CERCHI DI MOHR nel caso di stati di tensione piani o spaziali con una tensione principale nota a
http://ulisse.polito polito.it/mat .it/matdid/1in did/1ing g aer B4600 TO 0/). Autore: Autore: Fabrizio abrizio Barpi, Barpi, Gennaio Gennaio 2006 (http://ulisse.
a
1
Determ Determina inazio zione ne grafica grafica e analiti analitica ca delle delle tension tensionii princip principali ali y yy
=2
= 1.5
zz
y
I dati iniziali (in modulo), nel riferimento (x,y,z), x,y,z), sono (Fig. 1, sinistra):
σ σ τ σ
N/mm2 N/mm2 N/mm2 N/mm2
= 10 = 2 = 2 = 1.5
xx yy
xy xy zz
n
xx
xx
= 10 x
z xy
zz
=2
yy
Figura 1: Stato di tensione iniziale (sinistra); vettori
1.1
t n
x
n
e
v
(destra).
Trattaz rattazion ione e grafica grafica
La tensione σzz = 1.5 ´e principale in quanto, sul piano di normale z , non agiscono agiscono tensioni tangenzial tangenziali. i. La costruzione costruzione grafica (Fig. 2, in alto) ´e fatta seguendo le convenzioni convenzioni di segno indicate: •
σxx , σyy : positive se di trazione,
•
τ xy xy : positive se fanno ruotare in senso orario il cubetto elementare cui sono applicate,
•
ϑ: positivo se antiorario ,
da cui risultano σxx = +10N/mm +10N/mm2 , σyy = −2N/mm2 e τ xy +2N/mm2 . Si posizionano i punti: P ( P (σxx = +10, +10, τ xy xy = +2N/mm xy = +2) e P (σyy = −2, −τ xy xy = −2), si individua il polo P (tracciando la retta parallela all’asse delle σn da P e la parallela all’asse delle τ n da P ) e si trova (classificando, ad esempio, le tensioni principali in modo che σ1 > σ2 > σ3 ): σ1 ≈ 10 10..3, σ2 = 1.5 e σ3 ≈ −2.3 (Fig. 2, in basso a sinistra). A questo questo punto ´e possibile possibile calcolare calcolare le tensioni tensioni su una giacitura qualsiasi. qualsiasi. Se, ad esempio, esempio, si desiderano desiderano le tensioni tensioni agenti sulla faccia la cui normale n ´e inclina incl inata ta di ϕ = 30 (Fig. 1, destra), si traccia una retta inclinata di 30 dalla fondamentale P P o di 2 × 30 = 60 dalla fondamentale P P e si individua indivi dua cos´ cos´ı il punto P 30 30 le cui coordinate danno σn e τ n . In maniera analoga si procede per il punto P 120 120 (Fig. 2, in basso a destra).
∗
◦
∗
◦
1.2
◦
◦
Trattaz rattazion ione e analiti analitica ca
Le convenzioni di segno valide per la trattazione analitica dei cerchi di Mohr sono: •
σxx , σyy τ xy ( x,y,z), ), xy : positive se concordi con le direzioni (x,y,z
•
ϑ: positivo se antiorario ,
2 quindi, con σxx = +10N/mm +10N/mm2 , σyy = −2N/mm2 e τ xy xy = −2N/mm :
1 2 τ xy 1 2 × (−2) xy ϑ = atn = atn = −9.2 , 2 σxx − σyy 2 10 − (−2) ◦
σ
1
σ3
=
1 1 (σxx + σyy ) ± 2 2
= 4 ± 6.33 =
σ
1
σ3
Se ϕ = 30 , indicando con
(σ
yy
− σxx )2
rotazione oraria,
1 1 2 + 4 τ xy (10 + (−2)) ± xy = σn (C ) ± R = 2 2
n
n
v
x
T
n tn
(Fig. 1, destra):
◦
−
◦
−
−
◦
y
n
n
◦
x y
v
T
n σn
− − 10)2
= 10 10..33 N/mm2 . = −2.33 N/mm2
della direzione e con il versore normale a n cos ϕ ilversore 0.866 cos(30 ) = = = = , n sin ϕ sin(30 ) 0.500 v sin ϕ sin(30 ) 0.500 = = = = , da cui: v cos ϕ cos(30 ) 0.866 σ τ n σ = = = n n = σ n + 2τ 2τ n n + σ ◦
( 2
x
y
xx
yx yx
x
τ xy xy
σyy
ny
2
xx
x
xy xy
x
y
yy
= 10 × 0.8662 + 2 × (−2) × 0.866 × 0.500 + (−2) × 0.5002 = 5.27 27N/mm N/mm2 = σ30 .
ny 2 =
+ 4 × (−2)2 =
τ n = v
T
=v
tn
T
σn
σ v
= v
x
τ yx σyy
xx
y
τ xy
n x
ny
= σxx nx vx + τ xy (nx vy + ny vx ) + σyy ny vy =
= 10 × 0.866 × (−0.500) + (−2)[0.866 × 0.866 + 0.500 × (−0.500)] + (−2) × 0.500 × 0.866 = −6.20N/mm2 = τ 30 . Se, invece, ϕ = 30 + 90 = 120 : ◦
n
◦
◦
π
n cos(ϕ + ) cos(30 + 90 ) 0.500 = = = = , n sin(ϕ + ) sin(30 + 90 ) 0.866 v sin(ϕ + ) sin(120 ) 0.866 x
π
y
v
◦
◦
◦
−
2
x
=
◦
2
vy
π
−
=
cos(ϕ + 2 )
◦
−
=
2
π
− −0.500
=
cos(120 ) ◦
,
da cui:
σn = σxx nx 2 + 2τ xy nx ny + σyy ny 2 = 10 × (−0.500)2 + 2 × (−2) × (−0.500) × 0.866+ +(−2) × 0.8662 = 2.73N/mm2 = σ120 . τ n = σxx nx vx + τ xy (nx vy + ny vx ) + σyy ny vy = = 10 × (−0.500) × (−0.866) + (−2)[(−0.500) × (−0.500) + 0.866 × (−0.866)]+ +(−2) × 0.866 × (−0.500) = +6.20N/mm2 = τ 120 . Va notato che i segni di σn e τ n risultano positivi o negativi a seconda siano concordi o discordi con i versori n e v. I valori trovati coincidono con quelli misurati sul cerchio di Mohr (Fig. 2) in corrispondenza dei punti P 30 e P 120 . Si pu´ o risolvere per altra via il problema anche imponendo il parallelismo tra il vettore tensione tn
= σn = σn n,
da cui si ottiene il sistema lineare ed omogeneo
Per avere soluzioni diverse da essere det( σ − σn I ) = 0:
σ det τ xx
− σn
n
=
τ yx
e la normale
n:
(σ − σn I )n = 0.
(la cosidetta soluzione banale, non accettabile in quanto nx 2 + ny 2 + nz 2 = 1) deve
τ zx τ zy
σyy − σn τ yz
xy
τ xz
0
tn
σzz − σn
10 = det
− σn −2
−2 −2 − σn
0 0
0
1.5 − σn
0
= 0.
Risolvendo rispetto a σn si ricavano le tre tensioni principali σ1 , σ2 e σ3 :
σ σσ
= 10.33 N/mm2 = 1.5 N/mm2 . = −2.33 N/mm2
1
2
(1.5 − σn )(σn − 8σn − 24) = 0,
2 3
Risolvendo il sistema (σ − σn I )n = 0 in corrispondenza dei tre valori σ1 , σ2 e σ3 si ottengono i tre autovettori del sistema. Ricordando che nx 2 + ny 2 + nz 2 = 1, si ricava:
σ τ xx
− σ1
n 0 10 10.33 2 n 0 0 n = 0 , 2 2 10.33 0 n = 0 , σ σ τ σ σ 0 0 0 1.5 10.33 0 n n n 0.987 0.163 , ϑ = 9.4 = n 180 ; n = 0.000 n 0 10 1.5 2 n 0 τ τ 0 n = 0 , 2 2 1.5 0 n = 0 , σ σ τ τ σ σ 0 0 0 1.5 1.5 0 n n n 0.000 = n , n = 0.000 1.000 n 0 10 ( 2.33) n 0 τ τ 2 0 n = 0 , 2 n = 0 , σ σ τ 2 ( 2.33) 0 τ σ σ 0 0 0 1.5 ( 2.33) 0 n n n 0.163 0.987 , ϑ = 80.6 = n 180 . n = 0.000 τ yx
xy
yy
τ xz
−
1
yz
τ zx τ zy
1
−
1
zz
1
da cui:
1
n
1
y
1
1
y
1
− − −
x 1
y 1
−
z
±
x
− −
x
1
−
◦
±
z
◦
1
z
2
σ τ xx
− σ2
yx
xy
yy
τ xz
zx
− −
x 2
−
2
yz
zy
zz
−
y
2
2
2
− − −
x 2
y
−
z
2
z
2
da cui:
2
n
x 2
y
2
±
z
e
σ τ xx
3
− σ3
yx
xy
yy
τ xz
zx
3
−
zz
3
da cui:
n
zy
3
yz
3
− − −
x
x 3
y
−
± ±
y
3
3
3
− − − −
x 3
y
− −
z
3
◦
±
3
z
◦
3
z
Naturalmente n2 coincide con l’asse z. Inoltre, le tensioni e le direzioni principali coincidono con quelle trovate in Fig. 2. Si pu´ o verificare che che le tre direzioni principali sono ortogonali tra loro.
1
La scelta del segno nelle componenti dei tre versori destrorsa (n1 × n2 · n3 = +1).
2
n
,
2
n
e
3
pu´ o essere fatta imponendo che la terna principale sia
n
OSSERVAZIONI •
Va ricordato che i cerchi di Mohr sono tre.
•
La tensioni trovate con il cerchio di Mohr (trattazione grafica e analitica) sono agenti sulla faccia normale alla direzione in esame.
•
Il polo P va scelto in modo tale che, tracciando le direzioni delle normali alle facce del cubetto dal polo, si ritrovino le tensioni agenti su quelle stesse facce. Quindi, tracciando da P la retta parallela all’asse delle σn si devono ritrovare, in modulo e segno, le tensioni agenti sulla faccia verticale ( σxx e τ xy ) mentre, tracciando da P la retta parallela all’asse delle τ n si devono ritrovare, in modulo e segno, le tensioni agenti sulla faccia orizzontale (σyy e τ yx ). ∗
∗
∗
•
La massima tensione tangenziale τ max coincide con il raggio R del cerchio (6.33N/mm2 nell’esempio).
P30
n
(5.27, 6.20)
Fondamentali per la misura degli angoli
30
= 6.20
= 30°
max
2
P*
= 6.33
= 60° P
(10, 2)
= 9.2° 2=
=1.5 zz
= 18.4°
O
n
C (4,
P' (–2, 120
0)
–2)
1
1 n
R = 6.33
= –6.20
30
= 5.27
max
= 6.33
3 3 n
P120
120
3
(2.73, –6.20)
2 N/mm2
= 2.73
= –2.33
y
1=
3
10.33
= –2.33
120
= 2.73
y 2
1 2 n
2
30
2
z
=1.5 120
= 6.20
= 5.27
x
x
2
1 1 n
3
1
3
= 10.33
30
= 6.20
30
2
2
=1.5 120
z
3 n
Tensioni agenti nel riferimento principale
Tensioni agenti nel riferimento ruotato di +30 (in senso antiorario) °
Figura 2: Costruzione grafica dei tre cerchi di Mohr (in alto); riferimento e tensioni principali (in basso a sinistra); riferimento e tensioni nel sistema ruotato di +30 (in basso a destra). ◦
NOTE .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................
