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ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS o HIDROSTÁTICA Hidrostática Estudia los fluidos en reposo es decir en las que no existe el movimiento o desplazamiento de una masa líquida o capa de fluido con relación a la adyacente, por lo tanto no existen esfuerzos cortantes en el fluido ( τ), sino solamente tensiones ó esfuerzos normales a las superficies ( n ). Ej: Presión. La única fuerza interna es debida a la fuerza de gravedad.
LEY DE PASCAL
“En un punto de un fluido en reposo o en movimiento en ausencia de esfuerzos cortantes existe la misma presión en todas las direcciones”.
Blaise Pascal, nació el 19 de junio 1623-París, murió 19 de agosto de 1662, fue un matemático, físico, filósofo cristiano y escritor francés. Sus contribuciones a las matemáticas y las ciencias naturales incluyen el diseño y construcción de calculadoras mecánicas, aportes a la teoría de la probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la l a aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío.
Ecuación Básica para un campo de presión
¿Cómo varía de un punto a otro la presión en un fluido en la que no hay esfuerzos cortantes? Considérese un pequeño elemento rectangular de fluido tomado de cualquier posición dentro de la masa de un fluido de de interés, como se ve en la figura. Sobre superficiales debidas a la este elemento actúan dos tipos de fuerzas: fuerzas superficiales debidas presión y una fuerza del cuerpo igual cuerpo igual al peso del elemento.
Si la presión en el centro del elemento se designa por p, p, entonces la presión media sobre las diversas caras se puede expresar en términos de p p y sus derivadas, como se muestra en la figura. fi gura. La fuerza superficial resultante en la dirección y es: es:
p y p y Fy p xz p xz y 2 y 2 O bien Fy
p y
xyz
Ecuación Básica para un campo de presión
¿Cómo varía de un punto a otro la presión en un fluido en la que no hay esfuerzos cortantes? Considérese un pequeño elemento rectangular de fluido tomado de cualquier posición dentro de la masa de un fluido de de interés, como se ve en la figura. Sobre superficiales debidas a la este elemento actúan dos tipos de fuerzas: fuerzas superficiales debidas presión y una fuerza del cuerpo igual cuerpo igual al peso del elemento.
Si la presión en el centro del elemento se designa por p, p, entonces la presión media sobre las diversas caras se puede expresar en términos de p p y sus derivadas, como se muestra en la figura. fi gura. La fuerza superficial resultante en la dirección y es: es:
p y p y Fy p xz p xz y 2 y 2 O bien Fy
p y
xyz
De manera semejante, para las direcciones x y z se tiene que las fuerzas superficiales resultantes son: Fx
Fz
p x p z
xyz
xyz
La fuerza superficial resultante que actúa sobre el elemento se puede expresar en forma vectorial como:
Fs Fx i Fy j Fzk O bien como:
p p p Fs i j k xyz y z x
(1)
Donde i, j,k son los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas que se muestran en la figura. El grupo de términos entre paréntesis en la radi ente de pres pr es i ón en forma vectorial y se puede ecuación 1, representa el g radiente escribir como: p x
i
p y
j
p z
k
p
(G radient radiente e de de Pres ión)
Donde ()
() x
i
() y
j
() z
k
Y el símbolo , es el g r adiente u operador vectorial “delta”. Así la fuerza superficial resultante por unidad de volumen se puede expresar como: Fs xyz
p
Ya que el eje z es es vertical, el peso del elemento es:
W k xy z Donde el signo negativo indica que la fuerza debida al peso es hacia abajo (en la dirección z negativa).
La segunda ley de Newton, aplicada al elemento del fluido, se puede expresar como: F m.a Donde ∂F representa la fuerza resultante que actúa sobre el elemento, a es la aceleración del elemento y ẟm es la masa del elemento, que se puede escribir como ρẟ x ẟy ẟz. Se deduce que:
F F Wk m.a s
O bien, que
pxyz xyzk xyz.a Y en consecuencia:
p k .a
(2)
La ecuación (2) es la ecuación g eneral de movimiento para un fluido en el que no hay es fuerzos cortantes.
Variación de la pres ión en un fluido en repos o Para un fluido en reposo, a = 0 y la ecuación 2 se reduce a:
p k 0 O bien en forma de componentes
p x
0,
p y
0,
p z
(3)
Estas ecuaciones muestran que la presión no depende de x ni de y . Así, a medida que se efectúa un desplazamiento de un punto a otro en un plano horizontal (cualquier plano paralelo al plano x-y), la presión no cambia. Como p sólo depende de z , la ecuación (3) se puede escribir como la ecuación diferencial ordinaria. dp dz
(4)
La ecuación (4) indica que el gradiente de presión en la dirección vertical es negativo, es decir, que la presión disminuye a medida que se efectúa un desplazamiento ascendente en un fluido en reposo.
Fluido i ncompres ible Como el peso específico es igual al producto de la densidad del fluido y la aceleración debida a la gravedad ( g ), los cambios en son producidos por un cambio en o en g. La ecuación (4) se puede integrar directamente:
p2
p1
dp
z2
z1
dz
Para obtener
p2 p1 z2 z1 O bien
p1 p2
z2 z1
(5)
Donde p1 y p2 son presiones a las elevaciones verticales z 1 y z 2, respectivamente, como se ilustra en la fig. 2.3
La ecuación (5) se puede escribir en forma abreviada como:
p1 p2
h
(6)
O bien como p1 h p2
(7)
Donde h es la distancia z 2- z 1, que es la profundidad del fluido medida hacia abajo a partir de la ubicación de p2 . Este tipo de distribución de presión se denomina
distribución hidrostática, y la ecuación (7) muestra que un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con la profundidad. La presión debe aumentar con la profundidad a fin de “sostener” el fluido que está arriba. Asimismo, a partir de la ecuación (6) se observa que la diferencia de presión entre dos puntos puede especificarse mediante la distancia h, ya que:
h
p1 p2
En este caso, h se denomina cabeza o carg a de presi ón y se interpreta como la altura que debe medir una columna de fluido de peso específico para obtener una diferencia p1-p2 .
Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una superficie libre, como se ilustra en la figura 2.3 y es conveniente usar esta superficie como plano de referencia. La presión de referencia p0 corresponde a la presión que actúa sobre la superficie libre (que suele ser la presión atmosférica) y, entonces, si en la ecuación (7) se hace p2 = p0 se deduce que la presión p a cualquier profundidad h por debajo de la superficie libre está dada por la ecuación: p h p0
(8)
Como se demuestra con las ecuaciones (7) y (8), la presión de un fluido incompresible homogéneo en reposo depende de la profundidad del fluido con respecto a algún plano de referencia, y no es afectada por el tamaño o la forma del depósito o recipiente en que está el fluido.
El valor real de la presión a lo largo de AB depende solo de la profundidad h, de la presión superficial p0 y del peso específico del líquido contenido en el recipiente.
Ejemplo.Debido a una fuga en un depósito subterráneo de almacenamiento de gasolina, se ha filtrado a la profundidad que se muestra en la figura. Si la densidad relativa de la gasolina es DR=0.68, determinar la presión en la interfase gasolina-agua y en el fondo del depósito. Expresar las unidades como una carga de presión en metros de agua.
S olución.-
Fluido compres ible Por costumbre se piensa que gases como el aire, oxígeno y nitrógeno son fluidos compresibles, ya que la densidad del gas puede variar de manera significativa con cambios de presión y temperatura. Así, aunque la ecuación (4) es válida para un punto en un gas, es necesario considerar la variación posible en antes de poder integrar la ecuación. Para aquellas situaciones en que la variación de altura son grandes, del orden de miles de pies, es necesario prestar atención a la variación del peso específico. La ecuación de estado para un gas ideal (o perfecto) es: p RT
Combinando con la ecuación (4) dp dz
gp
RT
Separando variables p2
dp
p1
p
ln
p2 p1
g
z2
dz
z1
T
R
(9)
Antes de completar la integración, es necesario especificar la naturaleza de la variación de temperatura con la elevación. Por ejemplo, si se supone que la temperatura tiene un valor constante T 0, sobre el intervalo de z 1 a z 2 (condiciones isotérmicas), entonces por la ecuación (9) se concluye que:
p2
g z z p1 exp 2 1 RT0
(10)
Esta ecuación proporciona la relación buscada presión-elevación para una capa isotérmica.
Ejemplo.El edificio Empire State en Nueva York, uno de los más altos del mundo, se eleva a una altura aproximada de 1250 pies. Calcular la razón de la presión en la cima del edificio a la presión a la base, suponiendo que el aire está a una temperatura común de 59°F. Comparar este resultado con el que se obtiene al suponer que el aire es incompresible con ϒ =0.0765 lb/pie3 a 14.7 lb/pulg 2 (abs) (valores para el aire en condiciones normales).
S olución.-
Manometría Es la técnica de medición de presiones, usando el principio de igual nivel igual presión, por medio de un manómetro o un barómetro. Se puede concluir que: para una presión de referencia fija Po y un valor dado Zo, tanto la presión como la carga piezométrica son constantes en todo el fluido. La Presión depende únicamente de Z, para Z = cte. hay líneas de presión constantes.
Pman = h
(11)
Pabs = Pman + Patm
(12)
Unidades: N/m2, Pa, lbf/pulg2
PR ES ION AB S OLUTA o PR ES ION TOTAL (Pabs ) Presión que se mide en relación con el vacío perfecto. Es la suma de la presión manométrica y la presión atmosférica.
PR ES ION MANOME TRICA o RE LATIVA (Pman): Presión que se mide teniendo como presión de referencia a la presión atmosférica.
PR ES ION ATMOSFE R ICA o B AR OME TRICA (Patm): Es la presión que ejerce el aire atmosférico y es igual al peso del aire entre el área sobre el cual actúa.
Manómetros Miden presiones manométricas o relativas con respecto a un origen arbitrario que generalmente es la relación atmosférica (Pman). Utilizan la relación que existe entre un cambio de presión y un cambio de elevación en un fluido estático. De la ec. (11): P man = h
El tipo elemental de estos aparatos es el denominado tubo piezométrico, que consta de un simple tubo abierto, el cual se conecta por el extremo inferior del recipiente que contiene el líquido cuya presión se desea conocer.
Fig . 2.6 Manómetro abierto El líquido llena parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto nivel (1-1). La presión absoluta en A se deduce aplicando la ecuación:
P A= Patm+ h
La altura h se denomina ALTURA PIEZOMETRICA. Los piezómetros sirven para medir presiones en tuberías con líquido en movimiento. Para medir presiones comparativamente altas se emplean manómetros con líquido de peso específico elevado a fin de evitar que la columna manométrica alcance una altura exagerada.
MA NOME TR OS A B IE R TOS : Se utilizan para medir presiones mayores y menores que la atmosférica. Deben ser de rama invertida. Sea el recipiente mostrado en el gráfico, lleno con un lí quido sometido a presión, al que se le ha conectado un manómetro de mercurio. Podemos aplicar:
P B= P C Por tener el mismo nivel
Fig. 2.7 Manómetro abierto Por tanto: P C = P atm +
mh
P B = P A + h1 P A = P atm +
mh
- h1
MA NOME TR OS DIFE R E NCIA LE S : Son manómetros cuya finalidad es determinar la diferencia de presiones entre dos fluidos.
Para establecer la diferencia de presión que existe entre A y E se aplica el criterio general:
Fig. 2.8 Manómetro diferencial P C = P D P C = P A +
1h1 m h2
P D = P E +
2
h3
Por lo tanto: P A +
1h1 m h2
= P E + 2 h3
Donde P A – P E =
2
h3
-( h 1
1
m h2
)
En la que 1 y 2 son los pesos específicos de los líquidos contenidos en los recipientes I y II y m del líquido manométrico.
Ejemplos: Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite (DR aceite = 0.90), como se muestra en la figura. Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con mercurio (DR mercurio = 13.6), como se muestra. Para alturas de columna h1 = 36 pulg, h2 = 6 pulg y h3 = 9 pulg, determinar la lectura de presión (en lb/pulg 2 ) del manómetro.
S olución.-
Ejemplos: El depósito cerrado de la figura está lleno de agua y mide 5 pies de longitud. La lectura del manómetro conectado al depósito es de 7 lb/pulg 2 . Determinar a) la altura h en la columna de agua abierta, b) la presión manométrica que actúa sobre la superficie infer ior AB del depósito, y c) la presión absoluta del aire en la parte superior del mismo si la presión atmosférica local es de 14.7 lb/pulg 2 (abs).
S olución.-
Ejemplos:
Para el manómetro de tubo inclinado de la figura, la presión en el tubo A es de 0.8 lb/pulg2. El fluido en ambos tubos A y B es agua, y el fluido en el manómetro tiene una densidad relativa de 2.6. ¿Cuál es la presión en el tubo B correspondiente a la lectura diferencial que se muestra?
S olución.-
1.- Para el montaje mostrado en la figura, calcule la altura H del manómetro. Donde S=Peso Específico Relativo (Peso específico del agua a 4°C es 9810 N/m 3). SPetróleo = 0.92 SHg = 13.6
2.- Determine la diferencia de presión entre la tubería que transporta agua y la que transporta petróleo mostrada en la figura. Donde S= Peso Específico Relativo. Peso específico del agua a 4°C es 9810 N/m 3. SHg = 13.6
FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS En un fluido en reposo o movimiento uniforme no existe fuerzas tangenciales; por lo que, sobre cualquier elemento de superficie sólo puede actuar la fuerza hidrostática debida a la presión. Esta fuerza actúa perpendicularmente a dicha superficie.
Fuerza hidros tática s obre una s uperficie plana Cuando una superficie está sumergida en un fluido, debido a éste se crean fuerzas en la superficie. La determinación de estas fuerzas es importante en el diseño de depósitos, barcos, presas y otras estructuras hidráulicas. Para fluidos en reposo se sabe que la fuerza debe ser perpendicular a la superficie ya que no hay esfuerzos cortantes presentes. También se sabe que si el fluido es incompresible la presión varía linealmente con la pr ofundidad.
S uperficies hor izontales Para una superficie horizontal, como en el fondo de un depósito lleno de líquido (figura 2.9), la magnitud de la fuerza resultante es simplemente:
F R = pA Donde p es la presión uniforme sobre el fondo y A es el área del fondo. Para el depósito abierto que se muestra, p = h.
Figura 2.9 Obsérvese que si la presión manométrica actúa sobre ambos lados del fondo, como se ilustra, entonces la fuerza resultante sobre el fondo se debe simplemente al líquido en el depósito. Como la presión es constante y está distribuida uniformemente sobre el fondo, la fuerza resultante actúa sobre el centroide (centro de gravedad) del área, como se muestra en la figura 2.9.
S uperficies inclinadas Para el caso más general en que la superficie plana sumergida esta inclinada, como se ilustra en la figura 2.10, la determinación de la fuerza resultante que actúa sobre la superficie es más complicada. Por el momento se supondrá que la superficie del fluido está en contacto con la atmósfera. Se hace que el plano en que está la superficie corte la superficie libre en O y forme un ángulo Ө con esta superficie, como en la figura 2.10. El sistema de coordenadas x-y se define de modo que O sea el origen y este dirigido a lo largo de la superficie, como se muestra. El área puede tener una forma cualquiera como se muestra. Se desea determinar la dirección, ubicación y magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre uno de los lados de esta área debido al líquido en contacto con el área. A cualquier profundidad dada h, la fuerza que actúa sobre dA (el área diferencial de la figura 2.10) es dF = hdA y es perpendicular a la superficie. Así, la magnitud
de la fuerza resultante se puede calcular sumando estas fuerzas diferenciales sobre toda la superficie. En forma de ecuación,
FR
hdA ysendA A
A
Donde h=ysenӨ. Para ϒ y Ө constantes, FR
sen A ydA
(13)
Figura 2.10
La integral que aparece en la ecuación (13) es el primer momento del área con respecto al eje x, de modo que se puede escribir,
A
ydA yc A
Donde yc es la ordenada y del centroide medida desde el eje x que pasa por O. Así, la ecuación (13) se puede escribir F R = ϒAycsenӨ
O más simplemente como
FR
hc A
(14)
Donde hc es la distancia vertical de la superficie del fluido al centroide del área. Obsérvese que la magnitud de la fuerza es independiente del ángulo Ө y que depende sólo del peso específico del fluido, el área total y la profundidad del centroide del área por debajo de la superficie. E n efecto, la ecuación (14) indica que la magnitud de la fuerza resultante es igual a la presión en el centroide del área multiplicada por el área total. Como todas las fuerzas diferenciales que se sumaron para obtener F R son perpendiculares a la superficie, la F R resultante también debe ser perpendicular a la superficie. Aunque la intuición poder sugerir que la fuerza resultante debe pasar por el centroide del área, en realidad no es así. La ordenada y R , de la fuerza resultante se puede determinar sumando los momentos con respecto al eje x. Es decir el momento de la fuerza resultante debe ser igual al momento de la fuerza de presión distribuida, o bien,
FRyR
A ydF A .sen.y2.dA
Y, en consecuencia
FR Ay csen
sen A y2dA A y 2dA yR Ayc sen yc A La integral en el numerador es el segundo momento del área (momento de inercia), I x , con respecto a un eje formado por la intersección del plano que contiene la superficie y la superficie libre (eje x). Así, se puede escribir
yR
Ix yc A
Ahora es posible aplicar el teorema del eje paralelo para expresar x I como,
Ix
Ixc
Ay c2
Donde I xc es el segundo momento del área con respecto a un eje que pasa por su centroide y es paralelo al eje x. Así,
yR
Ixc yc A
yc
(15)
La ecuación (15) muestra claramente que la fuerza resultante no pasa por el centroide, sino que siempre se encuentra debajo de éste, ya que
Ix yc A
0
La abscisa x de la fuerza resultante x R, se puede determinar de manera semejante sumando los momentos con respecto al eje y. Así FR xR
A .sen.xy.dA
Y en consecuencia
xR
sen A xydA Ayc sen
xydA A
yc A
Ixy yc A
Donde I xy es el producto de inercia con respecto a los ejes x e y. De nuevo usando al teorema del eje paralelo, es posible escribir,
xR
Ixyc yc A
xc
(16)
Donde I xy c es el producto de inercia con respecto a un sistema ortogonal de coordenadas que pasa por el centroide del área y que se forma por medio de una traslación del sistema de coordenadas x-y. Si el área sumergida es simétrica con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a cualquiera de los ejes x o y , la fuerza resultante debe estar a lo largo de la recta x = x c , ya que en este caso I xy c es idénticamente cero. El punto a través del que actúa la fuerza resultante se denomina centro de presión. En las ecuaciones (15) y (16) se debe observar que cuando y c crece, el centro de presión se desplaza hacia el centroide del área. Como y c =hc /senӨ , la distancia y c aumenta si la profundidad de inmersión, hc , crece o bien, para una profundidad dada, el área se hace girar de modo que el ángulo Ө disminuya.
Ejemplo.La compuerta circular de 4 m de diámetro como se muestra en la figura, está situada en la pared inclinada de un gran depósito que contiene agua (γ=9.80kN/m3). La compuerta está montada sobre un eje a lo largo de su diámetro horizontal. Para una profundidad de agua de 10 m arriba del eje, determinar: a) la magnitud y la ubicación de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre la compuerta. b) El momento que se debe aplicar al eje para abrir la compuerta.
S olución.-
Ejemplo.Una puerta rectangular homogénea, de 4 pies de ancho, 8 pies a lo largo, con un peso de 800 libras esta sostenida con ayuda de un cable flexible horizontal como se muestra en la figura. El agua actúa sobre la puerta que está articulada en el punto A. La fricción de la bisagra es insignificante. Determinar la Tensión en el cable.
Ejemplo.Una compuerta de sección transversal como se muestra en la figura, cierra una apertura de 5 pies de ancho y 4 pies de alto en un depósito de agua. La compuerta pesa 500 lb y su centro de gravedad está a 1 pie a la izquierda de AC y a 2 pies arriba de BC. Determinar la reacción horizontal que se desarrolla sobre la compuerta en C.
Ejemplo.Una compuerta rectangular que mide 5 pies de ancho está situada en el lado inclinado de un depósito, como se muestra en la figura. La compuerta esta articula a lo largo de su borde superior y se mantiene en posición mediante la fuerza P. Se puede ignorar la fricción en la articulación y el peso de la compuerta. Determinar el valor requerido de P.
Fuerza hidros tática s obre una s uperficie curva Para superficies curvas la fuerza resultante del fluido se puede determinar por integración, como se hizo para superficies planas, en general este proceso es tedioso y no es posible obtener fórmulas generales simples. Como método opcional se considerará el equilibrio del volumen del fluido encerrado por la superficie curva de interés y las proyecciones horizontal y vertical de esta
s uperficie. Considérese la sección curva BC del depósito abierto de la figura 2.11a. Se desea determinar la fuerza resultante del fluido que actúa sobre esta sección, que posee una unidad de longitud perpendicular al plano del papel. Primero se aísla un volumen de fluido que está acotado por la superficie de interés, en este caso la sección BC, y la superficie plana horizontal AB y la superficie vertical AC. El diagrama de cuerpo libre para este volumen se muestra en la figura 2.11b. La magnitud de las fuerzas F 1 y F 2 se pueden determinar a partir de las relaciones para superficies planas. El peso W es simplemente el peso específico del fluido multiplicado por el volumen encerrado y actúa a través del centro de gravedad (CG) de la masa de fluido contenida en el volumen. Las fuerzas F H y F V representan las componentes de la fuerza que el depósito ejerce sobre el
fluido.
Fig ura 2.11 Para que este sistema de fuerzas este en equilibrio, la componente horizontal F H debe ser de la misma magnitud y colineal a F 2, y la componente vertical F V debe ser de la misma magnitud y colineal a la fuerza resultante de F 1 y W , y la fuerza resultante que el depósito ejerce actúan sobre la masa del fluido. Este hecho se concluye porque las tres fuerzas que actúan sobre la masa del fluido (F2, la resultante F1 y W, y la fuerza resultante que el depósito ejerce sobre la masa) deben constituir un sistema de fuerzas concurrentes). Es decir, con base en los principio de estática, se sabe que cuando un cuerpo se mantiene en equilibrio por tres fuerzas no paralelas, estas deben ser concurrentes (sus líneas de acción se cortan en un punto común) y coplanares. Así, F H = F 2 F V = F 1 + W
Y la magnitud de la resultante se obtiene a partir de la ecuación
FR
2
2
FH FV
La resultante FR pasa por el punto O, que se puede ubicar sumando los momentos con respecto a un eje idóneo. La fuerza resultante del fluido que actúa sobre la superficie curva BC es igual y opuesta en dirección a la obtenida a partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 2.11b. En la figura 2.11c se muestra la fuerza del fluido buscada.
Problemas. Una compuerta curva de 4 metros de longitud está situada en el lado de un depósito que contiene agua como se muestra en la figura. Determinar la magnitud de las componentes del agua sobre la compuerta.
La compuerta de 20 pies de longitud de la figura es un cuarto de circunferencia y está articulada en H. Determinar la fuerza horizontal P (lb) necesaria para mantener la compuerta en su sitio. Ignorar la fricción en la articulación y el peso de la compuerta. Agua
62.4
lb pie 3
Flotabilidad, flotación y es tabilidad Pr incipio de A rquímedes Cuando un cuerpo está sumergido completamente en un fluido, o flota de modo que sólo está parcialmente sumergido, la fuerza resultante del fluido que actúa sobre el cuerpo se denomina fuer za boyante (de empuje, de flotación o de presión hacia arriba). Resulta una fuerza neta vertical hacia arriba porque la presión aumenta con la profundidad y las fuerzas de presión que actúan desde abajo son mayores que las fuerzas de presión que actúan desde arriba. Esta fuerza se puede determinar aplicando un método semejante al usado en el apartado anterior para fuerzas sobre superficie curvas. Considérese un cuerpo de cualquier forma, cuyo volumen es V, que está inmerso en un fluido como se ilustra en la figura 2.12a. El cuerpo se encierra en un paralelepípedo y se traza un diagrama de cuerpo libre del paralelepípedo sin el cuerpo, como se muestra en la figura 2.12b. Obsérvese que las fuerzas F 1, F 2, F 3 y F 4 son simplemente las fuerzas ejercidas sobre las superficies planas del paralelepípedo (para simplificar la situación no se muestran las fuerzas en la dirección x), W es el peso del volumen sombreado del fluido (paralelepípedo menos cuerpo) y F B es la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el fluido. Las fuerzas sobre las superficies verticales, como F 3 y F 4, son todas iguales y se cancelan, por lo que la ecuación de equilibrio que interesa es la correspondiente a la dirección z y se puede expresar como, F B = F 2 – F 1 – W
(17)
Si el peso específico del fluido es constante F2
F1 (h2 h1)A
Donde A es el área horizontal de la superficie superior (o inferior) del paralelepípedo y la ecuación (17) se puede escribir como FB
(h2 h1)A h2 h1 A
Simplificando, se llega a la expresión deseada por la fuerza boyante FB
(18)
Donde es el peso específico del fluido y es el volumen del cuerpo. La dirección de la fuerza boyante, que es la fuerza del fluido sobre el cuerpo, es opuesta a la que se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Por consiguiente, la fuerza boyante tiene una magnitud igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo y está dirigida verticalmente hacia arriba. Este resultado se denomina principio de Arquímedes (287-212 a.C), un griego matemático y experto en mecánica que fue el primero en enunciar los conceptos básicos asociados con la hidrostática. La ubicación de la línea de acción de la fuerza boyante se puede determinar sumando con respecto a algún eje conveniente los momentos de las fuerzas que
se muestran en el diagrama de cuerpo libre en la fig. 2.12b. Por ejemplo, al sumar los momentos con respecto a un eje perpendicular al plano del papel a través del punto D se obtiene FB yc
F2y1
F1y1
Wy 2
Y al sustituir las diversas fuerzas
y2
yc T y1 T
Donde
T
(19)
es el volumen total (h2 -h1 )A. El miembro derecho de la ecuación (19)
es el primer momento del volumen desplazado con respecto al plano x-y, de modo que y c es igual a la ordenada y del centroide del volumen . De manera semejante, se puede determinar que la abscisa x del centroide. Así, se concluye que la fuerza boyante pasa por el centroide del volumen desplazado como se muestra en la figura 2.12c. El punto por el que actúa la fuerza boyante se denomina centro de flotabilidad . Estos mismos resultados son válidos para cuerpos flotantes que están sumergidos solo parcialmente, como se ilustra en la figura 2.12d, si el peso específico del fluido arriba de la superficie del líquido es muy pequeño en comparación con el líquido en que flota el cuerpo. Como el fluido arriba de la superficie suele ser aire, para propósitos prácticos se cumple esta condición.
Fi g ura 2.12 Fuerza boyante s obre cuerpos s umerg idos y flotantes.
A R QUI MIDE S DE S IR A C US A
PROBLEMAS Una compuerta Una boya esférica de diámetro 1.50 metros y peso de 8.50 KN está anclado al fondo del mar con un cable como se muestra en la figura. Aunque la boya normalmente flota sobre la superficie, algunas veces crece la profundidad del agua, de modo que la boya está completamente inmersa como se ilustra. Para esta condición. ¿Cuál es la tensión del cable?
Estabilidad Otro problema interesante e importante asociado con cuerpos sumergidos o flotantes está relacionado con la estabilidad de los cuerpos. Se dice que un cuerpo está en posición de equilibrio estable si al ser desplazado vuelve a su posición de equilibrio. Recíprocamente, el cuerpo está en una posición de equilibrio inestable sí cuando es desplazado (inclusive ligeramente) se mueve a otra posición de equilibrio.
Fi g ura 2.13
Fi g ura 2.14
Las consideraciones de estabilidad son especialmente importantes para cuerpos sumergidos o flotantes, ya que los centros de flotabilidad y de gravedad no necesariamente coinciden. Una pequeña rotación puede dar por r esultado un par de reposición o volcamiento. Por ejemplo, para el cuerpo completamente sumergido que se muestra en la figura 2.13 y cuyo centro de gravedad está por debajo del centro de flotabilidad, una rotación a partir de su posición de equilibrio crea un par de reposición formado por el peso W y la fuerza boyante F B, que hace que el cuerpo gire de vuelta a su posición original. Así, para esta configuración el cuerpo es estable. Cabe mencionar que lo anterior es cierto siempre que el centro de gravedad quede abajo del centro de flotabilidad, es decir, el cuerpo está en una posición de equilibrio estable con respecto a pequeñas rotaciones. Sin embargo como se ilustra en la figura 2.14, si el centro de gravedad está arriba del centro de flotabilidad, entonces el par resultante formado por el peso y la fuerza boyante voltea al cuerpo y lo mueve a una posición de equilibrio. Así, un cuerpo completamente sumergido con su centro de gravedad por arriba de su centro de flotabilidad está en una posición de equilibrio inestable.
Para cuerpos flotantes el problema de estabilidad es más complicado, ya que a medida que el cuerpo gira puede cambiar la ubicación del centro de flotabilidad (que pasa por el centroide del volumen desplazado). Como se muestra en la figura 2.15, un cuerpo flotante como una barcaza que se mueve lentamente en el agua puede ser estable inclusive si el centro de gravedad está arriba del centro de flotabilidad. Lo anterior es cierto ya que a medida que el cuerpo gira, la fuer za boyante F B se mueve para pasar por el centroide del nuevo volumen desplazado que se forma y, como se ilustra, esto se combina con el peso W para formar un par que hace que el cuerpo regrese a su posición de equilibrio original. Sin
