Ejercicios Resueltos Stanley Grossman (JP)

CAPITULO 1.11

EJERCICIO Nº 4 Encuentre la matriz triangular inferior  L  L con unos en la diagonal una matriz triangular superior  U tal que A = LU  LU .  1 4 6  

  2 −1   3 2

 

3  

5    

RESOLUCION

 1 4   2 −1   3 2  1  2   3

6  

  3   5    

e

21( −2)

e

31( −3)

0

0  

1

0  = L

6    1 4    ≅  0 − 9 − 9       0 − 10 − 13  

e

32 ( −10 / 9 )

 1 4 6      ≅  0 − 9 − 9   = U     0 0 − 3  

 

1    

10 / 9

 1  L.U =  2   3

0 1 10 / 9

0    1

4 6    1 4       0    0 − 9 − 9   =  2 − 1     1      0 0 − 3    3 2

6  

 

3   = A

5    

EJERCICIO Nº 11 Resuelva dado usando la factorización  LU encontrada en los problemas del ejercicio anterior. Esto es resuelva  Ax=Lux=b.

 − 1    6

5    0        b ; =   3      5  

RESOLUCION

 − 1    6

5  

  1   − 6

0    = L 1    

L.U =

  1   − 6

  3    

e

 − 1 ≅  21( 6 )   0

 Ax=Lux=b  Lux=b  L Z =b

0    − 1

   1       0

    = U 33     5

   − 1  =  33       6 5

⇒  Ax=b ⇒

Lux=b

5  

 

3    

  1   − 6

 L Z =b

 − 1    0

ux=Z

0     z 1    0           =  5    z  1       2      

   x1    0        =      33      x 2    5   5

Verificación  − 1 5 0  

   6

 1 − 5    ≅ 5      6 3

3

 1 − 5    ≅ 5      0 33 0  

  z 1 − 6 z  + z   1 2

=0 =5

 − x1  

=0 =5

 1 − 5    ≅ 5      0 1 0  

+ 5 x 2 33 x 2

=0  z 2 = 5  z 1

;

= 25 / 33  x 2 = 5 / 33

 x1

;

   1   ≅  5 / 33      0 0

0

25 / 33  

1

5 / 33

     

= 25 / 33  x 2 = 5 / 33

 x1

EJERCICIO Nº 13 Resuelva dado usando la factorización  LU encontrada en los problemas del ejercicio anterior. Esto es resuelva  Ax=Lux=b  2 1 7    6  



A=  4

2  

 

  

6    

 1      

3 5  ; b=  1   1

RESOLUCION

 2  4 2  

1 7   1

  5   6    

 1  2 1  

0

0  

1

0  = L

3

0

e

21( −2)

e

31( −1)

 2  ≅ 0 0  

1 1 0

    − 9  = U − 1     7

 

1    

 Ax=Lux=b

⇒  Ax=b ⇒

Lux=b

 Lux=b

 L Z =b

ux=Z

 1  2 1    2  0 0  

0 1 0 1 1 0

0     z 1  

 6          0    z 2  =  1         1      z 3    1  

=6   z 1 2 z  + z  = −11 ;  1 2   z  + z 3 = −5  1

    x1     6           − 9    x 2  =  − 11        − 1       x3     − 5  

2 x1 + x 2 + 7 x3 = 6  − 9 x3 = −11 ;  x 2    z  − x3 = −5  1

7

=6  z 2 = −11  z 3 = −5  z 1

= −63 / 2  x 2 = 34  x 3 = 5

 x1

EJERCICIO Nº 26

 − 1 2 1      − − 2 4 2 Demuestre que    tiene más de una factorización LU .  4 − 8 − 4        − 1 2 1       2 − 4 − 2    4 − 8 − 4         1  − 2 − 4  

e

 − 1  ≅0 0  

21( 2 )

e

0

0  

1

0  = L

31( 4 )

2

1  

0

0  = U

 

0    

0

 

1    

 x

  1  LU =  − 2 − 4  

0 1  x

0   − 1 2

  0   0  1      0

0 0

 − 1 2 1        0  =  2 − 4 − 2  =A    0       4 − 8 − 4   1  

∀ x ∈ ℜ , L no es única ∴ LU

tampoco lo es.

CAPITULO 2.2

EJERCICIO Nº 10 Evalúe el determinante utilizando los diferentes métodos. 1

4

0

−3 −2

0

0

3

7

2

4

1

−1 −3

2

2

1

4

3

−1 −3

2

= (-2) (-1)2+2 4

8

8 = (-2) [ − 16 − 36 + 32 + 16 + 12 − 32] = (-2) (-24) = 48

2

1

4

4

−3

8

EJERCICIO Nº 27 Calcule el determinante suponiendo que:

2a11

−3

a a

a

31 21

21

2a12

−3

a a

a

32 22

22

2a13

−3

a a

a

33 23

a11

a12

a13

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

2a11

23

=

a a

31 21

2a12 a a

32 22

=8

2a11

2a13 a a

33 23

= (-1)

a a

21 31

2a12 a a

22 32

2a13 a a

23 33

=

a

11

(-1) (2) a 21 a

31

a

12

a a

22 32

a

13

a a

23

= (-1) (2) 8 = 16

33

CAPITULO 2.4

EJERCICIO Nº 4

 1  Determinar si la matriz  0 5   1

1 1

0

2 3 = -8

5

5 1

≠0⇒∃

1 1  

 

2 3   es invertible. Si lo es calcule la inversa.

5 1    

la inversa de A.

A

I 1 2 5 1 2 0 1

1

0 5 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1

0 0 1 0 0 1 0

1 3 1 1 3 -4 1 3/2 -4 -1/2 3/2 1

0 0 1

1 0 0 1 0 -5 1 0 -5 1 0 5/4 13/8 -15/8 5/4

0 1 0 0 1 0 0 1/2 0 -1/2 1/2 0 -1/2 1/2 0 -1 A

I

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1/4 -1/8 3/8 -1/4

Verificación.

 1  0 5  

A . 1 1     13 / 8

A-1 − 1/ 2

2

1/ 2

5

   3    − 15 / 8  1       5 / 4

EJERCICIO Nº 15  1 − 1 3

 Para  A =  4 2  

1 0

0

=

A-1

.

A = − 1 / 8   1 1 1    1

− 1 / 8     13 / 8 − 1 / 2      3 / 8  =  − 15 / 8 1 / 2 3 / 8   0   − 1 / 4   − 1 / 4   0     5 / 4   5

    6  , verifique que det A-1= 1/ det A. − 2    

2 5

   3  =  0  1      0

I 0

0  

1

0  

0

 

1    

A -1 1 0 -1 5 2 -1 1 5 0 1 0 0 1 0 0 1 0 I

1 4 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

 A

=

1

−1

3

4

1

6

2

0

−2

1 / 14  A

−1

= − 10 / 14 1 / 14

Como

 A

= −28

I 3 6 -2 3 -6 -8 3 -4 -6 -1 -4 14 -1 -4 1 0 0 1

1 0 0 1 -4 -2 1 -1 -4 0 -1 1 0 -1 1/14 1/14 -10/14 1/14

0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1/14 1/14 4/14 1/14 A-1

= −28

1 / 14 4 / 14 1 / 14

y

 A

−1

9 / 28

1

− 3 / 14 = − 28 − 5 / 28 =

1

− 28

⇒

A

−1

=

1 A

.

EJERCICIO Nº 16

 α  − 3     ¿Para que valores de α la matriz    es no invertible?. − 4 1 α      −3 α  = α (1 − α ) + 12 = −α  2 + α  + 12 = 0 4 1 − α  = −3 y α 2 = 4 . Por lo tanto la matriz es no invertible para α 1 = −3 ó α 2 = 4 . Aplicando Baskara se obtienen las raíces

α 1

0 0 1 0 0 1 0 1/2 0 1/2 1/2 -5/2 1/2 1/2 -5/28 9/28 -3/14 -5/28

EJERCICIO Nº 17

  − α   ¿Para que valores de α la matriz  1  2 − α    − α 

α 

1 2 − α 

−1

α 

2 α 

+3

− 1 − α  3

α 

+7

α 

−1

α 

α 

−1

− 1     3   no tiene inversa?.   α  + 7   α 

2 α 

+3

− 1 − α 

α 

−1

α 

−1

= 1

2

3

= 1

2

3

2

4

8

0

0

2

α 

Por lo tanto la matriz es no invertible para

α 

=−

=−

1

6 1 6

.

= − 4α  − 2(α  − 1) = −6α  + 1