Universidad Universid ad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo
Distribuciones Distribucio nes de Probabilidad:
Profesor:
Luis Angulo Cabanillas
Estadística
I.
Dist Distri ribu buci cion ones es de de Prob Probab abil ilid idad ad Disc Discre reta tas: s: A. Dis Distri tribuc bución ión Bino Binomi mial al B. Dis Distri tribuc bución ión de Poi Poiss sson on C. Dist Distri ribuc bució ión n Hipe Hiperg rgeo eomé métr tric ica. a. Ejercicios
II. II.
Dist Distri ribu bucio cione ness de Proba Probabi bili lida dad d Conti Continu nuas as:: A. Dist Distri ribu buci ción ón Norm Normal al B. Distri Distribuc bución ión T-Stud T-Student ent (Lect (Lectur uraa de Tablas) ablas) C. Distri Distribuc bución ión Chi-C Chi-Cuad uadra rado do (Lectu (Lectura ra de Tabl Tablas) as) D. Distri Distribuc bución ión F (Lectu (Lectura ra de Tablas) ablas) Ejercicios
I.
Dist Distri ribu buci cion ones es de de Prob Probab abil ilid idad ad Disc Discre reta tas: s: A. Dis Distri tribuc bución ión Bino Binomi mial al B. Dis Distri tribuc bución ión de Poi Poiss sson on C. Dist Distri ribuc bució ión n Hipe Hiperg rgeo eomé métr tric ica. a. Ejercicios
II. II.
Dist Distri ribu bucio cione ness de Proba Probabi bili lida dad d Conti Continu nuas as:: A. Dist Distri ribu buci ción ón Norm Normal al B. Distri Distribuc bución ión T-Stud T-Student ent (Lect (Lectur uraa de Tablas) ablas) C. Distri Distribuc bución ión Chi-C Chi-Cuad uadra rado do (Lectu (Lectura ra de Tabl Tablas) as) D. Distri Distribuc bución ión F (Lectu (Lectura ra de Tablas) ablas) Ejercicios
Las variables aleatorias discretas se emplean en numerosas aplicaciones prácticas. En este capítulo presentamos tres variables aleatorias discretas importantes, la binomial, la de Poisson y la hipergeométrica. Es frecuente que estas variables aleatorias se usen para describir el número de sucesos de un evento, especificado en un número fijo de intentos o una unidad fija de tiempo o espacio.
Ensayo de Bernoulli:
Es el resultado de un proceso o ensayo que solo tiene dos resultados posibles (o adecuados a dos) E=Exito=1 con probabilidad p Con probabilidad q=(1-p) F = Fracaso = 0 Ejemplos: 1. Lanzar un dado y obtener cara Ω={c,s}, E={c}, p=0.5, F={s}, q=0.5 2. Lanzar un dado y obtener el 3 Ω={3, otros #}, E={3}, p=1/6, F={otros #}, q=5/6 Se puede considerar “que si durante repetidos ensayos (n), siendo p la probabilidad de éxito en un solo ensayo, la cual debe permanecer fija, y q=(1-p) la probabilidad de fracaso, entonces La probabilidad P de que se obtenga x éxitos en n ensayos es el termino del desarrollo binomio (p+q)^n”; cuyo desarrollo es −
Definición: Si una variable aleatoria X, tiene distribución Binomial con parámetros n y p
[escribe como X B(n,p)]. Entonces la probabilidad P de que se obtenga x éxitos en n ensayos, está dado por la función de probabilidad: Individual:
−
donde: x= 0, 1, 2, . . . n. 0
Y su distribución acumulada: F ≤ σ =0
−
2
y q=1-p
Tres características para reconocer un experimento Binomial : 1. El experimento consiste en n ensayos de Bernoulli con dos resultados posibles (o adecuados) Éxito y Fracaso 2. Cada ensayo son idénticos e independientes, por lo que la probabilidad de éxito p en invariante en cada ensayo. 4. La variable X denota, el número de éxitos observado en los n ensayos,
Ejemplo 1. Supongamos el lanzamiento de 12 monedas ( o una moneada
lanzada 12 veces). ¿Cuál es la probabilidad de obtener?: a) Exactamente 4 caras. b) Exactamente 10 caras c) Por lo menos 2 caras d) Como máximo 9 caras e) Mas de 10 caras y menos de 3 caras f) Entre 2 y 5 caras respectivamente.
Solución mediante tabla:
Datos: X: Numero de caras obtenidos n=12 y p=0.5 , q=0.5 a) p(X=4) = 0.1208 b) P(X=10) = 0.0161 c) P(X≥2) = 0.9969 d) P(X≤9) = 0.9808 e) P(X<3 o X>10)= f) P(2 ≤ X ≤ 5)
Ejemplo 2. Una institución universitaria establece nuevos métodos de
aprendizaje y de evaluación, con el resultado donde el 85% de sus alumnos aprueban todas las asignaturas. Supongamos que se seleccionan 8 estudiantes de dicho plantel, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Exactamente tres aprueben todas las asignaturas. b) Exactamente tres pierdan algunas asignaturas c) Por lo menos dos pierdan algunas asignaturas d) A lo mas 4 pierdan algunas asignaturas e) Entre 2 y 6 pierdan algunas asignaturas f) Entre 2 y 5 inclusive pierdan algunas asignaturas
El muestreo de una población finita puede realizarse de una de dos formas. Es posible seleccionar y examinar un objeto y luego devolverlo a la población para
su posible reselección (muestreo con reemplazo); seleccionarlo, examinarlo y mantenerlo, lo que impide su reselección en extracciones subsiguientes (muestreo sin reemplazo). La primera garantiza que las extracciones sean independiente (caso de la distribución Binomial). En el muestreo sin reemplazo las extracciones no son independientes, y la variable aleatoria X: numero de éxitos en n intentos, sigue una Distribución Hipergeométrica.
Definición: Una variable aleatoria X tiene distribución Hipergeométrica con
parámetros N, n y r, si su función de probabilidad esta dado por:
: sin
( )
Media µ
ú
− −
Donde:
N: Numero elementos de la población n : Numero de elementos de la muestra r : elementos con el rasgo en la Población n-r: elementos con el rasgo en la muestra X: número de elementos con el rasgo en la muest ra X= 0, 1, 2, … r
Varianza
V () (
−
)(
− −
)
1. El experimento consiste en extraer una muestra aleatoria de tamaño n, sin reemplazo ni consideración de su orden de un conjunto de N objetos. 2. De los N objetos, r posee el rasgo o característica que interesa, mientras que los otros (N-r) objetos restantes no lo tienen. 3. La variable aleatoria X es el número de objetos de la muestra que posee el rasgo de interés.
N N-r
r
muestreo sin reemplazo
n -x
n
x
Ejemplo 1.
En la producción de cierto artículo, se sabe que por cada 50 producidos, en 43 su terminado es excelente. Si se extrae una muestra de 10 artículos. ¿ Cual es la probabilidad: a) De que exactamente dos no sean calificados como excelentes. b) Por lo menos dos no sean calificados como excelentes. c) Diez sean calificados como excelentes.
Ejemplo 2. Un colegio tiene a su disposición para el transporte de sus estudiantes 10 buses. Por
información llegada a las directivas del plantel, se sabe que 4 no se encuentran en óptimas condiciones. Si se selecciona una muestra de 5 buses, Cual es la probabilidad de que : a) Dos de ellos no se encuentren en óptimas condiciones b) Dos de ellos se encuentren en óptimas condiciones. c) A lo mas dos no se encuentren en optimas condiciones d) Menos de 8 se encuentren optimas condiciones
Definición.
Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con parámetros λ si su función de probabilidad esta dad por:
λ λ !
Función de distribución acumulada
≤
λ λ σ=0 !
Media y Varianza E(x)= λ V(x)= λ
donde x= 0, 1, 2, . . . λ: Promedio de casos del evento por unidad
la v.a. X: número de casos promedio por unidad
La cantidad de errores de transmisión de datos en un sistema en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que la variable tiene una distribución de Poisson, determine la probabilidad que: a) En cualquier hora ocurra solamente 1 error b) En cualquier hora ocurran a lo más 3 errores c) En cualquier hora ocurran al menos 2 errores d) En dos horas cualesquiera ocurran no más de 3 errores
Las lesiones laborales graves que ocurren en una planta siderúrgica, tienen una media anual de 2,7. Dado que las condiciones de seguridad serán iguales en la planta durante el próximo año, ¿cuál es la probabilidad de que: a) El número de lesiones graves sea menor que dos?. b) En los próximos dos años cual es la probabilidad de que el número de lesiones laborales graves sea al menos dos?. c) En los primeros 8 primeros meses del año siguiente, el número de lesiones graves sea igual a uno?.
•
•
Cuando una variable aleatoria Binomial de parámetros n y p, presenta valores muy extremos, entonces se puede pasar a la distribución Poisson e incluso a la distribución Normal (que veremos mas adelante). Si X es Binomial B(n,p) con parámetros:
n es grande ( n ∞ ), y p es pequeño ( p 0 ) Entonces : Se puede aproximar a la Distribución de Poisson con parámetro λ= np
Si se conoce que solo 3% de los estudiantes de un colegio son muy inteligentes, calcular la probabilidad de que si tomamos 100 estudiantes al azar de dicho colegio. a) 5 de ellos sean muy inteligentes b) A lo mas 3 sean muy inteligentes c) Entre 2 y 4 inclusive, sean muy inteligentes.
•
Una variable aleatoria es continua si puede asumir cualquier valor en uno o mas intervalos de números reales y la probabilidad de que asuma un valor específico dado es 0.
Uno de estos modelos
probabilísticos que tiene que ver con variables continuas es la distribución Normal. Esta se llama así por ser la más frecuente en la naturaleza, esto es porque muchas variables siguen esta distribución de frecuencias. La distribución normal básicamente dice que hay pocos valores extremos y que la mayor frecuencia se encuentra en los valores centrales. Esto además coincide con la media, la moda y la
mediana.
•
Definición. La variable aleatoria X se distribución como una
distribución Normal con parámetros µ y y su función de densidad esta dado por:
f(x)
2
)
− (
-∞
•
Definición. Definición. La variable aleatoria z se distribución como
una distribución Normal estándar parámetros µ=0 y 1 y su función de densidad es:
2
− ()
-∞
Distribución Normal
Distribución Normal Estandar
Estandarización
f(x)
x
f(z)
−
z
•
•
Es importante conocer que a partir de cualquier variable X que siga una distribución Normal N(,), se puede obtener otra variable Z con una distribución estándar N(0,1), solamente haciendo la estandarización (transformación de la variable z=(x- )/)
Para poder utilizar la tabla d la distribución Normal N(0,1), tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que
siga una distribución N(0, 1).
Ejemplo: Hallara la probabilidad de: 1. P( z < 1.71) = 2. P( z > -2.3 ) = 3. P( -1.5
EJERCICIOS
Ejercicios de Hipergeométrica
Ejercicios de Distribución de Poisson
Ejercicios de Distribución de Poisson
Ejercicios de Distribución de Poisson
Ejercicios de Distribución Normal
Ejercicios de Distribución Normal
