Capitulo 2 - Fundamentos de SEP 2015 - P1

Representación Fasorial j

Euler: e Identidad de

 cos  j sin 

En notación fasorial se puede escribir: v(t )  2 V cos( t   V ) v(t )  2 V Re e



j ( t  V )

Donde: |V| es el voltaje RMS

 

Representación Fasorial 

En términos fasoriales el voltaje RMS se expresa como: j V

V

 Ve

 V   V

v(t )

 Re 2 Ve j t e j V

V

 V cosV  j V sin  V

I

 I cos I  j I sin  I

Algunos textos usan mayúsculas en negrilla o con una barra para representar números complejos.

Representación Fasorial Dispositivo 





Dominio del tiempo

Resistencia

v(t )  Ri (t )

Inductancia

v(t )  L

Capacitancia

1

Fasor

di (t ) dt

V

 RI

V

 j LI

V



t

 C

i (t ) dt

 v(0)

0

Impedancia Z = R  jX  Z 

Z =

R 2

Notar Z es un numero complejo, no es un fasor

1

j C

 X 2

I

 =arctan(

X

R

)

Representación Fasorial 

Régimen Permanente (Steady-State) vs. Transitorio: PLOT

5000 Currenta@is@1 Currentb@is@1 Currentc@is@1

4000 3000 2000 1000 0

y

-1000 -2000 -3000 -4000 -5000 0

50

100

150

200

250

t (ms)

RP Transitorio Fasor

5

x 10 3

Transitorio 2

1

) V

RP Inicial Fasor

(

RP Nuevo Fasor

0

-1

-2

-3 150

200

250

300

Representación Fasorial Ejemplo 1: circuito RL monofásico:



R=4Ω

i(t) V(t)

~

V (t ) L=9,549 mH



2 100cos( t  30)

Frec. = 50 Hz

R

 4

Z



I

i(t)

X   L

42  32  5   36.9

10030 Z 536.9  20  6.9 Amps



 3

V



 20 2 cos( t  6.9)

Definición de Potencia Eléctrica 

Calculo de Potencia en el Tiempo

p (t )

 v(t ) i(t )

v(t)

= Vmax cos( t   V )

i (t)

= I max cos( t   I )

cos cos  p (t )





1 [cos(   )  cos(   )] 2

1 Vmax I max [cos(V   I )  2 cos(2 t  V   I )]


Calculo de Potencia Promedio

p(t ) Pavg



1 Vmax I max [cos(V 2



1

  I )  cos(2t  V   I )]

T

p(t ) dt  T 0

 

1 Vmax I max cos(V 2 V I cos(V   I ) Donde:

  I )

Definición de Potencia Eléctrica Calculo de Potencia Compleja



S

 



V I cos(V



 I )  j sin(V



 I ) 

P  jQ



P = Potencia Activa o Real (kW, MW)



Q = Potencia Reactiva (kvar, Mvar)



S = Potencia Compleja (kVA, MVA), # Complejo, no es un Fasor



Factor de Potencia (FP)= cos(ø) Si la corriente adelanta el voltaje  FP capacitivo o en adelanto Si la corriente atrasa el voltaje  FP inductivo o en atraso

 




Relación entre Potencia Activa Reactiva y Compleja

P

 S cos

Q

 S sin    S 1  pf 2

Ejemplo 2: Una carga absorbe 100kW con un FP capacitivo (-) de 0.85. Determine el ángulo entre voltaje y corriente “ø”, Q y |S|.

  -cos 1 0.85  31.8 S 

100kW

 117.6 kVA

0.85 Q  117.6sin(31.8)  62.0 kVar

Definición de Potencia Eléctrica Principio de Conservación de Potencia: 

Para cada nudo (bus) de la red:  





La suma de potencia activa entrando/saliendo al nudo debe ser cero La suma de potencia reactiva entrando/saliendo al nudo debe ser cero

Esto es consecuencia directa de la ley de corrientes de Kirchhoff, la que establece que la corriente total en cada nudo debe ser igual a cero (ΣIn=0) De aquí se deduce que la conservación de potencia es equivalente pues S = VI*


Resistencias solo consumen potencia activa:

PResistor 



2 I Resistor

R

Inductancias solo consumen potencia reactiva: 2

Q Inductor  I Inductor X L 

Capacitancias (capacitores) solo generan potencia reactiva:

QCapacitor

2

  I Capacitor X C

1 X C   C

Definición de Potencia Eléctrica Ejemplo 3: Tomando el mismo circuito del ejemplo 1, calcular la potencias activa, reactiva y compleja:



 2 100cos( t  30)  20 2 cos( t  6.9)

V (t )

i(t)

S  V I *  10030  206.9  200036.9 VA

  36.9

PR  1600W V(t)

~

0.8 lagging inductivo

SR  V R I *  4  20  6.9 206.9

R=4Ω

i(t)

FP pf =

L=9,549 mH

2

 I R

(QR  0)

SL  V L I *  3 j  20  6.9 206.9 2

QL  1200var  I X

(PL  0)


Ejemplo 4: Calcular la potencia compleja para el siguiente circuito: 5 + j 40 Ω + i(t) V(t)

~

R=100Ω

Vr=40 /0° kV -

400000 V

I



V

 400000  (5  j 40) 4000  42000  j16000  44.9 20.8 kV

S

 V I *  44.9k20.8 4000  17.9820.8 MVA  16.8  j 6.4 MVA

1000 

 4000 Amps


Ejemplo 5: Agregar un carga inductiva en paralelo y calcular la potencia compleja: 5 + j 40 Ω

i(t) V(t)

~

R=100Ω

Xl= j 100Ω

FP  0.7 lagging  70.7  pf I  564  45 Amps V  59.7 13.6 kV S  33.7 58.6 MVA  17.6  j 28.8 MVA

Z Load

Representaron de Sistemas Eléctricos 

Los sistemas eléctricos de potencia son generalmente representados como diagramas unilineales (single- o one-line diagrams) 5 + j 40 Ω

i(t) V(t)

R=100Ω

~

17.6 MW

16.0 MW

28.8 MVR

-16.0 MVR 59.7 kV

Powerworld Simulator

17.6 MW 28.8 MVR

Xl= j 100Ω

40.0 kV

16.0 MW 16.0 MVR

Compensación de Potencia Reactiva  

La compensación de reactivos reduce el flujo de corriente de línea (reducir de 564A a 400A en Ej. 5) Las ventajas son:  



 

Las perdidas de línea (igual a I2 R) se reducen Una menor corriente permite usa conductores mas pequeños o abastecer la mas carga con el mismo conductor Reduce la caída de voltaje en las líneas

La compensación reactiva es muy utilizada por las empresas eclécticas Bancos de condensadores son usados para corregir el factor de potencia a valores permitidos en la norma técnica

Compensación de Potencia Reactiva 

Ejemplo 6: Agregar un carga capacitiva en paralelo y calcular la potencia compleja: 5 + j 40 Ω

i(t) V(t)

~

R=100Ω

Z’ = Xl * Xc / (Xl+Xc) = inf.



Xl= j 100Ω

Xc=- j 100Ω

Circuito abierto, corriente nula

Compensación de Potencia Reactiva 

Ejemplo 7: Asumir una carga de 100kVA con un FP =0.8 inductivo. Corregir el FP a 0.95 inductivo mediante un banco de condensadores:

S

 80  j 60 kVA



1

 cos 0.8  36.9

FP de 0.95 requiere un ángulo Φ = cos-1(0.95) = 18.2°

Snew c o r r  80  j (60  Qcap ) 6 0 - Qcap 80 Qcap

 tan18.2  60  Qcap  26.3 kvar

 33.7 kvar

Sistemas Trifásicos (3Φ) Balanceados 

Un sistema 3Φ balanceado contiene:   

 



Tres fuentes de voltaje de igual magnitud pero desfasados en 120 ° Cargas iguales en cada fase Impedancias de línea entre generadores y cargas idénticas para cada fase

Los sistemas de transmisión son exclusivamente trifásicos Cargas monofásicas son usadas principalmente en redes de distribución de baja tensión y potencia: consumos residenciales y comerciales Ventajas de los sistemas 3Φ 



Puede trasmitir mas potencia con la misma cantidad de cables (dos veces mas de sistemas monofásicos) Máquinas 3Φ usan menos material para la misma capacidad


Corriente de neutro In en sistemas trifásicos balanceados es nula

V an V cn V b n

I n I n S

 I a  I b  I c 

V Z

(10  1    1  

* * *  Van I an  Vbn I bn  VcnI cn

*  3 VanI an




Conexiones en sistemas 3Φ: 

Estrella (Wye)



Delta (Δ)

Conexión estrella (wye):

Van V bn Vcn

 V    V     V   

V an V cn V b n




Voltaje/corriente a través de un dispositivo se define como voltaje/corriente de fase (a neutro) Voltaje/corriente entre fases se define como voltaje/corriente de línea

I Line Línea

 3 VPhase 130  3 VPhase e Fase Fase  I Phase Fase

S3

*  3 V Phase I Fase Phase Fase

V Line Línea

j 6


Conexión estrella (wye), α=0 en este caso:

Vca

Vcn

Vab -V bn Van

V bn V bc Vab

 Van  Vbn  V (1   1 ¯  120  3 V   30

Vbc

 3 V   90

Vca

 3 V   150

Voltajes de línea también son balanceados


Conexión delta ( Δ):

Ica

I b

I bc

Ia

Ic

Iab

 I ab  I ca

 3 I ab    I b  I bc  I ab Ic  I ca  I bc * S3  3 V Phase I Phase Fase Fase

Ia 

En conexiones delta los voltajes de Fase y Línea son iguales

Capitulo 2 - Fundamentos de SEP 2015 - P1

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