PARTE III Respuesta sísmica, diseño y ev evaluación aluación de edificios de varios niveles niveles
755
19 Respuesta sísmica de edificios elástico lineales
AVANCE En el capítulo 13 se desarrollaron dos procedimientos: el análisis de la historia de la respuesta y el análisis del espectro de respuesta para calcular la respuesta sísmica de cualquier estructura descrita como un sistema elástico lineal, con un número finito de grados de libertad. En este capítulo se presenta la respuesta sísmica de los edificios de varios niveles a las excitaciones que se caracterizan por un espectro de diseño, determinada mediante el análisis de la historia de la respuesta. Con este análisis se obtiene un intervalo amplio de los dos parámetros clave: el periodo fundamental de vibración y la relación de rigidez viga-columna. De acuerdo con estos resultados, se llega a comprender cómo afectan estos parámetros a la respuesta de los edificios a los sismos y cómo impactan en las contribuciones de respuesta relativas a los diferentes modos naturales de vibración. Estos resultados también permiten identificar las condiciones en las que el primer modo o los dos primeros son suficientes para proporcionar una aproximación útil a la respuesta total. La comprensión que se desarrolla sobre la importancia de los modos superiores en la respuesta del edificio será de utilidad en el capítulo 22, donde se evalúa el procedimiento de la fuerza estática equivalente en los códigos de construcción de diseño sísmico respecto a los resultados de los análisis dinámicos.
19.1 SISTEMAS ANALIZADOS, ESPECTRO DE DISEÑO Y CANTIDADES DE RESPUESTA 19.1.1 Sistemas analizados Los sistemas analizados son marcos de una sola crujía y cinco niveles con una altura de entrepiso constante h y un ancho de crujía 2h (figura 19.1.1). Todas las vigas tienen la misma �
�
757
758
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales
Capítulo 19
m
Rigidez a la flexión
•
Columnas
m
Vigas
EI c
EI b
m
h
5 = h
m
@ 5
m
•
•
Figura 19.1.1 Propiedades de los marcos uniformes de cinco niveles.
•
2h
rigidez a la flexión, EI b, y la rigidez de la columna, EI c, no varía con la altura. El edificio se idealiza como un sistema de masa concentrada con la misma masa m en todos los niveles. Se supone que la fracción de amortiguamiento para los cinco modos de naturales de vibración es 5%. Sólo se requieren dos parámetros adicionales para definir el sistema por completo: el periodo fundamental de vibración T 1 y la relación de rigidez entre la viga y la columna ρ. El último parámetro se basa en las propiedades de las vigas y columnas en el nivel más cercano a la altura media del marco: ρ
vigas
E I b / L b
columnas E I c / L c
(19.1.1)
donde Lb y Lc son las longitudes de las vigas y las columnas, y las sumatorias incluyen a todas las vigas y columnas en el entrepiso que se encuentra en la altura media. Para el marco uniforme de una crujía definido en el párrafo anterior, la ecuación (19.1.1) se reduce a I b ρ
4 I c
(19.1.2)
que se presentó en la sección 1.3 para un marco de un solo nivel. Este parámetro es una medida de la rigidez relativa entre la viga y la columna, e indica cuánto puede esperarse que el sistema se comporte como un marco. Para ρ 0 las vigas no imponen ninguna restricción a las rotaciones de los nudos y el marco se comporta como una viga flexionante (figura 19.1.2a). Para ρ las vigas restringen las rotaciones de los nudos por completo y la estructura se comporta como una viga de cortante con una flexión de doble curvatura en las columnas de cada entrepiso (figura 19.1.2c). Un valor intermedio de ρ representa un marco en el que las vigas y columnas se someten a una deformación por flexión con rotación de los 1 nudos (figura 19.1.2b). Como un ejemplo para el marco de la figura 19.1.1, ρ repre8 senta I b I c /2, lo que implica un marco con columnas más rígidas que las vigas, lo cual es típico en las construcciones sismorresistentes. El parámetro ρ controla varias propiedades del marco: el periodo fundamental, la cercanía relativa o la separación de los periodos naturales y las formas de los modos naturales. Estas propiedades de vibración del marco de la figura 19.1.1 se calculan mediante los proce�
�
�
Sección 19.1
759
Sistemas analizados, espectro de diseño y cantidades de respuesta
(a)
(b)
Figura 19.1.2
Formas modificadas: (a) ρ
(c) 0; (b) ρ
�
1 8
; (c) ρ
�
.
q
50
20 3
h m
/
c I E
10
1
T
5
2
104
103
102 Relación de rigidez
101
1
5
ρ
Figura 19.1.3 Periodo fundamental de vibración de los marcos uniformes de cinco niveles.
dimientos de los capítulos 9 y 10. La variación del periodo fundamental con ρ se muestra en la figura 19.1.3, la cual indica que para una rigidez de columna dada EI c y una masa de piso m, el periodo fundamental se reduce en un factor de más de 8, a medida que ρ aumenta de 0 a q. Las relaciones de los periodos naturales son independ ientes de T 1, pero dependen en gran medida de ρ, sobre todo los periodos de los modos superiores, como se muestra en la figura 19.1.4. En consecuencia, los periodos naturales de un marco con una ρ pequeña están más separados entre sí que con una ρ grande. Las formas de los modos naturales dependen en gran medida de ρ, como se muestra en la figura 19.1.5. A partir de estos resultados, es evidente que la relación de rigidez ρ debe tener gran importancia en la determinación del comportamiento dinámico (y estático) del marco. Lo anterior se demuestra en las secciones siguientes.
760
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales
Capítulo 19
100 50 n
T /
1
20
T
3
= 1
ω
= 5
4
n
10
/
n
ω
2
5
2 1
104
103
102
101
Relación de rigidez
1
5
ρ
Figura 19.1.4 Relaciones del periodo natural de vibración para los marcos uniformes de cinco niveles. (Desarrollados por Roehl, 1971).
ρ = 0 ρ = 1/8 ρ =
Modo 1
Figura 19.1.5
Modo 2
Modo 3
Modo 4
Modo 5
Modos naturales de vibración del marco uniforme de cinco niveles para tres valores de ρ.
El periodo fundamental T 1 variará en un intervalo que es mucho más amplio que el razonable para los marcos de cinco niveles. Sin embargo, esto es apropiado para los objetivos de este capítulo, en el que se estudia la influencia de T 1 en la respuesta de los edificios. El comportamiento de la respuesta está controlado principalmente por T 1 y resulta afectado sólo de manera secundaria por el número de niveles. Por lo tanto, las observaciones que se deducen de los resultados presentados no se limitan a los edificios de cinco niveles.
19.1.2 Espectro de diseño La excitación sísmica se caracteriza por el espectro de diseño de la figura 19.1.6 (idéntica a la figura 6.9.5) multiplicado por 0.5, por lo que se aplica a los movimientos del terreno con 24 pulg/s, y un desplazamiento una aceleración máxima ügo 0.5g, una velocidad u˙ go �
Sección 19.1
Sistemas analizados, espectro de diseño y cantidades de respuesta
761
5 2.71
4 7 0 0.
0 T 7 . 1 1
n
1 . 8 0 T
1
n 1
g ,
A n ó i c a r e l e c a o d u e s P
Región sensible Región al desplazasensible a la velocidad miento
Región sensible a la aceleración
7 . 4 0 T n 2
0.1
2 8 . 4 4 T n 2 . 5 8 5
s 3 3 / 1
0.01 0.02
s 8 / 1
0.1
s 6 6 . 0
s 2 1 . 4
1
Periodo natural de vibración
s 0 1
10 T n,
Figura 19.1.6 Espectro de diseño para movimientos del terreno con u¨ go 36 pulg; ζ 5%.
s
1g, u˙ go
48 pulg/s , y ugo
�
�
ugo 18 pulg. En el espectro de diseño que se muestra (figura 19.1.6) para un 5% de amortiguamiento, se identifican las regiones sensibles a la aceleración, a la velocidad y al desplazamiento (definidas en el capítulo 6). �
19.1.3 Cantidades de respuesta Los valores máximos de las respuestas de un marco como el descrito en la sección 19.1.1, con una T 1 especificada y una ρ al movimiento del terreno que se caracteriza por el espectro de diseño de la figura 19.1.6, se determinan mediante el análisis del espectro de respuesta. Estos análisis se repitieron para los tres valores de ρ (0, 18 y q) y para muchos valores de T 1. Entre las muchas cantidades de respuesta, se examinarán cuatro d e ellas: el desplazamiento u5 en el último nivel con respecto al terreno, la cortante basal V b, el momento de volteo en la base M b y la cortante en el último entrepiso V 5. Las tres primeras se normalizarán de la siguiente manera: (1) u5 / ugo, donde ugo es el desplazamiento máximo del terreno; (2) V b /W 1*, donde W 1* M 1* g y M 1* es la masa modal efectiva para el primer modo; y (3) M b /W 1* h *1 , donde h *1 es la altura modal efectiva para el primer modo. Los valores de W 1* y h *1 se calculan utilizando la ecuación (13.2.9) y la forma del primer modo (figura 19.1.5). En la tabla 19.1.1 se presentan (1) W 1* / W, donde W es el peso total del marco y
762
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales TABLA 19.1.1
Capítulo 19
PROPIEDADES
DEL MODO FUNDAMENTAL
ρ W * / W
1 h* 1
/5h
0
ρ
1 8
ρ
0.679
0.796
0.880
0.794
0.742
0.703
(2) h *1 /5h, donde 5h es la altura total del marco. Resulta claro que relación de rigidez entre la viga y la columna ρ.
W 1*
y
h *1 dependen
de la
19.2 INFLUENCIA DE T 1 Y ρ EN LA RESPUESTA En la figura 19.2.1 se muestran tres respuestas normalizadas del marco, graficadas contra su periodo fundamental T 1, para tres valores de ρ. En un amplio intervalo de valores de T 1, el desplazamiento en el último nivel varía muy poco con ρ (es decir, que no es sensible a las variaciones en la relación de rigidez entre la viga y la columna). Para los sistemas de periodo muy largo el desplazamiento del nivel superior se acerca al desplazamiento del terreno porque las masas de cada nivel en tal sistema permanecen sin moverse, mientras que el terreno subyacente se mueve; tal comportamiento de un marco de una sola planta se muestra en la figura 6.8.5. La fuerza cortante y el momento de volteo en la base del marco son de gran interés debido a que sus valores de diseño se especifican en los códigos de construcción; asimismo 10
(b) V b / W 1*
(a) u5 / ugo
10
(c) M b / W 1*h1*
1
1
0.1
ρ =
0
ρ =
1/8
ρ =
q
0.1
0.01
0.001
0.01
0.1
1
10
0.1
1
10
0.1
1
10
0.001
Periodo fundamental T 1, s
Figura 19.2.1 Valores normalizados del desplazamiento en el último nivel u5, la cortante basal V b y el momento de volteo en la base M b en los marcos uniformes de cinco niveles, para tres valores de ρ.
Sección 19.3
763
Factores de contribución modal
son las fuerzas que se requieren para el diseño del sistema de cimentación. Cuando estas fuerzas normalizadas se representan contra T 1, como en la figura 19.2.1, las curvas tienen el aspecto general del espectro de pseudo-aceleración de la figura 19.1.6. Así, las curvas individuales tienden a la aceleración máxima del terreno, 0.5g, para T 1 cortos, y a cero para T 1 largos, de la misma manera que el espectro de pseudo-aceleración. La cortante basal y el momento de volteo en la base normalizados varían en gran medida con ρ para los edificios con T 1 en las regiones del espectro sensibles a la velocidad o al desplazamiento, donde la variación en M b no es tan grande como en V b. Por otro lado, estas respuestas normalizadas no varían de manera notable con ρ en la región del espectro sensible a la aceleración. Observe que las mismas W 1* y h *1 varían con ρ, como se muestra en la tabla 19.1.1 y, por lo tanto, influyen en los valores de las respuestas reales V b y M b (en contraste con las respuestas normalizadas) y la manera en que dependen de ρ. La variación en las respuestas normalizadas con ρ está muy relacionada con la importancia de las contribuciones a la respuesta de los modos superiores al primero, las cuales suelen aumentar con la disminución de ρ (sección 19.5) y en general (para el espectro de diseño seleccionado) aumentará con el incremento de T 1 (sección 19.4). Para estudiar las respuestas modales individuales, se utilizan los factores de contribución modal presentados en el capítulo 12, parte C.
19.3 FACTORES DE CONTRIBUCIÓN MODAL El valor máximo de la contribución del n-ésimo modo a una cantidad de respuesta r está dado por la ecuación (13.7.1), que se repite aquí por conveniencia: r n
st
r n An
(19.3.1)
donde An es la ordenada del espectro de respuesta (o diseño) de pseudo-aceleración correspondiente al periodo natural T n y a la fracción de amortiguamiento ζ n del n-ésimo modo; y r st es la respuesta estática modal. Como se definió en la sección 13.2.2, r st es el valor estático de la cantidad de respuesta r debido a las fuerzas externas sn, dadas por la ecuación (13.2.4). Estas respuestas estáticas modales se presentaron en la tabla 13.2.1 y se repiten aquí para la cortante basal V b, la cortante en el último entrepiso V 5, el momento de volteo en la base M b y el desplazamiento en el último nivel u5: n
n
st
V bn
M n*
st
V 5n
nm
st
M bn
φ5n
h* M n* n
st
u 5n
n
ωn2
φ5n
(19.3.2)
De manera alternativa, la ecuación (19.3.1) puede expresarse como r n
donde
st
r r ¯n An
(19.3.3)
N
st
r
st
st
r n
n
1
y
¯n r
r n
(19.3.4)
r st
Como se demostró en la sección 12.10, r st también es el valor estático de r debido a las fuerzas externas s m1. Los factores de contribución modal r ¯ para una cantidad de respuesta r no tienen dimensiones, son independientes de la manera en que se normalizan los modos �
n
764
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales
Capítulo 19
y se adicionan a la unidad cuando se suman para todos los modos: N
r ¯n n
1
(19.3.5)
1
En primer lugar se estudia la manera en que los factores de contribución modal dependen de la relación de rigidez viga-columna ρ y de la cantidad de respuesta. Para las cuatro cantidades de respuesta mencionadas en la sección 19.1.3, los factores de contribución modal r ¯ se calculan a partir de las ecuaciones (19.3.2) y (19.3.4), utilizando las propiedades conocidas del sistema y las frecuencias y los modos naturales calculados. Los resultados 0, 81, y q son independientes de que se presentan en las tablas 19.3.1a y 19.3.1b para ρ T 1. De acuerdo con la ecuación (19.3.5), para cada cantidad de respuesta y cada ρ, la suma de los factores de contribución modal sobre todos los modos es la unidad, aunque la convergencia puede o no ser progresiva. Para la clase de estructuras consideradas, la convergencia es progresiva para la cortante basal, pero no para las demás cantidades de respuesta. Los datos de las tablas 19.3.1a y 19.3.1b permiten tres observaciones útiles que influyen en los valores relativos de las respuestas modales. n
1. Para un valor fijo de ρ y cada una de las cantidades de respuesta, el factor de contribución modal r ¯1 para el primer modo es mayor que los factores r ¯ de los modos superiores, lo que sugiere que el modo fundamental debe tener la mayor contribución a cada una de estas respuestas. n
2. Para un valor fijo de ρ, los valores absolutos de r ¯ para los modos superiores al primero son mayores para V 5 que para V b, y los valores de V b, a su vez son más grandes que los de M b y u5. Esta observación sugiere que es de esperar que las contribuciones a la respuesta de los modos superiores al primero sean más significativas para la cortante basal V b que para el momento de volteo en la base M b, o que para el desplazamiento en el último nivel u5. Entre las cortantes de entrepiso, las respuestas de los modos superiores deben ser más significativas para la cortante del quinto nivel que para la cortante basal. n
3. A medida que disminuye ρ, los valores absolutos de los factores de contribución r ¯ de los modos superiores para V 5, V b y M b aumentan (excepto para algunos casos menores), sobre todo en el segundo modo. Esta observación sugiere que las contribuciones de los modos superiores a cualquiera de estas fuerzas deben convertirse en una fracción más grande de la respuesta total a medida que disminuye ρ, y deberían ser más grandes para una viga en flexión con ρ 0. n
�
TABLA 19.3.1a
PARA
V b
Y
FACTORES DE CONTRIBUCIÓN MODAL
V 5
Cortante basal Modo 1 2 3 4 5
ρ
0
0.679 0.206 0.070 0.033 0.012
ρ
1 8
0.796 0.117 0.051 0.026 0.009
V b
ρ
0.879 0.087 0.024 0.007 0.002
Cortante en el nivel superior ρ
0
1.38 0.528 0.204 0.080 0.020
ρ
1 8
1.30 0.441 0.211 0.089 0.023
ρ
V 5
1.25 0.362 0.159 0.063 0.015
Sección 19.4
FACTORES DE CONTRIBUCIÓN MODAL PARA
TABLA 19.3.1b
Momento de volteo en la base M b Modo 1 2 3 4 5
765
Influencia de T1 en la respuesta de los modos superiores
ρ
0
0.898 0.078 0.016 0.006 0.002
ρ
1 8
0.985 0.003 0.014 0.003 0.001
ρ
Y u 5
Desplazamiento en el nivel superior
ρ
1. 030 0.035 0. 006 0.001 0. 0003
M b
0
ρ
1.009 0.009 0.0005 0.00005 0.000005
1 8
1.027 0.030 0.003 0.0005 0.00007
ρ
u5
1.030 0.035 0.006 0.001 0.0003
19.4 INFLUENCIA DE T 1 EN LA RESPUESTA DE LOS MODOS SUPERIORES En esta sección se utilizan los conceptos y los datos anteriores para predecir la manera en que las contribuciones modales a la respuesta dependen del periodo fundamental T 1 de la estructura. Para ello se examinan los tres factores que entran en la ecuación (19.3.3) para la respuesta modal máxima: (1) el valor estático r st de r es un factor común en todas las respuestas modales, por lo que no influye en los valores relativos de las respuestas modales. (2) Como se mencionó en la sección 19.3, para una ρ dada los factores de contribución modal r¯ son independientes de T 1. (3) La ordenada del espectro de pseudo-aceleración An es el único factor en la ecuación (19.3.3) que depende del periodo fundamental T 1 y de las relaciones de periodo T n / T 1, las cuales, para una ρ dada, no dependen de T 1 (vea la sección 19.1). Así, la variación en la respuesta del modo superior con el aumento de T 1 debe estar relacionada con la forma del espectro de diseño. Esto se ilustra para el espectro de diseño seleccionado en los incisos (a) y (b) de la figura 19.4.1, donde se identifican los periodos naturales T n de dos marcos de cortante (ρ q) con periodos fundamentales T 1 0.5 y 3.0 s, respectivamente. Para el edificio con T 1 3 s, los valores de An para los modos más altos son más grandes que A1 para el modo fundamental, mientras que para el edificio con T 1 0.5 s, los valores de An (n ≥ 2) son iguales o más pequeños que A1. Por lo tanto, la respuesta de los modos superiores, expresada como un porcentaje de la respuesta total, debe ser más grande para el edificio con T 1 3 s que para el edificio con T 1 0.5 s. En general, para el espectro seleccionado, a medida que aumenta T 1 dentro de las regiones del espectro sensibles a la velocidad y al desplazamiento, la respuesta de los modos superiores se convertirá en un porcentaje creciente de la respuesta total. Esta predicción se confirma con los resultados del análisis dinámico. Los valores máximos de las respuestas de un marco con las T 1 y ρ especificadas se determinaron considerando (1) los cinco modos y (2) sólo el primer modo. Estos análisis se repitieron para tres 1 valores de ρ (0, 8 y q) y para muchos valores de T 1. Los resultados para la cortante basal normalizada se representan en la figura 19.4.2. Las curvas de un modo son independientes de ρ e idénticas al espectro de diseño de la figura 19.1.6, porque las ecuaciones (19.3.1) y (19.3.2a) dan n
�
�
�
�
�
V b1
�
A1
g
W 1*
o
V b1 W 1*
A1
g
(19.4.1)
766
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales
Capítulo 19
1.5 (a)
T 1 = ρ =
0.5 s
A3 A2
q
1
A1
A5
0.5 T 5 g ,
T 3
T 2
T 1
0 (b) T 1 = 3 s ρ = q
A n ó i c a r e l e c a o d u e s P
T 4
A3
A5
1 A2
0.5 T 5
T 4
A1
T 2
T 3
T 1
0 (c)
T 1 =
3s ρ = 0
A3
A2
A4
1 A5
0.5 T 5
0 0.01
T 4
0.1
T 3
A1
T 2
T 1
1
Periodo natural de vibración
10 T n,
s
Figura 19.4.1 Periodos naturales y ordenadas espectrales para tres casos: (a) T 1 ρ 3 s, ρ 0. q y (c) T 1 �
�
0.5 s, ρ
�
�
; (b) T 1
q
3 s,
�
�
La diferencia entre los dos resultados para el valor máximo es la respuesta de los modos superiores (es decir, la respuesta combinada debida a todos los modos superiores al primero). La respuesta de los modos superiores, expresada como un porcentaje de la respuesta total, se presenta en la figura 19.4.3 para las cuatro cantidades de respuesta. Los datos para la cortante basal se obtienen a partir de los resultados de la figura 19.4.2, y los de las otras cantidades de respuesta se obtienen de manera similar. La respuesta de los modos superiores en los edificios es insignificante para T 1 en la región del espectro sensible a la aceleración, y aumenta con el incremento de T 1 en las regiones sensibles a la velocidad y al desplazamien-
Sección 19.4
767
Influencia de T1 en la respuesta de los modos superiores 5
1 AER, 5 modos
*
1
W
/
b
V
ρ =
0
0.1
AER, 1 modo, todas las
ρ ρ =
0.01 0.02
1/8
ρ =
0.1
1 Periodo fundamental
10 T 1,
q
20
s
Figura 19.4.2 Cortante basal normalizada en marcos uniformes de cinco pisos para los tres valores de ρ. Los resultados se obtuvieron mediante el análisis del espectro de respuesta (AER), incluyendo uno o cinco modos.
to. Tales resultados son útiles en la evaluación de las disposiciones de fuerza lateral en los códigos de construcción (capítulo 22). Con base en los factores de contribución modales, anteriormente se había predicho cómo la importancia de la respuesta de los modos superiores dependería de la cantidad de respuesta (sección 19.3). Esta predicción se confirma con los resultados del análisis dinámico; la figura 19.4.3 demuestra que:
1. La respuesta de los modos superiores es más importante para las fuerzas (por ejemplo, V 5, V b y M b) que para los desplazamientos (por ejemplo, u5). Sin embargo, las contribuciones de los modos superiores a u5 y M b son idénticas para los marcos de cortante (figura 19.4.3c) porque los factores de contribución modal son iguales (tabla 19.3.1b). 2. La respuesta de los modos superiores es más importante para la cortante basal que para el momento de volteo en la base. 3. La respuesta de los modos superiores es más importante para la cortante del último entrepiso que para la cortante basal.
768
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales
Capítulo 19
100
100 (a) ρ = 0
% , s e r 80 o i r e p u s s o 60 d o m s o l e 40 d a t s e u p s 20 e R
(b) ρ = 1/8
(c) ρ = q 80
60 M b
V 5
V 5
V 5
V b
V b
40
V b
u5
M b
u5
u5
20
M b
0
0 0.1
1
10
0.1
1
10
0.1
1
10
Periodo fundamental T 1, s
Figura 19.4.3 Respuesta de los modos superiores en V b, V 5, M b y u5 para marcos uniformes de cinco niveles con tres valores de ρ.
19.5 INFLUENCIA DE ρ EN LA RESPUESTA DE LOS MODOS SUPERIORES En esta sección se predice la manera en la que las contribuciones modales a la respuesta dependen de la relación de rigidez viga-columna ρ. Para ello se examinan tres factores que entran en la ecuación (19.3.3) para la respuesta modal máxima: (1) El valor estático r st es un factor común en todas las respuestas modales y por lo tanto no influye en los valores relativos de las respuestas modales. (2) A medida que ρ disminuye, los factores de contribución de los modos superiores r ¯ para la cortante basal y la cortante en el primer nivel aumentan, sobre todo en el segundo modo (tabla 19.3.1a). (3) Las ordenadas de pseudo-aceleración dependen de T 1 y T 1 / T n; esta última se hace más grande a medida que disminuye ρ (figura 19.1.4) y los valores de T n se extienden en un intervalo de periodos más amplio del espectro de diseño. Lo anterior se ilustra en los incisos (b) y (c) de la figura 19.4.1. Ambos marcos tienen el mismo periodo fundamental, T 1 3 s, pero difieren en ρ [la primera es una viga de cortante (ρ q) y la otra es una viga en flexión (ρ 0)]. Como resultado, la relación de A2 para el segundo modo (por lo general el más significativo de los modos superiores) sobre A1 para el primer modo es mayor en los edificios con ρ 0 que en el caso donde ρ q. Por lo tanto, al unir la segunda y tercera observaciones, tanto el factor de contribución modal r ¯ como la ordenada espectral An del segundo modo son más grandes para el marco con ρ 0; entonces, la respuesta de los modos superiores es más importante en este caso que para el marco con ρ q. En general, para el espectro de diseño seleccionado y para T 1 en las regiones del espectro sensibles a la velocidad y al desplazamiento, la relación An / A1 se incrementa (o más precisamente, no disminuye) con la disminución de ρ, y esta tendencia debería conducir a una mayor respuesta de los modos superiores. La predicción anterior se confirma con los resultados de los análisis dinámicos de la figura 19.4.3; en éstos se demuestra que para cada cantidad de respuesta la respuesta de los n
�
�
�
�
n
�
�
�
Sección 19.6
769
Variación de la respuesta de los modos superiores con la altura
modos superiores es menos significativa para los sistemas que se comportan como vigas cortantes (ρ q), se vuelve cada vez más importante a medida que disminuye ρ, y tiene su mayor valor para los sistemas que se deforman como las vigas en flexión ( ρ 0). �
�
19.6 VARIACIÓN DE LA RESPUESTA DE LOS MODOS SUPERIORES CON LA ALTURA En esta sección se examina la manera en que las contribuciones a la respuesta de los modos superiores al primer modo a las cortantes de entrepiso y los momentos de volteo en cada nivel varían con la altura del edificio. En las figuras 19.6.1 y 1 9.6.2 se comparan estas fuerzas debidas sólo al primer modo con las fuerzas totales que consideran los cinco modos. La respuesta de los modos superiores, dada por la diferencia entre los dos conjun tos de fuerzas, se expresa como un porcentaje de la fuerza total y se presenta en las figuras 19.6.3 y 19.6.4. Estos resultados indican, como antes, que (1) para una ρ dada, la respuesta de los modos superiores es más significativa para los edificios de periodo más largo y (2) para una T 1 dada, la respuesta de los modos superiores es más significativa para los marcos con una ρ menor. Los resultados presentados en las figuras 19.6.3 y 19.6.4 proporcionan información sobre la manera en que los modos superiores afectan a las fuerzas en diferentes entrepisos de un edificio. Para un edificio en particular con valores dados de T 1 y ρ, el porcentaje de contribución a la respuesta de los modos superiores tiende a aumentar a medida que se consideran niveles superiores, aunque la tendencia no es perfecta en todos los casos. Esta contribución es pequeña para el momento de volteo en la base, pero puede ser importante en los entrepisos (a) ρ = 0
(b) ρ = 1/8
(c) ρ = q
5
5 5 Modos 1 Modo
4
4 T 1 = 0.5
l e v i n 3 e d o r e m ú 2 N
T 1 = 0.5
T 1 = 0.5
3 T 1 = 3
T 1 = 3
T 1 = 3
2 T 1 = 8 s
T 1 = 8 s
T 1 = 8 s
1
1
0 0
0.5
1
0
0.5
1
0
0.5
1
0 1.5
Cortantes de entrepiso normalizadas V j / W 1* Figura 19.6.1 Cortantes de entrepiso normalizadas en los marcos uniformes de cinco niveles para tres valores de ρ y tres valores de T 1. Los resultados se obtuvieron mediante el análisis del espectro de respuesta, incluyendo uno o cinco modos.
770
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales
(a) ρ = 0
(b) ρ = 1/8
Capítulo 19
(c) ρ = q
5
5 5 modos 1 modo
4
4 T 1 = 0.5 s
l e v i n 3 e d o r e m ú 2 N
T 1 = 0.5 s
T 1 = 0.5 s
3
2 T 1 = 3
T 1 = 3
T 1 = 3
1
1 T 1 = 8
T 1 = 8
T 1 = 8
0 0
0.5
1
0
0.5
1
0
0.5
1
0 1.5
Momentos de volteo por nivel normalizados M j / W 1* h1* Figura 19.6.2 Momentos de volteo por nivel normalizados en los marcos uniformes de cinco niveles para tres valores de ρ y tres valores de T 1. Los resultados se obtuvieron mediante el análisis del espectro de respuesta, incluyendo uno o cinco modos.
5
(a) ρ = 1/8 T 1 =
5
(b) T 1 = 3 s
0.5 s
q
4
4 T 1 =
l e v i n 3 e d o r e m ú 2 N
3 3 T 1 =
8
ρ =
0 2
1/8 1
1
0
0 0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
Respuesta de los modos superiores, % Figura 19.6.3 Respuesta de los modos superiores en las cortantes de entrepiso para los marcos uniformes de cinco niveles.
Sección 19.7
771
Cuántos modos deben incluirse
5
(b)
(a) ρ = 1/8 T 1 =
0.5
T 1 =
T 1 =
3
8s
1/8
4
q
ρ =
T 1 =
5
3s
0
4
l e v i n 3 e d o r e m ú 2 N
3
2
1
1
0
0 0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
Respuesta de los modos superiores, % Figura 19.6.4 Respuesta de los modos superiores en los momentos de volteo por nivel para los marcos uniformes de cinco niveles.
superiores, en especial para los marcos con periodos T 1 largos y ρ pequeñas. Si bien la tendencia antes mencionada es muy constante para los momentos de volteo por nivel, no siempre es consistente para las cortantes de entrepiso, porque la respuesta de los modos superio res tiende a aumentar para las fuerzas en los entrepisos cercanos a la parte inferior del edificio, además de los entrepisos cercanos a la parte superior del edificio. Esta falta de consistencia perfecta en la tendencia mencionada con anterioridad es una indicación de la dependencia compleja de la respuesta sísmica en los edificios de los parámetros del sistema y de la excitación sísmica.
19.7 CUÁNTOS MODOS DEBEN INCLUIRSE Si se desea el valor “exacto” de la respuesta estructural a la excitación sísmica, es necesario incluir las contribuciones a la respuesta de todos los modos naturales de vibración; sin embargo, los primeros modos suelen proporcionar resultados suficientemente precisos. El número de modos que deben incluirse depende de dos factores: el factor de contribución modal r¯ y la ordenada espectral An, que entran en la ecuación de la respuesta modal (19.3.3). Recuerde el resultado importante que indica que la suma de los factores de contribución modal para todos los modos es la unidad, ecuación (19.3.5). Si sólo se incluyen los primeros J modos, el error en la respuesta estática es n
J
e J
1
r ¯n
n
(19.7.1)
1
En primer lugar se examina el error e2 en la respuesta estática si se incluyen dos modos. La tabla 19.7.1 muestra este error calculado a partir de la ecuación (19.7.1) y los
772
Respuesta sísmica de edificios elástico lineales TABLA 19.7.1
Respuesta V 5 V b M b u5
ρ
e 2
0
0.144 0.115 0.024 0.0004
ρ
1
1 8
0.144 0.086 0.018 0.003
2 n 1
ρ
Capítulo 19
¯rn
0.110 0.033 0.005 0.005
valores numéricos para los factores de contribución modal de la tabla 19.3.1. El error e2 está por debajo de 0.15 o 15% en las cuatro cantidades de respuesta. Para una ρ dada, el error varía con la cantidad de respuesta. Es más pequeño en el momento de volteo en la base M b que en la cortante basal V b, y en V b comparado con la cortante en el entrepiso superior V 5. El error es mucho menor para el desplazamiento en el último nivel u5 y es menos de 3% si sólo se considera el primer modo. Para una cantidad de respuesta particular, el error e2 varía q (es decir, las vigas de cortante) y más grande para con ρ, siendo más pequeño para ρ ρ 0 (es decir, las vigas en flexión). El desplazamiento del nivel superior muestra tendencias opuestas a las fuerzas en el sentido de que e2 aumenta con el incremento de ρ, pero e2 es tan pequeño que los modos superiores tienen poca influencia en los desplazamientos (figura 19.4.3). Estos datos sugieren que los primeros uno o dos modos pueden proporcionar una buena aproximación a la respuesta total, donde la precisión está en función de la cantidad de respuesta y de ρ. A continuación se examina la manera en la que las ordenadas An del espectro influyen en el número de modos que deben incluirse en el análisis. Para una ρ y T 1 dadas en las regiones del espectro sensibles a la velocidad o al desplazamiento, la relación An / A1 es más grande para los marcos con periodos fundamentales T 1 más largos (figuras 19.4.1a y b). Así, para la misma precisión deseada, es necesario incluir más modos en el análisis de los edificios con un periodo T 1 más largo que el número de modos necesarios para los edificios con uno más corto. Para un T 1 dado en las regiones del espectro sensibles a la velocidad o al desplazamiento, la relación An / A1 es mayor para los marcos con una ρ más pequeña (figuras 19.4.1b y c). Por lo tanto, para la misma precisión deseada, es necesario incluir más modos en el análisis de los edificios con una ρ pequeña en comparación con el número de modos necesarios para los edificios con una ρ grande; en particular, es necesario incluir más modos en el análisis de los marcos en flexión (ρ 0) que en el de los marcos de cortante ( ρ q). Estas expectativas con respecto a la forma en que T 1 y ρ influyen en el número de modos que deben incluirse en el análisis de la respuesta al sismo, se confirman con los resultados de la figura 19.7.1, donde, para cada valor de ρ, se identifican cinco curvas de respuesta para la cortante basal indicando el número de modos incluidos en el análisis. Está claro que los dos primeros modos proporcionan un valor razonablemen te exacto para la cortante basal en marcos con un T 1 que está en la región del espectro sensible a la velocidad, y que un modo es suficiente para la región sensible a la aceleración. Esta conclusión también es válida para las cortantes en todos los entrepisos y para los momentos de volteo en todos los niveles. El primer modo por sí solo proporciona resultados exactos de u5 en todo el intervalo de T 1 y para todos los valores ρ, como lo indica la figura 19.4.3. Según las observaciones anteriores, resulta útil examinar la regla del 90% para la masa participante, que se especifica en algunos códigos de construcción. Como la masa modal �
�
�
�
Capítulo 19
773
Lecturas adicionales
10
10 (a) ρ = 0
(b) ρ = 1/8
(c) ρ = q
Número de modos 5 1
1
* 1
W
/
b
V
0.1
2
4 3
5
5
1
1 1
0.01
0.1
1
0.1
10
0.1
1
Periodo fundamental
10 T 1,
4 3 2 0.1
1
10
0.01
s
Figura 19.7.1 Cortante basal normalizada de los marcos uniformes de cinco niveles para tres valores de ρ. Los resultados se determinaron mediante el análisis del espectro de respuesta considerando uno, dos, tres, cuatro o cinco modos.
st efectiva es igual a la respuesta estática modal para la cortante basal V bn (sección 13.2.5), la regla anterior implica que debe incluirse el número suficiente de modos (por ejemplo J) para que el e J de la cortante basal sea menor al 10%. Sin embargo, como se señaló anteriormente, e J varía con la cantidad de respuesta y, por lo tanto, este error puede superar el 10% para otras cantidades de respuesta como las cortantes en los entrepisos superiores y los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes en algunos elementos estructurales. Además, incluso si el error e J en la respuesta estática es menor al 10%, el error en la respuesta dinámica puede exceder el 10% para los edificios con T 1 largos y ρ pequeñas.
LECTURAS ADICIONALES Blume, J. A., “Dynamic Characteristics of Multistory Buildings”, Journal of the Structural Division, ASCE , 94, (ST2), febrero de 1968, pp. 337-402. Cruz, E. F. y Chopra, A. K., “Elastic Earthquake Response of Building Frames”, Journal of Structural Engineering, ASCE , 112, 1986, pp. 443-59. Cruz, E. F. y Chopra, A. K., “Simplified Procedures for Earthquake Analysis of Buildings”, Journal of Structural Engineering, ASCE , 112, 1986, pp. 461-480. Roehl, J. L., “Dynamic Response of Ground-Excited Building Frames”, Ph.D. thesis, Rice University, Houston, Texas, octubre de 1971.
