Fis ica III -14
Circuitos Circuito s RC, RL y RLC Circuitos de corriente alterna RLC Cátedra de Física Experimental II – Física III
Prof. Dr. Víctor H. Ríos
2014
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Contenidos * Circuitos R-C de cc. Carga y descarga de un condensador Constante de tiempo * Circuito R-L. R-L. Corriente en funcion del tiempo Oscil aciones libres. * Oscilaciones electricas . Circuito L-C. Oscilaciones * Circuito R-L-C. Oscilaciones amortiguadas. * Corriente alterna Fasores y corriente alterna – Diagrama de fasores * Circuito RLC conectado a un fem alterna alt erna * Oscilaciones forzadas. * Elementos de un circuito de corriente corri ente alterna Resistencia conectada a un un generador de ca. Condensador Condensador conectado a un generador de ca. Bobina conectada a un generador de ca. * Circuito en serie RLC. Resonancia en un circuito RLC en serie.
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Contenidos * Circuitos R-C de cc. Carga y descarga de un condensador Constante de tiempo * Circuito R-L. R-L. Corriente en funcion del tiempo Oscil aciones libres. * Oscilaciones electricas . Circuito L-C. Oscilaciones * Circuito R-L-C. Oscilaciones amortiguadas. * Corriente alterna Fasores y corriente alterna – Diagrama de fasores * Circuito RLC conectado a un fem alterna alt erna * Oscilaciones forzadas. * Elementos de un circuito de corriente corri ente alterna Resistencia conectada a un un generador de ca. Condensador Condensador conectado a un generador de ca. Bobina conectada a un generador de ca. * Circuito en serie RLC. Resonancia en un circuito RLC en serie.
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METAS METAS DE APRENDIZAJE A l es tudiar es te capítulo, capí tulo, us ted aprenderá: aprender á: • A analizar circuitos que incluyan tanto un resistor como un capacitor. distri buye la energía en eléctrica en el hogar. • Cómo se distribuye • A analizar circuitos que incluyen tanto un resistor como un inductor (bobina). • Por qué ocurren oscilaciones eléctricas en circuitos que incluyen tanto un inductor
como un capacitor. • La razón por la que decaen las oscilaciones en circuitos con con un inductor, un resistor
y un capacitor. • La forma en que los fasores facilitan la descripción de cantidades que varían en forma
sinusoidal. • Cómo usar la reactancia para describir el voltaje a través de un elemento del circuito
que conduce una corriente alterna. • A analizar un circuito L-R -C en s erie con fem sinusoidal. • Qué determina la cantidad de energía que fluye hacia dentro o hacia fuera de un circuito
de corriente alterna. fuentes es de fem fem sinusoidales de diferentes • Cómo responde un circuito en serie L-R -C a fuent
frecuencias.
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Circuitos R -C En los circuitos que hemos analizado hasta este momento hemos supuesto que todas las fem y resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que los potenciales, las corrientes y las potencias también son independientes del tiempo. Pero en el simple acto de cargar o descargar un capacitor se encuentra una situación en la que las corrientes, los voltajes y las potencias s í cambian con el tiempo. Muchos dispositivos importantes incorporan circuitos en los que un capacitor se carga y descarga alternativamente. Éstos incluyen marcapasos cardiacos (fig.), semáforos intermitentes, luces de emergencia de los automóviles y unidades de flash electrónico. electrónico. Comprender lo que pasa en esa clase de circuitos tiene gran importancia práctica.
Carga de un capacitor La fig. muestra un circuito c ircuito simple para cargar un capacitor. capacitor. Un circuito como éste, que tiene un resistor y un capacitor conectados en serie, se llama circuito R -C . Se ha idealizado la batería (o fuente de energía eléctrica) para que tenga una fem ε constante y una resistencia eléctrica igual a cero ( r = 0 ), y se desprecia la resistencia de todos los conductores de conexión.
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Circuitos R -C, cont…. Como el capacitor de la fig. al principio está descargado, la diferencia de potencial v bc a través suyo es igual a cero en t = 0 . En ese momento, según la regla de Kirchhoff de las mallas, el voltaje v ab a través del resistor R es igual a la fem de la b atería E. La corriente inicial (t = 0) a través del resistor, que llamaremos I 0, está dada por la ley de Ohm: I 0 = v ab / R = ε / R A medida que el capacitor se carga, su voltaje v bc aumenta y la diferencia de potencial v ab a través del resistor disminuye, lo que corresponde a una baja de la corriente. La suma de estos dos voltajes es constante e igual a ε. Después de un periodo largo, el capacitor está cargado por completo, la corriente baja a cero y la diferencia de potencial v ab a través del resistor se vuelve cero. En ese momento aparece la totalidad de la fem ε de la batería a través del capacitor y v bc = ε. Sea q la carga en el capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo t después de haberse cerrado el interruptor. Asignamos el sentido positivo a la corriente en correspondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor, como se aprecia en la fig b. Las diferencias de potencial instantáneas v ab y v bc son con la regla de Kirchhoff
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Circuitos R -C, cont…. En el momento t = 0, cuando el interruptor se encuentra cerrado, el capacitor está descargado y q = 0. Al sustituir q = 0 en la ecuación : se encuentra que la corriente inicial I 0 está dada por:
I 0 = ε / R
Si el capacitor no estuviera en el circuito, el último término de la ecuación para “i” no estaría presente, por lo que la corriente sería constante e igual a ε / R .
Conforme la carga se incrementa, el término q / R C se hace más grande y la carga del capacitor tiende a su valor final, al que llamaremos Q f . La corriente disminuye y finalmente se vuelve cero.
Cuando i = 0, la ecuación
La carga final Q f
no depende de R .
Es posible obtener expresiones generales para la carga q y la corriente i como funciones del tiempo. Con la elección del sentido positivo para la corriente (fig. b), i es igual a la tasa a la que la carga positiva llega a la placa izquierda (positiva) del capacitor, por lo que i = dq / dt
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Circuitos R -C, cont…. Al sustituir esta expresión en la ecuación para “i” , se tiene
Integrando
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Constante de tiempo Una vez que el tiempo es igual a R C , la corriente en el circuito R -C ha disminuido a 1/e (alrededor de 0.368) de su valor inicial. En ese momento la carga del capacitor ha alcanzado el (1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Q f = CE .
Por lo tanto, el producto R C es una medida de la rapidez con que se carga el capacitor. El término R C recibe el nombre de constante de tiempo, o tiempo de relajación, del circuito, y se denota por :
Cuando RC es pequeña, el capacitor se carga con rapidez; cuando es grande, el proceso de carga toma más tiempo. Si la resistencia es pequeña, es fácil que fluya la corriente y el capacitor se carga rápido. Si R está en ohms y C en faradios, está en segundos.
En la fig. a, el eje horizontal es una asíntota de la curva. En sentido estricto, i nunca llegará exactamente a cero. Pero cuanto más tiempo transcurra, más se acercará a
ese valor. Después de que pasa un tiempo igual a 10R C , la corriente ha bajado a 0.000045 de su valor inicial.
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Descarga de un capacitor Ahora suponga que el capacitor ha adquirido una carga Q 0, se reti-
ra la batería del circuito R -C y se conectan los puntos a y c a un interruptor abierto (fig. a).
Después se cierra el interruptor y en el mismo instante se reajusta el cronómetro a t = 0; en ese momento, q = Q 0. Luego, el capacitor se descarga a través del resistor y su carga disminuye finalmente a cero.
En la fig.b se hace la misma elección del sentido positivo para la corriente. Entonces, la regla de Kirchhoff de las mallas con ε = 0, da:
La corriente i ahora es negativa; esto se debe a que la carga positiva q está saliendo de la placa izquierda del capacitor de la fig.b, por lo que la corriente va en sentido opuesto al que se ilustra en la figura. En el momento t = 0, cuando q =Q 0, la corriente inicial es I 0 = -Q 0 / R C .
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Descarga de un capacitor, cont…
Para encontrar q como función del tiempo se reordena la ecuación de i , se cambian los nombres de las variables a q’ y t’ y se procede a integrar. Esta vez los límites para q’ son de Q 0 a q. Se obtiene
En la figuras de la derecha están graficadas la corriente y la carga; ambas cantidades tienden a cero en forma exponencial con respecto al tiempo.
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Ej. 1 Carga de un capacitor Un resistor con resistencia 10 MΩ está conectado en serie con un capacitor cuya capacitancia es 1.0 μF y una batería con fem de 12.0 V. Antes de cerrar el interruptor en el momento t =0, el capacitor se descarga. a) ¿Cuál es la constante de tiempo? b) ¿Qué fracción de la carga final hay en las placas en el momento t = 46 s ? c) ¿Qué fracción de la corriente inicial permanece en t = 46 s ? SOLUCIÓN a) La constante de tiempo es
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Ej. 1 Descarga de un capacitor El resistor y el capacitor se reconectan como se ilustra en la fig . Originalmente, se da al capacitor una carga de 5.0 μF y luego se descarga al cerrar el interruptor en t = 0. a) ¿En qué momento la carga será igual a 0.50 μ C ? , b) ¿Cuál es la corriente en ese momento? a)
Al despejar el momento t en la ecuación
se obtiene:
De la ecuación :
con Q 0 =5.0 μ C = 5.0 x 10 -6 C ,
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Circuito R - L
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Ejemplos de inductancias
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Ejemplos de inductancias
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Ejemplos de inductancias
Fis ica III -14 Una cocina de inducción es un tipo de cocina vitrocerámica que calienta directamente el recipiente en vez de calentar la vitrocerámica y luego transferir el calor al recipiente. Estas cocinas utilizan un campo magnético alternante que magnetiza el material ferromagnetico del recipiente en un sentido y en otro. Este proceso tiene pérdidas de energía que, en forma de calor, calientan el recipiente. Los recipientes deben contener un material ferromagnético al menos en la base, por lo que los de aluminio, terracota, vidrio o cobre no son utilizables con éste tipo de cocinas.
Actualmente el coste de la tecnología de inducción dobla al de una vitrocerámica tradicional, pero las elevadas prestaciones así como su mayor eficiencia energética la convierten en una inversión atractiva. El coste de la producción de esta tecnología se centra en la electrónica de potencia necesaria para su funcionamiento. La naturaleza de este calentamiento lo hace mucho más eficiente que el tradicional, pues se calienta directamente el recipiente a utilizar, y no indirectamente como se hace con las tradicionales vitrocerámicas basadas en resistencias. Esto contribuye a un ahorro de energía cada vez más apreciado en la sociedad actual. La vitrocerámica de inducción detecta gracias a un sistema de sensores si hay o no recipiente sobre su superficie. En caso de no ha-
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Circuito R-L Si en un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al mismo y varía su intensidad se generara una “fem”.
Por tanto, recordemos lo que hicimos en la clase pasada cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominamos fuerza electromotriz autoinducida. Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i .
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1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère
2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio Φ y la intensidad i .
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El coeficiente de autoinducción solamente depende de
• la geometría del circuito
• las propiedades magnéticas de la sustancia que se
coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío La unidad de medida de la autoinducción se llama Henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.
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Corriente autoinducida Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo,
Se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad. * Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio
d dt
L
di dt
• La fem autoinducida V L siempre actúa en el sentido que
se opone a la variación de corriente.
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El circuito L-R con fuente de continua Cuando se aplica una fem V 0 a un circuito cerrando un interruptor
• la corriente no alcanza instantáneamente el valor V 0 / R dado
por la ley de Ohm
• sino que tarda un cierto tiempo (teóricamente infinito, en la
práctica) que depende de la resistencia. La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.
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Circuito RL
Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. La diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que V ab+V bc +V ca=0
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Solución
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t = 0, i = 0.
Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V 0 /R muy rápidamente.
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Caída de la corriente en un circuito Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería.
* la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea * sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente.
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Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente
Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. . Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di / dt < 0 es negativa V ab + V ba = 0
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Integrando
Hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales: t = 0, i = i 0.
La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R / L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.
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Energía del campo magnético Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. • La energía suministrada por la batería en la unidad
de tiempo es V 0· i . • Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto
Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito
i R = V0 + VL
multiplicando por i
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V 0 i : es la energía suministrada por la batería.
L i di / dt: es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado. R i 2 : es la energía por unidad de
tiempo disipada en la resistencia.
Simplificando dt e integrando entre 0 e i , obtenemos
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i .
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Ej.3 Análisis de un circuito R -L Un dispositivo electrónico sensible con resistencia de 175 Ω va a conectarse a una fuente de fem por medio de un interruptor. El dispositivo está diseñado para que opere con una corriente de 36 mA, pero, para evitar que sufra daños, la corriente no debe exceder de 4.9 mA en los primeros 58 μs después de cerrado el interruptor. Para proteger el dispositivo, se conecta en serie con un inductor, como se ilustra en la fig. ; el interruptor en cuestión es el S1. a) ¿Cuál es la fem que debe tener la fuente? Suponga que la resistencia interna es despreciable. b) ¿Qué inductancia se requiere? c) ¿Cuál es la constante de tiempo?
SOLUCIÓN a) Con I = 36 mA = 0.036 A y R = 175 V, en la expresión I = ε /R para la corriente final, se despeja la fem y se obtiene:
b) Para encontrar la inductancia requerida, se despeja L en la ecuación
En primer lugar, se multiplica por (- R/ ε ) y luego se suma I en ambos lados, con lo que se obtiene:
Tomando los logaritmos naturales en ambos lados, se despeja L y se sustituyen los valores: c) La constante de tiempo es:
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Ej. 4 Energía en un circuito R -L Cuando la corriente decae en un circuito R-L, ¿qué fracción de la energía almacenada en el inductor se ha disipado después de 2.3 constantes de tiempo? SOLUCIÓN La corriente i en cualquier momento t es : La energía U en el inductor en cualquier momento se obtiene sustituyendo i en la expresión
donde
es la energía en el momento inicial t = 0. Cuando t = 2.3 τ = 2.3 L / R , se tiene
Para tener una idea de lo que significa este resultado, considere el circuito R-L que se analizó en el ej. 3, para el que la constante de tiempo es 390 μs. Con L = 69 mH = 0.069 H y una corriente inicial I 0 = 36 mA = 0.036 A, la cantidad de energía en el inductor inicialmente es U 0 = 1/2 L I 0 2 = 1/2 (0.069 H) ( 0.036 A)2 = 4.5 x 10 -5 J. De ésta, el 99.0%, o 4.4 x 10-5 J, se disipa en 2.3(390 μs) = 9.0 x 10 -4 s = 0.90 ms. En otras palabras, este circuito puede perder casi toda su energía en 0.90 ms, y la puede recuperar en la misma cantidad de tiempo.
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Circuito LC. Oscilaciones libres El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un resorte perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes. En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un circuito LC
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta.
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La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es :
V ab + V ba = 0
Como i = - dq / dt , ya que la carga q disminuye con el tiempo, llega-mos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Esta es la ecuación diferencial de un Mov. Armónico Simple de frecuencia angular propia o natural
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Carga: La solución de la ecuación diferencial es :q = Q · s en ( w 0 t + Φ ), donde la amplitud Q y la fase inicial Φ se determinan a partir de las condiciones iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i 0 en el instante inicial t = 0. Intensidad: Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad i i = dq / dt = Q · w 0 · cos ( w 0 t + Φ )
Energía: La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina. Se puede fácilmente comprobar que la suma de ambas energías es constante e independiente del tiempo.
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Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.
1. En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q . Toda la energía está acumulada en el condensador en forma de campo eléctrico.
2. El condensador se empieza a descargar, la intensidad aumenta, en la bobina se produce una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de periodo, se alcanza la intensidad máxima : i = Q w 0.
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3. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se produce una fem que se opone a que la intensidad disminuya. El condensador se empieza a cargar, el campo en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en la bobina se ha reducido a cero.
4. Ahora Ahora comien comienza za de nuev nuevo o a descar descargar garse se el el condensador, condensador, la intensidad aumenta, el campo en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo (en valor absoluto).
5. La intensidad decrece, decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial de partida.
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Ej. 5 Circuito oscilante Una fuente de voltaje de 300 V se utiliza para cargar un capacitor de 25 μF. Una vez que el capacitor está cargado por completo se desconecta de la fuente y se conecta a un inductor de 10 mH. La resisr esistencia en el circuito es despreciable. a) Determine la frecuencia y el periodo de oscilación en el circuito. b) Obtenga la carga del capacitor y la corriente c orriente en el circuito 1.2 ms después de haber conectado el inductor y el capacitor. capacitor. SOLUCIÓN a) La frecuencia angular natural es:
π veces La frecuencia f es 1/2 π veces esta cantidad:
El periodo es el recíproco de la frecuencia:
b) Como el periodo de la oscilación es T =3.1 ms, t = 1.2 ms es igual a 0.38 T; esto orresponde a una situación intermedia entre la fig. b (t = T/4) y la fig.c (t =T/2).
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Ej. 5 Circuito oscilante, cont…
Para encontrar el valor de q, se usa la ecuación ε = La carga es máxima en t =0, por lo que Φ = 0 y Q = C ε = -6 -3 (25 x10 F)(300 V) = 7.5 x 10 C. La carga q en cualquier momento es
En
La corriente i en en cualquier momento es
En
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Circuito RLC . Oscilaciones amortiguadas. Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad. La ecuación del circuito es :
V ab + V bc + V ca = 0
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Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas, cont... Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta. La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad. La ecuación del circuito es :
V ab + V bc + V ca = 0
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Como i = - dq / dt , ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
La solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es
q Qe
t
sen ( t )
con
2
2 0
2
y
donde la amplitud Q y la fase inicial Φ se determinan a partir de las condiciones iniciales, * la carga del condensador q0 y * la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i 0 en el instante inicial t = 0.
R 2 L
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En las oscilaciones amortiguadas, * la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. * la carga máxima del condensador va disminuyendo. • la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la
resistencia por efecto Joule. Se presentan dos casos particulares: • cuando γ = w 0, entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se
denomina oscilación crítica
• cuando γ > w 0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es
un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C , resistencia R , y autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas - Críticas - Sobreamortiguadas
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Oscilaciones amortiguadas, críticas y sobreamoartiguadas
Cuando R 2 = 4L /C , la cantidad bajo el radical se vuelve cero; el sistema ya no oscila y se ha llegado al caso del amortiguamiento crítico (fig.b).
Para valores de R aún más grandes, el sistema se comporta como el de la fig.c. En este caso el circuito es sobreamortiguado, y q está dada como función del tiempo por la suma de dos funciones exponenciales
decrecientes.
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Ej. 6 Circuito L-R -C en s erie s ubamortig uado ¿Qué resistencia se requiere (en términos de L y C) para impartir a un circuito L-R-C una frecuencia equivalente a la mitad de la frecuencia no amortiguada?
SOLUCIÓN Queremos que la ω’ dada por la ecuación:
Sea igual a la mitad de ω0 dada por la ecuación:
Después de elevar al cuadrado ambos lados y despejar R , se obtiene
Por ejemplo, al agregar 35 Ω al circuito del ej. 5, la frecuencia se reduciría de 320 Hz a 160 Hz.
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CORRIENTE ALTERNA Las ondas de una radiodifusora producen una corriente alterna en los circuitos de un receptor de radio (como el de este automóvil clásico). Si se sintoniza un radio en una estación cuya frecuencia es de 1000 kHz, ¿el receptor también detecta las transmisiones de otra estación que emite a 600 kHz?
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Durante la década de 1880 en Estados Unidos hubo un acalorado y enconado debate entre dos inventores acerca del mejor método de distribución de energía eléctrica. Thomas Edison estaba a favor de la corriente continua (cc), es decir, la corriente estable que no varía con el tiempo. George Westinghouse se inclinaba por la corriente alterna (ca), con voltajes y corrientes que va-rían en forma sinusoidal. Westinghouse argumentaba que con la ca se podían usar transforma-dores para aumentar y reducir el voltaje, pero no con cc; los voltajes bajos son más seguros de usar por los consumidores, pero los altos voltajes y las correspondientes corrientes bajas son mejores para la transmisión de energía a grandes distancias para reducir al mínimo las pérdidas de i 2 R en los cables.
Finalmente prevaleció el punto de vista de Westinghouse, y en la actualidad la mayoría de los sistemas de distribución de energía para uso doméstico e industrial operan con corriente alterna. Cualquier aparato que se conecte a una toma de pared usa ca, y muchos dispositivos energizados con baterías, como radios y teléfonos inalámbricos, emplean la cc que suministran las baterías para crear o amplificar corrientes alternas. Los circuitos de los equipos modernos de comunicación, incluidos los localizadores y la televisión, también utilizan ampliamente la ca.
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Diagrama de un sistema de cableado común de 120-240 V en una cocina. No se ilustran los alambres de conexión a tierra. Para cada línea, el lado con corriente es de color rojo, y el lado neutro se muestra en azul. (En los sistemas reales de cableado doméstico se emplea un código de colores distinto.)
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Fasores y corrientes alternas Para suministrar una corriente alterna a un circuito se requiere una fuente de fem o voltaje alternos. Un ejemplo de esto es una bobina de alambre que gira con velocidad angular constante en un campo magnético.
Se aplica el término fuente de ca a cualquier dispositivo que suministre un volta je (diferencia de potencial) v o corriente i que varía en forma sinusoidal. El símbolo habitual de una fuente de ca en los diagramas de circuito es En Argentina los sistemas comerciales de distribución de energía eléctrica siempre usan una fre cuencia de f = 50 Hz , que corresponde a ω = (2 π rad)(50 s-1) = 314 rad / s
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Diagramas de fasores Para representar voltajes y corrientes que varían en forma sinusoidal usaremos diagramas de vectores giratorios similares a los empleados en el estudio del movimiento armónico simple. El valor instantáneo de una cantidad que varía sinusoidalmente con respecto al tiempo se representa mediante la proyección sobre un eje horizontal de un vector con longitud igual a la amplitud de la can tidad. El vector gira en el sentido antihorario con rapidez angular constante v. Estos vectores giratorios reciben el nombre de fasores, y los diagramas que los contienen se llaman diagramas de fasores. La fig. de la derecha muestra un diagrama de fasores de la corriente sinusoidal descrita por la ecuación de la corriente . La proyección del fasor sobre el eje horizontal en el tiempo t es I cos ωt; ésta es la razón por la que en la ecuación i= i(t) elegimos usar la función coseno y no la de seno.
Un fasor no es una cantidad física real con una dirección en el espacio, como la velocidad, la cantidad de movimiento o el campo eléctrico, sino que es una entidad geométrica que nos ayuda a describir y analizar cantidades físicas que varían de manera sinusoidal con el tiempo.
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Circuito RLC conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia w .
La ecuación del circuito es
V ab + V bc + V cd + V da = 0
Como i = - dq / dt , si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas de una masa unida a un resorte elástico.
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Elementos de un circuito de corriente alterna Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna. Una fem alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán. v = V 0 s en ( w t )
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Para analizar los circuitos de corriente alterna, se emplean dos procedimientos, * uno geométrico denominado de vectores rotatorios y * otro, que emplea los números complejos.
Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple como proyección sobre el eje X de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud y que gira con una velocidad angular igual a la frecuencia angular.
Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la am-plitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores se hacen girar en sentido contrario al las agujas del reloj.
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Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna
La ecuación de este circuito simple es (intens idad por res is tencia ig ual a la fem)
i R R = V 0 s en (w t)
La diferencia de potencial en la resistencia es
vR = V0 sen (w t)
En una resistencia, la intensidad i R y la diferencia de potencial v R están en fase.
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La relación entre sus amplitudes es : con V R = V 0, la amplitud de la fem alterna
Como vemos en la representación vectorial de la figura, al cabo de un cierto tiempo t , los vectores rotatorios que representan a * la intens idad en la res is tencia ( IR ) * la diferencia de potencial entre s us extremos ( VR ) han girado un ángulo w t .
Sus proyecciones sobre el eje vertical marcados por los segmentos de color azul y rojo son respectivamente, los valores en el instante t de la intensidad que circula por la resistencia y de la diferencia de potencial entre sus extremos.
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Un condensador conectado a un generador de corriente alterna
En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas están relacionadas entre sí:
q=C·V Si se conecta las placas del condensador a un generador de corriente alterna q = C · V 0 · s en ( w t )
La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo, i = dq / dt
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Para un condensador, la intensidad i C está adelantada 90º respecto a la diferencia de potencial v C . La relación ente sus amplitudes es:
I C
C V C
con V C = V 0 , la amplitud de la fem alterna
Ej. 7 Resistor y capacitor en un circuito de ca Un resistor de 200 Ω está conectado en serie con un capacitor de 5.0 μF. El voltaje a través del resistor es v R = (1.20 V) cos (2500 rad / s) t . a) Obtenga una expresión para la corriente en el circuito. b) Determine la reactancia capacitiva del capacitor. c) Obtenga una expresión para el voltaje a través del capacitor.
SOLUCIÓN a) A partir de v R = iR se obtiene que la corriente i en el resistor y a través del
circuito como un todo, es
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Ej. 7 Resistor y capacitor en un circuito de ca, cont…
b) La reactancia capacitiva en ω = 2500 rad / s es:
c) De la ecuación
V C = I X C
La amplitud V C del voltaje en el c apa-
citor es:
La reactancia del capacitor de 80 Ω es el 40% de la resistencia del resistor de 200 V, así que el valor de V C es el 40% el de V R . El voltaje instantáneo del capacitor v C está dado por la ecuación :
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Una bobina conectada a un generador de corriente alterna
Ya hemos estudiado la autoinducción y las corrientes autoinducidas que se producen en una bobina cuando circula por ella una corriente i variable con el tiempo. La ecuación del circuito es (suma de fem igual a intensidad por resistencia), como que la resistencia es nula
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Integrando esta ecuación obtenemos i en función del tiempo
La intensidad i L de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus extremos v L . La relación entre sus amplitudes es
con V L = V 0, la amplitud de la fem alterna
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Ej. 8 Inductor en un circuito de ca Suponga que se desea que la amplitud de la corriente en un inductor de un receptor de radio sea de 250 mA cuando la amplitud del voltaje es de 3.60 V a una frecuencia de 1.60 MHz (correspondiente al extremo superior de la banda de transmisión de AM). a) ¿Cuál es la reactancia inductiva que se necesita? b) Si la amplitud del voltaje se mantiene constante, ¿cuál será la amplitud de la corriente a través de este inductor a 16.0 MHz? ¿Y a 160 kHz?
SOLUCIÓN a) De acuerdo con la ecuación : A partir de la ecuación:
V L = I X L X L = ω L
con ω = 2π f, se obtiene
b) Al combinar las ecuaciones para V L y X L ,se determina que la amplitud de la corriente es
I = VL /XL = VL /ωL = VL / 2πf L
Así, la amplitud de la corriente es inversamente proporcional a la frecuencia f.
A con f =1.60 MHz, la amplitud de la corr iente a 16.0 MHz será un décimo de Como I = 250 μ aquel valor, es decir, 25.0 μA; a 160 kHz = 0.160 MHz (un décimo de la frecuencia original), la amplitud de la corriente es 10 veces mayor, o 2500 μA= 2.50 mA.
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Comparación de los elementos de un circuito de ca La tabla resume las relaciones de las amplitudes de corriente y voltaje correspondientes a los tres elementos de circuito que acabamos de estudiar.
La fig. ilustra el modo en que varían la resistencia de un resistor y las reactancias de un inductor y un capacitor con la frecuencia angular ω. La resistencia R es independiente de la frecuencia, mientras que las reactancias X L y X C no lo son. Si ω= 0, que es el caso de un circuito de cc, no hay corriente a través de un capacitor porque X C -> ∞, y no hay efecto inductivo porque X L=0. En el límite ω -> ∞, X L también tiende a infinito, y la corriente a través de un inductor disminuye hasta casi desaparecer; recuerde que la fem autoinducida se opone a los cambios de la corriente. En este mismo límite, tanto X C como el voltaje a través del ca pacitor tienden a cero; la corriente cambia de sentido tan rápido que no se acumula carga en ninguna placa.
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Para los aficionados a la musica !!!
La fig. ilustra una aplicación del análisis anterior en un sistema de altavoces. Los sonidos de baja frecuencia son producidos por el woofer, o bafle de graves, que es un altavoz de diámetro grande, mientras que el t weeter, o bafle de agudos, es un altavoz de diámetro pequeño que produce sonidos de alta frecuencia. Para dirigir señales de frecuencia diferente al altavoz apropiado, el bafle de graves y el bafle de agudos se conectan en paralelo con los extremos de la salida del amplificador. El capacitor del ramal del tweeter bloquea los componentes de baja frecuencia del sonido, pero deja pasar las frecuencias más altas; el inductor del ramal del woofer hace lo contrario.
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Circuito en serie RLC - Resonancia Se ha estudiado el comportamiento de una bobina, un condensador y una resistencia cuando se conectan por separado a un generador de corriente alterna. Estudiaremos el comportamiento de un sistema formado por los tres elementos dispuestos en serie y conectados a un generador de corriente alterna de amplitud V 0 y frecuencia angular w . V = V 0 s en ( w t )
Circuito RLC en serie
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Dibujamos el diagrama de vectores teniendo en cuenta que: * la intensidad que pasa por todos los elementos es la misma, * la suma (vectorial) de las diferencias de potencial entre los extremos de los tres elementos nos da la diferencia de potencial en el generador de corriente alterna.
El vector resultante de la suma de los tres vectores es
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Se denomina impedancia del circuito al término
De modo que se cumpla una relación análoga a la de los circuitos de corriente continua
V0 = I 0 Z
El ángulo que forma el vector resultante de longitud V 0 con el vector que representa la intensidad I 0 es
Las expresiones de la fem y de la intensidad del circuito son
La intensidad de la corriente en el circuito está atrasada un ángulo Φ respecto de la fem que suministra el generador.
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Ej.9 Circuito L-R -C en serie En el circuito en serie de la fig, suponga que R =300 Ω, L =60 mH , C =0.50 μ F , V =50 V y ω = 10,000 rad /s. Determine las reactancias X L y X C , la impedancia Z , la amplitud de corriente I , el ángulo de fase Φ y la amplitud de voltaje a través de cada elemento de circuito. SOLUCIÓN Las reactancias inductiva y capacitiva son
La impedancia Z del circuito es
Con una amplitud de voltaje de fuente V =50 V, la am plitud de corriente es
El ángulo de fase Φ es Las amplitudes del voltaje V R , V L y V C a través del resistor, inductor y capacitor, respectivamente, son
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Ej.10 Circuito L-R -C en serie Para el circuito L-R-C en serie descrito en el ejemplo 9, describa la dependencia de la corriente instantánea y cada voltaje instantáneo con respecto al tiempo. SOLUCIÓN La corriente y todos los voltajes oscilan con la misma frecuencia angular, ω = 10,000 rad /s y, por lo tanto, con el mismo periodo, 2 π/ω = 2π/(10,000 rad/s) =6.3 x 10-4 s = 0.63 ms. La corriente es Esta elección significa simplemente que elegimos como t = 0 un instante en el que la corriente es máxima. El voltaje del resistor se encuentra en fase con la corriente, así que
El voltaje del inductor se adelanta a la corriente por 90 °, de manera que
El voltaje del capacitor se retrasa 90 ° con respecto a la corriente, por lo que
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Ej.10 Circuito L-R-C en serie, cont …
Gráficas del voltaje de fuente v, el voltaje de resistor v R , el voltaje de inductor v L y el voltaje de capacitor v C en función del tiempo para la situación del ejemplo 9. La corriente, que no se ilustra, está en fase con el voltaje de resistor.
Por último, el voltaje de fuente (igual al voltaje a través de toda la combinación de resistor, inductor y capacitor) se adelanta a la corriente por Φ=53°, por lo que
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Resonancia en un circuito RLC en serie La condición de resonancia la estudiamos en las oscilaciones forzadas de una masa unida a un resorte elástico. La potencia suministrada por el generador de corriente alterna es P = i V = V 0 I 0 s en (w t) · s en (w t - Φ ) P = V 0 I 0 sen(w t) · ( sen (w t) · cos Φ – cos (w t ) · sen Φ )
= V 0 I 0 (sen2(w t) · cos Φ - sen (w t ) · cos (w t ) · senΦ ) Esta magnitud es una función complicada del tiempo que no es útil desde el punto de vista práctico. Lo que tiene interés es el promedio de la potencia en un periodo 2 π / ω .
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Promedio de la potencia en un periodo 2π / ω . < P > = V 0 ·I 0 ( < sen2(w t) > · cos Φ - < sen(w t ) · cos(w t ) > · sen Φ )
Se define como valor medio < f(t) > de una función periódica f(t) de periodo T a la integral
El periodo de la función f(t) = sen2(w t) es T = π / ω, su valor medio es
< sen2(w t) > = 1/2
El área de color rojo es igual al área de color azul.
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El periodo de la función f(t) = sen(w t )· cos(w t ) = sen(2w t ) / 2 es T = π /ω , su valor medio es :
< sen(w t ) · cos(w t ) > = 0
El valor medio de la energía por unidad de tiempo, o potencia suministrada por el generador es P
1
2
I 0 V 0 cos
El último término, cos Φ se denomina factor de potencia. El valor de
es máximo cuando el ángulo de desfase Φ es cero, para ello se tiene que cumplir que
es decir, la frecuencia w del generador de corriente alterna debe coincidir con la frecuencia natural o propia w 0 del circuito oscilante.
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Comportamiento de un circuito en resonancia La fig. a presenta gráficas de R , X L , X C y Z como funciones de ω. Hemos usado una escala logarítmica de frecuencias angulares para abarcar un amplio intervalo de frecuencias. A medida que aumenta la frecuencia, X L se incrementa y X C disminuye; por lo tanto, siempre hay una frecuencia a la cual X L y X C son iguales y la diferencia X L - X C es igual a cero. A esta frecuencia, la impedancia Z tiene su valor más pequeño, que simplemente es igual a la resistencia R .
A medida que varía la frecuencia angular v de la fuente, la amplitud de corriente I = V / Z se modifica como se ilustra en la fig. b; el valor máximo de I se presenta a la frecuencia a la que la impedancia Z es mínima. Este crecimiento máximo de la amplitud de corriente a cierta frecuencia se llama resonancia. La frecuencia angular ω0 a la que se presenta el máximo de resonancia se denomina frecuencia angular de resonancia. Ésta es la frecuencia angular a la que las reactancias inductiva y capacitiva son iguales; por lo tanto, en la resonancia,
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Cuando w = w 0 se cumple que * La intensidad de la corriente I 0 alcanza su valor máximo
* La intensidad de la corriente en el circuito i y la fem v están en fase * La energía por unidad de tiempo
suministrada por el generador es máxima
Ej. 11 Potencia en una secadora para el cabello Una secadora eléctrica para el cabello está especificada a 1500 W y 120 V. La potencia nominal de esta secadora de cabello, o de cualquier otro dispositivo de ca, es la potencia media que consume, y el voltaje nominal es el voltaje eficaz (rms). Calcule a) la resistencia, b) la corriente rms eficaz y c) la potencia instantánea máxima. Suponga que la secadora es un resistor. (El elemento que genera calor actúa como resistor.)
SOLUCIÓN a) La resistencia es:
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Ej. 11 Potencia en una secadora para el cabello, cont…
b) La corriente es :
c) Para un resistor, el voltaje y la corriente están en fase, y el ángulo de fase es igual a cero. Así, la potencia instantánea es p = V I cos2 ωt, y la potencia instantánea máxima es pmáx = V I. Esto es el doble de la potencia media P med , de manera que
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Representación de la potencia < P > Se representa también el intervalo de frecuencias Δw para los cuales la potencia es mayor que la mitad de la máxima. La agudeza de la curva de resonancia se describe mediante un parámetro adimensional denominado factor de calidad Q 0 que se define como el cociente entre la frecuencia angular de resonancia w 0 y el ancho de la curva de resonancia Δw .
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R . ¿Cómo cambia la curva de resonancia?.
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Representación de la amplitud de la intensidad
La amplitud de la intensidad I 0 adquiere un valor máximo cuando la frecuencia del generador w coincide con la frecuencia de resonancia w 0 El valor de la impedancia Z es mínimo y vale Z = R .
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinduc-ción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R .
¿Cómo cambia la curva que representa la amplitud en función del cociente w / w 0?
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APENDICE
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Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de: * establecimiento y caída de la corriente en el circuito
Durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un valor constante e igual a V 0 La intensidad i en el intervalo 0 < t < P /2 es
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Se calcula la intensidad final i 1 en el instante t = P /2. En este instante, la fem se hace cero, la corriente cae en el circuito. La corriente i en el intervalo P /2 < t
Se calcula la intensidad final i 2 en el instante t = P
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La corriente i en el intervalo P < t < 3P/ 2 se obtiene integrando entre los límites entre la intensidad remanente i 2 e i .
Calculamos la intensidad final i 3 en el instante t = P + P /2. Y así, sucesivamente ….
