ANUALIDADES VENCIDAS
U
n conjunto de pagos periódicos por otro que es equivalente, es decir que se tienen los mismos efectos pero con diferentes frecuencias.
Conjunto de rentas es sustituido por otro que con diferente frecuencia de pagos produciendo el miso monto o si a los dos corresponde el mismo valo valorr pres presen ente te habl hablan ando do de las las rentas rentas equivalen equivalentes tes o anualida anualidades des
vencidas.
Para el el monto monto de una una anualidad anualidad vencida, vencida, el valor presente presente C de los −np i 1 − 1 + p = C R se traslada hasta el np pagos vencidos dado por i p final del plazo con con la misma formula del interés compuesto np
M
i = C 1 + por lo tanto el monto es: p
i1 −np 1 − 1 + p M = R i p
i np 1 + p
np
i El ultimo factor, 1 + multiplica por los dos términos términos que están en , se multiplica p el numerados y puesto que a n a −n = 1 .
El valor futuro M de una anualidad vencida u ordinaria, simple y cierta están dado por i np 1 + −1 p M = R i p
EJEMPLOS
1.
¿Cu Cuál ál es la ren enta ta se seme mest strral ve venc ncid ida a eq equ uiv ival alen ente te a $2 $2.4 .400 00 mensuales con interés del 21.6% anual capitalizable por meses?
Se remplaza R por 2.400, i por 0.216, p por 12 y np por 6, el numero de rentas por semestre.
SOLUCIÓN La incógnita es M:
1 + 0.216 216 − 1 12 M = 2.400 400 0.216 216 12 6
M
2.
= 2.400 ( 6.276568111 ) ó
M
= $15 .063 .76
El señor Anaya compra el terreno para su casa con un anticipo, una hipoteca de 30 abonos bimestrales anticipados de $6.250 cada uno y una una tasa tasa de inte interé rés s del del 13.2 13.2% % capi capita taliliza zabl ble e equi equiva vale lente nte.¿D .¿De e cuanto es cada uno?
SOLUCIÓN 24
6
132 1 + i = 1 + 0.132 24 6 24
1 + i = 1.139476505 24 De donde 1+
1+
i
i
i 24
i 24
=
24
1.139476505
= 1.005455199
= (1.005455199 −1)( 24 )
= 0.130924776 ó Por lo tanto, la renta quincenal R, equivalente a los
$6.250 bimestrales, ya que en un bimestre hay 4 quincenas, esta dada por:
− 1 − (1.005455199 ) ) 0 . 005455199 4
6.250
= R(1.005455199
6.250
= R (1.005455199 )( 3.946037569 ) 6.250 = R ( 3.967563989 )
De donde
R
=
6.250 3.967563989
R
= $1.575 .27
EJERCICIOS 1.
Teresa Teresa adquir adquirió ió una lavado lavadora ra que esta pagand pagando o con 20 abonos abonos quincenales de $650 e intereses del 27% anual capitalizable por quincenas. Luego de 3 pagos, se retrasa con 5 y se pone al corriente al hacer el noveno. ¿A cuanto equivale este pago si adicionalmente se cargan inte intere rese ses s mora morato tori rios os del del 1.5% 1.5% quin quince cena nall comp compue uesto sto por por quincena? b) Hallar los intereses a)
SOLUCIÓN
a)
La tasa de interés que se sustituye es
0.27 24
+ 0.015 = 0.02625
El acumulado de los 6 abonos es, por tanto,
(1 + 0.02625 ) −1 M = 650 0 . 02625 M = 650 ( 6.407805448 ) 6
M
= $4.165 .07
b) Para los intereses, se resta del total que se paga, el precio de la lavadora. El total pagado es la suma del resultado anterior y los 14 a bonos de $650 que se pagaron sin retraso, esto quiere decir que:
M
= 4.165 .07 +14 ( 650 .00 )
= $13 .265 .07
M
El precio de la lavadora es el valor presente de los 20ª bonos originales
1 + 0.27 − 1 − 24 C = 650 0.27 24
20
C = 650 (17 .82044845
)
C = $11 .583 .29
El monto de los intereses es: I
M
=
−
C
I = 13 .265 .07 −11 .583 .29 I = $1.681 .78
2. Si son 5 pagos de $ 24.500 al final de cada trimestre, con intere intereses ses del 14% efectiv efectivo, o, se amorti amortiza za un crédit crédito, o, ¿Cuánt ¿Cuánto o dinero se ahorra el deudor si lo amortiza con abonos semanales vencidos equivalentes en el mismo plazo? Halla la tasa capitalizable por semana equivalente al 14% efectivo, considerando un capital de $1 y un año de plazo. 52
1
1 + i = 1 + 0.14 1 52 1+ 1+
i 52
i 52
=
52
1.14
= 1.002522952
De donde i = (1.002522952 −1) i = 0.131195504 ó 13.1193504 %
52
Pues Puesto to que que un trim trimes estr tre e qued queda a comp compre rend ndid idas as 13 sema semana nas, s, se tiene: (1.002522952 ) − 1 13
24.500 500
=R
24 .500
0.002522952
= R (13 .19862209 )
R
=
24 .500 13 .19862209
ó R = $1.856 .25
El deudor se ahorrara la cantidad de $1.843.75, ya que con abonos trimestrales pagara en total 24.500(5)=122.5500; mientras que con los semanales pagara 1.856.25 (64)=120.656.25.