Capítulo 1 Mecánica de fluidos. Por lo general, la materia se clasifica como perteneciente a uno de tres estados: sólido, líquido o gas. Un fluido es un conjunto de moléculas que se ordenan aleatoriamente y se mantienen juntas mediante fuerzas cohesivas débiles y fuerzas que ejercen las paredes de un recipiente. Tanto líquidos como gases son fluidos.
1.1 Densidad, Tensión y deformación. 1.1.1 Densidad Un material homogéneo tiene la misma densidad en todas sus partes.
rho
m
1
V
El material más denso que se encuentra en la tierra es el osmio 22,500 kg/m 3
Gravedad específica o densidad relativa. Es la relación entre la densidad de una sustancia y la del agua a 4 oC, 1000 kg/m 3
Sus tan cia agua
Densidad media. La densidad de algunos materiales varía de un punto a otro dentro del material. Ejemplo:
Cuerpo humano
La atmosfera terrestre
Batería de auto, ácido sulfúrico 1.30x10 3 kg/m3 baja hasta 1.15x10 3 kg/m3.
Anticongelante 1.12x103 kg/m3
Problema 1 Calcule la masa y el peso del aire en una estancia a 20 oC cuyo piso mide 4.0 m x 5.0 m y que tiene una altura de 3.0 m. ¿Qué masa y peso tiene un volumen igual de agua?
Solución La masa de aire será:
El peso de aire será:
La masa de agua será:
El peso de agua será:
1.1.2 Tensión y deformación. Magnitud física que representa la fuerza la fuerza por unidad de área de área en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio continuo. Es decir posee unidades físicas de presión. También se denomina esfuerzo esfuerzo cortante. La definición anterior se aplica tanto a fuerzas localizadas como fuerzas distribuidas, uniformemente o no, que actúan sobre una superficie.
1.2 Presión en un fluido. Los fluidos estáticos no experimentan fuerzas de tensión. Los fluidos estáticos ejercen un esfuerzo sobre un objeto sumergido, perpendicular a todas las superficies de dicho objeto. P
F A
En términos diferenciales: dF 1 Pa
PdA
1 N / m
2
Problema 2 El colchón de una cama de agua mide 2.00 m de largo por 2.00 m de ancho y 30.0 cm de profundidad.
A) Encuentre el peso del agua en el colchón. B) Encuentre la presión que ejerce el agua sobre el suelo cuando la cama de agua descansa en su posición normal. Suponga que toda la superficie inferior de la cama tiene contacto con el suelo.
Solución A) Hallar el volumen del agua que llena el colchón:
Utilizando la ecuación de la densidad:
El peso de la cama será:
B) Cuando la cama de agua está en su posición normal, el área en contacto con el suelo es 4.00 m 2. Con la ecuación de la presión:
¿Y si la cama de agua se sustituye con una cama regular de 300 lb que se sostiene en sus cuatro patas? Cada pata tiene una seccion transversal circular de 2.00 cm de radio. ¿Que presion ejerce esta cama sobre el suelo?
1.2.1 Variación de la presión con la profundidad En el agua la presión aumenta con la profundidad. En el aire la presión disminuye a mayor altura. La presión ejercida desde arriba es P o. La presión ejercida desde abajo es P. La fuerza ejercida por el cilindro es el peso del agua contenida en el cilindro. Mg Realizando un balance de fuerzas (tomando como positivo hacia arriba) y suponiendo que el cilindro está en equilibrio, la fuerza neta que actúa en él debe ser cero.
Por lo general Po es la presión atmosférica:
Cualquier aumento en presión en la superficie debe transmitirse a todo otro punto en el fluido. Este concepto lo reconoció por primera vez el científico francés Blaise Pascal (1623 – 1662) y se llama ley de Pascal: “Un cambio en la presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución a todos los puntos del fluido y a las paredes del contenedor”.
Problema 3: En un elevador de automóviles en una estación de servicio, el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un pequeño pistón que tiene una sección transversal circular y un radio de 5.00 cm. Esta presión se transmite mediante un líquido a un pistón que tiene un radio de 15.0 cm. ¿Qué fuerza debe ejercer el aire comprimido para elevar un automóvil que pesa 13 300 N? ¿Qué presión de aire produce esta fuerza?
Solución: Resuelva
F 1/ A1 = F 2/ A2 para F 1:
La presión se calcula mediante:
Problema 4: Estime la fuerza que se ejerce sobre su tímpano debido al agua cuando nada en el fondo de una alberca que tiene 5.0 m de profundidad. Estime que el área superficial del tímpano como aproximadamente 1cm 2=1x10-4m2.
Solución: El aire dentro del oído medio por lo general está a presión atmosférica. Entonces la fuerza neta sobre el tímpano es:
Y la fuerza neta sobre el oído será:
Problema 5: El agua llena una altura
H
detrás de un dique de ancho
resultante que el agua ejerce sobre el dique.
w .
Determine la fuerza
Solución: La presión ejercida a la pared se debe sólo al agua.
De la ecuación diferencial para la presión:
Integrando:
Por otro lado se sabe que la presión varía linealmente con la profundidad. Debido a eso, la presión promedio debida al agua sobre la cara del dique es el promedio de la presión en la parte superior y la presión en el fondo:
La fuerza total sobre el dique es igual al producto de la presión promedio y el área de la cara del dique:
Mediciones de presión. Para medir la presión atmosférica se utiliza el barómetro común.
Ejemplo: Determine la altura de una columna de mercurio para una atmosfera de presión,
P 0 =
1
atm = 1.013 x105 Pa:
El Manómetro es el instrumento para medir la presión de un gas contenido en un recipiente.
Problema 6 En dos tubos comunicantes que contienen mercurio se echa, por uno de ellos, una altura h de agua primero y otra altura igual h de aceite después, por el otro lado se echa también una altura h de un cierto líquido, de forma que el nivel del mercurio en este segundo tubo queda a una altura h/20 sobre el nivel del mercurio en el primero. Se pide calcular la densidad del líquido añadido en el segundo tubo. Se tomará la densidad del aceite como 0.91g/cm 3 y la del mercurio como 13.6g/cm 3.
Solución: x
1230kg / m
3
Problema 7 El gas encerrado en el depósito por el mercurio está a una presión P desconocida. En el tubo de la derecha, sobre el mercurio, hay una altura de agua de H=12 cm. La superficie de separación entre el agua y el mercurio está a 1cm por debajo de la superficie de separación entre el gas y el mercurio en el depósito. Se supone que la presión atmosférica en el lugar tiene el valor P atm=1020 mbar. Se pide: a) calcular la presión del gas, b) obtener la presión manométrica del gas en atm.
Solución a) P = 101.747kPa
b)
Problema 8 De la figura del manómetro inclinado determinar la presión del aire confinado, si el nivel de mercurio en el brazo izquierdo abierto a la atmosfera es justo igual a 2in del brazo derecho (cerrado con aire confinado). La gravedad específica del mercurio es 0.8.
Solución Paire = 100.53kPa
Problema 9 Un manómetro simple de tubo en U se utiliza para determinar la gravedad específica de un fluido que es más denso que el agua, tal como se muestra en la figura. Derive una expresión para la gravedad específica ( ) en términos de z1, z2, z3.
Solución
Problema 10 Para dos fluidos con densidades cercanos, pero menor que la del agua, la gravedad específica se determina mejor con el sistema mostrado en la figura. Derive una expresión para la gravedad específica ( ) en términos de z1, z2, z3 y z4.
Solución:
Problema 11 Para el sistema mostrado ¿Cuál es la presión en el tanque?
Solución
1.3 Principio de Arquímedes. En consecuencia, la magnitud de la fuerza de flotación sobre un objeto siempre es
igual al peso del fluido desplazado por el objeto . Para la deducción se toma un cubo dentro del agua:
El producto densidad por volumen es la masa M del fluido, entonces:
Caso 1: Objeto totalmente sumergido. La magnitud de la fuerza de flotación hacia arriba es
Si el objeto tiene una masa
M
y densidad ρobj, su peso es igual a:
y la fuerza neta sobre el objeto es:
La dirección de movimiento de un objeto sumergido en un fluido está determinada por las densidades del objeto y el f luido.
Caso 2: Objeto que flota. Densidad del objeto es menor que la del fluido. La fuerza de flotación tiene una magnitud
Ya que el peso del objeto es
Ya que:
La fracción del volumen de un objeto en flotación que está debajo de la superficie del fluido es igual a la relación de la densidad del objeto a la del fluido.
EJEMPLO: Según la tradición a Arquímedes se le pidió determinar si una corona hecha para el rey consistiera de oro puro. De acuerdo con la leyenda, el resolvió este problema al pesar la corona primero en aire y luego en agua. Suponga que lectura en la balanza es 7.84 N cuando la corona estaba en aire y 6.84 N cuando estaba en agua. ¿Qué dijo Arquímedes al rey?
SOLUCIÓN Aplique la condición de equilibrio de fuerza a la corona en agua:
Resuelva para
B
y sustituya los valores conocidos:
La fuerza de flotación B es equivalente al peso del agua desplazada
Donde el volumen de agua desplazada V a es igual al volumen de la corona:
Entonces la densidad de la corona es:
La densidad del oro es 19.3x10 3 kg/m3
¿ Qué pas aría s i? Suponga que la corona tiene el mismo peso, está hecha de oro puro y no esta hueca. ¿Cuál sería la lectura de la balanza cuando la corona estuviera sumergida en agua?
Encuentre la fuerza de flotación sobre la corona:
Encuentre la tensión en la cuerda que cuelga de la balanza:
Ejemplo:
Un iceberg que flota en agua de mar, es extremadamente peligroso porque la mayor parte del hielo está bajo la superficie. Este hielo oculto puede dañar una embarcación que aún está a una distancia considerable del hielo visible.
¿Que
fracción del iceberg
se encuentra bajo el nivel del agua? ρagua de mar = 1030 kg/m3 y ρhielo = 917 kg/m3.
Solución: La densidad del hielo y del agua de mar se encuentra en tablas:
Problema: Un cubo de madera que tiene una dimensión de arista de 20.0 cm y una densidad de 650 kg/m3 flota en el agua. (a) ¿Cuál es la distancia desde la superficie horizontal más alta del cubo al nivel del agua? (b) ¿Qué masa de plomo se debe colocar sobre el cubo de modo que la parte superior del cubo esté justo a nivel con el agua?
Solución a) Altura = 7 cm b) Masa de plomo = 2.8 kg
1.4 Tensión superficial y capilaridad. Tensión superficial. El clip flota en el agua a pesar de que su densidad es mayor que la del agua. La superficie de un líquido se comporta como una membrana en tensión.
Capilaridad
Es una propiedad de los líquidos que depende de su tensión superficial, y a su vez, depende de la cohesión del líquido y que le confiere la capacidad de subir o bajar por un tubo capilar. Cuando un líquido sube por un tubo capilar, es debido a que la fuerza intermolecular o cohesión intermolecular entre sus moléculas es menor que la adhesión del líquido con el material del tubo; es decir, es un líquido que moja.
1.5 Líneas de corriente y ecuación de continuidad. 1.5.1 Fluido laminar Se dice que el fluido es estable, o laminar (líneas de corriente), si cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme de tal modo que las trayectorias de diferentes partículas nunca se cruzan unas con otras.
1.5.2 Fluido turbulento Sobre cierta rapidez critica, el flujo de fluido se vuelve turbulento. El flujo turbulento es flujo irregular que se caracteriza por pequeñas regiones con forma de remolino.
1.5.3 Viscosidad. Grado de fricción interna en el fluido Esta fricción interna, o
fuerza viscosa ,
se asocia con la resistencia que tienen dos
capas adyacentes de fluido para moverse una en relación con la otra.
Flujo de fluido ideal 1. Fluido no es viscoso 2. Flujo estable (ideal) laminar 3. Fluido es incompresible, la densidad es constante 4. El flujo es irrotacional. No tiene cantidad de movimiento angular en torno a punto alguno
1.5.4 Ecuación de continuidad. M 1 1V 1
M 2 2V 2
M 1 1 A1x1
M 2 2 A2x2
x1 v1t
x2 v2 t
M 1 1 A1v1t
M 2 2 A2v2t
M 1 M 2 1 A1v1t 2 A2 v2 t 1 A1v1 2 A2v2
Para fluidos incompresibles: A1v1 A2v2
Ejemplo: Un jardinero utiliza una manguera de 2.50 cm de diámetro para llenar una cubeta de 30.0 litros (1 litro = 1000 cm 3). El jardinero nota que tarda 1.00 minuto en llenar la cubeta. A la manguera se le conecta una boquilla con una abertura de área de sección transversal igual a 0.500 cm 2, la boquilla se sostiene de modo que el agua se proyecte horizontalmente desde un punto situado a 1.00 m por encima del suelo. ¿Hasta qué distancia horizontal puede proyectarse el agua?
Solución: Razón de volumen de flujo en la cubeta y convirtiendo a m 3/s:
De la ecuación de la continuidad:
El componente de la velocidad en el eje “y” es cero debido a que es caída libre:
Con la velocidad inicial, se puede utilizar la ecuación de movimiento parabólico. y
1
2
2
gt
Despejando el tiempo:
t
2 y
2 *1.00m
g
9.80m / s
El componente de la velocidad en x es MRU.
2
0.452 s
1.6 Ecuación de Bernoulli. La ecuación de Bernoulli no es una ley física independiente; como se verá en esta sección, es una consecuencia de la conservación de la energía aplicada a un
fluido ideal. Suposiciones: Fluido incompresible No viscoso Circula en modo estacionario No turbulento El trabajo realizado en el extremo inferior del fluido por el luido que está detrás él es:
De la misma manera, el trabajo realizado por el luido sobre la parte superior en el tiempo Δt es
Es negativo porque la fuerza sobre el fluido en la parte superior es opuesta a su desplazamiento. El trabajo neto realizado por estas fuerzas en el tiempo Δt es:
Parte del trabajo neto es para cambiar la energía cinética del fluido:
La otra parte del trabajo neto es para cambiar la energía potencial del fluido:
Entonces:
Reemplazando todos los términos:
Si dividimos cada término entre
V
y recordamos que ρ =
m/V ,
esta expresión se
reduce a:
Reacomodando los términos:
Entonces la ecuación de Bernoulli se expresa como:
“los fluidos que se mueven con mayor velocidad ejercen menos presión que los que se mueven lentamente”
Ejemplo: Un policía miope dispara con su arma preferida de seis tiros a un abigeo. Por suerte para éste, la bala no da en el blanco, pero penetra en el tanque que surte de agua al pueblo, causándole una fuga. a) Si la parte superior del tanque está abierta a la atmósfera, determine la velocidad con la que sale el agua por el agujero cuando el nivel de agua está a 0.500 m encima de él. b) ¿A qué distancia llega el chorro de agua si el agujero está a 3.00 m por encima del suelo?
Solución: a) Suposiciones:
Reemplazando en la ecuación de Bernoulli.
b) Mediante cinemática:
Ejemplo: Un gran tubo con un área de sección transversal de 1.00 m 2 desciende 5.00 m y se angosta a 0.500 m 2, terminando en una válvula en el punto 1. Si la presión en el punto 2 es la presión atmosférica y la válvula se abre completamente permitiendo la libre salida del agua, encuentre la velocidad con la que ésta sale del tubo.
Solución: Escriba la ecuación de Bernoulli:
Resuelva la ecuación de continuidad para
Sabiendo que en el punto 1 y 2
v 2:
Entonces reemplazando todo en la ecuación 1:
1.7 Tubo de Venturi Este aparato puede ser usado para medir la velocidad de flujo de un fluido. Debido a que el tubo es horizontal:
Su velocidad
v 2
en la reducción debe ser mayor que su velocidad
v 1
en la región de
mayor diámetro.
Ejemplo Un tubo horizontal tiene la forma que se presenta en la figura. En el punto 1 el diámetro es de 6.0 cm, mientras que en el punto 2 es sólo de 2.0 cm. En el punto 1, v 1 = 2.0 m/s y
Solución
P 1 =
180 kPa. Calcule v2 y P 2.
De la ecuación de Bernoulli:
Sin embargo, v1 = 2.0 m/s y la ecuación de continuidad establece que:
Al sustituir se obtiene:
Ejemplo El tubo que se muestra en la figura tiene un diámetro de 16 cm en la sección 1 y 10 cm en la sección 2. En la sección 1 la presión es de 200 kPa. El punto 2 está 6.0 m más alto que el punto 1. Si un aceite de 800 kg/m 3 de densidad fluye a una tasa de 0.030 m3/s, encuentre la presión en el punto 2 si los efectos de la viscosidad son despreciables.
Solución De la ecuación de continuidad:
Se determina las velocidades en cada punto:
Con la ecuación de Bernoulli:
Con los datos:
Reemplazando:
Ejemplo: En la figura se muestra un medidor Venturi equipado con un manómetro diferencial de mercurio. En la toma, punto 1, el diámetro es de 12 cm, mientras que en la garganta, punto 2, el diámetro es de 6.0 cm. ¿Cuál es el flujo Q de agua a través del medidor, si la lectura en el manómetro es de 22 cm? La densidad del mercurio es de 13.6 g/cm 3.
Solución: De la lectura del manómetro se obtiene:
Se sabe que:
Se obtiene las velocidades:
Aplicando la ecuación de Bernoulli:
Las áreas son:
Entonces:
