Modelarea proceselor economice
65
Unitatea de învăţare 5
MODELE ÎN GESTIUNEA OPTIMĂ A STOCURILOR [HILLIER, 2005], [KRAJEWSKI, 2005] [RATIU, 2001], [RATIU, 2002], RUSU, 2001], [TELLER, 1980], [VĂDUVA, [VĂDUVA, 1974] 1974]
Obiectiv Obiectivul acestui capitol este de a defini şi construi modele pentru gestiunea optimă a stocurilor. Pornind de la modelul clasic determinist (modelul Wilson) al ”cantităţii economice” , sunt prezentate cele două principii fundamentale de reglare: metoda punctului de comandă şi metoda de aprovizionare periodică . Se prezintă utilizarea metodei de simulare Monte-Carlo în cadrul unei metode de gestiune, gestiune, pentru determinarea parametrilor: parametrilor : rata de ruptură, numărul de zile/articol de stocare, etc. Competenţele unităţii de învăţare Parcurgerea acestei unităţi permite înțelegerea şi aplicarea mecanismelor care asigură o gestiune optimă a stocurilor, adică a politicii de reaprovizionare care conduce la o sumă minimă a costurilor de aprovizionare şi stocare. Utilizarea tehnicilor de simulare în analiza metodelor de gestiune permite înţelegerea importanţei modelării şi simulării în procesul de luare a de ciziei.
Durata medie de parcurgere a acestei unit ăţi de învăţare este de 8 ore.
Discontinuităţile în livrare determină managerii întreprinderilor să stocheze mărfuri, pentru a absorbi cererile aleatoare. Deoarece stocarea unui produs are un cost (datorat imobilizării de fonduri, pazei, pazei, degradării, etc.), tendinţa este de a stoca o cantitate cât mai mică. Pe de altă parte o politică de a avea stocuri cât mai mici, implică reaprovizionări mai dese, care pot să inducă: costuri de reaprovizionare şi pierderi de profit în cazul rupturilor de stoc (clienţii neputând să aştepte, se adresează concurenţei). concurenţei). În faţa unei cereri fluctuante, trebuie să fie definită o regulă de reaprovizionare, reaprovizionare, (momentul efectuării comenzii şi cantitatea cantitatea comandată comandat ă), care să conducă la o sumă minimă a acestor costuri.
MODELUL WILSON principalilor Modelul Wilson este un model determinist care realizează calculul principalilor parametrii de gestiune în condiţiile optimizării costurilor totale de stocare pentru un articol.
66
ăndroiu Dorin Lix ăndroiu
Ipotezele modelului şi notaţii: - cererea anuală care se presupune că este repartizată uniform în timp, adică B A viteza de ieşire din stoc este constantă. constantă. M B A / n
- cererea pe unitatea de timp (astfel n = 1, 12, 52,... după cum unitatea de timp este anul, luna, săptămâna,...). săptămâna,...). Q
- comanda (cantitatea de aprovizionare). aprovizionare).
- stocul de securitate ; comanda soseşte înainte ca stocul să se epuizeze – epuizeze – stocul stocul de securitate permite satisfacerea unor cereri neprevăzute. neprevăzute . Î n această etapă a prezentării modelului, stocul de securitate apare ca o cantitate fixă, fixă, dată. dată. Acesta nu are nici un rol în calculul nostru de optimizare.
SS
P Q / M n Q / B A
- durata unui ciclu de aprovizionare.
- costul de aprovizionare (lansare a comenzii). C A Comentariu. Acest cost este diferit dacă articolul este cumpărat sau realizat în întreprindere. - Dacă articolul este cumpărat acest cost cuprinde: costurile costurile de achiziţie (alegerea furnizorului, negocierea, controlul facturilor,...) facturilor,... ) şi de recepţie (intrarea şi înregistrarea articolului în stoc). Aceste costuri includ cheltuieli de personal, comunicaţie, precum şi amortizările consumabile, cheltuieli poştale şi şi de comunicaţie corespunzătoare. Se poate determina împărţind bugetul serviciului aprovizionare la numărul total de comenzi prelucrate. prelucrate. - Dacă articolul este produs de întreprindere acest cost cuprinde: costurile de lansare în fabricaţie (reglajul maşinilor, pregătirea materialelor şi componentelor, rebuturi de lansare) şi costurile de recepţie a articolelor fabricate. - costul de stocare (este o fracţie din preţul unitar al articolului). C S Comentariu . Acest cost cuprinde costul de oportunitate al capitalului imobilizat în stoc, costurile de depozitare (amortizare, pază, încălzire/răcire, gestiune,...), costurile de deteriorare, depăşire valabilitate, furt şi asigurări. Acest cost se consideră în general o fracţie din costul articolului, de exemplu aproximativ aproximativ 0.2. pu
- preţul unitar al articolului .
N B A / Q
- numărul anual de aprovizionări .
Se obţine astfel evoluţia stocului redată în Figura 1:
67
Modelarea proceselor economice
M=BA/n
Q
SS timp P
P Figura 1
Rezolvare: Se determină: - valoarea medie anuală a stocului = pu Q / 2 SS - costul anual de stocare C 1 = C S pu Q / 2 SS - costul anual de aprovizionare C 2 = C A N C A B A / Q Rezultă costul total anual de stocare : B Q CT C 1 C 2 C S pu S S C A A Q 2 - calculăm min CT(Q) din
dCT dQ QE
C A
B A 2
Q
2 C A B A C S pu
C S pu 0 2
(1)
=>
(2)
unde: QE reprezintă cantitatea economică (“lotul economic”) , mărimea optimă a comenzii de aprovizionare, care minimizează costul total anual de stocare. Se deduce: - ciclul optim de aprovizionare (perioada economică):
PE
QE
- numărul optim anual de comenzi (frecvenţa economică): NE
B A
(în ani)
B A QE
Comentariu. Cele două costuri de aprovizionare şi stocare, C A şi C S , influenţează diferit
mărimea cantităţii economice QE , dată de relaţia (2). Astfel, o creştere a costului de aprovizionare va conduce la creşterea cantităţii economice şi implicit la micşorarea
68
Dorin Lix ăndroiu
numărului de comenzi, în timp ce creşterea costului de stocare diminuează volumul comenzii şi implicit nivelul mediu al stocului. Evoluţiile celor două costuri anuale (C 1 şi C 2 ) şi a costului total (CT), în funcţie de mărimea comenzii (Q) sunt redate în Figura 2. Cost
CT=C1+C2
C1
C2
0
Q Figura 2
METODE DE REGLARE A STOCURILOR Pornind de la modelul clasic determinist (modelul Wilson) al ”cantităţii economice” , se pot defini două principii fundamentale de reglare: A. Metoda punctului de comandă - se comandă cantităţi fixe optime, la momente de timp care pot să varieze în funcţie de cererea aleatoare. B. Metoda de aprovizionare periodică – se comandă după o periodicitate dată (în principiu aproape de periodicitatea optimă), cantităţi care pot varia în funcţie de cererea aleatoare. A. Metoda punctului de comandă Presupunem că există o întârziere în livrare, D, nealeatoare, (numită şi timp de avans ), care cuprinde: durata de livrare impusă de furnizor, durata transportului, duratele administrative (de redactare a comenzii, de recepţie şi luare în gestiune a cantităţii intrate în stoc). Pentru ca intrarea în stoc să se facă la momentul de timp fixat, este necesar ca lansarea comenzii să se facă cu D unităţi de timp în avans (Figura 3).
69
Modelarea proceselor economice
Nivelul stocului
SC
SS
timp D
D Figura 3
Dacă nu se doreşte să fie afectat stocul de siguranţă (SS ), nivelul stocului în momentul lansării comenzii va fi: SC M D SS
(3)
unde: M reprezintă viteza de descreştere a stocului. Acest nivel (SC ) se numeşte punct de comandă şi permite definirea celor două principii ale metodei: - Se lansează o nouă comandă când nivelul stocului devine inferior sau egal punctului de comandă S C . - Se comandă o cantitate fixă (QE ), care este cantitatea economică. În cazul determinist, această metodă conduce la evoluţia clasică a stocului, reprezentată de graficul “dinţi de fierăstrău” . Dar, atunci când cererea devine aleatoare cele două principii de gestiune constituie un mod de reglare eficientă a stocului, prin stabilirea momentelor de lansare a comenzilor. Exemplu. Se consideră: QE = 6 unităţi , SS =1, PE = 3 luni şi D = 2 luni .
Punctul de comandă va fi conform relaţiei (1): SC M D SS 6 / 3 2 1 5 Presupunem că la 15 zile după aprovizionare se înregistrează o cerere pentru o comandă excepţională de 2 unităţi (Figura 4).
70
Dorin Lix ăndroiu
7 SS=5
SS=1
P=3
D=2
timp
Figura 4
La acest moment stocul cade sub punctul de comandă şi se lansează o nouă comandă de 6 unităţi , care va intra în stoc peste două luni, adică cu 15 zile înainte de data normală de sosire. Stocul va urca la nivelul 6 unităţi şi apoi va descreşte cu viteza constantă M = 2. În această situaţie punctul de comandă va fi atins după 15 zile, iar livrarea se va face 2 luni mai târziu. Stocul va urca la nivelul de 7 unităţi şi se reia astfel ritmul normal de lansare a comenzilor şi de intrare a cantităţilor livrate în stoc. Comentariu. Metoda punctului de comandă permite rezolvarea fluctuaţiilor cererii
printr-o stabilire corespunzătoare a momentelor de lansare a comenzilor. Astfel, în exemplul prezentat două cicluri de aprovizionare au o lungime de 2 luni şi 15 zile în loc de 3 luni , după care se revine la ritmul normal, cu un decalaj total de o lună. În acest sistem cantitatea comandată rămâne constantă, dar perioada de aprovizionare poate varia în jurul perioadei economice (PE ) în funcţie de cerere. Această metodă este cea mai eficace şi cea mai utilizată. B. Metoda aprovizionării periodice Metoda constă în lansarea la date fixe a comenzii ce conţine cantităţi variabile. Lansarea unei noi comenzi se va face după o perioadă P, de la ultima lansare, în principiu egală cu PE ( perioada economică , ciclul economic). Sosirea comenzii în stoc se va face după o perioadă D de la lansare . Rămâne de stabilit pentru fiecare ciclu de aprovizionare, mărimea comenzii ce trebuie lansate. Dacă cererea nu este aleatoare, o comandă trebuie să acopere cererea pe durata unui ciclu de aprovizionare, deci: Q P M
(4)
71
Modelarea proceselor economice
Stocul existent, (SE ), în momentul comenzii, trebuie să permită satisfacerea cererii pe durata timpului de avans, (D), adică: SE D M SS
(5)
Dacă apare o cerere aleatoare, este posibil ca stocul existent să nu atingă nivelul precedent. Sunt posibile două situaţii: a) SE este mai mic decât nivelul precedent - atunci comanda va fi mărită pentru a acoperi acest deficit. Valoarea comenzii va fi în acest caz: Q P M D M SS SE
(6)
Rezultă Q P M . b) SE este mai mare decât nivelul precedent - relaţia (6) rămâne valabilă. Rezultă Q P M . Concluzie. Valoarea comenzii Q va fi determinată pentru fiecare ciclu de aprovizionare,
astfel încât: Q SE P D M SS
(6’)
Expresia P D M SS se numeşte nivel de acoperire şi are o valoare constantă. Rezultă că valoarea comenzii Q se determină în funcţie de stocul existent S E . Exemplu. Se consideră o aprovizionare periodică cu: M = 2, SS =1, P = 3 luni şi D = 2 luni .
Nivelul de acoperire este:
P D M SS 3 2 2 1 11 Presupunem că la 15 zile după aprovizionare se înregistrează o cerere pentru o comandă excepţională de 2 unităţi. La momentul C2, mărimea comenzii va fi Q = 11 – 3 = 8 unităţi , pentru că SE =3. Două luni mai târziu, la momentul L2, nivelul stocului devine după aprovizionare 7 unităţi, presupunând că cererea nesatisfăcută de 1 nu s-a pierdut, ea fiind reportată. În C3 regăsim valoarea normală a comenzii Q = 6 unităţi (Figura 5).
72
Dorin Lix ăndroiu
11 Q=6
Q=8
Q=6
7 5
SS=1 C1
L1 D
C2 P
P
L2
C3
D Figura 5
Comentariu. La această metodă, graficul aprovizionării – momentul lansării comenzii şi
momentul intrării în stoc sunt fixate, iar mărimea comenzii se stabileşte în funcţie de fluctuaţiile cererii.
STOCUL DE SECURITATE Stocul de securitate permite evitarea situaţiilor de lipsă de stoc datorate unor cereri aleatoare sau unor întârzieri în livrare. În continuare vom analiza determinarea stocului de securitate numai în cazul cererilor aleatoare. Stocul de securitate se consideră proporţional cu abaterea medie pătrată a dispersiei cererii pe durata perioadei de risc de ruptură. Coeficientul de proporţionalitate va reflecta calitatea serviciului cerut, care se poate defini în funcţie de unul din parametrii următori: rata de ruptură de stoc, costul rupturii de stoc, rata lipsei de stoc sau costul lipsei de stoc. Presupunem că cererea pe unitatea de timp este aleatoare şi urmează o distribuţie normală de medie M şi abatere medie pătratică σ. Pentru valori mici ale mediei ( M mai mic decât 7 sau 8) se poate considera distribuţia Poisson. Dacă se consideră distribuţia normală, stocul de securitate va fi dat de: S S k D
(7)
în cazul metodei punctului de comandă şi S S k D P
(8)
73
Modelarea proceselor economice
în cazul metodei aprovizionării periodice. Observaţie. În relaţiile (7) şi (8), coeficientul k exprimă calitatea serviciului cerut şi se numeşte factor de protecţie sau rata serviciului. Factorul k poate fi determinat pornind de la rata de ruptură (sau riscul de ruptură) t R , care este raportul dintre numărul de rupturi de stoc acceptate pe o anumită perioadă şi numărul total de cicluri de aprovizionare (sau de comenzi) desfăşurate în aceeaşi perioadă. Astfel, dacă se acceptă n rupturi de stoc într-un an, vom avea: t R n , unde N reprezintă numărul anual de N comenzi. Exemplu. Presupunem că pe o perioadă de un an s-au înregistrat următoarele cereri lunare (în unităţi): 14, 11, 9, 10, 6, 12, 10, 11, 8, 9, 10, 10.
Rezultă: - valoarea medie a cererii, M =10 -
2
_ 44 dispersia estimată, VAR 4 x i x 11 n 1 i
1
2
În ipoteza că timpul de avans, D = 4 luni şi se acceptă un risc de ruptură de 2.5%, se obţine stocul de siguranţă: S S k D = 1.96 × 2 × 2 = 7.84 (aprox. 8 unităţi) Punctul de comandă SC M D SS = 10 × 4 + 8 = 48 unităţi . STUDIUL DE CAZ Nr. 1 Întreprinderea W cumpără şi stochează articolul A, pentru ca apoi să-l revândă cu un adaus comercial. Să se stabilească o politică optimă de aprovizionare care să minimizeze costul total de gestiune a stocului, în următoarele ipoteze iniţiale: I1. Vânzările sunt regulate; I2. Cantitatea totală vândută într-un an este de 1800 unităţi; I3. Preţul unitar de cumpărare al articolului este de 1 u.m.; I4. Costul de lansare a unei comenzi este de 10 u.m.; I5. Costul de stocare este 10% din preţul articolului; I6. Stocul de siguranţă are valoare nulă. A. Să se determine mărimea lotului economic şi numărul optim de aprovizionări. QE
2 C A B A C S pu
2 10 1800 0.10 1
600 unităţi
74
Dorin Lix ăndroiu N 1800
600
3 aprovizionări pe an
Dacă N 3 CT C A
B A
Q
10 3 0.1 1 300 60 u.m. 2 1800 buc. 1 u.m. / buc. 1800 u.m.
Costul articolului este:
Q
C S pu
B. Furnizorul propune un rabat comercial (discont) de 5% dacă se comandă cel puţin 900 de unităţi. Se acceptă propunerea ?
Dacă se acceptă remiza, întreprinderea va comanda cel puţin 900 unităţi. Aceasta revine la lansarea a două comenzi pe an (1800 / 900), sau o singură comandă de 1800 unităţi. B Q N 1 CT C A A C S pu 10 1 0.095 0.95 900 91.225 u.m. 2 Q
N 2 CT 10 2 0.095 0.95 450 60.6125 u.m.
1800 buc. 0,95 u.m. / buc. 1710 u.m.
Costul articolului este:
Rezultă că se acceptă propunerea de remiză cu două comenzi pe an de volum 900 unităţi. C. Întreprinderea W decide să accepte propunerea de discont şi va comanda de 2 ori pe an câte 900 unităţi. Din experienţă, cererea pe o perioada de 6 luni variază după o lege normală N(900,902 ). Să se calculeze probabilitatea de ruptură de stoc dacă întreprinderea constituie un stoc de sigura nţă de volum 1 . Care va fi probabilitatea 2 în cazul unui stoc de siguranţă de volum ? Determinaţi volumul stocului de siguranţă necesar pentru o rată a serviciului de 95%. a) Cu un stoc de siguranţă SS = 45 unităţi, ruptura de stoc se produce dacă cererea pe 6 luni, B 900 45 unităţi. Se obţine:
B 900 945 900 Pr obu 0.5 0.3085 90 90
Pr obB 945 Pr ob
unde u are o repartiţie N(0,1). Deci, riscul de ruptură de stoc este de 30%, iar rata serviciului este de 70%. b) Dacă stocul de siguranţă este egal cu rezultă:
B 900 990 900 Pr obu 1 0.1587 90 90 Deci, riscul de ruptură de stoc este de 15%, iar rata serviciului este de 85%. Pr obB 990 Pr ob
75
Modelarea proceselor economice
c) Dacă se doreşte o rată a serviciului de 95% avem:
B 900 900 SS 900 S Pr ob u S 0.05 90 90 90
Pr obB 900 S S Pr ob
1.64
SS
90
S S 147.6
STUDIUL DE CAZ Nr. 2 O firmă de panificaţie are un necesar anual (360 zile) de 200t de grâu. Costul de lansare a comenzii este de 705 u.m., costul pe stocare pe zi/t este de 1 u.m., costul unei unităţi de produs (tonă) este de 1800u.m., timpul de avans este de 4 zile , iar stocul de siguranţă este de 3t. Î n ipotezele că vânzarea este uniformă, aprovizionarea se face la intervale egale şi nu se permite lipsa produsului, să se determine elementele gestiunii optime. Rezolvare. Apelăm la produsul software QM (Quantitative Management) , modulul Inventory . Din analiza ipotezelor ne aflăm în condiţiile modelului Economic Order Quantity (EOQ).
Modelul permite introducerea propriei decizii privind mărimea cantităţii de aprovizionare, realizând î n acest mod o comparaţie cu soluţia optimă calculată. În exemplul prezentat elementele gestiunii optime sunt comparate cu decizia de aprovizionare periodică cu cantitatea de 10 t. Rezolvarea modelului este dată în figura 6.
Figura 6
76
Dorin Lix ăndroiu
În soluţia obţinută Reorder point reprezintă nivelul de reaprovizionare , adică o nouă comandă va fi lansată când nivelul stocului atinge nivelul de reaprovizionare. Acest nivel va satisface cererea pe perioada timpului de avans (lead time) , cu păstrarea stocului de siguranţă. În figura 7 este redată grafic evoluţia costurilor de aprovizionare (Setup cost), de stocare (Holding cost) şi a costului total (Total cost). Se observă că valoarea minimă a funcţiei cost total ce corespunde valorii optime a lotului economic (Optimal order quantity) corespunde intersecţiei graficelor celor două costuri de aprovizionare şi stocare.
Figura 7
STUDIUL DE CAZ Nr. 3 Un producător de accesorii auto are o comandă pentru un an (250 zile lucrătoare) de 500 unităţi. Rata producţiei anuale este de 2500 unităţi. Costul lansări unei comenzi în fabricaţie este de 100 u.m., preţul produsului este de 400 u.m. iar costul de stocare pentru întreaga perioadă reprezintă 10% din preţul produsului. În ipoteza că cererea are un ritm constant şi nu se admit întârzieri în livrare, cum trebuie organizată producţia a.î. să se realizeze o gestiune optimă a stocului. Rezolvare. Suntem în ipotezele modelului Production Order Quantity din modulul Inventory (produsul software QM). Modelul stabileşte mărimea lotului economic
(comenzii) de producţie, care minimizează costul stocării şi al lansării comenzilor de producţie.
77
Modelarea proceselor economice
Ca şi în cazul modelului Economic Order Quantity se poate introduce propria decizie privind mărimea comenzii de lansat, realizând în acest mod o comparaţie cu soluţia optimă calculată. Rezolvarea modelului este dată în figura 8.
Figura 8
STUDIUL DE CAZ Nr. 4 O firmă are un consum anual de 100 unităţi dintr-un anumit produs. Costul lansării comenzii este de 10 u.m. iar costul de stocare anual reprezintă 20% din preţul produsului. Produsul este oferit la preţul de 40 u.m. pentru comenzi mai mici de 20 unităţi, la preţul de 39 u.m. pentru comenzi mai mari sau egale cu 20 unităţi şi mai mici de 50 unităţi şi la preţul de 38 u.m. pentru comenzi mai mari sau egale cu 50 de unităţi. Stabiliţi politica optimă de aprovizionare a firmei. Rezolvare. Suntem în ipotezele modelului Quantity Discount (EOQ) din modulul Inventory (produsul software QM). Modelul este o variantă a modelului clasic EOQ cu
ipoteza suplimentară că preţul unitar al produsului cumpărat depinde de cantitate (cu cât cantitatea cumpărată creşte, preţul unitar de cumpărare scade). Rezolvarea modelului este dată în figura 9.
78
Dorin Lix ăndroiu
Figura 9
În figura 10 se dau detaliile de cost pentru diferitele paliere de preţ, iar în figura 11 graficele corespunzătoare.
Figura 10
Figura 11
79
Modelarea proceselor economice
STUDIUL DE CAZ Nr. 5 – Analiza ABC Analiza ABC constă în ierarhizarea articolelor stocate în funcţie de valoarea lor în 3
categorii. În mod obişnuit 70% din valoarea unui stoc este realizată de 15%-20% din articolele stocate. Acestea sunt categoria A. Categoria B este formată din articolele care cumulează 20% din valoare şi reprezintă 30%-35% din articolele stocate. Categoria C este formată din articolele ce reprezintă aproximativ 50% din articolele aflate în stoc şi care au o valoare de aproximativ 10%. Analiza ABC realizează o gestiune selectivă
a stocurilor. Clasificarea în 3 categorii permite abordarea unor politici diferite de gestiune a stocurilor. - Pentru produsele din clasa A se aplică politici de aprovizionare care să menţină coborât nivelul stocului şi cantitatea comandată, aceasta presupunând o creştere a frecvenţei de aprovizionări care corespunde la o micşorare a ciclului de aprovizionare. Aceste articole trebuie să fie supuse unui control riguros de gestiune, existenţa unui stoc de securitate fiind mai puţin necesară. - Pentru produsele din clasele B şi C se aplică o strategie complet diferită, care constă în creşterea cantităţii comandate şi mărirea ciclului de aprovizionare. Cu ajutorul metodei ABC se pot reduce investiţiile în stocuri, micşorând în acelaşi timp şi riscurile de ruptură de stoc.
Aplicaţie. O societate comercială face o analiză a mărimii stocurilor de materiale utilizate pentru procesul de producţie în funcţie de ponderea lor valorică şi de rulajul mediu. Pentru 8 dintre cele mai importante materiale şi combustibili s-au efectuat studii statistice şi s-au obţinut următoarele date: Nr.crt.
Denumire articol
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Articol 1 Articol 2 Articol 3 Articol 4 Articol 5 Articol 6 Articol 7 Articol 8
Cererea medie anuală *mii t] 200 100 15 30 10 4 150 200
Preţ [u.m./1000t] 150 400 20 17 30 5000 600 1000
Aplicând metoda de grupare selectivă ABC a stocurilor pentru cele 8 articole, determinaţi ce articole fac parte din fiecare grupă. Rezolvare. Utilizăm ABC Analysis din modulul Inventory (produsul software QM).
Rezultatele sunt prezentate în figura 12.
80
Dorin Lix ăndroiu
Figura 12
Grupa A cuprinde { articolul 8}. Grupa B cuprinde { articolul 7, articolul 2 şi articolul 1}. Grupa C cuprinde { articolul 6, articolul 4, articolul 5 şi articolul 3}. În figura 13 este trasată curba valorilor cumulate, rezultată în urma analizei ABC.
Figura 13
81
Modelarea proceselor economice
STUDIUL DE CAZ Nr. 6 – APLICAREA SIMULĂRII LA GESTIUNEA STOCURILOR Tehnica de simulare Monte Carlo ne permite să obţinem valori artificiale ale cererii şi eventual ale duratelor de livrare, conform distribuţiilor de probabilitate observate. Utilizând aceste valori artificiale în cadrul unei metode de gestiune, se pot calcula diverşi parametrii: rata de ruptură, costul rupturii, etc. Va fi deci posibil să comparăm diverse metode de gestiune. Tehnica de simulare Monte Carlo ne permite să abordăm diverse scenarii de gestiune a stocurilor, care pot diferi de metodele clasice ale punctului de comandă sau al aprovizionării periodice.
A. Obţinerea unui eşantion artificial al cererii Metoda Monte Carlo permite obţinerea unui eşantion cu o distribuţie de probabilitate dată, plecând de la un eşantion de numere aleatoare uniform repartizate pe intervalul (0,1).
Fie X o variabilă aleatoare discretă, cu distribuţia: n x 1 x 2 ... x n , pi 1 X : ... p p p 2 n 1 i 1 Algoritmul de generare al variabilei X este:
Pasul 1. Se calculează F i
i
p j ,
i 1, n .
j 1
Iniţializăm: i=0 Pasul 2. Se generează U uniform repartizat pe (0,1). Pasul 3. Se calculează: i = i+1 Pasul 4. Dacă U > F i atunci transfer la Pasul 3. Pasul 5. Ieşire X = x i . Stop. Exemplu. Considerăm cazul unui distribuitor care gestionează stocul unui produs. El înregistrează cererea aleatoare a produsului şi constată că probabilitatea p(n) a unei cereri zilnice de n articole este conformă cu tabelul următor:
Cererea zilnică
0
1
2
3
4
5
6
7
Probabilitatea
0.05
0.12
0.20
0.30
0.15
0.08
0.06
0.04
p(n) F i
0.05
0.17
0.37
0.67
0.82
0.90
0.96
1
N
82
Dorin Lix ăndroiu
Dorim să obţinem o serie aleatoare a cererii zilnice conform cu această distribuţie de probabilitate. De exemplu, dacă valorile variabilei aleatoare uniforme U sunt: 0.29, 0.59, 0.93, aplicând algoritmul se obţin valorile cererii zilnice: 2, 3, 6 articole. Am redus astfel problema generării unor cereri zilnice cu o anumită distribuţie de probabilitate, la generarea unor numere aleatoare repartizate uniform în intervalul [0,1]. Utilizând modulul Simulation din produsul software QM se pot genera serii aleatoare ale cererii. Algoritmul de generare este cel prezentat mai sus, pentru variabile aleatoare discrete. În figura 14 este prezentată sinteza rezultatelor obţinute pentru 100 de simulări, iar în figura 15 sunt date primele 20 “cereri” gennerate.
Figura 14
Figura 15
Modelarea proceselor economice
83
B. Simularea stocului pentru o metodă de gestiune dată Definim o metodă de gestiune foarte simplă: se comandă în ultima zi lucrătoare a săptămânii (care are 5 zile lucrătoare), un număr de articole egal cu consumul mediu al unei săptămâni. Media cererii este egală cu: 0.12 1 0.2 2 0.3 3 0.15 4 0.08 5 0.06 6 0.04 7 3.06 Deci, cererea săptămânală este de 15 articole. Se presupune în plus, că stocul iniţial este egal cu 15 articole. Se obţine evoluţia următoare a stocului calculată la sfârşitul fiecărei zile, ştiind că în cazul lipsei de stoc cererea nesatisfăcută nu se reportează pentru ziua următoare. Z C S P
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 6 2 3 4 3 2 7 5 3 3 0 6 2 1 5 3 3 3 3 15 9 7 4 15 12 10 3 0 15 12 12 6 4 18 13 10 7 4 16 2 3
unde: Z = ziua C = cererea S = stocul la sfârşitul zilei
P = penurie Efectuând simularea pentru 100 zile lucrătoare s-a calculat cererea totală exprimată, penuria totală şi numărul de zile de stocare/articol. Observaţie. Trebuie adăugate zilele de stocare de la sfârşitul săptămânii; de exemplu pentru prima săptămână se obţine: 15D+15L+9M+7 M+4 J+15V +15S = 80 zile/articol de stocare. Rezultă: - cererea totală: 317 - numărul de zile/articol de stocare: 1540 - penuria totală: 21 - rata de penurie: 21 / 317 = 6.6% Dacă se presupune că avem un cost de stocare de 1 u.m. / articol / zi , costul de reaprovizionare este neglijabil, iar costul unitar al lipsei de stoc este de 50 u.m. , va rezulta un cost total pentru 100 zile de: 1540 1 21 50 2590 u.m. Concluzie. Acest cost va putea fi comparat cu cel rezultat din aplicarea altor reguli de
reaprovizionare. Totuşi, pentru ca rezulatatele obţinute să fie stabile trebuie efectuate simulări pentru o perioadă de cel puţin 300 de zile.
84
Dorin Lix ăndroiu
Aplicaţia de gestiune a stocului realizată în Excel pe baza acestui studiu de caz permite construcţia unor grafice sugestive pentru luarea deciziei manageriale. Pe baza analizelor efectuate în urma mai multor simulări se poate stabili o politică optimă de gestiune a stocului. Graficele sunt redate în figurile 16, 17, 18 . Ele reprezintă rezultatele obţinute după efectuarea simulării cererii pentru 100 de zile, în condiţiile metodei de gestiune definite în acest studiu de caz.
Rata de penurie
Rata serviciului
Figura 16 – Rata servi ciului şi rata de penurie (lipsa de stoc)
40 35 30 25 20 15 10 5 0 1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
CERERE
49
52
55
58
61
64
67
70
73
76
79
82
85
88
91
94
Stoc la inceputul zilei
Figura 17 – Graficele de evoluţie zilnică a cererii şi a stocului la începutul zilei
97
100
85
Modelarea proceselor economice
14
12
10
8
6
4
2
0 1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
CERERE
52
55
58
61
64
67
70
73
76
79
82
85
88
91
94
97 100
PENURIE
Figura 18 – Nivelul zilnic al stocului (sunt evidenţiate zilele cu lipsă de s toc
şi mărimea cererii nesatisfăcute)
Rezumat Stocarea unui produs are un cost, deci t endinţa este de a stoca o cantitate cât mai mică. Politica de a avea stocuri cât mai mici, implică reaprovizionări mai dese, care pot să inducă: costuri de reaprovizionare şi pierderi de profit în cazul rupturilor de stoc. În faţa unei cereri fluctuante, trebuie să fie definită o regulă de reaprovizionare, (momentul efectuării comenzii şi cantitatea comandată), care să conducă la o sumă minimă a acestor costuri. Modelul Wilson este un model determinist care realizează calculul principalilor parametrii de gestiune în condiţiile optimizării costurilor totale de stocare pentru un articol. Pornind de la modelul clasic determinist (modelul Wilson) al ”cantităţii economice” , se pot defini două principii fundamentale de reglare: - Metoda punctului de comandă - se comandă cantităţi fixe optime, la momente de timp care pot să varieze în funcţie de cererea aleatoare. - Metoda de aprovizionare periodică – se comandă după o periodicitate dată (în principiu aproape de periodicitatea optimă), cantităţi care pot varia în funcţie de cererea aleatoare. Stocul de securitate permite evitarea situaţiilor de lipsă de stoc datorate unor cereri aleatoare sau unor întârzieri în livrare. Analiza ABC realizează o gestiune selectivă a stocurilor. Clasificarea în 3 categorii (A, B şi C) permite abordarea unor politici diferite de gestiune a stocurilor.
86
Dorin Lix ăndroiu
Tehnica de simulare Monte Carlo ne permite să obţinem valori artificiale ale cererii şi eventual ale duratelor de livrare, conform distribuţiilor de probabilitate observate. Utilizând aceste valori artificiale în cadrul unei metode de gestiune este posibil să comparăm diverse metode de gestiune. Tehnica de simulare Monte Carlo ne permite să abordăm diverse scenarii de gestiune a stocurilor, care pot diferi de metodele clasice ale punctului de comandă sau al aprovizionării periodice.
Test de evaluare a cunoştinţelor 1.Definiţi ipotezele modelului Wilson şi explicaţi grafic soluţia valorii economice optime. 2.Prezentaţi cele două metode de reglare a stocurilor din modelul Wilson. 3.Studiul de caz nr. 1 – Care este riscul de ruptură de stoc în cazul unui stoc de siguranţă SS = 135 unităţi ? 4.Studiul de caz nr. 1 – Care este valoarea stocului de siguranţă în cazul unui risc de ruptură de 1% ? 5.Studiul de caz nr. 2 – Din rezultatele gestiunii optime (figura 6) deduceţi modul de evaluare a nivelului de aprovizionare (Reorder point = 5.222…). 6.Studiul de caz nr. 2 – După ce analizează rezultatele gestiunii optime (figura 6), managerul decide să realizeze 8 aprovizionări pe an, deoarece soluţia optimă este nerealizabilă cu 7.15 aprovizionări/an. Cu cât creşte suma costurilor totale de aprovizionare şi stocare faţă de soluţia optimă calculată. 7.Studiul de caz nr. 3 – Analizaţi graficele costului de stocare şi al costului de lansare în fabricaţie. 8.Studiul de caz nr. 3 – Analizaţi decizia managerului de a lansa într-un an 10 comenzi de fabricaţie pentru acoperirea necesarului de 500 de unităţi, în raport cu soluţia matematică optimă a modelului. 9.Studiul de caz nr. 4 – Reluaţi rezolvarea modelului în situaţia unui cost de lansare al comenzii de 200 u.m. Analizaţi soluţia obţinută. 10. Studiul de caz nr. 5 – Explicaţi în ce constă Analiza ABC şi care sunt avantajele aplicării în gestiunea stocurilor. 11. Studiul de caz nr. 6 – Reluaţi tabelul de evoluţie al stocului pentru datele simulate din figura 15 (sau generaţi o alta serie de cereri utilizând Simulation din QM) şi trasaţi graficul evoluţiei stocului pentru perioada studiată (20 de zile). 12. În metoda punctului de comandă se consideră: - cantitatea economică Q E = 6 unităţi, - stocul de securitate S S =2 unităţi, - cererea anuală BA = 36 unităţi, - întârzierea în livrare D = 1 lună. Determinaţi: perioada optimă de aprovizionare (perioada economică), numărul anual optim de comenzi (frecvenţa economică), nivelul stocului SC (punctul de comandă).
