7
0
-41
-42
-51
-32
19
56
-17
-40
-48
-49
-45
-
Paso nº2 Comience con el bloque superior de la columna izquierda y repase cada columna. Coloque una flecha en el bloque, apuntando hacia el valor más alto o máximo en: 1.-
El bloque a la izquierda y arriba.
2.-
El bloque a la izquierda.
3.-
El bloque a la izquierda y debajo.
Calcule el valor inferior del bloque, sumando el valor superior con el valor inferior del bloque hacia el cual apunta la flecha. El valor inferior del bloque representa el valor neto del material del bloque.
1
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3
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6
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8
9
10
11
12
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-2 -2 -2
-4
-2
-2
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-
2
0
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-6
-10
-5
-4
-3
-5
-5
-8
-9
-8
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3
0
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-17
1
9
-5
-10
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-15
-13
-14
-
4
0
-19
-17
-25
-7
26
3
-5
-15
-23
-22
-21
-
5
0
-26
-24
-33
-15
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24
0
-23
-31
-31
-28
-
6
0
-33
-33
-42
-23
27
46
-8
-31
-39
-40
-36
-
7
0
-41
-42
-51
-32
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-17
-40
-48
-49
-45
-
J
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0
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0
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0
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2
0
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-5
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0
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-18
-25
-11
9
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-10
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4
0
-19
-30
-43
-7
26
3
-5
-15
-23
-22
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5
0
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24
0
-23
-31
-31
-28
-
6
0
-33
-59
-85
-86 27 -23
46
-8
-31
-39
-40
-36
-
7
0
-41
-75
-110
-32
56
-17
-40
-48
-49
-45
-
-32
19
Nota: Los números color rojo representan los bloques antes del paso 2.
J
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5
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0
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0
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-2
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0
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0
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31
8
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-
5
0
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-63
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0
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-
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0
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-31
46
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-40
-59
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0
-41
-75
-110
-117
-67
25
29
-2
-33
-65
-85
-
Luego agregamos el sentido de las flechas del paso nº2
Paso nº3 Busque el valor máximo total de la fila superior. Este es el retorno neto total del pit óptimo.
J
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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-117
-67
25
29
-2
-33
-65
-85
-
La sumatoria de todos los bloques en el pit, debe ser igual al valor obtenido anteriormente de la matriz beneficio el cual corresponde efectivamente al valor encontrado que es 13.
-2
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-7
-7
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-8
-8
-8
-9
-8
-8
-9
-9
-9
-8
10
-9
-9
-9
-9
-9
Valor = -2+-4+-2+-2+-1+-2+-3+-4+-4+-6+-3+-2+ 4+17+8+5+21 =13
-2+-3+-2+-4+6+13+-2+-5+-
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ALGORITMO LERCH & GROSSMAN Ventajas •
El método elimina el proceso de prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones.
•
La metodología es conveniente para el procesamiento computacional.
•
El método es fácil de programar y es confiable en lo que hace.
•
•
Es matemáticamente exacto. El Método entrega un óptimo garantizado, es decir, no existe otra combinación de bloques que entregue mayor beneficio.
Desventajas •
•
•
•
•
Su mayor problema es la complejidad para suavizar el fondo de la explotación. Trabaja solo en dos dimensiones (sección transversal). Como el método trabaja en dos dimensiones de forma independiente, no hay ninguna seguridad de que una sección presente un diseño compatible, geométricamente, con la siguiente. Dificultad para incorporar cambios en las pendientes de la explotación, pues éstas tienen que venir definidas por la morfología del bloque. El ángulo de talud utilizado es de 45º, supone bloques iguales en altura y ancho.
LEY DE CORTE VARIABLE ( LANE) LEY DE CORTE: es un criterio usado en minería para diferenciar entre mineral y desmonte.
Operativamente es considerada como la ley mínima enviada al proceso.
Económicamente se define como aquella ley que maximiza el valor presente de los flujos de caja de la operación, aprovechando los costos de oportunidad asociados a la distribución de tonelaje – ley.
En la actualidad se vienen desarrollando estrategias para adoptar políticas de leyes de corte que permitan mejorar la explotación.
LA LEY DE CORTE VARIABLE: Basada en las teorías de Kenneth F. Lane y K. Dagdelen, las cuales indican que el uso de leyes de corte constantes calculadas simplemente como puntos de equilibrio entre ingresos y costos, generan en la mayoría de los casos una explotación sub-óptima del recurso. K. F. Lane propone 6 leyes de corte:
3 leyes económicas limitantes para cada proceso y
3 leyes de equilibrio entre cada par de procesos.
Una de las cuales es la que maximiza el VPN periodo a periodo. K. Dagdelen propone un algoritmo iterativo para maximizar el VPN considerando que la operación es limitada sólo por la capacidad de la planta.
APLICACION
Calcula la ley de corte teniendo en cuenta la capacidades de mina y concentradora. La ley de corte es optimizada teniendo en cuenta la distribución de tonelaje ley del yacimiento. Maximiza la utilidad de los flujos de caja descontado
FORMULA:
I*NPV= Oportunidad costo o capital de inversión Cm= Costo minero sin desarrollo + preparación Cp= costos de procesamiento f= precio fijo p= Precio de la mercancía s= costo de venta r= recuperación
Teoría de Kenneth F. Lane En 1964 K.F. Lane publico uno de los artículos más importantes en el mundo de la Ingeniería de minas en el describía un algoritmo capaz de brindar un secuencia miento de leyes de mineral para obtener el máximo VAN tomando como restricciones a la MINA, LA PLANTA y/o LA REFINERIA que son las diferentes fases por las que el mineral pasa, estas fases presentan sus respectivos costos y capacidades.
A continuación se describirá brevemente cada una de las fases mencionadas:
MINA: Comprende el proceso de extracción del mineral mediante palas ya sean estas hidráulicas o eléctricas y volquetes mineros de grandes capacidades.
CAPACIDAD MINA (M): Comprende tanto a la de mineral como a la de desmonte y nos dice que tan rápido se puede explotar el pit, se expresa en toneladas de material.
COSTOS MINA (m): Sus costos abarcan la perforación, voladura, carguío y transporte se expresan en dólares por tonelada de material.
PLANTA: Comprende el procesos de concentración del mineral obtenido por mina y busca incrementar el valor del producto final haciendo uso de procesos metalúrgicos, cada planta en cada mina posee índices de recuperación metalúrgica que dependerán del tipo de mineral que la mina le brinde y del proceso que esta planta use.
CAPACIDAD PLANTA (C): Esta capacidad se expresa en toneladas de mineral concentrado y representa las toneladas de mineral que la planta puede procesar en forma óptima para generar concentrado.
COSTOS DE PLANTA (c): Estos costos abarcan el chancado, molienda y los costos respectivos al proceso metalúrgico seleccionado como el óptimo para esta mina (flotación, lixiviación, etc), se expresa en dólares por tonelada de mineral.
REFINERIA: Comprende procesos de purificación del mineral obtenido de planta para poder obtener el metal puro el cual se venderá como producto final de todo el proceso minero.
CAPACIDAD REFINERIA (R): Representa la cantidad de metal que la refinería puede entregar asumiendo una continua alimentación por parte de PLANTA, se puede limitar solo por la misma refinería o por restricciones de mercado, se expresa en unidades de metal.
COSTOS REFINERIA (r): Abarcan los costos de fundición, refinería, fletes, seguros, etc; se expresa en dólares por unidad de metal.
COSTOS FIJOS (f): Son aquellos costos que no varían al variar la producción en mina pero terminan junto con la vida de la mina, como por ejemplo los costos administrativos, de mantenimiento de edificios, vías de acceso, etc; se expresan en dólares.
RECUPERACION (y): Representa una recuperación final para concentradora y refinería, en pocas palabras es la cantidad de mineral alimentado a planta que no llego a formar parte del producto final, se expresa en porcentaje.
PRECIO DE VENTA (s): Es el precio de venta establecido por el mercado para cada metal y varía en función de muchas variables tanto económicas como políticas. Además tendremos las siguientes cantidades propias de consideradas en un periodo de producción (T).
cada
mina
Qm: C antidad de material a s er minado. Qc: Cantidad de mineral a ser enviado a planta. Qr: c antidad de producto final (metal) producido.
Ecuaciones Básicas K. F. Lane parte de las siguientes ecuaciones básicas de la minería para su algoritmo:
Recordemos estas fórmulas expresadas para poder agregar la siguiente que se basa en el valor presente neto:
Si fijamos un periodo T entonces tendremos 2 valores el valor obtenido del proceso de minado durante el periodo T y el valor obtenido del proceso de minado realizado después con los remanentes del proceso del periodo T, estos serán
Donde d es una tasa de descuento. El valor presente seria la suma de estos 2 valores:
O también:
Podemos obtener la diferencia entre el valor presente V y los valores remanentes W a un periodo T variable, lo denominaremos v:
Reduciendo la expresión
Tendremos que por expansión binomial:
La cual asume esta igualdad:
Combinando esta equivalencia con la de valor presente tendremos:
Que sería lo mismo que:
Combinando la ecuación de ganancia con esta última ecuación:
A continuación calcularemos las leyes de corte asumiendo primero 3 escenarios que son:
La mina como restricción La planta como restricción La refinería como restricción
Primero asumiendo que la mina es restricción: El periodo T estará definido por la cantidad a minar Qm entre la capacidad de la mina M:
ENTONCES LA LEY DE CORTE SERIA EN BASE A LA MINA:
La segunda opción es si la planta es restricción: Si la planta es restricción de forma similar al caso anterior tendremos:
ENTONCES LA LEY DE CORTE SERIA EN BASE A LA PLANTA MINERA
El tercer escenario seria si la refinería es la restricción: Para una restricción como la refinería tendríamos que:
ENTONCES LA LEY DE CORTE SERIA EN BASE A LA REFINERIA
Tanto gc como gr dependen de un valor presente, esto será motivo de numerosas iteraciones partiendo de un valor presente igual a 0 Además de estas 3 leyes de corte que consideran como restricciones individualmente a mina planta o refinería también debe tomarse en cuenta casos en los que tanto planta y mina o mina y refinería o inclusive planta y refinería sean la restricción, es decir un balance entre 2 de las restricciones, para esto plotearemos las curvas Ganancia – Ley de cada uno de los 3 casos anteriores, las ecuaciones serán:
Las intersecciones entre las distintas curvas nos darán las 3 leyes que serán:
gr gm gc
La siguiente imagen ilustrara mejor este procedimiento:
Una vez obtenidas estas leyes se seleccionara de estas 6 solo a 3 m ediante el siguiente criterio:
De estos 3 valores se elige el valor intermedio como la ley de corte.
