UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
2.4. RESPUESTA SÍSMICA DE SISTEMAS LINEALES Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de la dinámica estructural es el análisis de la respuesta de las estructuras a los movimientos del terreno causados por un sismo. A continuación, se estudia la respuesta sísmica de sistemas lineales de 1GDL; haciendo referencia a los sistemas elásticos o sistemas elástico-lineales para enfatizar ambas propiedades. 2.4.1. MOVIMIENTO DEL SUELO - Las vibraciones del suelo producidos por movimiento sísmico en un sitio específico dependen de: La proximidad de éste a la fuente de origen, las características del sitio, y de la atenuación de la aceleración pico. - La amplitud, frecuencia y el tiempo de duración son requeridos para clasificar el movimiento, y estos parámetros se obtienen a partir de acelerogramas registrados en diferentes puntos.
s imilar potencial de riesgo - Los registros son utilizados para demarcar áreas o zonas con similar sísmico, tomando en cuenta la frecuencia de ocurrencia, la predicción de la magnitud máxima del sismo, la probabilidad de excedencia de esta magnitud, la distancia al origen, la localización de la falla de origen y los detalles geológicos del área. Estas demarcaciones son presentadas como mapas de riesgo sísmico que contienen zonas correspondientes a aceleraciones pico del suelo. 2.4.2. RESPUESTA DINÁMICA DE LA ESTRUCTURA ESTRUCTURA - Las cargas gravitatorias que actúan sobre la estructura son fuerzas estáticas, las cuales son independientes del tiempo; en cambio las fuerzas sísmicas que actúan en la estructura, por efecto de la vibración variable del suelo causan una respuesta dependiente del tiempo. - La respuesta generada depende de la magnitud y duración de la excitación, de las propiedades dinámicas de la estructura y de las características del suelo. - La vibración del suelo se amplifica en la estructura dependiendo del periodo fundamental de ésta, en mayor o menor medida. El efecto del amortiguamiento o resistencia a la fricción de la estructura en la vibración impuesta influye en la magnitud y duración del movimiento inducido, y usualmente se asume para edificios normales un amortiguamiento del 5 % .
=0,05
2.4.3. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO - La ecuación que rige el movimiento de un sistema lineal de 1GDL tal como se muestra en la figura siguiente, sujeto a la aceleración del suelo , por efecto de un sismo es:
̈ ̈ + ̇ + =−̈ Al dividir entre la masa , se tiene: ̈ + ̇ + =−̈ Haciendo: =2 ⟹ = , y usando la ecuación: = , resulta: ̈ + 2 ̇ + =−̈
INGENIERÍA SÍSMICA
1
2
Ing. E.POCLIN.T
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Sistema simple de un grado de libertad - El sismo es el que produce un registro de aceleraciones del terreno, tal como se muestra en la figura siguiente:
̈
Registro de aceleraciones producto de un sismo
̈
dada, la respuesta de la deformación del sistema - Para una aceleración depende solo de la frecuencia natural o del periodo natural del sistema y de su fracción de amortiguamiento, ; es decir, .
≡, ,
- La aceleración del suelo durante un sismo varía irregularmente, por tal motivo la solución analítica de la ecuación de movimiento debe ser descartada; por tanto, es necesario el empleo de métodos numéricos para determinar la respuesta estructural.
2.4.5. ESPECTRO DE RESPUESTA - Un espectro de respuesta es un valor utilizado en los cálculos de ingeniería sísmica, que mide la reacción de una estructura ante la vibración del suelo que la soporta. - El concepto del espectro de respuesta, es fundamental para la ingeniería sísmica, así como los procedimientos para determinar la respuesta máxima de los sistemas, obtenida directamente del espectro de respuesta. Es decir, que, para fines de diseño estructural, es importante conocer los valores máximos de respuesta de las estructuras. - Los espectros de respuesta, a pesar de considerar estructuras de 1GDL, ayudan a conocer la respuesta de una estructura de varios grados de libertad, en un sismo. - Una gráfica del valor máximo de una cantidad de respuesta como una función del periodo
de vibración natural del sistema, o de un parámetro relacionado, como la frecuencia circular o la frecuencia cíclica , se denomina espectro de respuesta para dicha cantidad.
INGENIERÍA SÍSMICA
Ing. E.POCLIN.T
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ESPECTRO DE RESPUESTA DE DESPLAZAMIENTO RELATIVO - La Ec. (2) se suele resolver con procedimientos numéricos, con lo cual para un valor específico de se obtiene el valor máximo del desplazamiento, . -
Si se repite el procedimiento en función del periodo natural; es decir, para un intervalo dado de , se obtiene el llamado espectro de respuesta de desplazamiento o deformación, y se emplea la notación , es decir: 1 = − ∫ ̈ [−] o = El espectro de respuesta de deformación es una gráfica de contra para un Una gráfica similar para ̇ es el espectro de respuesta de velocidad relativa, y fijo. para ̈ es el espectro de respuesta de aceleración absoluta. 3
4
-
ESPECTRO DE RESPUESTA DE PSEUDO-VELOCIDAD RELATIVA
- Considerando una cantidad para un sistema simple de 1GDL con una frecuencia natural , relacionada con su deformación máxima debido al movimiento sísmico del suelo:
o
≡ =−∫ ̈ [−] =
5 6
Donde recibe el nombre pseudo-velocidad1, ya que tiene unidades de velocidad y representa una medida de la máxima energía de deformación almacenada en la estructura durante el movimiento. Esta dada por la ecuación:
1 1 1 1 = 2 = 2 = 2 () = 2 El espectro de respuesta pseudo-velocidad es una gráfica de en función del periodo de vibración natural o de la frecuencia de vibración natural del sistema. ESPECTRO DE RESPUESTA DE PSEUDO-ACELERACIÓN ABSOLUTA Considerando una cantidad para un sistema simple de 1GDL con una frecuencia natural , relacionada con su deformación máxima ≡ debido al movi7
-
-
miento sísmico del suelo:
= ∫ ̈ [−] =
o o bien:
8 9
=
10
Donde recibe el nombre pseudo-aceleración 2 por expresarse en unidades de aceleración, y se relaciona con el valor de la fuerza cortante máxima, (o el va1 2
El prefijo pseudo se utiliza porque El prefijo pseudo se utiliza porque
INGENIERÍA SÍSMICA
̈̇ (Es (Es decir no es igual a la velocidad máxima relativa ̇ ) decir no es igual a la aceleración máxima total ̈ ) Ing. E.POCLIN.T
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
= = = = =
lor máximo de la fuerza estática equivalente, ) que se produce en la estructura durante un movimiento sísmico. Es decir, l a fuerza elástica del “resorte” (fuerza estática equivalente), alcanza su valor máximo para
Por tanto:
- La Ec. (11) indica que el cortante basal máximo en la estructura y se obtiene;
Donde:
= o =
11
, es igual a 12
de la estructura. == Peso Aceleración de la gravedad.
= Coeficiente sísmico o Coeficiente de fuerza lateral, que lo definen los reglamentos o normas de diseño, que multiplicado por el peso de la estructura da el valor del cortante basal máximo.
- Para el caso de la NTP E.030 Diseño Sismorresistente del RNE, la fuerza cortante total en la base de la estructura, correspondiente a la dirección considerada, se determinará por la siguiente expresión:3
Donde:
= ∙
13
de zona == Factor Factor de uso o importancia de amplificación sísmica CS == Factor Factor de amplificación del suelo = Coeficiente de reducción de las fuerzas sísmicas
- Reemplazando la Ec. (13) en la Ec. (12), se obtiene:
= ∙
14
- La Ec. (14), representa el espectro inelástico de pseudo-aceleración de una estructura.4 Espectro que debe ser empleado para cada una de las direcciones horizontales perpendiculares analizadas.
Para el análisis en la dirección vertical podrá usarse un espectro con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones horizontales. - El Espectro de Diseño definido por la Ec. (14), es una curva suavizada que resulta de normalizar5 con respecto a la aceleración máxima de la base los espectros de respuestas de sismos registrados en un determinado lugar. Dicho de otra manera, todas las curvas que representan a los sismos registrados de una determinada zona se llevan a la máxima aceleración tal como se muestra en la siguiente figura: 3 4 5
Numeral 4.5.2 de la Norma Técnica Peruana E.030 Diseño Sismorresistente (2016) del Reglamento Nacional de Edificaciones. Numeral 4.6.2 de la Norma Técnica Peruana E.030 Diseño Sismorresistente (2016) del Reglamento Nacional de Edificaciones. La Normalización se hace usando métodos estadísticos.
INGENIERÍA SÍSMICA
Ing. E.POCLIN.T
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN (PERÚ ZONA 2) 0.14
FACTORES Y PARÁMETROS DE SUELO S0 (S=0,80; TP =0,3 s; TL =3,0 s) S1 (S=1,00; TP =0,4 s; TL =2,5 s) S2 (S=1,20; TP =0,6 s; TL =2,0 s) S3 (S=1,40; TP =1,0 s; TL =1,6 s)
S3
0.12 ) a S ( 0.10 N Ó I 0.08 C A 0.06 R Diseño E L E 0.04 C A
̈
0.02
S2
S1 S0
0.00 0
0.5 TP=1.0=T 1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
PERIODO (T)
- El espectro de respuesta pseudo-aceleración es una gráfica de riodo de vibración natural o de la frecuencia de vibración natural del sistema.
en función del pe-
- En el caso de la Norma Peruana define 4 zonas para el territorio peruano. Luego para la Zona 4 corresponde una aceleración de 0,45g; para la Zona 3 corresponde una aceleración de 0,35g; para la Zona 2 corresponde una aceleración de 0,25g; y para la zona 1 corresponde una aceleración de 0,10g; resumidos en la Tabla Nº 1 de dicha Norma, tal como se muestra en la figura siguiente: - A cada zona se asigna un factor Z según se indica en la Tabla Nº 1 de la Norma. Factor que se interpreta como la aceleración máxima horizontal en suelo rígido con una probabilidad de 10% de ser excedida en 50 años. El factor Z se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad. FACTORES DE ZONA “Z”
ZONA 4 3 2 1
Z 0,45 0,35 0,25 0,10
- Es necesario resaltar que las características del suelo influyen en la traducción de la onda, esto puede verse en la figura adjunta.
INGENIERÍA SÍSMICA
Ing. E.POCLIN.T
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
RELACIÓN ENTRE Sa, Sv y Sd - Cada uno de los espectros de respuesta: de deformación, pseudo-velocidad y pseudo-aceleración para un movimiento sísmico, contienen la misma información sobre la respuesta estructural de una edificación, presentadas en formas distintas. Cada espectro proporciona de manera directa una cantidad física significativa:
El espectro de deformación proporciona la deformación máxima del sistema. El espectro de pseudo-velocidad se relaciona directamente con la energía de deformación máxima almacenada en el sistema durante el sismo. El espectro de pseudo-aceleración se relaciona directamente con los valores máximos de la fuerza estática equivalente y de la fuerza cortante basal .
- Esta presentación integrada es posible porque las tres magnitudes espectrales están relacionadas entre sí por las ecuaciones - Si se conoce uno de los espectros, los otros dos pueden deducirse mediante operaciones algebraicas, usando las ecuaciones (6) y (9), reescritas como:
1 = = o = = 2 2 Comentario: Las respuestas espectrales de velocidad ̇, y aceleración ̈, es decir los espectros de velocidad y de aceleraciones no son iguales a los espectros de pseudo-velocidad o 15
16
-
pseudo-aceleraciones, respectivamente. - En acápites anteriores se muestra que en un intervalo amplio de periodos estructurales ambos tipos de parámetros tienen valores cercanos. Sin embargo, en realidad no se requiere conocer las respuestas espectrales de velocidad , y aceleración , puesto que, para los valores de espectros de pseudo-velocidad o pseudoaceleraciones es suficiente para conocer el cortante máximo en la estructura.
̇
INGENIERÍA SÍSMICA
̈
Ing. E.POCLIN.T
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
: aceleraciones absolutas, para un movimiento en la base definido por: ̈ = −2 / Duración indefinida. Graficar solamente para un rango del periodo entre 0 y 2 s, si =100 (Considerar =5% y la solución permanente o estacionaria)
01. Calcular
Solución:
De la Ec. (2):
̈ + 2̇ + =−̈ =−[−1002]=1002 ≡ Entonces: = 100 / = 2 / SOLUCIÓN PERMANENTE: = √ [1− /]1 + [2/] = ⇒ || = De la Ec. (9): = Reemplazando : = × √ [1− /]1 + [2/] = √ [1− /] + [2/] Reemplazando: =2 /; = ⟹ / = ; = 100 ; =0,05 100 = √ 1−100 = +[20,05] √ 1− +0,01 Tabulando: T (s) 0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00
Sa (cm/s2) 100,00 106,63 133,04 225,29 1000,00 173,54 79,43 48,31 33,26
INGENIERÍA SÍSMICA
ESPECTRO DE PSEUDO-ACELERACIÓN 1000 800 ) 2 s / 600 m c 400 ( a S 200 0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
T (s)
Ing. E.POCLIN.T
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
02. Se tiene una edificación de 4 pisos destinados para centro comercial, proyectado en la ciudad de Chota (Cajamarca – Perú), con sistema estructural aporticado de concreto armado, tal como se muestra en la figura: m 4
m 4
m 4
m 4
Y X
5m
5m
5m
5m
5m
La altura de entrepiso es de 4,00 m. Si el perfil del suelo es roca o suelo muy rígido, construir el espectro de diseño de seudoaceleración, de acuerdo con la NTE E.030 Diseño Sismorresistente (2016), en ambas direcciones. Solución:
INGENIERÍA SÍSMICA
Ing. E.POCLIN.T
