Cargas Combinadas
8.1- PROBLEMAS 8.1. Um tanque esférico de gás tem raio internor = 1,5 m. Se for submetido a uma pressão internap = 300 kPa, determine a espessura exigida para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12 MPa.
t = 0,01875 m = 18,8 mm
8.2. Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 12,5 mm de espessura. Se for submetido a uma pressão interna p = 1,4 MPa, determine seu raio externo para que a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa.
8.3. A figura mostra duas alternativas para apoiar o cilindro de parede fina. Determine o estado de tensão na parede do cilindro para ambas as alternativas, se o pistão P provocar uma pressão interna de 0,5 MPa. A parede tem espessura de 6 mm, e o diâmetro interno do cilindro é 200 mm.
Figura 8.3 Caso (a) = 8,33 MPa Caso (b): = 8,33 MPa = 4,17 MPa
449 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
*8.4. O tanque do compressor de ar está sujeito a uma pressão interna de 0,63 MPa. Se o diâmetro interno do tanque for 550 mm e a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da tensão que age no ponto A. Desenhe um elemento de volume do material nesse ponto e mostre os resultados no elemento.
Figura 8.4 = 28,88 MPa = 14,44 MPa
8.5. O tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 2 mm e diâmetro interno de 40 mm. Calcule a pressão que o gelo exerceu na parede interna do tubo para provocar a ruptura mostrada na figura. A tensão máxima que o material pode suportar na temperatura de congelamento é máx = 360 MPa. Mostre como a tensão age sobre um pequeno elemento de material imediatamente antes de o tubo falhar.
Figura 8.5 A tensão na direção circunferencial é a que provoca ruptura na parede interna, sendo assim:
p = 36 MPa
450 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.6. O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetro interno de 100 mm e espessura de 5 mm. Se transportar água corrente à pressão de 0,42 MPa, determine o estado de tensão nas paredes do tubo.
Figura 8.6 = 4,2 MPa
8.7. Se o fluxo de água no interior do tubo do Problema 8.6 for interrompido devido ao fechamento de uma válvula, determine o estado de tensão nas paredes do tubo. Despreze o peso da água. Considere que os apoios exercem somente forças verticais sobre o tubo.
Figura 8.7 = 4,2 MPa = 2,1 MPa
*8.8. A cinta de aço A-36 tem 50 mm de largura e está presa ao redor do cili ndro rígido. Se os parafusos forem apertados de modo que a tração neles seja 2 kN, determine a tensão normal na cinta, a pressão exercida sobre o cilindro e a distância até onde metade da cinta estica.
Figura 8.8 = 13,33 MPa
p = 0,199 MPa = 6,665
10-5 mm/mm = 0,0422 mm
451 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.9. Inicialmente, a cinta de aço inoxidável 304 está perfeitamente ajustada em torno do cilindro rígido liso. Se ela for submetida a uma queda de temperatura não linear circunferencial na cinta.
= 12sen² ºC, onde
é dado em radianos, determine a tensão
Figura 8.9
= 19,69 MPa
8.10. O barril está cheio de água até em cima. Determine a distâncias entre o aro superior e o aro inferior de modo que a força de tração em cada aro seja a mesma. Determine também a força em cada aro. O barril tem diâmetro interno de 1,2 m. Despreze a espessura da parede. Considere que somente os aros resistam à pressão da água. Observação: A água desenvolve pressão no barril de acordo com a lei de Pascal,p = (900z) Pa, onde z é a profundidade da água em relação à superfície, medida em metros.
Figura 8.10 p = 900z = 3.110,4 N
4F
3.110,4 = 0
2
777,6
0,6 + 2
s = 0,4 m = 400 mm 452 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
777,6
(0,6 + s)
3.110,4
0,8 = 0
Cargas Combinadas
8.11. Um tubo de madeira com diâmetro interno de 0,9 m é atado com aros de aço cuja área de seção transversal é 125 mm². Se a tensão admissível para os aros for adm = 84 MPa, determine o espaçamento máximos dos aros ao longo da seção do tubo de modo que este possa resistir a uma pressão manométrica interna de 28 kPa. Considere que cada aro suporta a pressão do carregamento que age ao longo do comprimentos do tubo.
Figura 8.11 P = 28
10³ 2F
0,9
s = 25.200s
25.2000s = 0 s = 0,83333 m = 833,33 mm
*8.12. Uma caldeira é feita de chapas de aço de 8 mm de espessura ligadas nas extremidadades por uma junta de topo que consiste em duas chapas de cobertura de 8 mm e rebites com diâmetro de 10 mm e espaçados de 50 mm, como mostra a figura. Se a pressão do vapor no interior da caldeira for 1,35 MPa, determine: (a) a tensão circunferencial na chapa da caldeira separada da costura, (b) a tensão circunferencial na chapa de cobertura externa ao longo da linha de rebites a-a e (c) a tensão de cisalhamento nos rebites.
Figura 8.12 (a) A tensão circunferencial na chapa da caldeira separada da costura: = 126,56
106 = 127 MPa
(b) a tensão circunferencial na chapa de cobertura externa ao longo da linha de rebites a-a: 106 0,05 0,008 = 2 0,04 0,008 = 79,1 MPa
126,56
(c) a tensão de cisalhamento nos rebites: F
79,1
10 6
0,008
0,04 = 0
= 322 MPa
453 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
F = 25,3 kN
Cargas Combinadas
8.13. O anel cujas dimensões são mostradas na figura é colocado sobre uma membrana flexível bombeada com uma pressão p. Determine a mudança no raio interno do anel após a aplicação dessa pressão. O módulo de elasticidade para o anel é E.
Figura 8.13
=
454 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.14. Um vaso de pressão com extremidades fechadas é fabricado com filamentos de vidro trançados sobre um mandril de modo que, no final, a espessura da paredet dovaso é composta inteiramente de filamento e adesivo epóxi, como mostra a figura. Considere um segmento do vaso de larguraw trançado a um ângulo . Se o vaso for submetido a uma pressão interna p, mostre que a força no segmento é , onde é a tensão nos filamentos. Além disso, mostre que as tesões nas direções circunferencial e longitudinal são e , respectivamente. A que ângulo (ângulo de trançamento ótimo) os filamentos teriam de ser trançados para obterem-se tensões circunferencial e longitudinal equivalentes?
Figura 8.14
455 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.2 - PROBLEMAS 8.15. O suporte de aço é usado para ligar as extremidades de dois cabos. Se a tensão normal admissível para o aço for adm = 168 MPa, determine a maior força de tração P que pode ser aplicada aos cabos. O suporte tem espessura de 12 mm e largura de 18 mm.
Figura 8.15
M
0,059P = 0
M = 0,059P
P = 1,756 kN
*8.16. O suporte de aço é usado para ligar as extremidades de dois cabos. Se a força P = 2,5 kN for aplicada, determine a tensão normal máxima no suporte. O suporte tem espessura de 12 mm e largura de 18 mm.
Figura 8.16
M 0,059
2,5
10³ = 0
456 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
M = 147,5 N.m
Cargas Combinadas
8.17. A junta está sujeita a uma força de 1,25 kN, como mostra a figura. Faça um rascunho da distribuição da tensão normal que age na seção a-a se a seção transversal retangular do elemento tiver largura de 12 mm e espessura de 18 mm.
Figura 8.17
1.000
N=0
N = 1.000 N
V
M
750= 0
750
0,032 = 0
M = 5,5 N.m
V = 750 N
= 17,36 MPa (T)
Tensão de tração máxima:
Tensão de compressão máxima:
=
y = 8,2 mm
457 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,05 + 1.000
8,10 MPa (C)
Cargas Combinadas
8.18. A junta está sujeita a uma força de 1,25 kN, como mostra a figura. Determine o estado de tensão nos pontos A e B e faça um rascunho dos resultados em elementos diferenciais localizados nesses pontos. O dispositivo tem área de seção transversal retangular de largura 12 mm e espessura 18 mm.
Figura 8.18
1.000
N=0
N = 1.000 N
V
750= 0
M
V = 750 N
750
0,05 + 1.000
M = 5,5 N.m Tensão Normal: = 4,63 MPa (T)
=
8,10 MPa (C)
Tensão de Cisalhamento: = 5,21 MPa
= 0 MPa
QB = 0
458 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,032 = 0
Cargas Combinadas
8.19. A serra tem lâmina ajustável que está apertada com uma tensão de 40 N. Determine o estado de tensão nos pontos A e B da estrutura.
Figura 8.19 Seção A
M
40
N=0
40
0,1 = 0
N = 40 N M = 4 N.m
Seção B
M
V
40 = 0
40
0,05 = 0
Tensão Normal: = 123 MPa (T)
= 62,5 MPa (T)
459 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
V = 40 N M = 2 N.m
Cargas Combinadas
8.20. Determine as tensões normais e máximas na seção a do suporte quando a carga é aplicada em x = 0.
Figura 8.20
V
4=0
Mx 4.000
V = 4 kN
0,015 = 0
M = 60 N.m =
26,7 MPa (C)
= 13,3 MPa (T)
8.21. Determine as tensões normais mínimas e máximas na seçãoa do suporte quando a carga é aplicada emx = 50 mm.
Figura 8.21 V Mx 4.000
4=0
V = 4 kN
0,035 = 0
M = 140 N.m =
53,3 MPa (C)
= 40 MPa (T)
460 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.22. A força vertical P age na parte inferior da chapa cujo peso é desprezível. Determine a distância máxima d até a borda na qual aquela força pode ser aplicada de modo a não produzir nenhuma tensão de compressão na seção a-a da chapa. A chapa tem espessura de 10 mm, eP age ao longo da linha central dessa espessura.
Figura 8.22
N
P=0
N=P
M (d 0,07 5)P = 0
M = (d 0,075)P = 666,67P
Para que a tensão de compressão seja nula, 666,67P
26.666,67(d
26.666,67P(d
0,075)
= 0, logo:
0,075)P = 0, solucionando a equação obtem-se: d = 0,100 m = 100 mm
461 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.23. A força vertical P = 600 N age na parte inferior da chapa, cujo peso é desprezível. A chapa tem espessura de 10 mm, e P age ao longo da linha central dessa espessura, de modo que d = 100 mm. Desenhe um gráfico da distribuição da tensão normal que age ao longo da seçãoa-a.
Figura 8.23
N M
(0,100
P=0
N = 600 N
0,075)(600) = 0
M = 15 N.m
Tensão de tração maxima na chapa: = 800 kPa
Tensão de compressão maxima na chapa: = 0 kPa
462 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
*8.24. A cabine de teleférico e seus passageiros pesam 7,5 kN, e o centro de gravidade do conjunto está em G. O braço de suspensão AE tem área da seção transversal quadrada de 38 mm por 38 mm e está preso por pinos acoplados às suas extremidades A e E. Determine a maior tensão de tração desenvolvida nas regiõesAB e DC do braço.
Figura 8.24 Região DC
7,5 M
7,5
N=0
N = 7,5 kN
0,375 = 0
M = 2,8125 kN.m = 312,73 MPa (T)
Região AB
7,5
N=0
N = 7,5 kN
M = 0 N.m = 5,19 MPa (T) 463 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.25. O suporte em degrau está sujeito à carga de apoio de 50 kN. Determine as tensões de compressão máxima e mínima no material.
Figura 8.25 N
50 = 0 My = 50
N = 50 kN 0,02 = 1 kN.m
Tensão de compressão máxima na base superior:
= 8,33 MPa (C)
Tensãodecompressãomáximanabaseinferior:
=
11MPa=
11 MPa
=0
8.26. A barra tem diâmetro de 40 mm. Se submetida a uma força de 800 N, como mostra a figura, determine as componentes da tensão que age no ponto A e mostre os resultados em um elemento de volume localizados nesse ponto.
Figura 8.26 400 V
N=0
N = 400 N
692,82 = 0 Mx 692,82
N = 50 N 0,2 = 0
Mx = 138,564 N.m
= 0,318 MPa
= 0,735 MPa
464 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.27. Resolva o Problema 8.26 para o ponto B.
Figura 8.27 400 V
N=0
N = 400 N
692,82 = 0
N = 50 N
Mx
692,82
0,2 = 0
Mx = 138,564 N.m =
21,7 MPa
= 0 MPa
*8.28. Visto que o concreto só pode suportar pouca ou nenhuma tração, esse problema pode ser evitado se o concreto for protendido com cabos ou hastes. Considere a viga simplesmente apoiada como mostra a figura, que tem seção transversal retangular de 450 mm por 300 mm. Se o peso específico do concreto for 24 kN/m³, determine a tração exigida na haste AB, que se estende por toda a viga, de modo que nenhuma tensão de tração seja desenvolvida na seção central a-a da viga. Despreze o tamanho da haste e qualquer deflexão da viga.
Figura 8.28 W=
= 24
0,3
0,45 T
M
3,888
1,2 + 3,888
2,4 = 7,776 kN
N=0
0,6 + 0,175T = 0
N=T M = (2,3328
A tensão de tração na viga será:
0,175T) kN.m = 230,4
Como sabemos que nenhuma tensão de tração é desenvolvida na viga na seção a-a, então: 230,4
24,6914T = 0 , resolvendo a equação, obtem-se: T = 9,331 kN 465
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
24,6914T
Cargas Combinadas
8.29. Resolva o Problema 8.28 se o diâmetro da haste for 12 mm. Use o método da área transformada discutido na seção 6.6. Eaço = 200 GPa, Ec = 25 GPa.
Figura 8.29 W=
= 24
0,3
0,45 M
2,4 = 7,776 kN 3,888
T
1,2 + 3,888
0,6 + 0,175T = 0
=8
N=0
M = (2,3328
N=T 0,175T) kN.m
= 791,681348 mm²
= 226,02027 mm = 0,002302229 m4 = 226,953926 226,953926
24,389657T
24,389657T = 0, resolvendo a equação, obtem-se: T = 9,305 kN
8.30. O bloco está sujeito às duas cargas axiais mostradas na figura. Determine a tensão normal desenvolvida nos pontos A e B. Despreze o peso do bloco.
Figura 8.30 N
250
My = 500 Mz = 500
466 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
500 = 0
0,0375 0,025
N = 750 N
250
0,0375 = 9,375 N.m
250
0,025 = 6,25 N.m =
0,200 MPa (C)
=
0,600 MPa (C)
Cargas Combinadas
8.31. O bloco está sujeito às duas cargas axiais mostradas na figura. Faça um rascunho da distribuição da tensão normal que age na seção transversal no cortea-a. Despreze o peso do bloco.
Figura 8.31
N My= 500 Mz= 500
250
500 = 0
0,0375 0,025
250 250
N = 750 N 0,0375 = 9,375 N.m 0,025 = 6,25 N.m =
0,200 MPa (C)
=
0,600 MPa (C)
=
0,200 MPa (C)
= 0,200 MPa (T)
467 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
*8.32. Uma barra de seção transversal quadrada de 30 mm por 30 mm tem 2 m de comprimento e é segura pela mão por uma das extremidades, com a outra volta para cima. Se tiver massa de 5 kg/m, determine o maior ângulo em relação à vertical no qual ela pode ser segura sem sofrer tensão de tração perto da mão.
Figura 8.32 N M
5
2
5
2
9,81
cos
9,81xsen
=0 1=0
N = 98,1cos M=98,1sen
= 0 (Tensão de tração perto da mão é nula)
tang(
= 0,0050
8.33. Resolva o Problema 8.32 se a barra tiver seção transversal circular de 30 mm de diâmetro.
Figura 8.33 N M
5 5
2 2
9,81
cos
9,81 s en
=0 1=0
N = 98,1cos M=98,1sen
= 0 (Tensão de tração perto da mão é nula)
tang(
= 0 ,00375
468 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
medido
Cargas Combinadas
8.34. A viga de abas largas está sujeita à carga mostrada na figura. Determine as componentes da tensão nos pontos A e B e mostre os resultados em um elemento de volume em cada um desses pontos. Use a fórmula do cisalhamento para calcular a tensão de cisalhamento.
Figura 8.34
2,5
0,5
12,5
1,5
R1 2,5
12,5
15 + 14,375 = 0
15,625 M
15,625
2,5
15
2,5 + 4R2 = 0
V=0
1 + 2,5
R2 = 14,375 kN R
1
= 15,625 kN
V1 = 13,125 kN
0,5 = 0
M = 14,375 kN.m = 1,91502
QA = 0
QB= 0,050 =
0,050
0,012 + 0,081
65,31 MPa (C)
0,012 = 1,272
10
-4
m3 = 18,77 MPa (T)
= 0 MPa
= 7,265 MPa
469 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,1
10-5 m4
Cargas Combinadas
8.35. A viga em balanço é usada para suportar a carga de 8 kN. Determine o estado de tensão nos pontos A e B e trace um rascunho dos resultados sobre os elementos diferenciais localizados em cada um desses pontos.
Figura 8.35 Reações:
V M
8=0
8
V = 8 kN
3=0
M = 24 kN.m = 1,67333
QA= 2 QB= 0,015
0,0375
0,020
= 358,6 MPa
0,01
0,010
0,025 = 1,875
2 + 1,875
359 MPa (T)
= 4,48 MPa
-5
-5
= 2,475
m3 10
-5
m3 = 71,7 MPa (T)
= 5,92 MPa
470 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
10
10
10-6 m4
Cargas Combinadas
*8.36. O cilindro e peso desprezível repousa sobre um piso liso. Dtermine a distânia excêntrica
na qual a carga
pode ser posicionada de modo que a tensão normal no ponto A seja nula.
Figura 8.36 N=P
M=P =0
Resolvendo a equação, obtem-se:
8.37. A viga suporta a carga mostrada na figura. Determine o estado de tensão nos pontos E e F na seção a-a e represente os resultados em um elemento de volume diferencial localizado em cada um desses pontos.
Figura 8.37
10
2+T
Dsen
4+T
BDcos
0,3=0
TBD = 7,5758 kN
Ax
Ax = 6,061 kN 471
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
7,5758
0,6 = 0
Ay + 7,5758
0,8
Ay = 15,454 kN
20 = 0
Cargas Combinadas
Seção a-a
6,061
N=0
15,454 10
N = 6,061 kN
V=0
M + 10
0,5
= 4,31 0,1
1=0
M = 10,454 kN.m
V = 5,454 kN
QE= 0,05
15,454
0,015 + 0,105
0,15
0,01 = 2,325
10
-4
10-5 m4
m3
QF = 0 =
=
= 1,96 MPa
1,01 MPa = 1,01 MPa (C)
27,7 MPa = 27,7 MPa (C)
= 5,92 MPa
8.38. O elo do metal está sujeito à força axial P = 7 kN. Sua seção transversal srcinal deve ser alterada pelo corte de uma ranhura circular em um lado. Determine a distância a até onde a ranhura pode penetrar na seção transversal de modo que a tensão de tração não ultrapasse adm = 175 MPa. Indique um modo melhor de remover o material até essa profundidade da seção transversal e calcule a tensão de tração para esse caso. Despreze os efeitos da concentração de tensão.
Figura 8.38 472 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Continua...
Cargas Combinadas
, com isso, tem-se que:
175a²
28,56a + 1,0976 = 0, solucioando a equação do segundo grau, obtem-se: a = 0,0619 m = 61,9 mm = 15,5 MPa
8.39. Determine o estado de tensão no ponto A quando a viga está sujeita à força de 4 kN no cabo. Indique o resultado como um elemento de volume diferencial.
Figura 8.39
Cx
4=0
4
Cx = 4 kN
0,625
3,75C y = 0
Cy = 0,667 kN
N
4=0
V
N = 4 kN
0,667 = 0
V = 0,667 kN
M
0,667
1=0
M = 0,667 kN.m
= 8,28 QA= 0,05
0,1
0,015 + 0,11
0,15
0,02 = 4,05
10
-4
10-5 m4
m3
= 0,444 MPa (T)
= 0,217 MPa
473 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
*8.40. Determine o estado de tensão no ponto B quando a viga está sujeita à força de 4 kN no cabo. Indique o resultado como um elemento de volume diferencial.
Figura 8.40
Cx
4=0
4
Cx = 4 kN
N
4=0
N = 4 kN
V
0,625
3,75C y = 0
Cy = 0,667 kN
=
0,667 = 0
0,522 MPa = 0,522 MPa (C)
V = 0,667 kN
= 8,28
= 0 MPa
10-5 m4
=
0,522 MPa = 0,522 MPa (C)
= 0 MPa
8.41. O pino de suporte sustenta a carga de 3,5 kN. Determine as componentes da tensão no elemento estrutural do suporte no ponto A. O suporte tem 12 mm de espessura.
Figura 8.41 474 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Continua...
Cargas Combinadas
Ncos(60°)
Vcos(30°) = 0 [1]
Nsen(60°) + Vsen(30°)
3,5 = 0 [2]
Solucionando [1] e [2], obtem-se: N = 3,0311 kN e V = 1,75 kN M
(3,5)(0,032
0,025) = 0
M = 0,0245 kN.m = 24,5 N.m
23,78 MPa (C)
=
= 0 MPa
QA = 0
8.42. O pino de suporte sustenta a carga de 3,5 kN. Determine as componentes da tensão no elemento estrutural do suporte no ponto B. Suporte tem 12 mm de espessura.
Figura 8.42
Ncos(60°)
Vcos(30°) = 0 [1]
Nsen(60°) + Vsen(30°)
3,5 = 0 [2]
Solucionando [1] e [2], obtem-se: N = 3,0311 kN e V = 1,75 kN M
(3,5)(0,032
0,025) = 0
M = 0,0245 kN.m = 24,5 N.m = 51,84 MPa (T)
= 0 MPa
QB = 0 475 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.43. O painel de sinalização uniforme pesa 7,5 kN e é suportado pelo tubo AB que tem raio interno de 68 mm e raio externo de 75 mm. Se a parte frontal do painel estiver sujeita a uma pressão uniforme do vento p = 8 kN/m², determine o estado de tensão nos pontos C e D. Mostre os resultados em um elemento de volume diferencial localizado em cada um desses pontos. Despreze a espessura do painel de sinalização e considere que ele está apoiado ao longo da borda do tubo.
Figura 8.43 P=8
Nx = W = 7,5 kN
My = 1,8
3,6
1,8 = 51,84 kN
Tx = 1,8
Vy = P = 51,84 kN
Mz = 1,8
7,5 = 13,5 kN.m
51,84 = 93,312 kN.m
51,84 = 93,312 kN.m
= 111,5 MPa (T)
= 866,2 MPa (T)
=
360,8 MPa
= 434,3 MPa
476 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
*8.44. Resolva o Problema 8.43 para os pontos E e F.
Figura 8.44
P=8
Nx = W = 7,5 kN
My = 1,8
3,6
1,8 = 51,84 kN
Tx = 1,8
Vy = P = 51,84 kN
Mz = 1,8
7,5 = 13,5 kN.m
51,84 = 93,312 kN.m
51,84 = 93,312 kN.m
=
=
870,9 MPa (C) 128,05 MPa (C)
=
434,3 MPa
= 467,2 MPa
477 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.45. A barra tem diâmetro de 40 mm. Se sua extremidade for submetida às duas componentes de força mostradas na figura, determine o estado de tensão no ponto A e mostre os resultados em um elemento de volume diferencial localizado nesse ponto.
Figura 8.45
Nx = 0 N
T x = 0 N.m
Vz = 500 N
Vy = 300 N
My = 500
0,15 = 75 N.m
Mz = 300
0,15 = 45 N.m
= 11,9 MPa (T)
=
0,318 MPa
8.46. Resolva o Problema 8.45 para o ponto B.
Figura 8.46
478 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Continua...
Cargas Combinadas
Nx = 0 N
T x = 0 N.m
Vz = 500 N
Vy = 300 N
My = 500
Mz = 300
0,15 = 75 N.m
0,15 = 45 N.m
= 7,16 MPa (C)
= 0,531 MPa
8.47. O guindaste AB consiste em tubo que é usado para levantar o feixe de hastes que tem massa total de 3 Mg e centro de massa em G. Se o tubo tiver diâmetro externo de 70 mm e 10 mm de espessura de parede, determine o estado de tensão que age no ponto C. Mostre os resultados em um elemento de volume diferencial localizado nesse ponto. Despreze o peso do tubo.
Figura 8.47 W=3
10 3
9,81 = 29,43 kN
T = 20,81 kN
N
20,81cos(45°) = 0
N = 14,715 kN
M
20,81sen(45°)
1,5 + 14,715
20,81cos(45°)
0,075 = 0
M = 1,10362 kN.m
=
479 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
1,5
52,1 MPa = 52,1 MPa (C) e
= 0 MPa
Cargas Combinadas
*8.48. O guindaste AB consiste em um tubo que é usado para levantar o feixe de hastes que tem massa total de 3 Mg e centro de massa em G. Se o tubo tiver diâmetro externo de 70 mm e 10 mm de espessura da parede, determine o estado de tensão que age no ponto D. Mostre os resultados em um elemento de volume diferencial localizados nesse ponto. Despreze o peso do tubo.
Figura 8.48
W=3
10 3
9,81 = 29,43 kN T = 20,81 kN
N M
20,81sen(45°)
20,81cos(45°) = 0
1,5 + 14,715
1,5
N = 14,715 kN
20,81cos(45°) =
= 0 MPa
480 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,075 = 0
M = 1,10362 kN.m
7,81 MPa = 7,81 MPa (C)
Cargas Combinadas
8.49. O painel de sinalização está sujeito à carga uniforme do vento. Determine as componentes da tensão nos pontos A e B no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Mostre os resultados em um elemento de volume localizado em cada um desses pontos.
Figura 8.49 P = 1,5
Vx = 3 kN
My = 3
2
1 = 3 kN
Nz = 0 kN
Vy = 0 kN
Tz = 3
3,5 = 10,5 kN.m
1 = 3 kN.m
= 107 MPa
= 15,3 MPa
= 0 MPa
= 14,8 MPa
481 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.50. O painel de sinalização está sujeito a carga uniforme do vento. Determine as componentes da tensão nos pontos C e D no poste de sustentação de 100 mm de diâmetro. Mostre os resultados em um elemento de volume localizado em cada um desses pontos.
Figura 8.50
P = 1,5
Vx = 3 kN
My = 3
2
1 = 3 kN
Nz = 0 kN
Vy = 0 kN
Tz = 3
3,5 = 10,5 kN.m
=
1 = 3 kN.m
107 MPa= 107 MPa (C)
= 15,3 MPa
= 0 MPa
= 15,8 MPa
482 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.51. O eixo de 18 mm de diâmetro é submetido à carga mostrada na figura. Determine as componentes da tensão no ponto A. Trace um rascunho dos resultados em um elemento de volume localizado nesse ponto. O mancal em C só pode exercer as componentes de forçaCy e Cz sobre o eixo, e o mancal de encosto emD só pode exercer as componentes de força Dx, Dy e Dz sobre o eixo.
Figura 8.51 Vz = 600 N My = 600 =
0,25 = 150 N.m
262 MPa (C)
= 0 MPa
*8.52. Resolva o Problema 8.51 para as componentes da tensão no ponto B.
Figura 8.52 Vz = 600 N My = 600
= 0 MPa
= 3,14 MPa
483 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,25 = 150 N.m
Cargas Combinadas
8.53. A haste maciça está sujeita à carga mostrada na figura. Determine o estado de tensão desenvolvido no material no ponto A e mostre os resultados em um elemento de volume diferencial nesse ponto.
Figura 8.53 Nx = 10 kN Tx = 200 N.m Mz = 10
0,03 = 0,3 kN.m = 300 N.m
= 17,7 MPa (T)
= 4,72 MPa
8.54. A haste maciça está sujeita à carga mostrada na figura. Determine o estado de tensão desenvolvido no material no ponto B e mostre os resultados em um elemento de volume diferencial nesse ponto.
Figura 8.54 Nx = 10 kN Vy = 10 kN Tx= 10.000 Mz = 10 =
200 = 100 N.m 0,15 = 1,8 kN.m
81,3 MPa = 81,3 MPa (C)
484 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,03
0,03 + 10
= 2,36 MPa
Cargas Combinadas
8.55. A haste maciça está sujeita à carga mostrada na figura. Determine o estado de tensão desenvolvido no material no ponto C e mostre os resultados em um elemento de volume diferencial nesse ponto.
Figura 8.55
Nx = 10 kN
Tx = 10.000
0,03
200
Vz = 15 kN
Vy = 10 kN
15.000
Mz = 10
0,03 =
350 N.m
0,03 + 10
My = 15
0,15 = 2,25 kN.m
0,45 = 4,8 kN.m
=
103M Pa = 103 MPa (C)
= 3,54 MPa
485 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
*8.56. A haste maciça de 25 mm de diâmetro está sujeita às cargas mostradas na figura. Determine o estado de tensão no ponto A e mostre os resultados em um elemento diferencial localizado nesse ponto.
Figura 8.56
Nx = 375 N
Tx = 400
0,075 = 30 N.m
Vz = 500 N
Vy = 400 N
My = 500
0,2
375
Mz = 400
0,075 = 71,875 N.m
= 52,9 MPa (T)
=
486 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
11,14 MPa
0,2 = 80 N.m
Cargas Combinadas
8.57. A haste maciça de 25 mm de diâmetro está sujeita às cargas mostradas na figura. Determine o estado de tensão no ponto B e mostre os resultados em um elemento diferencial localizado nesse ponto.
Figura 8.57
Nx = 375 N
T x = 400
0,075 = 30 N.m
Vz = 500 N
Vy = 400 N
My = 500
0,2
375
Mz = 400
0,075 = 71,875 N.m
=
46,1 MPa (C)
=
487 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
10,86 MPa
0,2 = 80 N.m
Cargas Combinadas
8.58. A lança de guindaste é submetida a uma carga de 2,5 kN. Determine o estado de tensão nos pontos A e B. Mostre os resultados em um elemento de volume diferencial localizado em cada um desses pontos.
Figura 8.58
V = (2,5)(3/5) = 1,5 kN N = (2,5)(4/5) = 2 kN M = (2,5)(3/5)(2,4) + (2,5)(4/5)(1,5) = 6,6 kN.m = 3,928275 A=2
0,012
0,075 + 0,075
10-6 m4
0,012 = 0,0027 m²
QA = QB = 0 = 83,34 MPa (T)
=
488 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
84,75 MPa (C)
= 0 MPa
= 0 MPa
Cargas Combinadas
8.59. A pilastra de alvenaria está sujeita à carga de 800 kN. Determine a equação da reta y = f(x) ao longo da qual a carga pode ser posicionada sem provocar tensão de tração na pilastra. Despreze o peso da pilastra.
Figura 8.59
Nz = 800 kN
Mx = 800y
My = 800x kN.m = 118,52x + 79,012y
59,26
Como a carga não provoca tensão de tração na pilastra, logo: Isolando y na equação, obtem-se: y = 0,75
.
1,5x
*8.60. A pilastra de alvenaria está sujeita à carga de 800 kN. Se x = 0,25 m e y = 0,5 m, determine a tensão normal em cada canto A, B, C, D (não mostrado na figura) e trace a distribuição da tensão na seção transversal. Despreze o peso da pilastra.
Figura 8.60
Nz = 800 kN
Mx = 800
0,5 = 400 kN.m
489 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
My = 800
0,25 = 200 kN.m
Continua...
Cargas Combinadas
= 9,88 kPa (T)
=
49,4 kPa = 49,4 kPa (C)
=
128 kPa = 128 kPa (C)
=
69,1 kPa = 69,1 kPa (C)
8.61. A barra de distribuição de peso carregada simetricamente é usada para levantar o tanque de 10 kN (~1 tonelada). Determine o estado de tensão nos pontos A e B e indique os resultados em elementos de volumes diferenciais.
Figura 8.61
2Tcos(30°)
10 = 0
N = 5,7735sen(30°) = 2,89 kN
V = 5,7735cos(30°) = 5 kN
M = 5,7735
cos(30°)
M = 2,25 kN.m
T = 5,7735 kN
= 218,31 MPa (T)
= 2,31 MPa (T)
= 0 MPa
= 6 MPa
490 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,45
Cargas Combinadas
8.62. Um poste com as dimensões mostradas na figura está sujeito à carga de apoioP. Especifique a região na qual essa carga pode ser aplicada sem provocar o desenvolvimento de tensão de tração nos pontos A, B, C e D.
Figura 8.62
Nx = P
Mz = Pey
My = Pez
= 6a² Como só há desenvolvimento de tensão de compressão, segue a condição:
Reduzindo a inequação, obtem-se: 6ey + 18ez < 5a
491 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.63. O homem tem massa de 100 kg e centro de massa emG. Se ele mantiver na posição mostrada na figura, determine a tensão de tração máxima e a tensão de compressão máxima desenvolvida na seção a-a da barra curva. Ele é suportado uniformemente pelas duas barras, e cada uma delas tem diâmetro de 25 mm. Considere que o piso é liso.
Figura 8.6
W = 100 981
0,35
2R+1 254,33
9,81 = 981 N 1,35R2 = 0 981 = 0
R2 = 254,33 N R
1
= 363,33 N = 3,02524
10-3 m
= 0,162259 m
N M
363,33 = 0
363,33(0,3 + 0,162259) = 0
N = 363,33 N M = 167,95 N.m = 103 MPa (T)
= 492 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
117 MPa = 117 MPa (C)
Cargas Combinadas
8.3 - PROBLEMAS DE REVISÃO *8.64. O bloco está sujeito às três cargas axiais mostradas na figura. Determine a tensão normal desenvolvida nos pontos A e B. Despreze o peso do bloco.
Figura 8.64
Nz = 500 + 250 + 1.250 = 2.000 N Mx =
250
My = 250
0,1625 + 1.250 0,05 + 1.250
0,0375 + 500 0,1
500
0,1 = 87,5 N.m 10 -4 m4
= 2,8958333
= 7,08333
A = 0,1
0,325 + 2
0,05
493 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
0,0375 = 25 N.m
10-5 m4
0,075 = 0,04 m² =
0,1703 MPa (C)
=
0,0977 MPa (C)
Cargas Combinadas
8.65. Se P = 15 kN, desenhe o gráfico da distribuição de tensão que age na seção transversal a-a do elo fora de centro.
Figura 8.65 N M
15
15 = 0
0,055 = 0
N = 15 kN M = 0,825 kN.m = 825 N.m = 228 MPa (T)
=
168 MPa = 168 (C)
y = 28,8 mm
8.66. Determine o valor da cargaP provocará a tensão normal máxima
máx
= 200 MPa na seção a-a do elo.
Figura 8.66
N M
P
P=0
0,055 = 0
N=P M = 0,055P
P = 13,2 kN
494 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.67. A pressão do ar no cilindro será aumentada se forem exercidas as forçasP = 2 kN nos dois pistões, cada qual raio de 45 mm. Se a espessura da parede do cilindro for 2 mm, determine o estado de tensão na parede do cilindro.
Figura 8.67
= 0,31438 MPa = 7,07 MPa
Determine a força queultrapasse pode ser exercida em cada um tem dos dois de modo que a componente da *8.68. tensão circunferencial no máxima cilindro Pnão 3 MPa. Cada pistão raio pistões de 45 mm e espessura da parede do cilindro é 2 mm.
Figura 8.68
495 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.69. O parafuso da prensa exerce uma força de compressão de 2,5 kN nos blocos de madeira. Determine a tensão normal máxima desenvolvida ao longo da seção a-a. Nesse lugar, a seção transversal é retangular com dimensões 18 mm por 12 mm.
Figura 8.69
N M
2,5
2,5 = 0 0,1 = 0
N = 2,5 kN = 2.500 N M = 0,25 kN.m = 250 N.m = 397,4 MPa (T)
8.70. O suporte de parede tem espessura de 6 mm e é usado para suportar as reações verticais da viga carregada, como mostra a figura. Se a carga for transferida uniformemente para cada alça do suporte, determine o estado de tensão nos pontos C e D da alça B. Considere que a reação verticalF nessa extremidade age no centro e na borda do suporte, como mostra a figura.
Figura 8.70 496 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Continua...
Cargas Combinadas
50
0,6 + 54
2,1
M = 47,8
3FB = 0
FB = 47,8 kN
0,025 = 1,195 kN.m
= 79,67 MPa (T)
=
= 0 MPa
159,33 MPa (C)
= 0 MPa
8.71. O apoio está sujeito à carga de compressãoP. Determine as tensões normais absolutas máximas e mínimas que agem no material.
Figura 8.71 N
P=0
N=P M = 0,5Px
A = a(a + x)
Para que a tensão normal de compressão seja máxima,
, portanto:
; resolvendo a derivada, obtem-se: x = 0,5a, sendo assim:
497 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Continua...
Cargas Combinadas
Para que a tensão normal de tração seja mínima:
, portanto:
; resolvendo a derivada, obtem-se: x = 2a, sendo assim:
*8.72. O apoio tem seção transversal circular, cujo raio aumenta linearmente com a profundidade. Se for submetido à carga de compressão P, determine as tensões normais máxima e mínima que agem no material.
Figura 8.72
d' = 2r + x
A = (r + 0,5x)²
Para que a tensão normal de compressão seja máxima,
, portanto:
, resolvendo a derivada, obtem-se: x = 0,4r, sendo assim:
Para que a tensão normal de tração seja mínima:
, portanto:
, resolvendo a derivada, obtem-se: x = 2r, sendo assim:
498 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.73. A tampa do tanque cilíndrico é parafusada ao tanque ao longo das abas. O tanque tem diâmetro interno de 1,5 m e espessura da parede de 18 mm. Considerando que a maior tensão normal não deve ultrapassar 150 MPa, determine a pressão máxima que o tanque pode sustentar. Calcule também o número de parafusos necessários para prender a tampa ao tanque se cada um deles tiver diâmetro de 20 mm. A tensão admissível para os parafusos é adm ( )p = 180 MPa.
Figura 8.73
= 20.250 MPa
= 113 parafusos
8.74. A tampa do tanque cilíndrico é parafusada ao tanque ao longo das abas. O tanque tem diâmetro interno de 1,5 m, e a espessura da parede é 18 mm. Se a pressão no interior do tanque forp = 1,20 MPa, determine a força nos 16 parafusos utilizados para prender a tampa ao tanque. Além disso, especifique o estado de tensão na parede do tanque.
Figura 8.74
Logo, a força em cada parafuso será:
= 132,54 = 50 MPa = 25 MPa
499 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
133 kN
Cargas Combinadas
8.75. Um pé-de-cabra é usado para retirar o prego emA. Se for necessária uma força de 40 N, determine as componentes da tensão na barra nos pontosD e E. Mostre os resultados em um elemento de volume diferencial localizado em cada um desses pontos. A barra tem seção transversal circular com diâmetro de 12 mm. Não ocorre deslizamento em B.
Figura 8.75
P = 7,071 N
V
7,071 = 0
V = 7,071 N M = 0,8839 N.m
= 5,21 MPa (T)
= 0 MPa
= 0 MPa
= 0,0834 MPa
500 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.76. O parafuso de prensa exerce uma força de compressão de 2,5 kN nos blocos de madeira. Faça um rascunho da distribuição de tensão ao longo da seção a-a da prensa. Nesse lugar, a seção transversal é retangular com dimensões 18 mm por 12 mm.
Figura 8.76
2,5 M
2,5
N=0 0,1 = 0
N = 2,5 kN = 2.500 N M = 0,25 kN.m = 250 N.m = 397,4 MPa (T)
=
y = 8,73 mm
501 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
374,2 MPa (C)
Cargas Combinadas
8.77. O parafuso de prensa é composto pelos elementos estruturaisAB e AC conectados por um pino em A. Se a força de compressão em C e B for 180 N, determine o estado de tensão no ponto F e indique os resultados em um elemento de volume diferencial. O parafuso DE está sujeito somente a uma força de tração ao longo de seu eixo.
Figura 8.77
30T
M
180
180
70 = 0
0,055 + 420 420
180 =
0,015 = 0
V=0
502
M = 3,6 N.m V = 240 N
6,4 MPa = 6,40 MPa (C)
= 0 MPa
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
T = 420 N
Cargas Combinadas
8.78. O olhal está sujeito à força de 250 N. Determine as tensões de tração e compressão máxima na seção a-a. A seção transversal é circular e tem 6 mm de diâmetro. Use a fórmula da viga curva para calcular a tensão de flexão.
Figura 8.78
= 8,585756
10-4 m
= 0,03293167 m
250 M
250
N=0
0,03293167 = 0
N = 250 N M = 8,233 N.m =
354,4 MPa (C)
= 425,3 MPa (T)
503 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
Cargas Combinadas
8.79. Resolva o Problema 8.78 se a seção transversal for quadrada, de dimensões 6 mm por 6 mm.
Figura 8.79
= 1,093929
10-3 m
= 0,0329089 m
250 M
250
N=0
0,0329089 = 0
N = 250 N M = 8,2272 N.m =
208,4 MPa (C)
= 250,2 MPa (T)
504 Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016
