6
1 3 · El movimiento Formula VAM AMOS OS A CO CONO NOCE CER… R… 1. Siste Sistema ma de referenci referencia a 2. ¿Qué es es el movimiento movimiento? ? 3. La traye trayector ctoria ia 4. Magn Magnitude itudess vecto vectoriale rialess 5. Distancia recorrida y vector vector desplazamiento 6. Ve Velocida locidad d media media 7. Movi Movimient miento o rectilíneo rectilíneo uniforme 8. La acele aceleraci ración ón 9. Movi Movimient miento o rectilíneo rectilíneo uniformemente acelerado 10. Caída libre libre 11. Movimiento circular uniforme uniforme
¿QUÉ ¿Q UÉ SA SABE BESS DE ES ESTO TO?? 1. Un automóvil pasa a las once de la mañana por el km 15 de una carreter carretera. a. Si al mediodía está en el kilómetro 90, ¿cuál fue su velocidad? Expresa esa cantidad en unidades del SI. 2. De las siguientes gráficas, señala la que describe mejor tu actividad en un día de clase, desde que sales de tu casa por la mañana hasta que regresas a primera hora de la tarde. Distancia recorrida
8h
tiempo
Posición respecto a tu casa
15h
8h
tiempo
Posición respecto a tu casa
15h
8h
tiempo
Distancia recorrida
15h
8h
tiempo
15h
3. Si dejas caer una hoja de papel arrugada y otra lisa desde una cierta altura, ¿cuál cae antes? ¿Por qué?
Primeros versos de la Iliada (I 1-7) Canta, diosa, la cólera del Pelida Aquiles funesta, pues que tantos males a los aqueos causó y muchas almas valerosas mandó de cabeza al Hades de héroes, a quienes hizo presa de los perros
La Ciencia que estudia el movimiento de los objetos se denomina Cinemática . Y se puede decir que la Física nace cuando el científico italiano Galileo Galilei descubre descubre,, en el siglo XVII, la ley que rige la caída de un objeto en la superficie de la Tierra. En esta unidad didáctica se definen las magnitudes que describen el movimiento de los objetos sin entrar en las causas que los producen. Y
Física y Química
8
Y
1. Sistema de referencia
AP-7
En el transcurso de un viaje se suele preguntar por la distancia que se ha recorrido, por la que falta por recorrer, si se va deprisa o despacio o a la hora que se llegará a un determinado lugar.
km
Para contestar a esas preguntas, y en general en el estudio del movimiento, se deben relacionar las distancias y los lugares que ocupan los objetos con el tiempo transcurrido.
225
En primer lugar hay que situar a los objetos y para ello hay que relacionarlos con otros objetos que se eligen como referencia. d
Los hitos kilométricos de las carreteras y autopistas indican la distancia desde el punto elegido como km 0. a
d
Un sistema de referencia es un punto o un conjunto de puntos respecto de los que se localiza un objeto.
Posición es el lugar que ocupa un objeto respecto de un sistema de re-
ferencia. Un punto se puede situar sobre una línea, sobre el plano o en el espacio. En todos los casos hay que elegir otro punto respecto del que se describen las posiciones denominado origen del sistema de referencia. Para localizar un punto en una línea recta, en el plano o en el espacio se utiliza un sistema de referencia cartesiano. d
Un sistema de referencia cartesiano son unos ejes de coordenadas que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
Para la descripción del movimiento se necesita conocer el instante en el que un objeto ocupa una posición determinada, y por ello también hay que elegir un origen para el tiempo. En general, el origen de tiempo coincide con el instante en el que comienza la observación. En una dimensión
SISTEMAS DE REFERENCIA En dos dimensiones
0
x
x
x
X
Origen de referencia
P (x,y)
x X
La posición de una partícula en una línea recta se fija con una única coordenada, x, que indica la distancia desde el origen del sistema de referencia hasta el punto considerado.
y
O
y
O
Origen
La posición de un punto en una línea curva se determina con una única coordenada, e, que indica la distancia, siguiendo la línea, desde el punto elegido como origen del sistema de referencia.
Y
Y
e
O
En tres dimensiones
Para localizar un objeto en un plano se precisan dos coordenadas (x, y), que expresan la distancia desde dos ejes de coordenadas hasta el punto considerado
P (x,y,z) z
X
Z
Un punto en el espacio se localiza con tres coordenadas (x, y, z), que son igual a las distancias desde los tres ejes de coordenadas hasta el punto considerado.
1 · El movimiento
9
2. ¿Qué es el movimiento? En la siguiente figura se observa un tren que pasa frente a una estación
a
El estado de movimiento depende del sistema de referencia.
Si se pregunta a unos viajeros, sentados en sus asientos, sobre su estado de movimiento, contestan que no se han movido durante todo el viaje. Sin embargo las personas situadas en el andén observan que se alejan cada vez más. Entre las dos afirmaciones hay una contradicción, que desaparece al acompañarlas de la correspondiente referencia. Los viajeros se alejan respecto d e la estación, pero están en reposo unos respecto de los otros. d
El estado de reposo o de movimiento de un objeto depende del sistema de referencia elegido para realizar la descripción.
El asegurar que un objeto se mueve o está en reposo no tiene sentido, si no se añade el sistema de referencia elegido. El estado de reposo o de movimiento de un objeto es siempre relativo respecto a otro objeto, que se utiliza como referencia.
aA
las personas situadas dentro de un medio de transporte les parece que el paisaje se mueve hacia atrás.
El movimiento de la Tierra
Un libro encima de una mesa está en reposo respecto a unos ejes de coordenadas colocados en un rincón de la clase. Si el sistema de referencia estuviera colocado en el Sol: la Tierra, el aula, la mesa y el libro no están en reposo. Así mismo, el Sol se traslada en torno al centro de la galaxia. d
Un objeto está en movimiento cuando su posición, con relación a un sistema de referencia, se modifica a lo largo del tiempo transcurrido. Tanto el estado de reposo como el movimiento son relativos. Uno y otro dependen del sistema de referencia elegido.
No existe ningún sistema de referencia inmóvil, por lo que no se puede conocer la velocidad absoluta de un objeto. Sólo se puede determinar su velocidad respecto a un sistema de referencia.
A la Tierra se la puede considerar en reposo, para describir los movimientos que transcurren sobre su superficie. En la antigüedad se pensaba que la Tierra estaba inmóvil, en el Universo, por lo que se consideraba la posibilidad del movimiento absoluto.
ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Pon ejemplos en los que algún objeto esté en reposo respecto a un sistema de referencia y en movimiento respecto a otro.
Y
Física y Química
10
Y
3. La trayectoria d
La trayectoria es la línea imaginaria que une las sucesivas posiciones que ocupa un objeto respecto del sistema de referencia.
La trayectoria es una línea en un mapa, una carretera, un camino, las huellas marcadas en la nieve o la estela que deja en el cielo un avión reactor. Las trayectorias pueden ser líneas rectas o líneas curvas. Las trayectorias curvilíneas pueden ser circunferencias, elipses, parábolas u otro tipo de curva cualquiera.
a Trayectoria
rectilínea
a Trayectoria
circular
a Trayectoria
curvilínea
4. Magnitudes vectoriales Para localizar con precisión la posición de los objetos, respecto de un sistema de referencia, hay que expresar además del valor numérico y la unidad de esa distancia, la dirección y el sentido en que se encuentran. Esa información la indican las magnitudes vectoriales. d
dirección
módulo
sentido
Un vector es un segmento orientado y se escriben en negrita v o con una v . Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad, la flecha encima aceleración y la fuerza.
de una magnitud vectorial.
El módulo de un vector es el valor numérico de la magnitud, acompañado de la unidad correspondiente y es igual a la distancia desde el origen hasta el extremo del segmento orientado y se representa:
punto de aplicación a Representación
Una magnitud se representa por un vector cuando para su descripción hay que conocer su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.
v = | v|
A
sentido
O
dirección
B
sentido
La dirección es la recta que contiene al vector y el sentido indica hacia dónde se recorre la recta. a
La dirección es la recta que contiene al segmento orientado y el sentido es la orientación del mismo dentro de la recta. En una misma recta hay dos sentidos diferentes. Por ello, dos vectores del mismo módulo pueden tener sentidos distintos y una misma dirección. El punto de aplicación del vector es el origen del segmento orientado. En contraposición con las magnitudes vectoriales, se denominan magnitudes escalares a las que se determinan solo con un número real y una unidad, como por ejemplo: la masa, el volumen, el tiempo y la distancia recorrida.
1 · El movimiento
11
Operaciones con vectores Una de las diferencias más notables entre las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales es el tratamiento matemático al que obedecen.
→
→
a
A las magnitudes escalares se les aplican las operaciones matemáticas convencionales. Sin embargo, al operar con vectores hay reglas y operaciones diferentes que forman el conjunto de la matemática vectorial. Un ejemplo de ello es la suma y la resta de magnitudes vectoriales.
b
→
b →
→
a
a y b , se traslada uno a continuación de otro y el Para sumar dos vectores c , se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del vector suma, a el vector b , basta sumarle al vector a el segundo. Para restar a un vector b , es decir, el vector – b. vector opuesto de
Cuando dos vectores tienen su origen en el mismo punto, entonces el vector suma es la diagonal del paralelogramo cuyo origen coincide con el de los vectores. La otra diagonal es igual a la diferencia.
→
a + b
→
b →
a
→
→
a – b
→ →
a – b
→
b
a Suma
y diferencia de vectores.
Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido, el vector suma tiene la misma dirección y sentido que los sumandos y su módulo es igual a la suma de ambos módulos: c = a + b Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido contrarios, el vector suma tiene por módulo la diferencia de ambos módulos y su dirección y sentido coinciden con los del vector de módulo mayor: c = a – b →
→
b
→
a →
b →
a
→
→
c = a + b
Suma de vectores de la misma dirección y sentido c = a + b
→ →
→
b
→
c
a =
+
b
→
→
→
b
a →
a a
→
→
b
→
c = a + b
Suma de vectores de la misma dirección y sentido contrario c = a – b
→
a
a Suma
de vectores perpendiculares.
Suma de vectores de la misma dirección.
Si los dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo del vector suma se determina aplicando el teorema de Pitágoras, ya que es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos los módulos de los dos vectores sumandos. | c | = c = a2 + b 2
El producto de un número real n por un vector a , es otro vector de módulo n a , su dirección es la misma que la del vector ay veces el módulo del vector su sentido es el del vector a , si n es positivo, y el opuesto, si n es negativo. |n · a | = n · | a| = n · a
→
5a
→
a a Producto
de un vector por un número.
ACTIVIDADES PROPUESTAS 2. En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, dibuja un vector de 3 unidades sobre el eje X y otro de 4 unidades sobre el eje Y , tomando como origen de los vectores el del sistema de referencia. Súmalos gráficamente y calcula el módulo del vector suma.
Y
Física y Química
12
Y
5. Distancia recorrida y vector desplazamiento
Distancia recorrida
Al realizar un viaje o dar un paseo interesa conocer la distancia que se ha recorrido, cuyo valor dependerá del camino que se haya seguido. e B
e A
O Origen de referencia La distancia recorrida se mide sobre la trayectoria. a
Cuando un móvil se traslada entre dos posiciones, puede hacerlo en línea recta o siguiendo cualquiera de las numerosas trayectorias curvilíneas que unen esas posiciones. Para analizar ese cambio de posición que experimenta el móvil se utilizan las magnitudes distancia recorrida y vector desplazamiento. d
Distancia recorrida es la longitud de la trayectoria que sigue un obje-
to entre dos posiciones distintas. La distancia recorrida entre dos posiciones A y B se determina restando los valores de las correspondientes posiciones, expresadas por una coordenada, e, que indica la distancia desde el origen del sistema de referencia siguiendo la trayectoria. distancia recorrida = ∆ e = eB – e A Tal es el caso de la distancia recorrida sobre una carretera, que se calcula restando los valores de los correspondientes puntos kilométricos. La distancia recorrida es una magnitud escalar que se mide en el SI en metros. Un móvil se puede trasladar entre dos posiciones siguiendo numerosas trayectorias. Sin embargo, si el objeto se dirige en línea recta entonces la trayectoria es única. Trayectoria
t o i e n a m z a l s p e D
Desplazamiento
B Trayectoria
A
Para desligar la posición de la trayectoria se define una nueva magnitud denominada vector desplazamiento. Distancia recorrida
d
, es un vector tiene su origen en la posición Vector desplazamiento, ∆ x inicial del móvil y su extremo en la posición final.
O x A Origen de referencia a El
x B Desplazamiento
desplazamiento es la distancia más corta entre dos posiciones.
Si se elige un sistema de referencia con el eje X coincidente con la dirección del vector desplazamiento, entonces se puede prescindir de la notación vectorial y su valor se calcula restando a la coordenada de la posición final, xB, la de la posición inicial x A, acompañadas de su signo correspondiente. ∆ x
= xB – x A
El módulo del vector desplazamiento se mide en el SI en metros.
1 · El movimiento
13
De esta forma, si al recorrer la trayectoria en un sentido el vector desplazamiento tiene un signo, al seguirla en sentido contrario el signo es el opuesto. x inicial = 2 m
∆x = 5 m – 2 m = 3 m x final = 5 m
x inicial = 5 m
∆x = 3 m – 5 m = – 2 m
x final = 3 m
∆x
O
x inicial
d e s p l a z a m i e n t o
∆x
O
x final
x final
x inicial
El desplazamiento es independiente de la trayectoria. a
El vector desplazamiento, entre dos posiciones, es siempre el mismo independientemente de cuál sea la trayectoria que recorra el móvil. Sin embargo, la distancia recorrida depende de la trayectoria seguida. El vector desplazamiento no es solamente una distancia, es una distancia siguiendo un determinado sentido a lo largo de una dirección concreta.
d
La distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento coinciden cuando la trayectoria es una línea recta y no hay cambios en el sentido del movimiento.
ACTIVIDADES RESUELTAS Una pista de scalextric tiene un tramo en forma de semicircunferencia de 1,5 m de radio. Dibuja la t rayectoria y el vector desplazamiento. Calcula la distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento cuando el coche va desde un extremo al otro de ese tramo de pista. La distancia recorrida es igual a la longitud de la semicircunferencia. 2·
Trayectoria
π·R
∆e = = π · 1,5 m = 4,7 m 2
El módulo del vector desplazamiento coincide con el valor del diámetro la semicircunferencia.
∆ x = 2 · R = 2 · 1,5 m = 3 m
Radio = 1,5 m Posición inicial
Desplazamiento
Posición final
Una pelota se lanza rodando contra una pared desde un punto situado a 1 m de una señal realizada en el suelo. Al cabo de un tiempo choca contra una pared situada a 7 m y regresa deteniéndose a 4 m de dicha marca. Representa en un diagrama las posiciones inicial y final de la bola. Dibuja la trayectoria y el vector desplazamiento. Calcula su valor y el de la distancia recorrida. Identificando trayectoria con el eje de coordenadas X y el origen del sistema de referencia en la señal, las posiciones de la pelota y de la pared son:
Distancia recorrida
x inicial = 1 m; x final = 4 m; x pared = 7 m El valor del vector desplazamiento es: ∆ x = x final – x inicial = 4 m – 1 m = 3 m La pelota recorre 6 m hasta que choca contra la pared, para después regresar por el mismo camino y recorrer 3 m hasta detenerse.
∆x
O x inicial
x final
distancia recorrida = 6 m + 3 m = 9 m El módulo del vector desplazamiento y la distancia recorrida no coinciden porque hay cambios en el sentido del movimiento.
x pared
Física y Química
14
6. Velocidad media
∆e
X O
x 1
a Distancia
∆x
Y
x 2
recorrida y vector desplazamiento.
Cuando un automóvil va por una carretera hay que saber si se desplaza y si lo hace deprisa o despacio y, con frecuencia, hay que determinar en qué sentido recorre la trayectoria. Para indicar si un objeto va deprisa o despacio, sin precisar la dirección y el sentido del movimiento, se utiliza la magnitud rapidez media. d
Rapidez media es la relación entre la distancia recorrida por un móvil,
medida sobre la trayectoria, y el tiempo empleado en recorrerla. rapidez media =
distancia recorrida ∆e = ∆t tiempo empleado
La rapidez media es una magnitud escalar y no informa de la dirección y sentido del movimiento. Para especificar tanto la distancia recorrida como la dirección y el sentido en el que se realiza un movimiento se emplea la magnitud vector velocidad media. d
v media, es la relación entre el desplazamiento Vector velocidad media,
realizado por un móvil y el tiempo empleado en efectuarlo. ∆e
O
x 1
∆x
X x 2
El módulo del vector desplazamiento y la distancia recorrida coinciden cuando la trayectoria es una línea recta. a
Si la trayectoria es una línea recta y se elige un sistema de referencia con la dirección de la trayectoria sobre el eje X , se cumple que: ∆ x ∆ x v v media| = vmedia = = y su módulo: | media ∆t
∆t
La velocidad media es una magnitud vectorial, de dirección y sentido los del vector desplazamiento.
Conversión de unidades Para expresar la velocidad de unas unidades a las otras se utilizan los factores de conversión: 1 km = 1000 m y 1 h = 3 600 s
d
km km 1 000 m 1h 1 = 1 · · h h 1 km 3 600 s m m 1 km 3 600 s 1 = 1 · · s s 1 000 m 1h
km km
3
0
e
v > 0
La mayoría de los movimientos se producen sobre trayectorias curvilíneas, que se conocen previamente. Por tanto, para describir un movimiento basta con conocer la rapidez con la que se realiza y el sentido en el que se recorre la trayectoria. Por ello, la velocidad media de un objeto se identifica con la distancia que recorre sobre la trayectoria en la unidad de tiempo. ∆e vmedia = ∆t
Y se establece un criterio de signos, de forma que si al recorrer la trayectoria en un sentido a la velocidad se le asigna el signo positivo, al recorrerla en sentido contrario la velocidad tiene signo negativo. La rapidez media y la velocidad media se miden en el sistema internacional en m/s y en la práctica en km/h.
O v < 0 a El
signo de la velocidad indica el sentido en el que se recorre la trayectoria.
ACTIVIDADES PROPUESTAS 3. Expresa la velocidad del sonido, v = 340 m/s en la unidad km/h y la velocidad de 100 km/h en la unidad m/s.
1 · El movimiento
15
Velocidad instantánea La velocidad media determina la rapidez de un móvil en un cierto intervalo de tiempo. Sin embargo, con frecuencia, interesa conocer la velocidad de un móvil en un instante determinado o en una posición de la trayectoria, tal es el caso de los vehículos con el fin, por ejemplo, de respetar las normas de circulación. Cuando el intervalo de tiempo entre dos observaciones es muy pequeño, entonces el valor medio de la velocidad es igual a la velocidad instantánea. Esta cantidad es la que muestra el velocímetro de los vehículos. La velocidad instantánea es una magnitud vectorial de dirección la de la tangente a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Su unidad de medida en el SI es el m/s.
El velocímetro indica el módulo del vector velocidad instantánea y el cuentakilómetros indica la distancia recorrida. a
ACTIVIDADES RESUELTAS Las figuras siguientes representan el movimiento de un ciclista a lo largo de dos trayectorias distintas. Calcula su velocidad media en cada uno de los ejemplos.
20 0 x final
20
40
60
20 s
80
100
120 x (m) x inicial
0
30
50
60 70
10 e inicial
0s
40
e final
0h
4h
En los dos ejemplos se conoce la trayectoria del movimiento, por lo que hay que calcular la rapidez e indicar el sentido en el que se recorre la trayectoria. La velocidad es negativa en la trayectoria en línea recta y positiva en la curvilínea. 0 m – 120 m ∆ x x – x a) Trayectoria rectilínea: v media = = final inicial = = –6 m/s 20 s ∆t ∆t
∆e e – einicial 70 km – 10 km b) Trayectoria curvilínea: v media = = final = = 15 km/h 4h ∆t ∆ t
Un atleta corre la carrera de 100 m lisos en 9,84 s. Determina su velocidad media y exprésala en m/s y en km/h. La velocidad media es: v media =
distancia 100 m = = 10,16 m/s tiempo 9,84 s
m m km 3 600 s La velocidad expresada en km/h es: v media = 10,16 = 10,16 · · = 36,58 km/h s s 1 000 m h
Un atleta de maratón recorre los 42,195 km de que consta la prueba en un tiempo de 2 h 13 min 16 s. Determina la velocidad media expresada en km/h y en m/s. En primer lugar se expresa el tiempo total en horas: t = 2 h 13 min 16 s = 2 h + 13 min La velocidad media es: v media =
distancia 42,195 km km = = 19 tiempo 2,22 h h
km km 1 000 m h m En unidades del SI: v media = 19 = 19 · · = 5,28 h h km 3 600 s s
h h + 16 s = 2,22 h 60 min 3 600 s
Física y Química
16
O
∆x = distancia recorrida
Origen x 0 de referencia a Movimiento
→
X
x
v
Y
7. Movimiento rectilíneo uniforme Un movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria es una línea recta y es uniforme si el módulo el vector velocidad permanece constante. Si se hace coincidir el eje X del sistema de referencia con la trayectoria y si, además, el origen de tiempo coincide con el instante inicial, t0 = 0 s, entonces el módulo del vector velocidad se expresa: x – x0 x – x0 ∆ x v = = = ⇒ v · t = x – x0 ∆t t – t0 t Ordenando términos, se tiene la ecuación de la posición del movimiento:
rectilíneo uniforme.
x = x0 + v · t
Donde x es la posición en cualquier instante, x0 la posición inicial, v la velocidad, t el tiempo transcurrido e ∆ x = x – x0 la distancia recorrida. De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la posición, x – x0, es una cantidad positiva entonces la velocidad tiene signo positivo y si esa variación es negativa, a la velocidad se le asigna el signo negativo.
∆e = distancia recorrida
e 0
e
La ecuación anterior también se aplica a cualquier movimiento uniforme.
Origen de referencia
e = e0 + v · t
0 a Movimiento
uniforme.
Donde e0 es la posición inicial, e es la posición en cualquier instante y la distancia recorrida medida sobre la trayectoria es ∆e = e – e0. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
x x = x 0 + v · t ∆t
x 0 O
x x 0
Pendiente =
∆x ∆x
∆x Pendiente = = v ∆t
∆x = v ∆t
v
v > 0
x = x 0 – v · t O
t
∆t
t
Gráfica posición frente al tiempo de un móvil con velocidad positiva.
O
v < 0 t
Gráfica posición frente al tiempo de un móvil con velocidad negativa.
Gráfica de la velocidad frente al tiempo.
Al representar gráficamente la posición, x, en el transcurso del tiempo, t, se obtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en la posición inicial, x0, y cuya pendiente es igual al módulo del vector velocidad.
ACTIVIDADES PROPUESTAS 4. Escribe la ecuación de la posición para los movimientos rectilíneos representados en la figura adjunta.
x (m)
45 36 27
A
5. Escribe las ecuaciones de los siguientes moviB 18 mientos y represéntalos gráficamente. C 9 a) Un móvil sale de un punto situado a 5 km del origen y se aleja con una velocidad de 0 2 4 6 8 10 12 t (s) 2 km/h. b) Durante el recreo un compañero que está situado a 30 m de ti, se te acerca con una velocidad de 2 m/s.
1 · El movimiento
17
ACTIVIDADES RESUELTAS Un automovilista se encuentra en un instante en el kilómetro 10 de una carretera y transita con una velocidad media de 80 km/h. Escribe la ecuación de la posición en cualquier instante. ¿Dónde se encontrará una hora y media más tarde? ¿En qué instante pasará por la posición 190 km? Si se elige como sistema de referencia para la posición el km 0, la posición inical es e0 = 10 km y la expresión de la posición en cualquier instante es:
e = e0 + v · t = 10 km + 80 km/h · t Cuando haya transcurrido un tiempo t =1,5 h su posición será:
e = 10 km + 80 km/h · t = 10 km + 80 km/h · 1,5 h = 130 km Para calcular cuándo pasa por la posición 190 km, se sustituye en la ecuación de la posición y se despeja el tiempo.
e = 10 km + 80 km/h · t ; 190 km = 10 km + 80 km/h · t ⇒ t = 2,25 h = 2 h 15 min Dos autobuses salen al encuentro desde dos ciudades, A y B, que distan 750 km. El que sale desde la ciudad A arranca a las ocho de la mañana con una velocidad media de 50 km/h. El otro sale desde la ciudad B a las once y su velocidad media es de 70 km/h. Determina el lugar y la hora a la que se cruzan en el camino. Representa en un diagrama de posición frente al tiempo el movimiento de los dos vehículos. a) Se elige como origen del sistema de referencia la posición de la ciudad A y como origen de tiempos el instante en el que sale el autobús más madrugador, las ocho de la mañana.
t salida = 0 h
En este sistema de referencia, la velocidad del autobús situado en la ciudad B tiene signo negativo.
Ciudad A e 0, A = 0 km
t salida = 3 h
v A = 50 km/h
v B = 70 km/h Ciudad B e 0, B = 750 km
Las posiciones, en cualquier instante, de los dos autobuses son:
eA = 0 km + 50 km/h · t ; eB = 750 km – 70 km/h · ( t – 3 h) Los autobuses se cruzan cuando en el mismo instante ocupen la misma posición.
eA = eB ; 50 km/h · t = 750 km – 70 km/h · ( t – 3 h)
⇒ t = 8 h
Los autobuses se cruzan cuando son las 8 h + 8 h = 16 h, a las cuatro de la tarde. La posición de cruce es igual a la distancia que se encuentran de la ciudad A.
eB = eA = 50 km/h · t = 50 km/h · 8 h = 400 km b) Para representar de forma gráfica el movimiento de los autobuses, se construye una tabla de valores en la que se registran sus posiciones cada hora que transcurre y que se trasladan a la correspondiente gráfica.
tiempo transcurrido (h)
posición autobús A (km)
posición autobús B (km)
e (km) 800
0
0
750
700
1
50
750
600
2
100
750
3
150
750
4
200
680
5
250
610
300
6
300
540
200
7
350
470
8
400
400
Las dos gráficas se cruzan en el punto de encuentro.
Autobús A
500 400
B ú s b o t A u
100 0
1
2
3
4
5
6
7
8 t (m)
Física y Química
18
Y
8. La aceleración La velocidad, considerada como una magnitud vectorial, tiene las características de módulo, dirección y sentido. Por tanto, el vector velocidad se modifica siempre que cambie su módulo, su dirección o su sentido. d
Aceleración es la magnitud vectorial que mide las variaciones del vec-
tor velocidad en el transcurso del tiempo. La aceleración, así entendida, tiene dos contribuciones: una que modifica al módulo del vector velocidad y otra que cambia la dirección del mismo. d
a La
aceleración modifica al vector velocidad.
→
a tangencial
a t, es la responsable de la variación del móLa aceleración tangencial, dulo del vector velocidad y habitualmente se conoce como aceleración . Siempre que se modifica el módulo del vector velocidad hay aceleración tangencial.
Es un vector tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento si aumenta la velocidad y el contrario, si la velocidad disminuye. Su módulo a t| =at = a, y se determina mediante la relación entre la se representa por: | variación del módulo del vector velocidad y el tiempo que tarda en producirse. La aceleración tangencial es positiva si el módulo de la velocidad aumenta y negativa si disminuye. ∆v a = ∆t d
El vector aceleración tangencial siempre tiene la dirección de la recta tangente a la trayectoria. a
a n, es la responsable del cambio de dirección La aceleración normal, del vector velocidad.
Es un vector perpendicular a la trayectoria en cada punto y su sentido es a n| = an y en un hacia el centro de curvatura. Su módulo se representa por: | determinado instante es igual a la relación entre el cuadrado del módulo del vector velocidad, v, y el radio R de curvatura de la trayectoria. v2 an = R
La unidad de medida de la aceleración en el SI es el m/s2.
ACTIVIDADES PROPUESTAS 6. Los siguientes esquemas representan el movimiento de un objeto en cuatro situaciones diferentes. →
a normal
80 km/h
80 km/h 80 km/h
A 80 km/h
50 km/h
B El vector aceleración normal tiene siempre la dirección de la recta perpendicular a la trayectoria. a
80 km/h
C
50 km/h
80 km/h
D
Para cada ejemplo señala si se modifica algún atributo del vector velocidad e identifica esa variación con el tipo de aceleración correspondiente.
1 · El movimiento
Clasificación de los movimientos según su aceleración Los movimientos se clasifican de dos formas:
19
Aceleración normal
a) Según sea su trayectoria. b) Según se modifica el módulo del vector velocidad. O que es lo mismo, se clasifican en función de las aceleraciones tangencial y normal.
cero
otro valor
rectilíneo
curvilíneo
a) Según la trayectoria:
• Rectilíneos: no se modifica la dirección del vector velocidad y la aceleración normal es igual a cero. • Circulares: cuando el radio de la curva es constante. Se modifica la dirección del vector velocidad y por ello hay aceleración normal. • Curvilíneos: si el radio de la curva no es constante. Se modifica la dirección del vector velocidad y por tanto, hay aceleración normal.
Módulo de la aceleración tangencial
cero
constante
variable
uniforme
uniformemente acelerado
variado
b) Según el módulo del vector velocidad:
• Uniformes: no se modifica el módulo del vector velocidad, lo que significa que la aceleración tangencial es igual a cero. • Uniformemente acelerados: el módulo del vector velocidad se modifica proporcionalmente con el tiempo, por lo que el módulo de la aceleración tangencial es constante. • Variados: el módulo del vector velocidad no se modifica proporcionalmente con el tiempo, por lo que el módulo de la aceleración tangencial no es constante. En un movimiento rectilíneo nunca hay aceleración normal. En un movimiento circular o curvilíneo siempre existe aceleración normal.
ACTIVIDADES RESUELTAS El guepardo es un animal capaz de alcanzar una velocidad de 72 km/h en 2 s. ¿Cuál es la aceleración del citado animal, supuesta esta constante? Expresando la velocidad en unidades del SI: v = 72 km/h = 20 m/s
∆v 20 m/s – 0 m/s A partir de la definición de aceleración: a = = = 10 m/s 2 2s ∆t
Considerando a la órbita terrestre como una circunferencia de 150 millones de km de radio, d etermina la velocidad, en km/h, y la aceleración, en m/s 2, con que la Tierra se mueve alrededor del Sol. Como la Tierra recorre la longitud de la circunferencia (2 ·
π · R) en un año su velocidad de traslación alrededor del Sol es:
2 · π · 150 · 10 km distancia 1 año 1 día km = · · = 107 589 tiempo 1 año 365 días 24 h h 6
v =
que expresada en unidades del SI es: v = 107 589 km/h = 29 886 m/s Como el módulo del vector velocidad es constante la aceleración tangencial es igual a cero. Solo existe aceleración normal que modifica a la dirección del vector velocidad en cada instante. (29 886 m / s)2 m v 2 Su módulo es: an = = = 6 · 10 –3 150 · 109 m s2 R
Física y Química
20
Y
9. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Un movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado cuando la trayectoria es una línea recta y la aceleración es constante. Aplicando la definición de aceleración tangencial y considerando que el instante inicial de la observación es t0 = 0, se cumple que: v – v0 v – v0 ∆v a = = ⇒ a · t = v – v0 = ∆t t – t0 t a Durante
una carrera se modifica continuamente la velocidad de los automóviles.
Ordenando términos, se tiene la ecuación de la velocidad del movimiento: v = v0 + a · t
Ecuación que relaciona el módulo la velocidad en un instante, v, y el de la velocidad inicial, v0, con la aceleración, a, y el tiempo transcurrido, t. De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la velocidad, v – v0, es una cantidad positiva entonces la aceleración tiene signo positivo y si esa variación es negativa, como ocurre al frenarse un móvil, entonces a la aceleración se le asigna el signo negativo. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO x v = v 0 + a · t ∆t
v 0 O
v v 0 ∆v ∆v
∆v Pendiente = = a ∆t
∆v = a ∆t
a
a > 0
v = v 0 – a · t O
t
∆t
t
Gráfica de la velocidad frente al tiempo de un móvil con aceleración positiva.
h
Pendiente =
Movimiento rectilíneo
En tu CD Selección de Encarta de Microsoft, en la carpeta estudio del movimiento puedes encontrar más información sobre el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
O
a < 0 t
Gráfica de la velocidad frente al tiempo de un móvil con aceleración negativa.
Gráfica de la aceleración frente al tiempo.
Al representar gráficamente la velocidad, v, de un móvil en el transcurso del tiempo, t, se obtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en la velocidad inicial, v0, y cuya pendiente es igual al módulo de la aceleración. ∆v ∆t
pendiente = = a
ACTIVIDADES PROPUESTAS 7. Escribe la ecuación de la velocidad para los movimientos representados en la figura adjunta.
v (m/s)
40 32
A
8. Escribe las ecuaciones de la velocidad de 24 B los siguientes movimientos y represénta- 16 C los gráficamente. 8 a) Un móvil que lleva una velocidad cons0 2 4 6 8 10 12 t (s) tante de 10 m/s. b) Un móvil lleva una velocidad de 36 km/h y acelera con a = 2 m/s2. c) Un móvil que lleva una velocidad de 15 m/s se frena con una aceleración de 3 m/s2.
1 · El movimiento
21
ACTIVIDADES RESUELTAS El conductor de un automóvil que lleva una velocidad de 54 km/h, pisa el acelerador con lo que imprime al vehículo una aceleración de 2 m/s2. Escribe la ecuación de la velocidad mientras se acelera el vehículo. Determina en qué instante alcanza la velocidad de 90 km/h. Calcula su velocidad a los 4 s después de comenzar a acelerar. En primer lugar se expresan las velocidades en unidades del SI:
v = 54 km/h = 15 m/s y v = 90 km/h = 25 m/s a) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad: v = v 0 + a · t = 15 m/s + 2 m/s 2 · t b) Sustituyendo en la ecuación anterior:
v = 15 m/s + 2 m/s 2 · t ; 25 m/s = 15 m/s + 2 m/s 2 · t ⇒ t = 5 s c) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad:
v = 15 m/s + 2 m/s 2 · t = 15 m/s + 2 m/s 2 · 4 s = 23 m/s que expresada en km/h: v = 23 m/s = 82,8 km/h
La gráfica de la figura adjunta representa la velocidad de un móvil en el transcurso del tiempo. Determina la aceleración del móvil en cada uno de los tramos de la gráfica y representa sus valores en un diagrama.
v (m/s)
14 12 10
En cada uno de los segmentos que forman la gráfica la aceleración es una cantidad constante y su valor coincide con el de la pendiente.
8
Aplicando la definición de aceleración a cada segmento de la gráfica, se cumple que:
4
∆v a A = = ∆ t
2 0
2 m /s – 0 m /s m = 1 2s–0s s2
2
3
4
5
6
7
8
9
10 t (s)
a (m/s2) 6
4 10 m /s – 14 m/s m = –4 6s–5s s2
2
0
aD = 0 (velocidad constante)
-2
m ∆v 0 m /s – 10 m /s = –5 aE = = 10 s – 8 s s2 ∆ t
-4
t (s) 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
-6
Un móvil A, arranca desde el reposo con una aceleración de 5 m/s2 y otro B, sale con una velocidad inicial de 20 m/s y una aceleración de 1 m/s2. Construye la gráfica de la velocidad frente al tiempo para los seis primeros segundos e indica si en el instante t = 5 s se encuentran los móviles. Aplicando la ecuación de la velocidad: v = v 0 + a · t , se construyen las correspondientes tablas de valores. t (s)
1
∆v 14 m /s – 2 m/s m = 4 aB = ∆ t = 5s–2s s2 ∆ v aC = = ∆t
6
0
1
2
3
4
5
6
v A
(m/s)
0
5
10
15
20
25
30
v B
(m/s)
20
21
22
23
24
25
26
Lo único que se puede afirmar es que en el instante t = 5 s se igualan sus velocidades. Se desconoce si los móviles se chocan ya que no se sabe si recorren la misma trayectoria.
v (m/s)
30 25 B 20 15
A
10 5 0
1
2
3
4
5
6 t (s)
Física y Química
22
Y
La ecuación de la posición Para cualquier tipo de movimiento, la distancia recorrida por un móvil coincide con el área delimitada por la representación gráfica de la velocidad frente al tiempo y el eje de abscisas. Velocidad v v =
+ a
v 0
t ·
triángulo
v – v 0 = a · t
v 0 rectángulo t a Grafica
Tiempo
de la velocidad frente al tiempo.
Área total = área rectángulo + área triángulo 1 ∆ x = v0 · t + · (v – v0) · t 2 Por la definición de aceleración: v – v0 = a · t y como ∆ x = x – x0, la expresión de la posición en este tipo de movimiento es: 1 x = x0 + v0 · t + · a · t2 2 Ecuación que relaciona la posición, x, de un móvil en un instante, t, con la posición inicial, xo, la velocidad inicial, vo y la aceleración, a. La ecuación de la posición se aplica a cualquier movimiento en el que el módulo de la aceleración tangencial es constante, siempre que la posición se indique con una coordenada, e, que representa la distancia desde el origen de referencia siguiendo la trayectoria. 1 e = e0 + v0 · t + · a · t2 2 GRÁFICAS DE LA POSICIÓN FRENTE AL TIEMPO x
x a < 0
a > 0
x 0
x 0
O
t
Gráfica de la posición frente al tiempo de un móvil con aceleración positiva.
O
t
Gráfica de la posición frente al tiempo de un móvil con aceleración negativa.
La ecuación de la posición en el transcurso del tiempo es una función polinómica de segundo grado, cuya representación gráfica es la rama de una parábola, cuya forma depende de las características de cada movimiento.
ACTIVIDADES RESUELTAS Un automóvil pasa de cero a 100 km/h en 8 s. Calcula la aceleración supu esta constante y la distancia que recorre hasta alcanzar la citada velocidad. En primer lugar se expresa la velocidad en el SI: v = 100 km/h = 27,8 m/s Aplicando la definición de aceleración: a = Por tanto: ∆e = v o · t +
v – v t
0 =
27,8 m /s – 0 m/s = 3,47 m/s 8s
1 1 · a · t 2 = · 3,47 m/s 2 · (8 s) 2 = 111 m 2 2
2
1 · El movimiento
23
ACTIVIDADES RESUELTAS Un conductor está situado a 100 de un semáforo de una carretera y frena el vehículo al observar que el semáforo cambia a color rojo. Si el automóvil tarda en detenerse 10 s y el conductor no comete infracción, calcula la máxima velocidad a la que circulaba y expresa ese resultado en km/h. Construye las gráficas velocidad frente al tiempo y posición frente al tiempo. a) Se elige como origen del sistema de referencia el punto en el que al automovilista comienza a frenar, a 100 m del semáforo. Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado y como la máxima distancia recorrida es 100 m, resulta que:
v = v o + a · t ⇒ 0 = v o + a · 10 s e = eo + v o · t +
1 1 a · t 2; 100 m = v o · 10 s + a · (10 s)2 2 2
Despejando la velocidad en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, resulta que:
v 0 = –a · 10 s
1 2
⇒ 100 m = (– a · 10 s) · 10 s + a · (10 s)2; 100 m = – a · 100 s 2 + a · 50 s2 = –a · 50 s2
Despejando: a = –2 m/s2, negativa ya que el coche se frena. Por lo que la velocidad inicial es: v 0 = –a · 10 s = – (–2 m/s 2) · 10 s = 20 m/s = 72 km/h b) Con el sistema de referencia indicado y aplicando las ecuaciones de la velocidad y de la posición se construyen las correspondientes tablas de valores y con ellas las gráficas pedidas. t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v (m/s)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
(m)
0
19
36
51
64
75
84
91
96
99
100
e
v (m/s) 20
e (m) 100
18
90
16
80
14
70
12
60
10
50
8
40
6
30
4
20
2
10
0
1
2
3 4
5
6
7
8
9 10 t (s)
0
1
2
3 4
5
6
7
8
9 10 t (s)
El movimiento de un objeto, que recorre una trayectoria en una línea recta, está descrito por la ecuación: x = 5 + 8 t + 2 t 2 en unidades del SI. Indica la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. ¿Cuándo pasará por la posición 100 m? a) Comparando la ecuación del movimiento con la ecuación general: x = x o + v o t +
1 / 2
a t 2, se deduce que:
La posición inicial, t = 0 s, es: x o = 5 m y la velocidad inicial es: v o = 8 m/s Como 2 · t 2 =
1 a · t 2, entonces la aceleración es: a = 4 m/s2 2
b) Aplicando la ecuación del movimiento:
x = 5 m + 8 m/s · t + 2 m/s2 · t 2; 100 m = 5 m + 8 m/s · t + 2 m/s2 · t 2 Despejando el tiempo en la ecuación de segundo grado: 2 · t 2 + 8 · t – 95 = 0
t = 5,2 s –8 ± 8 – 4 ·2 · (– 95) –8 ± 28,7 = ⇒ 2·2 4 t = –9,2 s 2
t =
1 2
Solo tiene significado físico la solución: t = 5,2 s
Física y Química
24
Y
10. Caída libre Se denomina caída libre al movimiento que experimenta un objeto cuando se suelta a cierta altura sobre la superficie de la Tierra y en sus proximidades. Al dejar caer simultáneamente un trozo de tiza y una hoja de papel, se observa que cae antes la tiza. Esta y otras experiencias parecidas hacen pensar que los objetos más pesados caen antes que los ligeros. La velocidad con que cae un objeto no depende de su masa. a
Si se toman dos hojas de papel y se arruga una de ellas hasta hacer una pelota, se observa que la bola de papel cae antes. De esto se deduce que la velocidad de caída de los objetos no depende de su masa. Experiencias como esta no se consideraron hasta el Renacimiento, por lo que en la Antigüedad se pensaba que cuanto más pesado fuera un objeto antes caía. En el siglo IV a.C., el filósofo griego Aristóteles consideraba que el estado natural de los objetos es el del reposo y que a él tienden siguiendo trayectorias en línea recta. Una piedra tiende a ocupar su estado natural, que es en el suelo, más rápidamente que una pluma de ave formada, en parte, por aire.
a Cuanto
más inclinada esté la superficie del plano, más se asemeja el movimiento de la bola a la caída libre.
Todas estas ideas perduraron sin modificarse durante 2 000 años hasta que Galileo, en el siglo XVI, se dio cuenta de que Aristóteles no había considerado la existencia del vacío. Se percató que el movimiento de los objetos, ya sean piedras o plumas de ave, siempre ocurren en un medio resistente como el aire o el agua y, por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo. Experimentó con planos de diversas inclinaciones y pulidos con esmero, dejando caer, por los mismos, bolas de diversas masas y tamaños. De sus experiencias llegó a la conclusión siguiente: d
Todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en ausencia de aire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa, forma o tamaño.
Esta aceleración, llamada aceleración de la gravedad, se designa con la letra g y tiene el valor de 9,8 m/s2 en la superficie de la Tierra.
moneda
pluma
En ausencia de un medio resistente la pluma y la moneda caen al mismo tiempo. a
Si una hoja de papel y una bola de papel no caen al mismo tiempo es porque no tienen la misma forma y por ello presentan diferente aerodinámica y oponen distinta fricción o resistencia al aire. Ecuaciones del movimiento El movimiento vertical de un objeto es un caso particular de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Se elige como sistema de referencia el eje Y , coincidente con la vertical, a la posición se le da el nombre de altura y se designa con la letra h. El signo positivo o negativo de cada magnitud depende del criterio de signos adoptado en cada caso. Las ecuaciones del movimiento son: 1 h = h0 + v0 · t + · g · t2 ; v = v0 + g · t 2
1 · El movimiento
25
ACTIVIDADES RESUELTAS Verticalmente desde el suelo y hacia arriba, se lanza un objeto con una velocidad inicial de 30 m/s. Prescindiendo del rozamiento con el aire y aproximando el valor de g a 10 m/s2, determina: a) La altura a la que llega y el tiempo que tarda en alcanzarla. b) El tiempo que tarda en regresar al suelo y la velocidad con la que llega al mismo. c) Representa gráficamente la velocidad, la posición y la distancia recorrida en función del tiempo. Se elige como origen de un sistema de referencia el suelo, el eje Y la vertical y se asigna el signo positivo a todas las magnitudes que tienen sentido hacia arriba.
v f = 0
a) Al subir: la velocidad inicial es positiva y la aceleración negativa. Aplicando la ecuación de la velocidad y como en el punto más alto el objeto se detiene: h
v = v g + g · t ; 0 m/s = 30 m/s + (–10 m/s 2) · t ⇒ t subir = 3 s
g
Sustituyendo en la ecuación de la posición:
h = ∆h = h – h0 = v 0 · t +
1 1 · g · t 2 = 30 m/s · 3 s + · (–10 m/s2) · (3 s) 2 = 45 m 2 2
b) Al bajar: la posición inicial es positiva, la posición final es el origen, la velocidad inicial es igual cero y la aceleración es negativa. Aplicando la ecuación de la posición:
h = h0 + v 0 · t +
v 0 = 30 m/s
h 0 = 0 m
1 1 · g · t 2 ; 0 m = 45 m + (–10 m/s2) · t 2 2 2
h 0 = 45 m
Despejando: t bajar = 3 s, el mismo que el que empleó para subir.
v 0 = 0
Sustituyendo en la ecuación de la velocidad.
v = v 0 + g · t = 0 + (–10 m/s 2) · 3 s = –30 m/s La misma con la que se lanzó y sentido hacia abajo.
h = 45 m
c) Para construir la tabla de valores, que se representará gráficamente, se mantiene el sistema de referencia ya descrito y se aplican las ecuaciones:
v = v 0 + g · t y h = h0 + v 0 · t +
g
1 · g · t 2 2
h f = 0 m
La distancia recorrida siempre aumenta. A la distancia recorrida al subir se le suma la recorrida al bajar.
tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
velocidad (m/s)
30
20
10
0
–10
–20
–30
posición (m)
0
25
40
45
40
25
0
distancia recorrida (m)
0
25
40
45
50
65
90
v (m/s) 30
h (m)
20 10 0 -10 -20 -30
1
Distancia recorrida (m) 90 80 70 60 50
45 40 35 30 25 2
3
4
5
6
t (s)
20 15 10 5 0
1
2
3
4
5
6 t (s)
40 30 20 10 0
1
2
3
4
5
6 t (s)
v f
Física y Química
26
Y
11. Movimiento circular uniforme
→
v
Un movimiento es circular cuando la trayectoria que recorre el móvil es una circunferencia. En este movimiento siempre hay aceleración normal, que modifica en cada instante la dirección del vector velocidad.
→
v
→
v
→
v
a En
el movimiento circular se modifica continuamente la dirección del vector velocidad.
Un movimiento circular es uniforme si el módulo del vector velocidad es constante. Por tanto, la aceleración tangencial es igual a cero y el módulo de la aceleración normal es constante. En este movimiento el móvil repite cada cierto tiempo las mismas posiciones, hecho que se describe mediante las magnitudes: período y frecuencia. d
Período (T ) es el tiempo que tarda el móvil en recorrer una vuelta com-
pleta de la trayectoria.
d
Frecuencia (f ) es el número de vueltas o ciclos que recorre el móvil en
la unidad de tiempo. Las dos magnitudes se relacionan mediante la ecuación: 1 T = f
En el Sistema Internacional, la frecuencia se mide en hercios (Hz). Un hercio es igual a un ciclo cada segundo (c.p.s). En la práctica se expresa en revoluciones (vueltas) cada minuto (r.p.m.). a Las
sillas del carrusel describen trayectorias circulares.
Para medir las magnitudes angulares en el movimiento circular se emplea como unidad el radián (rad), en vez de los grados sexagesimales. d
e 2 = R 2
Unas y otras unidades están ligadas por la relación: 2 · π rad = 360º
e 1 = R 1
11.1. Velocidad angular Una forma de describir la posición de un móvil en una trayectoria circular es indicando el radio de la circunferencia y el ángulo recorrido a partir de un radio elegido como origen. Las magnitudes: radio (R), ángulo (ϕ) expresado en radianes y la longitud del arco (e), están ligadas por la ecuación:
ϕ = 1 rad
R 1 R 2 a Un
Un radián (rad), se define como la medida del ángulo comprendido por un arco de circunferencia de longitud igual al radio con el que se ha trazado.
radián.
e=ϕ·R
e ϕ
R
En este sistema de referencia la variación de la posición del móvil en la trayectoria se expresa mediante la magnitud velocidad angular media. d
Origen
Velocidad angular media (ω ) se define como la relación entre el ángu-
lo descrito y el tiempo empleado en recorrerlo. ϕ – ϕ0 = t – t0 Su unidad de medida en el SI es el rad/s, que también se puede expresar como s–1. ∆ϕ ω = ∆t
a Sistema
descrito.
de referencia basado en el ángulo
1 · El movimiento
27
11.2. Ecuaciones del movimiento Cuando el móvil recorre una vuelta completa, el ángulo descrito es igual a 2π rad y el tiempo transcurrido es igual al período ( T ), por lo que: ω =
2·π = 2 · π · f T
Si se describe el movimiento mediante la distancia recorrida se tiene la ecuación que liga la velocidad lineal (v) con la velocidad angular (ω ). ∆e ∆ϕ · R v = = = ω · R ∆t ∆t
Aplicando la definición de velocidad angular y considerando que el instante inicial de observación es t0 = 0, se tiene: ∆ϕ ω = ∆t
ϕ – ϕ0 ⇒ ϕ – ϕ0 = ω · t =
a Todos
los puntos de la rueda tienen el mismo período, frecuencia y velocidad angular.
t
Despejando se deduce la ecuación del movimiento circular uniforme: ϕ
= ϕ0 + ω · t
Ecuación que relaciona el ángulo descrito (ϕ), con el ángulo inicial (ϕ0), la velocidad angular (ω ) y el tiempo transcurrido (t). Esta ecuación es seme jante a la de la posición de un móvil en el movimiento rectilíneo uniforme.
ACTIVIDADES RESUELTAS Un tiovivo que gira con una frecuencia de 12 r.p.m. tiene los caballitos situados a 2,5 m del eje de giro. Calcula: a) La frecuencia, expresada en hercios, el período, la velocidad angular y la velocidad con que se trasladan los caballitos.
→ v 1
b) El ángulo descrito y la distancia recorrida por ellos, si cada viaje dura 4 min.
→ v 2
→ v 4 → v 3
→ v 5
1 2 3 4
5
c) La aceleración a la que está sometida un a persona sentada en uno de ellos. a) La frecuencia, el período y la velocidad angular de un punto no depende de la distancia al eje de giro, es la misma para todos los puntos del tiovivo.
f = 12 r.p.m. = 12
vueltas vueltas min vueltas = 12 = 0,2 = 0,2 Hz min min 60 s s
T =
1 1 vuelta = =5s f 0,2 vuelta/s
ω
a La
velocidad lineal de los puntos de un radio de una rueda es mayor cuanto más alejado esté del centro.
rad vuelta rad ω = 2 · π · f = 2 · π · 0,2 = 0,4 · π vuelta
s
s rad m La velocidad lineal depende de la distancia al eje: v = ω · R = 0,4 · π · 2,5 m = π s s b) El ángulo que describe cualquier punto del tiovivo es:
ϕ = ω · t = 0,4 · π rad/s · 4 min · 60 s/min = 96 · π rad que corresponden a 48 vueltas. La distancia recorrida por un punto depende de la distancia al eje:
∆e = v · t = π m/s · 240 s = 240 · π m c) En el movimiento circular cada punto del tiovivo está sometido a una aceleración normal que modifica continuamente a la dirección del vector velocidad. Mientras que el movimiento sea uniforme, la aceleración tangencial es igual a cero.
v 2 an = R v = ω · R
an =
ω2 · R2
= ω 2 · R = (0,4 · π rad/s)2 · 2,5 m = 3,9 m/s 2 R
c
d Y
Física y Química
28
Y
PARA SABER MÁS El movimiento y la ciencia moderna Desde antiguo, las personas han anotado y estudiado el movimiento de los astros. Los sacerdotes babilonios recogieron, durante muchas generaciones, la posición
Tierra
del Sol, la Luna y de los planetas. Encontraron regularidades en sus movimientos, describieron las trayectorias que recorrían y, con ellas, predijeron eclipses. Estas observaciones las recogieron los pensadores griegos. La regularidad del movimiento de los objetos celestes y la irregularidad de los movimientos terrestres les llevó a considerar a la trayectoria circular como símbolo de perfección. Luna
a Aristóteles
sitúa a la Tierra en el centro del Universo. Los astros se mueven a su alrededor siguiendo trayectorias circulares.
Así, Aristóteles (384-322 a.C.) distingue entre las trayectorias circulares y perfectas del movimiento de los planetas y las trayectorias caóticas del mundo de la superficie terrestre, que él llamó mundo sublunar. Los movimientos del mundo sublunar los clasifica en naturales y
violentos.
El movimiento natural es propio de la naturaleza de los objetos. Cada objeto tiene un lugar en el espacio y si no lo ocupa, tiende a alcanzarlo moviéndose. La caída de los objetos es un movimiento natural, cayendo antes los pesados que los ligeros. Para justificarlo recurre a que la materia está constituida por cuatro elementos básicos: tierra, aire, fuego y agua. Estos elementos sufren la acción de dos fuerzas: la gravedad o tendencia de la tierra y del agua a hundirse, y la ligereza o tendencia del aire y fuego a ascender. Una piedra, formada por tierra, tiende a ocupar su estado natural, que es el suelo, más rápidamente que una pluma de un ave formada, en parte, por aire. El movimiento
violento
es consecuencia de la actuación de alguna fuerza. Un
carro se mueve por que tira de él una caballería, y un barco, porque el viento empuja las velas. Para Aristóteles no hay movimiento sin el concurso de una fuerza, siendo el estado natural de los objetos el reposo, con la excepción de los objetos celestes que describen una trayectoria circular sin principio ni fin. Según Aristóteles, en el movimiento de los planetas no se precisaba del concurso de ninguna fuerza. Estas ideas perduraron hasta el nacimiento de la ciencia moderna, cuando Galileo Galilei
(1564-1642) se dio cuenta de que Aristóteles no había considerado la
existencia del vacío. Comprendió que el movimiento siempre ocurre en un medio resistente como el aire o el agua y por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo. Esta es la razón por la que hay que aplicar continuamente una fuerza sobre un objeto para mantenerlo en movimiento. Después de considerar la posibilidad del movimiento en ausencia de aire, experimentó con planos inclinados con el fin de amortiguar la aceleración de caída. Galileo lanzando objetos desde lo alto de la torre de Pisa. a
Cuanto más inclinado está el plano más rápidamente cae el objeto, y el caso límite es la caída vertical.
1 · El movimiento
29
Halló que las distancias recorridas durante intervalos de tiempo iguales estaban en la proporción 1:3:5:7. Si el plano estaba más inclinado, las distancias eran mayores pero las proporciones eran siempre las mismas. Concluyendo que la misma ley debía regir en el caso límite, la vertical.
d
Durante la caída de un objeto la distancia total recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido.
Galileo concluyó que todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en
a El
caso límite de un plano inclinado es la vertical.
ausencia de aire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa, forma o tamaño.
ACTIVIDADES RESUELTAS La figura del margen representa una secuencia de fotografías, obtenidas cada 0,2 s, de una pelota que se deja caer desde una ventana situada a una altura de 5 m sobre el suelo. Comprueba que las posiciones de la pelota están de acuerdo con la ley encontrada por Galileo. ¿Qué relación hay entre las sucesivas posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido?
h
(m)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0
0,2
0,8
1,8
3,2
5,0
0,8 m
1m
1,8 m
2m
Se elige como origen del sistema de referencia el punto desde el que se deja caer la pelota. De la secuencia fotográfica se obtiene la siguiente tabla de valores. t (s)
0m 0,2 m
0
3m
3,2 m
4m 5m
5m
Los intervalos de tiempo son iguales. Si se elige como unidad de longitud la recorrida por la pelota en el primer intervalo de tiempo, la distancia total recorrida en los sucesivos intervalos es:
a Sucesivas
5
Primer intervalo: 0,2 m – 0 m = 0,2 m = 1 unidad
posiciones
h (m)
4
Segundo intervalo: 0,8 m – 0,2 m = 0,6 m = 3 unidades
3
Tercer intervalo: 1,8 m – 0, 8 m = 1,0 m = 5 unidades
2
Cuarto intervalo: 3,2 m – 1,8 m = 1,4 m = 7 unidades Quinto intervalo: 5,0 m – 3,2 m = 1,8 m = 9 unidades
1
De acuerdo con la ley encontrada por Galileo para la caída libre.
0
b) Para calcular la relación entre las posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido se representa la posición frente al cuadrado del tiempo.
0,2
a Gráfica
0,4
0,6
0,8
t (s) 1
posición frente a tiempo.
h (m)
t 2
(s2)
0
0,04
0,16
0,36
0,64
1,0
e
(m)
0
0,2
0,8
1,8
3,2
5,0 2
La representación gráfica es una línea recta cuya pendiente es igual a 5 m/s .
5 4 3
1 Como la pelota se deja caer desde el reposo se tiene que: ∆ h = · g · t 2 2
2
De donde se obtiene el valor aproximado de la aceleración de la gravedad:
0
pendiente = 5 m/s 2 =
1 · g ⇒ g = 10 m/s2 2
Pendiente = =
∆h = ∆(t 2)
5m m =5 2 1 s2 s
1 0,2 0,4 0,6 0,9
a Gráfica
1 t 2 (s2)
posición frente a t 2.
Y
Física y Química
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Y
ACTIVIDADES FINALES 1. Expresa la velocidad de 20 m/s en km/h y la de 120 km/h en m/s.
Posición (km) 210
2. Para medir la distancia de la Tierra a la Luna se usa un rayo láser que, lanzado desde la Tierra a la Luna, tarda en volver 2,56 s. ¿Cuál es la distancia Tierra-Luna?
180 150
3. La posición de un móvil, que describe una trayectoria en línea recta respecto a un sistema de referencia queda determinada por la ecuación: x = 5 + 2 · t , en la que todas las magnitudes se expresan en unidades del SI. Calcula la posición y velocidad iniciales. Determina su posición y la distancia recorrida al cabo de un minuto. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 200 m?
120 90 60 30 0
1
2
3
a Actividad
4
5
6
7
8 9 10 Tiempo (h)
4.
4. La gráfica adjunta representa la posición de un móvil respecto a un sistema de referencia y a lo largo del tiempo. Calcula la velocidad del móvil en cada tramo de la gráfica y represéntala gráficamente. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo y, si la trayectoria fuera una línea recta, determina el módulo del desplazamiento. 5. La posición de un móvil, respecto a un sistema de referencia, está representada en la figura adjunta. Determina la posición inicial y la velocidad del vehículo. Si continúa con esa misma velocidad, ¿a qué hora estará en la posición 400 km? ¿Dónde se encontrará cuando hayan transcurrido 5 h y 15 min?
e (km)
250
6. Un ciclista pasa por la pancarta que indica que faltan 10 km para llegar a la meta, con una velocidad de 36 km/h. A un kilómetro de distancia se acerca otro con una velocidad de 40 km/h. ¿Quién gana la etapa? En el caso de que la etapa la gane el segundo ciclista, ¿a qué distancia de la meta alcanza al primero?
200 150
7. Dos móviles salen desde posiciones separadas por una distancia de 1 km, el uno en persecución del otro, con velocidades de 10 km/h y 12 km/h. Calcula cuánto tardan en encontrarse y la distancia recorrida por cada uno de ellos. Construye las correspondientes gráficas de la posición frente al tiempo para los dos móviles.
100 50 0
1
2
3
4 t (h)
a Actividad
5.
9. Dos vehículos salen al encuentro, uno del otro, desde puntos separados entre sí 300 km, con velocidades de 60 km/h y 30 km/h. Si el que va más despacio arranca 2 h más tarde de la hora prevista, determina: cuándo se encuentran y a qué distancia del punto de partida del móvil que va más deprisa. Construye las correspondientes gráficas de la posición frente al tiempo.
Velocidad (m/s) 14
10. La gráfica adjunta representa la velocidad de un móvil en el transcurso del tiempo. Describe el movimiento del objeto, determina su aceleración en cada tramo y representa sus valores en una gráfica.
12 10 8
11. Un automóvil transita con una velocidad de 54 km/h y acelera hasta los 72 km/h en un tiempo de 10 s. Determina la aceleración del vehículo y la distancia recorrida.
6 4 2 0
8. Un pasajero que desea realizar un largo viaje llega a la estación con una hora de retraso. En la parada de taxi toma uno y decide perseguir al tren por una carretera paralela a la vía. Si el tren se mueve con velocidad constante de 60 km/h y el taxi a 90 km/h, calcula el tiempo que tarda en alcanzar al tren y dónde se encuentran. Construye la gráfica de la posición frente al tiempo para los dos móviles.
1
2 3
a Actividad
4 5
10.
6 7
8 9 10 Tiempo (s)
12. Un objeto que lleva una velocidad de 30 m/s, frena y se detiene después de recorrer 200 m. Determina la aceleración y el tiempo que tarda en pararse. 13. ¿Cuál es la aceleración de un móvil que toma una curva de 40 m de radio a 72 km/h?
1 · El movimiento
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14. Un automóvil va a 108 km/h y se detiene al cabo de 20 s. Determina la aceleración y la distancia recorrida hasta que se detiene. ¿Cómo se modifica el tiempo y la distancia recorrida, si el coche hubiera llevado una velocidad de 54 km/h? 15. Un motorista está parado en un semáforo que da acceso a una calle. En el instante en el que el semáforo cambia a luz verde le sobrepasa un automóvil que va con una velocidad constante de 36 km/h. El motorista se entretiene 1 s en arrancar y lo hace con una aceleración constante de 4,8 m/s2. ¿Cuánto tarda la motocicleta en alcanzar al coche? ¿Qué distancia han recorrido? Construye los diagramas de la velocidad y de la posición frente al tiempo para los dos vehículos. 16. Una noche de niebla transita un camión por una carretera recta y estrecha con una velocidad constante de 54 km/h y detrás del camión va un automóvil con una velocidad de 90 km/h. El conductor del coche no descubre al camión hasta que se encuentra a 20 m de él. Si en ese instante pisa el freno imprimiendo una aceleración negativa de 4 m/s 2, determina si habrá colisión. 17. Deduce que, para un objeto que se deja caer desde una altura h, la velocidad en una h. posición cualquiera se puede determinar mediante la ecuación: v = 2 · g ·
18. Desde el pretil de un puente se deja caer, partiendo del reposo, una piedra que tiene una masa de 30 g. Si tarda 1,4 s en golpear contra la superficie del agua, determina la altura del puente y la velocidad con que golpea al agua. 19. Desde la terraza de un edificio se deja caer, partiendo del reposo, una pelota de tenis que tiene una masa de 55 g. Si la pelota llega al suelo con una velocidad de 12 m/s, determina el tiempo que tarda en caer y la distancia desde la que se soltó.
El paracaidista no acelera indefinidamente. Debido a la fricción con el aire se alcanza una velocidad constante, llamada velocidad límite, de 20 km/h. Si no se abre el paracaídas la velocidad límite es de más de 200 km/h. a
20. Desde el suelo se lanza verticalmente un objeto con una velocidad inicial de 15 m/s. Determina la altura que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla. Calcula el tiempo que tarda en regresar al suelo y la velocidad en ese instante. 21. Se lanza un objeto verticalmente y hacia arriba y tarda 6 segundos en volver a la mano. ¿Hasta qué altura subió? 22. Se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 20 m/s. En el mismo instante se deja caer otra desde una altura de 40 m. Determina el punto de encuentro y calcula la velocidad de las pelotas en ese instante. Utiliza como valor de g 10 m/s2. 23. La Luna tarda 27,3 días en recorrer su órbita de 380 000 km de radio. Determina la velocidad lineal y angular de la Luna. 24. Un ciclista transita con una velocidad de 18 km/h sobre una bicicleta cuyas ruedas tienen un radio de 42 cm. Calcula la frecuencia expresada en r.p.m., el período y la velocidad angular de las ruedas. ¿Qué ángulo describen los radios de las ruedas en un minuto? ¿Cuántas vueltas gira la rueda en ese tiempo? 25. Las ruedas grandes de un tractor tienen un radio de 1 m y las pequeñas de 50 cm. Si las ruedas grandes giran con una velocidad angular de 6 rad/s, determina: la velocidad del tractor, la velocidad angular de las ruedas pequeñas y el período y frecuencia de los dos tipos de ruedas. 26. Los radios de una rueda de bicicleta miden 45 cm y recorren un ángulo de 270° en 0,25 s. Determina su velocidad angular, el período, la frecuencia y la velocidad del ciclista.
Los puntos del exterior de las ruedas tienen la misma velocidad lineal. a
Y
32
Física y Química
Y
CIENCIA Y SOCIEDAD El cinturón de seguridad El cinturón de seguridad es un mecanismo de seguridad
probabilidad que tiene el conductor y otros pasajeros
que se incluye de serie en la fabricación de los vehículos.
de sufrir severos traumatismos por el golpe ocasiona-
El cinturón de seguridad es el elemento que mayor seguri-
do por otra persona sentada atrás sin cinturón de se-
dad pasiva aporta a los usuarios en caso de accidente.
guridad.
Los ocupantes de un vehículo llevan la misma velocidad que él. En un choque o colisión, el vehículo se detiene inesperada y bruscamente debido a la violencia del impacto. Los ocu-
El cinturón es útil en cualquier tipo de trayecto, corto o largo, urbano o por carretera y tanto en las plazas delanteras como en las traseras de un automóvil.
pantes continúan con su estado de movimiento sin que ac-
En el caso de los niños de menos de 36 kg o de altura i n-
túe ninguna fuerza para detenerlos hasta que se estrellan
ferior a 1,5 metros, el cinturón de seguridad no es efec-
contra el volante, el parabrisas o el panel de instrumentos.
tivo, por lo que deben utilizar elementos de retención
Un golpe de este tipo a 50 km/h es equivalente a caer des-
homologados y adecuados a su masa y estatura.
de el segundo piso de un edificio. La principal función del
Así que hay que recordar que el cinturón es un seguro
cinturón de seguridad es mantener a los pasajeros en su
de vida y no hay que olvidar de abrochárselo siempre.
asiento y evitar que salgan despedidos fuera del vehículo o
El dispositivo del airbag no es un sustituto del cinturón
que se desplacen dentro del habitáculo en caso de colisión.
de seguridad, sino un complemento, ya que ambos ele-
En ensayos de laboratorio simulando choques fronta-
mentos están diseñados para trabajar juntos y si el air-
les, y usando maniquíes, se ha demostrado la altísima
bag se activa sin el cinturón puede ser incluso perjudicial.
INVESTIGA 1. En la enciclopedia Wikipedia puedes encontrar información sobre los distintos tipos de cinturones de seguridad y sobre su historia: http://es.wikipedia.org 2. Si quieres profundizar sobre el uso del cinturón de seguridad y las diversas campañas sobre su uso o sobre otros aspectos o normas de la circulación, puedes encontrar información en la página de la Dirección General de Tráfico: http://www.dgt.es/enterate/home.htm
1 · El movimiento
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EN RESUMEN Movimiento elementos
Sistema de referencia
determina
Módulo
Posición
Trayectoria
Vector desplazamiento
Distancia recorrida
Rectilínea
Curvilínea
Vector velocidad
Rapidez
Aceleración normal igual a cero
Aceleración normal distinta de cero
Sentido
Dirección
variación
variación
Aceleración tangencial
Aceleración normal
AMPLÍA CON… • JAVIER AMANTE (1987): La base de la Física. Editorial:
Penthalon. • Mª CONSUELO ESCOTET SUÁREZ (1999): Experimentos de Física.
Investigación científica en secundaria. Editorial: Narcea, SA de ediciones. • JOSÉ M. VAQUERO (2003): La nueva Física: Galileo. Colección
• La página http://www.walter-fendt.de/ph14s/ presenta
simulaciones interactivas de movimientos y sus representaciones gráficas. • En la página http://newton.cnice.mecd.es/ del proyecto
Newton de Física se abordan los diferentes elementos del movimiento y los movimientos rectilíneos y circular.
científicos para la historia. Nívola Libros y Ediciones. • JUAN IGNACIO MENGUAL (2006): Física al alcance de todos.
Editorial Pearson. • JAMES DE KAKALIOS (2006): La Física de los superhéroes.
Editorial: Ediciones Robinbook.
• El Universo mecánico. Lección 2. La ley de la caída de los
cuerpos. Ed. Arait. Multimedia. • Cinemática 1. Ed. Didascalia. 29 minutos. • El movimiento. Ancora Audiovisual SA. 22 min.
