MATEMÁTICA FINANCIERA Lic. Adm .Ed. Henry J. Flores Silva ANUALIDADES ANUALIDAD. Una anualidad es un conjunto de dos o más flujos de efectivo, en el cual los períodos de tiempo comprendido entre los flujos son uniformes. Este período uniforme de tiempo: período de renta, no es necesariamente un año, sino un intervalo de tiempo fijo, por ejemplo: día, semana, quincena, mes, bimestre, trimestre etc. Son ejemplos de anualidades: SUELDOS, DIVIDENDOS, ENSEÑANZA PENSIONES DE JUBILACIÓN
DEPRECIACIONES, Y
AMORTIZACIONES,
PENSIONES
DE
PRIMAS DE SEGURO.
Dentro de una anualidad, el importe de cada flujo de ingresos o egresos, recibe el nombre de RENTA (R) y el conjunto de Rentas constituyen la ANUALIDAD. CLASES DE ANUALIDADES
ANUALIDADES VENCIDAS, ANUALIDADES ANTICIPADAS,
AV. AA.
ANUALIDADES DIFERIDAS y
AD.
ANUALIDADES PERPETUAS.
AP.
SIMBOLOGÍA P S R H F n i m
= = = = = = = =
Valor Presente de una Anualidad Valor Futuro o Monto de una Anualidad Renta de una Anualidad Número de días del plazo de la anualidad a interés compuesto Número de días del período de capitalización Número de períodos de capitalización en el Horizonte temporal ( n = H/f) Valor constante que asume la tasa de interés del período capitalizable Número de de períodos de capitalización en un año de la TNA
Las rentas pueden ser capitalizadas (Valor Futuro), descontadas (Valor presente) o evaluadas en cualquier momento de un determinado horizonte temporal, aplicando el principio de equivalencia financiera. A partir de un stock de efectivo en el presente o en el futuro, es posible calcular el importe de su correspondiente flujo uniforme o renta constante. Para determinar los importes se utiliza determinados FACTORES FINANCIEROS. FACTORES FINANCIEROS APLICADOS A:
S, P y R
FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACIÓN
FSC = ( 1 + i ) n
FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACIÓN
FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME
FCSU = [ ( 1 + i ) n - 1 ] i
FACTOR DE DEPOSITO AL FONDO DE AMORTIZACIÓN
FSA =
FDFA = [
1 (1 + i)n
i ] (1 +i )n - 1
FACTOR DE ACTUALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME
FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL
FASU = [ ( 1 + i ) n - 1 ] i (1 +i ) n
FRC = [
i(1 +i )n ] (1 +i )n - 1
ANUALIDADES VENCIDAS.
1.
VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD Se determina aplicando lo siguiente: S = Monto R R R R R R
0
R
R
R
R
R
R
1
2
3
4
5
6
El monto se obtiene aplicando el: =>
S = R .F C S U
( ( ( ( ( (
1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
i i i i i i
)5 )4 )3 )2 )1 )0
FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME. (FCSU)
i ; n
S = R. [ (1 +i ) i
n
- 1 ]
( F : 01 )
Ejm. 01: Un trabajador ha cotizado a una AFP el equivalente de S/. 250 mensuales, durante sus últimos seis meses de actividad laboral dependiente. ¿Qué importe habrá acumulado en ese período si percibió una TEM del 10%. ( Llevamos cada flujo al momento 06 con el FCSU )
n
Renta
Tasa
Períodos Capitalizado s
0 1 2 3 4 5 6
250 250 250 250 250 250
10% 10% 10% 10% 10% 10%
5 4 3 2 1 0
Operación S = P (1 + i )n 250 250 250 250 250 250
( ( ( ( ( (
1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
0.1) 5 0.1) 4 0.1) 3 0.1) 2 0.1) 1 0.1) 0
Monto de la Renta 0.00 402.63 366.03 332.75 302.50 275.00 250.00 1,928.61
Su cálculo directo se efectúa aplicando el FCSU. S = 250 . [ ( 1 + 0.10 ) 0.10
6
- 1 ]
=
1,928.61
Ejm. 02: Un trabajador gana $ 3,000 mensuales y la empresa le ha descontado el 12.15% de su remuneración, la misma que es cotizada a la AFP Pro futuro; el 11% es abonado a su cuenta de afiliado.
Durante seis meses de actividad laboral dependiente ¿qué importe habrá acumulado en ese período si percibió una TEM del 5% .
2. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD Se determina aplicando lo siguiente: R R R R R R
( ( ( ( ( (
1 1 1 1 1 1
+ + + + + +
i i i i i i
) -6 )–5 )–4 )–3 )-2 )-1
0
R
R
R
R
R
R
1
2
3
4
5
6
El Valor Presente se obtiene aplicando el: =>
:
P = R . FASU
FACTOR DE ACTUALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME. (FASU)
i ; n
P = R. [ (1 +i )n - 1 ] i (1 +i )n
( F : 02 )
Ejm. 03: Determine el valor presente de los cinco flujos mensuales de $ 450 cada uno, aplicando una TEM del 10%. (Llevamos cada flujo al momento cero con el FASU)
n 5 4 3 2 1 0
Renta
Tasa
450 450 450 450 450
10% 10% 10% 10% 10%
Períodos Capitalizados 5 4 3 2 1
Operación: P = S ( i + i )-n 450 ( 1 + 0.1) -5 450 ( 1 + 0.1) -4 450 ( 1 + 0.1) -3 450 ( 1 + 0.1) -2 450 ( 1 + 0.1) -1
VP de la Renta 279.41 307.36 338.09 371.90 409.09 0.00 1,705.85
Su cálculo directo se efectúa aplicando el FASU. P = 450. [ ( 1 + 0.1 ) 5 - 1 ] 0.1 ( 1 + 0.1 ) 5 Ejm. 04: 12.5%.
=
$ 1,705.85
Determine el valor presente de seis flujos mensuales de $ 375 cada uno, aplicando una TEM del
3. RENTA CONOCIENDO EL VALOR FUTURO Se obtiene aplicando el: R = =>
:
R =
FACTOR DE DEPÓSITO AL FONDO DE AMORTIZACIÓN. (FDFA) S . FDFA
S [
I;n
i ) (1 +i )
n
] - 1
( F : 03 )
Ejm. 05: Una empresa a decidido adquirir dentro de 04 meses una maquinaria cuyo precio de se estima en $ 10,000 ¿Qué importe constante de fin de mes debe ahorrar en un banco que paga una TNA del 36% con capitalización mensual, a fin de contar con ese monto al vencimiento de dicho período?.
S = 10,000
0 =>
R
R
R
R
1
2
3
4
=
2,390.27
10,000 [ 0.03 ] ( 1 + 0.03 ) 4 - 1 4. RENTA CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE R =
Se obtiene aplicando el:
=>
:
R =
P . FRC
R =
P. [
FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL. (FRC) I;n
]
i(l+i)n (1+i )n - 1
( F : 04 )
Ejm. 06: ¿Cuál será la cuota constante a pagar por un crédito de $ 8,500 reembolsable en 04 cuotas cada fin de mes? El banco cobra una TNA del 36% con capitalización mensual. P = 8,500
0 =>
R =
CALCULO DE
5.
“n”
R
R
R
R
1
2
3
4
=
2,286.73
8,500 . [ 0,03 ( l + 0.03 ) ( 1 + 0.03 ) 4 - 1
4
]
EN UNA ANUALIDAD
“n” EN FUNCIÓN DE
“S”
El FCSU y el FDFA, son recíprocos, podemos despejar “n” en cualquiera de ellos.
n =
Log [ S i + 1 ] _______R__________ Log ( 1 + i )
( F : 05 )
Ejm. 07. ¿Cuántos depósitos de fin de mes de $ 1,000 serán necesarios ahorrar para acumular el monto de 10,949.72 en una entidad financiera que paga una TNA del 24% con capitalización mensual. n i R S
6.
= ¿? = 0.02 = $ 1,000 = $ 10,942.72
n =
Log [ 10,942.72 ( 0.02 ) + 1 ] _______1, 000__________ = 10 depósitos… Log ( 1 + 0.02 )
“n” EN FUNCIÓN DE “ P ” El FASU y el FRC, son recíprocos, podemos despejar “n” a partir de cualquiera de sus fórmulas. n =
-
Log [ 1 - P i ] _______ R__________ Log ( 1 + i )
( F : 06 )
Ejm. 08. ¿Con cuántas cuotas constantes trimestrales vencidas de $ 1,000 préstamo de $ 10,000 por el cuál se paga una TET del 6.1208%?.
se podrá amortizar un
n i R P
7.
= ¿? = 0.061208 = $ 1,000 = $ 10,000
n
=
Log [ 1 - 10,000 ( 0,061208) ] ______ 1,000_______ = 15.93 cuotas Log ( 1 + 0.061208 )
-
CALCULO DE LA TASA DE INTERES DE UNA ANUALIDAD Cuando en una anualidad se conoce P, R, S y n, excepto la tasa periódica “i”, es posible hallarla: a) Planteando su respectiva ecuación de equivalencia y
b)
Buscando el valor de la tasa aplicando interpolación lineal.
Ejm. 09. Un Artículo tiene un precio de contado de $ 1,500 y al crédito se oferta con una cuota inicial de $ 300 y 12 cuotas uniformes de $ 130 cada una, pagaderas cada fin de mes. ¿Cuál es la TEM aplicada en el financiamiento?. i P n R
= = = =
(1)
¿? $ 1,200 12 $ 130 Si :
P = R . FASU i ; n 1,200 = 130 FASU i
; 12
i = 4%
1,200 = 130
FASU
0.04 ; 12
1,200 = 130 [ ( 1 + 0.04 ) 12 - 1 ] 0.04 ( 1 + 0.04 ) 12 1,200 = 1,220. 06 (2)
Si :
i = 5%
1,200 = 130
FASU
0.04 ; 12
1,200 = 130 [ ( 1 + 0.05 ) 12 - 1 ] 0.05 ( 1 + 0.05 ) 12 1,200 = 1,152.22 INTERPOLACIÓN LINEAL A TRAVES DE PROPORCIONES:
d
=>
a
= 1,220.06 1,220.06
a
= 0.2956754 % i
=
-
i
Valor
4%
1,220.06
a
1,200.00
5%
1,152.22
1,200.00 1,152.22
a b
=
c
.
. ( 5 - 4 )%
4 + 0.29 = 4.29 %
☺Siguiendo la tendencia creciente de las tasas expresadas en tanto por ciento el resultado se obtiene adicionando el valor obtenido de la interpolación a la base inferior.
PRACTICA DIRIGIDA Nº 06 ANUALIDADES VENCIDAS Lic. Adm. Ed. Henry J. Flores Silva
……………………………………………………………………………………………………………….. A. P1. P2.
CALCULO DE “S” EN FUNCION DE “P”: S = P . FSC Se necesita un financiamiento de $. 4 000 el cual puede obtenerse bajo la modalidad de descuento de pagaré. ¿Por qué monto debe aceptarse dicho pagaré con vencimiento a 45 días aplicando una TEM del 4%? Rp. S = $ 4,242.38. ¿Por qué monto debe extenderse una letra de cambio con vencimiento a 90 días para obtener un efectivo de $. 2,000 después de descontarla aplicando una TNA del 12 % con capitalización diaria? Rp. S = $. 2,060.90
B. CALCULO DE “P” EN FUNCION DE “S”: P = S . FSA P3. Dentro de 70 días se recibirá $. 2,000. ¿Cuál es su valor actual aplicando una TNA del 18 % anual con capitalización mensual? Rp. P = $. 1,931.71. P4. Habiéndose descontado el día de hoy una letra de cambio con valor nominal de $ 1,000. aplicando una TEM del 5% la cual vencerá dentro de 42 días. ¿Cuál es el importe neto que podrá disponerse? Rp. P = $ 933.97 C. P5. P6. D. P7.
P8.
E. P9. P10.
F. P11. P12.
G. P13. P14. H. P15. P16.
CALCULO DE “S” EN FUNCION DE LA “R”: S = R . FCSU Una persona deposita en una cuenta de ahorros al final de cada trimestre un importe constante de $. 2,000. ¿Qué monto acumulará en el plazo de 02 años percibiendo una TNA del 24 % capitalizable trimestralmente? Rp. $ 19,794.94 Qué monto puede acumularse durante 03 años consecutivos depositando $. 1,000 cada fin de mes y percibiendo una TNA del 24% con capitalización mensual? Rp. S = $ 51,994.37. CALCULO DE “P” EN FUNCION DE LA “R” : P = R . FASU Un crédito mutual fue pactado para cancelarse en 20 cuotas uniformes de $ 250 cada una cada fin de trimestre aplicando una TNA del 36 % capitalizable trimestralmente. Habiendo cumplido puntualmente sus pagos, al vencimiento de la duodécima cuota, el cliente decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas. ¿Cuál es el importe total a pagar en esa fecha? Rp. P = $. 1,633.70. Una máquina es vendida con una cuota inicial de $. 2,000 y 12 cuotas de $ 300 cada una a pagarse cada 30 días. Calcule el respectivo precio de contado equivalente utilizando una TET del 9%. Rp. P = $. 5,001.55. CALCULO DE “R” EN FUNCION DE “S” : R = S . FDFA Calcule el importe de la renta constante qué colocada al final de cada trimestre durante 04 años permita constituir un monto de $20,000. La TNA aplicable es del 36% con capitalización mensual. Rp. R = 592.08 La empresa Productos Industriales S.A. planea adquirir dentro de seis meses un equipo de computación interconectado para toda su empresa a un costo de $ 10,000. Para tal fin, la gerencia Financiera puede colocar sus excedentes mensuales de caja (estimados en $3,000) en una institución financiera que paga una TEM del 2%. ¿Qué importe constante de fin de mes deberá ahorrar para acumular los $ 10,000 al final del sexto mes? Rp. R = $. 1,585.26 CALCULO DE “R” EN FUNCION DE “P” : R = P . FRC Un préstamo de $. 5,000 debe cancelarse en el plazo de un año con cuotas uniformes cada fin de mes, aplicando una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Calcule el importe de cada cuota. Rp. R = $ 502.31 La empresa Equipos SA vende sus máquinas al contado en $ 10,000, pero debido a qué a conseguido un financiamiento del exterior está planeando efectuar ventas al crédito con una cuota inicial de $ 5,000 y 06 cuotas mensuales uniformes. Si la TEA a cargar al financiamiento es del 25%, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazos. Rp. R = $ 888.93 CÁLCULO DEL TIEMPO EN FUNCIÓN DE “S” ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/. 2,000 efectuando depósitos de S/. 150 cada fin de quincena, en un banco que paga una TNA de 24% con capitalización mensual? Rp. S/ 12,58222416 quincenas. ¿Por cuántos meses una persona debe depositar S/. 250.00 cada fin de mes en un banco para formar un monto de $ 2,000 en la fecha del último depósito si percibe una TEM del 3%? Rp. 7,277405148 CÁLCULO DEL TIEMPO EN FUNCIÓN DE “P” ¿En cuántas cuotas de $ 1,576.14 pagaderas cada fin de mes se podrá amortizar un préstamo de $ 8,000? La entidad financiera cobró una TEM del 5%. Rp. 6 Con el objeto de retirar $ 800 cada treinta días una persona deposita $ 10,000 en un banco ganando una TEM del 2% ¿cuántos retiros podrá efectuar? Rp. 14.52746992 = 15 retiros
I. P17.
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS.
Por campaña escolar una casa comercial ofrece paquetes escolares en productos, por un importe de $1,200 cobrando una cuota inicial de $ 200 y 11 cuotas mensuales de $ 120. ¿Cuál es la tasa mensual de interés cargado? Rp. TEM.= 4,9384 % P18. Calcule la TEM de una anualidad de 20 rentas trimestrales vencidas de $ 4,000 cada una, cuyo valor presente es de $ 28,989.61 Rp. TET = 12.4993% y TEM = 4 % >UPTLIC.ADM.ED.HJFS20121<
