Universidad Técnica Estatal “Quevedo” Facultad ciencias de la ingeniería Escuela de ingeniería eléctrica
Curso: Segundo eléctrica Docente: Ing. Víctor Nasimba Medina Año lectivo: 2011-2012
Quevedo-Los Ríos-Ecuador
INDICE PORTADA INDICE INTRODUCCION.............................................................................................. 5 TEMA 1: ANALISIS DE REDES DE C.A EN ESTADO PERMANENTE..................................7
Relación entre los elementos activos y pasivos en los circuitos eléctricos................10 Potencia:........................................................................................................ 11 Potencia media: (P)......................................................................................... 12 Valor medio / valor eficaz.................................................................................. 14 Ciclo.............................................................................................................. 15 Periodo.......................................................................................................... 15 Frecuencia..................................................................................................... 15 Amplitud......................................................................................................... 15 Valor instantáneo............................................................................................. 15 Valor medio o valor DC de onda (Vdc).................................................................16 Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz “VRMS”“VDC”..............................16 Valor eficaz o VRMS: “Root Mean square”.............................................................17 Análisis en el tiempo (R.L.C)............................................................................. 20 Circuito lineal.................................................................................................. 20 Circuito no-lineal............................................................................................. 20 Régimen permanente....................................................................................... 20 Régimen transitorio.......................................................................................... 22 Comportamiento.............................................................................................. 22 Caso I:........................................................................................................... 22 Caso II........................................................................................................... 22 Inductancia..................................................................................................... 24 Impedancia (Z)................................................................................................ 25 Angulo de fase (θ)........................................................................................... 25 Caso resistencia.............................................................................................. 25 Caso inductivo................................................................................................ 26 Caso capacitivo............................................................................................... 27 Caso RL......................................................................................................... 27 Caso RC........................................................................................................ 27 Análisis de circuitos......................................................................................... 28 Circuito resistivo.............................................................................................. 29 Circuito resistivo-inductivo (serie) si V=i*R..........................................................30 Circuito resistivo-capacitivo (serie).....................................................................31 Dominio del tiempo (paralelo)............................................................................34 Notación fasorial............................................................................................. 35 Diagrama de impedancia................................................................................. 36 Consideraciones para resolver circuitos mediante el dominio de la frecuencia “fasores”37 Admitancia (y)................................................................................................. 38 Cirucito serie-paralelo admitancia (y).................................................................43 2
Diagrama de admitancia...................................................................................44 Diagrama de voltaje......................................................................................... 44 Diagrama fasorial de (V vs I)............................................................................. 45 Diagrama fasorial de la intensidad.....................................................................46 Análisis de circuito........................................................................................... 47 Análisis de corrientes por mallas........................................................................47 Sistema de ecuaciones de mallas......................................................................48 Forma matricial............................................................................................... 48 Método de matrices y determinantes..................................................................48 Impedancia de entrada..................................................................................... 51 Impedancia de trasferencia............................................................................... 52 POTENCIA ELÉCTRICA.................................................................................. 54 Potencia activa................................................................................................ 54 Potencia aparente........................................................................................... 55 Potencia reactiva (Q) [VAR].............................................................................. 55 Capacitiva...................................................................................................... 55 Potencia compleja........................................................................................... 56 Corrección de factor de potencia.......................................................................56 Sistemas polifásicos........................................................................................ 58 Sistemas bifásicos........................................................................................... 58 Sistemas polifásicos........................................................................................ 59 Conexión en estrella........................................................................................ 59 Conexión en triangulo...................................................................................... 59 Relación entre los elementos activos y pasivos en los circuitos eléctricos................62 Potencia media, instantánea.............................................................................62 Análisis de circuitos......................................................................................... 66 Circuito serie-paralelo...................................................................................... 73 Potencia eléctrica............................................................................................ 77 APENDICE 1.1. Números complejos 1.2. Forma de números reales y números complejos 1.3. Formas de expresar un número complejo Suma y diferencia de números complejos (solo en forma rectangular) Multiplicación de números complejos
3
1. INTRODUCCION
La corriente alterna es de gran importancia, entre otras cosas, porque nos proporciona la red
eléctrica
domiciliaria.
Es
aquella
con
la
cual
funcionan
habitualmente
los
transformadores y un gran número de dispositivos. Lo más frecuente es que posea forma sinusoidal. Debido a que cualquier función periódica puede expresarse como la suma de diferentes armónicos (teorema de Fourier), el estudio de la corriente alterna constituye la base para el análisis de señales variables en el tiempo en redes lineales. Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna. Desde un punto de vista tecnológico, el uso de la corriente alterna es muy conveniente debido a que ésta es muy fácil de generar y su transporte puede realizarse fácilmente a altas tensiones (y pequeñas intensidades) minimizando así las pérdidas por efecto Joule (posteriormente, por inducción electromagnética, la corriente alterna puede fácilmente transformarse a las tensiones usuales de trabajo). Estas características junto con su fácil aplicación para motores eléctricos hizo que, a partir de finales del siglo XIX, la corriente alterna se impusiera para uso doméstico e industrial y que, por tanto, la tecnología eléctrica se haya desarrollado en torno a esta forma de corriente (en Europa la frecuencia de la corriente alterna es de 50 Hz). Una característica adicional de esta corriente es que su forma armónica se conserva cuando la corriente es modificada por el efecto de elementos lineales, a saber: resistencias, condensadores, bobinas, transformadores, etc.
4
2. JUSTIFICACION Los estudiantes de ingeniería eléctrica
5
3. OBJETIVO: 3.1.
Objetivo general: Estudiar los circuitos en serie RL, RC y RLC sistema monofásico, bifásico y trifásico. En corriente alterna. Aplicación al cálculo de L y C.
3.2.
Objetivo especifico: Analizar las leyes básicas, teoremas y técnicas aplicadas a los circuitos eléctricos en corriente alterna, y sistema monofásico, bifásico y trifásico así como el uso de las matemáticas en la solución de circuitos variables en el tiempo.
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RELACIÓN DE ELEMENTOS PASIVOS Al suministrar energía a un elemento pasivo de un circuito, este se comporta o corresponde a: 1) Si la energía lo disipa el elemento es resistivo puro R
+
-
I
2) Si la energía lo almacena en un campo magnético es una bobina pura +
-
L
3) Si la energía la almacena en un campo eléctrico es una condensador +
C
I
Nota: En la práctica los componentes pasivos se comportan de una o más formas e inclusive los tres simultáneamente. Resistencia(R):
La diferencia de potencial V(t) en los bornes o terminales de un elemento resistivo es directamente proporcional a la intensidad de corriente i(t) que circula por él. La notación en función del el tiempo se representa por las letras minúscula: v(t),i(t), p(t). los valores máximos o amplitudes se representan con el subíndice m. ejemplo: V(t)=R*i(t) i(t)=V(t)/R R= i(t)/ i(t)
vmm
+
i(t)
V(t)
-
Autoinducción (L):
Al circular una corriente i(t) se origina un flujo magnético, esta variación de flujo magnético origina una fuerza electromotriz (f.e.m) que se opone a dicha variación.
Si por una bobina circula una corriente i(t) se origina una f.e.m inducida (v) que es directamente proporcional siempre que la permeabilidad magnética sea constante.
L= se conoce como el coeficiente de proporcionalidad o coeficiente de autoinducción. L=henrio [H]
7
v dt=d Li
∅=L∗i(1) v=
d∅ (2) dt
di=
Vd ∅ L
i(t )=
1 v dt L∫
(1) En (2) v= L=
d(L∗i) di =L dt dt
V∗s A
H=
V∗1 [s] 1[ A]
Capacitancia (C): se le conoce como constante proporcionalidad y es la capacidad del condensador.
q= carga almacenada en el condensador. v= diferencia de potencial en los bordes del condensador.
F=faradio=
coulombios amperios +
q(t) =C V (t ) -
i (t )=
dq dt
i(t )=
dv dt
La bobina (inductores) y los condensadores (capacitores) acumulan energía pero durante cierto tiempo es decir durante un tiempo (t) la energía permanece en el circuito y durante otro tiempo retorna la fuente.
En la resistencia(R) la potencia (p) siempre es positiva y la energía (w) es creciente en función
del tiempo. En una inductancia no puede mantenerse la energía cuando se desconecta la fuente porque
simultáneamente el campo magnético desaparece. En una capacitancia la carga eléctrica permanece y su campo eléctrico aun después de desconectar la fuente se descarga paulatinamente.
8
Unidad
Tensión [V] V(t)=R*i(t)
R [Ω]
L [H]
di L V(t)= dt V(t)=
C [F]
1 i dt L∫
Intensidad [A]
i(t )= i(t )=
V (t )
Potencia [W]
T
p=i*R p=V(t)*i(t)
R
p=
p=v*i 1 V (t ) dt ∫ di L p=L∗i dt
i(t )=C
dv dt
P media [W]
1 ∫ p dt T 0 T
1 p= ∫ p dt T 0 T
p=v*i
p=C∗V
dv dt
1 p= ∫ p dt T 0
Energía [J] t2
w=∫ p dt t1 t2
w=∫ p dt t1
t2
w=∫ p dt t1
Potencia (p): La potencia eléctrica (p) se define por el producto de la diferencia de potencial o tensión aplicada (v) y la intensidad de corriente (i). p=v(t)*i(t)
vvv
1[W]=1[voltio]*1[amperio]
La potencia (p) es positiva si circula la intensidad de corriente de - a + ese momento, la fuente entrega corriente el circuito por lo tanto suministra energía.
La potencia (p) es negativa si circula la intensidad de corriente de + a – ese momento la fuente obtiene energía de los elementos pasivos del circuito.
Potencia media: (P): En el caso en que la potencia (p) se una función periódica del tiempo(t) del periodo(T)se define como un valor medio. t
P=
1 ∫ pd t T 0
[Potencia media] [W]
Energía (w): La potencia (p) es la variación de energía transferida en una unidad de tiempo se puede expresar que: p=
w t
dw= pdt 9
t2
dw p= dt
w=∫ pdt t1
Ejemplo: La función intensidad de corriente de la figura es una onda creada producida en esta corriente, circulando por una resistencia pura de 10Ω. Obtener las curvas de tensión v(t) y la potencia p(t) instantánea. i(t) 5A
----------------------------------------------------------
π
2π
V(t)=i(t)xR.
v(t) 50
1X10-3 S
----------------------------------------------------------
V(t)=5x10 V(t)=50
π
10
2π
1X10-3 S
p(t) 250
----------------------------------------------------------
p(t)=v(t)xi(t). p(t)=50x5
π
2π
p(t)=250 1X10-3 S
Tipos de ondas:
ondas Senoidal y cosenoidal
Wt en función de Θf W=2πf f= 1/T
Onda Triangular: =0.016 seg. T= 16ms
Onda diente de sierra:
11
Onda cuadrada:
PROBLEMA RESUELTOS En el circuito del generador viene dado por V(t)=150sin wt. Hallar: a. La intensidad i(t) b. La potencia instantánea c. La potencia media
i(t )=
v (t ) 150 = sin wt =5 sin wt r 25
p=V ( t )∗i (t )=150 sin wt∗6 sin wt si wt =∝ p=900sin2α p=900sin2wt [w] T
1 p= ∫ p dt T 0 T
p=
1 ∫ 900 sin2 wt dt π 0 π
900 p= sin 2 wt dt ∫ π 0 p=
[
900 π sin 2 π − π 2 4
p=450[W ]
12
]
+ 25 -
En los bornes de una bobina pura de autoinducción L= 0.02H, se aplica la tensión v(t)= 150sen 1000t hallar:
a) b) c) d)
La corriente i(t). La potencia instantánea p(t). La potencia media P. Realizar sus gráficos.
1 .150∫ sen 1000 tdt=¿ 0.02 H 1 i ( t )= ∫¿ 0.02 H
150 sen 1000 tdt=
i ( t )=
150 du −7500 sen u . = sen u du=−7.5 cos u+c ∫ 0.02 H 1000 1000 ∫
i ( t )=−7.5 cos 1000 t+C
p (t )=v ( t ) .i(t ) p (t )=150 sen 1000 t x−7.5 cos 1000 t=−562.5 sen 2000 t
π
1 P= ∫ pdt π 0 −sen 2000 t dt=¿ π 562.5 −562.5 sen 2000 t dt=¿ ∫¿ π 0
π
π
0
1 P= ∫ ¿ π 0 π
sen 1 000 t dt ∫ −cos 1000tdt =¿ 0
[
π
P=
P= 0w
13
][
1124.4 −cos 100 t sen 1000 t . π 1000 1000
562.5/2 ∫¿ π 0
]
Valor medio / valor eficaz
Vp
Amplitud Ciclo sinusoidal
wt
-Vp Vp
Ciclo triangular
t (ms)
-Vp Vp
Amplitud Ciclo cuadrado
t (ms)
-Vp Diente de sierra
t (ms)
-Vp
14
La tensión (V(t)) y la corriente (i(t)) varían en forma periódica a lo largo del tiempo. Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna comúnmente es la onda sinusoidal. Porque se usa la onda sinusoidal Puesto que se consigue una transmisión más eficiente de energía La señales de AM-FM es una información codificada que mediante rectificadores “diodos”, inductores se logra recuperar la onda sinusoidal
Ciclo Un ciclo es toda la señal antes de repetirse
Periodo Es el tiempo que tarda un ciclo de la señal
Frecuencia Es el número de vueltas que da en un segundo
Amplitud Es el valor desde el eje horizontal hasta el máximo Amplitud [A]=Vp=Vmax
Valor instantáneo Es el que forma la ordenada en un instante t determinado Valor pico a pico (Vpp) Es la medida desde el valor mínimo hasta el máximo Es la diferencia entre su valor pico máximo positivo y su valor máximo negativo Vpp=Vp-(-Vp) Vpp=Vp+Vp 89.9Hrz
1 1 T= = =0.011 seg f 89.9 Pulsación La pulsación es la frecuencia angular expresada en radianes
W=2πf
15
W=
2π T
Valor medio o valor DC de onda (Vdc)
Es el valor del área que forma con el eje de las abscisa partiendo por su periodo El área se considera positiva si esta encima del eje y negativa si esta de bajo Es una señal sinodal o sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo
Vp
T
A1=-A2
1 V DC = ∫ f ( t ) dt T 0
A1 A2 -Vp
Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz “VRMS” “Veficaz” y el valor medio “VDC” K=
V eficaz T
1 ∫ f ( t ) dt T 0
K=1.11 sinusodal Factor de amplitud (K): es la relación entre el valor máximo de la magnitud y su valor eficaz VDC
21
15
A1 3
A2
4
-3
A=15 Vpp=18= Vp-(-Vp) T=4seg f=0.25t
Area1= (3*15)/2=22.5 Area2= (1*3)/2=1.5 Área=A1-A2 Área=22.5-1.5
T
V DC =
1 ∫ f ( t ) dt T 0
Área=21
T
0.25 V DC = ∫ t dt 4 0
Valor eficaz o VRMS: “Root Mean square”
16
Se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante el periodo.
√
T
T
1 1 V RMS = ∫ V 2 t dt V RMS 2= ∫ V 2 t dt T 0 T 0
En la industria casi todas la operaciones con magnitud negativa se hacen con valor eficaz
17
Consideración
V max A Vef=VRMS= √ 2 = √ 2
V max A Vef=VRMS= √ 3 = √ 3
Vef=VRMS=A
Si la onda es alterna pura para el área positiva es igual al área negativa por lo tanto el valor medio es igual a cero A1 A2
A1=11 A2=-21
Si la onda no es alterna pura es decir que el área positiva no es igual al área negativa el valor medio es distinto a cero
A1=20 A2=-4
A1>A2 Vef=VRMS≠0 A2>A1 Vef=VRMS≠0
T
V RMS2= V rms =
1 ∫ f ( t )2 dt T 0
V max
√3
Vmax=325V Vdc=230V
18
Veifcaz=VRMS*
√2
5 A 6
12
-5
f=
1 T
VPP=VP-(-VP)
18
T=12seg f=0.083Hz A=5 VPP=10 VRMS= VDC=
V RMS =
T
A 5 = =2.88 √3 √3
V DC = 12
f=0.083Hz
VPP=5+5
A1=b*h A1=5*6 A1=30
VPP=10 A2=b*h A2=5*6 A2=30
1 V DC = ∫ f ( t ) dt 12 0
y=4cos5x
w= 5=
2π T
2π T
T=
2π 5
0
19
1 ∫ f ( t ) dt T 0
Análisis en el tiempo (R.L.C) Régimen de funcionamiento
Los modelos de los componentes son ideales porque representan el comportamiento del elemento físico de una manera simplificada Es decir se utiliza aproximaciones del comportamiento cíclico (R.L.C) II magnitud
Circuito lineal Se dice que un elemento es lineal cuando la relación matemática entre las magnitudes es la ecuación de una línea recta, es decir es una relación proporcional.
I magnitud
Circuito no-lineal En un circuito no lineal, es cuando la relación matemática es más complicada y también cuando aparecen diodos, transistores, etc. II magnitud
I magnitud
Régimen permanente
Es estado de un circuito es el que nos proporciona la información del comportamiento del ciclo Se dice que un circuito esta en régimen permanente cuando funciona durante un tiempo, relativamente largo bajo una condición conocida inalterable a lo largo del tiempo
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/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// RPI= régimen permanente inicial RPF=régimen permanente final //////////////////////////////////////////////////// RE=régimen estacionario
RE
RPI
RPF
V
Régimen transitorio Un circuito esta en régimen transitorio cuando pasa de una función a otras condiciones de funcionamiento, durante un cierto intervalo de tiempo se produce alteraciones en las condiciones de funcionamiento. I
+
Comportamiento Caso I: Circuito abierto: cuando una trayectoria no fluye la corriente siendo su resistencia al infinito R=∞ V I
I I=0 V=?
I
Caso II Corto circuito: es cuando su voltaje es cero siendo su resistencia igual a cero V I
I I=? V=0
I 21
Inductancia
Son elementos bi-terminales Almacena energía proveniente del campo magnético En fuentes DC se comporta como circuito cerrado
Caso I
I
Proceso de carga Toma de energía
+
+
c.c
t Caso II Proceso de descarga Cede energía
I i=KTE V=0 corto circuito
t Condenadores Son elementos bi-terminales Almacena energía que recibe en el campo eléctrico Se comportan como un circuito abierto V
V Vcc
t
Carga K*e-t/τ
Descarga
+
+
t
K*e-t/τ
Τ=R*C Capacitor
τ=
L R
Inductor
El punto de carga y descarga viene dado por la letra τ.
22
I=0
C
V=KTE
I=0
c.a
12V
+
2R
10R
2F
4F
6H
6F 12V
2R
+
2R
10R
2H
4R
4R
1 1 1 1 17 = + + = R eq 2 10 4 20
I=
V R
Req =1.17 Ω
I=
12V 1.17 Ω
I =10.25 A
Impedancia (Z) La impedancia de un elemento aislado de una rama de varios elementos es la relación entre a tensión aplicada sobre la intensidad de corriente.
z=
V aplicada Icorriente
Angulo de fase (θ)
Si la tensión como la intensidad (I) de corriente son funciones sinodales y conoidales del tiempo (t) aparece una desplazamiento relativo entre ambas magnitudes y nunca puede ser superior a 90o o π/2rad
Caso resistencia En un elemento resistivo puro la intensidad (i) está en fase con el voltaje (v). El módulo de la impedancia es R |z|=R
+ Vcc -
23
I
R
Caso inductivo En una bobina para la intensidad se retrasa 90o o π/2rad respecto a la tensión. El módulo de la impedancia xL=jwL
+ Vcc -
24
I
L
Caso capacitivo Un condensador puro la corriente (i) se adelanta 90o respecto a la tensión y su módulo es el inverso de jwC
x C=
1 jwC
+ Vcc
I
-
C
Caso RL En un circuito RL la intensidad de corriente se retrasa un ángulo θ dependiendo de su valor de su resistencia e inductancia. 0<θ<90o
|z|= √ R2 +wL 2
+ Vi -
I
Caso RC En un circuito RC la intensidadse adelanta un angulo θ respecto a la tensión (V) y depende de un valor RC 90o<θ<0
√
|z|= R2 +
1 wC
( ) +
Vi -
25
2
I
Análisis de circuitos Dominio del tiempo Dominio de frecuencia (fasores) V(t)=Vmax*sin(t) V(t)=Vmax*sin(wt)
Vmax
t (seg) V max V rms = V ∗√2=V rms wt (s) √ 2 rms -Vmax
(+)
Vmax
V(t)=Vmax*sin(t+ φ ) t (seg) V(t)=Vmax*sin(wt+ φ ) wt (s)
-Vmax
(-)
Vmax
φ ) t (seg) V(t)=Vmax*sin(twt (s) V(t)=Vmax*sin(wt- φ ) -Vmax
Vmax100 Vref50
V(t)=Vmax*sin (t- φ ) 45
V(t)=Vmax*sin (wt- φ ) +- Vref V(t)=100*sin (wt-45)+50
V(t)=40*sin (wt+190)-50
190o
10o
50o
26
Circuito resistivo + Vin -
i(wt)=
V (wt ) =V max sin(wt ) V (wt ) =√ 2V rms sin(wt )
i(wt )=
V R
√ 2V Rms R
Circuito inductivo
+ Vin -
i(L)=
1 L∗di V L dt V (L)= ∫ L dt
cos wt =sin [wt +90] −cos wt =sin[ wt −90]
T
i(L)=
1 ∫ √ 2(120)sin ( wt ) dt L0 T
120 √ 2 i(L)= ∫ sin wt dt L 0 i(L)=
[
120 √ 2 −cos wt L w
0 cos wt−cos ¿ −120 √ 2 i (L )= ¿ WL wt −1 cos ¿ −120 √ 2 i (L )= ¿ WL 27
]
120 √2 WL −120 √2 i (L )= cos ¿ WL wt + ¿
i (L )=
−120 √ 2 ∗( sin wt−90 )+ K WL
i (L )=
120 √ 2 ∗( sin wt −90 )=¿ i ( L )=i max sin wt −90 WL
V ( L )=
120 √ 2 ∗( sin wt −90 ) =¿ V ( L )=V max sin wt WL
X L=wl Circuito capacitivo
+ Vin
C -
X C =( WC )−1=
1 WC
iC=
C∗dv dt
iC=
C∗d 120 √ 2 sin wt dt
i C =C∗120∗√ 2
d sin wt dt
i C =C∗120 √ 2cos wt∗w i C =120 √2∗C∗W ∗cos wt i C =120 √2∗C∗W ∗sin wt + 90 iC=
28
120 √ 2 ∗sin wt + 90 (WC )−1
Circuito resistivo-inductivo (serie) si V=i*R
R
+
V m=V R +V L
i=
V V = R Z
Vin L
V m=Ri∗L
di dt
i max=
i max=
tan −1 θ=
V max
√ R +(WL)2 2
V max
√ R +W 2
2
L
2
∗sin wt −θ
∗sin (wt −tan −1 θ
WL R
Z
WL
θ=
R
WL R
z=√ R2 +W 2 L2
Circuito resistivo-capacitivo (serie) V i=V R +V C R
+
(WC)−1 tan θ= R −1
Vin
-WC
C
V i=Ri+
1 idt C∫
V i=V max∗sin wt
i wt =
i wt =
V max
√
1 R+ 2 2 W C
√
z=√ R2 +(W 2 L2)−1
∗sin wt +θ
2
V max R2 +
29
1 W 2 C2
1 WC θ= R
(WC )−1 ∗sin wt + tan R −1
R
WL ) r
V R=
V max∗R
√
R 2+
1 W 2 C2
(WC )−1 ∗sin wt + tan R −1
Ejercicios en el dominio del tiempo 1. Por el circuito de la fig. circula una corriente de intensidad i=2sin 500t [A]. Determinar a. La tensión aplicada b. La impedancia c. El ángulo d. Realice el grafico Vi vs t
X L=WL
z=√ R2 +W 2 L2
R
10
Z
WL
−3
X L=500∗20∗10
45
R
X L=10 Ω L
z=√ 102 +102 z=10 √ 2
20mH
tan −1 θ= −1
tan θ= θ=45o V =i max √ R2 +W 2 L2 sin wt −θ V =2 √ 102+(10)2 sin 500 t−45o o
V =28.28 sin 500 t−45 [V ] Vmax imax (-)
-imax -Vmax
30
WL R 10 10
Paralelo
Serie
Ir
Vr
Ic
Il
Vl
Vc
IL=IC=IR
IT=IL+IC+IR
LKC
Vi=Vr+Vc+Vl
V i=i∗R+L
di 1 + idt dt C ∫
Vi=VR+VL+VC
A sin θ+B cos θ=C sinθ+ φ
sin( A ± B)=sin a cos b ± sin a cos b
C=√ A 2+ B 2 tan−1 θ=
B A
Serie RC
f → cos wt
(WC)−1 V =i max z cos wt −tan R −1
√ √
V =i max R2 +
f → sin wt
V =i max
−1
(WC) 1 cos wt −tan −1 2 R (WC)
−1
(WC ) 1 R+ sin wt + tan−1 2 R (WC) 2
Serie RL
f → sin wt
V =i max √ R +( LW ) sin( wt +φ) 2
2
(
V =i max √ R2 +( LW )2 sin wt + tan−1 f → cos wt
WL R
V =i max √ R2 +( LW )2 cos (wt −tan −1
)
WL ) R
Serie RLC
f → sin wt
31
√
(
V =i max R2 + WL−
2
1 sin wt + tan −1 WC
)
(
WL− R
1 WC
)
f → cos wt
V =i max
Si
Si
Si
32
√
1 2 R2 + WL− cos wt + tan−1 WC
(
)
(
WL− R
1 WC
)
WL>
1 WC
θ es positivo i atrasa V
WL<
1 WC
θ es negativo i adelanta V predomina la capacitancia
WL=
1 WC
θ es cero
i V
predomina la inductancia
Paralelo RL
f → cos wt
i T =V m
f → sin wt
i T =V m
√( √(
1 2 1 2 R + cos wt−tan−1 R WL WL
√( √(
1 2 + ( WC )2 sin ( wt + tan−1 WCR ) R
) ( ) (
( ))
1 2 1 2 R + sin wt + tan −1 R WL WL
) ( ) (
( ))
Paralelo RC
f → sin wt
i T =V m
f → cos wt
i T =V m
)
1 2 + ( WC )2 cos ( wt −tan−1 ( WCR ) ) R
)
Paralelo RLC
f → sin wt
i T =V m
f → cos wt
i T =V m
√( √(
1 2 1 2 1 + WC− sin wt +tan −1 WC − R WL WLR
) (
) (
) (
) (
Vm = Z
33
B A
(
Vm
√
1 R + WL− Wc 2
(
A sin θ+B cos θ=C sinθ+φ
tan −1 φ=
))
1 2 1 2 1 + WC− cos wt−tan −1 WC− R WL WLR
iT=
C=√ A 2+ B 2
(
cos x=sin (x+ 90)
2
)
))
Dominio del tiempo (paralelo) Ir +
5
Il
IT=IR+IL
0.02H
iT =
V 1 + V dt R L∫
-
V 100 sin(1000 t+50) iR = = =20 sin(1000 t +50) R 5 iL=
1 1 100 V dt= 100 sin ( 1000 t+50 ) dt = sin ( 1000 t+50 ) dt ∫ ∫ L 0.02 0.02 ∫
100 ∗cos (1000 t+50) 0.02 iL= 1000 iL=
100 ∗cos (1000 t+50) 0.02∗1000
i L =−5 cos(1000 t+50)
A
B
i T =20 ⏞ sin (1000t +50)−5 ⏞ cos (1000 t+50) A sin θ+B cos θ=C sinθ+ φ
C=√ 202+(−5)2 C=20.6
tan −1 φ=
B −5 = A 20
θ=−14.03
i T =20.6 sin (1000t +50−14.03) i T =20.6 sin (1000t +35.07)
34
Notación fasorial
Mediante el empleo de la notación fasorial y la impedancia compleja se simplifica el análisis en régimen permanente sensorial de los circuitos eléctricos
Impedancia compleja Circuito R-L Vm=VR+VL R
V m=iR + L
di dt
+ L
V m e jwt =iR+ L
Si
+ Z
di dt
i(t )=K e jwt
V Z= = i
-
EDO 1er orden
si
K=
Vm R+ jwL
jwt
jwt Vme e ∗R+ jwL =V m =R+ jwL jwt Vm V me jwt ∗e R+ jwL
R +
Circuito R-C C
+
-
Vm=VR+VC
V m=iR +
1 i dt C∫
V m e jwt =iR+
1 idt C∫
EDO 1er orden
+ Z -
Si
35
i(t )=K e
jwt
si
K=
Vm 1 R− jwC
V m e jwt =K e jwt∗R +
Vm
i=
(
36
Vm ∗e 1 R− jwC
)
1 K e jwt dt ∫ C
V → z= = i jwt
V m e jwt 1 =Z=R− j Vm wc ∗e jwt 1 R− jwC
( )
(
)
Diagrama de impedancia
La impedancia es un numero complejo en el cual la resistencia R es un numero positivo y la parte imaginaria de un elemento inductivo o capacitivo Al variar wt el vector describe un circulo razón por la cual se denomina ve3ctor giratorio a fasor En la teoría del campo electromagnético cantidades que tienen que tienen una orientación espacial se denomina vectores y fasor los términos exponenciales variable en el tiempo R (+) R (+)
z
X L= jwL
XC=
jwL
z=R−
Z =R + jwL Θ
Θ
Diagrama de impedancia
Diagrama fasorial
Θ Θ
wt Sin x
wt
Cos x
37
1 jwC 1 jwC
Consideraciones para resolver circuitos mediante el dominio de la frecuencia “fasores”
Los valores de voltajes deben ser transferido a valores eficaces Los valores de corriente deben ser transformados a valores eficaces No se debe operar o trabajar con las característica del material o elemento “inductivo-capacitivo” Se debe trabajar como reactancia “XL=Ω, XC=Ω”
Realizar una representación gráfica de la variación de la reactancia capacitiva e inductiva con w en el margen de 400 a 4000 rad/seg, los valores de L y C so respectivamente 40mH y 25µF W
XL 400
16
900
36
1400
56
1900
76
2400
96
2900
116
3400
136
3900 4000
156 160
38
C=25µF -6 100 C=25*10 F 44,444444 4 L=40mH 28,571428 L=0.04F 6 21,052631 Inductiva 6 16,666666 7 13,793103 4 11,764705 9 10,256410 3 10
XC
.18 11 Z=
A un circuito serie R=5Ω, L=2mH se le asigna una tensión de V=150sin (5000t) hallar la impedancia compleja, realizar el diagrama. 10
Z=R+jwL Z=5+10j
Z =563.5 √ 5 ∠63.5 5
WL=5000 (2*10-3) WL=10Ω
Admitancia (y) El reciproco de la impedancia compleja se denomina admitancia compleja y se representa por la letra “y” y es el inverso de z y su unidad está dado en función de [Ω]
Z =R ± jx
Diagrama de admitancia
Z =R ±( X L− X C ) Z =R ± jb
ϕ
G
JB
Medinate el digrama fasorial hallar al suma de las intensidades de corriente o
i 2=sin (wt +121.6 )[ A ] y realizar el diagrama fasorial de la intansidad total.
I´1 =
I max
√2
∠θ
14.14 I´1 = ∠13.2o I´1=10 ∠ 10 13.2o √2 I´1 =9.73+2.28 j I´2 =6.6+7.37 j
39
I´2 =
I max
√2
∠θ
8.45 I´2 = ∠121.6o I´1=5.97 ∠ 121.6 o √2 I´2 =−3.13+5.08 j
i 1=sin(wt +13.2o) [ A] ,
I´2 =9.89 ∠48.1o
Diagrama fasiorial de la intensidad total121.6o
48.1o 5.97
Hallar la suma de las tensiones
10
V 1=126.5 sin(wt +63.4 o) , V 2=44.7 sin(wt −161.5o ) . expresar VT en
funciion del dominio del tiempo.
V´ 1=
V max
√2
∠ 63.4
o
V 2=44.5sin (wt −161.5o )
126.5 o V´ 1= ∠ 63.4 √2
V´ 1=
V 2=44.5sin (wt −161.5o +90 o)
V´ 1=89.44 ∠ 63.4 o
V 2=44.5sin (wt −71.5o )
V´ 1=40.05+ 80 j
V max
√2
∠−71.5
o
44.7 o V´ 2= ∠−71.5 √2
V´ 2=31.5 ∠−71.5 o V´ 2=10.02−30 j
V´ T =50.02+ 50 j
V´ T =70.76∠ 44.95o
70.76∗√ 2=99.99 ≅100 100
V´ T =100 sin(wt + 44.93o ) 89.44
o V´ T =100 cos(wt−45.07 )
63.4o 71.5o
45.07o
31.6
40 -100
Wt
Resumen
Z =R +J X l
Y =G−J X l
Z=
1 [ Ω ] ohmios Y
Z =R−J X C
Z =G+ J X C
Y=
1 [ ℧ ] siemens [S] Z
R=
G 2 G +B
x=
−B 2 2 G +B
R= parte real (R)
G=
R R +x 2
B=
−X R2+ x2
x=parte imginaria (reactancia)
2
2
Dominio del tiempo
Dominio de la frecuencia
I(t) +
+ V
Vt
Y
+ V
-
-
Admitancia
(+) (-)
Rreactancia inductiva Reactancia capacitiva
(+) (-)
Suceptancia capacitiva (BC) Suceptancia inductiva (BL)
Impedancia
G= Parte real (reactancia ) B= Parte imaginaria (subceptancia)
Caso 1 I y V están en fase Caso 2 El fasor intensidad está retrasado un ángulo θ respecto a la V 41
Z
-
Caso 3 El fasor intensidad está adelantado un ángulo θ respecto a la V Caso 1 Admitancia
Impedancia
V Z
R
Y
G
I Θ
V =V ∠ θI =I ∠θ
42
Z=
V ∠θ o =Z ∠0 =R I ∠θ
Y=
I ∠θ o = y ∠ 0 =G V ∠θ
Caso 2 R
V
θ
I
G
JXL
JBL
Φ
Z=
V =V ∠ Φ
V ∠Φ =z ∠θ=R+ J X L I ∠Φ−θ
Y=
I ∠ Φ−θ = y ∠−θ=G−J B L V ∠Φ
I =I ∠Φ−θ
Caso 3 R
V I
G
JXC
Θ Φ
V =V ∠ θ I =I ∠Φ+θ
43
Z=
V ∠θ =z ∠−θ=R−J X C I ∠Φ +θ
Y=
I ∠Φ+ θ = y ∠ θ=G+ J B C V ∠θ
JBC
Circuito serie-paralelo (z) V1=I*Z1 V2=I*Z2
+
-
+
Z1
V1 Z2 V
V -
+ -
+
+ Z1
V2
ZI
-
Z I=
V
I=I1=I2 ZI=Z1+Z2
Z2
Z1∗Z 2 Z 1 + Z2
+ V
V=V1=V2 I=I1+I2
-
-
2 +Z Z1 Z=
Digrama de Z
Z2 Θ1 Z1
Θ2
Cirucito serie-paralelo admitancia (y) Y1 +
Y2
V -
+ V -
YI=Y1+Y2 + Y1
V -
44
Y2
YI= YI
Y 1∗Y 2 Y 1+Y 2
ZI
Y2 Y1+ Y=
Diagrama de admitancia
Y1 Θ1
Θ2
Y2
Diagrama de voltaje
Hallar la impedancia en el circuito serie 5
8j
Z1=5+8j
Z 1= √ 89 ∠58o
+
Z2
-
ZT =
ZT=Z1+Z2 Z2=ZT-Z1 Z2=5+9.3j
45
V 50 ∠ 45o = =10+17.3 j I 25 ∠−15o
Encontrar la impedancia equivalente y la intensidad total del circuito, representar el diagrama fasorial V respecto a I, el diagrama fasorial de la intensidad.
8
3 + 50∟0o
10 J4
-J6
Z1=10 Z2=3+j4=5∟53.1o Z3=8-j6
1 1 1 1 = + + Z eq 10 3+ j 4 8− j 6
(
)
Z eq =3+ j Z eq =3.16 ∠18.43o V =I Z eq o
V 50∠ 0 I= = =15.82∠−18.43o o Z eq 3.16 ∠18.43
I1 =
V 50 ∠0o = Z 1 10 ∠0o
I 1 =5∠ 0o
I2 =
V 50 ∠ 0o = Z 2 5 ∠ 53.1o
I 2 =10∠−53.1o
100 15.82
46
V 50 ∠0o = Z 2 10 ∠−36.86o
I 3 =5∠36.86 o
I Diagrama fasorial de (V vs I)
18.43o
I3 =
V
-18.43o 53.1o
Diagrama fasorial de la intensidad 15
36.86o 5
5
10
47
Análisis de circuito
Por mallas Por nodos Forma matricial
Análisis de corrientes por mallas
Se eligen lazo cerrados o mallas E designan corriente I1, I2, I3,……IN, “corriente cíclica de Maxwell” Se establecen ecuaciones según la ley de Kirchhoff por cada rama Se consideran las variables desconocidas I1, I2, I3,……IN. Za
+
I1
VA -
Malla I
Z a I 1+ Z b ( I 1−I 2 )=V A Z a I 1+ Z b I 1−Z b I 2=V A I 1 ( Z a+ Z b ) −Z b I 2=V A Malla II
Z 2 I 2 + Z d ( I 2 +I 3 ) +Z b ( I 2−I 1) =0 Z 2 I 2 + Z d I 2 + Z d I 3 + Z b I 2−Z b I 1=0 I 2 ( Z c + Z d + Z b ) +Z d I 3−Z b I 1=0 −I 1 Z b +I 2 ( Z c + Z d + Z b ) + I 3 Z d=0 Malla III
I 3 Ze + Z d ( I 3 + I 2 )=V B I 3 Ze + Z d I 3 + Z d I 2=V B I 2 Z d + I 3 ( Z e + Z d ) =V B
48
Ze
Zc
Zb
I2
Zd
I3
+ VB -
{ |
I 1 ( Z a + Z b )−Z b I 2=V A −I 1 Z b+ I 2 ( Z c + Z d +Z b ) + I 3 Z d =0 I 2 Z d + I 3 ( Ze + Z d )=V B
| || |
Z a+ Z b −Z b 0 I1 V A −Z b Z c + Z d + Z b 0 I2 = 0 0 0 Z e+ Z d I 3 V B
Sistema de ecuaciones de mallas Z 11 I 1 ± Z 12 I 2 ± Z13 I 3 =V 1
{
Z 11 Z12 Z 13=Z propia de la mallas ± Z12 ± Z 13 ± Z 21 ± Z 23 ± Z 31 ± Z 32=copedancia
± Z 21 I 1+ Z 22 I 2 ± Z 23 I 3=V 2 ± Z 21 I 1 ± Z 32 I 2 +Z 33 I 3=V 3
Forma matricial
[
][ ] [ ]
Z11 ± Z12 ± Z13 I 1 V1 ± Z 21 Z 22 ± Z23 I 2 = V 2 ± Z 31 ± Z32 Z 33 I 3 V3
I1 =
[
V 1 ± Z 12 ± Z 13 V 2 Z 22 ± Z 23 V 3 ± Z 32 Z 33 ΔZ
]
I2 =
[
Z11 V 1 ± Z 13 ± Z 21 V 2 ± Z 23 ± Z 31 V 3 Z 33
]
I3 =
ΔZ
[
Z11 ± Z 12 V 1 ± Z 21 Z 22 V 2 ± Z 31 ± Z 32 V 3
]
ΔZ
Método de matrices y determinantes
Se seleccionan las mallas o ventanas Se establece un sentido arbitrario de la intensidad de corriente, en sentido horario o antihorario Se aplica LKV a cada malla o bucle Ze Zc Las n ecuaciones de un circuito con n mallas seZa puede escribir de forma matricial +
49
I1
VA -
Zb
I2
Zd
I3
+ VB -
|
| || |
Z a+ Z b −Z b 0 I1 V A −Z b Z c + Z d + Z b 0 I2 = 0 0 0 Z e+ Z d I 3 V B
50
En el circuito de 4 mallas encontrar I1, I2, I3 y I4. R
+
Zg
I2
C
I1
I3
Rx
C +
Lx
I4
Zd
+ Vg -
| | |
Zg+
Δz=
1 + Rx jwC −1 jwC −Rx 0
Vg 0 0 0
I1 =
Zg+
I2 =
−1 jwC 1 1 R+ + jwC jwC 0 −1 jwC
Δz
−Rx 0
0 0
−Rx 0
Δz
51
|
−1 jwC Rx + jw Lx − jw Lx 1 − jw L x + jw L x + Zd jwC 0
|
||| |
I 1 Vg −1 0 I2 0 jwC = I3 0 Rx + jw Lx − jw Lx 0 I4 1 − jw L x + jw L x + Zd jwC
−1 −Rx 0 jwC 1 1 −1 R+ + 0 jwC jwC jwC Rx+ jw Lx − jw L x 0 −1 1 − jw Lx + jw L x + Zd jwC jwC
1 + Rx Vg jwC −1 0 jwC
0
−Rx
|
|
Zg+
¿
I3
1 −1 + Rx jwC jwC −1 1 1 R+ + jwC jwC jwC 0 −Rx −1 0 jwC
Vg 0 −1 jwC 0 − jw L x 1 + jw Lx +Zd jwC 0
0
|
Δz
Encontrar las tensiones VAB, VBC, I1 y I2 del siguiente circuito.
100∟45O
3
+
B
J4
I2
J10
I1
+
A
- J10
-
C
| ||
|
|
−10 j I 1 = 100 ∠ 45o = 100 Δz= 3+ 4 j −10 j 10 j−10 j I 2 0 I 2 =−7.07+ 7.07 j
I1=0
I 2 =10∠135 o V Bc =Z L (−I 2)
VAB=0
V Bc =( 10 ∠90 o ) ( −( 10 ∠135o ) ) V Bc =100 ∠ 45 o
Impedancia de entrada
Se considera un circuito de elementos pasivos con 2 terminales. La impedancia de entrada Z de un circuito se define como la impedancia en sus terminales de entrada cuando todas sus fuentes de tensión están corto circuito considerando su propia impedancia interna.
I1 + Vi
Circuito pasivo
-
52
I 1 =V i
( ΔΔz )+ 0( ΔΔz )+0 ( ΔΔz )=V ( ΔΔz )
z entrada=
11
21
31
11
i
V 1 Δz = I 1 Δ 11
Impedancia de trasferencia La impedancia de trasferencia es la relación entre la tensión aplicada en una malla y la intensidad de la corriente que resuelta en otra malla anulando el resto de las fuentes Ir + -
I s=0
Is
Circuito pasivo
Vr
( ΔΔz )+… V ( ΔΔz )+… 0( ΔΔz )=V ( ΔΔz ) is
rs
zs
r
z trasferencia=
rs
r
V r Δz = I s Δrs
Hallar la impedancia de entrada, vista de poder de la fuente de 50V del circuito de la figura, y la intensidad de corriente I, mediante la impedancia de transferencia encontrar la intensidad de corriente en la malla I3. 6
50V
+
|
I1
18
5
I2
I3 4
4
|
11 −5 0 ∆ z= −5 27 −4 =2000 0 −4 8 Impedancia de entrada
z=
2000 =10 Ω 200
z=
V1 V 50 V =¿ I 1= 1 = =5 A I1 z 10 Ω 53
Impedancia de transferencia
z 13=
Δ z 2000 = =100 Ω Δ13 20 z tr =
V1 V 50 V =¿ I 1= 1 = =0.5 A I1 z tr 100 Ω
54
En el circuito de la figura obtener I1 mediante de impedancia de entrada, encontrar I3 mediante la impedancia de transferencia. -j2
5
+
j6
+
I1
3
I2
5
I3
2
+
-
-j2
|
|
8−2 j −3 0 Δ z= −3 8+5 j −5 =303+88 j=315.52∠ 16.2 0 −5 7−2 j Impedancia de entrada
z=
Δz 315.52∠16.2 = =7∠−8.7 Δ11 45.18∠ 24.86
z=
V1 V 10 ∠ 30 =¿ I 1= 1 = =1.43 ∠38.7 I1 z 7 ∠−8.7
Impedancia de transferencia
z 13=
Δz 315.52 ∠16.2 = =21.03∠ 16.2 Δ13 16
z 13=
V V 10 ∠ 30 =¿ I 3 = = =0.48 ∠ 13.8 I3 z 13 21.03 ∠ 16.2
55
POTENCIA ELÉCTRICA
En la mayoría de los dispositivos eléctricos uno de los parámetro más importante es la potencia y es importante saber la potencia suministrada por u alternador, la potencia consumida por un motor eléctrico, la potencia emitida por una emisora d radio. El producto de la tensión V(t)*I(t) se conoce como potencia instantánea La potencia puede ser positiva o negativa según los instante de tiempo que se considere La potencia es positiva cuando la transferencia de energía de la fuente a la red. La potencia es negativa cuando no hay una transferencia de energía de la fuente a la red
P=V(t)*I(t) Potencia instantánea
+ -
Circuito pasivo
Potencia activa
P=V ∗I∗cos θ P=V ∗i=V m∗im
(
P=V ∗i=V m∗im ( sin ωt ) sin ωt−
(
sin ωt−
π =−cos ωt 2
)
sin 2 x=2sin x cos x
p=
−1 V ∗i sin 2 ωt 2 m m
56
π 2
)
(
P=V ∗i=V m∗im ( sin ωt ) sin ωt+
π 2
)
1 P= V m∗i m sin 2 ωt 2 Si
sin α cos β =
cos α =cos α
cos θ−cos ( 2 ωt +θ ) 1 p= V m∗i m ¿ 2 p=V e ie cos θ
Potencia aparente S=V*i Va=voltio*amperio
Potencia reactiva (Q) [VAR] Q=Ve*Ie *sin θ Q=potencia reactiva [VAR] Triángulo de potencia Inductivo
Capacitiva
57
1 [cos ( α −β )−cos ( α + β ) ] 2
Potencia compleja S=V*I* Si V=V*ejα I=Y*ej (α+θ) S=V*ejα·I*e j (α+θ)
S ±cos θ − ⏟ jVI sin θ ⏟ =V⏟ S
P ⏟
jQ ⏟
real
imaginaria
S=P ± jQ Resumen P activa=VeIecosθ = R*I2=V2r/R=Re [V*I*] Q reactiva= VeIesinθ=x|I|2= V2x/x=Im[V*I*] S aparente=V*i=Z |I|2=V2/z
F . P=
R
=
P
|Z| |S|
F. P factor de potencia
F . P∗cos θ=
P S
La potencia reactiva Q es positiva cuando la impedancia es inductiva y negativa cuando es capacitiva La potencia compleja o aparente se la puede representar en forma trigonométrica
Corrección de factor de potencia En algunas aplicaciones de los circuitos eléctricos, especialmente en los casos de sistemas industriales es necesario hacer correcciones en el factor de potencia
En el triángulos de factor de potencia vista anteriormente S la potencia aparente es la medida de la carga des sistema de distribución, la p es la potencia activa o real es la medida de la potencia útil utilizada. En el caso normal de un campo inductivo es posible corregir le factor de potencia F.P. mediante la conexión de capacitores en paralelo con las cargas. 58
Lo que interesa es que S se aproxime lo más posible a P es decir que el ángulo sea muy pequeño si es posible a 1. Determinar el triángulo de potencia del circuito en serie, representar gráficamente el triángulo de la potencia.
3
+
I
Z=3+j4 V=50∟-90 V=5∟53.1
J6
-
+
V 50 ∠−90 - j 2 I= = =10 ∠−143.1 z 3+ j 4
S=V·I* S=300.2+400j P=300 [W] Q=400 [VAR]
59
Sistemas polifásicos Está formado por dos o más tensiones iguales con diferencia de fases constante que suministran energía a las cargas conectados en líneas.
Sistemas bifásicos Se le conoce como un sistema de 2 fases y se características por su diferencia de fase entre tensiones de 90 o o π/2.
La rotación del par de bobinas perpendiculares del campo magnético constante da lugar a tensiones inducidas con un desfase constate de 90o Se cumple si solo si las bobinas tienen el mismo número de espiras los factores de tensiones y las tensiones instantáneas tienen valores iguales.
V BN =V bobinas ∠0
o
o
V AN =V bobinas ∠ 90
El diagrama fasorial de tensión
Si se unen los extremos A’ y B’ de la bobina que constituye la línea n, el sistema bifásico constara con tres hilos A, B, N La tensión compuesta entre la línea o fases A y B e superior a la tensión simple entre una línea y un neutro por los tanto.
;
V AB=√ 2 V bobina ∠ 135
o
135o 45o 90o
A
A'
B'
N
60
B
Sistemas polifásicos Se produce cuando tiene 3 bobinas igualmente espaciadas, las tensiones inducidas en la 3 bobinas presentan un desfase de 120o. La secuencia ABC en sentido antihorario a las manecillas del reloj los fasores pasan por un punto fijo ABC, ABC Secuencia ABC
120
Secuencia CBA
Según el esquema teóricamente (maquina) en la práctica se presenta limitaciones que se oponen a su utilización por ello es el campo magnético es que gira mientras el devanado permanece fijo. Sistemas polifásicos A
A
O
O
A'
B
O
O
B'
C
O
O
C'
B
L1 1m L3 1m
C
A0
Conexión en estrella
A
A
O
O
A'
B
O
O
B'
C
O
O
C'
A’ C
Tensiones en el sistema trifásicos
61
B
L1 1m
L2 1m
L3 1m
Conexión en triangulo
C’
B’
Secuencia ABC
V AB=V L ∠ 120
o
V BC =V L ∠0 o V CA =V L ∠ 240
V AN = V BN =
V CN =
VL
√3
∠−30
o
VL ∠ 90 o √3
o
VL ∠−150 o 3 √
Secuencia CBA o
V AB=V L ∠240 V BC =V L ∠0 o
V CA =V L ∠120o
V AN =
V BN = V CN =
VL
√3
∠−90
o
VL ∠ 30o √3 VL
√3
∠ 150
o
En una carga equilibrada conectada en triángulo la tensión compuesta entre líneas y la simple desfase son iguales y la corriente en cada línea es
√3
veces mayor a las líneas de fases I
En las cargas equilibrada conectada en triángulo la In en las líneas y en las fases son iguales I L=IF, la corriente en le neutro es 0 y la tensión compuesta entre líneas es decir VL=
62
√3
VF.
√3
veces mayor que la tensión simple de fase, es
Misceláneo 1. Números complejos a. Suma y diferencia de números complejos Hallar
z 1+ z 2 ; z2− z1 z1=5-j2 z2=-3-j8
5− j 2 −3− j 8 2− j 10
−3− j 8 −5+ j 2 −8− j 6
b. Multiplicación de números complejos Dado z1=2+j3; z2=1-j3; z3=2-j4
2− j3 1− j3 2+ j 3 −2 j 3− j 2 9 1− j3+ 9 11− j 3
11− j 3 2− j 4 22− j 6 − j 44+ j 2 12 22− j50−12 10− j50
c. División de números complejos Dado z1=5-j10; z2=3+j4 a. Hallar el cociente de los números complejos b. Transformar a forma polar
5− j 10 ∗3− j 4 z 1 3+ j 4 15−5 j 4−3 j 10+ j 2 40 25−5 j 4−3 j10−40 25− j 20− j30 −25− j50 = = = = = =−1− j 2 z2 3− j 4 9+16 25 25 9− j 2 16 z=2.23 ∠−116.56 z=243.44 z=223 ∠ 244o
63
o
2. Relación entre los elementos activos y pasivos en los circuitos eléctricos a. Potencia media, instantánea
En los bornes de una bobina pura de autoinducción L=0.02 se aplica una tensión de V (t)=150sin[100t] [V] encontrar la corriente i(t) la potencia instantánea y la potencia media
i (t )=
1 V dt L ∫ (t )
i(t )=
1 150 sin1000 t dt 0.02 ∫
i(t )=
150 sin 1000t dt 0.02 ∫
i (t )=
150 (−cos 1000 t ) 0.02∗1000
i (t )=7.5 cos 1000 t p=V(t)*i(t) p=150sin(1000t)*7.5sin(1000t)
1 sin ∝cos ∝= sin 2 ∝ 2
p=-562.5 sin(2000t) [W] T
p=
1 ∫ pdt T 0
w=2πf
π
1 p= ∫ −562.5sin (2000 t) dt π 0
w=2π/T
π
p=
−562.5 ∫ sin(2000 t) dt π 0
2000 t cos ¿ −562.5 p= ¿ π p=0 [W]
T=1/f
T=1/60H=1/60rad/seg
T=0.016 seg=> 16.6ms
En el intervalo 0>t>5πms, una condensador de 20µF tiene una tensión de V (t)=50sin (200t)[V]. Calcular la carga, la potencia instantánea la intensidad y la energía considerar w=0, t=0
q= C*V(t) q= (20µF) (50sin (200t)) q= 1mC sin (200t)
i (t )=C
dv dt
64
t2
w=∫ p dt t1
t2
dv i(t )=C(50sin (200 t )) dt
w=∫ 5 sin 400 t dt t1
i(t )=(20∗10−6 F)(50 sin(200 t))
dv dt
w=
−5 cos 400 t +C 400
5 cos 400 t +C 400
i(t )=(20∗10−6∗50∗200)(cos (200 t))
0=
i (t )=0.2 cos 200 t
C=
5 cos 400 t +C 400
cos 400( 0) 1 +C=¿ + C=¿C 400 400 0=C−
p=V(t)*i(t) p= 50 sin ( 200t )∗0.2cos 200 t
p=
10 sin 400t [W ] 2
5 cos 400t 400 w=
5 5 cos 400 t − 400 400
w=
5−cos 400 t 5 = (1−cos 400 t) 400 400
p=5 sin 400 t [W ]
La energía absorbida por in elemento eléctrico viene dado por la curva de la figura, si le voltaje a través de dicho elemento V(t)= 12cos(πt), hallara la corriente en los instante t=1ms t=6ms W (mj)
W=y t (ms) t=x Intervalo de 0-2
y− y 1=m(x −x1 )
p=
dw dt
i(1)=
p v
w−0=4 ( x−0 )
p=
d 4t dt
i(1)=
4w 12 cos πt
i(1)=−0.33[ A]
w=4 x w=4 t
65
p=4 w
i(1)=
4w 12 cos 180∗1
Intervalo de 2-5
y− y 1=m ( x−x 1 )
p=
dw dt
w−8=0 ( x−2 )
p=
d4 dt
p=0 [W ]
w=8 Intervalo de 5-7
y− y 1=m ( x−x 1 )
p=
dw dt
i(6)=
p v
w−8=6 ( t−5 )
p=
d (6 t−22) dt
i(1)=
6w 12 cos πt
w−8=6 t−30
p=6 [W ]
w=6 t−22
66
i(1)=
6w 12 cos 180∗6
i(1)=−0.5 [ A]
La corriente que entra por el terminal t de una bobina de 10[V] varia linealmente de 3 a 9 milisegundos en el intervalo de t= (0-15ms) a. Cuanta carga pasa por la bobina durante los primeros 10 ms b. Cuál es la potencia desarrollada por la batería en t= 5ms mA
y=i(t)
t (ms)
t2
q=∫ i(t ) dt
y− y 1=m ( x−x 1 )
t1
m=
y 2− y 1 x 2−x 1
m=
9 mA−3 mA 6 mA = 15 ms−0 ms 15 ms
i−3=0.4 ( t−0 ) i−3=0.4 t
m=0.4
i=0.4 t−3
10
q=∫ ( 0.4 t +3 ) dt
p=V*i
0
p= (10V)*(0.4t+3) 10
10
q=∫ 0.4 tdt +3 ∫ dt 0
p= (10V)*(0.4 (0.005)+3)
0
2 10
[ ]
0.4 t q= 2
+3[t ]10 0
p=50mW
0
q=20 mC +30 mC q=50 mC 3. Valor medio y eficaz2 a. Gráfica de funciones
Sea la función y=2sin3x a. Graficar b. Encontrar T c. Ciclo
w=3 67 -2
t (ms)
w= 3=
2π T
2π T
T=
2π 3
Sea la función y=2cos3x a. Graficar b. Encontrar T c. Ciclo
w=3 w= 3=
2
2π T
2π T
T=
2π 3 -2
50
b. Ejercicios de aplicación
Hallar los valores medios y eficaz de la forma de onda en diente de sierra d la figura A=Vmax=Vp=50
m=
y 2− y 1 x 2−x 1
m=
50 2
m=25
y− y 1=m ( x−x 1 ) y−0=25 ( t−0 ) y=25 t
68
V RMS =
V max 50 = =28.86 √ 3 √3
√
T
V DC =
1 ∫ f ( t ) dt T 0
V DC =
1 ∫ 25tdt 20
2
T
V RMS 2=
2
1 ∫ f 2 t dt T 0 2
25 V DC = ∫ t dt 2 0
V RMS
2 2
2
1 = ∫ (25 t)2 t dt 20 2
[]
25 t V DC = 2 2
T
1 V RMS = ∫ f 2 t dt T 0
V RMS2=
0
V DC =25
V RMS
625 ∫ (t)2 t dt 2 0 2
[]
625 t 3 = 2 3
2
0
V RMS =√ 833.33 V RMS =28.86
4. Análisis de circuitos a. Dominio del tiempo( y circuitos en serie
En un circuito serie R-L siendo L=0.02H y la impedancia z=17.85Ω aplicando una corriente sinuodal que circula esta retrasada a un ángulo de θ=63.4o. Hallar W y R
Z=17.85Ω
WL
XL=WL W=Xl/L W=15.96/0.02 W=798
Cos 63.4o=R/17.85 R= (Cos 63.4o)(17.85) R=8Ω
63.4o
R
WL=17.85*sin(63.4o) WL=15.96 WL=XL=15.96
En el circuito en serie R-L se tiene una resistencia R=20Ω y una inductancia L=0.06H, se retrasa de la corriente con respecto a la tensión 80o encontrar la pulsación
cos 80= Z
WL
80o 69 R=20Ω
20 Z
z=
20 cos 80
Z =115.18
z=√ R2 +W 2 L2 W=
√ √
Z 2−R 2 L2
115.82 −202 W= 0.062 W =1890.4
rad seg
rad∗360o 1890.4 =108313.5 o 2 πrad
2 elementos puros de un circuito serie tienen la siguiente corriente y tensión (500t+10) [V] e i=13.42 sin (500t-53.4) [A] determinar dichos elementos
V=150 sin
V=150 sin (500t+10) [V] R
V=150sin(500t+10)[V]
+ -
? i=13.42 sin (500t-53.4) [A]
tan −1 θ=
V=I*R
tan −1 63.4=
V=I*Z
I 150 Z= = V 13.42 Z=11.17
2=
2R=WL 2R=500L R=250L R=7.89Ω
WL R WL R
Z =√ R 2+(WL)2 Z =√(250 L)2 +( 250 L)2
WL R
Z=353.55L
L=
11.17 353.55
L=0.03H L=30mH
En un circuito serie RCL tiene los valores R=150Ω; L=0.08H; C=30µF La tensión aplicada es de una pulsación de W=500rad. Halla el ángulo de fase de la corriente respecto a la tensión e indicar que elemento predomina.
70
XC= (WC)-1 XC= (500*30*10-6)-1 XC= 66.67
XL=WL XL= (500) (0.08) XL=40
15
+ 0.08H -
WL< ((WC)-1 θ= (-) predomina la capacitancia
WL− −1
tan θ=
30uF
θ=−60.64
o
1 WC
R
√
(
Z = R 2+ WL−
1 WC
2
)
Z =30.59Ω
Vmax imax -imax -Vmax
A un elemento eléctrico se le aplica un diferencia de potencial de V=5 sin (2500t-30) [V] y circula una intensidad de corriente i=2.5 cos (2500t-30) [A] identificar que elemento es, su valor y su gráfico. 5 2.5
-2.5 -5
i=
Vm XC
i=
Vm XL
i=2.5 cos(2500t−30+ 90) i=2.5 cos(2500t +60)
71
i=
i=2.5 cos(2500t−30)
2.5=
Vm XC
5 1 2500∗C
2.5= (2500) (5) C
2.5=12500C
C=0.2mF
b. Notación fasorial
Construir los diagramas fasoriales y de impedancia además determinar las constantes del circuito para la tensión y la corriente siguiente: V=150sin (5000t+45o) [V] I=3sin (5000t-45o) [A]
V=
Vm 150 ∠ θ=¿ ∠θ √2 √2
V =106 ∠ 45o [ V ]=74.95+ 74.95 j i=
3 ∠ −15o =¿ 2.12∠−15o =2−0.5 j[ A ] √2
z=
V 106 ∠45o = =50 ∠ 60=25+ 43.3 j[Ω] i 2.12 ∠−15 o
R=25Ω L=X XL=WL
Z =√ 43.32 +252
43.3=5000L
Z =50
L=
43.3 43.3 tan−1 θ= 5000 25
L=8.66mH θ=60o L=0.08H Diagrama de impedancia
60o
Z=
43.3
Diagrama fasorial
50
V
45o 25
72
-15o i
A un circuito serie RC con R=20Ω, C=5µF se le aplica una tensión de V=150cos (10000t) [V]
z=R− j
11111
( wC1 ) 20
z=20−20 j
150
+
V=150cos(10000t)
-
o
z=20 √ 2∠−45
+
-
z=20-20j
5uF o
z=28.28 ∠−45
XC=
1 WC
XC=
1 −6 10000∗5∗10
X C =20 20 45o .28 28 Z=
-20
40 Z=
Un circuito serie de dos elementos R=20Ω, L=0.02h tiene una impedancia compleja WL
el argumento y la frecuencia en Hz o cps. R=20Ω 60 L=0.02H
z=40 ∠ θ
R=20Ω
z=20+ j20 √ 3 z=20+ j34.64
w=2 πf f=
w 2π
f =275.66 Hz
cos θ=
20 40
73
z=40 ∠ θ . Hallar
Im -Im
θ=60
sin 60=
WL 40 Vm
40∗sin 60 W= 0.02
-Vm
W =1732.5
Construir los diagrama fasoriales entre impedancia y función
tanto
para
la
tensión
y
la
determinar las constante del circuito para la corriente
i=15.15 sin(2500 t−145o ) [A]
V=
Vm ∠θ √2
I=
V=
311 ∠ 170 o √2
V=
V =219.91 ∠ 170o
Im ∠θ √2
Z=
15.5 ∠−145o √2
219.91 ∠170o Z= 10.96 ∠−145o
V =10.96 ∠−145o
V =−216.569+38.18 j
V =−8.97+6.28 j
V I
Z =20.06∠−45o Z =14.18−14.18 j
R
Z
+
170o
R
+
145o
I
XC=
1 WC
X W (¿¿ C ) 1 C= ¿ C=
1 (2500)(14.14)
C
cos 45=
R Z
R=cos 45(20.06)
R=14.14 Ω
C=28.28 µF 45o
74 10o
V =311 sin (2500 t+170o )
[V],
-14.14
Capacitancia
Z=2 0
.06
R=14.14Ω
75
A un circuito en serie con resistencia R=10Ω y un inductor c=50µF se le aplica una tensión de cuya frecuencia es tal que la corriente se adelanta 30 o respecto a la tensión a que la frecuencia la corriente estaría adelantada 70o, W=2πf f=60Hz W=120π 10 + R 30o
-
Z
tan−30=
XC R
XC= W=
X C =−5.77
XC
70o Z
50uF
1 WC
tan−70=
1 W XC
XC
XC R
XC=
W=
X C =−27.47
W =3466.2
1 W XC
W =728.06
W =2 πf
f=
1 WC
W =2 πf
3466.2 2π
f=
f =551.66 Hz
728.06 2π
f =115.87 Hz
Expresar cada una de las siguientes tensiones en notación fasorial y construir el diagrama de impedancia si
V 1=212 sin( wt +45 o) wt −45o ¿ 120o ¿ V 4 =85 cos ¿
60.1
45o
Vm o o V´ 1= ∠ 45 =¿ 149.9 ∠ 45 =¿ 106+106 j √2 V V´ 2= m ∠ 90 o=¿ 100 ∠ 90o=¿−100 j √2 149.9
90.01
V 5=141.4 sin (wt +180 o)
180o -100
-100
V 2=141.4 sin (wt −90o )
V´ 3=127.3 cos ( wt +30+90 ) V´ 3=127.3 sin(wt +120)
76
wt +30 o ¿ ¿ V 3=127.3 cos ¿
V V´ 3= m ∠120o =¿ 90.01∠120 o=¿−45+78 j √2 V´ 4 =85 cos ( wt −45+ 90 ) V V´ 4 = m ∠45o =¿ 60.1∠ 45o=¿ 42.5+42.5 j √2 V V´ 4 = m ∠45o =¿ 100∠180 o=¿−100 √2
77
Hallar el fasor de tensión de un circuito según la figura
V =200 ∠45 o [V ] y la intensidad de corriente
o
I =10 ∠15 [ A ] . Encontrar la impedancia, admitancia, resistencia, reactancia, conductancia y la
de
suceptancia.
V =200 ∠45 o=141.42+141.42 j I =10 ∠15 o=9.65+ 2.58 j
z=
V 200 ∠45 o = =20 ∠30o=17.32+10 j o I 10 ∠ 15
y=
I 10∠15 o o = =0.05 ∠30 =0.04−0.025 j V 200∠ 45o R Z
tan 30 =
R=17.32 Ω
X L=10Ω
o
cos 30 =
o
WL R
Cuando la impedancia z=3+4j hallar la admitancia correspondiente, resistencia, reactancia, conductancia, suceptancia y comprobar los valores.
5
+ V
4
-
53.1o 3
R=3 Ω
z=( 3+ 4 j )
x=4 Ω
−1
y=0.12+0.16 j
G=
R R +x 2
B=
−x R2+ x2
G=
3 3 +4 2
B=
4 3 +4 2
2
2
78
2
R=
G 2 G +B
x=
−B 2 2 G +B
R=
0.12 2 2 0.12 +0.16
x=
−0.16 2 2 0.12 + 0..16
2
G=0.12 ℧
B=−0.16 j
c. Circuito serie-paralelo
En el circuito serie de la figura encontrar la impedancia equivalente (Zeq) e intensidad (I), determinar que las sumatoria de las caídas de tensión es igual a fasor l tensión aplicada, realizar el diagrama fasorial de V vs I , diagrama de impedancia, diagrama fasorial del voltaje. 3j
+
V1
-
+
-
+
4
V2
-6J
Z=4+3j-6j
I =16+12 j
Z=4-3j
I =20 ∠36.86o
+ V3 -
-
Z=Z1+ Z2+ Z3
V 100 ∠0o I= = Z 5 ∠−36.86 o
Z =5∠−36.86 o
V1=I*Z1 V1= (16+12j) (4) V1= 64+48J
V2=I*Z2
V3=I*Z3 V2= (16+12j) (0+3j) V2= -36+48j
V3= (16+12j) (-6j) V3= 72-96j
VT=V1+V2+V3 VT= 64+48J-36+48j+72-96j
V T =100∠0
o
Diagrama fasorial (V vs I)
Diagrama de impedancia
20
3j
36.86o
4+0j 100
-6j
En el circuito paralelo de la figura, hallar las intensidades de corrientes en cada rama (I) como la intensidad total, construya el diagrama fasorial de la intensidad, calcule la Zeq, a partir Z vs I y comparar. I2
I1
3 50∟0o
+ 10 -
ZI=3-j4 79
-j4
ZI=5∟53.1o
Z I∗10 Ω (5∠−53.1)(10) 50 ∠−53.1o 50 ∠−53.1o Z eq = = = = =3.67 ∠−36 o o Z I + 10Ω 3− j 4+ 10 13− j 4 13.6 ∠−17.1 V =I 1 Z 1 I1 =
V 50∠ 0o o = =6+ j 8=10∠53.1 o Z 1 5 ∠−53.1
V 50 ∠0o I2 = = =5 ∠0o Z2 10
IT =
V 50 ∠0o o = =13.6 ∠ 36 Z eq 3.67 ∠−36o
5. Análisis de circuitos a. Forma matricial
Dado el circuito de a fig. Encontrar I1, I2 y la potencia suministrada por la fuente V=50∟0o y la potencia disipada en las resistencias de 3Ω y 10Ω 10 3 +
50∟0o
-J5
-
[
][ ] [
10− j 5 j5 I 1 50 ∠ 0o = j5 3− j I 2 0
[
o
J4
]
]
50 ∠ 0 j5 0 3− j 150−50 j o I1 = = =2.8+ 0.4 j =2.8∠ 8.13 ΔZ 50−25 j
[
]
10− j5 50∠0 o j5 0 250 j I2 = = =−2+4 j=4.47 ∠ 116.56o ΔZ 50−25 j P=VI cos θ
80
2.89(cos 8.13) 50 ¿ P=¿ P=138.6 W 2
2
P=I R
P=I R
P=( 4.47 )2 (3)
P=( 2.8 )2 (10)
P=59 W
P=80 W
Psuministrada=Pdisipada 138.6W=80W+59W 139W=139W
81
En el circuito de la figura hallar las intensidades IA, IB, IC. IA
| ||
I1
|
o −3+ 4 j I 1 = 220 ∠ 120 ∆ z= 6−8 j 220∟120o o −3+ 4 j 6−8 j I 2 220 ∠0
|
IB
3-4j Z2
|
o
220 ∠ 120 −3+4 j o 220∟0o 220 ∠ 0 6−8 j I1 = =20.32+15.24 j Δz IC
I 1 =25.4 ∠143.1o
|
|
6−8 j 220∠ 120 o o −3+ 4 j 220∠0 I1 = =25.4 ∠ 83.1o Δz I 1 =I A =25.4 ∠ 143.1o I B=I 2−I 1=25.4 ∠83.1o −25.4 ∠143.1o I B=25.4 ∠23.1
o
o
I C =−I 2=−( 25.4 ∠23.1 ) Negativo desfasa I respecto a V 120o 23.1-120=96.9
I C =25.4 ∠96.9o
82
Z1
3-4j
Δz=−21−72 j
|
3-4j
Z3
I2
6. Potencia eléctrica Trazar el triángulo de potencia cuya impedancia es de z=3+j4 [Ω]. Al que se le aplica un factor de voltaje de V=100∟30o. encuentre S, P y Q.
V 3+ j 4 I= = =20 ∠−23.3 z 100 ∠30
30o 23.3o
53.3o
S=V*I* S=100∟30o·20∟23.3o S=2000∟53.3o S=1195.2+1603.5J P=1195.2 [W] Q=1603.5 [VAR] P=R|I|2=3Ω*(20)2=1200 [W] Q=x|I|2=4Ω*(20)2=1600 [VAR] S=z|I|2=5Ω*(20)2=2000 [VA]
F . P=
P 1200 W = =0.6 cos−1 0.6=53.1 |S| 2000 W
Se desea corregir el factor de potencia a 0.9, encontrar las nuevas constante de potencia.
cos 25.84= S=1333 [VA]
1200 S
tan 25.84=
Q=581.13 [VAR]
QReal=1600 [VAR]-581.13 [VAR] QR=1018.8 [VAR]
83
Q 1200
Determine el triángulos de potencia de cada rama del circuito en paralelo, obtener el circuito completo y encontrar el diagrama del triángulo de potencia.
z eq=
4 ∠ 30∗5∠60 4 ∠ 30+5 ∠ 60
z eq=2.3 ∠ 43.3 z eq=1.67+ 1.57 J
I=
20∠ 60 2.3 ∠ 43.3
I =8.7 ∠16.7
I 1 =5∠30 [ A ]
I1 =
V z1
I2 =
V z1
I1 =
20 ∠ 60 4 ∠30
I2 =
20 ∠ 60 5 ∠ 60
I 2 =4 [ A ]
P1=V ∗I ∗cos θ
P2=V ∗I ∗cos θ
P1=( 20)(5)(cos 30) P1=86.6 [W ]
P2=40[W ]
S 1=V ∗I ¿
S 2=V ∗I ¿
S 1=( 20 ∠ 60 )∗(5 ∠−30)
S 2=( 20 ∠ 60 )∗4
S 1=100 ∠ 30
S 2=4[ A]
Q1=50[VAR ]
Q2=69.82[VAR]
84
Trace el diagrama de potencia de un circuito cuya tensión es de V=150 sin (ωt+10 o) y cuta intensidad de corriente es i=5 sin (ωt-50o)
V RMS =
150 =106.06 √2
V RMS =
5 =3.54 √2
P=187.72 [W]
S=V ∗I ¿ S=( 106.06 ∠ 10 )∗(3.54 ∠−50) S=375.45 ∠60
sin 60=
Q S
Q=325.19 [VA] Encontrar sus elementos y sus valores
z=
V 106.06 ∠ 10 = I 3.54 ∠−50
Z =15+25.9 j
R=15 Ω L=25.94 H
85
NÚMEROS COMPLEJOS Es el conjunto de números reales se los puede representar en una recta que se llama eje real y es el conjunto de puntos sucesivos.
Números imaginarios: es el número real negativo y se lo representa en un eje imaginario ejemplo
√ −1
√ −2 .
El conjunto de los números reales además tienen como subconjuntos al de los números reales y al de los números imaginarios. Unidad Imaginaria:
j 3= j 2∗ j j 4= j 2∗j 2
1 j=√ −1 2
j 2=( √ −1) 2
j =−1
j 3=−1∗j j 4 =−1∗−1 3
4
j =− j j =1
# Complejo:
Z=x+jy Unidad imaginaria 2do componente parte real 1er componente parte real Modulo
Forma de representar números reales y números complejos Se necesita un eje real y un eje imaginario perpendicular al eje real. Z3 Z6=3+j5 Z1 Ejemplo: Z4=-3+j2 Representar los números complejos de acuerdo a sus ejes de coordenadas Z1=4 Z5=-4-j4 Z2=2-Z3 Z3= j4 Z4=-3+j2 Z5=-4-j4 Z6=3+j5 86
Z2=2-Z3
,
Formas de expresar números complejos: En circuitos eléctricos se utiliza la notación polar y binomica cuando se habla de tensión, intensidad e impedancia.
1. Forma trigonométrica o binomica. 2. Forma polar o STEINMETZ.
z=r(cos(θ)+jsin(θ)) (z=r ∠ θ)
3. Forma Exponencial.
z=rejθ
Trigonometría z=x+jy
y sin θ= =¿ y=sin θ r r
r
jy
θ x
x cos θ= =¿ x=cos θ r r z=x+jy z=cos(θ)r+jsin(θ)r z=r (cos(θ)+jsin(θ))
Conjugado de un número complejo
En el plano complejo, el conjugado (
−¿ o z ´z o z ¿ ) de una numero complejo Z es siempre simétrico de Z respecto
al eje real. Forma Binomica:
z=x + jy
´z =x− jy
Forma trigonométrica:
cos ( θ ) + jsin(θ) ´z =r ¿
cos ( θ ) − jsin(θ) ´z =r ¿
Forma Polar:
z=r ∠θ
´z =r ∠−θ
Forma exponencial:
z=r e
jθ
87
´z =r e− jθ
Ejemplo: 1. Dado el numero complejo z=4+j3 a. Escribir en forma trigonométrica, polar exponencial b. Para cada caso determinar el conjugado de z
y 3 sin 36= =¿ r = r sin 36 5 θ 4
J3
z=5(cos 36+ j sin 36)
Trigonométrica
´z =5(cos 36− jsin 36) z=5 ∠36
´z =5 ∠−36 z=r e j 36
o
´z =r e− j 36
o
Suma y diferencia de números complejos (solo en forma rectangular) z 1=a+ jb
z 2=c + jd
z 1+ z 2=( a± c ) + j(b ±d ) z 1+ z 2
z 1−z 2
a+ jb c + jd ( a+c ) + ( jb + jd ) ( a+ c )+ j (b+ d)
a+ jb −c− jd ( a−c ) + ( jb− jd ) ( a−c ) + j ( b−d)
Multiplicación de números complejos z 1=a ± jb
z 2=c ± jd
z=( ac−bd ) + j ( ad +bc )
88
z 2−z 1 c+ jd −a− jb ( c−a ) + ( jd− jb ) ( c−a ) + j ( d−b)
a+ jb c + jd ac +cjb +ajd + j 2 bd ac+ cjb+ ajd−bd ( ac−bd ) + j (cb+ ad)
Polar
Exponencial
z 1=r 1 ∠θ 1
z 2=r 2 ∠ θ 2
z 1=r 1 e j θ
z 2=r 2 e j θ
1
j θ1
z 1∗z 2=r 1 ∠ θ 1∗r 2 ∠θ 2
z 1∗z 2=r 1 e ∗r 2 e
z 1∗z 2=r 1 r 2 ∠ θ1 +θ2
θ ¿ j(¿ 1+θ2 ) z 1∗z 2=r 1 r 2 e ¿
Ejemplo Dado z1=2 ∠ 30 z2=5 ∠ -15 z1*z2=10 ∠ -15 Dados los siguientes números complejos z1=5ejπ/3 z2=2e-jπ/6 z1*z2=5ejπ/3*2e-jπ/6 z1*z2=5ej60º· 2e-j30º z1*z2=10ej30º División de números complejos
z 1=a+ jb
z 2=c + jd
z 1 ac+ bd+ j(bc−ad) = z2 c2 +d 2 a+ jb ∗c− jd ( a+ jb ) ( c− jd ) ac+ bd+ j(bc−ad) c + jd = = 2 2 2 2 2 c− jd c −j d c +d
89
j θ2
2
