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CAPÍTULO 2: ESFUERZO Y DEFORMACION
BeerF.,etal., Mecánica de Materiales,
Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012. Capitulo 2
Wilson Calle
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Analizar el comportamiento de un material mediante los diagramas Esfuerzo – Deformación.
Analizar y diseñar estructuras considerando las deformaciones causadas por fuerzas externas que actúan en ellas. Calcular las fuerzas presentes en estructuras de ingeniería estáticamente indeterminadas considerándolas como deformables y analizando las deformaciones en sus diversos elementos. Hallar la distribución real de esfuerzos dentro de un elemento es analizando las deformaciones que tienen lugar en dicho elemento.
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La idoneidad de una estructura o máquina dependen de las deformaciones en la estructura así como también de los esfuerzos inducidos al aplicarse cargas. Los análisis estáticos no son suficientes.
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Considerar a las estructuras como deformables permite la determinación de las fuerzas y las reacciones de los miembros que son estáticamente indeterminados.
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La determinación de la distribución de esfuerzos en un miembro requiere de la consideración de las deformaciones en el miembro.
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La deformación producida por una carga P se le conocerá como deformación total y esta representada por la letra griega δ (delta).
Diagrama Carga - Deformación 5
La deformación unitaria normal en una varilla bajo carga axial se define como la deformación por unidad de longitud de dicha varilla y se representa mediante la letra griega ϵ (épsilon).
Deformación unitaria para secciones variables
Deformación unitaria para secciones constantes 6
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P A
L
2 P 2 A
P A
L
M áquina par a ensayos de tracción
P A 2 2 L
L
Probeta nor mali zada
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Es una característica del material particular que se ensaya y contiene información importante sobre sus propiedades mecánicas y el tipo de comportamiento.
σu = σY = σB
σ p =
Di agrama Esfuerzo – Deform ación acer o dul ce o acero al bajo carbono
En el caso del aluminio y de muchos otros materiales dúctiles, el inicio de la cedencia no se caracteriza por una porción horizontal de la curva de esfuerzo-deformación.
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El esfuerzo a la fluencia se obtiene dibujando por el punto del eje horizontal de abscisa una línea paralela a la porción inicial en línea recta del diagrama de esfuerzo-deformación con una desviación del 0.2%
Di agrama Esfuerzo – Defor mación de un a aleación de alu mi ni o
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Una medida estándar de la ductilidad de un material es su porcentaje de alargamiento, que se define como:
Otra medida de la ductilidad que en ocasiones se emplea es el porcentaje de reducción de área, definido como:
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Para los materiales frágiles, no hay diferencia entre la resistencia última y la resistencia a la fractura. Además, la deformación unitaria al momento de la fractura es mucho menor para los materiales frágiles que para los materiales dúctiles.
Di agrama esfu erzo-defor mación para un h ierro colado.
Probeta normal izada con r otur a fr ágil
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Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para materiales en compresión difieren de las curvas de tensión. Los metales dúctiles como el acero, el aluminio y el cobre tienen límites de proporcionalidad en compresión muy cercanos a los de tensión. Después que inicia la fluencia, el comportamiento es muy diferente, cuando el material se comprime, se abulta hacia fuera en los lados y adopta una forma como de barril. Al aumentar la carga, la muestra se aplana y presenta una resistencia mucho mayor a un acortamiento adicional. 13
El área de la sección transversal real de una muestra ensayada en compresión es mayor que el área inicial, el esfuerzo en un ensayo de compresión es menor que el esfuerzo nominal. Las curvas esfuerzo - deformación unitaria para materiales frágiles a compresión y tensión son similares, pero los esfuerzos últimos en compresión son mucho mayores que los de tensión.
Di agrama esfu erzo – deformación un itar ia par a el cobre en compr esión.
Los materiales frágiles en realidad se fr acturan con la carga máxima. 14
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Debajo del esfuerzo de cedencia.
E
E = Módulo de Elasticidad o módulo de Young • La
Resistencia es afectada por la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manufactura, pero la rigidez (modulo de elasticidad) no se afecta.
El máximo valor de esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material dado se conoce como límite de proporcionalidad.
•
Di agrama esfu erzo defor mación para el hi err o y dif erentes ti pos de acer o
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•
De la ley de Hooke:
•
E
variaciones en las cargas, secciones transversales y propiedades de los materiales,
E
P AE
De la definición de deformación unitaria:
•
L
Igualando y resolviendo para la deformación:
• Con
• Con
variación de la sección transversal a lo largo de la longitud,
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Dos varillas cilíndricas están unidas en B y son sometidas a la carga que se muestra en la figura. La varilla AB está hecha de acero (E = 200GPa) y la varilla BC de latón (E = 105GPa). Determine:
La deformación total de la varilla compuesta ABC, La deflexión del punto B.
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El cable BC de 4 mm de diámetro es de un acero con E = 200GPa. Si se sabe que el máximo esfuerzo en el cable no debe exceder 190MPa y que la elongación del cable no debe sobrepasar 6 mm, encuentre la carga máxima P que puede aplicarse como se muestra en la figura.
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Para la armadura de acero (E = 200GPa) y la carga mostradas en la figura, determine las deformaciones de los elementos AB y AD, si se sabe que sus respectivas áreas de sección transversal son de 2400 mm 2 y 1 800 mm2.
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Cada uno de los eslabones AB y CD esta hecho de aluminio con un modulo de elasticidad E = 10.9 x 10 6 psi y una sección transversal de 0.2 in2. Conociendo que ellos soportan al miembro rígido BC, determine la deflexión del punto E.
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Estructuras en las que las fuerzas internas y las reacciones no pueden ser determinadas de un análisis estático se conocen como estáticamente indeterminados.
•
•
Una estructura será estáticamente indeterminada cuando es contenida por más soportes que los requeridos para mantener el equilibrio. 21
Método de Superposición • Las
reacciones redundantes son reemplazadas con cargas desconocidas, las que con las otras cargas deben producir deformaciones compatibles.
• Las
deformaciones debidas a las cargas y a las reacciones redundantes son determinadas de forma separada y luego sumadas o superpuestas. L
R
0
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• Un
cambio en la temperatura resulta en un cambio en longitud por deformación térmica. No hay esfuerzos asociados con la deformación térmica a no ser que la elongación sea res tringida por los soportes.
Donde: α es
el coeficiente de dilatación térmica. ΔT es la variación de temperatura. L es la longitud del elemento.
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Si la varilla AB de longitud L se coloca entre dos soportes fijos a una distancia L uno del otro, no existe esfuerzo ni deformación en esta condición inicial. Si se eleva la temperatura en T, la varilla no puede alargarse debido a las restricciones impuestas en sus extremos; la elongación d de la varilla es por lo tanto cero. Sin embargo, los soportes ejercerán fuerzas P y P iguales y opuestas sobre la varilla después de que se haya elevado la temperatura, para evitar que se elongue.
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Para determinar el esfuerzo σ creado por el cambio de temperatura ΔT, el problema por resolver es estáticamente indeterminado. Deberá calcularse la magnitud P de las reacciones en los soportes a partir de la condición de que la deformación es cero.
Utilizando el método de superposición se libera la varilla de uno de sus apoyos y se le permite alargarse libremente mientras sufre el cambio de temperatura Δ T. El esfuerzo en la varilla debido al cambio de temperatura ΔT es: 25
El esfuerzo y la deformación unitaria resultantes satisfacen la ley de Hooke, siempre y cuando no se exceda el límite elástico del material.
•
La elongación en la dirección x es acompañada por una contracción en las otras direcciones. Asumiendo que el material es isotrópico (su comportamiento depende de la dirección)
y
z 0
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La relación de Poisson y que se denota con la letra griega n (nu) se define como:
Las deformaciones axiales y laterales de todos los materiales de ingeniería tienen signos opuestos.
Las siguientes relaciones describen completamente las condiciones deformación bajo una carga axial aplicada en una dirección paralela al eje X :
de
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•
Para un elemento sometido a cargas multiaxiales, las componentes de la deformación normal que resultan de los esfuerzos normales deben ser determinados mediante el método de superposición. Esto requiere: 1) La deformación unitaria es linealmente relacionada con el esfuerzo. 2) Las deformaciones son pequeñas.
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Dos varillas cilíndricas, una de acero y la otra de latón se unen en C y están restringidas por soportes rígidos en A y en E. Para la carga mostrada y sabiendo que E a = 200GPa y El = 105GPa, determine: a) b)
las reacciones en A y en E, La deflexión del punto C.
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Una varilla que consiste en dos porciones cilíndricas AB y BC está restringida en ambos extremos. La porción AB es de acero (Ea = 200GPa, αa = 11.7x10-6/ C), y la porción BC está hecha de latón (E l =105GPa, α l = 20.9x10 -6/ C). °
°
Si se sabe que la varilla se encuentra inicialmente sin esfuerzos, determine la fuerza de compresión inducida en ABC cuando la temperatura se eleva 50 C. °
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En un ensayo estándar a tensión se somete una varilla de aluminio de 20mm de diámetro a una fuerza de tensión de P = 30kN. Si ν = 0.35 y E = 70GPa, Determine: a) b)
la elongación de la varilla en una longitud calibrada de 150 mm, El cambio en el diámetro de la varilla.
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