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Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas


Pr. Héctor Fernando Cancino de Greiff, PhD

I


II


Prefacio El presente libro es la recopilación de los apuntes de muchos años de experiencia docente en el área de los Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas y sus aplicaciones como producto del desarrollo docente tanto en Universidades Colombianas como algunas Venezolanas, así como los avances obtenidos en mi doctorado en la Universidad Central de las Villas de Cuba. En esta primera edición se contemplan la mayoría de tópicos relacionados en

los sistemas de

comunicaciones analógicos, orientado inicialmente a la comprensión de los temas relacionados con los circuitos de Radio frecuencia en las bandas del HF, UHF, VHF y la parte inicial del SHF, para su posterior aplicación en la comprensión y el diseño de los circuitos de modulación y demodulación empleadas en las comunicaciones analógicas según el programa presente para la fecha en el Proyecto Curricular de Ingeniería electrónica de la Universidad Distrital, con la inclusión de muchos ejemplos en cada uno de los temas así como ejercicios propuestos a ser desarrollados por el estudiante. Sin embargo, cabe anotar que en este trabajo está dirigido fundamentalmente al estudio y desarrollo de señales y sistemas analógicos incluyendo su estudio en el dominio del tiempo y en dominio de la frecuencia para establecer las características y diferencias en los dos los dominios de cada uno de los diferentes Sistemas de Comunicación en RF. Este texto presenta un estudio de las principales herramientas y desarrollos requeridas en el manejo y diseño de los sistemas de comunicaciones analógicas, distribuidos en quince capítulos comenzando por los conceptos básicos de los elementos empleados en RF en el capítulo1, los circuitos resonantes y las redes de acople en el capítulo 2, estudio y diseño de filtros en RF en el capítulo 3 y el 4 con la Carta de Smith y sus aplicaciones en los sistemas y conexiones típicas de RF. El capítulo 5 se dedica al diseño de amplificadores de pequeña señal mientras que en el capítulo 6 se desarrolla el diseño de los osciladores en RF. El Capítulo 7 está dedicado a los amplificadores de RF empleados en los circuitos III


de transmisión. No obstante la gama del diseño se complementa con el estudio de los circuitos multiplicadores y las redes de enganche de fase (PLL) que se describen en los capítulos 8 y 9. El estudio de desarrollo de las comunicaciones se inicia con el capítulo 10 que resume el concepto de las comunicaciones banda base analógica. El capítulo 11 maneja la modulación y demodulación de los sistemas lineales que afectan esencialmente la amplitud de la portadora. La translación de frecuencia y el receptor superheterodino se manejan en el capítulo 12. Los sistemas por multicanalización por división de frecuencia en el capítulo 13, el 14 estudia los sistemas de modulación exponencial y se finaliza en el capítulo 15 con el análisis del ruido y la interferencia tanto en las modulaciones lineales como en las exponenciales.

Agradecería se me hiciera saber a mi correo electrónico de cualquier error que se encontrara en este texto o del descubrimiento de fallas o de erratas en el texto a fin de corregirlas.

Pr. Héctor Fernando Cancino de Greiff, PhD Email: [email protected]

IV


Contenido Hoja Título………………………………………………………………….

I

Prefacio……………………………………………………………………..

III

Referencias Bibliográficas………………………………………………….

VI

Capítulo I: Componentes en RF…………………………………………….

1

Capítulo II: Circuitos resonantes y redes de acople………………………...

21

Capítulo III: Filtros en RF…………………………………………………..

37

Capítulo IV: La carta de Smith en el diseño de redes de acople……………

51

Capítulo V: Amplificadores de RF pequeña señal…………………………..

71

Capítulo VI: Osciladores en RF……………………………………………..

95

Capítulo VII: Amplificadores RF de Potencia……………………………….

109

Capítulo VIII: Multiplicadores Analógicos………………………………….

125

Capítulo IX: Circuitos de malla asegurada en fase (PLL)……………………

151

Capítulo X: Comunicaciones banda base analógicas………………………...

173

Capítulo XI: Sistemas de Modulación y Demodulación lineal….…………..

183

Capítulo XII: El Receptor superheterodino…………………………………..

221

Capítulo XIII: Los sistemas FDM y su aplicación en la modulación estéreo…

229

Capítulo XIV: Sistemas de Modulación y Demodulación exponencial……….

237

Capítulo XV: Ruido e interferencia en las Modulaciones…………………….

269

Anexos: Anexo 1: ¿Que son los decibelios?..................................................................

309

Anexo 2: Tabla de Transformadas de Fourier……………………………….

315

Anexo 3: Relaciones Trigonométricas……………………………………….

317

V


Referencias Bibliográficas 1. ROY BLAKE. “Sistemas Electrónicos de Comunicaciones”, Editorial Thomson. 2° Edición. 2004. 2. H. KRAUSS, C. BOSTIAN, F. RAAB. “Estado sólido en Ingeniería de Radiocomunicación”. Editorial LIMUSA. 3. A. OPPENHEIN, A. WILLSKY. “Señales y sistemas”. Editorial PRENTICE HALL. 4. SIMON HAYKYN. “Sistemas de Comunicación”. Editorial WILEY. Tercera edición.1994. 5. FERREL STREMLER. “Introducción a los sistemas de Comunicación”. Editorial ADISON WESLEY. 6. CHRIS BOWICK. “RF Circuits design”. Editorial SAMS. 2nd Edition, 2008. 7. B. P. LATHI. “Sistemas de Comunicación”. Editorial Mc. Graw Hill. Cuarta edición. 2007. 8. A. BRUCE CARLSON, PAUL B. CRILLY, JANET C. RUTLEDGE. “Sistemas de Comunicación”. Editorial Mc. Graw Hill.Cuarta edición. 2007. 9. WAYNE TOMASI. “Sistemas de comunicaciones electrónicas”. Editorial PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA SA. Segunda Edición. 1996. 10. K.SAM SHANMUGAN. “Digital and analog communications systems. Ed. JOHN WILEY.1985. 11. SCHWARTZ M. "Information Transmission, Modulation, and Noise: A unified Aproach to Communication Systems. McGraw Hill. 12. LEON W. COUCH II. “Modern Communication Systems”. Editorial PRENTICE HALL. 1995. 13. Hoja de datos de bobinas Toroidales. Amidon Associates. 14. MIGUEL GHEZZI “Construcción de inductores de radiofrecuencia” www.solred.com.ar. 15. PACKMAN EMILIO, “Vademecum de Radio Frecuencia” Editorial Arbó, 1967. 16. SMITH F. LANGFORD “Radiotron Designer’s Handbook”, 4ta. Edition, Wireless Press.2011. www.plexilandia.cl 17. P. HOROWITZ AND WITHILL “The art of electronics”,. Cambridge University Press. 18. A. MANSUKHANI “Phase Lock Loop Stability Análisis”, Applied Microwave and Wíreles Magazine, 30. 19. S. LAPATINE, “Electrónica en Sistemas de Comunicación” Editorial Limusa, 1996. 20. J. PROAKIS, M. SOLEHI. “Contemporary Communication Systems using Matlab”. Ed. Thomson, 2000. 21. PAUL GRAY, ROBERT MEYER “Analysis and Design of analog Integreted Circuits” 5a. Edución, Ed. Wiley. 2009.

VI


Capítulo I: Componentes en RF

1


2


1.1 El espectro electromagnético La distribución de energía o intensidad de ondas electromagnéticas en función de la frecuencia conforma lo que se denomina “el espectro electromagnético”. Los espectros se pueden visualizar mediante dispositivos tales como los analizadores de espectros que permiten realizar medidas como la frecuencia y la intensidad de la señal en observación. El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de onda, como lo son los rayos gamma y los rayos X, pasando luego por la luz ultravioleta, la luz visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio que son las de interés en la banda de radiofrecuencia. Las cargas eléctricas estacionarias generan campos eléctricos, mientras que las cargas eléctricas en movimiento generan campos eléctricos y magnéticos. Los cambios periódicos en estos campos producen el fenómeno de la radiación electromagnética, que consiste en una oscilación perpendicular de un campo eléctrico y magnético, transportando energía de un punto a otro, a la velocidad de la luz. Luz Visible. Isaac Newton fue el primero en descomponer la luz visible blanca del Sol en sus componentes mediante la utilización de un prisma. La radiación visible va desde 384x1012 hasta 769x1012 Hz. Las frecuencias más bajas de la luz visible (longitud de onda larga) se perciben como rojas y las de más alta frecuencia (longitud corta) aparecen violetas. Rayos infrarrojos. La radiación infrarroja fue descubierta por el astrónomo William Herschel (1738-1822) en 1800. La radiación infrarroja se localiza en el espectro entre 3x10 11 Hz. hasta aproximadamente los 4x1014 Hz. La banda infrarroja se divide en tres secciones de acuerdo a su distancia a la zona visible: próxima (780 - 2500 nm), intermedia (2500 - 50000 nm) y lejana (50000 - 1mm). Toda molécula que tenga un temperatura superior al cero absoluto (-273º K) emite rayos infrarrojos y su cantidad está directamente relacionada con la temperatura del objeto. Microondas. La región de las microondas se encuentra entre los 10 9 hasta aproximadamente 3x1011 Hz (con longitud de onda entre 30 cm a 1 mm). Ondas de Radio. Heinrich Hertz (1857-1894), en el año de 1887, consiguió detectar ondas de radio que tenían una longitud del orden de un metro. La región de ondas de radio se extiende desde algunos Hertz hasta 109 Hz con longitudes de onda desde muchos kilómetros hasta menos de 30 cm. Rayos X. En 1895 Wilhelm Röntgen inventó una máquina que producía radiación electromagnética con una longitud de onda menor a 10 nm, pero debido a que no conocía su naturaleza las bautizó como X.

3


Radiación Ultravioleta. Sus longitudes de onda se extienden entre 10 y 400 nm más cortas que las de la luz visible. Rayos Gamma. Se localizan en la parte del espectro que tiene las longitudes de onda más pequeñas entre 10 y 0.01 nm.

1.2 Bandas del espectro electromagnético Para su estudio, el espectro electromagnético se divide en segmentos o bandas, aunque esta división es inexacta. Existen ondas que tienen una frecuencia, pero varios usos, por lo que algunas frecuencias pueden quedar en ocasiones incluidas en dos rangos (Tabla 1.1). Tabla 1.1 Bandas del espectro electromagnético según la UIT Banda

Longitud de onda (m) Frecuencia (Hz)

Energía (J)

Rayos gamma

< 10 pm

> 30,0 EHz

> 20·10−15 J

Rayos X

< 10 nm

> 30,0 PHz

> 20·10−18 J

Ultravioleta extremo

< 200 nm

> 1,5 PHz

> 993·10−21 J

Ultravioleta cercano

< 380 nm

> 789 THz

> 523·10−21 J

Luz Visible

< 780 nm

> 384 THz

> 255·10−21 J

Infrarrojo cercano

< 2,5 µm

> 120 THz

> 79·10−21 J

Infrarrojo medio

< 50 µm

> 6,00 THz

> 4·10−21 J

Infrarrojo lejano/submilimétrico < 1 mm

> 300 GHz

> 200·10−24 J

Microondas

< 30 cm

> 1 GHz

> 2·10−24 J

Ultra Alta Frecuencia - Radio

<1m

> 300 MHz

> 19.8·10−26 J

Muy Alta Frecuencia - Radio

< 10 m

> 30 MHz

> 19.8·10−28 J

Onda Corta - Radio

< 180 m

> 1,7 MHz

> 11.22·10−28 J

Onda Media - Radio

< 650 m

> 650 kHz

> 42.9·10−29 J

Onda Larga - Radio

< 10 km

> 30 kHz

> 19.8·10−30 J

Muy Baja Frecuencia - Radio

> 10 km

< 30 kHz

< 19.8·10−30 J

1.3 Las bandas espectrales en Radiofrecuencia En radiocomunicaciones, los rangos se abrevian con sus siglas en inglés (Tabla 1.2). Tabla 1.2 Bandas espectrales en RF Nombre

Abreviatura inglesa

Banda ITU

Frecuencias

Longitud de onda

4


Inferior a 3 Hz

> 100.000 km

Extra baja frecuencia

ELF

1

3-30 Hz

100.000–10.000 km

Super baja frecuencia

SLF

2

30-300 Hz

10.000–1000 km

Ultra baja frecuencia

ULF

3

300–3000 Hz

1000–100 km

Muy baja frecuencia

VLF

4

3–30 kHz

100–10 km

Baja frecuencia

LF

5

30–300 kHz

10–1 km

Media frecuencia

MF

6

300–3000 kHz

1 km – 100 m

Alta frecuencia

HF

7

3–30 MHz

100–10 m

Muy alta frecuencia

VHF

8

30–300 MHz

10–1 m

Ultra alta frecuencia

UHF

9

300–3000 MHz

1 m – 100 mm

Super alta frecuencia

SHF

10

3-30 GHz

100-10 mm

Extra alta frecuencia

EHF

11

30-300 GHz

10–1 mm

Por encima de los 300 GHz

< 1 mm



Frecuencias extremadamente bajas: Llamadas ELF (Extremely Low Frequencies), son aquellas que se encuentran en el intervalo de 3 a 30 Hz. Este rango es equivalente a aquellas frecuencias del sonido en la parte más baja (grave) del intervalo de percepción del oído humano. Cabe destacar aquí que el oído humano percibe ondas sonoras, no electromagnéticas, sin embargo se establece la analogía para poder hacer una mejor comparación.



Frecuencias súper bajas: SLF (Super Low Frequencies), son aquellas que se encuentran en el intervalo de 30 a 300 Hz. En este rango se incluyen las ondas electromagnéticas de frecuencia equivalente a los sonidos graves que percibe el oído humano típico.



Frecuencias ultra bajas: ULF (Ultra Low Frequencies), son aquellas en el intervalo de 300 a 3000 Hz. Este es el intervalo equivalente a la frecuencia sonora normal para la mayor parte de la voz humana.



Frecuencias muy bajas: VLF, Very Low Frequencies. Se pueden incluir aquí las frecuencias de 3 a 30 kHz. El intervalo de VLF es usado típicamente en comunicaciones gubernamentales y militares.

5

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas 

Frecuencias bajas: LF, (Low Frequencies), son aquellas en el intervalo de 30 a 300 kHz. Los principales servicios de comunicaciones que trabajan en este rango están la navegación aeronáutica y marina.



Frecuencias medias: MF, (Medium Frequencies), están en el intervalo de 300 a 3000 kHz. Las ondas más importantes en este rango son las de radiodifusión de AM (530 a 1605 kHz).



Frecuencias altas: HF, (High Frequencies), son aquellas contenidas en el rango de 3 a 30 MHz. A estas se les conoce también como "onda corta". Es en este intervalo que se tiene una amplia gama de tipos de radiocomunicaciones como radiodifusión, comunicaciones gubernamentales y militares. Las comunicaciones en banda de radioaficionados y banda civil también ocurren en esta parte del espectro.



Frecuencias muy altas: VHF, (Very High Frequencies), van de 30 a 300 MHz. Es un rango popular usado para muchos servicios, como la radio móvil, comunicaciones marinas y aeronáuticas, transmisión de radio en FM (88 a 108 MHz) y los canales de televisión del 2 al 12 [según norma CCIR (Estándar B+G Europa)]. También hay varias bandas de radioaficionados en este rango.



Frecuencias ultra altas: UHF, (Ultra High Frequencies), abarcan de 300 a 3000 MHz, incluye los canales de televisión de UHF, es decir, del 21 al 69 [según norma CCIR (Estándar B+G Europa)] y se usan también en servicios móviles de comunicación en tierra, en servicios de telefonía celular y en comunicaciones militares.



Frecuencias súper altas: SHF, (Super High Frequencies), son aquellas entre 3 y 30 GHz y son ampliamente utilizadas para comunicaciones vía satélite y radioenlaces terrestres. Además, pretenden utilizarse en comunicaciones de alta tasa de transmisión de datos a muy corto alcance mediante UWB. También son utilizadas con fines militares, por ejemplo en radares basados en UWB.



Frecuencias extremadamente altas: EHF, (Extremely High Frequencies), se extienden de 30 a 300 GHz. Los equipos usados para transmitir y recibir estas señales son más complejos y costosos, por lo que no están muy difundidos aún.

Existen otras formas de clasificar las ondas de radiofrecuencia. •

La RF propiamente es la porción del espectro electromagnético, comprendida entre los 300 KHz y 30 GHz.

•

A partir de 1 GHz las bandas entran dentro del espectro de las microondas.

•

Las ondas de radiofrecuencia, al ser ondas electromagnéticas, se desplazan a la velocidad de la luz.

6


•

Los conectores eléctricos diseñados para trabajar con frecuencias de radio se conocen como conectores RF. RF también es el nombre del conector estándar de audio/video, también conocido como BNC (Bayo Net Connector).

1.4 Alambres Los alambres son usados en muchas aplicaciones de interconexión en la parte baja del espectro de RF. El comportamiento de un alambre en RF depende de su longitud, su diámetro, sus materiales y su construcción. La Tabla 1.3 muestra la carta de alambres más ampliamente utilizada en el mundo: el American Wire Gauge (AWG). Tabla 1.3 Carta de Alambres AWG [6] 1 mil=2.54x10-3 cm.

1.5 El Efecto “Skin” Un conductor en baja frecuencia utiliza toda el área de la sección transversal como medio de transporte de cargas eléctricas. En alta frecuencia la densidad de corriente en el centro

7


del conductor decrece, incrementando la densidad de corriente en su periferia. Este fenómeno es conocido como “Efecto Skin”. Este fenómeno ocurre en todo tipo de conductor y por tanto la densidad de corriente decae y su profundidad es función de la frecuencia y del tipo de material. El resultado neto del efecto “skin” es un decrecimiento de la sección transversal generando un incremento en su resistencia, Fig. 1.1. El 63% del flujo de corriente de RF en un alambre de cobre fluye dentro de una distancia de 0.007 cm del borde externo.

Fig. 1.1 Área de profundidad del efecto Skin [6] Inductancia del alambre:

[

] µH

(1.1)

Dónde: L=Inductancia en µH l=Longitud del alambre en cm, d=Diámetro del alambre en cm. EJEMPLO 1.1 Hallar la inductancia construida con alambre de cobre N° 20 de longitud 3 centímetros. Solución: De la Tabla N° 3 se establece que el alambre de cobre N° 20 tiene un diámetro de 32.0 mils. Puesto que 1 mil es igual a 2.54x10-3 cm., es igual a 0.0813 cm. Sustituyendo en la ecuación (1.1) se obtiene:

8


[

(

)]

1.6 Resistencias en RF La resistencia es la propiedad de un material que determina la razón a la cual la energía eléctrica es convertida en calor para una corriente eléctrica. 1 voltio sobre 1 ohm = 1 Coulomb por seg = 1 Amperio La disipación térmica es 1 watt: P = E I =1 volt x 1 Amp El circuito equivalente para el rango de frecuencias de 10 a 200 MHz se muestra en la Fig. 1.2:

Fig.1.2 Circuito equivalente en RF de una resistencia La Fig. 1.3 muestra la característica de la impedancia de una resistencia de alambre en RF, donde se aprecian los fenómenos del efecto de la resonancia típicos en circuitos que contienen bobinas e inductancias.

Fig. 1.3 Característica en frecuencia de una resistencia de película metálica vs. Carbón 9


La impedancia de una resistencia de película delgada tiende a decrecer a frecuencias por encima de 10 MHz, como se muestra en la Fig. 1.4. En muy altas frecuencias y resistencias del orden de 50 ohmios la impedancia presenta una respuesta más plana respecto a la frecuencia, reduciendo los efectos resonantes.

Fig. 1.4 Características en frecuencia de una resistencia de Película delgada metálica respecto a una resistencia de carbón. [6]

1.7 Capacitores en RF Son usados ampliamente en aplicaciones de RF tales como las redes de acoplamiento. El capacitor de placas paralelas consta de 2 superficies conductoras separadas por un material aislante o dieléctrico. El dieléctrico usualmente es de cerámica, papel, mica, plástico, película, vidrio o aceite. Los capacitores permiten almacenar carga eléctrica, cuando existe entre las placas conductoras, una diferencia de potencial eléctrico. La capacidad es medida en Faradios: (1.2) 10


Dónde: o = permitibidad del espacio libre

F/m.

El uso de un capacitor depende fundamentalmente de su dieléctrico. Las características del dieléctrico determinan los niveles de voltaje y las temperaturas extremas que puede soportar el capacitor.

En la Tabla 1.2 se muestra la constante dieléctrica K de algunos materiales. Tabla N° 1.2 Constantes dieléctricas de algunos materiales. [6] Dieléctrico Aire Poliestireno Papel Mica Cerámica (bajo K) Cerámica (alto K)

K 1 2.5 4 5 10 100-10.000

El Circuito equivalente de un capacitor en RF se muestra en la Fig. 1.5.

Fig. 1.5 Circuito equivalente del capacitor Definición de algunos parámetros característicos para los capacitores: Factor de potencia: Es el Coseno del ángulo entre el voltaje y la corriente. Es función de la temperatura, la frecuencia y el material dieléctrico. (1.3) Resistencia de Aislamiento: Rp Es la medida de la cantidad de corriente que fluye a través del dieléctrico. (~100.000 MΩ o más). Resistencia efectiva serie: ESR: Es la resistencia equivalente de Rs y Rp (1.4) 11


Factor de Disipación: Es la relación de la resistencia ac a la reactancia del capacitor. (1.5) Q: Factor de calidad: El Q de un circuito es el recíproco del DF y es definido como el factor de calidad de un capacitor . (1.6) El efecto de las imperfecciones del condensador en RF puede ser observado en la Fig. 1.6

Fig. 1.6 Característica del capacitor vs frecuencia. [6] Capacitores cerámicos: Se encuentran diferentes tipos de dieléctricos usados en la fabricación de capacitores, tales como: papel, plástico, cerámica, mica, poliestireno, policarbonato, teflón, aceite, vidrio y aire. Los capacitores cerámicos poseen un dieléctrico del tipo cerámica cuya constante dieléctrica K varía entre 5 y 10.000 y por tanto son los más utilizados en RF.

1.8 Inductores en RF Un inductor es un alambre enrollado sobre un núcleo que almacena flujo magnético entre espiras. Son muy utilizados en los circuitos resonantes, filtros, desplazadores de fase, circuitos de retardo, choques. Los inductores en el mundo real aplicados en RF presentan elementos adicionales a la inductancia por efecto de la proximidad de los enrollados, tal como se muestra en la Fig. 1.7 12


Fig. 1.7 Capacidad distribuida y resistencia serie en un inductor En consecuencia el circuito equivalente de una bobina en RF se puede representar como lo muestra la Fig. 1.8

Fig. 1.8 Circuito equivalente de un inductor en RF. Diferentes tipos de Inductores simples se muestran en la Fig. 1.9 donde se aprecian bobinas con núcleos de ferrita abierta y ferritas cerradas.

Fig.1.9Tipos de bobina con ferrita [6] La Característica de impedancia vs frecuencia de una bobina en RF se muestra en la Fig. 1.10:

13


Fig. 1.10 Impedancia característica de una inductancia vs frecuencia [6] La relación entre la reactancia del inductor y su resistencia serie es frecuentemente utilizada para medir el factor de calidad Q: (1.7) Al usar un alambre de diámetro mayor decrece la resistencia AC e incrementa el Q. Diseño de un inductor con núcleo de aire de una sola capa: La fórmula generalmente empleada para tal fin se muestra en la ecuación ( ) y se diagrama en la Fig. 1.11 (1.8)

Dónde: r = Radio de la bobina en cms. l = Longitud de la bobina en cm. L = Inductancia en Fig. 1.11 Inductor núcleo de aire 1 capa Ventajas de emplear materiales de núcleo magnético:   

Disminuye el tamaño, debido a que se requieren menos vueltas de la bobina. Incrementa el Q, debido a que se emplea menos alambre. Variabilidad. 14


Desventajas:    

Cada núcleo produce sus propias pérdidas, dependiendo del material y la frecuencia. La peremeabilidad de los núcleos magnéticos cambia con la frecuencia. A mayor permeabilidad del núcleo mayor es la sensibilidad a los cambios de temperatura. La permeabilidad del núcleo cambia con el nivel de la señal aplicada. Si el nivel de la señal es muy grande se presenta saturación en el núcleo.

EJEMPLO 1.2 Diseñe una bobina de 0.1 H de núcleo de aire cilíndrica de ¼ de pulgada (0.635 cm). Solución: Para un Q óptimo, la longitud de la bobina debe ser igual a su diámetro. Luego, y . Usando la ecuación (1.8) y resolviendo para hallar N: √

√

Por tanto se requieren 4.8 vueltas de alambre en una longitud de 0.635 cm. Con alambre N° 18 AGW cuyo diámetro es de 42.4 mils (0.107 cm). 1.8.1 Bobinas Toroidales: Son bobinas construidas sobre núcleos de ferrita toroidal típicamente de alto Q que permiten reducir el número de vueltas al compararlas con bobinas con núcleo de aire, tal como se ilustra en la Fig. 1.12.

Fig. 1.12 Comparación del número de vueltas entre bobinas de la misma inductancia [6] Para el inductor con núcleo de aire de 35 se requieren 90 vueltas en un círculo de ¼ de pulgada, mientras que para construir la misma inductancia pero con un núcleo de ferrita con

15


permeabilidad Q es mucho mayor.

solo requiere 8 vueltas y por tanto la resistencia interna es menor y el

Las propiedades del núcleo toroidal se evidencian en la Fig. 1.13. Bobinas construidas con núcleos abiertos presentan radiación electromagnética, mientras que con núcleos Toroidales la mayor parte del flujo magnético circula dentro del toroide y la radiación es mucho menor. Por tanto las primeras son usadas como antenas.

Fig. 1.13 Efecto producido por un núcleo toroidal. La curva de magnetización de una bobina con núcleo toroidal se muestra como el ciclo de histéresis que se representa en la Fig. 1.14, donde se muestra la densidad de flujo magnético (B) que presenta el inductor con una intensidad de campo magnético (H) aplicada.

Fig. 1.14 Curva de Magnetización de un núcleo toroidal. La permeabilidad del material es la relación de la densidad de flujo magnético a la intensidad de campo magnético. 16


[

]

(1.9)

El circuito equivalente de una bobina con núcleo de aire y con núcleo con ferrita se muestra en la Fig. 1.15.

Fig.1.15 Circuito equivalente para núcleo de aire y ferrita La Fig. 1.16 muestra el rango de frecuencias para ferritas de material polvo de hiero

Fig. 1.16 Características de ferritas (tomado de ‘Amidon Associates’) [13] Las curvas del comportamiento en frecuencia para diferentes núcleos de ferrita toroidal se muestran en las Figs. 1.17 para las bandas de 20 a 200 MHz y 40 a 400 MHz. 17


Fig. 1.17 Hoja de datos de núcleos Toroidales (de Amidon Associates) [13] 18


1.8.2 Diseño de inductores Toroidales. Para un inductor operando en la región lineal (no saturada) de la curva de magnetización su inductancia está dada por la ecuación 1.10. (1.10) Dónde:

Inductancia en Número de vueltas Permeabilidad inicial Area de la sección transversal del núcleo en Longitud efectiva del núcleo en

.

A fin de facilitar los cálculos los fabricantes de estas ferritas engloban los parámetros en una simple cantidad denominada índice de inductancia

en

,

⁄

El índice de inductancia relaciona la inductancia con el número de vueltas: en

(1.11)

En la Fig. 1.18 se muestra la forma incorrecta y la forma correcta para enrollar la bobina sobre la ferrita toroidal.

Fig. 1.18 Enrollado correcto e incorrecto para bobinas toroidales [6] El número de vueltas a ser enrolladas sobre el núcleo dado para una inductancia específica esta dada por: √

(1.12)

19


EJEMPLO 1.3: Diseñar una inductancia toroidal de 100 H de una sola capa, en la frecuencia de 100 MHz. Solución: Empleando una ferrita BBR-7403 de “Indiana General”, con diámetro externo de 0.023 pulgadas. Mediante la ecuación (1.12) el número de vueltas requerido es: √ El diámetro máximo del alambre es:

Donde:

Diámetro del alambre en pulgadas. Radio interno del núcleo en pulgadas. Número de vueltas.

Luego:

El cual puede realizarse con alambre AGW 22. 1.9 Ejercicios propuestos. 1.9.1 Diseñe una bobina toroidal cuya inductancia sea de 50 H, empleando un núcleo cuyo material corresponde a una permeabilidad para una frecuencia de 100MHz. a) Halle N: el número de vueltas requerido sobre la ferrita. b) Establezca el diámetro del alambre de cobre a utilizar y en consecuencia determine el número de referencia AGW. 1.9.2 Usando la información que provee la hoja de datos mostrada en la Fig. 1.26 y 1.27 diseñe un inductor toroidal de , para trabajar en 100 MHz. Debido al espacio disponible el toroide no puede ser mayor a 0.3 pulgadas de diámetro.

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Capítulo II: Circuitos resonantes y Redes de acople

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22


2. Circuitos Resonantes y Redes de Acople En este capítulo se estudiaran los circuitos resonantes desde el punto de vista del factor de calidad Q, las pérdidas y su aplicación en la banda de RF. Se establecerán las características de los diferentes tipos de circuitos resonantes para emplearlos finalmente en la transformación de impedancias requeridas en los circuitos de acoplamiento para máxima transferencia de potencia.

2.1 Filtros pasabanda. El filtro pasabanda ideal deja pasar una banda de frecuencias entre los puntos de frecuencia de corte f1 y f2 tal como se muestra en la Fig. 2.1. Se puede apreciar que en los filtros ideales los cambios en las frecuencias de corte son abruptos.

Fig. 2.1. Filtro pasabanda ideal. No obstante, los filtros reales presentan alrededor de las frecuencias de corte cambios suaves permitiendo zonas de transición, implicando cambio como se muestran en la Fig. 2.2

23


Fig. 2.2 Respuesta de un filtro pasabanda real. Con el fin de asimilar la terminología propia para el estudio de estos circuitos en RF es necesario repasar algunas definiciones: 1. Frecuencias de corte: Son las frecuencias en las cuales la potencia disminuye a la mitad de la potencia de la frecuencia central. En consecuencia, se presentan dos tipos de frecuencias de corte en un filtro pasabanda: a) la frecuencia de corte inferior f1 y la frecuencia de corte superior f2, que no necesariamente están separadas en forma simétrica respecto a la frecuencia central f0. 2. Frecuencia de resonancia: Frecuencia a la cual la impedancia o admitancia del circuito resonante se convierte en una componente real. 3. Ancho de banda B: Rango de frecuencias alrededor de la frecuencia de resonancia dentro de la cual el circuito se mantiene en resonancia. (2.1) La amplitud de la señal de salida permace dentro de un margen de -3 dB respecto a la potencia en resonancia 4. Banda de paso : Se refiere a la banda de frecuencias determinada por el ancho de banda del circuito resonante. 5. Banda de atenuación BA: Banda de s frecuencias que se encuentran fuera de la banda de paso. Típicamente -60 dB respecto a la potencia en resonancia. 6. Pérdidas de inserción: Son las pérdidas de potencia causadas por los elementos resistivos que se incorporan al circuito resonante. Generalmente esta medida es expresada en dB. 7. Ripple o Rizado: Es la medida de que tan plano es la banda de paso. Por tanto determina la altura de las variabilidades de la banda de paso. 8. Pérdidas de inserción: Son las pérdidas en dB causadas por el circuito resonante típicamente en la banda de paso. 9. Atenuación última: Es la atenuación final mínima que presenta el circuito resonante en la banda de atenuación. Un circuito resonante ideal posee atenuación infinita fuera de la 24


banda de paso. Sin embargo de las imperfecciones de los componentes la atenuación infinita es imposible obtenerla. 10. Selectividad S: Propiedad del circuito resonante para presentar mínima atenuación a las señales dentro de las frecuencias de paso. 11. Factor de Calidad Q: Es la relación entre la frecuencia central del circuito resonante y su ancho de banda:

A una selectividad alta corresponde un Ancho de banda angosto y en consecuencia se tendrá un Q alto. Así mismo, para una selectividad baja se dispone de un ancho de banda grande, generando un Q bajo. 12. Factor Forma SF: El factor forma de un circuito resonante es definido típicamente por la relación del ancho de banda de los -60 dB al ancho de banda del circuito resonante de 3dB. En otras palabras, se refiere a la relación entre la banda de paso sobre la banda de atenuación.

El factor forma es 1 para un filtro ideal y será mayor que 1 en los filtros pasabanda reales puesto que siempre se tiene que . 13. Que son los decibelios ? Decibelios (en forma relativa): En un circuito con entrada y salida se refiere a la relación de potencias entrada-salida (Ganancia = GdB ) ó salida-entrada (Atenuación = AdB ) dada en logaritmos de base 10 y multiplicada por 10 como se indica en las ecuaciones (2.4 y (2.5). (2.4) (2.5) 

Decibelios (en forma absoluta): Es una forma alterna para la medición de potencias también en logaritmos teniendo como referencia una potencia específica: Pr. (2.6) De acuerdo a la potencia de referencia se definen las siguientes potencias en dB:

25


a. Los dBm: La potencia de referencia es 1 mW: (2.7) b. Los dBW: La potencia de referencia es 1 Watt.: (2.8) c. Los dBK: La potencia de referencia es 1 KWatt.: (2.9)

2.2 Resonancia Serie.

Fig. 2.3 Circuito resonante Serie. Llamando: R=RL+RS: (2.10)

| |

| |

√

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Lugar geométrico en el plano Z de la impedancia RLC serie. 26


En resonancia: f =f0 Valor mínimo de Z

(2.14) (2.15) (2.16)

√

En ese punto: (2.17) Lugar geométrico en el plano y de la admitancia del circuito RLC. En las frecuencias de corte:

| |

√

√

(2.18)

La potencia disipada en R es la mitad de la potencia en la frecuencia de Resonancia. Luego son puntos de mitad de potencia. Factor de Calidad (2.19)

Para el circuito RLC serie: (2.20)

(2.21) Pero (2.22) (2.23)

27


*

+

*

(

)+

(2.24)

En resonancia:

Fig.2.4 Efecto de RL y RS sobre el Q con carga.

2.3 Resonancia paralelo. Ver Fig. 2.4

Fig. 2.4 Circuito Resonante paralelo Considerando: En la resonancia paralela: El fasor V está en fase con el fasor I. Y el Qt puede calcularse como: (2.25) (2.26) (2.27) 28


En resonancia los fasores I y V están en fase, por tanto el término suceptancia debe ser cero. Luego: (2.28) Y la frecuencia de resonancia es la misma del circuito resonante serie: √

(2.29) (2.30) (2.31)

Y el Ancho de banda se puede calcular como: (2.32) También en resonancia la corriente en el capacitor se relaciona con la corriente total: (2.33) Gráficas de Z(jω) (vs) f

Fig. 2.5 El Q y el Ancho de banda

29


2.4 Transformación de impedancias 2.4.1 Resonancia Paralelo con resistencia de carga serie : Resistencia en la rama inductiva:

Fig.2.6 Resonancia Paralelo con resistencia de carga serie R= Resistencia de la bobina + Resistencia de la carga Admitancia de entrada:

*

+

(2.34)

En resonancia la suceptancia es igual a cero, por tanto la frecuencia de resonancia será:

√

(2.35)

La impedancia en resonancia será: (2.36) El

del circuito en resonancia: (2.37)

Luego: (2.38) La relación: 30


(2.39) Esta ecuación muestra la propiedad de la transformación de impedancias del circuito.

Ejemplo 2.1: Diseñar la siguiente red de acople que transforma una carga de entrada de 50Ω a una carga de salida de 1000 Ω a la frecuencia de trabajo de 100 MHz.

Fig. 2.7 Ejemplo 2.1 Solución: Empleando la ecuación (2.39): (2.40) Luego: (2.41) Empleando las ecuaciones (2.36) y (2.37): (2.42) (2.43) No obstante este circuito transmite el nivel DC a la carga.

31


2.4.2 Resistencia en la rama capacitiva:

Fig.2.8 Resistencia en la rama capacitiva

Si la resistencia de la bobina es pequeña frente a R, las ecuaciones son las mismas del caso anterior. En este caso no hay transmisión del nivel DC.

2.5 Circuitos de acople con tres elementos. Ver Fig. 2.9

Fig. 2.9 Red de acople con tres elementos Datos de entrada RL, R2, fo, B. El circuito equivalente se muestra en la Fig. 2.10.

Fig. 2.10 Circuito equivalente al de la Fig. 2.9 Teniendo en cuenta que el Qt es: 32


(2.44) El procedimiento de cálculo es el siguiente: 1. Cálculo de C: (2.45) 2. Cálculo de L: =

(2.46)

3. Transformador equivalente:

Fig. 2.11 Transformador equivalente

√

(2.47)

4. Cálculo de Qp (circuito paralelo):



Si

:

5. Cálculo de

6. Cálculo de

33




Si 5. Recálculo del

: √

6. Cálculo de

7. Cálculo de

8. Cálculo de 9. En el caso de existir inductancia mutua entre

y L (Fig. 2.9), L cambia por

Donde M es la inductancia mutua. No obstante, dependiendo de K el coeficiente de acoplamiento así:  

Si (transformador ideal) son válidas las ecuaciones anteriores. Si requiere un análisis especial y por tanto no son válidas las ecuaciones anteriores.

Estos casos se solucionan fácilmente empleando la carta de Smith (Cap. 3). 2.6 Ejercicios propuestos 2.6.1 Para el circuito de la Fig. 2. los valores para L, C, Qt y B.

Con Rt=100RL=2K. Suponer QL infinito. Encontrar

Fig. 2.12 Problema propuesto 2.6.1 34


2.6.2 Un amplificador con una salida de 3 K se va a acoplar a una antena de 300 l sistema está operando en una frecuencia de 5 MHz y se va a usar una red de acople tipo “pi”. Diseñar la red “pi”.

2.6.3 Diseñe la red de acople indicada en la fig. 2.13, en la frecuencia de operación de 90 MHz. Emplear una red de 2 elementos pasa alto.

Fig. 2.13 Ejercucio 2.6.3 2.6.4 Para la siguiente red de acoplamiento (Fig. 2.14):

Fig. 2.14 Ejercicio 2.6.4 Si a) Hallar b) Si





, hallar



en magnitud.

35


36


Capítulo 3 Filtros en RF

37


38


FILTROS EN RF Filtrado en RF: circuito que modifica la magnitud y la fase de las componentes de las frecuencias de la señal de RF que pasa a través de ellos. Un filtro de convolución se caracteriza por su repuesta al impulso h(t) y su función de * ( )+ transferencia (con transformada de Laplace) se puede calcular como: ( ) La respuesta en frecuencia (con transformada de Fourier) es: ( )

( )

* ( )+

( )

(3.1)

La amplitud y la fase de la señal de salida dependen de la respuesta en frecuencia del sistema. • Los filtros se diseñan para atenuar o amplificar un conjunto de frecuencia de una señal de entrada. • La magnitud de la respuesta en frecuencia es una función par, mientras su fase es una función impar. 3.1. Tipos General de Filtros ideales Los filtros se clasifican normalmente en función de cómo se modifica el espectro de frecuencias. Se consideran cuatro tipos de filtros: 

Filtro pasa bajos: Fig. 3.1

Fig. 3.1 Filtro pasabajos ideal



Filtro pasa alto: Fig. 3.2 39


Fig. 3.2 Filtro pasa alto ideal 

Filtro pasa banda: Fig. 3.3

Fig. 3.3 Filtro pasa banda ideal 

Filtro rechaza banda: Fig. 3.4

Fig. 3.4 Filtro rechaza banda ideal.

3.2 Respuesta en Filtros reales Los filtros en el mundo real no tienen las características ideales mostradas anteriormente. Las transiciones verticales en los bordes de las bandas de paso del filtro, prácticamente no se pueden construir. En consecuencia los cambios abruptos en los cambios de frecuencia se realizan ahora en forma suave generando zonas de transición que ocupan un determinado ancho en frecuencia. Las diferentes configuraciones del circuito causa una banda de paso donde se presentan variaciones en la atenuación. En la práctica un filtro pasa bajos real puede ser obtenido por la respuesta al impulso dada por la ecuación (3.2). ( )

( )

(3.2) 40


Por tanto el filtro ideal corresponde a un sistema inestable y no causal (físicamente no realizable). En la práctica se flexibilizan las exigencias sobre el filtro: – Se inserta una banda de transición – No se exige respuesta de magnitud 1 en la banda de paso – No se exige atenuación absoluta en la banda de rechazo.

Las condiciones anteriores se expresan en la Fig. 3.5 donde se representa un filtro pasa bajos real.

Fig. 3.5 Filtro Pasa bajos real ( ) ( )

Banda de paso Banda de rechazo

41


Banda de transición: Todos los filtros requieren una zona de transición cuando se presenta l cambio de banda, como se muestra en la Fig. 3.5. La existencia de una banda de transición da lugar a la definición de un factor de forma del filtro. El factor de forma del filtro se define como la relación entre el ancho de banda de banda de rechazo definido por la atenuación del filtro requerida dividida por el ancho de banda de la banda de paso. La banda de paso se extiende desde una frecuencia corte inferior hasta la frecuencia de corte superior. El factor de forma del filtro LPF y BPF, es mayor que 1 ya que el ancho de banda de banda de rechazo es siempre mayor que el ancho de banda de paso de banda. En general, los factores de forma superior a 3,3 son simples filtros RC; en filtros activos RLC se puede emplear factores de forma de 1,5 a 3 y en filtros más exóticos como filtros de cristal o filtros SAW se puede utilizar un factor forma menor de 1,5.

El circuito de la Fig. 3.6 puede ser estudiado analizado los efectos del factor Q con carga en la respuesta en frecuencia para el filtro de 2 polos (Fig. 3.7).

Fig.3.6 Filtro pasa bajo típico de 2 polos

Fig. 3.7 Curvas de respuesta típica de un filtro de 2 polos

42


La frecuencia de resonancia de este circuito puede ser determinada por la ecuación (3.3) √

(3.3)

El factor de calidad de la rama serie es: (3.4) El factor de calidad de la rama paralelo es: (3.5) El Q total es: (3.6) El número de picos de la banda pasante está relacionado con el número de elementos (N), como lo indica la ecuación (3.7) (3.7) Para un filtro pasabajos de 3 elementos como se indica en la Fig. 3.8, tiene una curva de respuesta con 2 picos, como se indica en la Fig. 3.9.

Fig. 3.8 Filtro pasa bajo de 3 elementos

Fig. 3.9 Respuesta de un filtro pasa bajo de 3 elementos Las curvas de respuestas típicas para algunos valores de Q con carga son mostrados en la Fig. 3.10.

43


Fig. 3.10 Respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo de 3 elementos

3.3 Diseño de Filtros modernos. Se utiliza un filtro prototipo pasa bajo normalizado, el cual puede ser transformado al tipo de respuesta deseada (pasa banda, pasa alto, elimina banda). El primer paso consiste en la normalización a un filtro pasa bajo prototipo mostrado en la Fig. 3.11

Fig. 3.11 Respuesta del filtro pasa bajo normalizado Los cambios de impedancia, frecuencia de corte del filtro normalizado a los valores deseados se conoce como el proceso de escalamiento.

44


3.3.1 Filtro Butterworth La respuesta de un Butterworth se caracteriza por una respuesta plana en la banda pasante y no contiene rizados o ripple como se muestra en la Fig. 3.12.

Fig. 3.12 Respuesta de un filtro Butterworth La atenuación de un filtro Butterworth está dada por la ecuación (3.8) [ Donde:

(

) ]

(3.8)

frecuencia en la cual la atenuación es la deseada. c = frecuencia de corte del filtro (3dB )

n = número de elementos del filtro. La Fig. 3.13 muestra la relación entre la atenuación generada por el filtro de orden n y cualquier frecuencia.

45


Fig. 3.13 Características de Atenuación para filtros Butterworth La Tabla 3.1 determina los valores de un filtro Butterworth de un prototipo “Ladder” con resistencias de fuente y de carga de 1 ohmio. Ejemplo 3.1 Cuantos elementos son requeridos para diseñar un filtro Butterworth con una frecuencia de corte de 50 MHz, si el filtro debe generar una atenuación de al menos 48 dB en 200 MHz? Solución: El primer paso es encontrar la relación de Luego a 4 veces la frecuencia de corte, la respuesta debe decaer en 48 dB. Según la Fig. 3.13 se requieren 4 elementos. El circuito correspondiente se muestra en la Fig. 3.14

Fig. 3.14 Ejemplo 3.1 La Tabla 3.1 muestra los valores de los elementos del prototipo pasa bajo Butterworth cuando Rs =RL.

46


Tabla 3.1 Valores de los elementos del prototipo pasa bajo Butterworth

Ocasionalmente, se requiere diseñar un filtro que opere con terminaciones desiguales como se indica en la Fig. 3.15. En este caso el circuito se normaliza para una resistencia de carga de 1 ohmio y por tanto la resistencia de la fuente y de la carga se dividen por 10, como se indica en la Fig. 3.16.

Fig. 3.15 Filtro con terminaciones desiguales. 47


Fig. 3.16 Filtro con terminaciones desiguales normalizadas Tabla 3.2 Valores de los elementos del Butterworth pasa bajo para una relación Rs/RL

48


3.3.2. Filtro Chebyshev El filtro Chebyshev es un filtro con un Q más alto que el Butterworth con una banda de transición más abrupta, no obstante presenta un rizado en la banda pasante. La Fig. 3.17 muestra una comparación de los filtros anotados para n = 3 elementos.

Fig. 3.17 Comparación de las curvas de respuesta del Chebyshev y el Butterworth Los polinomios de Chebyshev según el orden n son mostrados en la tabla 3.3 Tabla 3.3 Polinomios de Chebyshev según el orden n

3.4 Proceso de diseño de filtros

Un filtro puede ser diseñado o seleccionado de un grupo de "definición clásica de" filtros o arbitrariamente sobre la base de la curva de respuesta de energía espectral deseada. Filtros de la definición clásica

Para el diseño clásico los filtros de paso bajo, paso alto, paso banda o banda de detención se utilizan procedimientos explícitos de diseño clásico que han sido desarrollados para una serie 49


de filtros como por ejemplo: Butterworth, Chebyshev, etc. Adicionalmente, las herramientas CAE están disponibles en línea o utilizando MATLAB, donde se proporciona la estimación del orden del filtro y el trazado espectral. Filtros arbitrarios: La respuesta espectral arbitraria requiere los siguientes pasos:

(1) Definir una curva suave y continua para todo el espectro de potencia deseado de un filtro. Tratar de usar segmentos de línea recta a partir de una frecuencia a otra, por tanto es necesario asegurar la determinación de las bandas de transición. (2) Estimar el número y ubicación de los polos y ceros sobre los puntos de ruptura y la pendiente de las bandas de las transiciones. (3) Utilizar el polo y el cero estimados en la ecuación para ver si las curvas resultantes son lo suficientemente cerca. (4) Iterar sobre las estimaciones hasta que ajuste la curva. 3.5 Ejercicios Propuestos 3.5.1 Dados una bobina con una inductancia de 10 mH, una resistencia de 2 , un capacitor de 0,005 F y una fuente de voltaje de 1º volts conectados como un circuito resonante serie, calcular: a) La frecuencia de resonancia: fo. b) La corriente Io del circuito. c) El factor de calidad Q. d) El voltaje sobre la resistencia VR. 3.5.2 Una inductancia de 100 H que incluye una resistencia de 8 , está conectada en paralelo con un capacitor de 680 pF. La fuente de voltaje es de 10 volts. Calcular: a) La frecuencia de resonancia: fo. b) La impedancia de salida Zo. c) La corriente que alimenta el tanque IT. d) La corriente en la rama capacitiva IC. e) La corriente en la rama inductiva IL. 3.5.3 Una red en configuración L, se usa para acoplar impedancias. La frecuencia de operación es 1.2 MHz y la carga es de 100 ohmios. La inductancia de la bobina es de 150 H con un Q de 200. Calcular: a) El QT que opera en el circuito. b) La Resistencia de entrada c) La Capacitancia.

50


Capítulo IV: La Carta de Smith en el diseño de las Redes de Acople

51


52


4. LA CARTA DE SMITH La Carta de Smith fue concebida en los años 1930 por Phillip Smith en los laboratorios BELL, quien quiso realizar un método más fácil para resolver las ecuaciones tediosas y repetitivas que frecuentemente aparecen en la teoría de R.F. 4.1 Construcción de la Carta de Smith. Considerando el circuito de la Fig. 3.1 donde se representa una fuente de RF con una impedancia ZS que se conecta a una carga ZL . En el punto de conexión se puede establecer una onda incidente VI hacia la carga y una onda reflejada VR hacia la fuente. El coeficiente de reflexión de una impedancia de carga respecto a la impedancia de la fuente puede ser encontrada por la ecuación 4.1:

(4.1) Fig. 4.1 Ondas incidente y reflejada

En la formula normalizada (dividiendo numerador y denominador por ZL):

(4.2) Donde

No obstante,

Substituyendo

es una impedancia compleja, luego

es un complejo de la forma:

en (4.2): 53


(4.3) Resolviendo las partes reales e imaginaria, se obtiene:

(4.4)

(4.5) Resolviendo (4.4) para X: √ (4.6) Substituyendo (4.6) en (4.5) se obtiene: (

)

(

) (4.7)

Esta ecuación corresponde a una familia de circuitos cuyos centros están en:

(4.8) A estos circuitos se les denomina CÍRCULOS DE RESISTENCIA CONSTANTE. (ver Fig. 4.2).

54


Fig. 4.2 Círculos de resistencia constante

Similarmente, podemos eliminar R de los pasos 4 y 5, y se obtiene: (

)

( ) (4.9)

El cual representa una familia de circuitos con centro en:

(4.10) A estos circuitos se les denomina CÍRCULOS DE REACTANCIA CONSTANTE. (Ver fig. 4.3).

55


Fig. 4.3 Círculos de reactancia constante

Cuando las dos cartas anteriores se incorporan en una versión simple, nace la carta de Smith. Añadiendo otras escalas periféricas que ayudan al diseño de circuitos en R.F. tales como, la relación de onda estacionaria (SWR), el coeficiente de reflexión y las pérdidas de transmisión a lo largo de la línea de transmisión, y de esta forma se completa la carta de Smith. Ver fig. 4.4.

56


Fig. 4.4 Carta de Smith completa

57


4.2 Gráfico de valores de Impedancia Cualquier punto en la carta de Smith representa una combinación serie de resistencia y reactancia de la forma . Para graficar la impedancia , se debe encontrar en los círculos de resistencia constante y su intersección en los círculos de reactancia constante , tal como se indica en la Fig. 4.5.

Fig. 4.5 Gráfico de impedancias:

58


En muchos casos los círculos no están representados para todos los valores posibles de R y de X. Es necesario interpolar las curvas tal como se indica en la Fig. 4.6 donde se representan diversos valores de impedancias con valores decimales.

Fig.4.6 Gráfico de algunas impedancias sobre la Carta de SMITH. No obstante, como se aprecia en las figuras mostradas graficar valores altos no es posible. Si se quiere graficar la impedancia Z = 100 + j 150 no es posible hacerlo con precisión puesto que los círculos respectivos se encuentran en los extremos. A fin de facilitar el gráfico de grandes impedancias, se requiere el proceso de la normalización: que consiste en dividir cada impedancia por un número conveniente el cual permite su ubicación en la región medible de la carta. En el caso: Z = 100 + j 150 ohmios, se divide por 100 para obtener una impedancia normalizada: . 59


4.3 Manipulación De Impedancias Sobre La Carta 4.3.1 Impedancia En Serie Si a Z = 0.5 + j 0.7  le añadimos en serie – j 1.0  (reactancia capacitiva). ZT = 0.5 + j 0.7 - j 1.0 ZT = 0.5 – j 0.3 ohm.

(Representa un circuito serie RC)

Ver esta transformación en la Fig. 4.7.

Fig. 4.7 Impedancia inductiva con adición de un condensador en serie

60


Si a Z = 0.8 - j 1  le añadimos en serie + j 1.8  (reactancia inductiva). ZT = 0.8 - j 1.0 + j 0.8 ZT = 0.5 + j 0.8 ohm.

(Representa un circuito serie RL)

Ver esta transformación en la Fig. 4.8.

Fig. 4.8 Adición en serie de un inductor a una impedancia capacitiva.

4.3.2 Conversión De Impedancia a Admitancia: La carta de Smith permite una conversión fácil entre la impedancia (Z) y su admitancia (Y): 61


(4.11) Donde: G es la conductancia en mhos y B es la Suceptancia en mhos. Se representan en la Fig. 4.9

Fig. 4.9 Circuitos representativos de admitancia Note que la suceptancia capacitiva es positiva y la suceptancia inductiva es negativa. Para representar de admitancias, basta rotar la carta de Smith 180o para permitir el manejo de admitancias, en forma similar que las impedancias. Una versión de la carta de Smith muy útil es aquella que contiene la superposición de las coordenadas de impedancia con las coordenadas de admitancia, como se indica en la Fig. 4.10. 4.3.3 Manipulación de admitancias sobre la carta Cuando los elementos se encuentran en paralelo sus admitancias se suman. Ejemplo: a la admitancia Y1 = 0.2 – j 0.5 mho Se le añade en paralelo un capacitor con suceptancia = + j 0.8 mho Matemáticamente: Y2 = 0.2 – j 0.5 + j 0.8 Y2 = 0.2 + j 0.3 mho. En este caso, se trabaja con la carta rotada 180o y se emplea un procedimiento igual al que se utilizó para manipulación de impedancia. Ver Fig. 4.10. Con la carta de Smith compuesta se puede manipular impedancias y admitancias: las impedancias viajan a lo largo de las coordenadas de impedancias, mientras que las admitancias viajan a lo largo de las coordenadas de admitancias. 62


Fig. 4.10 Cartas de Impedancia y Admitancia superpuestas

Fig.4.11 Adición de un capacitor en paralelo. 63


4.3.4 Acoplamiento De Impedancias Sobre La Carta De Smith Para hacer más fácil el uso de la carta de Smith, las siguientes ecuaciones pueden ser usadas: 

Para un componente Capacitivo serie: (4.12)



Para un componente Inductivo serie: (4.13)



Para un componente Capacitivo paralelo: (4.14)



Para un componente Inductivo paralelo: (4.15)

Donde:

ω X = Reactancia leída de la carta. B = Suceptancia leída de la carta. N = Factor de normalización.

Ejemplo 4.1: Cual es la impedancia vista desde la fuente en el circuito de la Fig. 4.12:

Fig.4.12 Ejemplo 4.1

Solución: Este problema es de fácil solución con la carta de Smith. Primero se separan las ramas del circuito en forma individual tal como se muestra en la Fig. 4.13.

64


Fig.4.13 Separación de en ramas individuales del ejemplo 4.1

Ver solución en forma gráfica en la Fig. 4.14. Aquí se puede establecer: Arco AB = L paralelo =-jB = 0.3 mho Arco BC = C serie =-jX = 1.4 ohm Arco CD = C serie = jB = 1.1 mho Arco DE = L paralelo =-jX = 0.9 ohm La impedancia en el punto E puede ser leída directamente de la carta como Z= 0.2 + j0.5 ohm.

Fig. 4.14 La carta de Smith en la solución del Ejemplo 4.1 65


Ejemplo 4.2: Diseñar un circuito de acoplamiento de dos elementos, sobre una carta de Smith para acoplar una fuente de 25 – j 15  a una carga de 100 – j25  en 60 MHz. El circuito de acople debe actuar como un filtro Pasa Bajo. Solución: La fuente se acopla con su conjugado complejo: -

= 25 + j 15

Normalización: Se escoge un numero conveniente que en este caso es: N = 50 y se dividen las impedancias por este numero: ZSN = 0.5 +j 0.3  ;

= 2 – j 0.5 

Estos 2 valores son fácilmente graficados en la carda de Smith: (normalizado), Fig. 4.15.

(normalizado) y

Fig. 4.15 Ejemplo 4.2 66


El cruce de los círculos, admitancia e impedancia genera el punto B. El arco AB es un condensador paralelo con valor jB = 0.73 mho y el arco BC es un inductor serie (filtro Pasa- Bajos) con valor + jX = 1.2 . Por tanto:  =1.2 

Desnormalizando: (multiplicando por 50): XL = 60 

;

Xc = 68.5 

Calculando valores:

El circuito final es mostrado en la Fig. 4.16.

Fig. 4.16 Circuito final del Ejemplo 4.2

Ejemplo 4.3: Diseñar un circuito “T” que acople una impedancia de fuente de Z s = 15 + j 15 a una carga de ZL = 225  en 30 MHz y Q = 5. Solución: Previamente se requiere el gráfico del arco para Q = 5 sobre la carta del Smith. 67


1er paso: normalización (escogemos N = 75): Z*s = 0.2 - j 0.2  ZL = 3  En este caso RL  RS A partir de c se intercepta la curva que para por c con la curva de Q = 5 y se obtiene el punto  se toma la curva de las admitancias hasta encontrar la intersección entre esta curva y la curva de impedancias que pasa por A y así se obtiene el punto B. Ver Fig. 4.17.

Fig. 4.17 Ejemplo 4.3 68


Luego se deduce: - Elemento 1 = arco AB : LS = + j 2.5  - Elemento 2 = arco B : CN = j 1.15 mho - Elemento 3 = arco C : LS = j 0.8  Por tanto: Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3:

El circuito final se muestra en la Fig. 4.18

Fig. 4.18 4.4 Problemas propuestos: 4.4.1 Se requiere una red de acople tal como se muestra en la Fig. 4.19

Fig. 4.19 Problema 4.1 Si y sin tener encuenta la resistencia interna de la bobina, determine el valor de empleando la Carta de Smith.

4.4.2 Emplear la carta de Smith para diseñar la red de acoplamiento de la Fig. 4.20 si

69


Fig. 4.20 Problema 4.2 a. Hallar L, C b. Si la corriente de entrada es

, hallar la corriente

en magnitud.

4.4.3 Se desea acoplar una carga de en la frecuencia de 90 MHz a un cable coaxial de impedancia característica de 50 ohmios. Diseñe la red de acople para máxima transferencia de potencia, empleando la carta de SMITH y especificando el circuito de acople con sus valores correspondientes.

70


Capítulo V: Amplificadores de RF pequeña señal

71


72


AMPLIFICADORES RF DE PEQUEÑA SEÑAL

5.1 Definición 1. Las amplitudes de la señal de entrada son lo suficientemente pequeñas como para que los dispositivos activos puedan modelarse por parámetros de cuadripolo ó por circuitos equivalentes lineales como el circuito “híbrido pi” 2. El voltaje de salida es linealmente proporcional al voltaje de entrada.

5.2 Amplificador RF sintonizado: Ver Fig. 5.1

Fig. 5.1 Amplificador RF sintonizado Se supone: a. CE y CC carecen de reactancia b. Las capacidades internas del transistor son despreciables c. Vi es lo suficientemente pequeño como para que el transistor opere en la región lineal. Ganancia de voltaje:

Av 

vo   g m Rt vi

(5.1)

gm = Transconductancia de Señal débil (en operación lineal) 73


Rt = Impedancia en resonancia del circuito de colector en sintonía Corriente de colector: (5.2) IES = Corriente de saturación del emisor (5.3) Llamando:

x

Viq Vi (mVolts )  RT 26 Temperatura ambiente

   ic   I E  Io( x)  2 In( x) Cos nt  n 1  

(5.4)

(5.5)

IE = Corriente de emisor en reposo In(x) = Función de Bessel modificada en 1ª clase

Ic  I E Io(x) = Componente c.c. de ic (constante)    In( x) ic  Ic 1  2 Cos nt  n 1 Io( x)  

(5.6)

Graficando las componentes fundamental y 2ª armónica de ic contra la amplitud de la señal, como se muestra en la Fig. 5.2, se aprecia la no linealidad de estas componentes de corriente, lo cual generará en la salida componentes armónicas. 

Con transistores FET y MOSFET de agotamiento:

 v  i D  I DSS 1  GS   Vp 

2

(5.7)

IDSS = corriente de salida para VGS = 0 y VDS = Vp Vp = Tensión de corte

74


Fig.5.2 Fundamental y 2da. Armónica vs. Amplitud de la Señal 

Con transistores MOSFET de enriquecimiento:  v  i D  I D 0 1  GS   VT 

2

(5.8)

VT= Voltaje de encendido ID0 = Valor saturado de corriente para VDS = VGS - VT 5.3 Modelos para el dispositivo activo Modelos populares (para operación lineal) 1.

Circuitos equivalentes a. Modelo híbrido pi del transistor (útil hasta fT/5), ver Fig. 5.3

gm 

q Ic 1   40 Ic kT re

hie  rx  r  r rbb'  rb'

r 

0 gm

(5.9)

(5.10)

  0 re   0  hfe a baja frecuencia (5.11) |

|

(5.12)

75


Fig. 5.3 Modelo híbrido pi del transistor (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) b. Circuito equivalente para FET. Ver Fig. 5.4

Fig. 5.4 Circuito equivalente para un FET

76


Estos circuitos carecen de utilidad para el análisis de estabilidad y por esta razón es necesario estudiar los parámetros Y. 5.4 Parámetros Y. Son usados para caracterizar el comportamiento de un transistor en ciertas frecuencias y puntos de polarización. La Fig. 5.5 muestra los montajes que se

A Emisor Común

B. Base Común

C. Colector Común

Fig. 5.5 Montajes para un transistor BJT. Una configuración de “caja negra” es usada para crear la caracterización de los “parámetros Y”. Fig. 5.6

Fig. 5.6 Cuadripolo generalizado Los parámetros Y o de corto circuito para la configuración de 2 puertos son: yi 

I1 V1 V 0 2

yr 

I1 V2

yf  V1  0

I2 V1

yo  V2  0

I2 V2

(5.19) V1  0

Donde: Yi = Admitancia de entrada de corto circuito Yr = Admitancia de transferencia inversa de corto circuito Yf = Admitancia de transferencia directa de corto circuito Yo = Admitancia de salida de corto circuito

77


Matemáticamente, las ecuaciones que caracterizan el cuadripolo generalizado se muestran en las ecuaciones (5.20) y (5.21). (5.20) (5.21) 5.5 Cuadripolo Generalizado

Fig. 5.7 Parámetros de Admitancia Se emplean los parámetros de admitancia del cuadripolo en C.C. 

Para operación lineal con señal débil el dispositivo activo se puede caracterizar por un cuadripolo con las siguientes ecuaciones: Parámetros de admitancia

; Donde: ;

: Admitancia de fuente y de carga

De estas ecuaciones se derivan: a.

Ganancia de Voltaje:

Av 

b.

 Yf V2  V1 Yo  YL

Si YL , A v 

Ganancia de Corriente:

AI 

 Y f YL I2  I 1 y  YI YL

y  determinan te de y y  YiYo  YfYr

c.

(5.22)

(5.23)

Admitancia de entrada:

78


Y1  d.

Y f Yr I1  Yi  V1 Yo  YL

(5.24)

Transferencia de Voltaje inversa:

V1 Yr  V2 Yi  YS e.

(5.25)

Admitancia de salida:

Y2 

Y f Yr I2  Yo  V2 Yi  YS

(5.26)

5.6 Estabilidad del Amplificador El amplificador es inestable si parte de la energía de salida se retroalimenta al puerto de entrada con la fase adecuada. 

El acoplamiento se efectúa a través de la capacitancia de retroalimentación c y la posibilidad de oscilar es mayor en RF



El objeto del diseño en RF es alcanzar máxima ganancia en potencia xib un grado de estabilidad predecible

a. Factor C de estabilidad: Estabilidad de Linvill Es la medida de estabilidad bajo condiciones hipotéticas del peor caso, es decir con ambos puertos en circuito abierto. El factor C de Linvill está dado por: C

=parte real de

  

;

parte real de

YfYr

2 g i g o  ReYfYr 

(5.27)

, Re (...) denota la parte real de (…)

Si C=1 El dispositivo es CRITICAMANTE ESTABLE Si C<1 El dispositivo es ESTABLE INCONDICIONALMENTE Si C>1 El dispositivo es POTENCIALMENTE ESTABLE

79


Muchos transistores son potencialmente inestables en algún rango de frecuencias a causa de las capacidades internas de retroalimentación b. Factor K de estabilidad (STERN) La adición de impedancias de carga y de fuente finitas al dispositivo y tienden a mejorar la estabilidad del amplificador. El criterio de STERN tiene en cuenta las admitancias de fuente y de carga junto con los parámetros del circuito.

K

Gs= parte real de Ys;  

2g i  Gsg o  G L  YfYr  ReYfYr 

(5.28)

GL= parte real de YL

Si K>1: Circuito ESTABLE Si K<1: Circuito POTENCIALMENTE INESTABLE

5.7 Modos de lograr la estabilidad Conectando una red externa alrededor de la red activa, Fig. 5.8:

Fig. 5.8 Dispositivo activo con realimentación Los criterios de Linvill y de Stern pueden aplicarse aunque los parámetros a utilizar son los parámetros compuestos de los dos circuitos en paralelo.

80


Agregando: - Un subíndice “t” a los parámetros del dispositivo -

Un subíndice “f” a los parámetros de la red de realimentación (feedback).

Los parámetros compuestos

pueden escribirse:

Yic  Yit  Yif Yfc  Yft  Yff

Yoc  Yot  Yof Yrc  Yrt  Yrf

Cuando la red de realimentación se reduce a una sola admitancia parámetros y se indican en las ecuaciones (5.30) y (5.31).

(5.29) (Fig. 5.9), sus

Fig. 5.8 Circuito de realimentación simple (5.30) (5.31) Los parámetros de esta red son: Al escoger esta red, el amplificador es incondicionalmente estable. 

Si

es un condensador Yx  jCx

:

Yif

 Yof  jCx; Yff  Yrf   jCx

El factor de estabilidad de Linvill para esta red: C

YfcYrc

2 g ic g oc  ReYfcYrc 

(5.32)

con C>1: red potencialmente inestable C<1: red estable incondicionalmente 

El factor K de estabilidad 81


K

2g ic  Gsg oc  GL  Yfc  Yrc   ReYfcYrc 

(5.33)

con K<1: red potencialmente inestable K>1: red estable 5.8 Maneras de asegurar estabilidad La inestabilidad del amplificador se origina por lo general en la trayectoria de retroalimentación del dispositivo ó por Yrc de la red compuesta. 1. Unilateralización. La red de retroalimentación se escoge de tal forma que: Yrf = -Yrt

entonces Yrc = 0 (no hay transmisión interna)

Cuando se cumple esta condición se dice que el amplificador está unilateralizado

2. Neutralización. En la mayoría de los BJT y FET la admitancia de transferencia inversa es compleja (5.34) por lo general es despreciable frente a

en RF si la red externa tiene: (5.35)

Entonces se cancela la retroalimentación a través de (5.36) Es suficientemente pequeña como para asegurar una operación estable. Entonces se dice que el amplificador está neutralizado.

3. Diagrama de amplificadores neutralizados. Mediante una combinación serie, se puede sintonizar y producir una suceptancia negativa de colector, de tal forma que sea positiva.

82


Fig. 5.9 Unilateralización El capacitor de neutralización se conecta al punto b. que tiene fase opuesta al punto a, respecto al contacto central c de la derivación a masa para RF.

Fig. 5.10 Neutralización 4.

Estabilización por desacople

Por reducción de la ganancia se puede evitar el uso de circuitos neutralizadores. Si GL y GS son lo suficientemente grandes para que el factor de STERN sea mayor 1 (K entre 1 y 4). 5.9 Ganancia de potencia en amplificadores La potencia de un amplificador estable se puede definir de varias maneras dependiendo de los acoplamientos de impedancias en los puertos de entrada y salida.

83


Fig. 5.11 Ganancia en Amplificadores RF 1. Ganancia en potencia de operación: GP Es la ganancia desde la entrada del dispositivo a la admitancia de carga Y L 2

V2 G L Po Pot. entregada a la carga Gp    Pi Pot. en el puerto de entrada V1 2 G1

(5.37)

en términos de los parámetros de la red (Yt ó Yc) 2

Gp 

 YfYr   G1  ReY1   Re Yi   Yo  YL  YL  Yo G1  Yf GL 2

(5.38)

2. Ganancia disponible: GA Supone acoplamiento de impedancias en los puertos de entrada y salida.

Ys  Y1 GA 

YL  Y2

*

*

Pao Pot. disponible en el puerto de salida  Pas Pot. en el puerto de entrada

(5.39)

En términos de los parámetros de la red: 2

GA 



Yf Gs

Re YiYo  YfYr  YoYs (Yi  Ys ) *



(5.40)

3. Ganancia de transconductor : GT Acoplamiento en el puerto de entrada

GT 

Po Pot. entregada a la carga  Pas Pot. disponible de la fuente

(5.41)

84


En términos de parámetros de la red:

GT 

4GsGL Yf

2

Yi  Ys Yo  YL   YfYr 2

(5.42)

4. Máxima ganancia disponible = MAG Es la ganancia en potencia teórica de un dispositivo con su admitancia de transferencia inversa Yr=0 y las admitancias de fuente y carga acopladas conjugadamente a Yi y Yo  Yr  0   Yi  Y * 1 

;

Yo  Y2

*

2

Yf MAG  4 gi g o

(5.43)

representa el limite superior teórico para la ganancia

5.10 Diseño de un amplificador a pequeña señal con acoplamiento conjugado simultáneo (transistores incondicionalmente estables). La ganancia de potencia óptima es obtenida de un transistor cuando Yi y Yo son acoplados con el conjugado de Ys y YL Respectivamente. Para su máxima transferencia de potencia de la fuente y de la carga se pueden emplear las siguientes ecuaciones de diseño. Gs = conductancia de la fuente Bs = suceptancia de la fuente GL = conductancia de la carga BL = suceptancia de la carga

85


Gs 

2 g i g o  Re(YfYr )2  YfYr 2 2g o

Bs   jbi  GL 

Im(YfYr ) 2g o

2 g i g o  Re(YfYr )2  YfYr 2 2gi

BL   jbo 



Gsgo gi

Im(YfYr ) 2gi

(5.44)

EJEMPLO 5.1: Un transistor tiene los siguientes parámetros Y a 100 MHz con VCE = 10V e Ic=5mA Yi = 8 +j5.7mMhos

Yf = 52 – j20mMhos

Yo = 0.4 + j1.5mMhos

Yr = 0.01 – j0.1mMhos

Diseñar un amplificador que provea máxima ganancia de potencia en la fuente con 50 y en la carga con 50 a 100 MHz Solución: 1. Cálculo del factor de estabilidad de Linvill: C

 52  j 20  0.01  j 0.1 YfYr 5.57    0.71 2 gi g o  Re YfYr  2*8*0.4  Re  52  j 20  0.01  j 0.1  6.4  1.47

C  0.71 

El dispositivo es incondicionalemente estable

2. Cálculo de MAG

Yf 52  j 20 MAG    242.5  4 gi g o 4*8*0.4 2

2

23.8dB

3. Cálculo de las admitancias de fuente y de carga para acoplamiento conjugado simultáneo:

86


Gs 

2 g i g o  Re(YfYr )2  YfYr 2 2g o

Bs   jbi 



6.4  1.472  5.57 2 2 * 0.4

 6.95mMhos

Im(YfYr )  5.37   j 5.7  j   j12.41mMhos 2g o 2 * 0.4

Por tanto, la admitancia de fuente que el transistor debe “ver” para máxima transferencia de potencia es 6.95 – j12.41mmhos en consecuencia la admitancia de entrada del transistor debe ser 6.95+j12.41mmhos. Para la carga:

GL 

2 g i g o  Re(YfYr )2  YfYr 2

BL   jbo 

2gi



Gsgo 6.95 * 0.4   0.347mMhos gi 8

Im(YfYr )  5.37   j1.5  j   j1.84mMhos 2gi 2 *8

Para máxima transferencia de potencia la admitancia de carga debe ser: 0.347-j1.84 mmhos, luego la admitancia de salida del transistor debe ser el conjugado complejo: 0.347+j1.84 mmhos.

Fig. 5.12 Redes de entrada y de salida del ejemplo 5.1 Para el diseño de la red de acoplamiento de entrada se emplea la carta de Smith que se trabaja con valores normalizados y para . Empleando N = 50, por tanto: =50x(6.95-j12.41) mmhos = 0.34-j0.62 mhos Esta admitancia normalizada es mostrada en la figura de la siguiente página. Obsérvese que la impedancia correspondiente es Zs’ = 0.69 + j1.2 ohms. El circuito de acople de entrada debe transformar la impedancia de fuente de 50 en la impedancia representada por Zs, se muestra en la Fig. 5.13 que partiendo del punto A en la curva de la carta de Impedancia debe interceptar la curva que parte que se origina en el punto C en la carta de admitancias.

87


Fig. 5.13 Carta en la red de acople de entrada En consecuencia se tiene una red de dos elementos que corresponden en la carta al camino más simple y conveniente por costos: Arco AB = C en serie = - j1.3  Arco BC = L en paralelo = - j1.1 mhos Valor de los componentes:

88


1 1   24.5 pF wXN 2 (100 x10 6 )(1.3)(50) N 50 L1    72nH wB 2 (100 x10 6 )(1.1)

C1 

El circuito correspondiente de la red de entrada y de salida se indica en la Fig. 5.14

Fig.5.14 Circuitos de acople de entrada de salida

4. Diseño de la red de acoplamiento de salida: con un procedimiento similar pero empleando N=200 se normaliza YL. YL’=200(0.347-j1.84) mmhos = 0.069-j0.368 mhos ó ZL’= 0.495+j2.62 debe ser transformada a 50 . Escogiendo una red de 2 elementos, como se indica en la Fig. 5.15, se obtiene: Arco AB = C en serie = -j1.9 Arco BC = L en paralelo = -j0.89 mhos

89


Fig. 5.15 Diseño de la red de acople de salida del ejercicio 5.1

1  4.18 pF 2 (100 x10 6 )(1.9)(200) 200 L2   358nH 2 (100 x10 6 )(0.89)

C2 

Diseño del circuito de polarización:

90


Fig. 5.16 Circuito de Polarización del Ejemplo 5.1 a. Punto de trabajo: Ic=5mA VCE=10v Vcc = 20v =50 b. Asumir VE=2.5v c. IEIc=5mA =50

RE 

VE 2.5v   500 I E 5 x10 3

Rc 

Vcc  Vc 20  (10v  2.5v)   1.5K Ic 5 x10 3

d. Cálculo de RE

e. Cálculo de RC

IB  f. Cálculo de IB

Ic





5mA  0.1mA 50

g. Cálculo VBB VBB  VE  VBE  2.5v  0.7v  3.2v h. Asumir: IBB=1.5mA i.

R1 

VBB 3.2v   2133 I BB 1.5 x10 3

Cálculo de R1: Eligiendo: R1 = 2K j. Conociendo Vco, VBB, IBB e IB Calcular R2:

91


R2  7.

Vcc  VBB 20  3.2 17.8    11.25K  12 K 3 I BB  I B (1.5  0.1)10 x 1.6 x10 3

Circuito final incluyendo la red de polarización

Fig.5.17 Circuito final del ejemplo 5.1 5.11 Diseño de amplificadores con transistor potencialmente inestable Si C>1 el transistor es potencialmente es potencialmente inestable y puede oscilar. Si este es el caso hay varias opciones que se pueden emplear: 1. Seleccionar un nuevo punto de polarización para el transistor 2. Unilateralizar ó neutralizar el transistor. 3. Seleccionar un desacoplamiento en la entrada y en la salida del transistor para reducir la ganancia de la etapa.

Ejemplo: un transistor 2N5179 tiene los siguientes parámetros Y en 200MHz Yi = 2.25 + j7.2 mmhos

Yf = 40 – j20 mmhos

Yo = 0.4 + j1.9 mmhos

Yr = 0.05 –j0.7 mmhos

Encuentre las admitancias de fuente y de carga que aseguren un diseño estable. Encuentre la ganancia del amplificador. 92


Solución: 1.

Cálculo del factor C de estabilidad C

 40  j 20  0.05  j 0.7  YfYr   2.27  1 2 gi g o  Re YfYr  2 * 2.25* 0.4  Re   40  j 20  0.05  j 0.7   

El dispositivo es potencialmente Inestable 2. De la hoja de datos del transistor 2N5179 se establece que la resistencia de fuente óptima para mejor figura de ruido es 250 Gs 

1 1   4mmhos Rs 250

3. Se escoge un factor de estabilidad de STERN K=3 para un adecuado margen de seguridad.

K

2g ic  Gsg oc  GL  2(2.25  4)(0.4  GL ) 3 Yfc  Yrc   ReYfcYrc  31.35  (12)

Despejando de esta ecuación GL

GL = 4.24 mmhos

Tomando BL = -bo del transistor entonces BL = -j1.9 mmhos Por tanto la admitancia de carga será: YL= 4.24 – j1.9 mmhos 4.

Cálculo de la admitancia de entrada del transistor:

Yin  Yi 

YrYf Yo  YL

YL  GL  jB L

(0.701859o )(44.72  26.6o ) Yin  2.25  j 7.2   4.84  j13.44mmhos (0.4  j1.9)  (4.24  j1.9) Luego Bs = - j13.44 mmhos y Ys = 4.84 – j13.44 mmhos

5. 12 Problemas propuestos: 5.12.1 Los parámetros “y” aproximados de un transistor npn en configuración emisor común, trabajando en una frecuencia de 200 MHz, Vce = 10 volt., Ic = 2 mA, son:

93


Suponer neutralizado el transistor con un condensador de realimentación tal que:

a) Calcular los parámetros “y” compuestos. b) El factor “C” de linvill para el transistor neutralizado. c) Si Gs = 20 mmho y GL= - j 0.4 mmho, calcular el factor K de estabilidad de Stern. 5.12.2 Los parámetros y en milimhos de un transistor en Emisor-Común con: ,

,

son:

a) Calcule el factor “C” de estabilidad y establezca criterio. b) Unilateralice el transistor y calcule el valor de los componentes que realizan esta operación. Dibuje le transistor unilateralizado. c) Determine los parámetros “y” compuestos (transistor unilateralizado). d) Calcule la máxima ganancia disponible MAG del transistor unilateralizado. 5.12.3 Un amplificador de RF de pequeña señal trabajando en transistor en un montaje Emisor Común, parámetros “y” en milimhos:

a) b) c) d)

, emplea un , Tiene los siguientes

Calcule el factor “C” de estabilidad y establezca criterio. Neutralice el transistor y determine los elementos que realizan esta operación. Dibuje el transistor con los elementos que llevan a cabo la neutralización. Calcule los parámetros compuestos. e) Calcule MAG (Máxima Ganancia Disponible) del transistor neutralizado.

94


Capítulo VI: Osciladores en RF

95


96


6. Osciladores de Onda Senoidal Este capítulo trata del estudio y diseño de osciladores de onda senoidal de radiofrecuencia. 6.1 Introducción Un oscilador es un circuito que produce una oscilación propia de frecuencia, forma de onda y amplitud determinadas. Se entiende por oscilador a una etapa electrónica que, siendo alimentada con una tensión continua, proporciona una salida periódica, que puede ser aproximadamente sinusoidal, o cuadrada, o diente de sierra, triangular, etc. O sea que la esencia del oscilador es “crear” una señal periódica por sí mismo, sin que haya que aplicarle señal alguna a la entrada. Un oscilador es en esencia un amplificador realimentado en forma inestable que produce una señal alterna de valor pico constante y frecuencia seleccionable a voluntad. En diagrama de bloques, un oscilador se puede representar como lo indica la fig. 6.1, en donde Ao es la ganancia del amplificador en laso abierto y es la ganancia de la red de realimentación.

Fig. 6.1 Diagrama de bloques de un oscilador La Ganancia en bucle cerrado es: (6.1) La ganancia G es calculada a la frecuencia central de oscilación fo. Las condiciones para generar una oscilación se resumen en los 2 Criterios de Barkhausen: |

|

(6.2)

97


: Fase total del bucle cerrado.

(6.3)

La red de retroalimentación se encarga de seleccionar la frecuencia de oscilación. En consecuencia, el diseño del circuito oscilador consiste en la selección adecuada de los componentes de la red de realimentación. 6.2 Criterios de Oscilación. 1. Hay oscilación en un circuito cuando exista una trayectoria de realimentación que proporcione al menos una ganancia de bucle unitario con desplazamiento de fase nulo (Criterios de Barkhausen). 2. El factor de Stern del circuito debe ser menor que 1. 3. El determinante de las ecuaciones de corriente de malla o voltajes de nodo es cero.

6.3 Operación del circuito realimentado como oscilador. El circuito de la Fig. 6.1 puede representarse como se muestra en la Fig. 6.2

Fig. 6.2 Oscilador realimentado La ganancia del circuito realimentado es: (6.4) Cuando el producto , el denominador se vuelve 0 y actúa como oscilador.

, en este caso el circuito

6.4 Circuitos Osciladores sintonizados en la entrada y sintonizados en la salida. Para los osciladores sintonizados tanto en la entrada como en la salida considere el circuito de la Fig.6.3 98


Fig. 6.3 Osciladores Sintonizados

Dependiendo de los elementos a tener encuenta en cada una de las impedancias de la red de realimentación, se definen los diferentes tipos de osciladores sintonizados con énfasis en Radiofrecuencia, Tabla 6.1 Tabla 6.1 Elementos Reactivos de Red de Realimentación 1 2 3

Tipo Oscilador Colpitts Hartley Doble sintonía

Z1 C L LC

Z2 C L LC

Z3 L C -

6.4.1 Oscilador Colpitts a) Con transistor bipolar: Ver Fig. 6.4

Fig. 6.4 Oscilador Colpitts con transistor bipolar 99


Frecuencia de Oscilación: √

(6.5)

Donde: (6.6) b) Con transistor FET: Ver Fig. 6.5

Fig. 6.5 Oscilador Colpitts con transistor FET Las ecuaciones son las mismas descritas en la parte a). 6.4.2 Oscilador Hartley: a) Con transistor bipolar: Ver Fig. 6.6

Fig. 6.6 Oscilador Hartley con transistor bipolar

100


Frecuencia de Oscilación: √

(6.7)

Donde: (6.8) Siendo M la inductancia mutua entre las dos bobinas. y

son condensadores de desacople.

b) Con transistor FET: Ver Fig. 6.7

Fig. 6.7 Oscilador Hartley con transistor FET 6.5 Osciladores a Cristal. 6.5.1 El cuarzo La razón de la utilización masiva del cuarzo radica en una propiedad electromecánica, conocida como efecto "piezoeléctrico", la cual es, como veremos, de una gran utilidad en los osciladores. El cuarzo tiene la propiedad de deformarse mecánicamente, es decir, aumentar o disminuir su volumen, cuando se le aplica una diferencia de potencial entre sus extremos. Además, este efecto piezoeléctrico es reversible, por lo que, si de alguna forma somos capaces de oprimir un cristal de cuarzo, podríamos observar cómo, durante el tiempo en que el cristal está reduciendo su tamaño, produciría una diferencia de potencial entre sus caras opuestas. 6.5.2 Efecto piezoeléctrico: Un cristal de cuarzo tiene una frecuencia natural de oscilación. Si se conecta un cristal de cuarzo a una diferencia de potencial, provoca, que este se deforme; si, a continuación, deja de aplicarse la diferencia de potencial, el cristal tenderá a su forma original ya que ha cesado la causa que lo deformaba. Durante su "vuelta" al estado original, el cristal, comienza a oscilar aumentando y disminuyendo su tamaño hasta que, al cabo de cierto 101


tiempo, se detendrá definitivamente. Este aumento y disminución de tamaño son oscilaciones propias del cristal y a una frecuencia fija que depende exclusivamente del cristal y es lo que se llama frecuencia natural de oscilación. 6.5.3 Oscilador de cristal Si a un cristal de cuarzo se le aplica sobre sus caras opuestas una diferencia de potencial, y el dispositivo está montado adecuadamente, comenzarán a producirse fuerzas en las cargas del interior del cristal. Estas fuerzas entre sus cargas provocarían deformaciones en el cristal y darán lugar a un sistema electromecánico que comienza a oscilar. Sin embargo, vuelve a ocurrir lo mismo que en los circuitos formados por un condensador y por una inductancia. Esto es, las oscilaciones del cristal no duran indefinidamente, ya que se producen rozamientos en la estructura interna que hacen que se vayan amortiguando hasta llegar a desaparecer. Por tanto, necesita de un circuito externo que mantenga las oscilaciones, compensando las pérdidas producidas por el rozamiento. El comportamiento eléctrico del cuarzo se puede asemejar al de una inductancia, una resistencia y un condensador conectados en paralelo con otro condensador. Por lo tanto, es equivalente colocar un circuito con estos componentes que poner un cristal de cuarzo. Ver Fig. 6.8

Fig. 6.8 A) representación de un cristal de cuarzo. B) equivalente eléctrico de un oscilador piezoeléctrico 6.5.4 Osciladores a Cristal de Cuarzo El cristal de cuarzo es utilizado como componente de control de la frecuencia de circuitos osciladores convirtiendo las vibraciones mecánicas en voltajes eléctricos a una frecuencia específica.Esto ocurre debido al efecto "piezoeléctrico". La piezo-electricidad es electricidad creada por una presión mecánica. En un material piezoeléctrico, al aplicar una presión mecánica sobre un eje, dará como consecuencia la creación de una carga eléctrica a lo largo de un eje ubicado en un ángulo recto respecto al de la aplicación de la presión mecánica. Por las propiedades mecánicas, eléctricas, y químicas, el cuarzo es el material más apropiado 102


para fabricar dispositivos con frecuencia bien controlada. La siguiente figura muestra la ubicación de elementos específicos dentro de una piedra de cuarzo La siguiente gráfica Fig. 6.9 muestra la variación en partes por millón (PPM) con respecto a la temperatura.

Fig. 6.8 Variación en partes por millón (PPM) con respecto a la temperatura en un cristal.

6.5.5 Frecuencia Fundamental vs. Frecuencia de Sobretono: Esto es de importancia cuando se especifica un cristal. Cuando se incrementa la frecuencia solicitada, el espesor del cuerpo del cristal disminuye y por supuesto existe un límite en el proceso de fabricación. Alrededor de 30MHz, el espesor de la placa del cristal comienza a ser muy delgada. Debido a que el corte "AT" resonará a números enteros impares múltiplos de la frecuencia fundamental, es necesario especificar el orden del sobretono deseado para cristales de altas frecuencias. 6.5.6 Potencia de trabajo (Drive Level) Es la potencia disipada por el cristal. Está normalmente especificada en micro o milivatios, siendo un valor típico 100 microvatios.

103


6.5.7 Tolerancia en la frecuencia La tolerancia en la frecuencia se refiere a la máxima desviación permitida y se expresa en partes por millón (PPM) para una temperatura especificada, usualmente 25°C. 6.5.8 Estabilidad de la frecuencia La estabilidad de la frecuencia se refiere a la máxima desviación en PPM, en un determinado rango de temperatura. La desviación está tomada con referencia a la frecuencia medida a 25°C. 6.5.9 Circuito Eléctrico Equivalente El circuito eléctrico equivalente que se muestra en la Fig. 6.9, es un esquema del cristal de cuarzo trabajando a una determinada frecuencia de resonancia. El capacitor Co o capacidad en paralelo, representa en total la capacidad entre los electrodos del cristal más la capacidad de la carcasa y sus terminales. R1,C1 y L1 conforman la rama principal del cristal y se conocen como componentes o parámetros donde:   

L1 representa la masa vibrante del cristal, C1 representa la elasticidad del cuarzo y R1 representa las pérdidas que ocurren dentro del cristal.

Fig. 6.9 Circuito equivalente de un Cristal 6.5.10 Curva de Impedancia Un cristal tiene dos frecuencias de fase cero, como se ven en la Fig.6.10. La más baja es la Frecuencia de Resonancia Serie indicada como fs. En éste punto el cristal se comporta como una resistencia en el circuito, la impedancia está en un mínimo y la corriente que circula es la máxima. A medida que se incrementa la frecuencia, el cristal pasa por la Frecuencia de Resonancia Paralelo y llega a la frecuencia de Antiresonancia fa en la cual la impedancia es máxima, y las reactancias de la L1 y la Co se cancelan. En éste punto, la corriente que circula por el cristal es la mínima.

104


Fig. 6.10 Curva de Impedancia de un Cristal. 6.5.11 Factor de Calidad (Q) El factor de calidad (Q) es una medida de la eficiencia de la oscilación. La máxima estabilidad obtenible de un cristal depende del valor de "Q". En la Fig. 6.10 de la impedancia del cristal, la separación entre las frecuencias serie y paralelo se llama ancho de banda. Cuanto más pequeño el ancho de banda mayor es el "Q". Cambios en la reactancia del circuito externo tienen menos efecto (menos "pullability") en un cristal de alto "Q" por lo tanto la frecuencia es en definitiva más estable.-

6.6 Circuitos Osciladores Serie Un circuito básico oscilador resonante serie, utiliza un cristal que está diseñado para oscilar en su frecuencia resonante serie natural. En éste circuito no hay capacitores en la realimentación Los circuitos resonantes serie son usados por la baja cantidad de componentes que se utilizan, pero estos circuitos pueden tener componentes parásitos que intervienen en la realimentación. y en el caso que el cristal deje de funcionar oscilarán a una frecuencia impredecible. El esquema del circuito oscilador serie se muestra en la Fig. 6.11.

105


Fig. 6.11 Oscilador a cristal tipo serie

De la figura del circuito básico del oscilador resonante serie se ve que no existen componentes para ajustar la frecuencia de oscilación. R1 es utilizado para polarizar el inversor en su región lineal de operación y además provee realimentación negativa al inversor. C1 es un capacitor de acople para bloquear la componente de continua. R2 está para controlar la potencia que se entrega al cristal, limitando la corriente a través de él. 6.7 Circuitos Osciladores Paralelo Un circuito oscilador paralelo utiliza un cristal que está diseñado para operar con un valor específico de capacidad de carga. Esto resultará en un cristal que tendrá una frecuencia mayor que la frecuencia resonante serie, pero menor que la verdadera frecuencia resonante paralelo. Un circuito básico se muestra en la Fig. 6.12.

Fig. 6.12 Oscilador a Cristal tipo paralelo Este circuito utiliza un inversor simple para hacer el oscilador, donde R1 y R2 cumplen las mismas funciones que en el circuito del oscilador resonante serie, con dos capacitores en la 106


realimentación, que componen la capacidad de carga y en conjunto con el cristal darán lugar a la frecuencia a la cual oscilará el circuito. O sea que ajustes en los capacitores de carga, darán lugar a una variación pequeña en la frecuencia de oscilación, permitiendo un ajuste fino de la misma. El cristal es resonante paralelo, especificado para trabajar con una determinada capacidad de carga a la frecuencia deseada y con la tolerancia y estabilidad deseadas. La capacidad de carga para el cristal en este circuito puede ser calculada con la siguiente fórmula: (6.9) donde para inversores de las familias lógicas CMOS de alta velocidad:   

Cs es la capacidad parásita del circuito y normalmente se estima entre 3pf a 10pf. R1 es del orden de 8.2 MOhm a 10 MOhm R2 es del orden de 470 Ohm a 2200 Ohm

6.8 Capacidad de ser Cargado (Pullability) Son los cambios de frecuencia de un cristal, ya sea de su frecuencia de resonancia natural Fr a una frecuencia FL de una carga resonante, o desde una carga resonante a otra. Esta cantidad depende de la capacidad en paralelo Co, de la C1 del cristal y la CL de carga. En la fig.6.13 se muestra la variación de frecuencia en función de la capacidad de carga, expresada en PPM.

Fig. 6.13 Variación en Frecuencia de un Cristal Vs. Capacidad de carga

107


6.9 Ejercicios propuestos: 6.9.1 Diseñar un oscilador Colpitts con transistor FET en la frecuencia fundamental de 10 MHz, onda sinusoidal y las siguientes características: Zo = 50 Gananciade la red de realimentación = = 0.2, Trabajar con dos cifras decimales y calcular: a) Calcule: b) La ganancia A en voltaje del Amplificador.  Considere un Oscilador Hartley con transistor Mosfet a la frecuencia de operación de 300 MHz, fuente de alimentación de 12 voltios y que dispone de bobinas de 10 H y 4 H. Asumiendo una ganancia del amplificador en magnitud de 3.8: a. Dibuje el circuito oscilador. b. Halle el valor del condensador C del circuito de sintonía. c. Halle el valor del Ganancia de la red de realimentación para obtener una onda sinusoidal. 6.9.3 Se dispone de un cristal tipo paralelo de 10.0 MHz y se requiere un oscilador cuya salida sea de 100 MHz, onda sinusoidal con impedancia de salida de 50 ohmios. Diseñe el circuito oscilador a 100 MHz empleando el cristal de 10 MHz.

108


Capítulo VII: Amplificadores de RF de potencia

109


110


7. Amplificadores RF de potencia

7.1 Introducción El amplificador de potencia (PA) es la última etapa de un trasmisor. Tiene la misión de amplificar la potencia de la señal (no necesariamente la tensión) y transmitirla a la antena con la máxima eficiencia. En eso se parecen a los amplificadores de baja frecuencia, pero aquí la distorsión o falta de linealidad puede no ser importante.

7.2 Clasificación de los amplificadores de potencia Los amplificadores de potencia tradicionales emplean dispositivos activos (BJT o MOSFET) que se comportan como fuentes de corriente controladas por tensión. Estos se clasifican atendiendo a la fracción del periodo de la señal en que los dispositivos permanecen en conducción. Si la entrada es una función sinusoidal, su argumento se incrementa 360º a cada periodo de señal. La fracción del periodo en que los dispositivos conducen se mide por el semiángulo de conducción, θ, que está comprendido entre 0 y 180º.

Fig. 7.1 Transistor de potencia para RF típico Se definen tres clases de amplificadores de potencia: Clase A: θ = 180º (conducen siempre) Clase B: θ = 90º (conducen medio periodo) Clase C: θ < 90º (conducen menos de medio periodo) Cuanto menor es θ mayor es la eficiencia pero menor es la linealidad. Existe otro tipo de amplificadores de potencia donde los dispositivos funcionan en conmutación. Actúan como interruptores que pasan alternativamente de corte a conducción. La eficiencia es teóricamente del 100% puesto que un interruptor ideal no consume potencia en ninguno de los dos estados: en corte i = 0 y en conducción v = 0. En la práctica la eficiencia se reduce porque hay pérdidas de potencia durante el transitorio de conmutación. Por eso se han ideado diferentes esquemas que minimizan estas pérdidas. Estos amplificadores reciben distintos nombres (clase D, E, F,…) a partir del momento en que se les reconoce su innovación respecto a los existentes.

111


Fig. 7.2 Clasificación de amplificadores de potencia 7.3 Clase A En este tipo de amplificador, el elemento activo está siempre en zona activa. De todos los tipos es el que produce menos distorsión, pero también el que tiene menor rendimiento. En consecuencia, el ángulo de conducción es de 360° y produce una réplica amplificada de voltaje de la señal de entrada. Este tipo de amplificador es comúnmente empleado en transmisores de Banda Lateral Única (SSB: Singled Side Band) Su esquema es similar al de un amplificador de pequeña señal. De las configuraciones básicas se elige la de EC: Emisor común para transistores BJT, porque tiene mayor ganancia en potencia. El circuito con BJT se muestra en la fig. 7.2.

Fig. 7.3 Amplificador Clase A con transistor BJT 112


El punto Q de reposo, se selecciona para conservar siempre el transistor en la región activa. Por tanto, el transistor puede modelarse como se muestra en la Fig. 7.4.

Fig. 7.4 Esquema del Amplificador Clase A

Fig. 7.5 Modelamiento de transistor BJT en Clase A En consecuencia las tensiones de entrada y salida del amplificador clase A muestran en la Fig. 7.4

Fig. 7.6 Tensiones de entrada y salida del amplificador clase A 113


Las curvas características para cada una de los nodos del amplificador de la Fig. 7.4 se muestran en la Fig. 7.5, para una señal de entrada sinusoidal.

Fig. 7.7 Curvas generadas en el amplificador Clase A Las ecuaciones que caracterizan este amplificador son: (7.1) ( )

( )

(7.2)

( )

( )

(7.3)

( )

( )

(7.4)

114


En reposo la tensión sobre la inductancia es nula por lo que VCEQ = VCC. Pero la inductancia mantiene una corriente constante ICQ, es decir que para c.a. se comporta como un circuito abierto. La amplitud máxima de vo, Vp, que se puede lograr es VCC y para eso es necesario que ICQRL > VCC La potencia entregada a la carga es: (7.5) Potencia de entrada: (7.6)

Eficiencia: (7.7) En el caso:

e

Por tanto la eficiencia máxima será: ⁄ (

)(

⁄ )

(7.8)

En consecuencia, los amplificadores de potencia de RF clase A se usan más comúnmente como amplificadores de excitación de bajo nivel (drivers). Cabe anotar que el consumo de potencia es independiente del nivel de señal. Cuando no hay señal el rendimiento es nulo y además toda la potencia consumida se disipa en el transistor que va requerir un buen diseño del disipador de potencia. En la práctica el rendimiento suele estar alrededor del 15%. 7.4 Clase B En el amplificador clase B los elementos activos están en zona activa durante la mitad del tiempo en cada ciclo de la señal si es un BJT, o en saturación si se trata de un MOSFET. Es posible utilizar el mismo esquema del clase A, el cual se muestra en la figura 6.1, pero ahora con VBB ≈ 0.7, de forma que el BJT sólo conduce cuando vi > 0. En este caso es imprescindible poner en paralelo con RL un circuito LC sintonizado que elimina todos los armónicos y deja pasar a la carga únicamente la componente fundamental.

115


Sin embargo el amplificador clase B que se va a analizar es otro, se trata del que utiliza dos transistores complementarios y que está representado en la Fig. 6.6 con dos BJT complementarios. En este caso no es necesario poner un circuito LC sintonizado en paralelo con RL. También aquí se elige VBB ≈ 0.7, para que cuando el voltaje de entrada sea vi > 0 conduzca Q1 y cuando sea vi < 0 conduzca Q2. Admitiendo que los parámetros del modelo en pequeña señal de ambos BJT son iguales (matching) y que tienen el mismo valor desde el momento en que éstos entran en zona activa, sus corrientes de colector en el semiciclo que conducen son proporcionales a vi.

Fig. 7.8 Amplificador Clase A y Clase B.

Fig. 7.9 Amplificador Clase B con transistores complementarios 116


Los dos transistores se excitan desfasados 180° para que cada uno esté activo medio ciclo y no opere el resto. Los dispositivos son lineales y cada uno es una fuente de corriente de media sinusoide y amplitud Icm. Durante medio ciclo, solo medio devanado de T1lleva corriente: ( )

( )

(7.9)

A su vez genera un voltaje de salida: ( ) Voltaje en el colector de Q1:

( )

( )

( )

( )

Donde:

(7.10)

(7.11) (7.12)

R es la resistencia vista a través de la mitad del devanado primario con la otra mitad abierta. (7.13) Mantener un voltaje de colector negativo requiere que salida a:

(

; limitando así la potencia de

)

(7.14)

117


Fig. 7.10 Curvas generadas en el amplificador clase B

La corriente

puede calcularse como: ∫

( )

(7.15)

La eficiencia en este caso es: (7.16) Como el voltaje pico de colector es:

, la corriente pico de colector es:

118


⁄ La eficiencia máxima será: ⁄ (

)(

⁄ )

(7.17)

La disipación máxima en cada transistor es: (7.18) Y tiene lugar en: (7.19) Es de anotar que en clase B si no hay señal no se consume potencia. Pero el máximo rendimiento sólo se consigue cuando Vpico = . No obstante, el amplificador no es tan lineal como el clase A, especialmente por la distorsión de cruce, justo en el momento en que un transistor se corta y empieza a conducir el otro. Los transistores de este amplificador trabajan en colector común (CC), no ganan en tensión, sólo en corriente. Si la tensión de entrada no es suficiente hace falta una etapa previa de ganancia en tensión. 7.5 Clase C: En esta clase de amplificadores el elemento activo conduce un tiempo t1– t2 en cada periodo T = 2π/ωo, de forma que el semiángulo de conducción, definido como 2θο = ωo(t1– t2) sea inferior a π/2. En el clase B: θο = π/2, mientras que θο = π en el clase A. Se utilizan en amplificadores de señales de onda continua (CW), modulación de frecuencia (FM) y Modulación de amplitud (AM). La variación de amplitud que se requiere para una señal AM, se realiza variando el voltaje de alimentación del amplificador de potencia. La Fig. 6.8 muestra un esquema del amplificador clase C con transistor BJT. La tensión VBB es ahora negativa, de forma que el BJT sólo entra en zona activa alrededor del máximo de vi, cuando vi + VBB > 0.7 V.

119


Fig.7.11 Amplificador clase C con transistor Mosfet

La corriente de colector en función del semiángulo de conducción es: ( )

( )

{

( ) ( )

}

(7.20)

La corriente de polarización es negativa en el amplificador clase C. Llamando 2y el ángulo de conducción, el semiángulo de conducción establece el modo del amplificador clase C: ( (

{ ( Polarización:

( )

Corriente de alimentación

requerida: ∫

) )}

(7.21)

( )

(7.22)

)

( ) (

( ( )

( ))

(7.23)

Potencia de entrada: Magnitud del voltaje de salida: ( )

(

(

))

(7.24) 120


Las curvas características del amplificador clase C se muestran en la Fig. 6.9

Fig. 7.12 Curvas características del amplificador clase C

121


Potencia de salida:

(7.25)

Eficiencia:

(7.26) La eficiencia en clase C es más elevada que en clase A ó B. Cuando conducción. Fijando:

, La eficiencia puede relacionarse con el semiángulo de :

(7.27) Entonces la eficiencia máxima será: ( (

)

( )

( )) (7.28)

Ejemplo 7.1 Diseñe un amplificador de potencia clase C para entregar 25W a una carga de 50 Ω con (sin saturar) y . Solución: implica:

Este valor se obtiene mediante una red de acople del tipo

con

o mayor.

122


Mediante una solución iterativa de ensayo y error se obtiene: , para una eficiencia máxima del 85% Insertando

y en (

(

))

(

( )

(

(

))

)

Para estos valores de corriente:

Voltaje máximo del dispositivo: 2x12=24 volt. Cabe anotar que, a diferencia del amplificador clase A o B, el clase C no es un amplificador lineal: la salida es nula hasta que la amplitud de la tensión de entrada supera VBB + 0.7. Este amplificador sólo puede usarse para FM o PM porque emplea señales de amplitud constante o para señales digitales y de banda estrecha.

7.6 Clase D. Este es el tipo básico de amplificador en que los transistores trabajan en conmutación, pasan del estado de corte al de conducción y viceversa de forma instantánea. Su esquema se muestra en la figura 6.10. La señal de entrada, vin, debe ser cuadrada y de suficiente amplitud para llevar los transistores alternativamente de corte a saturación (de corte a zona lineal si son MOSFETs). Trabajando en este modo el transistor se puede asimilar a un interruptor ideal (abierto en corte, cerrado en saturación). Este tipo de amplificadores no son lineales (muchas veces ni siquiera ganan en tensión, sólo en corriente), sólo se pueden aplicar a señales de amplitud constante, como por ejemplo las moduladas en PM o en FM (pero de banda muy estrecha), o a señales digitales.

123


En RF no se suelen emplear debido a que las pérdidas de conmutación en los transistores son elevadas. Estas pérdidas se producen en los transitorios de corte a conducción y de conducción a corte, porque durante los transitorios ni la corriente ni la tensión en el transistor es nula.

7.7 Adaptadores de impedancia. Generalmente, los amplificadores de potencia llevan una red adaptadora de impedancia entre el transistor de salida y la carga como muestra la figura 7.11. El objetivo es doble: primero que la impedancia vista desde el colector del transistor tenga el valor adecuado a la potencia de salida deseada, y segundo, minimizar las pérdidas de potencia debidas a los elementos parásitos del transistor.

7.8 Ejercicios propuestos. 7.8.1 Diseñar un amplificador de potencia CLASE B que entregue 100 watts a una carga de 50 ohmios. ⁄ Asumir a. Dibuje el circuito amplificador. b. Calcule (Potencia de entrada DC). c. Halle la eficiencia ( ). d. Encuentre la disipación máxima de cada transistor. 7.8.2 Diseñe un amplificador de potencia CLASE C empleando un transistor MOSFET que entregue una potencia de 100 watts a una carga de 50 mediante una red acopladora con . Ángulo de conducción (1.285 radianes). Frecuencia de operación de 100 MHz Fuente de Alimentación: . Sin considerar los efectos de saturación, calcule: a. Resistencia de carga. b. Eficiencia máxima (máx) c. d. e.

7.8.3 Un amplificador de potencia Clase C con las siguientes especificaciones:  Potencia de salida: 50 Watts sobre una carga de 50 ohms.  Vcc = +28 volts.  Semiángulo de conducción: y=66°  Frecuencia de operación: 120 MHz. 124


Calcule: a. La resistencia vista en el colector del transistor. b. Determine la eficiencia máxima del amplificador. c. Determine la corriente en el punto Q:

125


126


Capítulo 8 Multiplicadores Analógicos

127


128


8. MULTIPLICADORES ANALÓGICOS

8.1 Introducción. Un multiplicador analógico es un circuito con dos entradas que genera como salida, (8.1) Donde K es una constante con dimensiones

.

En función de la polaridad de las entradas que acepta el multiplicador, se puede clasifican como: - Multiplicador de cuatro-cuadrantes: Admite ambas entradas bipolares. - Multiplicador de dos-cuadrantes: Una entrada es unipolar, y la otra bipolar. - Multiplicador de un-cuadrante: Las dos entradas son unipolares. Las características de un multiplicador se describen en función de su precisión y de su linealidad. - La precisión de un multiplicador representa la máxima desviación de la salida del multiplicador ideal, respecto de la función de transferencia ideal. - La linealidad de un multiplicador se mide como la máxima desviación de salida, relativa a la recta que mejor aproxima a la curva de salida del multiplicador respecto de una de las entradas, cuando la otra es mantenida constante en su valor máximo. Aplicaciones típicas de los multiplicadores son: - Amplificación y filtrado controlado por tensión. - Circuitos moduladores y demoduladores. - Control automático de ganancia. - Cálculo analógico. En el procesamiento de señales analógicas, con frecuencia se requiere un circuito que toma 2 entradas analógicas y produce una salida proporcional al su producto. Sin embargo es de anotar que cuando se realiza la multiplicación de dos señales analógicas intervienen 3 elementos básicos que hacen parte de dichas señales: 1. La magnitud. 2. La frecuencia. 3. La fase. En este capítulo analizaremos las tres modalidades de utilización del multiplicador analógico. 8.2 El par acoplado por emisor como multiplicador: 129


Conviene comenzar el estudio del multiplicador considerando el dispositivo más básico para este propósito: El par acoplado por emisor (Fig. 8.1):

Fig. 8.1 Par acoplado por emisor

Considerando las ecuaciones de Evers y Moll para el par acoplado por emisor, se pueden plantear las ecuaciones de colector: (

(

)

)

(8.2)

(8.3)

Donde las corrientes de base han sido despreciadas. Estas 2 ecuaciones pueden ser combinadas para obtener la diferencia entre ellas:

∆IC = IC1 - IC2 = IEE tanh ( Vid /2VT )

(8.4)

Esta relación se muestra gráficamente en la Fig. 8.2 y establece que el par acoplado por emisor puede ser usado como un multiplicador primitivo.

130


Fig. 8.2. Característica de transferencia del par acoplado por emisor

Si se asume que el voltaje de entrada es diferencial: Vid <
(8.5) (8.6)

Luego: ∆IC = IEE ( Vid /2Vt ) La corriente IEE es la corriente de polarización del par acoplado por emisor. Con adición de más circuitería se puede lograr que IEE sea proporcional a una segunda entrada Vi2. Ver Fig. 8.3.

Fig. 8.3 Multiplicador analógico de 2 cuadrantes

En este caso tenemos: IEE ≈ K0 (Vi2 – VBE(on))

(8.7)

La corriente de salida del par acoplado por emisor puede ser calculada: (8.8)

Si Vi2 >> VBE(on)  ∆IC = K0 VidVi2

(8.9)

131


Este es un circuito multiplicador que solo funciona en 2 cuadrantes (+ + y + -). A este circuito se le llama “multiplicador de 2 cuadrantes”.

8.3 Celda Multiplicadora de Gilbert

Es una modificación a la celda anterior que permite multiplicación en 4 cuadrantes: IC4-6

(8.10)

IC3-5

I C1

I C3 

IC4

I C5

V 1  exp(  1 ) VT I C1  V 1  exp( 1 ) VT IC2  V 1  exp( 1 ) VT

IC 6 

(8.11)

(8.12)

(8.13)

IC 2 1  exp(

V1 ) VT

(8.14)

Fig. 8.4 Multiplicador Gilbert

IC1 e IC2 pueden ser relacionadas con V2

I C1 

I EE 1  exp( 

V2 ) VT

;

IC2 

I EE 1  exp(

V2 ) VT

(8.15) Combinando estas ecuaciones, se obtienen expresiones para las corrientes IC3, IC4, IC5 y IC6 en términos de V1 y V2:

I C3 

I EE  V1   V2  1  exp(  ) 1  exp(  ) VT   VT  

(8.16)

132


I EE  V1   V2  1  exp( ) 1  exp(  ) VT   VT  

(8.17)

I EE  V1   V2  1  exp( ) 1  exp( ) VT   VT  

(8.18)

I EE  V1   V2  1  exp(  ) 1  exp( ) VT   VT  

(8.19)

IC4 

I C5 

IC6 

La corriente de salida diferencial es dada por: ∆I = IC3-5 - IC4-6 = (IC3 + IC5) - (IC4 + IC6) = (IC3 - IC6) - (IC4 - IC5) Remplazando valores y expresando en términos de *

(

, se tiene: )+ *

(

)+

(8.20

Se observa que la característica de transferencia de la celda es el producto de la tanh de los dos voltajes de entrada. En el procesamiento de señales analógicas se requiere, con frecuencia, un circuito que toma 2 entradas análogas y produce una salida proporcional a su producto. Tales circuitos son llamados MULTIPLICADORES.

Salida: es proporcional al producto de la tanh de los voltajes de entrada:

CELDA DE V1 GILBERT

V1

V2

LM 1496

V0 V0

V0 = K [tanh ( V1 /2Vt )] [tanh ( V2 /2Vt )]

(8.21)

Fig. 8.5 Celda de Gilbert

133


8.4 Aplicaciones Prácticas de la Celda de Gilbert Se dividen en tres categorías: 1. Si V1 y V2 son pequeñas con respecto a VT  tanh α ≈ α. En este caso se llama: MULTIPLICADOR ANALOGICO de 4 cuadrantes. 2. Si V1 < VT y V2 > VT ó V1 > VT y V2 < VT : una de las señales de entrada saturan los transistores mientras que la otra no. Este modo de operación se denomina: MODULADOR 3. Si V1 y V2 son grandes respecto a VT  todos los transistores trabajan en saturación. Este método es usado para la detección de diferencia de fases entre 2 señales limitadas en amplitud. Este modo se denomina: DETECTOR DE FASE. 8.4.1 Celda de Gilbert como multiplicador analógico Tomando la salida de la celda como: [

(

)] [

(

)]

Y teniendo encuentra que la función tanh puede ser representada por la serie infinita: tanh x = x – x3/3 + …. Asumiendo que x<<1,  tanh x ≈ x Luego: *(

)+ *(

)+

(8.22)

Para señales de pequeña amplitud, el circuito es un multiplicador analógico. Desafortunadamente, las amplitudes de las señales de entrada frecuentemente son más grandes que VT. Las señales grandes pueden ser acomodadas en este modo esencialmente de 2 formas: 1. Degradación por emisor: En el evento de que solo una de las señales sea grande comparada con VT; se puede incrementar el rango lineal de V2 como se muestra en la fig. 8.6.

134


Fig. 8.6 Celda con circuito de degradación por emisor

Sin embargo esta degradación por emisor sólo puede hacerse con Q1 y Q2 para V2 Mientras que para Q3, Q4, Q5, y Q6 se destruye la relación requerida 2. Con circuito predistorsionador: Se introduce una no-linealidad que predistorsiona las señales de entrada para compensar la característica de transferencia tanh de la celda básica. La no-linealidad requerida es tanh inversa para que la celda de Gilbert aumente su rango dinámico:

V1

V2

Tanh-1

Tanh-1

Fig.8.7 Celda con predistorsionador

Circuito tanh-1 se muestra en la Fig. 8.8.

135


Fig. 8.8 Circuito tanh-1

La caja negra desarrolla una corriente de salida que esta linealmente relacionada con el voltaje de entrada V1 I1 = I01 + K1V1

(8.23)

I2 = I01 – K1V1

(8.24)

I01 = IDC que fluye en cada salida si V1 = 0 K1 = transconductancia del convertidor. El voltaje diferencial desarrollado a través de 2 diodos conectados a los transistores. (

) (

( )

)

(8.25) (8.26)

Esta función puede ser transformada usando la identidad: (8.27) En la relación deseada: (

)

(8.28)

La característica de transferencia total es: (

)(

)

(8.29)

I02 y k2 son los parámetros del bloque funcional para V2. 136


La corriente de salida muestra que es proporcional a V1, V2, IC1 e IC2 y deben ser siempre positivas. (8.30) (8.31) 8.4.2 Multiplicador completo de 4 cuadrantes: Fig. 8.9.

Fig. 8.9 Multiplicador completo de 4 cuadrantes

Tomando la salida [

(

)] [

(

)]

Teniendo encuenta que tanh x ≈ x si x<<1, en consecuencia: Si V1, V2 << VT *(

)+ *(

)+

(8.32)

Para el circuito LM 1496 ó LM 1596: V0 = 0.1 V1V2 8.4.3 Celda de Gilbert como modulador balanceado. Ver Fig. 8.10.

Fig.8.10 Multiplicador

137


Sea: x1 : señal de baja frecuencia y de amplitud < VT. (Señal Moduladora) x2 : señal de alta frecuencia y amplitud > VT (señal Portadora) Asumiendo: ; ;

de pequeña magnitud VC de gran magnitud

[ [ ∑

] ∑

[

]

(8.33) ]

(8.34)

La representación en el tiempo se muestra en la Fig. 8.11.

Fig.8.11 Modulador Balanceado

138


Para la representación de este modulador en frecuencia, se realiza el análisis en la Fig. 8.12 donde el espectro de baja frecuencia es trasladado hacia la portadora y todas sus armónicas impares.



 Fig. 8.12 Análisis espectral del Modulador Balanceado

8.4 CELDA DE GILBERT COMO DETECTOR DE FASE. En este caso todos los transistores se comportan como switches, por tanto las entradas x1(t) y x2(t) superan a VT. Si las frecuencias de x(t) y x2(t) son iguales pero fase diferente, el circuito actúa como DETECTOR DE FASE Los circuitos posteriores a este detector se encargan de obtener el nivel DC de la señal y(t) = YAVERAGE (8.35) ∫ [ El signo menos es debido a la gráfica y las áreas

] y

(8.36) son:

Las señales en este detector de fase se muestran en la Fig. 8.13.

139


Fig. 8.13 Señales en el detector de fase

En consecuencia: *

+ (

La salida del detector de fase:

)

(8.37) (8.38)

Vs. Ф se aprecia en la Fig. 8-14.

Fig. 8.14 Característica de transferencia del detector de fase completo

El circuito que se encarga de obtener YAVERAGE es un detector de fase en cascada con un filtro pasa bajos (Fig. 8.15).

140


Fig. 8.15 Circuito detector de fase.

8.5 OTRAS APLICACIONES DE LOS MULTIPLICADORES ANALÓGICOS El multiplicador analógico además de realizar operaciones lineales como multiplicación de cuatro cuadrantes y detector de fase se puede emplear para otras aplicaciones tales como elevar al cuadrado, doblador de frecuencias, división analógica de dos cuadrantes, raíz cuadrada, modulador balanceado, modulador y demodulador de AM, detección de Banda Lateral Única (SSB), en los Lazo Enganchado de Fase (PLL) y sus aplicaciones como detección de FM, separación de frecuencias, etc. 8.5.1 Elevar al cuadrado: Ver Fig. 8.16

Fig. 8.16 Elevador al cuadrado 8.5.2 Doblador de Frecuencias: Empleando el mismo circuito de la Fig. 8.16 con:

(8.39) Ver Fig. 8.17

Fig. 8.17 Doblador de frecuencia 141


8.5.3 División analógica de dos cuadrantes:

Fig. 8.18 Divisor analógico (8.40) Para que la realimentación sea negativa, se debe cumplir que tensión pude ser bipolar, al igual que la tensión de salida La constante K es en la práctica

sea siempre positiva. La

, y la salida es: (

⁄

)

(8.41)

8.5.4 Raíz cuadrada: Empleando el circuito de la Fig. 8.19 se puede realizar la raíz cuadrada de una señal. √

(8.42)

Fig. 8.19 Raíz cuadrada La tensión de entrada debe ser negativa para proveer alimentación negativa y la salida será siempre positiva.

142


8.5.5 Modulador balanceado: Fig. 8.20

Fig. 8.20 Modulador balanceado Trabajando el multiplicador ahora como modulador balanceado, es decir que por sus características electrónicas, genera en su salida una señal proporcional al producto de sus entradas: ̂

: Señal portadora

̂

:

Señal moduladora

̂ ̂ ̂ ̂ [

(

)

(

)]

Cuyo espectro es: ̂ ̂

[

]

(8.43)

La señal generada es una modulación en doble banda lateral (DSB) con portadora suprimida como se aprecia en la Fig. 8.21.

Fig. 8.21 Espectro en DBL

143


8.5.6 Modulación AM:

Fig. 8. 22 Modulador de AM Considerando el circuito de la Fig. 8.22 si S1 se coloca en la posición AM, resulta: [(

)]

[ [

] [

]

(8.44)

De donde se deduce que: es la portadora es la banda lateral inferior es la banda lateral superior El espectro unilateral de esta señal se aprecia en la Fig. 8.23.

Fig. 8.23 Espectro en AM 144


Si el índice de modulación es será la mitad de la portadora.

,

⁄

, la intensidad de las bandas laterales

8.5.7 Detector de Banda Lateral Única (SSB):

Fig. 8.24 Detector de SSB (

) Banda lateral inferior : Portadora

Salida del multiplicador: (

)

[

(

)]

Después del filtro se tiene:

Por tanto se requiere que el oscilador local tenga la misma frecuencia y fase que la portadora del transmisor (detección sincrónica). 8.5.8 Detección de AM: Empleando el esquema de la Fig. 8.24 donde las entradas son: *

+

(

)

(8.45)

A la salida del multiplicador: [(

)

]

[

]

Después del filtro: [

]

(8.46)

Eliminando el término constante: 145


[

]

(8.47)

8.5.9 Detector de fase con compuerta XOR: La Fig. 8.25 muestra un detector de fase empleando una compuerta XOR.

Fig. 8.25 Detector de fase con compuerta XOR (8.48) (8.49) (8.50)

Cuando las frecuencias son iguales, la salida del detector es proporcional al desfasaje y cuando las frecuencias son diferentes, funciona como mezclador, produciendo a la salida la diferencia de frecuencia: (8.51) Las formas de onda para este tipo de detector de fase se muestran en la Fig. 8.26.

146


Fig. 8.26 Formas de onda del Detector XOR 8.9 Ejercicios Propuestos 8.9.1 Se dispone de un modulador balanceado en cascada con un filtro pasa banda como se ilustra en la Fig. 8.27. Si y . Determine la señal .

147


Fig. 8.27 Ejercicio 8.9.1 8.9.2 Dado el siguiente comparador de fase mostrado en la Fig. 8.28

Fig. 8.28 Ejercicio 8.9.2 Establezca su operación y deduzca la característica de transferencia del comparador: (Vaverage vs.  ). Determine la ganancia de este comparador. 8.9.3 Para el Comparador de fase digital XOR mostrado en la Fig. 8.25, trabajando con niveles TTL, determine: a) La función de transferencia: Vaverage vs. donde  es la diferencia de fase entre las señales A y B. b) Determine la ganancia en voltaje (KD) de este comparador de fase. 8.9.4 Determine la característica de transferencia del circuito mostrado en la Fig. 8.29, asumiendo que para el multiplicador.

148


Fig. 8.29 Ejercicio 8.9.4

8.9.5 Para el circuito de la Fig. 8.30:

Fig. 8.30 Ejercicio 8.9.5 a) Determine y grafique la característica de transferencia. b) Si , graficar la forma de onda en

.

149


150


Capítulo IX: Malla asegurada en fase (Phase Locked Loops)

151


152


9. PHASE LOCKED LOOPS (PLL)

El PLL (Phase Lock Loop, o Lazo de Enganche de Fase) es un dispositivo muy versátil, que se utiliza en diversas aplicaciones tales como discriminación de frecuencia, conversión de voltaje a frecuencia, control de velocidad de motores, sincronización de datos, síntesis y multiplicación de frecuencia, etc.; aunque probablemente la aplicación más común es la demodulación de señales de frecuencia modulada (FM), estando el PLL presente en la inmensa mayoría de receptores de radio modernos. Desarrollado en los años 30. La estructura básica del PLL se muestra en la Fig. 9.1 y se trata de una malla cerrada que en esencia genera una señal proporcional a la diferencia de frecuencia o fase entre la señal de entrada y la señal interna que proviene de un oscilador controlado por voltaje.

Fig. 9.1 Diagrama debloques de un PLL

9.1 Modo de Operación 

El oscilador controlado por voltaje (VCO) es un simple oscilador cuya frecuencia es proporcional a un voltaje externo aplicado.



Cuando la malla está enganchada con la señal periódica de entrada la frecuencia del VCO es exactamente igual a la de la señal de entrada.



El detector de fase produce un DC o señal de baja frecuencia proporcional a la diferencia de fase entre la entrada y la señal de salida del VCO.



La señal sensitiva de fase pasa a través de un filtro de malla (loop), un amplificador, y luego aplicada a la entrada de control del VCO.

153




Si la frecuencia de la señal de entrada está desfasada ligeramente de la del VCO, la señal de entrada incrementara la señal de control del VCO hasta que el VCO tome el mismo valor que la señal de entrada.



La malla se mantiene enganchada cuando el voltaje de entrada al VCO es proporcional a la frecuencia de la señal de entrada.

9.2 TERMINOLOGIA EMPLEADA. 

RANGO DE SEGUIMIENTO: Rango de frecuencias de la señal de entrada sobre el cual la malla puede mantenerse enganchada. También es llamado: LOCK RANGE.



FRECUENCIA DE OSCILACION LIBRE (Frecuencia central): frecuencia a la que corre el VCO en condición de desenganche y que corresponde al voltaje de control DC aplicado de 0 voltios.



PROCESO DE CAPTURA: proceso mediante el cual la malla va desde el desenganche o condición de oscilación libre (FREE RUNNING), al enganche de la señal de entrada. Cuando se tiene una frecuencia cercana a la frecuencia de oscilación libre la malla puede o no engancharse dependiendo de un número de factores. El proceso de captura es de naturaleza no lineal.

Figura 9.2 Salida típica del detector de fase durante el transiente de captura RANGO DE CAPTURA (Capture range): es el rango de frecuencias de entrada para la cual la malla pasa del desenganche a una condición de enganche. 

TIEMPO DE CAPTURA (Pull - in): es el tiempo requerido para que la malla capture la señal de entrada. El rango y tiempo de captura dependen de la ganancia de la malla y el ancho de banda del filtro de malla.

154


9.3 PLL EN CONDICION DE “ENGANCHADO” (LOCKED) Bajo condición de ENGANCHADO existe una relación lineal entre la salida del detector de fase y la diferencia de fase entre el VCO y la señal de entrada. Una representación del sistema en diagrama de bloques es:

Fig. 9.4 Diagrama del PLL en Condición de “enganchado”

Puesto que:

(9.1) por tanto:

∫

(9.2)

Esta integración es representada por el bloque 1/s de la figura. Por razones prácticas, el VCO es diseñado de tal forma que cuando el voltaje de entrada al VCO (V0), la frecuencia del VCO, no es cero. La relación entre la frecuencia de salida del VCO y V0 es: (9.3) Donde:

= frecuencia oscilación libre

La función de transferencia en malla cerrada es:

(9.4)

155


(9.5) Regularmente interesa la respuesta de la malla a las variaciones de frecuencia en la entrada, de tal forma que la variable de entrada es frecuencia en lugar de fase. Puesto que:

(9.6)

(9.7)

(9.8)

9.4 MALLA DE PRIMER ORDEN Cuando el filtro de malla es removido por completo y F(s) =1. En este caso se tiene: (

)(

) (9.9)

Donde Kv = KD K0A = ancho de banda de la malla (seg.-1)

(9.10)

Si la malla es enganchada sobre una señal portadora, y la frecuencia de esa portadora se hace variar sinusoidalmente en el tiempo con una frecuencia ωm , esta se observará en la salida de la malla. El lugar de las raíces y la respuesta en frecuencia de un PLL de primer orden es el siguiente:

156


Fig. 9.5 Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia de un PLL de primer orden Respuesta de la malla a variaciones de la frecuencia de entrada.

Fig. 9.6 Respuesta del PLL a variaciones de la frecuencia de entrada ω0 = frecuencia de oscilación libre KD = ganancia del detector de fase Kv = Ancho de Banda de la malla 9.5 MALLA DE SEGUNDO ORDEN Es la configuración más común para circuitos integrados PLL donde F(s) es un filtro pasabajos de 1 polo simple (una resistencia y un condensador):

157


Filtro F(s): Es un filtro RC como se muestra en la Fig. 9.7.

(9.11) Fig.9.7 Filtro pasabajos RC

Donde:

(9.12)

La función de transferencia del PLL es:

[

] (9.13)

Cuyas raíces son: (

√

) (9.14)

Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia de un PLL de 2º orden:

Fig. 9.8 Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia de un PLL de 2do. Orden La función de transferencia en este caso puede ser expresada: 158


(

)

(9.15)

Donde: √

(9.16)

√

= Factor de amortiguación

Para máxima respuesta plana ζ debe ser igual a

√

(9.17)

y reemplazando:

√

√ (9.18)

Luego la consideración para el diseño con máxima respuesta plana es:

(9.19) Mientras que la frecuencia de -3dB de la función de transferencia (V0/ω1)(jω) es: √

√ (9.20)

Una desventaja de la malla de 2º orden es el ancho de banda en -3db que está básicamente determinado por Kv. 9.6 Diseño con un Filtro F(s) con polo simple y cero simple: Función de transferencia de este filtro que ahora contiene 1 polo y 1 cero: (9.21)

Fig.9.9 Filtro con 1 polo y 1cero

Cero: Polo:

(9.22) (9.23) 159


Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia del PLL de 2º orden con un cero adicional se muestran en la Fig. 9.10.

Fig.9.10 Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia del PLL de 2º orden que incluye polo y 1 cero

1

9.7 RANGO DE SEGUIMIENTO DE LA MALLA = ωL (LOOP LOCK RANGE = TRACKING RANGE = HOLD IN RANGE) Es el rango de frecuencias de entrada alrededor de la frecuencia central para la cual la malla se mantiene enganchada. En la mayoría de los casos, ωL es limitado por el comparador de fase. Una vez que la diferencia de fase entre la señal de entrada y el VCO alcanza más de 90º el comparador de fase cesa de tener un comportamiento lineal.

Fig. 9.11 Característica de transferencia de un comparador de fase típico La magnitud del voltaje DC a la salida del comparador de fase es:

( ) (9.24) 160


Este voltaje es amplificado A veces y el resultado es aplicado a la entrada del VCO, produciendo un desplazamiento de frecuencia respecto a la frecuencia de oscilación libre de:

( )

( ) (9.25)

El rango de seguimiento (LOCK RANGE), ωL , es dado por:

( ) (9.26) Este es un parámetro que solo depende de la ganancia de la malla y es independiente de las propiedades del filtro de malla. 9.8 EL RANGO DE CAPTURA=

:

Es eica l rango de frecuencias de entrada para la cual la malla desenganchada inicialmente, se engancha a una señal de entrada, donde < El rango de captura es difícil de predecir analíticamente. La Figura 9.12 muestra una gráfica donde se relaciona el Voltaje de salida del PLL vs. la frecuencia de la señal de entrada

Fig. 9.12 Ciclo de Histéresis de un PLL El rango de captura puede ser estimado con la siguiente ecuación: [

]

(9.27)

9.9 PLL - CIRCUITOS INTEGRADOS 161


a. El NE – 560/561/562: primeros PLL monolíticos prácticos que llegaron a ser comercialmente disponibles en 1970 – 1971. Características: 

El detector de fase: es del tipo celda de Gilbert



El VCO es un multivibrador astable emisor acoplado y compensado en temperatura.



El Filtro de malla es un circuito RC externo.

b. El 4046 es un PLL con tecnología CMOS c. Características: 

Dispone de 2 detectores de fase: 1. La Compuerta OR EXCLUSIVA genera un sistema de detección en cuadratura. La Fig. 9.13 muestra las características de la compuerta: la tabla de la verdad y las señales de entrada y salida.

Fig. 9.13 Características de la compuerta OR-EXCLUSIVA como comparador de fase 2. Memoria FF: mantiene una diferencia de fase de 0º entre la señal de entrada y el VCO. Ver Fig. 9.14.

162


Fig. 9.14 Características de la memoria FF como comparador de fase 9.10 Sintetizador de frecuencias con PLL 9.10.1. Introducción La característica más relevante del PLL que lo hace insustituible en estas diversas aplicaciones es su capacidad de generar señales de frecuencia superior a la señal de entrada que se le introduce. Acá se utilizará el PLL para construir un multiplicador de frecuencia. 9.10.2. PLL a utilizar. Se utilizará el circuito integrado 74HEF4046B de Philips, que tiene dos comparadores de fase distintos y el VCO.lado por tensión (VCO, Voltaje Controlled Oscilador), que se conectan en lazo cerrado. La fig. 9.15 muestra la identificación de terminales de este integrado. (Pueden consultarse las hojas de datos para obtener una información más detallada). 9.10.3 Comparadores de fase Los dos comparadores de fase (PC1 y Fig. 9.15 Identificación de terminales PC2) tienen las entradas COMPIN y SIGIN en del 74HEF4046B. común y salidas independientes (PC1OUT y PC2OUT). Cualquiera de ellos genera a la salida una señal de tensión cuyo valor medio en el tiempo (es decir, su componente de continua) es proporcional a la diferencia de las fases de las dos señales conectadas a las entradas. Para convertir la señal de salida del comparador de fase en una señal de continua, será necesario incluir un filtro pasa baja externo al 4046. Llamando Kp a la ganancia del comparador de fase:

= Señal de salida del comparador de fase tras un filtro pasa bajo 163


= Fase de la señal SIGIN: = Fase de la señal COMPIN:

SIGIN  SIGINt   0SIGIN COMPIN   COMPINt   0COMPIN

Si las frecuencias de las señales SIGIN y COMPIN son iguales, la diferencia de fase entre ambas señales será un desfase constante y la salida del comparador de fase tras el filtro pasa baja () tendrá un valor constante. Si se producen diferencias entre ambas frecuencias, se producirán variaciones en PCOUT. La estructura y el funcionamiento interno de cada uno de los comparadores de fase es diferente: Comparador de fase 1 (PC1): Este comparador es una puerta O-exclusiva (XOR), por tanto cuando ambas señales de entrada son iguales la salida está a 0V, mientras que si son diferentes la salida pasa a VCC. (VCC = tensión de polarización del 4046). Este comparador funciona de manera óptima para señales de entrada con ciclo de trabajo del 50%. Comparador de fase 2 (PC2): Este segundo comparador es el que presenta las mejores características de enganche de los tres. Funciona mediante la detección de flancos de subida. En principio se encuentra en un estado de alta impedancia; es decir, se comporta como un circuito abierto. Si detecta un flanco de subida de SIGIN se pone a VCC hasta que detecta un flanco de subida de la señal COMPIN, momento en el que pasa de nuevo al estado de alta impedancia. Si por lo contrario detecta primero un flanco de subida de COMPIN lo que hace es ponerse a 0V hasta que llega el flanco de subida de SIGIN. Las principales ventajas de este comparador son: no se ve afectado por el ciclo de trabajo de los pulsos de entrada y que mientras está en el estado de alta impedancia el condensador del filtro pasa baja no se puede descargar y por tanto mantiene su voltaje. Pueden consultarse las hojas de datos de este chip correspondientes para cada tipo de comparador de fase. También pueden consultarse las ganancias de cada comparador. 9.10.4. El oscilador controlado por tensión (VCO) Un oscilador controlado por tensión es un circuito que genera una señal cuadrada (señal VCOOUT) cuya frecuencia depende de la tensión de continua suministrada (VCOIN). El rango de frecuencias de salida se determina mediante dos resistencias (R1 y R2) y un condensador (C1) externos al 4046. En la fig. 9.16 se muestra la configuración del VCO. (Se ha fijado la tensión VSS = 0).

164


En las hojas de datos del 4046 se explica cómo elegir R1, R2 y C1 para ajustar el rango de frecuencias de oscilación de salida deseado. La relación entre la frecuencia de la señal de salida del VCO (VCOOUT) y la tensión de entrada (VCOIN) es aproximadamente lineal (excepto para tensiones muy cercanas a 0 o a la tensión de alimentación). 9.10.5 Diseño del VCO

VDD

VCOIN

VCOOUT

R2

R1 C1

Fig. 9.16. Configuración del VCO. Existen dos posibilidades a la hora de realizar el diseño: sin frecuencia de offset o con frecuencia de offset. Sin frecuencia de offset significa que no se define una frecuencia mínima para la salida del VCO; la frecuencia mínima será prácticamente 0. En el diseño, se fija R2   (el terminal 12 se deja en circuito abierto) y R1 y C1 definen la frecuencia máxima (fmax). En este caso la frecuencia central (f0) es: f0 = fmax / 2. Si se coloca una resistencia R2, se fija una frecuencia de offset o frecuencia mínima (fmin) para la señal de salida del VCO. En este caso (si fmax es la frecuencia máxima) la frecuencia central es f0 = ( fmax – fmin ) / 2. En este ejemplo se realizará un diseño con frecuencia de offset, es decir, fijando una frecuencia máxima fmax y una frecuencia mínima fmin. Elegimos fmin = 10 kHz y fmax = 30 kHz (o lo que es lo mismo, una frecuencia central de 20 kHz, con un rango de variación de 10 kHz). El procedimiento para seleccionar R2, R1 y C1, explicado en las hojas de datos es el siguiente (ver Fig. 9.17):

165


Fig. 9.17 Sintetizador de frecuencias 1. Una vez elegido el rango de frecuencias, a partir de fmin se fijan los valores de R2 y C1, utilizando la fig. 9.19 de la hoja de datos. En este ejemplo, fmin = 10 kHz. Suponiendo una polarización VDD = 5 V, una posibilidad sería R2 = 100 k y C1 = 50 pF. (Obsérvese que la elección de R2 y C1 no es única). 2. A partir del cociente fmax / fmin se fija el cociente R2 / R1, utilizando la figura 9.20 de la hoja de datos. También se muestra en el apéndice B. Puesto que R2 ya está fijada, se obtiene el valor de R1. En nuestro ejemplo, fmax / fmin = 3. De la curva correspondiente a VDD = 5 V, se obtiene R2 / R1  2.7. Por lo tanto R1 = R2 / 2.7 = 37 k. 9.10.6 Rango de enganche y Rango de Captura del PLL El rango de frecuencias en el que el circuito continúa enganchado si inicialmente lo estaba se conoce como rango de enganche. Idealmente este rango es: 2fL = 2 (fmax – f0) = fmax – fmin El rango de frecuencias en las que el circuito es capaz de enganchar si inicialmente no lo estaba se conoce como rango de captura. El rango de enganche es mayor o igual que el rango de captura. 9.10.7 Multiplicación de frecuencia con PLL Considerando el circuito completo de la figura 9.17. La relación entre las frecuencias de las señales COMPIN y VCOOUT será:

166


 COMPIN 

Fig. 9. 19 Cálculo de

VCOOUT n

(9.28)

en función de la frecuencia[21]

Cuando el lazo está “enganchado”, de acuerdo con la discusión anterior, la frecuencia de COMPIN será igual a la de la señal de referencia SIGIN, para que la salida del comparador de 167


fase sea estable. La frecuencia de la señal de salida del VCO será n veces la frecuencia de la señal de referencia, con lo cual se consigue una multiplicación de frecuencia.

Fig. 9.20 Relación de R2/R1 en función de la relación fmáx/fmín [21] 9.10.8 Diseño del filtro pasa baja Este filtro difiere de un simple filtro RC ya que se ha añadido una resistencia adicional (R4) en serie con el condensador. Esta resistencia se incluye por razones de estabilidad. Si la ganancia total del lazo supera la unidad con un desfase de 180º, entonces el circuito es inestable. Para el cálculo de la ganancia total del lazo, habría que multiplicar las ganancias de cada bloque. La ganancia del comparador de fase (Kp) es VCC /  para el PC1 y VCC / 4 para el PC2 (obtenido a partir de las hojas de datos de componentes similares). La ganancia del filtro viene dada por:

168


KF 

1  jR4 C 2 1  j R3  R4 C 2

(9.29)

La ganancia para la frecuencia de salida del VCO es aproximadamente:

KVCO 

VCOout 2f  2 L VCO IN VDD

(9.30)

En la ecuación (9.30) se ha supuesto un comportamiento ideal del VCO, de modo que se barre todo el rango de frecuencia fmax – fmin = 2fL a lo largo de de todo el rango para VCOIN entre 0 y VDD, de forma lineal. En la práctica habría que calcular la ganancia restringiéndonos al rango de valores de VCOIN para el cual el comportamiento es lineal. El divisor de frecuencia introduce una ganancia 1/n Por último, se debe tener en cuenta que la señal que utiliza el comparador de fase es (valga la redundancia) la fase de la salida del VCO; es decir, la integral de la frecuencia. Por lo tanto, en el cálculo de la ganancia total del lazo habrá que incluir un factor 1/j. Justamente esta integración es la razón de añadir la resistencia R4 en el filtro. El factor 1/j introduce un polo en el origen. Un filtro RC normal, introduciría un segundo polo, Cada polo introduce un desfase de 90º, con lo cual, el efecto conjunto de los dos polos sería un desfase de 180º para frecuencias en las que la ganancia estaría por encima de 1, con lo cual el sistema sería inestable. Al añadir la resistencia R4, la función de transferencia del filtro presenta un polo y un cero a frecuencia superior. Si el cero se sitúa al menos una década por debajo de la frecuencia para la cual la ganancia del lazo es la unidad, se garantiza un desfase de 90º para esa frecuencia y el sistema será estable. 9.11 Ejercicios Propuestos 9.11.1 Considere el PLL de la Fig. 9.4, donde:

Determine:

169


a. b. Voltaje de salida del PLL = c. Voltaje de salida del filtro 9.11.2 Considere el PLL de la Fig. 9.21 que trabaja como “sintetizador de frecuencias” que van desde hasta en pasos de con una frecuencia de oscilación libre de 500 KHz y una señal de entrada sinusoidal con frecuencia de 10 KHz.

Fig. 9.21 Sintetizador del Ejercicio 9.11.2 a. Determinar los valores máximo y mínimo del divisor de frecuencia de entrada: M. b. Calcular los voltajes máximo y mínimo de entrada al VCO. c. Determinar los valores máximo y mínimo del divisor de frecuencias del VCO: N NOTA: Emplear

y

9.11.3 Un PLL (Fig. 9.4) tiene los siguientes parámetros: [ ] constante:

Para una señal de entrada

a. b. Encontrar en cada caso el valor de

.

9.11.4 El PLL de la Fig. 9.22 es utilizado para generar una señal portadora en frecuencia y en fase con la señal modulada de entrada con las siguientes características: Rango de seguimiento de 15 KHz y un VCO con

[

].

Determine: a. El tipo de comparador digital de fase. b. Gráfica de transferencia: , empleando los niveles TTL. 170


c. Halle la ganancia del comparador de fase: d. Calcule la frecuencia de corte del filtro

. para máxima respuesta plana del PLL.

Fig.9.22 Ejercicio 9.11.4

171


172


Capítulo X: Comunicación Banda Base

173


174


10. COMUNICACION BANDA BASE

10.1 Introducción Transmitir una señal eléctrica sin ninguna traslación de su espectro se conoce como comunicación en banda base. Un sistema de comunicación banda base general es de la forma como se representa en la Fig. 10.1

Fig. 10.1 Modelo de un canal banda base 10.2 Cálculo de la atenuación del canal Se asume lo siguiente: a. La señal x(t) se supone limitada en banda y con ancho W. Fig. 10.2

Fig. 10.2 Espectro de la señal de entrada b. El transmisor consiste de un amplificador cuya ganancia en potencia es G T c. El canal “no distorsiona”, solo atenúa en potencia (L) >1, en la práctica este canal puede ser: Líneas de transmisión, guías de onda, fibras ópticas, o el aire. 

En el caso de líneas de transmisión, guías o fibras ópticas la relación de potencia en un recorrido l puede expresarse como: (10.1) = Atenuación en potencia  = Coeficiente de Atenuación 175


l = Longitud del trayecto Cabe anotar que el valor de  depende de la frecuencia y de los parámetros de la línea. (10.2) Estas ecuaciones son válidas solo para señales sinusoidales. 

Caso de la transmisión por aire: La Información se acopla a través de antenas:

Fig. 10.3 Transmisión por aire La relación de potencias después de recorrer una distancia igual a l es:

Pin  4  1   Pout    G AT .G AR 2

L

(10.3)

G AT = Ganancia de la antena transmisora G AR = Ganancia de la antena receptora En dB: (

)

    

2

(10.4)

Se puede observar que en el primer caso la atenuación se duplica cada vez que se duplica la distancia recorrida, mientras que en el caso de la transmisión por aire se agregan en forma fija  6 dB d.

Antes de llegar al receptor, la señal se contamina con ruido blanco de media nula y DEP dada por: n (10.5) Gn  f     ;- < f <  2 e. El receptor está constituido por un amplificador con ganancia en potencia GR seguido de un filtro pasa-bajo ideal con ancho de banda B. Bajo estas condiciones la señal detectada yD (t ) es:

G R .G T yD (t )  x(t )  nD (t ) L

(10.6)

176


Donde nD (t ) es ruido blanco filtrado y amplificado una cantidad GR. Es decir que su DEP es uniforme como se indica en la Fig. 10.4.

Fig. 10.4 Densidad espectral de potencia de la salida detectada.

10.3 Cálculo de (S/N) D: Se puede calcular primero, la autocorrelación de la señal de salida y evaluarla en  = 0 para obtener el valor de la potencia del ruido. ( )

[

( )

(

)]

(10.7)

Pero (t) y x(t) son independientes, además,  D(t) = 0 luego las correlaciones cruzadas son cero (incoherentes). ( ) ( ) (10.8) nD nD Por tanto:

GR.GT RY D ( )  Rx ( )  RnD ( ) L

(10.9)

Al evaluar en  = 0

Ry D  0   yD2 

GR.GT 2 x  nD2 L

(10.10)

Así:

S D GRGT x 2 GT x 2 S S     T   L B L B  N  D N D L BGR

(10.11)

Pero:

SR 

ST  S  S ;    R L  N D  B

(10.12)

El máximo valor (S/N)D se consigue cuando el filtro tiene ancho de banda igual al del mensaje es decir B=W S S  R     N  DMáx W (10.13) 177


El valor  servirá como base de comparación para los cálculos (S/N)D que se realiza en todos los sistemas de modulación.

10.4 Sistemas repetidores Cuando a un sistema de comunicación banda-base se le requiere mejorar su (S/N) D sin aumentar la potencia de transmisión ni variar el ancho de banda del filtro receptor es necesario utilizar repetidoras intercaladas en el camino de transmisión:

Fig. 10.5. Modelo de un sistema con repetidoras. Se considera: a. M repetidores equiespaciadas (la última es el receptor). b. Se diseña:

L1 L2 L3    G1 G2 G3



LM 1 GM

c. Asumiendo: 1=2=... =M

(10.14)

d. Se supone que cada amplificador GR incluye un filtro pasa-bajos con ancho de banda B. Bajo estas condiciones: SD=ST ND=1G1B+2G2B+... +MGMB=MMGMB=MMLMB

ST S     N  D MLMM B

; Con repetidores.

(10.15) (10.16)

Antes teníamos (sin repetidoras).

ST S     N  D L B

(10.17)

Y como: L1.L2... LM=L entonces LM=L1/M Por tanto: La atenuación de M trayectorias será: M L1/M < L Con esto se logra mejorar la (S/N)D.

10.5 Distorsión

178


Si en un sistema de transmisión la señal recibida pierde la forma respecto a la señal de entrada, se dice que esta distorsionada. Para que no exista distorsión, la señal de salida debe representar una proporción de la señal de entrada retrasada:

Fig. 10.6 Sistema sin distorsión. Dónde:

= Retardo > 0 K = Constante

Dicho de otra forma la función de transferencia del sistema de transmisión debe ser:

H( f ) 

 j td KX ( f )e  j td  Ke X( f )

(10.18)

Es decir que la magnitud debe ser constante con la frecuencia y la fase debe depender linealmente de ella. (1) H( f ) = k [ ( )] (2)

(10.19) (10.20)

Si no se cumplen estas dos condiciones, la salida estará distorsionada. Esta distorsión se llamará Distorsión de magnitud si no cumple la condición (1). Distorsión de fase: Si no cumple la condición (2). La solución teórica para la distorsión de fase es colocar una RED ECUALIZADORA. Su función de transferencia de la Red ecualizadora es tal que compensa los problemas del sistema con distorsión:  j td H s ( f ). H eq ( f )  K e (10.21) Por tanto:  j td Ke H eq ( f )  Hs ( f ) (10.22) Una de las clásicas redes ecualizadores es el FILTRO TRANSVERSAL que utiliza líneas de retardo para minimizar la distorsión (ver fig. 10.7): ( )

( )[

]

Heq(f) = c-1 + c0 e - j + c1 e –j  2 Heq(f) = e – j  (c-1 e – j  + c0+ c1 e – j  )

(10.23)

179


Función que se puede generalizar a un número impar de canales.

Fig. 10.7 Filtro transversal

10.6 Distorsión no lineal Si un sistema de transmisión incluye elementos no lineales no se puede definir una función de transferencia. Se habla de la “Característica de transferencia” de la red que se define como: y (t)=g[x(t)]

Fig. 10.8. Canal no lineal. y(t) se puede representar con una aproximación polinómica de x(t) y(t) = a1x(t)+a2x2(t)+a3x3(t)+...

(10.24)

Al aplicar Transformada de Fourier: Y( f ) = a1X( f ) + a2X( f ) * X( f ) + a3X( f ) * X( f )* X( f ) + …

(10.25)

180


Si X( f ) está limitada en ancho de banda W, x(t)* x(t) está limitada en ancho de banda 2W y x(t)* x(t)* x(t) con 3W y así sucesivamente. Esto produce distorsión no lineal: no solo crea componentes de frecuencia que no existían, si no que altera las frecuencias originales dentro de la banda X(f). Una forma de medir la distorsión no lineal es excitando con un tono del tipo: x(t) = CosW0 t y(t) = a1 Cos0 t +a2 Cos20 t + a3 Cos30 t +...

(10.26)

A expandir Cos20 t, Cos30 t,... en función de sinusoides de frecuencia doble, triple, etc. Se obtiene: y(t) = A+B Cos0 t +C Cos20 t + D Cos30 t +... (10.27) En este caso se define la Distorsión total del tono como: DISTORSION TOTAL = 

C 2  B2  *100% B

DISTORSION 2da ARMONICA =

C *100% B

(10.28)

(10.29)

Fig. 10.9 Zona lineal de un canal no lineal.

Si la Distorsión no Lineal se debe a que la señal de entrada supera la zona Lineal del sistema: Esta puede minimizarse utilizando un COMPANSOR y un EXPANSOR de la manera como se indica en la Fig. 10.10:

181


Fig. 10.10. Canal empleando compansor y expansor. El compansor amplifica las señales pequeñas comprimiendo las de gran magnitud. De esta forma no es afectada por el canal. Para recuperar la señal en forma original es necesario usar un expansor que compensa amplificando las señales de gran nivel. Por tanto: f expansor [g compansor (x)] = x 10.7 Ejercicios propuestos: 10.7.1 Un trasmisor Banda Base envía una señal de 20 KHz de ancho de banda con potencia de 1 watt, a través de un cable coaxial con pérdidas de 1 dB/Km sobre un trayecto de 150 Kms. Para mejorar la relación S/N detectada se dispone de un cierto número de repetidoras idénticas que aceptan un máximo de potencia de entrada de 100 mW. Asumiendo determine: a) El máximo número de repetidoras equidistantes que se deben emplear. b) La ( ⁄ ) con el número de repetidoras calculado en el paso anterior. 10.7.2 Se tienen 3 repetidoras de 20 KHz de Ancho de Banda que deben colocarse equidistantes dentro de un canal de transmisión de 30 Kms de longitud con pérdidas de 2 dB/Km. Las características de cada una de las repetidoras se muestran en la siguiente tabla: Repetidora N° A B C

Sensibilidad (Mw) 0.01 0.1 0.1

Ganancia 10 50 100

Si la potencia de transmisión es de 10 mW, a) Diseñe y explique el orden en que se deben colocar las repetidoras. b) Determine la relación (S/N)D, si c) Cuanto mejora en dB la relación (S/N)D comparada con la que se tendría sin ninguna repetidora.

182


Capítulo XI: Sistemas de Modulación Lineal

183


184


11. MODULACION LINEAL 11.1 Introducción: La modulación lineal recibe su nombre porque el espectro que produce está relacionado en forma lineal con el espectro del mensaje: Tipos de modulación lineal: AM, DSB, SSB, VSB. Convenciones: a) El mensaje x(t) está limitado a una banda de frecuencias W1 b) Mensaje normalizado, esto es: x(t) 1 c) Cuando el mensaje es un tono, se asume: ( )

(11.1)

El análisis de Fourier permite representar señales sinusoidales y emplear superposición en sistemas lineales. Como la portadora de onda continua es sinusoidal, la señal resultante de la modulación con ancho de banda pequeño, puede analizarse como sinusoide pura.

11.2 señales pasabanda =

( )

Son aquellas cuyo espectro está concentrado en la vecindad de una frecuencia llamada portadora fc 0. Por tanto una señal pasabanda puede verse como una señal modulada por una portadora, tal como se muestra en la Fig. 11.1

Fig. 11.1 Modulador.

La forma típica de una señal pasabanda en el dominio del tiempo se muestra en la Fig. 11.2.

185


Fig. 11.2 Típica señal pasabanda en el dominio del tiempo. Como se aprecia en la Fig. 11.2, una señal pasabanda la portadora presenta cambios en la envolvente y la fase.

( ) centrada en la frecuencia de

Formalmente se puede escribir como: ( ) dónde:

( ): Envolvente y

( )

[

( )]

(11.2)

( ): Fase. En consecuencia, ambos son funciones del tiempo.

a) Representación fasorial de

( ):

Fig. 11.3 Representación fasorial de x(t). El plano completo rota a c La envolvente y la fase se pueden escribir como: R(t )  xi2 (t )  xq2 (t )

t 

 arctg

(11.3)

xq (t ) xi (t )

(11.4)

Expandiendo la ecuación de xBP(t): 186


( )

( )

( )

Se define:

Por tanto:

Donde:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(11.5)

( )

( )

( )

(11.6)

( )

( )

(11.7)

( ): Componente en fase de la señal pasa-banda. ( ): Componente en cuadratura de la señal pasa-banda.

b) Representación en frecuencia: Al pasar el resultado anterior al dominio de la frecuencia y aplicando Transformada de Fourier a la señal pasa-banda:

X BP ( f )

 X i ( f  fc )  X i ( f  fc )   X q ( f  fc )  X q ( f  fc )    j 2 2    

(11.8)

Puesto que XBP(f) existe alrededor de fc, entonces: xi(t) y xq(t) son señales pasa-bajos. ¿Cómo determinar Multiplicando

( )) y

( ) a partir de

( )?

( ) por

Sen2ct  1  Cos 2ct  xBP (t ) Cos ct  [ xi (t )Cos ct  xq (t ) Sen ct ]Cos ct  xi (t )    xq (t ) 2 2   Aplicando transformada de Fourier a este resultado:

F[ xBP (t ). Coswct ] 

X i ( f ) 1  X i ( f  2 fc )  X i ( f  2 fc )  1  X q ( f  2 fc )  X q ( f  2 fc )      2j 2 2 2 2   

Pasando esta señal por un filtro pasabajos de ganancia 2 se puede encontrar

( ).

El diagrama de bloques correspondiente se muestra en la Fig. 11.4.

187


Fig. 11.4. Obtención de la componente en fase. Para encontrar ( )se emplea un método similar pero ahora multiplicando por obteniendo ( )

y

Fig. 11.5 Obtención de la componente en cuadratura. c) Representación de señales pasa-banda con un “equivalente PASA-BAJO”. Sea X BP ( f ) una señal pasabanda tal como se ilustra en la Fig. 11.6.

Fig. 11.6 Señal pasabanda Se define el equivalente pasabajos de esta señal como:

X BP ( f )  X BP  f  fc  U  f  fc 

(11.9)

Fig. 11.7 Equivalente pasabajos 188


Como: ( ) (

[ ( )

)

(

[ ( )

)]

[

(

(

)]

)

[

( )

( (

)] )]

Al multiplicar por U  f  fc  y recordando que Xi y Xq son señales pasa-bajos, resulta: (

)

( ) ( )

Por tanto: ( )

Donde:

( ) ( )

( )

(11.10)

( )

( )

(11.11)

( )

( )

( )

(11.12)

( )

( )

(11.13)

Magnitud :

R(t)  xi2 (t )  xq2 (t )  2 xLP (t ) Fase:

( )

[

(11.14)

( )]

(11.15)

Además: ( )

[

( )

]

[

( )

( )

]

(11.16)

Que se transforma en: ( )

(

)

(

)

(11.17)

Así como se aplica un equivalente pasabajos en señales, lo mismo puede hacerse para sistemas. Por tanto, un sistema PASA-BANDA con HBP ( f ) tiene un equivalente pasabajo HLP ( f ): ( ) ( ) ( ) (11.18) ( ) y se hace Por tanto, si se tiene una señal pasa-banda cuyo equivalente pasa-bajo es ( ), la salida será una señal pasapasar por un sistema pasa-banda cuyo equivalente es banda con un equivalente YLP , representado en la Fig. 11.7. ( )

( )

( )

(11.19)

Fig. 11.7 Equivalente pasabajos

189


11.3 Modulación de Amplitud (AM) Como su nombre lo indica, consiste en variar la amplitud de una sinusoide de acuerdo al mensaje que se desea transmitir. A la sinusoide se le llama PORTADORA debido a que llevará la información sobre si. -

Sea x(t) un mensaje normalizado (con un ancho de banda = W).

Si la portadora es de la forma: ( )

(11.20)

La señal modulada en amplitud AM se expresa como: ( )

[

( )]

(11.21)

Donde m es el índice de modulación y 0 < m  1. Empleando un índice de modulación m=1, en la Fig. 11.8 se muestra una señal x(t) en la parte (a), la señal 1+mx(t) en la parte (b), la portadora en la parte (c) y la señal modulada en AM en la parte (d).

Fig. 11.8 (a) Señal x(t), (b) Señal 1+mx(t) (c) Portadora, (d) Señal modulada en AM con m=1 Como se observa, la envolvente de la señal modulada en AM tiene la forma del mensaje. Sin embargo, si m>1 (SOBREMODULACION) se presenta un cambio de fase en la señal 190


modulada en AM, lo que representa perder el parecido de la envolvente con el mensaje. Por ejemplo si m =2, (ver Fig.11.9) se aprecia que en la señal modulada (Fig. 11.9b) la envolvente contiene el mensaje ahora distorsionado.

Fig. 11.9 Señal AM con sobremodulación (m=2) En consecuencia, con sobremodulación la envolvente no se parece al mensaje. 11.3.1 Índice de modulación:

Fig. 11.10 Señal AM modulada con un tono De la expresión temporal puede derivarse m: a = Ac[1+m]

b = Ac[1-m]

Luego:

191


m

a-b ab

(11.22)

11.3.2 Espectro de una señal AM: Asumiendo un mensaje x(t) con ancho de banda W y un espectro como se muestra en la Fig. 11.11, se pude obtener el espectro de la señal AM.

Fig. 11.11 Espectro de la señal x(t) Partiendo de la ecuación general del AM en el tiempo, Ec. (11.21): ( )

[

( )]

( )

( )

Al transformar por Fourier: X AM

f 



Ac mAc  X  f  fc   X ( f  fc)   ( f  fc)   ( f  fc)  2 2 

(11.23)

¿Cómo se escoge fc en relación con W? Conviene observar que el ancho de banda fraccional definido como

W se encuentre fc

limitado entre: 0,01 <

W < 0,1 fc

(11.24)

Considerando: fc >>W, el espectro del mensaje es trasladado en frecuencia hacia fc, tal como se aprecia en la Fig. 11.12.

192


Fig.11.12 Espectro de la señal modulada en AM . Se puede concluir que el espectro de la señal modulada en AM implica que: a) El ancho de banda ocupado por la señal AM es 2W. b) Se define Banda lateral superior USB la porción del espectro por encima de fc y Banda lateral inferior LSB la porción por debajo de fc. c) La señal modulada contiene la portadora con gran parte de la potencia. 11.3.3 Potencia de la señal AM. Se puede determinar mediante la función de autocorrelación de la señal AM: ( )

[

( )]

Aplicando la función de autocorrelación: ( ) ( )

[

[

[

( )

(

[

( )]

)] (

(11.25) )]

(

)]

Teniendo en cuenta que el mensaje tiene media nula: ( ) ( )

{[ { [ )

( ) ( (

[

)]

(

) ( ) (

)

( ) ( (

]}

) )

(

]}

Pero:

 Cos (2 c t   c )  E 0 2  

ECos c   Cos c

: es una constante

193


E  x(t ) x(t   )Cos(2ct  c )  0 : Por ortogonalidad Nota: Ex(t ) y(t )  0 , Si: a) x(t) y y(t) tienen simetrías diferentes b) x(t) y y(t) no coinciden en el tiempo c) x(t) y y(t) no coinciden en frecuencia

Ex(t ) x(t   ).Cosc   Rx( )Cosc Por tanto:

Ac 2 Ac 2 m2 RxAM ( )  Cosc    Rx( )Cosc 2 2 (11.26) El valor de la potencia promedio total se obtiene evaluando la autocorrelación en =0 2 X AM  RAM (0) 

Ac 2 Ac 2 m2 2  x 2 2

(11.27)

Se pude deducir: 2 X AM =Pportadora+2 Pot. cada banda lateral = Pc+ 2PSB

Pc 

Ac 2 m2 2 m2 x 2 Ac 2 x  PC ; PSB  4 2 2 2 X AM

Luego:

(11.28)

(11.29)

(11.30)

La portadora consume más de la mitad de potencia total de transmisión AM. En consecuencia, es necesario realizar el cálculo de la eficiencia del AM, puesto que el mensaje queda ubicado en las bandas laterales y no en la portadora. 11.3.4 Cálculo de la eficiencia de un sistema de transmisión AM:

 AM

2 PSB PC m2 x 2   100% PT PC (1  m2 x 2 )

 AM 

m2 x 2 1  m2 x 2

(11.31)

100% (11.32)

La máxima frecuencia se logra cuando Pc=2PSB Si m2 x 2  1  AM MAX = 50%.

(11.33)

Lo cual indica que los sistemas AM tienen una pésima eficiencia. 194


11.3.5 Modulación am con un tono En este caso: ( ) ( )

[

)]

( )

xAM  t   Ac Cosct 

mAm Ac mA A Cos(c  m )t  m c Cos(c  m )t 2 2

(11.34)

Para obtener el espectro se transforma la ecuación anterior:

X AM ( f ) 

Ac mA A  ( f  fc)   ( f  fc)  m c  ( f  fc  fm)   ( f  fc  fm)  2 4 mAm Ac  ( f  fc  fm)   ( f  fc  fm)  4 (11.35)

Este espectro se muestra en la Fig. 11.13

Fig. 11.13 Espectro de la señal AM modulada con tono La Densidad Espectral de Potencia se calcula elevando el espectro en magnitud al cuadrado. Ver Fig. 11.14, donde se aprecia que el Ancho de Banda no se altera en esta operación.

195


Fig. 11.14 Densidad Espectral de Potencia de la señal AM. Potencia Trasmitida = 2

Ac2 m 2 Am2 Ac2 Ac2 m 2 Am2 Ac2 4   4 16 2 4

(11.36)

La eficiencia en este caso es:

 AM

m 2 Am2 Ac2 m2 Am2 4  2  Ac m 2 Am2 Ac2 2  m 2 Am2  2 4

(11.37)

La máxima eficiencia ocurre cuando m=1 y Am=1

AM max(1tono)= (1/3) *100%  33%

(11.38)

11.3.6 Modulación AM con un tono en la forma fasorial

Fig.11.15 Señal AM en la forma fasorial

196


11.4 Moduladores AM Para conseguir una señal AM se necesita básicamente un sumador y un multiplicador ya que: ( ) [ )] Desglosando esta ecuación en sus dos términos, se puede desarrollar un modulador basado directamente en esta ecuación, como se indica en la Fig. 11,16.

Fig. 11.16 Modulador AM descrito por sus bloques funcionales Sin embargo existen otros métodos que generan una señal AM indirectamente y en forma más sencilla, como se indica en los numerales 11.4.1 y 11.4.2.

11.4.1 Modulador de ley cuadrática:

Fig. 11.17 Modulador de Ley Cuadrática. Considerando el modulador de Ley Cuadrática que se muestra en la Fig. 11.17, donde como elemento no lineal se pueden usar diodos ó transistores en las regiones donde se cumple: ( ) ( ) ( ) (11.39) Así: ( ) ( )  (11.40) xout(t) = a1[x(t)+ AcCosct]+ a2[x2(t)+2x(t) AcCosct + Ac2Cos2ct]

197

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas 2 1  Cos 2 c t   Ac2Cos2ct = Ac  2  

Al transformar por Fourier: a1 Ac  ( f  fc )   ( f  fc )+ a2X(f)*X(f)+ 2 a A2 a A2 a A2 2a A  2 c [X(f – fc)+ X(f + fc)]+  2 c  ( f )  2 c  ( f  2 fc )  2 c  ( f  2 fc ) 2 4 4 2 (11.41) Gráficamente se aprecia en la Fig. 11.18:

Xout(f) = a1X(f)

Fig. 11.18 Espectro de la señal Xout(f) Como se observa al pasar esta señal por el filtro pasabanda centrado en fc y ancho de banda de 2W, solo queda la señal AM cuya expresión temporal es: ( )

( )

 2a  xAM (t )  a 2 A c 1  2 X (t )  Cosct a1   (11.42) 2a Se observa que el índice de modulación toma el valor: m  2 a1 Normalmente a2 << a1 lo que implica que “la profundidad de modulación” es baja. Podría pensarse en aumentar x(t), sin embargo esta situación implica el trabajo de x(t) en otra zona diferente a la expresada anteriormente, produciendo un xAM(t) distorsionado. 11.4.2 Moduladores de conmutación. La Fig. 11.19 muestra un esquema del modulador AM de conmutación.

Fig. 11.19 Modulador de conmutación AM 198


fc = Frecuencia de conmutación fc =Frecuencia de la portadora. fc > 2W La Fig. 11.20 muestra las señales en el dominio del tiempo para un modulador de conmutación: a. b. c. d.

x(t)=Señal de entrada vi(t)= Señal de entrada con nivel dc igual a c voltios. vo(t)= Señal de salida del elemento no lineal ( ) de salida Señal

Fig. 11.20 Señales del modulador de conmutación

199


Modulador Cowan: Es un modulador AM de conmutación como se muestra en la Fig. 11.21

Fig. 11.21 Modulador Cowan

11.5 Demoduladores AM. 11.5.1 Detector de envolvente: La principal ventaja de modular en AM consiste en que es posible recuperar el mensaje con un simple detector de envolvente con tiempo de carga corto y descarga largo. Su versión más sencilla es la que se muestra en la Fig. 11.22.

Fig. 11.22 Detector de envolvente Cuando se aplica una señal a la entrada, el capacitor se carga a través del diodo. Cuando la tensión de entrada es baja el diodo se abre y el capacitor comienza a descargarse a través de R. 1 1  Rc  Condición de diseño: fc W (11.43)

200


Fig. 11.23 Señal en la detección de envolvente La salida de este circuito es el mensaje sobre un nivel Dc que puede bloquearse con un condensador c1:

Fig. 11.24 Circuito completo del detector de envolvente 11.5.2 Detector sincrónico o coherente: Otra forma de demodular una señal AM es multiplicándola por la portadora y filtrando como se indica:

Fig. 11.25 Detector sincrónico ( ) ( ) ( )

( ) [

[

(11.44)

( )] [

( )]

( )]

( ) por el filtro pasabajo se anulan las componentes de alta frecuencia (

Al pasar

)

: ( )

[

( )]

( )

(11.45) 201


Al bloquear la componente DC, se tiene: ( )

( )

( )

(11.46)

Observe que se asume que el receptor dispone de una muestra de la portadora de la misma frecuencia y fase que la usada en el modulador. Circuitos tales como el PLL (PHASE LOCKED LOOP) permiten obtener la portadora a partir de una señal modulada en AM. 11.6 Modulación en doble banda lateral (DSB) Se puede definir como el AM pero con la portadora suprimida a fin de ahorrar potencia. ( )

( )

(11.47)

El espectro por tanto es: ( )

[ (

)

(

)]

(11.48)

Es decir que el espectro del mensaje es trasladado en frecuencia con ancho de banda de transmisión 2W igual que en AM. Sin embrago la potencia es la de 2 bandas laterales. ̅̅̅

(11.49)

Por tanto su eficiencia será:



2 PSB *100%  100% PT

(11.50)

A pesar del parecido espectral que tienen AM y DSB, en el dominio del tiempo se notan más sus diferencias.

Fig. 11.26 Comparación entre AM y DSB 202


Se observa que al modular en DSB la envolvente ya no se parece a la señal x(t), por tanto no se puede usar detector de envolvente. 11.7 Moduladores DSB La forma directa de conseguir una señal DSB es con un multiplicador:

Fig. 11.27 Modulador DSB Existen otras formas básicas para lograr modulación DSB: 1. Utilizando elementos no lineales: Se usan dispositivos cuya relación  vs i es del tipo: i = a + b2

(11.51)

Un ejemplo serían los diodos y los transistores.

Fig. 11.28 Modulador DSB con elementos no lineales i1 = a ( x(t)+Cosct ) + b (x(t)+Cosct )2

1 = Ra ( x(t)+Cosct ) + Rb x2(t ) + 2Rbx(t) Cosct + Rb Cos2ct i2 = a (Cosct – x(t)) + b(Cosct – x(t))2

2 = R a (Cosct - x(t)) + R b ( Cos2ct – 2 x(t) Cosct + x2(t)) 203


0 = 1 - 2 = 2 a R x(t) + 4 Rb x(t) Cosct

(11.52)

Después del filtro pasabanda, se obtiene: y0 = 4 Rb x(t) Cos ct

(11.53)

11.8 Moduladores de conmutación MODULADOR EN ANILLO (RING MODULATOR): El modulador más ampliamente utilizado en los sistemas de comunicación. Emplea 4 diodos igualados en presión, temperatura, etc. (matching)

Fig. 11.29 Modulador en Anillo (Ring Modulator) Cuando la portadora es positiva conducen D1 y D2 mientras D3 y D4 se abren. En este momento la salida x1(t) = x(t) Cuando la portadora es negativa conducen D3 y D4 mientras D1 y D2 se abren. En este intervalo la salida x1(t) = -x(t) Observe el siguiente diagrama temporal (Fig. 11.30): a) Portadora analógica b) portadora digital, c) Mensaje, d) Señal modulada en DSB.

Fig. 11.30 Formas de onda en el Modulador en anillo

204


xc(t) es de suficiente altura que equivale a la señal p(t) x1(t) = p(t). x(t)

(11.54)

La señal p(t) puede representarse a través de una serie trigonométrica de cosenos sin DC:   x1  t   x  t   anCos n ct   n 1  (11.55) Al transformar por Fourier esta señal: ( )

[ (

)

(

)]

[ (

)

(

)]

El mensaje aparece trasladado a fc y sus múltiplos impares.

11.9 Demodulador DSB Es el demodulador sincrónico o coherente:

Fig. 11.31 Demodulador sincrónico

y1  t 

y1(t) = x DSB(t) .Cosct A A  Ac x  t  Cos 2c t  c x(t )  c Cos 2c t 2 2 Ac y t   x(t ) 2

(11.56)

Usos de la modulación DSB - En comunicaciones punto a punto. - Para colocar los canales L y R en el FM estéreo con el propósito de tener buena reproducción en la zona de baja frecuencia.

205


11.10 Modulación en banda lateral única (SSB) Analizando el espectro de DSB se encuentra que aún hay redundancia ya que las 2 bandas alrededor de fc son simétricas.

Fig. 11.32 Espectro en DSB Esta observación permite crear un nuevo esquema de modulación que se llamará SSB (BANDA LATERAL UNICA). En consecuencia, se generan 2 tipos de modulación: XUSB(f): UPPER SINGLE SIDE BAND XLSB(f): LOWER SINGLE SIDE BAND

Fig. 11.33a Modulación en Banda Lateral Inferior

Fig. 11.33b Modulación en Banda Lateral Superior

206


Potencia de transmisión: En AM:

PT AM

A c2 A c2 m 2 x 2   2 2

PT SSB 

En SSB:

A c2 2 x 4

Ancho de banda de transmisión = W El análisis en el dominio de la frecuencia es simple, pero no lo es en el dominio del tiempo y antes de intentarlo es necesario invocar una herramienta básica: La transformada de HILBERT

11.11 Transformada de Hilbert Retarda 90° todas las componentes de frecuencia de la señal sin alterar su amplitud.

Fig. 11.34 Transformador de Hilbert En donde la magnitud es unitaria:

H( f ) 1 Y la fase es: [ ( )]

⁄

{

}

⁄

(11.57)

Lo cual implica: ( )

{

}

(11.58)

Esta función se muestra en la fig. 11.35

207


Fig. 11.35 Característica de transferencia del Transformador de Hilbert

Y la salida en el dominio de la frecuencia es:

Xˆ ( f ) jSgn( f ) X ( f ) En el dominio del tiempo:

(11.59)

xˆ (t )  F 1   jSgn( f ) * x(t ) xˆ (t ) 

 1 1 * x(t )   x( ) d  t  (t   )

(11.60)

11.11.1 Transformadas de Hilbert de interés a) y(t)  e jct , yˆ (t)   je jct b) y(t)  Cosc t , yˆ (t)  Senc t c) y(t)  Senc t , yˆ (t)  Cosc t d) y(t)  x(t )e jct , yˆ (t)   jx(t )e jct e) y(t)  x(t ) Cosc t , yˆ (t)  x(t ) Senc t f) y(t)  x(t ) Senc t , yˆ (t)  x(t )Cosc t 11.11.2 Propiedades de la Transformada de Hilbert 1) x(t) y xˆ (t) tienen la misma DEP ˆ ( f )  R x ( ) = R xˆ ( ) 2) Como GX( f ) y G X

3) x ( t ) y xˆ ( t ) son ortogonales. 4) H [x( t )] = xˆ ( t ); H [ xˆ ( t )] = - x ( t )

11.12 Análisis de una señal SSB Filtrando la señal DSB con un filtro H1(f ) se obtiene XUSB(f) y con H2(f )se obtiene XLSB(f ), ver Fig. 11.36: 208


La señal en banda lateral superior se describe como: XUSB(f ) = XDSB(f ). H1(f ) La señal en la banda lateral inferior es: XLSB(f ) = XDSB(f ). H2(f ) Donde: H2(f ) = ½ [Sgn(f+fc) - Sgn(f+fc)] El filtro H1(f ) es el complemento del filtro H2(f) H1(f ) = 1 - H2(f ) Sustituyendo en X LSSB ( f ) :  X ( f  fc) X ( f  fc)  1 X LSSB ( f )     2  Sgn( f  fc)  Sgn( f  fc) 2 2  X ( f  fc) X ( f  fc) X ( f  fc) X ( f  fc) X LSSB ( f )  Sgn( f  fc)  Sgn( f  fc)   4 4 4 4 B

A

F -1{A}= ½x(t) Cosct F -1{B}= ½ ̂(t) Senct Por tanto: Ac  x(t )Cosct  xˆ(t )Senct  2 Ac xUSSB (t )   x(t )Cosct  xˆ(t )Senct  2 xLSSB (t ) 

(11.61) (11.62)

Los filtros ideales para separar las bandas lateral superior e inferior se muestran en la Fig. 11.36.

209


. Fig. 11.36 Filtros para separar bandas en SSB 11.13 Moduladores SSB: 11.13.1 1er Método: por discriminación de frecuencia Se genera DSB y luego se elimina una de las bandas:

Fig. 11.37 Detector SSB por discriminación de frecuencia 210


Si x(t) tiene componentes de baja frecuencia el filtro tiene que ser ideal y esto no es realizable físicamente. 11.13.2 2do Método: por discriminación de fase Se basa en la ecuación: xSSB (t ) 

Ac  x(t )Cosct  xˆ(t )Senct  2

(11.63)

Fig. 11.38 Detector SSB por discriminación de fase Desventaja: Es difícil diseñar el defasador de 90º para banda ancha. 11.13.3 3er Método: Técnica de Weaber. Tomando como referencia una frecuencia f1 como la mitad del ancho de banda del mensaje, para modular la señal mensaje: f1 = W/2

(11.64)

f2 = fc ± W/2

(11.65)

y llamando a la frecuencia f2: El modulador Weaber se muestra en la Fig. 11.39

211


Fig. 11.39 Técnica Weaber para detección en SSB. 11.14 Demodulación SSB: Detección Sincrónica ó coherente:

Fig. 11.40 Detector coherente para SSB xSSB (t ) 

Ac  x(t )Cosct  xˆ(t )Senct  2

Al multiplicar por Cosct: Ac  x(t )Cos 2ct  xˆ (t )Senct.Cosct  2 Ac Ac Ac xSSB (t ).Cosct  x(t )  x(t )Cos 2ct  xˆ (t ) Sen2ct 4 4 4 Esta señal pasa por un filtro pasabajos con ancho de banda W que solo permite el paso del primer término que es el mensaje. Luego Ac y (t )  x(t ) 4 (11.66) xSSB (t ).Cosct 

212


11.15 Usos del SSB: a. Telefonía multicanal. b. En circuitos de radio punto a punto. c. En enlaces de microondas. d. Comunicaciones militares. e. Radio aficionados (RADIO AMATEURS) f. Comunicaciones móviles de alta frecuencia.

11.16 Banda Lateral Vestigial (VSB) = Residual = Asimétrica

Fig. 11.41 Modulación en Banda Lateral Vestigial donde W = Ancho de banda residual (ó de vestigio) Esto se logra:

Fig. 11.42 Modulador VSB Ac X VSB ( f )   X ( f  fc)  X ( f  fc) H ( f ) 2 H(f) es un filtro que debe satisfacer la siguiente ecuación: H(f+fc)+ H(f-fc) = constante = 1

f  W

(11.67)

(11.68)

213


Por tanto:

Fig.11.43 Filtro VSB Se deduce: i. El ancho de banda de la señal VSB = W + W ii. La potencia de la señal VSB será

Ac 2 2 Ac 2 2 x  PVSB  x 4 2 PSSB

PDSB

(11.69)

11.15.1 Representación en el tiempo de una señal VSB: Siendo h(t) la respuesta impulsiva del filtro VSB

xVSB (t )  Ac x(t ) Cos ct * h(t )

(11.70)



xVSB (t )  Ac  h( ) X (t   ) Cos(c (t   ))d 





xVSB (t )  Ac Cosct  h( ) x(t   )Cos c d  AcSenct  h( ) x(t   )Senc d - Llamando: 





xi(t )  2 h( ) x(t   )Cosc .d  2 x(t )* h(t )Cosc .

(11.71)

Xi(f)= X(f)[H(f+fc)+ H(f-fc)]

(11.72)

|H(f) | = |H(-f) | = ½ en magnitud

(11.73)

Xi(f)=X(f)  Xi(t) = X(t)

(11.74)



En frecuencia:

Por simetría:

Luego:

- Llamando:

214


xq (t )  2 x(t )* h(t )Senc .

xq ( f ) 

(11.75)

1 x( f )  H ( f  fc)  H ( f  fc)  j Hq ( f )

1 X ( f ) Hq( f ) j

(11.76)

Ac Ac Xi (t )Cos c t  Xq (t ) Sen c t 2 2

(11.77)

Xq ( f )  Luego: X VSB (t ) 

Si:

Fig.11.44 Filtro real VSB por tanto:

Fig.11.45 Filtro VSB BB cuadratura 11.15.2 Moduladores VSB a. Modulador basado en la descripción en frecuencia. X VSB ( f ) 

Ac X ( f  fc )  X ( f  fc )H ( f ) 2

(11.78)

215


Fig. 11.46 Demodulador VSB basado en la descripción en frecuencia b. Modulador basado en la descripción en tiempo. X VSB (t ) 

Ac Ac X (t )Cos c t  Xq (t ) Sen c t 2 2

(11.79)

Fig. 11.47 Demodulador VSB basado en la descripción en el tiempo VSB se genera en zonas DSB moduladas con 2 portadoras en cuadratura. La principal aplicación de la modulación VSB es en la TV analógica. En la figura 11.48 se esquematiza la señal de Televisión tradicional compuesta de las modulaciones de video en VSB y de audio en FM.

Fig. 11.48 Señal de TV (Video y Audio)

216


El esquema del espectro de la señal de salida se muestra en la Fig. 11.49:

Fig. 11.49 Espectro de la señal de TV 11.15.3 Demodulador VSB. VSB se demodula con detector sincrónico. Sin embargo para TV (donde se requieren muchos receptores) se demodula con detector de envolvente, desde luego previa adición de una portadora piloto: Ac Ac x(t )Cosct  xq (t )Senct  ACosct 2 2 Ac Ac   xVSB (t )  Portadora   A  x(t )  Cosct  xq (t ) Senct 2 2  

xVSB (t )  Portadora 

Envolvente: 2

R(t ) 

Ac    Ac   A  2 x(t )    2 xq (t ) 

2

 Ac xq / 2  Ac   R(t )   Ac  x(t )  1    2    A  Ac x / 2 

2

(11.80)

Si A>>Ac/2, Xq(t) es pequeño  R(t )  Ac 

Ac x(t ) 2

(11.81)

Eliminando el DC: y (t ) 

Ac x(t ) 2

(11.82)

Fig. 11.50 Detector de envolvente

217


11.15.4 Usos del VSB: Esencialmente VBB se emplea en la transmisión de Señales de TV. 11.16 Ejercicios propuestos: 11.16.1 En el modulador AM mostrado en la Fig. 11.51, si ( ) ( ) tiene 8/9 de la potencia total. la portadora de la señal

volts y

Fig. 11.51 Ejercicio 11.16.1 a) Calcule el índice de modulación m. b) Si ( ) ¿Cuál es el nuevo índice de modulación? 11.16.2 Un Transmisor de AM con una portadora en 100KHz es modulado con tono de 10 KHz y genera una señal como la indicada en la Fig. 11.10, donde: y a) b) c) d) e) f)

Calcular el índice de modulación. ( ). Encontrar la expresión de la señal Determine el espectro de la señal AM. Dibuje el espectro del punto c). Halle la potencia total transmitida. Determine la potencia de cada una de las bandas laterales.

[ 11.16.3 La señal ( ) | | y donde | |

( )] [ ( )] , donde ( ) ⁄ , se aplica al circuito de la Fig. 11.52, donde: | | ( ) { } | |

, para


218


a) Encuentre los valores máximos y mínimos de B para que la señal ( ) b) Halle le valor de K en la expresión anterior.

( )

11.16.4 Dado un transmisor cuya potencia pico máxima es de 150 Watts, tiene aplicada una señal moduladora: ( ) ( ) a) Si el transmisor se modula en AM, cuál es el índice de modulación y la amplitud de la portadora. b) Si el transmisor se modula en SSB, cuál es la potencia media de la onda modulada? c) Repita el cálculo de b) para el caso en el cual venga reinyectada un 75% de la portadora. 11.16.5 Una señal modulada en DSB con ( )

donde:

( ). a) Halle la expresión para la modulación b) Encuentre el espectro de la señal modulada en DSB y dibújelo. c) Determine la potencia promedio normalizada de la señal DSB. 11.16.6 El sistema mostrado en la Fig. 11.53 genera una señal en Banda Lateral Vestigial donde el mensaje: ( ) modula una portadora: ( ) a) Determine la señal: b) Halle es espectro de la señal VSB y dibújela. c) Encuentre la potencia de la señal VSB.


219


220


Capítulo XI: Translación de frecuencia y El receptor Superheterodino

221


222


12. TRANSLACIÓN DE FRECUENCIA 12.1 Introducción. A menudo es conveniente trasladar en frecuencia la onda modulada hacia arriba o hacia abajo, de modo que pase a ocupar una nueva banda de frecuencias. Esta translación en frecuencias se lleva a cabo multiplicando la señal por una onda sinusoidal que se genera localmente y con el filtro subsecuente. Como ejemplo consideremos una onda DSB: ( )

( )

( ) ocupa por tanto las frecuencias:

El espectro de

fc - W  f  fc + W

y

-fc - W  f  -fc + W

Fig. 12.1 Espectro de una señal modulada en DSB Si se quiere trasladar esta onda modulada hacia frecuencias más bajas, se multiplica ( ) por un coseno a la frecuencia f1 para obtener: primero

x1 (t )  xDSB (t ) Cos 1t x1 (t )  x(t ) Cos ct  Cos 1t 1 1 x1 (t )  x(t ).Cos(c  1 )t  x(t ).Cos(c  1 )t 2 2

(12.1)

Cuyo espectro será: X1( f ) 

1 X ( f  fc  f1 )  X ( f  fc  f1 )  1 X ( f  fc  f1 )  X ( f  fc  f1 ) 4 4 (12.2)

La gráfica de esta ecuación se muestra en la Fig. 12.2:

223


Fig. 12.2 Señal en DSB modulada con un Cos1t X1(f) se pasa a través de un filtro pasabanda de frecuencia media f 0 = fc - f 1 y ancho de banda 2W. Si f1 >W, la salida del filtro será: x2 (t ) 

1 1 x(t ) Cos(c  1 )t  x(t ) Cos0t 2 2

(12.3)

12.2 Mezclador El dispositivo que realiza la translación de frecuencia de una onda modulada se llama MEZCLADOR y la operación por sí misma se llama MEZCLA HETERODINA. Por tanto el mezclador es un multiplicador + filtro pasabanda.

Fig. 12.3Mezclador heterodino a. Si f1 = fc: Se trata de una mezcla de homodina =Detector sincrónico. b. Si f1 < fc: Se trata de una mezcla subheterodina. c. Si f1 > fc: Se trata de una mezcla superheterodina. La heterodinización es una operación lineal.

12.3 Receptor Superheterodino 224


El esquema básico de un receptor superheterodino se muestra en la Fig. 11.4:

Fig. 12.4 Receptor Superheterodino

El amplificador de RF sintoniza la frecuencia de la portadora fc y automáticamente la frecuencia del oscilador local cambia de tal forma que al mezclarse, la frecuencia de salida es siempre la misma. Es decir:

Fig. 12.5 Esquema básico del mezclador De esta forma cualquiera que sea la frecuencia de entrada, se traslada a la frecuencia intermedia fija para ser amplificada en forma selectiva. Luego se demodula el mensaje y se amplifica para adecuarlo a los niveles que requiere el circuito de salida. El receptor AM comercial es un receptor de radio AM superheterodino cuyas emisoras comerciales van: 540KHz  fc  1600KHz y fiF = 455KHz (12.4) Al mezclarse fc con la frecuencia del oscilador local se produce: f0L  fc = 455KHz

(12.5)

Se podría escoger: a) f 0 L1  fc  455KHz (Receptor Subheterodino):

540 KHz  455KHz  85KHz Relación  13:1 1600 KHz  455KHz  1145KHz

(12.6)

b) f 0 L2  fc  455KHz (Receptor Superheterodino):

225


540 KHz  455KHz  995KHz Relación  2 :1 1600 KHz  455KHz  2055KHz

(12.7)

Por esta razón se escogió la operación b) es decir la operación superheterodina:

f 0 L  fc  f IF Se observa que la frecuencia del Oscilador Local es superior a la frecuencia de entrada fc: Característica de la operación Superheterodina. El Ancho de Banda del amplificador de Frecuencia Intermedia (IF) se puede calcular como: BIF = BTransm = 10KHz 12.4 Frecuencia Imagen: fc' En un receptor la frecuencia imagen se define como: fc'= fc+2 fIF

(12.8)

fOL - fc = fIF

(12.9)

fc' - fOL = fIF

(12.10)

Se sabe que: Pero si se sintoniza una fc' tal que:

Se puede deducir que las frecuencias imágenes máximas y mínimas en los extremos de la banda del AM es:

f OL  f C '

f C  f IF 540 KHz  2 * 455KHz  1450 KHz fc '  fc  2 f IF f OL  f IF 1600 KHz  2 * 455KHz  2510 KHz

(12.11)

Se puede apreciar que en el receptor superheterodino no se produce interferencia alguna por efecto de mezclas espurias en la entrada del amplificador de RF por efecto de la captación de señales de RF en la antena que cubre ese ancho de banda.

Fig 12.6 Ubicación de la fC' (imagen) respecto a fc (portadora) En consecuencia se puede establecer: fC' - fc = fIF

(12.12)

226


No obstante el Ancho de Banda del amplificador de RF es menor que 2 veces al ancho de banda del amplificador de frecuencia intermedia. BRF < 2 fIF =910KHz

(12.13)

12.5 Relación de rechazo de la frecuencia imagen (IFRR). La Relación de rechazo de la frecuencia imagen (IFRR) es una medición numérica de la habilidad de un preselector para rechazar la frecuencia imagen. Para un preselector de sintonización simple, la relación de su ganancia en la RF deseada con la ganancia en la frecuencia imagen es el IFRR: √

(12.14)

En donde: Q = Factor de calidad del preselector (12.15) En decibelios: (12.16) Si hay más de un circuito sintonizado, el IFRR total es simplemente el producto de las dos relaciones. 12.6 Otros Tipos de Receptores: Un Receptor bastante utilizado en equipos de transmisión para instrumentación es el Receptor de doble conversión. En consecuencia este receptor tiene 2 etapas de IF, como se muestra en la Fig. 12.7. La primera etapa de IF está sintonizada a una frecuencia alta, donde sus frecuencias imágenes están lejos, y la segunda etapa está sintonizada a una frecuencia baja y requiere un amplificador de gran selectividad, alto Q. Este tipo de receptor tiene la ventaja que discrimina mejor los canales con respecto a los sistemas tradicionales. Por lo general estos receptores son típicamente empleados también en los receptores de AM (Modulación de Amplitud de alta calidad) y sistemas SSB (Banda Lateral Única).

227


Fig. 12.7 Receptor con doble etapa de conversión de frecuencia intermedia

12.6 Ejercicios propuestos 12.6.1 Un receptor AM superheterodino tiene una frecuencia del oscilador local de 1355 KHz. Si la señal RF se encuentra modulada con un tono de 5 KHz, generando líneas espectrales en 900 (banda lateral superior), 905 (portadora) y 895 KHz (banda lateral superior), determine las frecuencias del espectro después del filtro de IF: a) La frecuencia intermedia. b) La frecuencia de la banda lateral superior. c) La frecuencia de la banda lateral inferior. d) Dibuje el espectro de la señal antes de la detección. 12.6.2 Un receptor superheterodino de AM, con frecuencias de RF del oscilador local de 1055 KHz, frecuencia máxima de la banda lateral superior: 1055 KHz, frecuencia mínima de la banda lateral superior: 455 KHz respectivamente, determine: a) La frecuencia imagen. b) La relación de rechazo de la frecuencia imagen para un .

228


Capítulo XIII: FDM

229


230


13. MULTICANALIZACIÓN POR DIVISIÓN DE FRECUENCIA (Frequency División Multiplexing) FDM

Cuando se quiere transmitir varias señales por el mismo canal se necesita compartir el tiempo o el espectro. Este último se conoce como FDM (Multiplexaje por división en frecuencia) 13.1 Transmisor FDM. La Fig. 12.1 muestra el esquema de un transmisor de FDM modulado analógica o digitalmente por una portadora en la banda de interés. En este caso se muestran la multicanalización de tres canales

Fig. 13.1 Diagrama de bloques de un transmisor de FDM Donde las subportadoras fcn son generadas por un sintetizador de subportadoras el cual requiere como entrada una muestra de la señal piloto. Ver Fig 13.2.

231


Fig. 132.2 Sintetizador de subportadoras Espectro de la señal FDM en banda base se muestra en la Fig.13.3, para un sistema de 3 canales incluyendo el canal para la frecuencia piloto, que para el caso del FM estéreo es de 15 KHz.

Fig. 13.3 Espectro del FDM para 3 canales y el piloto 13.2 Receptor FDM. La Fig. 13.4 muestra el diagrama de bloques del receptor de FDM incluyendo el demodulador de portadora en el mismo sistema de demodulación analógica o digital empleada en el transmisor de FDM.

232


Fig. 13.4 Receptor FDM El sintetizador de subportadoras del receptor es el mismo empleado en el transmisor.

13.3 Ejemplos de sistemas FDM. Aquí se muestran algunos ejemplos típicos donde se aplica el FDM. 1) En telefonía multicanal en frecuencia: De acuerdo a las normas establecidas por la UIT (Unión internacional de Telecomunicaciones) se tienen las siguientes agrupaciones: Agrupación 12 canales, 4KHz=A.B (300-3.400KHz) 5 Grupos 10 Supergrupos 6 Mastergrupos

Nombre Asignado 1 Grupo 1 Supergrupo 1 Mastergrupo 1 Jumbo grupo

Intervalo de frecuencia 60-108KHz

Ancho de banda 48 KHz

Canales de Voz 12

312-552 KHz 564-3.084 KHz 0.5-15.5 MHz

240 KHz 2.52 MHz 17 MHz

60 600 3600

Sincronización de la portadora: mediante una frecuencia piloto que se transmite junto con la señal.

2) FM estéreo: 233


El canal izquierdo (L) se combina con el derecho (R) para formar (L+R) y (L-R) Estos a su vez se ubican en diferentes zonas del espectro antes de modularse en FM.

Fig. 13.5 Transmisor del FM estéreo. Dado que para el FM se asignó una banda de 15 KHz para la señal de audio tanto para el canal izquierdo como para el derecho, el espectro de la señal banda base FDM para el FM estéreo ocupa un ancho de banda de 53 KHz tal como se muestra en la Fig. 13.6

Fig. 13.6 Espectro de la señal banda base del FM estéreo El receptor para el FM estéreo se muestra en la Fig. 13.7.

Fig. 13.7 Receptor FM estéreo

234


13.4 Ejercicios propuestos: 13.4.1 Dadas las señales ( ) espectros se muestran en la Fig. 13.8:

( )

( )

cuyos

Fig. 13.8 Ejercicio 13.4.1 Se desea enviarlas a través de un sistema multicanal para configurar un FM estéreo comercial: a) Dibuje el espectro obtenido en la banda base de la señal multicanal: ( ). b) Diseñar el sistema de multicanalización que genere la señal ( ) obtenida en a). c) Si ( ) es el espectro de la señal recibida, proyecte el sistema que permite separar las ( ). señales: ( ) 13.4.2 Se desea multicanalizar cinco señales, cada una con ancho de banda de 4 KHz con banda de guardia entre canales de 1KHz. La modulación de la subportadora se realiza en USSB excepto el canal inferior que no está modulado. a) Grafique el espectro de la señal banda base b) Grafique el espectro de la señal transmitida. c) Calcule el ancho de banda de la transmisión.

235


236


Capítulo XIV: Sistemas de modulación exponencial

237


238


14. MODULACIÓN EXPONENCIAL

En estos sistemas se varía el ángulo de la portadora en función del mensaje con la Magnitud constante. Xc(t) = Ac Cosi(t)

(14.1)

En este caso el espectro ya no tiene una relación lineal con el espectro de la señal en Banda-base. Se consideran dos tipos de modulación exponencial: 

Modulación de Fase (FM).



Modulación de frecuencia (PM).

14.1 Modulación de Fase (PM). Considerando una señal sinusoidal con ángulo:

i(t) = 2 fc t +  (t)

(14.2)

Donde el ángulo de fase es proporcional al mensaje:

 (t) = Kp x(t)

(14.3)

x(t) es el mensaje en [volts] y Kp es la constante de Sensibilidad de fase del módulo en [rad/volts]. La señal modulada en PM puede escribirse como: ( )

( 

( ))

(14.4)

Frecuencia instantánea de la onda PM puede estudiarse como:

i (t )  c 

d  (t ) d x(t )  c  K p dt dt

(14.5)

Una onda modulada en PM se muestra en la Fig. 14.1 donde la señal moduladora es una onda cuadrada y se aprecian los cambios de fase abruptos en la señal modulada.

239


Fig. 14.1 Señal modulada en PM con onda cuadrada. 14.2 Modulación de Frecuencia. La frecuencia instantánea en el FM depende del mensaje. ( )=

( )

(14.6)

Donde: = Frecuencia de la portadora no modulada [Hz] =Sensibilidad de la frecuencia [Hz/volt] A partir del ángulo instantáneo de la señal, se puede obtener la frecuencia instantánea:

f i (t ) 

1 d i (t )  di (t )  2  fi (t ) dt 2 dt

(14.7)

di (t )  2 ( fc  R f x(t ))dt

(14.8)

De donde se obtiene:

Y en consecuencia, el ángulo instantáneo se puede determinar como:

i (t )  2  fc t  2  R f



t

0

x( ) d

(14.9)

Finalmente la señal modulada en FM se puede escribir como:

xFM (t )  Ac Cos  2  f c t  2  K f 



t

0

x( ) d  

(14.10)

Si se comparan FM y PM en el tiempo se verán muy parecidos, no obstante es importante destacar que la amplitud de la portadora es constante y su potencia será: 240


PAV

Ac2   constante 2

(14.11)

Fig. 14.2 Señal modulada en PM 14.3 Modulación de Frecuencia de Tono Único: Tomando en consideración la expresión analítica para el FM: t X FM (t )  AcCos  2 f ct  2 K f  x( )d  0  

(14.12)

Para x(t) un tono único a la frecuencia fm: ( )

(14.13)

La frecuencia instantánea de la onda será: ( )

(14.14)

Llamando: f = La desviación de frecuencia (máximo alejamiento de la frecuencia instantánea de la onda FM respecto a la frecuencia de la portadora fc). 

(14.15)

Donde f es proporcional a la amplitud de la moduladora. El ángulo instantáneo de la señal modulada con un tono será: t

t

0

0

i (t )  2  fi ( )d  2  ( f c  f Cos 2 f m )d i (t )  2 f ct 

f Sen2 f m t fm

(14.16)

(14.17) 241


Llamando:  = Índice de modulación en FM:



f K f Am  fm fm

(14.18)

y en consecuencia el ángulo de la señal modulada será:

i (t )  2 fc t   Sen2 f m t

(14.19)

En el sentido físico  representa la desviación de la fase de FM es decir la máxima separación entre i(t) y el ángulo 2 fc t de la portadora. Luego la onda FM tono único será:

X FM (t )  AcCos[2 fct   Sen(2 f mt )]

(14.20)

Dependiendo del índice de modulación es posible distinguir 2 casos de modulación en frecuencia: 1) FM de banda angosta si  es pequeño. 2) FM de banda ancha si  es grande. 14.4 FM Banda Angosta en General De acuerdo a la expresión obtenida en el numeral 14.2 t

i (t )  2 fc t  2 K f  x( )d 

(14.21)

t

Si se asume que la fase es:  (t )  2 K f  x( )d    1 

La señal modulada puede verse como:

xFM (t )  AcCos ct   (t ) x(t )  Ac Cos  (t ) Cosct  Ac Sen  (t ) Sen ct Dado que  (t ) máx    1 

(14.22) (14.23)

Cos  (t )  1 Sen  (t )   (t )

242


La expresión del FM se simplifica para el FM banda angosta (Narrow Band =NB):

xFMNB (t )  AcCosct  Ac (t )Senct xFMNB (t )  Ac Cosc t   Ac 2 K f  x( )d  Sen c t   

(14.24)

t

Aplicando Transformada de Fourier: Y teniendo encuenta que:



F

X FMNB ( f ) 

t





x( )d 

X( f ) j 2 f

(14.25)

(14.26)

A 2 K f X ( f  fc) A 2 K f X ( f  fc) Ac  c  ( f  fc)   ( f  fc)  c 2 2j j 2 ( f  fc) 2j j 2 ( f  fc)

X FMNB ( f ) 

A K  X ( f  fc) X ( f  fc)  Ac   ( f  fc)   ( f  fc)  c f  2 2  ( f  fc) ( f  fc)  (14.27)

De esta expresión se puede deducir que si el ancho de banda de x(t) es W, el ancho de banda de la señal xFMNB(t) será 2W. 14.5 FM Banda Angosta para un Tono Si x(t) es un tono: AmCosmt, donde  

K f Am fm

La expresión del FM será:

xFM (t )  AcCos(ct   Senmt )

(14.28)

xFM (t )  Ac Cos( Senm t )Cosc t   Sen( Senm t ) Senc t 

(14.29)

Como <<1 radian 

Cos(  Senm t )  1 Sen( Senm t )   Senmt xFMNB (t )  Ac Cosc t  Ac  Senm t Senc t

A xFMNB (t )  AcCosct  c Cos(c  m )t  Cos(c  m )t  2

(14.30)

243


X FMNB ( f ) 

Ac A A A  ( f  fc)  c  ( f  fc)  c  ( f  fc  fm)  c  ( f  fc  fm)  2 2 4 4 Ac  Ac    ( f  fc  fm)   ( f  fc  fm) 4 4 (14.31)

La Fig. 14.3 muestra el espectro de la señal X FMNB ( f ) para el caso de un tono.

Fig. 14.3 Espectro de una señal en FMNB modulada con un tono

14.6 ¿Cómo generar una señal xFMNB(t)? Basados en la ecuación: t xFMNB (t )  Ac Cos ct   Ac 2 K f  x( )d  Senc t   

(14.32)

Se puede deducir el diagrama de bloques de un modulador en FM banda angosta

Fig. 14.4 Diagrama de bloques de un modulador en FM banda angosta. 244


Esta configuración funciona bien hasta en una desviación de fase máxima de 30°.

14.7 Comparación entre AM Y FMNB: a) FASORIALMENTE: La Fig. 14.5 muestra los fasores de la señal modulada en AM y FMNB

Fig. 14.5 Esquemas fasoriales de una modulación en AM y en FMNB

b) ESPECTRALMENTE:

Fig. 14.6 Espectros de una modulación en AM y en FMNB

Se aprecia que el ancho de banda de FMNB es igual al obtenido en AM. No obstante, se mostrará más adelante que este tipo de modulación angular (FMNB) produce menos mejoría en (S/N)D respecto al AM. 14.8 FM Banda Ancha cuando el mensaje es un Tono: Partiendo de la expresión del FM para un tono:

xFM (t )  Ac Cos (2 fc t   Senm t )

(14.33)

Ecuación que se puede transformar como:

245


xFM (t )  Re  Ac e j 2 fc t e j  Sen (m t )  xFM (t )  Re  Ac e j  Sen (m t ) e j 2 fc t 

(14.34)

Llamando: xFM (t )  Ac e j  Sen (m t ) xFM (t )  Re  xFM (t )e j 2 fc t 

xFM (t ) Es una señal periódica cuya frecuencia fundamental es fm.  T T xFM (t )   cn e j n 2 fm t ;  m  t  m 2 2 n  Donde, los coeficientes de la serie de Fourier son: cn 

1 Tm



1/2 fm

1/2 fm

cn  f m Ac 

(14.35)

(14.36)

Ac e j  Sen (2 fm t ) e j n 2 fm t dt

(14.37)

1/2 fm

1/2 fm

e j (  Sen (2 fm t  n 2 fm t ) dt (14.38)

Efectuando un cambio de variable: x = 2 fm t ; dx=2 fm dt  dt=dx/2 fm Para los límites: a) Si t

1  x  2 fm

b) Si t

1  x   2 fm

Remplazando en cn : cn 

f m Ac 2 f m



 e

j (  Sen x  n x )



dx

(14.39)

Simplificando:

cn  Ac

1 2



 e

j (  Sen x  n x )



Jn (  )

dx (14.40) 246


Donde: Jn() = Función de Bessel de 1era clase de orden n y argumento  . Luego: Cn=Ac Jn()  xFM (t ) 



AJ

n 

c

n

(  )e j n 2  f m t

(14.41)

y

   xFM (t )  Re   Ac J n (  )e j n 2  fm t  e j 2  fc t  n   xFM (t ) 



AJ

n 

c

n

(14.42)

(  ) Cos (c t  n m t ) : FM Banda ancha 1 tono.

El espectro de esta señal es: X FM ( f ) 

Ac 2



  ( f  fc  n f

n 

m

)   ( f  fc  n f m )J n (  )

(14.43)

Es decir que se tienen las líneas espectrales en:

n  0 :  fc n  1:  fc  fm n  2 :  fc  2 fm  Infinito Por tanto el ancho de banda teórico del X FM ( f ) es:  y por esta razón, el peso de cada uno de los pulsos del espectro, lo dan las funciones de Bessel. Veamos el comportamiento de Jn() en función de . Ver Figuras 14.7 y 14.8

247


Fig. 14.7 Funciones de Bessel de diferente orden vs el argumento 

Fig. 14.8 Funciones de Bessel de diferente  vs la relación (n/)

248


14.9 Propiedades de la función Jn() 1. Los Jn() son valorados en los números reales. 2. Jn()= J-n(), para n par 3. Jn()= -J-n(), para n impar 

4.

 Jn

2

( )  1

n - 



Para  pequeño: FM Banda angosta:

Los Coeficientes de Bessel se simplifican:

J 0 (  )  1; J1 (  ) 

 2

; J n  0, n  2; J 1 (  )  

 2

(14.44)

Por tanto, el espectro de la señal FM será:

X FMNB ( f ) 

Ac J 0 (  )  ( f  fc)   ( f  fc)  J1 (  )  ( f  fc  fm)   ( f  fc  fm)   2  J 1 (  ) ( f  fc  fm)   ( f  fc  fm) (14.45)

Este espectro se muestra en la Fig. 14.9

Fig. 14.9 Espectro de la señal FMNB

Resulta un espectro exactamente igual al descrito por el primer método ya visto. En general se tienen líneas espectrales cuya altura depende de los coeficientes cn. Ac 2 La potencia total dela señal FM será: , que se reparte en todas las líneas espectrales. 2 Obsérvese que los pesos dados por Jn() varían de acuerdo con el valor de  que se disponga. 249




Análisis de Jn():

Recordar que  

K f . Am fm

Se puede establecer:



f  f   fm fm . Si  =1 f = fm (1) . Si  =2 f = 2fm (2) . Si  =5 f = 5fm (3)

TABLA 15.1 DE FUNCIONES DE BESSEL

X 0 .25 .50 .75 1.00 1.5 2.0 2.40 2.41 3.00 3.83 3.84 4.00 5.00 5.13 5.14 5.52 5.53 6.00 7.00 7.02 8.00 8.66 9.00 10.00

J0 1.00 0.984 0.938 0.864 0.765 0.512 0.2241 +0.00250 -0.00270 +0.260 -0.403 -0.403 -0.397 -0.178 -0.134 -0.13 -0.00002 +0.0037 0.151 0.300 0.3001 0.172 -0.0017 -0.090 -0.246

J1 0 0.124 0.242 0.349 0.440 0.558 0.578 0.520 0.518 0.339 +.007 -.0033 -.0660 -0.328 -0.339 -0.340 -0.3403 -0.340 -0.277 -0.00468 +0.00132 0.235 0.272 0.245 0.043

J2 0 0.00777 0.0306 0.067 0.115 0.232 0.353 0.431 0.433 0.486 0.403 0.399 0.364 0.293 +0.00191 -0.00148 -0.123 -0.126 -0.243 -0.301 -.299 -.113 +0.064 0.145 0.255

J3 0 0.00032 .00256 .00850 0.0196 0.0610 0.129 0.198 0.200 0.309 0.420 0.421 0.430 0.356 0.340 0.339 0.251 0.248 0.115 -0.168 -0.172 -0.291 -0.242 -0.181 +0.058

250


Estudiando la variación del número de líneas significativas en función de  se puede establecer la relación del ancho del espectro de la señal modulada en FM y su índice de modulación para el caso de una señal modulante de un tono, como se aprecia en la Fig. 14.10.

Fig. 14.10 Variación del número de líneas significativas en función de  (a. =1;b. =2; c.=5)

Se concluye que cuando Jn() disminuye, n se incrementa y por tanto la mayor cantidad de potencia se concentra en una banda limitada. Se deduce que cuando n > +2, el valor de Jn() se hace despreciable. Con esta observación, se puede establecer un criterio para limitar el ancho de banda del FM.

14.10 Ancho de Banda en FM Teniendo encuenta que el FM puede expresarse como:

251


xFM (t )  Ac





n 

J n (  )Cos (c  nm )t

(14.46)

Pero de la figura 14.8 se observa que:

J n (  )  1 si

n



 1

(14.47) Por tanto Jn() disminuye cuando n crece y en consecuencia, la mayor cantidad de potencia se concentra en una banda limitada. Se puede decir que cuando n > +2 la Jn() es pequeña, luego el número de líneas significativas = +2 y el ancho de banda puede calcularse para el caso de modulación con un tono como: BW=2 (+2) fm

(14.48)

Para el caso de un mensaje cualquiera, existe la norma conocida como REGLA DE CARLSON que establece: BW = 2(Kfx(t)máx+W) =2f +2

(14.49)

Pero esta fórmula subestima el ancho de banda. En general si x(t)máx= 1 se define (La regla de Carlson) en función del parámetro :



Rf W

(14.50)

BW=2(+1)W  2Kf Si >>1

(14.51)

BW=2(+1)W  2Kf Si <<1

(14.52)

BW=2(+2)W Si  tiene valores intermedios

(14.53)

Obsérvese que de estas fórmulas se establece el caso particular de modulación de tono. Existe otra forma de calcular el ancho de banda (bajo los mismos criterios): Mediante el concepto del número de líneas significativas. BW=2M()W

(14.54)

BW=2M()W

(14.55)

Donde: M() = N° de líneas significativas W = Ancho de banda del mensaje Para la modulación de un tono:

252


M() se escoge dependiendo del umbral para despreciar líneas espectrales: - Si se desprecian las líneas cuya magnitud está por debajo del 10% de Ac  Jn()<0.1 M()=+1 -

(14.56)

Si se desprecian las líneas que tienen una amplitud por debajo de 1% de Ac  Jn()<0.01 M()=+2 (14.57)

Así en general:

BW = 2 (+) fm Con 1 <  < 2

(14.58)

K A  BW  2  f m    f m  fm 

(14.59)

BW  2  K f Am f m 

(14.60)

El máximo ancho de banda se consigue con Ammáx y fmmáx aunque esto no representa el máximo. 14.11 Modulación Multitono en FM. Sea la siguiente señal multitono:

x(t)=A1Cos1t+ A2Cos2t

(14.61)

Donde f1  kf2: no están armónicamente relacionados. Extendiendo el concepto de modulación FM de 1 tono: xFM(t)=Ac Cos(ct + 1Sen1t + 2Sen2t) Donde: 1 

K f A1

; 2 

(14.62)

K f A2

f1 f2 Desarrollando un procedimiento similar al de 1 tono: Llamando: x1  e j 1 Sen 1 t  x2  e j 2 Sen 2 t 



J

n 

n



J

n 

n

( 1 )e n j 1 t

(14.63) (  2 )e n j 2 t

(14.64)

Se obtiene:

253


xFM (t )  Ac





n 

m 

 

J n ( 1 ) J m (  2 )Cos(c  n1  m2 )t

(14.65)

Si f1<
Fig. 14.11 Espectro de banda ancha para un FM modulada con un tono

Como se aprecia en la Fig. 14.11 aparecen líneas espectrales en: fc  nf1  mf2 , lo que implica que se trata de un proceso no lineal. 14.12 Moduladores FM Existen 2 métodos básicos para generar FM: 1) METODO DIRECTO: Basado en el funcionamiento de un VCO (Oscilador Controlado por Voltaje), el cual cambia la frecuencia instantánea de la señal de salida, según la magnitud del voltaje de entrada que se convierte en señal de control al emplear el PLL.

Fig. 14.12 El VCO como método directo para generar FM.

En el rango de frecuencias de microondas, el VCO se realiza con tubos Klystron ó semiconductores tales como diodos Túnel ó GUNN.

254


En frecuencias más bajas se utilizan circuitos discretos paralelos donde uno de los elementos (bobina ó condensador) varia su valor con una tensión aplicada, permitiendo así la variación de frecuencia. El caso más común es la variación de la capacidad con diodos VARACTOR ó VARICAP:

Fig. 14.13 Circuito básico Varactor empleado como modulador de FM.

La capacidad del circuito de salida C(t), es función del mensaje de entrada x(t): C(t) = Co - c x(t) Donde:

Co = Capacidad en ausencia de modulación. c = Cambio máximo de capacidad.

Fig. 14.14 Capacidad de salida en función de la polarización inversa del diodo

En consecuencia, la frecuencia de la señal de salida se puede analizar como: f osc 

f C 1 1   f0  0 X (t ) 2C0 2 LCt 2 L(C0  CX (t )

2) METODO INDIRECTO: Para aumentar el rango de variación de la frecuencia del método directo, se introducen multiplicadores de frecuencia, tal como se muestra en la Fig. 14.15. 255


Fig. 14.15 Método indirecto para generar FM.

Sin embargo la salida de método, produce una frecuencia central N veces la frecuencia central (Nf0) distinta a la frecuencia deseada. En este caso se utiliza un mezclador para trasladar la frecuencia Nf0 a la frecuencia fc deseada.

Fig. 14.16 Método indirecto con mezclador

-

VENTAJA DE ESTE METODO: Se puede conseguir grandes desviaciones de frecuencia. DESVENTAJA: La frecuencia central no proviene de un cristal, luego la frecuencia de salida puede sufrir corrimientos que en el detector se verían como cambios del mensaje.

Un método para controlar estos corrimientos sería el siguiente:

Fig. 14.17 Método indirecto con mezclador y Oscilador a Cristal.

14.13 Demoduladores FM 256


Para recuperar la señal modulante x(t) a partir de la señal modulada en FM se requiere un circuito cuya salida varíe linealmente con la frecuencia de la señal de entrada. Se tienen 2 tipos de esquemas que realizan esta operación: a) DISCRIMINADORES DE FRECUENCIA: El principio de un discriminador de frecuencia es el siguiente: t

xFM(t)= AcCos(t);  (t )  ct  2 K f  x( )d 0

(14.66)

Al derivar:

Pero:

dx FM (t ) d (t )   Ac Sen (t ). dt dt

(14.67)

d (t )  c  2 K f X ( f ) dt

(14.68)

dx (t )  FM    Ac Sen (t ) c  2 K f X ( f )  dt

(14.69)

Luego con la derivación se ha convertido una señal FM en AM-FM y por tanto la señal demodulada se puede obtener con un circuito derivador y un detector de envolvente.

Fig. 14.18 Demodulador básico de FM

Como derivador puede utilizarse el filtro pasa altos de la Fig. 14.19

Fig. 14.19 Filtro Pasa-altos

257


Pero en este análisis se supone que Ac no varía en el tiempo. Sin embargo dado que el ruido se adiciona a la señal durante la transmisión, requiere la colocación de limitadores de amplitud, que son dispositivos con la siguiente función de transferencia.

Fig. 14.20 Limitador de dos niveles para eliminar ruido Un circuito sencillo que puede realizar esta función podría ser con diodos en oposición como se muestra en la Fig. 14.20:

Fig. 14.21 Limitador a dos niveles empleando diodos en oposición.

El circuito limitador a 2 niveles debe ser colocado antes del derivador, tal como se indica en la Fig. 14.22.

Fig. 14.22 Demodulador de FM completo

Estos 2 esquemas pueden realizarse con 1 circuito. Empleando un filtro pasa-banda como derivador:

258


Fig. 14.23 Empleando un filtro pasabanda como derivador

Si se tiene una señal de entrada: xFM (t), a la salida del circuito de la Fig. 14.23 la señal FM se convierte en AM+FM. No obstante este detector presenta problemas como es fundamentalmente su rango lineal (o rango dinámico) muy pequeño. Si se tiene una señal FM como se muestra en la Fig. 14.24

Fig. 14.24 Señal modulada en FM

A la salida del fitro pasabanda, se obtiene la señal de la Fig. 14.25

Fig.14.25 Señal a la salida del filtro (AM+FM)

Este problema se puede solucionar en parte colocando 2 estructuras en la siguiente forma:

259


Fig. 14.26 Filtro diseñado con dos estructuras

Circuitalemente esto se logra de dos formas: a) DISCRIMINADOR DE TRAVIS: Ver Fig. 14.27

Fig. 14.27 Discriminador de Travis

Este circuito no requiere bloquear el DC de salida. C1 y C2 se ajustan a las frecuencias f1 y f2, R1 y R2 determinan los anchos de banda respectivos. Cuando fin = fc, los 2 circuitos dan la misma salida pero con signos opuestos y por tanto la salida final es 0. Cuando fin > fc, el circuito sintonizado 1 da una salida grande >0 y el sintonizado 2 da una salida pequeña (negativa)  la salida final será grande y mayor que 0. Cuando fin < fc la salida será grande pero menor que 0. Esto permite un rango lineal grande, pero difícil de calibrar.

260


b) DISCRIMINADOR FOSTER-SEELY. Ver Fig. 14.28

Fig. 14.28 Discriminador Foster Seely

En este caso los 2 tanques están sintonizados a f0. Por el tap central se sabe que 1está en contrafase con 2: A cada diodo le llega: A D1: (t) + 1; A D2: (t) + 2 (fasorialmente). - Para f = f0 la diferencia de fase entre (t) y 1 es 90°

Fig. 14.29 Esquema fasorial para el detector Foster Seely

  

La salida de D1 es proporcional a |E1| La salida de D2 es proporcional a |E2| La salida neta es 0

-

Para f > f0 se produce un desfase de 1 respecto a 

261


Fig. 14.30 Esquema fasorial si f > f0



La salida neta > 0

-

Para f < f0



La salida neta < 0

Fig. 14.31 Esquema fasorial si f < f0

14.14 Demodulador por Lazo de Enganche (PLL) El PLL (de sus siglas: PHASE LOCKED LOOP) es un circuito de laso cerrado cuyo objetivo es detectar los cambios de fase que se producen en el puerto de entrada al ser comparados con la señal del VCO (oscilador controlado por voltaje).

Fig. 14.32 El PLL como detector de FM

262


Los cambios de fase se manifiestan en cambios de nivel a través de un filtro pasa bajos que a su vez realimenta al VCO para mantenerse enganchado a la frecuencia de la portadora. Aquí se obliga a la fase de la salida del VCO a seguir las variaciones de la fase de la señal de entrada. Suponga que inicialmente (t)=ct + 0. Si ˆ(t ) (ángulo detectado) es igual a (t) (ángulo de la señal FM), la salida del filtro pasabajos es cero y el VCO sigue produciendo la misma salida. Si (t) varia se detectará una diferencia de fase que producirá una tensión proporcional que a su vez hace variar la frecuencia del VCO para tratar de engancharse de nuevo. 14.15 Demodulación FM usando Línea de Retardo. Se había partido inicialmente que para detectar xFM(t) era necesario derivar:

dxFM (t ) 1  lim  xFM (t )  xFM (t   )  0  dt Si se hace  tan pequeño como un : dxFM (t ) 1   xFM (t )  xFM (t   ) dt  Donde  

(14.70)

(14.71)

1



Esta operación se puede efectuar con una línea de retardo. El detector Foster-Seeley está basado en la idea del diferencial, pero usan desplazamientos de fase lineales del circuito resonante para lograr el retardo temporal.

Fig. 14.33 Demodulador FM usando línea de retardo

14.16 Detector de Cruces por Cero: Puesto que la información de una onda en FM viene en la frecuencia, los cruces por cero de esta onda tienen importancia, pues contienen la información de la señal que se quiere demodular. Veamos:

263






t

xFM (t )  Ac Cos c t  2 K f  x( )d  Ac Cos i (t ) 0

(14.71)

Fig. 14.34 Detección FM mediante cruces por cero. t3

 (t 3 )   (t1 )  2   c (t 3  t1 )  2R f  X ( )d t1

(14.72)

Si el ancho de banda W<
 (t3 )   (t1 )  c (t3  t1 )  2 K f



t3

t1

x( )d  2

X ( t1 )( t3 t1 )

(14.73)

x(t1)(t3-t1) se puede ver como el área bajo la curva. Luego: 2 1  i  fi   fc   K f x(t1 ) t3  t1 t3  t1

(14.74)

Si se mide el tiempo entre las cruces por cero fi, se puede obtener el mensaje. Esto se puede efectuar de la siguiente forma: Asumiendo que W<
264


N sin DC  K f x(t ) T El circuito utilizado para este propósito se ilustra en la Fig. 14.24 fi ' 

(14.76)

Fig. 14.35 Circuito para la detección de cruces por cero

14.17 Receptor FM Las diferencias entre receptores AM y FM son los filtros de énfasis en la salida. El propósito de estos filtros será explicado cuando se trate el ruido en los sistemas de modulación. El receptor de FM comercial en la banda de 88 a 108 MHz, es un receptor superheterodino que emplea como frecuencia intermedia 10.7 MHz y ancho de banda de 200 KHz.

Fig. 14.36 Receptor para FM comercial.

14. 18 Modulación de Fase: La ecuación que describe la modulación de fase se muestra en Ecu. 14. xPM (t )  AcCos ct  K P X (t )  xPM (t )  AcCosct.CosK p x(t )  Ac Senct.SenK p x(t )

(14.77) (14.78)

265


14.18.1 PM Banda Estrecha: Teniendo encuenta que en este caso: K p x(t )  1 Luego: CosRp x(t )  1; SenK p x(t )  K p x(t )

xPMNB (t )  AcCosct  Ac K P x(t )Senct

(14.79)

14.18.2 Modulador XPMNB(t): El modulador de banda estrecha se muestra en la Fig. 14.26

Fig. 14.37 Modulador PMNB

En consecuencia el ANCHO DE BANDA del PMNB = 2W. Como caso particular, efectuar x(t)=Am Senmt y comparar xPMNB(t) con xFMNB(t)

xPMNB (t )  AcCosct  K P Am Ac Senmt.Senct p

xFMNB (t )  AcCosct  Ac  Senmt.Senct 14.18.3 PM Banda Ancha: Analizando la modulación de tono: xPM (t )  AcCos(ct  K p Am  Senmt )

xPM (t )  AcCos(ct   p Senmt )   p  K p Am Expresión similar al FM solo que p no depende de fm. Si se varía fm, varia la distancia entre líneas espectrales, pero no varía su amplitud. xPM(t) en términos de los coeficientes de Bessel:

(14.80)

(14.81)

266


xPM (t ) 



 AJ

n 

c

n

(  p )Cos(ct  nmt )

(14.82)

En el dominio de f: X PM ( f ) 

Ac 2



  ( f  f

n 

14.18.4 Ancho de Banda en PM:

c

 nf m )   ( f  f c  nf m ) J n (  p )

(14.83)

B  2(  p  1) f m

   PMNB B  2( Am K p  1) f m   B  2(  p  2) f m PM

(14.84) (14.85)

Para un caso general en FM: Am R f Rf   Máx desviación de fase. Definimos:   W W BWFM  2(  1)W  NB

BWFM  2(  2)W  Banda Ancha

(14.86)

Comparando directamente en PM, la máxima desviación para amplitud unitaria es Kp

BWFM  2( K p  1)W  NB BWFM  2( K p  2)W  Banda Ancha BWFM  2 K pW  4W

(14.87)

14.19 Ejercicios propuestos: 14.19.1 Una señal sinusoidal de 1 KHz modula en fase a una portadora en 146.52 MHz con una desviación de fase pico de 45°. a) Evalúe la magnitud del espectro de la señal PM si . Grafique su resultado. b) Evalúe el Ancho de Banda de la señal PM y observe si es un número razonable comparado con el obtenido por la gráfica espectral. 14.19.2 En el circuito de la Fig. 14.38 un generador de tonos modula un transmisor de FM con un tono (coseno) de amplitud constante de 0.3 voltios y frecuencia variable, generando en el analizador de espectros la figura mostrada, donde se representan la primeras líneas del espectro de la onda modulada en FM.

267



Determinar: a) El índice de modulación  b) La frecuencia fm del generador de tonos. c) La frecuencia de la portadora fc. d) El valor de Ac. e) La desviación en frecuencia f. ( ). f) La expresión analítica de g) El espectro de magnitud del FM y dibújelo (Altura de líneas vs. n ó frecuencia) h) Número de líneas significativas del espectro. i) El Ancho de Banda del FM. j) La potencia promedio total del FM. 14.19.3 En el esquema de la Fig. 14.39, la frecuencia de la señal moduladora se disminuye desde una frecuencia muy alta hasta obtener el espectro de la señal modulada en FM como se muestra en la figura, donde se obtiene el primer nulo de la línea espectral .

Fig. 14.39 Ejercicio 14.9.3 Si el Ancho de Banda del mensaje es de 6 KHz, determine: a) La Constante de sensibilidad del modulador: . b) La amplitud de la portadora: . c) La frecuencia de la portadora: . d) El Ancho de Banda de transmisión: .

268


Capítulo XV: Ruido e Interferencia en la Modulación Analógica

269


270


15. Ruido e Interferencia en la Modulación Analógica 15.1 Introducción Uno de los aspectos más importantes que caracterizan a los diferentes tipos de modulación es su comportamiento frente al ruido. Usualmente este factor es proporcional al ancho de banda. Esto último se estudiará cualitativamente y un parámetro estimador será la relación S/N. Luego de revisar las convenciones de un sistema de comunicaciones completo, se analizará el efecto de la interferencia y el ruido para los diversos sistemas de modulación. 15.2 Modelo de un Sistema de Comunicación:

Fig. 15.1 Modelo de un Sistema de Comunicación

las convenciones serán las siguientes: 1. X21 ABX(t)=W 1. El canal solo atenúa, no distorsiona. 2. El filtro pasa-banda BPF con HR(f) tiene ganancia unitaria sobre BR  BT 3. El filtro pasa-bajos LPF tiene ancho de banda W. 4. De esta forma: ST 1  S R ; (t )  X c (t ) L L

(15.1)

Para cada tipo de modulación calcularemos ST. 15.3 Señales Pasa-Banda Es útil su presentación en la forma: a. Envolvente – Fase b. Componente en fase – componente en cuadratura. Sea xc(t) es la representación envolvente – fase: xc(t) = R(t).Cos(ct + (t))

(15.2)

Si en esta expresión se expande el coseno; se obtiene la representación componente en fase y componente en cuadratura: xc(t) = R(t). Cos(t).Cosct – R(t).Sen(t) .Senct (15.3) 271


Donde :

xc(t) = xi(t) Cosct – xq(t)Senct

(15.4)

xi(t)= R(t) Cos(t) Componente en fase xq(t)= R(t) Sen(t) Componente en cuadratura.

(15.5) (15.6)

En consecuencia las señales moduladas analógicamente pueden ser representadas en términos de su componente en fase y su cuadratura. AM :

xAM(t) = Ac [1+mx(t)] Cosct a) R(t) = Ac [1+mx(t)] ; b) xi (t) = Ac [1+mx(t)] ;

DSB :

(t) = 0 xq(t) = 0

(15.7) (15.8)

xDSB(t) = Ac x(t) Cosct a) R(t) = Ac x(t) ; ( ) b) xi (t) = Ac x(t) ;

{

( ) ( )

}

xq(t) = 0

(15.9) (15.10)

SSB:

xSSB (t)  a) R  t  b) xi (t) 

Ac Ac x(t) Cosct xˆ(t) Senct 2 2 A  xˆ   c x 2  xˆ 2 ;  (t )  arctg    2  x Ac A x(t ); xq (t)   c xˆ (t ) 2 2

(15.11) (15.12)

VSB:

Ac A x(t) Cosct  c x'(t) Senct 2 2 x 'q A a) R  t   c x 2 (t )  x 'q2 (t );  (t )  arctg 2 x Ac A x(t ); xq (t)  c x 'q (t ) b) xi (t)  2 2

xVSB (t) 

(15.13) (15.14)

FM: 272

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas t xFM (t)  Ac Cos ct  2 K f  x( )d   Ac Cos (t).Cosct  Ac Sen (t).Senct 0  

a) R  t   Ac ; (t )  2 K f  x( )d t

0

b) xi (t)  AcCos (t ); xq (t)  Ac Sen (t ) PM:

(15.15) (15.16)

xPM (t)  AcCos ct  K P x(t )  AcCosK P x(t).Cosct  Ac SenK P x(t).Senct a) R(t )  Ac ;  (t ) ~ K P x(t ) b) xi (t)  AcCosK p x(t ); xq (t)  Ac SenK p x(t )

(15.17) (15.18)

15.4 Salida de los diferentes detectores: Es importante conocer la salida de los diferentes detectores: Llamando y(t) = Salida del detector: 

Con detector de envolvente:



Con detector Sincrónico:

  

y(t) = K1R(t)

(15.19)

y(t) = K2 xi(t) ó K3 xq(t)

(15.20)

Con detector de Fase: y(t) = K4(t)

(15.21)

d (t ) dt

(15.22)

Con detector de frecuencia: y(t) = K5

15.5 Interferencia de un Tono en la Modulación Lineal. Señal interferente: Amplitud = AI; frecuencia = fc + fI Señal que llega al modulador (antes de la detección)

 (t )  R(t ).Cos( c t   (t ))  AI .Cos( c   I )t

    SeñalModulada

Interferencia

(15.23)

Expandiendo los cosenos:

 (t )  R(t ).Cos (t ).Cos c t  R(t )Sen (t ).Sen c t  AI Cos I t.Cos c t  AI Sen I t.Sen c t Llamando: 273


xi (t )  R(t )Cos (t )  AI Cos I t xq (t )  R(t )Sen (t )  AI Sen I t

Luego:

 (t )  xi (t ) Cosc t  xq Senc t

(15.24) (15.25) (15.26)

15.5.1 AM con detector de envolvente:

 (t )  R(t ) Cosc t  AI Cos(c   I )t

(15.27)

a) Con interferencia pequeña: AI << R(t): Ver Fig. 15.2

Fig. 15.2 Esquema fasorial para detección de envolvente

RT (t )  R(t )  AI Cos I t

(15.28)



Si fI > W (ancho de banda del mensaje), la interferencia se elimina con el filtro pasabajo que sigue al detector.



Si fI < W aparece un tono que afecta una sola frecuencia de poca altura, luego no es de mayor relevancia.

b) Con interferencia grande: AI >> R(t)

Fig. 15.3 Esquema fasorial con AI >> R(t) 274


Bloqueando el nivel DC (AI) 

RT (t )  AI  R(t )Cos I t

(15.29)

R´T (t )  R(t )Cos I t

(15.30)

En este caso el mensaje se traslada a la frecuencia fI

Fig. 15.4 Efecto de la detección de envolvente  

Si fI es pequeña el problema no es tan grave (cambian los tonos del mensaje, pero es inteligible). Si fI es grande: desaparece el mensaje con el filtro de salida.

15.5.2 AM con detector sincrónico Con un detector sincrónico siempre se obtiene xi(t). En el caso de AM: xi(t)=R(t)+AI Cos 1t

(15.31)

 Si fI > W, el filtro de salida eliminará esta interferencia.  Si fI < W, sea grande o pequeña de amplitud, solo afecta una frecuencia específica. Esta es una ventaja del detector sincrónico que también se hace presente en el análisis del ruido. Es por esto que a veces se prefiere la detección sincrónica sobre el detector de envolvente. 15.6 Ruido Pasabanda Es un sistema de comunicación en general se supone que en el canal, la señal además de atenuarse, también sufre el efecto de interferencia y ruido. Ya en el receptor, lo primero que se encuentra es un filtro pasabanda como se ilustra en la Fig. 15.5 empleando la Característica ideal.

275


Fig. 15.5 Filtro pasa banda del Receptor

Fig.15.6 Generación de Ruido pasabanda de Banda estrecha

Usualmente BR = BT << fc El ruido a la salida de este filtro se llama RUIDO PASABANDA de banda estrecha. Este ruido se puede describir a través de la forma: a) Envolvente – fase: n(t) = Rn(t) Cos(ct + n(t)) n(t)= Rn(t) Cosn(t )Cosct - Rn(t) Senn(t) Senct Llamando: ni(t) = Rn(t) Cosn(t)

y

(15.32) (15.33)

nq(t) = Rn(t) Senn(t)

La señal resultante aparecerá como se aprecia en las Figuras 15.7 y 15.8.

Fig. 15.7 Ruido de envolvente

Fig. 15.8 Componentes en fase y en cuadratura

b) Descripción mediante la componente en fase y la componente en cuadratura del ruido: 276


( )

( )

( )

(15.34)

En síntesis hay que describir Rn(t), n(t), ni(t) y nq(t) Se puede demostrar que la componente en fase y la componente en cuadratura dl ruido pueden describirse en términos de ( ): ( )

( )

̂( )

(15.35)

( )

̂( )

( )

(15.36)

Con estas expresiones de ni(t) y nq(t), se deduce:   

E[ni(t). nq(t)] = 0 ni  nq E[ni(t)] = E[nq(t)] = 0 Si E[n(t)] = 0 La envolvente en fase del ruido: ( )

̂(

Dado que: ̂

 

)

̂(

( ) ̂( )

La DEP del ruido será: ( ) ( ) ( El valor cuadrático medio del ruido: ̅̅̅̅

)

(15.37)

̂(

) ̂( ) )

̅̅̅̅̅

(15.38) (15.39) (

)

| |

̅̅̅

(15.40) (15.41)



Si n(t) es gaussiano, ni(t) es gaussiano y nq(t) también es gaussiano.



Si ni(t) y nq(t) son ortogonales, y ̅ ̅̅̅ (media cero)  los problemas de las 2 señales se reducen a que están decorrelacionadas y si son gaussianas y decorrelacionadas, se dice que son independientes. Además tienen la misma varianza. Función de densidad de probabilidad de ni:



n2

Pni (ni )  

 i2 1 e 2 2 

(15.42)

Función de densidad de probabilidad de nq: nq2

Pnq (nq )  

 2 1 e 2 2 

(15.43)

Función de densidad de probabilidad de conjunta:

277


Pnq ni (ni , nq ) 

 1 e 2 

ni2  nq2 2 2

(15.44)

  = varianza de ni, nq y n. 2

Ahora se puede determinar en función de la densidad de probabilidad de Rn(t) y

Rn (t )  ni2  nq2 ni (t )  Rn (t ).Cos

n

(t )

n

(t )  artan

(t):

nq ni

nq (t )  Rn (t ).Sen

(15.45) n

(t )

(15.46)

Cuando se tienen funciones de variables aleatorias (bidimensionales) se puede hablar del “Equivalente bidimensional” que permite la transformación de variables aleatorias. Pni (ni ) Pnq (nq )  dni .dnq  P( Rn1  n ) dRn .d n

Donde P(Rnin) es la función de densidad de probabilidad conjunta de Rn y n

(15.47)

Pero: dni .dnq  Rn .dRn .d n se llega a:

P( Rn1  n ) 

Rn . dRn .d n dRn .d n

Pni (ni ) Pnq (nq ) (15.48)

P( Rn1  n )  Rn .Pni (ni ) Pnq (nq )

(15.49)

Pero 2 Rn  0 (siempre) y ni2  nq2  Rn Adicionalmente si Pni y Pnq son gaussianas, la probabilidad conjunta P( Rn , n ) será:

P( Rn , n )  Rn 

1 2 2



e

Rn2 2 2

(15.50)

Cálculo de la probabilidad marginal de n:

Dos cualidades a tener en cuenta: Rn no puede ser negativa y n está limitada [-, ] 

R R Rn 1  2n2 1   2n2  1  e   P n ( n )   P( Rn1  n )dRn   e dRn      2 2 2  2    2



2



(15.51)

Como [- < n < ] para evitar ambigüedades, se tiene que P n ( n ) está distribuida uniformemente entre - y .

278


Fig. 15.10 Función densidad de probabilidad de la fase

De donde se puede deducir:

n  0 2 





(15.52) 2

3

(15.53)

Probabilidad marginal de Rn.

PRn ( Rn )  







Rn

2

e

2

Rn2 2

2

d n 

Rn



2



e

Rn2 2 2

(15.54)

Esta función corresponde a una DISTRIBUCION DE RAYLEIGH (Fig. 15.11).

Fig. 15.11Probabilidad marginal de la envolvente de ruido

PRn  r   



Rn

r

2



e

Rn2 2 2



dRn

r   Rn2   2 2 2 P  Rn  r    e  e   r La cual tiene las siguientes propiedades: 2

2

(15.55)

Rn2  2 2 Rn 

 2

.

 R2  Rn2  Rn2  2 2  n

 2

 4   2   2   2 2  

(15.56) 279


Donde 2 es la varianza de n (ni, nq), pero no de Rn. Conclusión: Se observa que n y Rn son estadísticamente independientes ya que:

P( Rn ,  n )  PRn ( Rn ).P n ( n ) 

(15.57)

Densidad espectral de potencia de ni y nq: ( )

( )

( )

El ruido después del filtro HR(f) es de la siguiente forma:

Fig. 15.12 DEP del ruido después del filtro HR(f)

La salida sería el mismo que la entrada, puesto que HR(f) es de la forma:

Fig. 15.13 Filtro HR(f)

Filtro de detección es de la forma como es indicada en la Fig. 15.14

Fig. 15.14 Filtro para la detección

Luego hR(t) = 2h0(t) Cosct h0(t): Respuesta impulso de H0(f) hR(t): Respuesta impulso de HR(f)

280


Al aplicar la señal de ruido pasa-banda a la entrada del sistema pasa-banda ideal, la salida debe ser n(t).

Fig. 15.15 Detección coherente

15.7 Ruido en la Modulación Lineal Modelo del receptor, considerando la señal modulada más el ruido pasa-banda, se muestra en la Fig. 15.16.

Fi. 15. 16 Modelo del receptor para estudio del ruido en la modulación lineal

Considerando la señal de salida del filtro HR(f)

 (t )  xR (t )  n(t )

(15.58)

Dado L como la atenuación en potencia del canal de transmisión: A 1  KR  R L AC

(15.59)

Potencia promedio de la señal de entrada al detector = SR: 2

A  X2 S S R  c  T  K R2 S T   R  .S T L L  AC 

(15.60)

Potencia promedio del ruido:

281


n n2  N R  .2 BT   BT 2 Luego:

N R  BT

(15.61)

Y la relación señal a ruido será:

S S W W S     R  R . BT  N  R BT W BT

Donde :  

SR W

(15.62)

Así: En AM: BT = 2W;

En DSB: BT = 2W;

W  S     . 2W 2  N R

(15.63)

W  S     . 2W 2  N R

(15.64)

W S    .   W  N R

(15.65)

En SSB: BT = W;

En VSB:

W  BT  W; 2



S     . 2  N R

(15.66)

S Para analizar   es necesario conocer el tipo de detector utilizado.  N D 15.7.1 Con Detector Sincrónico: a) Doble banda lateral: DSB

282


XDSB(t) = ARX(t)Cosct

y BT = 2W

Fig. 15.17 Detector Sincrónico

 (t )  xDSB (t )  Ruido  (t )  AR x(t )Cosct  ni (t )Cosct  nqSenct  (t )  [ AR x(t )  ni (t )]Cosct  nqSenct Salida del detector:

yD (t ) 

1 1 AR x(t )  ni (t ) 2 2

(15.67)

Se concluye:   

El mensaje y el ruido son aditivos en la salida. La componente en cuadratura del ruido se elimina. El espectro de potencia del ruido en la salida: Gni(t) = Gnq(t), se traslada al origen

La DEP antes de la detección se muestra en la Fig. 15.18:

Fig. 15.18 DEP del ruido antes de la detección

DEP después de la detección se muestra en la Fig. 15.19:

283


Fig. 15.19 DEP del ruido después de la detección



Potencia de entrada de señal al detector:

S R   AR x(t )Cosct 

2



AR2 2  x 2

(15.68)

Potencia de señal de salida del detector: 2

1 1 1  S D   AR x(t )   AR2 x 2 (t )  4 2 2  

(15.69)

Cálculo de la potencia del ruido:

Señal de ruido antes de la detección: ( )

( )

( )

Señal de ruido después de la detección: (ver Fig. 15.20) n1(t) = n(t)Cosct

Fig. 15.20 el ruido en la detección coherente

( )

( )

( )

284


( )

( )

( )

( )

(15.70)

Después del filtro LPF: ( )

( )

(15.61)

Potencia de ruido detectada: N D  n D2 (t )  ND 

1 2 1 2 ni  n R 4 4

1 NR 4

(15.62)

Luego:

1 SR SD S S 2   2      N D ND 1 N  N R R 4

(15.63)

NOTA: Al trasladar el mensaje y el ruido al origen de frecuencias el ruido lo hace en forma INCOHERENTE, mientras que el mensaje lo hace COHERENTE y por esto:

S S    2   N D  N R

(15.64)

b) AM (con detector sincrónico): Señal antes de la detección:

 (t )  AR 1  mx(t ) Cosct  niCosct  nq Senct Señal AM

Ruido

(15.65)

Potencia recibida de la señal AM:

AR2  1  2mx  m2 x 2    2 A2 Con x  0  S R  R 1  m 2 x 2   2  SR 

(15.66)

Potencia recibida del ruido: NR=2W puesto que BT=2W Luego

285






AR2 1  m2 x 2  S     4W 2  N R

(15.67)

A la salida del detector síncrono, después del filtro LPF tenemos:

yD (t )  AR 1  mx(t )  ni

(15.68)

yD' (t )  AR mx(t )  ni

(15.69)

S D  AR2 m2 x 2

(15.70)

Eliminando la DC:

Por tanto la potencia detectada es:

Y la potencia de ruido detectado: ND= 2W A2 m 2 X 2 S Luego:    R 2W  N D

(15.71)

AR2 m2 x 2 S   2m 2 x 2 2W  N D   2 2 S AR2 1  m 2 x 2  1  2m x      N R 4W

(15.72)

 m2 x 2 1 S S .        2 2   N R 2  N D 1  m x

(15.73)

Efectuando la relación:

Como:

Y tendrá un máximo cuando:

 S m2 x 2  1      N D 2

(15.74) S Se concluye que DSB debe mandar la mitad de potencia que AM para lograr la misma    N D c) En SSB: Señal antes de la detección:

286


 (t ) 

AR  x(t )Cosot 2

xˆ (t ) Sen ot   ni Cos ot  nq Sen 0t

Señal SSB

Donde:

Ruido

(15.75)

.

Potencia de la señal recibida:

 x 2 x 2  AR2 2 x     2 2  4 El ruido está representado como pasabanda alrededor de: AR2 SR  4

(15.76)

Fig. 15.21Ruido pasabanda en SSB

El Detector empleado se muestra en la Fig. 15.22:

Fig. 15.22 Detector sincrónico para SSB

n1 (t)  niCos0t  nq Sen0t  2Cosct 

(15.77)

W W   n1 (t)   2ni Cos( c  2 t )  2nq Sen(c  2 t )  Cosct  2 2  

n1 (t)  ni Cos(2c  W )t  CosWt   nq  Sen(2c  W )t  SenWt  Al pasar esta señal por el filtro LPF, resulta: 287


nD (t )  niCosWt  nq SenWt

(15.78)

Luego: 2 ni2 nq ni2 ni2 n      ni2  Pot. ni 2 2 2 2 2 D

Fig. 15.23 DEP detectada para SSB

Potencia de la señal detectada:

n D2  2..

W  W  N D 2

(15.79)

Salida demodulada:

yD (t) 

AR x(t )  ni (t )CosWt  nq (t ) SenWt 2

(15.80)

Potencia de la Señal demodulada: AR2 X 2 SD   SR 4

(15.81)

S S S S    D  R    N  D N R W  N  R

(15.82)

La relación señal a ruido detectada:

TABLA N°15.1 CUADRO RESUMEN COMPARATIVO CON DETECTOR SINCRONICO TIPO AM DSB

SR 2 R

A  1  m2 x 2    2 AR2 2 x 2

(S/N)D m2 x 2

 1  m2 x 2 SR  W

288


SSB

AR2 2 x 4

SR  W

Si AR=1 y x 2  1 AM 1  m2

1  m2 1  m2 m2 .  2 2W 2W 1 2W 1 4W

2 1 2 1 4

DSB SSB

1 2W 1 1 En DSB: SR= ; (S/N)D= 2 2W 1 1 En SSB: SR= ; (S/N)D= 4 4W S S S    2  Si SR=1     N  DSSB  N  DDSB  N  DAM

Si m=1  En AM: SR=1

;

(S/N)D=

(15.83)

15.7.2 Detección de AM con Detector de Envolvente: Nuestro interés es el cálculo de la relación (S/N). Antes de la detección:

 (t )  AR 1  mx(t ) Cosct  niCosct  nqCosct

(15.84)

Envolvente: RT (t ) 

 AR (1  mx(t ))  ni 

2

 nq2

(15.85)

Pero esta expresión es difícil de analizar. Sin embargo pensando primero en el caso más sencillo que es: a) AR 1  mX (t )  ruido

289


Efectuando un esquema fasorial, se obtiene:

Fig. 15.24 Esquema fasorial para la detección AM con detector de envolvente

RT (t )  AR 1  mX (t )  ni

(15.86)

R 'T (t )  AR mx(t )  ni

(15.87)

Eliminando el nivel DC 

Queda lo mismo que con el detector sincrónico y el análisis es el mismo anterior. Por tanto la relación señal a ruido detectada es:

m2 x 2  S .     2 2 2  D D 1  m x

(15.88)

c) En el caso en que domine el ruido frente a la señal, es decir (S/N)R pequeña:

 (t )  Rn (t )Cos(ct  n (t ))  AR 1  mx(t )  Cosct Ruido

Señal AM

(15.89)

 (t )  Rn (t )Cos n (t ).Cos c t  Rn (t )Sen n (t ).Sen c t  AR 1  mX (t )Cos c t (15.90) Envolvente:

RT (t )  Rn2Cos 2n (t )  AR2 1  mx(t )  2 AR Rn 1  mx(t ) Cosn (t )  Rn2 Senn 2

RT (t )  Rn2  AR2 1  mx(t )  2 AR Rn 1  mx(t ) Cosn (t ) 2

RT (t )  Rn 1 

2 AR 1  mx(t ) Cosn (t ) Rn

 A 1  mx(t ) Cosn (t )  RT (t )  Rn 1  R  Rn   290


RT (t )  Rn  AR 1  mx(t ) Cosn (t )

(15.91)

Fasorialmente:

Fig. 15.25 Esquema fasorial en la detección AM con detector de envolvente.

Se observa que hay un término de ruido Cosn(t) que multiplica al mensaje x(t), mutilándolo y en este caso no tiene sentido pretender el cálculo de una relación señal a ruido. S Sin embargo se puede detectar en que nivel de   comienza a influir seriamente la  N R mutilación o pérdida del mensaje. Es decir, hay que buscar un UMBRAL sobre el cual la mutilación es despreciable. Este fenómeno es conocido como “efecto umbral en la detección de envolvente”. 15.7.3 Efecto Umbral en la Detección de Envolvente: En general si AR >> Rn considerando m2 x 2  1 se dice que no hay mutilación del mensaje. Definimos el punto de decisión ó umbral como aquel que produce P[AR  Rn] = 0.99  P[Rn  AR] = 0.01 Pero:

PRn [ Rn ] 

Rn



2



e

Rn2 2 2

Distribución de Raleigh



Rn

AR

2

PRn [ Rn  AR ]  



e

Rn2 2 2

e



AR2 2 2

 0.01 (15.92)

Potencia de la señal recibida:

SR 



AR2 1  2mx  m2 x 2 2



(15.93)

Si:

x  0 y m2 x2  1  SR  AR2 y N R  n2   2

291


e



SR 2NR

 0.01  ln 0.01  

 2 ln(0.01) 

SR 2N R

SR  S      9,210  10 N R  N  RU

Luego:

S    10  N  RU

S  10dB    N U ,dB

(15.94)

Pero:

 umbral  S  10   umbral  20     2  N R 2  umbral dB  10 log 20  13dB S En la práctica requiere:    30dB (con margen de seguridad)  N  RU S En magnitud:    1.000  10  N  RU  S      umbral  2.000  N R 2  umbral ,dB  10 log 2.000  33dB

(15.95)

(15.96)

 S Si    se espera mutilación del mensaje con pérdida de información.  N R 2 15.8 Interferencia en la Modulación Angular El Modelo en diagrama de bloques para el este caso se muestra en la Fig. 15.26:

Fig. 15.26 Modelo para el estudio de la interferencia y ruido en la modulación angular

Señal antes de la detección:

292


 (t )  AR Cos( c t   (t ))  AI Cos( c t   I t )       Señal modulada

Interferen cia i(t)

(15.97)

15.8.1. Interferencia Pequeña: AI << AR

AR 

AC L

(15.98)

Fig. 15.27 Diagrama fasorial en la modulación angular con interferencia

tg

i



AI Sen( I t  (t ))  AR  AI Cos ( I t  (t ))

i

(15.99)

Como AI << AR  AR >> AI Cos(It- (t)), luego se desprecia este término así: a) Con detector de fase daría: (PM) T

(t )  (t ) 

AI Sen( I t  (t )) AR

(15.100)

b) Con el detector de frecuencia diaria: (FM)

1 d T (t ) 1 d (t ) AI  1 d (t )     f1   Cos(I t  (t )) 2 dt 2 dt AR  2 dt  (15.101) En ambos casos se tiene el mensaje más una señal modulada interferente con la diferencia. A a) Para PM la amplitud de esa interferencia es constante y pequeña I  1 AR A f b) Para FM la amplitud crece con fI: I I AR Para analizarlo mejor suponer que (t) = 0 en un intervalo, Así: A  Interferencia PM  I Sen I t AR 293


Sinusoide de amplitud pequeña y constante. A  Interferencia FM  I f I Cos I t AR Sinusoide de amplitud proporcional a fI.

Fig. 15.28 Interferencia en la modulación angular

En conclusión:  

PM es mejor si fI es grande (canales adyacentes). FM es mejor si fI es pequeño.

Si W < fI < BT/2, la interferencia pasa la primera etapa del receptor pero después del detector se bloquea. 15.8.2 Deénfasis y Preénfasis En FM, el hecho de que la interferencia es mayor mientras mayor sea fI, sugiere un método de mejorar el FM. Si se atenúan las altas frecuencias después de detectar, la interferencia de alta frecuencia (que es la más molesta) disminuye. Pero evidentemente este proceso también atenúa las altas frecuencias del mensaje. Por tanto y para que el método tenga sentido se debe acentuar las componentes de alta frecuencia del mensaje antes de ser transmitido. Este tipo de procesamiento se llama DEÉNFASIS A LA ATENUACION (en el receptor) y PREÉNFASIS A LA ACENTUACION (en el transmisor) y tienen las siguientes características: En el TX: PREÉNFASIS. Ver Fig. 15.29

Fig. 15.29 Preénfasis, acentuación en las atas frecuencias 294


En el RX: DEÉNFASIS Ver Fig. 15.30

Fig. 15.30 Deénfasis, atenuación en las altas frecuencias Donde:

Hpe( f ) 

1 ; f W Hde( f )

Fig. 15.31Sistema de Comunicación con sistema de preénfasis y deénfasis.

El filtro LPF sigue siendo necesario para eliminar las componentes con f > W. Esta configuración reduce la interferencia de tal forma que si se vuelve a graficar la amplitud de la interferencia Vs frecuencia se obtiene la curva que se muestra en la Fig. 15.32.

Fig.15.32 Sistema con deénfasis 295


Esta técnica también se puede emplear en sistemas de sonido: Las altas frecuencias son usualmente preenfatizadas antes de grabarse, para luego ser desenfatizadas durante la reproducción. Esto reduce el ruido superficial de alta frecuencia. El sistema DOLBY va más allá, ya que ajusta la cantidad de deénfasis y preénfasis en función del contenido de alta frecuencia. Por otra parte usar deénfasis y preénfasis en modulación lineal o PM no vale la pena ya que la interferencia no depende de la frecuencia. Algo mejora estos circuitos pero no como para justificar la complejidad de este sistema. 15.8.3 Redes de Preénfasis y Deénfasis 

EL FILTRO DEENFASIS usualmente es un filtro RC como se muestra en la Fig. 15.33: Fig. 15.33 Filtro deénfasis

La función de transferencia del filtro mostrado es: 1 1 j c H de ( f )   1 1  j RC R j j c 1 1 H de ( f )   Bde  f 2RC 1 j Bde  f  H de ( f )  1  j  Bde  



1

 1;    Bde  jf ; 

(15.102)

f  Bde f  Bde (15.103)

CIRCUITO DE PREÉNFASIS:

296


 1;  1 f   H Pe ( f )   1  j    jf ; H de ( f )  Bde    Bde

f  Bde f  Bde

(15.104)

En alta frecuencia el filtro actúa como un derivador. Pero derivar una señal antes de modularla en FM es PM y por lo tanto la interferencia se convierte en una interferencia en PM y por esto las curvas se parecen. En este caso FM es mejor que PM para cualquier tipo de interferencia.  CIRCUITO TIPICO Con R>>Ro

Fig. 15.34 Circuito de Preénfasis

H Pe ( f ) 

H Pe ( f ) 

Bpc 

R0 R0 ( Rj c  1)  R(1/ j c) R0 ( Rj c  1)  R R0  R  (1/ j c)

R0 ( j c  1/ R) R  1 f   R0 ( j c  )  0 1  j  R0 ( j c  1/ R)  1 R R  B pe 

(15.105)

(15.106)

1 W La amplitud de la máxima frecuencia es aumentada en un factor  1 2 R C Bde

15.9 Ruido en la Modulación Exponencial El modelo para el análisis de ruido en la modulación exponencial se muestra en la Fig. 15.35.

Fig. 15.35 Modelo para análisis de ruido en la modulación exponencial. 297


Potencia de la señal y potencia del ruido en el punto R de recepción:

AR2 SR  2

NR = BT

AR S Luego:     R  R 2BT 2

(15.107)

S Si BT muy grande,   se hace pequeña.  R R Observe que BT de la modulación exponencial es mucho más grande que el BT de la modulación lineal. S S      R  R exp  R  R, lineal (15.108) Por tanto a mayor BW (ancho de banda) más ruido. ¿Qué efecto tendrá el detector? Calcularemos la potencia de salida de la señal sin ruido y la potencia del ruido utilizando una portadora sin modular. Esta aproximación se justifica sobre todo en FM banda ancha ya que: a) Ancho de banda del mensaje = W b) Ancho de banda del ruido = BT >> W Por tanto la potencia del ruido varía mucho más rápido que la potencia de la señal modulada la cual sigue el ritmo W. De donde, en un intervalo 1/W es como si se tuviera una portadora sin modular. 1) Cálculo de la potencia de la señal: La señal obtenida con un: 

Demodulador PM es:



Demodulador FM es:

(t)=Kpx(t)

1 d (t )  fc  K f x(t ) 2 dt

NOTA: Kp también se denota como . Kf también se denota como f. Potencia de la señal detectada:

298




Para PM: S D  K p2 x 2



Para FM (eliminando el DC): S D  K x

(15.109) 2 f

2

(15.110)

2) Cálculo de la potencia del ruido: (Portadora sin modular)

 (t )  AR Cos c t  Rn (t )Cos( c t 

n

(t ))

(15.111)

a) Si AR >> Rn(t)

Fig. 15.36

15.9.1 Con el detector PM:

(t )  arctg

Rn (t ) Sen n (t ) R (t ) Sen  n A  Rn (t )Cos n (t ) AR R  

n

(t )



(15.112)

(t ) 

nq (t ) AR

(15.113)

Aplicando FOURIER DEP

G ( f ) 

Gnq ( f ) 2 R

A



 2 R

A



 2S R2

 Gn ( f ) (15.114)

Aclarando: nq (t )  nˆ (t )Cos c t  n(t )Sen c t Luego: Gnq ( f ) 

1 Gnˆ( f  fc )  Gnˆ( f  fc )  1 Gn( f  fc )  Gn( f  fc ) 2 2 Gnˆ( f )  Gn( f ) 

299


Gnq ( f )  Gn( f  fc )  Gn( f  fc ) 

  

2

2

 ;  f   (15.115)

Fig. 15.37 DEP del ruido de fase Con la potencia del ruido y de la señal detectada en la modulación de fase se puede determinar la relación señal a ruido:

N DPM 

2 W W 2 SR AR

S D PM  R p2 X 2

;

R p2 X 2 S    .R p2 X 2    W  N  DPM SR Como Rp  

(15.116)

; x 1 2

S la máxima   sería :  N D

S  10    N  DPM máx

(15.117)

15.9.2 En FM: Se recibe:

1 d 1 dnq  2 dt 2AR dt



nq AR

Recordando que en PM: F [nq(t)] = Nq(f) tiene DEPPM = |Nq(f)|2 = Gnq(f) En FM

 dn (t )  F  q   j 2 f N q ( f ) tiene  dt 

| ( )

( )|

( )

(15.118)

Tomando la señal a la salida el detector de FM:

300

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas 2

f 2 4 2Gnq ( f )  1 dnq    1 d n   GnFM ( f )   F      F  4 2 AR2   2 dt    2 AR dt  2

(15.119)

A la salida del detector:

GnFM ( f ) 

f 2Gnq ( f )

 GnPM ( f ) 

AR2

 2 R

A

 f 2GnPM ( f )

 GnFM ( f ) 

 2 R

A

f2 (15.120)

La DEP del ruido detectado en FM se muestra en la Fig. 15.38.

Fig.15.38 DEP a la salida del detector FM

Potencia del ruido detectada: W



0

AR2

N D  2

2 3 ND  f 3 AR2

Potencia de la señal y del ruido recibidas: AR2 SR  2

;

f 2 df W

 0

ND 

2W 3 3 AR2

(15.121)

W 3 3S R

Relación señal a ruido detectados en FM: 2

3K 2f x 2 S R R  S   3  f  X 2 .  3 2 x 2 .   2 W W  D  DFM W 

(15.122)

Donde  = Kf / W, Kf > 0, Kf >> W por tanto se aprecia en forma sensible la mejora respecto a PM.

301


Es interesante observar la característica parabólica de la DEP del ruido detectado en FM. Sin embargo a mayor W, más ruido. Por tanto FM estéreo es más ruidoso que FM monofónico. 15.9.2 Análisis con Red de Deénfasis: Utilizando una red de deénfasis del tipo: 1

 f  H de ( f )  1  j  Bde  

  f 2  2   H de ( f )  1     Bde   W

1

N D   Gn( f ). H de ( f ) df 2

W



(15.123)

En FM:

f 2 

W

N DFM  

W

 f   1   2 AR   Bde  

2

1

  df 

Cambio de variable: Si x 

f Bde



N DFM 

N DFM 

  Bde 

3

AR2



df  Bde dx

;

2 R

A



W

Bde W Bde

 Bde 

Bde W Bde

x 2 (1  x 2 )1 dx

W   Bde   W Bde  x2  1  1 1 Bde dx  1. dx  dx   2 2 2   W W   1 x AR  Bde Bde 1  x 

  Bde   2W AR2

  Bde

 2arctg

N DFM 

2W   Bde 

SR 

AR2 2

  Bde   W 3

Si W >> Bde  arctg

f 2  Bde 2 x 2

3

W

3

N DFM 

3

;

SR

W   arctg   Bde   Bde

(15.124)

W   Bde 2

302


N DFM  N DFM 

 Bde 3  W SR

 W    ; Además : Si    Bde 2  Bde 2 

 Bde 2 W SR

Bde 2



 



SR W

2

 Kf  2 S    x  ; Bde  W    N  DFMde  Bde 

(15.125)

Rf 2 2 S 3 x    N  DFM Bde 2 3(Bde ) 2 Factor de mérito    Rf 2 2 W2 S x     N  DFMde Bde 2

(15.126)

Relación con y sin deénfasis:

Pero Bde << W Se ve la mejora en FM con deénfasis respecto a sin deénfasis. 

PM con deénfasis: W

N DPM  

W

N DPM  Si

 

 f   1   2S R   Bde  

 Bde SR

2.arctg

2

1

  df 

W Bde

W  Bde  arctg

W   Bde 2

(15.127)

K p2 x 2 2S R S S  ;   R  SR   .W    Bde W  N  DPMde K p2 x 2 2W  S     Bde  N  DPMde S    N  DPM B  Factor de mérito PM   de  1 ; 2W S    N  DPMde

(15.128)

W  Bde

(15.130) 303


Con deénfasis se observa una mejora, pero menos que FM 15.9.3 Efecto Umbral en FM Las deducciones de (S/N)D realizadas hasta el momento son válidas si (S/N)R es grande. (Antes se asumió Señal >> Ruido).

 (t )  AR Cos( c t   (t ))  Rn Cos( c t   (t ))

Fig. 15.39 Análisis para establecer el efecto umbral

Ahora si Rn(t) >> AR : ( )

( )

( ( )

( )) (15.131)

Luego, el mensaje ha quedado mutilado, más allá de toda esperanza de recuperarlo. Sin embargo hay un punto (S/N)R umbral: Se define:

S  W W S  10   R    u.   BT  N  Rumbral  W  u BT

BT pero : BT  2(  2)W W  u  20(  2)

 u  10

(15.132)

(FM Banda Ancha) (15.133)

Kf   Luego el umbral crece a medida que aumente  ;     W  

304


Sin embrago no se puede aumentar Kf arbitrariamente. Si se grafica (S/N)D vs (dB) para la modulación de tono:

Fig. 15.40 Gráfica para mostrar el efecto umbral en FM

El cambio súbito de estas curvas representa el efecto umbral de la FM. Si se quiere aumentar (S/N)D aumentando , el sacrificio sería innecesario ya que se caería en la zona abrupta. Por ejemplo: se desea una (S/N)D=30dB con mínima potencia transmitida y con A.B de transmisión =14W. Si no fuera por el umbral se usaría =5 y (S/N)D =30dB  =14dB, pero para =5, u = 21.5dB y (S/N)D=37dB. Con =2 y (S/N)D =30dB  =22dB, fuera de la región umbral. Para =2, u = 16dB. Por tanto si =2 y (S/N)D=30dB estaría fuera de la región umbral, mientras que con (S/N)D=30dB y =5 estaría en la zona abrupta. S 2 2    3 X  u N   DU  u  20(  2) Banda Ancha

S 2 2    60 (  2) X  N  DU

(15.134)

En conclusión:   

FM al igual que AM sufre de efecto umbral pero umbral depende de . S S Si se tiene   fijo y se requiere aumentar   aumentando, el sacrificio podría ser  N R  N R innecesario ya que se podría caer en la zona abrupta de la gráfica. Si se tiene  << umbral para el  fijado, sería preferible usar modulación lineal. 305


 

Si se quiere un diseño con mínima potencia, el umbral puede ser una restricción. Como S 2 2    3 x   N D S  3 2 x 2 . u  3 2 x 2 20(  2)    N  Dumbral

S 2 2    60 (  2) x N  D

(15.135)

15.10 Ejercicios Propuestos: 15.10.1 Resolver empleando Matlab: Un mensaje m(t) es definido como: 1,.......(0  t  t 0 / 3seg )  m(t )   2,....(t 0 / 3  t  2t 0 / 3) 0,........Otro.caso 

1) Si el mensaje m(t) es modulado en DSB empleando como portadora:, c(t )  cos(2f c t ) la modulación resultante es y(t). Asumir t0=0.15 seg y fc=250 Hz.:  Obtener la expresión y(t).  Obtenga el espectro de m(t) y y(t).  Asumir que la señal mensaje es periódica con periodo T0= t0.. Determine la potencia de la señal modulada.  Si se añade ruido tal que la SNR a la salida del modulador sea de 10 dB, encuentre la potencia de ruido. 2) Si el mensaje m(t) es modulado en AM convencional con índice de modulación del 85% y fc=250 Hz y t0=0.15 seg:  Derive una expresión para la señal modulada: y(t).  Obtenga el espectro de m(t) y y(t).  Asumir que la señal mensaje es periódica con periodo T0= t0. . Determine la potencia de la señal modulada y su eficiencia.  Si se añade ruido tal que la SNR a la salida del modulador sea de 10 dB, encuentre la potencia de ruido. 3) Si el mensaje m(t) es modulado en LSSB y fc=250 Hz y t0=0.15 seg:  Grafique la transformada de Hilbert de la señal mensaje.  Grafique la señal modulada y(t).

306


 

Asumir que la señal mensaje es periódica con periodo T0= t0 y determine la potencia de la señal modulada. Si se añade ruido tal que la SNR a la salida del modulador sea de 10 dB, encuentre la potencia de ruido.

15.10.2 Para el esquema de la Fig. 15.41:

Fig. 15.41 Ejercicio 15.10.2 Considere: Donde:

( ) ( )y

( )

[

( )]

(

)

( )tienen Ancho de Banda de 10 KHz.

̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( )=0; ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ a) Hallar y graficar la DEP del ruido en el punto B. b) Determine la ( ) ( ) ( ) .

15.10.4 Un receptor de FM tiene un filtro da banda ideal de 225 KHz centrado en la frecuencia de la portadora no modulada y un filtro pasa bajo ideal de 10 KHz a la salida. La relación de potencia media de la portadora a la potencia media del ruido en la entrada del limitador es de 40 dB. La señal moduladora es una sinusoide de 10 KHz, la cual produce una desviación de frecuencia de 50 KHz. Determine: a) ( ) b) Si se inserta una red de deénfasis con una constante de tiempo filtro de salida, ¿Cuál es la nueva ( )

antes del

c) Que sucede si la amplitud de la señal se reduce a la mitad?

307


15.10.5 En esquema de la Fig. 15.42, asumir: Señal ( ): Ancho de banda = 3 KHz, ̅̅̅ Señal ( ): Ancho de banda = 5 KHz, ̅̅̅

̅̅̅̅=1 ̅̅̅̅=1

Fig. 15.42 Ejercicio 15.10.5 a) Encontrar ( )

y( )

( ) ( ), siendo ( ) con Ancho de Banda = 5 KHz y ̅̅̅̅=1/2 watt y b) Si ( ) tomando la señal de salida como: ( ) ( ) ( ). Calcular y ( )

308


Anexos

309


310


ANEXO 1: ¿Qué son los dB? 1: Como medida relativa. La relación de potencias, voltajes y corrientes es frecuentemente expresada en términos de decibelios. Por definición, los decibelios son iguales a diez veces el logaritmo en base 10 de la relación de dos potencias:

Donde

es la potencia de salida y

es la potencia de entrada de un Sistema.

Expresando las potencias en términos de voltaje o de corriente:

Donde

son el voltaje, la corriente y la resistencia del puerto de salida, mientras que son el voltaje, la corriente y la resistencia del puerto de entrada. Expresado en

decibelios:

Similarmente:

Si las impedancias de entrada y de salida son iguales o se utilizan potencias normalizadas, los decibelios pueden expresarse como:

Si el valor en dB es conocido, la relación de potencias o relación de voltajes o corrientes puede ser fácilmente obtenido por la inversión apropiada de las ecuaciones dadas. Para la relación de potencias, se obtiene: ⁄

⁄

311


⁄

Se puede usar para medir ganancia o atenuación (una ganancia negativa significa atenuación). Si hay ganancia de señal (amplificación) la cifra en decibelios será positiva, mientras que si hay pérdida (atenuación) será negativa. Una ganancia de 3dB significa que la potencia de salida será el doble de la de entrada. Una atenuación de 3 dB (ganancia de –3dB) significa que la potencia de salida será la mitad de la de entrada, es decir, si se tratara de una fibra óptica, en esta se estaría perdiendo la mitad de la potencia óptica. El decibel también puede ser usado para expresar la relación Señal a Ruido en un punto del circuito: ( ⁄ )

(

)

(

)

2: Como medida absoluta. El decibelio también es usado para indicar niveles absolutos de potencia con respecto a algún nivel de referencia. De acuerdo al nivel de referencia aparecen diferentes definiciones asociadas a los decibelios: a. Los dBm: Nivel de potencia de referencia es de 1 mW, es dado por: (

)

La “ m” en los dBm significa un milivatio de referencia.

Tabla de equivalencias Potencia en watts 1 pW 10pW 100pW 1.000pW 10.000pW 100.000pW

=1 nW

Potencia en dBm -90 -80 -70 -60 -50 -40 312


1.000.000pW 10.000.000pW 100.000.000pW 1.000.000.000pW 10mW 100mW 1.000mW

=1 W

-30 -20 -10 0 +10 +20 +30

=1 mW

=1 W

(pW=picowatt , W=nanowatt, W=microwatt, mW=miliwatt) b. Los dBW: Nivel de potencia de referencia es de 1 W. (

)

c. Los dBK: Nivel de potencia de referencia es de 1 KW. (

)

d. Los dBrn: Nivel de potencia de referencia es de 1 pW (pico Watt) e. Los dBmV: Empleado en la industria de Televisión por cable y el nivel de potencia de referencia es de 1 milivoltio a través de una resistencia de 75 ohmios. (

)

0 dBmV corresponde a -48.75 dBm Para sumar ruidos, o señales en general, es muy importante considerar que no es correcto sumar directamente valores de las fuentes de ruido expresados en decibelios. Así, dos fuentes de ruido de 21dB no dan 42dB sino 24dB. En este caso se emplea la formula: (

)

Donde xn son los valores de ruido o señal, expresados en decibelios, a sumar. (

(

)

(

)

)

f. Neper. En algunos países, para los mismos fines que el decibelio, se utiliza otra unidad llamada neper, que es similar al belio pero que en lugar de estar basada en el logaritmo

313


decimal de la relación de potencias lo está en el logaritmo natural o neperiano de la citada relación, viniendo el número de nepers dado por la fórmula:

El neper se utiliza frecuentemente para expresar relaciones entre voltajes o intensidades, mientras que el decibelio es más utilizado para expresar relaciones entre potencias. Teniendo esto en cuenta se puede establecer la relación entre ambas unidades a partir de una relación de voltajes:

314


ANEXO 2: TABLA DE PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER TÍPICAS

Entrada

( )

( )

( )

1

( )

1

1 ( )

( )

2

( )

( )

4

) ( )

( )

( )

3

(

(

)

5

(

)

[ (

)]

(

)

[ (

)]

(

)

6

(

)

[ (

)]

(

)

[ (

)]

(

)

7

( )

8

( )

9

| |

10

( )

∑

(

)

(

( )

( )

12 13

(

)

∑

)

( ) (

)

∑

(

)

315


316


ANEXO 3: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Número 1 2

Identidad

3 4 5 6 7

(

)

8

(

)

9 10 11 12 13 14 15 16 17

(

(

)

)

18

(

)

(

)

19 20

[

(

)]

(

)

21

[

(

)]

(

)

(

)

22 23 24

317


318

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas- Hector F Cancino De Greiff.pdf

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