El Grupo de Lorentz Eduardo Edua rdo Rodr Ro dr´´ıguez ıgue z S. Programa Programa de Doctorado en Ciencias Ciencia s F´ısicas, Departamento de F´ısica, Universidad Univers idad de Concepci´ Concepci´ on
10 de abril de 2003
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Los Grupos pos
Definici´ on on: Un gru grupo po G es un conjunto de elementos a , b , c , . . . dotado de
una operaci´on on binaria · tal que 1. Si a y b son elemento elementoss del grupo, entonces entonces a · b tambi´ ta mbi´en en lo es. 2. La multiplic multiplicaci´ aci´ on on es asociativ asociativa: para tres elementos elementos cualesquiera cualesquiera del grupo, a,b,c, ( a · b) · c. a,b,c, se cumple que a · (b · c) = (a 3. Existe Existe un elemento elemento identidad, identidad, e, tal que, para cualquier elemento a del grupo, se tiene que e · a = a. 4. Todo element elementoo a del grupo posee un elemento inverso, a−1 , tal que a−1 · a = e. Los grupos son una de las estructuras algebraicas m´as as simples que existen, y sin embargo (o quiz´as as por eso mismo) resultan extraordinariamente interesantes. En f´ f´ısica, los grupo g ruposs surgen surg en en el estudio estu dio de d e las simetr´ıas ıas de d e los sistemas f´ısicos. El caso m´ as as simple de una simetr´ simetr´ıa es la simetr´ıa ıa especuespec ular; decimos decimos que un objeto es “sim´ “sim´etrico” etrico” cuando cuando podemos dividirlo dividirlo en dos mitade mitadess iguale iguales. s. Esto Esto signifi significa ca que una de las mitades mitades puede puede ser obteni obtenida da de la otra mediante la reflexi´on on en un espejo. espejo. Llamem Llamemos os R a la operaci´on on de reflejar reflejarse se en el espejo. espejo. Si reflejam reflejamos os la reflex reflexi´ i´on, on, obtenemos la imagen original: 1. R2 = 1. 1
Aqu´ı el n´ umero 1 es solamente un s´ımbolo para indicar la operaci´ on de “no hacer nada”: reflejarse dos veces en el espejo es lo mismo que no hacer nada. El conjunto Z 2 = {1, R} forma un grupo, y su tabla de multiplicaci´on es Z 2 :
1 R R 1
Este es el ´unico grupo con dos elementos que existe, o m´as bien, todos los grupos con dos elementos son isomorfos a Z 2 . Es tambi´ en el primer grupo no trivial que existe, y el m´as simple de todos. Con tres elementos tambi´ en puede formarse un solo grupo, el cual es llamado Z 3 . Su tabla de multiplicaci´on es 1 a b Z 3 : a b 1 b 1 a Hay justamente dos grupos con cuatro elementos Z 4 y el “cuadrigrupo” V . Sus tablas de multiplicaci´on son 1 a Z 4 : b c
a b c 1
b c 1 a
1 a V : b c
c 1 , a b
a 1 c b
b c 1 a
c b a 1
Las tablas de estos grupos son sim´etricas con respecto a la diagonal principal; esto ocurre porque todos ellos son grupos abelianos : si a y b son dos elementos cualesquiera del grupo, entonces ab = ba. En general, Z n es el grupo c´ıclico de n elementos, el cual puede ser representado por los n´ umeros Z n =
2πi exp
n
k , k = 0, 1, . . . , n − 1 ,
los cuales son las ra´ıces n-´esimas de la unidad. Existe una sutil distinci´on entre un grupo como ente algebraico abstracto on de un grupo es un y una representaci´o n del mismo. Una representaci´ mapeo entre los elementos del grupo y un grupo de matrices que preserva la 2
Figure 1: El grupo c´ıclico Z 6
ley de multiplicaci´on del grupo. Esto es, si a y b son elementos de un grupo y T es una representaci´on, entonces T (ab) = T (a) T (b) . En el caso de Z n , las ra´ıces n-´esimas de la unidad juegan el rol de “matrices” de 1 × 1 que representan el ente abstracto que es el grupo. Podemos dar un paso m´ as adelante y considerar U (1) = eiθ , θ ∈ R ,
el grupo de todos los n´umeros complejos de m´odulo 1. Este grupo tiene infinitos elementos, y es nuestro primer ejemplo de un Grupo de Lie . En general, un Grupo de Lie es un grupo cuyos elementos son funciones anal´ıticas de un cierto n´umero finito de par´ametros reales. En el caso de U (1), el ´angulo ´ nico par´ametro real involucrado en la definici´on de los elementos del θ es el u grupo. Es claro que el rango de variaci´on de θ puede restringirse al intervalo cerrado [0, 2π], y que eso basta para generar todos los elementos del grupo. Se dice que un grupo de Lie es compacto si sus par´ametros tienen rangos compactos (i.e., cerrados y acotados). El espacio de par´ametros de un grupo de Lie es un ejemplo de una variedad, y esta variedad, en cierto sentido, es el grupo mismo. Es decir, cada 3
punto de la variedad se corresponde con un elemento del grupo abstracto, de modo que podemos afirmar que un grupo de Lie es una variedad con estructura extra de manera de poder definir una operaci´on binaria entre sus puntos (que cumple con los axiomas de grupo). As´ı, U (1) es un c´ırculo, o cualquier otra variedad topol´ogicamente equivalente a un c´ırculo.
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Las rotaciones son un grupo: SO (3)
Las rotaciones en dos dimensiones son algo sencillo de manejar; por ejemplo, la rotaci´on de los ejes coordenados x e y por un ´angulo θ se escribe como x = (cos θ) x + (sin θ) y, y = − (sin θ) x + (cos θ) y, o bien,
x
y
=
cos θ sin θ − sin θ cos θ
x y
.
Esta matriz de rotaci´on cumple con las propiedades RT R = 1,
det(R) = 1.
Todas las matrices R de 2 × 2 que cumplen con estas propiedades forman un grupo, el cual es llamado SO (2). La nomenclatura usada es “S ” por special (det(R) = 1) y “O” por orthogonal RT R = 1 , adem´ as del n´umero 2 que indica la dimensionalidad de las matrices. En realidad, estas matrices forman la “representaci´on definitoria” de SO (2). Una rotaci´on infinitesimal es obtenida para un ´angulo δθ muy peque˜ no: en este caso, la matriz de rotaci´on toma la forma
R (δθ) =
1 δθ −δθ 1
1 0 =
+ δθ
0 1
0 1 −1 0
.
Esto significa que podemos escribir una rotaci´on infinitesimal como R (δθ) = 1 + (δθ) T, donde T =
0 1 −1 0 4
.
Figure 2: Rotaci´on en dos dimensiones
La expresi´on R (δθ) = 1 + (δθ) T puede interpretarse como los primeros dos t´erminos en una expansi´ on en serie de potencias en el ´angulo δθ. En efecto, cualquier rotaci´on de SO (2) puede escribirse en la forma R (θ) = exp (θT ) , como puede verificarse f´acilmente evaluando el lado derecho. Para realizar este c´alculo, notamos que T 2 = de donde
−1 0
T 2n = (−1)n ,
0 −1
,
T 2n+1 = (−1)n T.
As´ı, ∞
n
(θT ) , exp(θT ) = n! θ θ = T + T (2n)! (2n + 1)! (−1) (−1) = θ + θ n=0 ∞
n=0 ∞
∞
2n
2n
n=0 ∞
n
2n+1
n=0
2n+1
n=0
= cos θ + (sin θ) T, =
cos θ sin θ − sin θ cos θ 5
.
,
n
2n
(2n)!
2n+1
(2n + 1)!
T,
Este an´alisis es extrapolable a las rotaciones tridimensionales. Una rotaci´on en tres dimensiones es una matriz de 3 × 3 que satisface RT R = 1,
det(R) = +1.
Estas matrices forman el grupo SO (3). Si escribimos R = exp (G) , entonces la condici´on RT R = 1 implica que G debe ser una matriz antisim´etrica, GT = −G. La maravillosa f´ormula det(exp(M ) ) = exp (Tr (M )) implica entonces que el requerimiento det (R) = +1 es autom´aticamente satisfecho, ya que Tr (G) = 0. Todas las matrices antisim´etricas de 3 × 3 forman un espacio vectorial, ya que combinaciones lineales de ellas siguen siendo antisim´ etricas. Esto significa que cualquier matriz antisim´etrica de 3 × 3 G puede ser escrita como una combinaci´ on lineal de tres matrices base T a en la forma G = Ga T a . Una base conveniente para este espacio est´a dada por las matrices
0 T = 0 1
0 0 0 +1 0 −1 0
,
T = 2
0 0 −1 0 0 0 +1 0 0
,
0 T = −1 3
0
+1 0 0 0 0 0
.
Cada una de estas matrices sirve para generar una rotaci´on en torno a un eje coordenado. Por esta raz´on, ellas son llamadas los generadores de SO (3). Toda la informaci´on acerca de la regla de combinaci´on de rotaciones queda algebra de Lie de SO (3): codificada ahora en el ´ [T i , T j ] = −εijk T k . Conociendo esta ´algebra podemos calcular la combinaci´ on de dos rotaciones arbitrarias usando la f´ormula de Baker-Campbell-Hausdorff
1 1 exp(A)exp(B) = exp (A + B) + [A, B] + [A, [A, B]] + . . . . 1! 2! 6
En tres dimensiones, es tan l´ıcito hablar de un eje de rotaci´on como decir que la rotaci´on ocurre en tal o cual plano; as´ı, podemos tanto decir que una rotaci´on se realiza con respecto al eje z como que est´a confinada al plano xy. Podemos hacer expl´ıcita la referencia al plano de la rotaci´ on definiendo λ jk ≡ ε jk λ , J jk ≡ ε jk T . Esta definici´on nos permite decir que el generador J 12 , por ejemplo, corresponde a rotaciones que ocurren en el plano 1-2. En t´erminos de nuestros nuevos par´ametros y generadores, una rotaci´on se escribe en la forma R = exp
1 2
k
λ J k ,
y el ´algebra de Lie de SO (3) llega a ser [J ij , J k ] = δ kj J i − δ ki J j + δ j J ki − δ i J kj . La ventaja de escribir el ´algebra y los generadores de esta manera es que esta versi´on es generalizable a cualquier n´umero de dimensiones; en particular, a las cuatro dimensiones del espacio-tiempo de Minkowski.
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Algunas palabras sobre Relatividad Especial
La teor´ıa Especial de la Relatividad est´ a basada en dos postulados:
• Todos los observadores inerciales son equivalentes. • La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores inerciales. Estos postulados pueden implementarse en forma natural si, siguiendo a Minkowski, asumimos que el espacio y el tiempo forman una sola entidad tetradimensional llamada espacio-tiempo , en el cual las distancias se miden usando ds2 = −c2 dt2 + dx2 + dy2 + dz 2 .
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etrico Introduciendo el tensor m´
ηµν
−1 0 = 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
podemos escribir ds2 concisamente en la forma ds2 = ηµν dxµ dxν , donde xµ = (ct,x,y,z ). Esta distancia es invariante bajo las transformaciones de Lorentz
xµ → xµ = Λµν xν , donde los coeficientes Λµν satisfacen Λµρ Λν σ ηµν = ηρσ . Un 4-vector es un conjunto de 4 n´umeros Aµ con una ley de transformaci´on definida bajo xµ → xµ = Λµν xν . Decimos que Aµ es un vector si cambia bajo transformaciones de Lorentz seg´un la ley Aµ → Aµ = Λµν Aν . Definiendo Aµ ≡ ηµν Aν , encontramos que la contracci´ on Aµ Aµ es invariante bajo transformaciones de Lorentz. El primer ejemplo de un cuadrivector se tiene al considerar una curva µ x = xµ (τ ) y su vector tangente dxµ /dτ . Este vector es llamado la cuadrivelocidad de la part´ıcula que se mueve en la curva, y nos sirve para definir entum : el 4-vector mom´ dxµ µ p ≡ m , dτ donde m es la masa de la part´ıcula.
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El grupo de Lorentz: SO (3, 1)
Una transformaci´o n de Lorentz es una matriz Λ de componentes Λ µν que satisface Λµρ Λν σ ηµν = ηρσ .
Definiendo ΛT
µ ν
= Λ ν µ podemos escribir esta ecuaci´on en forma matricial: ΛT ηΛ = η.
Si recordamos que la m´etrica en el espacio euclideano tridimensional es la matriz identidad, podemos decir que una rotaci´on tridimensional queda definida por RT 1R = 1. La analog´ıa es clara: las transformaciones de Lorentz corresponden a las rotaciones en el espacio de Minkowski . Estas rotaciones forman un grupo, el cual es llamado el Grupo de Lorentz y denotado por SO (3, 1). Tal como est´a, este grupo incluye tambi´en matrices como
1 0 Λ = 0 p
0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 −1
,
la cual, si bien cumple con ΛT ηΛ = η, tiene det (Λ p ) = −1. Ella es un ejemplo de lo que llamamos una transformaci´on de Lorentz impropia . Un an´alisis detallado revela que los elementos del grupo de Lorentz pueden ser clasificados de acuerdo a la tabla siguiente: det (Λ) = +1 det (Λ) = −1 Λ00 ≥ +1 L↑+ L↑− Λ00 ≤ −1 L↓+ L↓− De estos cuatro subconjuntos, s´olo L↑+ constituye un grupo por si mismo (es el u ´nico que contiene la identidad), el cual es conocido como grupo de Lorentz restringido. Todos los elementos del grupo de Lorentz pueden obtenerse mediante combinaciones de transformaciones de Lorentz restringidas con las
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on temporal: operaciones de paridad e inversi´
1 0 Λ = 0 p
0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 −1
,
−1 0 Λ = 0 t
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
Dado que estas transformaciones pueden ser consideradas separadamente, de ahora en adelante nos dedicaremos en forma exclusiva a estudiar el grupo de Lorentz restringido. Esto presenta la ventaja de que cualquier elemento del grupo de Lorentz restringido puede ser alcanzado desde la identidad mediante un cambio continuo en los par´ametros de la transformaci´on. Por lo tanto, podemos estudiar el grupo en la vecindad de la identidad y obtener de esta manera toda la informaci´on que requiramos. Una transformaci´on de Lorentz infinitesimal puede ser escrita como Λµν = δ ν µ + λµν , donde los par´ametros infinitesimales λµν deben satisfacer la condici´on λµν = −λνµ para asegurar que Λ sea una transformaci´on de Lorentz v´alida. Su acci´ on sobre las coordenadas xµ del espacio-tiempo de Minkowski puede ser escrita como δxµ = λµν xν . Introducimos ahora matrices J ρσ con la propiedad 1 λµν = λρσ (J ρσ )µν , 2 de modo que sea posible escribir 1 δxµ = λρσ (J ρσ )µν xν . 2 Es f´acil convencerse que la forma expl´ıcita para estas matrices debe ser (J ρσ )µν = δ ρµ ησν − δ σµ ηρν .
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Para que no quede ninguna duda:
J 10
J 12
0 −1 0 −1 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 = 0 −1 0 0
0
0
, 0 0 , 0 0 0 0 0
J 20
J 23
0
0 0 −1 0 0 0 0 0 , = −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , = 0 0 0 +1 0 0 −1
J 30
J 31
0
0 0 0 0 = 0 0 −1 0 0 0 0 0 = 0 0
0 0 0 0 +1 0
Usando esta representaci´on de los generadores calculamos el ´algebra de Lie del grupo de Lorentz, la cual est´a dada por los conmutadores [J ρσ , J µν ] = ηµσ J ρν − ηµρ J σν + ηνσ J µρ − ηνρ J µσ .
Esta es exactamente la misma ´algebra obedecida por los generadores de rotaciones tridimensionales; esto es, las componentes espaciales de los generadores J ρσ se corresponden fielmente con los generadores J ij de SO (3). Adem´as de las rotaciones puramente espaciales generadas por los J ij , el grupo de Lorentz incluye tambi´en rotaciones que involucran al eje del tiempo y una direcci´on espacial. Estas transformaciones, que son generadas por las matrices J i0 , son conocidas como boosts . Es posible demostrar que cualquier transformaci´ on de Lorentz puede ser escrita un´ıvocamente como el producto de una rotaci´on espacial y un boost. Por ejemplo, para un boost en la direcci´on 1 con par´ametro λ10 = φ, tenemos cosh φ − sinh φ 0 0 − sinh φ cosh φ 0 0 Λ = exp (φJ 10 ) = . 0 0 1 0 0 0 0 1
Esto significa que el cambio en x y t bajo este boost puede escribirse como ct = (cosh φ) ct − (sinh φ) x, x = (sinh φ) ct − (cosh φ) x. Definiendo γ ≡ cosh φ,
β ≡ tanh φ, 11
, 0 −1 . 0
0 −1 0 0 0 0 0 0
0
estas transformaciones toman la forma ct = γ (ct − βx) , x = γ (x − βct) . Estas f´ormulas corresponden a las “transformaciones de Lorentz” del modo en que fueron escritas por primera vez (all´a por 1900) si identificamos v β ≡ , c
γ ≡
1 1− β , 2
donde v es la velocidad relativa de dos sistemas de referencia en “configuraci´on est´andar” y c es la velocidad de la luz. Estas ecuaciones son las que predicen la contracci´on de las longitudes y la dilataci´on del tiempo, y fueron uno de los puntos de partida de la Teor´ıa Especial de la Relatividad. Vale la pena notar que, desde nuestro punto de vista, ellas son un caso muy particular de rotaci´on en el espacio-tiempo de Minkowski. La combinaci´on de dos boosts produce, en general, una transformaci´ on que est´a compuesta por una rotaci´o n m´as un boost. En el caso particular en que ambos boosts ocurren en la misma direcci´on, el resultado puede escribirse como un boost puro. Si φ1 y φ2 son los par´ametros de dos boosts en la direcci´on 1, entonces la transformaci´on de Lorentz que corresponde a la combinaci´on de ambos se obtiene multiplicando las matrices de boost con par´ametros φ1 y φ2 . El resultado es
cosh (φ + φ ) − sinh(φ + φ ) Λ = 0 1
2
1
2
3
0
− sinh(φ1 + φ2 ) cosh (φ1 + φ2 ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
Esto quiere decir que la ley de combinaci´on para los par´ametros de boosts en una misma direcci´on es simplemente φ3 = φ1 + φ2 . En t´erminos de β y γ , esta ley se traduce en β 1 + β 2 , 1 + β 1 β 2 γ 3 = γ 1 γ 2 (1 + β 1 β 2 ) .
β 3 =
12
La versi´on v3 =
v1 + v2 1 + vc v 1
2
2
es conocida popularmente como la ley de adici´on de velocidades en Relatividad Especial. Ella predice, por ejemplo, que es imposible alcanzar la velocidad de la luz sumando varias velocidades inferiores a c.
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