Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elemento almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
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Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuación diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjunto cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elemento almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
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CIRCUITO RC 1.- INTRODUCCION
Fig.1 Circuito para estudiar est udiar la carga y descarga de un condensador. condensador. 3
Capacitor cargando
Estado transitorio
Estado estable
Estado transitorio
Estado estable 4
Condiciones de estado estable
cortocircuito a) Circuito visto justo después que el interruptor es movido a la posición de carga; V C = 0
b) Entonces V C =0 iC = E/R
Fig. Un condensador inicialmente descargado se mira como un cortocircuito
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a) VC = E
y
iC = 0
b) Circuito equivalente para el capacitor
Fig. Circuito cargando después del estado estable. Entonces el capacitor tendrá voltaje mas no corriente, esto se ve como un circuito abierto
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Condensador descargando
a) El voltaje V c igual a E justo antes que el interruptor es cerrado
b) Inmediatamente después que el interruptor es cerrado V C aun es igual a E
El condensador por consiguiente momentáneamente es visto como una fuente de voltaje. i C = - E/R 7
Fig. Voltaje y corriente durante la descarga. Tiempo t=0 s, es definido como el instante que el interruptor es movido a la posición de descarga
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Ejemplo. Para la figura, E=40v , R= 10 y condensador inicialmente esta descargado
el
Bosqueje los voltajes y corriente Solución Inicialmente i = 0 A , cuando el interruptor esta abierto. Inmediatamente después que este es movido a la posición de carga, la corriente salta a E/R = 40/10= 4 A. Luego esta decae a cero. En el mismo instante, VC empieza en 0 V y salta a 40 V
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Fase de carga
Fase de descarga
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2. –ECUACIONES DE UN CONDENSADOR CARGANDO
…1
…2
Resolviendo la ecuación …3
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Ahora consideremos el voltaje en el resistor, de la ecuación 1 , Sustituyendo VC de la ecuación 3 tenemos.
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La constante de tiempo La razón a la cual un condensador carga, depende del producto R y C Este producto es conocido como la constante de tiempo del circuito y esta dado por el símbolo Segundos
Duración del transitorio
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3.- ECUACIONES DEL CONDENSADOR DESCARGANDO Puesto que el capacitor esta inicialmente cargado, es posible suponer que en el momento t= 0 la tensión inicial es: v(0) V 0
La energía almacenada: w(0) 1 CV 2 0 2 iC
Aplicando LCK
iC
Por definición
Luego
C
dv
Reordenando
dt
v R
iR 0
C
dv
i R
dt
dv
0
dv dt
dt
1
v R
v RC
0
Ecuación diferencial de primer orden
dt
RC
Integrando
ln v
1 RC
ln A 14
v(t )
V 0e
t / RC
Donde V0 es el voltaje en el capacitor en el instante que el interruptor es movido a descarga Dado que. VR + VC =0 , VR = - VC
Dividiendo ambos lados por R
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La respuesta en tensión del circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicia. Llamada respuesta natural del circuito
La constante de tiempo de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya un factor de 1/ , o 36.8% de su valor inicial
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E1. El capacitor de la figura esta inicialmente descargado. Se cierra el interruptor en t = 0 s
a) Determinar la expresión para V c b) Determinar la expresión para I c c) Determinar la corriente y voltaje en el capacitor en t = 5 ms Solución
Reducimos el circuito a su equivalente serie usando el teorema de Thevenin
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Hallando Rth
Hallando Vth
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E2.- el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la posición 1 por 10 ms, luego a la posición 2 donde se queda a. Determinar VC durante la carga b. Determinar iC durante la carga c. Determinar VC durante la descarga d. Determinar iC durante la descarga e. Bosqueje la forma de onda de carga y descarga
Circuito cargando
Circuito descargando V0 = 100V en t = 0 s
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Solución Del circuito equivalente de carga
Entonces 5c = 10ms, la carga es completada cuando el interruptor es movido a descarga, entonces V 0 = 100V c. Con el circuito de descarga. Nótese que V0 = 100V
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e.
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E3. el capacitor de la figura esta descargado. El interruptor es movido a la posición 1 por 5 ms, y luego a la posición 2 a. Determine VC cuando el interruptor esta en la posición 1 b. Determine iC cuando el interruptor esta en la posición 1 c. Compute VC y iC en t = 5ms d. Determine VC cuando el interruptor esta en la posición 2 e. Determine iC cuando el interruptor esta en la posición 2 f. Bosqueje la forma de onda de voltaje y corriente
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Solución
c. En t = 5ms
d. En la posición 2
Donde t= 0 ha sido redefinido por posición 2
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f.
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CIRCUITO RL
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Fig. 7.11 circuito RL sin fuente
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Como se vio para un circuito con capacitancia las tensiones y corrientes no cambian inmediatamente a sus nuevos valores, sino que se pasa por una fase de transición Las tensiones y corrientes durante este intervalo de transición son llamados transitorios.
De igual manera, transitorios ocurren cuando son perturbados circuitos que contienen inductancias. En este caso, los transitorios se producen porque la corriente en la inductancia no puede cambiar instantáneamente.
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a) No transitoria se produce en un circuito puramente resistivo
b) Adicionando inductancia causa la aparición de un transitorio.
Fig. Transitorio debido a la inductancia. Adición de inductancia de un circuito resistivo ralentiza la subida y la caída de corriente, creando así un transitorio.
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Como se ilustra en la figura, la corriente en una inductancia no pueden cambiar instantáneamente, es decir, no puede saltar bruscamente de un valor a otro, pero debe ser continua en todos los valores de tiempo.
Voltaje inductor Ahora considere voltaje inductor. Cuando el interruptor está abierto como en la figura (a), la corriente en el circuito y el voltaje a través de L son ambos cero. Ahora cierra el interruptor. Inmediatamente después de que el interruptor está cerrado, la corriente sigue siendo cero, (ya que no puede cambiar instantáneamente). Ya que VR= Ri, el voltaje a través de R También es cero y por lo tanto la tensión de fuente completo aparece a través de L como se muestra en (b)
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a)
Circuito con el interruptor abierto Corriente i=0
(b) Circuito justo después de que el interruptor se ha cerrado. La corriente es todavía igual a cero. Por lo tanto, VL = E
c) Voltaje a través de L.
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circuito-abierto equivalente de una inductancia
Fig. Inductor con corriente inicial cero apariencia inicial como un circuito abierto en el instante en que se cierra el interruptor.
Condición inicial del circuito Voltajes y corrientes en circuitos debe a veces ser alculado inmediatamente después de la conmutación. Estos se pueden determinar con la ayuda del circuito-abierto equivalente. Mediante la sustitución de inductancias con circuitos abiertos, se puede ver lo que es un circuito parece que sólo después de la conexión. Tal circuito se denomina una condición inicial circuito.
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Ejemplo Una bobina y dos resistencias se conectan a una fuente de 20-V, como se en la figura (a). Determinar fuente de corriente i y el voltaje del inductor VL en el instante en que el interruptor es cerrado.
a) Circuito original
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Solución Remplazando la inductancia con un circuito abierto. Esto produce la red que se muestra en (b). Por lo tanto : i
Y el voltaje a través de R 2 Como vL =v2
E
v2
RT
20V 10
2 A
(2 A)(4) 8V
vL = 8 v
(b) Red de condición inicial 34
Acumulación transitoria corriente Ahora vamos a desarrollar ecuaciones para describir las tensiones y corrientes durante la energización Sustituyendo Resolviendo
Ejemplo a) b) c) d)
Para el circuito de la figura, sea: E=50V, R=10 y L=2H Determinar la expresión para i Calcular y tabular valores de i para t= 0+ ,0.2,0.4,0.6,0.8 y 1.0s Usando estos valores trazar la corriente ¿Cual es el estado de equilibrio? 35
Solución a) Sustituyendo la ecuación en
b)
c) d) 36
Voltajes del circuito Multiplicando la ecuación anterior por R
Entonces
Ejemplo Repetimos el ejemplo anterior para v L
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Solución a) Sustituyendo la ecuación en
b)
c)
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Circuito RL sin fuente Se busca determinar la respuesta del circuito, la cual se supondrá como la corriente i(t) a través del inductor i (0)
I 0
La energía almacenada en el inductor v L
Al aplicar LTK en la fig. v L
Por definición
Luego
L
di dt
L
Rt L
di
v R
dt
iR
di dt
0
2
2
LI 0
vR 0
Ri 0
Reordenando e integrando
ln i(t ) ln I 0
w(0)
1
i ( t )
I 0
di di
R
i
L
t R
0
0
dt
L
ln
i (t ) I 0
Rt L 39
Al tomar las potencias de e se tiene
Luego se puede escribir
L
i (t )
I 0e Rt / L
R
i (t )
I 0e
t /
Para trabajar con un circuito RL sin fuente se debe hallar: a) La corriente inicial i(0)=I 0 a lo largo del inductor b) La contante de tiempo
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FUNCIONES SINGULARES
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Las funciones singulares sirven como aproximaciones aceptables de las señales de conmutación que aparecen en circuitos con operaciones de conmutación Las funciones singulares son discontinuas o tiene derivadas discontinuas
Las tres funciones singulares de uso común en análisis de circuitos son las funciones de escalón un itario , de i m p u l s o u n i t a r io y de rampa u nitaria
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La función de escalón unitario u(t) es de 0 para valores negativos de t y de 1 para valores positivos de t
Fig. 7.23 Función escalón unitario 43
La derivada de la función escalón unitario u(t) es la f u n c i ón i m p u l s o unitario (t) , que se expresa como :
Fig. 7.27 Función impulso unitario
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