Capitulo 9_Modelos de Rezagos Distribuidos_Abril de 2009

Econometría básica

Modelos de Rezagos Distribuidos

1

CAPITULO 9 MODELOS DE REZAGOS DISTRIBUIDOS

9.1 FORMULACION DEL MODELO

Supóngase que se tiene el siguiente modelo: M t = α + β 0 E t + β 1 E t −1 + β 2 E t − 2 + ... + β k E t − k + µ t

[9.1]

Donde: M t

Importaciones

E t

Tipo de cambio

El modelo supone que el efecto del tipo de cambio se propaga o se distribuy distribuye e durante durante k períod períodos. os. El coeficien coeficiente te β 0 se cono conoce ce como como el multiplicador de corto plazo o de impacto por que da el cambio en el valor medio de las importaciones que sigue a un cambio unitario en el tipo de cambio real en el mismo período de tiempo. Si el cambio en el tipo de cambio cambio real se mantie mantiene ne al mismo mismo nivel nivel desde desde el princi principio pio,, entonc entonces es ( β 0 + β 1 ) nos da el cambio en el valor medio de las importaciones en el período siguiente, ( β 0 + β 1 + β 2 ) en el que le sigue y así sucesivamente. Esta Estas s suma sumas s parc parcia iale les s se deno denomi mina nan n mult multip iplic licad ador ores es inte interm rmed edio ios. s. Finalmente, después de k períodos se obtiene



k

∑ β = β + β + β + ... + β 0

i

1

2

k

= β

2

[9.2]

i =0

Que se conoce como el multiplicador de rezagos distribuídos de largo plazo o total. Si se define,

β i* =

β i β = i β i β

∑

[9.3]

Se obtiene β i ”estandarizado”. Las sumas parciales del β i estandarizado dan entonces la proporción del impacto de largo plazo, o total, sentido durante cierto período de tiempo. 9.2 ESTIMACION DEL MODELO 9.2.1 ENFOQUE DE KOYCK Supongamos que se tiene un modelo de rezago distribuido infinito: M t = α + β 0 E t + β 1 E t −1 + β 2 E t − 2 + ... + µ t

[9.4]

Además, suponiendo que los β tienen todos el mismo signo. Estos coeficiente se puede reducir geométricamente de la siguiente m anera.1

β k = β 0 λ k

k = 0,1,...

[9.5]

donde: 0

<

λ < 1

λ

Es la tasa de descenso, o de caída, del rezago distribuido. 1 − λ Es la velocidad de ajuste. Este esquema presenta las siguientes características que es necesario anotar: 



1

Al suponer valores no negativos para λ se elimina la posibilidad de que los β cambien de signo. Al suponer que λ < 1 , le da un menor peso a los β en el pasado distante que a los actuales.

Lo que se intenta precisar es que cada coeficiente β sucesivo es numéricamente inferior a cada β anterior. Esto implica que a medida que se retorna al pasado distante, el efecto de ese rezago sobre las importaciones se hace progresivamente más bajo.

Econometría básica 

∞

∑


3

Asegura que la suma de los β que da el multiplicador de largo plazo es finita, el cual es:

β k = β 0 (1 + λ + λ 2 + λ 3 + ...) = β 0 (

1

) 1 − λ

k = 0

[9.6]

Por tanto, como consecuencia de [9.5], el modelo de rezagos infinitos [9.4] se puede escribirse como: M t = α + β 0 E t + β 0 λ E t −1 + β 0 λ 2 E t − 2 + ... + µ t

[9.7]

Rezagando en un período (7) resulta ser, M t −1 = α + β 0 E t −1 + β 0 λ E t − 2 + β 0 λ 2 E t −3 + ... + µ t −1

[9.8]

Multiplicando por λ se obtiene,

λ M t −1 = λα + λβ 0 E t −1 + β 0 λ 2 E t − 2 + β 0 λ 3 E t −3 + ... + λµ t −1

[9.9]

Restando (9) de (7), M t − λ M t −1 = α (1 − λ ) + β 0 E t + +( µ t − λµ t −1 )

[9.10]

0 reordenando, M t = α (1 − λ ) + β 0 E t + λ M t −1 + v t

[9.11]

Comparando (11) con (7) se nota la enorme simplificación lograda. Mientras que antes era preciso estimar α y un número infinito de β , ahora se tiene que estimar solamente tres incógnitas: α , β 0 yλ . 9.2.2 ENFOQUE DE AJUSTE PARCIAL El modelo [9.11] no está provisto de un soporte teórico por que es obtenido mediante un proceso claramente algebraico. Esta falla puede suplirse si se empieza desde una perspectiva diferente. Supóngase el siguiente modelo: M t = β 0 + β 1 E t e + µ t

Donde: E t e

es el tipo de cambio real esperado

[9.12]



4

e Puesto que la variable de expectativas E t no es observable se puede proponer la siguiente hipótesis sobre la manera como se conforman las expectativas:

E t e − E t e−1 = γ ( E t − E t e−1 )

[9.13]

Donde: 0

<

λ < 1

Es el coeficiente de expectativas.2

El cual muestra que las expectativas están corregidas cada período por una fracción γ de la brecha entre el valor actual del tipo de cambio real y su valor esperado. Una manera distinta de escribir lo mismo es, E t e = γ E t + (1 − γ ) E t e−1 )

[9.14]

Donde, el valor esperado del tipo de cambio real en el tiempo t es un promedio ponderado del valor actual del tipo de cambio real en el tiempo t y su valor esperado en el período anterior, con ponderaciones de γ y 1 − γ Sustituyendo [9.14] en [9.12], se obtiene M t = β 0 + β 1 [γ E t + (1 − γ ) E t e−1 ] + µ t M t = β 0 + β 1γ E t + β 1 (1 − γ ) E t e−1 + µ t

[9.15]

Ahora rezagando [9.12] en un período, M t −1 = β 0 + β 1 E t e−1 + µ t −1

Multiplicando por 1 − γ (1 − γ ) M t −1 = (1 − γ ) β 0 + (1 − γ ) β 1 E t e−1 + (1 − γ ) µ t −1

[9.16]

Restando [9.16] de [9.15] se obtiene. M t = γβ 0 + γβ 1 E t + (1 − γ ) M t −1 + µ t − (1 − γ ) µ t −1 M t = γβ 0 + γβ 1 E t + (1 − γ ) M t −1 + v t

[9.17]

Es preciso advertir que existen algunas diferencias entre [9.12] y [9.17]. En la primera, β 1 mide la respuesta promedio de las importaciones ante 2

La hipótesis (12) es conocida como la hipótesis de expectativas adaptativas popularizada por Cagan (1956) y Friedman (1956).



5

un cambio unitario del tipo de cambio real esperado. En [9.17], por otra parte, γβ 1 mide la respuesta promedio de las importaciones ante un cambio unitario en el valor actual u observado del tipo de cambio real. Estas respuestas no son iguales a menos que γ = 1 , es decir, los valores actuales y de largo plazo del tipo de cambio real sean los mismos. 9.2.3 ENFOQUE DE ALMON El modelo de rezagos distribuidos de Koyck se basa en el supuesto de que los coeficientes β se reducen geométricamente a medida que el rezago aumenta. Este supuesto, en algunos casos es demasiado restrictivo si suponemos que los β aumentan al principio y luego disminuyen o si estos siguen un patrón cíclico. Shirley Almon (1965) nos propone una técnica que considera este último caso. Considerando el modelo finito de rezagos distribuidos M t = α + β 0 E t + β 1 E t −1 + β 2 E t − 2 + ... + β k E t − k + µ t

Se puede escribir en forma más compacta como sigue M t = α + β 0 E t +

k

∑ β E i

t − i

+ µ t

[9.18]

i =0

Utilizando el teorema de Weierstrass β i puede ser aproximado mediante un polinomio en i, la longitud del rezago de un grado apropiado. Algunos ejemplos son los siguientes:

β i = a 0 + a1i + a 2 i 2

[9.19]

β i = a 0 + a1i + a 2 i 2 + a3i 3

[9.20]

Que en términos más generales se puede expresar

β i = a 0 + a1i + a 2 i 2 + a3i 3 + ... + a m i m

[9.21]

Suponiendo que los β sigue el patrón descrito por [9.19] por ser el más apropiado y sustituyendo [9.19] en [9.18] se obtiene M t = α +

k

∑ (a

0

+ a1i + a 2 i 2 ) E t −i + µ t

i =0

k

k

k

i =0

i =0

i =0

M t = α + a 0 ∑ E t −i + a1 ∑ iE t −i + a 2 ∑ i 2 E t −i + µ t

[9.22]



6

Si hacemos que Z 0t =

k

∑ E

t −i

i =0

Z 1t =

k

∑ iE

t − i

i =0

Z 2t =

k

∑i

2

E t −i

i =0

Reemplazando en [9.22] tenemos M t = α + a 0 Z 0t + a1 Z 1t + a 2 Z 2t + µ t

[9.23]

Una vez estimado [9.23] por el método de mínimos cuadrados ordinarios puede estimarse los β originales de [9.19] de la siguiente manera ˆ = aˆ β 0 0 ˆ = aˆ + aˆ + aˆ β 0 0 1 2 ˆ = aˆ + 2aˆ + 4aˆ β 0 0 1 2 ˆ = aˆ + 3aˆ + 9aˆ β 0 0 1 2 ……………….. ˆ = aˆ + k aˆ + k 2 aˆ β 0 0 1 2

Anexo I



7

Nociones Básicas de Eviews 3.1 Modelos de Rezagos Distribuidos MODELO DE REZAGOS INFINITO a)

Estimación secuencial

Dado el siguiente modelo3 M t = α + β 0 E t + β 1 E t −1 + β 2 E t − 2 + ... + µ t

Donde : M t Importaciones E t Tipo de cambio Efectuar regresiones secuenciales incorporando en cada sucesiva regresión un rezago adicional en la variable exógena. Este procedimiento secuencial se detiene cuando los coeficientes de regresión de las variables rezagadas empiezan a hacerse estadísticamente insignificantes y/o el coeficiente de por lo menos una de las variables cambia de signo.

b)

Modelo de Koyck

Sea el siguiente modelo4 C t = α + β 0Y t + β 1Y t −1 + β 2Y t − 2 + ... + µ t

Donde: C t

Consumo privado (Millones de nuevos soles a precios de 1994)

Y t

Ingreso disponible (Millones de nuevos soles a precios de 1994)

3

Obtenga series mensuales del nivel de importaciones totales y del índice del tipo de cambio real bilateral de la página Web del Banco Central de Reserva del Perú. En caso contrario utilice el archivo en Eviews: Capitulo 9_Importaciones 4

Obtenga series trimestrales del ingreso disponible real y del consumo privado real de la página Web del Banco Central de Reserva del Perú. En caso contrario, utilice el archivo en formato Eviews: capitulo 9_Consumo trimestral



8

Determine: ¿Cuál es la propensión marginal a consumir de corto y largo plazo?  ¿En cuántos meses el consumo se ajusta a los cambios del ingreso disponible? 

c)

Modelo de Expectativas adaptativas

Sea el siguiente modelo C t = β 0 + β 1Y t e + µ t

Donde: Y t e

es el ingreso disponible esperado

Considerando que, Y t e − Y t e−1 = γ (Y t − Y t e−1 ) 0 < λ < 1

Luego de transformaciones se tiene, M t = γβ 0 + γβ 1 E t + (1 − γ ) M t −1 + v t

Determine:



El coeficiente de expectativas. ¿Alrededor de que porcentaje de la discrepancia entre el tipo de cambio real bilateral observado y esperado es eliminada en un mes? ¿Es relativamente rápido?

d)

Modelo de ajuste parcial

Sea el siguiente modelo5 β β µ M t * = β 0 Rt 1 1Y t 2 e t

Donde: M t * = Demanda de dinero deseada o de largo plazo

Rt = tasa de interés Y t = Ingreso nacional real 5

Obtenga series mensuales de algún agregado monetario en términos reales, la tasa d e interés promedio en moneda nacional y el índice del PBIR de l a página Web del BCRP. En caso contrario; utilice el archivo en formato Eviews: Capitulo 9_Dinero mensual



9

El modelo puede expresarse como

LnM t * = Lnβ 0 + β 1 LnRt + β 2 LnY t + µ t

Como la demanda deseada no es observable supongamos la siguiente hipótesis de ajuste de existencias:

M t M t −1

 M t *  =  M t 1 −  

δ

0 < δ < 1

El cual establece que un porcentaje constante de la discrepancia entre los saldos reales observados y los deseados es eliminado en un solo periodo. En términos de logaritmos se tiene,

LnM t − LnM t −1 = δ ( LnM t * − LnM t −1 )

* Sustituyendo LnM t en el modelo logarítmico y ordenando se obtiene la

siguiente función de demanda de dinero de corto plazo, LnM t = δ Lnβ 0 + β 1δ LnRt + β 2δ LnY t + (1 − δ ) LnM t −1 + δµ t

Determinar: 

La función de demanda de saldos reales de largo plazo



Probar la hipótesis de no autocorrelación según el estadístico h y de Breusch-Godfrey.

1 n h = (1 − DW ) ˆ 2 )] 2 1 − n[var(α

e)

Modelo de expectativas adaptativas y de ajuste parcial


Modelos de Rezagos Distribuidos 10

Sea el siguiente modelo C t * = β 0 + β 1Y t * + µ t

Donde: C t *

Consumo permanente

Y t *

Ingreso disponible permanente

Puesto que ambas variables no son directamente observables, se puede utilizar el mecanismo de ajuste parcial para el consumo permanente y el modelo

de

expectativas

adaptativas

para

el

ingreso

disponible

permanente a fin de llegar a la siguiente ecuación de estimación, C t = β 0δγ + β 1δγ Y t + [(1 − γ ) + (1 − δ )]C t −1 − (1 − δ )(1 − γ )C t − 2 + v t

MODELOS DE REZAGOS DISTRIBUIDOS FINITO

a)

Enfoque de Almon

Dado el siguiente modelo6 INV t = α + β 0VEN t + β 1VEN t −1 + β 2VEN t − 2 + ... + β k VEN t − k + µ t

el cual puede escribirse también como, INV t = α + β 0VEN t +

k

∑ β VEN i

t − i

+ µ t

i =0

β i puede aproximarse a los siguiente patrones polinomiales,

β i = a 0 + a1i + a 2 i 2 β i = a 0 + a1i + a 2 i 2 + a3i 3 β i = a 0 + a1i + a 2 i 2 + a3i 3 + ... + a m i m

6

Para esta sección utilice el archivo en formato Eviews: Capitulo 9_Almon



Suponiendo que los β sigue un patrón cuadrático el modelo puede ser escrito como,

k

INV t = α + ∑ (a 0 + a1i + a 2 i 2 )VEN t −i + µ t i =0

INV t = α + a 0

k

∑

VEN t −i + a1

i =0

k

∑

iVEN t −i + a 2

i =0

k

∑ i VEN 2

t −i

+ µ t

i =0

Si hacemos que

Z 0t =

k

∑VEN

t − i

i =0

Z 1t =

k

∑ iVEN

t −i

i =0

Z 2t =

k

∑ i VEN 2

t − i

i =0

Reemplazando tenemos INV t = α + a 0 Z 0t + a1 Z 1t + a 2 Z 2t + µ t

Una vez estimado por el método de mínimos cuadrados ordinarios puede estimarse los β originales de la siguiente manera: ˆ = aˆ β 0 0 ˆ = aˆ + aˆ + aˆ β 1 0 1 2 ˆ = aˆ + 2aˆ + 4aˆ β 2 0 1 2 ˆ = aˆ + 3aˆ + 9aˆ β 3 0 1 2

……………….. ˆ = aˆ + k aˆ + k 2 aˆ β k 0 1 2



Aplíquese el criterio de Schward para determinar la longitud apropiada del rezago. Seleccionar el rezago que minimiza el valor:

ˆ µ 2 + mLn(n) CS = Lnσ

Donde: ˆ µ 2 = σ m n

SRC n

longitud del rezago número de observaciones

PRUEBA DE CAUSALIDAD DE GRANGER Consideremos el siguiente modelo:7 PBI t =

n

∑α M i

i =1

t −i

n

+ ∑ β j PBI t − j + µ 1t j =1

m

m

i =1

j =1

M t = ∑ λ i M t −i + ∑ δ j PBI t − j + µ 2t

a) M causa PBI Si se cumple que

∑α

i

≠ 0 y además

∑ δ

=0

b) PBI causa M Si se cumple que

∑α

= 0 y además

∑ δ

≠0

c) Existe una causalidad bilateral α i ≠ 0 y además Si se cumple que

∑ δ

≠0

d) Existe independencia α i = 0 y además Si se cumple que

∑ δ

=0

i

∑ ∑

7

j

j

j

j

Utilice el archivo en formato EXCEL: Capitulo 9_PBI_Liquidez



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