Clase 06 - Método Pendiente-Deflexión

Análisis Estructural Método de Pendiente Deflexión Carlos Alberto Riveros Jerez

Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODOS CLÁSICOS: MÉTODO DE PENDIENTE DEFLEXIÓN Clasificado dentro de los métodos clásicos, se fundamenta en un análisis de desplazamientos y rotaciones, donde estas variables son derivadas en función de las cargas usando relaciones entre cargas y desplazamientos, posteriormente estas ecuaciones son solucionadas para obtener los valores de desplazamientos y rotaciones, finalmente los valores de fuerzas internas son determinados.

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MÉTODOS CLÁSICOS: MÉTODO DE PENDIENTE DEFLEXIÓN

Se definen nodos como los puntos donde la estructura tiene desplazamientos y/o rotaciones y grado de libertad como un desplazamiento o rotación que puede tener un punto de una estructura por efecto de aplicación de carga sobre la estructura.

MÉTODO DE PENDIENTE DEFLEXIÓN Considerando el tramo AB de la viga continua mostrada en la figura sobre la cual actúa una carga lineal distribuida ω(x) por unidad de longitud y un asentamiento Δ en el apoyo B . El valor EI es una constante a lo largo de la viga. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO DE PENDIENTE DEFLEXIÓN ′ + M AB ′′ + M AB ′′′ M AB = FEM AB + M AB 4EIθ A 2EIθB 6EI ∆ + − 2 L L L 2EI  3∆  2θ A + θB − = + FEM AB  L  L 

MAB = FEMAB +

M AB

′ + MBA ′′ + MBA ′′′ MBA = FEMBA + MBA MBA = FEMBA + MBA =

2EIθ A 4EIθB 6EI ∆ + − 2 L L L

2EI  3∆  θ + 2 θ − + FEMBA A B L  L 

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 1 Encontrar todos los momentos de la viga mostrada en la figura usando el método pendiente-deflexión. EI=7.

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 1 Momentos por cargas externas • Tramo AB

↷_+

:

• Tramo BC: (igual al tramo AB)

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 1 • Tramo CD:

↷_+

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 1 Δ=0 ya que no se referencian asentamientos en el enunciado. Así se tiene:

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 1 Luego como las rotulas y las articulaciones no soportan momentos; se tiene:

Luego de (1) se tiene:

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 1 De (2):

De (3):

De (4):

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 1 • Resolviendo (a), (b), (c) y (d)

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Ejemplo 2 Encuentre Los momentos de la viga si el soporte en B se asienta 6mm. EI=1

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 2 MOMENTOS CARGAS EXTERNAS: • Tramo AB: Pab 2 = − 75 kNm l2 2 Pa 2 b ( 200 )(1.5 ) (1.5) = = = 75 kNm l2 32

FEM A B = − FEM BA

• Tramo BC: FEM BC = 0

FEM cB = 0

EFECTO DEL ASENTAMIENTO: ∆ 6 = = 0.004 rad l 1500

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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 2 ECUACIÓN DE MOMENTO:

M AB = FEM AB +

2 EI  3∆  + − 2 θ θ B  A  l  l 

2 ( 2θ A + θB − 0.012 ) 3 2 EI  3∆  + − M BA = FEM BA + 2 θ θ A  B  l  3  2 M BA = 75 + ( 2θB + θ A − 0.012 ) 3 2 EI  3∆  + − M BC = FEM BC + 2 θ θ  B C  l  l  2 M BC = ( 2θB + θC + 0.012 ) 3 2 EI  3∆  + − M CB = FEM CB + 2 θ θ B  c  l  l  2 ∆ M CB = ( 2θc + θB + 0.012 ) , es negativa 3 l M AB = 0 (1) M AB = −75 +

M BA + M BC = 0 (2) M CB = 0 (3) Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN

Solución 2 De (1) 2 4  −75 + 1 θ A + θB − 0.012  = 0 (a )} 3 3  De ( 2 ) 2 2  8 75 + 1 θB + θ A + θC  = 0 (b) 3 3  3 De ( 3 ) 2 4  M CB = 1 θc + θB + 0.012  (c ) 3 3 

Resolviendo (a), (b) y (c): θ A = 84.38 rad θB = −56.25rad θC = 28.12 rad

M AB = 0 M BA = 56.25kN .mM BC = −56.25 kN .m M CB = 0

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