Capitulo-2

Contenido

2 Conceptos b´ asicos de la probabilidad 2.1 Experimentos, espacios muestrales y eventos . . . 2.2 Modelo de urnas y técnicas de conteo . . . . . . 2.2.1 Modelo de urnas . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 El conteo por enumeraci´ on de elementos . 2.2.3 El conteo a través de diagramas de árbol 2.2.4 Teorema fundamental del conteo . . . . . 2.2.5 El principio de adici´ on . . . . . . . . . . . 2.2.6 Permutaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Combinaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Introducci´ on a la probabilidad . . . . . . . . . . . 2.3.1 Definici´ on matemática de probabilidad . . 2.3.2 Probabilidad emp´ırica . . . . . . . . . . . 2.3.3 Definici´ on clásica de probabilidad . . . . . 2.3.4 Probabilidad subjetiva o personal . . . . . 2.4 Probabilidades condicionales . . . . . . . . . . . 2.5 Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍ Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 15 16 17 19 19 22 22 29 34 34 36 38 43 49 63 69

Respuestas a ejercicios impares seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

CAPÍTULO

2

Conceptos b´ asicos de la probabilidad

Contenido 2.1 2.2

Experimentos, espacios muestrales y eventos . . . . . . .

3

Modelo de urnas y t´ ecnicas de conteo . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Modelo de urnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 2.2.3 2.2.4

El conteo por enumeración de elementos . . . . . . . . . . . 17 El conteo a través de diagramas de árbol . . . . . . . . . . 19 Teorema fundamental del conteo . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.5 2.2.6

El principio de adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Permutaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.7 Combinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Introducci´ on a la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 2.3.2

Definición matemática de probabilidad . . . . . . . . . . . . 34 Probabilidad emp´ırica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3 Definición clásica de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.4 Probabilidad subjetiva o personal . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Probabilidades condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍ Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 69

2.1 Experimentos, espacios muestrales y eventos

3

☞ Objetivos del cap´ıtulo 1. Describir y aplicar algunas técnicas de conteo en la soluci´ on de problemas. 2. Desarrollar la comprensi´ on de los conceptos básicos de probabilidad. 3. Definir y aplicar el concepto de probabilidad condicional. 4. Aplicar el teorema de Bayes en el c´ alculo de probabilidades. 5. Definir y aplicar el concepto de independencia entre eventos.

☞ Empleo de la estad´ıstica ≪En una encuesta hecha a estudiantes de nuevo ingreso a la universidad se encontr´ o que, entre todos los estudiantes admitidos, el 55% no tienen problema de ning´ un tipo, el 25% sienten que fueron mal orientados en cuanto a la carrera elegida y el 20% tienen problemas de tipo econ´ omico. La misma encuesta muestra que de los que no tienen ning´ un tipo de problema solamente el 1% no regresa al segundo semestre; que la probabilidad de que los que fueron mal orientados no continuen en el segundo semestre es de 0,7 y la probabilidad de que los que tienen problemas econ´ omicos continuen es de 0,05. Si se elige un alumno al azar del segundo semestre, ¿cu´ al es la probabilidad de que él sea uno de los que a pesar de no estar en la carrera de su vocaci´ on haya continuado?≫

2.1

Experimentos, espacios muestrales y eventos

Experimentos determin´ısticos y aleatorios La teor´ıa de la probabilidad tiene que ver con los diversos resultados posibles que podr´ıan obtenerse y los posibles sucesos que podr´ıan ocurrir cuando se realiza un experimento. El término experimento se utiliza en la teor´ıa de la probabilidad para describir virtualmente cualquier acci´ on o proceso que genera observaciones. Definici´ on 2.1.1 Un experimento es cualquier acci´ on o proceso que genera observaciones. La validez de la mayor´ıa de las teor´ıas cient´ıficas está basada, en gran parte, en que los experimentos, sobre los cuales las teor´ıas se fundamentan, suministran esencialmente el mismo resultado cuando estos experimentos se repiten. Este tipo de experimentos se llaman determin´ısticos. Definici´ on 2.1.2 Un experimento determin´ıstico es cualquier experimento que, al repetirse bajo las mismas condiciones, genera siempre los mismos resultados. Un ejemplo, en f´ısica, que es un experimento determin´ıstico es la ley de la ca´ıda libre, s=

1 gt2 . 2


4

Sin embargo, hay experimentos cuyos resultados no son determinados, si las condiciones de los experimentos se mantienen constante. Ellos se llaman experimentos aleatorios o estocásticos.

´stico) es cualquier exDefinici´ on 2.1.3 Un experimento aleatorio (o estoca perimento que, al repertirse bajo las mismas condiciones, no genera siempre los mismos resultados. Ejemplos familiares de estos experimentos, son los juegos de suerte como dados, lanzamiento de monedas o juegos de cartas. Sin embargo, hay otros tipos de ejemplos de experimentos aleatorios como los siguientes: (1) Semillas de igual estado que producen plantas de diferentes tama˜ nos. (2) Una máquina de coser alarga a veces una puntada sin un motivo claro. (3) La duraci´ on de vida de las personas, que viven bajo condiciones semejantes, var´ıa y no se puede predecir. (4) El sexo de un recién nacido. (5) El a˜ no en que se extingue el apellido familiar.

Espacio muestral, evento y evento elemental El primer paso para analizar un determinado experimento consiste en definir con cuidado los resultados experimentales. Cuando hayamos definido todos los resultados posibles, habremos identificado el llamado espacio muestral del experimento. Definici´ on 2.1.4 Supongamos que se realiza un experimento aleatorio. (a) El conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento, se llama espacio muestral ( o de resultados). El espacio muestral se simbolizar´ a con la letra griega Ω (le´ıda “omega”).

(b) Cualquier subconjunto del espacio muestral Ω se llama evento. Los eventos se simbolizar´ an con las letras may´ usculas A, B, C, etc.

“El evento A ha

sucedido” significa que el resultado observado del experimento est´ a en A.

(c) Si un evento tiene un solo elemento se llamar´ a evento elemental.

Ejemplo 2.1.5 Consideremos los siguientes experimentos aleatorios: 1. El lanzamiento de una moneda. • Los posibles resultados son cara (C) o sello (S). Por tanto, Ω = {C, S}.


5

• {C} =“la moneda se˜ nala cara” es un evento elemental. • “La primera moneda muestra sello” = {(S, S), (S, C)} es un evento. 2. Lanzamiento de dos monedas. a) Dos monedas diferentes se lanzan al mismo tiempo. • El espacio muestral correspondiente está dado por Ω = {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)} = {C, S} × {C, S} y, en este caso, (C, S) 6= (S, C). • {(C, C)} =“las monedas muestran cara” es un evento elemental. • “ambas monedas muestran el mismo lado” = {(S, S), (C, C)} es un ejemplo de un evento. b) Dos monedas que no se pueden distinguir entre s´ı se lanzan al mismo tiempo. • En esta situaci´ on, Ω = {(C, C), {C, S}, (S, S)}. Aqu´ı, (C, S) = (S, C). • {C, S} =“las monedas muestran diferentes lados” es un evento elemental. • Un ejemplo de un evento es “ambas monedas muestran el mismo lado” = {(S, S), (C, C)}. 3. Una moneda se lanza hasta que cara (C) aparezca. • Se observa el n´ umero de lanzamientos que muestran sello (S) antes de que aparezca una cara. Por tanto, Ω = {0, 1, 2, . . . , ∞}.

• En este caso, “{3} = C aparece por primera vez en el cuarto lanzamiento” es un evento elemental y “{∞}” es el evento elemental de que la moneda nunca muestre a C.

• “C aparece no antes del séptimo lanzamiento” = {6, 7, 8, . . . , ∞} es un evento.

4. Duraci´ on de la vida humana.

• Se observa la edad en la que diferentes personas mueren. De esta forma, Ω es el conjunto de todos los n´ umeros reales menores o iguales que k, donde k es la edad de la persona que m´ as a˜ nos ha vivido en la tierra. • “{59,7}” es el evento elemental de que una determinada persona muri´ o a la edad de 59,7 anõs. • “Alguien muere con edad entre 60 y 70 a˜ nos” = [60, 70] es un ejemplo de un evento de Ω. ◭

Eventos seguro e imposible En especial, el conjunto vac´ıo ∅ y Ω son eventos. El conjunto Ω es el llamado “evento seguro”, que siempre sucede y ∅ es el llamado “evento imposible”, que nunca puede suceder (por ejemplo, que se obtenga un 7 en el lanzamiento de un dado).

Operaciones entre eventos En muchas aplicaciones, estamos interesados simultáneamente en uno o más eventos. Por ejemplo, si se lanza un dado, dos eventos que podr´ıan considerarse son “el n´ umero resultante es un m´ ultiplo de 2” y “el n´ umero resultante es m´ınimo un 5”. Una posibilidad es que todos los enventos de interés podr´ıan ocurrir; este ser´ıa el caso si el resultado


6

básico del experimento aleatorio pertenece a todos estos eventos. El conjunto de resultados básicos que pertenece a todos los eventos de un grupo se denomina intersecci´ on. Definici´ on 2.1.6 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. Su inter´ n, simbolizado por A ∩ B, es el conjunto de todos los resultados posibles en seccio Ω que pertenecen a A y a B. Por tanto, la intersecci´ on A ∩ B ocurre si y s´ olo si tanto A como B ocurren. De manera m´ as general, dado n eventos A1 , A2 , . . . , An de un espacio muestral Ω, su intersecci´ on A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An es el conjunto de todos los resultados posibles de Ω que pertenecen a todos los Ai (i = 1, 2, . . . , n).

Un instrumento u ´til para pensar en intersecciones y otras relaciones de conjuntos es el diagrama de Venn. En la figura 2.1 se muestran diagramas para pares de conjuntos A y B. En la parte (a) de la figura, el rectángulo Ω representa el espacio muestral, mientras que las dos circunferencias representan los dos eventos A y B. As´ı, por ejemplo, un resultado básico perteneciente a A estará dentro del c´ırculo correspondiente. El área sombreada donde se cruzan las dos figuras es A ∩ B. Claramente, un resultado básico estará en A ∩ B si y s´ olo si está tanto en A como en B. De esta manera, al lanzar un dado, los resultados 3 y 5 pertenecen a los dos eventos A =“se obtiene un n´ umero impar” y B =“se obtiene como m´ınimo un 3”.

(a) A ∩B es el ´ area sombreada.

(b) A y B son mutuamente excluyentes

Fig. 2.1: Los diagramas de Venn para la intersecci´ on de los eventos A y B. Es posible que los eventos A y B no tengan resultados en com´ un, en cuyo caso las figuras no se cruzarán como en la parte (b) de la figura 2.1. Tales eventos se dicen que son mutuamente excluyentes (o disyuntos). Por ejemplo, si un al lanzar un dado, los eventos A =“se obtiene un n´ umero par” y B =“se obtiene un n´ umero impar” son mutuamente excluyentes.


7

Definici´ on 2.1.7 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. Si los sucesos A y B no tienen en com´ un resultados de Ω, se denominan mutuamente excluyentes (o disyuntos) y su intersecci´ on A ∩ B es el conjunto vac´ıo. De esto se deduce que el evento A ∩ B no puede ocurrir. De manera m´ as general, decimos que n eventos A1 , A2 , . . . , An de un espacio muestral Ω son mutuamente excluyentes si todo par de estos eventos es mutuamente excluyente, es decir si Ai ∩ Aj es el conjunto vac´ıo para todo i 6= j.

Cuando se consideran varios eventos conjuntamente, otra posibilidad de interés es que por lo menos uno de ellos ocurra. Esto sucederá si el resultado del experimento pertenece al menos a uno de los eventos. El conjunto de resultados pertenecientes por lo menos a uno de los eventos, se denomina uni´ on. Por ejemplo, en el experimento del lanzamiento de un dado, los resultados 2, 4, 5 y 6 pertenecen por lo menos a uno de los eventos A =“se obtiene un n´ umero par” o B =“se obtiene como m´ınimo un 4”. ´ n, Definici´ on 2.1.8 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. Su unio simbolizado por A ∪ B, es el conjunto de todos los resultados posibles en Ω que pertenecen por lo menos a uno de estos eventos. Por tanto, la uni´ on A ∪ B ocurre si y s´ olo si por lo menos alguno de estos dos eventos, A o B, ocurre. De manera m´ as general, dado n eventos A1 , A2 , . . . , An de un espacio muestral Ω, su uni´ on A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An es el conjunto de todos los resultados posibles de Ω que pertenecen por lo menos a uno de estos n eventos.

La uni´ on de un par de eventos se ilustra en el diagrama de Venn de la figura 2.2a, donde claramente se observa que un resultado estará en A ∪ B si y s´ olo si está en por lo menos alguno de estos dos eventos, A o B.

(a) A ∪B es el ´ area sombreada.

(b) A − B es el ´ area sombreada

Fig. 2.2: Los diagramas de Venn para la uni´ on y diferencia de los eventos A y B. Ahora, cuando se consideran dos eventos conjuntamente, otra situaci´ on que interesa es que uno de ellos ocurra, pero el otro no. Esto ocurre cuando el resultado del experimento


8

pertenece a uno de ellos, pero no al otro. El conjunto de resultados que pertenecen a un evento, pero no a otro otro se denomina diferencia entre ambos eventos. Por ejemplo, los resultados 2 y 4 pertenecen al evento A =“se obtiene un n´ umero par estrictamente menor que 6”, pero no al evento B =“se obtiene m´ınimo 5”. Definici´ on 2.1.9 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω. La diferencia entre A y B, simbolizado por A − B, es el conjunto de todos los resultados posibles en Ω que pertenecen a A, pero no a B. Por tanto, la diferencia A − B ocurre si y s´ olo si A ocurre, pero B no. La diferencia entre un par de eventos se muestra en el diagrama de Venn de la figura 2.2b, en donde se observa que un resultado estará en A−B si y s´ olo si está en A, pero no en B. A continuaci´ on, sea A un evento y supongamos que nuestro interés es que A no ocurra. Esto sucederá si el resultado del experimento aleatorio se encuentra en Ω (como debe ser), pero no en A. El conjunto de resultados pertenecientes al espacio muestral, y que no pertenecen a determinado evento, se denomina complemento de ese conjunto. Definici´ on 2.1.10 Sea A evento de un espacio muestral Ω. Su complemento, simbolizado por A, es el conjunto de todos los resultados posibles en Ω que no perteolo si A no ocurre. nencen a A. Por tanto, el complemento A de A ocurre si y s´ Claramente, los eventos A y A son mutuamente excluyentes. El complemento del evento A se ilustra en la figura 2.3a.

(a) A es el ´ area sombreada.

(b) Partici´ on de Ω

Fig. 2.3: Diagrama de Venn para el complemento de A y partici´ on de Ω a través de A1, A2, A3, . . . , An. Un caso de especial interés lo constituye una colecci´ on de varios eventos cuya uni´ on es la totalidad del espacio muestral Ω. Dado que todo resultado pertenece a Ω, se deduce que todo resultado de un experimento aleatorio estará al menos en una clase de estas colecciones de eventos. Estos eventos se denominan colectivamente exhaustivos. Por ejemplo, si se lanza un dado, los sucesos “el resultado es como m´ınimo un 3” y el resultado es máximo un 6” son colectivamente exhaustivos (al menos uno de


9

estos eventos debe ocurrir). Pero, si adicionalmente estas colecciones de eventos son mutuamente excluyentes, entonces, se dice que estos eventos forman una partici´ on de Ω. Definici´ on 2.1.11 Sean A1, A2, . . . , An eventos de un espacio muestral Ω. (a) Si se cumple que A1 ∪A2 ∪· · ·∪An = Ω, entonces, estos n eventos se denominan colectivamente exhaustivos. ´ n de Ω si ellos son colecti(b) Decimos que estos n eventos forman una particio vamente exhaustivos y mutuamente excluyentes. Una representaci´ on gr´ afica de esta situaci´ on se observa en la figura 2.3b.

Observemos

que todos los eventos elementales forman una partici´ on del espacio muestral correspondiente.

Ejemplo 2.1.12 Sea Ω = {1, 2, 3, 4, 5} el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio dado. Además, sean A = {2}, B = {1, 4}, C = {3, 5} y D = {2, 3, 4, 5}. Entonces (ver figura 2.4), • A, B y C es una partición de Ω porque A ∪ B ∪ C = Ω y A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅. • B y D son colectivamente exhaustivos, pero no forman una partición de Ω porque B ∩ D = {4} 6= Ω. • A, C y D no son colectivamente exhaustivos (y, por tanto, tampoco forman una partición de Ω) porque 1 6∈ A ∪ C ∪ D.

Fig. 2.4: Diagrama de Venn para el ejemplo 2.1.12 ◭ Hemos presentado cuatro conceptos importantes (intersección, uni´ on, diferencia y complemento). Todos ellos serán importantes en nuestro estudio subsiguiente de la probabilidad. Los siguientes ejemplos ilustran estas operaciones entre eventos. Ejemplo 2.1.13 Se lanza un dado. Sea A el evento “se obtiene un n´ umero impar” y B el evento “se obtiene m´ınimo un 3”. Entonces,


10

• Los complementos de estos eventos son, respectivamente, A =

“se obtiene un n´ umero par” = {2, 4, 6},

B =

“se obtiene m´ aximo un 2” = {1, 2}.

• La intersecci´ on de A y B es el evento A ∩ B = “se obtiene un n´ umero impar distinto de 1” = {3, 5}. • La unión de A y B es el evento A ∪ B = “se obtiene un n´ umero distinto de 2” = {1, 3, 4, 5, 6}. • La diferencia de A y B es el evento A − B = “se obtiene el n´ umero 1” = {1}. • La diferencia de B y A es el evento B − A = “se obtiene un n´ umero par distinto de 2” = {4, 6}. Observemos también que los eventos A y A son mutuamente excluyentes, dado que su intersecci´ on es el conjunto vac´ıo, y colectivamente exhaustivos, dado que su uni´ on es el ◭ espacio muestral Ω. En otras palabras, A y A forman una partición de Ω.

Algunas propiedades relacionadas con eventos A continuaci´ on presentamos algunas de las propiedades básicas que se deben tener en cuenta cuando trabajamos con eventos. Teorema 2.1.14 Sean A y B eventos de un espacio muestral Ω. Entonces, son v´ alidas las siguientes afirmaciones. (a) Ω = ∅

(b) ∅ = Ω

(c) A = A

(d) A ∩ ∅ = ∅

(e) A ∪ ∅ = A

(f ) A ∩ A = ∅

(g) A ∪ A = Ω

(h) A ∩ B = A ∪ B

(i) A ∪ B = A ∩ B

Los resultados (h) e (i) son las llamadas leyes de De Morgan.

Presentamos ahora dos resultados más que incluyen uniones e intersecciones. Serán empleados más adelante para desarrollar algunas reglas de probabilidad.


11

Teorema 2.1.15 Sean A, A1, A2, . . ., An y B eventos de un espacio muestral Ω. Entonces, son v´ alidas las siguientes afirmaciones. on es igual al (a) Los eventos A ∩ B y A ∩ B son mutuamente excluyentes y su uni´ evento B, es decir, forman una partici´ on de B (ver figura 2.5a). (b) Si A1, A2, . . ., An forman una partici´ on de Ω, entonces, los eventos A1 ∩ B, A2 ∩ B, . . ., An ∩ B son mutuamente excluyentes y su uni´ on es B, es decir, forman una partici´ on de B. Para comprender lo expuesto en el teorema 2.1.15b, consideraremos el diagrama de Venn de la figura 2.5b. El rectángulo grande es el espacio muestral Ω y está subdividido en partes más peque˜ nos que representan los n eventos A1, A2, . . ., An que forman la partici´ on de Ω. El evento B viene representado por la regi´ on sombreada. Se observa que los eventos comprendidos en la interseci´ on de B y cada uno de los eventos Ai forman una partici´ on de B, es decir, son mutuamente excluyentes y su uni´ on es B.

(a) Diagrama de Venn para los eventos A ∩ B y A ∩ B.

(b) Diagrama de Venn para A1 ∩ B, A2 ∩ B, . . . y An ∩ B

Fig. 2.5: Diagrama de Venn para diferentes intersecciones. Ejemplo 2.1.16 Consideremos el lanzamiento de un dado. Verificaremos los dos resultados que se presentan en el teorema 2.1.15. (a) Sean A = {1, 3, 5} y B = {3, 4, 5, 6}. Entonces, los eventos A ∩ B = {3, 5}

A ∩ B = {4, 6}

son mutuamente excluyentes y su unión es B (ver figura 2.6a). De esta forma queda verificada la parte (a) del teorema. (b) Sean B = {3, 4, 5, 6}, A1 = {1, 3}, A2 = {2, 4, 6} y A3 = {5}. Observemos que los eventos A1 , A2 y A3 forman una partición de Ω. ¿Por qué? Ahora, claramente podemos observar que los eventos A1 ∩ B = {3},

A2 ∩ B = {4, 6},

A3 ∩ B = {5}

son mutuamente excluyentes y su unión es B (ver figura 2.6b), verificándose, de esta manera, la parte (b) del teorema.


(a) Los eventos A ∩ B y A ∩ B son mutuamente excluyentes y su uni´ on es B.

12

(b) A1 ∩ B, A2 ∩ B y A3 ∩ B son mutuamente excluyentes y su uni´ on es B

Fig. 2.6: Diagrama de Venn para diferentes intersecciones. ◭ Ejemplo 2.1.17 Un problema al que se enfrenta frecuentemente la investigaci´ on de mercados lo constituye el hecho de que algunas preguntas que nos gustar´ıa hacer son tan delicadas que muchas personas se negar´ an a contestarlas o dar´ an una respuesta falsa. Una manera ´todo de la respuesta aleatorizada1 . Esta de atacar este problema es utilizar el me técnica consiste en acompa˜ nar la pregunta delicada con otra pregunta normal. Por ejemplo, podr´ıamos tener el siguiente par de preguntas: (a) ¿Ha hurtado en almacenes intencionalmente en los u ´ltimos doce meses? (b) ¿Ha realizado una compra por catálogo en los u ´ltimos doce meses? A los encuestados se les pide que lancen una moneda y entonces contestan a la pregunta (a) si se obtiene cara y a la (b) en otro caso. Dado que el encuestador no puede saber a qué pregunta se contesta, se espera que se obtengan de esta manera respuestas verdaderas. Para las preguntas que acompa˜ nan a la de interés, el investigador cuenta ya con informaci´ on sobre la población sujeta a estudio. De este modo, en nuestro ejemplo, el investigador sabe qué proporci´ on de la población realizó una compra por catálogo en los u ´ltimos doce meses. Definamos ahora los siguientes eventos: B : El encuestado responde “s´ı”. A1 : El encuestado responde a la pregunta delicada. A2 : El encuestado responde a la pregunta normal. Claramente, los eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. De este modo, las condiciones de la parte (b) del teorema 2.1.15 y se verifica que los eventos A1 ∩ B A2 ∩ B

= =

El encuestado responde “s´ı” y lo hace a la pregunta delicada, El encuestado responde “s´ı” y lo hace a la pregunta normal

son mutuamente excluyentes. Además, su unión es el evento B, como se puede verificar fácilmente. ◭ 1

Ver, por ejemplo, M. D. Geurts, “Using a randomized response research design to eliminate nonresponse biases in business research”, Journal of Academy of Marketing Science, 8 (1980), 8390.


13

✍ Ejercicios de la secci´ on 2.1 1. En un concurso de televisión, el ganador puede elegir tres de cinco personas diferentes: A, B, C, D y E. (a) Enumere los elementos del espacio muestral correspondientes. (b) ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una selección que incluye a A? (c) ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una selección que incluye a A y a B? (d) ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral correspondientes a una selección que incluye a A o a B? 2. La gerencia de producción de una corporaci´ on realiz´ o un estudio para determinar el tiempo, en minutos, necesario para que un técnico ejecute cierta tarea relacionada con el montaje de sus televisores. (a) Describa el espacio muestral correspondiente a este estudio. (b) Describa el evento E de que un técnico tarde tres minutos o menos para realizar la tarea. (c) Describa el evento F de que un técnico tarde más de tres minutos para realizar la tarea. 3. Como parte de un procedimiento de control de calidad, un inspector de una granja seleccionó 10 adornos al azar de cada lote que recibe y registra el n”umero de adornos defectuosos. (a) ¿Cuál es el espacio muestral adecuado para cada lote? (b) Describa el evento F de que a lo más cuatro adornos estén rotos. (c) Describa el evento G de que al menos siete adornos estén rotos. (d) Describa los eventos F ∩ G y F ∪ G. (e) Describa el evento H de que once adornos estén rotos. (f) Determinar si la proposici´ on dada es verdadera o falsa. Si es verdadera, explicar por qué y si es falsa, construya un contraejemplo (es decir, un ejemplo para mostrar que es falsa): “Si E y F son eventos mutuamente excluyentes y E y G son eventos mutuamente excluyentes, entonces, F y G son mutuamente excluyes”. 4. En un campeonato de f´ utbol participan cuatro universidades: Uninorte, Uniatlántico, Uniaut´ onoma y la Cuc. En la primera vuelta, Uninorte jugará contra Uniatlántico y Uniautónoma contra la Cuc. Los dos ganadores jugarán por el campeonato y subcampeonato y los perdedores, por el tercer y cuarto puesto. Un posible resultado definitivo puede representarse por la tupla (Uninorte, Uniaut´ onoma, Uniatlántico, Cuc), en donde se indica que Uninorte fue el campe´ on, Uniaut´ onoma el subcampe´ on, Uniatlántico quedó de tercero y la Cuc, de cuarto. (a) Enumere todos los posibles resultados de Ω. (b) Sea A el evento en que Uninorte gana el torneo. Haga una lista de los elementos de A. (c) Sea B el evento en que Uniatlántico llega a la final. Haga una lista de los elementos de B. (d) ¿Cuáles son los resultados en A ∪ B y en A ∩ B? ¿Cuáles son los resultados en A?


14

5. En el departamento de recaudos se acaba de terminar una votaci´ on secreta para elegir el nuevo jefe de ese departamento. La urna de votos contiene tres papeletas con votos para Greyci, uno de los dos candidatos y dos papeletas con votos para Brian, el otro candidato. Supongamos que las papeletas se sacan de la caja una por una. (a) ¿Cuántos resultados disponibles hay? ¿Cuáles son? (b) Suponga que se realiza un conteo a medida que se sacan las papeletas. ¿En cuáles resultados Greyci se mantiene adelante de Brian en todo el conteo? 6. Una familia formada por Greyci, Brian y Humberto asisten a una cl´ınica que siempre tiene un médico en cada una de las oficinas 1, 2 y 3. Durante cierta semana, cada miembro de la familia visita una vez la cl´ınica y se le asigna al azar un médico: el experimento consiste en registrar el n´ umero de la oficina asignada a cada miembro de la familia. Un resultado de (3, 2, 2) es: para Greyci la oficina 3; Brian, oficina 2 y Humberto, oficina 2. (a) Haga una lista de los 27 resultados del espacio muestral. (b) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual las tres personas de la familia vayan a la misma oficina. (c) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual todos los miembros de la familia vayan a diferentes oficinas. (d) Haga una lista de todos los resultados del evento en el cual ning´ un miembro de la familia vaya a la oficina 2. 7. Sea Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio dado. Sean A, B, C y D eventos de Ω definidos por A = {0, 1, 2, 3},

B = {4, 5, 6, 7},

C = {2, 4, 6},

D = {1, 8, 9}.

Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos: (a) A ∪ D; (b) B ∩ C; (c) D; (d) (D ∩ A) ∪ C; (e) Ω ∩ B; (f) B ∩ C ∩ D. 8. Se˜ nale la región de la figura de abajo que representa a cada evento: (a) A ∪ B ∪ C, (b) A ∩ B ∩ C, (c) A ∩ B ∩ C, (d) A ∩ B ∩ C, (e) A ∩ B ∩ C, (f) (A ∪ B) ∩ C, (g) A ∪ (B ∩ C), (h) A ∪ B ∪ C.

9. Sean Ω el evento de todos los turistas que visitaron a Barranquilla durante un fin de semana y A, B y C, los eventos formados por los turistas que visitaron el Museo romántico, el Zoológico y Bocas de Cenizas, respectivamente. Exprese con palabras las regiones indicadas a continuación teniendo en cuenta la figura de abajo: (a) Región 1, (b) Regiones 1 y 4 juntas, (c) Regiones 4, 5, 7 y 8 juntas, (d) Regiones 5, 6 y 7. 10. En una encuesta realizada en un colegio de la ciudad a un total de 150 alumnos se encontró: 54 estudian Algebra; 89, Inglés; 80, Ciencias Naturales; 60, Ciencias Naturales e Inglés; 10, sólo Algebra; 20, Algebra y Ciencias Naturales; 15, las tres materias simultáneamente. Determine el n´ umero de alumnos que conforman los siguientes eventos:

2.2 Modelo de urnas y técnicas de conteo

15

(a) Estudian Algebra e Inglés, pero no Ciencias Naturales. (b) Estudian sólo una materia. (c) Estudian a lo sumo dos materias. 11. Una universidad realiza tres tipos de pruebas a 100 aspirantes y obtiene los siguientes resultados: 2 fracasaron en las tres pruebas; 7, en la primera y en la segunda; 8, en la segunda y en la tercera; 10, en la primera y en la tercera; 25, en la primera; 30, en la segunda; 25, en la tercera. Determine el n´ umero de aspirantes que conforman los siguientes eventos: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

Fracasaron exactamente en una prueba. Aprobaron las tres pruebas. Fracasaron en la primera y en la tercera, pero no en la segunda. Fracasaron en la segunda y en la tercera, pero no en la primera. Fracasaron en al menos una prueba. Aprobaron al menos una prueba Aprobaron la segunda o la tercera, pero no la primera.

12. Un equipo de f´ utbol ha determinado contratar un futbolista de talla internacional para el próximo campeonato. Sean A, B y C eventos que representan al hecho de que el futbolista contratado ha jugado en el Real Madrid, en el Milan y en el Bayern de Munich, respectivamente. Utilice las operaciones de unión, intersección y complemento para describir, en términos de A, B y C, dibuje un diagrama de Venn y sombree la región correspondiente a cada uno. (a) Por lo menos el futbolista ha jugado en uno de los tres equipos mencionados anteriormente. (b) El futbolista ha jugado en los tres equipos mencionados anteriormente. (c) El futbolista ha jugado en el Real Madrid y no en el Milan. (d) El futbolista sólo ha jugado en el Bayern de Munich. (e) El futbolista ha jugado exactamente en uno de los tres equipos mencionados anteriormente.

2.2

Modelo de urnas y t´ ecnicas de conteo

A pesar de la complejidad de muchos procedimientos avanzados, proporcionados por la tecnolog´ıa moderna, el simple proceso de contar resultados de un experimento aleatorio contin´ ua jugando un papel importante en problemas prácticos de la vida cotidiana. Tenemos que contar por ejemplo, el n´ umero de alumnos por grupo, el n´ umero de llamadas recibidas en una oficina por d´ıa, el n´ umero de accidentes ocurridos en los fines de semana, etc. Pero, en muchos problemas como, por ejemplo,


16

• calcular de cuántas formas podemos sentar 10 personas, una al lado de la otra para una foto; • o determinar cuántos n´ umeros de tres cifras se pueden formar con los d´ıgitos del 1 al 9 si no se pueden repetir los d´ıgitos, la tarea no resulta ser fácil si no se desarrollan técnicas especiales de conteo. Debido a que, frecuentemente, es necesario determinar cantidades como estas para poder calcular probabilidades2 , entonces, se hace obligatorio para nosotros estudiar algunas técnicas. Las técnicas especiales de conteo que estudiaremos, y que son fundamentales para el cálculo de algunas probabilidades, son: el conteo por enumeraci´ on de elementos, el conteo a través de diagramas de árbol, el teorema fundamental del conteo, el principio de adici´ on, el conteo de permutaciones y el conteo de combinaciones.

2.2.1

Modelo de urnas

Antes de comenzar a introducir los conceptos y propiedades básicos que caracterizan a cada una de las técnicas mencionadas anteriormente, consideraremos importante enfatizar que muchos experimentos aleatorios pueden describirse por medio de los llamados modelos de urnas, los cuales están caracterizados por los siguientes dos hechos: 1. En una urna hay bolas distinguibles (por ejemplo, numeradas), no distinguibles (por ejemplo, rojas) o mixtas. Estas bolas se consideran como una poblaci´ on. 2. De esta urna se quieren sacar una o más bolas, al mismo tiempo o no, reemplazando o no las bolas seleccionadas antes de seleccionar nuevamente otra(s) bola(s) y observando el orden o no de las bolas extra´ıdas. Las bolas extra´ıdas se consideran como una muestra. Para obtener estas muestras, podemos distinguir los siguientes casos: (a) Seleccionar sin reemplazo. Cada bola seleccionada se deposita fuera de la urna y por eso puede seleccionarse una sola vez. (b) Seleccionar con reemplazo. Cada bola seleccionada se reemplaza en la urna y por eso puede seleccionarse varias veces. (c) Seleccionar considerando el orden. Se seleccionan cierta cantidad de bolas una tras otra y se considera el orden obtenido. En este caso, las bolas seleccionadas se pueden considerar como tuplas ordenadas.3 (d) Seleccionar sin considerar el orden. Se seleccionan cierta cantidad de bolas a la vez (o también una tras otra), pero sin que interese el orden de las bolas extra´ıdas. 2

Concepto que veremos m´ as adelante Por una tupla ordenada se entiende una expresi´ on, por ejemplo, de la forma (a, b, c, d, e, . . . , z), en donde el orden de estas letras es importante. Por ejemplo, para el caso de tener s´ olo dos letras a y b, no es lo mismo (a, b) que (b, a). A la tupla con dos elementos se le llama par ordenado; a la de tres elementos, tripleta ordenada, etc. 3


17

Los cuatro casos se pueden combinar: las bolas se seleccionan con o sin reemplazo y con o sin orden. Inclusive, podemos identificar otros tipos de modelo de urna con base en las situaciones anteriores como, por ejemplo, (e) Seleccionar formando una partici´ on. Seleccionar grupos de bolas sin importar el orden y cada grupo se guarda, por ejemplo, en gavetas numeradas. Esto se hace hasta que no queden bolas en la urna. Ahora, procederemos a explicar las mencionadas técnicas de conteo.

2.2.2

El conteo por enumeraci´ on de elementos

Nuestra primera regla es tratar de enumerar todos los elementos de un espacio muestral y luego contarlos. Esta técnica es adecuada cuando el n´ umero de resultados posibles no es muy grande. Para ilustrar esto, consideremos los siguientes ejemplos. Observe que a la mayor´ıa de ellos lo hemos identificado con un modelo de urna.4 Ejemplo 2.2.1 (Selecci´ on con reemplazo y con orden) Una urna contiene 4 fichas: una azul, una verde, una roja y una negra. ¿Cu´ ales son las distintas maneras de seleccionar dos fichas con reemplazo? SOLUCION: Abreviaremos el color de las fichas con su correspondiente letra inicial: A, V, R y N. Como la selección es con reemplazo, entonces, se selecciona un ficha y se vuelve a introducir en la urna antes de seleccionar la segunda. Por lo tanto, los elementos del espacio muestral son AA, VN,

VA, NV,

AR, RN,

RA, AN, NR, AA,

NA, VV,

VR, RN, RR, NN.

En este ejemplo el orden es importante, por eso aparece AV y VA como dos elementos distintos del espacio muestral. ◭ Ejemplo 2.2.2 (Selecci´ on sin reemplazo y sin orden) ¿De cu´ antas maneras se puede armar un grupo de 2 de entre 4 personas (digamos Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto)? SOLUCION: En esta situaci´ on el orden no interesa (por eso no se utilizan paréntesis al identificar a cada selección del grupo). Es como si coloc´ aramos los nombres de estas cuatro personas en una bolsa y sacáramos dos de ellas al mismo tiempo. Observe que, en este caso, da lo mismo la posibilidad “Greyci, Jeniffer” que “Jeniffer, Greyci” (por eso sin orden). Además, la posibilidad de obtener un grupo conformado por “Greyci, Greyci” no existe (por eso, sin reemplazo). Al tener en cuenta lo anterior, encontramos que los posibles grupos de dos personas que se pueden escoger son: Greyci, Jeniffer, Jennifer, Brian,

Greyci, Brian, Jeniffer, Humberto,

Greyci, Humberto, Brian, Humberto,

Es decir, en total hay 6 maneras posibles de seleccionar un grupo de 2 personas, sabiendo que hay 4 disponibles. ◭ 4

A los que no hemos identificado con un modelo de urna, significa que el ejemplo no se puede clasificar directamente como uno de los modelos de urna descritos anteriormente. En realidad, hay otros tipos de modelos de urna.


18

Ejemplo 2.2.3 (Selecci´ on sin reemplazo y con orden) ¿De cu´ antas maneras se pueden sentar Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto en un sofá que sólo tiene disponible dos puestos? SOLUCION: En este ejemplo el orden es importante porque no es lo mismo, por ejemplo, que Greyci se siente en el primer puesto y Jeniffer en el segundo que lo contrario. Por eso utilizaremos parejas ordenadas para enumerar los posibles resultados. Ahora, es obvio que Greyci no puede aparecer sentada en el primer puesto y en el segundo puesto al mismo tiempo (por eso, sin reemplazo). Es decir, no existe la posibilidad que aparezca el resultado (Greyci, Greyci). Con lo anterior, fácilmente, podemos determinar que las posibles maneras en que se sienten dos personas en el sofá son: (Greyci, Jeniffer), (Jennifer, Brian), (Brian, Humberto),

(Greyci, Brian), (Jeniffer, Humberto), (Humberto, Greyci),

(Greyci, Humberto), (Brian, Greyci), (Humberto, Jeniffer),

(Jeniffer, Greyci) (Brian, Jeniffer) (Humberto, Brian)

Es decir, en total hay 12 maneras posibles de que dos de las cuatro personas se sienten en el sofá de dos puestos. ◭ Ejemplo 2.2.4 (Selecci´ on con reemplazo y sin orden) ¿De cu´ antas formas pueden acomodarse 3 libros iguales de matemáticas (M) y 2 libros iguales de f´ısica (F) en un estante que tiene sólo 5 puestos disponibles? SOLUCION: Como los libros, digamos, de matemáticas son iguales, entonces, no importa el orden en que ellos coloquen en el estante (por eso sin orden). Además, los libros de matemáticas están repetidos (por eso con reemplazo). Igual sucede con los de f´ısica. La organización posible de los 5 libros en el estante son: MMMFF, MFMMF,

FFMMM, MFFMM,

MMFFM, FMFMM,

MMFMF, FMMFM,

MFMFM, FMMMF.

Es decir, en total hay 10 maneras posibles de organizar los 5 libros en el estante.

◭

Ejemplo 2.2.5 (Partici´ on de un espacio muestral) ¿De cu´ antas maneras diferentes pueden Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto acomodarse en una habitación triple y en una habitación sencilla? SOLUCION: En este ejemplo, es dividir a las cuatros personas en grupos de dos (por eso, una partición), donde un grupo tendr´ a 3 personas (que son las que dormirán en la habitación triple) y el otro grupo, 1 persona (que dormirá en la habitación sencilla). Ahora, la pareja (GreyciBrian-Jeniffer, Humberto) significa que las 3 primeras personas duermen en la habitaci´ on triple y la u ´ltima, en la sencilla. Teniendo en cuenta lo anterior, las posibles reparticiones de las cuatro personas son: (Greyci-Brian-Jeniffer, Humberto), (Greyci-Humberto-Jeniffer, Brian),

(Greyci-Brian-Humberto, Jeniffer), (Humberto-Jennifer-Brian, Greyci).

Es decir, en total hay 4 maneras posibles de repartir a 3 personas en una habitación triple y 1 en la sencilla. ◭ Ejemplo 2.2.6 Una joven tiene tres blusas (de marcas A, B y C), dos faldas (de colores azul y roja) y dos pares de zapatos (de cuero y plástico). Utilizando estas siete prendas de


19

vestir, ¿cuántos juegos de ropa diferentes podr´ıa ponerse? SOLUCION: Como podemos ver, los posibles juegos de ropa que la joven pod´ıa ponerse son los siguientes: (A, azul, cuero), (B, azul, cuero), (C, azul, cuero),

(A, azul, plástico), (B, azul, plástico), (C, azul, plástico),

(A, rojo, cuero), (B, rojo, cuero), (C, rojo, cuero),

(A, rojo, plástico) (B, rojo, plástico) (C, rojo, plástico)

O sea, que en total ella podr´ıa ponerse 12 juegos.

2.2.3

◭

El conteo a trav´ es de diagramas de ´ arbol

Cuando el n´ umero de posibilidades no es demasiado grande, se puede utilizar una repre´rbol, para mostrar sentaci´ on gráfica que se conoce con el nombre de diagrama de a todas las secuencias posibles de tales operaciones. Un diagrama de árbol consta de una serie de “ramas” que corresponden a cada una de las formas en que se pueden realizar la operaci´ on. Ilustraremos este diagrama a través de s´ olo un ejemplo. Ejemplo 2.2.7 (Selecci´ on sin reemplazo y con orden) ¿De cu´ antas formas distintas se pueden organizar las letras A, B, C? SOLUCION: El diagrama de árbol correspondiente a esta situaci´ on se presenta en la figura 2.7. Como puede verse en ese diagrama, las diferentes posiblidades se pueden enumerar teniendo en cuenta las u ´ltimas ramas del diagrama. De all´ı, vemos que hay en total seis ramas. Es decir, hay 6 maneras diferentes de organizar las letras dadas.

Fig. 2.7: Diagrama de a´rbol para el ejemplo 2.2.11. ◭

2.2.4

Teorema fundamental del conteo

La siguiente regla de conteo se aplica a cualquier situaci´ on en la cual un evento conste de tuplas ordenadas de objetos y queremos contarlos. Por ejemplo, la mayor´ıa de las situaciones ilustradas por medio de los ejemplos hasta aqu´ı se pueden analizar, sin necesidad de enumerar las diferentes posibilidades y sin elaborar un diagrama de árbol,


20

a través del siguiente teorema. Teorema 2.2.8 (Teorema fundamental del conteo) Si un evento puede ocurrir de m formas y si después que ha sucedido puede seguir un segundo evento que puede ser de cualquiera de n formas, entonces, los dos eventos pueden ocurrir simult´ aneamente en el orden establecido de mn formas. Esta regla se puede extender a cualquier cantidad de eventos. Para resolver cualquier problema de conteo, les sugiero realizar siempre los siguientes pasos: • Primer paso: Determine cu´ antos eventos hay en el problema y si es necesario identifique cada uno de ellos. • Segundo paso: Calcule de cu´ antas formas puede ocurrir cada uno de estos eventos. • Tercer paso: Por u ´ltimo aplique el el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8).

Ejemplo 2.2.9 Un dado se lanza dos veces. Determinar el n´ umero de formas en que se pueden obtener los n´ umeros del dado en los dos lanzamientos. SOLUCION: Como los dos dados no están relacionados en forma alguna cuando se lanzan y como cada uno pueder caer de seis formas distintas, el n´ umero total de formas en que pueden caer, uno después del otro, es 6 · 6 = 36 por el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8) que son Ω = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) .

◭

Ejemplo 2.2.10 Para el ejemplo 2.2.6 pueden ocurrir tres eventos, uno después del otro. Son los siguientes: Escoger una de las 3 blusas, escoger una de las 2 faldas y escoger uno de los dos pares de zapatos. El primer evento puede ocurrir de 3 formas; el segundo, de 2 formas y el tercer, de 2 formas. Por tanto, por el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8), los cuatros eventos uno seguido del otro pueden ocurrir en 3 · 2 · 2 = 12 maneras distintas. ◭ Ejemplo 2.2.11 (Selecci´ on sin reemplazo y con orden) En la situaci´ on del ejemplo 2.2.7 hay tres eventos que debemos considerar: el de escoger a la letra A, el de escoger a la letra B y el de escoger la C. Ahora, para la primera posici´ on hay 3 posibilidades de escoger la primera letra. Si se selecciona una, en la segunda posici´ on habr´ a dos posibilidades y, si selecciona otra, en la u ´ltima habr´ a una posibilidad. Por tanto, por el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8), el total de formas para organizar las tres letras es 3 · 2 · 1 = 6, como se obtuvo en el ejemplo 2.2.7. ◭ Ejemplo 2.2.12 (Selecci´ on sin reemplazo y con orden) Hay cuatro facturas diferentes que un gerente quiere ordenar, de izquierda a derecha, en cuatro lugares distintos de su escritorio. ¿De cu´ antas maneras puede él hacerlo?


21

SOLUCION: Hay dos formas de analizar este ejemplo: como un problema de colocación y como un problema de selección. • Un problema de colocaci´ on. Los cuatro eventos son: A = Colocar la primera factura en uno de los cuatro espacios. B = En seguida, colocar la segunda factura en uno de los tres espacios restantes. C = De los dos espacios a´ un vac´ıos, uno será para la tercera factura. D = La u ´ltima factura va en el u ńico lugar disponible. • Un problema de selecci´ on. Los cuatro eventos son: A = Seleccionar una factura para el primer lugar. B = Después de llenar el primer espacio, se elige la segunda factura de entre las tres restantes C = Luego de ocupar tres espacios, se selecciona la trecera factura de entre las que quedan. D = Colocar la cuarta factura en el u ´ltimo espacio. En cualquiera de las dos situaciones, A puede hacerse de 4 maneras; B, de tres; C, de dos y D, de una sola manera. Por consiguiente, por el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8), el n´ umero total de formas posibles en que el gerente puede ordenar sus facturas es 4 · 3 · 2 · 1 = 24. ◭ Ejemplo 2.2.13 (Selecci´ on sin reemplazo y con orden) Considere la situaci´ on del ejemplo 2.2.3. El primer puesto hay 4 maneras de que se siente una persona. Sentada una all´ı quedarán disponibles 3 personas para el segundo puesto. Por tanto, por el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8) hay 12 = 4 · 3 maneras posibles de que dos de las cuatro personas se sienten en el sofá de dos puestos. ◭

Sin embargo hay situaciones en donde no se puede aplicar (o no se puede aplicar fácilmente) el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8). Algunos ejemplos son los siguientes: Ejemplo 2.2.14 Cuando la selección es (a) sin reemplazo y sin orden como en el ejemplo 2.2.2; (b) con reemplazo y sin orden como en el ejemplo 2.2.4; (c) a través de la partición de un espacio muestral como en el ejemplo 2.2.5 el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8) no es aplicable (directamente). En los dos primeros casos porque no importa el orden y en el tercero, por la estructura del modelo de urna. ◭


2.2.5

22

El principio de adici´ on

Consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.2.15 Cinco empresas de transporte tienen servicio diario entre Barranquilla y Bogotá. Tres empresas de aviación tienen vuelo diario entre Barranquilla y Bogotá. En consecuencia, hay 5 + 3 maneras de ir de Barranquilla a Bogotá en avi´ on o en bus. ◭

En el ejemplo anterior vemos que no es posible aplicar el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8). Para resolver este tipo de problemas es importante considerar el siguiente teorema: Teorema 2.2.16 (Principio de adici´ on) Si los eventos A1, A2, . . ., Ak son mutuamente excluyentes (véase la definici´ on 2.1.7) y si se ocurren de n1, n2, . . ., nk formas diferentes, entonces, el evento A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak ocurre de n1 + n2 + · · · + nk formas diferentes.

Ejemplo 2.2.17 En el lanzamiento de dos dados, ¿de cu´ antas formas se puede obtener que la suma de los n´ umeros sea un siete o un ocho? SOLUCION: Sean A y B los eventos “obtener un siete” y “obtener un ocho”, respectivamente. Entonces, A ∪ B será el evento “obtener un siete o un ocho”. Debido a que A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

y

B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)},

entonces, A y B pueden ocurrir de 6 y 5 formas distintas y, adem´ as, son mutuamente excluyentes. Por consiguiente, por el principio de adición (teorema 2.2.16), el evento A ∪ B ocurrir´ a de 6 + 5 = 11 maneras distintas. ◭ Ejemplo 2.2.18 Consideremos el experimento de lanzar una moneda al aire tres veces. ¿De cuantas formas se puede obtener una, dos o tres caras? SOLUCION: Sean A, B y D los eventos “obtener una cara ” y “obtener dos caras”, “obtener tres caras”, respectivamente. Entonces, A ∪ B ∪ D será el evento “obtener una, dos o tres caras”. Como A = {(C, S, S), (S, C, S), (S, S, C)},

B = {(S, C, C), (C, S, C), (C, C, S)}

y D = {(C, C, C)}

entonces, A, B y D pueden ocurrir de 3, 3 y 1 formas distintas. Obsérvese, adem´ as, que son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, por el principio de adición (teorema 2.2.16), el evento A ∪ B ∪ D ocurrir´ a de 3 + 3 + 1 = 7 maneras diferentes. ◭

2.2.6

Permutaci´ on

´ n es un arreglo ordenado de una cantidad Definici´ on 2.2.19 Una permutacio finita de objetos distintos. Es importante tener en cuenta que toda permutaci´ on se puede identificar como una muestra seleccionada sin o con reemplazo, pero siempre con orden


23

Ejemplo 2.2.20 (Permutaciones de 3 letras, sin reemplazo) ACB es un ejemplo de una permutaci´ on de las letras A, B y C. Hay en total 6 permutaciones de estas letras, a saber (comp´ arese con el ejemplo 2.2.7): ABC ACB

BCA BAC CBA CAB.

◭

Ejemplo 2.2.21 (Permutaciones de 4 letras tom´ andolas de 2 en 2, sin reemplazo) AC es un ejemplo de una permutaci´ on de las letras A, B, C y D, pero tomado solamente dos de ellas. Hay en total 12 permutaciones de estas cuatro letras, tomándolas de 2 en 2, a saber: AB

AC AD BA BC BD CA CB

CD

DA DB

DC.

◭

Ejemplo 2.2.22 (Permutaciones de 4 letras si hay letras iguales, con reemplazo) CAC es un ejemplo de una permutaci´ on de las letras A, C y C. En total hay 3 permutaciones de estas letras: ACC, CAC y CCA. ◭

En la mayor parte de los casos, el total de permutaciones de un conjunto de objetos se puede calcular siempre a través del teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8). De todas formas, para situaciones especiales hay f´ ormulas que nos permiten calcular la cantidad de permutaciones sin necesidad de aplicar el teorema fundamental del conteo (en realidad, estas f´ ormulas se obtienen aplicando este teorema). Las situaciones especiales (relacionadas con permutaciones) que explicaremos a continuaci´ on son las siguientes: • Permutaciones sin repetici´ on de n objetos tomados todos a la vez. • Permutaciones sin repetici´ on de n objetos tomados de k en k (k ≤ n). • Permutaciones circulares. • Permutaciones con repetici´ on de n objetos tomados de k en k (k es cualquier n´ umero natural). • Permutaciones de n objetos de los cuales hay n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, . . ., nk de un k-ésimo tipo, donde n1 + n2 + · · · + nk = n. • Maneras de hacer una partici´ on de un conjunto.

Permutaciones sin repetici´ on de n objetos tomados todos a la vez Teorema 2.2.23 El n´ umero de permutaciones de un conjunto de n elementos distintos es igual a n! := 1 · 2 · · · (n − 1) · n, siendo 0! := 1. El s´ımbolo “!” se conoce con el nombre de factorial. Cuando escribamos, por ejemplo, 5! leeremos “5 factorial”. Algunos valores factoriales son los siguientes: 1! = 1,

2! = 2 · 1 = 2,

3! = 3 · 2 · 1 = 6,

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24,

etc.

Las permutaciones de este tipo se pueden considerar como muestras seleccionadas sin reemplazo.


24

Ejemplo 2.2.24 (Permutaciones de 4 objetos, sin reemplazo) El ejemplo 2.2.12 se puede resolver también aplicando el teorema 2.2.23 porque el gerente quiere ordenar sus cuatro facturas disponiendo sólo de cuatro espacios posibles. Aplicando este teorema, tenemos que el gerente puede ordenar sus facturas de 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras, que fue el resultado obtenido aplicando el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8). ◭ Ejemplo 2.2.25 (Permutaciones de 8 objetos, sin reemplazo) Suponga que una empresa dispone de ocho m´ aquinas atornilladoras y de ocho espacios en el área de producci´ on. ¿De cu´ antas maneras diferentes se pueden acomodar estas ocho m´ aquinas en los ocho espacios disponibles? SOLUCION: Podemos aplicar directamente el teorema 2.2.23 puesto que tenemos un total de n = 8 objetos que queremos ordenar entre s´ı. Es decir, hay 8! = 40.320 maneras de ordenar las ocho m´ aquinas en los ocho espacios disponibles. ◭ Ejemplo 2.2.26 (Permutaciones de 5 objetos, sin reemplazo) Se le pide a un consumidor que ordene, por orden de preferencia, el sabor de cinco marcas de cerveza. Si al consumidor le es indiferente cualquiera de estas cinco marcas, entonces, el n´ umero de permutaciones que resultan será 5! = 120. ◭ Ejemplo 2.2.27 (Permutaciones de 12 objetos, sin reemplazo) Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de f´ısica y dos diferentes de qu´ımica se colocan en un estante. ¿De cu´ antas formas distintas es posible ordenarlos si (a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos, (b) solamente los libros de matemáticas deben estar juntos? SOLUCION: (a) Los libros de matemáticas pueden ordenarse entre ellos de 4! formas, los libros de f´ısica de 6! formas, los libros de qu´ımica de 2! formas y los tres grupos de 3! formas. Por consiguiente, n´ umero de ordenaciones pedido = 4! 6! 2! 3! = 207.360. (b) Considerar los cuatro libros de matemáticas como un solo libro. Entonces, se tienen 9 libros que pueden ordenarse de 9! formas. En todos estos casos, los libros de matemáticas están juntos. Pero, los libros de matemáticas pueden ordenarse entre ellos de 4! formas. Por consiguiente, n´ umero de ordenaciones pedido = 9! 4! = 8.709.120.

◭

Permutaciones sin repetici´ on de n objetos tomados de k en k (k ≤ n) Hay situaciones en donde podemos hallar las permutaciones de n objetos distintos tomándolos de k en k, como se ilustr´ o en el ejemplo 2.2.21. Para calcular el n´ umero de permutaciones de este tipo, podemos tener en cuenta el siguiente teorema: Teorema 2.2.28 El n´ umero de permutaciones de un conjunto de n elementos n! distintos tomados de k en k es igual a (n−k)! . Las permutaciones de este tipo también se pueden considerar como muestras seleccionadas sin reemplazo. Adem´ as, obsérvese que cuando k = n, este resultado coincide siempre con el del teorema 2.2.23.


25

Ejemplo 2.2.29 (Permutaciones de 2 en 2, sin reemplazo) Por el teorema 2.2.28, el n´ umero de permutaciones de las letras A, B, C y D, tomadas de dos en dos es igual a 4! arese con el ejemplo 2.2.21). ◭ (4−2)! = 12 (compa´ Ejemplo 2.2.30 (Permutaciones de 5 en 5, sin reemplazo) ¿De cu´ antas formas diferentes se pueden sentar 8 alumnos en una oficina con sólo 5 sillas? SOLUCION: Por el teorema 2.2.28, el n´ umero de formas en que se pueden sentar 8 alumnos en una oficina 8! = 6.720. ◭ con 5 sillas es igual a (8−5)! Ejemplo 2.2.31 (Permutaciones de 3 en 3, sin reemplazo) ¿Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras sin repetición se pueden formar con los d´ıgitos 8, 2, 5, 4 y 7? SOLUCION: 5! = 60 formas. ◭ Nuevamente, por el teorema 2.2.28, esto se puede hacer de (5−3)! Ejemplo 2.2.32 (Permutaciones de 4 en 4, sin reemplazo) Una sección de maquinaria determinada consta de cuatro piezas y puede ser ensamblada poniendo las piezas en cualquier orden. Supóngase que se decide estudiar el tiempo de ensamblaje para esta secci´ on de maquinaria midiendo el tiempo que requiere para cada uno de los ensamblajes resultantes de tomar las piezas en distinto orden. ¿Cu´ antas de estas mediciones habr´ a que hacer? SOLUCION: 4! = 24. ◭ Por el teorema 2.2.28, el n´ umero total de mediciones es (4−4)!

Permutaciones circulares Ahora estudiaremos algunas situaciones de arreglos circulares. Para ello consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.2.33 (Permutaci´ on circular) Sabemos que si queremos sentar a Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto, una al lado de la otra en fila, el n´ umero de arreglos que podemos hacer es 4! = 60. Ahora bien, si los queremos sentar alrededor de una mesa circular, ¿de cu´ antas maneras lo podemos hacer? SOLUCION: Al considerar a una persona en un lugar fijo (digamos Greyci) y acomodar a las otras tres personas en 3! formas diferentes, se encuentra que hay 6 arreglos distintos alrededor de la mesa circular (comp´ arese con la figura 2.8).

Este ejemplo también se puede resolver directamente aplicando directamente el siguiente teorema: Teorema 2.2.34 El n´ umero de permutaciones de n objetos distintos acomodados en un c´ırculo es (n − 1)!.

Ejemplo 2.2.35 (Permutaci´ on circular) ¿De cu´ antas formas pueden sentarse Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto alrededor de una mesa circular si Greyci y Humberto no deben estar una al lado de la otra? SOLUCION: Considérense las dos personas que no deben ir juntas como una sola. Entonces hay 3 personas para sentarse en la mesa circular, que lo pueden hacer de 2! formas. Pero las dos personas


26

Fig. 2.8: Permutaci´ on de 4 personas en una mesa circular. ◭ consideradas como una sola se pueden ordenar de 2! maneras. Por consiguiente, el n´ umero de permutaciones de 3 personas alrededor de una mesa circular si dos de ellas pueden estar juntas es 2! 2! = 4, que son las “mesas no sombreadas” de la figura 2.9.

Fig. 2.9: Las mesas sombreadas son las permutaciones en que Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto se pueden organizar si Greyci y Humberto no deben estar juntas. Entonces, el n´ umero total de formas en que Greyci, Jeniffer, Brian y Humberto pueden sentarse alrededor de una mesa circular si Greyci y Humberto no deben estar una al lado de la otra es 4 − 2 = 2 formas, que corresponden a las “mesas sombreadas” de la figura 2.9. ◭

Permutaciones con repetici´ on de n objetos tomados de k en k (k es cualquier n´ umero natural) Veamos otra aplicaci´ on del teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8). Ejemplo 2.2.36 (Permutaciones de 2 en 2, k > n, con reemplazo) Supongamos que tenemos 3 ni˜ nos de un colegio de primaria y 2 sabores de helados disponibles (digamos, fresa y mango). ¿De cu´ antas maneras diferentes podemos servir un helado a los 3 ni˜ nos? SOLUCION: Al primer ni˜ no le podemos servir uno de los 2 sabores, al segundo ni˜ no también le podemos


27

servir de los 2 sabores y al tercero, también, uno de los 2 sabores. Por consiguiente, por el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8), hay 2 · 2 · 2 = 23 = 8 maneras diferentes de servir un helado a los 3 ni˜ nos. Estas posibilidades son las siguientes: (fresa, fresa, fresa), (fresa, mango, mango), (mango, mango, fresa),

(fresa, fresa, mango), (mango, fresa, fresa), (mango, mango, mango),

(fresa, mango, fresa), (mango, fresa, mango),

en donde, por ejemplo, la tripleta (fresa, mango, mango) significa que el primer ni˜ no pidió un helado de fresa, el segundo de mago y el tercero, de mango. ◭

Este ejemplo se puede categorizar como un modelo de urna en donde las muestras son seleccionadas con orden y con reemplazo. En este tipo de situaciones se están considerando aquellas permutaciones con repetici´ on de n objetos distintos tomándolos de k en k y en donde k es cualquier n´ umero natural. Para calcular este n´ umero de permutaciones podemos aplicar el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8) o, simplemente, aplicar el siguiente teorema: Teorema 2.2.37 Sea k cualquier n´ umero natural. El n´ umero de permutaciones con repetici´ on de n objetos distintos tom´ andolos de k en k es igual a nk. Obsérvese que las permutaciones de este tipo se pueden considerar como muestras seleccionadas con reemplazo.

Ejemplo 2.2.38 (Permutaciones de 3 en 3, k < n, con reemplazo) ¿Cu´ antos n´ umeros de 2 cifras con repetición se pueden fomar usando todos los siguientes d´ıgitos: 5, 2 y 3? SOLUCION: Por el teorema 2.2.37, hay 32 = 9 n´ umeros de dos cifras con repetición y son 55, 52, 53, 25, 22, 23, 35, 32 y 33. ◭ Ejemplo 2.2.39 (Permutaciones de 4 en 4, k > n, con reemplazo) ¿De cu´ antas formas podemos contestar un examen con 10 preguntas de selección m´ ultiple, si cada pregunta tiene 4 posibilidades de respuesta? SOLUCION: Por el teorema 2.2.37, hay 410 = 1.048.576 formas de responder las 10 preguntas, si cada una de ellas tiene cuatro posibilidades de respuesta. ◭ Ejemplo 2.2.40 (Permutaciones de 5 en 5, k = n, con reemplazo) Un ladrón quiere abrir una caja fuerte. Observa que para abrirla debe manipular un dispositivo de seguridad formado por cinco anillos y cada uno marcado con los d´ıgitos 1, 2, 3, 4 y 5, pero no sabe la combinación correcta. ¿Cu´ al es el n´ umero m´ aximo de intentos incorrectos que puede realizar antes de encontrar la combinación correcta? SOLUCION: En cada uno de los 5 anillos pueden ponerse los 5 d´ıgitos. As´ı que, por el teorema 2.2.37 con n = k = 5, hay 55 = 3.125 posibilidades de escoger una clave. Pero como una de estas 3.125 es la correcta, el n´ umero m´ aximo de intentos incorrectos es 3.124. ◭


28

Permutaciones de n objetos en donde hay n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, . . ., nk de un k-´ esimo tipo, con n1 + n2 + · · · + nk = n Ahora consideraremos algunas permutaciones de n objetos, en donde algunos grupos de objetos son iguales entre s´ı, como podemos observar los ejemplos 2.2.4 y 2.2.22. Para calcular permutaciones de este tipo se puede aplicar el siguiente teorema: Teorema 2.2.41 El n´ umero de permutaciones de n objetos en donde hay n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo, . . ., nk de un k-ésimo tipo, con n1+n2+· · ·+nk = n, es n! , n1! n2! · · · nk! donde n1, . . . , nk son n´ umeros naturales. Ejemplo 2.2.42 (Permutaci´ on con 7 grupos de objetos iguales) ¿Cu´ antas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra “estad´ıstica”? (También cuentan palabras sin sentido como, por ejemplo, “setadistica”) SOLUCION: Obsérvese que en la palabra “estad´ıstica” hay n = 11 letras, distribuidas as´ı: 1 “e”, 2 “s”, 2 “t”, 2 “a”, 1 “d”, 2 “i” y 1 “c”. Por tanto, aplicando el teorema 2.2.41, se concluye que podemos formar 11! = 2.494.800 1! 2! 2! 2! 1! 2! 1! palabras distintas con las letras de la palabra mencionada anteriormente. ◭ Ejemplo 2.2.43 (Permutaci´ on con 2 grupos de objetos iguales) ¿Cu´ antas se˜ nales diferentes se pueden hacer con 5 banderas de las cuales 2 son azules y 3, rojas? SOLUCION: nales que se pueden hacer. ◭ De acuerdo al teorema 2.2.41, hay 2!5!3! = 10 se˜

Maneras de hacer una partici´ on de un conjunto A menudo interesa determinar el n´ umero de formas en que se pueden repartir n objetos en k subconjuntos (llamados celdas5 ) como sucede en la situaci´ on del ejemplo 2.2.5. En general, este n´ umero de formas se pueden calcular directamente con ayuda del siguiente teorema: Teorema 2.2.44 El n´ umero de formas de partir n objetos distintos en donde en k celdas con n1 objetos en la primera celda, n2 en la segunda tipo, . . ., nk en la k-ésima celda, con n1 + n2 + · · · + nk = n, es n n! . = n1! n2! · · · nk! n1, n2, . . . , nk No importa el orden de los objetos dentro de cada celda. 5

En el ejemplo 2.2.5, se han considerado 2 celdas: las habitaciones triple y sencilla.


29

Ejemplo 2.2.45 (Partici´ on en 3 celdas) Doce estudiantes van a viajar en carros distintos a cierta ciudad. Si 3 de ellos van en un carro, 4 en otro carro y 5 en el otro, ¿de cu´ antas maneras se pueden acomodar si cualquiera puede conducir? SOLUCION: Por el teorema 2.2.44, hay 12 12! = = 27.720 3, 4, 5 3! 4! 5! formas en que los 12 estudiantes se pueden acomodar en los tres carros, viajando 3, 4 y 5 estudiantes en carros distintos. ◭

2.2.7

Combinaci´ on

Cuando tratamos con permutaciones de objetos, el orden de escogencia o de colocaci´ on es importante. Hay ocasiones en que no nos interesa considerar conjuntos de objetos donde el orden no es importante. Cuando esto ocurre, la escogencia se llama combinaci´ on. Definici´ on 2.2.46 Una escogencia de k objetos de un conjunto de n objetos distin´ n. tos, sin importar el orden en que los k objetos son escogidos, se llama combinacio Una combinaci´ on puede ser con repetici´ on o sin repetici´ on.

Ejemplo 2.2.47 (Combinaciones tomadas de 2 en 2, sin repetici´ on) Todas las posibles combinaciones de las n = 5 letras A, B, C, D y E, tomadas de dos en dos (o sea, k = 2) sin repetición son AB,

AC,

AD,

AE,

BC,

BD,

BE,

CD,

CE,

DE.

Es decir, en total hay 10 posibles formas de escoger dos letras de un total de 5, cuando el orden no importa y la selección es sin repetición. Obsérvese que, en este caso, da lo mismo escoger AB y BA (es decir, no importa el orden). ◭ Ejemplo 2.2.48 (Combinaciones tomadas de 2 en 2, con repetici´ on) Todas las posibles combinaciones de las n = 5 letras A, B, C, D y E, tomadas de dos en dos (o sea, k = 2) con repetición son AB, CE,

AC, DE,

AD, AA,

AE, BB,

BC, CC,

BD, DD,

BE, EE.

CD

Es decir, en total hay 15 posibles formas de escoger dos letras de un total de 5, cuando el orden no importa y la selección es con repetición. ◭ Ejemplo 2.2.49 (Diferentes problemas con combinaciones) Otros casos en donde se presentan problemas con combinaciones, son los siguientes: (a) En una caja hay n = 5 fichas numeradas y se sacan k = 3 fichas, una detr´ as de otra, sin reponer y sin importar el orden. (b) Se reparten n = 10 fichas diferentes y numeradas sobre k = 6 puestos no numerados de tal forma que, en cada puesto haya exactamente una ficha.


30

(c) Repartir k = 7 fichas iguales no numeradas sobre n = 9 puestos numerados, de tal forma que en cada puesto haya a lo m´ as una ficha. ◭

Pero, ¿c´ omo calculamos el n´ umero de combinaciones de un conjunto de objetos sin enumerar tales combinaciones? El siguiente teorema nos da la respuesta. Teorema 2.2.50 El n´ umero de combinaciones de k objetos seleccionados, sin repetici´ on, de un conjunto de n elementos, es n n n! , siendo := 1. := k!(n − k)! 0 k Y el n´ umero de combinaciones de k objetos seleccionados con repetici´ on, de un conjunto de n elementos, es n (n − 1)! n := := 1. , siendo k r 0 k!(n − 1)! Los n´ umeros nk se conocen con el nombre de coeficiente binomial porque aparecen como coeficientes de ak bn−k , con 0 ≤ k ≤ n, en el desarrollo binomial de (a + b)n como se muestra a continuaci´ on: ! n X n k n−k n a b , para todo a, b ∈ R. (a + b) = k k=0

Ejemplo 2.2.51 (Combinaciones tomadas de 4 en 4, sin repetici´ on) Una pieza de un radio puede ser comprado de cualquiera de cinco proveedores. ¿De cu´ antas maneras se pueden escoger cuatro de los cinco proveedores? SOLUCION: ◭ Por el teorema 2.2.50, esto se puede hacer de 54 = 5 maneras.

Ejemplo 2.2.52 (Combinaciones tomadas de 2 en 2, con repetici´ on) Por el teorema 2.2.50, el n´ umero de las posibles combinaciones de las n = 5 letras A, B, C, D y E, tomadas de dos en dos (o sea, k = 2) con repetición es igual a 52 r = 15 (xcomp´ arese con el ejemplo 2.2.48). ◭

Debido a que las combinaciones con repetici´ on son poco usuales en la práctica, de ahora en adelante, todas las copmbinaciones que se seleccionen serán sin repetici´ on. Ejemplo 2.2.53 (Combinaciones tomadas de 8 en 8) Por el teorema 2.2.50, un comité de k = 3 mujeres de un grupo de n = 8, se puede escoger de 83 = 56 maneras. ◭

Ejemplo 2.2.54 (Combinaciones tomadas de 5 en 5) De un total de 5 matemáticos y 7 f´ısicos, se forma un comité de 2 matemáticos y 3 f´ısicos. ¿De cu´ antas maneras puede formarse, si (a) puede pertenecer a él cualquier matemático y f´ısico, (b) un f´ısico determinado debe pertenecer al comité, (c) dos matemáticos determinados no pueden pertenecer al comité? SOLUCION:


31

(a) 2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 52 = 10 maneras. Ahora, 3 f´ısicos de un total de 7 pueden elegirse de 73 = 35 maneras. Por consiguiente,

n´ umero total de selecciones posibles = 10 · 35 = 350. (b) 2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 52 = 10 maneras. Ahora, 2 f´ısicos restantes de un total de 6 pueden elegirse de 62 = 15 maneras. Por consiguiente, n´ umero total de selecciones posibles = 10 · 15 = 150. (c) 2 matemáticos de un total de 3 pueden elegirse de 32 = 3 maneras. Ahora, 3 f´ısicos de un total de 7 pueden elegirse de 73 = 35 maneras. Por consiguiente, n´ umero total de selecciones posibles = 3 · 35 = 105.

◭

El n´ umero de combinaciones de n objetos tomados de k en k está relacionado con el n´ umero de permutaciones de n objetos tomados de k en k. Observemos que cada combinaci´ on puede arreglarse de k! maneras distintas. Si aplicamos el teorema fundamental del conteo (teorema 2.2.8), el n´ umero total de permutaciones de n objetos distintos tomados de k en k es igual al producto de k! y al n´ umero de combinaciones de n objetos distintos tomados de k en k, o sea, igual a k! n k . Esto se puede resumir en el siguiente teorema: Teorema 2.2.55 El n´ umero total de permutaciones de n objetos distintos tomados de k en k es igual al producto de k! y al n´ umero de combinaciones de n objetos n distintos tomados de k en k, o sea, igual a k! k . Ejemplo 2.2.56 (Permutaciones de 5 en 5) Por el teorema 2.2.28, el n´ umero de formas en que se pueden sentar 8 alumnos en una oficina con 5 sillas es igual a 5! 85 = 6.720, que coincide con el resultado obtenido en el ejemplo 2.2.30. ◭

✍ Ejercicios de la secci´ on 2.2 13. En un reinado mundial de la belleza, el jurado calificador debe elegir de un total de cinco finalistas a la nueva reina mundial de la belleza. ¿De cuántas formas se puede seleccionar (a) reina y virreina? (b) reina, virreina y primera princesa? (c) dos candidatas para ser reina? 14. En un estudio médico, los pacientes se clasifican de acuerdo a su peso (liviano, normal, pesado) y también de acuerdo a su estatura (medio bajo, bajo, alto y medio alto). Enumere las diferentes posibilidades en las que un paciente se puede clasificar. ¿Cuántas posibilidades hay? 15. Si un experimento consiste en lanzar un dado, luego, lanzar una moneda y después escoger al azar una letra de nuestro alfabeto, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral correspondiente? (Suponga que nuestro alfabeto tiene 27 letras) 16. Los estudiantes de un curso de estad´ıstica se clasifican como estudiantes de administraci´ on, econom´ıa o ingenier´ıa; como repitente o no repitente y también como hombre o mujer. Encuentre el n´ umero total de clasificaciones posibles para los estudiantes de dicho curso.


32

17. Dados los d´ıgitos 0, 2, 4, 5, 6, 8 y 9. Si no se aceptan repeticiones, (a) ¿cuántos n´ umeros de tres d´ıgitos se pueden formar? (b) ¿cuántos de esos n´ umeros son m´ ultiplos de 5? 18. En un determinado almacén, ciertas lámparas se reciben en cuatro estilos diferentes, con cada estilo disponible en cinco colores diferentes. Si el almacén desea mostrar lámparas que muestren la totalidad de de los diversos estilos y colores, ¿cuántas diferentes lámparas tendr´ıa que mostrar? 19. ¿De cuántas maneras diferentes se puede responder un cuestionario de falso-verdadero que tiene 10 preguntas? 20. Un medicamento para problemas renales se puede adquirir de seis laboratorios diferentes en forma de jarabe, tabletas, cápsulas o inyección, todas de concentración alta o baja. ¿De cuántas maneras diferentes puede un doctor recetar el medicamento a un paciente que tenga problemas renales. 21. Supongamos que 7 personas se quieren organizar en una fila. (a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo? (b) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo si una de ellas no debe estar al comienzo de la fila? 22. En un concurso nacional de canto, los seis finalistas son 3 hombres y 3 mujeres. Encuentre el n´ umero de ordenamientos posibles al final del concurso para (a) los seis finalistas, (b) las tres primeras posiciones. 23. Humberto ha visto un accidente de tránsito en el que el culpable huye. A pesar de esto le dice a la polic´ıa que la placa del carro en el que viajaba el culpable ten´ıa tres letras (de las cuales las dos primeras eran C y A) y tres d´ıgitos (de los cuales el u ´ltimo era 0). Encuentre el n´ umero máximo de placas de carro que la polic´ıa debe verificar bajo cada una de las siguientes condiciones (nuestro alfabeto tiene 27 letras): (a) Las tres letras son diferentes y los tres d´ıgitos también. (b) Las tres letras son diferentes y los dos d´ıgitos que faltan son diferentes entre s´ı, (c) La letra que hace falta es diferente a la A y los d´ıgitos que hacen falta son diferentes e impares. 24. La mayor accionista de una determinada empresa decide que en el futuro se divida el presupuesto de publicidad entre tres agencias. Seis son las agencias que se están considerando para este trabajo. ¿Cuántas son las posibles elecciones de tres agencias? 25. Supongamos que se quieren formar n´ umeros de tres d´ıgitos con los d´ıgitos 0, 2, 4, 5, 7, 8 y 9. (a) ¿Cuántos n´ umeros resultan si los d´ıgitos pueden estar repetidos? (b) ¿Cuántos n´ umeros resultan si cada d´ıgito puede usarse sólo una vez? (c) ¿Cuántos n´ umeros resultan si los n´ umeros resultantes son impares y si los d´ıgitos pueden estar repetidos? (d) ¿Cuántos n´ umeros resultan si los n´ umeros resultantes son pares y si cada d´ıgito puede usarse sólo una vez? (e) ¿C´ uantos n´ umeros son menores que 440 y si los d´ıgitos pueden estar repetidos? (f) ¿Cuántos n´ umeros resultan si el primer d´ıgito es 5 y si cada d´ıgito puede usarse sólo una vez?


33

26. ¿De cuántas maneras se pueden parquear siete carros con modelos distintos en una calle si hay tres zonas disponibles en un lado de la calle y cuatro en el lado opuesto? 27. ¿De cuántas maneras pueden sentarse tres hombres y tres mujeres en una fila con seis puestos si se deben alternar? 28. ¿Cuáles y cuántas son las muestras ordenadas, con reemplazo, de tama˜ no dos de la población consistente en los (a) tres valores 2, 4 y 6; (b) cuatro valores 0, 2, 4 y 6. 29. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formada por seis asientos. Supongamos que se sientan al azar. Determine el n´ umero de formas diferentes en que se pueden sentar teniendo en cuenta cada una de las siguientes situaciones: (a) No hay restricción alguna. (b) Todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres. (c) Exactamente una pareja (digamos, Luis y Matilde) están sentadas en los dos asientos del extremo derecho. (d) Luis y Matilde están sentadas uno junto a la otra. (e) Luis y Matilde están sentados juntos en la extrema izquierda y otra pareja (digamos, Jorge y Nubia) está sentada juntos en el medio. (f) Jorge y Nubia están sentados juntos en el medio y los otros dos esposos (digamos, Luis, Ricardo) están sentados junto a sus respectivas esposas (Matilde y Ana, respectivamente). (g) Todos los esposos están sentados junto a sus respectivas esposas. 30. ¿De cuántas maneras se pueden llenar las 11 posiciones inciales de un equipo de f´ utbol con 17 jugadores que pueden jugar en cualesquiera de las posiciones? 31. ¿De cuántas maneras se pueden sembrar seis árboles diferentes en un c´ırculo si (a) no hay restricción alguna, (b) hay dos en especial que deben estar juntos, (c) hay dos en especial que no deben estar juntos? 32. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con la palabra “Barranquilla” (las palabras no necesariamente deben tener sentido) si (a) no hay restricción alguna, (b) la primera letra debe ser una “q” y la u ´ltima una “a”. 33. ¿De cuántas maneras se pueden permutar tres focos rojos, cuatro bolas blancas y dos fichas amarillas si los objetos del mismo tipo (a) se pueden distinguir, (b) no se pueden distinguir. 34. Catorce personas deciden ir a ver un partido de f´ utbol en cuatro carros que llevan dos, tres, cuatro y cinco personas, respectivamente. ¿De cuántas maneras es posible transportar a las catorce personas hasta el estadio si cualquiera puede conducir? 35. Dados los d´ıgitos 0, 1, 3, 6, 8 y 9. Si no se aceptan repeticiones: (a) ¿cuántos n´ umeros de cuatro d´ıgitos se pueden formar? (b) ¿cuántos de esos n´ umeros son pares? (c) ¿cuántos son impares? (d) ¿cuántos de los n´ umeros obtenidos en (a) son mayores de 3.000? 36. ¿De cuántas maneras se pueden repartir dos contratos a tres empresas A, B y C si cada empresa puede tener 0, 1 o´ 2 contratos? Descr´ıbalas.

2.3 Introducci´ on a la probabilidad

34

37. Si una prueba de opci´ on m´ ultiple consiste en cuatro preguntas cada una con tres respuestas posibles de las que sólo una es correcta. (a) ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir un estudiante una respuesta a cada pregunta? (b) ¿De cuántas maneras puede escoger un estudiante una respuesta a cada pregunta y tener mal todas las respuestas? (c) ¿De cuántas maneras puede escoger un estudiante una respuesta a cada pregunta y tener por lo menos una respuesta correcta? 38. Las placas para autos en Barranquilla antes ten´ıan dos letras y cuatro n´ umeros. El sistema de nomenclatura cambió y ahora son de tres letras y tres n´ umeros. Con el sistema actual, ¿aumentó o disminuyó el n´ umero de placas que se pueden emitir? ¿En qué porcentaje?

2.3

Introducci´ on a la probabilidad

Antes de se˜ nalar como se utilizan las probabilidades, es necesario conocer de cierta manera de donde provienen. Básicamente, explicaremos 4 formas de calcular o estimar la probabilidad, a saber, mediante los siguientes métodos: • Método axiomático, construido con base en tres axiomas. • Método de la frecuencia relativa que se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran n´ umero de experimentos repetidos. • Método clásico, que proviene de los juegos de azar y se emplea para espacios muestrales finitos con resultados que suceden con la misma probabilidad. • Método subjetivo, que nos permite asignar probabilidades con fundamento en la intuici´ on, o en la creencia personal.

2.3.1

Definici´ on matem´ atica de probabilidad

Al igual que la geometr´ıa, el álgebra y otras disciplinas matemáticas, también, la teor´ıa de la probabilidad se construye a través de axiomas, los cuales se enumeran a continuaci´ on: Axioma 2.3.1 Sean Ω 6= ∅ un espacio muestral finito y F un conjunto de eventos de Ω. Una funci´ on P : F −→ R se llama una probabilidad si se cumplen los siguientes 3 axiomas: (a) La probabilidad de cualquier evento debe ser siempre mayor o igual que cero, es decir, P(A) ≥ 0, para todo A ∈ F. (b) La probabilidad del espacio muestral siempre es uno, es decir, P(Ω) = 1. (c) Para cada n eventos A1, A2, . . . An de F, mutuamente excluyentes (véase la definici´ on 2.1.7), si se cumple que P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = P(A1) + P(A2) + · · · + P(An).


35

Es importante enfatizar que el conjunto F, mencionado en la definici´ on anterior, deber estar construido de tal manera que cumpla las siguientes propiedades: (a) Ω siempre debe estar en F. (b) Si A est´ a en F, entonces, el complemento A de A también debe estar en F. (c) Si A1 , A2 , . . . An est´ an en F, entonces, la uni´ on A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An de todos estos eventos también debe estar en F.

El axioma (a) refleja la noci´ on intuitiva de que la probabilidad de que ocurra cualquier evento A debe ser por lo menos 0, as´ı que las probabilidades negativas no se permiten. El axioma (b) se˜ nala que la probabilidad máxima posible de 1 se asigna al espacio muestral Ω. El axioma (c) formaliza la idea de que si deseamos la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de varios eventos y no pueden ocurrir dos de estos eventos simultáneamente, entonces, la probabilidad de que ocurra al menos uno es la suma de las probabilidades de los iventos indivuduales. Teniendo en cuenta el axioma 2.3.1, se demuestran las siguientes propiedades: Teorema 2.3.2 Para eventos A, B, C de un espacio muestral Ω 6= ∅ se tiene: (a) P(∅) = 0. (b) Si los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes, entonces, P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C). (c) P(A) = 1 − P(A), siendo A el complemento de A. (d) 0 ≤ P(A) ≤ 1. (e) P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B). ´ n para 2 eventos o fo ´ rmula de Silvester: (f ) Teorema de adicio P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). ´ n para 3 eventos o fo ´ rmula de Silvester: (g) Teorema de adicio P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C). La demostraci´ on del teorema anterior no está dentro del prop´ osito de este libro. Ejemplo 2.3.3 Sean A, B y C eventos tales que P(A) = 0, 50, P(B) = 0, 26, P(C) = 0, 55, P(A ∩ B) = 0, 15, P(A ∩ C) = 0, 25, P(B ∩ C) = 0, 15 y P(A ∩ B ∩ C) = 0, 05. Calcular las siguientes probabilidades: (a) P(A ∪ B), (b) P(A ∩ C), (c) P(A ∪ C) y (d) P(A ∪ B ∪ C). SOLUCION: (a) Teniendo en cuenta el teorema de adición para 2 eventos (véase la parte (f) del teorema 2.3.2), se tiene que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0, 50 + 0, 26 − 0, 15 = 0, 61.


36

(b) Teniendo en cuenta el teorema 2.3.2(e), se obtiene que P(A ∩ C) = P(A) − P(A ∩ C) = 0, 50 − 0, 25 = 0, 25. (c) Teniendo en cuenta la parte (c) del teorema 2.3.2, las leyes de de Morgan (comp´ arese con el teorema 2.1.14(i)) y la parte (b) de este ejercicio, se tiene P(A ∪ C) = 1 − P(A ∪ C) = 1 − P(A ∩ C) = 1 − 0, 25 = 0, 75. (d) Teniendo en cuenta el teorema de adición para 3 eventos (véase la parte (g) del teorema 2.3.2), se tiene que P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) = =

0, 50 + 0, 26 + 0, 55 − 0, 15 − 0, 25 − 0, 15 + 0, 05 0, 81.

Alternativamente, las respuestas encontradas en los ejercicios (a)-(d) pueden ser obtenidas con ayuda de las probabilidades que aparecen en el siguiente diagrama de Venn:

Fig. 2.10: Diagrama de Venn para el ejemplo 2.3.3 ◭

2.3.2

Probabilidad emp´ırica

´todo de la frecuencia relativa, el Este concepto esá basado en el llamado me cual utiliza datos que se han observado emp´ıricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido alg´ un evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base en estos datos hist´ oricos. En este método juega papel fundamental el concepto de frecuencia relativa para estimar las probabilidades. Definici´ on 2.3.4 Supongamos que un experimento aleatorio se repite n veces y que un evento A asociado con estas n repeticiones ocurre exactamente k veces. Entonces, k . la frecuencia relativa del evento A es fn = n Si continuamos calculando esta frecuencia relativa para cada cierto n´ umero de ensayos, a medida que aumentamos n, las frecuencias relativas correspondientes serán más estables,


37

es decir, tienden a ser casi las mismas. En este caso, decimos que el experimento muestra regularidad estad´ıstica o estabilidad en las frecuencias relativas. Esto se ilustra en los siguientes dos ejemplos. Ejemplo 2.3.5 Considere la tabla 2.11, en donde se muestran datos tomados al lanzar una moneda 1.000 veces.

N´ umero de Lanzamientos 1 - 100 101 - 200 201 - 300 301 - 400 401 - 500 501 - 600 601 - 700 701 - 800 801 - 900 901 - 1.000 Total: 1.000

N´ umero de caras 52 53 52 47 51 53 48 46 52 54 508

Frecuencia relativa 0,52 0,53 0,52 0,47 0,51 0,53 0,48 0,46 0,52 0,54 0,508

Frecuencia acumulada 52 105 157 204 255 308 356 402 454 508

Frecuencia Acumulada relativa 0,520 0,525 0,523 0,510 0,510 0,513 0,509 0,503 0,504 0,508

Fig. 2.11: Lanzamiento de una moneda 1.000 veces En un total de 1.000 lanzamientos ocurrieron 508 caras, es decir, la frecuencia relativa es aproximadamente 0,5, que es la probabilidad de obtener una cara. ◭ Ejemplo 2.3.6 La tabla 2.12 muestra experimentos hechos por tres investigadores:

Hecho por Buffon K. Pearson K. Pearson

N´ umero de Lanzamientos 4.040 12.000 24.000

N´ umero de caras 2.048 6.019 12.012

Frecuencia relativa de caras 0,5069 0,5016 0,5005

Fig. 2.12: Lanzamientos de una moneda realizada por 3 investigadores Obsérvese que en cada una de las investigaciones, la frecuencia relativa del n´ umero de caras es aproximadamente 0,5, que es la probabilidad de obtener una cara. ◭

En la gran mayor´ıa de los experimentos aleatorios de importancia práctica tienen estabilidad. Por esto podemos sopechar que prácticamente será cierto que la frecuencia relativa de un evento A en un gran n´ umero de experimentos es aproximadamente igual k , a un determinado n´ umero P(A), o sea, la probabilidad del evento es P(A) = lim n n→∞ como podemos verificar con ayuda de los ejemplos 2.3.5 y 2.3.6, siendo A en estos dos ejemplos el evento “obtener una cara”. Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente


38

definici´ on: Definici´ on 2.3.7 (Definici´ on emp´ırica de probabilidad) Sea A un evento asociado con un experimento. Entonces, la probabilidad P(A) es aproximadamente igual a la frecuencia relativa de A si efectuamos el experimento muchas veces. Cuando se usa la definici´ on emp´ırica, es importante tener en cuenta los siguientes aspectos: • La probabilidad obtenida de esta manera es u ńicamente una estimaci´ on del valor real. • Cuanto mayor sea el n´ umero de experimentos, tanto mejor será la estimaci´ on de la probabilidad, es decir, a mayor n´ umero de experimentos mejor será la estimaci´ on. • La probabilidad es propia de solo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definici´ on depende de que las condiciones en que se realiz´ o el experimento sean repetidas idénticamente.

2.3.3

Definici´ on cl´ asica de probabilidad

Definici´ on cl´ asica Se pueden encontrar diversos ejemplos en donde se asocian la misma probabilidad a cada evento elemental. En este caso, se habla de un experimento laplaciano o ´sico, es decir, un experimento que tiene finitos resultados, que suceden con la cla misma probabilidad. A este tipo de experimentos pertenecen los juegos de azar, como por ejemplo, dados, juegos de cartas, ruletas; también modelos de la f´ısica, en los cuales se puede describir la distribuci´ on de una part´ıcula cualquiera, o modelos de la génetica. Definici´ on 2.3.8 (Probabilidad de un evento elemental) Sea Ω 6= ∅ un espacio muestral finito. Si ω es un evento elemental de Ω, entonces, la probabilidad de que suceda ω, en s´ımbolos P(ω), es igual a 1 dividido por el n´ umero de elementos que tiene Ω. Es decir, P(ω) =

1 . N´ umero de elementos de Ω

(2.1)

Ejemplo 2.3.9 (a) Consideremos el experimento de lanzar una moneda. Entonces, Ω = {C, S}. Es decir, la probabilidad de obtener cara, simbolizado por P(C), y la de obtener sello, simbolizado por P(S), está dado por P(C) = P(S) = 12 = 0, 5. Estas probabilidades las interpretamos de la siguiente manera: En un gran n´ umero de lanzamientos aparecerá una cara aproximadamente en la mitad de los lanzamientos y sello en la otra mitad. O también podemos decir: si la moneda se lanza repetidamente, entonces, el 50% (que resulta de multiplicar 0,5 por 100) de las veces resultar´ a cara y en el otro 50%, sello.


39

(b) Consideremos el experimento de lanzar un dado. Entonces, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es decir, P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =

1 ≈ 0, 166 . . . , 6

Aqu´ı, el s´ımbolo “≈” significa “aproximadamente igual a” y, por ejemplo, P(1) = 0, 166 se lee “la probabilidad de obtener un 1 es 0,166”, la cual se interpreta de la siguiente manera: De cada 1.000 lanzamientos de un dado, el n´ umero 1 aparecerá 166 veces aproximadamente. O también as´ı: si el n´ umero de lanzamientos de un dado es grande, entonces, en el 16,6% (que resulta de multiplicar 0,166 por 100) aparecerá el n´ umero 1 del dado. Las otras probabilidades las interpretamos analogamente. ◭

A menudo es necesario asignar probabilidades a eventos de un espacio muestral. Por eso, es importante el siguiente teorema. Teorema 2.3.10 (Probabilidad de un evento) Sea Ω 6= ∅ un espacio muestral finito y supongamos que todos los eventos elementales suceden con la misma probabilidad, es decir, la expresi´ on ( 2.1) se cumple para cada evento elemental ω de Ω. Entonces, para cada evento A de Ω, tenemos P(A) =

N´ umero de elementos de A . N´ umero de elementos de Ω

(2.2)

Ejemplo 2.3.11 Dos dados no falsos se lanzan. Hallar la probabilidad de (a) que la suma de los n´ umeros sea un 7, (b) que la suma sea por lo menos un 11, (c) que la suma sea a lo m´ as un 2, (d) obtener un doble, (e) no obtener doble. SOLUCION: Como ya vimos en el ejemplo 2.2.1, el espacio muestral correspondiente Ω contiene 36 resultados. Además, cada uno de ellos ocurre con la misma probabilidad. (a) Sea A el evento de obtener un 7 al lanzar los dos dados. Entonces, A es el conjunto A = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) , O sea, que A tiene 6 elementos. Por consiguiente, aplicando (2.2), se obtiene que la probabilidad de obtener un 7 es P(A) =

6 1 = ≈ 0, 166. 36 6

Aqu´ı, el s´ımbolo “≈” significa “aproximadamente igual a”. (b) Sea B el evento de obtener por lo menos un 11, es decir, B es el evento de obtener una suma mayor o igual que 11. Debido a que B = (5, 6), (6, 5), (6, 6) , entonces, P(B) =

1 3 = ≈ 0, 0833. 36 12


40

(c) Sea C el evento de obtener a lo m´ as un 2 o, que es equivalente, de obtener una suma menor o igual que 2. En este caso, C = (1, 1) y, con ello, P(C) =

1 ≈ 0, 027. 36

(d) Sea D el evento de obtener un doble. Es decir, D = (1, 1), (2, 2), (3, 3) (4, 4), (5, 5) (6, 6) . Por lo tanto, P(D) =

6 ≈ 0, 166. 36

(e) Sea E el evento de obtener ning´ un doble. Observe, D es el complemento de E, es decir, D = E. Por lo tanto, P(E) = P(D). Entonces, P(E) = 1 − P(E) = 1 − P(D) ≈ 1 − 0, 166 = 0, 834.

◭

Ejemplo 2.3.12 Una organización de caridad vende 1000 billetes de loter´ıa. Hay diez primeros premios y cien premios de consolación, todos los cuales deben ser distribuidos. El proceso de selección de los ganadores es tal que, al principio, cada boleto tiene las mismas posibilidades de ganar un primer premio y cada uno tiene las mismas posibilidades de ganar un premio de consolación. Ning´ un boleto puede ganar m´ as de un premio. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de ganar un premio con un u ńico boleto? (b) ¿Cu´ al es la probabilidad de ganar un premio de consolación? (c) ¿Cu´ al es la probabilidad de ganar alg´ un premio? SOLUCION: (a) De entre los 1000 billetes, 10 ganarán primeros premios, 100 ganar´ an premios de consolación y 890 no ganarán premio alguno. Nuestro u ńico billete puede ser considerado como uno elegido entre los 1000. Sea A el suceso “el billete elegido gana un primer premio”. Dado que son 1000 resultados igualmente probables, 10 de los cuales corresponde al suceso A, tenemos que 10 = 0, 01. P(A) = 1000 (b) De modo similar, para el suceso B, “el billete elegido gana un premio de consolación”, se deduce que 100 P(B) = = 0, 10. 1000 (c) Ahora bien, el suceso “el billete gana alg´ un premio” es sencillamente la unión de los sucesos A y B. Además, dado que sólo se permite un premio por billete, estos sucesos son mutuamente excluyentes. Por tanto, la probabilidad requerida es P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 01 + 0, 10 = 0, 11.

◭

Ejemplo 2.3.13 En la primera época del desarrollo de un yacimiento de petr´ oleo, una empresa estimó en 0,1 la probabilidad de que las reservas econ´ omicamente recuperables excedieran los 2.000 millones de barriles. La probabilidad de que las reservas excediesen los 1.000 millones de barriles se estimó en 0,5. Dada esta informaci´ on, ¿cuál es la probabilidad estimada de que las reservas se encuentren entre 1.000 y 2.000 millones de barriles? SOLUCION:


41

Sea A el evento “las reservas exceden los 2.000 millones de barriles” y B el evento “las reservas se encuentran entre 1.000 y 2.000 millones de barriles”. Estos eventos son mutuamente excluyentes y su unión, A ∪ B, es el evento “las reservas exceden los 1.000 millones de barriles”. Por tanto, tenemos que P(A) = 0, 1

y

P(A ∪ B) = 0, 5.

Entonces, dado que A y B son mutuamente excluyentes, se obtiene que (comp´ arese con la figura 2.13) P(B) = P(A ∪ B) − P(A) = 0, 5 − 0, 1 = 0, 4.

Fig. 2.13: Diagrama para las probabilidades del ejemplo 2.3.13◭

C´ alculo de probabilidades utilizando t´ ecnicas de conteo Una dificultad práctica que aparece a veces al calcular la probabilidad de un suceso es la de contar el n´ umero de resultados básicos en el espacio muestral y en el evento de interés. Los siguientes ejemplos, ilustran c´ omo se pueden utilizar las técnicas de conteo, explicadas en la secci´ on anterior, para calcular probabilidades de eventos. Ejemplo 2.3.14 Un estante tiene 6 libros de matemáticas y 4 de f´ısica. Hallar la probabilidad de que 3 libros determinados de matemáticas estén juntos, si (a) todos los libros de matemáticas son diferentes y los libros de f´ısica también; (b) todos los libros de matemáticas son diferentes y que todos los libros de f´ısica son iguales; (c) todos los libros de matemáticas son diferentes y 3 de los libros de f´ısica iguales. Compare las tres respuestas y dé una conclusión general. SOLUCION: Sean Ω el espacio muestral correspondiente y A el evento “3 libros determinados de matem´ aticas están juntos”. Nos piden calcular P(A). (a) En este caso, los elementos de Ω son las distintas permutaciones de los 6 + 4 = 10 libros. Por el teorema 2.2.23, los 10 libros pueden ordenarse entre s´ı de 10! formas. Es decir, Ω tiene en total 10! elementos. Ahora, supongamos que los 3 libros determinados de matemáticas se reemplazan por 1. As´ı, tenemos en total de 8 libros que pueden ordenarse entre s´ı de 8! formas. Como los tres libros se pueden ordenar entre s´ı de 3! formas, entonces, hay 8! 3! formas de ordenar los 10 libros con la condici´ on de que 3 libros determinados estén juntos. Por lo tanto, por la expresi´ on (2.2), tenemos que P(A) =

8! 3! N´ umero de elementos de A = ≈ 0, 0666. N´ umero de elementos de Ω 10!


42

(b) En este caso, por el teorema 2.2.41, Ω tiene en total 10! 4! = 151.200 elementos. Supongamos que los 3 libros determinados de matemáticas se reemplazan por 1. As´ı, tenemos en total de 8 libros que, por el teorema 2.2.41, pueden ordenarse entre s´ı de 8! 4! = 1.680 formas. Como los tres libros se pueden ordenar entre s´ı de 3! = 6 formas, entonces, hay 1.680 · 6 = 10.080 formas de ordenar los 10 libros con la condici´ on de que 3 libros determinados de matemáticas estén juntos y sabiendo que los de f´ısica son todos iguales. Con lo anterior, P(A) =

10.080 N´ umero de elementos de A = ≈ 0, 0666. N´ umero de elementos de Ω 151.200

(c) En este caso, por el teorema 2.2.41, Ω tiene en total 10! 3! = 604.800 elementos. Supongamos que los 3 libros determinados de matemáticas se reemplazan por 1. As´ı, tenemos en total de 8 libros que, por el teorema 2.2.41, pueden ordenarse entre s´ı de 8! 3! = 6.720 formas. Como los tres libros se pueden ordenar entre s´ı de 3! = 6 formas, entonces, hay 6.720 · 6 = 40.320 formas de ordenar los 10 libros con la condici´ on de que 3 libros determinados de matemáticas estén juntos y sabiendo que hay 3 f´ısica que son iguales. Por consiguiente, P(A) =

40.320 N´ umero de elementos de A = ≈ 0, 0666. N´ umero de elementos de Ω 604.800

Con respecto a los resultados obtenidos podemos concluir que si todos los libros de matemáticas son diferentes, entonces, sin importar si los de f´ısica son iguales o no, la probabilidad de que 3 libros determinados de matemáticas estén juntos es aproximadamente 0,0666. ◭ Ejemplo 2.3.15 Un director de personal tiene ocho candidatos para cubrir cuatro puestos. De éstos, cinco son hombres y tres mujeres. Si, de hecho, toda combinación de candidatos tiene las mismas probabilidades de ser elegido, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada? SOLUCION: Primero, el n´ umero total de combinaciones posibles de los ocho candidatos tomadas de cuatro en cuatro es 84 = 70. Ahora bien, para que ninguna mujer sea contratada, los candidatos seleccionados han de ser cuatro de los cincos hombres. El n´ umero de tales combinaciones es 54 = 5. Por tanto, si al principio cada una de las 70 combinaciones posibles fuese igualmente probable, la probabilidad de escoger una de las cinco combinaciones que incluyen sólo hombres es 5/70 = 0, 071. ◭ Ejemplo 2.3.16 Una caja de doce lapiceros tiene dos que están defectuosos. Se extraen tres lapiceros sin reemplazo. ¿Cu´ al es la probabilidad de que dos salgan defectuosos? SOLUCION: Sean Ω el espacio muestral correspondiente y A el evento “de los tres lapiceros seleccionados, dos están defectuosos”. Entonces, el n´ umero de elementos que tiene Ω será 12 = 220 y el 3 10 2 n´ umero de elementos que tiene A es 1 2 = 10. Por consiguiente, la probabilidad pedida 10 = 0, 045. ◭ es P(A) = 220 Ejemplo 2.3.17 Una caja contiene 8 fichas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 fichas sin reemplazo y sin orden, determinar la probabilidad de que (a) las 3 fichas sean blancas, (b) 2 sean rojas y 1 blanca, (c) al menos 1 sea blanca y (d) se extraiga una de cada color. SOLUCION: Sea Ω el espacio muestral correspondiente a esta situaci´ on. En este caso, sus elementos son las distintas combinaciones de 8 + 3 + 9 = 20 fichas tomadas de 3 en 3 (ya que se sacan cada vez 3 fichas sin reemplazo). Por el teorema 2.2.50, las 3 fichas se pueden escoger de un total de 20 de 20 3 = 1.140 formas. Es decir, Ω tiene en total 1.140 elementos.


(a) Sea A el evento “sacar 3 fichas de 3 blancas”. O sea, A tiene Entonces, P(A) =

43

3 3

= 1 elemento.

1 N´ umero de elementos de A = = 0, 000877. N´ umero de elementos de Ω 1.140

(b) Sea A el evento “las 3 fichas sacadas son 2 rojas y 1 blanca”. Ahora, 2 fichas de un total de 8 rojas se pueden seleccionar de 82 = 28 maneras y 1 ficha de un total de 3 blancas se puede seleccionar de 31 = 3 maneras. Por lo tanto, A tiene 82 31 = 84 elementos. Entonces, P(A) =


(c) Sea A el evento “por lo menos 1 de las 3 fichas sacadas es blanca”. Esto quiere decir que A, el complemento de A, es el evento “de las tres bolas ninguna es blanca”. Ahora, si ninguna es blanca, entonces, 3 fichas de un total de 8 + 9 = 17 (entre rojas y azules) se pueden seleccionar de 17 = 680 maneras. Por lo tanto, A tiene 680 elementos. 3 Entonces, P(A) =


Por consiguiente, con lo anterior, la probabilidad pedida está dada por P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0, 596 = 0, 404. (d) Sea A el evento “las 3 fichas sacadas son una de cada color”. Ahora, 1 ficha de un total de 8 rojas se puede seleccionar de 81 = 8 maneras, 1 ficha de un total de 3 blancas se puede seleccionar de 31 = 3 maneras y 1 ficha de un total de 9 azules se puede seleccionar de 91 = 9 maneras. Por lo tanto, A tiene 81 31 91 = 216 elementos. Entonces, P(A) =

2.3.4


◭

Probabilidad subjetiva o personal

Existen muchos eventos de interés cuyas probabilidades de ocurrencia no se pueden calcular de acuerdo con los métodos axiomático, clásico y de frecuencia relativa (emp´ırica), sino que se basan en el “grado de creencia” acerca de que tenga o no lugar un determinado hecho como, por ejemplo, • exista vida en alg´ un planeta distante, • en los p´ oximos diez a˜ nos se descubra alg´ un remedio contra el cáncer, • determinada persona se vaya a destacar en la universidad, • una persona se enferme, • una determinada máquina se da˜ ne, • ma˜ nana vaya a llover.


44

Sin embargo, poca gente se muestra renuente a concederle probabilidades a los eventos anteriores. Con mucha frecuencia oimos decir que hay un 20% de posibilidades de que llueva ma˜ nana, que el Junior gane, etc. Aquella probabilidad que nos permite asignarle probabilidades a eventos tales como estos se denomina probabilidad subjetiva. Definici´ on 2.3.18 La probabilidad subjetiva o personal se puede definir como la probabilidad que expresa un grado de creencia individual sobre la posibilidad de que un evento ocurra. Al método de asignar estas probabilidades se le conoce ´todo subjetivo. como me La probabilidad subjetiva no depende del tratamiento matem´ atico ni de la noci´ on de experimentos repetibles.

La magnitud de la probabilidad que una persona asigna subjetivamente a un evento depende del grado de crédito que esa persona le dé a la ocurrencia del evento. Esa es la raz´ on por la que es posible asignarle probabilidades a eventos que s´ olo se presentan una vez, como por ejemplo, el evento de ganar una determinada competencia atlética. A diferencia del método de probabilidad de frecuencia relativa, la probabilidad subjetiva no depende de la posibilidad de repetici´ on de un experimento. Ejemplo 2.3.19 (a) Si afirmamos que la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 1/2, lo que tenemos en mente es que la moneda no parece estar trucada y que resultar´ a igualmente probable que salga cara o cruz. Al enjuiciar esta probabilidad subjetiva, no estamos pensando necesariamente en términos de la experimentación repetida, sino que estamos interesado por un u ńico lanzamiento de la moneda. Nuestra evaluación de la probabilidad subjetiva implica que considerar´ıamos justa una apuesta que consistiese en pagar 5.000 pesos si saliera cruz y recibir 5.000 pesos si saliera cara. Si fueramos a recibir m´ as de 5.000 pesos si del lanzamiento resultase una cara, considerar´ıamos favorable la apuesta. (b) De modo similar, si creemos que la probabilidad de que un caballo gane una determinada carrera es 0,4, estamos dando nuestra opinión personal de que existe una posibilidad de 40 entre 100 de que gane. Dada esta creencia, considerar´ıamos justa una apuesta en la que perdiésemos dos dólares si el caballo no ganase y tres dólares en caso contrario. ◭

Debemos insistir en que las probabilidades subjetivas son personales; no se requiere que diferentes individuos consideren que el mismo evento debe tener lugar con las mismas probabilidades como se explica a través de las situaciones del siguiente ejemplo: Ejemplo 2.3.20 (a) En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, la mayor´ıa de la gente llegar´ıa a la conclusión de que la probabilidad apropiada para el resultado cara es 1/2. Sin embargo, un individuo con m´ as informaci´ on sobre la moneda en cuestión podr´ıa creer otra cosa. (b) En el ejemplo de las carreras de caballos, es probable que dos apostadores cuenten con diferentes probabilidades subjetivas. Por ejemplo, pueden no tener la misma información, e incluso aunque la tuvieran, podr´ıan interpretarla de distinta forma. (c) Resulta obvio que los inversionistas individuales no cuenttan con las mismas opiniones sobre el probable futuro comportamiento de la bolsa. Sus probabilidades subjetivas


45

deben ser vistas como dependientes del conocimiento que tienen y su manera de interpretarlo. ◭

Ya hemos explicado que, en el caso de apuestas, como carreras de caballos y pron´ osticos deportivos, a menudo se determina la probabilidad de ocurrencia de un evento usando probabilidad subjetiva y se establece com´ unmente en términos de oportunidades. Definici´ on 2.3.21 Sea A un evento. Las oportunidades a favor de A se definen como P(A) . Oportunidades a favor de A = P(A) Las oportunidades en contra de A se definen Oportunidades en contra de A =

1 P(A) = . Oportunidades a favor de A P(A)

n , entonces, diremos que las Si las oportunidades en favor de A son iguales a m oportunidades son de n a m (lo cual escribiremos n : m) a favor de A.

Obsérvese que las oportunidades en contra de A son precisamente las oportunidades a favor de A.

Ejemplo 2.3.22 Supongamos que la probabilidad de que un boxeador favorito gane una pelea es 1/3. ¿Cu´ ales son las oportunidades a favor de ganar? SOLUCION: Sea A el evento “el boxeador gana”. Entonces, las oportunidades a favor de ganar son 1 P(A) 1/3 = . = 2/3 2 P(A) Es decir, las oportunidades son de 1 : 2 a favor de que el boxeador gane la pelea. Esto significa que de cada 1 + 2 = 3 personas, 1 afirma que el boxeador ganará la pelea y 2, que perder´ a. ◭

El siguiente teorema nos muestra una forma de calcular la probabilidad de un evento dado con base en el conocimiento de las oportunidades en favor o en contra del evento. Teorema 2.3.23 Si las oportunidades son de n : m en favor de A, entonces, la n probabilidad de que ocurra el eventa A es P(A) = n+m .

Ejemplo 2.3.24 Si las oportunidades son de 5:3 en contra de que la selección Colombia pierda el partido de f´ utbol, ¿cu´ al es la probabilidad de que (a) pierda el partido, (b) gane? SOLUCION: Sea A el evento de que la selección Colombia pierda el partido. Por tanto, por el teorema 5 2.3.23, P(A) = 5+3 = 58 = 0, 625. Por consiguiente, P(A) = 1 − P(A) = 38 = 0, 375. Es decir, de 1.000 personas, 625 dir´ an que Colombia perder´ a el partido y el resto, que son 375, dir´ an que Colombia ganará el partido. ◭


46

Ejemplo 2.3.25 Para un partido de f´ utbol, Junior de Barranquilla contra Uni´ on de Santamarta, se ofrecen a Humberto las siguientes apuestas: Tarifa : $15.000. Ganancia : $30.000 si Junior gana y Humberto apuesta por Junior. $20.000 si Uni´ on gana y Humberto apuesta por Uni´ on. El juego Junior vs Uni´ on sigue hasta que haya un ganador. Humberto acepta esta apuesta, pero no puede decidirse si apuesta por Junior o por Uni´ on. Determinar su probabilidad subjetiva. SOLUCION: La probabilidad subjetiva de Humberto puede determinarse como sigue: “Humberto no puede decidirse” significa que 30 P(“Junior gana”) = 20 P(“Unión gana”). Además, obviamente, se tiene que P(“Junior gana”) + P(“Unión gana”) = P(“Junior o Uni´ on gana”) = 1. Por lo tanto, resulta que P(“Junior gana”) =

2 5

y P(“Unión gana”) = 53 .

◭

✍ Ejercicios de la secci´ on 2.3 39. La probabilidad de que Humberto viaje a Alemania es 0,6 y la probabilidad de que viaje a Espa˜ na es 0,3 y la probabilidad de que viaje a alguna de las dos ciudades es 0,8. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: (a) Humberto viaja a ambas ciudades. (b) Humberto viaja a Alemania pero no a Espa˜ na. (c) Humberto viaja a Espa˜ na pero no a Alemania. (d) Humberto no viaja a ninguna de las dos ciudades 40. Se estimó que un 20% de los estudiantes de u ´ltimo curso de un campus universitario estaban seriamente preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 35% por sus notas y el 28% por ambas cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de ultimo curso elegido al azar en el campus esté seriamente preocupado por al menos una de las dos cosas? 41. Un jefe de cierta compa˜ n´ıa recibe un determinado art´ıculo en paquetes de 100. Un estudio ha indicado las probabilidades, que figuran en la tabla adjunta, correspondientes a los art´ıculos defectuosos de un paquete. Numero de defectuosas Probabilidad

0 0,03

1 0,29

2 0,10

3 0,22

más de 3 0,36

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos art´ıculos defectuosos en un paquete? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un art´ıculo defectuoso en un paquete? 42. Seg´ un una información, dos de cada tres colombianos son pobres. ¿Qué relaci´ on tiene esto con probabilidad?


47

43. Un distribuidor de enchufes sabe que en una caja de 50, dos o más son defectuosos. Un cliente selecciona al azar, y sin reemplazo, dos enchufes de una caja y salen defectuosos, motivo por el cual el cliente rechaza la caja. El distribuidor extrae entonces de esa caja dos enchufes y le informa al cliente que puede llevar la caja de 48 enchufes con confianza. Para asegurarse, el cliente extrae otra muestra, sin reemplazo, de cinco enchufes, de los cuales uno salió defectuoso. Si usted fuera el cliente, ¿aceptar´ıa la caja de 48 enchufes? 44. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de obtener (a) un 5 o un 7, (b) a lo más un 9, (c) una suma impar y (d) un m´ ultiplo de 4. 45. Una urna tiene seis bolas verdes, cinco bolas rojas y cuatro bolas blancas (cada bola es de un solo color). Si se extrae una bola, calcule la probabilidad de que la bola extra´ıda sea (a) no verde, (b) no roja, (c) roja y verde, (d) blanca o roja. Compare el resultado de (d) con el obtenido en (a). Interprete siempre sus respuestas. 46. Se lanzan dos dados. Calcule la probabilidad de que la suma de los n´ umeros obtenidos sea (a) 13, (b) a lo más 3, (c) por lo menos 4, (d) 5 ó 6, (e) 5 y 6. Interprete siempre sus resultados. 47. Una caja contiene dos bolas negras, tres blancas y cuatro rojas. Se seleccionan dos bolas una después de la otra. (a) ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca? (b) ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola negra y una blanca? (c) Repita los incisos anteriores si la selección es con reemplazo. 48. En una comunidad el 30% de las personas son fumadoras, 55% son bebedoras y 20% tanto fumadoras como bebedoras. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar (a) fume pero no beba, (b) ni fume ni beba, (c) fume o no beba. Interprete siempre sus resultados. 49. Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de la educaci´ on en cierta región del pais. Para i = 1, 2, 3, sea Ai el evento que representa al evento “el proyecto i fue aceptado”. Supongamos que P(A1 ) = 0, 30,

P(A2 ) = 0, 22,

P(A1 ∩ A3 ) = 0, 09,

P(A3 ) = 0, 35,

P(A2 ∩ A3 ) = 0, 06,

P(A1 ∩ A2 ) = 0, 08,

P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0, 02.

Exprese verbalmente cada uno de los siguientes eventos y determine la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos: (a) A1 ∪ A2 , (b) A1 ∩ A2 , (c) A1 ∪ A2 ∪ A3 , (d) A1 ∩ A2 ∩ A3 , (e) A1 ∩ A2 ∩ A3 , (f) (A1 ∩ A2 ) ∪ A3 . 50. Una caja contiene diez bombillas, cuatro de las cuales están defectuosas. Si se seleccionan aleatoriamente y sin reemplazo cuatro bombillas de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que el grupo contenga (a) dos (b) al menos dos bombillas defectuosas? 51. Una caja contiene cuatro focos rojos, cinco blancos y seis amarillos. Si se seleccionan uno por uno, en orden aleatorio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos se seleccionen dos focos para obtener uno amarillo? 52. Una caja contiene diez tornillos, de los cuales tres están defectuosos. Se extraen tres tornillos sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que los tres tornillos no estén defectuosos. 53. Para un control de calidad se seleccionan aleatoriamente dos abanicos sin reemplazo de un lote. Si uno de los dos abanicos está defectuoso, todo el lote se rechaza. Si una muestra de 200 abanicos contiene cinco defectuosos calcule la probabilidad de que la muestra sea rechazada.


48

54. Una biblioteca tiene cinco ejemplares (digamos, matemática, f´ısica, qu´ımica, biolog´ıa y estad´ıstica), de los cuales hay dos ejemplares (digamos matemática y f´ısica) que son de primera edición y el resto, de segunda edición. Serán seleccionados al azar dos ejemplares para ser puestos en reserva durante 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que (a) ambos ejemplares seleccionados sean primeras ediciones? (b) ambos ejemplares seleccionados sean segundas ediciones? (c) al menos uno de los ejemplares seleccionados sea de primera edición? (d) los ejemplares seleccionados sean de diferentes ediciones? 55. Se escoge un n´ umero comprendido entre 0 y 999. ¿Cuál es la probabilidad de que el d´ıgito central sea mayor que los otros dos? 56. En el men´ u del d´ıa, un restaurante vegetariano ofrece una ensalada especial que contiene tres tipos de verduras distintas que son las preferidas por ciertos habitantes de una ciudad: Espárrago (A), Br´ ocoli (B) y Coliflor (C). A continuación aparece el porcentaje de clientes del restaurante que pide determinada(s) verdura(s). 70% A, 90% A o C,

80% B, 95% B o C,

75% C, 98% A, B o C,

85% A o B,

en donde, por ejemplo, el evento A o C significa que por lo menos una de las opciones A o C fue solicitada. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos: (a) El siguiente cliente pide, por lo menos, una de las tres opciones. (b) El siguiente cliente no pide ninguna de las tres opciones. (c) El siguiente comprador sólo pide la opci´ on A y ninguna de las otras dos opciones. (d) El siguiente cliente pide exactamente una de las tres opciones. 57. Supongamos que un determinado árbol puede tener tres tipos de enfermedades: Hojitis (H), Tallitis (T) y Frutitis (F). Suponga que P(H) = 0, 12,

P(T ) = 0, 07,

P(H ∪ F) = 0, 14,

P(F) = 0, 05,

P(T ∪ F) = 0, 10,

P(H ∪ T ) = 0, 15,

P(H ∩ T ∩ F) = 0, 01.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol no tenga hojitis? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol tenga hojitis y tallitis al mismo tiempo? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el árbol tenga hojitis y tallitis al mismo tiempo, pero no frutitis? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que que el árbol tenga exactamente dos de esas enfermedades? 58. Una persona desea comprar un computador. De alguna manera, logra conseguir una lista de las direcciones de 15 personas que quieren vender sus computadores. Pero la persona tiene tiempo para ir sólo a cuatro direcciones de la lista. (a) ¿En cuántas formas podr´ıan escogerse las cuatro direcciones, si se considera el orden de visita? (b) ¿En cuántas formas podr´ıan escogerse las cuatro direcciones, si el orden no importa? (c) Si en siete direcciones los computadores son nuevos y en ocho ya han sido vendidos previamente, y las cuatro direcciones por visitar se escogen al azar y sin orden, ¿cuál es la probabilidad de que en las cuatro direcciones donde vaya la persona, los computadores sean nuevos?

2.4 Probabilidades condicionales

49

59. Al poco tiempo de ponerse a funcionar, algunas computadores fabricados por ciertas compa˜ n´ıas presentan problemas con el funcionamiento de un determinado programa (digamos, Futbolnet) que viene previamente instalado. Suponga que una peque˜ na empresa tiene 30 de estos computadores y que ha habido problemas con el funcionamiento del Futbolnet en 7 de ellos. (a) ¿Cuántas formas hay de seleccionar una muestra de 10 computadores de los 30 para una revisi´ on completa? (b) ¿En cuántas formas puede una muestra de 10 computadores contener exactamente 3 con problemas en el funcionamiento del Futbolnet? (c) Si se escoge al azar una muestra de 10 computadores, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los 10 tengan problemas con el funcionamiento del Futbolnet? (d) Si se escoge al azar una muestra de 10 computadores, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 6 de los seleccionados tengan problemas con el funcionamiento del Futbolnet? 60. En cierta bodega, una caja contiene ocho clavos de 1 pulgada, seis de 1 pulgada y media y cinco de 2 pulgadas. Suponga que se seleccionan cuatro clavos al azar, sin reemplazo y sin orden. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los clavos seleccionados sean de 2 pulgadas? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro clavos seleccionados sean del mismo tama˜ no? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre los 4 clavos seleccionados hallan dos de una pulgada? 61. Un estante tiene 4 libros de qu´ımica, 5 de estad´ıstica y 3 de matemáticas. Si los libros de estad´ıstica son diferentes entre s´ı, encuentre la probabilidad de que 2 libros determinados de estad´ıstica se encuentre juntos teniendo en cuenta cada una de las siguientes situaciones: (a) Los libros de cada tipo son todos diferentes entre s´ı. (b) Los libros de qu´ımica son iguales entre s´ı, pero los de matemáticas son todos diferentes. (c) Hay 2 libros de qu´ımica que son iguales, pero todos los de matemáticas son iguales entre s´ı. (d) A excepci´ on de los de estad´ıstica, los libros de cada tipo son todos iguales entre s´ı.

2.4

Probabilidades condicionales

Supongamos que estamos interesados en dos sucesos A y B, y se nos da la informaci´ on adicional de que B ha ocurrido. Una pregunta de interés es, entonces, ¿cuál es la probabilidad de que A ocurra? La idea principal es que la posibilidad de que cualquier suceso ocurra es probable que dependa de la ocurrencia o no ocurrencia de otros eventos. Ejemplo 2.4.1 Analizemos las siguientes situaciones.


50

(a) Un fabricante que planea introducir una nueva marca puede poner a prueba el producto a través de su venta en una serie reducida de almacenes particularmente escogidos. Es probable que el fabricante conf´ıe mucho m´ as en el éxito de la nueva marca en el mercado si el producto resulta bien acogido en el test inicial que en caso contrario. El análisis de la empresa correspondiente a la probabilidad de un elevado n´ umero de ventas estar´ a, por tanto, condicionada por el resultado de mercado. (b) En un barrio hay personas que saben nadar, otras que saben manejar bicicletas y otras, ambas cosas. Se selecciona una persona al azar y deseamos la probabilidad de que la persona sepa nadar dado que sabe manejar bicicleta. Por tanto, en ambas situaciones tenemos que estar interesados en la ocurrencia de un determinado evento, dada la ocurrencia de otro.

Ahora, analizemos otro ejemplo. Ejemplo 2.4.2 Supongamos que en una empresa hay 100 empleados, de los cuales 30 son mujeres y 70, hombres. Supongamos, adem´ as, que hay 21 mujeres y 33 hombres que fuman (comp´ arese con la tabla de la figura 2.14).

Fuma (F) No Fuma (F)

Hombre (H) 33 37

Mujer (M) 21 9

Fig. 2.14: Clasificaci´ on de 100 empleados de una empresa

(a) Si se saca un individuo al azar, determinar la probabilidad de que sea mujer. (b) Si se saca un individuo, determinar la probabilidad de que sea mujer y fume. (c) Si del grupo de las 30 mujeres se saca un individuo, determinar la probabilidad de que fume. SOLUCION: (a) La probabilidad de que sea mujer es P(M) =

30 100 .

(b) La probabilidad de que sea una mujer y que fuma es P(M ∩ F) =

21 100 .

(c) La probabilidad de que una mujer fume de un total de 30 la simbolizaremos por P(F/M) y es igual a 21 21/100 P(F ∩ M) P(F/M) = = = . 30 30/100 P(M) Es decir, P(F/M) = P(F∩M) P(M) , que es la forma como se calcula la llamada probabilidad condicional de un evento F, sabiendo que ya ha ocurrido M. ◭

Estos tipos de problemas conllevan a considerar el concepto de probabilidad condicional.


51

Definici´ on 2.4.3 Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. La probabilidad condicional del evento A dado el evento B, simbolizada por P(A/B), se define como P(A ∩ B) P(A/B) = , si P(B) > 0. P(B) De igual modo, la probabilidad condicional de B dado A se define como P(B/A) =

P(A ∩ B) , P(A)

si P(A) > 0.

Ejemplo 2.4.4 Una persona lanza una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 caras dado que salió por lo menos una cara? SOLUCION: Los posibles resultados que se pueden obtener al lanzar la moneda tres veces son (C, C, C),

(C, C, S),

(C, S, C),

(C, S, S),

(S, C, C),

(S, C, S),

(S, S, C),

(S, S, S).

Sean A y B los eventos “salió por lo menos una cara” y “obtener 3 caras”, respectivamente. Entonces, B = {(C, C, C)} y A = {(C, C, C),

(C, C, S),

(C, S, C),

(C, S, S),

(S, C, C),

(S, C, S),

(S, S, C)}.

Debido a que A ∩ B = {(C, C, C)}, entonces, la probabilidad de obtener 3 caras sabiendo que salió una cara es igual a P(B/A) =

P(A ∩ B) 1/8 1 = = . P(A) 7/8 7

◭

Despejando P(B ∩ A) en las expresiones dadas en la definici´ on 2.4.3, obtenemos el llamado Teorema 2.4.5 (Teorema de multiplicaci´ on para 2 eventos) Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. Entonces, la probabilidad de la intersecci´ on A ∩ B est´ a dada por P(B ∩ A) = P(B/A) P(A)

o por

P(B ∩ A) = P(A/B) P(B).

Ejemplo 2.4.6 Supongamos que una caja tiene diez bolas, de los cuales tres están defectuosas. Se sacan dos bolas, una detr´ as de la otra y sin reemplazo. ¿Cu´ al es la probabilidad de sacar una bola defectuosa seguida de otra defectuosa? SOLUCION: Sean A el evento “la primera bola sacada está defectuosa” y B el evento “la segunda bola sacada está defectuosa”. Nos piden calcular P(A ∩ B). Debido a que tres de las diez bolas 3 . Ahora, como ya se ha sacado 1 bola defectuosa están defectuosas, se tiene que P(A) = 10 de la caja quedan en total 9 bolas disponibles, de entre las cuales, hay ahora 2 defectuosas. Por tanto, P(B/A) = 92 . Por consiguiente, por el teorema de multiplicación (teorema 2.4.5), obtenemos que 3 2 P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) = · = 0.066. 10 9


52

Es decir, la probabilidad de sacar una bola defectuosa seguida de otra bola defectuosa es aproximadamente del 6,6%. ◭

La regla de multiplicaci´ on es más u ´til cuando el experimento consta de varias etapas sucesivas. Teorema 2.4.7 (Teorema de multiplicaci´ on para n eventos) Sean A1, . . . , An eventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. Entonces, P(A1 ∩ · · · ∩ An) = P(A1) · P(A2/A1) · P(A3/A1 ∩ A2) · · · P(An/A1 ∩ · · · ∩ An−1), Como puede observarse claramente, en este teorema hemos considerando que A1 es el evento que primero sucede, luego sucede A2 ; posteriormente, A3 y, as´ı sucesivamente, hasta que sucede el u ´ltimo evento, que en nuestro caso es An .

Del teorema 2.4.7, obtenemos en particular que • Si n = 2, se tiene que P(A1 ∩ A2) = P(A1) · P(A2/A1). • Si n = 3, se tiene que P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) · P(A2/A1) · P(A3/A1 ∩ A2). • Si n = 4, se tiene que P(A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4) = P(A1)·P(A2/A1)·P(A3/A1 ∩A2)·P(A4/A1 ∩A2 ∩A3). Ejemplo 2.4.8 Una caja contiene 6 fichas rojas, 4 blancas y 5 azules. Hallar la probabilidad de que se extraigan en el orden roja, blanca y azul si las fichas (a) se reemplazan, (b) no se reemplazan. SOLUCION: Hay tres eventos que debemos considerar para el problema, a saber: R = “roja en la primera extracción”. B = “blanca en la segunda extracción”. A = “azul en la tercera extracción”. Nos piden calcular P(R ∩ B ∩ A). Al aplicar el teorema general de multiplicación (teorema 2.4.7) para el caso de n = 3 eventos, tenemos P(R ∩ B ∩ A) = P(R) · P(B/R) · P(A/R ∩ B).

(1)

Obsérvese que en la caja hay disponible, inicialmente, 6 + 4 + 5 = 15 fichas. (a) Si los eventos se reemplazan, entonces, reemplazando las correspondientes probabilidades en la expresi´ on (1), tenemos P(R ∩ B ∩ A) =

8 6 4 5 · · = = 0, 0355. 15 15 15 225


53

(b) Si los eventos no se reemplazan, entonces, reemplazando las correspondientes probabilidades en la expresi´ on (1), tenemos P(R ∩ B ∩ A) =

4 6 4 5 · · = = 0, 044. 15 14 13 91

◭

El cálculo de una probabilidad P(Aj/B), a partir de probabilidades anteriores dadas P(Ai) y probabilidades P(B/Ai), ocupa una posici´ on central en la probabilidad elemental. La regla general para tales cálculos, que es una aplicaci´ on simple de la regla de la multiplicaci´ on, se remonta al tiempo del reverendo Thomas Bayes, quien vivi´ o en el siglo XVII. Para expresarla necesitamos, primero, el llamado teorema de la probabilidad total. Teorema 2.4.9 (Teorema de la probabilidad total) Si los eventos A1, A2, . . ., An forman una partici´ on de un espacio muestral Ω (comp´ arese con la definici´ on 2.1.11), entonces, para cada evento B de Ω, se tiene que P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) + · · · + P(B/An) P(An). Del teorema 2.4.9, se tiene en particular, • Si n = 2, se tiene que P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2). • Si n = 3, se tiene que P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) + P(B/A3) P(A3). • Si n = 4, se tiene que P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) + P(B/A3) P(A3) + P(B/A4) P(A4). Hay dos comentarios que podemos hacer acerca del teorema de la probabilidad total (teorema 2.4.9): • El teorema de la probabilidad total est´ a estrechamente relacionado con el siguiente teorema de la mec´ anica: El centro de gravedad de un cuerpo se puede determinar descomponiendo el cuerpo en cualquier cantidad de partes, suponiendo que la masa de cada una de estas partes est´ a concentrada en su respectivo centro de gravedad y tomando el centro de gravedad del sistema de puntos originados por este método. • El teorema de la probabilidad total también est´ a relacionada con el siguiente an´ alogo qu´ımico: En k recipientes se encuentran diferentes soluciones de la misma sal, en total, 1 litro. Supongamos que P(An ) simboliza el volumen del n-ésimo recipiente y P(B/An ), la concentraci´ on de la soluci´ on en el n-ésimo recipiente. Si se re´ unen el contenido de todos los recipientes en uno s´ olo y P(A) significa la concentraci´ on de la soluci´ on originada de esta manera, entonces, se cumple el teorema de la probabilidad total.

Ejemplo 2.4.10 La caja I contiene 3 fichas rojas y 2 azules, en tanto que la caja II contiene 2 fichas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda no falsa de tal forma que si cae cara, entonces, se saca una ficha de la caja I y, por el contrario, si cae sello, se saca una ficha de la caja II. Supongamos que quien lanza la moneda no revela si resulta cara o sello (de tal forma que la caja de la cual se sacó una ficha no se revela). Determinar la probabilidad de haber sacado


54

una ficha roja. SOLUCION: Sea R el evento “sacar una ficha roja” y supongamos que I y II son los eventos “escoger la caja I” y “escoger la caja II”, respectivamente. Nos piden calcular P(R). En la figura 2.15 podemos visualizar claramente estos eventos (observemos que el evento R corresponde a la regi´ on sombreada).

Fig. 2.15: Diagrama para la situaci´ on del ejemplo 2.4.10 Ahora, en la caja I hay en total 3 + 2 = 5 fichas y, en la caja II, 2 + 8 = 10 fichas. Puesto que una ficha roja se puede sacar de cualquiera de las cajas, entonces, la probabildiad de sacar una ficha roja de la caja I es P(R/I) = 53 y la de sacar una ficha roja de caja II es 2 P(R/II) = 10 = 51 . Además, si C y S son los eventos “resultar cara” y “resultar sello”, respectivamente, entonces, la probabilidad de escoger la caja I es P(I) = P(C) = 21 y la de escoger la caja II es P(II) = P(S) = 21 . Por consiguiente, por el teorema de la probabilidad total (teorema 2.4.9) con n = 2, se obtiene que P(R) = P(R/I) P(I) + P(R/II) P(II) =

3 1 1 1 2 · + · = = 0, 4. 5 2 5 2 5

◭

Ejemplo 2.4.11 Un editor env´ıa propaganda de un libro de estad´ıstica al 70% de aquellos profesores que están a cargo de esa materia. El 40% de aquellos que recibieron la propaganda se decidieron a utilizar el libro, inclusive, el 20% de los que no recibieron la propaganda también utilizarán el libro. SOLUCION: Consideremos los eventos “recibe la propaganda” y “no recibe la propaganda”. Entonces, P(“recibe”)= 0, 70 y P(“no recibe”)= 1 − 0, 70 = 0, 30. Además, P(“utiliza el libro” / “recibe”) = 0, 40,

P(“utiliza el libro” / “no recibe”) = 0, 20.

Nos piden calcular P(“utiliza el libro”). Esta se puede calcular con ayuda del teorema de la probabilidad total (teorema 2.4.9) de la siguiente manera: P(“utiliza”) = P(“utiliza”/“recibe”) · P(“recibe”) + P(“utiliza”/“no recibe”) · P(“no recibe”) = (0, 40)(0, 70) + (0, 20)(0, 30). Los c´ alculos y las probabilidades anteriores se pueden visualizar claramente en el diagrama de árbol que aparece en la figura 2.16. Junto a cada una de las cuatro ramas del diagrama aparecen probabilidades (que llamaremos “totales”) que fueron calculadas con aplicaci´ on del teorema de multiplicación (véase el teorema 2.4.5) y al final del diagrama aparece la probabilidad calculada que corresponde a sumar sólo las probabilidades totales en donde aparece el evento “utiliza el libro”. ◭


55

Fig. 2.16: Diagrama para la situaci´ on del ejemplo 2.4.11

Teorema 2.4.12 (Regla o teorema de Bayes) Sea A1, A2, . . . , An una descomposici´ on finita de un espacio muestral Ω. Entonces, para cada evento B con P(B) > 0 y para todo k = 1, . . . , n, se tiene P(Ak/B) =

P(B/Ak) P(Ak) . P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) + · · · + P(B/An) P(An)

Del teorema de Bayes se tiene, en particular, • Si n = 2, se tiene que P(Ak/B) =

P(B/Ak ) P(Ak ) P(B/A1 ) P(A1 ) + P(B/A2 ) P(A2 ) .

• Si n = 3, se tiene que P(Ak/B) =

P(B/Ak ) P(Ak ) P(B/A1 ) P(A1 ) + P(B/A2 ) P(A2 ) + P(B/A3 ) P(A3 ) .

• Si n = 4, se tiene que P(Ak/B) =

P(B/Ak ) P(Ak ) P(B/A1 ) P(A1 ) +P(B/A2 ) P(A2 ) +P(B/A3 ) P(A3 ) +P(B/A4 ) P(A4 ) .

A continuaci´ on se menciona el siguiente an´ alogo qu´ımico del teorema de Bayes: En k recipientes est´ an contenidas soluciones de la misma sal con diferentes concentraciones. El volumen total de la soluci´ on es 1 litro. Si P(Ak ) es el volumen de la soluci´ on en el n-ésimo recipiente y P(B/Ak ) es la concentraci´ on de sal en el n-ésimo recipiente, entonces, la f´ ormula que aparece en el teorema 2.4.12 nos permite calcular qué porcentaje de la cantidad total de sal est´ a en el k-ésimo recipiente.

La interpretaci´ on más importante del teorema de Bayes se basa en el uso de las probabilidades subjetivas. Supongamos que una persona está interesada en el evento Ak y se forma una opini´ on subjetiva de la probabilidad de que Ak ocurra. En este contexto, la


56

probabilidad P(Ak) se denomina probabilidad a priori. Si después este individuo consigue informaci´ on adicional (por ejemplo, que el evento B ha ocurrido), este hecho puede provocar una modificaci´ on de su juicio inicial sobre la probabilidad de ocurrencia de Ak. Dado que se sabe que B ha ocurrido, la probabilidad relevante correspondiente a Ak es ahora la probabilidad condicional de Ak dado B, que se denota probabilidad a posteriori. Desde este punto de vista, se puede interpretar el teorema de Bayes como un método que nos permite actualizar una probabilidad a priori cuando se conoce la informaci´ on adicional de que el evento Ak ha tenido lugar. Ejemplo 2.4.13 Considere la situaci´ on del ejemplo 2.4.10. Determinar la probabilidad de haber escogido la caja I (es decir, que el resultado de la moneda sea cara). SOLUCION: Sean R, I y II eventos definidos como en el ejemplo 2.4.10. Aqu´ı nos piden calcular P(I/R) (comp´ arese con la figura 2.17). Del ejemplo 2.4.10, tenemos que P(R/I) = 53 , P(R/II) = 51 , P(I) = P(II) = 21 .

Fig. 2.17: Diagrama para la situaci´ on del ejemplo 2.4.13 Por consiguiente, por el teorema de Bayes (teorema 2.4.12) con n = 2, se obtiene que P(I/R) =

P(R/I) P(I) = P(R/I) P(I) + P(R/II) P(II)

3 5 3 5

·

1 2

· +

1 2 1 5

·

1 2

=

3 = 0, 75. 4

De este modo, dada la informaci´ on de que se ha sacado un ficha roja, la probabilidad de haber escogido la caja I se ve modificada, pasando de P(I) = 0, 5 (a priori) a P(I/R) = 0, 75 (a posteriori). ◭ Ejemplo 2.4.14 En cierta ciudad, aproximadamente el 10% de los habitantes está afectado por una rara enfermedad, para la cual se ha desarrollado una prueba de diagnóstico. A través de esta prueba se ha determinado que el 85% de los individuo que padecen la enfermedad, presentan un resultado positivo, mientras que el 20% de los individuos sin la enfermedad muestran un resultado de prueba positivo. Supongamos que se hace una prueba en un individuo seleccionado al azar. (a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el resultado sea positivo? ¿Y negativo? (b) Si el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad? (c) Si el resultado es negativo, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad? (d) Si el resultado es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo esté sano? (e) Si el resultado es negativo, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo esté sano?


57

SOLUCION: Analizando las situaciones del problema, podemos identificar los siguientes eventos: A = el individuo está enfermo. A = el individuo está sano. B = el individuo ha sacado un resultado positivo. B = el individuo ha sacado un resultado negativo. Por consiguiente, P(A) = 0, 1, P(A) = 0, 90, P(B/A) = 0, 85 y P(B/A) = 0, 2. Observe que P(B/A) = 1 − P(B/A) = 0, 15

y

P(B/A) = 1 − P(B/A) = 0, 80.

Junto a cada una de las cuatro ramas del diagrama aparecen probabilidades (que ya hemos llamado “totales”) que fueron calculadas con aplicaci´ on del teorema de multiplicación (véase el teorema 2.4.5). Todas estas probabilidades se pueden identificar fácilmente en el siguiente diagrama de árbol que se muestra en la figura 2.18.

Fig. 2.18: Diagrama de a´rbol para los datos del ejemplo 2.4.13. En (a) nos piden calcular P(B) y P(B). Para calcular la probabilidad de que ocurra B, aplicaremos el teorema de la probabilidad total con n = 2 (véase el teorema 2.4.9). De igual manera, también aplicaremos este mismo teorema para calcular la probabilidad de que ocurra B. Esto lo haremos de la siguiente manera: • Sumando las dos probabilidades totales ubicadas en las ramas correspondiente a un resultado positivo, obtenemos: P(B) = P(A) P(B/A) + P(A) P(B/A) = 0, 085 + 0, 18 = 0, 265. • Sumando las dos probabilidades totales ubicadas en las ramas correspondiente a un resultado negativo, obtenemos: P(B) = P(A) P(B/A) + P(A) P(B/A) = 0, 015 + 0, 72 = 0, 735. Para calcular las probabilidades pedidas en (b)-(d), aplicaremos el teorema de Bayes con n = 2 (teorema 2.4.12) de la siguiente manera:


58

(b) Nos piden calcular P(A/B). P(A/B) =

0, 085 P(A ∩ B) = = 0, 3207. P(B) 0, 265

(c) Nos piden calcular P(A/B). P(A/B) =

P(A ∩ B) 0, 015 = = 0, 0204. 0, 735 P(B)

(d) Nos piden calcular P(A/B). P(A/B) =

P(A ∩ B) 0, 18 = = 0, 6792. P(B) 0, 265

(e) Nos piden calcular P(A/B). P(A/B) =

P(A ∩ B) 0, 72 = = 0, 979. 0, 735 P(B)

Obsérvese que, para C = B o C = B, se cumple que P(A/C) = 1 − P(A/C), propiedad que siempre se cumple para todo par de eventos A y C de un espacio muestral. ◭ Ejemplo 2.4.15 Un analista de bolsa examina las perspectivas de las acciones de un gran n´ umero de compa˜ n´ıas. Cuando se investigó el comportamiento de estas acciones un a˜ no antes, se descubri´ o que el 15% experimentaron un crecimiento superior al de la media, el 40% inferior y el 45% restante se mantuvieron alrededor de la media. El 30% de los valores que crecieron por encima de la media fueron clasificados como “buenas adquisiciones” por el analista, al igual que el 15% de las que crecieron alrededor de la media y el 20% de las que tuvieron un crecimiento inferior. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un valor clasificado como “buena adquisición” por el analista crezca por encima de la media del mercado? SOLUCION: Definiendo los eventos A1 : “crecimiento superior a la media”, A2 : “crecimiento alrededor de la media”, A3 : “crecimiento inferior a la media”, B : el valor se considera como “buena adquisición”, tenemos las probabilidades P(A1 ) = 0, 25, P(A2 ) = 0, 40, P(A3 ) = 0, 35 y las probabilidades condicionales P(B/A1 ) = 0, 30, P(B/A2 ) = 0, 15, P(B/A3 ) = 0, 20. Se necesita calcular la probabilidad de que un valor crezca por encima de la media, dado que fue considerado “buena adquisición” por el analista. Es decir, buscamos la probabilidad condicional P(A1 /B), la cual se deduce haciendo uso del teorema de Bayes (teorema 2.4.12) de la siguiente manera: P(B/A1 )P(A1 ) P(B/A1 )P(A1 ) + P(B/A2 )P(A2 ) + P(B/A3 )P(A3 ) (0, 30)(0, 25) = = 0, 3658. (0, 30)(0, 25) + (0, 15)(0, 40) + (0, 20)(0, 35)

P(A1 /B) =

◭


59

Ejemplo 2.4.16 Por un canal de comunicaciones afectado por ruido se transmite uno de dos comandos de control en forma de palabras de c´ odigo 11111 y 00000. Esto se transmite con probabilidad a priori de 0,7 y 0,3, respectivamente. Por causa del ruido, la probabilidad de recepción correcta de cada uno de los s´ımbolos disminuye a 0,6. Se supone que las palabras de c´ odigo se da˜ nan o distorsionan independientemente. En la salida del receptor se registra la palabra de c´ odigo 10110. Determine qué comando fue transmitido. SOLUCION: Consideremos los siguientes eventos: A: “se registr´ o la palabra de c´ odigo 10110”; H1 : “se transmitió 11111”; H2 “se transmitió 00000”. Por consiguiente, P(H1 ) = 0, 7 y P(H2 ) = 0, 3. Para poder saber cu´ al fue la palabra de c´ odigo transmitida, calcularemos P(H1 /A) y P(H2 /A) y decidiremos nuestra respuesta teniendo la probabilidad de mayor valor. Ahora, P(A/H1 ) = (0, 6)(0, 4)(0, 6)(0, 6)(0, 4) = 0, 035, P(A/H2 ) = (0, 4)(0, 6)(0, 4)(0, 4)(0, 6) = 0, 023. Aplicando el teorema de Bayes (teorema 2.4.12), tenemos P(H1 /A) = =

P(A/H1 )P(H1 ) P(A/H1 )P(H1 ) + P(A/H2 )P(H2 ) (0, 035)(0, 7) = 0, 78. (0, 035)(0, 7) + (0, 023)(0, 3)

De manera analoga, encontramos que P(H2 /A) = 0, 22. Por consiguiente, como P(H1 /A) = 0, 78 es mayor que P(H2 /A) = 0, 22, podemos afirmar que la palabra de c´ odigo transmitida fue 11111. ◭

✍ Ejercicios de la secci´ on 2.4 62. Cierta empresa construye mesas de madera (M) o de vidrio (V) y se pueden adquirir en uno de cuatro colores: azul (A), Roja (R), blanca (B) y natural (N). Las probabilidades correspondientes de las diversas combinaciones de tipo de material y color son las siguientes: Madera Vidrio

Azul 0,13 0,15

Roja 0,13 0,12

Blanca 0,14 0,12

Natural 0,10 0,11

(a) Calcule e interprete P(R), P(M) y P(R ∩ M). (b) Calcule P(R/M) y P(M/R) e interprete los valores de cada una de las probabilidades. (c) Calcule e interprete P(N/V) y P(N/V). 63. La siguiente tabla recoge las proporciones de adultos en cierta ciudad, clasificadas en aquellos que fuma o no fuman y aquellos que tiene problemas de salud. Problemas S´ı No

Fuman 0,15 0,18

No fuman 0,09 0,58


60

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar tenga problemas de salud? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido fume? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta población elegido al azar que no fume tenga problemas de salud? 64. La probabilidad de que Humberto vea cierto programa de televisión es 0,3 y la probabilidad de que su esposa Greyci vea el programa es 0,6. La probabilidad de Humberto vea el programa sabiendo que Greyci lo hace es 0,8. Encuentre la probabilidad de que (a) Humberto y Greyci vean el programa; (b) Greyci vea el programa sabiendo que Humberto lo hace; (c) al menos uno de los dos vea el programa. 65. En cierta bodega, una caja contiene ocho clavos de 1 pulgada, seis de 1 pulgada y media y cinco de 2 pulgadas. Suponga que se seleccionan tres clavos al azar, sin reemplazo y sin orden. (a) Si se ve que al menos uno de ellos es de 1 pulgada, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean de 1 pulgada? (b) Si al menos uno de los tres seleccionados no es de 2 pulgadas, ¿cuál es la probabilidad de que los tres clavos tengan el mismo tama˜ no? 66. Una billetera contiene cinco billetes de $10.000 y siete billetes de $20.000 y una segunda billetera contiene ocho billetes de $10.000 y cuatro de $20.000. Se escoge al azar un billete de la primera billetera y se coloca en la segunda. Después se selecciona un billete de la segunda billetera y se coloca en la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un billete de $10.000 de la primera billetera y uno de $10.000 de la segunda? 67. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formada por seis asientos. Supongamos que se sientan al azar. (a) Utilice la regla de multiplicación para calcular la probabilidad de que una pareja (digamos, José y Carmen) se sienten juntos en el extremo izquierda y que otra pareja (digamos, Jorge y Nubia) se sienten juntos en el medio (b) Sabiendo que Jorge y Nubia ya se han sentado juntos en el medio, ¿cuál es la probabilidad de que los otros dos esposos (digamos, José, Ricardo) se sienten junto a sus respectivas esposas (Carmen y Ana, respectivamente). (c) Sabiendo que Jorge y Nubia ya se han sentado juntos, ¿cuál es la probabilidad de que todos los esposos se sienten junto a sus esposas. 68. Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de la educaci´ on en cierta región del pais. Para i = 1, 2, 3, sea Ai el evento que representa al evento “el proyecto i fue aceptado”. Supongamos que P(A1 ) = 0, 30, P(A2 ) = 0, 22, P(A3 ) = 0, 35, P(A1 ∩ A2 ) = 0, 08, P(A1 ∩ A3 ) = 0, 09, P(A2 ∩ A3 ) = 0, 06, P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0, 02. Determine las siguientes probabilidades y exprese verbalmente cada uno de los eventos cuya probabilidad ha sido calculada. (a) P(A2 /A1 ). (b) P(A2 ∩ A1 /A1 ).


61

(c) P(A2 ∪ A3 /A1 ). (d) P(A1 ∩ A2 ∩ A3 /A1 ∪ A2 ∪ A3 ). 69. Un lote contiene 15 piezas fundidas de un proveedor local y 25 piezas fundidas de un proveedor del pueblo contiguo. Se seleccionan dos piezas fundidas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. Si A denota el evento de que la primera pieza fundida seleccionada es del proveedor local y si B denota el evento de que la segunda pieza fundida seleccionada es del proveedor local, determine: (a) P(A), P(B), P(A ∩ B) utilizando las técnicas de conteo. (b) P(B/A) y P(A/B) utilizando la definición de probabilidad condicional. (c) P(A ∪ B) aplicando el teorema de adición para dos eventos. 70. En cierto batallón, 35% de los soldados reclutados son de estrato 1 y el resto, de estrato 2. De los soldados reclutados que vienen del estrato 1, el 82% no son hijos u ńicos; mientras que el 25% de los del estrato 2 son hijos u ńicos. Supongamos que se selecciona un soldado al azar para una entrevista. (a) Si es hijo u ńico, ¿cuál es la probabilidad de que venga del estrato 1? ¿Del estrato 2? (b) Si no es hijo u ńico, ¿cuál es la probabilidad de que venga del estrato 1? ¿Del estrato 2? 71. En cierta empresa, 31% de los empleados son europeos, 42% son asiáticos y 27% son latinoamericanos. De los empleados europeos, 34% son mujeres; de los asiáticos, 42% son mujeres; mientras que de los latinoamericanos, 72% son mujeres. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una (mujer) europea? ¿(Hombre) asiático? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea una mujer? ¿Hombre? (c) Si un empleado seleccionado al azar es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que sea europea? ¿Asiática? ¿Latinoamericana? (d) Repita el inciso anterior, teniendo en cuenta que el empleado seleccionado sea un hombre. 72. Una empresa fabrica computadores, cuyo disco duro tienen capacidad de 20 GB y otros con capacidad de 30 GB. En el mes anterior, 35% de los computadores vendidos han sido los que tienen disco duro de 20 GB. De los compradores de computadores con disco duro de 20 GB, 45% compran los que tienen una memoria RAM de 356 MB, mientras que el 30% de los compradores de computadores con disco duro de 30 GB también lo hacen as´ı. Si sabemos que un comprador seleccionado al azar ha comprado un computador con memoria RAM de 356 MB, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un computador con disco duro de 30 GB? 73. Se env´ıan lapiceros de diversos colores a un proveedor de art´ıculos escolares en lotes de 20. Suponga que el 50% de estos lotes no tienen lapiceros defectuosos; 30%, un lapicero defectuoso y el resto de los lotes, tienen dos lapiceros defectuosos. Sin tener en cuenta el orden, supongamos que el proveedor selecciona al azar dos lapiceros de un lote y los prueba. ¿Cuáles son las probabilidades correspondientes de que haya 0, 1 y 2 lapiceros defectuosos en el lote, bajo cada una de las dos siguientes situaciones? (Sugerencia: Dibuje primero un diagrama de árbol en donde las tres primeras ramas principales corresponden a los tres tipos diferentes de lotes). (a) Ning´ un lapicero probado está defectuoso.


62

(b) Uno de los dos lapiceros probados está defectuoso. (c) Ambos lapiceros probados están defectuosos. 74. Una prestigiosa Universidad de Barranquilla utiliza tres hoteles locales para proporcionar hospedaje nocturno a sus profesores invitados. Supongamos que a 25% de los profesores se les asignan habitaciones en el Hotel Las Nieves , al 45% en el Hotel Paraiso y al 30% en el Hotel San Felipe. Si hay una decorado especial en 3% de la habitaciones del Barranquilla Plaza, 5% del Hotel El Prado y en 8%de las habitaciones del Hotel Puerta del Sol, ¿cuál es la probabilidad de que (a) a un cliente se le asigne una habitación con decorado especial? (b) a una persona con una habitación que tiene un decorado especial se le haya asignado acomodo en el Hotel Paraiso? 75. Para clientes que compran una estufa especial en un almacén electrodoméstico, considere los siguientes eventos: A =“La estufa comprada es colombiana”; B =“El comprador quiere una estufa a gas”; C =“El comprador quiere una estufa con 6 fogones”. Supongamos que sean dadas las siguientes probabilidades P(A) = 0.30, P(B/A) = 0, 75, P(B/A) = 0, 89, P(C/A ∩ B) = 0, 90, P(C/A ∩ B) = 0, 55, P(C/A ∩ B) = 0, 62 y P(C/A ∩ B) = 0, 40. (a) Construya un diagrama de árbol colocando cada evento en niveles diferentes y encima de cada una de él, las probabilidades correspondientes. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la estufa comprada sea colombiana, a gas y con 6 fogones? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que la estufa comprada sea a gas y con 6 fogones? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que la estufa comprada no sea de 6 fogones? (e) ¿Cuál es la probabilidad de que la estufa comprada sea colombiana sabiendo que es a gas y con 6 fogones? 76. Una emisora de bonos municipales tiene tres categor´ıas de clasificación (A, B y C). Suponga que el a˜ no pasado, de los bonos municipales que se emitieron en cierto pais, 70% tuvieron clasificación A, 20% clasificación B y 10% clasificación C. De los bonos municipales con clasificación A, 50% fueron emitidos en ciudades, 40% en suburbios y 10% en áreas rurales. De los bonos municipales con clasificación B, 60% fueron emitidos en ciudades, 20% en suburbios y 20% en áreas rurales. De los bonos municipales con clasificación C, 90% fueron emitidos en ciudades, 5% en suburbios y 5% en áreas rurales. (a) ¿Qué proporción de bonos municipales emiten las ciudades? ¿Los suburbios? ¿Las áreas rurales? (b) Si una ciudad emitiera un nuevo bono municipal, ¿cuál seria la probabilidad de que tuviera clasificación A? 77. Se les preguntó a los suscriptores de un periódico local si le´ıan regularmente, ocasionalmente o nunca la sección de deportes y, también, si hab´ıan practicado f´ utbol durante el a˜ no anterior. La proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente tabla. F´ utbol S´ı No

Lee regularmente 0,21 0,10

Lee ocasionalmente 0,16 0,04

Nunca lee 0,31 0,18

2.5 Independencia

63

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar nunca lea la sección de deportes? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar haya jugado f´ utbol durante el a˜ no pasado? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que nunca lea la sección de econom´ıa haya jugado f´ utbol durante el a˜ no pasado? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que ha jugado f´ utbol durante el a˜ no pasado nunca lea la sección de deportes? (e) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que no lea regularmente la sección de deportes haya jugado f´ utbol durante el a˜ no pasado?

2.5

Independencia

En general, el concepto de que dos eventos A y B sean independientes significa que el suceso de uno de los dos eventos no tiene ninguna influencia sobre la probabilidad de que suceda el otro evento. Por consiguiente, definimos Definici´ on 2.5.1 Dos eventos A, B de un espacio muestral Ω 6= ∅ se llaman (estoc´ asticamente) independientes, si y s´ olo si P(A/B) = P(A) y son dependientes en cualquier otro caso. Es decir, el evento A es independiente del evento B si la probabilidad de A no se ve afectada por la ocurrencia o no de B.

Ejemplo 2.5.2 Considere lanzar un dado no falso y defina los eventos A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3} y C = {1, 2, 3, 4}. Entonces, tenemos P(A) =

1 , 2

P(A/B) =

1 3

y

P(A/C) =

1 . 2

Es decir, los eventos A y B son dependientes, mientras que los eventos A y C son independientes. ◭ Ejemplo 2.5.3 Las probabilidades de que llueva o nieve en una ciudad determinada el d´ıa de navidad, el d´ıa de a˜ no nuevo o en ambos d´ıas son P(C) = 0, 60, P(N) = 0, 60 y P(C ∩ N) = 0, 42, respectivamente. Verifique si los eventos N y C son independientes. SOLUCION: Por la definición de probabilidad condicional, tenemos que P(N/C) =

P(C ∩ N) 0, 42 = = 0, 70. P(C) 0, 60

Ya que P(N/C) = 0, 70 no es igual que P(N) = 0, 60, encontramos que los eventos N y C no son independientes. Es decir, son dependientes. ◭

En el caso en que los eventos A y B sean independientes, encontramos con ayuda del teorema de multiplicaci´ on (teorema 2.4.5) el siguiente resultado especial: P(A ∩ B) = P(A/B) P(B) = P(A)P(B). Por tanto, podemos formular el siguiente teorema:

2.5 Independencia

64

Teorema 2.5.4 (Teorema de multiplicaci´ on para eventos independientes) Dos eventos A, B de un espacio muestral Ω 6= ∅ son independientes si y s´ olo si P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Ejemplo 2.5.5 Considere lanzar un dado no falso y defina los eventos A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}. Entonces, A ∩ B = ∅ y P(A) = P(B) =

1 2

y P(A ∩ B) = P(∅) = 0.

Es decir, los eventos A y B no son independientes porque P(A ∩ B) 6= P(A) P(B). El mensaje es que si dos eventos son mutuamente excluyentes y si las probabilidades de ambos eventos son positivas, entonces, no pueden ser independientes. ◭ Ejemplo 2.5.6 La tabla de abajo contiene los resultados obtenidos al analizar 84 muestras de aire con la finalidad de destectar dos moléculas raras. Sean A y B los eventos “todas las muestras de aire contienen la molécula 1” y “todas las muestras contienen la molécula 2”, respectivamente. Molécula 2 (no) Molécula 2 (s´ı) Total

Molécula 1 (no) 32 16 48

Molécula 1 (s´ı) 24 12 36

Total 56 28 84

Entonces, 3 28 1 12 1 36 = , P(B) = = y P(A ∩ B) = = . 84 7 84 3 84 7 Es decir, los eventos A y B son independientes porque P(A ∩ B) = P(A) P(B). P(A) =

◭

Teorema 2.5.7 Sean A, B eventos de un espacio muestral Ω 6= ∅. Entonces, las siguientes cuatro proposiciones son equivalentes: (a) A y B son independientes.

(b) A y B son independientes.

(c) A y B son independientes.

(d) A y B son independientes.

Ejemplo 2.5.8 Considere lanzar un dado no falso y defina los eventos A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3, 4}. Verifique las cuatros proposiciones equivalentes del teorema 2.5.7. SOLUCION: Debido a que, adicionalmente, A = {1, 3, 5} y B = {5, 6}, tenemos P(A) =

1 , 2

P(B) =

2 , 3

P(A) =

1 , 2

P(B) =

1 . 3

Ahora, como A ∩ B = {2, 4}, se concluye que:

A ∩ B = {1, 3},

A ∩ B = {6},

A ∩ B = {5},

2.5 Independencia

65

• Los eventos A y B son independientes porque P(A ∩ B) =

1 3

= P(A) P(B).


1 3

= P(A) P(B).


1 6

= P(A) P(B).


1 6

= P(A) P(B).

◭

Ejemplo 2.5.9 Se sabe que 30% de las lavadoras de cierta compa˜ n´ıa requieren servicio cuando están todav´ıa en garant´ıa, mientras que sólo 10% de las secadoras necesitan ese servicio. Si alguien compra una lavadora y una secadora fabricadas por esta compan´ıa, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos m´ aquinas necesite servicio dentro de la garant´ıa? Suponga que las dos m´ aquinas funcionan de manera independiente. SOLUCION: Se˜ nalemos como A el evento “la lavadora necesita servicio de garant´ıa” y B, el evento “la secadora necesita servicio de garant´ıa”. Entonces, P(A) = 0, 30 y P(B) = 0, 10. Nos piden calcular P(A ∩ B). Como las dos m´ aquinas funcionan de manera independiente, entonces, los eventos A y B son independientes. Con esto y con el teorema 2.5.7 (en este teorema, si se cumple la proposici´ on (a), entonces, también debe cumplirse (d)), los eventos A y B también son independientes. Por consiguiente, P(A ∩ B) = P(A) P(B) = (0, 70) · (0, 90) = 0, 63.

◭

El concepto de independencia se puede generalizar al caso en que se tengan más de dos eventos. Definici´ on 2.5.10 Se dice que n eventos A1, . . . , An de Ω son independientes si y s´ olo si P(Aj1 ∩ Aj2 ∩ · · · ∩ Ajk ) = P(Aj1 ) · P(Aj2 ) · · · P(Ajk ),

(2.3)

para todo 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n, con 2 ≤ k ≤ n. En particular, por ejemplo,6 (a) si n = 3, entonces, A, B y C son completamente independientes si y s´ olo si se cumplen las 2 condiciones siguientes: • Tomando la intersecci´ on de cada 2 eventos se tiene que P(A ∩ B) = P(A) P(B),

P(A ∩ C) = P(A) P(C),

P(B ∩ C) = P(B) P(C).

• Tomando la intersecci´ on de cada 3 eventos se tiene que P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C). (b) si n = 4, entonces, A, B, C y D son completamente independientes si y s´ olo si se cumplen las 3 condiciones siguientes: • Tomando la intersecci´ on de cada 2 eventos se tiene que P(A ∩ B) = P(A) P(B), P(B ∩ C) = P(B) P(C),

P(A ∩ C) = P(A) P(C), P(B ∩ D) = P(B) P(D),

• Tomando la intersecci´ on de cada 3 eventos se tiene que 6

El caso n = 2 ya est´ a ilustrado en el teorema 2.5.4

P(A ∩ D) = P(A) P(D), P(C ∩ D) = P(C) P(D).

2.5 Independencia

66

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C), P(A ∩ C ∩ D) = P(A) P(C) P(D),

P(A ∩ B ∩ D) = P(A) P(B) P(D), P(B ∩ C ∩ D) = P(B) P(C) P(D).

• Tomando la intersecci´ on de cada 4 eventos se tiene que P(A ∩ B ∩ C ∩ D) = P(A) P(B) P(C) P(D).

El siguiente ejemplo ilustra que una independencia f´ısica en la realidad no necesariamente necesita corresponder con una independencia estocástica en el modelo. Ejemplo 2.5.11 Supongamos que un dado se lanza dos veces y consideremos los eventos A :=“primer lanzamiento es un 2”, B :=“segundo lanzamiento es un 5” y C :=“la suma de ambos lanzamientos es 7”. Demuestre que (a) A y B son independientes, (b) B y C son independientes (c) A y C son independientes y (d) A, B y C no son independientes. Este ejemplo demuestra también que A, B y C son independientes dos a dos, pero no completamente independientes.

SOLUCION: (a) Debido a que A y B tienen 6 elementos, tenemos que P(A) = P(B) = consiguiente, que P(A ∩ B) = P escoger (2,5)

=

1 6

y, por

1 1 1 = · = P(A) P(B), 36 6 6

entonces, podemos afirmar que A y B son independientes. (b) El evento C es el conjunto C = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) , 6 = 16 . Ahora, debido a que es decir, C tiene 6 elementos. Por consiguiente, P(C) = 36 B ∩ C = {(2, 5)}, es claro ver que B ∩ C tiene un elemento. Por lo tanto,

P(B ∩ C) =

N´ umero de elementos de B ∩ C 1 1 1 = = = · = P(B) P(C). N´ umero de elementos de Ω 36 6 6

O sea, que B y C son independientes. (c) En forma semejante, se puede demostrar que A y C son independientes. (d) A, B y C no son completamente independientes porque 1 1 6 = = P(A) P(B) P(C). P(A ∩ B ∩ C) = P (2, 5) = 36 63

◭

✍ Ejercicios de la secci´ on 2.5 78. Suponga que las proporciones de fenotipos sangu´ıneos en determinada población son los siguientes: A : 35%, B : 28%, AB : 13% y O : 24%. Supongamos que los fenotipos de dos personas seleccionadas al azar son independientes entre s´ı. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fenotipos sean O?; (b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean iguales? 79. En su sistema de funcionamiento, una represa tiene cuatro puertas de seguridad idénticas. La probabilidad de que una puerta en particular se abra cuando sea necesario es 0,97. Si las puertas funcionan independientemente, calcule la probabilidad de que (a) al menos una puerta se abra, (b) al menos una puerta no se abra.

2.5 Independencia

67

80. La probabilidad de que Jeniffer cometa un error al marcar una pregunta de un examen de opci´ on m´ ultiple es 0,2. Supongamos que hay 7 preguntas marcadas independientemente. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que Jeniffer no cometa error al marcar las 7 preguntas? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que Jeniffer cometa por lo menos un error al marcar las 7 preguntas? 81. Una costura en un chaleco antibalas necesita 10 puntos de seguridad. La costura tendrá que volverse a realizar si cualquiera de los puntos de segudidad quedó débil. Suponga que los puntos de seguridad están débiles independientemente unos de otros, cada uno con la misma probabilidad. (a) Si 20% de todas las costuras necesitan volver a efectuarse, ¿cuál es la probabilidad de que un punto de seguridad esté defectuoso? (b) ¿Qué tan peque˜ na debe ser la probabilidad de un punto de seguridad débil para asegurar que sólo el 5% de todas las costuras necesiten volver a ejecutarse? 82. Una empresa de venta por correos considera tres posibles errores al enviarse un pedido: A: el art´ıculo enviado no es el solicitado. B: el art´ıculo se extrav´ıa. C: el art´ıculo sufre desperfectos en el transporte. Supóngase que el suceso A es independiente de los sucesos B y C y que los sucesos B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos individuales son P(A) = 0, 03, P(B) = 0, 02 y P(C) = 0, 05. Calcular la probabilidad de que uno de estos errores ocurra para al menos un pedido escogido al azar. 83. En cierta ciudad, el 70% de todas las personas examinadas en cierto consultorio odontológico no tienen caries. Si se supone que personas sucesivas tienen o no tienen caries (obviamente, independientemente una de otra), calcule la probabilidad de los siguientes eventos: (a) Las tres personas siguientes examinadas tienen caries. (b) Al menos una de las tres personas siguientes examinadas no tienen caries. (c) Exactamente una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries. (d) A lo más una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries. (e) Al menos una de las tres personas siguientes examinadas tiene caries. (f) Las tres personas siguientes examinadas tienen caries sabiendo que al menos una de ellas tiene caries. 84. Se clasifican muestras de hule de espuma de tres proveedores de acuerdo a si cumplen o no con las especificaciones. Los resultados de 100 muestras se resumen a continuación: Proveedor 1 2 3

S´ı cumple 17 18 50

No cumple 3 10 2

Si A denota el evento de que una muestra es del proveedor 1 y si B denota el evento de que una muestra cumple con las especificaciones, determine si A y B son independientes. ¿Son independientes A y B?

2.5 Independencia

68

85. Se seleccionó una muestra de 570 encuestados en una cierta ciudad para recoger información acerca del comportamiento de los consumidores. Entre las preguntas estaba: “¿Disfruta usted comprando ropa?” De 270 hombres, 165 respondieron que s´ı. De 300 mujeres, 224 respondieron que s´ı. (a) Suponga que el participante elegido es mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que no disfrute comprando ropa? (b) Suponga que el participante elegido disfruta comprando la ropa. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea hombre? (c) Los eventos disfrutar comprando ropa y sexo del participante, ¿son estad´ısticamente independientes? Explique. 86. Un determinado hospital tiene dos ambulancias que trabajan de forma independiente. La probabilidad de que una ambulancia espec´ıfica esté disponible cuando se le necesite es 0,94. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna esté disponible cuando se les necesite? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una ambulancia esté disponible cuando se le necesite? 87. En una prueba de una tarjeta de circuito impreso en la que se utiliza un patrón de prueba aleatorio, un arreglo de 10 bits es igualmente probable factible que sea cero o uno. Suponga que los bits son independientes. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean unos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean ceros? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco bits sean unos y cinco sean ceros? 88. Una compa˜ n´ıa de seguros estima que el 30% de los accidentes de automóvil son debidos al estado de embriaguez del conductor y que el 20% provocan heridos. Además, el 40% de los accidentes que dan lugar a heridos son debidos al estado de embriaguez del conductor (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente elegido al azar haya sido causado por el estado de embriaguez del conductor y haya dado lugar a heridos? (b) ¿ Son los sucesos debido al estado de embriaguez del conductor” y “da lugar a heridos” independientes? (c) Si un accidente elegido al azar es causado por el estado de embriaguez del conductor, ¿cuál es la probabilidad de que haya dado lugar a heridos? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente elegido al azar haya sido provocado por el estado de embriaguez del conductor y no haya dado lugar a heridos? 89. Cada una de las tapas de las botellas de gaseosa que llegan a una determinada sección son verificados por Greyci y Humberto, quienes buscan defectos. Humberto detecta 95% de tapas defectuosas y Greyci también hace lo mismo. Al menos, una persona no detecta defecto alguno en el 10% de todas las tapas defectuosas. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que una tapa defectuosa sea detectada sólo por Humberto? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que una tapa defectuosa sea detectada exactamente por una de las dos personas? (c) Suponiendo que las inspecciones de diferentes tapas son independientes entre s´ı, ¿cuál es la probabilidad de que tres tapas defectuosas de un lote escapen a la detección de ambas personas?

Cap. 2. Ejercicios complementarios

69

90. Se sabe que el 20% de las explotaciones agr´ıcolas de un determinado pueblo tienen más de 20.000 metros cuadrados y que los propietarios del 60% de las explotaciones son personas con más de 55 a˜ nos de edad. Además, el 55% de las explotaciones que superan los 20.000 metros cuadrados tienen como propietario a una persona mayor de 55 a˜ nos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que una explotación de este pueblo escogida al azar tenga más de 20.000 metros cuadrados y su propietario sea mayor de 55 a˜ nos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que una explotación de este pueblo escogida al azar tenga más de 20.000 metros cuadrados o su propietario sea mayor de 55 a˜ nos? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que una explotación de este pueblo cuyo propietario es mayor de 55 a˜ nos, tenga más de 20.000 metros cuadrados? (d) ¿Son independientes estad´ısticamente el tama˜ no de las explotaciones y la edad de los propietarios?

✍ Ejercicios complementarios 91. ¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justificar cada respuesta. (a) La suma de las probabilidades de eventos colectivamente exhaustivos es 1. (b) Sean los eventos A y B, la probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de B dado A, si las probabilidades de A y B son iguales. (c) Si un evento y su complemento son igualmente probables, la probabilidad de ese evento es 0,5. (d) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces, también lo son sus complementos. (e) La probabilidad de la unión de dos eventos no es menor que la probabilidad de la intersección. (f) La probabilidad de la unión de dos eventos no es mayor que la suma de la probabilidad de cada uno de los eventos. (g) La probabilidad de la intersección de dos eventos es menor que la probabilidad de cualquiera de los dos eventos. (h) Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes. (i) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces son colectivamente exhaustivo. (j) Si dos sucesos son colectivamente exhaustivos, entonces son mutuamente excluyentes. (k) La probabilidad condicional de A dado B es mayor o igual que la probabilidad de A. (l) Un evento y su complemento son independientes. (m) La probabilidad condicional de A dado B es mayor o igual que la probabilidad de la intersección de A y B. (n) La probabilidad de la intersección de dos eventos no es mayor que el producto de sus probabilidades individuales. 92. En los u ´ltimos a˜ nos, las compa˜ n´ıas de tarjeta de crédito han hecho un gran esfuerzo para lograr nuevas cuentas de estudiantes universitarios. Suponga que una muestra de 210 estudiantes en su universidad proporcionó la siguiente información sobre si pose´ıa una tarjeta de crédito bancaria y/o una tarjeta de crédito de viaje. Tarjeta bancaria Si No

Tiene tarjeta de viaje 50 25

No tiene tarjeta de viaje 80 55


70

Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que (a) tenga una tarjeta de crédito bancaria? (b) tenga una tarjeta de crédito bancaria y una tarjeta de viaje? (c) no tenga una tarjeta de crédito bancaria ni una tarjeta de viaje? (d) no tenga una tarjeta de crédito bancaria o tenga una tarjeta de viaje? 93. Encuentre el n´ umero de formas distintas en que se pueden guardar cuatro discos compactos de marcas diferentes en un estuche que tiene seis compartimientos n´ umerados del 1 al 6. 94. Para poder asistir a importantes citas de trabajo, Humberto debe alquilar un auto en Barranquilla y uno, en Cartagena. Sea A el evento “a Humberto le ofrecen un Mercedes Benz en Barranquilla” y B el evento “a Humberto le ofrecen un Mercedes Benz en Cartagena”. Supongamos que ambos eventos son independientes, que P(A) = 0, 4 y P(B) = 0, 25. (a) Si a Humberto no se le ofrece un Mercedes Benz en Barranquilla, ¿cuál es la probabilidad de que no se le ofrezca un Mercedes Benz en Cartagena? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que a Humberto se le ofrezca un Mercedes Benz en por lo menos alguna de las dos ciudades? (c) Si se le ofrece un Mercedes Benz en por lo menos alguna de las dos ciudades, ¿cuál es la probabilidad de que ese ofrecimiento sea sólo en Barranquilla? 95. Supongamos que seis personas se quieren montar en fila en un bus. (a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo? (b) ¿De cuántas maneras posibles pueden hacerlo si tres personas insisten en estar una después de la otra? (c) ¿De cuántas maneras posibles pueden hacerlo si dos personas deben estar una junto a la otra? (d) ¿De cuántas maneras posibles pueden hacerlo si dos personas se niegan a estar una junto a la otra? 96. En un peque˜ no municipio clasificaron a los habitantes seg´ un la religión que practicaban y encontraron lo siguiente: 10 eran Bautistas, 40 eran Islámicos, 20 eran Adventistas, 50 eran Evangélicos, 70 eran Católicos, 30 eran Testigos de Jehová y 10 No sab´ıan (no respondieron). (a) Construya un diagrama de barras para los datos anteriores. (b) ¿Cuál es el tama˜ no de la población del municipio? (c) ¿Se puede calcular la media? Explique. (d) ¿Se puede calcular la moda? Explique. (e) ¿Qué porcentaje de la población son Islámicos? ¿Qué medida us´ o para calcularla? (f) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar a un habitante de dicho municipio, éste sea Islámico? (g) ¿Cómo son los n´ umeros obtenidos en (e) y (f)? ¿Qué concluye? 97. Se pidió a una analista financiera evaluar las perspectivas de beneficio de cinco empresas para el próximo a˜ no, y ordenarlas con respecto a las previsiones correspondientes al crecimiento del beneficio. (a) ¿Cuántas ordenaciones diferentes son posibles?


71

(b) Si, de hecho, simplemente se supone una determinada ordenación, ¿cuál es la probabilidad de que esta suposici´ on sea correcta? 98. En un experimento para estudiar la relaci´ on de la hipertensi´ on arterial y los hábitos de fumar, se re´ unen los siguientes datos para 190 individuos:

Con hipertensi´ on Sin hipertensi´ on

No fumadores 30 40

Fumadores moderados 25 19

Fumadores empedernidos 28 48

Si se escoge un de estos individuos al azar, encuentre la probabilidad de que la persona (a) sufra de hipertensi´ on, sabiendo que es un fumador empedernido; (b) sea un no fumador, dado que la persona no sufre de hipertensi´ on. 99. Una cierta investigaci´ on en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18% de los adultos vieron un programa deportivo de televisión orientado a temas relacionados con el f´ utbol y el beisbol, el 12% leen un reportaje orientado a esta temática y el 10% realizan ambas actividades. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa de televisión, lea el reportaje mencionado? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lea el reportaje, vea dicho programa de televisión? 100. El centro de informática de cierta universidad recibe un software nuevo que debe ser instalado en el servidor de la universidad y revisado antes de ser puesto a funcionar. En la tabla adjunta se muestra la valoraci´ on de probabilidad de un gerente correspondiente al n´ umero de d´ıas necesarios para que el software ser puesto a funcionar. Numero de d´ıas Probabilidad

3 0,05

4 0,27

5 0,43

6 0,13

7 0,12

Sea A el evento “el software tardará más de cinco d´ıas en ponerse a funcionar” y B el evento “el software tardará más de cuatro d´ıas en ponerse a funcionar”. (a) Calcular la probabilidad de que suceda A y la de que suceda B. (b) Describa el complemento A del evento A y calcule la probabilidad de que suceda A. (c) Describir el suceso intersección A ∩ B de los sucesos A y B y calcule la probabilidad de que suceda A ∩ B. (d) Describir el suceso unión A ∪ B de los sucesos A y B y calcular la probabilidad de que suceda A ∪ B. (e) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Colectivamente exhaustivos? 101. Tres parejas de casados han comprado boletas para el cine y se sientan en una fila formada por seis asientos. Supongamos que se sientan al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una pareja (digamos, José y Carmen) se sienten en los dos asientos del extremo derecho? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que José y Carmen se sienten uno junto a la otra?


72

102. La rugosidad en los bordes de los productos de papel cortado aumenta con el desgaste de las cuchillas. Sólo 1% de los productos cortados con cuchillas nuevas tiene bordes rugosos, 3% de los productos cortados con cuchillas con filo promedio presentan rugosidad y 5% de los productos cortados con cuchillas desgastadas presentan rugosidad. Si 25% de las cuchillas utilizadas son nuevas, 60% tienen filo promedio y 15% están desgastadas, ¿cuál es la proporción de productos que presenta rugosidad en los bordes? 103. Los clientes acostumbran evaluar en forma preliminar el dise˜ no de los productos. En el pasado, 95% de los productos de gran éxito recibieron cr´ıticas favorables, 60% de los productos con un éxito moderado recibieron cr´ıticas favorables y 10% de los productos sin mucho éxito recibieron cr´ıticas favorables. Además, 40% de los productos han sido de gran éxito, 35% han sido de éxito moderado y 25% han sido productos sin mucho éxito. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una cr´ıtica favorable? (b) Si un dise˜ no nuevo obtiene una cr´ıtica favorable, ¿cuál es la probabilidad de que será un producto de gran éxito? (c) Si un producto no consigue una cr´ıtica favorable, ¿cuál es la probabilidad de que será un producto de gran éxito? 104. Una compa˜ n´ıa del ejército escoge siempre a 30 soldados para vigilar en el intervalo de 4:00 a.m. a 12:00 a.m. (turno de la ma˜ nana); 25, de 12:00 a.m. a 7:00 p.m. (turno de la tarde) y 40, de 7:00 p.m. a 4:00 a.m. (turno de la noche). Un coronel del ejército selecciona 8 de estos soldados para hacerles una entrevista minuciosa. Supongamos que la selecci´ on se hace de tal forma que cualquier grupo de 8 soldados tiene la misma probabilidad de ser seleccionado, del mismo modo que cualquier otro grupo. (a) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 8 soldados del turno de la ma˜ nana? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 8 soldados seleccionados sean del turno de la ma˜ nana? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que los 8 empleados seleccionados sean del mismo turno? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, 2 turnos diferentes sean representados entre los soldados seleccionados? (e) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, uno de los turnos no esté representado en la muestra de soldados? 105. Un consejo académico con cinco miembros de la universidad tienen la tarea de elegir el nuevo jefe de un departamento académico, teniendo como candidatos a Humberto (H) o a Greyci (G). Cada uno de los miembros votó en una papeleta por uno de los candidatos. Supongamos que las papeletas se seleccionan al azar de una en una y una vez que se saque cada papeleta, se dice el nombre del candidato que salió en la papeleta. (a) ¿De cuántas maneras posibles puede resultar el conteo de los votos? (b) Si hay tres votos para Greyci y dos para Humberto, ¿de cuántas maneras posibles puede resultar el conteo de votos? ¿Cuáles son estas posibles maneras? (c) Si hay tres votos para Greyci y dos para Humberto, ¿cuál es la probabilidad de que Greyci siga delante de Humberto en todo el conteo de votos (es decir, este evento ocurre si el orden seleccionado es GGHGH pero no para GHHGG)? 106. Si se elige al azar una letra de nuestro alfabeto (son 27 letras), encuentre la probabilidad de que la letra sacada (a) sea una vocal, (b) sea una letra que está ubicada antes de la letra “d”, (c) sea una letra que está ubicada desp´ ues de la letra “e”.


73

107. Un grupo académico formado por dos ingenieros y cuatro administradores debe ser constituido para un proyecto, disponiéndose de un total de cinco ingenieros y seis administradores. (a) ¿Cuántas son las distintas combinaciones posibles? (b) El hermano de uno de los ingenieros es un administrador. Si el grupo es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hermanos sean escogidos? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos hermanos sea escogido? 108. Un estante tiene 6 libros iguales de matemáticas y 4 iguales de f´ısica. Hallar la probabilidad de que los 6 libros de matemáticas estén juntos. 109. La contaminaci´ on del r´ıo Magdalena es un problema que se va incrementado cada vez más con el pasar de los a˜ nos. Sean dadas las siguientes probabilidades: • La probabilidad de que el r´ıo está contaminado es 0,3. • La probabilidad de que una prueba en una muestra detecta contaminaci´ on sabiendo que el r´ıo está contaminado es 0,75. • La probabilidad de que una prueba en una muestra detecta contaminaci´ on sabiendo que el r´ıo no está contaminado es 0,20. • La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el r´ıo está contaminado y que una prueba en una muestra detecta contaminaci´ on es 0,20. • La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el r´ıo no está contaminado y que una prueba en una muestra detecta contaminaci´ on es 0,15. • La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el r´ıo está contaminado y que una prueba en una muestra no detecta contaminaci´ on es 0,80. • La probabilidad de que se permita pesca sabiendo que el r´ıo no está contaminado y que una prueba en una muestra no detecta contaminaci´ on es 0,90. Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: (a) El r´ıo está contaminado, una prueba en una muestra detecta contaminaci´ on y se permite pesca. (b) Una prueba en una muestra no detecta contaminaci´ on y se permite pesca. (c) Se permite pesca. 110. Una determinada editorial quiere decidir si va a publicar un libro de estad´ıstica para administración. El análisis de los libros que se publicaron anteriormente indica que 10% fueron grandes éxitos, 20% tuvieron éxito modesto, 40% lograron recuperar los gastos de inversión y 30% fueron un fracaso. Sin embargo, antes de tomar una decisión, se va a realizar un dictamen del libro. En el pasado, 99% de los grandes éxitos obtuvieron dictámenes favorables, 70% de los éxitos modesto obtuvieron dictámenes favorables, 40% de los t´ıtulos que alcanzaron a recuperar gastos de inversión obtuvieron dictámenes favorables y 20% de los fracasos fueron sometidos a esta clase de dictámenes. ¿Qué proporción de libros de texto reciben dictámenes favorables? 111. Jennifer, la propietaria de una tienda de ropa deportiva, clasifica las personas que entran a su tienda en clientes muy jóvenes, clientes con edad universitaria y clientes mayores, y sabe que el 40%, 30% y 30% pertenecen a estas categor´ıas, respectivamente. Jennifer comprueba también, que el 20% de los clientes muy jóvenes, el 60% de los clientes con edad universitaria y el 80% de los clientes mayores realizan alguna compra. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar haga alguna compra?


74

(b) Si un cliente elegido al azar realiza una compra, ¿cuál es la probabilidad de que sea muy joven? 112. Greyci tiene dos autom´ oviles: uno, modelo 2.000 y otro, modelo 2.004. La quinta parte del tiempo utiliza el auto modelo 2.000 para ir al trabajo y el resto del tiempo, el auto modelo 2.004. Generalmente, cuando utiliza el auto modelo 2.000, no tiene problemas de parqueo y, por tanto, llega a su trabajo a tiempo con una probabilidad de 0,93. Si utiliza el auto modelo 2.004, llega a tiempo a su trabajo con una probabilidad de 0,78. Si llegó a tiempo en un d´ıa en particular, ¿cuál es la probabilidad de que haya utilizado (a) el auto modelo 2.000, (b) el auto modelo 2.004? 113. En un per´ıodo, una planta automotriz produce 5.000 motos. De estas, 1.000 se armaron los lunes, 1.000 los martes, 1.000 los miércoles, y as´ı hasta completar las 5.000 el viernes. Fue necesario devolver 400 de estas motos que requer´ıan reparaci´ on de defectos. De las motos armadas los jueves se devolvieron 150. ¿Son independientes entre s´ı los eventos “una moto se construy´ o el jueves” y “una moto salió defectuosa”? 114. Brian ha realizado un estudio para un hipermercado en donde clasifica los clientes en aquellos que visitan el establecimiento de una manera frecuente u ocasional y en aquellos que adquieren regularmente, ocasionalmente o nunca productos alimenticios. La siguiente tabla presenta las proporciones correspondientes a cada uno de los seis grupos. Visita frecuente Visita ocasional

Regular 0,19 0,06

Ocasional 0,08 0,07

Nunca 0,12 0,48

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado y compre regularmente productos alimenticios? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que nunca compra productos alimenticios visite el hipermercado frecuentemente? (c) ¿Son independientes los sucesos “nunca compra productos alimenticios” y “visita el hipermercado frecuentemente”? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que visita de manera ocasional el hipermercado, compre regularmente productos alimenticios? (e) ¿Son los sucesos “compra regularmente productos alimenticios” y “visita el hipermercado de manera ocasional” independientes? (f) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado? (g) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente nunca compre productos alimenticios? (h) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite el establecimiento frecuentemente o nunca compre productos alimenticios? 115. Un lote de 25 piezas moldeadas por inyección contiene 5 que presentan una contracci´ on excesiva. (a) Si se seleccionan dos piezas al azar una detrás de otra, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda pieza seleccionada sea una con contracción excesiva? (b) Si se seleccionan tres piezas al azar una detrás de otra, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que la tercera pieza seleccionada sea una con contracción excesiva? 116. Se les preguntó a los estudiantes de una clase de estad´ısticas cuáles eran las notas que esperaban obtener en el semestre y si hab´ıan o no tratado de resolver problemas aparte de los asignados por el profesor. En la tabla se recogen las proporciones correspondientes a cada uno de los ocho grupos resultantes.


Problemas Si No

Nota de 5,0 0,21 0,12

Entre 4,0 y 4,9 0,13 0,08

75

Entre 3,0 y 3,9 0,06 0,02

Menor de 3,0 0,26 0,12

(a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya tratado de resolver problemas adicionales. (b) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar espere una nota de 5,0. (c) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya realizado problemas adicionales, espere una nota de 5,0. (d) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que espere una nota de 5,0, haya realizado problemas adicionales. (e) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya tratado de resolver problemas adicionales, espere una nota entre 4,0 y 4,9. (f) ¿Son los eventos “ha realizado problemas adicionales” y “espera una nota entre 4,0 y 4,9” independientes estad´ısticamente? 117. De un estudio realizado en una universidad, se sabe que el 35% de los estudiantes hacen deporte por lo menos una vez a la semana y que el 40% de los estudiantes tienen una nota media superior a 4,0. Además, el 30% de los que hacen deporte por lo menos una vez a la semana tienen una nota media superior a 4,0. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar hace deporte por lo menos una vez a la semana y tenga una nota media superior a 4,0? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que tiene una nota media superior a 4,0, hace deporte por lo menos una vez a la semana? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar hace deporte por lo menos una vez a la semana o tenga una nota media superior a 4,0? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que no tiene una nota media superior a 4,0, no hace deporte por lo menos una vez a la semana? (e) ¿Son independientes los eventos “hace deporte por lo menos una vez a la semana” y “tiene una nota media superior a 4,0”? ¿Mutuamente excluyentes? ¿Colectivamente exhaustivos? 118. Un director de control de calidad, sabe que el 30% de los problemas relacionados con los empleados tienen lugar los martes y que el 20% ocurren en la hora anterior al cambio de turno. Sabe también que el 4% de los problemas tienen lugar en la hora anterior al cambio de turno de los martes. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un incidente que sucede un martes no haya ocurrido en la hora anterior al cambio de turno? (b) ¿Son los sucesos el problema ocurre el martes” y el problema ocurre en la hora anterior al cambio de turno” independientes estad´ısticamente?

⋆ 119. Responda las siguientes preguntas. Explique (a) Si A, B y C son mutuamente excluyentes, ¿es posible que P(A) = 0, 3, P(B) = 0, 4 y P(C) = 0, 5? (b) Si P(A/B) = 1, ¿se cumple A = B? (c) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, ¿es posible construir un diagrama de Venn que contenga a los tres eventos A, B y C, tales que P(A/C) = 1 y P(B/C) = 0?

⋆ 120. Demuestre las siguientes afirmaciones:


76

(a) Para cualquier evento A y B con P(B) > 0, se cumple que P(A/B) + P(A/B) = 1. (b) Si P(B/A) > P(B), entonces, P(B/A) < P(B). Sugerencia: Sume P(B/A) ambos lados de la desigualdad y use el resultado de la parte (a). (c) Para cualquiera de los tres eventos A, B y C con P(C) > 0, se cumple que P(A ∪ B/C) = P(A/C) + P(B/C) − P(A ∩ B/C). (d) Si A y B son independientes, entonces, A y B también lo son. (e) Si A y B son independientes, entonces también lo son sus complementos.

Respuestas a ejercicios impares seleccionados

Cap´ıtulo 2 1. (a) AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE (b) 6 (c) 3 (d) 6

29. (a) 720 (b) 36 (c) 48 (d) 240 (e) 8 (f) 16

3. (a) {0, 1, . . . , 10} (b) {0, 1, 2, 3, 4} (c) {7, 8, 9, 10} (f) Falso

31. (a) 120 (b) 48 (c) 72

5. (a) 10 (b) BGGBG, BGGGB, GBGGB, GGBGB, GGGBB 7. (a) {0, 1, 2, 3, 8, 9} (b) {4} (c) {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (d) {0, 2, 3, 4, 6} (e) {0, 1, 2, 3, 8, 9} (f) {4} 9. (a) A ∩ B ∩ C (b) A ∩ C (c) B 11. (a) 36 (b) 43 (c) 8 (d) 6 (e) 21 (f) 98 (g) 23

33. (a) 288 (b) 1.260 35. (a) 300 (b) 156 (c) 144 (d) 180 37. (a) 81 (b) 16 (c) 65 39. (a) 0,1 (b) 0,5 (c) 0,2 (d) 0,2 41. (a) 0,68 (b) 0,97 43. No 45. (a) 3/5 (b) 2/3 (c) 0 (d) 3/5

13. (a) 20 (b) 60 (c) (d) 10

47. (a) 1/12 (b) 1/6 (c) 2/27 y 4/27

15. 324 17. (a) 180 (b) 55

49. (a) 0,44 (b) 0,56 (c) 0,66 (d) 0,34 (e) 0,22 (f) 0,69

19. 1.024

51. 0,901

21. (a) 5.040 (b) 4.320

53. 0,0495

23. (a) 1.800 (b) 2.250 (c) 520

55. 0,24

25. (a) 294 (b) 180 (c) 126 (d) 105 (e) 63 (f) 30

57. (a) 0,88 (b) 0,04 (c) 0,03 (d) 0,06

27. 72

59. (a) 30.045.015 (b) 8.580.495 (c) 0,2856 (d) 0,002122

Respuestas a ejercicios impares seleccionados

61. (a) 1/6 (b) 1/6 (c) 1/6 (d) 1/6 63. (a) 0,24 (b) 0,33 (c) 0,13 65. (a) 14/201 (b) 76/959 67. (a) 1/90 (b) 1/3 (c) 1/5 69. (a) 15/40, 5/13, 7/52 (b) 14/39, 7/20 (c) 5/8 71. (a) 0,1054; 0,8236 (b) 0,4762; 0,5238 (c) 0,2213; 0,37058; 0,40823 (d) 0,3906 ; 0,46506; 0,14432 73. (a) P(0/0) = 0, 537; P(1/0) = 0; P(2/0) = 0 (b) P(0/1) = 0; P(1/1) = 0, 04418; P(2/1) = 0, 055813 (c) P(0/2) = 0; P(1/2) = 0; P(2/2) = 1 75. (b) 0,2025 (c) 0,58876 (d) 0,33919 (e) 0,34394 77. (a) 0,69 (b) 0,49 (c) 0,68 (d) 0,6326 (e) 0,45588 (f) 0,68116

78

87. (a) 0,0009766 (b) 0,0009766 (c) 0,24609 89. (a) 0,05 (b) 0,10 (c) 0 91. (a) F (b) V (c) F (d) F (e) V (f) V (g) V (h) V (i) F (j) F (k) F (l) F (m V (n) F 93. 360 95. (a) 720 (b) 144 (c) 240 (d) 484 97. (a) 120 (b) 1/120 99. (a) 5/9 (b) 5/6 101. (a) 1/15 (b) 1/3 103. (a) 0,615 (b) 0,6179 (c) 0,05195 105. (a) 32 (b) 10 (c) 0,20 107. (a) 150 (b) 4/15 (c) 1/5 109. (a) 0,045 (b) 0,564 (c) 0,63 111. (a) 0,5 (b) 0,16

79. (a) 0,9999 (b) 0,1147

113. No

81. (a) 0,936 (b) 0,005116

115. (a) 1/5 (b) 7/92

83. (a) 0,027 (b) 0,973 (c) 0,189 (d) 0,216 (e) 0,657 (f) 0,0411

117. (a) 0,105 (b) 0,2625 (c) 0,645 (d) 0,5917 (e) No, no, no

85. (a) 0,2533 (b) 0,424 (c) 0,32326

119. (a) No (b) No (c) Si

Indice

Coeficiente binomial, 30 Combinaciones, 29 Complemento de un evento, 8 Conteo por enumeración de elementos, 17 a través de diagramas de árbol, 19 Diferencia de eventos, 8 Espacio muestral o de resultados, 4 Evento, 4 elemental, 4 imposible, 5 probabilidad de un, 39 seguro, 5 evento elemental probabilidad de un, 38 Eventos colectivamente exhaustivos, 9 dependientes, 63 disyuntos, ver eventos mutuamente excluyentes independientes, 63, 65 mutuamente excluyentes, 7 Experimento, 3 aleatorio, 4 determin´ıstico, 3 estocástico, ver experimento aleatorio laplaciano o clásico, 38 Fórmula de Silvester, 35 Factorial, 23n Frecuencia relativa

de un evento, 36 Independencia de eventos, 63, 65 Intersección de eventos, 6 Leyes de De Morgan, 10 Método axiomático, 34 clásico, 34, 38 de la frecuencia relativa, 34, 36 subjetivo, 34, 44 Modelos de urna, 16 Oportunidad a favor de un evento, 45 en contra de un evento, 45 Partición de un espacio muestral, 9 Permutaciones, 22 Principio de adición, 22 Probabilidad, 34 a posteriori, 56 a priori, 56 clásica, 38 condicional, 51 emp´ırica, 38 personal, ver probabilidad subjetiva subjetiva, 44 Regla de Bayes, 55 Técnicas de conteo, 16 Teorema de adición para 2 eventos, 35

INDICE

de de de de

adición para 3 eventos, 35 Bayes, ver Regla de Bayes la probabilidad total, 53 multiplicación para n eventos, 52 para 2 eventos, 51 para 2 eventos independientes, 64 fundamental del conteo, 20

Uni´ on de eventos, 7

80

Capitulo-2

Recommend Documents