Capitulo II, ejercicios de estadística 13. En un reinado mundial de la belleza, el jurado calificador debe elegir de un total de cinco finalistas a la nueva reina mundial de la belleza. ¿De cuantas formas se puede seleccionar (a) reina y virreina? (b) reina, virreina y primera princesa? (c) dos candidatas para ser reinan? Respuesta: (a) Para seleccionar a la reina y virreina se debe hacer la permutación de 5 tomando 2: 5 P 2
5!
(5 2)!
20
(b) Para seleccionar a reina, virreina y primera princesa se debe hacer la permutación de 5 tomando 3: 5 P 3
5!
(5 3)!
60
(c) Para seleccionar dos candidatas para ser reina se debe calcular la combinación de 5 en 2: 5C 2
5!
2!( 2!(5 2)!
10
18. En un determinado almacén, ciertas lámparas se reciben en cuatro estilos diferentes, con cada estilo disponible en cinco colores diferentes. Si el almacén desea mostrar lámparas que muestren la totalidad de los diversos estilos y colores, ¿cuantas diferentes lámparas tendría que mostrar? Respuesta: Para determinar el número de lámparas podemos calcularla a partir de la siguiente expresión: Estil Estilox oxCo Colo lor r 4 5 20
Se necesitan un total de 20 lámparas para mostrar los diversos estilos. 62. Cierta empresa construye mesas de madera (M) o de vidrio (V) y se pueden adquirir en uno de cuatro colores: azul (A), Roja (R), blanca (B) y natural (N). Las probabilidades correspondientes de las diversas combinaciones de tipo de material y color son las siguientes: Azul Roja Blanca Natural Madera 0,13 0,13 0,14 0,10 Vidrio 0,15 0,12 0,12 0,11 (a) Calcule e interprete P(R), P(M) y P ( R ∩M).
(b) Calcule P(R/M) y P(M/R) e interprete los valores de cada una de las probabilidades. (c) Calcule e interprete P(N/V) y P(N/V). Respuesta: (a) La probabilidad que la mesa sea roja P(R) será la suma de las probabilidades que sea roja para cada uno de los tipos de mesa (M: Madera, V: Vidrio) () = 0,13 + 0,12 = 0,25
La probabilidad que sea madera es la suma de las probabilidades en conjunto de las diversas combinaciones de color () = 0,13 + 0,13 + 0,14 + 0,10 = 0,5
La probabilidad que sea roja y de madera se obtiene directamente de la tabla ( ∩ ) = 0,13
(b) La probabilidad condicional que la mesa sea roja dado que es de madera es (/) =
( ∩ ) ()
=
0,13 = 0,26 0,5
Y la probabilidad condicional que sea de madera dado que es roja es (/) =
(/)() (/)() + (/)()
=
0,26
= 0,52 0,26 + 0,24
(c) La probabilidad que la mesa sea color natural dado que es de vidrio es (/) =
( ∩ ) ()
=
0,11 = 0,22 0,5
Y la probabilidad condicional que la mesa sea color natural dado que es de madera ( : = : ) es (/ ̅ ) = (/) =
( ∩ ) ()
=
0,1 0,5
= 0,2
63. La siguiente tabla recoge las proporciones de adultos en cierta ciudad, clasificadas en aquellos que fuma o no fuman y aquellos que tiene problemas de salud. Problemas Fuman No fuman SI 0,15 0,09 NO 0,18 0,58
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar tenga problemas de salud? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido fume? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar que no fume tenga problemas de salud? Respuesta: (a) La probabilidad de que un adulto tenga problemas de salud es la suma de las personas que tienen problemas de salud que fuman y que no fuman: Se S el evento en el que el adulto tienen problemas de salud
0,15 0,9 0,24
P S
(b) La probabilidad que un adulto fume es la unión de los que tienen problemas de salud: Sea F el evento en el que el adulto fuma.
0,15 0,18 0,33
P F
(C) Sea NF el evento que no fume, y S el evento que tenga problemas de salud. P
S/ NF
S NF 0,09 0,13 P NF 0,67
P
64. La probabilidad de que Humberto vea cierto programa de televisión es 0,3 y la probabilidad de que su esposa Greyci vea el programa es 0,6. La probabilidad de Humberto vea el programa sabiendo que Greyci lo hace es 0,8. Encuentre la probabilidad de que: (a) Humberto y Greyci vean el programa; (b) Greyci vea el programa sabiendo que Humberto lo hace; (c) al menos uno de los dos vea el programa. Respuesta: (a) Sea H la probabilidad que Humberto vea el programa y G que Greicy vea el programa. Entonces la probabilidad que los dos vean el programa es de:
G P H P G 0,3 0,6 P H G 0,18 P H
(b) Para determinar esto usamos la probabilidad condicional. Donde Greicy ve el programa dado que H lo está viendo.
P G H
0, 6
P G / H P G / H
P H
0,18 0,3
(c) La probabilidad que al menos alguno de los dos vea el programa se determina utilizando el complemento. Primero se determina cual es la probabilidad de que ninguno de los dos vea el programa y luego se allá el complemento. NG 1 P H 1 P G (1 0,3) (1 0, 6) P NH NG 0,28 P( HG)1 P NH NG 1 0, 28
P NH
P( HG)
0, 72
65. En cierta bodega, una caja contiene ocho clavos de 1 pulgada, seis de 1 pulgada y media y cinco de 2 pulgadas. Suponga que se seleccionan tres clavos al azar, sin reemplazo y sin orden. (a) Si se ve que al menos uno de ellos es de 1 pulgada, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean de 1 pulgada? (b) Si al menos uno de los tres seleccionados no es de 2 pulgadas, ¿cuál es la probabilidad de que los tres clavos tengan el mismo tamaño? Respuesta: (a) 14/201 76/959 78. Suponga que las proporciones de fenotipos sanguíneos en determinada población son los siguientes: A: 35%, B: 28%, AB: 13% y O: 24%. Supongamos que los fenotipos de dos personas seleccionadas al azar son independientes entre sí. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fenotipos sean O?; (b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean iguales? Respuesta: (a) Supongamos que P1 y P2 son las personas seleccionadas al azar, la probabilidad de que P1 sea del fenotipo O y que P2 sea del fenotipo O son las siguientes:
P P 2 P P 1
0, 24 0, 24
Como los eventos de seleccionar personas al azar son independientes la probabilidad de que P1 y P2 sean del fenotipo O se puede calcular de la siguiente manera:
P P1 P P 2 P P1 P 2 0, 24 0, 24 P P1 P 2 0, 0576 5, 76% P P1 P 2
La probabilidad de que ambas personas sean del fenotipo O es del 5,76%. (b) La probabilidad de que ambos fenotipos sean iguales es la suma de las probabilidades de obtener las siguientes combinaciones A-A, B-B, AB-AB, O-O. Esa probabilidad se calcula de la siguiente manera:
P( A) P( A) P(B) P(B) P( AB) P( AB) P(O) P (O) 2 2 2 2 P P1 P 2 0,35 0, 28 0,13 0, 24 P P1 P 2 0, 2754 27, 54% P P1 P2
La probabilidad de que ambas personas sean del mismo tipo de sangre es del 27,54%. 79. En su sistema de funcionamiento, una represa tiene cuatro puertas de seguridad idénticas. La probabilidad de que una puerta en particular se abra cuando sea necesario es 0,97. Si las puertas funcionan independientemente, calcule la probabilidad de que (a) al menos una puerta se abra, (b) al menos una puerta no se abra. Respuesta: (a) La probabilidad de que al menos una puerta se abra se puede calcular como el complemento del evento en el que ninguna puerta funcione: Sea A, el evento en el que ninguna puerta se abra:
P A P A
0,034
0,8110
6
Entonces el evento B, que al menos una puerta se abra, se puede determinar como el complemento de A:
P B P B P B
1 P A
1 0, 8110
0,9999
6
La probabilidad de que al menos una puerta se habrá es del 0,9999 (b) La probabilidad de que al menos una puerta no se abra se puede calcular como el complemente del evento en que todas las puertas se abran. Sea A, el evento en el que todas las puertas se abren:
P A P A
4
0,97
0,8852
Entonces el evento B, que al menos una puerta no se abra, se puede determinar como el complemento de A:
P B P B P B
1 P A
1 0,8852
0,1147
80. La probabilidad de que Jennifer cometa un error al marcar una pregunta de un examen de opción múltiple es 0,2. Supongamos que hay 7 preguntas marcadas independientemente. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que Jennifer no cometa error al marcar las 7 preguntas? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que Jennifer cometa por lo menos un error al marcar las 7 preguntas? Respuesta: (a) Sea A, el evento donde Jennifer no comete errores al marcar las 7 preguntas la probabilidad se puede calcular de la siguiente forma:
P A P A
(1 0, 2)7
0,2097
La probabilidad que no cometa error al marcar las 7 preguntas es del 20,97% (b) Sea B, el evento donde Jennifer cometa por lo menos un error al marcar las 7 preguntas, este se puede calcular como el complemento del evento A, donde ella no comete ningún error.
P B P B P B
1 P A
1 0, 2097
0,7902
La probabilidad de que cometa por lo menos un error es del 79,02%
