Univ Un ivers ersida idad d Nacional de Ingeniería Ingeniería Facultad de Ciencias
Robinson Vásquez Olano
Clases de Física II
EDUNI
Rector Dr. Aurelio Pad illa Ríos Primer Vicerrector Geol. José S. Martínez Talledo Segundo Segundo Vicerrector MSc. Ing. Walter Z aldívar Álvarez Decano Decano FC: Dr. Wa lter Estrada López López
Primera edición Lima, junio de 2014 CLASES DE FÍSICA II Impreso en el Perú / Printed in Perú © Robinson Vásque z Olano Derechos reservados © Derechos Derech os de edición Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Av. Túpac Túpac Amaru 210, Rímac - Lima Telfs. 4810824 / 48 11070 anexo 237 Correo-e:
[email protected] Editorial Universitaria Av. Túpac Túpac Amaru 210, Rímac - Lim Limaa Telfs. 4814196 / 4811070 anexo 215 Correo-e:
[email protected]
Impreso por la Imprenta de la Editorial Universitaria de la Universidad Nacional de Ingeniería ISBN 978-612-4072-62-8 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2014-07879 Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.
Rector Dr. Aurelio Pad illa Ríos Primer Vicerrector Geol. José S. Martínez Talledo Segundo Segundo Vicerrector MSc. Ing. Walter Z aldívar Álvarez Decano Decano FC: Dr. Wa lter Estrada López López
Primera edición Lima, junio de 2014 CLASES DE FÍSICA II Impreso en el Perú / Printed in Perú © Robinson Vásque z Olano Derechos reservados © Derechos Derech os de edición Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Av. Túpac Túpac Amaru 210, Rímac - Lima Telfs. 4810824 / 48 11070 anexo 237 Correo-e:
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Impreso por la Imprenta de la Editorial Universitaria de la Universidad Nacional de Ingeniería ISBN 978-612-4072-62-8 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2014-07879 Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.
PRESENTACIÓN Clases de Física II comprende el desarrollo del sílabo de un segundo curso semestral de física física general, que form a parte del currículo de una carrera de ciencias o de ingeniería. ingeniería. El sílabo de referencia para la estructuración de este libro, es el correspondiente al curso Física II de la Escuela Profesional de Física (E.P.F.) de la Universidad Nacional de Ingeniería Ingeniería (Lima, Perú) En primer lugar se aborda el tema de la deformación elástica de los cuerpos, como resultado del esfuerzo (i.e. presión) al que son sometidos; seguidamente se estudia la estática y dinámica de los fluidos, destacando cómo es que la mecánica de Newton da cuenta, exitosamente, de las observaciones empíricas de Pascal y Arquímedes, entre otros. El tema del movimiento oscilatorio es desarrollado en una amplitud mayor que lo exigido por la E.P.F. pues, en mi opinión, fenómenos como la superposición, por ejemplo, deben ser cabalmente entendidos por un estudiante de manera que se le facilite el el estudio del movim iento ondulatorio. En el capítulo 5 se estudian algunos fenómenos térmicos y se presenta al calor como una nueva forma de energía (i.e. distinta a la energía mecánica), así como las diversas maneras en que puede transferirse calor entre los cuerpos. cuerpos. El capítulo 6 comprende el comportamiento térmico de los gases, describiéndose los resultados experimentales de Boyle, Charles, Gay-Lussac, entre otros, que condujeron a la formulación de la ley de los gases ideales; así mismo, se presenta la aplicación de la teoría cinético-molecular en la explicación del comportamiento de los gases. Los dos capítulos finales de este libro desarrollan, de manera básica, las dos primeras leyes de la termodinámica. La segunda ley se presenta desde la perspectiva de las máquinas térmicas así como haciendo uso del concepto de entropía. Al poner este libro a consideración de alumnos y profesores, estoy cumpliendo con una promesa, largamente desatendida, de dejar testimonio escrito de mi trabajo trabajo como docente, durante 35 años, en la E.P.F.
ÍNDICE
Capítulo 1.
Elasticidad
1.1
Esfuerzo y deformación unitaria
..................
1
1.2
Deformación Lineal: Estiramiento y contracción ...
2
1.3
La deform ación lateral y el módulo de Poisson
3
1.4
Deformación Volumé trica
......
5
1.5
Defo rmación de corte o cizalla .........................................
7
1.6
Energía Elástica
Capítulo 2.
..............
.
......
...........................................
.
9
.........................................................................
Fluidos
2.1
Densidad de fluidos
2.2
Presión
2.3
Unidades de presión
..............................................................
13
2.4
Presión en los fluidos
...........................................................
14
2.5
Variación de la presión en un fluido
2.6
Presión atmosférica
2.7
Variación de la presión en los líquidos
2.8
Vasos comu nicantes
.............................................................
19
2.9
Medida de la presión
.............................................................
19
2.10
Principio de Pascal
2.11
Las máquinas hidra úlicas y el P. de Pascal
2.12
El empuje hidrostático
2.13
El Principio de Arquímedes
2.14
Dinámica de fluidos
2.15
Líneas de co rriente o flujo
2.16
La ecuación de continuidad
2.17
La ecuación de Bernoulli
2.18
Tensión sup erficial
2.19
Capilaridad
Capítulo 3.
..................................................
.
.
..........
.
.........................................................................................
.
............................
.........................................................
.
.
21
................................................................
.
......................................................... ....«
16 18
........................
.............................
12
16
..
.............
11
.........
..............................................................
...................................................
23 24 25 29 30
.
31
.....................................................
33
..........................................
.....................................
................
— .....
..................................................................................
36 39
Movimiento Periódico
3.1
Introducción
3.2
Movimiento Armónico Simple (MAS)
3.3-
Cantidades cinem áticas del MAS
3.4
El movimiento circular uniforme y el MAS
3.5
Superposición de movim ientos armónico s simples
..............................
.
.............................
.
.
.........................
.
.................. .................
--------
43 44 46 47 48
VI | Clase s de fís ica II 3.6 3.7
Dinámica del MAS ..........................................****** MAS de un sistema masa - resorte horizontal
3.8
MAS de un sistema masa - resorte vertical
39 3.10
MAS de un péndulo simple Cantidades cinemáticas angulares para el MAS de un péndulo simple
3.11 3.12
Movimiento armónico amortiguado Oscilaciones forzadas
3.13
La energía en el MAS
..............
........
....
—
56 60 61
66 ....................
...............
—*••*•
— * **..................*****”*** ....
67 68
....
Ondas
4.1
Ondas mecánicas y ondas electromagnéticas
4.2
La función de onda
4.3
La ecuación diferencial de onda
4.4
Ondas armónicas
4.5
Expresión general de la función de onda armónica
4.6
La onda armónica esférica
4.7
El principio de superposición de las ondas
4.8
Ondas transversales en una cuerda
4.9
Reflexión y refracción de ondas
4.10
Energía y momentum en el movimiento ondulatorio
4.11
Ondas estacionarias en una cuerda
4.12
Ondas sonoras
4.13
Ondas sónicas armónicas
4.14
Intensidad de una onda sonora
4.15
Nivel de intensidad del sonido
4.16
Efecto Doppler
Capítulo 5.
******
55 55
................. .............
............................... ..
Capítulo 4.
"
................................................
*****
.
.........................................
............................................................... —•*« ...
............................................... —— ....................
........ .... .... .... .... ....
..... ...... ...... ...... ....— .... _
___
..
............................. ................. ..................... ...... .
.
...................................... _
___________________
......... . .......
............................................
.....
77 79 82 86 86 88 89 91 93 97 102
..................... ......................
___
75 76
.....
103 105 106
Temperatura y calor
5.1
Definición de temperatura
5.2
La ley cero de la termodinámica y los termómetros
110
5.3
La dilatación térmica
112
5.4
El calor
5.5
De la calorimetría
5.6
Capacidad térmica
_,
Calor específico
........ . u
................................
.
.............
_
........
...........
......
Transferencia de calor
,
ltliJ)J_ _______ _
Convección térmica
m
................
Conducción térmica Radiación térmica
.....................
........
...
_r mii[
118
_ __ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cambio de fase y calor latente 5.7
109
........................... .
rm
__________ ____
120 120 120
123 126 126 126 129
R o b i n s o n V á s q u e z O . |VII Capítulo 6 .
Com portamiento térmico de los gases
6.1
Ley de Boyle - Mariotte
6.2
Ley de Charles y Gay Lussac
___ ________________________
134
6.3
Segunda ley de Gay - Lussac
______________________
134
6.4
Ley de Avogadro
6.5
Ecuació n general de los gases ideales
6.6
Teoría cinética de los gases ... ____ .................
6.7
Distribución de velocidades moleculares
6.8
El principio de la equipartic iónde la energía
Capítulo 7.
_____________________________
....
133
135
_______
„
_______
135 137
........ .........
.. .......... .......... „ ...........
________________________
141
143
Term odinám ica
7.1
Terminología term odinámica
.......................................................... .. ...............
7.2
Trabajo y calo r en termodinámica
7.3
Procesos termo dinámicos
7.4
Primera ley de la termodinám ica
7.5
Trabajo termo dinàmico en los cambios de volumen
7.6
El calor específico de los gases ideales
7.7
Calor y trab ajo en los procesos termodinámico s de un gas ideal ......
153
Proceso ¡socoro
.................
.................................................. ........................ ...........
153
Proceso isotérmico
________________________________
________ ____________
153
___________________..... .... _________
145
146
____________ __________............... .............. ..... .......
148
... ___ ________ ......
148
....... ___ .....
150
______ _____________
____
.......................................
151
Proceso adiabático ..._______________________________________________....—
154
Proceso isobàrico
155
.1__________ .... ---------- ------ ------------ ----- - ----- -
7.8
Proceso reversible e irreve rsible
7.9
Proceso cuasiestático
Capítulo 8 .
-----------------------— ... . ----------
---------------- —
-----------------------------
...»
155 156
La segunda ley de la termo dinám ica
8.1
Las máquinas térm icas y la 2* Ley de la termodinámica ..—
8.2
La máquina de Carnot
8.3
La escala de tem peratura absoluta
8.4
El refrigerador
8.5
La entrop ía
16 °
---------------------------------
—
161
—•— ••— •**— ...........
162
— •—» ......... - ......... ■«............. ........
163
_______________ _ _________ ________ _
___________________ ____
158
Capitulo 1.
Elasticidad En ausencia de fuerzas externas un cuerpo sólido mantiene su forma, pero puede ser deformado mediante la acción de fuerzas. Un sólido experimenta una deformación cuando se modifica la separación entre volúmenes elementales constituyentes del cuerpo. Se dice que el material es elástico si retorna a su forma original cuando cesan las fuerzas; los materiales plásticos permanecen deformados al cesar las fuerzas deformantes. En general, puede decirse que todos los sólidos se comportan elásticamente cuando son sometidos a deformaciones pequeñas, hasta un límite; y el comportamiento es plástico cuando se excede el límite de elasticidad. Entre las deformaciones elementales que puede experimentar un cuerpo, se encuentran el estiramiento, la contracción y el deslizamiento cortante, que se manifiestan según cuál sea la manera en que actúen las fuerzas sobre el material.
1.1
Esfuerzo v deformación unitaria Para describir la relación entre la fuerza aplicada sobre el material y la deformación que produce, se definen las cantidades esfuerzo ("stress") y deformación unitaria ("strain"). El esfuerzo (S) mide la fuerza por unidad de área, causante de la deformación
donde F es la fuerza que actúa sobre el área A del cuerpo. Se mide en unidades de N/m2 o pascal (Pa). La deformación unitaria ( e ) mide el cambio fraccionario que experimenta la dimensión ^ del cuerpo, e. g. la longitud o el volumen. Bajo condiciones elásticas, i.e. de pequeñas deformaciones, el experimento demuestra que la deformación unitaria y el esfuerzo son proporcionales entre sí (ley de Hooke)
donde la constante E se denomina módulo de elasticidad.
2 i Cla ses de f ísi ca II
1.2
Deformación lineal: Estiramiento v contracción Por estiramiento o alargamiento se entiende un incremento en la longitud de un cuerpo, por contracción se entiende una disminución en la longitud. Sea
una
barra
homogénea de longitud l y de sección recta A sometida a fuerzas de tracción
F
perpendi-
culares y uniformemente distribuidas sobre A.
Esta misma condición se obtiene si se fija uno de los extremos de la barra y se aplica F en el extrem o libre.
La tracción sobre la barra se caracteriza mediante el esfu erz o no rm al S =F/A y el estiramiento Δ l mediante la deformación un itaria lineal
El esfuerzo normal y la deformación unitaria se relacionan mediante la ley de Hooke
donde la constante elástica Y se conoce como el módulo de Young. Si en lugar de tracción se aplicara compresión sobre la barra (i.e. si la F tuviese un sentido opuesto al ilustrado en la figura), ésta experimentaría una contracción Δ l en su longitud. La ley de Hooke es aplicable en ambos caso s, solo que Δ l > 0 para el estiramiento y Δ l <0 para la contracción de la barra. De alguna manera el módulo de Young mide la " rigidez" que ofrece el cuerpo a su estiramie nto o contracción , en analogía con la constante k en el caso de un reso rte.
Robinson Vásquez O. |3 Algunos valores típicos del módulo de Young
E jemplo 1.1. D efo rm ació n lineal de un sólido
Una varilla de acero de 2 m de longitud y 2 cm de diámetro es sometida a una fuerza de tracción de 95 kN. Si el módulo de elasticidad del acero es de 2 x1o 11 N/m2, a) ¿Cuál es su estiramiento unitario?, b) ¿Cuál es el estiramiento que sufre la varilla? Esfuerzo sobre la varilla:
1.3
La deform ación late ral v el módulo de Poisson Cuando la barra es sometid a a un esfuerzo normal su longitud l varia en A i , y como consecuencia de ello también varían sus dimensiones transversales. Estas deformaciones en dirección perpendicular al esfuerzo (normal) aplicado se caracterizan mediante una deformación lateral unitaria.
l / l ( = Δ y / y)
Normal:
Δ
Lateral:
Δ x /x
; Δ z /z
La deformación lateral unitaria en la dirección 1 ( )
se relaciona con la
deformación norm al unitaria (e¿) mediante el coeficiente o módulo de Poisson ( a ):
4 I Clas es de f ísi ca II que, para la mayoría de los materiales, tiene un valor que varía entre 0,25 y 0,50. El valor
a
- 0 es asignado a los materiales porosos (e.g. corcho) que no
varían sus dimensiones transversales cuando son sujetos a e sfuerzos normales.
La elasticidad de un sólido isotrópico se caracteriza mediante dos constantes: la de Young (Y) y la de Poisson (< j ).
Ejemplo 1.2. Deformación lateral y deformación total
Sea un paralelepípedo rectangular de aristas x, y, z sometido a un esfuerzo normal S sobre cada superficie (p.ej. sumergiendo al cuerpo en un líquido). Demostrar que la deformación lineal neta de cada uno de los lados es
e = —( l - 2
t t t t t t
----- +. © Sx
|
de las direcciones, el cuerpo se estirará en esa dirección pero se comprimirá en las direcciones transversales.
TTTTTT
Así, debido a Sx se tendrán las deformaciones unitarias normal: ex
lateral: ey = ez = - a e K
Análogamente, debido a los esfuerzos Sy y Sz se tend rán las deformaciones unitarias.
» a p < -
1
Y
ex = ez =-
Sy
> i I j N | m p n i Q < I 1 q X 0 | ■ c -
En consecuencia, la deformación neta a lo largo de cada una de las direcciones será igual a la suma algebraica de los estiramientos y contracciones en esa dirección; así: e'«
-o (s ,+ s ,)]
Robinson Vásquez O. |5
■7 [ s , - » ( s , + s , ) ]
“ v [ s < - ° ( s« + s* ) ]
y para el caso considerado, i.e. Sx = Sy = Sz = S , se tendrá que la deformación unitaria neta será e f= e = = e \ ty ti f \ & e
e = —( i - 2o ) Y
1.4
Deformación volumé trica Si un cuerpo es sometido a esfuerzos sobre toda su superficie, su volumen experimentará una variación: se incrementará si los esfuerzos son de tracción y disminuirá bajo la acción de esfuerzos de compresión, como es el caso de un cuerpo sumergido en un fluido. Si un sólido se sumerge en un fluido y ambos están en reposo, las fuerzas que el fluido ejerce sobre el sólido son perpendiculares a su superficie. La fuerza F± por unidad de área A del sólido constituye la presión p que el fluido ejerce sobre el sólido.
de manera que la presión sobre el sólido es el esfuerzo de volumen. Un incremento ( A p ) en la presión dará lugar a una deformación de volumen
AV
y, para deformaciones pequeñas, el esfuerzo (p) y la deformación (e v ) están relacionadas mediante el módulo de volumen ("bulk modulus") B:
o
donde se ha incluido un signo (-) en la ecuación porque un incremento de presión da lugar a una reducción de volumen.
6 |Clase s de fí si ca II Si p es la densidad del cuerpo (i.e. m = pV), como la deformación de volumen no implica una variación de la masa (i.e. dm = 0 ), se tiene que
dV
dp
’ V " p de manera que, en términos de la densidad del cuerpo, el módulo de volumen se expresa.
El módulo de volumen (B) permite la descripción de la disminución así como el incremento de volumen; sin embargo, es más frecuente describir la disminución de volumen de un sólido, debido a presiones compresivas, mediante el módulo de compresibilidad. |£ —_1 — 1 A V B V Ap
(/Pa)
De esta definición se deduce que el módulo de compresibilidad «c mide la disminución fraccionaria (o porcentual) del volumen del cuerpo cuando la presión sobre este se incrementa en Ap. Algunos valores típicos del módulo de volumen
Material Aluminio Cobre
b ( i 0 10
Material Acero Plomo
Pa)
7,5 14,0
b ( i o 10
Pa)
16,0 17,0
E jemplo 1.3 . Relación ent re el módulo de Young y el módulo de volumen
Considere el paralelepípedo del ejemplo 2, de aristas x, y, z, esto es, de volumen V = x.y.z. Como ¿nV = ¿nx + ¿ny + ¿n z, diferenciando a ambos lados de esta igualdad se obtiene dV
dx
dy
dz
V
x
y
z
Robinson Vásquez O. |7 o, sinónim ame nte,
vale decir: la variación unitaria del
volumen de la barra es igual a la suma de los alargamientos unitarios totales a lo largo de las tres direcciones x, y ,
i.
Utilizando el resultado obtenido en el ejemplo 2 para el caso en que el paralelepípedo se encuentra sometido a un mismo esfuerzo en todas las direcciones, y haciendo la correspondencia S s p , se tiene que:
£vv = 3e,r = 3Y- ( l - 2 a )
esto es, el módulo de volumen B ( = p / e v ) y el módulo de Young para la barra se relacionan mediante
Y =3B (l-2cr)
Nótese que como Y, B son cantidades positivas, entonces debe cumplirse que 0 < ct < 0,5
1.5
Deforma ción de cor te, o de deslizam iento o de cizalla La compresión uniforme de un cuerpo da lugar a una variación en su volumen pero la forma del cuerpo no varía. Por otro lado, un esfuerzo cortante ("shear stress") resulta en un cambio en la forma de un cuerpo sin alterarse el volumen de éste Una fuerza F tangente a una superficie de área A le produce un esfuerzo cort ante F/A
el cual da lugar a una deformación de corte que se define como
Y que, para los casos usuales en que Ax «
y , se reduce a
Y
8 |Clase s de fí sic a II En el caso de una deformación elástica, el esfuerz o y defo rmación de corte se relacionan mediante el módulo de corte G.
A El deslizamiento
Ax
(en la dirección de la fuerza tang encial F) que
experimenta la barra ilustrada, es una deformación hom ogénea. Al aplicar torsión sobre una barra ésta experimentará un deslizamiento no homogéneo: Una manera de ejercer torsión sobre la barra de la figura
es
fijando
la
base
inferior
y
torciendo
(i.e. aplicando torque re del eje) el otro extremo. h
Como resultado de la torsión distintas secciones de la barra girarán ángulos diferentes respecto de la base fija, pero no varían ni la altura (h) ni el área de la sección de la barra y por lo tanto tampoco variará el volumen.
Para la barra ilustrada, de sección circular de radio R, supongamos que la base superior gira un ángulo t respecto de la base inferior. Cada una de las generatrices ab de la superficie cilindrica se tran sform ará en una línea inclinada ab'. De la figura, se obtiene bb' = R<|>, de manera que la defo rm ación de torsión para la superficie cilindrica de radio R, será 0
= -<|>
Bajo el mismo razonamiento, se deduce que los elementos de una superficie (de la barra) de radio r < R experimentará un ángulo de deslizamiento
menor que el ángulo
6
de deslizamiento en la superficie de la b arra.
Entonces, en la torsión se tiene que distintos elementos de la barra sufren diferente deslizamiento: los puntos más próximos al eje de la barra se deslizan menos que los puntos más lejanos.
Robínson Vásquez O. |9 1.6
Energía elástica El trabajo realizado para deformar un sólido elástico se convierte en energía potencial (elástica), que el sólido libera cuando se le deja de deform ar. Sea
una
barra
(elástica)
sometida
a
tracción mediante la fuerza F. De la ley de Hooke, se tiene que
f =
YA
— í
A£
esto es, la fuerza de tracción es proporcional al incremento de longitud de la barra. De esta proporcionalidad se deduce que al deformarse la barra su energía (potencial) elástica se incrementa en
- i l l - Ü donde V es el volumen de la barra y e = A ¿ ¿ su deformación unitar ia.
De manera que, al estirarse o comprimirse, la densidad de energíaacumulada en la barra deformada, es
u = ± Y e 2 (j/m3)
Ejemplo 1.4. Amortiguadores elásticos
Un amortiguador convencional convierte la energía cinética del cuerpo que se quiere proteger en energía potencial elástica del amortiguador. Supongamos
un
objeto
de
masa
M
moviéndose con rapidez v que, de manera segura,
se
desea
detener
usando
un
amortiguador elástico. Si M » m se puede ignorar la energía cinética adquirida por el amortiguador, y la conversión de la energía cinética de M en energía elástica de m exige que
10 |Clases de física II
que, usando m s p V , conduce a v = í™
í ) in * í p ) e
I m
Entonces, para un frenado seguro del objeto se requiere que la deformación unitaria del amortiguador elástico y la rapidez del objeto sean directamente proporcionales. La máxima rapidez con la cual se puede mover el objeto para que aún pueda ser frenado (sin daño), puede estimarse haciendo
A l / t
igual a la
deformación unitaria de ruptura.
Po p ejemplo: Para un gran número de mate riales
Y / p = 107 m2 /s 2 y
M j ¿ = -0,0 2(= -2% ). Asumiendo un amortiguador de m = 2 kg usado para frenar un cuerpo de M =100 kg, se tendrá que
í 1 A1/2 (2 x 10-2 ) = 9m/s(=32km/h) Vmáx= l ~ x l 0 7j
Si el cuerpo se mueve a velocidades mayores que 32 km/h traerá como consecuencia una deformación plástica o fractura del amortiguador.
f
Capítulo 2.
Fluidos Se denomina fluido a los líquidos y los gases, sustancias que no pueden soportar esfuerzos cortantes. Bajo la acción de un esfuerzo cortante, las capas del fluido se deslizan entre sí (i.e. fluyen); y esta es la razón por la cual un fluido adopta fácilmente la forma del recipient e que lo contien e. El conocimiento inicial del comportamiento de un fluido tiene origen empírico, esto es, experimental. Sin embargo, puede demostrarse que las leyes empíricas son "deducibles* tratando a los fluidos con arreglo a las leyes de la mecánica de Newton, expresando las leyes de Newton en términos de propiedades mesurables del fluido, tales como densidad, presión y rapidez de flujo. De manera que la mecánica de los fluidos describe el comportamiento de líquidos y gases a nivel macroscópico. En lo que sigue, cuando se haga mención de una partícula de fluido o elemento de fluido no se hace referencia a una sola molécula de fluido; se trata, mas bien, de un volumen de fluido que es pequeño según los estándares macroscópicos pero que, sin embargo, contiene muchas m oléculas. En consecuencia, la hidrostática (i.e. fluidos en reposo) se refiere a los fluidos en los cuales el centro de masa de cada elemento de volumen tiene aceleración y velocidad cero. Se dice que un fluido estático se encuentra en reposo, aunque las moléculas individuales se encuentran en incesante movimiento,^rowniano. La hidrodinámica, por otro lado, estudia el comportamiento de los fluidos cuando se encuentran en movimiento.
2.1.
Densidad de los fluido s Una característica importante de los materiales es su densidad ( p ) , definida como la cantidad de masa (m) del material contenido en la unidad de volumen (V):
En el caso de los líquidos, la densidad varía muy poco en amplios rangos de presión y temperatura; de manera que la densidad de los líquidos puede considerarse densidades:
constante.
Por
ejemplo,
el
agua
presenta
las
siguientes
12 |Cla se s de fí si ca 11
p ( l 03 kg/m3)
T (°C)
p(atm)
1,000
0
1
1,002
0
50
0,958
100
1
La densidad de los gases varía significativamente con los cambios de presión y temperatura. Por ejemplo, el aire presenta las siguientes densidades:
p ( l 03 kg/m3)
T (*C)
p(atm)
1,3 6,5 0,95
0
1
0
50
100
1
La marcada dependencia de la densidad con la presión, en el caso de los gases, se debe a que estos son fácilmente compresibles, i.e. una misma masa de gas puede contenerse en recipientes pequeños. Los líquidos, son prácticamente incompresibles. La densidad expresada en unidades de masa por volumen (i.e. kg/m3) se denomina densidad absoluta, para diferenciarla de la densidad relativa (inapropiadamente también llamada peso específico relativo) la cual se define como la razón entre la densidad del material y la densidad del agua ( 103 kg/m3). 2.2.
Presión Sea Ffy la comp one nte perpe ndicular a una superficie
A,
uniformemente
de
una
distribuida
fuerza sobre
F esta
superficie. Por ejemplo, F representa la fuerza
con
la
cual
se
comprime
A
apretándola con la palma de la mano. Se define la presión p sobre la superficie A, como el esfuerzo normal
De esta definición se concluye que: a)
La presión es una cantidad esca lar y por lo tanto no tiene dirección; aunque con frecuencia se le atribuye una orientación teniendo en consideración la dirección de la fuerza que produce la presión.
Rob ins on Vás que z O. |13 b) No toda la fuerza (distribuida) aplicada sobre una superficie le produce una presión; solamente la componente normal ejerce presión. c)
La presión no solo depende de la fuerza sino tam bién depe nde del área de la superficie sobre la que actúa la fuerza. Una fuerza pequeña ocasiona una gran presión si actúa sobre una superficie muy pequeña, como así mismo una fuerza grande produce una presión pequeña al actuar sobre una superficie muy grande.
Esto explica porqué se deben afilar los cuchillos o porqué se usan raquetas para caminar sobre la nieve o porqué los cimientos son más anchos que las paredes.
Ejemplo 2.1.
La yema del dedo pulgar de una mano tiene una sup erficie de 1 cm2. Si se usa el pulgar para ejercer una fuerza de 100 N perpendicularmente a una mesa de 1 m2,
¿cuál es la presión que se ejerce sobre la mesa?
P _
100N _^ q6
N/m 2
lc m 2 2.3 .
Unidades de presión En el sistema internacional de unidades la presión se mide en pascal (Pa). 1 Pa = 1 N/m 2 Otras unidades de uso frecuente para medir la presión, son: a) El milím etro de mercurio (mmHg) o to rr, que se define como la presión que ejerce sobre su base el peso de una columna de mercurio de
1
mm de
altura. Esta presión es muy pequeña y la unidad mmHg se usa en mediciones científicas de gran precisión. 1 mmHg = 133 Pa
b) La atm ósfera (atm ), que se utiliza para medir presiones elevadas como la presión en un caldero. la t m = 101,3 kPa
14 |Clases de fí si ca II c) El bar, unidad cuyo submúltiplo, el milibar ( = 10 3 bar) es de uso común para presiones cuando se hace vacío. 1 bar * 10s Pa Ejemplo 2.2.
Hallar la presión que ejerce una columna de mercurio de 1 mm de altura sobre la base del recipiente que lo contiene. La presión en el fondo del recipiente, —
ejercida por el mercurio, se debe al peso h
II
II mg
del mercurio contenido en el recipiente. Si p es la densidad del mercurio, A la base del recipiente y h la altura del mercurio, la presión será: mg p= A a
p(A h)g . =pgh a A
Esto es, la presión debida al líquido solo depende de su densidad y de la altura; no depende del área de la base. Para el mercurio se tiene que p = 13 ,6 xl0 3 kg/m3, y usando h = 1 mm se obtiene
lmmHg = (l3 ,6 x l0 3)(9 ,8 )(l0 -3) 2.4.
d 133
Pa
Presión en los fluidos Hay una notoria diferencia en la forma como puede actuar una fuerza sobre la superficie de un sólido y cómo sobre la superficie de un fluido en reposo. En un sólido la fuerza puede actuar en cualquier dirección pero sobre un fluido en reposo la fuerza superficial está orientada perpendicularmente a la superficie.
En un fluido en reposo no pueden existir fuerzas tangenciales (i.e. esfuerzos cortantes) pues este tipo de fuerzas darían lugar a un deslizamiento del fluido (y ya no se encontraría en reposol)
Se denomina presión hidrostática a la presión ejercida por un fluido en reposo, y la denominación "hidrostática" incluye tanto a los líquidos como los gases. Ocasionalmente se usa el prefijo "neumo" para referirse a los gases reservándose el prefijo "hidro" para los líquidos.
Robinson Vásquez O. |15
Sea un fluido, como por ejemplo agua, en reposo en el interior de un recipiente y considérese un elemento de fluido en forma de cufia, de peso insignificante. la cuña se encuentra en reposo debido a las fuerzas aplicadas por el resto del fluido, fuerzas que son perpendiculares a las superficies de la cuña. De la I a ley de Newton: Fx =Fs en0
y
Fy =Fcos0
Por otro lado, de la geometría del eleme nto de fluido: Ax =Asen 0
y
A y = Fc os 0
De manera que para el elemento de fluido en reposo, se tiene que
De este re sultado se deduce que: i)
La presión en un punto en el interior de un fluido en reposo, es la misma a lo largo de todas las direcciones.
ii)
Sobre todo punto de la sup erficie de un
cuerpo
sólido,
inmerso
totalmente en un fluido en reposo, actúa una fuerza perpendicular de naturaleza compresiva. Un
fluido
perpendicular
ejerce sobre
una
fuerza cualquier
superficie en contacto con éste, e.g. sobre el recipiente que lo contiene.
16 |Cla se s de fí si ca II 2.5.
Variación de la presión en un fluido La presión que ejerce un fluido sobre el fondo del recipiente que lo contiene, se debe ai peso del fluido. En general, la presión en un mismo plano horizontal (i.e. mismo nivel gravitacional), dentro de un fluido, se debe al peso del fluido por encima de este nivel. De manera que todos los puntos de un fluido que se encuentra en el mismo nivel gravitacional, e.g. A y B, manifiestan la misma presión. Si no fuera así, habría una diferencia de presión sobre un elemento de
fluido
que
lo
haría
desplazarse
horizontalmente ... y no estaría en reposol P — ►
)«—P
No importa la cantidad de fluido que se
B
encuentra sobre A y sobre B, estos puntos registran la misma presión.
Sin embargo, la experiencia muestra que la presión aumenta con la profundidad en el fluido. Sea un elemento de fluido en forma de PA
cilindro de sección recta A y altura dz, en reposo. Este elemento de volumen, de masa dm = pdV = pAdZ, se encuentra en reposo
debido
a
las
fuerzas
que
se
muestran en el diagrama de cuerpo libre. Y, aplicando la 1* ley de Newton, se tiene (p+dp)A
que: pA + gdm = (p + dp) A
de donde se deduce la ecuación que relaciona la variación dp de la presión con la profundidad: dp = pgdz 2.6 .
Presión atmosférica La atmósfera terrestre está constituida por la masa de aire, de varios kilómetros de altura, que envuelve al planeta. El 50% de la atmósfera se encuentra aproximadamente hasta
6
km s.n.m., el
75% a menos de 11 km de altura, y casi el 100% hasta los 30 km.
Robinson Vásquez O. | 17 Esta distribución no uniforme se debe a que el aire está más comprimido a nivel del mar que en las capas más elevadas, de manera que el aire se va enrareciendo a medida que uno asciende sobre el nivel del mar; esto es, la densidad del aire no es uniforme sino que varía con la altura. Puede estimarse cuál es la presión que ejerce la atmósfera sobre la superficie terrestre considerando una columna de aire de
10 km
de altura,
1
cm 2 de área de la
base, y asumiendo una densidad promedio del aire de p = lk g /m 3. Esta columna de 1 m 3 de volumen tiene una masa de aire de 1 kg, cuyo peso de 10 N produce sobre la base de 1 cm 2 una presión. 10 N Patm =
= 100 kPa
— — l O m
Mediciones precisas establecen que, al nivel del mar Patm =101,3 kPa
y empíricamente se encuentra que la presión atmosférica varía con la altura h sobre el nivel del mar, según la ley
P = Po
e ' h/h°
donde P0 es la presión a nivel del mar y h 0 = 8, 4k m (altura aproximada del Monte Everest) Atención: El hecho de que se haya calculado la presión atmosférica sobre la Tierra considerando el peso del aire, no debe llevar a la conclusión que la presión atmosférica solo se ejerce de "arriba" hacia "abajo". Un cuerpo inmerso en la atmósfera experimenta presión en todas las direcciones, al igual como ocurre con un cuerpo inmerso en cualquier fluido. Ejemplo 2,3.
¿A qué altura sobre el nivel del mar la presión atmosférica es igual al 50% de la presión a nivel del mar? Usando
p = p0 e ' h/h° , con p = —p0
y h0 = 8,4 km, se ob tiene
h = h0 ¿n2 = 8 ,4 x 0 ,7 = 6 km
18
|Clases de física it resultado que era de esperarse pues la presión a 6 km de altura se debe al peso del aire sobre este nivel, y la cantidad de aire sobre las
6
km es
aproximadamente el 50% del total de aire que ejerce presión sobre la superficie terrestre. 2.7.
Variación de la presión en los líquidos Como la densidad de los líquidos es prácticamente constante, para hallar la Pl
diferencia de presión (p 2 ~ P i) entre dos —
^
niveles
gravitacionales
separados
una
---------------------
distancia h, puede integrarse fácilmente la ecuación dp I pgdZ, obteniéndose
P2=Pi + P8h
que se conoce como la ecuación general de la hidrostática. Si la superficie
Patm
libre
del líquido se
encuentra a la patm, a una profundidad h la
m
presión estará dada por
h -r-r*
P = Patm+Pgh
Esto es, la presión en un nivel gravitacional dentro
de
un
líquido
se
debe
a
2
contribuciones: a) a la presión que actúa sobre su Patm
superficie libre, y — h
b) a la presión ejercida por el peso del líquido (= p gh) que se encuentra sobre ese nivel.
Debe remarcarse que la presión en un líquido es independiente del recipiente que lo contiene. Por ejemplo, si un tubo en forma de U
■
V
A
contiene
un
líquido
homogéneo
densidad p, entonces
I
PB =PB'= PA + Pgh
de
Robinson Vásquez O. |19 Si el tubo en U contiene líquidos no miscibles de densidades p 1 presión
es
diferente
al
y
p2 , la
mismo
nivel
gravitacional en cada una de las ramas: Pa * P b
Pero pB =pc - p 2gh
,
pA =Pc--P igh
y
Pc =P c* P B - P A = ( P i - P 2 )gh 2.8.
Vasos comu nicantes El hecho que la presión que ejerce un líquido
solamente
profundidad,
se
depende pone
en
de
la
evidencia
mediante los vasos com unicantes. Cada uno de los vasos de la figura contiene diferente volumen de agua, pero el nivel del agua es el mismo en todos los vasos ya que, estando las superficies libres en todos los vasos a la presión atmosférica, la presión a la misma profundidad, dentro del líquido, debe ser la misma. Esta característica de los líquidos permite, por ejemplo, usar un tanque elevado para proporcionar agua a los pisos elevados de un edificio sin necesidad de usar una bomba de agua. 2.9.
Med ida de la presión a) Man óm etro de tubo abierto Dispositivo empleado para medir la presión que ejerce un gas. Consiste de un tubo en U que contiene un líquido (e.g. mercurio); un extremo del tubo se encuentra a la presión p del gas y el otro extremo está libre, i.e., a la presión atmosférica.
De la ecuación general de la hii
ostática : p = pa + pg h
p se denomina presión absoluta del gas y (p - pa) se denomina presión manomètrica.
20 |Clas es de fís ic a il En el caso del manómetro de tubo abierto, la presión manomètrica p - p a = pgh no es otra que la presión hidrostática. Pero, si sobre el fluido se ejerce otra presión además
de
pa,
entonces
la
presión
manomètrica es diferente a la presión hidrostática. Por ejemplo, si sobre el pistón (de masa insignificante) se coloca un bloque, éste ejercerá una presión (= pm) sobre el fluido; por lo tanto, la presión absoluta a la profundidad h, será
P = Pa+Pm + Pgh y la presión manomètrica p - p a =pm +p gh es ciertamente diferente a la presión hidrostática. b) Baróm etro de Mercurio (de To rricelli) Usado
por
Evangelista
Torricelli
para
demostrar que la atmósfera ejerce presión, consiste de un tubo cerrado inicialmente lleno de mercurio. Al invertir el tubo dentro de un recipiente que
también
contiene
mercurio,
la
columna desciende hasta que el peso de la columna de altura h ejerce sobre su base una presión que es igual a la que ejerce la atmósfera. De la ecuación general de la hidrostática, asumiendo que la presión ejercida por el vapor de mercurio es insignificante, se tiene que
Pa=Pgh Usando mercurio, se encuentra que h - 7 6 c m ; de allí que una forma de expresar la presión atm osférica es Patm - 7 6 cmHg
Robi nson Vá squ ez O . |21 Ejemplo 2.4.
Si se usa agua en lugar de mercurio, en el barómetro de Torricelli, ¿qué altura alcanzará la columna de agua en el tubo? Sea p la densidad del mercurio y h la altura alcanzada; p' la densidad del agua y h 1 la altura alcanzada. Entonces
Patm=P8h
Y
Patm=P,gh'
de manera que h' = — 11= 13 ,6x0 ,76 = 10,3m P' 2.10.
Principio de Pascal El cilindro de la figura tiene dos pistones, de áreas diferentes, unidos mediante una varilla.
Si sobre el pistón pequeño se aplica una fuerza
de
100
N
para
mantener
en
equilibrio a la varilla debe aplicarse 100 N sobre
el
pistón
grande:
la
varilla
ha
transm itido la fuerza. Si se retira la varilla que une los pistones y se llena el cilindro con un fluido (e.g. agua), se observa que al aplicar 100 N al pistón pequeño esta vez se requiere aplicar 1000 N sobre el pistón grande para mantenerlo en equilibrio: los líquidos no transmiten fuerzas. Sobre el émbolo pequeño se ejerció una presión
100 N CM/ p = -----7 = 5 N/cm 20 cm
£
2
y sobre el émbolo grande tuvo que ejercerse una presión
P '-
1000 N
= 5 N/cm 2 e p
200 cm 2
de manera que los líquidos transmiten variaciones de presión.
22 |Clases de física II
Al ejercer una presión adicional sobre el líquido contenido en la esfera, saltan todos los tapones y no solamente aquél que está en la dirección de la fuerza aplicada.
Principio de Pascal: Una variación de presión que se ejerza sobre un fluido (i.e. líquido o gas) confinado, se transmite uniformemente a todas partes del fluido.
El principio de Pascal guarda perfecta armonía con la ecuación general de la hidrostática: Si mediante el pistón se ejerce una presión
t L
I
p0 sobre el líquido confinado en el recipiente, todos los puntos del líquido a una profundidad h experimentan una presión p = pa+p0 +pgh
Si la presión ejercida por el pistón se incrementa hasta pQ, en el equilibrio la nueva presión a la profundidad h, será: P' = Pa+ Po+P8h
De manera que p'- p = p0 - p 0, esto es Ap = Ap0 : El increm ento de presión ejercido sobre el fluido se transmite a través de todo el fluido. ¿Cuál es el mecanismo mediante el cual se transmite la variación de presión en los fluidos confinados? Las variaciones de presión se transmiten de manera ondulatoria, con una velocidad que depende de las características del fluido. Así, a temperatura ambiente, la velocidad de propagación en el agua es de aproximadamente v = 1400 m/s.
Robinson Vásquez O. |23 2.11.
Las Máquinas Hidráulicas y el Principio de Pascal La propiedad de los fluidos de transmitir variaciones de presión, se traduce en que éstos pueden multiplicar o reducir fuerzas, característica de los fluidos en que se sustenta el diseño de las denominadas máquinas h idráulicas. a) El gato (y prensa) hidráu lico Si se ejerce una fuerza F2 sobre el pistón i
de área
M r y [~
m
- W
f -
A1# la presión en el líquido
aumentará en
Esta variación en la presión se transmite a todo el líquido, y al actuar sobre el pistón de área A 2 dará lugar a que sobre este pistón actúe una fuerza F* tal que
De manera que:
Luego, si A 2 » A j se tendrá que F2 » Fx : Con una fuerza relativamente pequeña se logra producir una fuerza muy grande que permitiría levantar un gran peso. Al bajar el émbolo A ! una distancia h2, desplaza un volumen de líquido: V ^ A ^ . Este líquido desplazado pasa hacia el cilindro grande, el cual se eleva una distancia h2
______________
lo cual significa que para multiplicar la fuerza en, por ejemplo, un factor el émbolo pequeño debe desplazarse una distancia
20
20 ,
veces la que se
desplaza el émbolo grande: lo que se gana en fuerza se pierde en desplazamiento. «... pero la energía se conserva I
24 |Clase s de fí si ca II En efecto: El trabajo que se realiza para hacer descender el émbolo pequeño W** =l\. hj
es igual igual al trabajo para que ascienda as cienda el émbolo grande
b) Otras máquinas hidráulicas
El mismo principio de Pascal se aplica en los frenos hidráulicos, elevadores de automóviles, sillones de los dentistas, etc. A la inversa, si la fuerza se ejerce sobre el émbolo grande, aparece disminuida en el émbolo pequeño: los amortiguadores de automóviles se basan en este hecho. Ejemplo 2.5.
En una factoría se tiene un gato hidráulico que trabaja con un tornillo de 5 cm de de paso. Si por por cada vuelta del tornillo el gato sube 1 cm, en e quilibrio, quilib rio, un auto de 2 000 kg; determinar la fuerza aplicada sobre el tornillo y el trabajo realizado. | 2 x 104N Como Como
, entonces
F(5 cm) = 2 x 104 ( l c m) m) cm
tí tí
v.
F = 4kN
2 x 104N
Adem Además ás:: v / = (4 kN)(sx 10' 2m) = 2 J * (2 x 104n ) ( i x l 0 " 2m )
2.12. 2.1 2.
El Empuje Hidrostático Hidrostático Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido se encuentra que pesa menos que cuando cuando se encuentra en el aire: Se dice que el cuerpo tiene (dentro del agua) un peso aparente.
Robinson Vásquez O. |25 Esto se debe a que el agua ejerce una fuerza hacia arriba, en sentido opuesto a la gravedad. A esta fuerza se le denomina fuerza de flotación o empuje hidrostático hidrostático (E). Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido experimenta una presión, la cual aumenta con la profundidad: las partes más profundas del cuerpo experimentan mayor fuerza que las más próximas a la superficie.
El empuje E es la resultan te de las fuerzas compresivas sobre el cuerpo.
Cuando un cuerpo se introduce en el líquido, el nivel del líquido se eleva. Se dice que el cuerpo desplaza al líquido.
Un cuerpo completamente sumergido desplaza un volumen de líquido igual a su propio volumen.
Este hecho proporciona un método para establecer el volumen de un cuerpo de geometría irregular: Basta sumergirlo en agua y medir el incremento de volumen que experimenta el líquido. líquido. 2.13.
El principio de Arquímedes Arquímed es La relación entre el empuje y el volumen de líquido desplazado fue establecida experimentalm ente por Arquímedes (Sig (Siglo lo III, A.C .):
Un cuerpo parcial o completamente sumergido en un fluido experimenta un empuje (fuerza de flotación) igual al peso del fluido que desplaza.
26 |Clases de física II
Si un bloque de 3 N, con un volumen
de
0 , 2 x l 0 “ 3m3
0, 2 litr o s), ( = 0,2 s) , se sumerge en un
depósito
totalmente
lleno
de
agua, se observa que el peso aparente del bloque es de 1 N y que el peso del agua agua derramada derram ada es de 2 N.
Si en lugar de este bloque se introdujera otro de 30 N pero del mismo volumen, registrará un peso aparente de 28 N.
El empuje es independiente del peso del del cuerpo, solo depende del volumen de fluido desplazado.
Un
cuerpo
experimenta
completamente mayor
presión
sumergido a
mayor
profundidad. Pero, aunque la presión se hace
mayor,
la
diferencia
entre
las
presiones sobre la parte inferior y superior del cuerpo, es la misma a cualquier profundidad.
£1
empuje sobre un cuerpo completamente sumergido en un fluido, es el mismo cualquiera sea la profundidad a la que se encuentre el cuerpo.
Robinson Vásquez O. |27
¿De
qué
depende
que
un
cuerpo,
inicialmente completamente sumergido, flote o se hunda? Y W
Según cuál sea la relación entre el peso (P)
^=7/=//=//=//^//=//=//=//=//=//=//
del cuerpo y el empuje (E) ejercido por el líquido, se tiene que
a) E * P
: cuerpo perm anece en la misma posición, ni sube ni baja
b) E > P
: cuerpo flota, como lo hace un tronco de madera
c) E < P
: cuerpo se hunde , como ocu rre con las piedras
¿Los cuerpos pesados se hunden y los livianos flotan? Sean: p - densidad del cuerpo V - volumen del cuerpo p0 - densidad del líquido V 0 - volumen del líquido desplazado
P = mg
Entonces P = (p V )g
y
E = (p 0 V0 )g , y para un cuerpo completamente
sumergido (V 0 s V ) se tendrá que
) Si el cuerpo es más denso que el fluido, se hundirá i) Si el cuerpo es menos denso que el fluido, flotará ii) Si la densidad del cue rpo es igual a la del fluido, ni se hunde ni flota en la superficie
•
La densidad de un subm arino se contro la llenando de agua o vaciand o los tanques de lastre; de esta manera se modifica su peso para lograr la densidad desead a.
•
Un pez regula su densidad expandiend o o contrayendo una bolsa de aire que altera su volumen: Si aumenta el volumen su densidad disminuye y el pez sube.
28 |Clase s de f ís ic a II
•
la flotación: El peso y el empuje Cuando un cuerpo flota el empuje (E) es igual a su peso (mg), y como el empuje es igual al peso del líquido desalojado, se rmg
concluye que:
Un cuerpo que flota desplaza un peso de fluido igual a su propio peso.
Los barcos están proyectados de tal manera que desplacen un peso de agua igual a su propio peso. V
Ni se hunde, ni flota Si
se
introdujera
un
pez vivo en un
recipiente parcialmente lleno de agua, la balanza
aumentaría
su
lectura
en
una
cantidad igual al peso del pez. La balanza aumentaría en la misma cantidad si en lugar del pez se introdujera una cantidad de agua igual al volumen del pez, pues la densidad del pez es igual a la del agua ya que ni flota ni se hunde.
Si el recipiente hubiese estado inicialmente lleno, la balanza no modificará su lectura, ya que el peso del agua que se derrama es igual al peso del pez.
Ejemplo 2.6
La piedra de 1 kg, suspendida encima del agua pesa 10 N y cuando
está
completamente
suspendida inmersa
en
el
agua, su peso aparente es de 8 N.
R o b i n s o n Vásquez O. |29 a) ¿Cuál es la fuerza de flotación que se ejerce sobre la piedra? La
fuerza
de
flotación,
a
cualquier
profundidad, es E = 1 0 -8 = 2N
b) Si el recipiente con agua pesa 5 N, ¿cuá l será la indicación de la balanza cuando la piedra está suspendida bajo la superficie del agua? La balanza incrementará su lectura en 2 N, . 2N
la misma cantidad que si se añad ieran 2 N de agua al recipiente, pues la piedra al sumergirse desplaza 2 N. Alternativamente: El agua empuja a la
piedra con 2 N, entonces por acciónreacción la piedra empuja hacia abajo el agua, con una fuerza de 2 N. c) ¿Cuál será la indicación de la balanza cuando se deja caer la piedra y ésta reposa en el fondo? Cuando la piedra reposa en el fondo del recipiente,
la
balanza
incrementa
su
lectura en el peso de la piedra, esto es, registra 15 N. El incremento registrado es igual al peso aparente de la piedra ( =
8
N)
mas el peso del agua desplazada. Alternativamente: Además del peso del
agua el fondo del recipiente experimenta (peso aparente de piedra) + (reacción a empuje) = (peso de la piedra) 2.14.
Dinámica de fluidos
El movimiento de un sistema de partículas está determinado por la fuerza externa resultante actuante sobre el sistema. Esta misma consideración es aplicable a una partícula (o elemento) de fluido ya que ésta, compuesta de muchas moléculas, es en sí misma un sistema de partículas. El movimiento macroscópico de un fluido pueden describirse en términos del movimiento de una de sus partículas; en particular, la velocidad V del fluido se corresponde con la velocidad del centro de masa de una partícula de fluido.
3 0
|Clases de fís ica II La dinámica de los fluidos ordinarios puede ser muy compleja, de manera que es conveniente iniciar el estudio considerando a los
fluidos ideales:
irrotacionale s, no viscosos, incompresibles y estacionarios. Un fluido es irrotacional cuando un cuerpo pequeño, en el fluido, solo se traslada pero no rota. En un fluido rotacional este pequeño cuerpo ejecuta un movimiento de rotación. La viscosidad de un líquido es no otra cosa que una forma de fricción entre capas adyacentes de fluido y entre el fluido y el recipiente que lo contiene. En muchas situaciones puede ignorarse la viscosidad del fluido, de la misma manera que puede ignorarse la fricción de deslizamiento y de rodadura al estudiarse el movimiento de los cuerpos rígidos. Un fluido es compresible cuando una misma masa de fluido puede hacerse que ocupe un volumen menor. Los líquidos son prácticamente incompresibles mientras que los gases son altamente compresibles; sin embargo, un gas puede considerarse incompresible cuando no está sometido a grandes variaciones de presión. Entonc es, un fluido es incompresible cuando su densidad no varía. La velocidad de un flujo de fluido puede variar de punto a punto y a medida que transcurre el tiempo. Se dice que el fluido es estacionario cuando la velocidad en un punto del fluido permanece la misma todo el tiempo, aunque sea distinta en diferentes puntos de fluido.
2.15. lineas de corriente o flujo
Una manera conveniente de representar a un fluido en movimiento es mediante líneas de corriente o flujo.
Una línea de corriente es una curva continua orientada cuya tangente en un punto dado (e.g. A, B, C) es paralela a la velocidad del fluido en ese punto. Un
cuerpo pequeño en un fluido ideal se mueve a lo largo de una línea de corriente.
Robinson Vásquez O. |31
Dos
líneas
de
corriente
no
pueden
interceptarse. Si dos líneas S 2 y S2 se interceptaran, resultaría que la velocidad del fluido no sería única en el punto de intersección, lo cual es imposible. Esta particularidad de las líneas de corriente permite el seguimiento de una porción de fluido. Para ello basta con dibujar algunas líneas de corriente sobre la periferia del volumen de
fluido
en
observación,
las
cuales
describen una superficie. La región delimitada por esta superficie se denomina tubo de flujo. Las partículas de fluido
dentro
de
un
tubo
de
flujo,
permanecen dentro; las partículas fuera del tubo nunca ingresan a éste.
2.16. La ecuación de continuidad La masa de un fluido no cambia con su vxdt i—M
movimiento, de manera que la masa de v2dt t a
....
fluido que entra por la sección A !
»1
tubo de flujo debe ser la misma que sale
V
2
del
por la sección A2, en el mismo intervalo de
f
tiempo.
dm 2
dm j Entonces, como dmx = pA 1v1dt dm 2 = pA 2v2dt
igualando dmx = dm2, se obtiene
A j V j = A2v 2 = cte
que constituye la ecuación de continuidad para el flujo del fluido ideal, y que es una consecuencia de la conservación de la masa de éste.
32 |Clases de física il De esta ecuación se deduce que si se reduce la sección recta del flujo, entonces se
incrementa
su
velocidad:
En
una
hipodérmica, el pistón tiene una sección recta relativamente grande y el líquido se mueve lentamente; en el agujero de salida de la aguja el fluido emerge con una rapidez mucho mayor: v 2 > v 1
La cantidad Av se denomina rapidez de descarga (Q) y representa la rapidez con la cual un volumen de fluido atraviesa la sección recta A. _ « dV Q = Av = — dt
Si se multiplica la rapidez de descarga por la densidad de masa se obtiene la rapidez de flujo de m asa del fluido. dm ^ dV — = pQ = pAv = p dt dt
Esta ecuación de continuidad es aplicable en el caso de un fluido compresible si se toma en cuenta la variación en la densidad del fluido: PiA vi = p2A 2v 2 = cte
Ejemplo 2.7.
Una tubería de gas natural tiene una sección recta de 5xl0~ 2m2. Si el gas fluye a razón de 1,4 kg/s y su densidad es p=0,9kg/m3, ¿cuál es la velocidad de flujo? De
At
= pA v, se obtiene
v=
_________ 1,4 kg/s_________ (o,9 kg/m3) ( 5 x l 0 ~ 2m2)
t y gmm W
r
í\ A
M
O 2.17.
Robinson Vásquez O. |33
La Ecuación de Bemoullí
Como las partículas de fluido obedecen la mecánica de Newton, se les puede aplicar el teorema del trabajo y la energía.
dS 2 = v2dt
El fluido contenido en el tubo de flujo entre las secciones
1
y 2 se mueve
debido a la acción de las fuerzas p1A 1,p 2A 2 y la fuerza gravitacional.
Todas las partículas de fluido en el sistema se mueven a lo largo del tubo pero el trabajo neto y la transferencia de energía involucran solamente a los elementos de masa m en los extremos. La variación en la energía cinética del sistema es igual a la variación en la energía cinética de esta masa m ; entonces dK = -m v 2 — m v| =1 - p v 2 - - p v j dV
El trabajo realizado por las fuerzas compresivas p 2A 2 y p2A 2 durante el intervalo de tiempo dt es dWf, = p 1A 1dS1 - p 2A 2dS2 = ( P l - p 2 )d V y trabajo realizado por la fuerza gravitacional dWg = -m g( h 2 - h 1) = -pg(h 2 - H jd V
Aplicando el teorema del trabajo y la energía, i.e. dK = dW, se tiene ip v l- ip v ^ íp j- p jj- p g ^ - h j) í.e.
1
2
1
2
Pj + -p v 2 + pghj = p 2 + - p v 2 + pgh2
que constituye la Ecuación de Bernoulli para el flujo de un fluido ideal:
34 |Clas es de f ísi ca II Cada uno de los términos de la ecuación de Bernoulli tiene dimensiones de energía por unidad de volumen: i)
lp V2 es la energía cinética asociada con el movim iento m acroscópico del fluido. En el caso de condiciones hidrostáticas (i.e. v = 0 ) la energía cinética macroscópica es cero; sin embargo, aún se tiene una considerable cantidad de energía cinética microscópica asociada con los movimientos mo leculares.
ii)
pgh es la energía potencial gravitacional
i¡i)
La presión p represen ta a la energía asociada con el trab ajo realizado sobre el elemento de volumen de fluido por su vecindad.
En resumen, la Ecuación (o Teorema) de Bernoulli es una manifestación de que la energía disponible, por unidad de volumen, permanece constante a lo largo de cualquier tubo de fluido.
Ejemplo 2.8, Límite hidrostótico de la ecuación
de
Bernoulli
Para un fluido estático (i.e.
v = 0 ),
la
ecuación de Bernou lli se expresa como Pi + pgh i=p 2 +pg h2
p2
i.e.
P2 = P i + p g ( h i - h 2 )
que es no otra que la Ecuación General de la Hidrostática.
Ejemplo 2.9. Rapidez de flujo en un reservorio Sea un reservorio que contiene agua y se desea establecer la rapidez con que escapa el agua a través de un orificio en la base del reservorio.
En el entendido que las superficies superior y de salida se encuentran a la presión atmosférica, aplicando la ecuación de Bernoulli a las superficies 1 y 2 del fluido: , 1 2 1 2 Pa + “ Pvl +P6h =Pa + “ Pv2 + 0 esto es V¡ = V j + 2 g h
Robinson Vásquez O. |35 De la ecuación de continuidad A 1v 1 = A 2v2, reemplazando en la ecuación precedente se obtiene
y para A 2 « A 1 se tendría que v 2 -^ 2 g h ; esto es, la rapidez del fluido en el orificio de salida es la misma rapidez que tendría una partícula en caída libre desde la superficie libre del reservorio.
Ejemplo 2.10. El tubo Venturl
El tubo Venturi es un dispositivo que permite medir la rapidez
de flujo en un
tubo. Aplicando la ecuación de Bernoulli en la parte ancha (punto 1) y en la garganta (punto 2 ) del tubo, a un mismo nivel gravitacional, se tiene
1 2 1 2 P i + j p V i = P 2 + - pV2 y como v 2 = ' A i ' v1# entonces VA 2 y/
1
2
Pl=P2+JPVl 4
VA 2
-
J
de donde se deduce que la presión en la garganta (=p2) es menor que la presión en la parte ancha (= P i) del tubo, ya que Ax > A2.
Por otro lado, como P j - p 2 =pgh, la velocidad de flujo estará dada por:
36 |Cl as es de fí si ca II
2.18. Tensión superficial Las moléculas en la superficie de un líquido en reposo se encuentran en condiciones diferentes a las moléculas en el interior del líquido: En general, las moléculas del líquido se ejercen fuerzas de atracción entre sí, pero la fuerza resultante sobre una molécula dentro del líquido promedia a cero, mientras que una molécula en la superficie experimenta una fuerza resultante que la atrae hacia el volumen. El efecto neto de la atracción de las moléculas superficiales es la contracción, i.e. disminución, de la superficie del líquido, hasta reducir el mínimo el área de esta superficie. Por esta razón las gotas de agua adoptan una forma esférica, pues la esfera tiene la mínima área superficial para un volumen dado. En lo que se refiere a la energía, esta atracción hacia el interior de las moléculas superficiales trae como consecuencia que su energía sea diferente a la energía de las moléculas en el interio r del líquido. La energía superficial U es proporcional al área A de la superficie U = yA donde el coeficiente y se denomina coeficiente de tensión superficial. La tensión superficial se manifiesta como una fuerza sobre un cuerpo en contacto con la superficie del líquido. Como ejemplo considérese una aguja en reposo sobre agua: Observando F
F
con
detenimiento,
se
encuentra que la aguja reposa en una depresión de la superficie del líquido. El peso de la aguja produce el hundimiento del agua, con lo cual aumenta el área de la superficie. Las fuerzas moleculares actúan en todos los puntos, a lo largo de la depresión,
tendiendo
a
retornar
a
la
superficie a su posición horizontal original. Las componentes verticales de estas fuerzas moleculares equilibran al peso y las componentes horizontales actúan como fuerzas de tracción sobre la aguja.
Robinson Vásquez O. |37
Sea una película de líquido extendida en un
x
cuadro de alambre, uno de cuyos lados (de longitud i ) puede desplazarse. Debido a la tendencia de la superficie a reducirse, sobre el alambre actuará una fuerza
r_
dU _ dA dx ^ Y dx
y como el área de la superficie de la película es A = t . x , entonces
Esta es la fuerza que actúa sobre el segmento t del cuadro debido a la tensión superficial en uno de los lados de la película y como la película tiene dos lados, sobre el segmento ( actuará una fuerza dos veces mayor. El signo ( - ) en la expresión para la fuerza indica que ésta está dirigida hacia el interior de la superficie de la película. Sobre la línea que delimita la superficie del líquido (i.e., el perímetro) o sobre cualquier sector de esta superficie, actúan fuerzas de tracciónjperpendicular a la tangente a la superficie.] Por ejemplo, un bucle de hilo sujeto a un marco, luego de sumergirse en agua con jabón, flota en la película según la figura a. El bucle está sometido a fuerzas de tracción en ambos lados. Si se pincha el interior del bucle rompiendo la película de jabón, adopta una forma Fig. a
Fig. b
circular (fig. b) debido a la tracción ejercida por la película en contacto con el exterior del bucle.
El coeficiente de tensión super ficial, entonces , queda definido como
38 |Cla ses de fí si ca II Ejemplo 2.11. Medida de la tensión superficial de un líquido Una manera simple de medir la tensión superficial de un líquido es mediante un cuadro de alambre en forma de U, uno de cuyos lados puede deslizarse, que encierra una película delgada del líquido. Al suspender verticalmente el cuadro, el lado deslizable se encontrará en equilibrio debido a su peso (mg) y a la fuerza de tensión superficial (F) ejercida por la película. Como la película tiene dos caras, cada una de ellas ejerce una fuerza y l sobre la varilla deslizable, de manera que F = 2y f
y
S
4
21
I
21
Ejemplo 2.12. Tensión superficial sobre las patas de un insecto La base de la pata de un insecto tiene forma aproximadamente esférica, con un radio de 20 pm ; y el insecto de 3 mg de masa se sustenta en sus seis patas. Calcule el ángulo 0
para un insecto sobre la
superficie del agua (y = 72 m N /m ).
Considerando
insignificante
el
empuje
hidrostático, el insecto se encuentra en equilibrio debido a la fuerza de tensión superficial y a su peso
Para una de sus patas:
t = n
r y p = im g ; de manera que 6
2y 7crcos( 0 ) = —mg
2Fco s(0) = P
cos( 8 ) = - ^
12y7tr
s .
6
(3xl0~6kg)(l0 m/s2)
•= 0,55 72 x io - 3~ ](3,14)(20xl0~€m)
0=57
Robinson Vásquez O. | 39
2.19. Capilaridad Cuando un líquido entra en contacto con una superficie sólida, como en el caso de un líquido en un recipiente de vidrio, la |
|
■
H20
superficie del líquido se curva hacia arriba o hacia abajo.
En el caso del agua, esta sube ligeramente donde toca el vidrio; en el caso del mercurio éste baja donde toca el vidrio. Se dice que el agua "moja" al vidrio y que el mercurio no moja al vidrio. Que un líquido moje o no una superficie sólida depende de la intensidad relativa de las fuerzas de cohesión entre las moléculas del líquido, en comparación con las fuerzas de adhesión entre las moléculas del vidrio y el recipiente. El agua moja el vidrio porque las moléculas del agua son atraídas con más fuerza hacia las moléculas de vidrio que hacia otras moléculas de agua; en el caso del mercurio las fuerzas de cohesión son más intensas que las de adhesión. El ángulo <)> entre la tangente a la superfic ie del líquido y la pared sólida, se denomina ángulo de contacto. Este ángulo de contacto depende solamente de las tensiones superficiales en los límites de los medios en contacto (i.e. líquido y recipiente) y no depende de la forma del recipiente ni del peso del líquido.
De las fuerzas capilares: Se acostumbra afirmar que, en estado de equilibrio, las presiones de los cuerpos en contacto deben ser iguales. Esta aseveración es correcta cuando se ignoran los efectos capilares, pero si se tiene en cuenta la tensión superficial, las presiones de los medios en contacto son difer entes . Como ejemplo, considérese una gota de líquido que se halla en el aire. La tendencia a disminuir la superficie conduce a la compresión de la gota y con ello al incremento de la presión interna. La presión del líquido de la gota resulta mayor que la del aire circundante. La diferencia p^if entre las presiones se denomina diferencia (o variación) de presión.
40 |Cla ses de fí si ca II
El
trabajo
realizado
por
las
fuerzas
superficiales, al disminuir la superficie de la gota en la magnitud dS, es igual a la disminución de la energía sup erficial: ydS
Por otro lado, este mismo trabajo se expresa como pd¡fdV, donde dV es la variación del volumen de la gota; de manera que YdS = pdifdV
2 4 a'j 2y ( Para una gota esférica I S = 4n r y V = —rcr J : p dif = —
Para una masa c ilindrica (s = 2nrh y V = 7 tr 2h ): pdjf = -
En general, siempre habrá diferencia de presión en la interfaz de los medios en contacto cuando la superficie divisoria sea cóncava o convexa. Cuando la superficie divisoria es plana (i.e. r —►x ) la diferenc ia de presión se reduce a cero, lo cual se halla en concordancia con el hecho de que cuando la superficie divisoria es plana las presiones de los medios en contacto deben ser iguales. Ejemplo
2.13.
Fuerza
de
compresión
sobre
dos
láminas
que
encierran un líquido
Sean dos láminas paralelas cuya sección transversal se muestra en la figura, y entre ellas una capa delgada de líquido. Por las superficies
laterales,
el
líquido
se
encue ntra en contacto con el aire.
---- M X
Si el ángulo <|> de contacto es agudo (i.e. el menisco es cónc avo), la presión en el interior del líquido es menor que la del aire; por ello es que la presión atmosférica, que actúa sobre las láminas, tenderá a aproximarlas, razón por la cual parecerá que las láminas se atraen. Por otro lado, si el ángulo de contacto es obtuso (i.e. el menisco es convexo), la capa de líquido repelerá a las láminas.
Robinson Vásquez O. |41
Si la separación x entre las láminas es suficientemente pequeña, el menisco del líquido se puede considerar como parte de una superficie cilindrica de radio r. x De la figura, x = 2rcos<|>, y la "falta" de presión del líquido será: y 2ycos(J) Pdif-----r x La fuerza de atracción mutua entre las láminas se obtiene multiplicando pdjf por la superficie S de contacto del líquido con las láminas:
Se observa que la fuerza con la que la atmósfera comprime a las láminas es inversamente proporcional a la distancia (x) que las separa. Para distancias pequeñas puede alcanzar grandes valores; por ejemplo, si las láminas están separadas por una capa de agua de l^ m de espesor, éstas se comprimen con una presión de, aproximadamente, 1,5 atm. Ejemplo 2.14. Elevación (o depresión) capilar del líquido en un tubo delgado
Cuando se introduce un tubo delgado (i.e. tubo capilar) en un líquido, se observa que el líquido sube o baja respecto del nivel del líquido que rodea al tubo.
2a
En el caso de menisco cóncavo, como el de la figura, la presión del líquido en el tubo es menor que la del aire en contacto con el líquido, en la cantidad P d ¡f. Por eso, debido a la presión atmosférica actuante sobre la superficie del líquido en el recipiente, el nivel del líquido en el tubo se eleva hasta que el peso de la columna de líquido equilibre la diferencia de presión: Pdif ” P8h
donde p es la densidad del líquido.
42 |Clases de física II La superficie del menisco en un tubo capilar se puede considerar como parte de la superficie de una esfera, cuyo radio r se relaciona con el radio a del tubo mediante la ecuación a = rcosó de manera 2y 2ycos
Pdif ¡ r ifl H ~
r
a
y la altura de elevación del líquido, será h „ Pdif _ 2y eo s <|)
pg 2y
La cantidad
pga
' tiene dimensiones de longitud y se denomina constante
capilar. A 20°C la constante capilar del agua es igual a 0,39 cm. Ejemplo 2.15. Otra forma de calcular la deformación capilar de un líquido La altura total de subida o bajada del líquido en un tubo capilar, depende de la tensión
superficial
(que
evita
que
la
superficie del líquido se rompa) y del ángulo de contacto y del radio a del tubo.
La fuerza de tensión superficial (F = y ^ sy n a ) equilibra al peso de la columna de líquido (mg = pVg a pna2hg), de manera que 2Fcos<|> = mg
iacosó = prarhg 2y7
2 y cos<|>
de donde h = -
pga
Para muchos líquidos (e.g. agua) se tiene que ó = 0o, y h = ¿ L Pga Por ejemplo, los vasos capilares por donde los nutrientes suben en las plantas, tienen un radio a = 10pm, y debido a la tensión superficial la columna de agua asciende una altura h=
2(72 xlO -3 N/m) lo ’ M - l U o n l U o - ^ ) m
■=*l,5m
Capítulo 3«
Movimiento Periódico Introducción Se dice que un movimiento es periódico si se repite en intervalos regulares de tiempo. El movimiento circular uniforme, los latidos del corazón, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, etc., son algunos ejemplos de movimiento periódico. Un movimiento periódico se caracteriza mediante uno de sus parámetros: su período o su frecuen cia.
a) El periodo (T) es el intervalo de tiempo que transcurre para que el movimiento se repita idénticamente, esto es, para que se ejecute un ciclo. Se mide en segundos.
b) La frecuencia ( v ) mide el número de ciclos que se ejecutan en la unidad de tiempo, i.e.
1 ~~T En el sistema internacional de unidades la frecuencia se mide en hertz (Hz). Cuando el movimiento periódico es de vaivén sobre la misma trayectoria, se dice que el movimiento es oscilatorio o vibratorio. Un ejemplo de movimiento oscilatorio es el que realiza un péndulo. Se reconoce
la ejecución de un ciclo de
este movimiento cuando el móvil luego de pasar
por
una
posición
de
cierta
configuración retorna por primera vez a la misma posición con la misma configuración del movimiento. Por ejemplo, si se observa a la masa pendular de la figura cuando pasa por la posición B, transcurrirá un ciclo cuando la masa retorna por primera vez a la posición B moviéndose en la misma
dirección. Un movimiento oscilatorio se caracteriza, además de indicar su periodo o frecuencia, dando cuenta de su amplitud.
La amplitud (A) es el máximo desplazamiento efectuado por el móvil, medido desde su posición de equilibrio inicial.
44 I Cl as es de fí si ca
3.2
II
Movimiento Armónico Simple (MAS) El movimiento oscilatorio más importante es el movimiento armónico simple (MAS), el cual se caracteriza por a) Es
unidimensional;
esto
es,
el
movimiento ocurre a lo largo de una a
recta. b) La
-A
0
x
+A
aceleración
a
es
directam ente
proporcional al desplazamiento T y en sentido opuesto: a = - © 2 x .
De manera que un MAS responde a la ecuación diferencial
cuya solución más general es x = Ase n(cot + <|>)
¿Cuál es el significado de la consta nte (0 ? Como el movimiento se repite idénticamente cada vez que transcurre un
Ase n(© t+ $ ) = Ase n(© (t+ T ) + ) = Asen(©t+<|>+©T) de donde se deduce que 2n
— = 2 rrv T
©, que se mide en rad/s, se conoce como la frecuencia angular del MAS. ¿Cuá l es el significado de (© t+<)>)? El argumento (cot+<|>) de la funció n sen se conoce como la fas e del MA S, y cada valor que adopta la fase se corresponde con una configuración perfectame nte definida del MAS.
Robinson Vásquez O. (45
¿Cuál es el significado de ? La fase inicial <{> es el parám etro cuyo valor depen de del instante qu e se elije como de inicio de la observación del MAS, i.e. t = 0 segundos. Por ejemplo, si la observación se inicia en
t =0 x -A
0
+A
el instante en que la partícula se encuentra en su posición de equilibrio, i.e. x (t = ento nces = o
0 ),
y x = Asen(cot)
-A
0
+A
Si la observación se inicia cuando la partícula se encuentra en su posición de máximo desplazam iento, i.e . x ( t ' = 0 ) = A , entonce s = —rad y x = AcosCcot') Los dos observadores describen el mismo movimiento pero iniciaron sus medidas en distintos ins tante s: t' = t + —T 4 La gráfica de trazo continuo ilustra como varía x con el tiempo t, para = 0 radianes. Si
2
entonces
cot + - j l = coso)t y el efecto es desplazar el origen del tiempo una cantidad
t = — = —T o> 4
hacia
la
derecha. Para una fase inicial <)> arbitr aria , la gráfica x - 1 del MAS será
Para describir un MAS no tiene importancia que valo r de se utiliza, pero para comparar o combinar varios MAS sí debe tenerse en cuenta el origen del tiempo.
46 |Clases de física II 3.3
Cantidades Cinemáticas del MAS La posición (x), velocidad (v) y aceleración (a) de una partícula en movimiento armón ico simple, se expresan m ediante. x = As en(cot+<|)) V = -j^ =
a=
í d A c o s
(w t + <|>)
= -co2Asen (cDt+<})) = - o )2x dt
y sus gráficas, para ó = O , son:
A-
X
X
X
A
A
f\ A V/ \J
-A - •
tt)A «
*\
A
A
<° 2 a '
k \ A / m
- o )A -
Eicmolo 3.1. Parámetros y cantidades cinemáticas de un MAS La aceleración de un móvil en movimiento armónico simple, está dada por a = -sen t m/s2. Hallar la posición x y la velo cid ad v. Comp arando con a = -© 2Asen((ot+<|>) se de du ce q ue ) y v = a>Ac os (o)t+(|>) se d educ e: x = sen t
y
v = eos t
Ejemplo 3.2. Representación Gráfica del MAS ¿Cuál es la ecuación del MAS descrito por la gráfica que se m uestra?
( “ =f rad/s) Luego: x = 0 , 6 s e n ^ t + < | > j De x0 ■ -0 ,3 m : -0 ,3 ~ 0,6sen(4>)
_ZLra(j
=
6
x=0,6sen
Robinson Vásquez O. |47 Ejemplo 3.3.
Una partícula realiza un MAS habiendo iniciado su movimiento a partir de su posición de equilibrio. ¿Qué fracción del periodo ha transcurrido hasta el instante en que la partícula se encuentra por primera vez a una distancia igual a la mitad de su amplitud? De x = Asen(o)t+), con x 0 =0 se obtiene t =0
<|>=
+ -A
0
+
x = Asen(cot)
t =T -A
A
Para x = —: — = A s e n ( a > T ) 2 2 v '
< =^
g o t
=
—rad 6
2
x = ^ = ÍT 6 co
12
Ejemplo 3.4.
En el MAS de una partícula, la amplitud de oscilación es 4 cm y el periodo 6 s. Si el máximo desplazamiento ocurre cuando t = 2 s, halle la posición x(t) de la partícula. De x = Asen(cot+<|>) = Asen[ — t + <}>], se obtiene x = 4sen| —t + lcm Como x (t = 2s) = 4 c m :4 = 4sen^~+<|>j
+ =j
c><|) = — rad 6
■71 71 . x = 4sen| j t - — |cm
3.4
El movimiento circular uniforme y el MAS
Una partícula ejecuta un MCU cuando está sometida a una aceleración centrípeta J s - c o 2? , donde © es la rapidez angular y r es el radio vector de posición.
Esta expresión de la aceleración en el MCU también es de la forma á*=-A,x; sin embargo, el MCU aunque periódico no es un MAS pues no es un movimiento unidimensional. - '
48 | C l a s e s de fí si ca II
Pero, com o r = x ¡+ y j la aceleración MAS
puede
expresarse
a = (-co y) j ; 2x ) l + ( ~( o 2
lo
cual
c pern
visualizar el M AS com o la pro yección M CU sobre un diámetro. En efecto, proyectando las cantidades cinemáticas del M CU sob re un diámetro de su trayectoria circular, se obtienen las cant idades cinemáticas del M AS. Por ejemplo:
3.5
Superposición de Movimientos A r m ón i c o s Si m p l e s Todo movimiento p e r i ó d i c o p u e d e d e s c r i b i r s e e n t é r m i n o s d e l M A S. Combinando varios MAS de d i f e r e n t e s a m p l i t u d e s , p e r i o d o s y f a s e, p u e d e producirse cualquier movimiento p e r i ó d i c o . * El proceso de expresar un m o v i m i e n t o p e r i ó d i co co m o su p e r p o s i c i ón d e v a r i o s MAS, se denomina análisis F o u r i e r . Ejemplo 3.5. Su p e r p o s i ci ó n perpendiculares entre sí
de
dos
M AS
de
igual
frecuencia .
La combinación de movimientos a r m ó n i c o s si m p l e s y p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e sí, son muy útiles para a b o r d a r f e n ó m e n o s f ísi c o s t a l e s c o m o l a p o l a r i z a c i ó n d e l a luz o analizar problemas como los ci r c u i t o s d e c o r r i e n t e a l t e r n a . Considérese el caso de una p a r t ícu l a q u e s e m u e v e e n e l p l a n o X Y d e t a l m a n e r a que sus coordenadas o sci l a n se g ún las ecua cion es x = A seneo t; y=Bsen(o)t + 8) donde S es l a d i f e r e n c i a d e f a s e e n t r e l a s d o s o sc i l a c i o n e s . ¿Cuáles son las características del m o v i m i e n t o d e l a p a r t íc u l a ? Y B
-A
A
C o m o l a s p r o y e c ci o n e s so b r e l o s e j e s l a coordena dos son s en d o s M A S, t r a y e c t o r i a d e l a p a r t íc u l a e s t a r á l i m i t a d a p o r l a s r e c t a s x = ± A e y —dbB .
-B
Robinson Vásquez O. |49 Si los dos MAS se encuentran en fase (i.e. 5 = 0 ) Combinando
x = Asencot
y = Bsencot, se obtiene y =
B
Jx
e
Robinson Vásquez O. |49 Si los dos MAS se encuentran en fase (i.e. 5 = 0 ) x = Asencot
Combinando
y = Bsencot, se obtiene y =
B
e
Jx
De manera que la trayectoria de la partícula es una recta que hace un f t B ángu lo 0 = tg I — I con el eje X.
En cualquier instante la posición r de la partícula P, está dada por r 2 = x 2 + y 2 = ( a 2 + B 2 )sen2cot
i.e.
t
= ( a 2 +B 2) ^ sencot
En consecuencia, el movimiento es armónico simple de amplitud ( a 2 + b2)
ii)
Si los dos MAS se encuen tra fuera de fase ( i.e.5 = n ) Si
8 = t i entonces
y = Bsen(o )t + t i ) = -Bsencot
Bn
* ■
X ; r =(a
2
+B2) 1 sencot
El movim iento es un M AS pero la recta está inclinada 9 = tg
iii)
-i
Si los dos M AS se encu ent ran en cu adra tura I i e-8 = — Si
8
= — en to nc es
2
y = Bse n cot + — = Bcoscot
2
Combinando
x = Asencot
x2 y2 y = Bcoscot se obtiene —r + = 1 A 2 B2 que es la ecuación de la elipse mostrada en la figura.
50 |CIas es de fí si ca II La partícula se mueve en el sentido de las agujas del reloj, lo cual puede verificarse con el siguiente análisis:
a) Cuando la partícula pasa por x = A (Le.se nco t= l) su velocidad es paralela al eje Y. b) La componente v y de la velocidad, en x = A, es igual a v = — = -coBsencot = -
v
dt
cd B ( 1)
= -coB
y como vy es negativa, la partícula pasa por x = A moviéndose hacia abajo; y esto corresponde a un movimiento con el sentido de las agujas del reloj. La misma elipse se obtiene cuando
5
=— o 2
5 =-
—, pero en este 2
caso el movimiento es antihorario.
Si las amplitudes son iguales (i. e . A = B) ... la trayectoria es una circunferencia. El movimiento
será
horario
antihorario para § = - IE . 2
iv)
Si la diferencia de fase entre los dos MAS es arb itraria De
y = Bsen(cot + 5) se obtiene y
—** sencotcos5+coscotsen5 B
que combinando con x = Asencot conduce a
(í) +(iJ - * H cos8=sen’ 8
para
8 = —
Robinson Vásquez O. |51
Si
6 * 0 , ± 7t,— 2
la
trayectoria
de
la
partícula es una elipse pero con sus ejes rotados respecto de los ejes coordenados.
La figura muestra algunas trayectorias, para el caso A = B
T
I
\
J L 5 = 90°
\
\ s
8 = 150°
$
/ 1
8 = 240°
8 = 210°
8 = 270°
8 = 300°
7 /
■u 8 = 330°
8 = 360°
Ejemplo 3.6. Superposición de dos MAS de igual frecuencia y en la misma dirección
La combinación de movimientos armónicos simples sobre una misma línea es de interés más general pues estos son importantes en el estudio de los fenómenos de interferencia y difracción para toda clase de movimiento ondulatorio. Considérese el caso de una partícula sometida simultáneamente a dos MAS de igual frecuencia, a lo largo de la misma recta, descritos mediante las ecuaciones Xj =A 1sen(o)t+ <(>!)
y
x 2 = A 2sen(cot 2 )
Demostrar que el movimiento resultante es un MAS, descrito por x = Asen(cot + <|>) con A = ^A j + A 2 + 2A x A 2 cos 8
y
8 = (2 - Ói)
El desplazamiento resultante de la partícula está dado por x = xi + x 2 = A 1sen(cot + <|>i) + A 2sen(cot + 2) = sen wt(A 1 cos(J)i +A 2 cos2 ) Haciendo
A eos i + A 2 eos 2 Asen = A^enój + A 2sen2
Se obtiene x = Asen(cot + ) con t 8Ó = ~ ^ en^ ^ Sen<^ t y A = ^A j + A 2 + 2A j A 2 c o s (<|>2 ~ Ói) A j c o s ó i + A 2 c o s (J>2
*
y
'
52 |Cl ase s de fí si ca II Este resultado demuestra que el movimiento resultante es un MAS con una amplitud que depende de la diferencia de fase 8 =ó 2 -
Si los dos MAS está n en fase (i.e. 5 = 0 ) :
i)
= 2
K+A^sen^ 9 ( Ai + A 2 )cos(j>i
A = -^Ai + A 2 + 2A 1A 2
= i
A = A j + A 2
t Se dice que los dos MAS se refuerzan pues sus amplitudes se suman.
ii)
Si los dos MAS están fuera de fase (i.e.5 = rc): <|>2 = <|>i + 7t
tg=
(A x - A
2) c:o s i
= f i t "4*A^
2A 1A 2 —/ A —A 2 ~■ A2
Los dos MAS se encuentran en oposición: sus amplitudes se restan
Ejemplo 3.7. Superposición de dos MAS de diferente frecuencia, en la misma dirección
Considere la superposición de dos MAS a lo largo de la misma recta pero de diferente frecuencia, descritos por las ecuaciones xt = A 1seno)1t
y
x 2 = A 2seno)2t
esto e s, que tienen la misma fase inicial 2 = <|>2 = o . Demo strar que el movimiento resultante es periódico pero no es armónico simple
Robinson Vásquez 0. |53
El movimiento resultante se describe mediante x = Xj +x2 = Ajsenojjt + A2sento21 que, haciendo % -o>2 = cd, puede escribirse como x = A1seno)1t +A2sen(a)1 -o¡))t = (A ! + A^osco^seno^t-^senro^coso^ t Haciendo
A eos 4>= Ax + A2eos oot Asen<|> = A2seno)t
se obtiene x = Asen(oo1t-<|>) A,senoot
con
tg= ----- ---------A1 + A2cosoot
y
.
¿5
TI
77""!
7~
A = WA1+A2 +2A1A2c o s ( oo1-o^jt "
Este resultado demuestra que el movimiento resultante es periódico pero no es un MAS pues la "amplitud" del movimiento no es constan te. A
La "amplitud" (A) "oscila" entre los valores A = A x + A 2
cuando
(coj -oo2) t = 2n7 t
y
A = |A j - A 2| cuando (oo1 -oo2)t=(2n + l ) 7 c
Se dice que la amplitud está modulada
La frecuencia de la oscilación de la amplitud se expre sa mediante v
(coi-(o2)
= v1- v
2
2 it
Esta situación de amplitud modulada se manifiesta, por ejemplo, cuando dos diapasones que difieren ligeramente en frecuencia se encuentran vibrando simultáneamente en lugares vecinos. Se registra una fluctuación en la intensidad del sonido, denominados "beats", lo cual se debe a la variación en la amplitud.
Caso interesante: A j = A 2 Cuando las amplitudes de los dos MAS que se superponen son iguales, se tiene que
x=Xj + x2 = Aj (sencojt +senco2t) = 2A 1cos -( © 1 -co 2) t s e n ^ © ! +ca2 ) t El movimiento resultante es oscilatorio, con una frecuencia angular igual a
La
figura
muestra
la
variación de x(t) para el caso coj = to2. La curva segmentada corresponde
a
la
amplitud nodulada de los "beats". La figura de la derecha muestra la superposición de dos MAS de igual amplitud pero a>2 = 2©2 Xi = AiSencojt x 2 = A 1sen2©1t
El movimiento resultante es periódico pero no es armónico simple Ejemplo 3.8. Superposición de dos MAS de diferente frecuencia, perpendiculares entre si Si se combinan dos MAS, perpendiculares entre sí pero de diferente frecuencia, el movimiento resultante, en general, no es periódico. Será periódico en el caso en que la relación entre las frecuencias sea igual a la relación entre dos números enteros. V
La trayectoria mostrada corresponde al caso de la superposición ortogonal de los MAS x = Asen3cot
e
y = Acos2©t
Las figuras de este tipo se denominan patrones de Lissajous.
R o b i n s o n V á s q u e z O. | 55
3.6
Dinámica del Movimiento Armónico Simple Una partícula de masa m ejecuta un MAS cuando al ser desplazada una distancia x desde (i.e. x =
su 0 ),
posición
de
equilibrio
estable
experimenta una fuerza restaura
dora F = -k x
que obliga a la partícula a
retornar a su posición de equilibrio. Esta fuerza es característica de los sistemas elásticos. Se dice que un cuerpo tiene un comportamiento elástico si, cuando se le deforma, se satisfacen las siguientes condiciones: i)
La deformación es instantánea
ii)
La deformación es completamente reversible
iii)
La deformación es proporcional a la fuerza aplicada
Un cuerpo con este comportamiento se dice que obedece la(íéy de Hooka Mientras que ningún sólido es perfectamente elástico, los metales, en buena aproximación, se comportan elásticamente cuando son sometidos a deformaciones pequeñas. Un resorte es un sólido emblemático de comportamiento elástico que puede ser deformado longitudes relativamente grandes. Una fuerza (F) aplicada a un resorte lo estira (o
comprime)
una
longitud
(x)
que
es
proporcional a la fuerza. De manera que F = kx, donde k es una constante característica del resorte cuyo valor depende de la elasticidad del metal y de la geometría del resorte. Cuando un resorte se mantiene deformado mediante la aplicación de una fuerza F, se establece una fuerza interna de igual magnitud ya que todos y cada uno de los puntos del resorte se mantienen en reposo.
3.7
MAS de un sistema masa - resorte horizontal Sea un cuerpo (e.g. un bloque) de masa m unida al extremo libre de un resorte de 1
- v w w w /m w m t-
constante
elástica
k
y
cuya
masa
es
insignificante. Si se desplaza al bloque una distancia x (medida desde la posición de equilibrio P.E. del resorte), mediante la aplicación de una fuerza
F,
el
bloque
se
mantiene
en
equilibrio debido a F y a la fuerza aplicada por el resorte: Fe = -k x
56 |Clases de física II
Al liberar al bloque (i.e. F = 0), éste se moverá bajo la acción de la fuerza elástica, adquiriendo una aceleración le a s— x m Por lo tanto, el sistema masa - resorte ejecutará un MAS c aracterizado po r
La amplitud del MAS está dada por la longitud que se desplaza el bloque antes de soltarlo; esto es sin imp rim irle alguna veloc idad inicial.
3.8
MAS de un sistema masa - resorte vertical Si a un resorte vertical de longitud natural i se le suspende una masa m y se le deja estirar lentamente, se elongará una longitud A t .
P =kAf
P ’ = k(A£ + x)
La masa m se encontrará en equilibrio bajo la acción de su peso mg y de la fuerza elástica P =k A l; i.e. P= kA Í = mg. Si a partir de esta posición de equilibrio se desplaza la masa m una longitud adicional x y luego se le suelta, se moverá bajo la acción de la fuerza resultante F = P'-mg =k(A¿+x)-mg =kx Esto es, el sistema se mueve bajo la acción de F = -kx y por lo tanto ejecutará un MAS. La oscilación, alrededor de la posición de equilibrio, se realiza con una frecuencia angular
igual que en el caso de la oscilación horizontal.
Robinson Vásquez O. |57 Ejemplo 3.9. MAS de un sistema de dos partículas CM
I m i l-VW w - l "mil Sean dos bloques unidos a
(
j mi -vwwvwwv i m di
Xi
ww WWWWWH "m7| d2
los extremos de un resorte de constante k y longitud natural l 0 .
X2
('o + « ) Si se jalan a los bloques y luego se les suelta, el CM inicialmente en reposo continuará en reposo pues la fuerzas elásticas actuantes sobre los bloques son intemas al sistema. Si el resorte se estira una longitud A l, sobre cada bloque ejercerá una fuerza restauradora F = k A l .
De la definición del CM se tiene que: n^dj =m 2d2 y m 1(x 1 +d 1)= m 2 (x 2 +d2) de manera que xx y x 2 se relacionan mediante la ecuación
y, entonces,
j¡ .
Al = x 1 + x 2 s
nrv, +m , —¿----- ~ x 1 m2
La fuerza restauradora sobre nr^ es F = k A ls k — — ~ x x ; lo cual significa que m2
la constante de la fuerza restaurad ora actuante sobre nr^ es k m i + m 2 m2
y m: oscila con una frecue ncia angular constante _ í mj +m 2 mj
V
mjm2
donde p es la masa reducida del sistema de dos partículas. Un análisis similar muestra que m2 oscila con la misma frecuencia
58 ( Clases de física II Ejemplo 3.10.
Una masa m suspendida de un resorte de constante k oscila con una frecuencia angular 00. Se corta el resorte en dos partes iguales y cuando se suspende la masa de uno de estos resortes, oscila con una frecuencia angular Halle la relación entre eo y oo'.
Para el resorte de constante k:m g = k A¿ . Si el resorte tiene n espiras, cada una de las espiras se estira una longitud n
Si se corta al resorte y se dejan p espiras, bajo la acción del peso del bloque se estirará 5
y para este resorte de p espiras: mg = k'8
De manera que mg=kAÍ=k'8, de donde se concluye que tanto
Para el caso p = -n se tendrá que co* = - J ì a
y por lo
Robinson Vásquez O. |59
Ejemplo 3.11.
ki -www^-
m
■
WWW\Ak?
ki
k2
i
i
ki
kî
h/WVWH m h/WWVH
h /WW VW WW VH m 1
(b)
(c)
(a)
Dos resortes de la misma longitud natural pero con diferentes constantes, se encuentran unidos a un bloque de masa m situado sobre una superficie horizontal lisa. Calcule la constante de recuperación efectiva en cada uno de los casos mostrados en las figuras a), b) y c) a'
À
kix J z f m ]— ► k2x f
m
J-WWW^
F = k1x+ k2x =(k,+k2)x
|-VWWWV/WWWWV^ ÍWWWMi/WWWVW^
k=k1+k2
b)
U
M
È * *
kiX— ^
F '
F
f = k 1x + k j X
=(kj+k2)x k = k1+k2
c)
kiXi
jjn / w w v w w w v '- H
|-vww A —»-W A M A — Xi
I
kiXi kiXi < — M/VW— ►
-- M/VW-- ►
<
k2x2 .— ,
—[m]—►
<
kixi
k2x2
i)
F = k2x2
li)
k1x1=k2x2
H
1 1 x = Xj + x2 s F | —•+ — I kj k2
cf
F= kx
F
1 1 1 =>- = -—+ k kj k2
GO I Cl as es de fís ic a II
3.9
MAS de un péndulo simple Un péndulo simple consiste de una partícula de masa m suspendida de un hilo inextensible y de masa insignificante, que se encuentra ligado a un punto fijo.
Si se aparta la masa de su posición de equilibrio inicial (i.e. la vertical) y luego se suelta, ejecutará oscilaciones alrededor de esta posición. Sin embargo, este movimiento oscilatorio no es armónico simple pues:
a) La fuerza restauradora (= -mgsen0) no es proporcional al desplazamiento, y b) El movimiento no es unidimensional
El movimiento será un MAS si la amplitud es lo suficientemente pequeña.
De manera que para pequeñas amplitudes G el péndulo simple ejecuta un MAS de frecuencia angular.
El periodo T = 27t( de la oscilación.
no depende ni de la masa pendular ni de la amplitud
Robinson Vásquez O. |61 3.10
Cantidades cinem áticas angulares para el MAS de un péndulo simple El MAS de un péndulo simple se describe con las cantidades cinemáticas (lineales) descritas en el ítem 3.3 , esto es x = Asen(©t+<|>) v=©Acos(©t+<|>) a = —©2Asen(©t + <)>)= —©2x Sin embargo, algunas veces resulta conveniente describir el MAS del péndulo simple en términos de las cantidades angulares 0 , Q y a . Usando la aproximación 0 = - , se obtiene
Sustituyendo en las ecuaciones para x, v y a se obtienen las cantidades cinemáticas angulares. e = 0mxsen ( O)t + ) Q = ©0mxcos(©t + <|>) a = -© 20mxsen(©t + <|>) = -©20
donde 0 ^ es la amplitud angular, ©0mx es la máxima velocidad angular y to20mx es la máxima aceleración angular.
Ejemplo 3.12. Movimiento de un péndulo cónico
\\=\\=\\=\\,
Un péndulo cónico es un péndulo donde la masa
pendular
se
mueve
en
una
circunferencia horizontal con una rapidez constante, de manera que el hilo se mueve alrededor de la superficie de un cono.
62 |Clas es de fís ic a II
Como el movimiento de la masa es
TcosG
circular, entonces no es un MAS; aunque observado lateralmente mg
pareciera ser un MAS, puesto que la proyección del MCU sobre un diámetro es un MAS.
Del DCL para la masa pendular, se tiene que TsenG=m~(=mo)2R) R Tcos0 = mg de donde se deduce que la velocidad angular de la masa está dada por con
gtgG R
que en el caso de 9 pequeño (Le. t g 0 = se n0 = j se aproxima a
De manera que tanto un péndulo simple como un péndulo cónico, de amplitudes pequeñas, tienen el mismo período. Ejemplo 3.13. El péndulo simple y la dinámica rotacional
La masa pendular m puede visualizarse como una partícula moviéndose sobre una trayectoria circular de radio d20 a =—dt2
aceleración T
mg
= m g(¿ sen0)
t .
Con una
debido al torque
producido por su peso,
respecto del punto fijo O. Este torque I siempre hace que el ángulo 9
disminuya, de manera que la
ecuación dinámica x = la se escribe j2n -mg¿sen0=sm¿2—dt2 esto es, la ecuación del movimiento de m es d20
g
A
—7 + -s e n 0 dt2 i
=O
Robinson Vásquez O. |63 Esta ecuación diferencial no corresponde a un MAS, pero en el caso de pequeños ángulos 0 se tiene que senO = 0 y la ecuación se reduce a dz0
^ -7 + ©20 = O
con
o)2 = —
dt2
1
la cual es una ecuación idéntica a la ecuación diferencial de un MAS De la figura: h = / ( l - c o s 0 ) = / [ l - ( l - s e n 2©)172] y para sen© « 1 1 1-1 l - ¿ s e n 20
= i ¿ se n 20 = - j
- iíl ~ 2 l
Para un péndulo de 1 m de longitud y un máximo desplazamiento lateral x = 10 cm (que corresponde a 0 = 0 ,lr a d = 6o), se tiene h = 5 m m . Esto muestra que el movimiento ocurre casi a lo largo de la recta x, i.e. que el movimiento es muy aproximadamente un MAS. Ejemplo 3.14. MAS de un péndulo físico
Se conoce como péndulo físico (o compuesto) a un cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un punto fijo 0 denominado punto o ce ntro de suspensión que es diferente al centro de masa (G). El péndulo físico oscila alrededor del punto 0
debido
al
torque
T = m g( h se n 0)
producido por el peso mg. Debido a argumentos similares al caso del péndulo simple, se tiene la ecuación de movimiento del péndulo físico: d20 mgh Q — —+ —— sen0 = 0 dt2 l„ donde lQ es el momento de inercia respecto de un eje que pasa por O. En el caso de oscilaciones de pequeña amplitud se tendrá que el movimiento es un MAS con 2 “
mg h L
o T = 2t t
(j Z 'mgh
Usando el teorema de los ejes paralelos lQ=lg +mh2 = mk2 +mh2 = m (k 2 +h2)
64 |Cia |Cia ses de fí si ca II donde k2 es el "radio de giro" respecto del centro de masa G, se tiene que el periodo no depende de la masa del rígido sino de la geometría que tiene el cuerpo:
T = 2t l
k2+h2 gh
= 2 k . / -
donde L=h+— se denomina longitud equivalente (del péndulo simple) h Por ejemplo: A) Para una varilla homogénea de longitud l suspendida de un extremo, se tiene que lG = — m r , i.e., k =
. Con h = - ¿ se
k2 2 calcula L = h + — = - £ . h 3 Así, un péndulo simple de 67 cm de longitud tiene el mismo periodo que una varilla homogénea de 1 m de longitud. B) Para un un anillo que cuelga de un clavo en O, O, oscilando en su propio plano, se tiene que h = R y lG = mR2 mR 2 =>k = R . k2 De manera maner a que L = h + — = 2R h y su periodo es el mismo que el de un péndulo simple de longitud t = 2R . Ejemplo 3.15. MAS de un péndulo de torsión
La aplicación de un torque sobre un cuerpo sólido, tal como una varilla cilindrica, le produce torsión; y las fuerzas internas en el sólido originan torques que tienden a restaurarlo a su condición no deformada. Supongamos que al aplicar un torque x, respecto del eje de la varilla, tuerce un extremo de la varilla un ángulo 6 respecto del otro extremo. Si la varilla se comporta elásticamente, la deformación Ô será proporcional al torque aplicado, esto es x =C0 donde C se denomina constante de torque (o torsión) de la varilla
Robinson Vásquez O. 165
Sea un cuerpo rígido con simetría axial suspendido mediante un alambre o una C
varilla, a lo largo del eje de simetría. Si se tuerce al rígido a partir de su posición de
lo
equilibrio, la varilla ejercerá un torque restaurad or y el rígido rígido comenzará a oscilar.
Asumamos que la masa de la varilla es insignificante en comparación con la masa del rígido suspendido. La ecuación del movimiento rotacional alrededor del eje del sistema, es
dond donde e C es la co nsta ns tant nte e de torsión de la varilla varill a y lQ el momento de inercia del rígido rígido respecto de su eje. Si se reescribe esta ecuación en la forma
dt2
lQ
se observa que es idéntica a la ecuación para un MAS.
De manera que el rígido ejecuta un movimiento angular (o rotacional) armónico
simple con una frecuencia angular
La amplitud de este MAS rotacional no necesariamente debe ser pequeña pues se tiene que, para varillas y alambres de diversos materiales, el torque
t
es directamente
proporcional proporcional a 6 incluso para ángulos 6 muy grandes. grande s. Pareciera que las oscilaciones de un péndulo simple son en realidad un MAS rotacional y no un MAS lineal, ya que el movimiento es circular. Sin embargo, como el movimie movimiento nto del péndulo simple es armónico simple solo en el caso c aso de desplazamientos muy pequeños, puede ser denominado indistintamente como MAS lineal o MAS rotacional.
66 1 C l a s e s d e f i s i c a
3.11
II
Mo vimiento armónico armónico amorti amortigua guado do El MAS se caracteriza por tener una amplitud constante; sin embargo, si sobre la partícula oscilante (debido a F * - kx) adicionalmente actúa una fuerza fuerza de de fricción, se tendrá que la amplitud disminuye gradualmente hasta que finalm ente
cesa el el movimiento. Se dice que el movim iento oscilatorio es
amortiguado. Supongamos que la fuerza de fricción es directamente proporcional a la rapidez de la partícula, i.e., f = -X v
Entonces, la ecuación de movimiento de la partícula será d2x dx m — - + X — + kx kx = 0 dt dt2 dt 2 que habitualmente se escribe como
-
donde co0
' ^
eS'a
+ 2 y - +( + (0ox = 0
frecuenci frecuencia a natural natural de oscilac oscilación ión y y = — , se con conoc oce e 2m
como la constante de amortiguamiento.
Esta ecuación diferencial difiere de la ecuación del MAS en el término que se conoce como el término de amortiguamiento. En el caso de amortiguamiento pequeño (i.e. fuerza de fricción pequeña) se tie ti e n e que q ue y < co0 y la ecuación diferen cial tiene como solución
x = Acos(ü>t Acos(ü>t + a ) = A0e ^cosCoa ^cosCoatt + a )
don de A es la amp litud de la oscilación oscilación y co= y(o J - y 2 la frecu encia angular de la oscilación.
Robinson Vásquez O. |67 En
x
movimiento
el
armónico
subamortiguado (i.e. y
Ao
de
las
oscilaciones
disminuye
exponencialmente con el tiempo. La frecuencia ( co) de las oscilaciones amortiguadas es menor que la frecuencia -Ao
(odo) de las oscilaciones libres.
x
El
movimiento
es
críticamente
amortiguado cuando y = coq : el sistema no oscila sino que gradualmente retorna a su posición
de
equilibrio
cuando
se
le
desplaza y luego se le suelta.
El movimiento es sobre amortiguado cuando y > coq : En este caso el sistema tampoco oscila pero retorna a su posición de equilibrio más lentamente que en el caso de amortiguamiento crítico.
3.12
Oscilaciones forzadas Un problema de gran importancia es el de las vibraciones forzadas de un oscilador; esto es, vibraciones que resultan cuando se aplica una fuerza externa oscilante sobre una partícula sometida a una fuerza elástica. Un ejemplo ilustrativo es el caso de un diapasón en el interior de una cavidad resonante, que obliga a oscilar a las paredes de la cavidad y el aire encerrado en esta cavidad. Sea F=F0coscúFt la fuerza externa oscilante, aplicada sobre la masa m para así mantener las oscilaciones. En este caso la ecuación diferencial del movimiento es
la cual tiene como solución * F0 /m
x=Acos(coFt-p ) con A = K
~ “ o ) + (2 y c o p )2
De este resultado se concluye que
* En esta solución se ha ignorado el térm in o corr espo nd iente al amor tig uam ient o pues muy rápidamente se torna insignificante.
68 I Cl ase s de f ís ic a II
1) Las oscilaciones forzadas no se amortiguan, pues la amplitud A es constante, aunque la magnitud de A depende de la frecuencia de la fuerza externa F. 2) La partícula oscila con la misma frecuencia % de la fuerza exte rna aplicada. La amplitud A de las oscilaciones forzadas es proporcional a la magnitud F0 de la fuerza
externa
oscilante.
Depende,
considerablemente, de la relación entre la frecuencia
©p
de
esta
fu erza
frecuencia propia (Le. natural)
y
la
cdq
4
del sistema. Si el amortiguamiento y es pequeño la amplitud de las oscilaciones, alcanza su valor máximo aproximadamente cuando coinciden o>p y ©o* situación que se conoce como condición de resonancia. En la resonancia, se tie ne A
-
F°
2mco0y
Es en la condición de resonancia que se produce la máxima transferencia de energía (mediante el trabajo de la fuerza o scilante aplicada) hacia el oscilador. El fenómeno de la resonancia es de gran importancia pues se m anifies ta en un gran número de situaciones físicas. Quizás el ejemplo más familiar de resonancia tiene lugar cuando se sintoniza un radio receptor para escuchar a una radioemisora: Las ondas electromagnéticas emitidas por las radioemisoras producen oscilaciones forzadas en el circuito del radioreceptor y cuando la frecuencia del radioreceptor coincide
con aquella en la que tran sm ite la
radioemisora (i.e. en resonancia) el circuito receptor absorbe un máximo de energía; como consecuencia, en el receptor solo se escucha la señal de la radioemisora seleccionada. 3.13
La energía en el movimiento armónico simple Al igual que en todo sistema mecánico, la energía total de un oscilador armónico comprende la suma de las energías cinética, potencial gravitacional y potencial elástica; esto es E=K+Ug+Ue
y, en ausencia de fuerzas disipativas, esta energía se mantien e constan te
Robinson Vásquez O. |69
A) Energía en el sistema masa-resorte horizontal Para un oscilador masa-resorte horizontal, la energía mecánica está dada por E s irn v 2 + -kx2
Í->IWW WM/WVW»—
2
2
donde se ha elegido Ug = 0 0
x
gravitacional
sobre
el
que
en el nivel ocurre
el
movimiento. Como
x-A seno ot
y
v = a)Acoscot, se tiene que
U = - k x 2 s - k A 2sen2cot
2
2
K = - m v 2 s- m e o 2A2 cos2 cot = - k A2 cos2 cot
2
2
2
Las energías cinéticas y potencial, al igual que el desplazamiento (x), también son oscilantes aunque el período x de la oscilación es la mitad del periodo (T) del desplazamiento. En cualquier instante se tiene que la energía total es
esto es, las energías individuales u wma» -A Kmi. =0
ij — -n “'mm V H0 Km..= ¿ k A 2 ^
ii s=_ ikA 2 Urna»
fluctúan entre un valor máximo = -k A
I
y
un va lor
mínimo
+A K _jrt = 0
( = 0), pero la energ ía total es una constante del movimiento.
De esta ecuación de la energía se puede establecer que
XJ + | <(oJ
f- T =a2
ecuación que permite determinar la amplitud A del movimiento en términos del desplazamiento inicial (xo) y de la velocidad inicial ( v 0 ) .
70 | Cl as es de f ís ic a II
Ejemplo 3.16. Se aleja una partícula 5 cm de su posición de equilibrio y en esa posición se le proporciona una velocidad inicial de 0,2 m/s; observándose luego que la partícula ejecuta un MAS de periodo igual a 1 segundo . Halle la am pli tu d d e las oscilaciones.
v0 =0,2 m/s
De
A =x 2n
©* ~
* 2k rad/s se ob tiene
6 c m
Nótese que, en este caso, la amplitu d no es igual al des plazam ient o inicial x0 .
Ejemplo 3.17. Representación de la energía en función de la posición De
E = - k x *2 + - m v 2 = - k A 2
o b ti en e
2
2
2
se
K = -m v 2 * -k (A 2 - x 2),
2
2
que es la expresión de la energía cinética en fu nción de la posición x del oscilador.
Igualando K - U se ob tien e que la energía cinétic a y pot enc ial son iguales , . .. A cuand o la partícula se encu entr a en la posición x = - j ■».
También, igualando K = f ^ k A 2 eos2 © t^ = U = ^ k A 2sen2©t^ se obtiene que K y U son iguales cu ando t ■ — * . 4© 8
En efec to xf t = ¿ T j = . V 8 ) V 2
Robinson Vásquez O. |71
B) Energía en el sistema masa-resorte vertical En el caso del oscilador vertical, además de la energía cinética y de la energía potencial elástica, debe tomarse en cuenta la energía potencial gravitacional
de
la
masa
oscilante
pues
su
posición
en
el
campo
gravitacional varía conforme transcurre el movimiento La figura muestra al oscilador vertical en tres posiciones: a)
Cuando se
encuen tra
inicialmente en reposo en (Ug = 0 ) Ei
la posición de equilibrio (x = 0). En este posición se tiene que mg = k8 donde S es el estiramiento inicial del resorte.
b)
Cuando se encu entr a moviénd ose con rapidez v, y tien e una energía total E* = - k ( 8 + x ) 2 + - m v 2 - m g x i 2 2 habiéndose elegido Ugi 0 en x = 0
c)
Cuando se enc uen tra en reposo instan táneo (v = 0) en la posición extrema x = A del movimiento, y tiene una energía total E2 = ^ k(5 + A )2 -m g A Usando la condición de equilib rio (m g = k5 ) las energías E¿
y E2 se
reescriben E, = -k x2 + -m v2 + -k8 2 1 2 2 2 E2 = -k A 2 + -k 5 2
2 2
2
que, al igualarlas, debido a la conservación de la energía, conducen a
-kx 2 +-mv2 =-kA 2 2 2 2 que es la misma ecuación que para el oscilador horizontal, provisto que la posición x del oscilador se mida a pa rtir de la posición de equilibrio .
72|Clases de física II Ejemplo 3 1 8 Un oscilador mecánico compuesto de un resorte de constante k = 200 N/m y un coche de 2 kg, oscila en un plano inclinado liso. Determinar la ecuación que define al movimiento. La posición ( 5 ) de equ ilibrio del oscilador, medida desde el extremo del resorte unido a la masa, cuando el resorte se encuentra
10 M io
sin deformar, se encuentra de
V í n
k8 = 10
i.e.
5 = 50 m
Si se suelta a la masa cuando el resorte tiene su longitud natural, el sistema tendrá una energía inicial E¡ =mgh = -m gd donde d es la longitud que se desplaza la masa
hasta
que
instantáneamente
se
detiene (i.e. v = 0). La ene rgía de l sistema cuando v = 0, es Ef = i k d 2 ^ 2 Entonces
E¡= Ef
conduce a
mg d = — = 10 cm ; de manera que para esta k
condición inicial del movimiento, la amplitud será A =d-5 = 5cm
10 rad/s El desplazamiento x está dado por x = 5 se n (l0 t+ $ ) donde o> = 1 c o m o x ( t = 0 ) = - A ( = - 5 ) , e nt on tc es se n
n i * = -
x = 5 sen| 1 0 t - j lc m = - 5 c o s ( l 0 t ) c m
Robinson Vásquez O. |73 Fjemplo 3.19.
La energía mecánica total de un péndulo simple de amplitud 0o está dada por
E = mg£ ( l - eos 0O) b 2m g¿se n2 ^ 0 O U =0
En una posición 0 cua lqu iera, la energía total se expre sa
E = m g £ ( l - c o s 0 ) + - m v 2 = 2m g¿sen 2í - 0 ) + - m v 2
Entonces, de la conservación de la energía se obtiene la rapidez v
v = j4 g ¿ | sen2
y usando v =
dt
, se escribe la ecu ación integral
1
£
0
d0
j*e0
2V g
Haciendo
sen2 —
0
se n2
0
=
Se tiene que T = 2 7 t J - — R
6 eos-2-
= =
sen2 -
0
sen —= sen — .señó 2 2 0 = 0n
d ^ s e n jj = d^sen~-senj
rT/4
0
i Jo
dt
<|>= 0 i
n
* =I
=> d0 = ^2tg~-.cos d<()
= 2 n J - f l + - s e n 2 — + — sen4 2 64
74 |Clase s de físi ca II Esta es la expresión exacta para el periodo de un péndulo simple de amplitud 0O Nótese que el movimiento es armónico simple solo en el caso 90 = 0 ; sin embargo, el periodo es muy próximo al que corresponde a un MAS para amplitudes 60 pequeños.
los términos sucesivos son pequeños, la diferencia entre el periodo real y el calculado
con
la
aproximación
MAS,
0O=0,2rad (=11°) la diferencia es de 0,25%.
es
del
orden
de
7%.
Para
Capítulo 4.
Ondas
Si se perturba la superficie de agua en reposo usando, por ejemplo un oscilador, se observa que el movimiento oscilatorio se transmite al agua y en ésta se produce un movimiento oscilatorio que se propaga (i.e. viaja) sobre su superficie.
Análogamente, un vibrador conectado al extremo de una cuerda hace que el extremo de la cuerda oscile y esta oscilación se propaga a lo largo de la cuerda. Estos son solo dos ejemplos de casos en los cuales se ha producido un movimiento ondulatorio:
Un movimiento ondulatorio (o, abre viadamente, onda) es una perturbación física que se origina en algún lugar del espacio, se propaga a través de éste y es posteriormente detectada en otro lugar del espacio.
4.1
Ondas mecánicas y ondas electro magnéticas Según su naturaleza las ondas pueden se r de dos clases: a) Mecánicas o también llamadas elásticas, y b) Electromagnéticas Las ondas mecánicas se generan mediante el desplazamiento de alguna porción del medio elástico (e.g. en una cuerda, en una varilla metálica, en el agua, etc). Las partículas componentes del medio elástico oscilan alrededor de su posición de equilibrio, y debido a las propiedades elásticas del medio esta oscilación se transmite de una sección a otra del medio. La velocidad de propagación de una onda mecánica depende de las características elásticas del medio en el cual se propagan.
76 |Cla ses se s de fí si ca II Las ondas electromagnéticas, como la luz, ondas de TV, rayos X, etc, consisten de campos eléctrico y magnético que, una vez generados, se propagan regenerándo regenerándose se entre sí. Estas ondas ondas no no requieren de un medio med io mate m ateria riall para su propagación; esto es, también se propagan en el espacio vacío. Las ondas mecánicas pueden ser transversales o longitudinales. Se dice que una onda
es
transversal
cuando
las
partículas
del
medio
oscilan
perpendicularmente a la dirección de propagación, e.g. ondas en una cuerda. Una onda es longitudinal cuando las partículas del medio oscilan en la misma dirección que en la cual se propaga la onda, e.g. ondas sonoras. Las Las electromagn electromagnéticas éticas son son ondas ondas solamente del tipo tran t ran sve rsal. rsa l. Dependiendo de la fuente generadora, las ondas (tanto mecánicas como electromagnéticas) son unidimensionales o tridimensionales. Las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a través de todo el espacio pero en una sola dirección; las tridimensionales se propagan a lo largo de todas las direcciones.
4.2
La función de onda Sea
una
perturbació pertu rbación n
i|/
(e.g.
el
desplazamiento vertical de una cuerda) que viaja en la dirección + x con una velocidad v. Como la perturbación se encuentra en movimiento, debe ser función tanto de la
v
posición posición como como del tiempo ti empo;; esto es, \|/ debe expresarse como como 0 \| \|/ = f ( x ,t ) La forma forma (o perfil) perfil) de la perturba perturbación ción en cualquier instant ins tante e (e.g. ( e.g. t * 0) se puede encontrar manteniendo constante el tiempo en ese valor. Así
v‘, ( x' t)lt=o= t)lt=o= f( x' 0) = f(,< f(,<)) representa al perfil de la onda en el instante t • 0.
Por Por ejemplo ejemplo,, si si f ( x ) = e ax dond donde e a es una una constante, constante, el perfil tendrá la forma de una campana, que que es la gráfica de esta función gaussi gaussiana. ana.
Robinson Vásquez O. |77 Este procedimiento matem ático es equivalente a tom ar una fotografía fotografía instantánea del pulso pulso (i.e. perturb ación) m ientras se desplaza.
La figura muestra la perturbación en los instantes t = 0 y t = t. El pulso ha realizado un desplazamiento vt a lo largo del eje X, pero su forma permanece la misma.
En el sistema de referencia S* ligado al pulso; i.e. que se mueve con velocidad v respecto al sistem a S, la pertur bación V(/ no es función del tiempo (i.e. se observa un perfil perfil estacionario) de m anera que y = f ( x ') ') De la figura se deduce que x' = x —vt, de manera que en el sistema estacionario S la función.
\y(x,t) \y(x,t) = f(x± vt)
representa a una onda unidimen sional que se propaga propaga con con velocidad v en la dirección T f X . Equivalentem ente, la perturbación \|/ \|/ puede expresarse como como una función función
Asi, y ( x , t ) = e a(x vt)
representa a una onda gaussiana que se propaga con
velocidad v en la dirección + X.
4.3
La ecuación diferencial de onda Si se tiene tiene que y = f( u ) donde a su vez u = u (x ), la regla regla de la la cadena cadena para derivadas se escribe dy
dy du
dx
du dx
que que pa para ra y = f(u ) donde donde u = x ± v t permit permite e escri escribir bir
d\|/_d\j/ d\|/_ d\j/ du
d\y d\y
du
dx
du
dx
du dx
78 I Cl as es de f i si ca II
dy
dy du _^dy
dt
du d t
de manera que
. ¿ Í - ív
du
dx
dy _
dy
dt
dx
Tomando Tomando segunda segundass derivadas derivadas de y (x , t) : d^y
d f d y ^ d u
d2y
dx2
d u ^ d xjd x
du d u2
d2y d2y
d ( d y ^ d u
2^
dt2
du ( dt
Jd t
y
V du2
de donde donde se obtiene obtiene la ecuación diferencial diferencia l de onda: o nda:
De manera que: I)
Si una una funció función n f(x, t) representa a un movimiento movimien to ondu on dulato latorio, rio, entonces entonc es f(x, t) debe satisfacer la ecuación de onda; y viceversa.
II)
Cualquier función función g(x, t) que sea solución de la ecua ec uació ción n de onda representa a un movimiento ondulatorio.
Ejemplo 4.1. De la onda gaussiana
Demostrar Demostrar que y (x , t ) = Ae_a^ Ae_a ^ x+Ct)
es solución solución de la ecuación ecua ción de onda.
Derivando respecto de la variable x: — = Ae_ Ae_l(bx l(bx+C +C,) ,)2 2 [-2a (bx +ct)]b =-2ab(bx+ct)\|» =-2ab(bx+ct)\|» dx « - 2a 2a b2 b2y - 2 ab ab (b (b x+ x+ c t) t) — dx2 dx * -2ab2y -2ab2y + [2ab( [2ab(bx bx +ct)]2 y * [4a 2b2 (bx + ct)2 - 2ab2] 2ab2] y
Robinson Vásquez O. |79 Derivando respecto de la variable t: = -2 ac (bx +ct)vj/; d t
0 t2
=[4 a2c2 (b x+ ct)2 - 2ac2 ] y
Sustituyendo en la ecuación de onda: d2\y d\
1 cty
d x2
v2 d t2
t ^2
d t 2 _ c 2 4a2 ( b x + c t )2 - 2 a
c2
¿&j/
b2
b2 4a2(b x+ ct)2 -2 a
d x2
Entonces, \(/ (x ,t) = Ae“ ^ x+Ct^ representa a una onda unidimensional que se propaga a lo largo del eje x con una velocidad v = - .
Nótese que la velocidad y dirección de propagación de la onda gaussiana también puede obtenerse por identificación con la expresión general de la función de onda, i.e. vj/ = f ( x ± v t ) .
En efecto:
v =A e-a(bx-Kt)2
\
V
= - ; propagación en - X
También se puede obtener la velocidad usando: dy
dt
-2ac(bx+ct)y
r=> v
-2ab(bx+ct)y
d x
dx 4.4
Ondas armónicas La onda más simple es aquella que se describe mediante una función armónica, esto es, seno o coseno. Así, la función y(x,t)=Asenk(x-vt)
describe a una onda senoidal que viaja con velocidad v en la dirección + X.
80 j e t a s e s d e f í s i c a II
4.4.1.
Parámetros espacíales de una onda armónica V El perfil de la onda, i.e. una "fotografía instantánea", se obtiene evaluando y ( x ,t ) en un instante t0 cualquiera, e.g. t0 =o:
\ j/ ( x ,0 ) s A s e n k x
La figura, gráfica de y = A sen k x , permite estab lecer los parámetros:
a) Amplitud (A): Máximo valor de la perturbación. b) Longitud de onda ( X ) : Distancia entre dos puntos del espacio (x) en los cuales la perturbación tiene exactamente las mismas características, como por ejemplo entre dos crestas, o dos valles, o entre B y B '.
c) Número de onda (k): Número de longitudes de onda que hay en una distancia de 271 metros. Como la función sen kx se repite periódicamente cada \ metros, entonces s e n k x = se n k ( x + > . ) y como el periodo de ia función armónica es de 2n radianes, se tiene que
k=
4.4.2.
A,
(rad /m )
Parámetros temporales de una onda armónica Un observador ubicado en una posición cualquiera del espacio por donde progresa la onda, e.g. x 0 = 0 / reconocerá que, a medida
-A ■
que
transcurre
el
tiempo,
perturbación varía según
y (0, t) = Ase n(k vt)
la
Robinson Vásquez O. |81 La figura, gráfica de \|f = A sen (k v t ) , permite establecer el a) Período (T): De tiempo que transcurre , en una misma posición del espacio, para que una onda se repita idénticamente; por ejemplo, la "distancia" entre dos crestas o dos valles, o entre los puntos C y C \ Como la función s e n (k v t)
se repite periódicamente cada T
segundos, entonces sen(kvt)ssenkv(t+T) de donde se obtiene que
B kv
(s )
b) Frecuencia ( v ) : Se define como el número de veces que la onda se repite idénticamente en la unidad de tiempo:
v = — (Hz) T
c)
Frecuencia angular (co): Se define como co = 2 n v (rad)
4.4.3 .
Relación entre los paráme tros espaciales y temporales Combinando los parámetros espacial
(A.)
y temporal ( v ) , se
encuentra que estos se relacionan entre sí mediante la ecuación X v = v
En generad la frecuencia de una onda está determinada por la frecuencia de la fuente que ia genera, pero la velocidad (y, por lo tanto, la longitud de onda) depende de las características del medio en el cual progresa la onda; de manera que Se detecta una frecuencia de la onda distinta a la de la fuente emisora en el caso en que el detector y la fuente se encu entren en mo vim iento relativo. Esta situación se conoce como el Efecto Ooppler, que se verá más adelante
82 |Cla ses de fís ic a II
Cuando una onda pasa de un medio a otro, su frecuencia permanece inalterable, pero su velocidad y longitud varían.
4.5
Expresión general de la función de onda armónica Combinando las expresiones encontradas para los parámetros de onda, el argumento de la función de onda armónica puede indistintamente expresarse como k ( * - v t ) = Y ( x - v t ) = 2 ) t ^ - i j = ( k x - ( o t)
La forma más usual de representar a una onda armónica que se propaga en ia dirección ±x es
\|/(x, t) 1 Asen(k x q: ©t+ 8)
Debe
notarse
que
esta
onda
es
de
extensión infinita; es decir, se extiende “ °°
v
+00
w
v
-
desde x=-oo hasta x = +oo. Esta situación se corresponde con el hecho de que la onda tiene una sola frecuencia ©, esto es, es monocromática.
y*----------------h
Cuando se trata de una "onda* limitada a una región del espacio (i.e. un pulso o paquete de ondas) su descripción se realiza superponiendo
ondas
armónicas
de
frecuencias co, 2©, 3©, etc, utilizando un análisis de Fourier:
f
(x- yt) ss ap+Zap cosn(k x - ©t)+ Zbnsenn(k x - ©t)
Robinson Vásquez O. |83 4.5.1.
La fase de una onda armónica El argumento = (k x -c o t+ 5 ) de la función de onda se conoce como la fase de la onda. Cada valor de la fase ^ está asociado con una configuración bien definida de la onda, i.e. de la perturbación. El parámetro 8 se conoce como la fase inicial de la onda. Es una contribución constante a la fase, que se origina en la fuente de la onda y es independiente del recorrido de la onda en términos del espacio y del tiempo.
Como (k x - © t + 8 ) = kx—oo| t — co
= (kx-cot')
( k x - © t + 8 ) = k| x + - | —cot = ( k x 1—cot)
se deduce que
i)
En una posición fija, — representa el corrimiento del instante co inicial de observación respecto de un observador que elige t = 0 como el origen del tiempo. g
ii)
En un instante determinado, — representa el desplazamiento de k la posición inicial de observación respecto de un observador que elige x = 0 como el origen de la posición.
4.5.2.
El frente de onda y la velocidad de fase Aunque
\|/ = A se n (k x -c o t+ 8 )
representa
a
un
movimiento
ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X, esto no necesariamente debe interpretarse como una onda concentrada sobre el eje X.
84 |Cl as es de fí si ca II Si la perturbación física descrita por y
se
extiende sobre todo el espacio, se tiene que en un instante dado t la función y X
adopta el mismo valor en todos los puntos que tengan el mismo x. Esto es, todos los puntos r sobre el plano x = constante tienen el mismo valor de y .
Estos planos, que corresponden al lugar geométrico de todos los puntos del espacio en los cuales la fase de la onda es la misma, esto es, constante, se denominan frentes de onda. La figura ilustra algunos frentes de onda para y = 0 A O-AOA
0
la
onda
unidimensional
que
se
propaga en la dirección + X.
Como los planos representan una condición de = kx-cD t + 5 = constante, diferenciando
se tiene que
d(J>=kdx-cod t y como
= 0 , entonces dx _ (o _ dt
k
De manera que la velocidad de propagación ^
dt
del fren te de onda, es
la misma que la velocidad v con la cual se mueve el perfil de la onda. Por esta razón a la velocidad v se le denomina velocidad de fase de la onda. 4.5 .3.
El vector de onda k Es claro que para describir a una onda unidimensional
lo
importante
es
la
dirección de propagación u (perp endicu lar al
frente
de
onda)
mientras
que
la
orientación de los ejes coordenados es un asunto de elección a rbitrar ia.
Robinson Vásquez O. |85 Nótese que para cualquier punto P en el frente de onda, localizado con un vector posición r , se tiene que x=r.u
la cual permite ex pre sar la función de onda V|/ en una forma que sea independiente de la selección de los ejes coordenados: i|/= As en (ku . r - o)t + 8)
Resulta conveniente definir al vector k = ku , de magnitud k = — = — y v X orientado en la dirección de propagación de la onda. A este vector se le denomina vector de propagación o, más frecuentemente, vector de onda. Entonces, una onda armónica (senoidal) unidimensional cuyo vector de onda es k , se representa como vj/ = Asen(ic.r - cot + 8 ) = Asen (kx x + kyy + kzz - oot + 8)
donde kx , ky y kz son las componentes de k , que satisfacen la ecuación k2 = k j + k2y + k f = ( ^ 2
y la ecuación diferencial de onda unidimensional en términos de los ejes coordenados cartesianos, se expresa como d2i|/ ^ 32v|/ + d2v|/ _ 1 d2V|/ d x2
5 y2
dz2
v2 d t2
que, utilizando el operador Laplaciano V2
a2
a2
e2
ax2+ay2+az2
se escribe, compactamen te, como
86 |Clases de física II
4.6
La onda armónica esférica Cuando se perturba la superficie de agua en reposo, se observa ondas superficiales (i.e. bidimensionales) que se esparcen hacia afuera mostrando frentes de onda circulares. Una fuente puntual dará lugar a ondas que se propagan radialmente en todas las direcciones (i.e. onda tridimensional) con un frente de onda constituida por una superficie esférica. Una
onda
con
simetría
esférica,
representada por una función \|/(r,t), responde a la ecuación diferencial
que no es otra que la ecuación de onda unidimensional, donde la variable espacial es r y la función de onda es r y :
Una onda armónica esférica que progresa radialmente hacia afuera desde su origen, se representa con la función
A de donde se establece que la amplitud — de una onda esférica disminuye a r medida que se aleja de la fuente.
4.7
El Principio de Superposición de las Ondas Cuando dos o más ondas actúan simultáneamente en la misma región del espacio, la función de onda que describe la perturbación resultante se obtiene sumando las funciones de onda de las ondas individuales. Esta propiedad de las ondas se conoce como el principio de superposición. Matemáticamente, esta propiedad aditiva es una consecuencia de que la ecuación diferencial de onda es lineal; esto es, si dos funciones y 1(x ,t ) y V 2 (x ,y ) satisfacen cada una de ellas la ecuación de onda entonces cualquier combinación lineal de estas funciones también satisface la ecuación de onda.
Robinson Vásquez O. |87
Para ilustrar el principio de superposición consideremos las ondas V , =A sen (kx-o> t)
y
\p2 = A s e n ( k , x-
cuyas frecuencias CO y ©' son casi iguales. Entonces, la onda resultante será fk co'+co _ fk '- k co'--coI . '+ k \|/ = \y1 + \y 2 = 2A 0 c o s í ----- x --------- 1 |sen| — x --------- 1 2
2
como ©' y co (y tam bién k y k*) son casi iguales, se puede aproximar ¿ ( ( d '+ co)^ ©
y
2
¿(k'+k)=ík
2
de manera que
V = 2A 0 eos
k'-k 2
X
0)'—CO ^ /■ \ —| — t js e n ( k x -( D t j
Esta función \\f representa a la onda (resultante ) dibujada con trazo continuo, cuya amplitud
se
encuentra
modulada
siendo
el
factor
de
modulación
Nótese que esta amplitud, modulante del movimiento ondulatorio resultante, es en si misma una onda que se propaga con una velocidad. _ (o'-co _ dco Vg “ k ' - k “ dk que se denomina velocid ad de grupo. La onda \|/ resultante puede visualizarse como que originariamente es un pulso, que, luego de ser generado por la fuente, se propaga con velocidad vg . Las ondas V i y \\fi, asi mismo,
88
|Clases de física II
La velocidad de propagación de este pulso no es v = — pues esta es la velocidad (de k fase) con la que se propaga una onda armónica "infinita", esto es, de una sola frecuencia a . Y el pulso no es armónico monocromático: está compuesto por ondas de varias frecuencias (coy co\ en el ejemplo ilustrado). Usando o¡>= k v , se tiene para la velocidad de grupo (i.e. del pulso).
, dv —v TIN. 8 dk
±
«o
U
v„ 8
v —
1 _c o V
f dvl [dtoj
En el caso en que la velocidad de fase sea independiente de la frecue ncia, — = 0 y dc o
Vg = v ; esto es, no hay diferencia entre la velocidad de fase y la de grupo.
En el caso en que la velocidad de fase dependa de la frecuencia, esto es, que las componentes Fourier del pulso viajan con diferente velocidad, Vg puede ser mayor o menor que v. Esta situación corresponde al caso en el cual el medio en el cual se propaga el pulso es dispersivo. En un medio dispersivo se tiene que las ondas componentes abandonan al pulso, como ocurre con las ondas en el mar.
4.8
Ondas (transversa les) en una cuerda Sea una cuerda (o un alambre delgado) estirada horizontalmente mediante fuerzas T. Si la tensión T en la cuerda es muy
fr
A
grande en comparación con su peso, la cuerda,
en
buena
aproximación,
permanecerá horizontal en su condición de equilibrio.
Mediante una fuerza F, pequeña en comparación con T, se produce un desplazamiento transversal de la cuerda, y luego se le suelta. Esta deformación de la cuerda se mueve a lo largo de ésta, estab leciéndo se a sí un pulso viajero .
Robinson Vásquez O. |89
Es razonable suponer que la pendiente de la cuerda deformada, durante su movimiento, será pequeña en todos los puntos; por lo tanto, la fuerza tangencial a la cuerda es constante en todos los puntos.
Aplicando la segunda ley de Newton a un elemento dx de la cuerda, de peso pgdx, donde \i es la densidad lineal de masa: T(sen(5 - se n a) - pgdx = pdx 3 t2 Bajo la aproximación a , p pequeños, se tiene que sen * tg ay s en a - tg a = — dx
senp=*tgp*|£ d x
X~
l d.x x+— 2
dy y
senp-sena dx
dy ,+íi
5»
2
dx
dx 2
a 2y dx2
Considerando insignificante el peso pgdx del elemento de cuerda, se obtiene d2y
1 d2y
ÍT
d x2
v2 d x2
y P
De manera que el pulso, descrito mediante la función y(x, t), se propaga ondulatoriamente con una velocidad determinada por la tensión T con la cual se mantiene estirada la cuerda y la densidad lineal de masa p (k g /m ) de ésta. 4.9
Reflexión y Refracción de ondas
Cuando una onda que viene progresando en un medio incide sobre la interfaz con otro medio, se observa que parte de esta onda regresa al medio de incidencia y parte se transmite al segundo medio. Se dice que se han producido los fenómenos de reflexión y refracción (transmisión) de la onda.
90 |Clases de ffsica II La reflexión y refracción de una onda, que tiene lugar debido a que en medios diferentes la propagación ocurre con diferente velocidad, se ilustran adecuadamente considerando una cuerda compuesta de segmentos de diferente densidad lineal de masa.
------- / \ ---------
(la) *
Las figuras (la) y (2a) muestran un
H2 >Mi
pulso
viajero
en
una
cuerda
en
una
cuerda
"delgada"
y
"gruesa",
respectivamente.
Las
figuras (Ib) y (2b) muestran los pulsos reflejados
y transmitidos
luego de que el pulso incide en la frontera entre las dos cuerdas.
(2b)
El experimento demuestra que el pulso reflejado, respecto del pulso incidente, es: a) Invertido (i.e. desfasado en xcrad), cuando el pulso incide sobre el segmento de cuerda más denso (fig Ib). b) No invertido (i.e. en fase), cuando el pulso incide sobre el segmento de cuerda menos denso (fig 2b)
En el caso de una cuerda atada a un
s
soporte fijo (e.g. la pared), la reflexión
V
tiene las mismas características que las ilustradas en la figura (Ib). En el caso de una cuerda unida a un soporte móvil (e.g. una argolla), la reflexión tiene las mismas características que en la figura (2b).
Robinson Vásquez O. |91
Robinson Vásquez O. |91 Como la velocidad de la onda depende de la densidad |i de la cuerda, y como X = v / v , para una onda armónica se tendrá que:
P i< p 2
c)
vx >v2 y
^>^2
... la velocidad y longitud de la onda son mayores en la cuerda menos densa ("delgada") que en la cuerda más densa ("gruesa").
4.10 Energía y Momentum en el movimiento ondulatorio Cuando una onda mecánica se propaga en un medio, el material constituyente del medio no se traslada con la onda. Las partículas del medio oscilan alrededor de su posición de equilibrio ejecutando así desplazamientos pequeños. Por ejemplo, si se tiene un corcho pequeño sobre una superficie de agua en reposo, el corcho oscilará de arriba hacia abajo conforme la onda pasa por el punto donde se localiza el corcho.
Entonces, si el medio material no se traslada, ¿qué es lo que se propaga en una
onda? El corcho del ejemplo, al igual que todas las partículas de agua, se mueven (verticalmente) a medida que la onda progresa, esto es, adquieren energía cinética y cantidad de movimiento. Es razonable concluir que esta energía y momentum les ha sido transferida por la onda. De manera que se puede concluir que
En un rnovlmiento ondulatorio se propaga energía y momentum.
9 2 | Clases
í
de física 1 1
En el caso de ondas transversales que se propaganen unacuerda som etida a un a tensión T, ¿cóm o setransfiere la en ergia deunpu nto de\acuerda a o tro?
En el punto P, la componente Tv de \a tensión está dada por
Cuando el punto P se mueve (verticalmente}, la fuerza Tv ejecuta un trabajo sobre P y por \o tanto transfiere energía a \a cuerda. La potencia p(x, t} transferida por Tv(x, t ), es igual a
P ( X , t ) = Ty V J - r M
S
Y 01
IM
B
0x
01
Esta ecuación permite calcular la rapidez con la que se transmite energía de punto a otro de la cuerda, d ebido a la propagación d e una on da y^x,
X) .
En el caso particular de una onda senoidal y(^x,t) = As en (k x —catV. 0 y ---- = k A c o s ( k x —c o t í;
0x
v
1
0 y
----- = —to A co sík x —cot^ 0t
v
'
de manera que:
p( x,t ) = TcokA2 eos2 ( kx —cot")
Como T = p v 2 y k = - , la potencia transferida por \a onda se
p-
expresa
(o2 A2 eos2 (kx —q>tfl \/S/^
de donde se deduce que la energía asociada con \a y(x, t) a rm ó n ic a,
Perturbación ondu\ator\a
a) Siemp re tiene un valor positivo b) Se tran sm ite ondulatoriamente
X
Robinson Vásquez O. |93 La potencia media transmitida por la onda (senoidal) que se propaga en una cuerda es P = v l “ P®2A2
en donde el térm ino entre corchetes representa la densidad media de energía 1
e
2a 2
= —liCO A 2
J
—
Robinson Vásquez O. |93 La potencia media transmitida por la onda (senoidal) que se propaga en una cuerda es P = v l “ P®2A2
en donde el térm ino entre corchetes representa la densidad media de energía 1
e
2a 2
= —liCO A 2
J
— m
esto es, cada metro de cuerda tien e asociado una energía de — joules. v Este resultado de
potencia a (amplitud)2
se encuentra que es de validez general para cualquier ciase de onda, i.e. tanto mecánicas
como
electromagnéticas.
La
potencia
de
las
ondas
electromagnéticas es independiente de la frecuencia ( g>) de la onda. 4.11
Ondas estacio narias en una cuerda Un caso particular de superposición de ondas es el de dos ondas de igual amplitud y frecuen cia que se propagan en direcciones opuesta s: y1(x ,t ) = A se n(k x-o )t); y2(x ,t ) = Asen(kx + (ot) ~
La onda resultan te de la superposición de e stas dos ondas es y (x , t ) = 2Asen(kx)cos(cot)
Esta y(x, t) no es de la forma f ( x ± v t ) , de manera que la superposición de yx y y 2 no da lugar a una onda sino más bien produce un movimien to oscilatorio. Se dice que se ha producido un patrón de onda estacionaria. y (x ,t)= A 0 cos(ü)t)
con
A0 =2Asen(kx)
94 |Cla ses de fís ic a II Las características más resaltantes de una onda estacionaria son: V
a) No se traslada; esto es, todos y cada uno de los puntos del medio oscilan con la misma frecuencia ( od) de las ondas que se superponen.
b) La
amplitud
de
oscilación
de
los
diferentes puntos del medio, no es la misma. Varía según cual sea la posición x del punto, de acuerdo a: A0 =2A sen(kx)
El patrón de oscilación muestra e l) nodos (donde A0 = 0 ) c2) antinodos (donde A0 = 2 A )
Como A0 =0 para sen(kx) = 0 , se
educe que la posición de los nodos y
antinodos está dada por:
nodos:
kx=nrc
antinodos:
k x= [ n + i \n V 2)
ó
X x=n— 2 ó
n = 0, 1, 2 ,..
f l \ X x = n+- ll 2)2
n = 0,1 ,2,...
d) La energía no se propaga sino que se "acumula" en los lóbulos de oscilación, siendo su valor máximo en los antinodos y cero en los nodos. Si un extremo de una cuerda extendida se ata a un punto fijo, y al otro extremo se le hace oscilar armónicamente, las
ondas
incidentes
y
reflejadas darán lugar a un patrón de onda estacionaria.
Robín son Vá sq ue z O. 195 El número de lóbulos que presente el patrón de onda estacionario, depende a) De la longitud de la cue rda. b) De si los extrem os de la cuerda se encuentran fijos o libres. Para una cuerda de longitud
l
sujeta en sus dos extremos, como
........ 77*rw ----------------X
|a====
t 1
0
estos
extremos
moverse
debe
no
pueden
cumplirse
que
y (x = Q ) = y ( x = ¿ ) ^ 0
De manera que los nodos en esta cuerda se describen mediante la ecuación y (x = ¿) = A0sen (k¿ )co s((D t) = 0
Le.
k¿ = n7t
n = 1 ,2 ,3, ...
Entonces, en una cuerda de longitud l se establecen ondas estacionarias si
n=l X1 =2£
v =v/21
Una
cuerda atada en sus extremos solo
Puede oscilar en alguno de los modos de frecuencia vn, donde las vn se denominan frecuencias naturales o de resonancia del
n=2
f &
e
l
f v
sistema (i.e. de la cuerda)
2 = 2 v 1
A v x se le denomina primer armónico o n=3 _ Z.£
i 3 v
frecuencia fundamental. A v 2 se le llama segundo armónico, etc.
3
3 = 3v !
De manera que para que esta cuerda o scile mostrando alguno de estos modos normales, se requiere que se le excite (i.e. haga vibrar) con exactamente alguna
de las frecuencias naturales. De no ser así, la cuerda no mostrará un patrón de onda estacionario.
96 |Clases de física II Ejemplo 4.2. Excitación de modos normales en una cuerda
Un diapasón de frecuencia constante produce dos nodos entre los extremos de una cuerda sujeta en sus extremos. Si se disminuye la tensión en un factor 16 y simultáneamente la longitud de la cuerda se reduce a la mitad. ¿Cuál es el armónico en que vibra la cuerda? El diapasón (de frecuencia
t
k ----------------------M
v)
inicialmente hacía oscilar a la cuerda en el modo n - 3, i.e. en el 3er armónico.
En términos de las características de la cuerda, se tiene que
/
5«
- - p J_
T
Para las condiciones — y — , la e e e
16
e e L j - í | _L v
16
frecuencia natural de oscilación de la cuerda es
Y como v= v', entonces se deduce que la "nueva" cuerda, debido al mismo diapasón, oscilará en el 6° armónico. Solución alternativa: La frecuencia v de excitación de las cuerdas
l
y — es la misma pero la 2
velocidad de propagación de las ondas (que luego forman el patrón estacionario) es diferente pues tienen diferentes longitudes y están sometidas a diferente tensión. Sin embargo, se tiene que
Robinson Vásquez O. |97 se obtiene: V *
4.12
V„
V*
Va/
3
n
4
Ondas Sonoras La definición más general de onda sonora es la de una onda longitudinal en un medio elástico cualquiera, esto es, en sólidos y en fluidos. Tal como ocurre con todas las ondas mecánicas, la velocidad de las ondas sonoras depende de las características elásticas del medio en el cual se propagan y, en general, la velocidad es mayor en los sólidos que en los fluidos; y en los líquidos las ondas sonoras viajan más rápido que en los gases. Según su frecue ncia, las ondas sonoras se denominan Infrasónicas
<20 Hz
Audibles
20 Hz - 20 kHz
Ultrasónicas
> 20 kHz
En el rango audible se encuentran las ondas perceptibles por el oído humano (i.e. el sonido) el cual es muy sensible a variaciones de presión. Se generan mediante cuerdas vibrantes (e.g. violin, cuerdas vocales ), columnas vibratorias de aire (e.g. órgano, clarinete), etc. Estos sistemas vibrantes producen fluctuaciones de presión en el aire que los rodea, generando una onda de presión que al llegar al oído producen la sensación de sonido. Las ondas sísmicas constituyen un ejemplo de ondas infrasónicas y las vibraciones elásticas de un cristal de cuarzo, por efecto piezoeléctrico, son fuente generadora de ondas ultrasónicas de longitud de onda en el aire tan pequeña como de 0,5 pm la misma longitud que las ondas electromagnéticas visibles. 4.12.1 Ondas sonoras en una varilla sólida Si se golpea un extremo de una varilla, debido al esfuerzo aplicado cada sección recta de la varilla experimenta dos fuerzas (F) iguales y opuestas: una de
F *
ellas es la fuerza con la que el lado derecho jala al lado izquierdo y la otra
x
F
es la fuerza con la que el lado izquierdo jala al lado derecho.
98 |Clas es de fís ic a II En el caso en que todas las secciones rectas experimenten la misma fuerza se tendrá que la varilla se desplaza rígidamente; pero si las fuerzas no son las mismas en las diferentes secciones rectas se producirá una deformación (lineal) que se propaga a lo largo del eje X de la varilla.
Sean las secciones A y A' separadas una distancia dx en la condición no perturbada. Debido a las fuerzas actuantes, la sección A se desplazará una longitud "y" y la sección A'
se desplazará "y '" , de manera que en el estado
deformado A y A' estarán separadas una distancia dx + (y '-y )s d x + dy
Entonces: Debido al esfuerzo ^ S = ^ j aplicado la varilla experim enta d y dy una deformación unitaria e = — , de manera que F = YA — . dx dx
Por otro lado, el elemento de masa dm = pAdx comp rendido entre las d2y secciones A y A' adquiere una aceleración a = — - debido a la fuerza 0 t2
resultante F '- F = dF = — clx. Aplicando la segunda ley de Newton, se d x tiene £F d x
Robinson Vásquez O. 199 d y Y se obtiene u*5F = YA— VA ^ Y— Derivando la ecuación de Hooke I F = YA— dx dx dx 2 que, reemplazando en la ecuación precedente, conduce a la ecuación de onda a2y
Y
at2
P
d x 2
de donde se concluye que la perturbación se propaga en una varilla sólida con una velocidad
Ejemplo 4.3 . Rapidez de una onda sonora en una varilla de acero Como la densidad del acero es p = 7,8 g /c m 3 y el módulo de Young es Y = 2 ,0 x l0 11Pa, las ondas sonoras en una varilla de acero viajan con una rapidez 2,0 x1 0
=5<06x103 m/s
7,8xl03 Este valor calculado para la velocidad coincide con el valor experimental v = 5,10 x 103 m/s obtenido a 0°C. 4.12.2
Ondas sonoras en una columna de fluido Las ondas elásticas en un fluido difieren de las ondas en una varilla sólida en tanto que, debido a la compresibilidad de los fluidos, además de una onda de desplazamiento también se establecen ondas de presión y de densidad
I---------- ---------- H i i
p
1 i
dx
p'
■ m
(dx + dy)
Sea un cilindro de fluido (e.g. aire) cuya presión (po) y densidad (p0) en condiciones de equilibrio es la misma a través de todo el volumen.
100 |Clases de física II Si mediante un pistón se perturba al fluido, un elemento de volumen Adx es desplazado debido a la fuerza neta (p - p ') A que actúa sobre éste ya que las presiones p y p\ en uno y otro lado del elemento de volumen, son diferentes. Las
secciones
A y
A'
ejecutarán
desplazamientos
y e
y ',
respectivamente; de manera que en el estado deformado el grosor del elemento será d x+ (y '-y ) = dx + dy
esto es, el volumen V = Adx varía en dV = A dy. Debido al cambio de volumen y a la compresibilidad del fluido, tendrá lugar un cambio en la densidad ya que la masa dm del elemento es la misma tanto en la condición de equilibrio como en el estado deformado. Si p es la densidad del fluido en el estado deformado entonces dm = p0V = p( V + dV) permite establecer como varía la densidad del fluido con la posición x del elemento deformado:
n_
Po
_
Po
¡¡
, dV " dy 1 1 V dx + —
p
-
p q
Po
+ —
-
ey dx
Por otro lado, expandiendo en una serie de Taylor la presión en función de la densidad, para pequeñas variaciones de densidad, se puede escribir
P = P o +( P - P o ) g ) o
que, usando la expresión para el módulo de volumen, B = p0 adopta la forma P-P0=B
Po Entonces: El elemento de masa dm = p0 Ad x comprendido entre las secciones A y A' adquiere una aceleración a = ¿-¥- debido a la fuerza 0 t2
Robinson Vásquez O. 1101
resultante (p - p ')A = -Adp = - A — dx . Aplicando la segunda ley de dx Newton, se tiene dp ~~Z 0x
d2y Po — 7 a t2
d p dy d2y Derivando la ecuación p = P n -B — se obtiene — = -B — r dx dx dx2
que,
reemplazando en la ecuación precedente, conduce a la ecuación de onda d2y
B d2y
d t2
P o d x2
de donde se concluye que en el fluido se establece una onda de desplazamiento que se propaga con una rapidez
Ejemplo 4 .4 . Rapidez de una onda sonora en el agua
Como el módulo de volumen es B = 2 ,1 8 x l0 9 Pa y la densidad es p = l , 0 x l 0 3 kg/m3, las ondas sonoras en el agua viajan con una rapidez. = 1480 m/s 1,0x10
Ejemplo 4 .5 . Rapidez de una onda sonora en el a ire
En el caso de los gases el módulo de volumen B ^ = - ,VdP ^ J depende de cómo varía la presión (p) con el volumen (V) del gas. Si la temperatura del gas se mantiene constante, para un gas ideal se tiene que pV = constante; de manera que en un proceso isotérmico se tiene que d (p V )= 0
=>
B¡so=P
-
- H
102 |Clases de fisica Si el proceso es adiabático, esto es, si no hay transferencia de calor e n t r e c a p as ad y a c e n t es d el gas , a l c o m p r i m i r l o s u t e m p e r a t u r a a u m e n t a y al expandirlo su temperatura disminuye. En este caso el módulo B se calcula usando pVY = cte: d(pV Y)= 0
=>
Bad =
yp
=>
Como las conductividades térmicas de los gases son muy pequeñas, se tiene que la propagación del sonido (i.e. ondas son oras en el rango audible) en el aire es un proceso adiabático, y su velocidad está dada por v =
m PM P o r o t r o l a d o , u s an d o p V = — RT s e t i e n e q u e p = — y la v el o c id ad se M K RT calcula usando
f l yH
m
Así, para el ai re (M = 2 8 ,8 g /m o l , y = 1 ,4 0 ) la vel ocid ad del sonid o a 29 3 K se calcula en
v = 344 m/s 4.13
Ondas Sónicas Armónicas Como se ha señalado anteriormente, las ondas audibles (o sónicas) producen en el oído la sensación de sonido debido a fluctuaciones de pre sión. Al producirse una onda de desplazamiento y (x , t ) = A c o s (k x - c o t )
la onda de presión asociada se expresa m edían te p (x , t ) = s en (k x - © t )
d y dV La o n d a p (x , t ) se o b t ie n e d e y (x , t ) u s an d o p = - B — = - B — , d e d o n d e se d x V
establece la relación entre la amplitud de desplazamiento (A) y la amplitud de presión P P= Bk A
Robinson Vásquez O. |103 De las funciones y (x, t) y p(x, t) se puede estab lecer: Que
la
presión
experimenta
su
mínima variación en aquellos lugares donde las partículas (oscilantes) del medio
sufren
su
mayor
desplazamiento.
¡i)
La amplitud de presión es directamente proporcional á la amplitud de desplazamiento y a la frecuencia de la perturbación. Entre dos ondas de igual amplitud la de mayor frecuencia está asociada con una mayor fluctuación de presión. Usando v =
— , las amplitudes P y A se relacionan según v
P = v© p0 A
Ejemplo 4 .6 . Amplitud de una onda sónica en el aire
En una onda sonora de moderada intensidad la máxima fluctuación de la p resión, respecto de la presión atmosférica (p0 =1 01,3 k Pa ), es P = 3 ,0 x l0 -2 Pa . Para una frecuencia v = lk H z y una velocidad de propagación v = 344 m /s , se tiene Bad =YPo = ( l» 4 ) ( l, 013x 105) = 1,053x 105 Pa co
2nv
2t
ix
103
k = - = -----= ---------- = 18,26 rad/m v v 344 /. P = kBA
=>
A = — ------ 3,0x10 ------ - = l ,5 x l 0 “ 8m kB 18,26x1,053 xlO 5
amplitud de desplazamiento que es del orden de 1/100 del tamaño de una célula humana. 4.14
Intensidad de una Onda Sonora Al igual que todas las ondas elásticas, las ondas sonoras también transportan energía. Se define la intensidad de una onda como la potencia por unidad de área a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación.
104 |Cla se s de fí si c a II
Para la onda de desplazamiento y ( x ,t ) = A co s( kx-( D t), la velocidad con la cual oscilan las partículas del medio oscilan con una rapidez u(x, t) u(x,t) = ~ = et}Asen(kx-(ot) dX
de manera que la onda de presión asociada p (x ,t ) = B kA se n(k x- ü)t) transporta una potencia por unidad de área l(x,t )= p (x ,t).u (x ,t) = BcokA2sen2(kx-(D t) Como el valor medio de la (función armónica)2 es igual a Vi, entonces, la intensidad de la onda sonora está dada por I^ B co kA 2 = v ip 0(©A)2 2
Alternativamente, la intensidad de la onda sonora también puede expresarse como ♦ o2 I =■ 2p0v Ejemplo 4.7. Intensidad en los umbrales de dolor y audición El máximo exceso de presión tolerable por el oído humano es P = 30 Pa, que para una onda sonora en el aire (v = 344 m/s, p0 = 1,20 kg/m3 ) corresponde a una intensidad w (30 )2 ^mx Ü 2x1,20x344 m i mLa mínima variación de presión aún perceptible por el oído corresponde a P * 30p Pa y a una intensidad
Vni"
(30X1Q-6 )2 _ 2x 1,2 0x 34 4
12 \N_ m2
Ejemplo 4.8. Variación de la intensidad con la distancia Cuando se trata de ondas planas la intensidad es la misma a través de cualquier sección recta pero en el caso de ondas esféricas (i.e. originadas por una fuente puntual como habitualmente ocurre con el sonido) la intensidad disminuye con la distancia a la fuente. Por conservación de la energía: P=I1A i =I2A2
y como A=4 tcR2, entonces v2 ñ ll V^2 )
Robinson Vásquez O. |105 4.15
Nivel de intensidad del sonido El oído humano puede detectar sonidos cuya intensidad varía entre 10
-12
W m
W y 1 — ; dentro de este gran intervalo, el nivel de intensidad del sonido m2 percibido por el oído no es directamente proporcional a la intensidad de la onda. Se define el nivel de intensidad del sonido p, med iante la ecuación p = 10 l o g ^ j d B
donde I 0 = 10
-12 W — es el umbral de audición del oído humano a 1 kH z. m2
Para el umb ral de audición | I = 10
_12 w
p = 10 log
— el nivel de intensidad es nrr )
10,—12 10
-1 2
= 0 dB
W y para el umbral de dolor | I = 1 —— m P = 10 log 10
-12
= 120 dB
Ejemplo 4.9. Variación de la intensidad del sonido con la distancia Si a 30 metros de una fuente puntual de sonido el nivel del sonido es de 90 dB, ¿cuál es el nivel a 300 m de la fuente? De p = 90 dB = 10 I o g (l 0 12l ) se deduce que la intensidad de la onda, a 30 m de la fuente es l 3 0 = 1 0 ' 1 2 .1 0 9 = 1 0 ' 3
nrr Usando — = f — 1 j a intensidad de la onda a 300 m de la fuente se calcula en l Ri h 1 3
0
0 210-5 5
El nivel de intensidad a 300 m , será P = 10 Io g(l012. 10"5)s7 0 d B
106 |Cla se s de físic a II 4.1 6
Efecto Doppler Cuando la fuente del sonido y el observador (i.e. receptor del sonido) se encuentran en reposo relativo, la frecuencia registrada por el observador es la misma que la frecuencia de emisión de la fuente; pero cuando la fuente y el observador mantienen un movimiento relativo entre sí la frecuencia medida por el observador es diferente a la frecuencia de la fuente. Este fenómeno, descrito por primera vez por Christian Doppler, se conoce como el Efecto Doppler. Para analizar el Efecto Doppler se considerará el caso particular en que la fuente y el observador se mueven a lo largo de la recta que los une y se adoptará como sistema de referencia al medio a través del cual se propaga la onda sonora. Caso 1. Fuente en reposo y observado r se traslad a Sea v la frecuencia con que la fuente S emite las ondas, v la velocidad con la que éstas se propagan en el medio (e.g. en el aire) y
v
X = —
v
su longitud
de onda en el medio de propagación. Si el receptor 0 se aproxima con una velocidad v 0 hacia la fue nte S, entonces las ondas se aproximan al observador con una velocidad relativa v + v0 de manera que 0 registrará una frecuencia v , = v + va = v + va v X v En genera l, la frecuencia v ' registrada por el observad or en movimiento resp ecto de la fuente, está dada por
según sea que 0 se acerq ue hacia S (signo +) o que 0 se ale je de S (signo -) .
Rob ín son Vá sq ue z O. |107 Caso 2. Fuente se traslada y observador en reposo Supongamos que la fuente S se *
mueve con velocidad vs .
t=to
La velocidad de la onda respecto del medio sigue siendo v pues está determinada por las propiedades elásticas del medio y no cambia por el movimiento de S, pero la longitud de onda ya no es igual a v v
La onda es emitida por la fuente cada T = — segundos y durante ese tiempo la v V
Ve
onda viaja una distancia v T = — y la fuente se desplaza una distancia vsT = -*■. v v Cuando S se acerca hacia el observador, el efecto es una disminución de la longitud de onda, y el ob servador registra X '- v v
vs _ v ~vs v v
esto es, una frecuencia V
V
X'
v-v$
V *
En general, la frecuencia v' registrada por el observado r será
v
,
v
---------- v v i vs
según sea que la fuente se acerque al observador (signo -) o la fuente se aleje del observador (signo +) Caso 3. Fuente y observado r se trasladan Combinando los resultados hallados para los casos 1 y 2, se tendrá que si S y O se acercan entre sí, entonces v'
nisLv
v-vs
y si S y O se alejan entre sí, entonces V
• ----------v “ v0 * - V V + V j
L
-
í ' ~
V* ° -
108 |Cla se s de fís ic a II Caso especial: Ondas de choque Cuando la velocidad v$ de la fuente es mayor que la velocidad v de la onda, la fuente de sonido es supersónica y las ecuaciones halladas para el Efecto Doppler ya no describen la onda sonora delante de la fuente.
En este caso el frente de onda toma la forma de un cono, con la fuente S localizada, en el vértice. El semiángulo ( 6 ) del cono guarda la relación sen 0 = — VS
y y, en aerodinámica, la relación — se denomina número Mach. De manera que v 1 Mach es igual a la velocidad-de! sonido en el aire.
Capítulo 5.
Temperatura y Calor Hay un conjunto de fenómenos, denominados fenómenos térmicos, cuya explicación no puede llevarse a cabo solo haciendo uso de las cantidades fundam entale s longitud, masa y tiempo (que son necesarias y suficientes para dar cuenta de los fenómenos mecánicos) sino que requieren del concurso de una nueva cantidad fundamental: la temperatura.
5.1
Definición de Temp eratura Así como una fuerza intuitivamente se relaciona con un esfuerzo muscular y se describe como empujando o jalando un cuerpo, de igual manera la temp eratura se vincula con la sensación fisiológica de frío o caliente . Sin embargo, la sensación fisiológica es inadecuada para definir la temperatura de un cuerpo, como se puede apreciar del ejemplo siguiente:
0 B
o o o o
C
1
Sean tres recipientes: A con agua hirviendo, B con una mezcla de agua
—
y hielo y C con agua que fluye de un caño.
fi
Una mano introducida en A y luego en C sentirá fría el agua en C, pero la otra mano sumergida en B y luego en C sentirá caliente el agua en C. De este ejemplo se deduce que lo de "frío" o "caliente" son condiciones relativas de un cuerpo y, en consecuencia, no es un parámetro adecuado para asociarle una "temperatu ra". Es más conveniente definir el concepto de tem peratu ra de un cuerpo a partir de su condición de equilibrio térmico. Es una observación común que una taza de r
café "caliente" se enfriará así como que un vaso de agua "fría" se calentará, cuando se exponen al medio ambiente.
110 j C l a s e s d e f í s i c a
II
Pero estos procesos de enfriamiento (del café) y calentamiento (del agua fría) no continúan indefinidamente sino que, luego de transcurrido algún tiempo de exposición al medio amb iente, cesan : ¡el café no se congela y el agua no hierve ! Cuando esto ocurre se dice que la taza de café (y el vaso con agua) se encuentran en equilibrio térmico con el medio ambiente.
Se dice que dos sistem as se encuen tran en equ ilibrio térmico cu ando tienen la misma temperatura.
Así, la temperatura de un sistema es aquella propiedad que determina si éste se encuentra o no en equilibrio térmico con otro sistema.
5.2
La ley cero de la termo dinám ica y los term óm etros La unicidad de la temperatura que tiene un sistema queda garantizada por la ley cero de la termod inám ica, la cual establece que
Dos sistemas en equilibrio térm ico con un terce ro, se en cuen tran en e quilibrio térmico entre sí.
Sean tres sistemas A, B y C, como por ejemplo tres recipientes que contienen gases. A y C se ponen en contacto térmico, también C y B se ponen en contacto térmico. Mientras cada par de sistemas evoluciona hasta llegar al equilibrio térmico entre sí, se observa que los manómetros de los recipientes varían hasta que finalmente se detienen . Se dice que cada par de sistemas, por separado, han alcanzado el equilibrio térmico. Al poner A y B en contacto térmico se observa que los manómetros de A y B ya no experimentan variación: A y B también se encuentran en equilibrio térmico entre sí.
Robinson Vásquez O. 1111 La ley cero permite la elección de uno de los cuerpos, como el C, para medir la temperatura, esto es, como termómetro. Al poner al termómetro en contacto térmico con un cuerpo, registrará una temperatura (en el equilibrio) que es la misma que la del cuerpo. Como termómetro es apropiado elegir un cuerpo que tenga alguna propiedad que varíe de una manera razonablemente rápida con la temperatura (e.g. la presión de un gas, la longitud de una columna de mercurio, la resistencia eléctrica de un alambre, etc) y se calibra el termómetro usando dos temperaturas de referencia a las cuales se les asigna un valor arbitrario, por ejemplo, la temperatura del agua hirviendo y la temperatura de una mezcla de agua y hielo. Según cual sea el valor asignado a estas temperaturas se tendrá una escala de temperatura: escala Celsius (o centígrada), Fahrenheit, etc t
¡Y •
100*C-
Estas escalas se relacionan entre sí según la 212*F
relación
T 0°C
5.2.1
1 V
T(°C)
t
(° f ) - 3 2
100
32*F
180
El termó metro de gas y la escala Kelvin Cuando se calibran dos termómetros, p.ej. uno de mercurio y uno de resistencia eléctrica, de modo que den una misma lectura para agua en ebullición (i.e. 100°C) y para agua con hielo (i.e. 0*C), pueden no coincidir exactamente a temperaturas intermedias. Cualquier escala de temperatura siempre depende de alguna manera de las propiedades del material específico usado como termómetro. Lo ideal es definir una escala que sea independiente de las propiedades del termómetro, y uno que se aproxima a esta idealización es el termó metro de gas. Se encuentra que una muestra de cualquier gas de baja densidad, cuyo
volumen
constante, absoluta
varía
se
mantenga su
linealmente
temperatura.
presión con
la
Para calibrar al termómetro se mide la presión a las temperaturas de 0°C y 100°C y se traza una recta entre dos puntos en un diagrama presión versus temperat ura Celsius. Extrapolando esta recta se encuentra que todas las muestras de gas tendrían una presión igual a cero a la temperatura límite de - 273 ,15'C . La escala Kelvin (o absoluta) se construye eligiendo como 0 K a esta temperatura límite, de manera que T (K ) = T(°C ) + 273,15 La escala Celsius tiene dos puntos fijos (el de ebullición del agua y de fusión del hielo), pero se puede definir la escala Kelvin, usando un termóm etro de gas, con solo una temperatura de refe rencia. Se define el cociente de dos temperaturas
t x
y
t
2 en la escala Kelvin
como el cociente de las correspondientes presiones de un termómetro de gas
i= E l
Ti
Pi
Para completar la definición de T se elige como referencia al punto
triple del agua, que es una combinación única de tempe ratura y presión en la que pueden coexistir el agua sólida (hielo), líquida y gaseosa (vapor). Esto ocurre a 0,01°C y a una presión de vapor de agua a 610 Pa. La temperatura del punto triple del agua es, por definición Ttrip,e =273,15 K de manera que si Ptriple es la presión del termómetro de gas a la temperatura T^pie y p es la presión a otra temperatura T, entonces
T = Ttr¡ple- H - = ( 2 7 3 , lS ) - H -
Ptriple
Ptriple
La dilatación térmica Cuando se incrementa la temperatura de un cuerpo se encuentra que sus dimensiones también aumentan: se dice que el cuerpo se dilata o expande. Salvo raras excepciones, todos los cuerpos sean sólidos, líquidos o gaseosos se dilatan cuando incrementan su temperatura (i.e. cuando se les calienta) y se contraen cuando su temperatura disminuye (i.e. cuando se enfrían).
IÍ5TRobínson Vásquez O. 1113
En general, para presiones y cambios de temperatura comparables, los gases se dilatan o contraen mucho más que los líquidos y éstos se expanden o contraen más que los sólidos. 5.3.1
La dilatación de ios sólidos
La expansión térmica de los sólidos puede entenderse desde la perspectiva atómico-molecular, que conceptúa a un sólido como un arreglo tridimensional de átomos organizados en un arreglo ordenado y repetitivo. Este arreglo se conoce como la red cristalina. La figura ilustra una proyección sobre un plano de una red cristalina elemental donde las fuerzas de interacción entre átomos ( • ) están representadas por resortes. Cuando se incrementa la temperatura del sólido los átomos incrementan su amplitud de oscilación alrededor de su posición de equilibrio y como las fuerzas (de resorte) de interacción interatómicas no son simétricas respecto de la posición de equilibrio, al incrementarse la amplitud de la oscilación también aumenta la distancia media entre las moléculas. Al separarse los átomos, aumentan todas las dimensiones del sólido. A) Dilatación lineal de los sólidos.
Por dilatación lineal se entiende la expansión de cualquiera de las dimensiones del sólido (i.e. largo o ancho o grosor) o de cualquier línea (recta o curva) trazada sobre el sólido. Sin embargo, para describir la dilatación lineal se usará como referencia a una barra delgada. T0
Sea i 0 la longitud de la varilla a la l
T0 + A T ----------- -
temperatura T0 y i la longitud a la temperatura T = T 0 + A T.
El experimento muestra que el incremento A l en la longitud depende de la longitud inicial i 0 de la varilla y del incremento A T de su temperatura:
114 I Cl as es de fí s ic a II
donde a se denomina coeficiente térmico de dilatación lineal y
a
-
M (/°C)
( n AT
permite calcular el valor medio del coeficiente en todo el intervalo A T de temperaturas. Este coeficiente a para líquidos y sólidos varía muy ligeramente con la presión, pero puede variar significativamente con la temperatura. Se halla el coeficiente de dilatación lineal a una temperatura T determinada tomando el límite cuando A T tiende a cero, esto es « - i
“
(re ) í dT
En la mayoría de los casos se consigue una buena aproximación en el cálculo de A £ utilizando el valor medio de a . Usando &e = e - t 0 , se tiene que la longitud de la barra ( l ) cuando la temperatura se incrementa en
a t
=t - t0,
está dada por
¿ = f0 ( 1+aAT) Algunos valores medios de coeficiente a , para algunos materiales, son: Material Aluminio Cobre Acero
a(l0“6/°c)
Material Hierro Vidrio común Vidrio pirex
23 17 11
a f l O -6 / ° c ) 12 9 12
Ejemplo 5.1.
Una cinta de acero se calibra a 20°C. Utilizando esta cinta a 80°C se midió una longitud, registrándose 60 cm. ¿Cuál es el valor real de la longitud medida? La cinta de 60 cm (a 20°C) al 1= 1
80°C y
calentarla en A T = 60 °C , se dilata en M = ( l l x 10~* )(60 )(60 ) = 0,04 cm
20*C v
Entonces, la longitud real i (a 20°C) es ¿ = 60 + 0,0 4 = 60,0 4 cm
Robinson Vásquez O. |115 B) Dilatación superficial y volumétrica de los sólidos De manera análoga se obtienen los valores medios de los coeficientes de dilatación superficial ( P ) y volumétrica (y ):
B=_L — ■ P ~Ao A T '
Y, en el caso
=JL AV Y V0 A T
de materiales isotrópicos (i.e. que se expanden
uniformemente en todas las direcciones) se tienen que: P = 2a
y
y = 3a
En resumen: El incremento del tamaño de cualquier parte de un sólido, para un cambio determinado de temperatura, es proporcional al tamaño original de esa parte. Así,
1 2
3
0
si
se
temperatura acero,
de
todas
experimentarán variación
incrementa una
regla
la de
las
líneas
la
misma
porcentual
en
su
longitud f =— x 100% I . V *0 ) El orificio que tiene la regla también aumentará su diámetro en el mismo porcentaje. La dilatación es muy análoga a una ampliación fotográfica.
La capacidad de una botella aumenta cuando se incrementa su J tem peratura: el volumen de la botella aumenta como si fuera de | vidrio machto. .
116 je ta se s de fís ic a II Eicmolo 5.2. Variación de la densidad de los sólidos
Vo Sean p0
y v 0 la densidad y
volumen,
respectivamente,
del
sólido a su temperatura t 0 y p, V los
valores
a
la
temperatura
T = T 0 +AT. Como la masa del sólido permanece la misma, i.e. m = p0V0 = pV
y
V=V 0 (l+ y A T ), entonces
lo cual muestra que la densidad disminuye cuando se calienta al sólido. Para pequeñas variaciones de temperatura y
y -
10-6 / °C se tiene que
y
AT « 1
,
y
en ese caso P “ Po ( 1 - Y^t )
Ejemplo 5.3. Demostrar que y = 3a para los sólidos ¡sotrópicos
f
Sea
un
paralelepípedo
de
V ^3 • Como
dimensiones
el volumen v = ¿ ^ ¿ 3 , entonces
. . dt-> dV . . d U i «d^i d¿2 , t, / 1 " ~ ==^ 2 " ^ ’ +^ 3 4 A dT ”A' 3 dT 2 3 dT dT 1 dV _ 1 d^3
1 d l2
V d T ~ ¿ 3 dT
dT
1 d i1
11 dT
y como cada sumando a la derecha del signo igual es a , entonces y =3 a. 5.3.2
Dilatación de los líquidos Los líquidos se dilatan obedeciendo las mismas leyes que los sólidos; sin embargo debe tenerse en cuenta que cuando se calienta al líquido contenido en un recipiente, también se dilata el recipiente mismo.
Robinson Vásquez O. 1117 De manera que la dilatación que se observa de un líquido es solo aparente, para obtener la dilatación real hay que sumarle la dilatación del recipiente.
Ejemplo 5.4. Un frasco de vidrio (yf = l, 2 x l0 -5 /°c) de 200 cm3 se llena completamente de mercurio íy Hg = 1 8 x l0 “ 5 /°c), a 20*C. a) ¿Qué cantidad de mercurio se derrama al subir la temperatura hasta 100*C. b) ¿Cuál debe ser el volumen mínimo (a 20*C) que debe tener el frasco para que el mercurio no se derrame a 100*C? a) AVfrasco= tasco yf . V . A T
AVHg = ^ A V f[asco Yf
AVHg=YHg-V-AT
AVHg=15AVfrasco Como AVfrasco = ( l, 2 x l0 5)( 20 0) (8 0) = 0,192 cm3 entonces se derramará mercurio en una cantidad igual a AVHg =15x0 ,192 i 2,69 cm3
b)
V = V0Hg (1 + yHgAT ) = Vof ( l + yf AT)
Vp f
V0Hg To
(T0+ AT)
« 202,69 cm3
La Dilatación del agua En general, el coeficiente de dilatación volumétrica para sólidos y líquidos se puede decir que permanece constante en todo el rango de temperaturas usuales, pues sus variaciones son pequeñas. Sin embargo, el agua constituye un ejemplo emblemático de líquido con una dilatación muy irregular presentando diferentes coeficientes de dilatación. V Entre 0*C y 4*C el agua disminuye su volumen a medida que se incrementa su temperatura,
alcanzando
su
volumen
mínimo a los 4°C, i.e. máxima densidad.
118 |Cla se s de f ís ic a II Si se continúa calentando, el agua aumenta su volumen tal cual lo hacen la mayoría de los cuerpos. Este anómalo comportamiento de la densidad del agua hace que en el invierno la superficie de los lagos se encuentre congelada mientras que en las profundidades el agua se mantenga en form a líquida y a 4°C. Conforme se enfría, el agua superficial se hace más densa y se va al fondo. Una vez que toda el agua ha llegado a los 4°C ya no se tiene agua menos densa que suba a la superficie. Si continúa bajando la temperatura sobre la superficie del agua, se empieza a formar hielo, pero como éste es menos denso que el agua a 4°C, permanecerá en la superficie.
Los lagos se congelan de arriba hacia abajo, de manera que los peces pueden dormir tranquilos!
5.4
El calor El enfriamiento de la taza de café y el calentamiento del vaso de aguacon hielo, ‘Q
presentados en el ítem 5.1, se explican diciendo que tiene lugar un proceso de transferencia de una cantidad de calor (Q)
O »
//-/A'/v/«
;/=//=//=//s
del sistema a mayor temperatura hacia el de menor temperatura, proceso que cesa cuando los sistemas llegan al equilibrio térmico.
En los tiempos iniciales se consideraba al calor como una sustancia material fluida, invisible, sin peso (denominada "caló rico") que los cuerpos con tenían en cierta cantidad y que no podría ser creada ni destruida pero sí transfer ida de un cuerpo a otro. Esta teoría del calórico se mantuvo hasta el siglo XIX, cuando se observó que la fricción entre los cuerpos podía generar una cantidad ilimitada de calor, contrariamente al supuesto de que los cuerpos tenían una cantidad fija de calórico.
Robinson Vásquez O. 1119 El Experimento de Joule La hipótesis del calórico como el agente que eleva la temperatura de un cuerpo, cuando el calórico es absorbida por éste, quedó totalmente descartada luego de que Joule demostrara que un cuerpo podía elevar su temperatura al realizarse un trabajo mecánico sobre el cuerpo, i.e. sin que medie un flujo de calor. La figura ilustra el experimento sobre "el equivalente mecánico del calor" realizado por Joule. Si dejando caer un cuerpo de masa m se hacen rotar unas paletas dentro de un recipiente que contiene agua, se encuentra que
la
temperatura
del
agua
se
incrementa. Del experimento de Joule se concluye, entonces, de que los cuerpos no contienen calor; y la primera ley de la termodinámica conceptúa al calor como una forma de energía transitoria que solo se manifiesta durante el contacto térmico entre dos cuerpos que tienen diferentes temperaturas pero que desaparece cuando los cuerpos llegan al equilibrio térmico Por otro lado, es común, pero erróneo, establecer una correspondencia entre la temperatura de un cuerpo y el calor que pudiera transferir al ponerse en contacto térmico con otro cuerpo a menor temperatura. Más adelante se verá que la temperatura de un cuerpo está asociada con la energía cinética traslacíonal promedio (respecto del CM) de sus moléculas 5.4.1
Unidades de medida del calor En el Sistema Internacional (S.l.) el calor se cuantífica en las mismas unidades que la energía y el trabajo, esto es, en joule. Sin embargo, aún está muy difundido el uso de la antigua unidad: la caloría (cal). 14,5*C - * 15,5*C
Una
caloría
es
la
cantidad
de
calor
necesaria para elevar la temperatura de 1 H20
1 cal
gramo de agua de 14,5*C a 15,5*C.
(lg)
Del experimento de Joule, se encuentra la equivalencia entre la caloría y el Joule: 1 cal a 4,18 J
o
1J « 0,24 cal
120 I C la se s de f ís ic a II
5.5
De la calorim etría Se entiende por calorimetría la medida de las diferentes cantidades de calor necesarias para producir los diferentes efectos en la materia, e.g. incremento de temperatu ra, cambio de fase. 5.5.1
Capacidad térm ica (o calorífica) Se define la capacidad térmica (C) de un cuerpo como la cantidad de calor (Q) necesaria para incrementar su temperatura en una unidad:
c = £ ( “/ c ) - (“X c ) ‘ ( X )
Q Esto significa que la cantidad de calor que requiere
un
temperatura
cuerpo es
para
elevar
proporcional
a
su la
variación de temperatura. El experimento demuestra, también, que esta cantidad de calor requerida es proporcional a la masa del cuerpo: tanto más grande sea la masa del cuerpo cuanto mayor será el calor
necesario
para
incrementar
su
temperatura. 5.5.2
Calor específico Como cuerpos de la misma sustancia pero de diferente masa tienen diferente capacidad térmica (C), esto significa que la capacidad térmica no es una propiedad de los cuerpos. Constituye una propiedad del cuerpo la capacidad térmica por unidad de masa (C/m), cantidad que se denomina calor específico. En términos diferenciales, se define el calor específico (C) como
c=A
dQ
m dT
í Cal Ì
Ikg.Kj
Algunos valores de calor específico: Sustancia Aluminio Cobre Hierro Plomo
c(cal/g*C) 0,217 0,093 0,113 0,031
Sustancia Mercurio Plata Vidrio Hielo
c(cal/g*C) 0,033 0,056 0,199 0,50
Robinson Vásquez O. 1121 Comentarios: 1) Un valor pequeño del calor específico (e.g. del plomo) indica que la sustancia se calienta (o enfría) con más facilidad que otra sustancia de mayor calor específico (e.g. del aluminio). 2) De la definición de la unidad caloría, se tiene para el agua líquida c (H20 )
=1
cal
g°.c
El enorme calor específico del agua indica que una pequeña cantidad de agua absorbe una gran cantidad de calor y sube muy poco su temperatura: el agua es un magnífico refrigerante. Igualmente, como una gran cantidad de agua demora mucho en calentarse también una gran cantidad de agua demora mucho en
El agua de los océanos mantiene casi constante su temperatura enfriarse:
Si el calor específico de una sustancia se T*
mantiene constante en el intervalo de temperatura comprendido entre Ti y T 2,
O
entonces
se
puede
calcular
el
calor
necesario para calentar al cuerpo, de Ti a T 2, según
Q = mc(T2 - T 1) Los sólidos son un ejemplo de cuerpos cuyo calor específico no es precisamente constante a temperaturas por debajo de la temperatura ambiente. Esta aproximación es adecuada para altas temperaturas.
Ejemplo 5.5, Color específico varioble con la temperatura Calcular el calor disipado por un cuerpo de 0,1 kg que se encuentra a 60*C, suponiendo que la temperatura exterior es de 20°C y que el calor específico de la sustancia de la cual está constituido el cuerpo varía con la temperatura según c = (8T + 320) c% o C En este caso, la ecuación dQ = mcdt debe integrarse entre Ti T2
t2
yT 2: T
Q = m J cdt = m J (8 T + 32 0)dT = m [4 T2 + 320t ] t* Ti
\
122 |Clases de física II Sustituyendo, m = 0,1 kg,
= 20 ° c y t 2 =60° se encuentra
t x
Q = 2 560 cal
Ejemplo 5.6. Medida del calor específico Se deposita una masa m de agua a una temp eratu ra T i en el interior de un termo (i.e. recipiente térmicamente aislado del agua). Una muestra de masa M de la sustancia, cuyo calor específico se desea hallar, a una temperatura T 2, se introduce dentro del agua. Midiendo la temperatura de equilibrio T se calcula el calor específico de la muestra.
Q cedido por la muestra M : Q = M c(T - T2 ) Q' absorbido por el agua m : Q '= m (T - T j ) ( c (H20 ) =1
c
Q + Q' = 0
cal F e
m T-Ti M T-T2
Si en lugar de un termo se usa un calorímetro cualquiera (i.e. recipiente que está en contacto térmico con el agua pero aislado del medio ambiente) debe tene rse en cuenta el calor Q" absorbido por el calorímetro. Si T i es la tem peratu ra de equilibrio entre el agua y el calorímetro, entonc es
Q =Mc (T-T 2); Q’:=rn(T-Tj); Q”«mV(T-Tl )
donde m' es la masa del calorímetro y c' su calor específico. Luego
Q + Q ’+Q" = 0
T-1j ^1/
c= M
T-T 2
/6°
c
El término m'c* se conoce como el equivalente en agua del calorímetro y representa la cantidad de agua líquida que experimenta la misma variación de temperatura que el calorímetro cuando ambos absorben (o ceden) la misma cantidad de calor.
Robi nso n Vás que z O. | 123 5.S.3
Cambio de Fase y Calor Latente Normalmente la materia se encuentra en su fase (comúnmente llamado estado) sólida o líquida o gaseosa. Que la materia se encuentre en una fase determinada depende de su temperatura y de la presión a la que se encuentra sometida. Uno de los efectos del calor sobre la materia es producir un cambio de fase. Calentando suficientemente a un sólido se logrará convertirlo en líquido y si se sigue calentando la muestra eventualmente se tornará en gas. Estos cambios de fase tienen lugar cuando la sustancia alcanza una temperatura crítica: Temperatura de fusión (Tf) para pasar de sólido a líquido, temperatura de vaporización (Tv) para pasar de líquido a gas. Si en lugar de calentar a la muestra se procede a enfriarla, se puede lograr el proceso inverso: condensación (vapor-> líquido), solidificación (líquido —>sólido) los cuales ocurren a las mismas tem peraturas Tv y Tf, respectivamente En general, un proceso de cambio de fase involucra un suministro o extracción de calor. ] Por otro lado: !| O'C B B S ' t lf lZ C Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Es un hecho experimental que cuando un sistema se encuentra en un proceso de cambio de fase, la adición de calor no da
í
lugar a una variación en su temperatura.
Por ejemplo, la temperatura de una mezcla de agua y hielo, sobre la que se aplica una llama, permanece a 0°C hasta que todo el hielo se haya fundido. Cuando un sistema absorbe calor sin modificar su temperatura, se dice que el sistema presenta una capacidad térmica infinita.
La transición de una fase a otra va acompañada de absorción o liberación de calor, pero mientras ocurre el cambio de fase no se produce variación de la temperatura.
124 |Cl as es de fís ic a II El calor (Q) necesario para que una muestra cambie de fase es directamente proporcional a su masa. Q=(«¿)m donde j Í se denomina calor latente. Algunos valores aproximados de calor latente de fusión ( . ¿ f ) y de vaporización (^ v ) : Sustancia
-¿fica i/ g)
A ( ca ,/ s)
Agua Nitrógeno Oxígeno Plata Oro
80 6,1 3,3 21 15,4
540 48 51 558 377
Tvl-C)
Tf m 0 -2 10 - 218,6 961 1063
100 -1 9 5 ,7 -182,8 2163 2808
Para ilustrar una secuencia de cambio de fase se considerará una muestra de 1 gramo de hielo inicialmente a - 50*C:
Si se calienta la muestra su temperatura sube lentamente hasta llegar a 0°C,
necesitando
para
ello
una
cantidad
de
calor
Q = mcAT = ( l g ) | o , 5 - ~ j(5 0°C) = 25cal. Al alcanzar el punto de fusión (Tf =0°C), si se continúa calentando la muestra de hielo (a 0°C) comenzará a cambiar de fase, convirtiéndose totalmente
en / Qf = nx¿f * (lg )|
agua
líquida
luego
de
absorber
= 80 ca l.
v Adicionando
Q = (lg )| 1 - ^ |(l00°C) = 100cal,
el
agua
liquida
se
calentará hasta llegar a su temperatura de vaporización (Tv =100°C). Un añadido de Q v = m ¿ v = ( lg ) 540 agua en vapor.
cal
= 540 cal convertirá toda el
Robinson Vásquez O. 1125 Esta secuencia sólido —> líquido - * gas descrita para el agua se verifica con la mayoría de las sustancias, pero existen algunas que se descomponen antes de alcanzar el punto de fusión o de ebullición. Por ejemplo, el vidrio no cambia de fase a una temperatura definida sino que se ablanda gradualmente a medida que se incrementa su temperatura. Otras sustancias, como el hielo seco (CO 2) pasan directamente de la fase sólida a la de vapor: se dice que ha ocurrido un proceso de sublimación. Finalmente, que una sustancia en su punto de fusión se encuentre solidificándose o fundiéndose, depende de si se le extrae o suministra calor. Por ejemplo, si se le suministra calor a una mezcla de agua y hielo a 0*C, se funde algo de hielo; si se le extrae calor se congela parte del agua. Si a la mezcla de agua y hielo no se le extrae ni suministra calor, no se produce cambio alguno: las proporciones relativas de agua y hielo, así como la temperatura (*C), permanecen invariantes. Se dice que el sistema se encuentra en equilibrio de fases. Ejemplo 5.7.
En un recip iente q ue contiene 1 kg de hielo a - 50°C se introdu ce 10 kg de vapor de saturnio a 90°C, obteniéndose en el equilibrio (T = 20°C) una mezcla líquida. Halle el calor específico (c) de la fase líquida del saturnio, si la fase de vapor tiene un calor específico 0,5 c, el calor latente de vaporización es de 5 cal/g y la temperatura de vaporización es de 50°C.
Para el saturnio: Gas 90°C -+ Gas 50*C: Q x =104 x 0 ,5 c x( 5 0 -9 0 ) Gas 50°C -> líquido 50°C: Q2 = 104 x 5 Líquido 50*C —> líquido 20*C: Q 3 =1 04 x c x (2 0 - 5 0 ) ¡
H ---------- 1----------- 1----------- 1------------ H -5 0 0 20 50 . 90
Para el hielo: H ielo -5 0#C -> Hielo 0°C: Q i =103 x 0 ,5 x (0 + 50) = 2 5 x l0 3cal Hielo 0 #C
-*
Agua 0 #C:
Q2
Agua 0#C -+ Agua 20#C: Entonces, £ (Q + Q ') = 0
q
=1 03 x 80 = 80 x
io 3
cal
'3 = 1 03 x l x ( 2 0 - 0 ) = 2 0 x l 0 3ca1
=>' - 5 (1 + 10c) + 12,5 = 0 c = 0,15 cal/g °C
5 0 c*
126 |Cla ses de fí si c a II 5.6
Transferencia de Calor
Se ha visto que cuando dos cuerpos a diferente temperatura se ponen en contacto térmico, tiene lugar una transferencia de calor del cuerpo más caliente hacia el cuerpo más frío. Se reconocen tres procesos mediante los cuales tienen lugar la transferencia de calor: convección, conducción y radiación. 5.6.1
Convección Térmica
La convección es el mecanismo como se transporta el calor en los fluidos, i.e. en líquidos y gases.
En la convección se tiene que masa de fluido caliente se mueve hacia regiones de fluido frío.
Al calentar el fluido (e.g. agua) éste se expande, se hace menos denso y se eleva. La masa de fluido más frío, que es más denso, se desplaza (por acción de la gravedad) hacia niveles más bajos. Así se forman corrientes de convección del fluido. Durante el día la arena de la playa está más caliente que el agua del mar: el aire caliente
sobre
la
playa
sube
y
es
reemplazada por una corriente de aire frío proveniente del mar. Durante la noche el proceso se invierte ya que la arena de la playa se enfría más rápidamente que el agua del mar: durante la noche el aire caliente se encuentra sobre el mar. 5.6.2
Conducción Térmica
\ l Si se calienta un extremo de una varilla X
A
metálica, el otro extremo de la varilla rápidamente se calienta.
La transferencia de calor por conducción es cara cterística de los cuerpos sólidos. El calor se transfiere de un punto a otro del sólido sin que ocurra un m ovimiento macroscópico de masa del cuerpo.
Robinson Vásquez O. 1127
En la mayoría de los sólidos el calor se propaga debido al incremento de las amplitudes de oscilación de los átomos, alrededor de su posición de equilibrio, a medida que se incrementa su tempera tura.
Estas oscilaciones se transmiten a través de todo el sólido lo cual se manifiesta como incremento de la temperatura. En el caso de los metales, las vibraciones de la red como mecanismo de transferencia del calor resulta ser insignificante en comparación con la participación de los electrones libres, los cuales abundan en los metales. Se encuentra que estos electrones libres son también los responsables de la gran conductividad eléctrica de los metales. Experimentalmente, se encuentra que si se mantiene una diferencia de temperatura N. t
2
/ '
entre los extremos de una varilla sólida,
A — s. y
—
H
'
dx
1
0
dQ o corriente de calor, H = — , desde el dt
Ti
m
-H 1 H -
se establece dentro de la varilla un flujo
\
y
extremo más caliente (T 2) hacia el extremo más frío (Ti).
A través de un elemento de volumen dV = A d x , esta corriente de calor responde a la llamada ley de Fourier.
H = — = -k A — ( ca/ ) (W ) dt dx ' donde dT/dx es la gradiente de temperatura y k es la constante de conductividad térmica del material. Cuando la temperatura del elemento de Ti
volumen no varía con el tiempo, i.e.
T
cuando se tiene un flujo estacionario de calor, la temperatura en la varilla adopta la
Ti
0
distribución lineal que se ilustra en la figura y la ley de Fourier adopta la forma
H ^-XA ÍVJkl dt
t
128 I C la se s de f ís ic a II
Algunos valores típicos de conductividad térmica, a temperatura ambiente Material
kíU — m .s . ° c Ì;
Acero Aluminio Cobre Mercurio Plata Plomo Vidrio
0,12 0,49 0,92 0,02 0,97 0,083 0,002
Ejemplo 5.8.
Dos láminas de igual área, una de acero y otra de cobre se encuentran en contacto térmico. La lámina de acero tiene un grosor de 10 cm y la de cobre tiene un grosor de 20 cm. Las superficies exteriores de las láminas se mantiene a 100°C y 0°C, respectivamente, ¿cuál es la temperatura de la superficie de contacto. Bajo condiciones de flujo estacionario, se tendrá que H tiene el mismo valor a través de las dos láminas, y por lo tanto H = -k jA
T-100
10
-~k2
0 -T
20
con 0
10
30
kl
=
0,12
cal cm.s.°C
y k2 =0,92
cal cm.s.°C
De esta ecuación se obtiene que la temperatura de la superficie de contacto es T = 20,7 °C .
Ejemplo 5.9.
Una tubería tiene un radio interno ri y se encuentra a la temperatura Ti; un radio externo r 2 y a la temperatura T 2. Hallar a) el flujo de calor, por unidad de longitud de la tubería, a través de una sección recta; b) la distribución Ti > t 2
de
temperaturas.
Asumir
Robinson Vásquez O. 1129 A través de la sección recta de radio r y área A = 2rcr¿ se tendrá H=-27tk¿r— dr y como en estado estacionario el flujo H es el mismo (i.e. constante) a través de cualquier sección recta, debe cumplirse que r — = C (constante), dr T-T1=Cfn(r/r1)
Como T = T 2 para r * r2, entonces T2 - Ti =C ¿n
ü
, i.e. C =
T2 - T 1 M r2 / rl ) ’
Por lo tanto, la temperatura en la sección recta de radio r está dada por ,
T / n ( r / r i)
T - Tl+(T2 y la corriente de calor por unidad de longitud: H / i = -27iC = 27ck——— 1)
5.6.3
Radiación térmica Todo cuerpo emite energía, en virtud de su temperatura, de manera ondulatoria. Las ondas electromagnéticas emitidas se extienden a todo el espectro electromagnético exhibiendo un máximo en la frecuencia de emisión (i.e. una mínima longitud de onda X) que depende de la temperatura del cuerpo: a mayor temperatura tanto mayor el valor de la máxima frecuencia de emisión. La
energía
emitida
en
el
rango
del
infrarrojo al ser absorbida por el agua, que es
el
mayor
constituyente
del
cuerpo
humano, hace que se eleve su temperatura de la misma manera que lo haría la absorción de una determinada cantidad de calor. De manera que la radiación constituye un mecanismo de transferencia de calor, siendo más notoria cuando más caliente se encuentre el cuerpo.
130 I Cl as es de f ís ic a II
Así, el calor que se transfiere desde el Sol hacia la Tierra es mediante radiación. Este calor no se transfiere a través de la atmósfera por conducción del aire pues el aire es uno de los peores conductores. Tampoco se transfiere por convección pues este tipo de proceso solo tiene lugar de "abajo" hacia "arriba", esto es, una vez que se encuentre caliente la superficie de la Tierra. Además, en el espacio vacío que separa la atmósfera terrestre del Sol, es imposible que ocurra convección y conducción. La potencia total de energía radiante emitida por un cuerpo, se determina mediante la ley de Stefan - Boltzmann:
P = e A aT 4 (W ) donde A es el área de la superficie del cuerpo
radiante
y
T
su
temperatura
absoluta. La emisividad del cuerpo ( e ) es un número 0 < e < l que califica las características de la superficie del cuerpo y
a
es una constante
universal denominada constante de Stefan - Boltzmann: o =
5,67 x H T 8 ( W / m2. K4 )
Ejemplo 5.10.
Si una placa de acero de 100 cm2 de área y emisividad
e
= 0,6 se calienta a
500°C, calcule la rapidez de radiación de energía total. Asumiendo que a 500°C la radiación emitida se encuentra mayoritariamente en el infrarrojo, se puede afirmar que el calor transferido por la placa está dada por la ecuación de Stefan - Boltzmann
H = ae AT 4 s (5,67 x 1 0 - 8 ) ( 0 , 6 ) ( 2 x 10_2)(773)4
s
243 W
Obsérvese que el área A involucrada en la ecuación para H es el área total emisora; i.e. ambos lados de la placa. Un cuerpo a temperatura T está radiando (Hc) pero su vecindad a temperatura Ta también lo hace y el cuerpo absorbe parte de esta radiación (Ha).
Robinson Vásquez O. |131
En el equilibrio térmico debe tenerse que la rapidez de radiación y absorción de energía, por parte del cuerpo, deben ser iguales, y la rapidez neta de radiación de un cuerpo a temperatura T con un entorno a temperatura Ta, es Hnet =CTeAT4 -
c j eAT 4
= a e A (l4 -T a4)
Esta ecuación indica que para la radiación, al igual que para la convección y conducción, al flujo de calor depende de la diferencia de temperatura entre dos cuerpos. Ejemplo 5.11.
Asúmase que la superficie total del cuerpo humano tiene un área de 1 m2 y que la temperatura superficial es de 50°C. a) b)
Calcule la potencia total de radiación del cuerpo y La pérdida neta de calor del cuerpo por radiación.
Suponer que e = 1 y que el medio ambiente está a 20°C a)
H = c t eAT4 « ( s ^ x l O ^ Ü X lX a O S ) 4 s478 W
Está perdida se compensa en parte por absorción de radiación, que depende de la temperatura del medio ambiente. La potencia neta de radiación transferida por el cuerpo es ^
=o
ea
( t 4 -1^ )= (5,67 x 1o -8 ) ( i X
a
)(303 4 - 2934) = 60W
Esta Hnet > 0 implica que el cuerpo ceda calor al medio ambiente, que se encuentra más frío que el cuerpo.
Capítulo 6.
Comportamiento Térmico de ios Gases
De entre los estados sólido, líquido y gaseoso, de la materia, es el estado gaseoso el que permite una descripción cuantivativa comparativamente simple. Se encuentra que para caracterizar el comportamiento macroscópico de los gases se requiere considerar sólo tres de sus propiedades: presión (p), volumen (V), temperatura (T) y masa (m) del gas. Adicionalmente, el experimento evidencia que todos los gases, cualquiera sea su composición química, muestran una relación simple entre sus propiedades p, V, T si es que la muestra de gas en consideración es del tipo ideal. Se denomina gas ideal a una muestra de cualquier gas que se encuentra bajo condiciones de baja presión (< 1 atm) y altas temperaturas (>300 K), esto es, que la muestra sea de baja densidad. 6.1
Ley de Boyle - Mariotte Uno de los primeros resultados sobre el comportamiento de los gases ideales fue obtenido por Robert Boyle (166 2) quien encontró que Bajo
condiciones
isotérmicas
(i.e.
a
temperatura constante) el volumen de un gas es inversamente proporcional a su presión.
V a — o pV = co ns ta nte P Para una misma masa de gas, la ecuación de Boyle se escribe Pi
Y l
=p2 V2
(T con stan te)
Una consecuencia de la ley de Boyle es que . La densidad ( p ) de un gas es directamen te proporcional a su presión: ,
I
pap
134 |Cla se s de fís ic a II 6.2
Ley de Charles y Gay - Lussac En los albores del siglo XIX, Charles y Gay - Lussac, de manera indepen diente, establecieron que: Si se mantiene al gas en condición isobàrica (i.e. a presión constante), el volumen que ocupa el gas es directamente proporcional a su tem peratura absoluta:
Dos son las consecuencias más importantes de la ley de Gay - Lussac 1) La densidad ( p ) del gas es inversamente proporcional a su tem perat ura:
La variación relativa de volumen
( A V / V
q
),
para una misma variación de temperatura (A T ) , es la misma para todos los gases: 1 AV Y
=
= constan te
- -- -- -- -- -- -- --
V0 AT
Esto significa que, a diferencia de los sólidos y líquidos, todos los gases se dilatan igualmente, con el mismo coeficiente térmico de dilatación r = ^ / ° c “ 3 .6 6 /-C 6.3
Segunda ley de Gay - Lussac Bajo condiciones isócoras (i.e. a volumen constante), directamente
la
presión
de
proporcional
temperatura absoluta:
un
gas
es
a
su
Robinson Vásquez O. |135
Para una misma masa de gas, la segunda ley de Gay - Lussac se expresa
A' 6.4
E I =EL
AA"
Ti
( v , constante)
t2
Ley de Avogadro En 1 811 Avogadro estableció que, bajo las mismas condiciones de presión y temp eratura, volúm enes iguales de todos los gases contienen el mismo n úmero de moléculas; esto es Bajo las mismas condiciones de presión y de temperatura, el volumen que ocupa un gas
es
directamente
proporcional
al
número de sus moléculas: VaN El número de moléculas que contiene una mol de gas, se conoce como el número de Avogadro (N a ):
Na = 6 , 0 2 3 x 1023 molec/mol
Como consecuencia de la ley de Avogadro (i.e. V a N ) se establece que
La densidad (p) de un gas es directamente proporcional a su masa molar (M): p a M
6.5
Ecuación Gene ral de los Gases Ideales Si se resumen los resultados de Boyle (p a p ) , Gay - Lussac ^p a
y
Avogadro (p a M) en una sola relación, se tiene que
Esta relación de proporcionalidad puede escribirse como una ecuación introduciendo una constante (R): m ¿ | l" jp M
v "UJ t
136 |Clases de física II que, reacomodando términos, se escribe como pV=nRT
la cual se conoce como la ecuación general de los gases ideales, y en donde n=— es el número de moles del gas y R se denomina constante universal de M los gases y tiene como valor cal R = 8,31 J/ m o l.K = 2 ,0 ----mol.
Como el número total de mo léculas (N) está dado por N = nNA
la ecuación general de los gases también puede escribirse en la forma pV = NkT
donde la constante de Boltzmann k = —
tiene valor
Na
k = l,3 8 x l0 " 23 J/molec.K Ejemplo 6,1.
¿Cuál es el volumen que ocupa 1 mol de gas ideal que se encuentra a la presión atmosférica (p = 101 kPa) y a 273 K? nRT (l)(8 ,3 l)(2 7 3 ) De pV = nR T: V = ---- = — — — — — « 2 2,4 x1 0 P 101 x H r
m3
/
mol
mol
5 ----- = 22 ,4 -----
Ejemplo 6.2.
Si se tienen 64 g de Oxígeno (O 2) a 27*C en un recipiente de 2 litros, ¿cuál es la presión ejercida por el gas? Como la masa molar del O2 es M (0 2 ) = 32 g/mol, entonces el número de moles en el recipiente es n = 64g / 32g / m ol= 2m ol; de manera que
P
nRT
2x8 ,31x3 00
v
2xitr 3
*
---- «------ i----- -— « 2500 kPa
Ejemplo 6.3. ¿A qué temperatura se debe calentar un gas que se encuentra en un frasco abierto , inicialme nte a 7#C, para que escape 1/5 de la masa gaseo sa? | p'
J p* v
Durante el proceso, el volumen y presión
" N i” V
ni
n*
Ti = 7“C
•*. PaV = n1RT1
del gas se mantienen constantes.
T
i
y paV = n2 RT2
Entonces, al calen tar el gas varia rá la masa * ? de gas contenida en el frasco*3 2 1
IH B B ÍH => T2 =—Tx n2
Como n7 = —n-,, ento nces T? = —x 280 = 350 K(= 7 7°C ) 5 1 4 2 2
Teoría Cinética de los Gases La teoría cinética se sustenta en el modelo atómico de la materia y la hipótesis fundamental
de
esta
teoría
es
que
las
propiedades
mesurables
(i.e.
macroscópicas) de los gases, líquidos y sólidos reflejan la acción conjunta de un enorme número de átomos / moléculas. La teoría cinética relaciona las propiedades microscópicas (e.g. velocidades, energías cinéticas, etc), que no se pueden medir directamente, con las propiedades macroscópicas (e.g. presión, temperatura) La aplicación de la teoría cinética en el análisis del comportamiento de los gases, supone las siguientes hipótesis: 1) El gas está con stituido por un gran número de átomo s que
obedecen las
leyes del movimiento de Newton. 2) Los átomos se encuen tran en movim iento aleator io:
preferencial de movimiento.
No hay una dirección
El soporte experimental de esta hipótesis lo
constituye la observación del movimiento Browniano (Robert Brown, 1 827). De hecho, el movimiento Browniano constituye la primera evidencia expe rimen tal de la realidad de la existencia de los átomos. 3) Los átomos se comportan como partículas, esto es, solo ejecutan movimiento traslacional. (Hipótesis que resulta válida solo para gases monoatómicos pero que debe corregirse cuando se trata de gases poliatómicos)
138 |Cl as es de fís ic a II
4) Los átomos colisionan elásticamente con las paredes del recipiente, pero no colisionan entre sí. Esta hipótesis implica reconocer que los átomos no
tienen energía potencial, de manera que la energía interna de los gases es únicamente cinética trasladonal.
U = Z -m v 2 2 Desarrollo del Modelo Cinético:
Considérese una masa de gas contenida en un recipiente rectangular de volumen V —¿x *^y *^z*
b) Al colisionar un átomo del gas con la pared derecha del recipiente, le transfiere un momentum lineal Apx =2m vx c) Este átomo recorre la longitud i x en un tiempo t = — , de manera que el tiempo vx
entre dos colisiones sucesivas con la pared es f
A t = 2—
vv
d) Usando la segunda ley de Newton, se puede estimar la fuerza promedio que el átomo ejerce sobre la pared: fx =
APx _2mvx At
f =m—
2 Í¿
y sumando las contribuciones de todos los átomos del gas se tiene que la fuerza total actuante sobre la pared es Fx = I m — x
Robinson Vásquez O. 1139
e)
La presión del gas ejercida sobre la pared de área perpendicular a
f x
A = ^y ./ ’z ,
, está dada por py = — ~ = I m t i
1v 2 =-Zmv; t .C i y.C l Z V Cx V
Como no hay dirección preferencial de movimiento, se concluye que la presión que ejerce el gas es la misma sobre todas las paredes del rec ipiente, esto es, P x = P y = P zs P de manera que pV=ZmvJ =ImV y =Zmv2 y como v j + v j + v j = v2 , entonces w 1 _ 2 l ( - 1 2) 2 p V= -Z m v = - Z -m v = - 61, 3 3v 2 ) 3 * donde e k = £ ^m v2 es la energía (interna) cinética traslacional tota l del gas Utilizando la velocidad cuadrática media de los N átomos del gas v2 = —I v 2 N se puede escribir
= I^ m v 2 = N Í¿m v2 J = Nek
donde Efees la energía traslacional media por átomo (o molécula) del gas. Luego, la presión del gas puede expresarse como 21
21
-
p = ---- e k= ----- N ek 3V k 3 V esto es p=Ipv2(Pa) Nm donde p = — es la densidad del gas V
I N m
3 V
v
2
140 |Cla se s de fís ic a II
f) La temperatura absoluta del gas Identificando la ecuación obtenida con el modelo cinético, con la ecuación empírica de los gases ideales, se obtiene
de donde se concluye que
La temperatura absoluta es una medida de la energía cinética traslacionai media del átomo (o m olécula)
Observación a los resultados obtenidos con el modelo cinético: Como una de las hipótesis del modelo cinético considera que las moléculas del gas solo tienen energía cinética traslacionai, entonces, la energía interna (U) del gas está dada por
de donde se concluye que
La energía interna de un gas ideal depende únicamente de su temperatura absoluta.
Mediciones experimentales del calor específico de los gases muestran que
monoatómicos pero que requieren una pequeña corrección en el caso de gases poliatómicos. Sin embargo, tiene plena vigencia la conclusión de que la energía interna de los gases ideales, monoatómicos o poliatómicos, depende exclusivamente de su temperatura absoluta: U = U (T). Ejemplo 6.4. El modelo cinético y los gases monoatómicos a) ¿Cuál es la energía cinética media de las moléculas de un gas monoatóm ico que se encuentra a 300 K? ¡k = f kT = j ( l , 3 8 x l 0 " 23) (3 0 0 ) = 6 , 1 2 x l 0 " 21 J /m o l e c
Robinson Vásquez O. |141
b) ¿Cuál es la energía cinética total de 1 mol de este gas? Como N(molec) = n(mol) (molec/mol), entonces para n = 1 mol se tiene n
a
que N = NA = 6,0 23 x 1023 mo léculas y i* =NÉk = (6 ,02 3 x 1023)(6 ,21 x 10-21) = 3,8 kJ = 900 cal 6.7
Distribución de velocidades moleculares
En la discusión del modelo cinético se presenta la velocidad cuadrática media ( v 2 ) , a partir de la cual se define la velocidad raíz cuadrática media
la cual constituye la rapidez representativa con la cual se mueven las moléculas del gas. Sin embargo, las rapideces, con las que se mueven las moléculas individuales varía en un amplio rango de valores y el experimento demuestra que, para un gas dado, se tiene una distribución característica de velocidades moleculares la cual depende de la temperatura. Fue James C. Maxwell el primero en resolver el problema de la distribución más probable de rapideces en un gran número de moléculas de un gas. La ley de Maxwell de distribución de velocidades moleculares, para una muestra de gas que contiene N moléculas es B
donde N(v) dv es el número de moléculas de la muestra cuya rapidez se encuentra entre v y ( v + d v ); T es la temperatura absoluta, k es la constante de Boltzmann y m ia masa de una molécula. La figura ilustra la distribución de velocidades moleculares de un gas a dos temperaturas.
Nv(molec/(m/s))
Ti
V T2 > Ti
El número de moléculas que tienen una rapidez entre v¿ y v2 es igual al área bajo la curva entre las verticales a v¿ y v2; de Vfnx t___ v, rms
v(m/s)
manera que el número total de moléculas (N) del gas es igual al área bajo toda la curva. Analíticamente: N = jN (v)d v 0
142 |Cla se s de f ís ic a II
Como la curva no es simétrica respecto del valor de la rapidez más probable ( —v mx ) * resulta que la velocidad raíz cuadrática media (vrms) es ligeramente mayor al valor más probable de la rapidez. De la ecuación de Maxwell se observa que la distribución de velocidades moleculares depende de la masa de la molécula y de la temperatura de la muestra de gas. Usando la ecuación de Maxwell, se calcula
valor que coincide con el que se obtiene a partir de la teoría cinética:
De manera que: A una temperatura (T) dada, las moléculas de gas con diferentes masas (m) tienen la misma energía cinética traslacional promedio
= “ kT^ pero diferente velocidad
raíz cuadrática media.
Ejemplo 6.5. Velocidad raíz cuadrática media de las moléculas de un gas
Calcu lar vrms para una molécula de oxígeno y una molécula de hidrógeno, a la temperatura de 300 K. 3 R Usando ek = —kT y k = — 2 Na
y la masa molecular del gas M - mNA , se obtiene
- Ü2I V rm s _\ M Para la molécula de oxígeno se tiene que
m
(O2) = 32 x 10-3 kg/mol, de manera
que v
( 0 2 ) £ x 8 ,3 1 x 30 0 / 32 x 10- 3 = 4 8 3 m /s ( = 1 7 40 k m /h )
De la expresión para la vrms, se obtiene
v (h2)
|m (02)
v(02)
VM(H2)
R o b i n s o n V á s q u e z O . | 143
y como para el hidrógeno
m v
6.8
( h 2)
m
2 x 10“ 3 kg/mol, entonces
(H2 )= 4 v ( 0 2 ) “ 1934 m/s
El Principio de la Equipartidón de la Energía De la ley de distribución de velocidades moleculares se obtiene que el valor cuadrático medio de la rapidez con la cual una molécula se desplaza a lo largo de uno cualquiera de los ejes (e.g. eje X), está dada por v j = — . m De manera que la energía cinética (traslacional) media, asociada con las componentes de la velocidad de traslación, es
Esta ecuación expresa la muy importante ley de equipartidón de la energía: La energía media total se divide por igual entre las tres componentes independientes del movimiento, las cuales se denominan grados de libertad. En el caso de la molécula monoatómica (que solo ejecuta movimiento traslacional) los grados de libertad son tres. Si la molécula tiene un mayor número de grados de libertad, cada uno de estos grados de libertad contribuye con ¿kT a la energía total media. Una molécula diatómica, por ejemplo, tiene dos modos independientes de movimiento
rotacional,
siendo
la
energía de cada uno de estos modos igual a
¿ ico2 y cada uno de ellos
contribuye con
ikT
a la energía total
media. De manera que, para la molécula diatómica se tiene que la energía total media está dada por
Por lo tanto, la energía interna de un gas ideal es: U(monoat) = -nR T * -NkT 2 2 U(diat)*-nRT*-NkT 2 2
Capítulo 7.
Termodinámica
La termodinámica estudia las propiedades de la materia macroscópica bajo condiciones en las cuales son significativos los efectos del calor y la tempe ratura. Los principios y leyes de la termodinámica son el resultado de 200 años de experimentación e interpretación teórica y el carácter universal de estos principios y leyes
reside
en
el
hecho
de
que
son
aplicables
a
cualquier
sistema
independientemente de las características específicas de éste. La termodinámica no formula hipótesis alguna sobre la estructura de la materia, razón por la cual puede predecir muchas relaciones entre propiedades de la materia pero no los valores numéricos de las magnitudes que caracterizan a estas propiedades. Luego del establecimiento del modelo atómico de la materia y del desarrollo de la teoría cinética y de la mecánica estadística, usando razonamientos termod inámicos, se llega a establecer la relación entre las propiedades macroscópicas y microscópicas de la materia.
7.1
Terminología termodinámica Para estudiar la termodinámica es importante comprender el significado preciso de los términos que se utilizan. Así:
a) Sistema, Frontera, Vecindad. Un sistema termodinámico es la porción del universo físico (e.g. materia) cuyas propiedades son objeto de estudio. El sistema está confinado por una superficie cerrada, la frontera, que lo separa del resto del universo, la vecindad. Un sistema se encuentra aislado cuando la frontera Impide cualquier interación con la vecindad. Un sistema aislado no produce perturbación o efecto observable en su vecindad. Un sistema se denomina abierto cuando pasa masa a través de la frontera, es cerrada cuando no fluye masa a través de su frontera.
b) Propiedades del sistema. Las propiedades del sistema son aquellos atributos físicos que son percibidos por los sentidos o perceptibles por algún método de investigación. Las propiedades son de dos clases: 1) No mesurables, como las clases de sustan cias que confo rman al sistema 2) Mesu rables, como la presión y el volum en, a las cuale s se les puede asignar un valor numérico.
146 |Cl as es de fís ic a II
c) Estado de un sistema. Un sistema se encuentra en un estado definido cuando cada una de sus propiedades tiene un valor definido. Se debe conocer qué propiedades deben tenerse en consideración para definir con suficiente precisión el estado del sistem a.
d) Cambio de estado, camino o trayectoria. Si un sistema experimenta una variación en su estado, el cambio de estado está completamente definido cuando se especifican los estados inicial y fina l. El camino o trayectoria del cambio de estado se define indicando el estado inicial, la secuencia de estados intermedios adoptados por el sistema, y el estado final.
e) Un proceso es el método de operación mediante el cual se lleva a cabo un cambio de estado. La descripción de un proceso consiste en establecer algunas de las siguientes característica s: 1) La frontera del sistem a,
2) El cambio en el estado, la trayec toria o los efectos producidos en el sistema durante cada etapa del proceso, y 3) Los efectos producidos en la vecindad durante cada etapa del proceso. Se dice que un
proceso es cíclico cuando el sistema, habiendo
experimentado variaciones en su estado, retorna a su estado inicial. El sistema ha efectuado un ciclo.
f) Variable de estado es aquella propiedad del sistema que tiene un valor definido cuando se específica un estado del sistema. De costumbre un sistema debe encontrarse en un recipiente de manera que usualmente la frontera está localizada en la superficie interior del recipiente, y el estado del sistema se describe mediante los valores de un número suficiente de variables de estado. En el caso de sustancias puras, resulta suficiente conocer los valores de la tem peratu ra T y de la presión p.
7.2
Trabajo y calor en Termodinámica Los conceptos de trabajo y calor son de fundamental importancia en termodinámica y sus definiciones deben ser perfectamente entendidas ya que el uso del término trabajo en termodinámica es mucho más restringido que el uso que generalmente se le da en física, y el uso del término calor es muy diferente al uso cotidiano del términ o.
Robin son Vás qu ez O. | 147 a) Trabajo . En termodinámica se define trabajo como cualquier cantidad que fluye a través de la frontera de un sistema durante un cambio de su estado y que es completamente convertible (i.e. transformable) en trabajo mecánico en la vecindad. Respecto de esta definición de trabajo, debe tene rse en cu enta lo siguiente : 1) El trabajo aparece solo en la frontera del sistema.
2) El trabajo aparece solo durante un cambio de estado. 3) El trabajo se manifiesta a través de algún efecto en la vecindad, e.g. por la elevación de alguna masa en el campo gravitacional. 4) El trabajo es una cantidad escalar. Su valor es positivo si el trabajo se realiza sobre la vecindad, es negativo si el trabajo lo realiza la vecindad sobre el sistema
b) El calor se define como una cantidad que fluye a travé s de la fron tera de un sistema durante un cambio de estado, en virtud de una diferencia de temperatura entre el sistema y su vecindad, y fluye desde un punto de mayor temperatura hacia un punto de menor temperatura. Respecto del calor debe subrayarse que 1) El calor aparece solo en la frontera de un sistema . 2) El calor aparece solo durante un cambio de estado.
3) El calor se manifiesta mediante algún efecto en la vecindad. 4) El calor es una cantidad algebraica; es positiva si el calor fluye desde la vecindad y es negativa si el calor fluye desde el sistema hacia la vecindad. En estas definiciones de trabajo y calor, la realización de trabajo o transfere ncia de calor se reconocen por los efectos que se producen en la vecindad y no en el sistema. Por ejemplo: La temperatura de una masa de agua (el sistema) puede incrementarse poniéndola en contacto térmico con un cuerpo más caliente (la vecindad) o agitando el agua moviendo unas paletas en su interior. Si el observable es el sistema (i.e. el agua) se reconocerá que ha cambiado de estado (i.e. su temperatura) pero no se puede deducir si este cambio se ha debido a un trabajo o transferencia de calor a menos que se observe las variaciones experimentadas por la vecindad (e.g. si se ha enfriado ha transferido calor, si una masa ha cambiado de posición gravitacional ha realizado trabajo). Luego de los trabajos de Benjamín Thompson (quien llegó a ser conde Runford de Bavaria) y de James Joule, quedó firmemente establecido que el calor (y el trabajo) es una forma de energía y que es factible una transformación de energía de una a otra forma, manteniéndose una conservación de la energía. El
148 |Cla se s de fís ic a II principio de conservación de la energía fue establecido, entre otros, por Julius Mayer a mediados del siglo XIX.
7.3
Procesos termodinámicos Aunque no hay límite en la cantidad de calor que se puede extraer de un sistema, como tampoco hay restricción sobre la cantidad de trabajo que se puede realizar sobre un sistema, carece de sentido expresiones tales como "el calor contenido en el sistema" o "el trabajo en el sistem a". Las cantidades calor (Q) y trabajo (W) no son características de el estado de un sistema, sino, más bien, características del proceso termodinámico mediante el cual un sistema cambia de un estado de equilibrio a otro estado de equilibrio al interactuar con su vecindad. Cualquier proceso termodinámico, esto es, la interacción entre un sistema y su vecindad, involucra un intercambio de calor (Q.) y de trabajo (W) entre el sistema y la vecindad. S ¡Q > 0 y W > 0 s e tiene que la vecindad transfiere calor al sistema y el sistema hace trabajo sobre la vecindad. S ¡ Q < 0 y W < 0 s e tiene que el sistema transfiere calor a la vecindad y esta hace trabajo sobre el sistema. Hay una variedad de procesos termodinámicos, siendo los más destacados los siguientes: a) Isotérmico, durante el cual se mantiene constante la temperatura del sistema.
b) Isobàrico, durante el cual el sistema no varía su presión. c)
Isócoro o isovolumétrico, durante el cual se mantiene constante el volumen del sistema.
d) Adiabático, durante el cual el sistema no intercambia calor con la vecindad.
7.4
Primera Ley de la Termodinámica Sea un sistema que cambia de un estado inicial (i) a un estado final (f) siguiendo un proceso durante el cual absorbe una cantidad de calor Q y realiza un traba jo W, y calculemos Q - W. Si el sistema cambia entre los mismos estados siguiendo un proceso diferente al anterior, se tiene que el calor absorbido y el trabajo realizado por el sistema son diferentes a las cantidades involucradas en el proceso anterior; una vez mas calculemos Q - W.
Robinson Vásquez O. |149 Se encuentra que Q y W, por separado, dependen del proceso que experimenta el sistema pero (Q - W) es el mismo, esto es, no depende
del proceso
mediante el cual el sistema evoluciona del estado (i) al estado (f). Se define la variación en la energía interna del sistema (AU) como el intercambio total de energía del sistema con su vecindad. AU=Q-W
esto es, el intercambio total de energía de un sistema con su vecindad es igual a la variación en la energía interna del sistema. Esta ecuación, o en su forma diferencial dU=dQ-dW constituye una expresión del Primer Principio (o ley) de la termodinámica y, reconociendo al calor como una forma de energía, es un enunciado del Principio de Conversación de la Energía. Este primer principio de la termodinámica reconoce a la energía interna como una propiedad del sistema cuyo va lor depende solo del estado del sistema , esto es, la energía interna U es una función de estado del sistema. Oe manera análoga al caso gravitacional, donde se le asigna una energía potencial a la masa cuando ésta se encuentra en un determinado nivel gravitacional, se le asigna un valor a la energía interna de un sistema cuando éste se encuentra en un estado (de equilibrio); de manera que AU = Uf - U¡ = Q - W Por lo tanto: a) Si un sistema experimenta una transformación cíclica i —►f —►i, se tendrá que U j = Uf y en consecuencia. AU = 0
y
Q*= W
resultado que se interpreta diciendo que
El trabajo que puede realizar un sistema, luego de una transformación cíclica, no puede ser mayor a la cantidad de calor absorbida por el sistema.
Este resultado también se suele expresar diciendo que es imposible construir un móvil perpetuo de primera especie, es decir, es imposible construir una máquina que operando cíclicamente pueda realizar un trabajo mayo r que el calor absorbido.
150 |Cla se s de fís ic a II
b) Si un sistema se encuentra aislado, esto es, no interactúa con su vecindad, se tendrá que Q = W = 0 y por lo tanto AU = 0 :
La energía interna de un sistema aislado no varía (i .e., se mantien e constante), cualquiera sea la interacción (e.g. mecánica, eléctrica, química) que tenga lugar dentro del sistema.
Por ejemplo, considérese un recipiente térmicamente aislado compuesto por dos compartimentos conectados entre sí mediante una válvula V. Sea un gas inicialmente contenido en uno de los compartimentos. Si se abre la válvula el gas fluye hasta ocupar los dos compartimentos, en un proceso de expansión libre pues el gas no realiza trabajo. Se encuentra que la temperatura del gas (i.e. su energía interna) no varía . Esto se cumple para cualquier sustancia sea o no un gas ideal (Efecto Joule - Thomson). 7.5
Trabajo termodinámico en los cambios de volumen Se reconoce la realización de un trabajo si un sistema varía su frontera, esto es, si aumenta o disminuye su volumen, cuando es sometido a un proceso termodinámico. Sin perder generalidad, considérese como sistema un gas contenido en un recipiente provisto de un pistón móvil de área A, sobre el cual actúa una presión pe ejercida por la vecindad. Si el gas se expande dando lugar a un desplazamiento dx del pistón, realizará un trabajo (sobre la vecindad) igual a dW = pe A . dx = pe dV donde dV es el incremento diferencial de volumen del gas. Para una expansión desde un volumen Vi hasta un volumen V 2 el trabajo total realizado por el gas es W = | J p edV
Robín son Vá sq ue z O. |151 En general, la presión pe no guarda ninguna relación con la presión ejercida por el gas; sin embargo, para que el gas pueda expandirse es necesario que pe sea menor que la presión p del gas (la cual varía a medida que varía su volumen) Para expresar W en términos de la presión del gas considérese que pe se ajusta de tal manera que durante la expansión difiere infinitesimalm ente de la presión del gas, i.e. pe = p - d p Bajo esta consideración, se tendrá que w =
(p - dp)dV =
(pdV - dpdV)
y como el segundo término en la integral es un infinitesimal de orden mayor que el primer término, se tendrá que W = Jv^ p d V donde p es la presión del gas, que varía a medida que el gas se va expandiendo. Una ecuación análoga permite calcular el trabajo en compresión del gas. 7.6
El calor específico de los gases ideales El experimento demuestra que la capacidad térmica de los gases depende críticamente de las condiciones bajo las cuales se les suministra o extrae calor. Así, el calor específico molar cuando se calienta el gas bajo condiciones de volumen constante es notoriamente menor que el calor específico molar cuando el calentamiento del gas se lleva a cabo manteniendo constante su presión. La primera ley de la termodinámica permite establecer una relación entre el calor específico molar a volumen constante (cv) y el calor específico molar a presión c onstan te (cp), para un gas ideal. Considérese n moles de un gas ideal a temperatura recipiente dQ
T,
contenidos
herméticamente
en
un
cerrado
(i.e. de volumen constante, V)
Si se le agrega al gas una cantidad de calor dQsu temperatura se incrementará en dT, según dQ = n cv dT Durante este proceso la presión del gas aumenta pero el gas no realiza trabajo (i.e. dW = 0) ya que su volumen no varía . De la prim era le y de la termo dinám ica (dQ = dU + dW) se deduce que la variación en la energía interna del gas también se describe mediante dU = n Cv dT
1S2 I Cl as es
de fí si ca
II
Si los n moles de gas se depositan en un recipiente
provisto
de
un
émbolo
deslizante, la transferencia de calor dQ = n Cp dT dará lugar a que se incremente la energía interna del gas y a que el gas se expanda, realizando un trabajo dW = pdV = nRdT y la primera ley de la termodinámica, se expresa: n cp dT = dU + n R dT Como la energía interna de los gases ideales depende exclusivamente de su temperatura absoluta entonces la variación dll = n cwdT encontrada para el proceso a volumen constante es la misma para cualquier proceso. Por lo tanto, para el calentamiento a presión constante, se tiene que n cp dT = n cv dT + n R dT de donde se deduce la relación Cp “ Cv ~ R que muestra que, en efecto, el calor específico molar a presión constante es mayo r que el calor específico mo lar a volumen constante. Esta relación entre cp y cv, hallada para los gases ideales, también es satisfecha por muchos gases reales a presiones moderadas, dentro de un margen pequeño de error. Ejemplo 7 .1 . cv y c p según la teo ría ciné tica
La teoría cinética establece que la energía interna de los gases monoatómicos ideales, está dada por U = ^ n R T; de donde se establece que dU=-nRdT
2
De mane ra que, para los gases monoatómicos ideales se tiene que ncwdT = -n Rd T
v
2
dando como resultado que cw = —R = 12,47
J mol.K
a
cal 3mol.K
También se tiene que nc„dT = -nRd T+n RdT Cp=jR = 20,78
= 5 -H L mol. K mol.K J
La relación entre las capacidades calo ríficas y = -£*
es un indicador de la
estructura molecular del gas. Para los monoatómicos y * - = 1 ,6 7 , para los diatómicos v = —= 1,4 0. 5
A mayor grado de complejidad de las moléculas menor es valor de y . Calor y trabajo en los procesos termodinám icos de un gas ideal Para calcular las cantidades de calor y trabajo involucradas en los diversos procesos termodinámicos, se usará la primera ley de la termodinámica. Como sistema termodinàmico se considerará un gas ideal monoatómico. 7.7.1
Proceso Isócoro El diagrama pV ilustra una transformación isócora entre los estados (pi, V, Ti) y (p 2, V, T 2). Como el gas no realiza trabajo (W = 0), se tiene que v -------V « = AU esto es, si se proporciona calor (Q > 0) al gas aumentará su temperatura y presión; si se le extrae calor el gas se enfría.
7.7.2
Procesos Isotérmico Sí el gas se expande isotérmicamente (AU = 0 ) se tiene que Q =W esto es, el gas realiza un trabajo igual al calor que se le suministra. El trabajo es igual al área sombreada bajo la isoterma T : : dV dW = pdV y pV « nRT dW = nRTV W = f y nRT— = n R T Ín í ^ - i = nRTYní & Jvl v U J \P í
154
|Clases de física II 7.7.3
Proceso adiabático Como se ha señalado anteriormente, durante un proceso adiabático no hay transferencia de calor entre el sistema y su vecindad. Un proceso adiabático puede obtenerse : a) Aislando térmicame nte al sistema o b) Realizando rápidamente la transfo rmación: como el intercambio de calor es un proceso lento, una expansión o compresión rápida del gas no da tiempo para que el sistema absorba o ceda calor. Para el proceso adiabático (Q = 0) se tiene que en térm inos diferenciales dW = - dU esto es, si el gas se expande (i.e. dW > 0) disminuye su energía interna (dU < 0): el gas se enfría. Si el gas se comprime (i.e.dW < 0) aumenta su energía interna (dU > 0): el gas se calienta. Usando dW = - dU se puede deducir una relación entre el volumen y los cambios de temperatura durante un proceso adiabático. Como dW = pdV y dU = n cv dT y pV = nRT, entonces dV ncvdT = -pdV = -nR T— v V i.e.
dT R dV _ — + ------ = 0 T cv V
Además, usando cn - c v =R H
y
c, r\ y = — se obtiene que — = y - l y la c c **v
ecuación anterior se reescribe como
que, integrando entre los estados 1 y 2, conduce a
Tl v l _1 = T2V2 1
le *
t v Y 1 = cte
Aunque la ecuación pV=nRT permanece válida durante un proceso adiabático, la curva que representa a este proceso en un diagrama pV se describe mediante Vi
V2
V
pVY » constante.
Robinson Vásquez O. |155 La curva de trazo continuo muestra la adiabática para el proceso entre los estados 1 y 2. Nótese que la adiabática que pasa por un punto (i.e. estado) del diagrama tiene mayor pendiente que la isoterma que pasa por el mismo punto. El trabajo durante la expansión adiabática puede calcularse usando W = - A U = - n c v (T 2 - T j )
o también W = ^ L (P lV 1 - p 2Y2 ) = 7 ^ ( P l Vl - P 2 V2 )
7.7 .4
Proceso Isobàrico En un proceso a presión constante ni
p
1
P
2 1 1►" 1—
AL) ni Q son iguales a cero . El trab ajo, como área bajo la isóbara, se calcula según
I
I
Vi
v, v
W = p(V2 - V x)
Industrialmente, este es el tipo de proceso usualmente utilizado para vaporizar una masa de líquido a presión y temperatura constantes. 7.8
Proceso reversible e irreversible Sea una muestra de gas ideal que se expande desde un estado (pi, Vi, Ti) hasta un estado (p2, V2, T2) y luego se 2
comprime hasta reto rnar a su estado inicial (pi, Vi, Ti). Se dice que el gas ha
Vi
V2
V
sido sometido a un proceso cíclico.
Se dice que el proceso es rev ers ible si durante la etapa de compresión (2 —>l ) el sistema pasa, en orden inverso, por los mismos estados de equilibrio intermedios por los cuales evolucionó durante la expansión ( l- > 2 ) . Un proceso reversible se caracteriza por que los estados intermedios a través de los cuales evoluciona el sistema también son estados de equilibrio; en todo instante la presión, volumen y temperatura del gas son cantidades bien definidas. El proceso puede ser representado por una curva continua en un diagrama pV. Luego de un proceso cíclico reversible no solo el sistema retorna a su estado de equilibrio inicial (pi Vi Ti) sino que la vecindad también retorna a su estado inicial.
156 | Cl as es de f ís ic a II En la expansión irreversible de Vi a V 2 el equilibrio interno del gas es completamente perturbado. Durante esta transformación el gas es turbulento y su presión y temperatura no están bien definidas. Transcurre un intervalo de tiempo finito para que el gas adopte el equilibrio bajo las nuevas condiciones. Este proceso no se puede representar como una línea continua en un diagrama pV pues no se sabría que valor de presión y temperatura asociar con un volumen determinado. El gas pasa del estado de equilibrio 1 al estado de equilibrio 2 a través de una serie de estados de no-equilibrio. Se dice que un ciclo es reversible si todos los procesos involucrados en el ciclo son procesos reversibles (e.g. el ciclo de Carnot) 7.9
Proceso Cuasiestático Todos los procesos reales son siempre irreversibles; esto es, los procesos reversibles no ocurren en la naturaleza, son ideales. Sin embargo, una forma de lograr que un proceso sea muy aproximadamente reversible es desarrollarlo muy lentamente. Se dice que un proceso es cuasiestático cuando el sistema evoluciona muy lentamente. Así al evolucionar cuasiestáticamente el gas reestablece su equilibrio luego de cada pequeña expansión o compresión.
Capítulo 8*
La Segunda Ley de la Termodinámica Los movimientos mecánicos de los cuerpos materiales, gobernados por las leyes de la mecánica, se caracterizan porque siempre se puede realizar el movimiento contrario, esto es un movimiento en el cual el cuerpo pasa por los mismos puntos del espacio y con la misma rapidez, pero en sentido opuesto. L
Por ejemplo, un proyectil lanzado desde el punto A bajo las condiciones (v, 0 ) mostrados en la figura, impactará en el punto B luego de recorrer la trayectoria L
moviéndose bajo la acción de solo la
gravedad g .
Si se lanza el cuerpo desde B con el mismo ángulo <(> y con la mism a rapidez o con la que impactó en B, describirá la misma trayecto ria L
pero en sentido contrario
y caerá en el mismo lugar inicial A. La situación es completamente distinta en los procesos termodinámico s en tanto que, en general, no pueden efectuarse de manera "natu ral" en sentido inverso. Por ejemplo, el calor siempre fluye de un cuerpo caliente a uno frío; pero el proceso contrarío, el paso espontáneo de calor de un cuerpo frío a uno caliente, nunca se efectúa. También, en un proceso de expansión libre (experimento Joule - Thom son) el gas que se halla en una parte del recipiente llena todo el volumen disponible luego de abrir la válvula de conexión entre los dos compartimentos; pero es imposible que de manera espontánea el gas se acumule en una parte del recipiente. Una volante en movimiento rotacional se detiene por rozamiento con sus cojinetes transformándose en calor la energía cinética de la volante dando lugar a un incremento en la temperatura del sistema volante - cojinetes. Enfriando al sistema no se observa movimiento de la volante. Todos estos procesos, que son ejemplos de procesos irreversibles, se caracterizan porque cesan cuando los cuerpos llegan al equilibrio térmico. Y una vez en equilibrio térmico no puede realizarse espontáneam ente ningún tipo de proceso.
En general, cualquier sistema de cuerpos tiende a p asar, librem ente, al equilibrio térmico.
158 |Cl as es de fís ic a II La posibilidad de que se desarrollen de manera inversa los procesos termodinámlcos (Irreversibles) no es algo que se contraponga al principio de la conservación de la energía estipulado en la primera ley de la termodinámica. Pero, claramente es un hecho experimental que hay una dirección preferida por la naturaleza para el desarrollo de los procesos. Es la segunda ley de la termodinámica la que da cuenta de la imposibilidad de que se desarrolle un determinado proceso. 8.1
Las máquinas térmicas y la 2° Ley de la Termod inámica El estudio de las máquinas térmicas dio origen a una de las form ulacion es de la segunda ley de la termodinámica, en 1824, por parte de Sadi Carnot. Una máquina térmica es cualquier dispositivo que convierte energía térmica (calor) en energía mecánica (trabajo). Una máquina a vapor y un motor de combustión interna son dos ejemplos de máquinas térm icas. Todas las máquinas térmicas contienen una sustancia de trabajo (e.g. agua en la máquina de vapor, vapor de gasolina en los motores de combustión interna) y funcionan según un proceso cíclico:
a) Absorben calor (Q i) de una fuente caliente (T i). b) Convierten parte de este calor en trabajo mecánico (W) y c) Cede calor (Cb) a una fue nte fría (T 2) al retornar a su estado inicial.
Consideremos como ejemplo de máquina térmica cuya sustancia de trabajo es un gas contenido en un cilindro provisto de un pistón móvil y que funciona según el ciclo ilustrado en la figura. Qi
Q1 1
:W:
Q2
Durante el ciclo abcda el gas absorbe calor:
a
= Q X +Q 'j
cede calor: Q2 = Q 2 + Q 2 Q2
V
Robinson Vásquez O. |159 Como al final del ciclo el gas tiene la misma energía interna que al inicio del ciclo (i.e. AU = 0 ), según según la primera ley de de la termod termod inámica habrá realizado un un traba jo igual igual al calor neto absorbido en el ciclo, i.e. w
=q 1- q 2
que es igual igual al "área " e ncerrada por el ciclo. ciclo. N.B.: Según la convención usual en la lectura de la primera ley de la termo dinám ica, el calor absorbido por el el gas (Ch) (Ch) tiene signo positivo positivo y el calor cedido (Ch) tiene signo negativo de manera que el trabajo (W) debería expre sarse como W = Q j + Q2 . Sin Sin embargo, se usa la formulación presentada por ser de amplia difusión en la descripción de las máquinas térmicas. Se define la eficiencia o rendimiento, e, de la máquina térmica según la expresión i
_ W_ e~Qi
de manera que e expresa la fracción de calor absorbido que es convertido en trabajo mecánico. Usando Usando W = Q* - Q2 , se obtiene obtiene
c
W _ Qi - Q 2
q2
Qi
Qi
Qi
Este resultado, válido para todas las máquinas térmicas, refleja el hecho experimental de que no se puede obtener un rendimiento del 100% y es el enunciado
del
segundo
principio
de
la
termodinámica,
equivalente
al
enunciado que se le atribuye a Kelvin:
Es imposible que una máquina máquina térmica, funcionando cíclicamente, absorba calor de una única fuente y produzca produzca una una cantidad de trabajo trabajo exactam ente equivalente.
Una máquina cíclica que extrajera continuamente calor de una única fuente y la convirtiera íntegramente en trabajo mecánico, se llama móvil perpetuo de
segunda especie. Por ello, una forma de enunciar el segundo principio de la termodinámica es
No puede existir ningún móvil perpetuo de segunda especie.
160 |Cla se s de f ís ic a II
8.2
La máquina de Carnot Si una máquina térmica no puede ser 100% eficiente, ¿cuál es el máximo rendimiento posible para una máquina térmica?. Antes de que se establecieran el primer o segundo principio de la termodinámica, Sadi Carnot dedujo que ia
máquina térmica más eficiente que puede operar entre dos focos térmicos debe desarrollar un ciclo reversible.
Teore ma de Carnot: Ninguna Ninguna máquina térm térm ica que funcione en tre dos focos térmicos puede tener una eficiencia mayor que una máquina reversible que opere e ntre estos dos mismo focos.
Una máquina térmica (ideal) reversible que funcione cíclicamente entre dos focos térmicos se denomina máquina de Carnot, y si no hay ninguna máquina que pueda tener un rendimiento mayor que la máquina de Carnot se deduce que todas las máquinas térmicas reversibles que funcionen entre los dos mismos focos térmicos deben tener el mismo rendimiento y este rendimiento debe ser independiente de las sustancias de trabajo que usan las máquinas, dependiendo dependiendo únicamente de las tem peratu ras de los focos.
El ciclo de Carnot consiste de dos transformaciones isotérmicas (ab y cd) alternadas con dos transformaciones adiabáticas (be y da).
Para el análisis, supongamos que la sustancia de trabajo es un gas ideal contenido en un cilindro provisto de un pistón móvil. El desarrollo del ciclo es como sigue: 1) El gas gas se se expande isotérmicame isotérmicame nte (ab) a la tem peratu ra Ti, absorbiendo una cantidad de calor Qi. 2) El gas se expande adiabáticamente (be) hasta que su temperatura disminuya hasta T 2. 3) El gas gas se comprime isotérmicamen te a la la tem peratu ra T 2, cediendo una cantidad de calor Q 2. 4) El gas gas se se comprime adiabáticamente hasta su su estado inicial inicial a tem pera tura T i.
Robinson Vásquez O. |161 El calor Qi absorbido durante la expansión isotérmica es igual al trabajo
Wab
realizado por el gas, gas, pues AU = 0 , de manera maner a que
Q 1 = Wab= n R V n ^ Análogamente , el calor cedido durante la comprensión isoterma es igual al trabajo
Wcd
el cual tiene el mismo valor absoluto que
Wdc-
Entonces, el calor
cedido cedido tiene un valor de
Q 2 = „ R T ^ j Por otro lado, para los procesos adiabáticos se tiene que t■
$ *§ £ <
y
T ^ - ^ v r1
de donde se deduce que m
sk -
Va
Vd
• ^2 T2 v, en consecuencia, consecue ncia, =— <*i Ti Ti
Así, la eficiencia de la máquina (ideal) de Carnot está dada por
Qi
8.3
H
La escala de temperatura absoluta En el capítulo 5 se define una escala de temperatura usando como termómetro a un gas ideal bajo condiciones de volumen constante. Los resultados hallados para la máquina de Carnot permite definir una escala de temperatura que no depende de la sustancia empleada. Como la eficiencia de una máquina de Carnot es independiente de la sustancia de trabajo trabajo y como — es la la misma misma para para todas las máquinas de Carnot que Qi operan entre las temperaturas Ti y T í , Kelvin propuso que
Por definición, definición, la relación entre las temperaturas absolutas de los focos caliente y frío es igual a la relación entre los calores extraído y cedido por una máquina de Carnot
I l = Oi \
02
162 I Cl as es de fí s ic a II
Esta relación parece idéntica a la señalada en el ítem anterior 8.2, sin embargo, hay una crucial diferencia: las temperaturas en 8.2 se basan en un termómetro de gas ideal mientras que ahora se define una escala basada en la segunda ley de la termodinámica y es independiente de la sustancia. La temperatura termodinámica está completamente definida por la relación Tj -j-T2 = Q j 4-Q2 y por la elección de un punto fijo. Si el punto fijo (i.e. punto triple del agua) se define igual a 273,16 K, la escala termodinámica coincide con la escala de temperatura del gas ideal. 8.4
El refrigerador El refrigerador es esencialmente una máquina térmica que funciona en sentido inverso. La figura es una representación esquemática de cómo opera un refrigerador. a) Extrae calor (Cb) de un foco frío (el interior
del
refrigerador)
a
temperatura T 2. b) Se realiza trabajo (W) sobre el sistema. c) Cede calor (Q i) a un foco calien te (el aire en el lugar donde opera el refrigerador) a temperatura Ti.
El experimento demuestra que esta transferencia de calor de una fuente fría a una fuente caliente no puede realizarse libremente sino que siempre debe consumirse cierta cantidad de trabajo. Este resultado constituye el enunciado
del refrigerador del segundo principio de la termodinámica, atribuido a Clausius:
Es imposible realizar proceso alguno mediante el cual solo se absorba calor de una fuente fría y se transfiera hacia una fuente caliente.
Según la primera ley de la termodinámica, i.e. por conservación de la energía, para el refrigerador se tiene que Q!=Q2+W
Robinson Vásquez O. |163 y ei coeficiente de rendimiento del refrigerado r se expresa com o
TI
Q2 q2 w Q i -Q 2
-- ------ --- --------- ------
donde, al igual que para las máquinas térmicas, los Q's representan el valor absoluto de la cantidad
El Refrigerador Carnot En el caso del refrigerador que opera según el ciclo Carnot, en reversa, el coeficiente de rendimiento también puede expre sarse según
8.5
La Entropía La segunda ley de la termodinámica, tal como ha sido presentada, no expresa una relación cuantitativa (como si es el caso de la primera ley), sino, más bien, es un enunciado de la imposibilidad de que ocurra un proceso. Una formulación cuantitativa (i.e. en forma de ecuación) de la segunda ley se debe a Clausius, quien introdujo el concepto de entropía a partir de su principio de la imposibilidad de transferir calor espontáneamente de un cuerpo frío a otro más caliente. En termodinámica, la entropía es una cantidad física que permite calcular la parte de la energía que no se puede utilizar para producir trabajo. Es una función de estado, S = S (V, T), de carácter extensivo y su valor, en un sistema aislado, se incrementa en el transcurso de un proceso que se dé de manera natural. La entropía determina la dirección de los procesos termo dinám icos:
En todos los procesos termodinámicos que ocurren en un sistema cerrado aum enta la entropía del sistema , alcanzando el máximo va lor posible en el equilibrio termodinàmico.
Recíprocamente, se puede decir que es irreversible cualquier proceso debido al cual aumente la entropía del sistema, y tanto mayor sea el incremento de entropía cuanto m ayor será el grado de irreversibilidad.
164 |Cla se s de fí si ca II La entropía y el desorden Como los procesos naturales (i.e. irreversibles) ocurren en la dirección de incremento del desorden en el sistema, la entropía puede interpretarse como una medida de la distribución aleatoria de un sistem a, i.e . del desorden. ¿Por qué ocurren los sucesos en la naturaleza de una manera determinada y no de otra? El universo tiende a maximizar la entropía, esto es, a distribuir uniformem ente la energía. Un sistema en una condición improbable tendrá una tendencia natural a reorganizarse a una condición más probable (similar a una distribución al azar), reorganización que dará como resultado un aumento de la entropía. La configuración de mayor probabilidad es la del equilibrio termodinámico, que es cuando el sistema alcanza su máximo desorden. Considérese una expansión isotérmica infinitesimal de un gas ideal: El gas absorbe una cantidad dQ de calor y se expande ligeramente de manera que se mantiene constante su temperatura. Como en un proceso isotérmico no varía la energía interna de un gas ideal, entonces, el trabajo efectuado por el gas es igual al calor absorbido; esto es
dQ = dW = pdV = ^5 1 dV V de manera que dV
dQ
V ~ nRT Después de la expansión el gas se encuentra en un estado más desordenado que antes pues las moléculas se mueven en un mayor volumen y tienen mayor dV aleatoriedad de posición. De manera que — es una medida del aumento del desorden y, de la ecuación anterio r, se establece que es proporcional a
.
Designando con S la entropía del sistema, se define el cambio infinitesimal de entropía dS durante un proceso reversible infinitesimal a la temperatura T, como
_________
T
Robinson Vásquez O. 1165 Si durante un proceso isotérmico reversible el gas absorbe una cantidad total de calor Q, el cambio total de entropía AS está dado por a s = s 2 - s 1 = |
donde los subíndice (1) y (2) denotan los estados entre los cuales evoluciona el gas. El coeficiente — ciertamente caracteriza adecuadamente el incremento de T desorden cuando hay un flujo de calor hacia un sistema. Una temperatura más alta implica mayor aleatoriedad de movimiento. Si la sustancia inicialmente está fría (i.e. con poco movimiento molecular) la adición de Q produce un incremento porcentual significativo en el movimiento y aleatoriedad molecular ;
pero si la sustancia ya está caliente, la misma cantidad de calor aumenta relativamente poco el movimiento molecular ya existente. Ejemplo 8.1: Cálculo de AS para un proceso reversible
Un kilogramo de hielo a 0°C se funde, rev ersiblem ente, y se co nvierte en agua a 0*C. Si el calor de fusión del agua es
L* = 3 ,3 4 x l0 5 —
calcule el cambio de
kg entropía. El calor para fundir el hielo: Q = jQ s 3,34 x 105 J
La temp eratu ra, co nstante, del pr oceso: T = 273 K .
* _ Q .M 4 * l£ T
273
U K
Si se vuelve a enfriar el agua a 0°C hasta convertirla en hielo a 0*C se tendrá que AS = -1 ,22 — K Se puede generalizar la definición de cambio de entropía (A S ) para incluir cualquier proceso reversible:
Además, como los valores de Si y S 2 dependen únicamente de los estados 1 y 2, respectivamente, no importa en absoluto si el cambio de estado es efectuado por un proceso reversible o por un proceso irrev ersib le; AS es el mismo cualquiera sea el proceso. Sin embargo si se usa la ecuación precedente para calcular AS, se debe usar el calor absorbido en el transcurso de cualquier proceso reversible que ocurra entre los dos estados.
166 |Cla se s de f ís ic a II Ejemplo 8 . 2 : Cálculo de AS en un proceso irreversible
Halle el cambio en entropía que experimenta un kilogramo de agua a 0*C que se calienta a 100°C. Para usar la ecuación AS
r2dQ Jl T
imaginamos que la temperatura del agua se
eleva reversiblemente en una serie de procesos infinitesimales, en cada uno de los cuales la temperatura se incrementa una cantidad infinitesimal. El calor reque rido para cada proceso: dQ = mcdT
K Ejemplo 8.3: AS para la expansión libre de un gas
En el experimento de Joule - Thomson, de scrito en el ítem 7 .4, considere que los dos compartimentos tienen el mismo volumen. Calcule el cambio en entropía de n moles de un gas ideal que se encuentra a una temperatura T. Para este proceso de expansión libre se tie ne que Q = W = AU = 0 y AT = 0 . Podría pensarse que AS = 0 ya que no hay intercambio de calor (i.e . dQ = 0), pero la ecuación AS
r2dQ Jl T
solo puede usarse en procesos reversibles y la
expansión libre es irreversible. Para
calcular
AS
podemos
imaginar un
proceso
reversib le
que hace
evolucionar el gas entre los mismos estados (1) y (2). En este caso, un proceso reversible apropiado es una expansión isotérmica desde Vj = V hasta V2 =2V. P
Durante esta expansión isotérmica el calor
absorbido
se
convierte
completamente en trabajo: Q = W=nR T^n— = nRT¿n2 V y el cambio de entropía AS = ~=nR ¿n2^= 5,76¿j
es el mismo que para la expansión libre entre los mismos estados inicial y final.
Robinson Vásquez O. |167
La entropía en los procesos cíclicos Considérese un ciclo (reversible) de Carnot, descrito en el ítem 8.2 para este ciclo se tiene que
S i-i Ql
£ i=£i
\
Ti
T2
de donde se establece que
AS c ¡C|o =A S1 +A S2 = 0
(*)
Este resultado puede generalizarse para todos los ciclos reversibles:
y que también puede aplicarse a los ciclos irreversibles
* Nótese que AS2
una cantid ad negati
ond
la tran sf
ia de calor (Cb) hacia el
