ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO Capitulo 2: Introduccion a la Probabilidad 2.38 Encuentre: a) 10!= 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3628800 b) 11!= 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=39916800 c) 12!= 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=479001600 d) 60!= 2 * π * 60 * 6060 * e-60 = 8.32*1081 2.39 Calcule: a)
16! 16 * 15 * 14! = =16*15=240 14! 14!
b)
14! 14 * 13 * 12 * 11! = =14*13*12=2184 11! 11!
c)
8! 8! 1 = = =0.011 10! 10 * 9 * 8! 10 * 9
d)
10! 10! 1 = = =0.00058 13! 13 * 12 * 11 * 10! 13 * 12 * 11
2.40 Simplifique: ( n +1)! ( n +1)n! a) = =(n+1) n! n! b)
n( n −1)(n − 2)! n! = =n(n-1) ( n −2)! ( n − 2)!
c)
( n −1)! ( n −1)! 1 = = (n + 2)! ( n + 2)(n +1) n( n −1)! (n + 2)(n +1)n
d)
(n − r +1)! ( n − r )(n − r +1)( n − r −1)! = =(n-r)(n-r+1) (n − r −1)! (n − r −1)!
2.41 Calcule: 5
5!
7
7!
a) =10 2 = 2!(5 −2)! b) =35 3 = 3!(7 −3)! 14! 14 = =91 2 2!(14 −2)!
c)
6
6!
d) =15 4 = 4!(6 −4)!
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 20! 20 = =1140 17 17!( 20 −17 )!
e)
18! 18 = =816 15 15!(18 −15)!
f)
2.42 Demuestre que: n n n n
n
n a) 0 + 1 + 2 + 3 +……….+ n =2
n 1 n-1 2n = (1+1)n = 1 n 0 +1 1
n 2 n-2 n 3 n-3 n n 1 +1 1 2 +1 1 3 +……….+1 n n n n n = 0 + + + +……….+ n 1 2 3
n n n n
n n
n
b) 0 - 1 + 2 - 3 +………. ± n =0
n n n 3 n-3 n 1 n-1 2 n-2 n 0 = (1-1)n = 1 n 0 -1 1 1 +1 1 2 -1 1 3 +………. ± 1 n n n n n = 0 - + - +………. ± n 1 2 3
n n
2.43 Evalúe los siguientes coeficientes multinomiales: 6 6! = =60 2,3,1 2!3!1!
a)
7! = =210 3,2,2,0 3!2!2!0!
b)
7
9 9! = =504 3,5,1 3!5!1!
c)
8 = no tiene sentido porque 4+3+2 ≠ 8 4,3,2
d)
2.44 Encuentre las filas (a) novena y (b) décima del triángulo de pascal, suponiendo que la siguiente fila es la octava 1 8 28 56 70 56 28 8 1 a) 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 b) 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 2.45 Una tienda vende ropa para hombre. Allí tiene 3 clases diferentes de chaquetas, 7 clases diferentes de camisas y 5 clases diferentes de pantalones. Encuentre el número de formas en que una persona puede comprar: a) Un artículo para un regalo
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 3+7+5=15 b) Uno de cada uno de los artículos para un regalo 7*3*5=105 2.46 Un restaurante tiene en su menú de postre 4 clases de ponqués, 2 clases de galletas y 3 clases de helado. Encuentre el número de formas en las que una persona puede seleccionar: a) Uno de los postres 4+2+3=9 b) Uno de cada clase de postre 4*3*2=24 2.47 Una clase está conformada por 8 estudiantes hombres y 6 mujeres. Encuentre el número de formas en que la clase puede elegir: a) Un representante para la clase 8+6=14 b) Dos representantes para la clase, un hombre y una mujer 8*6=48 c) Un presidente y un vicepresidente C(14,1)*C(13,1) =
14! 13! * =182 1!(14 −1)! 1!(13 −1)!
2.48 Suponga que una clave consiste de 4 caracteres donde el primer carácter debe ser un carácter del alfabeto, pero cada uno de los demás caracteres puede ser una letra o un dígito. Encuentre en número de: a) Palabras claves 26*(26+10)3 =1213056 26 numero de letras del alfabeto 10 numero de dígitos del 0 al 9 b) Palabras claves que comienzan con una de las 5 vocales 5*(26+10)3 =233280 2.49 Suponga que un código consiste en 2 letras seguidas por 3 dígitos. Encuentre el número de: a) Códigos 262*103 =676000 b) Códigos con letras diferentes 26*25*103 =650000 c) Códigos con las mismas letras 26*103 =26000
26*25 porque ya saco una letra y el siguiente carácter no puede ser el mismo
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 2.50 Hay 6 caminos entre A y B y 4 caminos entre B y C. Encuentre el número de formas en las cuales una persona puede conducir: a) Desde A hasta C a través de B 6*4=24 b) Viaje de ida y regrese desde A hasta C a través de B Ida(6*4)*vuelta(6*4)=576 c) Viaje de ida y regrese desde A hasta C a través de B sin utilizar el mismo camino más de una vez Ida(6*4)*vuelta(5*3)=360 2.51 Encuentre el número n de formas en que un juez puede otorgar el primero, segundo y tercer lugar en un concurso con 18 participantes C(18,1)*C(17,1)*C(16,1)=4896 2.52 Encuentre el número n de formas en que 6 personas pueden subirse a un tobogán donde: a) Cualquiera puede manejar C(6,1)*C(5,1)*C(4,1)* C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)=720 b) Uno de 3 debe manejar 3*[C(5,1)*C(4,1)* C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)]=360 2.53 Un grupo que debate está conformada por 3 muchachos y 3 niñas. Encuentre el número n de formas en las cuales se pueden sentar en una fila donde: a) No hay restricciones C(6,1)*C(5,1)*C(4,1)* C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)=720 b) Los muchachos y las niñas se sientan juntos 2*[C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)* C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)]=72 c) Solamente las niñas se sientan juntas 4*[C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)* C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)]=72 2.54 Encuentra el número n de permutaciones que se pueden formar de todas las letras de cada combinación: a) QUEUE E=2 U=2 5! =30 2!2!
b) COMMITTEE
M=2
T=2
E=2
O=3
P=2
I=2
A=2
B=2
L=2
9! =45360 2!2!2!
c) PROPOSITION 11! =1663200 3!2!2!
d) BASEBALL
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 8! =30 2!2!2!
2.55 Encuentra el número n de señales diferente, si cada una consiste en 8 banderas colgadas en una línea vertical, que se puede formar de 4 banderas rojas idénticas, 2 banderas azules idénticas y 2 banderas verdes idénticas n=
8! =420 4!2!2!
2.56 Encuentra el número n de formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros pequeños se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo tamaño estén juntos n1, n2, n3, n4 = 3!5!4!3! = 103680 2.57 Una caja contiene 12 bombillos. Encuentre el número n de muestras ordenadas de tamaño 3: a) Con reposición P(12,3)= 123 = 1728 b) Sin reposición P(12,3)=
12! =1320 (12 −3)!
2.58 A una clase asisten 10 estudiantes. Encuentre el número n de muestras ordenadas de tamaño 4: a) Con reposición P(10,4)= 104 = 1000 b) Sin reposición P(10,4)=
10! =5040 (10 −4)!
2.59 Un restaurante tiene 6 postres diferentes. Encuentre el número de formas en las que un cliente puede escoger 2 de los postres C(6,2) =
6! =15 2!(6 −2)!
2.60 Una tienda tiene 8 libros de misterio diferentes. Encuentre el número de formas en las que un cliente puede comprar 3 de los libros C(8,3) =
8! =56 3!(8 −3)!
2.61 Una caja contiene 6 medias azules y 4 medias blancas. Encuentre el número de formas en que puede sacarse de la caja 2 medias cuando: a) No hay restricciones C(10,2) = b) Hay colores diferentes
10! =45 2!(10 −2)!
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C(6,1) * C(4,1) =
6! 4! * =24 1!(6 −1)! 1!( 4 −1)!
c) Las medias son del mismo color C(6,2) + C(4,2) =
6! 4! + =15+6=21 2!(6 −2)! 2!( 4 −2)!
2.62 Una clase está conformada pos 9 niños y 3 niñas. Encuentre el número de forma en que un profesor puede selecciona un comité de 4 C(12,4) =
12! =495 4!(12 −4)!
2.63 Repita el problema 2.62, pero cuando: a) Debe haber 2 niños y 2 niñas C(9,2) * C(3,2) =
9! 3! * =108 2!(9 −2)! 2!(3 −2)!
b) Hay una niña exactamente C(3,1) * C(9,3) =
3! 9! * =252 1!(3 −1)! 3!(9 −3)!
c) Hay por lo menos una niña Una niña C(3,1) * C(9,3) =
3! 9! * =252 1!(3 −1)! 3!(9 −3)!
Dos niñas C(9,2) * C(3,2) =
9! 3! * =108 2!(9 −2)! 2!(3 −2)!
Tres niñas C(3,3) * C(9,1) =
3! 9! * =9 3!(3 −3)! 1!(9 −1)!
252+108+9=369 2.64 Una mujer tiene 11 buenos amigos. Encuentre el número de formas en que ella puede invitar a 5 de ellos a comer C(11,5) =
11! =462 5!(11 −5)!
2.65 Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos están casados y no asistirán separados C(10,4) =
10! =210 4!(10 −4)!
2.66 Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos están disgustados y no asistirán juntos
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C(10,5) =
10! =252 5!(10 −5)!
2.67 Una persona recibe una mano de poker (5cartas) de un naipe corriente de 52 cartas. Encuentre el número de formas de manos que la persona puede recibir a) Cuatro de la misma clase 13*C(48,1) = 13 *
48! =624 1!( 48 −1)!
2.68 Un estudiante debe responder 10 de 13 preguntas a) ¿Cuántas selecciones hay? C(13,10) =
13! =286 10!(13 −10)!
b) ¿Cuántas habrá si debe responder las dos primeras preguntas? 2*C(11,9) = 2 *
11! =110 9!(11 −9)!
c) ¿Cuántas si el estudiante debe responder la primera o la segunda pero no ambas? 2*C(12,9) = 2 *
12! =440 9!(12 −9)!
2.69 Encuentre el número de formas en las que puede repartirse 6 juguetes en forma equitativa entre 3 niños C(6,2) * C(4,2)*C(2,2) =
6! 4! 2! * * =15*6*1=90 2!(6 −2)! 2!( 4 −2)! 2!( 2 −2)!
2.70 Encuentre el número de formas en las que 6 estudiantes se pueden distribuir en 2 equipos, donde cada equipo está conformado por 2 estudiantes C(5,1) * C(3,1) =
5! 3! * =15 1!(5 −1)! 1!(3 −1)!
2.71 Encuentre el número de formas como se pueden distribuir 6 estudiantes en 2 equipos, donde cada equipo está conformado por 2 o más personas n = 26 -1- 6 = 25 2.72 Encuentre el número de formas como se pueden distribuir, 9 juguetes entre 4 niños, si el más pequeño debe recibir 3 juguetes y cada uno de los otros 2 juguetes n=
9! = 7560 3!2!2!2!
2.73 Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el número de formas en las cuales los estudiantes pueden presentar 3 exámenes, si 3 estudiantes deben presentar cada uno cada examen n=
9! = 1680 3!3!3!
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 2.74 Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el número de formas en las que se pueden distribuir los estudiantes en 3 equipos conformados por 3 estudiantes cada uno n=
9! = 1680 3!3!3!
n=
1680 = 280 3!
2.75 Los Equipos A y B juegan en una serie mundial de béisbol, donde el equipo que primero gane 4 juegos gana la serie. Suponga que A gana el primer juego y que gana el segundo juego también gana el cuarto juego a) Encuentre el número n de formas como puede ocurrir la serie y enumere las n formas como puede ocurrir la serie
b) ¿En cuántas formas ganará B la serie? 6 formas c) ¿De cuántas formas podrá durar la serie 7 juegos? 8 formas 2.76 Suponga que A, B……….F en la figura representa islas y las líneas que las conectan, los puentes. Una persona empieza en A y camina de una isla a otra. La persona para a almorzar, cuando el o ella continúa caminando sin cruzar el mismo puente 2 veces a) Construya el diagrama del árbol apropiado y encuentre el número de formas en que la persona puede caminar antes de almorzar
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b) ¿En qué islas puede el o ella almorzar? B, D o E
