IIN0402 INGENIERÍA ECONÓMICA Blank/ Tarquin Capítulo 2: FACTORES
Factores:
Dinero afectado afectado por el tiempo y el interés
Flujos de efectivo se presentan de distintas formas: ◦
◦
◦
2
Valores únicos (abonos con distintos valores) Series uniformes (ejercicio en clase, pago valores iguales) Series que aumentan o disminuyen con porcentajes constantes.
Ingeniería Económica utiliza factores factores que logran transformar transformar el valor del dinero en el tiempo.
Factores:
Dinero afectado afectado por el tiempo y el interés
Flujos de efectivo se presentan de distintas formas: ◦
◦
◦
2
Valores únicos (abonos con distintos valores) Series uniformes (ejercicio en clase, pago valores iguales) Series que aumentan o disminuyen con porcentajes constantes.
Ingeniería Económica utiliza factores factores que logran transformar transformar el valor del dinero en el tiempo.
Factores de pago único
Usualmente para para determinar cuánto dinero (F) ( F) se acumula después de n años a partir de un valor único (P), con interés compuesto compuesto (i) (i) una vez por año. F1 = P + Pi = P (1+i) Donde Pi es el e l interés acumulado sobre el valor inicial. F2 = F1 + F1 i = P (1+i) + P(1+i) *i = P+2Pi+i 2 P(1+i)2 ◦
◦
◦
◦
F= P (1+i)n 3
Factores de pago único P conocido
F= P(F/P,i,n)
i = conocido
n = conocido 0 1 2 3 4
F?
Notación estándar:
F= P (1+i)n (1+i)n = factor F/P
F= P(F/P,i,n) = encontrar F dado P, con interés i en n periodos.. periodos 4
Factores de pago único Determinar el valor futuro, dado un valor presente. F= P (1+i)n P = F/ (1+i)n
5
Factores de pago único P?
P= F(P/F, i, n)
i = conocido
n 0 1 2 3 4
F conocido
Notación estándar:
P = F [1/ (1+i)n ] [1/ (1+i)n ] = factor P/F
P= F(P/F, i, n) = encontrar P dado F, con interés i en n periodos. 6
Valores de los factores están dados en tablas desde 0.25% a 50% y para periodos desde 1 hasta 100
7
.
Ejercicios: Factores Pago único
8
Cuánto dinero tendrá el señor Rodríguez en su cuenta de ahorros en 12 años si deposita hoy $3.500 a una tasa de interés de 12% anual?
Ejercicios: Factores Pago único
F = P ( F/P , i , n) = 3.500 (F/P, 12% , 12) F = 3.500 (3,8960) = $13.636
9
Factores de pago único
Ejemplo
Presto las siguientes cantidades:
Año 0 = 600
Año 2 = 300
Año 5= 400
i= 5%
Cuál es el valor equivalente al final del año 10? F= ?
10
Factores de pago único
Ejemplo i = 5%
n= 10 0
1
2
300
3
4
5
6
F?
400
600
F= P1(F/P,i,n) + P 2 (F/P,i,n) + P3 (F/P,i,n) F= 600(1.6289) + 300(1.4775) + 400(1.2763)= 1931,1
11
Ejercicios: Factores Pago único
¿Cuál es el valor presente hace siete años de $500 si la tasa de interés es 18% anual?
12
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Ejercicios
Si una persona puede hacer hoy una inversión comercial que requiere un gasto inmediato de $3.000 para recibir $5.000 dentro de cinco años, ¿Cuál sería la tasa de retorno sobre la inversión?
P = F ( P/F, i% , n ) 3.000 = 5.000 (P/F, i%, 5) 0,6 = (P/F , i% , 5 ) 1 / (1 + i)5 = 0,6 1 / 0,6 = (1 + i)5
i =10, 76%
13
Factores en series uniformes
A= Serie uniforme de flujo de efectivos Factor de valor presente: P/A (Sé las anualidades, quiero saber mi principal) Factor de recuperación: A/P (Sé mi principal, quiero saber mis anualidades) El valor del principal está un año antes de la primera P? anualidad. i = 5% 0
14
1
A
2
3
A
4
A
5
A
n
6
A
Factores en series uniformes
P se determinará como si cada valor de A es un valor futuro F.
P= F
P
(1+i) -n
Pn = A * (1+i)-n P = A * (1+i)-n P = A * (1+i)-n P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ...
1
2
3
4
n
0 F F F F +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n}
F
(1*) *(1+i)
P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1}
15
(2*)
Factores en series uniformes Si restamos (2*) despejamos A:
A=P*
P=
16
de
(1*),
i (1+i)n (1+i)n -1
(1+i)n - 1 A* i (1+i)n
simplificamos
= P* (A/P, i, n)
= A* (P/A, i, n)
y
Ejercicio Ha solicitado un préstamo de $1000, con una tasa del 12% anual, que se paga en 5 cuotas iguales a final de cada año. Calcular:
Valor futuro equivalente del préstamo a los 5 años
F= P (F/P,12%, 5) = 1000 *(1.7623) = 1762,3
Valor de la 2ª cuota
A = P (A/P,12%, 5) = 1000 * (0.12( 1.12) 5/(1.12) 5-1)=1000*(0,2774) = 277,4 i (1+i)n /(1+i)n -1
17
Ejercicio
El costo de operación de una maquinaria es de $110,000 anuales y tiene un tiempo de vida de 4 años. La implementación de un proyecto de reingeniería lograría reducir ese costo en un 30% anual . Cuánto se podría invertir en ese proyecto si se utiliza una tasa de interés del 12% anual? Costo reducido= (0,3)(110,000)= 33,000 VP= 33,000(P/A, 12%, 4) = 33,000(3,0373) = $100,231
18
Factor de fondo de amortización y de cantidad compuesta Dados A, i y n se deberá calcular F.
F? i = interés 0
1
2
A
3
A
4
A
5
n
6
A
A
A = anualidad
19
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Factor de fondo de amortización y de cantidad compuesta Dados A, i y n se deberá calcular F. Primero llevo todas mis anualidades al presente. Luego llevo el valor presente de las anualidades al futuro. Se dedujo que= P=
20
A*
(1+i)n - 1 i (1+i)n
Factor de fondo de amortización y de cantidad compuesta
Entonces: F= A*
F =A *
(1+i)n - 1 i (1+i)n
(1+i)n
(1+i)n - 1 i
Notación estándar:
F = A * (F/A, i, n) 21
Factor de cantidad compuesta
Factor de fondo de amortización y de cantidad compuesta
Despejando para A: A=F*
i (1+i)n - 1
A = F * (A/F, i, n)
22
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Factor de amortización
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Formulas F =A *
A=F*
23
(1+i)n - 1 i
i (1+i)n - 1
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Ejercicio
Una empresa vende termostatos. En la tabla se muestra los flujos de efectivo anuales. Determine el valor futuro de los flujos netos si se aplica una tasa de interés 10% anual. Año
1
2
3
4
5
6
7
8
Ingresos 200
200
200
200
200
200
200
200
Egresos
90
90
90
90
90
90
90
90
F = A * (F/A, i, n)
F = 110 (F/A, 10%, 8)
F=110 (11.4359) = 1,257. 9
24
Ejercicio
Se saco un préstamo, que se pago en 3 cuotas de igual valor. Si el valor total del préstamo en el tercer año es de 350,000, de cuánto fue el valor de las cuotas? Cuál es el valor presente del préstamo? La tasa de interés es del 10%. a) A= F(A/F, 10%, 3) A= 350,000(0.30211) A= $105,739 b) P= F(P/F, 10%,3) P= 350,000(0.7513) P=262 955
25
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Resumen de fórmulas
26
Factores de gradiente aritmético P? i = interés 0
1
2
3
4
210
240
5
6
n
150
180
An
Gradiente Aritmético: Serie de flujos de efectivo que aumentan o disminuyen en una cantidad constante cada periodo. La cantidad de cambio se llamada “gradiente” (g). 27
Factores de gradiente aritmético
En las anualidades el flujo de efectivo es el mismo, en el gradiente aritmético los valores son diferentes.
Cantidad base: es el flujo de efectivo al final del año 1. No es igual al gradiente. No se toma en cuenta al determinar el factor del gradiente. (150) Gradiente (G): es el cambio aritmético constante en la magnitud del ingreso o egreso de un periodo al siguiente. Puede ser positivo o negativo. (+30) P? 0
1
i = interés 2
3
4
5
150
150+30 150+2(30) 150+3(30)
28
6
n
Factores de gradiente aritmético Flujo de efectivo en el año n: CF= cantidad base + (n-1) G
Observe que el gradiente inicia en el año 2 P? i = interés 0
1
2
3
G
4
5
6
n
2G 3G (n-1)G
29
Factores de gradiente aritmético
El valor presente se compone por la suma de dos series, una serie uniforme A y otra que sufre un cambio aritmético en cada periodo.
P= PA +/- PG P? i = interés 0
1
A
2
A
3
A
4
A
5
n
6
A
G 2G 3G (n-1)G 30
Factores de gradiente aritmético Para encontrar el factor de valor presente (P) en el año 0 del gradiente:
Pg= Sumatoria de los valores presentes de cada gradiente individual, donde cada valor se considera una cantidad futura (F). Al resolver las ecuaciones se obtiene que:
G ( 1+ i) 1 n Pg n n i i( 1+ i) 1 i n
31
Ec 2.24
En tablas: (P/G,i,n) Factor de valor presente de gradiente aritmético.
P= PA +/- PG
Factores de gradiente aritmético
Ya se determino el valor presente dado el gradiente (P/G) Multiplicando los factores P/G y F/P se deriva el factor de gradiente de valor futuro: Ec. Pag 54
1 ( 1+ i)n 1 Fg G n i i
En tablas: (F/G, i, n) 32
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Factores de gradiente aritmético
Anualidades
At=A1+/-Ag At : serie uniforme total
equivalente. A1: serie parte uniforme (cantidad base) Ag: serie uniforme equivalente del gradiente
Factores de gradiente aritmético Saco el valor presente de la gradiente, con ese valor presente se puede sacar las anualidad con el factor P(A/P, i,n) El factor de gradiente para serie uniforme que se obtiene es:
1 n A g = G n i ( 1+ i) 1
Ec. 2.27
En tablas: Ag= G(A/G, i,n) que convierte una serie gradiente en una serie de anualidades uniforme.
A= AA +/- AG
34
Fórmulas para Gradiente Aritmético n G ( 1+ i) 1 n Pg n n i i( 1+ i) 1 i
1 n A g = G n i ( 1+ i) 1 1 ( 1+ i)n 1 Fg G n i i 35
En tablas: (P/G,i,n)
En tablas: G(A/G, i,n)
En tablas: (F/G, i, n)
Ejercicios: gradiente aritmético
En la tabla se muestra el costo de producción de tornillos por año. Se espera que el costo disminuya por el aumento de la productividad. Determine el costo anual equivalente con una tasa del 8% anual
36
Año
Costo
1
200
2
195
3
190
4
185
5
180
6
175
7
170
8
165
Ejercicios: gradiente aritmético
Se realizan cinco depósitos anuales a un fondo que paga una tasa de rendimiento de 8% compuesto anual. El primer depósito es de $800, el segundo es de $700, el tercero es de $600, el cuarto es igual a $500 y el quinto es de $400. Determine la cantidad en el fondo inmediatamente después del 5to depósito. Cantidad base= +800 Gradiente= -100
A= G(A/G, 8%, 5) = +100 *(1,8465) = 184,65 AT= +800-184,65= +615,35 F= A(F/A, 8%, 5) = +615,35 *(5,866) = + 3.610 2) F= +800(F/A,5,8%)-100(F/G,5,8%) 1)
F= 800(5.8666)-100(10.8325)=3610 37
Ejercicios: gradiente aritmético Una empresa ha tenido utilidades de $6000 desde el primer año hasta el quinto. Adicionalmente, se ha visto una tasa constante de aumento de utilidades desde el segundo año de $1100. a) Cuál sería la utilidad solo del año 5? b) Cuál es el valor presente de la utilidad con una tasa de interés del 8% anual? A) CF= cantidad base + (n-1) G Utilidad 5nto año= 6000+ (4)(1100)= 10,400 B) Cantidad base= 6000 Gradiente= 1100 P= 6000(P/A, 8%, 5) +1100(P/G, 8%, 5) =6000(3.9927)+11000(7.3724)=32,066
38
Factores para gradiente geométrico
Series que aumentan o disminuyen en un porcentaje constante.
tasa de cambio constante= decimal mediante el cual las cantidades se incrementan o disminuyen de un periodo al siguiente En este tipo de gradiente no hay cantidad base, el VP se formula para toda la serie, desde el flujo de efectivo del año 1.
39
A
A A A A
40
A
Factores para gradiente geométrico 1 P = A g 1
1+ g 1+ i i i g n
n P g = A 1 i 1
g
i=g
Factor de valor presente para series con gradiente geométrico Pg = A1(P/A, g, i , n) 41
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Factores para gradiente geométrico
Factor de valor futuro de gradiente geométrico: (F/A1, g, i, n):
(1 i ) n (1 g ) n F = A1 i i g n 1
F = A1n1 i
g
i=g
Para encontrar A encontrar primero se saca el valor presente y luego multiplicar por el factor A/P 42
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Formulas 1 P g = A
1+ g 1+ i i g
1
n
i
g
n P g = A i=g 1 i 1
(1 i ) n (1 g ) n F = A1 i i g n 1
F = A1n1 i 43
i= g
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g
Ejercicios: gradiente geométrico
Un individuo recibe un bono anual el primer año y lo deposita en su cuenta de ahorros que paga 8% de interés anual. El monto del bono se incrementa en 10% cada año. El depósito inicial fue de $500. Determinar cuánto será el fondo después del décimo depósito
(Principles of Engineering Economic Analysis, White et al, 1998 )
44
Ejercicios: gradiente geométrico
Determine el valor presente de un contrato de mantenimiento que tiene un costo de $30.000 en el año 1 y aumentos de 6% por año durante 10 años. Utilice una tasa de interés de 8% anual Cuál es el flujo solo en el año 7? Cuál es el flujo total en el año 7?
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Verónica León PS12-13
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Ejercicios: gradiente geométrico
A1= 30.000 i= 8% g= 10% A1= 30000 n=10
P = 30.000(P/A 1,6%, 8%, 10)
P=30.000(8.52455)
P = $ 255736
Flujo= A1 (1+g)^(n-1)
Flujo 7 = 30.000(1.06) ^6= 42,555.57
VF7= 255,736(F/P,8%,7)= 255,736(1.7138)=438 280.36
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Ejercicio en clase
1. En una empresa se obtiene el primer año una utilidad de $1000, que va creciendo a partir del segundo año en una tasa del 20% hasta el cuarto año. Si hay una tasa de interés del 25% por año calcule: Realice la gráfica de flujo de efectivo A) valor presente P B) valor anual A C) valor futuro F en el cuarto año D) valor futuro F en el segundo año 2. En una empresa se obtiene el primer año una utilidad de $1000, pero el valor va decreciendo a partir del segundo año en una tasa del 20% hasta el cuarto año. Si hay una tasa de interés del 25% por año calcule: Realice la gráfica de flujo de efectivo A) valor presente P B) valor anual A C) valor futuro F en el cuarto año D) valor futuro F en el segundo año 47
Resolución 1. En una empresa se obtiene el primer año una utilidad de $1000, que va creciendo a partir del segundo año en una tasa del 20% hasta el cuarto año. Si hay una tasa de interés del 25% por año calcule: A) valor presente P P= 1000 (1-(1.20/1.25)^4)/0.05) P= 1000 (3.013)= 3 013 B) valor anual A A= P(A/P, 25%, 4)= 1,275.70 C) valor futuro F en el cuarto año F= 1000(F/A1, 20%,25%, 4) = 7356 D) Valor futuro F en el segundo año F= 3013(F/P, 25%, 2) = 4707.81
48
Verónica León PS12-13
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