Capitulo III Cinematica de Los Fluidos 2015

CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I

CAPITULO III: CINEMATICA DE LOS FLUIDOS

CAPITULO III

CINEMATICA DE LOS FLUIDOS

3.1 INTRODUCCION.

La cinemática de los fluidos es aquella que estudia las formas del movimiento de las partículas fluidas sin considerar la masa y las fuerzas que actúan durante el movimiento. Para el estudio de este comportamiento de las partículas fluidas durante su movimiento lo haremos sobre la base del conocimiento de las magnitudes físicas ya vistas en la física básica y con los campos respectivos relacionados al movimiento; éstas magnitudes pueden ser escalares, vectoriales o tenso riales, riales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro

del flujo. Un campo de flujo viene a ser cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, con la condición de que el fluido ocupe la región. Esta parte de la mecánica de los fluidos analiza el movimiento sin tomar en cuenta los motivos por los que se produjo esté, los términos de las magnitudes físicas para el análisis son de velocidad, aceleración y desplazamiento. 3.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJOS DE FLUIDOS.

Para entender mejor este movimiento de las partículas (cinemática), se deben tomar en cuenta varios conceptos, así como los diferentes tipos de flujo como el Flujo Newtoniano y No-Newtoniano, que son llamados flujos reales e ideales respectivamente. Además de estos es necesario definir algunos otros que son de importancia para nuestro estudio, de manera de no extenderse en otro tema que no sea la cinemática de los fluidos presentaremos distintos conceptos de manera concisa, mucho de estos tipos de flujo se dan en condiciones especiales como ser en laboratorios de experimentación. TIPOS DE FLUJOS:

Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

Página 1





Flujo real . Es aquel en que para un pequeño esfuerzo cortante, la partícula

fluida ofrece una resistencia al movimiento, o sea que hay manifestación de la viscosidad. 

Fuljo ideal . Es el flujo cuya viscosidad es nula; o sea que el fluido carece de

rozamiento. 

Flu jo ad iab átic o . Es aquel flujo en el que dentro de los límites de su contorno

no entra, ni sale calor. 

Flujo laminar . Es aquel flujo donde las partículas del fluido se mueven a lo

largo de trayectorias lisas en capas o láminas paralelas ( Fig3-1), deslizándose una capa sobre otra adyacente. 

Flujo turbulento . Es aquel en que las partículas del fluido se mueven siguiendo

trayectorias muy irregulares, originando un intercambio de cantidad de movimiento de una porción del fluido a otra ( Fig. 3.1 ). Es el caso de flujo más frecuente en aplicaciones prácticas. 

Flujo transicional de laminar a turbu lento lento . Es el flujo comprendido entre el

flujo laminar y turbulento, realmente es el paso de flujo laminar a flujo turbulento. (Fig. 3.1 ).

Fig. 3.1 Tipos de Flujos



Flujo perman ente o estacionario. Es aquel flujo en que las propiedades del

fluido y las condiciones de movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. ( Fig3.2a). Un flujo es permanente si el campo de velocidades, de presión, la masa volumétrica y la temperatura en cada punto, no dependen del tiempo. Las componentes u, v, w son entonces únicamente función de x, y, y z . V 0 t

,

 ρ 0 t


,

 P 0 t

,

T 0 t

Página 2



(a)

(b)

Fig. 3.2 Flujo permanente (a) y no permanente (b)



Flujo no permanente. Son flujos en el campo de velocidades, presión, masa

volumétrica, y temperatura varían con el tiempo ( Fig. 3.2b). V 0 t 

,

 ρ 0 t

,

 P 0 t

,

T 0 t

Flujo uniforme. Es aquel en que todas las secciones rectas paralelas del

conducto son idénticas y la velocidad media en cada sección recta es la misma en un instante dado (Fig. 3.4a). Por esto deberá cumplirse que:

V 0  s 

Flujo v ariable. Es aquel flujo en que las secciones rectas del contorno son

diferentes y la velocidad media varía en cada sección recta (Fig. 3.4b). Por esto deberá cumplirse que:

V 0  s

(b)

(b)

Fig. 3.3 Flujo uniforme (a) y variable (a)


Página 3





Flujo Unidimensional. Es aquel que desprecia las variaciones o cambios de

velocidad, presión, etc., transversales a la dirección principal del flujo.



Flujo Bidimensional. Este flujo supone que todas las partículas siguen

trayectorias idénticas en planos paralelos; por consiguiente, no hay cambios en el flujo normal a dichos planos.



Flujo compresible y flujo incompresible.-

En el régimen de flujo incompresible se supone que la densidad del fluido

es

constante, independiente de las coordenadas espaciales y del

tiempo, simplificándose así extraordinariamente el análisis del movimiento. En caso contrario, el flujo es compresible. Ordinariamente, podemos considerar que los líquidos presentan regímenes de flujo incompresibles; sólo en situaciones tales como la propagación del sonido en líquidos es necesario tener en cuenta la compresibilidad de éstos. Pero hasta los gases, que son altamente compresibles, pueden experimentar cambios tan poco importantes en su densidad que su flujo pueda considerarse como incompresible; este es el caso de la aerodinámica subsónica, donde el aire se considera incompresible.



Flujo irrotacional y flujo rotacional.-

Decimos que el flujo es irrotacional cuando cualquier partícula fluida no posee velocidad angular neta respecto al punto en que se encuentra. En caso contrario, el flujo es rotacional . Podemos tener una aproximación intuitiva a estos dos tipos de flujo imaginando una ruedecilla con paletas inmersa en el fluido en movimiento. Si la ruedecilla tan sólo se traslada, el flujo es irrotacional (Fig. 3.4 a); si gira y se traslada (o sólo gira), el flujo es rotacional. El flujo rotacional incluye el movimiento de vórtice ( remolinos) (Fig. 3.4 b) y los flujos con gr adiente transversal de velocidad (Fig. 5.4 izq.).


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Fig. 3.4 Flujo irrotacional (a) Flujo rotacional (b) 3.3 LOS CAMPOS DE UN FLUJO.

Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la región o sub región del flujo quede ocupada por el fluido. En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro del flujo. Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y temperatura. En u n c ampo vecto rial, además de la mag nitu d, se necesita defin ir un a direcc ión y un s entido para la cantidad física a la que co rres po nd e; esto es tres valor es escalares. La velocid ad, la aceleración y la rotación so n ejemp los de campos vectoriales. Finalmente, para definir un campo tensorial se requ ieren

nu eve

o

m ás

co mp on entes

escalares;

ejemp los:

esfu erzo,

deform ación u nitaria y mo mento d e inercia.

Las magnitudes físicas de los campos escalares y vectoriales de un campo de flujo son en general funciones de punto y del tiempo, ya que su magnitud puede variar no solo de un punto a otro sino (en un punto fijo) de un instante a otro. 3.4 LOS

CAMPOS

VECTORIALES

DE

VELOCIDAD,

ACELERACION

Y

ROTACIONAL. Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

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CAMPO DE VELOCIDADES.

El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una curva se puede hacer de dos maneras distintas: a. Por el conocimiento del vector de posición r, de la partícula como una función vectorial del tiempo t (Fig. 3.5)

r  r (t )  xi  yj  zk

(Ec. 3.1)

Dónde: i, j, k representan los vectores unitarios según tres ejes de coordenadas ortogonales cualesquiera y (x, y, z) las proyecciones de r según dichos ejes. Estas proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo:

x  x (t ); y  y (t ); z  z (t )

(Ec. 3.2)

b. Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo. En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto origen A).

Fuente: Hidráulica General. Sotelo Ávila G.

Fig. 3.5 Representación del movimiento de una partícula según la curva r = r(t) Como una función escalar del tiempo (fig. 3.6); esto es:

s  s (t )

(Ec. 3.3)

El vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez temporal del cambio en su posición. Si la partícula P o de la Fig. 3.7 se desplaza siguiendo la trayectoria C, descrita en cada instante por el vector de posición de la partícula r = xi + yj + zk, la velocidad queda definida por la expresión:


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v 

dr dt


(Ec. 3.4)

Donde dr representa el vector diferencial de arco, sobre la curva, que recorre la partícula en el tiempo dt. La velocidad es entonces un campo vectorial dentro de un flujo y al desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y el tiempo:

v  vr , t 

(Ec. 3.5)


Fig. 3.6 Representación del movimiento de una partícula según la curva s =s (t)


Fig. 3.7 Posición y velocidad de una partícula referidas a un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares. Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

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La velocidad, en términos de sus componentes según los tres ejes coordenados elegidos, se puede escribir:

v  v xi  v y j  v z k

(Ec. 3.6)

Entonces, dichas componentes son funciones de la posición de la partícula y del tiempo a saber:

v x  v x ( x, y, z , t ) 

dx

v y  v y ( x, y , z , t ) 

dy

v z  v z ( x, y, z , t ) 

dz

(Ec. 3.6a)

dt

(Ec. 3.6b)

dt

(Ec. 3.6c)

dt

Puesto que la magnitud del vector dr es: 



d r 

d r dt

dt  ds

(Ec. 3.7)

Donde ds es el elemento diferencial de arco sobre la trayectoria, resulta que la magnitud de la velocidad es: 2

2

 dx   dy   dz  v        dt  dt   dt   dt  ds

2

(Ec. 3.8)

Si s representa un vector unitario, tangente en cada punto a la trayectoria de la partícula y además es función de s, la velocidad también se puede expresar así:  

v  v s 



ds d s s  dt dt

(Ec. 3.9) 



Donde ds se conoce como vector diferencial de arco y vale d s =ds. s CAMPO DE LAS ACELERACIONES:


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El campo de aceleraciones es derivado del de velocidades pues el vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:  

a

d v dt



2



d s

(Ec. 3.10)

dt 2

La aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria de la partícula, como resulta con la velocidad; de acuerdo con la definición de derivada total y en base a las Ec. 3.6 (a,b.c), sus componentes, según los tres ejes de coordenadas cartesianas, son:

v x v v v  v y x  v z x )  ( x )  x  y  z t

(Ec.3.11a)

v y v y v y v y  (v x  v y  v z a y  )( )  x  y  z t dt

(Ec.3.11b)

a x 

dv x dt

 (v x

dv y

a z 

dv z dt

 (v x

v z v v v  v y z  v z z )  ( z )  x  y  z t

(Ec.3.11c)

Las cuales son función de punto y tiempo. La aceleración de las partículas del fluido se puede considerar como la superposición de dos efectos: 1. En el instante t se supone que el campo es independiente del tiempo; en estas circunstancias la partícula cambiara de posición en ese campo y su velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta aceleración, debida a cambio de posición en ese campo y su velocidad sufrirá variaciones en los diferentes puntos del mismo. Esta aceleración, debida a cambio de posición, se llama c o n v e c t i v a y está dada por las expresiones contenidas en los primeros paréntesis de las Ec.3.11a, Ec. 3.11b y Ec. 3.11c.


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2. El término de los segundos paréntesis no proviene del cambio de posición de la partícula, sino de la variación de la velocidad en la posición ocupada por la partícula al transcurrir el tiempo. Se llama aceleración local . 3. Es interesante conocer también la magnitud de las componentes de la aceleración en cualquier punto de una trayectoria. La distancia s, medida desde un origen arbitrario, siguiendo la trayectoria, corresponde a una coordenada curvilínea local, a lo largo de la cual se pueden determinar las propiedades del flujo. En cada pun to d e la trayectoria hay una dirección local, que define la dirección de una coordenada in dependiente llamada coordenada normal principal . Esta es colineal con el radio

instantáneo de curvatura local de la trayectoria, cuya dirección positiva es del centro de curvatura hacia el punto en consideración. Una tercera dirección de otra coordenada se define como la dirección binormal local (o conormal) b, que es normal, tanto a s como a n. En relación al sistema cartesiano, estas tres coordenadas también se pueden representar por el sistema de vectores unitarios ortogonales s, n, b; el primero tangencial a la curva en cada punto; el segundo en la dirección de la normal principal local de la trayectoria; y el tercero, según la binormal de la misma (Fig. 3.8a).


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Fig. 3.8 a) Correspondencia entre el sistema cartesiano de coordenadas y el sistema de vectores unitarios; distribución y gradiente de velocidades sobre la normal principal. b) Cambio en el s al producirse el recorrido Δs. De este modo, los vectores unitarios s, n y b definen un diedro regular en cada punto de la trayectoria; y cualquier vector asociado a un punto de la curva puede referirse a este sistema local de coordenadas curvilíneas, escribiéndolo como una combinación lineal de los tres vectores unitarios. Los tres planos fundamentales (definidos por el diedro) se conocen como: p l a n o o s c u l a d o r (aquel cuyo normal es b), p l a n o n o r m a l (cuya normal es s) y plano (cuya normal es n). rectificador


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Los vectores s y n se encuentran en el plano osculador, el cual contiene también al radio de curvatura. Esto significa que el movimiento en el punto considerado esta en dicho plano y, además, el radio de curvatura en la dirección de b es infinito. La velocidad expresada en términos de s a través de la Ec. 3.9 es función de la distancia recorrida s y del tiempo t; la aceleración entonces es:  

a

d v dt







d



dv d s ds (v s)  s  v( ) dt dt ds dt

(Ec. 3.12)



a



dv d s s  v 2 dt ds

(Ec 3.13)

Al pasar de un punto P a otro P’ (Fig. 3. 8 b), el vector unitario s’ será s+Δs; conserva su magnitud, pero modifica su dirección. En el intervalo Δt la partícula habrá recorrido la distancia Δs sobre la curva. La

variación de s a lo largo de S es:

 s dS  s 0 S ds

 lim

(Ec 3.14)

De donde resulta que, en el límite , Δs (y también Δs/ΔS) queda dirigido según la normal principal de la curva y hacia el interior de la misma. Por tanto, los vectores ds/dS y v 2ds/dS tendrán idéntica dirección, pero sentido contrario al considerado positivo para n. Resulta entonces:

v2

ds dS

 v 2

ds dS

n

Por lo que respecta a


(Ec 3.15) dv dS

(Fig. 3.8 b) con s  1 , resulta también:

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 s  lim dS  s  0 S  s 0 dv

 lim


2 s sen

 s

 2  lim

sen

 s  0



2 . lim    s 0  s

(Ec 3.16)

2

En el límite , sen (Δθ/2)/ (Δθ/2)=1; entonces: ds dS

 d    s 0  s ds

 lim

(Ec 3.17)

Además, siendo ds = r dθ, donde r es el radio de curvatura en el punto P, se tiene que: ds dS



1

(Ec 3.18)

r

La Ec. 3.13 se convierte entonces en: a  a s  a n 

dv

v2

s  n dt r

(Ec 3.19)

Esto muestra que el vector aceleración se encuentra en el plano osculador y solo tiene componentes en las direcciones tangencial y normal. La magnitud de la componente de la aceleración tangencial es entonces: a s 

dv dt



v ds v v v   v  s dt t  s t

(Ec 3.20a)

O bien, con  v2 v ( )v  s 2 t La com pon ente tangencial resulta:   v2 v  a s   ( )   s   s 2 t  

(Ec 3.20b)

y la c o m p o n e n t e n o r m a l : an  

v2 r

n

(Ec 3.20c)

El signo menos para la componente normal de la Ec. 3.20c significa que dicha componente tiene sentido contrario al considerado como positivo para n. El planteamiento de muchos problemas en la práctica se hace suponiendo el flujo Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

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como unidimensional, para el cual es muy conveniente el empleo del sistema de coordenadas y de componentes de la aceleración aquí planteada. Finalmente, la componente en la dirección de la binormal es: an  0

(Ec. 3.20d)

CAMPO ROTACIONAL.

Esté es otro campo derivado de el de las velocidades, y evalúa la rotación local de una partícula fluida y se define matemáticamente por el producto vectorial del operador nabla nabla , por el vector velocidad (V). O sea que:

rot    V , que en forma matemática es el determinante siguiente: i  rot V     x  v x

j

  y v y

k 

   z  v z 

(Ec. 3.21)

Desarrollando se tiene:  v z v y   v x v z   v y v x  i   k     j    z    z  x    x  y    y

rotV  

(Ec. 3.22)

Que tamb ié n es fun ción, tanto de pu nto co mo de tiemp o y es u na m edida de ro tación o v ort icidad d e la partícula d entro d el flujo; p or es ta razón se le con oc e tamb ié n c om o cam po vo rtico so.

La rotación pura se puede estudiar localmente prescindiendo de la traslación a través del movimiento de giro alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de gravedad de la partícula y con base en el movimiento de dos líneas ortogonales en forma de cruz, definidas por los puntos PQRS que giran como un cuerpo rígido. El punto Po se localiza mediante el vector de posición r o referido a un sistema de coordenadas con cualquier orientación, pero cuyo origen por comodidad se encuentra en el eje instantáneo de rotación. El punto P se halla en el extremo de uno de los brazos de la cruz y en la infinita vecindad


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de Po y se localiza mediante el vector de posición r, de tal manera que el vector que los une es (r-r o)=dr. La velocidad v, tangencial a la trayectoria circular que siguen los extremos de esas líneas ortogonales (y, por consiguiente, en el punto P), corresponde a la traslación propia de ese punto; y en general, es distinta de la corresponde a P o.


Fig. 3.9 Rotación de una partícula Al producirse la rotación el vector v se puede calcular en términos de la velocidad angular ω=dθ/dt (variación del ángulo de rotación θ con el tiempo) y

de un vector unitario w paralelo al eje instantáneo de rotación con el sentido indicado en la fig. 3.9 (de acuerdo a la convención normal para la variación de θ), como el producto vectorial; a saber:

v   wxdr   xdr

(Ec. 3.23)

Donde    w se conoce como vector torbellino. Por tanto resulta que: rot .v  rot . xdr

(Ec. 3.24)

Cuyo desarrollo conduce a: j k  i   rot V   x  y  z    dx dy dz  Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

(Ec. 3.25)

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rot V   y dz   z dy i   x dz   z dx j   x dy   y dx k

(Ec. 3.26)

De ahí que, de acuerdo con su definición rot v es igual al determinante:   i j k       rot V      x y z   ( y dz   z dy ) ( x dz   z dx) ( x dy   y dx)

(Ec. 3.27)

Desarrollando el determinante en la misma forma y, tomando en cuenta que ω

es independiente de dr, al desarrollar las derivadas parciales indicadas se obtiene que: rot .v  (2 xi  2 yi  2 z i)  2

(Ec. 3.28)

Esto es, el vector rot v es paralelo a ω y perpendicular en cada punto a v.

Con referencia al sistema de coordenadas ortogonales s, n, b, el movimiento se produce sobre el plano que contiene a s y n; y la velocidad v se distribuye a lo largo de n de acuerdo con un movimiento instantáneo de rotación, según la ley: v   .r

(Ec. 3.29)

El vector rotacional se obtendría a partir del determinante:  s n   rot v    s n   r 0

Donde

v b

 0,

b 

   ( r )b b  n 0

(Ec. 3.30)

puesto que no hay variación de v a lo largo de b. Desarrollando v

r

r

n

la derivada y tomando en cuenta que:   y

1

Resulta:  r    v v   r b    b n   n  r n 

rotv   

(Ec. 3.31)

Esto significa que el vector rot v tiene una sola componente en la dirección de la binormal; además, el producto vectorial rot v x v es:


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 s n  b  v v  rot v  v  0 0  (  ) r n v 0  0  

 v v   n r n  

rot v  v  v

(Ec. 3.32)

(Ec. 3.33)

Por tanto la aceleración también podemos determinar en la forma: a  grad (

v2 2

)  rotv  v 

v t

(Ec. 3.34)

La aceleración en un punto está formada por la componente grad (v 2/2) que corresponde al movimiento de traslación pura; la componente rot v x v que equivale al movimiento de rotación (llamada aceleración de Coriolis); y la componente ∂v/∂t que corresponde a la aceleración local.

3.5 METODOS PARA DESCRIBIR UN FLUJO.

Con el fin de obtener la representación completa de un flujo, es necesario determinar la posición de cada partícula en cada instante y después encontrar la velocidad en cada posición, a medida que el tiempo transcurre. Es p os ible estu di ar el mo vim iento de las part ícu las m edian te do s m é to do s: el Euleriano o local y el Lagrangiano o mo lecular.

METODO EULERIANO.

Consiste en determinar las características cinemáticas en cada punto de un flujo y en cada instante, sin considerar el destino que tenga cada partícula individual. Elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber: v  v (r , t )

(Ec. 3.35)

METODO LAGRANGIANO.


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Consiste en determinar las características cinemáticas del movimiento de cada partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partícula por su posición inicial r o (xo, yo, zo), en el instante t=t o, en otro instante cualquiera t, la misma partícula se encuentra en la posición r (x, y, z). Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posición r se determina como función del tiempo t y la posición inicial r o; o sea: r  r (r 0 , t )

(Ec. 3.36)

Aparentemente el método Lagrangiano, tiene aspectos muy convenientes; sin embargo, las ecuaciones generales del movimiento, deducidas con este método, son difíciles, es pues más sencillo utilizar el método Euleriano. 3.6 LINEA DE CORRIENTE, TRAYECTORIA Y TUBO DE FLUJO.

Se supone que en un instante t o se conoce el campo de velocidades v, de un flujo. Se define como línea de flujo o corriente toda línea trazada idealmente en el interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente al punto mismo (Fig. 3.10). Con la excepción de eventuales puntos singulares, no existe posibilidad de que dos líneas de corriente se intersequen, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores y distintos.


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FUENTE: HIDRÁULICA GENERAL. SOTELO ÁVILA G.

Fig. 3.10 Concepto de línea de corriente y trayectoria. De la definición de línea de corriente, el vector diferencial del arco ds y el vector velocidad son paralelos, de manera que de la Ec. 3.10 se puede escribir: ds  vdt

(Ec. 3.37)

Que representa la ecuación diferencial de la línea de corriente. Esta ecuación en términos de sus componentes, es: dx  v x dt dy  v y dt

(Ec. 3.38)

dz  v z dt

O bien, para el instante t o considerado, se pueden escribir de la manera siguiente: dx v x ( x, y, z , t o )



dy v y ( x, y , z , t o )



dz v z ( x, y, z , t o )

(Ec. 3.39)

Que forman un sistema de ecuaciones diferenciales. Se considera ahora, dentro del flujo, la curva C cualquiera de la Fig. 3.11 (que no sea línea de corriente) y las líneas de corriente que pasan por cada punto de esa Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

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curva. La totalidad de estas líneas están contenidas en una superficie que se denomina superficie de flujo o de corriente. Si la curva C es cerrada, la superficie de corriente formada adquiere el nombre de tubo y, el volumen encerrado por esta superficie, el de vena fluida.


Fig. 3.11 Concepto de tubo de flujo. La trayectoria de una partícula es la línea que une los puntos de posición sucesivamente ocupados por dicha partícula en el transcurrir del tiempo (Fig. 3.10). Las ecuaciones diferenciales de la trayectoria son: dx v x ( x, y , z , t )



dy v y ( x, y, z , t )



dz v z ( x, y , z , t )

(Ec. 3.40)

Este concepto corresponde al tratamiento bajo el punto de vista Lagrangiano; si el flujo es perm anente, las líneas de c orriente c oinc iden co n las tray ectorias.

3.7 CONCEPTO DE GASTO O CAUDAL.

En la Fig. 3.12 un elemento dA, de la superficie S (limitada por una curva C) y que contiene al punto cualquiera P, se puede representar por el vector diferencias de superficie: dA  dA.n

(Ec. 3.41)

Donde n se define como un vector unitario normal a la superficie en el punto P, cuyo sentido positivo se establece por convención.


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Fig. 3.12 Concepto de gasto La velocidad v que corresponde al punto P tiene en general una dirección distinta a la de dA. En el intervalo dt, el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficie dA queda determinado por el producto escalar de los vectores; el diferencial del arco ds sobre la línea de corriente que pasa por P y el vector diferencial de superficie dA. Entonces, considerando que ds= vdt, el volumen del fluido que pasa a través del elemento dA vale: dv  ds.dA  v.dAdt

(Ec. 3.41)

El flujo de volumen a través de toda la superficie S queda definido por la ecuación:

Q

dv dt

  v.dA A

(Ec. 3.42)

Cuyas dimensiones son [L 3T-1]. Este flujo de volumen se conoce como gasto o caudal.


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Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las líneas de corriente sean normales a ella en cada punto, de la Ec. 3.42 el gasto se puede calcular de la manera siguiente: Q

 vdA

(Ec. 3.43)

A

Se llama velocidad media, a través de la superficie S de área A, al promedio calculado así: v.dA Q  V   A

A

A

(Ec. 3.44)

y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre toda la superficie, con un valor constante V y en dirección perpendicular a la misma. 3.8 FUNCION DE CORRIENTE.

Se considera, en un instante determinado, un flujo no permanente, tridimensional incomprensible, viscoso o no viscoso, rotacional o irrotacional; asimismo, un tubo de flujo formado por dos sistemas diferentes de superficies de flujo cuyas intersecciones coinciden obviamente con líneas de corriente, como se muestra en la Fig. 3.13. Evidentemente esta misma consideración es válida para un flujo permanente en cualquier instante. La solución de las ecuaciones diferenciales (Ec. 3.39) de las líneas de corriente, permite determinar la geometría de estas y se puede expresar a través de dos relaciones independientes de la forma:  ( x, y , z )  F

(Ec. 3.45)

 ( x, y, z )  G

(Ec. 3.46)

En que F y G representan dos funciones diferentes que adquieren un valor constante cuando se desea definir la geometría de una línea de corriente en particular. Estas dos ecuaciones definen una doble familia de superficies de flujo a través de la funciones ψ y χ, llamadas de corriente, escogidas de tal manera que

sean mutuamente ortogonales. En el punto P de la Fig. 3.13, sobre una línea de corriente, los vectores grad ψ y grad χ son normales a las superficies ψ=constante,


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χ= constante, respectivamente. Puesto que v es tangente a ambas superficies en P

y, por lo mismo perpendicular a ambos vectores, se debe satisfacer que v  grad  . x. grad 

(Ec. 3.46)


Fig. 3.13 Superficies de corriente O bien por definición de gradiente y de producto vectorial. v x 

       y  z  z  y

(Ec. 3.47a)

v y 

       z  x  x  z

(Ec. 3.47b)

v z 

       x  y  y  x

(Ec. 3.47c)

La substitución de estas componentes en las ecuaciones diferenciales de la línea de corriente (3.39) y las superficies de frontera, permiten determinar las funciones ψ y χ para cada flujo.

En el caso de un flujo bidimensional, la familia de los planos paralelos (sobre los cuales la configuración del flujo es idéntica) se hace coincidir con el sistema de superficies χ = constante, donde el eje z es perpendicular a dicha familia. Con esta disposición, el vector grad χ es el mismo vector unitario k y la Ec. 3.46 seria:

v  grad  .k

(Ec. 3.48)

Cuyas componentes son: Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

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v x 


  y

v y  

(Ec. 3.49a)

  x

(Ec. 3.49a)

Y en coordenadas polares (Fig. 3.14) vr 

1 

(Ec. 3.50a)

r 

v  

 r

(Ec. 3.50b)

Fuente: Hidráulica General. Sotelo Ávila G .

Fig. 3.14 Componentes de la velocidad para un flujo plano en coordenadas cartesianas y polares. Para el flujo bidimensional la ecuación diferencial de la línea de corriente, según el sistema de las ecuaciones 3.39, es: v x dy  v y dx  0

(Ec. 3.51)

Substituyendo las ecuaciones 3.49 en esta ecuación se obtiene: d  

  dx  dy  0  x  y

d   grad  .ds  0

(Ec. 3.52) (Ec. 3.51)

Así, obviamente, el vector diferencial de arco sobre una línea de corriente es perpendicular a grad ψ y la ecuación de la línea será ψ(x,y)= constant e, cuya Msc Ing. Abel A. Muñiz Paucarmayta

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representación es una familia de líneas de corriente como se muestra en la figura 3.15. Cada línea de corriente no es más que la intersección de la superficie ψ que corresponde con el plano coordenado x-y. Por otra parte, si n es un vector unitario en la dirección normal a las líneas de corriente, por definición de derivada direccional se tiene que: grad  .n 

 n

(Ec. 3.52)

Pero, toda vez que en grad ψ y n son paralelos, grad ψ.n es igual al módulo de grad ψ; el cual, de acuerdo con las ecuaciones 3.49 vale: 2

2

        v x 2  v y 2  v grad         x    y 

(Ec. 3.53)

Entonces:  v n

(Ec. 3.54)

Sin embargo, de esta ecuación, vdn es el gasto que pasa entre dos líneas de corriente ψ y ψ + dψ (fig.3.1 5) por unidad de ancho normal al plano del flujo; esto

es: dQ  d   vdn

(Ec. 3.55)

Por lo cual el gasto entre dos líneas de corriente ψ1 y ψ2 es: q   1   2  1 2

(Ec. 3.56)

La Ec. 3.56 indica que el gasto entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de los valores que adquiere la función de corriente en esas líneas.


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Fig. 3.15 Familia de líneas de corriente.


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Capitulo III Cinematica de Los Fluidos 2015

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